МАТЕМАТИКА...3 КИРИШҮҮ Урматтуу кесиптештер! Сиздер...

Бишкек2018

С. К. Кыдыралиев, А. Б. Урдалетова, Г. М. Дайырбекова, Г. А. Лисовская

Методикалык колдонмо

МАТЕМАТИКА6-класс

Окутуу кыргыз тилинде жүргүзүлгөн мектептердин мугалимдери үчүн

Издательство

Методикалык колдон мо. Математика. 6-кл.: Окутуу кыргыз тилинде жүргүзүлгөн мек тептердин мугалимдери үчүн/ C. К. Кы-дыралиев, А. Б. Урдалетова, Г. М. Дайырбекова, Г. А. Лисовская. – Б.: Аркус, 2018. – 104 б.

ISBN 978−9967−31−854−0

Методикалык колдонмодо авторлордун окуу китепке болгон комментарий-лери, мугалимдерге методикалык сунуштар, ошондой эле текшерүү иштердин үлгүлөрү берилди. Бул колдонмо сабактардын деңгээлин жогорулатууга, алар-ды кызыктуу жана пайдалуу өткөрүүгө көмөк көрсөтөт.

Колдонмо жалпы билим берүүчү мектептердин математика мугалимдери-не арналат.

© Авторлор жамааты, 2018© КР Билим берүү жана илим министрлиги, 2018

ISBN 978−9967−31−854−0

Эксперт: пед. и. к., доцент Г. Ж. Карагозуева

УДК 372.8ББК 74.262

М 4306010500−18

УДК 372.8ББК 74.262M 34

M 34


3

КИРИШҮҮ

Урматтуу кесиптештер!Сиздер 6-класс үчүн математика боюнча окуу китеби менен иштөөгө

киришип жатасыздар. Бул 5-класс үчүн даярдалган окуу китептин улан-дысы. Биз математиканы ийгиликтүү окутуу үчүн кырдаалдык маселе-лер негиз болооруна ишенебиз. Математиканы окутууда башкы мак-сат – эсептөө көндүмдөрүнө ээ болуу эмес, ой-жүгүртүү көндүмдөрүнө ээ болуу экендигин окуучулардын аӊ-сезимине жеткирүү. Албетте, эсептей алуу да керек, бирок, өтө гениалдуу эсептеген адам дагы ком-пьютерден тез эсептей албайт. Ушуга байланыштуу биздин сабактар, чоӊ сандардын үстүнөн жүргүзүлгөн арифметикалык амалдарга көп убакыт жумшаган, тажатма сабакка айланбашы керек. Калькулятор жок деп түр көрсөтсө да болот, бирок бул андай эмес.

Окуу китеби 16 негизги жана 3 кошумча параграфтан турат. Биринчи жана акыркы параграфтан башкаларынын бардыгы бирдей түзүлгөн.

Биринчи жана акыркы параграфтар окуучуларды жемиштүү чыгар-мачылык ишке тартууга багытталган. Бул параграфтардын тапшырма-лары көӊүл бурууну, тапкычтыкты, логиканы өнүктүрүүгө багытталган. Алар өтө жөнөкөй түзүлгөн: окуучуларга чыгаруу үчүн сунуш кылынган маселелердин тизмеси камтылды.

Калган параграфтар пункттарга бөлүнүп, ар бир пункт кош номер-ге ээ. Мисалы, 15.7-пунктунун номери 15-параграфтын 7-пунктун бил-дирет. Ар бир пунктта бир кырдаал талкууланат. Ал маселе түрүндө түзүлүп, толук чыгарылышы менен берилди. Маселеде талданган материалды окшош тапшырмалар менен бышыктоо сунуш кылынат. Тапшырмалар талданган маселелерден бир аз айырмаланышы мүм-күн. Ошондуктан аны чыгарууда окуучуларга жардам керек болушу мүмкүн, ушуга байланыштуу мындай маселелердин биринчисин класс-тан чыгарган туура. Кийинки маселе талданган маселеден сандары менен айырмаланышы мүмкүн. Ошондуктан аны үйгө тапшырма берсе болот. Алынган көндүмдү бышыктоодо окуучулар бул кырдаалды баш-калардын ичинен тапканга үйрөнүшү үчүн окшош маселе параграфтын аягында жыйынтыктоочу маселелердин катарында берилет.

Окуу китеби окуу китептердин жаӊы муунуна кирет жана стандарт-тык окуу китептеринен башкачараак түзүлгөн.

Адатта үй тапшырмасын текшергенден кийин мугалим жаӊы те-маны түшүндүрөт, ал эми сабактын калганы материалды бышыктоо-го арналат. Китепте ар бир жаӊы тема бир нече майда темачалар-га бөлүнгөн. Биздин оюбузча, мугалим доскадагы маселени талдап бүтүп, жаӊы теманы түшүндүрүүгө (өтүүгө) киришүүсү керек. Андан ары ки йинки маселе чыгарылат. Окуучуларды доскада маселе чыгаруу дептерге көчүрүү үчүн эмес, ал текшерүү үчүн экендигин түшүндүрүү


4

керек. Бул жөн гана текшерүү үчүн. Мындай мамиле кылууда күчтүү окуу чулар бул маселени доскадан мурун чыгарышы күтүлөт. Кээде күчтүү окуучуларга жаӊы маселени доскада классташтарына түшүн-дүрүүгө мүмкүндүк берүү керек. Бул жаӊы теманы өтүү убактысын узартат. Өз алдынча өздөштүрүлгөн материал жакшы эсте сакталары белгилүү.

Бул ыкманы үй тапшырмасын түзүүдө колдонсо болот. Үйгө бир-эки жаӊы пункт берсе да болот. Албетте, бул пункттардын тапшырмаларын өздөштүрүүнүн тууралыгын кийинки сабакта текшерүү керек.

Математиканы мектепте окутуу жана анын ыкмалары жөнүндөЖалпы билим берүүчү мектептерде математиканы окутуу мак-

саттары менен баштайлы. Жалпы билим берүүчү мектептерде математиканы окутуу максаттары математиканы окутуу методуна арналган ар кандай ар кайсы авторлордун иштеринде ар кайсы пункттарга ар кандай күчтүү акценттер (басым жасоолору менен) кыскача келтирилет:

• математиканы жалпы адамзаттык маданияттын бөлүктөрү ката-ры кароо түшүнүгүн калыптандыруу, коомдук процесстер үчүн математиканын маанилүүлүгүн түшүнүү;

• математиканын идеялары жана ыкмалары жөнүндөгү, математи-ка чыныгы турмушту таанып билүүчү ыкма жана сүрөттөө фор-масы катары деген түшүнүктөрдү калыптандыруу;

• билим берүүнү улантуу үчүн, аралаш дисциплиналарды окуу үчүн, практикалык ишмердүүлүктө колдонуу үчүн зарыл болгон математикалык билимдерге ээ болуу;

• окуучулардын интеллектуалдык өнүгүшү, коомдо толук кандуу жашоо үчүн адамга зарыл жана математикалык ишмердүүлүк үчүн мүнөздүү болгон ой жүгүртүүнүн сапаттарын калыптан-дыруу.

Иш жүзүндө бул максаттарды ишке ашыруу кыйын. Аларды ишке ашыруунун так жана айкын ыкмалары жана эрежелери да жок. Тактап айтканда, алар өтө көп, бирок бул эрежелерди колдонуу жана чыны-гы жыйынтыкты алуу көптөгөн факторлордон көз каранды.

Өз ара тыгыз байланышкан төмөнкү факторлорду атап кетели:• мазмуну боюнча бул максаттарга туура келген математика окуу китебинин бар экендиги (мындай универсалдуу ар тараптуу окуу китеби жок жана мындай окуу китебин түзүү мүмкүн эмес-тей);

• окуучулардын жаш өзгөчөлүгүн, психологиясын жакшы билген, кеӊири жалпы эрудициясы бар, математикалык билимге ээ жана


5

предметти жакшы окуткан математик мугалимдердин бардыгы (мындай мугалимдер көп эмес жана Кыргызстандын педагогика-лык жогорку окуу жайларындагы математика адистигине тапшы-рууну каалаган абитуриенттердин санынын улам азайышына караганда келечекте алар таптакыр жок болушу мүмкүн);

• балдарды мектепке чейинки даярдоонун деӊгээли;• окуучулардын ата-энелеринин билиминин деӊгээли;• үй-бүлөдөгү психологиялык абал жана үй-бүлөнүн экономика-лык абалы.

Бул толук эмес тизме математиканы окутуунун максаттарын то-лук ишке ашыруу мүмкүн эместиги жөнүндөгү ойго алып келет. Көп нерсе мугалимдерден көз каранды эмес. Бирок, ар бирибиздин бал-дарыбыздын билимине жооп берген мугалим өзүнүн ишин эӊ жакшы балдарга пайда боло тургандай кылып аткарганга аракет кылышы керек.

Математиканын максаты – динамикалык экендигин белгилеп кетүүбүз керек. Булар математикага жакын илимдердин өнүгүшүнө, математика илиминин өнүгүшүнө, жашоо-турмуш мажбур кылган суроо-талаптардын өнүгүшү жалпы коомдун өнүгүшү менен тыгыз байланыштуу.

Мындан биз айткан факторлордун дагы динамикада болуусу ке-лип чыгат, демек, алардын мазмуну дагы мезгилдин шары менен өз-гөрүп турушу керек.

Математика боюнча ар кандай темаларды окутуу ыкмасы боюн-ча өзүнчө иштер, методикалык каражаттар, көптөгөн сонун китептер жазылып жана басылып чыкты. Олимпиадалык маселелерди чыга-руу боюнча, стандарттуу эмес мисалдарды чыгаруу боюнча, матема-тиканы тереӊдетип окуу боюнча, математика боюнча, ийримдик иш боюн ча окуу каражаттарын атасак болот. Бул өтө бай жана өтө керек-түү материал. Ушул ишти жасап жаткандардын баардыгына алкыш. Бирок, булардын баардыгы математикалык жөндөмү бар жана кийин өзүнүн билимин жана ишмердүүлүгүн бул илим менен тыгыз байла-нышта болгондой кылып тандаганы жаткан окуучуларга арналганын белгилеп кетишибиз керек. Ал эми башка сонун жөндөмдүүлүккө ээ, математикалык ой жүгүртүүгө шыгы жок, математикалык класста окубаган, математикалык ийримге барбаган, математиканы татаал жана кызыксыз илим катары сезген окуучуларчы? Алар балдардын басымдуу көпчүлүгүн түзөт. Математика башка илимдердин маӊызын ачууга жардам берет, таанып билүүнүн күчтүү каражаты болуп эсеп-телет жана күнүмдүк турмушта математикасыз жашоо мүмкүн эмес.

Эгер азыр балага математикага шыгы жана математикалык ой жү-гүртүүсү жоктой сезилсе, бул анын предметти окуу процессинде ма-тематика сабактарына кызыгуусу пайда болбойт, математикалык ой


6

жүгүртүүгө үйрөнүүгө шыктуу эмес дегенди билдирбегендигин бел-гилей кетүүбүз зарыл. Ошондуктан жалпы билим берүүчү мектептер үчүн математика окуу китебиндеги материалдын бөлүгү аны баяндоо формасы жана предметти окутуу ыкмасы ушундай окуучуларга ба-гытталган векторго ээ болуусу керек, жок дегенде алардын көбүрөөк болгондугу (көп экендиги) үчүн дагы.

Биздин окуу китебибизде изилдөөчүлүк маселелер жана орто окуган окуучуга чыгаруу кыйын болгон маселелер бар болгондугуна карабастан, негизги материал көпчүлүккө багытталган. Татаалыраак маселелер адатта ар бир параграфтын аягында жайгашкан. Мектепте тема жана тема боюнча маселелер ар бири өзүнчө бөлүмдө каралат.

Демейде, программалык материалды берилген теманын матема-тикалык маселелери боюнча гана өздөштүрүүгө үйрөтүү жүргүзүлөт. Мындан орто окуган окуучуга математика – бул жалаӊ формулалар боюнча эсептөөлөрдү жүргүзүү болуп сезилип, турмушта кереги жок-той туюлат. Ушундан улам анын математикага болгон кызыгуусун жоготуу келип чыгат. А математикадан күчтүү окуучуга маселелерди бир эле ыкма менен чыгара берүү кызыксыз боло баштайт (ал бул теманы тез өздөштүрдү жана маселелерди жеӊил гана чыгарып кой-ду). Жыйынтыгында күчтүү жана математикага жакын окуучунун ага тажатмадай сезилген илимге болгон кызыгуусу жоголот.

Биздин окуу китебибиздин артыкчылыгы болуп бир эле тема ар кандай өңүттөн бир нече жолу каралгандыгы менен өзгөчөлөнөт: баш-ка тема менен, көбүнчө күнүмдүк турмуштан алынган тексттик бол-гон башка маселенин керектөөлөрүнө байланыштуу. Маселелерде балдарга белгилүү адабияттагы, мультфильмдердеги жана кээде турмуштагы чыныгы каармандардын аттары колдонулат. Ушинтип биз балдарды практикалык маселелерди чыгаруу көбүнчө ар кандай материалдардын билимдерин синтездөөнү талап кылаарлыгына үй-рөтүүгө аракет кылдык.

Маселелерди чыгарууда кээде анын чыгарылышынын эки ыкма-сын көрсөтүп жана ал ыкмаларды оптималдуулугу боюнча салышты-руу сунуш кылынат. Бул балдарды маселелерди чыгаруунун опти-малдык жолдорун, аны чыгаруунун максаттарына жараша табууга үйрөтөт. Кээде чыгарылыштын экинчи ыкмасы жооптун тууралыгын текшерүүгө жол ачат. Окуучуну маселени чыгаруунун башка бир ык-масын табууга түртүү анын чыгармачылык ой жүгүртүүсүн өнүктүрөт. Чыгармачылык ой жүгүртүүгө үйрөнүү – ар бир адам үчүн пайдалуу.

Предметти окуп-үйрөнүүнүн ар кайсы деӊгээлдеринде бир эле те-маны кароодо мурда чыгарылган маселеге кайрылып, аны кайрадан чыгарып көрүү пайдалуу. Жаӊы алынган билимдер маселени чыгаруу процессин жөнөкөйлөткөндүгүнө ынануу окуучулар үчүн пайдалуу болот. Бул окуучуларды жаӊы билим алууга түрткү берет.


7

Кээде окуучулар менен чогуу мурда чыгарылган маселелерге окшош, аларды курчап турган жашоодон алынган фактыларды кол-донуп тексттик маселелерди түзүү сунуш кылынат. Бул окуучуларга практикалык ой-жүгүртүүгө жардам берет. Алар практикалык масе-лени математика тилинде, математикалык туюнтмалардын тилинде, практикалык кырдаалдын математикалык модели түрүндө берүүгө үйрөнүшөт, бул оӊой иш эмес. Ошондуктан сабакта мугалим окуучу-га жардам берет.

Окуучуларга тескери маселелерди чыгарууну сунуштоо менен аларды көнүктүрүү (машыктыруу), окуучуларды математикалык туюнт маларды сөз менен, практикалык тилде интерпретациялоого үйрөтүү өтө пайдалуу. Бул аларга математикалык туюнтма түрүн-дө жазылган маселенин практикалык маанисин түшүнүүгө, матема-тикалык модель менен практикалык маселенин ортосундагы дал келүүчүлүктү көрүүгө мүмкүндүк берет.

Жаӊы теманы баштап жатып жана кайсы бир математикалык мый-замды формула же касиет түрүндө берип жатып, окуучуларга бел-гилүү, курчап турган жашоо-турмуштан мыйзам ченемдүүлүктөрдү жана көрсөтмөлүү мисалдарды колдонуп, алар менен чогуу индук-тивдүү ыкма, байкоо жүргүзүү ыкмасы менен ой-жүгүртүү сунуш кылынат. Бул аларга күндөлүк турмушта математиканын керектигин жана анын өнүгүшү практиканын керектөөлөрү менен байланыштуу экендигин түшүнүүгө жардам берет. Математика илиминин өнүгүү тарыхы бул нерсени тастыктай турган, бул кайда мүмкүн болоорун баса белгилөө пайдалуу.

Белгилүү аттар же фактылар эске алынган маселелерди чыгаруу-да алар жөнүндө маалымат берип кетсеӊер – сабак андан да кызык-туу өтөт. Окуучуларга алар жөнүндө кыскача оозеки же жазуу түрүн-дө аӊгеме даярдоого тапшырма берсе болот. Математика предмети окуучуларга кругозорду кеӊейтүүгө түрткү берет: тарых, адабият, ис-кусство, спорт ж. б. фактыларын окуп үйрөнүүгө.

Биз, авторлор китепти класста сабак учурунда да, өз алдынча окуп үйрөнүүдө да колдонууга ыӊгайлуу болгондой кылууга аракет кылдык.

Мындан ары биз кайталоого маселелердин жетишерлик толук талдоосун жана кийинки параграфтардын материалдарына айрым бир кошумча түшүндүрмөлөрдү келтиребиз.

Окуу китеби жана методикалык колдонмо боюнча ой-пикириӊерди, каалоо-тилектериӊерди, кемчиликтер жана каталар боюнча көрсөт-мөлөрдү [email protected] электрондук дарегине жөнөтсөӊөр болот.


8

ПАРАГРАФТАРГА ТҮШҮНДҮРМӨЛӨР

§ 1. Кайталоо үчүн тапшырмалар

Бул параграф эӊ маанилүү параграфтардын бири болуп саналат. 6-класстын окуучулары математикада логикалуу ойлонуп, туура ой жүгүртүүлөрү керектигине дагы бир жолу ынанышы керек. Бул жер-де математика компетенцияларынын арасында эсептөө техникасын билүү негизги болуп саналбайт. Биз окуучуларды математика менен достоштурууга аракет кылууну улантабыз.

Сунушталган маселелердин туура чечимин айтууга шашылбаӊыз. Ошондой эле доскага күчтүү окуучуларды бат-бат чыгарып, маселе-лердин «өтүү» процессин ылдамдатууга аракет жасабаш керек.

Окуучулардын көбү маселелердин туура чечимин өздөрү чыга-рышы керек. Бул жана акыркы параграфты бөлүп окуп-үйрөнсө бо-лот: эӊ оболу биринчи маселелерди карап чыккыла, анан кийинки параграфтарга өткүлө, калган маселелерди өзүӊөр керектүү деп эсептеген убакытта үйгө тапшырма берип, алардын чечимин сабак-тын башында же аягында карасаӊар болот.

Окуучулар туура чечимди көрсөтүүсүн гана көздөбөгөнгө аракет кылыӊыз. Алар суроолорго жооп берип жатып, эмнеге бул жооп-ту тандаганын түшүндүрүүсү маанилүү. Күнүмдүк жашоодо туура чечимдерди кабыл алып коюу гана эмес, эмне себептен так ушул чечимди кабыл алганыӊды айлана-тегерегиӊе түшүндүрө билүү зарыл.

Биз бул параграфтын маанилүүлүгүн эске алып, тапшырмалар-дын чечимдерине толук көрсөтмөлөрдү берүүнү туура көрдүк.

§ 1. Тапшырмалардын чечимине көрсөтмөлөр

І. Кийинки 12 тапшырмдагы ар бир суроого жооптордун бирин бергиле: ООБА, ЖОК же БИЛБЕЙМ.

1. Бир дюймда 2,54 см. 100 см2 16 квадраттык дюймдан кичине деген туурабы?

ЧыгарылышыЧечимдин эӊ жөнөкөй варианты: бир квадраттык дюймда канча

квад раттык сантиметр бар экендигин билүү керек: 2,54 · 2,54 = 6,4516.


9

Андан кийин 16 квадраттык дюймда канча квадраттык сантиметр бар экендигин эсептөө керек: 6,4516 · 16 = 103,2256 см2. Эмесе, туура жооп – ООБА.

2. Чечим туурабы?

Чыгарылышы1) Бир дециметрде 100 миллиметр бар. Деци приставкасы ондук бөлүктү көрсөтүп турат – бул жерде

метрдин ондук бөлүгүнө көрсөтмө. Милли приставкасы миӊинчи бөлүктү көрсөтүп турат – бул жерде метрдин миӊинчи бөлүгүнө көр-сөтмө. Ошондуктан, 100 миллиметр – бул 100 · 0,001 = 0,1 м. Туура жооп – ООБА.

2) Грамм центнерден 10000 эсе аз. Бир центнерде 100 кг. Кило приставкасы базалык ченөө бирди-

гин, бул учурда граммды миӊге кө бөйтүү керектигин көрсөтөт. Бир центнерде 100 · 1 кг = 100 · 1000 г = 100 000 г бар. Ошентип, туура жооп – ЖОК.

Баса, 5-класста биз сандарды 10n түрүндөгү туюнтманын жарда-мы менен жазууну талкууладык эле. Сандарды мындай түрдө жазуу-нун ыӊгайлуулугун бул мисалда көрсөтсө болот. Ошентип, тапшыр-манын шарттарын мындайча жазса болот: Грамм центнерден 104 эсе аз деген ырастоо туурабы?

Чыгарууну көрсөтмөдөн баштайбыз: 1 центнер 102 кгга барабар, 1 кг = 103 г. Ошондуктан бир центнер-

де 102 · 103 г = 105 г бар. Бир эле учурда суроого жооп издеп, дагы бир жолу эрежени көрсөтсө болот: Бирдей негиздүү даражалуу туюнтма-ларды көбөйтүүдө, алардын даража көрсөткүчтөрү кошулат.

3) Сутканын жарымында 720 мүнөт бар. Сутканын жарымында 12 саат, ар бир саатта 60 мүнөт бар. Ошондуктан, сутканын жары-мында 12 · 60 = 720 мүнөт бар.

3. Вася менен Аида арифметика менен алек болууда. Вася 1,236 менен 5,414 сандарын кошуп, анан сумманы ондукка чейин тегерек-төөгө камданууда. Аида болсо, биринчи сандарды ондукка чейин те-геректеп, анан кошоюн деп жатат. Ырастоо туурабы?

1) Баштапкы сандардын суммасы 6,64.

Чыгарылышы1,236 + 5,414 = 6,65 болгондуктан, жооп – ЖОК. 2) Вася менен Аида бирдей жыйынтык алышат.


10

ЧыгарылышыВася тегеректегенден кийин 6,7 санын алат. Аида болсо теге-

ректегенден кийин 1,5 жана 5,4 сандарын алат, кошкондон кийин 1,2 + 5,4 = 6,6, санын алат. Ошондуктан, жооп – ЖОК.

4. Айсулуу 15 сомдук балмуздактын 3 порциясына жана 32 сом 50 тыйындык кефирдин 1 литри үчүн сатуучуга 100 сом берди. Ырастоо туурабы?

1) Сооданын баасы 77 сом 50 тыйын.

Чыгарылышы32 сом 50 тыйындын жана 77 сом 50 тыйындын сандары сом

менен төмөнкүдөй жазылат: 32,5 сом жана 77,5 сом. Ошондуктан, 3 ∙ 15 + 32,5 = 77,5 болгондуктан, жооп – ООБА.

2) Ал 23 сом 50 тыйын кайтарып алат.

Чыгарылышы23 сом 50 тыйындын саны сом менен төмөнкүдөй жазылат:

23,5 сом. Ошондуктан 100 – 77,5 = 22,5 болгондуктан, жооп – ЖОК.

5. Ырастоолор туурабы?1) Каалагандай тик бурчтукту 6 бирдей тик бурчтуу үч бурчтукка

бөлсө болот.

ЧыгарылышыОоба, себеби каалагандай тик бурчтукту үч бирдей тик бурчтукка

бөлсө болот.

Андан кийин бул үч тик бурчтуктун ар бирин диагоналы боюнча бөлүү керек.

2) Периметри 24 см болгон тик бурчтуктун мүмкүн болгон эӊ чоӊ аянты 35 см2ге барабар.


11

Чыгарылышы5-класста мүмкүн болгон эӊ чоӊ аянттуу тик бурчтук – квадрат

деп айтылган эле. Ошондуктан, 24 см периметрлүү квадраттын жагы 24 ꞉ 4 = 6 см болгондуктан, эӊ чоӊ аянты 6 · 6 = 36 см2. Жооп – ЖОК.

6. Жактары 1 м болгон квадратты жактары 1 дм болгон квадратча-ларга бөлүштү, андан кийин лентага чапташты. Ырастоолор туурабы?

1) Лентанын узундугу 100 дм.

ЧыгарылышыДециметр – бул метрдин онунчу бөлүгү. Ошондуктан, ар бир ква-

драттык метрде: 10 · 10 = 100 дм2 бар. Демек, кесилгенден кийин жак-тары 1 дм болгон 100 квадратчалар пайда болот. Жооп – ООБА.

Класста квадратчалардын бөлүкчөлөрүн чаптоо үчүн бирин-бири-не коюу керек деп айта турган абдан майдачыл окуучу болушу мүм-күн. Анда алынган лентанын узундугу кичирээк болуп калат. Мындай ырастоо менен макул болуп, класска бул каршы чыгууну четке ка-гуу үчүн тапшырманын текстин өзгөртүүгө сунуш киргизсе болот деп ойлойбуз.

Мисалы, текстти мындай түзсө болот. Жагы 1 м болгон квадратты жагы 1 дм болгон квадратчаларга бөлүп кесип салышты. Аларды туу-расы 1 дм лентага үзбөй-кошпой чаптоо керек. Узуну 100 дмден кем эмес лента керек деген ырастоо туурабы?

2) Квадратчанын аянты 10 см2.

ЧыгарылышыДециметр – бул он сантиметр. Ошондуктан, бир квадраттык деци-

метрде 10 ∙ 10 = 100 см2. Жооп – ЖОК.

7. Ырастоолор туурабы?1) Кубдун 6 жагы бар. 2) Кубдун 6 чокусу бар. с) Кубдун 16 кыры бар.Бул суроолорго жооп берүүнүн эӊ жакшы ыкмасы – кубду колго алып,

анын тийиштүү элементтеринин санын эсептеп чыгуу деп ойлойбуз. Эгер «куб» деген сөздү «параллелепипед» деген сөзгө алмаштырып койсо, жооптор өзгөрөбү деп окуучулардан сураш керек.

8. Моторлуу кайыктын дарыя агымы боюнча ылдамдыгы 35 км/саат, дарыя агымына каршы – 25 км/саат. Ырастоолор туурабы?

1) Дарыянын агымынын ылдамдыгы 10 км/саат.


12

ЧыгарылышыКайыктын дарыянын агымы боюнча ылдамдыгы моторлуу кайык-

тын өзүнүн ылдамдыгы жана дарыянын агымынын ылдамдыгынын суммасы, ал эми дарыянын агымына каршы ылдамдыгы – алар-дын айырмасы. Ошондуктан, эгер дарыянын агымынын ылдамдыгы 10 км/саатка барабар болсо, анда моторлуу кайыктын агым боюнча 35 км/саат ылдамдыгынан төмөнкү келип чыгат: моторлуу кайыктын өзүнүн ылдамдыгы 35 − 10 = 25 км/саат, ал эми дарыянын агымына каршы: 25 − 10 = 15 км/саат. Ошентип, жооп – ЖОК.

2) Моторлуу кайыктын өзүнүн ылдамдыгы 30 км/саат.ЧыгарылышыЖогоруда айтылгандардан моторлуу кайыктын өзүнүн ылдамдыгы

агым боюнча жана агымга каршы ылдамдыктарынын так ортосунда жатарлыгы келип чыгат. Ошондуктан 30 км/саат деген жооп туура.

9. Дүкөндө дептердин 3 түрү жана дептер тыштын 4 түрү бар. Ырастоо туурабы?

1) Дептердин түрлөрүнүн саны дептер тыштын түрлөрүнүн 75 про-центин түзөт.

ЧыгарылышыЖооп: ООБА, себеби, 4 санынын 1 проценти төмөндөгүгө

барабар:4 ꞉ 100 = 0,04,Ал эми 75 проценти 0,04∙75 = 3кө барабар.2) «Дептер+дептер тыш» топтомун 7 түрдө алса болот.

