МАТЕМАТИКА · 3 35. Израчунати: 4 2log 91 5 log 125 2 2 3 3 36. Ако је log...

МАТЕМАТИКА

ЗАДАЦИ ЗА МАТУРСКИ ИСПИТ ШКОЛСКЕ 2015/2016.ГОДИНЕ

1. Доказати да је ирационалан број.

2. Радећи дневно 8 часова 20 радника је зарадило 12000 динара за 15 дана. Колико

часова дневно треба да раде 40 радника да би за 10 дана зарадили 10000 динара?

3. Упростити израз:

22

33

22

22 11:

ba

ba

bab

a

ba , baba ,0,0

4. Раставити на просте факторе:

5. Израчунати n за које је 03,002,010 5 n

6. Израчунати 4321 0625,0125,025,05,0

7. Израчунати 20 од вредности израза: 2

1

2

41

3

15,04,02

8. Израчунај 332142021420

9. Решити једначину: izz 812 , где је yixz

10. Упростити израз: .

11. Израчунати R(z) ако је и .

12. Производ свих реалних решења једначине 1322 xxx је?

13. Ако су x 1 и x 2 решења квадратне једначине 012 2 xx , одредити x 12 + x 2

2

14. Ако су x 1 и x 2 решења квадратне једначине 0222 mxx . Одредити m из

услова 101313 21 xx

15. Дискутовати решења једначина, у зависности од вредности реалних параметара

(одредити природу решења):

2

16. У једначини одредити реалан параметар k тако да решења

задовољавају услов:

17. Решити једначину по x, ɑ је реалан параметар: (биквадратна).

18. Решити једначину: (кососиметрична).

19. Једначина има тачно једно решење по x. Одредити x и k.

20. У каквој вези, независној од m, стоје решења x1 и x2 једначине:

21. У каквој вези, независној од m, стоје решења x1 и x2 једначине:

22. Одредити реалан број m, тако да једно решење дате једначине

буде квадрат другог решења.

23. Одредити p тако да за свако реално x буде

24. Решити систем једначина:

25. Решити једначину:

26. Израчунати:

27. Упростити израз: , x>1

28. Решити систем: 2222 xyyx , 6 yx

29. Решити едначину: 09661346 xxx



32. Решити неједначину:

33. За које вредности x је 13 62

xx

34. Решити једначину: 36333333 4321 xxxxx .

3

35. Израчунати: 19log24log1

532 32125log2

36. Ако је a3log12 , наћи 8log3

37. Одредити област дефинисаности функције 352log 2 xxy

38. Одредити област дефинисаности функције 352log 2 xxy

39. Решити једначину: 13loglog 29 x

x

40. Решити једначину: xx x 100log

41. Ако је

22log4log

1log

x, колико је x?


340log

11log

3

x

x

43. Решити неједначину: 03

2loglog

2

85,0

x

xx

44. Решити неједначину: 13,0 23

13log

x

x

45. Одредити све вредности x за које 02

1log

x

x


log

x

x

47. Доказати идентичност (аргументи су дати тако да су сви изрази дефинисани):

48. Израчунати tgx+ctgx, ако је tg2x+ctg

2x=2

49. Ако је ++=, доказати да је:

50. Доказати:

ctgbctgababa

baba

coscos

coscos

51. Упростити израз:

52. Доказати: 224545 tgtgtg

4


54. Решити неједначину:

55. Решити једначину: 0cos2sin xx

56. Решити једначину: xx sin3sin

57. Доказати: tgxxx

xx

2sin2cos1

2sin2cos1, 1tgx

58. Изразити sin5x и cos5x преко sin x и cos x.

59. Дуж AB подељена је у размери 2:3:4. Растојање између средина крајњих делова

је 5,4 cm. Колики је мерни број дужине дужи AB?

60. Колика је површина ромба чија је једна дијагонала cmd 61 , а страница cma 5 ?

61. Производ дужине полупречника описаног и уписаног круга једнакостраничног

троугла је 8. Одредити О и P троугла.

62. Израчунати површину правоугаоника ако се његове односе као 3:4, а

полупречник описаног круга је 1dm.

63. Тетива круга износи 30cm, а њено растојање од центра је 9 cm мање од

полупречника тог круга. Колики су r, O и P тог круга?

64. Израчунати површину праве купе ако је М=15, а збир полупречника и

изводнице 8.

65. Полупречници основа зарубљене купе и њена изводница односе се 1:2:5. У ком

односу стоје површина те зарубљене купе и површина њеног омотача М?

