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二、波利亞解難四部曲 數學解難與探究

解難是一個過程，從解題者開始接觸問題，經過處理已知資料，最後找到答案或結論並

作出回顧為止。學生須充分掌握這個過程，才能有效解決學習時遇到的常規及非常規問

題。

美國數學教師協會 ( NCTM, 2000 ) 指出

“Problem solving means engaging in a task for which the solution method is not known in advance. In order to find a solution, students must draw on their knowledge, and through this process, they will often develop new mathematical understandings. Solving problems is not only a goal of learning mathematics but also a major means of doing so. Students should have frequent opportunities to formulate, grapple with, and solve complex problems that require a significant amount of effort and should then be encouraged to reflect on their thinking.” (page 52) (National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and Standards

for School Mathematics. Reston, VA.)

2.1 解難過程模型

解難教學在數學教育扮演重要角色，故此，歷年來有不少學者曾為此作出深入研

究，並為解難過程提出各種模型。1957 年，出生於匈牙利的著名美國數學教育家

佐治波利亞 (George Polya, 1887-1985) 在他影響深遠的經典著作 《怎樣解題》

( How to solve it ) 中指出，解難過程可分為四個階段。

波利亞解難模式 ( Polya, 1945 ) (1) 理解問題 ( Understanding the problem ) (2) 設計解題策略 ( Devising a plan ) (3) 按步解題 ( Carrying out the plan ) (4) 回顧解答 ( Looking back )

波利亞發表了他的解難模式之後，有很多學者將其修訂或作出新的建議，下面是其

中一些具影響力的解難模式。

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舒恩飛解難模式 ( Schoenfeld, 1987 ) (1) 理解 ( Read ) (2) 分析 ( Analyse ) (3) 探索 ( Explore ) (4) 計劃 ( Plan ) (5) 實施 ( Implement ) (6) 驗證 ( Verify )

葛魯福和利士達解難模式 ( Garofalo & Lester, 1985 ) (1) 定位 ( Orientation ) (2) 組織 ( Organization ) (3) 執行 ( Execution ) (4) 驗證 ( Verification )

馬順、畢頓和史丹斯解難模式 ( Mason, Burton & Stacey, 1985 ) (1) 進入 ( Entry ) (2) 攻擊 ( Attack ) (3) 回顧 ( Review )

美亞解難模式 ( Mayer, 1985 ) (1) 解釋 ( Translation ) (2) 綜合 ( Integration ) (3) 計劃與調節 ( Planning and monitoring ) (4) 執行 ( Solution / execution )

溫仕解難模式 ( Resnick, 1988 ) (1) 計劃 ( Planning ) (2) 組織 ( Organizing ) (3) 執行 ( Carrying out ) (4) 調節 ( Monitoring )

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古力和活力解難模式 ( Krulik and Rudnick, 1988 ) (1) 理解 ( Read ) (2) 探索 ( Explore ) (3) 選取策略 ( Select a strategy ) (4) 解決 ( Solve ) (5) 回顧及延伸 ( Look back and extend )

思考題

1. 試分析以上所提及的七個解難模式有何異同之處。

2. 其餘六個解難模式中，哪一個比較接近波利亞的建議？ 為甚麽？

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2.2 波利亞解難模式的四個階段

雖然這些解難模式的重點各有差異，但它們的最終目標都是提升學生的數學思維，

讓他們在解決難題時能夠有系統地進行。以波利亞的模式為例，教師可以用以下提

問協助學生進行解難的四個階段：

(1) 理解問題 ( Understanding the problem ) 老師可以用下列提問協助學生進行解難的第一階段：

你明白問題的每字每句嗎？

你能否用自己的文字重述問題？

已知量和未知量是什麼，它們的關係如何？

目的是什麼？

資料足夠嗎？

有些什麼資料是不相關的？

這個問題「難」在哪裡？

在這個階段，教師可鼓勵學生反覆讀題，從而找出有用資料和問題重心。

(2) 設計解題策略 ( Devising a plan )

這個問題是否跟曾解決過的問題類似？

你能否用另一形式重述這個問題？

你是否利用了所有的已知數據？ 你是否利用了所有條件？

可否試些簡單情況？

可否用另一種型式表達有用資料？

在這個階段，教師可鼓勵學生思考能否直接運用定理、公式等解題。如果不

能，則鼓勵他們將資料用圖或表顯示，或試解決較簡單的問題。在得到新的

靈感後，便選取較適合的策略再進行探究。常用的策略有很多，包括：

估猜與測試 ( Guess and Test )

