Εαρινό Εξάμηνο Ακαδημαϊκού...

Εαρινό Εξάμηνο Ακαδημαϊκού Έτους

2019-2020 Ώρες Φροντιστηρίου: Τετάρτη 14:00-15:00

Αίθουσα Διδασκαλίας : Δ1 [email protected], [email protected]

http://users.uoa.gr/~papost/

ΠΡΟΠΑΡΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ

Δρ. Παντελής Αποστολόπουλος- Επίκουρος Καθηγητής

Φροντιστήριο Φυσικής Δρ. Παντελής Σ. Αποστολόπουλος – Τμήμα Περιβάλλοντος

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΜΗΧΑΝΙΚΗ



Δρ. Παντελής Σ. Αποστολόπουλος – Τμήμα Περιβάλλοντος Φροντιστήριο Φυσικής




Δυναμική Η έννοια της δύναμης Το αίτιο μεταβολής της κινητικής κατάστασης ενός Υλικού Σημείου (Υ.Σ.) (κάθε αλλαγή στην κίνηση του Υ.Σ.) καλείται Δύναμη (Force) και συμβολίζεται με F. Η δύναμη είναι διανυσματικό μέγεθος και ξεχωρίζουμε δύο κατηγορίες: Δυνάμεις από απόσταση και εξ’ επαφής. Στην πρώτη κατηγορία υπονοείται ότι οι δυνάμεις εμφανίζονται, όταν ένα Υ.Σ. τυγχάνει να βρεθεί στο πεδίο δράσης της δύναμης και προς τούτο καλούνται και πεδιακές δυνάμεις (βαρυτικές, ηλεκτρομαγνητικές, ασθενείς πυρηνικές, ισχυρές πυρηνικές). Στην δεύτερη κατηγορία ανήκουν οι δυνάμεις αυτές που χρειάζονται «επαφή» για να ασκηθούν (τριβή, αντίσταση του αέρα κ.τ.λ.).

Η μονάδα μέτρησης της δύναμης στο S.I. είναι το 1Newton ή 1N. Οι δυνάμεις, ανεξάρτητα σε ποια κατηγορία ανήκουν, περιγράφουν την αλληλεπίδραση μεταξύ δύο Υ.Σ. ή σωμάτων

Θεμελιώδεις Νόμοι της Δυναμικής Κάθε σώμα έχει την τάση να αντιστέκεται στη μεταβολή της κινητικής του κατάστασης. Το μέτρο αυτής της τάσης καλείται

αδρανειακή μάζα m (μονάδα μέτρησης στο S.I. είναι το 1Kgr). Η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα ικανοποιεί τη σχέση:

�𝐹𝑛𝑛

= 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3 + ⋯+ 𝐹𝑛 = 𝑚 ∙ �⃗�

Οι αλληλεπιδράσεις εμφανίζονται πάντα ως ζεύγη δυνάμεων συνεπώς κάθε σώμα στο οποίο ασκείται δύναμη τότε αυτό ασκεί μία ίση αλλά αντίθετης κατεύθυνσης δύναμη.




Δυναμική Διανυσματικός Λογισμός δυνάμεων σε μία διάσταση Είναι προφανές ότι σε ένα σώμα δύναται να ασκούνται περισσότερες από δύο δυνάμεις με τυχαίες φορές. Συνισταμένη καλείται η διανυσματική άθροιση των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα:

Επιλέγοντας Αυθαίρετη Θετική Φορά (Α.Θ.Φ.) «αποχαραχτηρίζουμε» τη διανυσματική μορφή κάθε επιμέρους δύναμης και εμφανίζουμε τις αλγεβρικές τιμές. Ανάλογα με το πρόσημο της συνισταμένης δύναμης που προκύπτει καθορίζουμε και τη φορά της.

Θετικό, η συνισταμένη είναι ομόρροπη με την Α.Θ.Φ. Αρνητικό, η συνισταμένη είναι αντίρροπη με την Α.Θ.Φ.




Δυναμική Διανυσματικός Λογισμός δυνάμεων σε δύο διαστάσεις Όταν οι δυνάμεις δρουν σε δύο διαφορετικές διευθύνσεις στο επίπεδο, τότε η συνισταμένη ακολουθεί τους κανόνες της διανυσματικής άθροισης στο επίπεδο και το αποτέλεσμα καθορίζεται από τη γωνία που σχηματίζουν οι επιμέρους δυνάμεις. Αν 𝐹1 ⊥ 𝐹2 τότε εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα για τον προσδιορισμό του μέτρου της

συνισταμένης δύναμης και τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών για τη διεύθυνσή της. Με βάση τα προηγούμενα έχουμε:




Δυναμική

Διανυσματικός Λογισμός δυνάμεων σε δύο διαστάσεις Αν 𝐹1𝐹2� = 𝜃 τότε εφαρμόζουμε τον κανόνα του παραλληλογράμου για τον προσδιορισμό του

μέτρου και της γωνίας που σχηματίζει με τη διεύθυνση μίας εκ των επιμέρους δυνάμεων. Συνεπώς λαμβάνουμε:

Σημειώνεται ότι στις διπλανές σχέσεις θεωρούμε ότι η διεύθυνση αναφοράς είναι η διεύθυνση της δύναμης F1 χωρίς αυτό να σημαίνει ότι η ανωτέρω υπόθεση αποτελεί κανόνα για τον τρόπο με τον οποίο υπολογίζουμε τη διεύθυνση και το μέτρο της συνισταμένης δύναμης.




Δυναμική Διανυσματικός Λογισμός δυνάμεων σε δύο διαστάσεις Για να υπολογίσουμε τη συνισταμένη πολλών ομοεπιπέδων δυνάμεων που έχουν κοινό σημείο εφαρμογής, μπορούμε να βρούμε τη συνισταμένη των δύο πρώτων δυνάμεων με τη μέθοδο του παραλληλογράμμου και στη συνέχεια να συνθέσουμε τη δύναμη αυτή με την τρίτη δύναμη, τη νέα συνισταμένη με την τετάρτη, κ.ο.κ. μέχρι να τελειώσουν όλες οι δυνάμεις. Η πορεία αυτή είναι συνήθως περίπλοκη και γι' αυτό δεν ενδείκνυται. Συνήθως εργαζόμαστε ως εξής: Σε ένα σύστημα δισορθογωνίων αξόνων, του οποίου η αρχή συμπίπτει με το σημείο εφαρμογής των ομοεπιπέδων δυνάμεων, αναλύουμε όλες τις δυνάμεις σε συνιστώσες. Παρατηρούμε τότε, ότι όλες οι συνιστώσες που βρίσκονται στον ίδιο άξονα, έχουν την ίδια ή αντίθετη κατεύθυνση και επομένως η άθροισή τους είναι άμεση. Με τον τρόπο αυτό καταλήγουμε στην σύνθεση δύο δυνάμεων καθέτων μεταξύ τους. Θεωρείστε για ευκολία τρεις δυνάμεις F1, F2, F3, που σχηματίζουν με τον άξονα των xx’ γνωστές γωνίες θ1, θ2, θ3. Αναλύουμε κάθε δύναμη σε συνιστώσες στους άξονες xx’ και yy’.




Δυναμική Διανυσματικός Λογισμός δυνάμεων σε δύο διαστάσεις Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τα αντίστοιχα για την περίπτωση σύνθεσης (άθροισης) δύο δυνάμεων με κάθετες διευθύνσεις. Το αποτέλεσμα είναι ισοδύναμο (αλλά εξαιρετικά απλούστερη η μεθοδολογία) εάν χρησιμοποιούσαμε διαδοχικά το νόμο των συνημιτόνων ανά ζεύγη δυνάμεων.




Δυναμική Η έννοια της ορμής Καθίσταται προφανές ότι προκειμένου να μελετήσουμε δυναμικά την κίνηση ενός σώματος δεν μας αρκεί ούτε μόνο το διάνυσμα της ταχύτητας ούτε μόνο η χρήση της αδρανειακής μάζας αλλά πρέπει να οριστεί ένα διανυσματικό μέγεθος το οποίο να συμπεριλαμβάνει και τα δύο μεγέθη. Ορμή p ενός σώματος καλείται το διανυσματικό μέγεθος:

𝐩 = 𝑚 ∙ 𝐮 Ουσιαστικά η ορμή ενός σώματος σχετίζεται με το μέγεθος της μεταβολής της κινητικής κατάστασης που θα προκαλέσει σε ένα άλλο σώμα με το οποίο θα αλληλεπιδράσει (π.χ. σύγκρουση). Η μονάδα μέτρησης στο S.I. Είναι το 1 Kgr•m/sec. Μέσω του ρυθμού

μεταβολής της ορμής μπορεί να αποδεχθεί εύκολα ο 2ος Νόμος του Newton:

𝐅εξ =Δ𝐩Δt

=Δ(𝑚𝐮)Δt

= 𝑚Δ𝐮Δt

= 𝑚𝐚

Να σημειώσουμε ότι η μεταβολή της ορμής Δp ή ισοδύναμα το γινόμενο FεξΔt καλείται Ώση. Από την τελευταία σχέση συμπεραίνουμε ότι για συγκεκριμένο μέτρο της ώσης τα μεγέθη Fεξ, Δt είναι αντιστρόφως ανάλογα. Αρχή Διατήρησης της ορμής Προκύπτει άμεσα από την προηγούμενη σχέση ότι όταν σε ένα σύστημα Υ.Σ. η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό είναι μηδέν (απομονωμένο σύστημα) τότε η ορμή διατηρείται:




Δυναμική Έργο – Ενέργεια Όπως έχει προαναφερθεί, τα διανυσματικά μεγέθη σε μερικές περιπτώσεις, δεν είναι ιδιαιτέρως εύχρηστα. Επιπρόσθετα χρειαζόμαστε μονόμετρα μεγέθη τα οποία να ενσωματώνουν και την επίδραση της δύναμης αλλά και το εύρος δράσης της. Ορίζουμε ως Έργο (Work) μίας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα το μονόμετρο μέγεθος:

Παρατηρήσεις Στην ανωτέρω σχέση υπονοείται ότι η δύναμη και η μετατόπιση είναι σταθερά διανύσματα. Η γωνία θ είναι αυτή που σχηματίζεται από τις διευθύνσεις των διανυσμάτων της δύναμης και της μετατόπισης. Η μονάδα μέτρησης του έργου στο S.I. είναι το Joule=N•m. Το έργο ουσιαστικά αντιπροσωπεύει την ποσότητα ενέργειας που μεταφέρθηκε στο σώμα για τη μεταβολή της κινητικής του

ενέργειας. Όταν το έργο έχει θετική τιμή τότε λέμε ότι προσφέρθηκε (μέσω της δύναμης) ενέργεια στο Υ.Σ. Όταν το έργο έχει αρνητική τιμή τότε λέμε ότι αφαιρέθηκε (μέσω της δύναμης) ενέργεια από το Υ.Σ. ή ισοδύναμα καταναλώθηκε

ενέργεια από τη δύναμη. Σε κάθε περίπτωση το γινόμενο Δύναμη × Απόσταση έχει μονάδες Έργου (Joule).




Δυναμική Παρατηρήσεις Στην περίπτωση κατά την οποία οι διευθύνσεις της δύναμης και της μετατόπισης δεν αλλάζουν ενώ το μέτρο της δύναμης

μεταβάλλεται, τότε ισχύει:

Το εμβαδόν της Γ.Π. της δύναμης σαν συνάρτηση της μετατόπισης μας δίνει το έργο.




Δυναμική Δυναμική Ενέργεια – Κινητική Ενέργεια Όπως είδαμε το έργο αποτελεί (στη γενική περίπτωση) το ποσό ενέργειας που μεταφέρεται (ή μετατρέπεται) σε ένα Υ.Σ. μέσω της παρουσίας δύναμης. Επομένως είναι δόκιμο να γνωρίζουμε αυτές τις ποσότητες ενέργειας που κατέληξαν στο Υ.Σ. Ορίζουμε ως Δυναμική Ενέργεια ενός Υ.Σ. το ποσό ενέργειας που κατέχει λόγω της θέσης του και το οποίο μπορεί να μετατραπεί

σε άλλη μορφή ενέργειας και να μεταφερθεί σε ένα άλλο σώμα: 𝑈 = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ℎ

όπου h είναι η (κάθετη) απόσταση του σώματος από την επιφάνειας της Γης. Δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι ισούται με το έργο της βαρύτητας για την ίδια απόσταση. Ορίζουμε ως Κινητική Ενέργεια ενός Υ.Σ. το ποσό ενέργειας που έχει λόγω της κίνησής του και το οποίο μπορεί να μετατραπεί σε

άλλη μορφή ενέργειας και να μεταφερθεί σε ένα άλλο σώμα:

𝐾 =12𝑚 ∙ 𝑢2

Ορίζουμε Μηχανική Ενέργεια του Υ.Σ. το άθροισμα της Δυναμικής και Κινητικής του ενέργειας: 𝐸 = 𝐾 + 𝑈

Η Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας (Α.Δ.Ε.) απαιτεί η Μηχανική Ενέργεια να παραμένει σταθερή για ένα απομονωμένο σύστημα.




Δυναμική Αλγεβρική τιμή του έργου Το έργο μπορεί να προσφέρει ενέργεια σε ένα Υ.Σ. αλλά και το αντίθετο. Αν το έργο W μίας δύναμης (ή της συνισταμένης) έχει θετική αλγεβρική τιμή τότε λέμε ότι προσφέρεται ενέργεια στο σώμα ή ότι

παράγεται έργο. Αν το έργο W μίας δύναμης (ή της συνισταμένης) έχει αρνητική αλγεβρική τιμή τότε λέμε ότι καταναλώνεται ενέργεια από το

σώμα. Αυτό μπορούμε να το καταλάβουμε από τη συνέπεια του ορισμού του έργου η οποία εκφράζεται ως Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας (Θ.Μ.Κ.Ε.) και οποίο με μαθηματική μορφή εκφράζεται ως:

Συνάγεται εύκολα ότι εάν το έργο είναι θετικό τότε η κινητική ενέργεια του σώματος αυξάνεται ενώ αν το έργο είναι αρνητικό η κινητική ενέργεια του σώματος μειώνεται. Στην απλούστερη περίπτωση το έργο είναι θετικό όταν οι κατευθύνσεις της μετατόπισης και της συνισταμένης δύναμης είναι ομόρροπες (γωνία 00) ενώ το έργο είναι αρνητικό όταν οι κατευθύνσεις τους είναι αντίρροπες (γωνία π).




