Übungsaufgaben - Organisatorisches · z.B. 1,5% Fehler bei einem Gerät der Klasse 1,5 Dieser...

T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 1

Der Abgabetermin der neuen Übungsblätter ist:Montag, 14:00 Uhr

Fehlerrechnungsbriefkasten

Der Abgabetermin der verbesserten Übungsblätter ist:Freitag, 16:00 Uhr

Übungsaufgaben - Organisatorisches


Güteklassen elektrischer Messinstrumente

Aber wie genau messen jetzt meine Instrumente?


Güteklassen elektrischer MessinstrumenteDie zulässigen Fehler elektrischer Messinstrumente werden durch das Klassenzeichen angegeben.

Die Klassenangabe entspricht dem zulässigen Anzeigefehler in %:

z.B. 1,5% Fehler bei einem Gerät der Klasse 1,5

Dieser Fehler ist bezogen auf den Endwert oder auf die Summe der Skalenlänge, wenn der Nullpunkt innerhalb der Skala liegt.

Dies ist der Fehler, der auftreten darf !!

Endwert Skalenlänge


Vollausschlag 150,0 V

Ablesung 118,8 V

Ablesegenauigkeit: Vorlesung 4 (Letzte Stelle ist geschätzt).Schätzwert: Bestmögliche Schätzung (Messung) der Ablesung.

Annahme 1: Feinmessgerät der Klasse 1 1% von 150 V entspricht 1,5V

U = (118,8 ± 1,5) V

Annahme 2: Betriebsmessgerät der Klasse 5 5% von 150 V entspricht 7,5V

U = (118,8 ± 7,5) V

Ablesen bei analogen Messinstrumenten


Fehler bei Digitalvoltmetern

Beispiel: 1V MessbereichAnzeige 1,624 V0,1% von rdg = 0,0016 V0,1% von rng = 0,001 VInsgesamt 0,0026 V(1,624 0,003) V

Auszug aus der Praktikums-Geräteanleitung


Messbereich 10 V

Anzeige: 0,16 V

0,1 % range = 0,01 V

0,1 % reading = 0,00016 V

U = (1,6 0,1 )*10-1V

Anzeige: 0,162 V

0,1 % range = 0,001 V

0,1 % reading = 0,00016 V

U = (1,62 0,01 ) *10-1V

Messbereich 1 V

Anzeige: 0,1624 V

0,1 % range = 0,0001 V

0,1 % reading = 0,0002 V

U = (1,624 0,003 ) *10-1V

Messbereich 0,1 V

Messung einer Spannung von 0,1624 V

Ablesen bei digitalen Messinstrumenten


Anmerkung wissenschaftliche Notation:

Zahlen zwischen 10‐3 und 103 kann man ausschreiben, wie in Aufgabe 3 und 6

Übungsaufgaben


Güteklasse 5 bedeutet 5 % von 12,50 V.

5 % von 12,50 V sind 0,625V.

Gerundet auf zwei signifikante Stellen ergibt 0,63 V.

Somit lautet das Endergebnis:

U = (9,83 ± 0,63) V

Übungsaufgaben


Übungsaufgaben

= 134,7 oC ‐99,9 oC bis 999,9 oC

0,2 % der Ablesung (rdg = reading) plus 0,7 oC

0,2 % (134,7 oC) = 0,269 oC

a) (0,269 + 0,7) oC = 0,969 oC

= ( 134,7 ± 1,0 ) o C

b) (0,3 + 0,7) oC = 1,0 oC

= 0,97 oC


Übungsaufgaben


6 5 4 3 2 1 nicht abgegeben

Erstabgabe Übung 1


Übungsaufgaben - OrganisatorischesFalls es zur Erstkorrektur Fragen/Unklarheiten gibt:

Fragen Sie Ihren Betreuer!

Studentenbüro: Mo - Fr besetzt von 10:45 Uhr bis 12:15 Uhr


Messreihen

Wie bestimme ichdie Messunsicherheit

in Messreihen?


Begriffe

Modalwert

Median Mittelwert

Spannweite der Verteilung: Differenz zwischen größtem und kleinstem Wert.