繪圖 ( Draw a picture )

尋找規律 ( Look for a pattern )

解一道簡化的問題 ( Solve a simpler problem )

應用數字的性質 ( Use properties of numbers )

逆向思考 ( Work backward )

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窮盡可能性 ( Exhaust possibilities )

尋找公式 ( Look for a formula )

應用工具 ( Use tools )

推理 ( Reasoning )

模擬 ( Do a simulation )

應用變量思考 ( Use a variable )

(3) 按步解題 ( Carrying out the plan ) 教師可以用下列提問協助學生進行解難的第三階段：

你是否想出了一個解題方法嗎？

能否依這個方法計算下去？

你清楚知道每一步驟是正確的嗎？

在這階段，鼓勵學生應用並執行所選用的計劃，直至獲得解答或更明確的新

解題方略。 宜提醒學生給自己合理、充份的時間去思考，若不成功可從

別處尋找線索又或將問題放下一回再思考。並不要害怕重新開始，很多時候，

新的開始，新的策略會導致成功。

(4) 回顧解答 ( Looking back )

這個答案正確嗎？

這個方法正確嗎？

為什麼這個方法得出正確答案？

哪(幾)個是關鍵的步驟？

你能把這結果或方法用於其它問題嗎？

有沒有其他方法？

你能用不同的方法導出這結果嗎？

以下題目可否引伸出其他數學問題？

如果有其他方法，何者較佳、快或較易於概括？

如果問題的條件改變了，情況又會怎樣？

在這階段，教師應鼓勵學生驗算，並須指出驗算不是將答案代入公式，而是

檢視答案能否滿足題目內容及要求。另一方面，教師也可鼓勵學生思考其他

解題方法及將問題延伸，以增強其探究能力。

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如果學生解題時正確理解問題，下圖便能反映回顧時發現答案合理或不合理

的流程。否則，解題者須重新審視問題。

波利亞 ( Polya ) 的四個解難步驟流程圖：

第一步

第二步

第三步

第四步

練習

1. 在我去聖艾芙的路上，遇見了一個人。它有七個妻子，每個妻子有七個袋子，每個袋子裡有七隻貓，每隻貓有七隻小貓。小貓，貓，袋子和妻子，有多少要去聖艾芙？

2. 下圖的大方格中有 4×4 共 16 個小方格。 規定在每個小方格中，最多只能畫上一個圓圈， 試設計一份畫上 7 個圓圈的方案，使得劃掉其中任何兩行與任何兩列之後，

在剩下的 4個小方格中至少保留一個圓圈。試完成一份畫上 7個圓圈的方案。

理解題目

設計策略

實施計劃

解答問題

答案是否合理？

提供答案

檢討步驟

(不合理)

(合理)

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3. 已知三個數 ( x, y 及 z ) 之和是 1， 碰巧這三個數的倒數之和都是 1。 關於這三個數， 試提出兩個 教學提問 引導學生思考理解問題。

2.3 解難過程 ( 波利亞模式 ) 示範

我們嘗試用以下例子分析解難四個步驟可能出現的情況。

題目： 有大、小正方形手帕兩幅置於面積 900平方厘米的花紙上。 兩幅手帕的

邊長相差 4厘米，面積相差 56平方厘米。大手帕的面積是多少？

(1) 理解問題 在理解問題的階段，學生須清楚指出：

A. 有用的資料 手帕是正方形

一大、一小共有兩幅

邊長相差 4厘米

面積相差 56平方厘米

B. 題目的要求 大手帕的面積是多少？

C. 沒用的資料 花紙 900平方厘米

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(2) 設計解題策略 面對這樣的題目，學生可視乎個人的數學知識和解題經驗來設計解題策略。