66. Осни пресек праве купе је једнакокраки правоугли троугао. Колика је P и V те

купе ако њен омотач износи 281 cm2?

67. Дата су темена паралелограма ABCD: A(1,-2,0), B(2,1,3), C(-2,0,5). Одредити

координате темена D и површину паралелограма.

68. Наћи једначину праве p, која садржи пресечну тачку правих a: x+2y-5=0 и

b: 2x+3y-7=0 и нормална је на праву q: 2x-2y+5=0.

69. Одредити координате ортоцентра троугла ABC, ако су једначине његових

страница AB, BC, CA редом x-y-2=0, 2x+y-13=0, 4x-y-5=0.

5

70. Одредити једначину тангенте хиперболе 164 22 yx у њеној тачки (5,2

3).

71. Ако тачке A(1,2), B(2,3), C(4,к) припадају једној правој онда је к једнако?

72. Наћи једначину тангенте круга 55522 yx која је паралелна са правом

042 yx .

73. Одредити једначину кружнице чији је центар у пресеку правих 0152 yx и

0173 yx , а пролази кроз А(9,-5).

74. Одредити једначину елипсе кроз две тачке P(-3,8), Q(6,-4).

75. Наћи једначину тангенте круга описаног око троугла ABC, конструисане у тачки

A, ако је: A(-1,8), B(-3,4), C(6,7).

76. За које вредности параметра а је права 05 yax тангента елипсе

144169 22 yx ?

77. Наћи једначину праве која пролази кроз пресек праве 0623 yx и ординатне

осе, а паралелна је са правом 052 yx .

78. Између -2 и 46 уметнути 15 бројева, тако да сви заједно формирају аритметички

низ. Колики је збир ових 17 бројева?

79. За које вредности x бројеви log2, log(2x-1) и log(2

x+3) представљају, у датом

поретку, три узастопна члана аритметичког низа?

80. Колико чланова има геометријски низ, ако је збир првог и петог члана 51, збир

другог и шестог 102, а збир свих чланова 3069?

81. Први члан аритметичког низа је 24. Написати првих десет чланова овог низа,

ако први, пети и једанаести члан одређују геометријску прогресију.

82. Колико чланова аритметичког низа 5, 9, 13, 17, ... треба сабрати да би се добио

збир 10877?

83. У геометријској прогресији је 5151 aa , 10262 aa . За које n је збир првих n

чланова те прогресије 3069?

84. Испитати и решити систем једначина :

12

1

233

azyx

zayx

azyxa

6

85. Испитати и решити систем једначина:

pzpyx

pzyxp

zypx

44

64

14

86. Испитати и решити систем једначина за све вредности параметра p:

0

0

0

pzyx

zpyx

zypx

87. Испитати и решити систем једначина за све вредности реалног броја p:

525

1

23

zyx

zypx

pzypx

88. Испитати и решити систем једначина за све вредности реалног броја p:

276

14

432

zyx

zpyx

pzypx

89. Израчунати: xxxx

3 23

1 2lim и 22

8

2

2 sinlim x

x

x

90. Израчунати: 6

6582lim

2

44 2

2

xx

xx

x

91. Израчунати : а) 2

12

212lim

x

xxx b)

1

2lim

1 x

xx

x


2coscos1lim

x

xx

x

а) без примене Лопиталовог правила

b) применом Лопиталовог правила

93. Израчунати: xx

tgx

x sin1sin1lim

0 а) користећи Лопиталово правило

b) не користећи Лопиталово правило


1lim

3

1

x

x

x а) користећи Лопиталово правило



27lim

3

3 2

1

x

xx

x а) користећи Лопиталово правило


7


x

ee bxax

x 0lim , где су a и b реални бројеви.


1lim1

xtgx

x

98. Израчунати запремину параболоида, тела које настаје ротацијом лика

ограниченог параболом y2=2px и правом x= а (а >0) око осе Ox.

99. Израчунати запремину елипсоида, тела које настаје ротацијом површине

ограничене елипсом b2x

2 + а

2y

2 = а

2b

2 око: а) осе Ox, б) осе Oy.

100. Израчунати запремину двостраног хиперболоида, обртног тела које

настаје ротацијом лика ограниченог хиперболом b2x

2 - а

2y

2 = а

2b

2 и правама x=

-2а и x=2а око осе Ox.

101. Израчунати запремину једностраног хиперболоида, обртног тела које

настаје ротацијом лика ограниченог хиперболом b2x

2 - а

2y

2 = а

2b

2 и правама y= -

b и y=b око осе Oy.