Der MedianDer Median teilt die Grundgesamtheit in zwei Hälften gleicher Größe

Messung der Länge eines Stabes

252425242326262426L/cm

987654321Nummer der Messung

Sortiert nach Größe:23, 24, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 26


Der Median

MedianEin Wert m ist Median einer Stichprobe, wenn höchstens die Hälfte der Beobachtungen einen Wert < m und höchstens die Hälfte einen Wert > m hat. Der Median m einer geordneten Stichprobe von nWerten ist dann:

12

12 2

ungerade

1 gerade2

n

n n

x n

mx x n

Der Median teilt die Grundgesamtheit in zwei Hälften gleicher Größe


28252425242326262426L/cm


Sortiert nach Größe:23, 24, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 26,28


Begriffe

Modalwert

Median Mittelwert



Mittelwert 1 – Arithmetischer MittelwertMessung der Länge eines Stabes

123 24 24 24 25 .... 28 25,1010

n

ii

xx

n

Summation über alle Messwerte:

Arithmetischer MittelwertSeien n (einfach linear zusammenhängende) Werte xi (i ϵ {1; ...; n}) einer gemessenen Größe gegeben. Die Größe xa , die aus

berechnet wird, wird arithmetisches Mittel oder arithmetischer Mittelwert genannt.

n

iia x

nx

1

1

28252425242326262426L/cm



0

5

10

15

20

25

30

35

40

Anz

ahl d

er A

bsol

vent

en

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Studiendauer / Semestern

Semester Anzahl

10 29

11 38

12 33

13 24

14 20

15 17

16 12

17 10

18 6

19 6

20 5

Die meisten der Studenten machen die Diplomprüfung nach 11 Semestern (Modus).Die mittlere Studiendauer ist 12,5 Semester (Median). Liegt der Median zwischen zwei ganzen Zahlen, wird gemittelt, z.B. 12,5 Semester (Es gibt detailliertere Regeln).

Der Mittelwert der Studiendauer ist 13,2 Semester (Mittelwert – Mean)

Beispiel: Studiendauer Diplom



1. Jahr Wir kaufen Aktien für 1000 €

2. Jahr Aktienkurs steigt auf 1200 €

3. Jahr Aktienkurs steigt auf 1500 €

4. Jahr Aktienkurs fällt auf 1000 €Wir verkaufen

Annahme, es gab weder Zinsen noch Dividenden

Trivialrechnung:

1. 2. Jahr +20 %

2. 3.Jahr +25 %

3. 4. Jahr ‐33 %

20 25 33.33 3,89 %3

x

3,89 % pro Jahr bedeuten ca. 1121 € nach 3 Jahren

Mittelwert 2 – Geometrischer Mittelwert


33 1, 200 1,250 0,667 1,0005 1,00geox

Wachstumsfaktoren:

1. 2. Jahr 1200/1000 = 1,200

2. 3.Jahr 1500/1200 = 1,250

3. 4. Jahr 1000/1500 = 0,667

Wichtigste Anwendung des geometrischen Mittelwertes bei durchschnittliche Wachstumsfaktoren.

Wachstumsfaktor: Neuer Wert dividiert durch alten Wert

Mittelwert 2 – Geometrischer Mittelwert

Geometrischer MittelwertSeien n exponentiell zusammenhängende Werte xi (i ϵ {1; 2; ...; n}) einer gemessenen Größe gegeben. Die Größe xg , die aus

berechnet wird, wird geometrisches Mittel oder geometrischer Mittelwert genannt.

nn

iig xx

1


n

iix

nx

1

1

nnxxxx 21

n

iix

nx

1

21

Weitere Möglichkeiten der Angabe von mittleren Werten

Der häufigste Wert (Modus oder Modalwert)!!!Bimodale Verteilung !!!

Das arithmetische Mittel aus dem kleinsten und größten vorkommenden Wert

Der arithmetische Mittelwert

Der geometrische Mittelwert

Der quadratische Mittelwert

Der MedianDerjenige Wert, der in der Mitte steht, wenn man die xi der Größe nach sortiert

Zusammenfassung Mittelwerte



Wie bestimmt man den Fehler einer Messung aus einer Messreihe?

