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회로이론회로이론Ch3 폐로 및 마디 해석법

김 영 석

충북대학교 전자정보대학

2015.3.1

E il ki @ b kEmail: [email protected]

Ch3-1전자정보대학 김영석

Ch 3 폐로 및 마디 해석법: 학습 목표

회로의 모든 전압과 전류를 구하기 위한 체계적인 방법을 배운다회로의 모든 전압과 전류를 구하기 위한 체계적인 방법을 배운다.

마디 해석법(Nodal Analysis)마디 해석법(Nodal Analysis)

폐로 해석법(Loop Analysis)


3.1 마디 해석법(Nodal Analysis)

회로를 나타내기 위해 사용하는 변수는 “마디 전압 (N d V lt s)”임회로를 나타내기 위해 사용하는 변수는 “마디 전압 (Node Voltages)”임.

마디전압은 각 마디와 미리 설정한 기준 마디(많이 연결된 마디, 접지(ground))와의 전압으로 정의.의 전압으로 정의

예:

1) 기준 마디 설정: 5번

2) 마디전압 (미지수,변수) Va, Vb, Vc

3) 각 마디에서 KCL로 연립방정식 완성

0943

:)(3

0369

:)(2

=−

++−

=−

++−

kVV

kV

kVVVnode

kVV

kV

kVVVnode

cbbabb

baasaa

전류 방향

039

:)(4 =+−

kV

kVVVnode cbc

c

전류 방향

Rvvi Nm −=


독립 전류원만 갖는 회로

1) 기준 마디 설정: 3번1) 기준 마디 설정: 3번

2) 마디전압 (미지수,변수) V1, V2

3) 각 마디에서 KCL로 연립방정식 완성3) 각 마디에서 KCL로 연립방정식 완성

0 :)(1 2

21

1

11 =

−++−

Rvv

RviVnode A

위 식에서 저항 대신 컨덕턴스를 이용하면 편리함

0 :)(2 3

2

2

212 =++

−−

Rvi

RvvVnode B

위 식에서 저항 대신 컨덕턴스를 이용하면 편리함.

0)(:)(20)( :)(1 212111

=++−−=−++−

vGivvGVnodevvGvGiVnode A

푸는 방법은 1) 가우스 소거법, 2) 행렬 해석, 3) MATLAB을 이용.

0)( :)(2 232122 =++ vGivvGVnode B


예제 3.1

가우스 소거법 41 == mAimAi가우스 소거법

)6/1,12/1(6,12

4,1

321

321

Ω==Ω=Ω==Ω=

==

kGGkGkRRkR

mAimAi BA

⎡ ++ 0)( vvGvGiVvVvmAkvkv

vv

64)3/2)(15(1543/6/)4)3/2(( )2(

4)3/2( )1(

22

21

=+==−=++−=>

+==>

행렬 해석

⎢⎡ =−+

⎢⎣

⎡=++−−=−++−

)(

0)(0)(

22211

23212

21211

A

B

A

iGvGGv

vGivvGvvGvGiVvVv 64)3/2)(15(,15 12 −=+−=−=

AAd )(

⎢⎣

⎡=+=−

⎢⎣ −=++−

)2(3/6/)1( 6/4/

)(

21

32221

A

B

ikvkvikvkv

iGGvGv

⎥⎤

⎢⎡

=⎥⎤

⎢⎡

=⎥⎤

⎢⎡ −

=

==∴= −−

mAI

vV

kkG

AAAdjGIGVIGV

16/14/1||

)( ,

1

11

⎣ −=+− )2( 3/6/ 21 Bikvkv⎥⎦

⎢⎣−

=⎥⎦

⎢⎣

=⎥⎦

⎢⎣−

=mA

Iv

Vkk

G4

, ,3/16/1 2


예제

1@ v1@ v

2@ v

3@ v

= ∑마디에연결된콘덕턴스

관찰에 의해 식을 세울 수도 있다.

1 2 = ∑ 마디 과 사이에연결된콘덕턴스

1 3 = ∑마디 과 사이에연결된콘덕턴스

∑


2 3 = ∑마디 과 사이에연결된콘덕턴스

예제 3.2

직관적으로직관적으로

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡−−

=⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

− 24

25.05.005.001

2

1

mm

vv

mmmm

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢

⎢⎣⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ −− 0)4/7(25.05.0 3

2

vmmm

2,4 == mAimAi BA

,1,4,2 54321 Ω=Ω==Ω== kRkRRkRR


종속 전류원을 갖는 경우

독립전원을 갖는 경우처럼 마디방정식을 사용독립전원을 갖는 경우처럼 마디방정식을 사용.

각 종속전원에 대해 제어변수를 표현하는 식을 마디전압의 항으로 나타낸다

− vvv − vvv0:@

2

21

1

11 =

−++

Rvv

Rviv oβ 0:@

2

12

3

22 =

−++−

Rvv

Rviv A

2: vi =전류종속3

:R

io =전류종속

011121 =⎟⎟

⎞⎜⎜⎛

−+⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+∴ vv βAivv =⎟⎟

⎞⎜⎜⎛

++− 21111

예제 3.3

223

121

⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝ RRRR ARRR ⎟

⎠⎜⎝

232

12

예제

02 21 VV =+ ][125 2 VV =k4*

][123 21

21

VVV =+−

][2

VV524

1 −=k6*


독립 전압원을 갖는 경우: 예제3.5

N d 3개로 V1 V2 V3이지만 V1/V2는 독입전압원을 가지기 때문에 미지수는 단지Node 3개로 V1,V2,V3이지만, V1/V2는 독입전압원을 가지기 때문에 미지수는 단지V2만 있다. => 식 1개만 필요

