1

제8장 연속확률 분포제8장 연속확률 분포

정규분포연속확률 분포

동전 던지기를 반복할 때 앞면이 나오는 비율은 점차 50%에동전 던지기를 반복할 때 앞면이 나오는 비율은 점차 50%에가까워진다.

Ex) 동전을 다섯 번 던진 경우

앞면이 나오는 회수 경우의 수 동전을 백 번 던지면?

0 1

1 5

2 10

3 10

4 54 5

5 1

2

정규분포연속확률 분포

동전을 백 번 던지면...

1.경우의 수30100 1027.12 ×≈

2.앞면이 정확히 50번 나오는 경우의 수

3.정확히 앞면이 50번 나올 확률

291001.1149505199100

!50!50!100

×≈×⋅⋅⋅×××⋅⋅⋅××

=×

4. 앞면이 50회 나오는 경우의 수

총 경우의 수%808.0

1027.11001.1

30

29

=≈××

≈

정규분포연속확률 분포

경험적 히스토그램과 확률히스토그램경험적 히스토그램과 확률히스토그램경험적 히스토그램과 확률히스토그램경험적 히스토그램과 확률히스토그램

확률히스토그램상자의 내용물 및 추출횟수로부터 합이 각각의 값으로 실현될 확률을 계산하여 이를 그래프로 나타

낸 것.

경험적 히스토그램관찰한 자료를 구간별로 분류하고 도수를 계산한 뒤 도수를 도단위로 바꾸어 그래프로 표현한 것

둘 간의 관계: 모집단과 표본의 관계와 같다.

동전을 실제로 던진 (경험적) 자료를 가지고 히스토그램을 그리면 던진 횟수가 증가함에 따라 상대

도수를 나타내는 이 경험적 히스토그램은 확률을 나타내는 확률히스토그램으로 수렴하게 된다.

경험적 히스토그램 확률히스토그램평균의 법칙

n → ∞

3

정규분포연속확률 분포

경험적 히스토그램: 두 개의 주사위를 던져 그 합을 기록하는 시행경험적 히스토그램: 두 개의 주사위를 던져 그 합을 기록하는 시행

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

(a) 시행을 100 번 반복한 경우

0.20

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

(b) 시행을 1000 번 반복한 경우

0.00

0.05

0.10

0.15

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

(c) 시행을 10000 번 반복한 경우

정규분포연속확률 분포

확률 히스토그램확률 히스토그램

합의 확률히스토그램

두 주사위를 무한히 많이 던져 그 합에 대한 경험적 히스토그램의 극한으로 얻어낼 수있다.

두 주사위를 던졌을 때 나타나는 모든 경우의 수를 고려하여 머리를 써서 계산해 낼 수있다.

0.05

0.10

0.15

0.20

확률히스토그램

0.00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

4

정규분포연속확률 분포

표준단위중심극한정리중심극한정리

10

율(%

)

50-3 -2 -1 0 1 2 3

준단위

비율

(%)

100회 던질 때

0

5

횟수별

비율

0

25

표준단위별

비

앞면이 나올 횟수의 기대값 : 50

앞면의 나올 횟수의 표준오차 : 5

동전을 백 번 던질 때 앞면이 나올 횟수의 확률히스토그램과 정규분포곡선

35 40 45 50 55 60 65

앞면의 수

정규분포곡선과 매우 비슷하다.

정규분포연속확률 분포

중심극한정리중심극한정리

23456789

1015202530354045100회 던질 때

012

35 40 45 50 55 60 65

0510

33.5

44.5

30354045400회 던질 때

확률히스토그램은 시행횟수가 증가함에

따라 그 모습이 점점 더 정규분포곡선과

00.5

11.5

22.5

170 180 190 200 210 220 230

0510152025닮아간다.

5

정규분포연속확률 분포

중심극한정리중심극한정리

900회 던질 때

1 5

2

2.5

3

2530354045

무한히 많이 던지면?

0

0.5

1

1.5

405 420 435 450 465 480 495

0510152025 무한히 많이 던지면?

관측치 수가 증가함에 따라 합이나 평균은 그 확률히스토그램이 정규분포곡선으로수렴해 간다. 이를 중심극한정리라고 한다.

정규분포연속확률 분포

동전을 100번 던진다. 다음을 계산하라.보기 1보기 1

a) 앞면이 정확히 50번 나올 확률

b) 앞면이 45이상 55이하로 나올 확률

c) 앞면이 45초과 55미만으로 나올 확률

(a) 앞면이 정확히 50번 나올 확률

기대값은 50이고 표준오차는 5이다 49 5 50 50 5☞ 기대값은 50이고, 표준오차는 5이다.

정규분포이 용

01.050

505.50,01.050

505.49=

−−=

−

정확히 50번 나오는 경우는 밑변이49.5에서 50.5인 직사각형의 면적을

49.5 50 50.5

이 용구하면 된다.