102. Одредити запремину торуса, тела насталог ротацијом круга x2 + (y-b)

2=r

2

око осе Ox (b>r).

Душанка Бјековић

Први разред

1. Ако је 21

1

x

x

xf , одредити 3f .

2. Ако су дате функције xxf 1 и xxg 2 , израчунати вредност израза xfgxgf .

3. Дат је полином aaxxaxxP 242 23 , где је a реални параметар. Одреди реалан параметар

a тако да остатак дељења датог полинома xP са биномом 2x буде 8 .

4. Ако је полином 3223 bxaxxxP дељив са 1x , а при дељењу са 2x има остатак 9,

одредити вредност израза ba .

5. Ако је остатак дељења полинома baxxxxP 23 9 биномом 1x једнак 4, а остатак дељења

биномом 1x једнак 24, одредити вредност израза ba .

6. Израчунати вредност израза 1

3

1

21

1

37223

2

aaa

a

a

aa за

3

1a .

7. Израчунати вредност израза

ab

ba

b

a

a

b

ab

ba 332

:3

за

10

3a и

5

6b .

8. Упростити израз .31

:1

333

1

3 2

3

4

2

2 xx

x

xx

x

xx

x

9. Упростити израз

1

2:1

233

33

22 ba

ab

ba

ba

baba

ab.

10. Упростити израз

ba

abba

ba

ba

abba

ba

3333

.

11. Решити једначину: 3

23

4

3

25

4

4

31

xxx

x

.

12. Решити једначину: 572 xx .

13. Решити једначину: 5213 xxx .

14. Решити систем једначина: 23

7

3

24

4

1

3

1

yxyx.


2823

3132

3232

zyx

zyx

zyx

.


123

542

132

zyx

zyx

zyx

.


34

x

x.


1

5

25

x

x.

19. У правоуглом троуглу висина cmh 2 дели хипотенузу на одсечке чије се дужине разликују за cm3 .

Израчунати површину троугла.

20. Странице троугла су cmcmcm 17,25,28 . Одредити полупречнике уписаног и описаног круга тог

троугла.

21. Дужина обима ромба је cm10 , а однос његових дијагонала је 4:3 .Колика је површина ромба?

22. Израчунати обим и површину једнакокраког трапеза описаног око круга ако је дужина веће

основице cm3 , а један његов унутрашњи угао је 060 .

23. Израчунати површину паралелограма чији је обим cm20 , оштар угао 030 , а висине се односе као

3:2 .

24. У квадрату странице a смештена су 4 подударна круга. Сваки од њих додирује две суседне странице

квадрата и два од три преостала круга. Израчунати површину криволинијског четвороугла одређеног

луковима сва четири круга.

25. Тетива круга је за 2 мања од пречника, а одстојање центра круга од тетиве је за 2 мање од

полупречника круга. Одредити дужину тетиве, обим и површину круга.

26. Ако се број страница датог правилног многоугла повећа два пута,онда се унутрашњи угао повећа за 015 . Колико страница има тај многоугао?

27. Ако се број страница једног многоугла смањи за 1, број његових дијагонала се смањи за 8. Који је то

многоугао?

Други разред

1. Одредити вредност израза 4

55

51

51 2121

21

21

.

2. Одредити вредност израза xx

x

x

x

x

x

x

x

aa

a

a

a

a

a

a

a

:

11

2

1

32

.

3. Израчунати 2

627627

.

4. Упростити израз 4813532 .

5. Израчунати

20082008

2

1

2

1

ii( i је имагинарна јединица).

6. Одредити све комплексне бројеве yixz за које је 11311332 zzii ,

( z је коњугат од z ).

7. У једначини 021335 22 xkxkk , одредити вредност параметра k тако да једно решење

буде два пута веће од другог.

8. Како гласи квадратна једначина за чија решења 1x и 2x важи 4

12

2

2

1 xx и 211

21

xx

?

9. Ако су 1x и 2x решења квадратне једначине 0242 kxkkx , одредити вредност параметра

k тако да је 12

2

2

1 xx .

10. Одредити реалан параметар m тако да решења једначине 0251 2 mxmxm

задовољавају услов 211

21

xx

.

11. Одредити реалан параметар m тако да је 01212 2 mxmxmRx .

12. Решити једначину 222 47124 xxxx .

13. Решити систем једначина

35

30

33

yx

yxxy.