以下是解決此題的其中五個方法：

方法一：代數式

56)4( 22 =−− xx

具備中學或以上的數學知識的人，大多會用代數式來解決此題。如

果學生未能理解當中的代數符號運算。面對這樣的難題，他們可以

怎樣解決？

方法二：繪圖

教學提問：

題目中提供了哪些資料？

這裡有多少個正方形？當中哪些是有關係呢？

怎樣利用已知的資料去找出兩個正方形的大小？

正方形面積與邊長有什麼關係？

試試畫圖看看。

該怎樣畫圖才能清楚表示出題目提供的資料？

如何可以以一幅圖顯示這兩個正方形的關係呢？

透過繪圖，你們找到新的資料嗎？

把兩個正方形重疊擺放有什麼好處？

透過畫圖，你找到什麼新資料？

怎樣利用這些資料去找出大、小正方形的面積？

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方法三：列表與試誤

教學提問：

題目中哪些資料可以讓你作初步嘗試？

這次嘗試能滿足題目的所有條件嗎？

如果未能夠滿足所有條件，可以怎樣做呢？

當大正方形邊長 9厘米，便符合面積之差的條件，它的面積是

81平方厘米。

方法四：推理、列表和試誤

教學提問：

大正方形的面積最小是多少？

其邊長最小是多少？

經過推理，大正方形的邊長大於 56 ；以大正方邊長為 8厘米開始試誤，直到面積之差符合題目的要求為止，這樣比較省時。

當大正方形邊長 9厘米，便符合面積之差的條件，它的面積是

81平方厘米。

24

方法五：列表與觀察規律

教學提問：

每條邊增加 1厘米後，面積之差有何改變？

改變有沒有規律？

每邊要增加多少才能滿足題目的要求？

所以小正方形的邊長是多少？

學生按上述方法進行計算，會發現當大、小兩條手帕的邊長各增加

1厘米，面積之差便增加 8平方厘米。

(3) 按步解題

學生按上述任何一個方法進行計算，如果沒有出現錯誤，會獲得大手帕的邊

長為 9厘米。 舉例在方法五中，會發現當大、小兩條手帕的邊長各增加 1厘

米，面積之差便增加 8平方厘米，從這規律看出，若要面積之差為 56平方厘

米，大手帕的邊長須為 9厘米，即面積是 81平方厘米。

(4) 回顧解答

無論學生用哪一個方法解題，在回顧時，學生必須驗算兩條手帕的邊長是否

相差 4厘米、面積是否相差 56平方厘米等，最後才寫下答案：大手帕的面積

為 81平方厘米。

25

A

D

D1

A1

B

C

B1

C1

練習

1. 一隻螞蟻在書桌上行走時遇到一個長闊高分別為 2cm， 4cm，及 3cm 的紙盒。 它由紙盒在桌面上的四個角落中選定一個作為出發點， 並走到距離此點最遠的紙盒

上蓋的頂點。 如果螞蟻想將路程縮至最短，問它所走的路線應為何？ 試量度該路

程的長度。

(1) 理解問題

題目中沒有說明紙盒是如何放在桌上。有多少種可能的擺放方法？

不同的擺放方法對解題的答案有沒有影響？

試用圖表示一種擺放方法。

(2) 設計解題策略

在平面上，要從一點走到另一點，要如何走才使走的路程最短？

假設螞蟻找到最短的路徑，它走的路徑會經過紙盒的多少塊面？

26

假設以下是它的最短路徑。

點 X 是如何定位？

經哪兩面行走路程會最短？

(3) 按步解題

現在用以上的方法來解題。

最短的路程是多少？

(4) 回顧解答

這方法合理嗎？

關鍵步驟是什麼？

有沒有其它方法？

如果長方體的邊長改變了，應如何處理？

或

2

3

4

•

•

起點

終點

23

4

•

•

起點

終點

X X

27

註： 對一個有更深厚數學知識的人，他解題的情況可能有以下變化：

(3) 按步解題 現在用以上的方法來解題。

(a) 經面 11 AABB → 面 11BBCC ，從 A到 1C 點，則

(b) 經面 ABCD → 面 CCBB 11 ，從 A到 1C 點，則

(c) 經面 11 AABB → 面 1111 DCBA ，從 A到 1C 點，則

最短的路程是多少？

(4) 回顧解答

如果長方體的邊長改變了，應如何處理？

A

A1 B1 C1

B C 6

3

(a)

A

D C C1

B B1 7

2

(b)

A

D1 C1

B 4

5 A1

B1

(c)

28

2. 試根據波利亞解難模式，解決下列問題。在每一個階段可能會出現甚麽情況？ 可以用哪些教學提問作引導？

題目： 停車塲裡有電單車和私家車共 21 輛，共有車輪 60 個，求私家車的數量。

29

討論題

試描述以波利亞提出的四個解難步驟所經歷的思考過程，並解答下列各題。

1. 【分遺產】 如果生下來的孩子是男孩，就把財產的三分之二給孩子，剩下的留給媽媽。 如果生下來的孩子是女孩，就把財產的三分之一給孩子，剩下的留給媽媽。

富翁離開了人世，他的妻子生下來卻是一男一女雙胞胎， 怎樣分配遺產才合理？

30

2. 【回文數】 回文數就是從左到右或從右到左唸都一樣的數。例如： 12321，33033。請問五位數字中，共有多少個回文數？