東北大学大学院情報科学研究科応用情報科学専攻田中和之(Kazuyuki...

July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論（東北大）物理フラクチュオマティクス論（東北大） 11

物理フラクチュオマティクス論物理フラクチュオマティクス論Physical Physical FluctuomaticsFluctuomatics

第第1313回回量子力学からみた確率的情報処理量子力学からみた確率的情報処理

13th Quantum13th Quantum--mechanical extensions of mechanical extensions of probabilistic information processingprobabilistic information processing

東北大学東北大学大学院情報科学研究科大学院情報科学研究科応用情報科学専攻応用情報科学専攻田中田中和之和之(Kazuyuki Tanaka)(Kazuyuki Tanaka)[email protected]@smapip.is.tohoku.ac.jp

http://www.smapip.is.tohoku.ac.jp/~kazu/http://www.smapip.is.tohoku.ac.jp/~kazu/

本講義のWebpage:http://www.smapip.is.tohoku.ac.jp/~kazu/PhysicalFluctuomatics/2007/

July 2007July 2007物理フラクチュオマティクス論（東北物理フラクチュオマティクス論（東北

大）大） 22

ContentsContentsContents1. はじめに

2. 量子系の概説

3. Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応

4. 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法の定式化

5. 確率推論への量子統計力学的アプローチ

6. まとめ


多体系の量子統計力学を用いた情報処理多体系の量子統計力学を用いた情報処理

量子ホップフィールドモデル量子ホップフィールドモデル (H. Nishimori)(H. Nishimori)量子アニーリング量子アニーリング (H. Nishimori)(H. Nishimori)ゲージ理論による量子誤り訂正符号ゲージ理論による量子誤り訂正符号 (H. Nishimori)(H. Nishimori)

量子確率場による大規模情報処理への展開


My works of Information Processing by using in My works of Information Processing by using in Quantum Statistical MechanicsQuantum Statistical Mechanics

画像処理に対する量子平均場アニーリング画像処理に対する量子平均場アニーリングK. Tanaka and T. Horiguchi: Quantum StatisticalK. Tanaka and T. Horiguchi: Quantum Statistical--Mechanical Iterative Method in Image Restoration, IEICE Mechanical Iterative Method in Image Restoration, IEICE Transactions (A), Transactions (A), J80J80--AA (1997).(1997).画像処理における量子ライン場の導入画像処理における量子ライン場の導入K. Tanaka: Image Restorations by using Compound K. Tanaka: Image Restorations by using Compound GaussGauss--Markov Random Field Model with Quantized Line Markov Random Field Model with Quantized Line Fields, IEICE Transactions (DFields, IEICE Transactions (D--II), II), J84J84--DD--IIII (2001).(2001).


確率伝搬法の深化と展開確率伝搬法の深化と展開

確率伝搬法と平均場理論の類似性の指摘確率伝搬法と平均場理論の類似性の指摘Y. Kabashima and D. Saad, Belief propagation vs. TAP for decodinY. Kabashima and D. Saad, Belief propagation vs. TAP for decoding g corrupted messages, corrupted messages, Europhys. Lett.Europhys. Lett. 4444 (1998). (1998). M. Opper and D. Saad (eds), M. Opper and D. Saad (eds), Advanced Mean Field Methods Advanced Mean Field Methods ------Theory Theory andand PracticePractice (MIT Press, 2001).(MIT Press, 2001).

クラスター変分法による一般化された確率伝搬法クラスター変分法による一般化された確率伝搬法への拡張への拡張J. S. Yedidia, W. T. Freeman and Y. Weiss: Constructing freeJ. S. Yedidia, W. T. Freeman and Y. Weiss: Constructing free--energy energy approximations and generalized belief propagation algorithms, IEapproximations and generalized belief propagation algorithms, IEEE EE Transactions on Information Theory, Transactions on Information Theory, 5151 (2005).(2005).

