제3장여러가지확률분포...

3.3�3.3�3.3�3.3�3.3�3.3�3.3�3.3�3.3�3.3�3.3�3.3�3.3�3.3�3.3�3.3�3.3�3.3�두�두�두�두�두�두�두�두�두�두�두�두�두�두�두�두�두�두�확률변수의�확률변수의�확률변수의�확률변수의�확률변수의�확률변수의�확률변수의�확률변수의�확률변수의�확률변수의�확률변수의�확률변수의�확률변수의�확률변수의�확률변수의�확률변수의�확률변수의�확률변수의�결합확률분포결합확률분포결합확률분포결합확률분포결합확률분포결합확률분포결합확률분포결합확률분포결합확률분포결합확률분포결합확률분포결합확률분포결합확률분포결합확률분포결합확률분포결합확률분포결합확률분포결합확률분포3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포

제� 3� 장� 여러�가지�확률분포

교재� :� 사범대생을�위한�확률과�통계,� 장세경�지음,� 경문사,� 2012

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 2/�52

3.3.1�결합확률분포

정의� 18

표본공간 에서 정의한 두 확률변수 와 에 대하여, 이 확률변수들의 순서쌍 를 이변량

확률변수라 하고, 이변량확률변수 에 대한 확률분포를 이변량결합확률분포라고 한다.

기호 : 이변량결합확률분포 ≤ ≤

참고. 이 교재에서는 이변량결합확률분포만 다루므로 간단히 결합확률분포라 부르기로 한다.

정의� 19

표본공간 에서 정의한 두 이산확률변수 와 의 이변량확률변수 에 대한 이변수함수

를 결합확률질량함수라고 한다.

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 3/�52

정리� 22

이산확률변수의 결합확률질량함수 에 대하여 다음이 성립한다.

(1) ≥

(2)

∞

∞

(3) ≤≤ ≤≤

증명. It easy to prove!

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 4/�52

정의� 20

표본공간 에서 정의한 두 확률변수 와 의 이변량확률변수 에 대한 누적된 확률의 분

포를 이산결합누적분포함수라고 한다.

기호 : 이산결합누적분포함수 ≤ ≤ ∞

∞

참고. 이산결합누적분포함수를 간단히 결합분포함수라 부른다.

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 5/�52

예제� 49. 어떤 주머니에는 1, 2, 3의 숫자가 적힌 공이 각각 6개, 4개, 2개 들어있다. 임의

로 1개씩의 공을 비복원추출하여 두 번 꺼낸다. 첫 번째 꺼낸 공에 적힌 숫자를 , 두 번째

꺼낸 공에 적힌 숫자를 라 할 때, 다음을 구하시오.

(1) 와 의 결합확률분포표 (2) ≤ (3) 와 의 결합분포표

풀이. 와 가 취할 수 있는 값은 1, 2, 3이므로

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 6/�52

(1) 결합확률분포표

1 2 3 합계

1

2

3

합계

(2) ≤

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 7/�52

(3) 결합분포표

≤ ≤ 합계

0 0 0 0

≤ 0

≤ 0

합계 0

예 : ≤ ≤

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 8/�52

예제� 50. 한 개의 주사위를 두 번 던지는 시행에서 나온 두 눈 중 2의 배수인 눈의 개수를

, 나온 두 눈 중 3의 배수인 눈의 개수를 라 할 때, 다음을 구하시오.

(1) 와 의 결합확률분포표 (2) 적어도 두 눈의 하나가 2 또는 3의 배수일 확률

(3) 와 의 결합분포표

풀이. 와 가 취할 수 있는 값은 0, 1, 2이므로

×

2의 배수도 3의 배수도 아닌 눈 : 1, 5

⋅

⋅

2의 배수가 아닌 눈 : 1, 3, 5

⋅

⋅

⋅

3의 배수가 아닌 눈 : 1, 2, 4, 5

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 9/�52

(6, 1), (6, 5), (1, 6), (5, 6)

(3, 2), (3, 4), (2, 3), (4, 3)

나머지는 직접 해결해 보시기 바랍니다.

(2) 여사건에 의하여

(3) 교재참조.

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 10/�52

정의� 21

표본공간 에서 정의한 두 확률변수 와 의 이변량확률변수 에 대하여

≤ ≤ ∞

∞

(교재와 비교)

을 만족하는 이변수 함수 가 존재할 때, 이 함수 를 결합확률밀도함수라고 한다.

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 11/�52

정리� 23

연속확률변수의 결합확률밀도함수 에 대하여 다음이 성립한다.