ЧыгарылышыАр бир дептерди төрт дептер тыштын бирөөнө ороо керек. Ошон-

дуктан бардыгы болуп 12 түрлүү «дептер+дептер тыш» топтому бар.Чыгарылыш бардыгына түшүнүктүү болушу үчүн бардык мүмкүн

болгон варианттарды санап чыгуу керек. Ошентип, А, Б, В үч дептери жана к, л, м, н дептер тыштары бар дейли. Анда төмөнкү варианттар болушу мүмкүн:

Ак, Ал, Ам, Ан;Бк, Бл, Бм, Бн;Вк, Вл, Вм, Вн.

10. Себетте алма, алмурут, шабдалы болуп баардыгы 33 жемиш бар. Алмурут шабдалыдан 2 эсе аз, ал эми алма болсо алмурут ме-нен шабдалынын чогуу санынан үч эсе аз. Ырастоо туурабы?

1) Себетте 6 алмурут бар.


13

ЧыгарылышыЭгерде алмурут 6 болсо, анда шабдалы 12, ал эми алма (6 + 12) − 3 = 15.Баардыгы: 6 + 12 + 15 = 33 жемиш.2) Алманын саны шабдалыга караганда эки жарым эсе көп.

ЧыгарылышыБиз биринчи пунктта алынган сандар туура экенин билебиз.15 ꞉ 12 = 1,25 жана көрүп тургандай жооп – ООБА.

11. Автотурист төрт дөӊгөлөктүү, бир запастуу дөӊгөлөгү бар ав-томобиль менен саякатка чыкты. Жолдо ал дөӊгөлөктөрдү ар бир дөӊгөлөк бирдей аралыкты өтсүн деген эсеп менен алмаштырып жатты. Ырастоолор туурабы?

1) Эгер автомобиль 8000 км басып өтсө, анда ар бир дөӊгөлөк 6000 км басып өттү.

ЧыгарылышыАвтомобиль 8000 км басып өткөндүктөн, анын дөӊгөлөктө-

рү 8000 · 4 = 32000 км басып өтүштү, ал эми ар бир дөӊгөлөк 32000 ꞉ 5 = 6400 км басып өттү. Жооп – ЖОК.

2) Эгерде ар бир дөӊгөлөк 8000 км басып өтсө, анда автомобиль 10000 км басып өттү.

ЧыгарылышыДөӊгөлөктөр: 8000 · 4 = 32000 км, ал эми автомобиль 40 000 ꞉ 4 =

= 10 000 км басып өттү. Жооп – ООБА.

12. Бирдей узундуктагы 15 таякча сүрөттө көрсөтүлгөндөй кошулган.

Эки таякчаны беш бирдей квадрат пайда боло тургандай кылып ордунан жылдырса болобу?


14

ЧыгарылышыОоба, мындай түрдө:

ІІ. Кийинки ар бир тапшырмадан сунуш кылынган жооптордун туурасын тандагыла.

13. Төмөнкү туюнтмалардын кайсынысында жети санын каалаган-дай башка санга алмаштырса жыйынтык өзгөрбөйт?

1) 7 + 7 · 7 − 7; 3) (7 + 7) ꞉ 7 − 7; 5) 7 + 7 + 7 − 7.2) 7 − (7 ꞉ 7 − 7); 4) 7 + (7 ꞉ 7 − 7);

ЧыгарылышыТуюнтмаларды жөнөкөйлөтүп төмөндөгүнү алабыз:1) 7 · 7; 3) 2 − 7; 5) 7 + 7.2) 7 + 7 − 1; 4) 7 ꞉ 7;

Жети санын каалагандай башка санга алмаштырсак жыйынтык 4-пунктта өзгөрбөй тургандыгы түшүнүктүү болду.

14. Саат үстөлдүн үстүндө циферблаты өйдө карап жатат. Мүнөттүн жебеси азыр түштүк-батышты көрсөтүп турат. Канча мүнөттөн кийин ал түштүк-чыгышты көрсөтөт?

1) 30; 2) 45; 3) 15; 4) 20; 5) 10.

ЧыгарылышыЖетинчи тапшырмадагыдай эле бул суроолорго жооп берүү үчүн

эӊ жакшы ыкма: саатты алып, үстөлгө коюп карап көрүү.

15. Сегиз орундуу сандын цифраларынын суммасы 7ге барабар. Бул сандын цифраларынын көбөйтүндүсү канчага барабар?

1) 0; 2) 4; 3) 7; 4) 8; 5) аныктоого мүмкүн эмес.

ЧыгарылышыСан сегиз орундуу болгондуктан, жок дегенде бир цифра нөлгө

барабар болушу керек. Демек, көбөйтүндү нөлгө барабар.


15

16. Үй-бүлөдө беш эркек бар: Иван Сидорович, Сидор Иванович, Сидор Петрович, Пётр Сидорович жана Пётр Петрович. Алардын бирөөсү терезени тиктеп турат, анын атасы уктап жатат, байкеси ки-теп окуп отурат, ал эми балдары сейилдеп келгени кетишти. Терезеге тигилип отурган эркектин аты-жөнү ким?

1) Иван Сидорович; 2) Сидор Иванович; 3) Сидор Петрович;4) Пётр Сидорович; 5) Пётр Петрович.

ЧыгарылышыШартты кунт коюп окуп чыгып, үй-бүлөдө чоӊ атасы, анын эки ба-

ласы жана эки небереси – бир уулунун балдары экенин түшүнөбүз. Ага-инилердин атасынын аты окшош. Ошондуктан, чоӊ ата – Сидор Иванович. Демек, анын уулдары – Иван Сидорович жана Пётр Сидорович. Анда неберелери – Сидор Петрович жана Пётр Петрович. Алар терезени карап отурган Петр Сидоровичтин балдары.

17. Эски маселе. Булак 24 мүнөттө бир челек суу берет. Бир сут-када булак канча челек суу берет?

1) 140; 2) 28; 3) 72; 4) 60; 5) 50.

ЧыгарылышыБир суткада 24 саат бар. Ошондуктан, 24∙60 мүнөт. Көбөйткөнгө

шашылбагыла. Көбөйтүндүнү 24кө бөлүп челектердин санын биле-биз: (24∙60):24 = 60 бочка.

18. Сүрөттөгү белгилер сандарды билдирет (бирдей сан-дар бирдей белгилер менен белгиленген). Жүрөкчө кайсы санды билдирет?

▲ + ◊ = 5; ▲ − ◊ = 5; ◊ + ▼ = 7; ▲ + ▼ = ♥1) 8; 2) 21; 3) 12; 4) 5; 5) 6.

ЧыгарылышыЭгер кунт коюп карасак, берилген биринчи теӊдемелерден ◊ = 0, ал

эми а ▲ = 5 экендиги белгилүү болот. Анда үчүнчү теӊдемеден ▼ = 7 болсо, төртүнчүдөн ♥ = 12 келип чыгат.

19. Эгерде кирпичтин салмагы өзүнүн салмагынын үчтөн бир бөлү-гү менен эки килограммдык гирянын салмагына барабар болсо, анда кирпичтин салмагы канча?

1) 5; 2) 4; 3) 3; 4) 4,5; 5) 6.


16

ЧыгарылышыКирпичтин үчтөн эки бөлүгү 2 кг экендигин түшүнүү кыйын деле

эмес. Демек, кирпичтин салмагы 3 кг.

20. 1-март датасын үч удаалаш так сандар менен жазса болот: 01.03.05. Азыркы кылымда ушундай өзгөчөлүккө ээ болгон (аталган датаны кошуп) баардыгы канча дата бар?

1) 5; 2) 6; 3) 7; 4) 14; 5) 16.

ЧыгарылышыЖоопту керектүү топтомдорду жөн гана саноо менен алган оӊой

болот: 01.03.05; 03.05.07; 05.07.09; 07.09.11; 09.11.13.

21. Федя цифраларынын суммалары дал келген эки үч орундуу санды тандап алды. Чоӊ сандан кичинесин алып салды. Кандай эӊ чоӊ айырманы алса болот?

1) 899; 2) 810; 3) 801; 4) 792; 5) 783.

ЧыгарылышыЭӊ чоӊ үч орундуу сандын жүздүгүндө 9 цифрасы бар экендиги

белгилүү. Эӊ кичине үч орундуу сандын жүздүгүндө 1 цифрасы бар. Ошентип, эки цифра 1 жана 9. Үчүнчү цифра кылып 1, 2, …9, алсак, 792 айырмасын алабыз. Мисалы,

991 − 199 = 792; 951 − 159 = 792; 911 − 119 = 792.Бул изделүүчү жыйынтыктай көрүнөт. Бирок, бул учурда 0 цифра-

сы өзгөчө роль ойнойт: 910 − 109 = 801.

22. Үстөлдө көп баракчалар жатат. Анын ар биринде 4, 21 жана 35 сандарынын бири жазылган. Баардык сандардын суммасы 640 саны-на барабар болуш үчүн баракчалардын кайсы эӊ кичине санын алыш керек?

1) 18; 2) 644; 3) 23; 4) 24; 5) 36.

ЧыгарылышыЭӊ аз сандагы карточкаларды алуу керек болгондуктан 35 саны

менен көбүрөөк карточка алуу керек. Мындай карточкалардын эӊ чоӊ мүмкүн болгон саны төрт, себеби, 640 ꞉ 35 = 18,28... 18 кар-точкалуу вариант 35ке туура келбейт, себеби, 35∙18=630. 35 сан-дуу 18 карточкага 21 сандуу карточканы кошууга болбойт, 640тан ашып кетет, ал эми 4 сандуу карточкалардан 10ду алууга болбойт (640 − 630 = 10)


17

Ошондуктан, кийинки кадамда 35 сандуу 17 карточканы алып көрөбүз, 35 · 17 = 595 болгондуктан, 640 − 595 = 45 болот, эми биз 21 жана 4 сандуу карточкалардын эӊ кичине санын алып, 45 санын топтошубуз керек. Бул үчүн 21 сандуу карточкалардан көбүрөөк ал-ганга аракет кылып, экини алсак болот: 21 · 2 = 42. 45 − 42 = 3 болгон-дуктан, бул вариант жарабайт. А эгер бирди алсак, 21 : 45 − 21 = 24. Ура! Керек болгон сумманы, 4 сандуу 6 карточка менен алабыз. Демек, 17 + 1 + 6 = 24 болот.

Бирок 4 сандуу алты карточка көбүрөөк болуп калгандай.Анда келгиле, 35 сандуу 16 карточканын вариантын карап көрөлү.

Эми 35 · 16 = 560, ал эми 640 − 560 = 80 болгондуктан, биз 21 жана 4 сандуу карточкалардын эӊ кичине санын алып, 80 санын топто-шубуз керек. Бул вариант биринчи варианттан жакшы эместигине ынанабыз.

Кийинки вариантты көрөлү: 35 сандуу 15 карточка. 35 · 15 = 525, ал эми 640 − 525 = 115 болгондуктан, эми биз 21 жана 4 сандуу кар-точкалардын эӊ кичине санын алып, 115 санын топтошубуз керек. Бул вариант дагы биринчиден начар экендигине ынануу кыйын деле эмес.

Кийинки вариант: 35 сандуу 14 карточка. 35 · 14 = 490, ал эми 640 − 490 = 150 болгондуктан, 21 жана 4 сандуу карточкалардын эӊ кичине санын алып, 150 санын топтошубуз керек. Бул вариант дагы биринчиден начар.

Мүмкүн, 24 жооп болот деп токтотуу керектир? Дагы көрөлү. 35 сандуу 13 карточка. 35 · 13 = 455, ал эми

640 − 455 = 185 болот, 21 жана 4 сандуу карточкалардын эӊ кичине санын алып, 185 санын топтошубуз керек. Бул дагы жарабайт.

35 сандуу 12 карточка варианты. 35 · 12 = 420, ал эми 640 − 420 = 220 болгондуктан, 21 жана 4 сандуу карточкалардын эӊ кичине санын алып, 220 санын топтошубуз керек.

Андан ары эсептеп кереги жок, анткени 35 сандуу 11 карточканын суммасы 385 болот, 640 − 385 = 255, ал эми бул сан 13төн кем эмес, 21 сандуу карточка менен топтолот.

Демек, туура жооп 24.

23. Гепард 15 секундда 250 м чуркайт. Ал кандай ылдамдык менен чуркайт?

1) 80 км/саат; 2) 75 км/саат; 3) 60 км/саат; 4) 45 км/саат; 5) 56 км/саат.

ЧыгарылышыБир саатта 3600 секунд. Башкача айтканда 15 секунддан 240 жолу

(3600 ꞉ 15 = 240). Демек, гепард мындай ылдамдык менен бир саат


18

чуркаса 250 · 240 = 60 000 метрди басып өтмөк. Анда, гепарддын ылдамдыгы – 60 км/саат. Гепард жер жүзүндөгү эӊ күлүк жаныбар экендиги жөнүндөгү маалыматты окуучуларга айта кетсе болот. Ал эӊ кыска убакытта ушунча жогорку ылдамдыкты өнүктүрө алат.

24. Эгер эки сандын суммасына алардын айырмасын кошсо, төмөндөгүлөрдү:

1) алардын суммасынын жарымын; 2) бул эки сандын бирөөсүн;3) алардын эки эселенген айырмасын; 4) бул эки сандын бирөө-

сүнүн жарымын;5) бул эки сандын бирөөсүнүн 2ге көбөйтүндүсүн алса болот.

Чыгарылышы(x + y) + (x − y) = x + y + x − y = 2x.

25. Дастан бир санды 201ге көбөйткүсү келип, бирок нөлдү унутуп коюп, 21ге көбөйтүп, 693 санын алды. Ал кандай жыйынтык алыш ке-рек эле?

1) 6963; 2) 2903; 3) 1296; 4) 8823; 5) 6633.

ЧыгарылышыАртка кайрылып: 693 ꞉ 21 = 33 жана издеген жыйынтыкты алабыз:

33 · 201 = 6633.

26. Цифраларынын суммасы алтыга бөлүнгөн бардык сандарды өcүү тартибинде жазып алышат. Бул катардагы коӊшу сандардын эӊ кичине айырмасы эмнеге барабар?

1) 2; 2) 3; 3) 4; 4) 5; 5) 6.

ЧыгарылышыМындай сандарды жазып баштайбыз: 6; 15; 24; 33; 39; 42. УРА!

Биз токтоп, «Ура!» деп кыйкырып жибердик, себеби жооп табылды. Үчкө бөлүнүүчүлүк белгини эстөө керек жана мүмкүн болгон эӊ кичи-не айыр ма 3 экендигин түшүнөбүз.

Мүмкүн алтынчы класстын башында окуучулар бөлүнүүчүлүк белгилерин билбеши мүмкүн. Ошондуктан окуучуларга бул жөнүн-дө айтыш керек. Же бул маселенин чыгарылышын окуучуларды кы-зыктырып коюп, тийиштүү теманы өткөнгө чейин жылдыра турсак болот.

27. а саны b санына караганда эки эсе көбүрөөк. b саны а санына караганда канча процентке азыраак?

1) 100; 2) 200; 3) 40; 4) 50; 5) 60.


19

Чыгарылышыа = 2b болгондуктан, эгер a = 100% болсо, анда b = 50% болот.

28. 20121 санынын цифраларынын ордун алмаштырып алууга боло турган бардык төрт орундуу сандарды өсүү тартибинде жа-зышты. Бул катардагы 2012 санынын коӊшу сандарынын айырмасы эмнеге барабар?

1) 780; 2) 801; 3) 640; 4) 282; 5) 842.

ЧыгарылышыБизди кызыктырган катар: ... 1220; 2012; 2021; ...Ошондуктан: 2021 − 1220 = 801.

29. Футболдук клуб «ПРУХА» беш оюнда үч топ киргизип, өзүнүн дарбазасына төрт топ коё берген. Клуб үч оюнду жеӊип, бир оюнда теӊ чыгып, бир оюнда уттуруп ийди. «Пруха» жеӊилип калган мачтта эсеп кандай болду?

1) 1:2; 2) 0:2; 3) 0:4; 4) 0:3; 5) 4:2.

ЧыгарылышыКлуб үч оюнду утуп үч топ киргизгендиктен, бардык уткан мачттар-

да эсеп 1 : 0 болгон. Демек, теӊ оюндагы эсеп 0:0, утулган матчтагы эсеп 0 : 4 болот.

30. Шоссе бойлой биринин артынан бири A, B, C, D, E, F жана G айылдары жайгашкан. Таблицада бул айыл-дардын ортосундагы кээ бир аймактар көрсөтүл-гөн. Мисалы, Вдан Еге чейин ки аралык 54 кмге барабар болсо, Адан Gга чейинки аралык эмнеге барабар?

1) 112; 2) 132; 3) 150; 4) 36; 5) 143.

ЧыгарылышыБизди А пунктунан чыккан аралык кызыктырат. Таблицада эки

маа ни берилген. Адан Fке чейинки аралык белгилүү. Бирок, Fтен Gга чейинки аралык берилген эмес. Ошол эле учурда Адан Dга

AB

C38 D

54 40 E94 68 F

96 34 G


20

чейинки, Dдан Eге чейинки, Eден Gга чейинки аралыктар белгилүү – бул бизге керек. Демек, жооп: 38 + 40 + 34 = 112.

Биз 5-класс үчүн окуу китебинин аягында келтирилген жана окуу-чуларга жайкы каникулга берилген, көңүл бурууга, логикага жана тапкычтыкка багытталган маселелердин кээ бирин карап көрүүнү сунуш кылабыз.

§ 2. Сан огу. Модуль менен теӊдемелер

Биз бул параграфта, буга чейин киргизилген түшүнүктөрдү кайта-лайбыз, системалаштырабыз жана андан ары өздөштүрөбүз.

Буга чейин бир нече жолу айтылгандай, чекиттер менен сандар-дын ортосундагы бир маанилүү тиешелештиктер, математиканын өнүгүүсүнө абдан чоӊ өбөлгө болгон. Биз 5-класстан эле түз сызык-

тагы ар бир чекитке санды тиешелеш коюуга болоорун жана тескерисин-че, ар бир анык санга түз сызыкта-гы чекит туура келерин билгенбиз. Муну жасаса болот: түз сызык алып, андан ОА кесиндисин белгилөө ке-

рек. Кесиндинин сол четки чекитин 0 менен белгилеп, аны коорди-ната башталмасы деп атайбыз, оӊ четки чекитин 1 цифрасы менен белгилейбиз. А(1) жазуусу А чекитинин координатасы 1 деп окулат. Жыйынтыгында, сан огун алдык. Сан огунун ар бир чекитине сан тие-шелеш коюлат же тескерисинче, ар бир санга, сан огундагы чекит тиешелеш коюлат.

Мисалы, 0 чекитинен эки OA кесиндисине солго жылсак, 2 санын туюнткан B чекитин, беш кесиндиге жылып, 5ти туюнткан, C чекитин алабыз.

Координата башталмасынан солго жылган кесиндилер терс сан-дарды туюнтат. 0 чекитинен солго төрт OA кесиндиге жылып, –4 са-нын билдирген D чекитин алабыз. 2, 5, –4 сандары тиешелүү түрдө B, C, D чекиттеринин координаталары деп аталат. Бул мындайча жа-зылат: B(2), C(5), D(–4).

0− 4

OD

2 5

B C

2-сүрөт

0

O

1

A

1-сүрөт


21

S(2,5) жазуусу, S чекитинин сан огундагы координатасы 2,5 экенин; Т(–7,1) жазуусу – Т чекитинин координаты 7,1 экендигин бил дирет.

Сан огун колдонуу, математиканын көп суроолорун түшүнүүгө жардам берет. Мында сандарды салыштыруу абдан жөнөкөй болуп калат: сан канчалык оӊураак жайгашса, ал ошончолук чоӊураак бо-лот. Беш жарым – үчтөн чоӊ; үчтөн эки – нөлдөн чоӊ; бир – минус бирден чоӊ; минус бир жарым – төрттөн чоӊ; …

Сан огун түзүүгө жардам берген АВ кесиндиси, бирдик вектор деп аталат. Жыйынтыгында, төмөнкү үч көптүктүн ортосундагы бир маа-нилүү тиешелештик келип чыгат: түз сызыктын чекиттеринин көптүгү, анык сандардын көптүгү жана санга көбөйтүлгөн бирдик векторлор-дон векторлордун көптүгү келип чыгат.

Түз сызыкка координаталар киргизилгенден кийин, эки кесилиш-кен түз сызык пайда болот, анын ар бирине башталышы кесилишкен чекитте болгон координата системасын киргизет. Жыйынтыгында, тегиздиктин чекиттери жана иреттелген кош анык сандар ортосун-дагы өз ара бир маанилүү тиешелештик келип чыгат. Андан кийин, бир чекитте кесилишкен жана бир тегиздикте жатпаган үч түз сызык алып, мейкиндиктеги координатаны киргизсек болот. Бул параграфта биз тегиздиктеги эки түз сызыктын өз ара жайланышуусу менен бай-ланышкан кээ бир суроолорду талкуулайбыз. Муну менен, кийинки параграфка тик бурчтуу координата системасынын киргизилишине даярданабыз. Буга чейин айтылгандай, тегиздиктеги координат сис-темасынын киргизилиши үчүн, эки кесилишкен түз сызыкка ээ болуу жетиштүү.

Жыйынтыгында, жантык бурчтуу координата системасы келип чы-гат. Бирок, бири-бирине тик бурч менен кесилишкен түз сызыктар ар-кылуу аныкталган, декарттык деп аталуучу системанын колдонулу-шу кыйла ыӊгайлуу. Биз аны мектептеги математикада колдонобуз. Сабактан же математика ийриминен, окуучуларды Р. Декарттын жа-шоосу жана иштери менен тааныштырып коюу керек.

Эки түз сызыктын өз ара жайланышы тууралуу суроосун талкуу-лоодо, кандайдыр бир убакытты, евклиддин геометриясынын ак-сиомаларына арнап койсо болот. Окуучуларга К. Ф. Гаусс, Г. Риман, Н. И. Лобачевский, Омар Хайам жана анын календары жөнүндө док-ладдарды даярдоону тапшыруу кызыктуу болот.

Координаталарды киргизүү, сандын модулу менен болгон жагдай-ды түшүнүүгө жардам берет. Абсолюттук чоӊдук – бул ошол санды туюнткан, сан огунундагы чекит менен, координата башталмасынын


22

ортосундагы аралык экенин окуучуларга түшүндүрүү керек. Жыйынтыгында, тескери маселенин чыгарылышы түшүнүктүү болот: модулдун берилген маанисинде туюнтманын маанисин аныктоо. Эки чекит координата башталмасынан бирдей алыстыкта жайгашкандык-тан, мындай маселе эки чыгарылышка ээ.

Жыйынтыгында, окуучулар бир нече эрежени түшүнүшү керек.

b – оӊ сан болгон, | x − a | = b модулдуу теӊдеме өзүнө эки теӊдеме камтыйт: x − a ≥ 0 болгон x − a = b жана x − a < 0 болгон− (x − a) = b.

Бул эрежени бекиткенден кийин аны жалпылоо керек:

b – оӊ сан болгон, | f(x) | = b модулдуу теӊдеме өзүнө эки теӊдеме камтыйт: f(x) ≥ 0 болгондо f(x) = b жана f(x) < 0 бол-гондо − f(x) = b.

§ 3. Тегиздиктеги тик бурчтуу координата системасы

5-класстан биз сан огундагы координаталарды киргизгенбиз. Түз сызыктын чекиттери менен сандардын тиешелештигинин колдонулу-шу көптөгөн математикалык көйгөйлөрдү чечүүгө жардам берери белгиленген. Бул параграфта тегиздиктеги чекит менен кош сандар-дын тиешелештигин окуп үйрөнөбүз.

Окуучулар чекиттин координаталары боюнча координат тегизди-гинде аны табуу жана тескерисинче, координат тегиздигиндеги каа-лаган чекиттин координатасын жазуу менен координаталарды эркин табууга үйрөнүшү керек.

Ал үчүн эмне кылуу керек?Мунун бир гана жолу бар – алар машыгуулары керек. Ал эми

машыгуу процесси тажатма болбош үчүн окуучуларды кызыктыра турган элементтерди киргизүү керек.

Мамалак, Винни-Пух, Коёнек, Үкү, эшек Иа-Иа, Кызыл топучан кыз ж. б. белгилүү персонаждар сабакка кызыгууну жогорулатууга жар-дам берет.

Биздин оюбузча, материалды өздөштүрүүнүн эӊ натыйжалуу ык-маларынын бири – тиешелүү темадагы маселелерди түзүү. Албетте,


23

кээде бул оӊой эмес болот. Бирок бул параграфтын материалына тие шелүү эмес. Бул сыяктуу маселелерди ойлоп чыгаруу оңой эле.

3.3-пункттагы маселеге көӊүл бурууну сунуштайбыз.1) Тамгаларынын координаталары:a) (6; − 2) (2; 6) (4; 4) (− 4; 4) (4; 4);b) (− 3; − 2) (4; 4) (2; 6) (6; − 2) (2; 6);c) (3; − 4) (2; 6) (4; 4) (− 4; 4) (3; − 4) (2; 6) (4; 4) (− 3; − 2) (6; − 2) (2; 6).6-сүрөттөгү сөздөрдү окугула;2) a) МАНАС; b) АСТАНА деген сөздөрдү координаталар аркылуу

жазгыла.

1 2 3 4 5 6

654321

–1–2–3–4

–5 –4 –3 –2 –1

Н

Е

А

ТС

КИ

М

0

Л

6-сүрөт

Үй тапшырмага ушул сыяктуу маселе ойлонуп чыгарып келүүнү тапшырууну сунуштайбыз. Бул абдан пайдалуу. Андан сырткары, окуучулар ойлоп чыгарган маселелердин шарттары бул параграфта келтирилген оюн үчүн негиз болушу мүмкүн.

Албетте, Кыргызстан жана Казакстандын картасы менен байла-нышкан маселелер окуучуларга кызыктуу болоруна ишенебиз.

Координаталардын киргизилиши менен байланышкан ыӊгайлуу-лук, көп бурчтуктун аянтын эсептөө боюнча маселелерди чыгарууда даана байкалат.


24

Тиешелүү материал менен таанышып жатып, эӊ сонун фактыны биле алабыз – эгерде чокуларынын координаттары белгилүү болсо, анда каалаган көп бурчтуктун аянтын табыш үчүн жактары коорди-ната окторуна параллель болгон тик бурчтуктун жана тик бурчтуу үч бурчтуктун аянтын эсептегенди билүү жетиштүү. Бул параграфта бе-рилген ыкма татаалыраак маселелерди чыгарууда пайдалуу экенин алдына ала байкасак болот. Бул ыкма белгилүү олимпиадалык масе-лени чыгарууга жардам берет:

Теӊ жактуу үч бурчтуктун чокуларынын баардык координаталары рационалдык сандар боло албастыгын далилдегиле.

ЧыгарылышыЭгерде теӊ жактуу үч бурчтуктун чокуларынын координаталары

рационалдык сандар болсо, анда «чектеш» үч бурчтуктун жана үч «толуктоочу» тик бурчтуу үч бурчтуктардын аянттары рационалдуу сандар болот.

Ошондуктан изилделип жаткан үч бурчтуктун аянты рационалдуу сан болуш керек.

Бирок биз, жактары а болгон теӊ жактуу үч бурчтуктун аянты, а2/4 саны менен тамыр ичинде үч иррационалдуу санынын көбөйтүн-дүсүнө барабар – иррационалдуу сан экендигин билебиз.

Анда, теӊ жактуу үч бурчтуктун чокуларынын баардык координаталары рационалдык сандар болот деген ырастоо туура эмес.