確率伝搬法の情報幾何的解釈確率伝搬法の情報幾何的解釈S. Ikeda, T. Tanaka and S. Amari: Stochastic reasoning, free eneS. Ikeda, T. Tanaka and S. Amari: Stochastic reasoning, free energy, rgy, and information geometry, Neural Computation, and information geometry, Neural Computation, 1616 (2004).(2004).


確率推論確率推論: 2: 2NN 重の多重和の計算重の多重和の計算

( )∑ ∑ ∑= = =1,0 1,0 1,0

211 2

,,,a a a

NN

aaaW LL

一部の特殊な場合を除いて厳密な数値対一部の特殊な場合を除いて厳密な数値対角化は一般には困難角化は一般には困難

確率推論と量子確率推論確率推論と量子確率推論

量子確率場量子確率場: 2: 2NN 行行 22NN 列の行列の対角化列の行列の対角化


確率分布と確率伝搬法確率分布と確率伝搬法

( ) ( ) ( )32232112321 ,,,, aawaawaaaP =

( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== ∑∑∑∑

311 3

3223211232122 ,,,,aaa a

aawaawaaaPaP

確率伝搬法の数理的基盤確率伝搬法の数理的基盤

量子系では同じ取り扱いは難しい量子系では同じ取り扱いは難しい!!!!

( ) ( ) ( )BABA expexpexp =+

は一般には成り立たないは一般には成り立たない

行列行列 A, B A, B に対してに対して


本講演の主題本講演の主題

11次元鎖または木構造のグラフ次元鎖または木構造のグラフ上の量子系の難しさ上の量子系の難しさ

量子系に対する確率伝搬法の量子系に対する確率伝搬法の定式化定式化


大）大） 99






6. まとめ


11ノードの量子状態ノードの量子状態

( ) ( )100,011,10

0,01

1 ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

11

00 00 11

古典状態として可能なのは古典状態として可能なのは22つの状態のみつの状態のみ

22次元空間の次元空間の22つの位置ベクトルつの位置ベクトル



( ) ( )100,011,10

0,01

1 ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

11

00 00

量子状態は量子状態は22つの古典状態の重合せによりつの古典状態の重合せにより

表されるすべての可能な状態を想定表されるすべての可能な状態を想定

0000 11

量子状態は量子状態は

22次元空間次元空間

の任意の点の任意の点

古典状態は古典状態は

22次元空間次元空間

のの22点点

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

01

21

10

23

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛10

21

01

23

2/3− 2/1+

2/3+

2/1+＃係数は複素数でもかまわない＃係数は複素数でもかまわない



( ) 0001

0101

11 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

( ) ( )100,011,10

0,01

1 ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= Taa =

0010

01 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0100

10 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1000

00 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+++

0,01,00;11;1

00;0011;0000;1111;11uuuu

uuuu

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1;001

0,01,00;11;1

1010,01,00;11;1

0 uuuuu

uuuu

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

( ) 101

0111 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 001 =010 = 100 = 直交性直交性


11ノードの量子状態とパウリ演算子ノードの量子状態とパウリ演算子

0001

11 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0010

01 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0100

10 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1000

00 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

00111001

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=I 0011

1001

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=zS

10010110

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=xS ( )1001i

0ii0

−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=yS

( ) ( )100,011,10

0,01

1 ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

1001

I

( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

10

110

01

101

z

z

S

S

( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

=

−

∞+

=

+∞

=

∑

∑

h

h

n

n

n

ee

hh

n

hn

h

00

00

!1

!1exp

0

0

zz SS

( )

( ) 010

expmaxarg0

101

expmaxarg0

eigenvalue

eigenvalue

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒<

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒>

z

z

S

S

hh

hh

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

≡10

01zS



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

1001

I

TT

1001

0110

UUSUUS zx =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

01

10

10

01

x

x

S

S ( ) ( ) TT exp0

0exp USUUUS zx h

ee

h h

h

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

1111

21U

( ) ( )

( ) ( )102

111

21expmaxarg0

102

111

21expmaxarg0

eigenvalue

eigenvalue

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⇒<

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒>

x

x

S

S

hh

hh

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

≡10

01zS



2121 aaaaa ⊗≡=r 2121 aaaaa ⊗≡=

r

Taa rr=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⊗⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0001