KCL @ node 2

VVVVkVV

kVV

kVV

612

012126

:@ 123222

−==

=−

+−

+

VVVVVV

5.16,12

2

31

=∴==


예제 3.6

회로에서 2개의 KCL를 세우기 곤란함 (6V 전원에 흐르는 전류 모름)

독립전압원(6V)에 의해 V1-V2=6V. 따라서 식 1개만 필요함

Supernode 방법 이용Supernode 방법 이용

마치 전자기학의 가우스 법칙

파선의 폐곡면(supernode)을 따라 KCL 적용파선의 폐곡면(s p )을 따라 적용

VVV

mAmAmAk

Vk

V

6t

246126

:supernode@ 21 =−=+

혹은 기준 마디(접지)에서 KCL을 세워도 됨

VVVVVVV

4,106:source vtg

21

21

==∴=−


혹은 기준 마디(접지)에서 KCL을 세워도 됨

종속 전압원을 갖는 회로: 예제 3.8/3.9

mAVVVV

KCLVk

VkkIVV x

4:@

)(21

22:@

212

22

11

=+−

=== 불필요

VVVV

mAkk

V

8,16

412

:@

21

2

==∴

=+

kVV

kV

kV

kVV

VVVV x

0126126

:supernode/VV@

22:source-V 2V@

32213121

221x

=−

+++−

==−

mAIVVVV

o )8/3(,)2/9(6:source-V V@

1

33

==∴=


3.2 폐로 해석법(Loop Analysis)

루프 해석은 마디 해석에 쌍대( d l) 관계이다루프 해석은 마디 해석에 쌍대( dual) 관계이다.

루프 해석에서는 먼저 회로의 전류를 구한 후 옴의 법칙을 이용하여 원하는 전압을 구함

어떤 회로는 마디 해석보다, 루프 해석이 방정식 수가 적을 수 있다.어떤 회로는 마디 해석보다, 루프 해석이 방정식 수가 적을 수 있다.

예:

=+−++−1 12213111 0)(: @ S iRiiRiRviloopKVL

⎢⎡ =−++

=−++++

1

2

323211

12325242

)()(

0)(: @

S

S

vRiRRRi

iiRiRiRviloopKVL

⎥⎤

⎢⎡

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++

⎢⎣ −=+++−

1

2

13321

543231 )()(

S

S

vii

RRRRRRRR

vRRRiRi

⎥⎦

⎢⎣−

⎥⎦

⎢⎣⎥⎦

⎢⎣ ++−

225433 SviRRRR


예제 3.12/3.13

3 123.12

kIIIkiKVLIIkkIiKVL

033)(6:@0)(6612: @ 2111

=++=−++−

addkIkIkIkI

kIIIkiKVL

)2*( :39612612

033)(6:@

21

21

2122

⎢⎣

⎡+−=+−

=−

=++−

3 13

mAImAI )4/5(,5.0 12 ==

3.13

=−++−−=−−+

6)3()39()0(:@6)6()0()64(: @

3212

3211

IkIkkIiKVLIkIIkkiKVL

⎥⎤

⎢⎡−

⎥⎤

⎢⎡⎥⎤

⎢⎡ −

=+++−−

666010

0)1263()3()6(: @)()()(@

1

3213

3212

IIkk

IkkkIkIkiKVL

⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣=

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ −−−

06

21363120

3

2

II

kkkkk


독립 전류원을 갖는 회로

예제 3 14: I1 2 A는 V1과 무관예제 3.14: I1=2mA는 V1과 무관

IkkIkIKVLmAIIKVL

2)26()2(:@2: @

212

11

=++−=

VVmAImAI o 2/9,)4/3(,2)()(@

21

212

===

예제 3.15

AIIKVLmAIIKVL2@

4: @ 11 =

mAIIkkkkIkIIKVL

mAIIKVL

25.03)642(42: @

2:@

3

3213

22

==+++−−

−=

VVkIVo 5.136 3

3

−=−=


예제 3.16

1)mAIIKVL 2: @ 11 =

mAIIIkIIIkIIkkIIKVL

mAIIKVL

)3/2(0)(1)(2)(216: @

4: @

131233233

22

−==−+−+++++−

=

2) super mesh

mAI )3/2(3 =

mAIIKVL 2:@ 11 =

VIkkkIIKVLmAII

mAIIKVL

x)22(2: @4

2:@

212

32

11

=++−=−

mAIVIkkkIIKVL x

)3/2(6)11(1:@

3

313

−=−=++−


종속 전원을 갖는 회로

예제 3 17예제 3.17

kIIIkVIKVLkIIIkVIKVL

x

x

063)(22:@04)(22: @

2212

1211

=+−++−=+++−

kIkIkIVx

x

0664

)(@

21

1

2212

⎢⎡ =+−

∴

=

예제 3 18

VkIVmAIIkIkI

o 96,5.1386

221

21

====

⎢⎣ =+−

∴

예제 3.18

kVIIKVL x 2/: @ 11 =

IIkVIkkkIIKVL

mAIIKVL

)(43)62(2: @

2: @

313

22

−==++−

=

VVmAImAIIIIkV

o

x

)4/33(,)8/11(,42)(4

321

21

====∴=


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