(1) ≥

(2) ∞

∞

∞

∞

(3) ≤≤ ≤≤

증명. 정의에 의해 명백하다.

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 12/�52

정의� 22

표본공간 에서 정의한 두 확률변수 와 의 이변량확률변수 에 대한 누적된 확률의 분

포를 연속결합누적분포함수라고 한다.

기호 : ≤ ≤ ∞

∞

(교재와 비교)

참고. 연속결합누적분포함수를 간단히 결합분포함수라 부른다.

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 13/�52

예제� 51. 이변량확률변수 의 결합확률밀도함수가

otherwise일 때, 다음을 구하시오.

(1) 와 의 결합분포함수 (2)

풀이. (1) ≤ ≤ ∞

∞

따라서,

나머지 경우는 통계적으로

의미가 없기 때문에 취급하지 않음.

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 14/�52

3.3.2�주변확률분포

정의� 23

두 이산확률변수 와 의 결합확률질량함수 에 대하여

∞

,

∞

를 각각 확률변수 의 주변확률분포와 확률변수 의 주변확률분포라고 한다.

기호 : 의 주변확률분포 =

의 주변확률분포 =

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 15/�52

예제� 52. 어떤 주머니에 1, 2, 3의 숫자가 적힌 공이 각각 6개, 4개, 2개 들어있다. 임의로 1개씩의

공을 비복원추출하여 두 번 꺼낸다. 첫 번째 꺼낸 공에 적힌 숫자를 , 두 번째 꺼낸 공에 적힌 숫자

를 라고 할 때, 다음을 구하시오.

(1) 확률변수 의 주변확률분포표 (2) 확률변수 의 주변확률분포표

풀이. 예제 49 참조

(1)

⋅

⋅

⋅

⋅

나머지는 각자 해결해 보세요.

(2)

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 16/�52



(1) 확률변수 의 주변확률분포표 (2) 확률변수 의 주변확률분포표

풀이. 예제 65에서 다룰 것임.

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 17/�52

정의� 24

두 연속확률변수 와 의 결합확률밀도함수 에 대하여

∞

∞

, ∞

∞

를 각각 확률변수 의 주변확률분포와 확률변수 의 주변확률분포라고 한다.

기호 : 의 주변확률분포 =

의 주변확률분포 =

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 18/�52



(1) 확률변수 의 주변확률분포 (2) 확률변수 의 주변확률분포

풀이. (1) ∞

∞

(2) ∞

∞

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 19/�52



(1) 확률변수 의 주변확률분포 (2) 확률변수 의 주변확률분포

풀이. (1) ∞

∞

(2) ∞

∞

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 20/�52

정의� 25

두 확률변수 와 에 대하여

일 때, 두 확률변수 와 는 확률적으로 독립 또는 독립이라고 한다.

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 21/�52

예제� 52. 어떤 주머니에 1, 2, 3의 숫자가 적힌 공이 각각 6개, 4개, 2개 들어있다. 임의로 1개씩의

공을 비복원추출하여 두 번 꺼낸다. 첫 번째 꺼낸 공에 적힌 숫자를 , 두 번째 꺼낸 공에 적힌 숫자

를 라고 할 때, 두 확률변수 와 의 독립 여부를 확인하시오.

풀이.

⋅

⋅

⋅

⋅

이므로

≠ ⋅

따라서, 와 는 독립이 아니다.

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 22/�52


, 나온 두 눈 중 3의 배수인 눈의 개수를 라 할 때, 두 확률변수 와 의 독립 여부를

확인하시오.

풀이. 예제 50의 확률분포표로부터 와 는 독립임을 알 수 있다.

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 23/�52


otherwise일 때, 두 확률변수 와 의 독립 여부를 확인하시오.

풀이. 예제 54에서 , 이었고

⋅

이므로 와 는 독립이다.

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 24/�52


otherwise일 때, 두 확률변수 와 의 독립 여부를 확인하시오.

풀이. 예제 55에서

,

이었다.

⋅ ≠

이므로 와 는 독립이 아니다.

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 25/�52

3.3.3�이변량확률변수의�변환

정리� 24

두 이산확률변수 와 의 결합확률질량함수가 이고 새로운 확률변수 와 의 변환

관계가 , 일 때, 변환된 확률변수 와 의 결합확률질량함수는

이다.

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 26/�52

정리� 25

서로 독립인 두 이산확률변수 와 에 대하여 새로운 확률변수 의 변환 관계가

일 때, 다음이 성립한다.