§ 4. Түз пропорционалдуу көз карандылык. Пропорциялар

Теория жактан параграф жөнөкөй. Негизинен y = ax + b сызыктуу теӊдеменин жекече b = 0 учурун кароо. Практикада өтө көп колдонул-гандыктан, параграфтын материалы абдан маанилүү. Себеби у = ах түрдөгү функциялар менен аралык жана убакыт, аралык жана ылдам-дык, аткарылган жумуштун көлөмү жана жумуштун өндүрүмдүүлүгү, тик бурчтуу үч бурчтуктун көлөмү жана бийиктиги ж. б. ортосундагы көз карандылыктар туюнтулат.

Көп учурда ушул сыяктуу көз карандылык аныкталган процентти түзгөн санды аныктоодо пайда болот.

Силердин көӊүлүӊөрдү энергияны сарамжал пайдаланууга үгүт-төөчү 4.4.-пунктундагы маселеге буралы:


25

МаселеМарина жылуулукка кетирген чыгымды, терезелерди кышкыга ка-

рата жылуулоо, 15%ке азайтаарын аныктады. Эгерде жылуулабаган-дагы кете турган чыгым

a) 4250 сом; b) 5408 сом 8 тыйынболсо, анда канча сом үнөмдөлүшү мүмкүн?

ЧыгарылышыБир процент сандын жүздөн бир бөлүгүн билдирерин эстейли.

Ошондуктан, маселени чыгарыш үчүн берилген сандын жүздөн 15 бөлүгүн эсептөө, башкача айтканда берилген санды 0,15ке көбөйтүү керек.

Демек:a) 0,15 · 4250 = 637,5 сом;b) 0,15 · (5408 сом 8 тыйын)=0,15 · 5408,08 = 811, 212 сом.Эсептөө процессин s = 0,15C формуласы менен жалпыласак бо-

лот, мында, s тамгасы менен үнөмдөө чоӊдугу белгиленген, C ме-нен – жылуулабагандагы кете турган чыгым белгиленген.

Ошондой эле параграфта жалпы жана жеке катышты көрсөтө тур-ган материал бар. Окуучулар, пропорция түз пропорциялык көз ка-рандылыктын жекече учуру экендигине ынаныш керек. Эгерде эки өзгөрмөнүн ортосунда у = ах түрүндөгү көз карандылык болсо, анда утин маанилерине туура келген, х өзгөрмөсүнүн каалаган кош маа-нилерин алганда пропорцияны алаарыбызды мисалдар менен ачык көрсөтүү керек.

Мисалы, эгерде у = 3х, анда, х1=–2, x2=4 деп алып у1=–6, у2=12ни

алабыз. − 42 = − 12

6 пропорциясы орун аларын көрсөтүү оор эмес.

Эгерде х3=1,2, x4=4,5 болсо, у3=–3,6, у4=13,5ти алабыз. Мында −

4,51,2

= − 13,53,6

пропорциясы келип чыгат.

Ошондой эле пропорция, түз пропорциялык көз каранды-лыктын болушуна кепилдик бербей тургандыгын мисалдар ме-нен көрсөтүү керек. Футбол клубу жөнүндөгү маселеде бул так чагылдырылат.

Окуучулар муну азырынча билишпейт, бирок силерге төмөнкү геометриялык далилдерди билүү ыӊгайлуу болот: эгерде сызыктуу эмес көз карандылыкты чагылдырган графикти, мисалы параболаны жана координата башталмасынан өткөн жана берилген графикти жок


26

дегенде эки чекитинен кесип өткөн түз сызыкты алсак, анда кеси-лишүү чекиттердин координаталары пропорцияны түзөт.

Пропорциянын болушу сыйкырдуу «көбөйтүлүүчү» таблицалар-дын тилинде ыӊгайлуу текшерилет.

Бул параграфта, ал жөнүндө ачык айтпай туруп, биз алгебралык бөлчөктөр менен иштей баштайбыз.

Төмөнкү теӊдемени чыгаргыла:

14 – 22 21

37

xx + =

ушундай маселелер кийинки класстарда да кеӊири окутулат.

§ 5. Кошулмалар

Бул жардамчы мүнөздөгү параграф. Анын башкы максаты – окуу-чуларды кийинки параграфтын материалын сызыктуу теӊдемелер системасын кабыл алууга даярдоо. Бирок бул параграфка кайдыгер мамиле кылууга болбойт. Окуучулар көптөгөн маселелерди ушул па-раграфта чыгарышат.

Бааны аныктоого маселе99 сом төлөп, Тимур 3 кг картөшкө жана 2,5 кг пияз сатып алды.

Эгерде пияздын баасы 18 сом/кг болсо, анда картөшкөнүн баасы кан-ча болгон?

Аныкталган көлөмдөгү кошулманы түзүүгө маселелер60 сом/кг баадагы кошулманы алыш үчүн, 75 сом/кг баадагы В

чөбүнүн 10 кг уругуна, 50 сом/кг баадагы А чөбүнүн канча килограмм уругун кошуу керек?

Химиялык эритмелерге маселелер45%түү эритмени алыш үчүн, 30%түү 24 литр эритмеге, канча литр

70%түү туздун эритмесин кошуш керек?

Жана башкалар.Каралган маселелердин типтерин айтуу, сабактар аралык байла-

нышты жөнгө салууда материалдын маанилүүлүгүн көрсөтөт.Параграфтын аягында эки өзгөрмөдөн көз каранды болгон сызык-

туу теӊдемелерди талкуулайбыз.Мындай теӊдемелер көп чыгарылышка ээ болоорун көрсөтүш

керек.


27

Жайытта койлор жана каздар оттоп жүрүшөт. Жайытта канча кой бар деген суроого Касым, 126 бут санадым, деп жооп берди. Касымдын жообу канчалык деӊгээлде чын?

Касымдын жообу эч нерсени билдирбеши түшүнүктүү. Маселенин шартына көп чыгарылыш жооп берет. Койдун саны бирден 31ге чейин болушу мүмкүн.

Маселенин текст менен берилген шарттарынын негизинде, жал-гыз гана чыгарылышка ээ болгон, эки өзгөрмөлүү сызыктуу теӊде-мелүү маселелерди көрсөтүү керек.

Катя 16 сомго балмуздак сатып алганы жатат. Эгерде анын 3 сом-дук жана 5 сомдук гана тыйындары болсо, анда ал кантип акча кайта-рып албагандай кылып төлөйт?

Тыйындардын саны бүтүн жана оӊ гана боло алгандыктан, 3x + 5y = 16 теӊдемесинин бардык чыгарылыштарынын ичинен, бе-рилген шартты бирөө гана канааттандырат: 5 сомдук 2 тыйын жана 3 сомдук 2 тыйын.

§ 6. Сызыктуу теӊдемелердин жөнөкөй системалары

Бул параграфта эки өзгөрмөдөн көз каранды болгон, эки сызыктуу теӊдемелердин системалары окутулат. 6-класста окутулуучу систе-малардын мүнөздүү өзгөчөлүктөрү, теӊдемелердин биринде бир, ал эми көп учурларда эки өзгөрмө теӊ «бир» деген коэффициентке ээ экендигинде. Бул факт бир өзгөрмөнү экинчи өзгөрмө аркылуу оӊой туюнтуп алууга жана системаны чыгаруу процессин бир өзгөрмөлүү теӊдемеге алып келүүгө мүмкүнчүлүк берет.

Ошондуктан, биз мындай системаларды жөнөкөй деп атадык.Системаларды 6-класстан окуу эрте эмеспи? Бул боюнча бир-

диктүү ой жок. Биз, эгерде кандайдыр бир ыкмалар, түшүнүк-төр ар кандай жашоодогу кырдаалдарды түшүнүүгө жардам берсе жана жөнөкөйлөтсө, аларды киргизүүгө болот деп эсеп-тейбиз. Ошондой эле Г. Г. Левитастын «Нестандартные задачи по математике в 1-м классе»1 китебинде төмөндөгүдөй маселе кел тирилген:

Машина токтотуучу жайда тиешелеш 4 жана 6 дөӊгөлөктүү 10 жеӊил жана жүк ташуучу автомашина турат. Жалпысынан алардын дөӊгөлөктөрү 46. Машина токтотуучу жайда канча санда, кандай ав-томашиналар токтоп турат?

1 Г. Г. Левитас. Нестандартные задачи по математике в 1 классе. – М.: Илекса, 2002.


28

Параграфтын материалын окуганда, окуучулар, сызыктуу алгеб-ралык теӊдемелер системалары, ар кандай кубулуштарды модел-дештирүүнүн эӊ сонун куралы экендигине ишенишет.

Мындай системаларды колдонгондо, ар кандай кубулуштарды талкууласа болот.

Спорт кубулушуБаскетболдон «Жолборстор» «Арстандарды» 23 упайга утуп

алышты. Оюндан кийин «Арстандардын» машыктыруучусу, эгерде алар эки эсе көп упай алышкан болсо, анда 19 упай утуп ала турган-дыгын айтты. Оюн кандай эсеп менен аяктаган?

СоодаДүкөндө эки түрдүү момпосуй бар, биринчисинин килограммы $20,

экинчисиники – $12 турат. Эгерде 90 кг момпосуй үчүн $1400 алынса, анда ар бир түрүнөн канча килограмм момпосуй сатылган?

ТаттууларТорттун 6 бөлүгү болгон. Бул бөлүктөрдүн кээ бирин төрт бөлүккө,

калгандарын экиге бөлүштү. Жыйынтыгында 22 бөлүк болуп калды. Канча бөлүгү 2ге бөлүнгөн?

Текшерүү ишинин жыйынтыгыТекшерүү иште 30 суроо берилген. Ар бир туура жооп үчүн

2ден балл берилет, ар бир туура эмес үчүн – жарым балл кемити-лет. Магомед баардык суроолорго жооп берди жана 28 балл алды. Магомед канча суроого туура эмес жооп берген?

Геометриялык маселелер1) Тик бурчтуу тактайдын периметри 112 смге барабар, негизи би-

йиктигинен 14 смге чоӊ. Бул тактайдан кесип алууга мүмкүн болгон квадраттын максималдуу аянты канчага барабар?

2) Бир жагы теӊ жактуу беш бурчтуктун, ал эми экинчи жанаша жагы квадраттын жагы менен дал келген тик бурчтуктун периметри 58 ммге барабар. Мында, тик бурчтуктун периметри, квадраттын периметрине караганда 82 ммге чоӊ. Квадраттын аянты канчага барабар?

Окуу китепте сабактар аралык байланышты чагылдырган бир нече маселелерди байкоого болот. Бул төмөнкү типтеги маселелер:


29

«Альфа» жана «Бета» фирмалары 1-жылы 432 млн сом киреше табышкан. 2-жылы «Альфа» фирмасынын кирешеси 25%ке өскөн, «Бета» фирмасынын кирешеси 20%ке азайган, ал эми жалпы ки-реше өзгөргөн эмес. Ар бир фирманын 1-жылдагы кирешеси канча болгон?

Таалайдын 500 кою жана эчкиси бар. Койдун орточо салмагы 38 кг, эчкиники – 32 кг, ал эми бул үйүрдөгү жандыктардын орточо салмагы 37,1 кгга барабар. Таалайдын канча кою жана канча эчкиси бар?

60 литр 41%тик туз эритмесин даярдаш үчүн 44% жана 32% эрит-ме колдонулду. Ар бир эритмеден канча литрден колдонулду?

Биз, ушул сыяктуу маселелер окуу китептерде болушу керек деп эсептейбиз. Бул окуу китеп келечектеги математиктерге гана арнал-ган эмес. Биз келечектеги акындарды дагы сыйлайбыз. Балким алар-дын кээ бирлерине төмөндөгү ыр саптар дем берет жана алар бул маселени чыгарып гана тим болбостон, өзүлөрүнүн математикалык мазмундагы ыр саптарын жазышат. Мисал катары бул, орусча жазыл-ган, математикалык ырды келтирели.

По тропинке вдоль кустовШли 11 хвостов.Сосчитать я также смог,Что шагало 30 ног.Это вместе шли куда-тоПетухи и жеребята.А теперь вопрос таков: Сколько было петухов?И узнать я был бы рад,Сколько было жеребят?

И. Шангина

Жыйынтыгында, белгилүү педагог И. Ф. Шарыгиндин «Факультатив-ный курс по математике»1 китебинен цитата келтирели: «Биз чыга-рылышты түшүндүрүп жатканда, кээ бир жерлерден, кыска айтыш үчүн, так эмес, бирок түшүнүктүү «теӊдемени … га көбөйтөбүз», «эки теӊдемени кошобуз», «эки теӊдемени көбөйтөбүз» ж. б. ушул сыяктуу сөздөр колдонулат. Тиешелүү амалдар теӊдеменин (теӊдемелердин) ар бир бөлүгү (бөлүктөрү) менен жүргүзүлөрү түшүнүктүү жана анын жыйынтыгында жаӊы теӊдеме келип чыгат».

1 И. Ф. Шарыгин. Факультативный курс по математике. – М.: Просвещение, 1989.


30

§ 7. Натуралдык сандарды жазуунун позициялык системасынын касиеттери

Биз натуралдык сандар жөнүндө 5-класстан кеӊири айтып өткөн-бүз. Бирок, бардык математикалык объектилердей эле, натуралдык сандардын касиеттери айтып бүткүс. Аларга кайра-кайра жогорураак деӊгээлде кайрылып турса болот. Бул учурда биздин изилдөөлөрдүн аймагы, теӊдемелер системасын колдонуу менен кыйла кеӊейет.

Мында негизги түшүнүктөрдү эскерте кетүү маанилүү. Окуучу-лар көп учурларда цифраларды так тиешелештире алышпас-тыгы белгилүү. Ошондуктан эсте каларлык мисалдарды келтирүү керек.

Ар бир тамгасына цифра тиешелеш болгон Т•Е•Л•Е•В•И•З•О•Р/(К•И•Н•О) бөлчөгүнүн маанисин тапкыла.

Бир караганда кызыктай маселе жана шарттары жетишсиздей. Бирок, цифралардын бар экендигин даана түшүнүү, маселени оӊой чыгарууга мүмкүндүк берет.

Цифралардын саны он экендиги белгилүү. Бөлчөк дагы он ар түрдүү тамгаларды камтыйт. Демек, тамгалардын бири нөл цифра-сын билдирет. Ал бөлүмүндө тура албайт – нөлгө бөлүүгө болбойт. Анда, нөл алымында турат. Ошондуктан, бөлчөктүн мааниси нөлгө барабар.

Көп учурларда цифралардын элементардык касиеттерине таянуу-га туура келет.

Эгерде эки орундуу санга бирди кошсок, анда келип чыккан сандын цифраларынын суммасы берилген сандын цифраларынын суммасынан 5 эсе аз болот. Бул санды тапкыла.

Кайрадан бир караганда кызыктай маселе. Кошулгандан кийин кандайча 5 эсе аз сан чыгып калат. Бирок, бир 9 + 1 = 10 учурда бир-ди кошкондо цифралардын суммасы азаярын бат эле билсек болот. Андан кийин, 9 менен бүткөн эки орундуу сандарга бирди кошуп, ва-рианттарды карап чыксак болот. Жообу: 19.

Окуучуларга математикалык туюнтмалардын жазылыштарынын ыӊгайлуу формаларын көрсөтүү пайдалуу.

Суммасы 539 болгон жети удаалаш натуралдык сандардын маанилерин тапкыла.

Эгерде жакшы белгилөөлөрдү киргизип алсак, анда чыгарылыш өтө жөнөкөй болот. Бул жерде х менен ортодо турган, төртүнчү сан-дын маанисин белгилеп алуу жакшы болот. Анда жети удаалаш нату-ралдык сандардын суммасы төмөнкүдөй жазылат:

(х – 3) + (х – 2) + (х – 1) + х + (х + 1) + (х + 2) + (х + 3).


31

Суммасы 7х экендиги түшүнүктүү жана 7х = 539 теӊдемесинен х = 77ни алабыз. Мындан, изделүүчү сандар: 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80.

Арифметикалык амалдарды аткаруунун техникасына дагы көӊүл бөлүү керек.

Рамиля черновикке төмөнкү мисалды чыгарды2012 · 2013 · 2014 · 2015 · 2016 · 2019 =

Ал акыркы цифраны көчүрүп жазганы жатканда, Закир бөлмөнү желдетмекчи болуп, терезени ачты. Шамал жазуулары менен барак-ты терезеден ары учуруп кетти. Кандай деп ойлойсуӊар, Равиля эмне кылышы керек: бешинчи кабаттан ылдый чуркашы керекпи же кайра-дан чыгарышы керекпи?

Албетте туура жооп: экөө теӊ эмес. Көбөйтүндүнүн акыркы циф-расы, көбөйтүүчүлөрдүн акыркы цифраларынын көбөйтүндүлөрүнүн акыркы саны экендигин эстөө жетиштүү.

Ошондуктан, көбөйтүүчүлөрдүн акыркы сандарынын арасында 5 жана жуп сандар болгондуктан, жообу – нөл.

§ 8. Сандардын бөлүнүүчүлүгү

Параграф көп себептер менен пайдалуу. Балким, эӊ негизги бол-гон, бөлүнүү шарты, өз иретинде кадимки бөлчөктөр менен иштөөдө маанилүү роль ойногон эӊ кичине жалпы бөлүнүүчү жана эӊ чоӊ жал-пы бөлүүчүнү аныктоодо активдүү колдонулат.

Берилген параграфтын методикалык өзгөчөлүгү, андагы бир нече ырастоолор далилдөөсү менен келтирилгендигинде. Окуучулар бөлүнүү шарттары «асмандан түшпөгөндүгүн», алар кадимки шарт-тарда, ондук позициялык системада, натуралдык сандарды жазуу эрежелеринен келип чыккандыгын көрүшү керек. Мында, биздин оюбузча, алтынчы класстын окуучуларынын баары далилдөөлөрдү жүргүзө алышын үйрөтүүгө аракет кылуунун кереги жок. Аны кантип кылаарын көрүүлөрү жетиштүү. Окуучулар бул касиеттердин кантип колдонулаарын билүү кыйла маанилүү. Биз бир нече жолу айтып өт-көндөй, окуучулар өзүлөрү түзгөн маселелер өтө пайдалуу. Албетте, мындай маселелерге окуучуларды акырындык менен алып келүү керек.

111 саны 3кө бөлүнөрүн далилдегиле.Мындай маселеден кийин, 3кө бөлүнүү жөнүндө сүйлөшкөндөн

кийин, окуучуларга кийинки маселени тапшырууга болот.9га бөлүнгөн эӊ кичине санды жазгыла. Мында, санды жазууда

төмөнкүлөрдү колдонуу керек:


32

а) 1 гана цифрасын; б) 2 гана цифрасын; в) 3 гана цифрасын; г) 1 жана 2 гана цифраларын.

Чыгарылышы9га бөлүнүү касиетинин негизинде – санды түзгөн цифралардын

суммасы 9га бөлүнүшү керек, анда: а) 111111111; б) 222222222; в) 333; г) 1222 жоопторун алабыз2, 5 жана алардын даражалары менен алынган сандардын бөлүнүү

шарттары өзүлөрүнүн мүнөздөрү боюнча бир аз айырмаланат.4кө бөлүнгөн эӊ кичине санды жазгыла. Санды жазууда

төмөнкүлөрдү колдонууга болот: а) 0 жана 2 гана цифраны; б) 0 жана 1 гана цифраны; в) 0, 6 жана 7 гана цифраны; г) 6 гана цифраны.

Чыгарылышы4кө бөлүнүү шартынын негизинде – сандын баштапкы цифрала-

рын сызып салгандан кийин калган акыркы экөө 4кө бөлүнсө, анда: а) 20; б) 100; в) 60; г) 66 4кө бөлүнбөгөндүктөн бул мүмкүн эмес деген жоопту

алабыз.Чыгарылышы сандардын жуптугу менен аныкталган маселелер

көп эле. Маанилүү маселелерди түзүү үчүн бул түшүнүк өтө эле жөнөкөй көрүнүшү мүмкүн. Бирок бул андай эмес.

11, 12, 13, ..., 97, 98 катары берилсин. Эми бул сандардын каалаган жупташынын ордуна алардын суммасын же айырмасын койсок болот. Кийинки кадамда процесс кайталанат. Жыйынтыгында, бул процесс-ти көп жолу кайталап, аягында бир сан алабыз. Кандай гана болбо-сун, ал сан нөлгө барабар болбосун далилдегиле.

ЧыгарылышыЭки жуп сандын суммасы же айырмасы эки так сандардай эле, да-

йыма жуп сан болот. Ушул эле учурда, жуп жана так сандардын сум-масы жана айырмасы так сан болот. Мындан, ар бир кадамдан кийин


33

катардагы так сандардын саны өзгөрбөйт же 2ге азаят. Башкача айт-канда, так сандардын жуптугу өзгөрбөйт. Себеби баштапкы катарда, так сандардын саны так – алар 49, акырында калган сан нөл эмес, так болот.

Бул параграфтын аягында, убакыт болсо, 11ге бөлүнүү шартын ка-рап көрсөк болот же аны математикалык ийриминен карасак болот. Башка учурлардагыдай эле, далилдөө ондук позициялык система-нын касиеттери боюнча түзүлдү.

10, 1000, 1000000... сандарын 10 = 11 − 1; 1000 = 1001 − 1; 100 000 = 100 001 − 1... түрүндө жазууга болорун жана азаюучулар 11ге бөлүнөрүнө ишенүүнү окуучуларга тапшырсак болот.

Ушундай эле, 1, 100, 100000... сандарын 1 = 0 + 1; 100 = 99 + 1; 10 000 = 9999 + 1... түрүндө жазууга болот. Бул учурда, 11ге биринчи кошулуучулар бөлүнөт.

Мындан, эгерде сан оӊдон солго a, b, c, d, e..., цифралары менен жазылса, анда аны төмөнкүчө жазып алсак болот:

a · 1 + b · 10 + c · 100 + d · 1000 + e · 10000 + ... = = a(0 + 1) + b· (11 − 1) + c · (99 + 1) + d · (1001 − 1)+ e · (9999 + 1) +..Кашааларды ачып жана биринчи мүчөлөрүн чогултуп, 11ге бөлүн-

гөн санды алабыз. Бул сандан башка a − b + c − d + e −... туюнтмасы калат.

Жыйынтыгында, a − b + c − d + e − ... саны 11ге бөлүнсө, анда бе-рилген сан дагы 11ге бөлүнөрүн алабыз.

Алынган ырастоолорду кайра түзүп, 11ге бөлүнүү шартын төмөнкү түрдө жазалы:

Эгерде берилген сандын так орунда турган цифраларынын жана жуп орунда турган цифраларынын суммаларынын айырмасы 11ге бөлүнсө, анда ал сан 11ге бөлүнөт.

Мында 0 саны 11ге бөлүнөөрү түшүнүктүү.Бул шартты бекемдөө үчүн бул сыяктуу ар кандай маселелерди

тапшырсак болот:«Оюӊардан» аныктагыла, төмөнкү сандар 11ге бөлүнөбү?а) 202; б) 9031; в) 88067; г) 34567896.

§ 9. Натуралдык сандарды көбөйтүүчүлөргө ажыратуу. Эӊ кичине жалпы бөлүнүүчү (ЭКЖБ)

Бул параграфта кадимки бөлчөктөрдүн үстүнөн жүргүзүлгөн амалдар менен байланышкан материалды өздөштүрүүгө даярдык көрүү иши уланат. Бул материалдын маанилүүлүгү жөнүндө жөнөкөй


34

сандарды окуп үйрөнүү бул сандар теориясы деп аталуучу, матема-тика сабагынын негизги бөлүмдөрүнүн бири болуп саналат.

Алтынчы класстын окуучуларынын материалга болгон кызыгуу-сун жогорулатыш үчүн биз «биргелешкен иш» боюнча маселелерди активдүү колдонуу менен методикалык жаӊылык киргиздик. Мындай маселелерди чыгаруу үчүн жалпы бөлүнүүчүнү колдонуу жетиштүү экендигин белгилей кетиш керек. Эӊ кичинесин табуунун кажети жок. Бирок, табылып калган учурда колдонбой койбош керек – окуучулар-га ЭКЖБнү колдонуу, эсептөөнү жеӊилдетүүгө жардам берерин көр-сөтүү керек.

Окуу китепте маселенин чыгарылышынын таза арифметикалык ыкмасы көрсөтүлгөн. Жогорку класстарда алгебралык жолду ак-тивдүү колдонобуз. Бирок, кээ бир алгебралык элементтер алтынчы класстын окуучулары менен иштөөдө да колдонулушу мүмкүн.

МаселеАсылбек кичинекей тортту жалгыз 50 мүнөттө жей алат, ал эми

Айсулуу менен бирге – 30 мүнөттө жейт.Бул тортту Айсулуу жалгыз канча убакытта жей алат?

Чыгаруух менен бул тортту Айсулуу жалгыз жей турган убакытты бел-

гилеп, 50х убакытта, ылдамдыгын сактап, Асылбек х торт, Айсулуу 50 торт жей ала тургандыгын алабыз. Анда, 50х убакытта Асылбек

жана Айсулуу бирге 50 + х торт жей алышмак. Мындан 5050

xx+ = 30

теӊдемесин алабыз. Бөлүмүнөн кутулуп жана кашааларды ачып,

50х= 1500 + 30х барабардыгын алабыз. Анда x = 201500 = 75 мүнөт.

Бул маселени окуу китепте көрсөтүлгөндөй, икстары жок

«арифметикалык жол» менен чыгарса болот. Анда, бул учурда:

50 · 50 – 3030 = 75 болушу керек.

Маселе

Окуу китепте татаалыраак маселени чыгаруунун «арифметикалык жолу» келтирилген.

Чогуу иштеп, Шайлоо, Аида жана Атыр пловго сабизди 9 мүнөттө туурай алышат. Эгерде бул ишти алардын бири гана аткарса, анда


35

Аида аны 22 мүнөттө аткара алат, ал эми Атыр – 18 мүнөттө. Шайлоо сабизди канча убакытта туурай алат?

Чыгарылышы9; 22 жана 18 сандарынын эӊ кичине жалпы бөлүнүүчүсүн таба-

лы. 9 жана 22 үчүн ЭКЖБ: ЭКЖБ(9;22)=9 · 22=198. 18 жана 198 үчүн ЭКЖБ, баштапкы үч сандары үчүн эӊ кичине жалпы бөлүнүүчүлөрү болот. 198 саны 18ге бөлүнгөндүктөн, ЭКЖБ(198;18) = 198.

Чогуу иштеп, 198 мүнөттө алар бул ишти 198 : 9 = 22 жолу аткара алышат. Бул учурда Аида аны 198 : 22 = 9 жолу аткара алат, Атыр – 198 : 18 = 11 жолу.

Анда, Шайлоо 198 мүнөт ичинде 22 – (9 + 11) = 2 жолу сабиз туу-рай алат. Мындан, ал сабизди бир жолу 198 : 2 = 99 мүнөттө туурай аларын биле алабыз.

Чыгаруунун башка жолун көрсөтөлү. Аида жана Атыр плов үчүн

сабизди 22 · 22 1818+ = 9,9 мүнөттө туурай алышат. х менен Шайлоо

сабиз туурай турган убакытты белгилеп, 9,99,9

xx+ = 9 теӊдемесин

алабыз.Мындан 9,9х = (9,9 + х)9. Кашааларды ачып, 0,9х=9,9 · 9ду алабыз.

Анда х=9,9 · 10=99 мүнөт.

§ 10. Кадимки бөлчөктөрдүн барабардыгы. Эӊ чоӊ жалпы бөлүүчү (ЭЧЖБ)

Буга чейинки параграфта эӊ кичине жалпы бөлүнүүчү жөнүндө сөз богондон кийин, бул параграфта албетте эӊ чоӊ жалпы бөлүүчү жөнүндө сөз болот. Адаттагыдай ЭЧЖБ биринчи иретте кадимки бөлчөктөрү жөнөкөйлөтүүдө колдонулат. Ушул эле учурда, бул па-раграфта дагы кээ бир методикалык жаӊылыктар колдонулат. Биз бир нече жолдорун сунуштайбыз: көрсө, ЭКЖБнү баштапкы сандар ажыроочу жөнөкөй көбөйтүүчүлөрдүн көптүктөрүнүн биригүүсүндөгү элементтердин көбөйтүндүлөрү катары карасак болот экен. Ушул эле учурда кесилишиндеги элементтердин көбөйтүндүсү ЭЧЖБнү берет.