정규분포 곡선을 이용하여 구한 근사값인7.96%는 앞 절에서 구한 8%와 별 차이가

없다. ≈7.96%

6

정규분포연속확률 분포

보기 1보기 1

(b) 앞면이 45이상 55이하로 나올 확률

(c) 앞면이 45초과 55미만으로 나올 확률

-1.1 0 1.1

44.5 50 55.5 45.5 50 54.5

-0.9 0 0.9

%87.72≈ %18.63≈

정규분포연속확률 분포

정규분포곡선의 사용범위정규분포곡선의 사용범위

동전던지기와는 달리 내용물의 분포가 대칭이 아닌 일반적인 상자로부터 숫자를 추출하더라도, 추

출횟수만 충분히 크면 추출된 숫자의 합은 상자의 내용물에 관계없이 정규분포곡선으로 잘 근사 된

다.

다만, 상자의 내용물에 따라 합의 확률히스토그램이 정규분포곡선으로 닮아가는 속도는 다르다. 상

자의 내용물을 히스토그램으로 나타냈을 때 그 모양이 정규분포곡선과 비슷할수록 합의 확률히스토

그램이 정규분포곡선으로 닮아가는 속도는 빨라진다그램이 정규분포곡선으로 닮아가는 속도는 빨라진다.

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정규분포연속확률 분포

0 이 9장, 1 이 1장 들어 있는 상자의 확률히스토그램0 이 9장, 1 이 1장 들어 있는 상자의 확률히스토그램

100

50

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

25회 추출

0 10

상자의 분포

1 4 7 10 13 16 19 22 28 34 40 46 52 58

100회 추출 400회 추출

정규분포연속확률 분포

상자의 내용물이 대칭인 경우상자의 내용물이 대칭인 경우

1 2 3

50 %

0

상자의 분포

25회 추출35 40 45 50 55 60 65

상자의 분포

50회 추출80 85 90 95 100 105 110 115 120

8

정규분포연속확률 분포

상자의 내용물이 비대칭인 경우상자의 내용물이 비대칭인 경우50 %

1 2 3 4 5 6 7 8 9

50 %

0

상자의 분포25

50-3.37 -2.25 -1.12 0.00 1.12 2.25 3.37

표준단위

위별

비율

(%)

25회 추출

25회 추출

40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

합

0

표준단위

25

50

-3.51 -2.11 -0.70 0.70 2.11 3.51

표준단위

위별

비율

(%) 100회 추출

100회 추출

275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 525합

0

표준단위

정규분포연속확률 분포

곱의 확률히스토그램은 표본크기가 커져도 정규분포로 수렴하지 않는다!곱의 확률히스토그램은 표본크기가 커져도 정규분포로 수렴하지 않는다!

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정규분포연속확률 분포 정규분포연속확률 분포

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표준정규분포연속확률 분포 표준정규분포연속확률 분포

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표준정규분포연속확률 분포 t분포연속확률 분포

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t분포연속확률 분포

1. 연속확률변수 x의 평균이 25이고, 표준편차가 4일때, 다음 x값 또는 범위를 z로 바꾸고 그 면적을 계산하여라.

(1) x=32

(2) 18<x<34

2. 휴대폰의 1회 충전 후 수명은 평균시간이 10시간이고, 표준편차는 1.5시간으로 정규분포를 이룬다고 하자. 배터리 1회 충전 후 휴대폰이 8시간에서 12시간까지 계속될 확률을 구하여라.

3. 연료절약형 economy car를 개발한 덕성 자동차는 이 차의 갤런당 마일 평균 27마일이고, 표준편차가 3마일이라고 광고하고 있다. 또 이 연비는 공인기관에 의해 인증되었다. 이 광고를 믿고 당신은 이 차를 구입하기로 결정하였다. 편의상 이 자동차 연비의 자료는 정규분포를 따른다고 가정하자.

(1) 운 나쁘게도 당신이 연비가 갤런당 20마일도 채 못 되는 차를 살 가능성이 있는가?

(2) 막상 차를 사고보니 놀랍게도 그 차의 연비가 갤런당 20마일이라고 하면 당신은 재수가 없다고 할 것인가? 아니면 회사의 광고가 거짓이라고 할 것인가?

4. 100명이 수강하는 통계학 과목의 중간고사 점수는 평균이 60점이고, 표준편차가 12점인 정규분포를 이룬다.

(1) 점수가 70점 이상인 학생은 몇 명인가?

(2) 40%의 학생이 적어도 B+ 이상을 받는다면 최소한 몇 점 이상을 받아야 하는가?

t분포연속확률 분포

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t분포연속확률 분포 카이제곱(χ2)분포연속확률 분포

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카이제곱(χ2)분포이산확률 분포 카이제곱(χ2)분포연속확률 분포

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F분포연속확률 분포 지수분포연속확률 분포

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지수분포연속확률 분포 지수분포연속확률 분포

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지수분포연속확률 분포 지수분포연속확률 분포