14. Решити систем једначина 37

481

22

4224

yxyx

yyxx.

15. Решити неједначину 12

2

1

1

x

x

x.


181732

2

xx

xx.


22

xx

x.


65

9

12

2

xx

xx.

19. Решити ирационалну једначину 1321 xx .

20. Решити ирационалну једначину 1342 xxx .

21. Решити једначину 3525 232 xx .

22. Решити једначину 012174 42 xx .

23. Решити једначину 136333 12212 xxxx .

24. Решити неједначину 211 35235 xxxx .

25. Решити неједначину 0496109 xxx .

26. Решити неједначину

123

2

1

4

1

xx

.

27. Решити неједначину xx

x

1212 1

66

.

28. Израчунати 6log10 , ако је a3log8 и b5log3 .

29. Решити једначину xx 22323log 1

3 .

30. Решити једначину 55log15log12log2 51 x .

31. Решити једначину 04log34log24log3 164 xxx .

32. Решити систем једначина

7723

723

2

2

yx

y

x

.

33. Решити систем једначина 045

0loglog

22

24

yx

yx.

34. Решити систем једначина 2log3loglog

13log1log 22

yxyx

yx.

35. Решити неједначину 72log473log 2

2

2

2 xxxx .

36. Решити неједначину 2432log1 2

2 xx .

37. Решити неједначину xx 3log4log2

1

2

2

1 .

38. Решити неједначину 1log 2

23 xx .

39. Израчунати 2sin , ако је 0372 2 tgtg , за

4

5,

.

40. Доказати идентитет

2cos

12

coscossin2sin 44

tg.

41. Доказати једнакост

240sin40cos100sin

160sin04040

0

.

42. Израчунати 0000 80cos60cos40cos20cos .


4cos

5

2cos

.

44. Решити тригонометријску једначину 12sin2cos3sin 22 xxx .

45. Решити једначину

xtgtgx

33

.

46. Решити једначину 02cos5sin9sin xxx .

47. Решити једначину 12sinsin 22 xx .

48. Одредити она решења једначине xxxx 5sin3cos7sincos која се налазе у ,0 .

49. Решити неједначину 01sincos2 2 xx .

50. Решити неједначину 3cos3sin xx .

Трећи разред

1. У ваљак је уписана тространа пирамида, а у њу је уписан ваљак. Одредити однос запремина тих

ваљака.

2. Прав ваљак је пресечен једном равни паралелном његовој оси на растојању 3

2

rd од осе. Одреди

однос површина тако добијених делова.

3. Права купа је издубљена одоздо помоћу правог ваљка који је уписан у купу. Полупречник основе

купе је 3 r cm , изводница 5 s cm , а полупречник ваљка је 1 cm . Израчунати површину и запремину

добијеног тела.

4. Ромб странице 6 cm и мање дијагонале 4 cm ротира око осе која пролази кроз крај веће дијагонале и

нормална је на једну од страница ромба. Одредити површину тако добијеног тела.

5. Купа чија је висина једнака пречнику њене основе уписана је у лопту полупречника 8 r cm .

Одредити површину и запремину купе.

6. Око лопте полупречника R описана је правилна зарубљена купа. Доказати да је површина лопте мања

од површине омотача купе.

7. Две лопте једнаких запремина постављене су тако да центар једне припада површи друге. Израчунати

однос запремине њиховог заједничког дела и запремине једне од тих лопти.

8. На раван сто су стављене три лопте полупречника различитих дужина. Оне додирују сто у тачкама

21, AA и 3A и сваке две се међусобно додирују. Ако су странице троугла 1 2 2 3 1 34, 6, 8,A A A A A A

одреди производ дужина полупречника те три кружнице.

9. Taчке А(2,0,0),B(0,3,0),C(0,0,6),D(2,3,8) су темена пирамиде. Израчунати запремину пирамиде и

висину која одговара темену D.

10. На правој 2 6 0x y одредити тачку подједнако удаљену од тачака 5,3A и 6,2B .

11. Одредити једначину симетрале угла A троугла ABC ако је 4,1,6,6,0,2 CBA .

12. Права 3 2 18 0x y сече координатне осе Ox и Oy редом у тачкама A и B . Дуж AB подељена је

тачкама M и N на три једнака дела. Израчунати оштар угао између правих CM и CN ако је 7,8C дата

тачка.

13. Одредити једначину кружнице која садржи тачке 3,8A и 7,2 B , а центар јој припада правој

4 16 0x y .