Окулуп жаткан темага кызыгууну жогорулатуу үчүн берилген ка-тышта бөлүү маселелерине көбүрөөк көӊүл бурулган.

Иван 413 саат иштеди, Валентина – 236 саат. Иш акысы үчүн алар 33 миӊ алышты. Эгерде ар бир иштөө сааты бирдей бааланса, анда табылган акыны алар кантип бөлүштүрүп алуулары керек?


36

ЧыгарылышыЭмгек акы 413 ꞉ 236 катышында бөлүнүшү керек. Бул абалды

түшүнүү үчүн катышты жөнөкөйлөтөлү. Айтылгандай, эгерде бөлчөк-тү анын алымы жана бөлүмүнүн ЭЧЖБнө кыскартсак, анда ал жөнөкөйлөйт.

Анда 413 жана 236 үчүн ЭЧЖБнү табалы. 236 саны 4кө бөлүнөрү дароо эле көрүнүп турат. Анда 236 = 4 · 59. 413 саны 4кө бөлүнбөйт. Аны 59га бөлүп көрөлү. 413 = 7 · 59 болгондуктан, биздин жолубуз болду. 4 жана 7 сандары өз ара жөнөкөй болгондуктан, 59тан башка жалпы көбөйтүүчүлөрү жок. Анда: 413/236 = 7/4.

Жыйынтыгында биз, эмгек акыны 7+4=11 барабар бөлүктөргө бөлүш керек экендигин аныктадык жана Иванга 7 бөлүгүн, ал эми Валентинага 4 бөлүгүн бериш керек экендигин аныктадык. 33 ꞉ 11 = 3 болгондуктан, ар бир бөлүккө 3 миӊден туура келерин алабыз. Мындан Иванга 7 · 3 = 21 миӊ, ал эми Валентинага 4 · 3 = 12 миӊ бе-рилиш керек экендиги келип чыгат.

§ 11. Кадимки бөлчөктөрдүн үстүнөн жүргүзүлгөн амалдарПараграфтын аталышы айтып тургандай, сөз кадимки бөлчөк-

төрдүн үстүнөн жүргүзүлгөн арифметикалык амалдар жөнүндө бо-лот. Аны менен бирге, кадимки бөлчөктөрдүн ар кандай түрлөрү ка-ралат: дурус, буруш, аралаш. Ошондой эле биз бир бөлчөктү экинчи бөлчөккө кантип өзгөртүп түзсө болорун талкуулайбыз. Бөлчөктөрдү салыштыруу эрежелери тууралуу да сөз болот.

Мугалимдин алдында оор маселе турат – окуучуларды эсептөөлөр менен өтө жүктөбөй туруп, бөлчөктөр менен иштегенди үйрөтүш ке-рек. Парагарфтын аягында келтирилген маселелерди кыянат кол-донбогула. Биз аларды караганыбыздын эӊ башкы себеби, тилекке каршы, мындай маселелер экзаменде көп кездешет. Эгерде аларды ушул сыяктуу маселелер менен жүктөсөк, анда алардын көбү мате-матика сабагынан алыс болуп, окугулары келбей калат.

Демек, кадимки бөлчөктөрдү эсептөөгө маселелерди көп чы-гаруунун кажети жок экен. Көпчүлүк учурда тегеректөө менен ка-димки бөлчөктөргө өтүү жетиштүү. Ошондуктан, кадимки бөлчөк-төрдүн үстүнөн амалдарды аткаргандан кийин, ондук бөлчөккө келтирилген (тиешелүү түрдө тегеректелген) туюнтманын үстүнөн дагы ушул эле амалдарды жүргүзүүнү жана жоопторун салышты-рууну сунуштайбыз. Андан тышкары, кызыктуу маселелерге көӊүл бөлгүлө.


37

Айбикенин туулган күнүнө анын жети курбусу келди. Биринчи кур-

бу кызына торттун 81 бөлүгү тийди. Экинчисине – калганынын 7

1

бөлүгү, үчүнчүсүнө – экинчиден кийин калганынын 61 бөлүгү жана

ушул сыяктуу уланат. Акыркы бөлүгүн Айбике жетинчи курбу кызы менен теӊ бөлүштү. Кимисине эӊ чоӊ бөлүгү тийген?

Чыгарылышы

Биринчи курбусунан кийин торттун 87 бөлүгү калган. Демек, кал-

ганынын 71 бөлүгү — бул торттун 7

1 · 87 = 8

1 бөлүгү. Ошондуктан,

экинчи курбусунан кийин торттун 6/8 калган. Андан кийин 61 · 8

6 =

81 ж. б. у. с. Аягында Айбике жетинчи курбу кызы менен торттун 2/8 бөлүгүн бөлөт.

1713 бөлчөгү берилген. 3

2 бөлчөгүн алыш үчүн, алымынан жана

бөлүмүнөн канчаны кемитүү керек?Жообун ой жүгүртүп тандоонун жыйынтыгы катары алсак болот.

Эгер 17ден 14тү кемитсек, бөлүмдөгү 3тү алабыз. Анда керектүү алы-

мы чыкпай калат. Бөлүмдөгү 3тү, бөлчөктүн кыскартуусунан да алсак

болот. Анда, 32 – бул 6

4 же 96 же 12

8 же 1510 . 12

8 бөлчөгүн,

1713 түн алымы менен бөлүмүнөн 5 санын кемитүүнүн жыйынтыгында

алууга болоорун көрүүгө болот.Чыгаруунун башка жолу – алгебралык жол. Изделүүчү санды х деп

белгилейли.

Анда 1713

––

xx = 3

2 теӊдемеси орун алат.

Пропорциянын негизги касиетин колдонуп (13 − x)3 = 2(17 − x) теӊ-демесин алабыз.

Кашааларды ачып, андан кийин окшошторун топтоп, 39 − 3x = 34 − 2x; 5 = x экендигин алабыз.11.8-пунктта келтирилген, аралаш бөлчөктөрдүн трактовкасы са-

лыштырмалуу оригиналдуу десек болот.Биз 20 сомго токоч алганы жатабыз.


38

Эгерде бир токоч 4 сом турса, анда биз 420 = 5 токоч ала ала-

быз, эгерде 5 сом турса, анда: 520 = 4 токоч. Эгерде токоч 6 сом тур-

ган болсо, анда биз 3 токоч сатып алып, 2 сом кайрып алабыз. Бул

учур 620 = 3 + 6

2 деп жазылат.

Өз убагында математиктер, мындай учурларда бүтүн оӊ сан ме-нен кадимки бөлчөктүн ортосундагы кошуу белгисинин жазылбашы

тууралуу сүйлөшүп алышкан. Ошондуктан 3 + 62 ордуна 3 6

2 деп

жазышат жана бул туюнтманы аралаш сан деп аташат. Бул учурда 3

саны аралаш сандын бүтүн бөлүгү деп аталат, 62 – бөлчөк бөлүгү.

Аралаш сандын бөлчөк бөлүгү дурус бөлчөк болушу керек.

Мисалы, эгерде токоч 7 сом турса, анда биз 2 токоч ала алабыз

жана 6 сом кайтарып алабыз: 720 = 2 7

6 .

Аралаш сандарды эсептөөдө, биз аларды бирдиктүү туюнтма ка-

тары кабыл алабыз. Мисалы, 5 − 2 173 туюнтмасы 5 − (2 + 17

3 ) де-

генди; 15 · (1 113 ) туюнтмасы 15 · (1 + 11

3 ) дегенди билдирет.

Биздин жолубуздун пайдалуулугун далилдеген дагы бир мисалды карайлы.

8 кошулуучунун ар бирине 2 87 ни кошсо, сумма канчага көбөйдү?

Аралаш бөлчөктү туура интерпретациялоо менен, туура жоопту оӊой эле алсак болот: 8 · 2+7=23.

§ 12. Даражалар. Абсолюттук жана салыштырмалуу каталыкОкуучуларга даража жөнүндө айтып жатып, ыӊгайлуулугуна көӊүл

буруу керек. Себеби 729 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 деп деле жазсак болот, бирок жазуунун мындай формасы ыӊгайсыз, «үчтөрдүн» алты көбөй-түндүсү орун аларын көрүш үчүн кичине күч жумшоо керек.

Эгерде аны 729 = 36 түрүндө жазсак, анда баары дароо эле көрүнүктүү жана түшүнүктүү болот.


39

Даражаны жана анын касиеттерин чебердик менен колдонуу пайдалуу деген ойду окуучуларга жеткирүүгө аракет кылыш керек. Аны кантип жеткирүү керек? Адаттагыдай – тандалган мисалдар-ды ти йиштүү түрдө колдонуп, мисалы, 46656ны 2593кө бөлүүнү тапшыргыла. Андан кийин 6656 = 36 · 26, ал эми 2592 = 34 · 25

экендигин текшерүүнү жана даражанын касиеттерин колдонуп, 46656 ꞉ 2592 = 32 · 2 = 18 экендигин көрүүнү сунуштагыла.

Биз буга чейин белгилеп кеткендей, сыйкырдуу таблицаларды (А1 параграфын карагыла) колдонуу, окуучулардын материалга болгон кызыгуусун бир кыйла жогорулатышы мүмкүн.

Изилдөө тапшырмасын сөзсүз түрдө окуучуларга сунушташ ке-рек, эгерде алар ырастоону дароо түзө алышпаса, анда тапшырманы бир нече ушул сыяктуу сыйкырдуу таблицалар менен толуктап коюу керек.

«Көбөйтүлүүчү» жана «кошулуучу» таблицаларды байланыштыр-ган кызыктуу закон ченемдүүлүк келип чыгат.

Каталар тууралуу сөздү мындай типтеги суроолордон башта-саӊар болот: «Касым, сенин салмагыӊ канча?». Ал кандай жооп берсе дагы, ал туура эмес айтып жатат десек болот. Сиз эмнени айткыӊыз келгендигин билдирсеӊиз болот. Адатта, жооп килограмм менен берилет. Сиз, дагы бир аз санда граммдар калгандыгын айта-сыз. Граммдан кийин миллиграмдар ж. б. жөнүндө айтасыз. Мындай киришүүдөн кийин, каталыкты аныктоо ыкмаларын талкуулап баштоо керек.

Муну менен бирге, маанилүү социалдык көйгөйлөр дагы козголу-шу мүмкүн. Мисалы, пенсиянын жогорулашы – көбүнүн пенсиядагы жакын туугандары бар. Талкуулоого суроо: кайсы жол туура: пенсия-ны 500 сомго жогорулатуубу же 10%кеби?

§ 13. Теӊдемелерди түзүүгө маселелер

Биз «Теӊдемелерди чыгарууга маселелер» темасына кайрылып жатабыз. Бул жөн эле өтүлгөн материалды кайталоо эмес экенди-ги түшүнүктүү. Биз бул жолу кадимки бөлчөктөрдүн колдонулушу менен дагы бир жолу каралып жаткан проблемаларды кеӊейтип жатабыз.

Бул жагдайды түшүнүүгө, окулуп жаткан маселелердин көптүгүн кеӊейтүүгө жардам берет. Мисалы, 5-класста каралган маселенин берилишин алып, кээ бир натуралдык же бүтүн сандардын ордуна кадимки бөлчөктөрдү алсак болот.


40

Мисалы:5-класс 6-класс

Базарбай менен Рысбайдын 1532 кою бар. Эгерде Рысбайдын үйү рү Базарбайдын үйүрүнөн үч эсе аз болсо, анда Базарбайдын канча кою бар?

Балтабай менен Рысмендинин 1532 кою бар. Рысмендинин үйүрү Балтабайдын үйүрүнөн үчтөн экиге аз болсо, анда Бал-табайдын канча кою бар?

Кадимки бөлчөктөр, көптүктүн элементтеринин сандарын аныктоо-го болгон жаӊы маселелерди түзүүгө мүмкүндүк берет.

Класста 32 окуучу бар. Алардын 18и кыздар. Спорт менен машык-кандары 20, ал эми спортсмен эркектердин саны, спорт менен ма-шыкпаган кыздардын санынын төрттөн үч бөлүгүн түзөт. Канча эркек спорт менен машыкпайт?

Чыгарылышых аркылуу спорт менен машыкпаган кыздардын санын белгилеп,

таблица түзөбүз, D – кыздардын көптүгү, G – спорт менен машыккан окуучулардын көптүгү. Анда, D – эркектердин көптүгү, G – спорт ме-нен машыкпагандардын көптүгү 4

3 х.

G GD х 20D

43 x

18 32

Биринчи кадамда 4-жолчо менен 4-мамычаны толтурса болот.

G GD х 20D

43 x 12

18 14 32

Андан кийин, 2-жолчо менен 2-мамычанын кесилишиндеги уячаны 2 жол менен толтурса болот: жолчо жана мамыча боюнча. Жолчо боюнча: 18 – х; мамыча боюнча 20–(3/4)х.


41

G GD 20 − x и 18 − 4

3 x х 20

D43 x 12

18 14 32

Мындан 20 − x = 18 − (3/4)x теӊдемеси орун алат.Анын чыгарылышы х = 8. Анда

G GD 20 − 8 и 18 − 6 8 20D 6 12

18 14 32

Таблицаны толтуруп коюлган суроого жооп алабыз.

G GD 12 8 20D 6 6 12

18 14 32

Бул класста 6 эркек спорт менен машыкпайт.

Бул параграфтын маселелерин карап жатып, биз, сыйкырдуу таблица боюнча маселелерди киргизишпегендигин көрдүк. Окуучуларга ушундай маселелерди түзүүнү сунуштагыла. Бул анчалык деле татаал эмес. Андан дагы алар сыйкырдуу таблицаларнын башкы сырын билишет.

§ 14. Орточо маанилер. Ортоломо. Мода. Медиана

Эгерде, кандай статистикалык коэффициент баарынан көп колдо-нулаарын билүү максатында изилдөө жүргүзсөк, анда дээрлик шек-сиз түрдө, биринчи орунда орточо арифметикалык маани болот. Бул абдан көндүм болуп, көп учурда арифметикалык деген сөз айтылбай, жөн гана орточо маани деп аталып калган. Ошондуктан, бул пара-графта негизги көӊүл ушул чоӊдукка бөлүнгөн. Ушул эле убакытта, «олуттуу» статистикада, орточо маани жөнүндө айтып жатып, ор-точо арифметикалык гана эмес, мода жана медиана деген сыяктуу


42

көрсөткүчтөрдү карашат. Эреже боюнча аларды эсептөө, орточо арифметикалыкка караганда оӊоюраак, бирок, аларга көнүш керек, аларды эсептеп көнүгүү керек.

Орточо арифметикалыкты аныктоодо окуучулар кетирген каталар жөнүндө айтып жатып, дагы бир жолу орточо ылдамдыктын аныкта-масына токтолуп кетиш керек.

Эмесе, орточо ылдамдык – бул бардык жолдун, кеткен убакыт-ка болгон катышы.

Эгерде автоунаа биринчи саатта 64 км/саат ылдамдыкта, экин-чиде – 80 км/саат ылдамдыкта жүргөн болсо, анда анын орточо ыл-дамдыгы – 72 км/саат, себеби, эки саатта ал 64 + 80 = 144 км жолду жүргөн.

Ушул эле учурда, эгерде автоунаа 80 км/саат ылдамдыкта 72 км жүрүсө, ал эми 64 км/саат ылдамдыкта экинчи 72 кмди жүрсө, анда биринчи 72 кмге ал 72/80 = 0,9 саат кетирген. Экинчи 72 кмге ал 72 ꞉ 64=1,125 саат кетирген.

Ошондуктан, бул учурда орточо ылдамдык (72 + 72) ꞉ (0,9 + 1,125) = 71,(1) км/саатка барабар.Ушундай дагы бир маселени карап көрөлү.Биринчи аялдамадан экинчиге чейин автобус 80 км/саат ылдам-

дыкта, экинчиден үчүнчүгө – 50 км/саат, үчүнчүдөн төртүнчүгө – 40 км/саат ылдамдыкта жүргөн. Эгерде аялдамалардын ортосунда-гы аралык бирдей болсо, автобустун кыймылынын орточо ылдамдыгы канча?

ЧыгарылышыЭки аялдаманын ортосундагы аралыкты х деп белгилеп алып, би-

ринчи аялдамадан экинчиге кеткен жолго автобус x ꞉ 80 саат, экин-чиден үчүнчүгө – x ꞉ 50 саат, үчүнчүдөн төртүнчүгө x ꞉ 40 саат ко-ротконун алабыз. Анда, бардык жол x ꞉ 80 + x ꞉ 50 + x ꞉ 40 = 23x ꞉ 400 убакытты алган.

Бул учурда бардык жол 3хка барабар болгондуктан, орточо ыл-дамдык 3x ꞉ (23x ꞉ 400) = 400 · 3x/23x = 52,174 км/саатка барабар.

Талкуулоо процессинде, орточо арифметикалык мааниге гана таян боо керек экендигин окуучулар түшүнүшү керек. Муну менен биз аларды, кулач, дисперсия ж. б. сыяктуу орточо маанилер жөнүндөгү статистикалык берилиштердин чоӊдуктарын өлчөөчү индекстердин киргизилишине даярдайбыз.


43

§ 15. Маалыматтарды уюштуруу

Мурун айтылгандай, мектеп математикасынын жаңы курсунда статистика басымдуу орунду ээлейт. Статистика маалыматтарды чо-гултуудан башталат. Андан кийин аларды иреттеп, уюштуруш керек. Ал үчүн жыштык таблицалар колдонулат. Таблицаларда иреттелген маалыматтар диаграмалар жана полигондордун жардамы менен сүрөттөлөт.

Бул теманын өзгөчүлүгү – анын практикага багытталгандыгын-да. Материалды жакшы өздөштүрүш үчүн изилдөө иштерине басым жасоодо. Алардын мазмундарын оңой эле аныктаса болот. Мисалы, элементтери окучуулардын бойлору болгон көптүктү анализдеп, анын негизинде жыштык таблицаны, диаграмма же полигон түзүү.

МаселеТесттин жыйнтыктарын чагылдырган: 30, 40, 20, 30, 10, 40, 50, 20,

10, 40, 50, 30 жыштык таблица түзгүлө.

ЧыгарылышыБул учурда жыштык кандайдыр баа алган балдардын санын көр-

сөтөт. Мисалы, үч бала 3 алган. Баардык маалыматтар таблицада берилет.

Тесттин жыйнтыктары

10 20 30 40 50

Жыштык 2 2 3 3 2

§ 16. Айлана. Тегерек. СекторБул тема колдонулуштары өтө көп болгондуктан, абдан маанилүү

темалардын бири болуп саналат. Бир жагынан, ал абдан жөнөкөй – баарыбыз тегерек деген эмне экенин билебиз. Экинчи жагынан алып караганда, бул тема татаал – биз иррационалдуу «пи» саны менен окуучуларды тааныштырышыбыз керек. Мүмкүн, математикалык түшүнүктөрдүн өнүгүшүнүн логикасын эске алып, бул теманы жогор-ку класстарда окутуу керек эле. Предмет аралык байланыштарды эске алып, физика, география жана башка сабактардын муктаждык-тарын эске алышыбыз керек.


44

Биздин оюбузча, бул теманы ийгиликтүү өздөштүрүш үчүн, окуу-чулардын кызыгуусун жаратуу маанилүү. Бактыга жараша, теманы изилдөөдө айлана-чөйрөдөн келген көп маселени колдонсо болот. Мисалы, окуучуларга беш сомдук тыйындын айланасын жип менен ченеп, кийин тыйындын диаметрин аныктап туруп, жиптин узундугу-нун диаметрге болгон катышын табууну тапшырыш керек. Бир нече окуучудан жооп алып, ал сандардын ортоломосун таап, ал сан «пи» санына жакын экендигин көрсөтүү пайдалуу.

Андан кийин, беш сомдук тыйынды чакмак баракка коюп, каран-даш менен тегерете чийгиле деп тапшыргыла. Пайда болгон айлана-нын ичине түшкөн клеткалардын санын болжолдоп эсептеп, тегерек-тин аянтын тапса болот. Ал санды формула аркылуу табылган аянт менен салыштырып, кайра эле «пи» санына келсек болот. Секторду жана жааны талкуулап жатканда, окуучуларга пропорция түшүнүгү пайдалуу болорун түшүндүрүү керек. Ошондуктан, сектордун аян-тынын тегеректин аянтына болгон катыш борбордук бурчтун 360°ка болгон катышына барабар экендигин колдонуу пайдалуу. Ошол эле нерсени жаанын узундугу жана айлананын узундугу жөнүндө айтса болот.


45

Ɵз алдынча иштөөгө багытталган материалдар

A1. Сыйкырдуу таблица

Биз сыйкырдуу таблицалар менен иштөөнү улантабыз. Ошондуктан, 5-класста жазылган тийиштүү материалды кайталоо керек. Болбосо кесиптештердин бирөө менен болгон конфуз кайтала-нышы мүмкүн. Окуу китебин рецензиялап жатып, ал таблицадагы сан-дар башаламан жайгашкандыгын жазган эле. Мурда айтылгандай эле сыйкырдуу таблицалар эсептөө көндүмүн өнүктүрүүгө жардам берет. Бирок, андан да маанилүүсү бул параграфтын материалы тереӊ фи-лософиялык ойду камтып турат. Сыйкырдуу таблицаларды түзүүнүн сырларын ачып жатып биз кубулуштардын ортосундагы себептүү-на-тыйжалаш байланыштарын илллюстрациялайбыз. Албетте, жагдай-ды жандандырыш үчүн, ар кандай сыйкырдуу «сим-салабим» сыяк-туу жана башка сөздөрдү айтса болот. Бирок, иштин баары аларда эмес экендигин түшүнүү керек. Бул учурда сыйкырдуу таблицалар-дын маа нисинин өзөгү – бизге биринчи калсстан бери эле белгилүү болгон эрежелерде экендиги аныкталат:

• Орун алмаштыруудан сумма өзгөрбөйт.• Көбөйтүүчүлөрдүн ордун алмаштыруудан көбөйтүндү

өзгөрбөйт.Сырды билүүнү колдонуп, окуучулар каалагандай сыйкырдуу сан-

дар менен сыйкырдуу таблицаларды түзсө болот. Түзүүчү болуп ар кандай сандар колдонулат: натуралдык, бүтүн, ондук бөлчөктөр, ка-димки бөлчөктөр.

Ошондуктан, сыйкырдууу таблица түзгөнгө көбүрөөк убакыт бөлүүнү сунуштайбыз. Андан мурда айтылгандай эле, сыйкырдуу санды аныктоо процесси матрицанын аныктагычынын маанисин эсептеп чыгаруучу алгоритмге дал келет.

Түзүүчүлөрдү колдонуу статистиканын заманбап курстарында кездешкен «эркиндик даражасы» түшүнүгүн өздөштүрүүгө жардам бере тургандыгын белгилеп кетүүбүз керек.

Сыйкырдуу таблицалар тарбия иштерин жүргүзүү үчүн да мүм-күнчүлүктөрдү беришет. Мисалы алтынчы класстын ар бир окуу-чусу Эгемендүүлүк күнүнө карата өзүнүн сыйкырдуу таблицасын түзсө болот. Ошондой эле окуучуларга сыйкырдуу сан катары


46

чоӊ апасынын, чоӊ атасынын, чоӊ энесинин, бабасынын… туул-ган күндөрүн колдонуп таблица түзүү тапшырмасын берүүнү су- нуштайбыз.

A2. Криптография

Бул параграфтын мазмуну мектеп курсундагы математика-нын негизги программасына кирбейт, бирок окуучуларды абдан кызыктырат.

Ал, убакыт калган учурда гана окутулат деп болжолдонот. Мугалимдерге бул материалга убакыт тапкыла деп айткыӊ келет. Бул окуу китеп менен иштеген биздин кээ бир кесиптештер, алар-дын балдарына баарынан криптография жана тапкычтыкка бологон маселелер жакты деп айтышты. Андан сырткары, «Киптография» параграфынан жол алуучу, маалымат сактоо боюнча адистер, азыр-кы учурда эӊ керектелүүчүлөрдүн жана эӊ жогору маяна алуучулар-дын санына кирет деп айтуу ашыктык кылбайт. Окуучулар ар кандай билдирүүлөрдү ырахаттануу менен шифрлеп, бири-бирине сырдуу каттарды жазышат. Аларга тыңчы, жашыруун агент болуп ойноого мүмкүнчүлүк бергиле.

A3. Тактыкка, логикага, изденүүгө багытталган тесттик тапшырмалар

Билимди текшерүүдө, берилген бир нече жооптордун ичинен бирөө гана туура болгон маселелер көп колдонулат. Бул параграфта ушундай 40 маселени сунуштайбыз. Аларды жыл бою дагы, каникул учурунда дагы чыгарса болот.

1) Эсептегиле 140( 41 + 5

1 − 73 ).

a) 5; b) − 1; c) 3; d) 7; e) 4/7; f) 5/28.


Биз бөлүмдөрдө турган сандар 140ты так бөлөөрүн байкасак, жооп өтө оңой табылат:

140( 41 + 5

1 − 73 ) = 140 · 4

1 + 140 · 51 − 140 · 7

3 = 35 + 28 − 60 = 3


47

2) 7

2 9a ba b

==

++

) Анда (a − b) барабар:

a) 12; b) 2; c) 3; d) 13; e) 4; f) 5.


Биринчи теңдемеден aны туюндуруп: a = 7 − b, аны экинчи теңде-меге койсок: 7 − b + 2b = 9 чыгат.

Демек, b = 2, анда a = 5.

3) –

– – 9x y z yx y z

==

+) Анда у барабар:

a) − 2; b) 2; c) − 3; d) 13; e) 4; f) − 5.

ЧыгарылышыБиринчи теңдемеден: x − z = − 2y экинчиден: x − z = 9 + y. Демек, − 2y = 9 + y; андан − 3y = 9. Ошондуктан, y = − 3.

4) 2x − [x + (x + y) − (x − 2y)] туюнтмасы барабар:a) − x + 2y; b) x + 3y; c) x − 3y; d) 2x − y; e) 2x + 3y; f) x − y.

ЧыгарылышыКашааларды ачып, окшош мүчөлөрдү таап, төмөнкү жоопту

алабыз:2x – [x + (x + y) – (x – 2y)] = 2x – [x + x + y – x + 2y] = 2x – [x + 3y] = 2x – x – 3y = x − 3y.

5) Канча эки орундуу натуралдык сандардын цифраларынын сумма-сы бешке барабар?

a) 1; b) 2; c) 3; d) 4; e) 5; f) 6.

ЧыгарылышыЧыгаруунун бир жолу – шартты канааттандырган сандарды тизме-

леп чыгуу: 50; 41; 32; 23; 14.

6) Канча эки орундуу натуралдык сандардын цифраларынын сумма-сын 4кɵ кɵбɵйткɵндɵ ушул санды алабыз?

a) 1; b) 2; c) 3; d) 4; e) 5; f) 6.


48

ЧыгарылышыЭки орундуу сандын ондуктарын х, бирдиктерин у деп белгиле-

сек, 10x + y = 4(x + y) теңдемесин алабыз. Мындан, 6x = 3y. Ошентип, y = 2x – бирдиктеринин саны ондуктардан эки эсе чоң болуш керек экен. Бул шартты канааттандырган эки орундуу сандар: 12; 24; 36; 48. Жооп: 4.

7) Эгерде a, b, c – удаалаш натуралдык сандар болсо, анда, (a − b + 2)(a − c − 1)(c − a) барабар:

a) − 2; b) 2; c) − 3; d) − 6; e) 4; f) − 5.