28252425242326262426L/cm


Sortieren der Werte nach Klassen

Werte xk 23 24 25 26 27 28Anzahl der Messwerte 1 3 2 3 0 1

Messreihen



Werte xk 23 24 25 26 27 28Anzahl der Messwerte 1 3 2 3 0 1

23 24 24 24 25 .... 28 25,1010

ii

xx

n

23 1 (24 3) (25 2) .... 28 110

k kk

x nx

n

n

nxx k

kk

nnFwobeixFx k

kkk , 1k

kFnnk

n

iix

nx

1

1

Summation über alle Messwerte:

Summation über alle Klassen:

Mittelwertbildung


Beispielhaftes Histogramm zu einer Messreihe:Messung der Länge eines Stabes

21 22 23 24 25 26 27 28 290

1

2

3

Anz

ahl d

er M

essw

erte

Länge/cm

Werte xk 23 24 25 26 27 28Anzahl der Messwerte

1 3 1 3 0 2

Histogramm / Stabdiagramm


Weitere Messreihe: Messung der Länge eines Stabes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

L/cm 26,4 23,9 25,1 24,6 22,7 23,8 25,2 23,8 25,3 25,4

In diesem Beispiel ist das Zeichnen eines Stabdiagramms wenig sinnvoll

Zusammenfassung der Messwerte zu Klassen

Klasse 22 bis 23

23 bis 24

24 bis 25

25 bis 26

26 bis 27

27 bis 28

Anzahl der Messungen 1 3 1 4 1 0

Faustregel für die Anzahl der Klassen k 5 * lg (n).Häufig reicht auch n

Einschub: Wie fasse ich Werte sinnvoll zu Klassen zusammen ?


Einschub: Wie fasse ich Werte sinnvoll zu Klassen zusammen ?

Klasse 22 bis 23

23 bis 24

24 bis 25

25 bis 26

26 bis 27

27 bis 28

Anzahl der Messungen 1 3 1 4 1 0

20 21 22 23 24 25 26 27 280

1

2

3

4

Anz

ahl d

er M

essw

erte

Länge /cm

Das Zusammenfassen von Messwerten zu Klassen ist ein wichtiger Vorgang in

der Statistik und wird in den Vorlesungen zu Verteilungsfunktionen

und Signifikanztest ausführlich diskutiert.


Einschub: Betrug mit graphischen Darstellungen

Typisches Wahlvolk:18 bis 81 Jahre

Aufteilen in:18 bis 49: 51 %50 bis 81: 49 %

Ist das jetzt die Dominanz der Jungen ?

Realistisches Wahlvolk:18 bis 101 Jahre

Aufteilen in:18 bis 59: 68 %60 bis 101: 32 %


Bedeutung des MittelwertesWir erinnern uns: Für zufällige Fehler gilt:

Positive und negative Abweichungen sind gleich häufig

Die Häufigkeit des Vorkommens nimmt mit dem Absolutbetrag des Fehlers ab

Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des Fehlers Null besitzt ein Maximum

Interpretation von Nikolaus Bernoulli (1709):Das mit ihren Wahrscheinlichkeiten gewichtete arithmetische Mittel der Werte einer Zufallsgröße ist der Erwartungswert der Zufallsgröße.

Erwartungswert E(X)Seien die Ergebnisse bei einem (Wahrscheinlichkeits‐)Experiment aus der Gesamtheit aller Ergebnisse, dem Ergebnisraum . Sei X() eine reelle Zahl, die dem Ergebnis zugeordnet ist, und P({}) eine gegebene Wahrscheinlichkeit zu dem einzelnen Ereignis . So bezeichnet man die Zahl E(X), die aus

berechnet wird, als Erwartungswert der Zufallsgröße X().

})({)(:)( PXXE


Wie bestimmt man den Fehler einer Messung aus einer Messreihe?

21 22 23 24 25 26 27 28 290

1

2

3

Anz

ahl d

er M

essw

erte

Länge/cm

Messreihen

Wie verlässlich kennen wir den Erwartungswert?

Wie sehr streuen die Daten?Wie breit ist die Verteilung der Daten?


Wir müssen den Erwartungswertschätzen

Die StichprobeUm den mathematisch exakten Erwartungswert zu bestimmen, müssen wir die Grundgesamtheit kennen. Es gibt aber unendlich viele mögliche Messwerte!


2995

2996

2997

2998

2999

3000

3001

3002

3003

3004

3005

0

1

2

3

Häu

figke

it

Länge / mm

2995

2996

2997

2998

2999

3000

3001

3002

3003

3004

3005

0

50

100

150

200

0

50

100

150

200

Häu

figke

it

Länge / mm

2995

2996

2997

2998

2999

3000

3001

3002

3003

3004

3005

0

20

40

Häu

figke

it

2995

2996

2997

2998

2999

3000

3001

3002

3003

3004

3005

0

5

10

15

20

Länge /mm

g

Mit zunehmender Anzahl der Messungen wird ein Histogramm glatter und regelmäßiger.Die Breite der Kurve ändert sich nicht.Mit zunehmender Zahl der Messungen kann die Breite und der Mittelwert verlässlicher angegeben werden.Wenn die Anzahl der Messungen gegen unendlich geht, nähert sich die Verteilung einer stetigen Kurve.Eine solche Verteilung heißt Grenzverteilung oder Grundgesamtheit.