01

0

01

1

01

01

11

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⊗⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0010

10

0

10

1

10

01

10

( ) ( )100,011,10

0,01

1 ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

古典状態を考えた場合は古典状態を考えた場合は44次元空間の次元空間の44点点

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⊗⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0100

01

1

01

0

01

10

01

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⊗⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1000

10

1

10

0

10

10

00

量子状態は量子状態は44次元空間の任意の点次元空間の任意の点

＃＃一般に一般に NN ノードの量子状態はノードの量子状態は 22N N 次元空間の任意の点次元空間の任意の点


22ノードの量子状態の遷移行列ノードの量子状態の遷移行列

( )( ) ( )⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⊗⊗=

0000000000100000

0010

0010

01011010

( )( ) ( )⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⊗⊗=

0000000000000100

0100

0001

10110111

同じ状態の積をとると対応する対角成分の1つが1になる

異なる状態の積をとると対応する非対角成分の1つが1になる


遷移行列と密度行列遷移行列と密度行列

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎟

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

≡ ∑ ∑ ∑ ∑= = = =

00;0001;0010;0011;0000;0101;0110;0111;0100;1001;1010;1011;1000;1101;1110;1111;11

;1,0 1,0 1,0 1,0

212121211 2 1 2

uuuuuuuuuuuuuuuu

bbbbaauaaa a b b

H

( ) ( )∑+∞

=

−≡−0 !

1expn

n

nHH( )

( )[ ]HHρ−−

≡exptr

exp

ハミルトニアン

密度行列


密度行列と確率分布密度行列と確率分布

( )( )

( )( )⎟

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

=

0,0ln00001,0ln00000,1ln00001,1ln

PP

PP

H

( )( )[ ]

( )( )

( )( )⎟

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=−−

≡

0,000001,000000,100001,1

exptrexp

PP

PP

HHρ

( )∑ ∑= =

=1,0 1,0

211 2

1,a a

aaP ( ) 0, 21 >aaP確率分布 P(a1,a2)H が対角行列であ

り，対角成分が確率分布により与えられる場合，量子確率モデルは確率分布と簡単に関係づけられる．


密度行列の計算密度行列の計算

1

3

2

1

0

000000000000

−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= UUH

κκ

κκ

( )( )[ ]

( )

( )

( )

( )

1

3

2

1

0

exp1000

0exp100

00exp10

000exp1exptr

exp

−

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

=

−−

≡

UU

HHρ

κ

κ

κ

κ

Z

Z

Z

Z

( )∑=

−≡3

0exp

nnZ κ

ハミルトニアンを対角化することで初めて統計量の計算が始まる．


確率分布と密度行列確率分布と密度行列

確率分布の最大値を与える状態確率分布の最大値を与える状態

密度行列の最大固有値密度行列の最大固有値

に対応する固有ベクトルに対応する固有ベクトル

1−=UKUH ( )( )[ ]

( ) 1exp1exptr

exp

−−=

−−

≡

UKU

HHρ

Z⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

3

2

1

0

000000000000

κκ

κκ

K

0001

1011

0001

1011

CC

CC

++

+

( )21,aaP 00or 01,10,11 古典的古典的

な状態な状態

古典的な古典的な

状態の状態の

重合せ重合せ


周辺確率と縮約密度行列周辺確率と縮約密度行列

ρρ ii \tr=

周辺確率周辺確率 ( ) ( )∑=iaa

ii aPaP\r

r

縮約密度行列縮約密度行列

i i 番目を除くすべてのノードに対する確率変数の和番目を除くすべてのノードに対する確率変数の和

i i 番目を除くすべてのノードに対する自由度の対角和番目を除くすべてのノードに対する自由度の対角和


縮約密度行列縮約密度行列(Reduced Density Matrix)(Reduced Density Matrix)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎟

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

00;0001;0010;0011;0000;0101;0110;0111;0100;1001;1010;1011;1000;1101;1110;1111;11

ρρρρρρρρρρρρρρρρ

ρ

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

=

=

0,0;0,01,0;1,00,1;0,01,1;1,00,0;0,11,0;1,10,1;0,11,1;1,1

tr 1\1

ρρρρρρρρ

ρρ

ノード1の状態を固定した

もとでの部分対角和


縮約密度行列縮約密度行列(Reduced Density Matrix)(Reduced Density Matrix)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎟

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

00;0001;0010;0011;0000;0101;0110;0111;0100;1001;1010;1011;1000;1101;1110;1111;11

ρρρρρρρρρρρρρρρρ

ρ

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

=

=

00;0010;1001;0011;1000;0110;1101;0111;11

tr 2\2

ρρρρρρρρ

ρρ

ノード2の状態を固定した

もとでの部分対角和


2 2 ノードの量子ノードの量子 Heisenberg Heisenberg モデルモデル

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

≡10

01zS⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

0110xS ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −≡

0ii0yS

( )zyx ,, , 21 =⊗≡⊗≡ ννν νν SISISSzzyyxx SSSSSSH 212121 JJJ −−−≡

( )( )[ ]H

Hρββ−−

≡exptr

exp

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

1001

I


22ノードの量子ノードの量子 Heisenberg Heisenberg モデルモデル

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

≡10

01zS⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

0110xS ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −≡

0ii0yS

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=⊗≡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

=⊗≡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

=⊗≡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

=⊗≡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⊗≡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⊗≡

1000010000100001

,

1000010000100001

0i00i000

000i00i0

,

00i0000ii000

0i000100100000010010

,

0010000110000100

21

21

21

zz SISISS

SISISS

SISISS

zz

yyyy

xxxx

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

=

−−−≡

JJJJJ

JJJJ

000020020000

212121zzyyxx SSSSSSH

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

1001

I



の固有状態の固有状態

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

−−−≡

100002/12/1002/12/100001

0000300000000

100002/12/1002/12/100001

212121

JJ

JJ

JJJ zzyyxx SSSSSSH

( ) State) (Singlet 01102

1

01

10

21 :Eigenstate3 :Eigenvelue −=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⇒J

( ) State)(Triplet 00

1000

,01102

1

0110

21 ,11

0001

:sEigenstate :Eigenvelue =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⇒− J



の密度行列の計算の密度行列の計算

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

−−−≡

100002/12/1002/12/100001

0000300000000

100002/12/1002/12/100001

212121

JJ

JJ

JJJ zzyyxx SSSSSSH

( )( )[ ] ( )

( )

( )( ) ( )( ) ( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

>−−

≡

−−

J

J

J

J

J

J

J

eJJJJ

e

J

ee

ee

Je

HH

β

β

β

β

β

β

β

ββββ

β

β

βββρ

2

2

3

00002cosh2sinh002sinh2cosh0000

2cosh41

100002/12/1002/12/100001

000000000000

100002/12/1002/12/100001

2cosh41

0 exptr

exp


2 2 ノードのノードの Ising Ising モデルの例にモデルの例に

対する密度行列の解釈対する密度行列の解釈

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

≡10

01zSzzzz SISISS ⊗≡⊗≡ 21 ,

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=−≡

JJ

JJ

J

000000000000

21zz SSH

( )( )[ ]( )

( )( )

( )⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−+−

−+++

=

−−

≡

1,100001,100001,100001,1

exptrexp

Ising

Ising

Ising

Ising

PP

PP

HHρββ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

1001

I

( ) ( )( )∑ ∑

±= ±=

≡

1s 121

2121Ising

1 2

expexp,

ssJs

sJsssPβ

β

密度行列の対角成分密度行列の対角成分

ががIsingIsingモデルのモデルの

各状態の確率分布各状態の確率分布

に対応する．に対応する．

Ising Ising モデルの確率分布モデルの確率分布

密度行列密度行列


2 2 ノードのノードの横磁場横磁場 Ising Ising モデルモデル(Transverse Ising Model)(Transverse Ising Model)に対するに対する