Чыгарылышыa, b, c – удаалаш натуралдык сандар болгондуктан, b = a + 1;

c = а + 2. Анда (a − b + 2)(a − c − 1)(c − a) == (a − (a + 1) + 2)(a − (а + 2) − 1)((а + 2) − a) = (1)(− 3)(2) = −6.

8) Эгерде х жана у бүтүн сандар жана 3x + 4y = 25 болсо, анда кан-дай ырастоо туура?

I. x – так сан; II. y – жуп сан; III. x · y > 0.a) I гана туура.b) II гана туура.c) III гана туура.

d) I жана II гана туура.e) I жана III гана туура.f) II жана III гана туура.

Чыгарылышых жана у бүтүн болгондуктан 4у жуп сан болот. Ошондуктан 3х + 4у =

= 25 болгондуктан, 3х – так сан, андан х саны да так болот. 4у жуп сан болгондуктан у жуп сан деп айтуу туура эмес. Мисалы,

3 ∙ 7 + 4 ∙ 1 = 25. x · y > 0 шарты, x жана y сандарынын белгилери бирдей экенди-

гин билдирет: х да, у да оң сандар, же х да, у да терс сандар. Бирок бул шарт 3x + 4y = 25 болушуна зарыл эмес. Себеби, х менен утин белгилери карама-каршы болушу мүмкүн.

Мисалы, 3 ∙ 15 + 4 ∙ (– 5) = 25.Ошентип, I гана дайыма орун аларын далилдедик.Демек, биз а) жообун тандашыбыз керек.

9) Эгерде abc + bca + cab = 1776 болсо, анда a, b, c сандарынын суммасы:

a) 16; b) 12; c) 23; d) 14; e) 15; f) 26.


49

Чыгарылышыabc = 100a + 10b + c; bca = 100b + 10c + a; cab = 100c + 10a + b,

болгондуктан,abc + bca + cab = 1776 = 100(a + b + c) + 10(a + b + c) + (a + b + c).Демек, 111(a + b + c) = 1776 болгондуктан, a + b + c = 16.

10) Эгерде ар бир a, b, c, цифрасын колдонуп түзгɵн бардык үч орун-дуу сандардын суммасы 1554 болсо, анда бул цифралардын сумма-сы канчага барабар?

a) 9; b) 8; c) 7; d) 6; e) 5; f) 4.

ЧыгарылышыМындай сандан алтоо бар: abc; acb; bca; bac; cab; cba. Ошондуктан,

abc = 100a + 10b + c деп, калган сандарды да ушул түрдɵ жазсак (мындан мурунку маселени кара), 222(a + b + c) = 1554 келип чыгат. Демек, > a + b + c = 7.

11) 8p/7 сом баада турган товарды арзандатуудан кийин р сомго са-тышты. Арзандатуунун проценти канчага барабар?

a) 16; b) 12,5; c) 23; d) 14,5; e) 15; f) 26,5.

ЧыгарылышыАрзандатуунун кɵлɵмү: 8p/7 − p = p/7 болгондуктан, арзандатуу-

нун проценти: (p/7)/(8p/7) = 1/8 = 0,125 = 12,5%.

12) Бир стакан йогурттун салмагы 250 г. Йогурттун тɵрттɵн бир бɵлү-гүн ичкенден кийин стакандын салмагы 195 г болуп калды. Бош ста-кандын салмагы канча?

a) 26; b) 15; c) 25; d) 45; e) 50; f) 30.

ЧыгарылышыБош стакандын салмагын х, йогурттун салмагын у деп белгилесек

2500,75 195

x yx y

==

++

) алабыз.

Бул системанын чыгарылышы: x = 30, y = 220.

13) Уля 20 лирден 60 футболка сатууну пландап жаткан. 12 футбол-канын кемчилиги бар экендиги аныкталгандан кийин аларды 12 лир-ден сатты. Эгерде, Уля алгач пландап жаткан кирешени алса, калган футболкаларды кандай баада саткан?

a) 26; b) 22,5; c) 23; d) 24,5; e) 25; f) 22.


50

ЧыгарылышыИзделген санды р деп белгилеп, 60 · 20 = (60 − 12)p + 12 · 12. Мындан, 48p = 1200 − 144. Демек, p = 22.

14) Кемчилиги бар сызгыч, ɵлчɵгɵндɵ чыныгы узундуктан 5%ке аз кɵрсɵтɵт. Бул сызгычтын жардамы менен квадраттын аянтын анык-ташты. Келип чыккан жыйынтык чыныгы аянттын чоӊдугунан канча процентке аз?

a) 19; b) 8,25; c) 7,75; d) 9,75; e) 25; f) 10.

ЧыгарылышыКвадраттын аянты a · a болсо, кемчилиги бар сызгычка жараша0,95a · 0,95a = 0,9025a · a болот. Ошондуктан, пайда болгон жы-

йынтык анык аянттан: 1 − 0,9025 = 0,0975 = 9,75%ке кичине.

15) Төрт текчеде тиешелүү иретте 16, 20, 23, 25 китеп бар. Ар бир текчеде бирдей сандагы китеп болгудай кылып, эӊ аз сандагы китеп-тердин ордун кандай которуу керек?

a) 9; b) 8; c) 7; d) 6; e) 5; f) 4.

ЧыгарылышыАр бир текчеде бирдей сандагы китеп болуш үчүн, ар биринде

(16 + 20 + 23 + 25)/4 = 21 китеп болуш керек. Демек, биринчи текчеге дагы 5 китеп, экинчиге – 1 китеп коюш керек. Баардыгы 6 китеп. Ал китептер үчүнчү жана төртүнчү текчелерден алынары түшүнүктүү.

16) Тик бурчтуу чатырдын узундугу 15 м, периметри – 46 м. Эгерде 5 м2, чатырды жапкан кардын салмагы 60 кг болсо, анда чатырдагы кардын жалпы салмагы канча?

a) 1980; b) 1280; c) 1740; d) 1600; e) 1950; f) 1440.

ЧыгарылышыЧатырдын туурасын периметр жана узундук аркылуу табабыз:

46/2 − 15 = 8 м. Мындан чатырдын аянты келип чыгат: 15 · 8 = 120 м2. Ар бир квадраттык метрде: 60/5 = 12 кг кар жаткандыктан, чатырдагы кардын салмагы: 12 · 120 = 1440 кг.

17) 8 жумушчу күнүнө 8 сааттан иштеп, кандайдыр бир жумушту 15 күндө аткарышат. 12 жумушчу ушул эле жумушту күнүнө 5 сааттан иштеп, канча күндө аткара алышат?

a) 19; b) 18; c) 17; d) 16; e) 15; f) 14.


51

ЧыгарылышыИзделген санды t деп белгилеп, 15 · 8 · 8 = 12 · 5 t теңдемесине

келебиз. Мындан, 60 t = 960. Демек, t = 16.

18) 9 таӊгакта 60 сагыз бар. Кээ бир таӊгактарда 5, ал эми башкала-рында 10 сагыз бар экендиги белгилүү. Канча пакетте 10 сагыз бар?

a) 1; b) 2; c) 3; d) 4; e) 5; f) 6.

Чыгарылышы Кичине таӊгактарды x, чоң таӊгактарды у деп белгилесек,

95 10 60x yx y

==

++

) теңдемелердин ситемасына келебиз.

Анын чыгарылышы: x = 6, y = 3.Демек, жооп: үч таӊгакта.

19) Гүлнара 60 койду 15 уйга алмашкандан кийин, анын үйүрүнүн ба-зар баасы 3000 лирге өстү. Эгерде койдун базар баасы 750 лир бол-со, анда уйдун базар баасы канча?

a) 3516; b) 3200; c) 3500; d) 3140; e) 3150; f) 3000.

ЧыгарылышыУйдун баасын k деп белгилеп, 15k − 60 · 750 = 3000 теңдемесине

келебиз. Андан, 15k = 48000; k = 3200.

20) Бак 4 жылда 20%ке өсөт. Эгерде бул бактын бийиктиги 2014-жылы 2,592 м болсо, анда 2002-жылы анын бийиктиги канча болгон?

a) 1,9; b) 1,8; c) 1,7; d) 1,6; e) 1,5; f) 1,4.

Чыгарылышы2002-жылдан 2014-жылга чейин үч 4 жылдык болгон. Ошондуктан,

бактын баштапкы бийиктигин х деп белгилесек, 4 жылдан кийин, анын бийиктиги: х + 0,2х = 1,2х болот;

кийинки 4 жылдан кийин: 1,2х + 0,2(1,2х) = 1,44х;акыркы 4 жылдан кийин: 1,44х + 0,2(1,44х) = 1,728х.Ошентип, 1,728х = 2,592 теңдемесине келебиз. Демек, х = 1,5 м.Туура жооп: Е

21) Эсен 2 кадам жасаган жерден Элиза 3 кадам жасайт. Бир чекит-тен бир багытты көзөдөй 50 кадам жасагандан кийин, алар бири-би-ринен 10 метр аралыкта болуп калышты. Эсендин кадамынын узун-дугу канча?

a) 0,9; b) 0,8; c) 0,7; d) 0,6; e) 0,5; f) 0,4.


52

ЧыгарылышыЭсендин кадамынын узундугун x, Элизаныкын у деп белгилесек,

тɵмɵнкү теңдемелердин ситемасына келебиз: 50 – 50 102 3

x yx y

==

) => – 0,2

2 3x yx y

==

)

Анын чыгарылышы: x = 0,6, y = 0,4. Демек, Эсендин кадамынын узундугу 0,6 метр.

Тɵмɵнкү маалыматты 22–23-суроолорго жооп берүү үчүн кол-донгула. Бул суроолор бири-биринен кɵз карандысыз.

Таблицада бир жумушчуга килем даярдоо боюнча жумуштун төрт бөлүгүнүн ар бирин аткарууга кетүүчү убакыт келтирилген.

Этаптар 1 2 3 4

Убакыт 3 6 8 10

22) Жумуштун биринчи бөлүгүн бир жумушчу аткарды. Андан кийин ага экөө кошулуп, алар жумушту бирге бүтүрүштү. Килем канча күндө жасалып бүткөн?

a) 9; b) 10; c) 11; d) 12; e) 13; f) 14.

ЧыгарылышыЖумуштун 2–4-этабын үч жумушчу аткарган. Ошондуктан ки-

лем: 3 + (6 + 8 + 10)/3 = 11 күндө жасалган.

23) Жумуштун биринчи жана экинчи бөлүгүн үч жумушчу чогуу иштеп аткарышкан. Андан кийин алардын бири иштебей калып, килемди калгандары бүтүрүшкөн. Килем канча күндө бүткөн?

a) 9; b) 10; c) 11; d) 12; e) 13; f) 14.

ЧыгарылышыЖумуштун 1–2-этабын үч жумушчу, 3–4-этабын эки жумушчу аткар-

ган. Ошондуктан килем: (3 + 6)/3 + (8 + 10)/2 = 12 күндө жасалган.


Таблицада математикалык олимпиадага демөөрчү болгон фир-малардын аталыштары жана аларга тиешелүү болгон де мөөрчүлүк


53

жардамдын көлөмдөрү акча түрүндө жана процент менен келтирилген.

Фирмалар «Альфа» «Бета» «Гамма» «Дельта» «Эпсилон» Бардыгы

Жардам $ менен

12000 6000 3000

Жардам % менен

18 22 100

24) «Дельта» фирмасынын акча түрүндө берген демөөрчүлүк жарда-мынын көлөмүн тапкыла.

a) 7900; b) 7700; c) 8110; d) 7612; e) 8230; f) 7400.

ЧыгарылышыДемөөрчүлүк жардамдын жалпы көлөмүн Т деп белгилесек, тɵ-

мɵнкү теңдеме келип чыгат: 12000 + 6000 + 0,18T + 0,22T + 3000 = T. Мындан, 0,4T + 21000 = T. Анын чыгарылышы: T = 35000. Демек, «Дельта» фирмасынын акча түрүндө берген демөөрчүлүк

жардамы: 0,22T = 0,22 · 35000 = 7700.

25) «Эпсилон» фирмасынын процент менен берген демөөрчүлүк жардамынын көлөмүн тапкыла.

a) 9,11; b) 8,77; c) 8,11; d) 7,12; e) 8,57; f) 7,14.

ЧыгарылышыДемөөрчүлүк жардамдын жалпы көлөмү 35000 болгондуктан,

«Эпсилон» фирмасы берген демөөрчүлүк жардам (процент менен): 3000/35000 ≈ 0,0857 = 8,57%.

Тɵмɵнкү маалыматты 26–27-суроолорго жооп берүү үчүн колдонгула.

Фирма жумушка кабыл алууда төмөнкү упайлар менен бааланган төрт критерийге негизделет:

Ийкемдүүлүк Мамилечилдик Демилгечилдик Тажрыйбалуу

18 22 28 32

Мында, катышуучу кабыл алынышы үчүн, ар бир критерий боюнча мүмкүн болгон упайдын жарымынан аз эмес жана суммасы 70тен кем эмес упай алышы керек.


54

26) Оксана жумушка «Тажрыйбалуу» критерийи бонча 28 балл жана «Демилгечилдик» критерийи боюнча 26 упай алып кабыл алынган. Оксана канча упай алышы мүмкүн (минималдык)?

a) 94; b) 77; c) 84; d) 72; e) 78; f) 74.

ЧыгарылышыОксана жумушка кабыл алынган. Демек, ал калган критерий-

лер боюнча жок дегенде мүмкүн болгон упайлардын жарымын ал-ган. Ошондуктан Оксана жок дегенде 18/2 + 22/2 + 28 + 26 = 74 балл алган.

27) Мартин Оксанага караганда көп упай алган, бирок жумушка алын-ган эмес. Мартин канча максималдык упай алган?

a) 79; b) 82; c) 91; d) 90; e) 87; f) 94.

ЧыгарылышыМартин жумушка кабыл алынган эмес. Демек, ал кайсы бир кри-

терий боюнча мүмкүн болгон упай жарымынан аз алган. Мартин алган баллдар максималдуу болуш үчүн, ал эң аз балл берген «Ийкемдүүлүк» критерийи боюнча жарымынан аз – 8 упай, калган критерийлер боюнча максималдуу упай алыш керек. Ошондуктан, Мартиндин упайы 8 + 22 + 28 + 32 = 90 болушу мүмкүн.


Эльдардын сааты 4 мүнөт алдыда, ал эми автобустагы саат 3 мүнөт артта экен.

28) Эльдар автобуска сааты 16 : 45ти көрсөткөндө отуруп, автобуста-гы саат 17 : 19ду көрсөткөндө автобустан түштү. Эльдар автобуста канча убакыт өткөргөн?

a) 29; b) 27; c) 48; d) 41; e) 38; f) 56.

Чыгарылышы Эльдар туура жүргөн саат боюнча автобуска 16:41де отуруп, авто-

бустан саат 17 : 22де түшкөн.Демек, ал автобуста 19 + 22 = 41 мүнөт болгон.

29) Эльдар үйүнөн чыгып, 7 мүнөттөн кийин автобуска отурган. Жарым сааттан кийин, автобустагы саат 11 : 23тү көрсөткөндө ал


55

автобустан түштү. Эльдар өзүнүн сааты боюнча саат канчада үйдөн чыккан?

a) 10:39; b) 10:53; c) 11:03; d) 10:42; e) 10:37; f) 10:49.

ЧыгарылышыЭльдар туура жүргөн саат боюнча үйүнөн: 11 : 26 – 37 мүнөт = 10 : 49та чыккан. Демек, анын сааты үйүнөн

чыкканда 10 : 53 мүнөт болгон.


Таблицада акчаны депозитиндеги үстөк чендер берилген.

АйларҮстөк чени (% менен)

50 000 сомдон төмөн 50 000 сом же андан жогору6 айга 5 69 айга 7 812 айга 9 10

Мисал. 10 000ди 9 айга коюп, 10 000 · 0,07 · (9 / 12) = 525 сом. Финансылык операцияларда жылдык чен көрсөтүлөт; 9\12 бул

жылдык чендин 9 айга туюнтулганы.

30) Элида 6 айда 1200 сом киреше алды. Ал депозитке канча акча салган?

a) 29 000; b) 27 000; c) 48 000; d) 41 500; e) 38 600; f) 56 000.


Изделген санды Р деп белгилеп, ал 50 000 сомдон кичине деп, P · 0,05 · (6/12) = 1200 теңдемесине келебиз.

Андан, P = 48000 сомов.Биз туура жооп С экенине ынандык. Бирок, берилиштер башка бо-

луп калса, келтирилген жооптордун ичинде биз аныктаган сан жок болушу мүмкүн. Андай болсо, үстөк чени 6% болгон учурду карашы-быз керек.

31) Эсентур 9 айга 73500 сом салды. Ушундай эле киреше алыш үчүн, ал 12 айга канча акча салышы керек?

a) 39 000; b) 57 000; c) 48 000; d) 44 100; e) 49 000; f) 50 000.


56


Изделген санды Q деп белгилеп, ал 50 000 сомдон кичине эмес деп, 73 500 · 0,08 · (9/12) = Q · 0,10 · (12/12) теңдемесине келебиз. Андан, Q = 44 100. Бул жыйынтык Q саны 50 000 сомдон кичине эмес деген шартка туура келбейт. Ошондуктан, Q саны 50 000 сомдон ки-чине деп алышыбыз керек. Бул учурда

73500 · 0,07 · (9/12) = Q · 0,09 · (12/12) теңдемесине келебиз. Мындан туура жооп чыгат: Q = 42 875.


Сырдоочу 21

WR = ; 4

3BW = катышында күрөӊ боёк алыш үчүн,

кызыл (R), ак (W) жана кара (B) боёкторду аралаштырды.

32) Сырдоочу күрөӊ боёк алыш үчүн, 2,1 кг кызыл боёк колдонду. Мында канча кара боёк колдонулган?

a) 2,9; b) 2,7; c) 4,8; d) 4,5; e) 8,6; f) 5,6.


Берилген катыштардан, 2,1

21

W = ; 43

BW = чыгат. Биринчи про-

порциядан, W = 2,1 · 2 = 4,2. Табылган маанини экинчи пропорцияга

коюп, 4,2

43

B = колдонулган кара боёктун салмагын аныктайбыз:

В = 4,2 · 4/3 = 5,6.

33) 8,5 кг күрɵӊ боёк алыш үчүн канча ак боёк керектелет?

a) 3; b) 5; c) 4,8; d) 4,5; e) 2,2; f) 2,5.


Керектелген боёктордун салмагын R, W жана B деп белгилеп, R + W + B = 8,5 теңдемесине келебиз.

Берилген катыштарды: 21

WR = ; 4

3BW = башкача жазсак биринчи

пропорциядан W = 2,1 · 2 = 4,2ни алабыз. Табылган маанини экинчи


57

пропорцияга коюп: 4,2/В = 3/4, колдонулган кара боёктун салмагын аныктайбыз: В = 4,2 · 4/3 = 5,6.

Андан, Р = 48000.


Чакмактарда натуралдык сандар жазылган. Мында, белгилен-ген сандар, аларга жакын жайгашкан сандардын кɵбɵйтүндүсүнɵ барабар.

Мисалы,

28

4 7

20 5 35

34) a + b + c суммасын тапкыла:

56

a b

24 c 21

a) 19; b) 27; c) 14; d) 15; e) 18; f) 16.

35) R кандай санга барабар болушу мүмкүн эмес?

360

a b

144 c R

a) 640; b) 600; c) 810; d) 5760; e) 10; f) 6480.


58

36) KS кɵбɵйтүндүсүн тапкыла:.

K

a 6

14 c S

a) 194; b) 274; c) 824; d) 504; e) 186; f) 1176.


Компьютердик программага натуралдык сандар киргизилди жана ал 1 саны пайда болмоюнча иштей берет.

1. Киргизүү

2. N. санын окуу. Эгерде N жуп болсо, анда 31ди аткар, болбосо 32ни аткар.

31. k = N/2 32. Эгерде N жɵнɵкɵй болсо, анда 301ди аткар, болбосо 302ни аткар.

301. k = (N+1)/2 302. k = (3N+1)/2

4. k санын оку. Эгерде K=1 болсо, анда 5ти аткар, болбосо N=k жана 2ни аткар.

5. Бүтүрүү.

Мисалы, эгерде программага 12 саны киргизилсе, анда программа тɵрт цикл аткарып, ишин токтотот: 12=>6=>3=>2=>1. Эгерде програм-мага 18 саны киргизилсе, анда программа жети цикл аткарып, ишин токтотот: 25=>38=>19=>10=>5=>3=>2=>.

37) Эгерде программага 18 саны киргизилсе, анда программанын иш процессинде N саны канчага барабар эмес?

a) 7; b) 14; c) 9; d) 2; e) 3; f) 4.

38) Эгерде программага 41 саны киргизилсе, анда программа Х цикл аткаргандан кийин ишин аяктайт. Х саны канчага барабар?:

a) 3; b) 4; c) 5; d) 6; e) 7; f) 8.


59

39) Программага так сан киргизилди. Экинчи циклде программа Nдин жуп экендигин аныктайт жана жыйынтыгында k = 7 экендиги келип чыгат. Программага кандай сан киргизилген?

a) 9; b) 11; c) 13; d) 15; e) 17; f) 19.

40) Чокуларынын координаттары A(–1; 0), B( 0; 3), C(2; 4), D(0; 0), E(2; –4), F(0; –3) болгон АВСDЕF кɵп бурчтуктун аянтын аныктагыла.

a) 11; b) 10; c) 9; d) 8; e) 7; f) 6.

А3 жооптору

1) с; 2) с; 3) с; 4) с; 5) е; 6) с; 7) d; 8) a; 9) a;10) c; 11) b; 12) f; 13) f; 14) d; 15) d; 16) f; 17) d; 18) c;19) b; 20) e; 21) d; 22) c; 23) d; 24) b; 25) e; 26) f; 27) d;28) d; 29) b; 30) c; 31) e; 32) f; 33) a; 34) e; 35) b; 36) d;37) e; 38) e; 39) a; 40) c/


60

ТИРКЕМЕЛЕР

Болжолдуу календардык-тематикалык план (жумасына 4 саат, жылына 136 саат)

Сабактын № Окуу материалдын мазмуну

Теманы окутуунун жана текшерүү

иштерин өткөрүүнүн болжолдуу мөөнөттөрү

I чейрекжумасына 4 саат, чейректе 32 саат

1–4 § 1. Кайталоо үчүн маселелер 4.09 – 9.09

5–12 § 2. Сан огу. Модуль менен теӊдемелер 11.09 – 20.09

13 Текшерүү иши 22.09

14–20 § 3. Тегиздиктеги тик бурчтуу координата системасы

25.09 – 7.10

21 № 1 сынак иш 9.10

22–27 § 4. Түз пропорционалдуу көз карандылык. Пропорция

10.10 – 19.10

28–32 § 5. Аралаштар 20.10 – 28.10

II чейрекжумасына 4 саат, чейректе 32 саат

33–40 § 6. Сызыктуу теӊдемелердин жөнөкөй системалары

8.11 – 18.11

41 № 2 сынак иш 20.11

42–47 § 7. Натуралдык сандарды жазуунун орундук системасынын касиеттери

21.11 – 30.11

48–55 § 8. Сандын бөлүнүүчүлүгү 1.12 – 14.12

56 № 3 сынак иш 15.12


61

Сабактын № Окуу материалдын мазмуну

Теманы окутуунун жана текшерүү

иштерин өткөрүүнүн болжолдуу мөөнөттөрү

57–64 § 9. Натуралдык сандарды көптүктөргө ажыратуу. Эӊ кичине жалпы бөлүнүүчү

18.12 – 30.12

III чейрекжумасына 4 саат, чейректе 40 саат

65–72 § 10. Кадимки бөлчөктөрдүн барабардыгы. Эӊ кичине жалпы бөлүүчү

11.01 – 24.01

73 № 4 сынак иш 25.01

74–87 § 11. Кадимки бөлчөктөрдүн үстүнөн жүргүзүлгөн амалдар

27.01 – 19.02

88 № 5 сынак иш 21.02

89–93 § 12. Даражалар. Абсолютттук жана салыштырмалуу катачылык

22.02 – 1.03

94–103 § 13. Теӊдемелерди түзүүгө маселелер 2.03 – 19.03

104 № 6 сынак иш 20.03

IV чейрекжумасына 4 саат, чейректе 32 саат

105–116 § 14. Орточо маанилер: Ортоломо. Мода. Медиана

2.04 – 21.04

117 № 7 сынак иш 23.04 – 11.04

118–125 § 15. Маалыматтарды уюштуруу 25.04 – 7.05

126–129 § 16. Айлана. Тегерек. Сектор 9.05 – 14.05

130 № 8 сынак иш 16.05

131–134 Ɵз алдынча иштөө үчүн материалдар 18.05 – 23.05

135–136 Жыйынтыктоочу сынак иш 25.05


62

Курстун мазмуну. Компетенциялар

Материалдын мазмуну

Компетенциялар

§ 1. Кайталоо үчүн тапшырмалар

Билиш керек:– ар кандай орундуктагы сандарды кошконду жана кемиткенди;– оӊой эсептерди чыгарганды;– натуралдык, бүтүн, бөлчөк сандарды көбөйткөндү жана бөлгөндү.Аянт жана көлөм түшүнүгүнө ээ болуу.Ар кандай өлчөм бирдиктерин билүү.

§ 2. Сан огу. Модуль менен теӊдеме

– Сан огу, координата түз сызыгы, түз сызыктагы че-киттин координаты, оӊ сан, терс сан, карама-кар-шы сандар, бүтүн сан жана модуль терминдерин туура колдонуу.

– Оӊ жана терс сандардын айлана-чөйрөдө колдо-нулушун мисалдарды келтирүү.

– Модуль менен теӊдемелерди чыгаруунун эреже-лерин тургузуу.

§ 3. Тегиздиктеги тик бурчтуу координата системасы

– Перпендикулярдуу түз сызыктар, параллелдүү түз сызыктар, координаттык тегиздик, абсцисса огу, координата огу терминдерин туура колдонуу.

– Кандай түз сызыктар перпендикулярдуу жана кан-дай түз сызыктар параллелдүү экендигин түшүн-дүрүү, алардын касиеттерин түзүү.

– Чийүүчү куралдардын жардамы менен перпен-дикулярдуу жана параллелдүү түз сызыктарды чийүү.

– Берилген координаттар боюнча координата тегиз-дигинде чекит жана фигураларды чийүү, чекит-тердин координаттарын аныктоо.

§ 4. Түз пропорционалдуу көз карандылык. Пропорциялар

– Сандардын катышы, чоӊдуктардын катышы, про-порция, туура пропорциянын негизги касиеттери, түз пропорциялуу чоӊдуктар, масштаб терминде-рин туура колдонуу.

– Маселени чыгарууда катыштар жана пропорция-лар түшүнүктөрүн колдонуу. Катыштарды практи-када колдонууга мисалдарды келтирүү.

– Практикалык маселелерди чыгарууда масштаб түшүнүгүн туура колдонуу.


63



– Пропорция түзүү менен проценттер жана бөлчөк-төргө маселелерди чыгаруу.

§ 5. Кошулма – Кошулма, эритинди терминдерин туура колдонуу.– Күнүмдүк турмуштан мисал келтирүү.– Кошулмага болгон мисалдарды чыгарууда ка-тыштар жана пропорциялар түшүнүктөрүн туура колдонуу.

– Кошулмага болгон мисалдарды теӊдемелердин жардамы менен чыгаруу.

§ 6. Сызыктуу теӊдемелердин жөнөкөй системалары.

Өздөштүрүү:– эки белгисиз сызыктуу теӊдеме түшүнүгүн;– теӊдемелер системасы түшүнүгүн;– коэффициент, кашааларды ачуу, окшош кошулуу-чулар, окшош кошулуучуларды келтирүү, сызык-туу теӊдеме, ордуна коюуну;

– бир белгисизди, экинчиси аркылуу туюнтканды билүүнү;

– эки белгисиз жөнөкөй теӊдемелер системасын чы-гаруу, ордуна коюу ыкмасын;

– маселелерди, теӊдемелер системасын колдонуп чыгарууну.