14. Под којим углом се из тачке 7,5A види кружница 2 2( 2) 29x y ?

15. Одреди тачку на кружници 2 2 9x y која је најближа тачки 8,6 A . Написати једначину тангенте

кружнице кроз ту тачку.

16. Ако је дужина тетиве кружнице 2 2 2( 3) ( 4)x y r на оси Ox једнака 6, израчунати дужину тетиве

на оси Oy .

17. Израчунати површину квадрата уписаног у елипсу 2 24 36x y .

18. Из тачке 0,4A повучене су све тетиве елипсе 2 24 16x y . Одредити геометријско место средина

тих тетива.

19. Одредити тачку елипсе 2 24 9 72x y која је најближа правој 2 3 25 0x y .

20. Одредити једначине тангенти на хиперболу 2 2 16x y из тачке 7,1A .

21. Израчунати растојање између хиперболе 2 23 4 72x y и праве 3 2 1 0x y .

22. Одредити растојање тангенти хиперболе 2 24 20x y које су нормалне на праву 4 3 8 0x y .

23. Дата је парабола 2 20y x . Израчунати дужину тетиве параболе која садржи жижу параболе и

нормална је на осу параболе.

24. Одредити број чланова аритметичког низа код којег је однос збира првих 13 чланова према збиру

последњих 13 чланова једнак 2:1 , а однос збира свих чланова без прва три према збиру свих чланова

без последња три члана једнак је 3:4 .

25. Одредити четири узастопна члана геометријског низа ако је збир крајњих чланова једнак -49, а

средњих 14.

26. Збир прва четири члана геометријског низа једнак је 30, а збир наредна четири 480. Одреди први

члан тог низа.

27. Три броја од којих је трећи 12, су узастопни чланови растућег геометријског низа. Ако се број 12

замени бројем 9, бројеви постају три узастопна члана аритметичког низа. Који су то бројеви?

28. Цифре троцифреног броја су узастопни чланови геометријског низа. Ако се од тог броја одузме број

792 добија се број који има исте цифре, али у обрнутом поретку. Ако се прва цифра датог броја умањи

за 4, добија се број чије су цифре узастопни чланови аритметичког низа. Одредити тај број.

29. Сума геометријског реда једнака је 16, а збир квадрата његових чланова једнак је 5

768. Израчунати

први члан и количник тог реда.

Четврти разред

1. Одредити област дефинисаности функције 2

2

6

43

xx

xxy

.

2. Одредити област дефинисаности функције xxy 23log 2 .

3. Одредити асимптоте функције 2

3

1 x

xy

.

4. Наћи екстремне вредности функције 1

44 2

x

xxy .

5. Одредити m тако да крива 23 6xmxy има превојну тачку за 1x .


276lim

23

24

3

xxx

xx

x. .


25lim

2

5

x

x

x.

8. Наћи извод функције x

xy

ln1

ln1

.

9. Наћи извод функције xy 3cossin 2 .

10. Наћи други извод функције xey x sin .

11. Израчунати неодређени интеграл 44 x

xdx .

12. Израчунати неодређени интеграл dxe

ex

x

12

2

.

13. Израчунати неодређени интеграл xdxx ln .

14. Израчунати неодређени интеграл dxxxx sin322 .

15. Израчунати површину дела равни ограниченог правом xy и параболом 22 xy .

16. Израчунати запремину тела које настаје ротацијом око x -осе фигуре ограничене кривом

32 4 xy и правом 0x .

17. Разматрамо четвороцифрене бројеве у декадном систему.

а) Колико их има укупно?

б) Колико их је делјиво са 25?

18. У нумерисани ред од 12 седишта треба да седне 6 девојака и 6 младића. На колико различитих

начина они могу да се распореде тако да никоје две особе истог пола не седе једна поред друге?

19. Од 5 официра, 4 подофицира и 10 војника треба формирати групу од 4 особе у којој ће бити бар по

један официр и подофицир. На колико начина је то могуће учинити?

20. У развоју бинома 0,15

13 aaa , наћи члан који не зависи од a .

21. Коефицијент уз x у трећем члану биномног развоја

n

x

4

12 једнак је 31. Одредити n .

User

Replace

User

Replace

љ

User

User

МАТЕМАТИКА · 3 35. Израчунати: 4 2log 91 5 log 125 2 2 3 3 36. Ако је log...

Documents

Transcript of МАТЕМАТИКА · 3 35. Израчунати: 4 2log 91 5 log 125 2 2 3 3 36. Ако је log...