密度行列の解釈密度行列の解釈

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

≡10

01zSzzzz SISISS ⊗≡⊗≡ 21 ,

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−−

−−−

=−−−≡

JhhhJhhJh

hhJ

hhJ

00

00

21x2

x1

zz SSSSH

( )( )[ ]H

Hρββ−−

≡exptr

exp

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

1001

I

密度行列密度行列


33ノードの場合の密度行列ノードの場合の密度行列

2312 HHH +≡

23x23 Matrix

( )( )[ ]H

Hρ−−

≡exptr

exp

( )∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑= = = = = =

≡1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

321,323223321231 2 3 1 2 3

11,;,

a a a b b bba bbbbbaauaaa δH

( )∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑= = = = = =

≡1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

321,212112321121 2 3 1 2 3

33,;,

a a a b b bba bbbbbaauaaa δH



000001010011100101110111

321 aaa( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎟

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

≡ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑= = = = = =

00;00001;00010;00011;000000;00001;00010;00011;00

00;01001;01010;01011;010000;01001;01010;01011;01

00;10001;10010;10011;100000;10001;10010;10011;10

00;11001;11010;11011;110000;11001;11010;11011;11

,;,

12121212

12121212

12121212

12121212

12121212

12121212

12121212

12121212

1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0321,21211232112

1 2 3 1 2 3

33

uuuuuuuu

uuuuuuuu

uuuuuuuu

uuuuuuuu

bbbbbaauaaaa a a b b b

baδH

( )3332112321 0 baaaaHbbb ≠=



000001010011100101110111

321 aaa( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎟

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

≡ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑= = = = = =

00;0001;0010;0011;00000000;0101;0110;0111;01000000;1001;1010;1011;10000000;1101;1110;1111;110000

000000;0001;0010;0011;00000000;0101;0110;0111;01000000;1001;1010;1011;10000000;1101;1110;1111;11

,;,

23232323

23232323

23232323

23232323

23232323

23232323

23232323

23232323

1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0321,32322332123

1 2 3 1 2 3

11

uuuuuuuuuuuuuuuu

uuuuuuuuuuuuuuuu

bbbbbaauaaaa a a b b b

baδH

( )1132123321 0 baaaaHbbb ≠=


大）大） 3434






6. まとめ


確率分布と確率伝搬法確率分布と確率伝搬法

( ) ( ) ( )32232112321 ,,,, aawaawaaaP =

( ) ( )

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=

∑∑

∑∑

31

1 3

32232112

32122

,,

,,

aa

a a

aawaaw

aaaPaP

そこで同じ操作が量子系でも可能かそこで同じ操作が量子系でも可能か??


量子系の難しさ量子系の難しさ

( )( )[ ]2312

2312

exptrexp

HHHHρ−−−−

≡

( ) ( ) ( )( ) L+−+

−−=−−

23121223

23122312 expexpexpHHHH

HHHH

指数関数の加法定理が成り立たない


SuzukiSuzuki--TrotterTrotter公式公式

( )n

n nn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−−

+∞→ 2312

2312

1exp1explim

exp

HH

HH

密度行列Suzuki-Trotter 公式

積に分かれたときn乗が

残るのでやはりそのままでは確率伝搬法を使うのは難しい．

3xn の梯子格子上のグラフィ

カルモデルの確率伝搬法

n: Trotter 数

Σ



( )

bbnn

c

cnn

c

cnn

aa

nnnn

nn

n

cccn

n

n

n

n

n

rrrL

rr

rrr

44444444444 344444444444 21

L

rL

rr

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −××

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −×

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−−

−

+∞→

+∞→

+∞→

∑−

23121

223121

,,,12312

23122312

2312

2312

1exp1exp

1exp1exp

1exp1explim

1exp1exp1exp1explim

1exp1explim

exp

121

HH

HH

HH

HHHH

HH

HH

個

n: Trotter 数



( )

bbcWccWccWcaWa

bbnn

c

cnn

c

cnn

c

cnn

aa

ncccn

n

cccn

n

n

rrrL

rrrrrrr

rrL

rr

rr

rrr

rL

rr

rL

rr

);();();();(lim

1exp1exp

1exp1exp

1exp1exp

1exp1explim

exp

132,,,

211

23121

323122

223121

,,,12312

2312

121

121

−+∞→

−

+∞→

××=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −××

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −×

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −×

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−−

∑

∑

−

−

HH

HH

HH

HH

HHn: Trotter 数



( )( )[ ]