§ 7. Натуралдык сандарды жазуунун орундук системасынын касиеттери.

– Натуралдык катардын касиеттерин талдоо.– Цифра, сан терминдерин туура колдонуу. На-туралдык сандардын класс жана разряддарын атоо.

– Натуралдык сандарды окуганды жана жазганды билүү, алардын маанисин аныктоо.

– Натуралдык сандарды иретөө жана салыштыруу. – Көп орундуу сандарды жалпы түрдө тамгалардын жардамы менен жазуу.

§ 8. Сандардын бөлүнүүчүлүгү.

– Бөлүнүүчүлүктү жана эселикти, жөнөкөй жана курама сандарды, бөлүнүүчүлүктүн касиеттерин аныктоо.

– Натуралдык сандарды классификациялоо, так жана жуп сандар.

– Бөлгүч, эселүү, жөнөкөй сан, курама сан, так сан, жуп сан, бири-бирине жөнөкөй сандар терминде-рин туура колдонуу.


64



– Сандардын 2, 5, 10, 3, 9, 4 жана 25 сандарына бөлүнүүнүн шарттары.

§ 9. Натуралдык сандарды көбөйтүүчүлөргө ажыратуу. ЭКЖБ

– Жөнөкөй жана курама сандардын аныктамаларын түзгүлө.

– «Эратосфендин калбыры» ыкмасын колдонуп, натуралдык сан катарынан жөнөкөй сандарды тандоо.

– Жалпы бөлүнүүчү, эӊ кичине жалпы бөлүнүүчү терминдерин туура колдонуу.

– Эӊ кичине жалпы бөлүнүүчүнү колдонуп, маселе-лерди чыгаруу

§ 10. Кадимки бөлчөктөрдүн барабардыгы. Эӊ чоӊ жалпы бөлүүчү (ЭЧЖБ)

– Кадимки бөлчөктүн негизги касиеттерин түзүү.– Кадимки бөлчөктөрдү салыштыруу үчүн, пропор-циянын негизги касиетин колдонуу.

– Эӊ кичине жалпы бөлүнүүчү жана эӊ чоӊ жалпы бөлүүчүлөрдү табуунун эрежелерин түзүү.

– Жөнөкөй көбөйтүндүлөрдүн көптүгү, көптүктөрдү бириктирүү, көптүктөрдүн кесилиши терминдерин туура колдонуу.

– Эӊ кичине жалпы бөлүнүүчүнү табыш үчүн жөнөкөй көбөйтүндүлөр көптүктөрүнүн биригүүсүн колдон-гонду билүү.

– Эӊ чоӊ жалпы бөлүүчүнү табыш үчүн жөнөкөй сан-дар көптүктөрүнүн кесилишин колдонгонду билүү.

– Кыскаруучу жана кыскарбоочу бөлчөктүн аныкта-масын түзүү.

– Кадимки бөлчөктөрдү кыскартуу.

§ 11. Кадимки бөлчөктөрдүн үстүнөн жүргүзүлгөн амалдар

– Кадимки бөлчөктөрдү жазууну билүү.– Аралаш сандын туура жана туура эмес бөлчөк-төрүнүн аныктамасын түзүүнү билүү.

– Кадимки бөлчөктөрдү көбөйтүү жана бөлүүнү билүү.

– Кадимки бөлчөктөрдү алымы же бөлүмү боюнча салыштырууну билүү.

– Бирдей жана ар түрдүү бөлүмдүү кадимки бөлчөк-төрдү көбөйтүү жана бөлүүнү билүү.

– Аралаш санды туура эмес бөлчөккө жана туура эмес бөлчөктү аралаш санга которгонду билүү.

– Жалпы бөлүмдү табуу үчүн ЭЧЖБны колдонуу.– Бөлчөктүү туюнтмаларды эсептөө.


65



§ 12. Даражалар. Абсолюттук жана салыштырмалуу катачылык

– Даража, негизи, даража көрсөткүч, даражага көтөрүү, каталык, абсолюттук жана салыштырма-луу каталык терминдерин туура колдонуу.

– Даражанын аныктамасын түзүү.– Бирдей негиздеги даражалуу туюнтмаларды көбөйтүү жана бөлүү эрежелерин түзүү.

– Ар кандай негиздеги жана бирдей даражадагы даражалуу туюнтмаларды көбөйтүү эрежелерин түзүү.

– Катачылык түшүнүгү.– Абсолюттук жана салыштырмалуу катачылыктар-ды табуу эрежелерин колдонуу жана түзүү.

§ 13. Теӊдемелерди түзүүгө маселелер

– Коэффициент, кашааларды ачуу, окшош кошулма-лар, теӊдеменин тамыры, сызыктуу теӊдеме тер-миндерин туура колдонуу.

– Теӊдемелердин жазылышын грамматикалык жак-тан туура окуу.

– Теӊдемелердин тамырларын табуу.– Кадимки бөлчөктүү теӊдемелерди чыгаруу.– Кошулуучуну теӊдеменин бир жагынан экинчи жагына которуу менен, нөлгө барабар эмес сан-га теӊдеменин эки жагын теӊ көбөйтүү же бөлүү жолу менен аны чыгаруу.

– Тексттүү маселелерди бөлчөктүү теӊдемелердин жардамы менен чыгаруу.

§ 14. Орточо маанилер. Ортоломо. Мода. Медиана

– Орточо арифметикалыктын аныктамасын түзүү жана анын белгилениши.

– Формуланы колдонуп, орточо арифметикалыкты эсептөө.

– Орточо арифметикалык боюнча сандардын сум-масын табуу.

– Орточо арифметикалыкты табууга маселе чыга-рууну билүү.

– Медиананын, сан катарынын модасынын анык-тамасын түзүү, алардын белгиленишинин бел-гилөөлөрүн түзүү.

– Сан катарынын мүчөлөрүнүн так же жуп саны ме-нен медиананы табуу.

– Сан катарынын модасын табуу.– Таблицаларды түзүү.


66



§15. Маалыматтарды уюштуруу

– Берилиштерди уюштуруу жолдорун билүү.– Тегерек жана мамыча диаграммаларды түзүүнү билүү.

– Таблицаларды колдонгонду билүү.

§ 16. Айлана, тегерек, сектор

– Айлана, тегерек, сектор, радиус, диаметр, борбор-дук бурч, жаа терминдерин туура колдонуу.

Билиш керек:– айлананын узундугун, тегеректин аянтын, сектор-дун аянтын, радиустун узундугун, диаметрдин узундугун, жаанын узундугун эсептөөнү.

А1. Сыйкырдуу таблица

– Кошуу, кемитүү, көбөйтүү жана бөлүү эрежелерин билүү.– Теӊдемелерди түзгөндү билүү.– Чыгармачылык элестетүүнү, тапкычтыкты колдонуу.

А2. Криптография – Шифр жана шифрленген билдирүү деген эмне эке-нин түшүнүү.

– Маселенин текстин анализдөө жана маанисин түшүнүү.

– Керектүү маалыматты алуу.– Схемаларды жана сүрөттөрдү колдонгонду билүү, ой жүгүртүү логикалык иретин түзүү.


67

Текшерүү иштер

№ 1 текшерүү иши

1-вариант1. А(7; 3) жана В(–3; 3) чекиттери аныктаган кесиндинин узундугун

тапкыла.2. Эсептегиле:

a) | 2,1 – 18,5 | =b) | − 13,5 + 74 | =

3. Теӊдемени чыгаргыла:| x – 5,12 | = 2,01

4. М(5; 6) чекитинен сан огунда 3,1 аралыкта жаткан чекиттин коор-динатын тапкыла.

5. Ортосундагы аралык 208 км болгон эки шаардан эки велосипе-дист чыкты. Бири-бирин көздөй жүрүп, алар 8 сааттан кийин жолу-гушту. Биринин ылдамдыгы 14 км/саат болсо, экинчисиники канча болгон?

2-вариант1. А(–4; 9) жана В(7; 3) чекиттери аныктаган кесиндинин узундугун

тапкыла. А (− 4; 9) и В (7; 3)

2. Эсептегиле. a) | 50,1 – 87 | =b) | − 1,15 + 7,4 | =

3. Теӊдемени чыгаргыла.| x + 2,37 | = 2,21

4. М(6; 3) чекитинен сан огунда 3,1 аралыкта жаткан чекиттин коор динатын тапкыла.

5. Ортосундагы аралык 140 км болгон эки шаардан эки автомо-биль чыкты. Бири-бирин көздөй жүрүп, алар 8 сааттан кийин жолугушкан. Алар жолугушкандан кийин эки саат өттү. Алардын ортосундагы аралык канчага барабар?


68


1-вариант1. Катыштар пропорцияны түзөбү?

a) 18 : 2 жана 54 : 6b) 4,5 :1,5 жана 1,26 ꞉ 0,42

2. Теӊдемени чыгаргыла.

42x+ = 5

7

3. Токарь 4 саатта 34 тетик жасады. Ушундай эле өндүрүмдүүлүк менен 14 саат иштеп, ал канча тетик жасай алат?

4. Теӊдемелердин системасын чыгаргыла.

42 – 2x yx y+ =

=)

5. Торчодо тооктор жана козулар бар. Алардын 19 башы жана 62 буту бар. Торчодо канча тоок жана канча козу бар?

2-вариант1. Катыштар пропорцияны түзөбү?

a) 15 : 3 жана 35 : 7b) 1,3 : 0,7 жана 39 : 21

2. Теӊдемени чыгаргыла.

1 518

x+ = 34

3. Трактор 9 саатта 7 га жер айдай алат. Ушундай эле өн-дүрүмдүүлүк менен иштеп, ал канча саатта 35 га жер айдайт?

4. Теӊдемелердин системасын чыгаргыла.

– 13 2

x yx y

=+ =

)

5. Сазда каздар жана козулар оттоп жүрөт. Алардын 33 башы жана 91 буту бар. Сазда канча каз жана канча козу оттоп жүрөт?


69


1-вариант1. Эсептегиле.

217 · 35 − 215 · 36 =2. Сандарды жөнөкөй көбөйтүүчүлөргө ажыраткыла.

a) 216b) 65

3. Теӊдемени чыгаргыла.(4,9 − x) ꞉ 1,2 = 3

4. x санынын кайсы маанилеринде 52x4 саны а) 4кө; б) 3кө бөлүнөт?

5. x санынын кайсы маанилеринде 37x871 саны а) 3кө; б) 9ка бөлүнөт?


321 · 82 − 32 · 17 =2. Сандарды жөнөкөй көбөйтүүчүлөргө ажыраткыла.

a) 162b) 99

3. Теӊдемени чыгаргыла.3,8 · (x – 0,2) = 2,28

4. x санынын кайсы маанилеринде 337x саны а) 4кө; б) 25ке бөлүнөт?

5. x санынын кайсы маанилеринде 2x8472 саны а) 3кө; б) 9ка бөлүнөт?


70


1-вариант1. 2139 санын жөнөкөй көбөйтүүчүлөргө ажыраткыла. 2. Эратосфендин элегин колдонуп, 38тен кичине жөнөкөй сандар-

дын баарын жазгыла. 3. 72 жана 99 сандарынын ЭКЖБсын тапкыла. 4. 49 жана 22 сандарынын ЭЧЖБсын тапкыла. 5. Улан бир солду 18 мүнөттө, Лёша 13 мүнөттө, Карина 26 мүнөт-

тө отой алат. Алар биригип, бир солду канча мүнөттө отой алышат?

2-вариант1. 3751 санын жөнөкөй көбөйтүүчүлөргө ажыраткыла.2. Эратосфендин элегин колдонуп, 39тан кичине жөнөкөй сандар-

дын баарын жазгыла. 3. 75 жана 60 сандарынын ЭКЖБсын тапкыла. 4. 27 жана 18 сандарынын ЭЧЖБсын тапкыла. 5. Чыңгыз дубалды 6 күндө, Алик 7 күндө, Асел 14 күндө актай

алат. Алар биригип, дубалды канча күндө актай алышат?


71



a) 2817 · 5

3 = b) 137 : 5

3 =

2. Бөлчөктөрдү салыштыргыла.

2817 жана 41

8

3. Аралаш бөлчөктөрдү буруш бөлчөк түрүндө жазгыла.

a) 1 75 ; b) 2 5

4 ; c) 3 97 .

4. Буруш бөлчөктөрдү аралаш бөлчөк түрүндө жазгыла.

a) 734 ; b) 5

42 ; c) 1148 .

5. Амалдарды аткаргыла .

1 157 + 2 15

3 – 1 158 =


a) 3627 · 21

18 =; b) 32 : 14

9 =.2. Бөлчөктөрдү салыштыргыла.

8413 жана 63

10

3. Аралаш бөлчөктөрдү буруш бөлчөк түрүндө жазгыла.

a) 1 53 ; b) 2 8

3 ; c) 3 114 .

4. Буруш бөлчөктөрдү аралаш бөлчөк түрүндө жазгыла.

a) 329 ; b) 5

19 ; c) 1338 .

5. Амалдарды аткаргыла.

3 172 + 1 17

12 – 3 178 =


72


1-вариант1. Көбөйтүндүнү даража катары жазгыла.

a) 0,9 · 0,9 · 0,9 b) 42 · 42 · 42 · 42 · 422. Эсептегиле.

a) (− 1,5)3 = b) 2 · 34 − 3 · 24 =3. Сыйкырдуу көбөйтүүчү таблицаны толуктагыла:

69

65 611

4. Эсептегиле.(217 − 43,07 · 4)0 + 5 · 2,32 =

5. 19,7 санын бүтүн кылып тегеректегиле. Пайда болгон сандын абсолюттук жана салыштырма каталыгын тапкыла.

2-вариант1. Көбөйтүндүнү даража катары жазгыла.

a) 0,3 · 0,3 · 0,3 b) 32 · 32 · 32 · 32 · 322. Эсептегиле.

a) (− 1,2)3 = b) 2 · 53 − 5 · 23 =3. Сыйкырдуу көбөйтүүчү таблицаны толуктагыла.

87

85 89

4. Эсептегиле.17,830 · 6,4 + 3,2 · 2 =

5. 20,3 санын бүтүн кылып тегеректегиле. Пайда болгон сандын абсолюттук жана салыштырма каталыгын тапкыла.


73


1-вариант1. Сандардын ортоломосун тапкыла:

17; 21; 12; 15; 12.2. N cандарынын ортоломосу μ. N cандарынын суммасын

тапкыла.a) N = 12, μ = 16 b) N = 15, μ = 8,3

3. Берилген сандардын модун жана медианын тапкыла:55; 54; 51; 55; 53; 53; 54; 52.

4. Берилген сандардын медианын тапкыла: {− 5,1; 22; 17; 3,3; − 14; − 1}

5. Гүлкыз ортоломосу 3,4 кг болгон 4 ашкабак өстүрдү. Алардын жалпы салмагы канча?

2-вариант1. Сандардын ортоломосун тапкыла.

11; 16; 23; 12; 7.2. N cандарынын ортоломосу μ. N cандарынын суммасын

тапкыла.

a) N = 15, μ = 17; b) N = 17, μ = 2,3.3. Берилген сандардын модун жана медианын тапкыла:

54; 53; 50; 54; 53; 50; 50; 52.4. Берилген сандардын медианын тапкыла:

{11,7; 12,6; 6,5; − 3,4; − 3,13; 6,5} 5. Ксения ортоломосу 1,25 кг болгон 3 пакет макарон алып келди.

Алардын жалпы салмагы канча?


74



45 ꞉ 3 136 − 13,6 + 1 8

3 =

2. Теӊдемелерди чыгаргыла.

a) 2,6х − 0,75 = 0,9x − 35,6; b) 6 73 ꞉ 1 7

6 = 4,5 ꞉ y.

3. Чокулары М (− 3; 5), К (3; 0), Р (0; − 5) чекиттеринде жайгашкан үч бурчтукту чийгиле.

4. Айнура биринчи күнү бардык жолдун 15%тин баскан. Экинчи

күнү бардык жолдун 72 ин. Эгер Айнура биринчи күнү 21 км жол

басса, ал экинчи күнү канча километр жол баскан?5. Эки орундук натуралдык Т санынын цифраларынын сумма-

сы 13. Андагы ондуктардын саны бирдиктерден 3кө көп. Тны тапкыла.


37 ꞉ 2 173 − 17,8 + 1 7

2 =

2. Теӊдемелерди чыгаргыла.

a) 3,4у + 0,65 = 0,9у − 25,6; b) 1 31 ꞉ 5 9

2 = x ꞉ 4,7.

3. Чокулары B (− 3; 0), C (3; − 4), F (0; 5) чекиттеринде жайгашкан үч бурчтукту чийгиле.

4. Сүт фермасында сүттүн 14%тин бала бакчага, ал эми 73 үн

мектепке жиберишкен. Эгер мектепке 49 литр сүт жиберилсе,

бала бакчага канча сүт жиберилген?5. Эки орундук натуралдык S санынын цифраларынын сумма-

сы 16. Андагы ондуктардын саны бирдиктерден 2ге аз. Sти тапкыла.


75

Төмөндө, билим берүүнүн ар кандай жактарына тиешелүү эки макала сунуш кылабыз. Алардын силерге пайдасы тиет деген ишенимдебиз.

Кыскартылган көбөйтүүнүн формуласы, Пифагор жана башка нерселер жөнүндө

Математика дүйнөнү таанууда эффективдүү курал болуп са-налат. Жада калса өзүлөрүнүн математиканы жактырбагандыгы, түшүнбөгөндүгү жөнүндө катуу айткандар дагы маал-маалы менен математиканы колдонушат (мисалы, бир нерселерди сатып алуу-да). Биздин оюбузча, мектеп окуучуларына математикалык билим берүүдө эӊ негизгиси, аларга математиканы колдонуу чөйрөсүн кеӊейтүүгө мүмкүнчүлүк түзүп берүү керек.

Математиканы колдонууда мүмкүнчүлүктөрдүн өсүшү түздөн-түз – окуучу, финансылык эсептөөлөрдө, геометриялык түзүүлөрдө, өлчөөлөрдө ж. б. колдонулуучу белгилүү бир шыктарга ээ болуу ме-нен, экинчи жагынан – ой жүгүртүүсүн өнүктүрүү менен болушу мүм-күн. Математикалык ыкмалар менен, жекеден жалпыга өтүү жана жалпыдан жекеге өтүү шыктарын иштеп чыгууга, себеп-тыянактык байланыштарды ачык байкоого, карама-каршы жагынан карап ой жүгүртүүгө ж. б. үйрөнсө болот.

Биздин оюбузча, заманбап математиканы окутуу системасынын башкы кемчилиги, белгилүү бир математикалык эсептөөлөрдүн тех-никасын иштеп чыгууга бологон ашыкча басымында. Окуучу колдо-нулуштарын алардын мугалими да көп учурда айта албаган триго-нометриялык, логарифмдик, иррационалдык ж. б. теӊдемелер жана барабарсыздыктардын көптөгөн түрүн чыгарганды билиши керек. Албетте, дайыма эле акылдын машыгуусуна зарыл экендигине таяп койсо болот. Бирок акылды тексттик жана практикалык маселелер-ди колдонуп, математиканын техникалык жагына эмес, маанилик жагына басым жасап, машыктыруу кызыктуу жана пайдалуу.

Математика курсу математикалык моделдердин, белгилүү бир маанидеги маселелерди чыгарууга мүмкүнчүлүк берген ыкмалар-дын негизинде, спираль боюнча – окулуп жаткан материалдын утур татаалдашы менен курулушу зарыл. Бул процесс албетте, матема-тиканын жаӊы бөлүмдөрүн окуп үйрөнүү зарылчылыгын туудуру-шу керек. Мисалы, депозиттин чоӊдугун эсептөө процентке болгон жөнөкөй маселе болуп саналат, ал эми депозит чоӊдугу кандайдыр


76

бир мааниге жеткендеги убакытты аныктоо, логарифмдердин кирги-зилишин талап кылат.

Төмөнкү класстын окуучулары чыгара алыш керек болгон маселе:Батыр хан сарайга 40 мүнөттө ат чаап жетсе, падышанын кызын

сактап калат. Эгерде хан сарайга чейин 18 км болсо, ал эми анын ат чабуу ылдамдыгы 30 км/саат болсо, ал үлгүрөбү?

Мектеп курсунун аягына чейин утур-утур татаалдап жатып, бул маселе төмөнкүчө өзгөрүшү мүмкүн:

Падыша, кимде ким, кумдун үстү мненен 48 км/саат жана жол менен 80 км/саат ылдамдыкта жүрүүчү автоунаа менен оазистен хан сарайга биринчи келсе, ошого кызын жана падышачылыктын жарымын берем деп убада берди. КАТЕТС, 32 км болгон, оазистен жолго чейинки, андан кийин 68 км болгон, жолдон хан сарайга че-йинки эӊ кыска жол боюнча жүрүүнү чечти. ГИПОТЕНИУЗ, оазистен хан сарайга чейинки эӊ кыска жол менен жүрүүнү чечти. Үчүнчү ОПТИМАТОР, биринчи оптималдуу план түзүп алып, анан жол жүрүүнү чечити. Ал жол жүрүү маршрутун түзгөнгө канча убакыт кетирет?

Азыр, көбү математиканы окутуунун сапатын жогорулатыш керек экендигин айтышат, бирок аны кантип жогорулатуу керек экендигин айтышпайт. Биздин оюбузча, заманбап окуу китептерди, окуу-ме-тодикалык куралдарды чыгаруунун үстүнөн активдүү иштөө жана аларды мектеп мугалимдерине жеткирүү зарыл. Иштелип чыккан материалдар кандай болушу керек деген биздин көз карашты ке-сиптештер менен бөлүшкүбүз келет.

Баяндоо бир аз пьеса түрүндө түзүлгөн.

Аткаруучулар:Елисей Елисеевич (ЕЕ) – математика ийриминин жетекчиси;Шаршенбек (Ш), Зина (З), Гүлнара (Г), Анаркүл (А), Сыргак (С) –

кичи топтун мүчөлөрү.

1-сабакЕЕ. 1022 − 982 туюнтмасынын маанисин эсептегиле. З. Сегиз жүз!Ш. Болбойт! Мен биринчи квадраттын маанисин араӊ эсептеп

үлгүрдүм.С. Ал жообун билген!ЕЕ. Токтогула. Тынчтангыла. Зина, жоопту кантип алганыӊды

көрсөт.З. Мен, эки туюнтманын квадраттарынын айырмасы – бул туюнт-

малардын айырмасы жана суммаларынын көбөйтүндүсүнө барабар экендигин билем. Буга оӊой эле ишенсе болот:


77

(m + n)(m − n) = m2 − mn + nm − n2 = m2 − n2.Ошондуктан 1022 − 982 = (102 + 98)(102 − 98) = 200 · 4 = 800.С. Эң сонун!Г. Мен болсо 1022ты оӊой эсептей алам. Ал үчүн төмөнкүдөй чий-

ме менен оӊой түшүнүүгө боло турган формула колдонулат:

a b

b ab b2

a a2 ab

a + b

Квадраттын жалпы аянты (a + b)22ка барабар. Ал, биринин аян-ты a2, экинчисиники – b2 болгон эки квадраттардан жана ар бири-нин аянттары – ab болгон эки тик бурчтуктан турат. Мындан, төмөнкү формула келип чыгат:

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab. (1)Ошондуктан1022 = (100 + 2)2 = 1002 + 22 + 2 · 100 · 2 = 10000 + 4 + 400 = 10404.А. Мен болсо, 982 туюнтмасынын маанисин кантип оӊой эсептөөнү

таптым. Эгер (1) формуласын a = x, b = − y койсок, анда (x + (− y))2 = =x2 + (− y)2 + 2x(− y).

Бул барабардыкты төмөнкүчө жазып алсак болот.(x − y)2 = x2 + y2 − 2xy. (2)Ошондуктан 982 = (100 − 2)2 = 1002 + 22 − 2 · 100 · 2 = 10000 + 4 − 400 = 9604.Ш. Мен (1) жана (2) формулаларын кантип башкача жол менен

алууну билем! Эмесе, (a + b)2 – бул (a + b)ны (a + b)га көбөйткөнгө ба-рабар. Анда,

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2.Ушундай эле, (a − b)2 = (a − b)(a − b) = a2 − ab − ba + b2 = a2 − 2ab + b2.


78

ЕЕ. Балдар! Менин оюмча бүгүн бизде абдан кызыктуу жолугушуу болду деп ойлойм. Биз бүгүн талкуулаган

(m + n)(m − n) = m2 − n2 ;(a + b)2 = a2 + 2ab + b2;(a − b)2 = a2 − 2ab + b2, формулалары, кыскартылган көбөйтүн-

дүнүн формулалары деп аталат. Ушу сыяктуу башка формулалар тууралуу биз кийинки окуу жылында да сүйлөшөбүз. Өтүлгөн матери-алды бышыктоо үчүн үйдөн, сан туюнтмаларынын маанисин эсептөө үчүн кыскартылган көбөйтүндүнүн формулаларын колдонуу боюнча көнүгүүлөрдү түзүп келгиле.

ЕЕ. Сабакты уланталы. Шаршенбек, шкафтан калыпты – жыгач тик бурчтуу үч бурчтукту ал жана анын жардамы менен доскага тик бурчтуу үч бурчтукту чий, анын катеттерин жана гипотенузасын белгиле.

Ш.

a

b

ЕЕ. Эми калыптын жардамы менен ар бир катетке башка катетти улап, дагы эки тик бурчтуу үч бурчтукту чий.

Ш.

a

a

a

b

b

b


79

ЕЕ. Анан, калыпты дагы улап, чиймени чийип бүтүр. Ш.

a

a

a

a

b c

bc

b

c

b

c

ЕЕ. Балдар, доскадан эмнени көрүп жатканыӊарды санап айтып бергилечи.

Г. Мен катеттери a жана b болгон, гипотенузасы c болгон төрт тик бурчтуу үч бурчтук көрүп турам.

З. Мен жактары a + b болгон квадратты көрдүм.С. Мен башка квадратты көрүп жатам.А. Ооба, ооба, жагы с болгон квадрат дагы бар экен.ЕЕ. Келгиле эми, ушул фигуралардын аянттары жөнүндө

сүйлөшөлү. Г. Катеттери a жана b болгон тик бурчтуу үч бурчтуктун аянты ab/

2ге барабар.З. Жагы a +b болгон квадраттын аянты (a + b)2 ка барабар.С. Кичинекей квадраттын аянты – с2.А. Жагы a +b болгон чоӊ квадрат, төрт тик бурчтуу үч бурчтуктан

жана кичинекей квадраттан тургандыктан (a + b)2 = 4(ab/2) + c2 бара-бардыгын жазсак болот.

Г. Эгерде кашааларды ачсак, анда a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2 болуп калат.

З. Эми оӊ жана сол жагынан 2abны алып салсак болот, анда a2 + b2 = c2 келип чыгат.

Ш. Тик бурчтуу үч бурчтуктун жактарынын узундуктарынын орто-сунда түздөн-түз байланыш орун алат.


80

ЕЕ. Балдар, биз бүгүн, көптөгөн жыл мурда, биздин байыркы ата-бабаларыбызга тааныш болгон, эӊ сонун жыйынтыкты алдык. Азыр аны Пифагордун теоремасы деп айтышат. Ал каалагандай тик бурчтуу үч буртук үчүн аткарылат. Эмесе…

Баары хор менен: Катеттердин квадраттарынын суммасы, гиппо-тенузанын квадратына барабар!

2-сабак

ЕЕ. Өткөн сабакта биз Пифагордун теоремасы менен таанышкан-быз. Мен Зинадан, бул чыгаан адам жөнүндө бир аз билдирүү даяр-дап кел деп сурангам.