(1) ∼ 이고 ∼ 이면 ∼

(2) ∼이고 ∼이면 ∼

증명. 교재참조

참고. 위 정리에서 (1)과 같이 두 이항분포의 합이 이항분포를 따를 때, 이것을 이항재생이

라고 한다.

(2)와 같이 두 포아송분포의 합이 포아송분포를 따를 때, 이것을 포아송재생이라고 한다.

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 27/�52

정리� 26

두 연속확률변수 와 의 결합확률밀도함수가 이고 새로운 확률변수 와 의 변환

관계가 , 일 때, 변환된 확률변수 와 의 결합확률밀도함수는

⋅

이다. 여기서

(변환의 야코비안이라 부름)

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 28/�52

정리� 27�특별한�변환

서로 독립인 두 연속확률변수 와 에 대하여 다음이 성립한다.

(1) ∼, ∼, ,

이면

∼ 이고 ∼ 이다.

(2) ∼ 이고 ∼,

이면, ∼이다.

(3) ∼, ∼,

이면, ∼ 이다.

증명. 교재참조

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 29/�52

3.3.4�조건부확률분포

정의� 26

두 이산확률변수 와 의 결합확률질량함수가 이고 주변확률질량함

수가 각각 와 일 때,

(단, ≠)

를 에 대한 의 조건부확률질량함수라 하고,

(단, ≠)

를 에 대한 의 조건부확률질량함수라 한다.

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 30/�52

예제� 60. 두 이산확률변수 와 가 ∼ 이고 ∼ 이며 서로 독립일 때,

에 대한 의 조건부확률질량함수를 구하시오.

풀이. 서로 독립이므로 정리 25에 의하여 결합확률질량함수는

⋅ ⋅⋅⋅, ⋯

이고 이항재생에 의하여

∼

이다. 따라서

⋅⋅

⋅⋅

⋅

이다. 즉, 이것은 초기하분포의 확률질량함수이다.

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 31/�52

정의� 27

두 연속확률변수 와 의 결합확률밀도함수가 이고 주변확률밀도함수가 각각

와 일 때,

(단, ≠)

를 에 대한 의 조건부확률밀도함수라 하고,

(단, ≠)

를 에 대한 의 조건부확률밀도함수라 한다.

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 32/�52

예제� 61. 두 연속확률변수 와 의 결합확률밀도함수가

≤ ≤ ≤ otherwise

일 때 다음을 구하시오.

(1) 확률변수 에 대한 의 조건부확률밀도함수


풀이. (1)

따라서

(2)는 교재참조.

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 33/�52


otherwise일 때 다음을 구하시오.



풀이. (1)

따라서

(2)는 교재참조.

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 34/�52

3.3.5�공분산과�상관계수

정의� 28

두 이산확률변수 와 의 결합확률질량함수가 이고 와 의 이변

수함수가 일 때,

⋅

를 이산이변량확률변수의 기댓값이라고 한다.

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 35/�52

예제� 63. 어떤 주머니에는 1, 2, 3의 숫자가 적힌 공이 각각 6개, 4개, 2개 들어있다. 임의

로 1개의 공을 비복원추출하여 두 번 꺼낸다. 첫 번째 꺼낸 공에 적힌 숫자를 , 두 번째

꺼낸 공에 적힌 숫자를 라 할 때, 다음의 기댓값을 구하시오.

(1) (2)

풀이. 는 예제 49의 결합분포표 참조.

(1)

⋅

(2)

⋅

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 36/�52

정의� 29

두 연속확률변수 와 의 결합확률밀도함수가 이고 와 의 이변수함수가 일

때,

⋅

를 연속이변량확률변수의 기댓값이라고 한다.

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 37/�52


otherwise일 때, 다음의 기댓값을 구하시오.

(1) (2)

풀이. (1)

⋅

(2)

⋅

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 38/�52

정리� 28

이변량 확률변수 에 대하여 두 확률변수의 이변수함수가 각각 와 일 때, 다음이

성립한다.

(1)

(2) 두 확률변수 와 가 독립일 때,

⋅ ⋅

이다.

증명. (1)은 교재 참조.

(2) 스케치 : 와 가 독립이므로, ⋅ .

⋅⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

임을 이용.

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 39/�52


, 나온 두 눈 중 3의 배수인 눈의 개수를 라 할 때, 기댓값의 성질을 이용하여 두 확률

변수 와 의 독립 여부를 확인하시오.

풀이.

⋅ ⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅ ⋅

⋅

⋅ ⋅

⋅

이므로 와 는 독립이다.