( )

∑ ∑ ∑ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−−−−

=

−

−+∞→a b cccnn

bbcccaPan

r r rL

rr

rrrL

rrrr

121 ,,,121

2312

2312

,,,,,lim

exptrexp

HHHHρ n: Trotter 数

( )∑

−

−−−

−−−− ××

××=

bcccannn

nnnn

n

bcWccWccWcaWbcWccWccWcaWbcccaP

rrL

rrr

rrrrL

rrrr

rrrrL

rrrrrrL

rrr

,,,,,112211

112211121

121

);();();();();();();();(,,,,,

密度行列ST 公式

Σ

br

ar321 ,, ccc rrr

3cr

2cr

1cr

確率分布確率分布



密度行列ST 公式

Σ

br

ar321 ,, ccc rrr

3cr

2cr

1cr

確率分布確率分布

3xn の梯子格子上のグラフィカルモデルの

確率伝搬法から統計量の厳密な数値を求めることができる．

33ノードからなるノードからなる11次元鎖グラフ上の量子系次元鎖グラフ上の量子系


大）大） 4242






6. まとめ


クラスター変分法（クラスター変分法（Cluster Variation MethodCluster Variation Method））

古典系のクラスター変分法古典系のクラスター変分法R. Kikuchi: A theory of cooperative phenomena, Phys. Rev., R. Kikuchi: A theory of cooperative phenomena, Phys. Rev., 8181 (1951).(1951).T. Morita: Cluster variation method of cooperative phenomena andT. Morita: Cluster variation method of cooperative phenomena and its its generalization I, J. Phys. Soc. Jpn, generalization I, J. Phys. Soc. Jpn, 1212 (1957).(1957).量子系のクラスター変分法量子系のクラスター変分法T. Morita: Cluster variation method of cooperative phenomena andT. Morita: Cluster variation method of cooperative phenomena and its its generalization II, Quantum Statistics, J. Phys. Soc. generalization II, Quantum Statistics, J. Phys. Soc. JpnJpn, , 1212 (1957).(1957).T. Morita: An Approximation Scheme of the Cluster Variation MethT. Morita: An Approximation Scheme of the Cluster Variation Method for od for Quantum Lattice Gases, Progress of Theoretical Physics, Quantum Lattice Gases, Progress of Theoretical Physics, 9292 (1994).(1994).


ギブス分布とギブス分布と自由エネルギー最小原理自由エネルギー最小原理

( )QQQHQ lntr][ +≡F

ρQQQ

==1tr][minarg F

( )[ ] HρQQQ

−−=== exptrln][1tr][min FF

( )( )[ ]H

Hρ−−

≡exptr

exp


密度行列と縮約密度行列密度行列と縮約密度行列

∑∈

≡Bij

ijHH ( )( )[ ]H

Hρ−−

≡exptr

exp

ρρ ii \tr≡ ρρ ijij \tr≡

ijii ρρ \tr≡

縮約密度行列(Reduced Density Matrix)

Reducibility Condition 1trtr == iji ρρ

Normalization Condition

i i はノードはノードijij はは ii とと jj を結ぶリンクを結ぶリンク

BB は与えられたグラフは与えられたグラフ

すべてのリンクの集合すべてのリンクの集合


クラスター変分法におけるクラスター変分法における近似自由エネルギー近似自由エネルギー

( )[ ] ( )

[ ] ( )

[ ] ( )