З. Пифагор, Мнесархтын баласы, Самостук болгон, б. з. ч. 576-жылы туулган. Маалыматтар боюнча ал Египетте окуган, көп саякаттаган. 532-жылдын тегерегинде ал Кротондо отурукташып, тез эле тааны-мал болгон жана пифагордуктардын бирикмеси деген диний-фило-софтук жана политикалык уюм түзгөн. Пифагор мамлекеттик иштер-ди абдан жакшы алып баргандыктан, чындыгында эле аристократия, «мыктылардын бийлиги» болгон өзүнүн окуучулары менен «Рухтун аристокатиясын» түзүүгө аракет кылган. Политикалык чечендик жана дин кызматы Пифагорго ийгилик алып келген. Бекеринен «Пифагор» деген сөз «сөз менен ишендирүү» дегенди билдирбейт. Пифагор адамзатына абстракттуу билимдин күчүн ачкан биринчи адам болсо керек. Ал адамга чыныгы билимди сезүү органдары эмес, акыл-эс алып келерин көрсөткөн. Мына ошондуктан ал өзүнүн окуучуларына физикалык объектилерди изилдөөдөн, абстракттуу математикалык объектилерди изилдөөнү сунуш кылган.

Ошентип математика Пифагорго дүйнөнү таануунун куралы болуп калган. Ошентип, атактуу пифагордук «Бардыгы сан болот» деген тезис жаралат. Ушинтип пифагордук уюм ичинен математика жана


81

философия пайда болот. Алар математиканын жардамы менен та-заланууга жана Кудай менен биригүүгө мүмкүн деп эсептешкен. Математика алардын дининин бир курамдык бөлүгү болгон. «Кудай – бул биримдик, ал эми дүйнө – көптүк жана карама-каршылыктардан турат. Карама-каршылыктарды биримдикке алып келе турган нерсе – бул гармония. Гармония – бул Кудайдай болот жана сан катыштарын-да болот. Кимде ким Кудайдай сандык гармонияны акырына чейин изилдесе, ал өзү Кудайдай жана өлгүс болот».

a2 + b2 = c2 барабардыгын орундаткан үч натуралдык санды, пи-фагорчулар ыйык деп эсептешкен.

ЕЕ. Мындай үч санды ким билет? Аларды биз пифагордук деп атайбыз..

З. (3; 4; 5) үч сандар пифагордук болот. 32 + 42 = 52экендигин оӊой эле көрсөк болот.

Ш. Менимче (6; 8; 10) сандары пифагордук болот.ЕЕ. Туура, 62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102. болгондуктан. Бирок, Зина

менен Шаршенбек айткан сандардын окшоштуктарына көӊүл бургула.Г. Мен түшүндүм (9; 12; 15), (12; 16; 20) ж. б. сандар пифагордук

үчтүктөр болот.ЕЕ. Азамат, Гүлнара! Тиешелүү эрежени түзүүнү суранам.Г. Эгерде пифагордук үчтүк сандардын элементтеринин

бардыгын бир эле натуралдык санга көбөйтсөк, анда пифагордук үчтүк сандар келип чыгат.

ЕЕ. Каалаган сандагы пифагордук үчтүк сандарды кантип алса болорун баарыӊар түшүндүӊөр деп үмүттөнөм. Ошондуктан, өз ара жөнөкөй элементтүү б.а. 3; 4; 5 сыяктуу жалпы көбөйтүүчүгө ээ болбогон үчтүк сандарды табуу кызыктуу. Мындай үчтүк сандар-ды жөнөкөй деп айтышат. Эми биз жөнөкөй үчтүктөрдү издейбиз.

Г. Бул өтө оор маселе болуш керек, ээ?ЕЕ. Андай деле эмес. Биринчи «n – натуралдык сан болгон 4;

6; n түрүндөгү жөнөкөй үчтүк сандар барбы?» деген суроого жооп бергиле.

С. n абдан көм мааниге ээ боло алгандыктан, алардын арасында керектүүсү болсо керек.

А. Мен туура жообун билем! Мындай үчтүк жок! Эгерде 42 + 62 = n2, болсо, анда n2 жуп сан болот, анда n дагы жуп сан. Мындан, 4; 6; n үчтүгү жөнөкөй болбойт, себеби үчтүктүн бүт элементтери жуп, б. а. жалпы 2 көбөйтүүчүсүнө ээ.

ЕЕ. Анаранын ой жүгүртүүсүнөн корутунду чыгарсак болобу? 4; 6; n, мында n – натуралдык сан.


82

С. Ооба! Пифагордун жөнөкөй үчтүгү эки так жана бир жуп эле-ментке ээ.

ЕЕ. Андан ары жылалы. Маселе чыгарууда, бизге белгилүү бол-гон ыкмаларды, формулаларды ж. б. колдоно ала тургандай кылып, аны өзгөртүп алуу маанилүү болот. Келгиле, a2 + b2 = с2 теӊдемесин a2 = с2 − b2 түрүндө жазып алалы.

З. Ой! А мен бул теӊдемени a2 = (с − b)(с + b) түрүнө келтирсек бо-лорун билем.

ЕЕ. Туура. Эми пифагордун үчтүгүн тандоо ыкмасы менен тапкан-га аракет кылсак болот. Дагы аныктык үчүн, a < b < с дейли.

Ш. Эӊ жөнөкөй вариант с − b = 1 болгондо, сандардын бири так, экинчиси жуп болот. Демек, а так болушу керек.

С. а = 1 жарабайт. Эгерде а = 3 болсо, анда 32 = 1(с + b); 9 = с + b. Себеби a < b < с, болгондуктан, бул теӊдемеге b = 4 жана с = 5 маа-нилери гана туура келет.

З. Ура! Мен айткандай эле, 3; 4; 5 үчтүгү келип чыкты.А. Мен чыгарып көргүм келип жатат. а = 5ти алалы, анда 52 = 1(с + b);

25 = с + b, 5 < b < с. Эгерде b = 6 болсо, анда с = 19 болот.С. Текшерип көрүш керек. 52 = 25, 62 = 36, ал эми 192: 192 = (20 − 1)2 = 202 − 2 · 20 · 1 + 12 = 400 − 40 + 1 = 361 деп эсеп-

теп алсак болот. Бирок 25 + 36 суммасы 361ге барабар эмес. Эмнеге мындай болуп калды?

А. Мен билем! Биз с − b = 1 экендигин унутуп калдык. Ошондуктан с = b + 1 болушу керек, анда 25 = с + b; 25 = 2b + 1. Ошондуктан b = 12, с = 13.

С. Текшеребиз: 52 = 25, 122 = 144, 132 = 169. Туура барабардыкты алабыз, 25 + 144 = 169.

Мындан, 5, 12, 13 – жөнөкөй пифагордук үчтүк келип чыгат.З. Балдар! Биз, a2 = 2b + 1 теӊдемесинин жардамы менен, үчтөн

баштап каалаган так саны үчүн a, b, с жөнөкөй пифагордук үчтүгүнүн келип чыгышын алдык, мында с − b = 1. Мен муну, a=13тү алып, тек-шерип көргүм келет.

Анда 132 = 2b + 1 <=> 169 − 1 = 2b. Мындан b = 84, с = 85 келип чыгат.С. Келгиле, текшерип көрөлү. 132 = 169, ал эми 842 жана 852ты

төмөнкүчө эсептеп көрсөк болот:842 = (80 + 4)2 = 802 + 2 · 80 · 4 + 42 = 6400 + 640 + 16 = 7056;852 = (80 + 5)2 = 802 + 2 · 80 · 5 + 52 = 6400 + 800 + 25 = 7225. Анда 169 + 7056 = 7225 барабардыгы орун алат.Г. Абдан кызыктуу экен! Мен с − b = 2 карап көргүм келет.


83

Ш. Анда с жана bлар так болушу керек.Г. Ооба, мен билем, а дагы жуп болушу керек. Эгерде, а = 2 бол-

со, анда 22 = 2(с + b). 2 < b < с болуш керек, ошондуктан бул вариант жарабайт.

Ал эми a = 4, деп алсакчы? с − b = 2ден с = b + 2 чыккандыктан, 16 = 2(2b + 2)ни алабыз. Мындан, b = 3, с = 5 экендиги келип чыгат.

З. Кайра эле менин (3, 4, 5) үчтүгүм келип чыкты.ЕЕ. Формалдуу түрдө бул чыгарылыш жарабайт, себеби биз a < b

деп сүйлөшкөнбүз.Г. Анда a = 6 учурун карап көрүш керек. Анда, 62 = 2(c + b), мын-

дан: 36 = 2(2b + 2). Жыйынтыгында b = 8, c = 10 болуп 6; 8; 10, үчтүгү келип чыгат.

З. Ал эми бул жөнөкөй. Эгерде ар бир санды 2ге бөлсөк, кайрадан (3, 4, 5) үчтүгүн алабыз.

Г. Меники болбой жатат. Дагы бир жолу аракет кылып көрөйүн. Эгерде a = 8, болсо, анда 82 = 2(c + b), жана 64 = 2(2b + 2). Анда b = 15, c = 17. Ура! 8; 15; 17 жөнөкөй үчтүк келип чыкты.

ЕЕ. Эӊ сонун! Ушуну менен биздин сабакты аяктайлы. Үйдөн ки-йинки суроолорду ойлонуп келгиле.

• анын кандай маанилеринде с – b = 2 шарты боюнча жөнөкөй пифагордук үчтүктү табууга болот?

• Төмөнкү шарттарда пифагордук үчтүктөр жашайбы: c − b = 2; c − b = 4; c − b = 5; c − b = 8?

Кийинки сабактын темалары:• Пифагордун теоремасынын колдонулушуна маслелерди кароо; • квадраттык теӊдеменин тамырларынын формуласын чыгаруу

үчүн кыскартылган көбөйтүү формуласын колдонуу;• ферманын улуу теоремасы менен таанышуу болушу мүмкүн.

«Математика» курсуна киришүүдөн

1. Математик эместер «Математиканы эмнеге окуу керек?» де-ген суроону көп беришет. Бул суроонун да жообу көп. Алардын кээ бирлери:

– Экзамен тапшырыш үчүн.– Экономика, социология, психология, политология жана жашоо-

нун башка багыттарда пайда болгон маселелерди чечүүдө ма-тематикалык ыкмаларды колдонууну үйрөнүү үчүн.


84

– Математиканы окуу – логикалык ой жүгүртүүнү өнүктүрүү үчүн эӊ жакшы ыкмалардын бири. Ал эми логикалык ой жүгүртүүнү билүү, кичинекей балдардан тарта президентке чейин баарына пайдалуу.

– Мисалы, Нобель сыйлыгын алыш үчүн экономика боюнча алган иштердин көп бөлүгү (Д. Хикс, Р. Солоу, В. Леонтьев, Л. Канторович, П. Самуэльсон…), математикалык ыкмалардын колдонулуусуна байланыштуу экендиги белгилүү. Андан сырт-кары, Нобель сыйлыгынын лауреаты А. Солженицин сыяктуу башка багыттар боюнча ийгиликтерге жетишкендердин көбүнүн математикалык билими бар.

Математикалык ыкмалардын колдонулуштарынын пайдасын дагы бир жолу белгилеп кетиш үчүн, Л. Соловьевдун «Кожо Насреддин жөнүндөгү баян» деген белгилүү китебинен үзүндү келтирели.

… Кичинекей Насреддин, эгер бухаралыктар өзүлөрү ырайымдуу боло алышпаса, анда аларды буга мажбурлаш керек деп чечти.

Маселени аныктагандан кийин, ал аны менен бирге андан аркы ой жүгүртүүлөрүнүн нугун дагы аныктады. Алар өзүн бухаралыктардан артык шартта болгондой оюнду издөөгө киришти. Өзүн көп сандаган ырайымсыз бухаралыктар жөнүндө ойлонуу менен кыйнабаш үчүн, ал оюнда баарын бириктирип, бир чоӊ бухаралык деп эсептөөнү туура көрдү.

Маселе жеӊилдеди: чоӊ болсо дагы, бир бухаралык жөнүндө ойлонуу кыйла жеӊил экен…

Өзү билбесе дагы, кичинекей Насреддиндин ой жүгүртүүсү, жаг-дайдын математикалык моделинин колдонулушунун жакшы мисалы боло алат.

2. Бул курсту билгендер чыгара ала турган бир нече маселени келтирип көрөлү.

I. Элмира бир жылга насыя алгысы келди. Коммерциялык банк, өзүнүн кызмат көрсөткөнүдүгү үчүн 35% талап кылып жатат. Андан сырткары, анын, 10%ке насыя алып берүүгө жардам берүүсүн су-нуштаган таанышы бар. Бирок, бул учурда Элмира колуна, сүйлөшүл-гөн сумманын 80%ин гана ала алат. Калган 20%ин жардам берген-диги үчүн бериши керек, б. а. бул «шапкасы» болот. Кайсы вариант жакшыраак болот?


85

II. Канат $5000га машина алып, аны 5 жылдан кийин $1800га сата алат же ар бир 5 жыл сайын $1000дан төлөп ижарага ала алат. Эгерде киреше 10% болсо, кандай вариант жакшыраак болот?

III. «Сүт» АКтын адистери сентябрда майга болгон талап жана суроону төмөнкүчө аныкташкан: тиешелүү түрдө, килограммы-на 90 сом болгондо – 1800 кг жана 800 кг; килограммына 110 сом болгондо – 1500 жана 1100 кг. Декабрда ар бир баадагы талаптын көлөмү 2%ке жогорулады, суроонун ийри сызыгы өзүнө параллель солго жылды, эми 110 сом баада 1000 кг сунуштайт. Суроо-талап жана сунуштун функциясы сызыктуу деп эсептеп: талап жана су-нуштун теӊдемесин, сентябрдагы теӊ салмактуулуктун чекитин; та-лап жана сунуштун теӊдемесин, декабрдагы теӊ салмактуулуктун чекитин аныктагыла.

IV. Ишкана, алгач ар бирин А цехинен, андан кийин В цехинен иштетип, 2 түрдөгү буюм чыгарат. Биринчи түрдөгү ар бир буюмду иштетүү, А цехинен 5 саат жана В цехинен 3 саат убакытты алат.

Экинчи түрдөгү буюм тууралуу тиешелүү чоӊдуктар – 2 жана 4. А цехи айына 150 сааттан, ал эми В цехи – 132 сааттан ашык эмес иштей алат. Биринчи түрдөгү ар бир буюм үчүн ишкана 3000 сом, ал эми экинчи түрдөгү ар бир буюм үчүн – 2000 сом киреше алары бел-гилүү. Максималдуу киреше алыш үчүн ишкана ар бир түрдөн канча-дан буюм чыгарышы керек экендигин аныктагыла.

V. Керектөөчү буюмдун санынын (Q), кирешенин деӊгээлинен (I) көз карандылыгын көрсөткөн функциянын графигинин эскизин тарт-кыла жана буюмдун түрүн аныктагыла (эӊ керектүү, сапаты начар, кооздук үчүн)

2 35Q I

I= +

VІ. Алтымыш жүктү 1000 кмге ташуу үчүн пароход жалдады. Ал пароходдун командасына 1500 тыйын өлчөмүндө акы сунуштайт, би-рок, жол жүрүүдөгү ар бир саат сайын 9 тыйындан кайтарып берүүнү талап кылат. Эгерде пароходдун ылдамдыгы v км/саат болсо, анда чыгашалар 10v тыйынга барабар болот. Максималдуу санда тыйын табыш үчүн, пароходду кандай ылдамдыкта жүрүзүш керек? Бул кан-дай өлчөмдөгү сан?

VІІ. Эгерде х бирдиктеги буюмдун өндүрүүсүнө кеткен чыгымдар 3x2 − 200x + 1500 сомго барабар болсо, өндүрүү көлөмү 90дон 100


86

бирдикке көбөйгөндө, буюмдун өндүрүүсүнө кеткен чыгымдар канча сомго өсөт?

VІІІ. Фирманын өндүрүмдүүлүк функциясы P(K,L) = 30K1/3L2/3. Жумуш бирдигинин баасы PL = 2, капитал бирдиги PK = 27. 5400 бирдиктеги буюм чыгаруу үчүн бюджеттин минимуму эмнеге бара-бар (жумуш жана капиталга кеткен чыгым)?

ІX. Төмөндө келтирилген берилиштерди колдонуп, илимий изил-дөөлөргө кеткен чыгым менен аэрокосмос тармагынын фирмалары-нын кирешеси ортосундагы байланышты эӊ жакшы туюнткан түз сы-зыктын теӊдемесин түзгүлө:

Чыгым (млн $) 82 2,7 0,7 36Киреше (млн $) 197 7,3 − 15,5 82

X. Жер тилкесинин баасы, өзүнүн баасына пропорционалдуу ыл-дамдыкта үзгүлтүксүз өсөт. Эгерде ал бир жыл мурда 90000 сом тур-ган болсо, 100000 сом турган жер тилкесинин баасы 5 жылдан кийин канча болот?

3. Башка илимдердей эле, математиканын да өзүнүн тили бар. Бул тил негизги – чекит, түз сызык, сан, көптүк… түшүнүктөрүн камтыйт. Албетте, ар ким бул сөздөр эмнени билдирерин элестетет, бирок, кээде кээ бир тактоолор талап кылынат. Мисалы, математикада, че-киттин аянты болбойт, түз сызык чексиз узундукка ээ жана калыӊды-гы болбойт деп каралат.

Математика тилинде аныктама, аксиома, лемма, теорема термин-дери көп колдонулат.

Аныктама – кандайдыр бир объекти айырмалоого, издеп табууга, илимге киргизилип жаткан терминдин маанисин аныктоочу логика-лык ыкма.

Аныктаманын мисалы Эки натуралдык сан да өз ара жөнөкөй деп аталышат, эгерде алар

1ден айырмаланган жалпы көбөйтүүчүгө ээ болбосо. р саны жөнөкөй деп аталат, эгерде эки натуралдык сандын көбөйтүндүсү түрүндө анын жалгыз көрсөтүлүшү жашаса: анын 1ге болгон көбөйтүндүсү. Жөнөкөй болбогон натуралдык сан курама деп аталат.

Мисалы, 7 жана 22 сандары өз ара жөнөкөй; 7 – жөнөкөй сан, 22 саны жөнөкөй эмес, себеби 22 = 2 · 11 көбөйтүндүсү орун алат.

Келитирилген аныктамада 1 саны каралбайт. Аны жөнөкөй да кура-ма да сандарга киргизишпейт.


87

Аткарылышы чындык деп кабыл алынган математикалык ырас-тоолор, аксиомалар (постулаттар) деп аталат, ал эми аткарылышы далилденген ырастоолор, теоремалар деп аталат. Көп учурда, эгер-де теореманы далилдөөдө, анын ырастоолору майда ырастоолорго бөлүнсө, алар леммалар деп аталат.

Евклиддик геометриядагы аксиомасынын мисалыЭки чекит аркылуу жалгыз гана түз сызык өткөрүүгө болот.

Теореманын мисалыБүтүн сан 6га калдыксыз бөлүнөт, эгерде ал жуп болсо, ал эми бул

сан жазылган цифраларынын суммасы 3кө бөлүнсө. Бул теореманын далилдөөсүн, төмөнкү үч леммаларды далилдеп

алсак болот:1-лемма. n бүтүн саны m санына калдыксыз бөлүнөт, эгерде n

саны калдыксыз p жана q сандарына бөлүнсө, мында p · q = m.2-лемма. Жуп сан (0, 2, 4, 6, 8 менен аяктаган сандар) 2ге калдык-

сыз бөлүнөт.3-лемма. Бүтүн сан 3кө калдыксыз бөлүнөт, эгерде, анын цифра-

ларынын суммасы 3кө калдыксыз бөлүнсө.

4. Бири-бирин жакшыраак түшүнүү үчүн, математиктер жалпы ка-был алынган белгилер жана белгилөөлөр системасын колдонушат. Мисалга алсак, 1, 2, 3 жазуусу – жөн гана сандарды ирети менен жазуу, ал эми {1, 2, 3} – элементтери 1, 2, 3 сандары болгон көптүк.

Мейли А – көптүк болсун, анда a Ý A жазуусу, А көптүгүнүн элемен-ти а экендигин, ал эми B ô A болсо – В көптүгү А көптүгүндө камтыл-гандыгын билдирет. Карама-каршы ырастоону жазуу үчүн, символду чийип же болбосо символдун үстүнө сызыкча коюш керек:

a Ô A же a Ý A.

Төмөнкү белгилер өтө көп колдонулат:^ импликация (… түшүнүктөн … келип чыгат);_ эквиваленттүүлүк (эки импликациялар);> жалпылоочу квантор;< жашагандыгы тууралуу квантор.

Бул белгилерди колдонуу мисалдары:x l 5 ^ x2 l 25;2x + 1 = 3 _ x = 1;>x Ý R <n Ý N : x > 1/n.Акыркы сапта мындай ырастоо жазылган: каалаган х анык саны

үчүн n натуралдык саны жашайт, х саны 1/nден чоң.


88

Математикадагы жалпы түшүнүктөр

1. Натуралдык сандар

1. Аныктама. Саноодо колдонулуучу 1, 2, 3… сандары натурал-дык деп аталат. Натуралдык сандардын көптүгү N символу менен белгиленет.

Натуралдык сандарды жазуу үчүн, арабдык деп аталуучу, ондук орундуу системаны колдонобуз. Анда, цифралар деп аталуучу: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 он белги колдонулат, ар бир цифранын салмагы орду менен аныкталат. Эгерде (арабдарда кабыл алынгандай), на-туралдык сандын жазуусун оӊдон солго окуса, анда биринчи цифра бирдиктин санын, экинчиси – ондук, үчүнчүсү – жүздүк ж. б. билдирет.

Мисалы: 29872 = 2 + 7 · 10 + 8 · 100 + 9 · 1000 + 2 · 10000.Араб сандарын шарттуу жазууда тамгалар колдонулган учурлар-

да, бул факт үстүнөн сызыкча менен белгиленет: abcd.1-маселе. Маалыматтык тактага, эки орундуу сан менен туюн-

тулган доллардын баасын коюп жатып, 2001-жылдын 30-октябрында акча алмаштыруучу жайдын кызматкери карточкаларды алмашты-рып алып, чыныгы баадан 36 сомго жогору баа коюп алды. Эгерде эки карточка колдонулса жана алардын ар биринде экинин даражасы болгон цифра жазылып турса, доллар канча турган?

Чыгарылышы. Изделүүчү санды xy деп белгилеп алалы. Анда төмөнкү барабардык орун алат

yx = xy + 36.

Бул теӊдемени ажыратып жазалы: 10y + x = 10x + y + 36 , анда: y − x = 4.

Шарт боюнча x жана y цифралары 1, 2, 4 жана 8ге барабар болгон-дуктан: y − x = 8 − 4.

Мындан x = 4, y = 8 жообун алабыз. Изделген сан – бул 48.

2-маселе. Бир буюму 11 сом турган фирма, 3781 иретинде жанаша турган цифралардын группасы менен чек көрсөткөндөрдүн ар бири-не белек берүүгө убада кылды. Белек алуу үчүн канча бирдик буюм алуу керек?

Белек алуу үчүн 3781 цифраларынын группасы колдонулган сум-мага сатып алуу жүргүзсө болот. Бир буюм 11 сом тургандыктан, биз


89

11ге кыскарган эӊ кичине сан табышыбыз керек. 11 бөлүнүү шартын колдонсок, бул сан оӊой табылат.

Адатта бөлүнүү шарттары кайдан келгендиги айтылбай, далил-дөөсүз эле келтирилет.

Бул кемтикти толтуралы (2-маселенин чыгарылышы, бөлүнүү шарттары айтылып чыккандан кийин келтирилет). Далилдөөлөрдө төмөнкү факт колдонулат:

1-теорема. n = pm + s саны pга, бөлүнөт, эгерде s саны pга бөлүнсө (n, p, m, s Ý N)

Бөлүнүү шарттары. Мейли n = alal–1…a2a1a0, мында ai – цифра-лар, >i = 0, 1, 2... l. Анда n:

1) 2ге бөлүнөт, эгерде а0 саны 2ге бөлүнсө;2) 5ке бөлүнөт, эгерде а0 саны 5ке бөлүнсө. Бул ырастоолордун далилдөөсү теорема 1ден жана n = alal–1…a2a1a0 = alal–1…a2a1 · 10 + a0 = alal–1…a2a1 · 2 · 5 + a0.

барабардыктан келип чыгат.

3) 2k санына бөлүнөт, эгерде ak–l…a2a1a0; саны 2кга бөлүнсө;

4) 5к санына бөлүнөт, эгерде ak–l…a2a1a0 саны 5кга бөлүнсө.

3), 4) ырастоолордун далилдөөсү 1-теоремадан жана

n = alal–1…a2a1a0 = al…ak · 10k + ak–l…a0 = al…ak · 2k · 5k + ak–l…a0.барабардыгынан келип чыгат.

5) Эгерде 3(9)га бардык баштапкы сан жазылган цифралардын суммасы бөлүнсө, 3(9) санына бөлүнөт.

Далилдөө:al · 10l + al–1 · 10l–1 + … + a2 · 102 + a1 · 10 + a0 =

= al(99…9 + 1) + al–1(9…9 + 1) + … + a2(99 + 1) + a1(9 + 1) + a0 =

= [al · 11…1 + al–1 · 1…1 + … + a2 · 11 + a1] · 9 +

+ [al + al–1 + … + a2 + a1 + a0].

6) Эгерде баштапкы санды жазууда жуп жана так орундарда турган, цифралардын суммасынын айырмасы 11ге бөлүнсө, 11ге бөлүнөт.


90

Далилдөө:… + a4 · 10000 + a3 · 1000 + a2 · 100 + a1 · 10 + a0 =

… + a4(9999 + 1) + a3(1001 − 1) + a2(99 + 1) + a1(11 − 1) + a0 =

… + a4 · 9999 + a3 · 1001 + a2 · 99 + a1 · 11 +

+ (… + a4 + a2 + a0) − (… + a3 + a1). 99, 1001, 9999, 100001 ж. б. сан-дары 11ге бөлүнөрүн билүү керек.

Түзүлгөн 11ге бөлүнүү шартынын жана жогоруда келтирилген ой жүгүртүүлөрдүн негизинде, 2-маселени төмөнкүчө өзгөртүп түзсөк болот:

A3781 же 3781B түрүндөгү, 11ге бөлүнгөн эӊ кичине натуралдык санды тапкыла.

Чыгарылышы. A3781 саны 11ге бөлүнөт, эгерде (A + 7 + 1) − (3 + 8) айырмасы 11ге бөлүнсө. Анда: A = 3. Эгерде (7 + 1) − (3 + 8 + B) айыр масы 11ге бөлүнсө, 3781B саны 11ге бөлүнөт, Мындан: B = 8. Жыйынтыгында эки 33781 жана 37818 сандарын алабыз.

Белек алуу үчүн 33781 сом коротуп, фирманын 3071 бирдиктеги буюмдарын алуу жетиштүү.

3-маселе. 9га бөлүнгөн, 723X42Y түрдөгү эӊ кичине натуралдык сандарды тапкыла.

Чыгарылышы. Бул сандын цифраларынын суммасы 7 + 2 + 3 + X + 4 + 3 + Y = 19 + X + Yке барабар. Сан 9га бөлүнүшү

үчүн, анын цифраларынын суммасы 9га бөлүнүшү керек. 19 + X + Y саны, 9га бөлүнө турган X + Yтин эӊ кичине мааниси 8ге барабар. Биз эӊ кичине санды издеп жаткандыктан, X = 0, Y = 8 деп алуу керек.

Жообу: Изделүүчү сан – бул 7230438.

4-маселе. Чоӊ атанын кагаздарынын арасында: 72 индюк – 67,9 – доллар деген жазуу табылган.

Бул үй канаттуусунун жалпы баасын билдирген биринчи жана акыр кы цифралар тире менен алмаштырылган, себеби алар өчүп, жакшы көрүнбөй калган.

Өчүп калган эки цифра кайсы жана бир индюктун баасы канча болгон?