Mehr zur Normalverteilung folgt in den späteren Vorlesungen

10 Messungen 100 Messungen 250 Messungen 1000 Messungen

Übergang zur Grenzverteilung


Wenn wir wirklich nur zufällige Fehler haben können wir den Erwartungswert über das arithmetische Mittel schätzen.

Diese Schätzung wird besser sein, je mehr Messwerte wir haben.

Aber wie gut ist sie wirklich?

Wir benötigen ein Streuungsmaß!

Unsere Messung ist eine Stichprobe


xDieser ist aber nicht bekannt.

Daher wird durch den gemessenen Mittelwert ersetzt.

Die Varianz ist ein Maß für die "Breite" der Verteilung der Messwerte

n

iix x

n 1

22 1

Bei obiger Definition ist der wahre Mittelwert der Verteilung.

Dieser ist jedoch nur mit einer Unsicherheit bekannt.

Der Mittelwert muss aus der Datenmenge berechnet werden.

Dies zwingt zur Einführung der Stichprobenvarianz.

Die Varianz


n

iix x

n 1

22 1 Varianz:

22

1

1 n

x x ii

xn

Standardabweichung:

Die Messgrößen besitzen eine Einheit.In unserem Beispiel waren das mm.

Somit hat die Varianz die Einheit mm2 .

Sinnvoll ist eine Größe mit der gleichen Dimension wie der Messwert.

Die Standardabweichung


Die StichprobenvarianzKönnen wir einfach durch den Mittelwert ersetzen?

22

1

1 n

x ii

Z x xn

Schauen wir uns den Erwartungswert von Zx2 an:

2 22

1 1

1 1( )n n

x i ii i

E Z E x x E x xn n

2 2

1

1 2 )(n

i ii

E x x x xn

a ‐b

2 2

1 1

1 2 )(n n

i ii i

E x x x n xn

2 2

1

1 2 )(n

ii

E x n x x n xn

n

iix

nx

1

1Erinnerung:


Die Stichprobenvarianz 2 22

1

1( ) 2 )(n

x ii

E Z E x n x x n xn

2 2

1

1 n

ii

E x n xn

22 2 2

1 ( ) ( )

1( ) ( ) xx x x

nVar x nVar xn

nVar x Var xn n

2

1

2

1( )n

ii

Var x xn

E x

Erinnerung:

2 2

1

1 n

ii

E x nE xn

2

1

1 ( )n

i

Var x nE xn


Kurze ZwischenrechnungWie groß ist ( )?Var X

2 21 1 1

1 1 1 ( )n n n

i i ii i i

Var X Var X Var Xn n n

Die Zufallsgrößen Xi seien unabhängig. Dann gilt:

1 21

1 , mit identisch verteilten Zufallsgrößen , ,..., .n

i ni

X X X X Xn

22

2 21

1 1( ) .n

ii

Var X nn n n

Weiter:

Erinnerung:

n

iix

nxVar

1

21)(


Die Stichprobenvarianz 2 22

1

1( ) 2 )(n

x ii

E Z E x n x x n xn

2 2

1

1 n

ii

E x n xn

22 2 2

1 ( ) ( )

1( ) ( ) xx x x

nVar x nVar xn

nVar x Var xn n

2

1

2

1( )n

ii

Var x xn

E x

Erinnerung:

2 2

1

1 n

ii

E x nE xn

2

1

1 ( )n

i

Var x nE xn


Die Stichprobenvarianz2

2 2 2 21( ) ( ) ( ) xx x x x

nE Z Var x Var xn n

Die Varianz ist nicht erwartungstreu!

ABER: Diesen Vorfaktor können wir einfach berücksichtigen!

Wir wählen statt Zx2 einfach:

2

1112

n

ix

ix

nsx

Es ergibt sich dann sofort:2 2( )x xE s

Kleine Hausaufgabe falls nicht offensichtlich: Prüfen Sie das!


2

1

1 11

n

x ii

s x x nn

(mittlerer quadratischer Fehler der Einzelmessung).Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel aus der Varianz

sx wird auch als Stichproben-Standardabweichung bezeichnet.