( ) ( ) ( )( )∑

∑∑

∑

∑

∈

Ω∈∈

∈

∈

−−+

+≅

+=

+=

+≡

Bjjiiijij

iiB

ijij

Bijij

Bij

QQQQQQ

QQHQ

QQHQ

QQQHQQQHQ

ij

iij

ij

ij

F

lntrlntrlntr

lntrtr

lntrtr

lntrtrlntr][

Consistency Conditionsijii ρρ \tr≡


近似自由エネルギーの変分近似自由エネルギーの変分

[ ] ( )

( ) ( ) ( )( )∑

∑∑

∈

Ω∈∈

−−+

+≡

Bjjiiijij

iiB

ijijiji

QQQQQQ

QQHQQ,Q

ij

iijF

lntrlntrlntr

lntrtr][CVM

( ) [ ] [ ] 1trtr,][minarg CVM ===≅ ijiiji\iijiQ,Qiji QQQtrQQ,Qρ,ρiji

F

( )( )[ ]ii

ii

,

,

exptrexp

ΛΛ

ρi ≅

( )( )[ ]jij,ij,iij

jij,ij,iijij ΛΛH

ΛΛHρ

++−

++−≅

exptrexp

∑∈−

≡iB

ik,ii

i,i ΛB

Λkk1

1


近似縮約密度行列と有効場近似縮約密度行列と有効場

( )( )[ ]∑∑

∈ →

∈ →≅

i

i

B ik

B iki λ

λρ

k

k

exptr

exp

( )( )[ ]∑∑

∑∑∈ →∈ →

∈ →∈ →

++−

++−≅

i\Bl jlj\Bk ikij

i\Bl jlj\Bk ikij

ij

ji

ji

λλH

λλHρ

exptr

exp

∑∈

→=j\Bkk

ikij,ii

λΛ k から i への有効場

ijii ρρ \tr≡


量子系に量子系におけるおける確率伝搬法確率伝搬法の有効場伝搬規則の有効場伝搬規則

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−+

−=

∑∑

∑

∈→

∈→

∈→→

i\Bljl

j\Bkikij

j\Bkikij

ji

i

λλH

λλ

exptrlog \iij

i

ZZ

有効場伝搬方程式ijii ρρ \tr≡

jiOutput


大）大） 5050






6. まとめ


確率推論と従来の確率伝搬法確率推論と従来の確率伝搬法

1. 閉路を持たないグラフ上の確率モデルに対して厳密な結果を与える．2. 閉路を持つグラフ上の確率モデルでは近似アルゴリズムとなる．

21

1324

25436

67658

PrPrPrPr

Pr,Pr

Pr,Pr Pr

AAAAAA

AAAAA

AAAAA

×

×

×

=A


閉路を持つグラフ上の閉路を持つグラフ上の確率モデルの結合確率確率モデルの結合確率

( )

),(),(),( ),()(),,(

,,,,,,Pr

311342245225

7667543346865568

821

882211

aaWaaWaaWaaW,a,aaWaaaW

aaaPaAaAaA

×==

===L

L

有向グラフ

1A

3A

2A

4A

6A 5A

13W

67W

24W

25W346W

568W

8A7A

無向グラフ


確率推論の密度行列確率推論の密度行列

( )( )( )

( )

( )⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

=

−≡

00000000ln00

011111110ln00011111111ln

ln

P

PP

aaPa

L

MOMM

L

L

rrrΗ

( )( )[ ] ( )

( )( )

( )⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

=−−

≡

0000000000

01111111000011111111

exptrexp

P

PP

aaPa

L

MOMM

L

L

rrr

HHρ

1A

3A

2A

4A

6A 5A

13W

67W

24W

25W346W

568W

8A7A

無向グラフ


閉路を持つグラフ上の閉路を持つグラフ上の量子系の密度行列量子系の密度行列

( )