Чыгарылышы. Бир индюктун баасын табыш үчүн, биз бул ка-наттуунун жалпы баасын 72ге – индюктун санына бөлүшүбүз керек. Мындан, бул канаттуунун жалпы баасы, 72ге бөлүнгөн сан болушу керек, анда 8ге жана 9га дагы бөлүнүшү керек. 2кга бөлүнүү шарты боюнча 72 саны 8ге бөлүнүшү керек. Ошондуктан акыркы тиренин


91

ордунда 2 цифрасы турушу керек. Эми, 9га бөлүнүү шарты боюн-ча, 6792 санынын цифраларынын суммасы 9га бөлүнүшү керек. Мындан, биринчи тиренин ордунда 3 цифрасы гана болуш керек. Бул канаттуулардын жалпы баасы 367,92 доллар, ал эми бир индюк-тун баасы: 367,92 ꞉ 72 = 5,11 доллар болгон.

Көнүгүү1. 4, 16, 25ке бөлүнүү шартын түзгүлө жана далилдегиле.2. 5ке бөлүнгөн 423X6Y түрүндөгү эӊ чоӊ натуралдык санды

тапкыла.3. 11ге бөлүнгөн 723243Y түрүндөгү натуралдык сандарды

тапкыла.4. 11ге бөлүнгөн 98723X45Y түрдөгү а) эӊ кичине; б) эӊ чоӊ нату-

ралдык сандарды тапкыла.5. Изделүүчү эки орундуу сандын цифраларынын көбөйтүндүсү,

алардын суммасынан эки эсе чоӊ. Эгерде, изделүүчү сандын цифра-ларын ордун алмаштырып койсок, анда изделүүчү сандан 27ге аз сан келип чыгат. Бул санды тапкыла.

6. Отургучтарды сатып алуу боюнча билдирүү берип жатып, Киса Воробьянинов, 975 – үч акыркы гана саны калган чекти көрсөттү, кал-ган жагы сыя болуп калган. Ар бир отургучка 125 сомдон төлөнгөн-дүгүн айтты. Остап Бендердин Кисаны жазалаганы туура болгонбу?

7. Бир буюму 11 сом турган фирма, 4915 иретинде жанаша турган цифралардын группасы менен чек көрсөткөндөрдүн ар бирине белек берүүгө убада кылды. Белек алуу үчүн канча бирдик буюм алуу же-тиштүү болот?

8. 4915ти 837627ге алмаштырып, 7-маселени чыгаргыла.9. Акылай 33 дептер, 12 калем сап жана бир нече китеп сатып

алды. Ар бир китептин баасы 45 сомдон. Сатуучу 213 сом 99 ты йын төлөөнү сураганда, Акылай, ката эсептелип калганын айтып, кайра санаш керектигин суранды. Акылай өзүнүн суранычын кантип түшүн-дүрдү? Жанында турган Билбесбек бул түшүндүрүүнү угуп, ката бо-луп калгандыгын оӊой билсе боло тургандыгын айтты. Дептерлер жана калем саптар биригип 45 даана сатылып алынган. Ар бир китеп 45 сомдон турат. Ошондуктан, сатып алуунун баасы 45ке бөлүнүүчү, жеке учурда 5 менен аяктаган сан болушу керек. Билбесбектики туурабы?

2-теорема. Натуралдык сандардын көптүгү чексиз.

Далилдөө. Эгерде натуралдык сандардын көптүгү чектүү эле-менттерден турса, анда эӊ чоӊ болгон M натуралдык саны жашайт.


92

M + 1 санын карап көрөлү. Бул дагы натуралдык жана Mден чоӊ. Алынган карама-каршылык теореманы далилдейт.

Биз каршылык менен далилдөө ыкмасын колдондук.Натуралдык сандар менен көп сонун ырастоолор байланышкан.

Булардын бири арифметикалык прогрессияны суммалоого түздөн-түз тиешелүү.

Математикалык окуялардын биринде, кандайдыр бир себептер менен мугалим сабак өткүсү келбейт. Жети жашар окуучуларды алаксытыш үчүн аларга 1ден 100гө чейинки натуралдык сандардын суммасын табууну тапшырды. Ал өзүнүн ордуна ыӊгайлашып отура электе, окуучулардын бири тапшырманы аткаргандыгын билдирди. Бул окуучу кийин чыгаан математик Карл Фридрих Гаусс болгонун ай-тышат. Кичинекей Гаусс 1, 2, 3, 4… 98, 99, 100 удаалаштыгында, 1 жана 100; 2 жана 99; 3 жана 98 ж. б. суммалары бирдей экендигин байкаган. Мындай суммалардын бардыгы 50. Ошондуктан, удаа-лаштыктын мүчөлөрүнүн суммасы 50 =5050.

Ушундай эле ой жүгүртүүлөр боюнча, 1, 2… n сандарынын сумма-сы (1 + n)n/2.

Мындан, a, a + d, a + 2d, …, a + (n − 1)d, a + nd удаалаштыгынын (n + 1) мүчөлөрүнүн суммасы (n + 1) a + d(1+ n)n /2 экендигин дароо алууга болот.

Башка бир ырастоо, ферманын улуу теоремасы деп аталат. Бүгүнкү күнгө чейин, теорема толук канааттандыраарлык далилдөө-гө ээ эмес.

Ал мындай деп айтылат:

xn + yn = zn теңдемеси, бардык n > 2 натуралдык сандары үчүн чыгарылышка ээ эмес.

n = 2 учурунда, бул теӊдемененин көптөгөн чыгарылыштары бар. Мисалы, x = 3, y = 4, z = 5 же x = 5, y = 12, z = 13. Теорема боюн-ча n > 2 болгон учурда мындай бир дагы үчтүк жок. Бул маселенин түзүлүшүнүн жөнөкөйлүгү жана анын чыгарылышына коюлган чоӊ ак-чалай байге көптөгөн адамдарды кызыктырды. Себеби байге алыш үчүн барабардыкты канааттандыруу менен бирге, теореманын туура эместигин көрсөткөн үч санды көрсөтүү жетиштүү.

20-кылымдын башында математикалык журналдар, маселенин чыгарылышын көрсөткөн каттарга жык толгон. Ошондуктан көп жур-налдар ферманын улуу теоремасынын далилдөөсүн кабыл албаган-дыктары тууралуу кулактандыруу жарыялашкан. Бир четинен бул


93

андан кийин немец маркасындагы байгенин баасын төмөндөткөн ин-фляция үчүн каттардын саны жоголгон.

Силерде дагы бул маселени чыгарып, тарыхта калуу мүмкүнчүлүк бар!

2. Сан көптүктөрү

1. 1, 2, ж. б. саноодо колдонулган сан көптүктөр натуралдык деп аталат жана N деп белгиленет.

N көптүгү, кошуу жана көбөйтүү амалдарга карата туюк. Башкача айтканда, эки натуралдык сандын суммасы жана көбөйтүндүсү нату-ралдык сан болот.

2. Кемитүү амалы Nден чыгарат. Натуралдык сандардын айырма-сы катары көрсөтүүгө болгон сандар, Z бүтүн сандар көптүгүн түзөт. Символдук түрдө бул m Ý Z _ m = n − k деп жазылат, мында n Ý N, k Ý N. Бул жерде « Ý » – тиешелүү же элементи болот, «<=>» – экви-валенттүү деген белгилер колдонулган. Анда, « Ô » же « Ý » – тие-шелүү эмес, «A ^ B» – бул Адан В келип чыгат дегенди билдирет.

Бүтүн сандардын көптүгү натуралдык сандардан, нөлдөн жана терс бүтүн сандардан турат.

3. Бөлүү амалын киргизип жатып, биз рационалдык сандар көптү-гүн алабыз: Q: Q = {p/q ꞉ p Ý Z, q Ý N}.

Q көптүгү, бардык арифметикалык амалдарга карата туюк: ко-шуу, кемитүү, көбөйтүү жана бөлүү, нөлгө бөлүүдөн башкасы. Математикадагы мындай көптүктөр талаалар деп аталат.

p/q түрүндөгү сандар жөнөкөй бөлчөктөр деп аталат. Жөнөкөй бөлчөктөрдү кошуу жана кемитүү үчүн аларды, чоӊ эсептөөлөргө алып келген, жалпы бөлүмгө келтирүү керек экендиги белгилүү.

1-маселе

8 12500018487 − 3 320

17 = 5 + 12500 3218487 32–17 12500

$$ $ = … .

Ошондуктан математикада бөлүмү ондун даражасы болгон ондук бөлчөктөр көп колдонулат.

Жөнөкөй бөлчөктү ондукка которуш үчүн, жөнөкөй бөлчөктүн алы-мын бөлүмүнө бөлүш керек:

8 12500018487 = 8,147896; 3 320

17 = 3,053125.

Анда 8 12500018487 − 3 320

17 = 5,094771.


94

Жөнөкөй бөлчөктөрдү ондук бөлчөктөргө өзгөртүп түзүүдө чектүү дагы, чексиз дагы ондук бөлчөктөр болуп калышы мүмкүн:

Анда, 23/5=4,6; 4/7=0,(571428). Акыркы туюнтма мезгилдүү ондук бөлчөк деп аталат, ал эми кайталанган топко кирген цифралардын саны, мезгилдин узундугу деп аталат. Бул жерде узундугу 6га барабар.

Теорема. Каалаган жөнөкөй бөлчөктү ондук мезгилдүү бөлчөк менен берсе болот. Тескери ырастоо дагы орун алат.

Далилдөө. p/q санынын алымын бөлүмүнө бөлүүдө, калдыкта q сан гана пайда болушу мүмкүн: 0дөн q − 1ге чейин. Эгер нөл пайда болсо, анда чектүү ондук бөлчөк болот. Бул учурда мезгилге дайыма нөлдү койсок болот: 4,6 = 4,6(0). Эгерде, бөлчөк бөлүгүн эсептөөдө, калдыкта, 1ден q − 1ге чейинки сандардын бири кайталанса, а бул сөзсүз болот, aнда бул учурдан баштап, мезгил кайталанат. Анда мезгилдин узундугу q − 1дан кичине же барабар.

Тескерисин далилдейли. Бөлчөктү хка барабарлайлы. Бул бара-бардыктын эки жагын теӊ 10kга (k – мезгилдин узундугу) көбөйтүп, экинчи теӊдемени алабыз. Андан биринчисин кемитип, хты жөнөкөй бөлчөк түрүндө алабыз.

2-мисалa) 0,(31) = x, 31,(31) = 100x, 31 = 99x, х = 31/99. b) 2,4(173) = x, 2417,3(173) = 1000x, 2414,9 = 999x, x = 24149/9990.

Теорема рационалдык сандар көптүгүнүн баштапкысына эквива-ленттүү, башка аныктама бере алат: мезгилдүү бөлчөктөрдүн жар-дамы менен жазууга боло турган сандардын көптүгү, рационалдык сандар көптүгү деп аталат.

4. Ондук мезгилдүү бөлчөктөр менен катар эле, мезгилсиз дагы болот. Мисалы: 1,011011101111...

а) 23 5–20 4,6 30–30

0

b) 4 7 0,571428571428 50 10

30 20 60 40


95

Мындай бөлчөктөр менен берилген сандарды, рационалдык эмес же иррационалдык деп айтуу логикага жатат (латын тилинде «эмес» деген «ир» деп айтылат).

Анда, мезгилсиз ондук бөлчөктөр менен берилген сан көптүктөрү, иррационалдык сандар көптүгү деп аталат жана J деп белгиленет.

Иррационалдык сандар, табигый түрдө, математиканын өнү-гүү процессинде пайда болгон. Мисал катары төмөнкү маселени келтирели.

3-маселе

Катеттери 1 болгон тик бурчтуу үч бурчтуктун гипотенузасы бол-гон 2 , саны иррационалдуу экендигин далилдегиле.

Далилдөөнү каршылашы боюнча ыкма менен жүргүзөлү. 2 – рационалдык деп эсептейли. Анда, 2 = p/q, p Ý Z, q Ý N

болгон, р жана q өз ара жөнөкөй сандар жашайт. Квадратка көтөрүп p2 = 2q2 алабыз. Анда, p2 – жуп. Жуп сандын квадраты гана жуп бол-гондуктан, р – жуп, б. а. p = 2p, p Ý Z. Анда, 4p1

2 = 2q2, же 2p12 = q2.

Ой жүгүртүүгө каршы, q – жуп экендигин алабыз. Жыйынтыгында, р жана q жалпы 2 көбөйтүүчүсүнө ээ, бул башындагы айтылган сөзгө карама-каршы.

5. Рационалдык жана иррационалдык сандардын көптүгү анык сандардын көптүгү деп аталат жана R деп белгиленет.

6. Тамырдан чыгаруу амалы иррационалдык гана эмес, комплекс-түү сандарга дагы алып келет. Так эмес: терс сандан тамыр чыкпайт деген ырастоо көп айтылат. Туурасы төмөндөгүдөй айтылат: терс анык сандын тамырынан, анык сан чыкпайт.

Аныктама. a + ib, туюнтмасы комплекстүү сан деп аталат, мында a, b Ý R, i = –1 жалган бирдик деп аталат, a – комплекстүү сандын анык, b – жалган бөлүгү.

Мейли z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2. Анда z1 + z2 = (a1 + a2)+ i(b1 + b2), z1 − z2 = (a1 − a2)+ i(b1 − b2), z1z2 = (a1 + ib1) (a2 + ib2) = a1a2 + ib1a2 + a1ib2 + i2b1b2 =

= (a1a2 − b1b2) + i(a1b2 + b1a2).

Эгерде z = a + ib, a − ib саны zке карата түйүндөш деп аталат жана z деп белгиленет.

z1 комплекстүү санды z2ге бөлүш үчүн, z1/z2 санынын алымын жана бөлүмүн, бөлүмүнүн түйүндөшүнө көбөйтүп коюу жетиштүү.


96

4-мисал(7 − 2i)/(3 + 4i) = [((7 − 2i)/(3 − 4i))]/[(7 − 2i)/(3 − 4i)] = = (13 − 34i)/25 = 13/25 − 34i/25.Комплекстүү сандарды колдонуп, x2 + px + q = 0 экинчи даража-

дагы алгебралык теӊдемелердин тамырлары жөнүндө ырастоону алабыз:

а) теӊдеме дайыма эки тамырга ээ;б) эгерде р жана q анык болгон теӊдемеде a + ib тамыры жашаса,

анда a − ibда жашайт.Биринчи ырастоонун далилдөөсү, төмөндөгү тамырлар үчүн фор-

мулалардан келип чыгат:

x1 = − p/2 − ( /4) –p q2 , x2 = − p/2 + ( /4) –p q2 .

Экинчи ырастоо Виеттин теоремасынан келип чыгат:(− p) = x1 + x2 барабардыгы, жалган бөлүктөрү белгиси менен гана

айырмаланарын көрсөтүп турат, ал эми x1x2 = q барабардыгынан анык бөлүгү келип чыгат.

5-мисалx2 − 2x + 5 = 0 ^ x1,2 = 1 ± 1 – 5 ^ x1,2 = 1 ± –1 · 4 ^ x1,2 = 1 ± i2.

6-мисалx4 − 3x2 + 4 = 0 теӊдемесин чыгаралы.Бул y = 3x2 алмаштыруусу менен y2 − 3y + 4 = 0 квадраттык теӊде-

месине келе турган биквадраттык теӊдеме.Анын тамырлары:y1,2 = 1,5 ± 2,25 – 4 = 1,5 ± –1,75 = 1,5 ± i 1,75 .

Мындан, баштапкы теӊдеменин тамырларын, x2 = 1,5 + i 1,75 жана x2 = 1,5 − i 1,75 теӊдемелерин чыгарып тапсак болот.

Ал үчүн, a + ib тамырын белгилеп алалы жана: эгерде эки ком-плекстүү сандын анык жана жалган бөлүктөрү барабар болсо, анда алар барабар болушат деген аныктаманы колдонолу.

Мындан, биринчи барабардыктын чыгарылышы

a + ib = 1,5 1,75i+ теӊдемесинен келип чыгат.Эки жагын теӊ квадратка көтөрөлү a2 − b2 + 2iab = 1,5 + i 1,75

жана анык жана жалган бөлүктөрүн барабарлайлы:

– 1,52 1,75a b

ab

2 2 ==

)


97

Системанын экинчи (a = 1,75 /2b) теӊдемесинен аны туюнтуп, жана биринчиге коюп, 0,4375 − b4 = 1,5b2 теӊдемесин алабыз.

Анын тамырлары:b2 = − 0,75 ± 0,5625 0,4375+ b саны анык болуш керек болгондуктан, b2 терс боло албайт, б. а. терс тамыр тышкары болот. Анда b2 = 0,25.

Мындан x2 = 1,5 + i 1,75 теӊдемесинин чыгарылышын алабыз:

z1 = 1,75 + 0,5i жана z2 = − 1,75 − 0,5i.

Баштапкы теӊдеменин калган эки тамыры – x2 = 1,5 − i 1,75 – теӊдемесинин тамырлары ушундай эле табылат:

z3 = − 1,75 + 0,5i жана z4 = − 1,75 − 0,5i.


98

АДАБИЯТТАР1. Пойа Дж., Килпатрик Ж. Конкурсные задачи по математике

Стэнфордского университета. – М.: Микротех, 1994. – 64 с.2. Фаддев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей математи-

ке. – М.: Наука, 1968. – 304 с.

Интернет-булактар

1. Бескин Л. Н. Стереометрия: Пособие для учителей средней школы. – Изд. 2-е, дополненное. – М.: Просвещение, 1971. – 410 с. [Электронный ресурс]. URL: https: (djvu/rar, 18,92 Мб) letitbit.net || depositfiles.com || ifolder.ru

2. Блох А. Я., Гусев В. А., Дорофеев Г. В. и др. / Сост. В. И. Мишин. Методика преподавания математики в средней школе: Частная ме-тодика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. М.: Просвещение, 1987. – 416 с., илл. [Электронный ресурс]. URL: https: (djvu/rar, 9,13 Мб) letitbit.net || depositfiles.com || ifolder.ru (pdf/rar, 20,04 Мб) ifolder.ru || mediafire

3. Великина П. Я. Сборник задач по геометрии для 6–8 классов: Пособие для учителей. – Изд. 2-е, переработ, и доп. – М.: Просвещение, 1971. – 207 с., илл. [Электронный ресурс]. URL: https: (djvu/rar, 10,4 Мб) letitbit.net || depositfiles.com || ifolder.ru

4. Волковский Д. Л. Методика арифметики в начальной школе: Пособие для учителей. – Изд. 3-е. – Государственное учебно-педагогическое издательство, 1937. [Электронный ресурс]. URL: https: (djvu, 6,54 Мб) mediafire.com || rghost.ru

5. Денищева Л. О., Кузнецова Л. В., Лурье И. А. и др. Зачёты в систе-ме дифференцированного обучения математике. – М.: Просвещение, 1993. – 192 с., илл. (Б-ка учителя математики) [Электронный ресурс]. URL: https: (djvu/rar, 7,61 Мб) letitbit.net || depositfiles.com || ifolder.ru

6. Егерев В. К. и др. Методика построения графиков функций. Учебн. пособие для студентов вузов. – Изд. 2-е. – М.: Высшая шко-ла, 1970. – 152 с., илл. [Электронный ресурс]. URL: https: (djvu/rar, 2,7 Мб) depositfiles || rghost.ru || letitbit.net


99

7. Кавун И. Н., Попова Н. С. Методика преподавания арифмети-ки. Для учителей начальной школы и студентов педтехникумов. – М.: Государственное учебно-педагогическое издательство, 1934. – 419 с. [Электронный ресурс]. URL: https: (djvu, 8,43 Мб) ifolder.ru || rghost.ru

8. Каплан Б. С., Рузин Н. К., Столяр А. А. Методы обучения математи-ке: Некоторые вопросы теории и практики. / Б. С. Каплан, Н. К. Рузин, А. А. Столяр / Под ред. А. А. Столяра. – Минск: Нар. асвета, 1981. – 191 с., илл. [Электронный ресурс]. URL: https: (djvu/rar, 6,08 Мб) letitfile.com || depositfiles.com || ifolder.ru

9. Колягин Ю. М., Луканкин Г. Л., Мокрушин Е. Л. и др. Методика препо-давания математики в средней школе. Частные методики: Учеб. посо-бие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1977. – 480 с. [Электронный ресурс]. URL: https: (djvu/rar, 31,55 Мб) depositfiles.com || ifolder.ru || letitbit.net

10. Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике. Часть I. Математические задачи как средство обучения и развития учащих-ся. – М., Просвещение, 1977. – 113 с. [Электронный ресурс]. URL: https: (djvu/rar, 3,94 Мб) ifolder.ru || mediafire

11. Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике. Часть II. Обучение математике через задачи и обучение решению задач. – М., Просвещение, 1977. – 145 с. [Электронный ресурс]. URL: https: (djvu/rar, 3,94 Мб) ifolder.ru || mediafire

12. Колягин Ю. М., Оганесян В. А., Саннинский В. Я., Луканин Г. Л. Методика преподавания математики в средней школе. Общая мето-дика. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов. – М.: Просвещение, 1975. – 462 с. [Электронный ресурс]. URL: https: (djvu/rar, 23,54 Мб) ifolder.ru || mediafire

13. Леонтьева М. Р., Суворова С. Б. Упражнения в обучении алгебре: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1985. – 128 с. [Электронный ре-сурс]. URL: https: (djvu/rar, 6,55 Мб) letitbit.net || depositfiles.com || ifolder.ru

14. Леонтьева М. Р. Самостоятельные работы на уроках алгебры. Пособие для учителей. [Электронный ресурс]. URL: https: (djvu/rar, 4,87 Мб) depositfiles.com || ifolder.ru || letitbit.net || letitfile.com


100

15. Ляпин С. Е. (ред.) Методика преподавания математики в 8-летней школе. – М.: Просвещение, 1965. – 745 с. [Электронный ресурс]. URL: https: (djvu/rar, 6,56 Мб) ifolder.ru || mediafire

16. Лященко Е. И. Изучение функций в курсе математики восьмилетней школы. – Минск: Нар. асвета, 1970. – 176 с. [Электронный ресурс]. URL: https: (djvu/rar, 7 Мб) depositfiles.com || ifolder.ru || letitbit.net

17. Мацкин М. С. и Мацкина Р. Ю. Функции и пределы. Производная: Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1968. – 182 с., илл. [Электронный ресурс]. URL: https: (djvu/rar, 6,91 Мб) letitbit.net || depositfiles.com || ifolder.ru

18. Перова М. Н. Методика преподавания математики в специальной (коррекционной) школе VIII вида: Учеб. для студ. дефект. фак. педву-зов. – 4-е изд., перераб. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2001. – 408 с., илл. Учебник состоит из двух разделов: 1. Общие вопросы методики обучения математике в школе VIII вида (для детей с нару-шением интеллекта). 2. Частные вопросы методики обучения мате-матике в школе VIII вида. [Электронный ресурс]. URL: https: (doc/rar, 2,22 Мб) ifolder.ru || mediafire

19. Репьев В. В. Методика преподавания алгебры в восьмилетней школе: Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1967. – 276 с., илл. [Электронный ресурс]. URL: https: (djvu/rar, 6,80 Мб) letitbit.net || depositfiles.com || ifolder.ru

20. Симонов Р. А. Математическая мысль Древней Руси. – М.: Наука, 1977. – 121 с. [Электронный ресурс]. URL: https: (djvu/rar, 7,55 Мб) depositfiles.com || ifolder.ru || letitbit.net

21. Столяр А. А. Педагогика математики. – Минск: Вышейшая школа, 1986. – 414 с. [Электронный ресурс]. URL: https: (pdf/rar, 17,66 Мб) ifolder.ru || mediafire

22. Столяр А. А. Логические проблемы преподавания математи-ки: Учебное пособие для педагогических вузов. – Минск: Высшая школа, 1965. – 255 с. [Электронный ресурс]. URL: https: (djvu, 2,63 Мб) || rutracker


101

23. Столяр А. А. Методы обучения математике. – Минск: Высшая школа, 1966. – 191 с. [Электронный ресурс]. URL: https: (pdf/rar, 9,45 Мб) ifolder.ru || mediafire

24. Эрдниев П. М., Эрдниев Б. П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1986. – 255 с., илл. [Электронный ресурс]. URL: https: (djvu/rar, 6,96 Мб) letitbit.net || depositfiles.com || ifolder.ru

Ошондой эле, төмөнкү электрондук китептерди сунуштайбыз:

Электронные версии школьных учебников/задачников/дидактичес-ких материалов (часть 1)




Кыргыз авторлорунун эмгектерин lib.kg сайтынан жүктөөгө болот.


102

М А З М У Н У

КИРИШҮҮ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3ПАРАГРАФТАРГА ТҮШҮНДҮРМӨЛӨР . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

§ 1. Кайталоо үчүн тапшырмалар. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8§ 2. Сан огу. Модуль менен теӊдемелер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20§ 3. Тегиздиктеги тик бурчтуу координата системасы . . . . . . . . . . . . . 22§ 4. Түз пропорционалдуу көз карандылык. Пропорциялар. . . . . . . . . 24§ 5. Кошулмалар. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26§ 6. Сызыктуу теӊдемелердин жөнөкөй системалары. . . . . . . . . . . . . 27§ 7. Натуралдык сандарды жазуунун позициондук системасынын

касиеттери . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30§ 8. Сандардын бөлүнүүчүлүгү. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31§ 9. Натуралдык сандарды көбөйтүүчүлөргө ажыратуу. Эӊ кичине

жалпы бөлүнүүчү (ЭКЖБ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33§ 10. Кадимки бөлчөктөрдүн барабардыгы. Эӊ чоӊ жалпы бөлүүчү

(ЭЧЖБ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35§ 11. Кадимки бөлчөктөрдүн үстүнөн жүргүзүлгөн амалдар . . . . . . . . 36§ 12. Даражалар. Абсолюттук жана салыштырмалуу каталык . . . . . . 38§ 13. Теӊдемелерди түзүүгө маселелер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39§ 14. Орточо маанилер: Ортоломо. Мода. Медиана . . . . . . . . . . . . . . . . .41§ 15. Маалыматтарды уюштуруу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43§ 16. Айлана. Тегерек. Сектор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Ɵз алдынча иштөөгө багытталган материалдар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45A1. Сыйкырдуу таблица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

A2. Криптография . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46A3. Тактыкка, логикага, изденүүгө багытталган тесттик тапшырмалар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

ТИРКЕМЕЛЕР . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Болжолдуу календардык-темалык план . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Курстун мазмуну. Компетенциялар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Текшерүү иштер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Кыскартылган көбөйтүүнүн формуласы, Пифагор жана башка нерселер жөнүндө . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75«Математика» курсуна киришүүдөн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Математикадагы жалпы түшүнүктөр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Адабияттар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Интернет-булактар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98


Кыдыралиев Сыргак Капарович Урдалетова Анаркуль БурганаковнаДайырбекова Гульнара Мелисовна

Лисовская Галина Анатольевна

Методикалык колдонмо

Математика6-класс

Окутуу кыргыз тилинде жүргүзүлгөн мектептердин мугалимдери үчүн

Редактору Ж. МедералиеваТехн. редактору Ж. Жолдошева

Компьютерде калыптоочу Т. Сандыбаева


Басууга 07.08.2018-ж. кол коюлду. Офсеттик басма. Офсеттик кагаз.

Форматы 60 х 84 1/16. «Arial» ариби. Көлөмү 7,5 б. т.Нускасы 2900 экз. Буйрутма № 365.

Басма иштери «Аркус басмасы»ЖЧКсында даярдалды

720016, Кыргыз Республикасы,Бишкек ш., Самойленко көч., 7 В


МАТЕМАТИКА...3 КИРИШҮҮ Урматтуу кесиптештер! Сиздер...

Documents

Transcript of МАТЕМАТИКА...3 КИРИШҮҮ Урматтуу кесиптештер! Сиздер...