Die (Stichproben)Standardabweichung ist ein Maß für die Genauigkeit der Messmethode

Die Stichprobenstandardabweichung

Unsere eigentliche Frage war aber eine andere: Wie verlässlich kennen wir den Erwartungswert?


Standardfehler des arithmetischen Mittelwertes

Wir haben eine Grundgesamtheit, deren genaue Verteilung unbekannt ist, mit Mittelwert und Standardabweichung

Wir machen eine Stichprobe von n Messungen und erhalten einen Mittelwert x und eine Stichprobenstandardabweichung s.

1

1 n

ii

x xn

Unser Mittelwert ist gegeben durch:

1 21


i ni

X X X X Xn

Wir betrachten nun die Schätzfunktion:

Wie sieht die Verteilung der X aus?


Standardfehler des arithmetischen MittelwertesWie groß ist ( )?Var X

2 21 1 1

1 1 1 ( )n n n

i i ii i i

Var X Var X Var Xn n n

Die Zufallsgrößen Xi seien unabhängig. Dann gilt:

1 21


i ni

X X X X Xn

22

2 21

1 1( ) .n

ii

Var X nn n n

Weiter:

( ) .Xn

Damit:

Der Standardfehler ist ein Maß für die Genauigkeit der Angabe des Mittelwertes.


Neben der Standardabweichung, die ein Maß

für die Genauigkeit der Messmethode ist,

gibt es den Standardfehler, der ein Maß für

die Verlässlichkeit der Angabe des Mittelwertes ist.

nss x

x

Der Standardfehler

Dies ist also der entscheidende Wert für die Angabe von Messgenauigkeiten!


Wie groß ist der Fehler des Fehlers ?

Für den relativen Fehler der Standardabweichung gilt (Siehe Squires):

1

2 1x

x

ss n

Die Standardabweichung (Genauigkeit einer Messmethode)ist umso genauer angebbar, je mehr Messungen man durchführt.

Zur Standardabweichung


Annahme: Der rechnerische Wert der Standardabweichung bei einer Messung seisx = 6,2431754

Wie genau soll ich diesen Wert angeben ?

Beispiel a: Es sind 5 Messungen durchgeführt worden.

1

2 1x

x

ss n

sx/sx = 0,354 , d.h. sx ist auf 35,4% genau bekannt

Daher macht es eigentlich nur Sinn, sx = 6 auf eine signifikante Stelle anzugeben.

35,4% von sx sind 2,2

sx = 6,2 2,2

Der Fehler der Standardabweichung liegt in der ersten Stelle.

Zur Stellenzahl


Beispiel b: Es sind 50 Messungen durchgeführt worden.

1

2 1x

x

ss n

sx/sx = 0,101 , d.h. sx ist auf 10,1% genau bekannt

Erst bei mehr als 21 Messungen macht es in diesem Beispiel Sinn, sx = 6,2 auf mehr als eine signifikante Stelle anzugeben.

10,1% von sx sind 0,63

sx = 6,24 0,63

Annahme: Der rechnerische Wert der Standardabweichung bei einer Messung seisx = 6,2431754

Wie genau soll ich diesen Wert angeben ?

Zur Stellenzahl


Mit zunehmender Anzahl von Messungen wird somit die Angabe des Mittelwertes der Stichprobe immer verlässlicher.

Die Standardabweichung ist ein Maß für die Genauigkeit der Meßmethode.

Der Standardfehler ist ein Maß für die Verlässlichkeit der Angabe des Mittelwertes.

nss x

x

Das bedeutet nicht, dass das Messverfahren genauer wird !

Man kann lediglich bei dieser Messmethode (Standardabweichung) den Mittelwert verlässlicher angeben.

Der Standardfehler - Zusammenfassung


Aufwändige Messreihen sind bisweilen sinnvoll:1. Um die Genauigkeit der Messmethode zu bestimmen.2. Um systematische Fehler zu erkennen.

Präzise und richtig


Standardfehler – Konkretes Beispiel

Nummer Zeit/s

1 10,1

2 10,1

3 10,2

4 10,2

5 10,1

6 10,1

7 10,2

8 10,2

9 10,1

10 10,1

1

1 10,140sn

ii

t tn

0, 0163299 stt

ssn

2

1

1 0,05163978s1

n

t ii

s t tn

Ist das jetzt Unsinn?

10,140 0,016 st

Nein: Wir berechnen den Erwartungswert!

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