∑

∑

∈

∈

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

B

BaaWa

γγ

γγ

H

Η rrr ln

1A

3A

2A

4A

6A 5A

13H

67H

24H

25H346H

568W

8A7A

無向グラフ

( )( ) aaWa rrrγγ ln−=H

67,568,346,25,24,13=B

( )( )[ ]H

Hρ−−

≡exptr

exp



∑∈

=Bγ

γHΗ

1A

3A

2A

4A

6A 5A

13H

67H

24H

25H346H

568W

8A7A

無向グラフ

( ) bbauai

ba ii

rrrr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∏

∉γγγγγ δ ,;H

67,568,346,25,24,13=B

( )( )[ ]H

Hρ−−

≡exptr

exp



1A

3A

2A

4A

6A 5A

13H

67H

24H

25H346H

568W

8A7A

無向グラフ

( ) bbbaaua babababababa

rr887766553311 ,,,,,,42422424 ; δδδδδδ=H

( )b

bbbaaaua

bababababa

r

r

8877552211 ,,,,,

643643346346 ;

δδδδδ×

=H

( )b

bbbaaaua

bababababa

r

r

7744332211 ,,,,,

865865568568 ;

δδδδδ×

=H


確率推論の密度行列確率推論の密度行列への拡張の一例への拡張の一例

( ) ∑∑∑∑∈=∈

=−−≡Bi

xi

B a

haaWaγ

γγ

γγ HSΗ8

1

logr

rrr

( ) ∑∑∈ −

−−≡γ

γγγi

xi

ia BhaaWa SH

1log

r

rrr

M

IIIIISIIS

IIIIIISIS

IIIIIIISS

⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗≡

⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗≡

⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗≡

xx

xx

xx

3

2

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

0110

I

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

0110xS


閉路を持つグラフ上の閉路を持つグラフ上の量子系の密度行列の数値実験量子系の密度行列の数値実験

1A

3A

2A

4A

6A 5A

13H

67H

24H

25H346H

568W

8A7A

無向グラフ

...8272.0tr

...9029.0tr

444

111

==

==

ρSS

ρSSzz

zz

...8379.0tr

...9032.0tr

444

111

==

==

ρSS

ρSSzz

zz

ExactExact

Quantum CVMQuantum CVM


線形応答理論線形応答理論

| Ωx ∈= ixi

z

zz

h

zz

zz

zz

h

dee

z

ρSρS

SS

ρSS

SS

HH

330

38

10 38

38

tr~trlim

)tr(

:

−=

⟩⟩⟨⟨−

≡

⟩⟩⟨⟨

→

−∫ λλλ

)exp(~1~

8z

zhZ

SHρ +−≡

1A

3A

2A

4A

6A 5A

8A7A

（人為的に小さなゆらぎを与えてその応答を見ることで詳細を知ることができる．）

)exp(1 Hρ −≡Z


閉路を持つグラフ上の閉路を持つグラフ上の量子系の密度行列の数値実験量子系の密度行列の数値実験

1A

3A

2A

4A

6A 5A

13H

67H

24H

25H346H

568H

8A7A

無向グラフ

...1727.0:

...0918.0:

48

38

=⟩⟩⟨⟨

=⟩⟩⟨⟨zz

zz

SS

SS

ExactExact

Quantum CVMQuantum CVM

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

≡10

01zS

...0815.0:

...0740.0:

48

38

=⟩⟩⟨⟨

=⟩⟩⟨⟨zz

zz

SS

SS

1=xh


大）大） 6161






6. まとめ


まとめまとめ

従来型のＣＶＭによる量子系の取扱い従来型のＣＶＭによる量子系の取扱い

確率推論のグラフィカルモデルにおける確率推論のグラフィカルモデルにおける量子確率伝搬法としてのアルゴリズム量子確率伝搬法としてのアルゴリズム

量子確率推定への情報統計力学的アプローチ

今後の課題

東北大学大学院情報科学研究科応用情報科学専攻田中和之(Kazuyuki...

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東北大学大学院情報科学研究科応用情報科学専攻 田中和之(Kazuyuki...

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Transcript of 東北大学大学院情報科学研究科応用情報科学専攻 田中和之(Kazuyuki...

東北大学大学院情報科学研究科応用情報科学専攻田中和之(Kazuyuki...

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