� � � � � � 0 1 2 합계()

0

1

2

합계()

예제 50. 와 의 결합분포표

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 40/�52


otherwise일 때, 기댓값의 성질을 이용하여 두 확률변수 와 의 독립 여부를 확인하시오.

풀이.

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

≠이므로 와 의 독립이 아니다.

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 41/�52

정리� 29

서로 독립인 두 연속확률변수 와 에 대하여 ∼ 이고 ∼

일 때, 새로

운 확률변수 의 변환 관계가 이면

∼

이다.

증명. 와 의 적률생성함수는 각각

와

.

와 는 서로 독립이므로 정리 28에 의해 의 적률생성함수는

⋅

⋅ ⋅

⋅

.

따라서 ∼

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 42/�52

정리� 30

이변량확률변수 에 대하여 두 확률변수 와 가 독립일 때

이다.

증명. 두 확률변수 와 가 독립이므로 정리 28에 의해 .

따라서

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 43/�52

정의� 30

두 이산확률변수 와 의 결합확률질량함수가 이고 조건부확률질량함수가 각각

와 일 때

∞

⋅

를 에 대한 의 조건부기댓값이라 하고,

∞

⋅

를 에 대한 의 조건부기댓값이라고 한다.

예. 어떤 공장에서 생산하는 상품에서 임의로 하나를 선택하였을 때, 그 상품의 수명과 무게

를 각각 확률변수 와 라 하면

조건부기댓값 는 무게가 인 상품들의 평균수명을 의미하고

조건부기댓값 는 수명이 인 상품들의 평균무게를 의미한다.

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 44/�52

정의� 31

두 이산확률변수 와 의 결합확률질량함수가 이고 조건부확률질량함수가 각각

와 일 때

를 에 대한 의 조건부분산이라 하고,

를 에 대한 의 조건부분산이라고 한다.

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 45/�52

예제� 67. 이변량확률변수 의 결합확률분포표이다. 다음을 구하시오.

(1) ,

(2) ,

(3)

(4)

풀이.

(1)

⋅ ⋅ ⋅

⋅

.

비슷하게

.

(3)

.

1 2 합계

1

2

합계

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 46/�52

정의� 32

두 연속확률변수 와 의 결합확률질량함수가 이고 조건부확률밀도함수가 각각

와 일 때

∞

∞

⋅

를 에 대한 의 조건부기댓값이라 하고,

∞

∞

⋅

를 에 대한 의 조건부기댓값이라고 한다.

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 47/�52

정의� 33

두 연속확률변수 와 의 결합확률밀도함수가 이고 조건부확률밀도함수가 각각

와 일 때

를 에 대한 의 조건부분산이라 하고,

를 에 대한 의 조건부분산이라고 한다.

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 48/�52


≤ ≤ otherwise

일 때, 다음을 구하시오.

(1) , (2)

풀이. 예제 61에서 에 대한 조건부확률밀도함수는

.

(1)

⋅

⋅

(2)

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 49/�52

정의� 34

이변량확률변수 에 대하여 이고 일 때

⋅

를 공분산이라고 한다.

기호 : 공분산 = 또는

참고. (1) 공분산은 두 확률변수 각각의 편차의 곱의 기댓값이다.

(2)

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 50/�52

정의� 35

이변량확률변수 에 대하여 각각의 확률변수의 기댓값과 분산을 , , ,

라 할 때

⋅

를 상관계수라고 한다.

기호 : 상관계수 = 또는

참고. (1) 상관계수는 1과 1사이의 값을 갖는다.

(2) 은 두 변수가 무관한 관계에 있음을 나타낸다.

(3) 은 한 변수가 평균보다 큰(작은) 값을 취하면 다른 변수도 평균보다

큰(작은) 경향이 있음을 알려준다.

(4) 은 한 변수가 평균보다 큰(작은) 값을 취하면 다른 변수는 평균보다

작은(큰) 경향이 있음을 알려준다.

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 51/�52



(1) 공분산 (2) 상관계수

풀이. (1) 예제 65에서 ,

,

⋅

(2)

⋅

,

⋅

,

따라서, ⋅

� � � � � � 0 1 2 합계()

0

1

2

합계()

예제 50. 와 의 결합분포표

� � � � � � � 3.3� 두� 확률변수의�결합확률분포 52/�52



(1) 공분산 (2) 상관계수

풀이. 와 가 연속확률변수라는 것에 유의하며 각자 해결해 보시기 바랍니다.

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