제6장 생산자이론의 확장과 응용

최 정 표 (미시경제론)

동차적 생산함수

Q = F(K, L)

λr Q = F(λK, λL)

r차 동차함수

동차생산함수의 MRTS

λr F(K, L) = F(λK, λL)

양변을 K로 편미분 →λr F1(K, L) = F1 λ(λK, λL)

λr-1 F1(K, L) = F1(λK, λL) ------------------------ (1a)

MPK(=F1(K,L))은 (r-1)차 동차

양변을 L로 편미분 → λr F2(K, L) = F2 λ(λK, λL)

λr-1 F2(K, L) = F2 (λK, λL) ----------------------- (1b)

MPL(=F2(K,L))도 (r-1)차 동차

동차적 생산함수

K=K0, L=L0을 대입후 (1b)÷(1a)

( = ) 가 일정한 한 MRTS는 불변

MRTSa = MRTSb, 확장선은 직선

K

L

K0

L0

= = = MRTS F2 (Ko,Lo)

F1 (Ko,Lo)

MPL

MPK

F2 (λK0, λL0)

F1 (λK0, λL0)

동차적 생산함수

(α+β)차 동차함수

(λK)α (λL)β = λ(α+β)KαLβ = λ(α+β)Q

Q=KαLβ

MPK = = αKα-1Lβ ∂Q

∂K

MPL = = βKαLβ-1 ∂Q

∂L

MPK와 MPL은 (α+β-1)차 동차함수

MRTS = = · MPL

MPK

β

α

K

L

( )가 변하지 않으면 MRTS도 불변

요소사용비율 ( )이 중요

K

L K

L

동차적 생산함수

r > 1 : IRTS, Economies of scale

r = 1 : CRTS, 선형동차

r < 1 : DRTS, Diseconomies of scale

규모의 경제와 규모의 비경제

동차적 생산함수

Q =F(K, L)이 t차 동차함수이면 K·F1 + L·F2 = t·Q

오일러정리

F(λK, λL) = λt F(K, L), 양변을 λ로 편미분

K·F1 (λK, λL) + L·F2 (λK, λL) = tλt-1F(K, L)

λ =1이면 K·F1 (K, L) + L·F2 (K, L) = t·F(K, L) = t · Q

< 증명 >

동차적 생산함수

K·F1 + L·F2 = Q ( F1 = MPK, F2 = MPL)

K·MPK + L·MPL = Q

P·MPK·K + P·MPL·L = PQ ( r = P·MPK , w = P·MPL )

r·K + w·L = PQ

r = P·MPK = VMPK

w = P·MPL = VMPL

1차 동차생산함수와 분배

요소간의 대체와 요소사용비율

대체탄력성 (elasticity of substitution)

σ = = ·

MRTS

∆MRTS

∆(K/L)

K/L ∆(K/L)

∆MRTS

MRTS

K/L

∆(K/L)

∆(w/r)

∆(K/L)

K/L

∆(w/r)

w/r

= = · w/r

K/L

요소간의 대체와 요소사용비율

대체탄력성 (elasticity of substitution)

노동집약적 생산(a)에서 자본집약적 생산(b)으로; L을 K로 대체

요소간의 대체와 요소사용비율

대체탄력성 (elasticity of substitution)

σ= 0

요소간의 대체와 요소사용비율

대체탄력성 (elasticity of substitution)

σ= ∞

요소간의 대체와 요소사용비율

기술진보와 요소사용비율의 변화

기술진보의 개념

Hicks 중립적 기술진보, a → b

요소간의 대체와 요소사용비율

기술진보와 요소사용비율의 변화

노동절약적(자본사용적) 기술진보, a → b

요소간의 대체와 요소사용비율

기술진보와 요소사용비율의 변화

자본절약적(노동사용적) 기술진보, a → b

콥-더글러스 생산함수와 CES 생산함수

Cobb-Douglas 생산함수

Q = AKαLβ ( A, α, β > 0)

( α + β )차 동차생산함수

A(λK)α(λL)β = AKαLβλ(α+β) = λ (α+β)Q

α+β > 1 : IRTS, Economies of scale

α+β = 1 : CRTS

α+β < 1 : DRTS, Diseconomies of scale

콥-더글러스 생산함수와 CES 생산함수

σ= 1

p. 200 footnote 1.

분배몫

α는 자본의 분배몫

β는 노동의 분배몫

α=0.4, β=0.6이면 자본가는 40% 노동자는 60%

= = = w · L

r · K

MPL · L

MPK · K

βAKαLβ-1 · L

αAKα-1Lβ · K

β

α

콥-더글러스 생산함수와 CES 생산함수

CES 생산함수

Q = A[αK-ρ+(1-α)L-ρ]-1/ρ

( -1<ρ< ∞, ρ≠0, 0<α<1, A>0)

A : 효율성상수

ρ : 대체성상수

α : 분배상수

1차 동차생산함수

A[α(λK)-ρ+(1-α)(λL)-ρ]-1/ρ

= A[αK-ρ+(1-α)L-ρ]-1/ρ · λ= λQ

콥-더글러스 생산함수와 CES 생산함수

ρ가 커지면 대체탄력성(σ)은 작아진다

σ= 1

1 + ρ

콥-더글러스 생산함수와 CES 생산함수

σ= 1

1 + ρ

콥-더글러스 생산함수와 CES 생산함수

자본과 노동의 분배몫

ρ = 0 이면 자본과 노동사이의 분배비율은 α : (1-α)

L

K = = ( ) ρ

r · K

w · L

MPK · K

MPL · L

α

1-α