Δυναμική

Η έννοια της Ισχύος Έχει αναγνωριστεί από τα προηγούμενα η εξαιρετικά σημαντική χρησιμότητα του ρυθμού μεταβολής κάθε φυσικού μεγέθους. Προς τούτο είναι ουσιώδες να γνωρίζουμε το ποσό ενέργειας που μετατράπηκε ή μεταφέρθηκε σε ένα Υ.Σ. στη μονάδα του χρόνου ή αλλιώς το ρυθμό μεταβολής της (κάθε είδους) ενέργειας:

𝑃 =Δ𝑊Δ𝑡

, 𝑃 =𝑑𝑊𝑑𝑡

Η μονάδα μέτρησης της Ισχύος στο S.I. είναι το Watt Joule/sec. Συνεπώς κάθε γινόμενο ισχύος και χρόνου μας δίνει ενέργεια το οποίο κατ’επέκταση σημαίνει ότι το εμβαδόν που περιορίζεται από τη Γ.Π. της ισχύος σαν συνάρτηση του χρόνου αποτελεί το ποσό ενέργειας που μετατράπηκε ή μεταφέρθηκε στο ίδιο χρονικό διάστημα. Στην απλή περίπτωση της σταθερής (συνισταμένης) δύναμης δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι:

𝑃 = 𝐹 ∙ 𝑢 Επισημαίνεται ότι η ισχύς ορίζεται για κάθε τύπο ενέργειας επομένως είναι δυνατόν να έχουμε Μηχανική Ισχύ, Ηλεκτρική Ισχύ, Θερμική Ισχύ, Αιολική Ισχύ, Φωτεινή Ισχύ κ.τ.λ.




Δυναμική

Παράδειγμα 5




Δυναμική Παράδειγμα 6




Δυναμική




Δυναμική Βαρυτικές Δυνάμεις Η βαρύτητα αποτελεί πεδιακή δύναμη λόγω του ότι ασκείται χωρίς επαφή δύο ή περισσοτέρων σωμάτων.

Στην ανωτέρω σχέση με G συμβολίζουμε τη βαρυτική σταθερά και η οποία βρίσκεται να είναι: 𝐺 ≈ 6.6743 × 10−11𝑚3𝑘𝑔−1𝑠−2

Προκειμένου να διαπιστώσουμε πόσο ισχυρό είναι το βαρυτικό πεδίο μίας τυχαίας μάζας (ανεξάρτητα από τη μάζα του σώματος που εισέρχεται σε αυτό) ορίζουμε την ένταση του βαρυτικού πεδίου g ως:




Δυναμική Βαρυτικές Δυνάμεις Δυναμικές Γραμμές του βαρυτικού πεδίου (αλλά και όπως θα δούμε κάθε πεδίου)

είναι οι γραμμές στις οποίες το διάνυσμα της έντασης του βαρυτικού πεδίου είναι πάντοτε εφαπτόμενο σε κάθε σημείο τους.

Η ένταση του βαρυτικού πεδίου μίας μάζας M ουσιαστικά ισούται με την επιτάχυνση ή επιβράδυνση που αποκτά ένα σώμα όταν εισαχθεί στο πεδίο της μάζας Μ.

Η ένταση του βαρυτικού πεδίο εξαρτάται από το ύψος, τον τόπο (γεωγραφικό πλάτος και μήκος) και τη μάζα που το δημιουργεί.

Για όλους τους προηγούμενους συλλογισμούς θεωρούμε ότι όλες οι μάζες είναι σημειακές δηλαδή όλη η μάζα τους είναι συγκεντρωμένη στο κέντρο τους.

Η ποσότητα r αναφέρεται στην απόσταση του σημείου, που θέλουμε να υπολογίσουμε την ένταση του βαρυτικού πεδίου, με το κέντρο της μάζας που το δημιουργεί. Επομένως στους υπολογισμούς μας πρέπει να συμπεριληφθεί και η ακτίνα της Γης ή οποιουδήποτε άλλου σώματος που δημιουργεί το βαρυτικό πεδίο.




Δυναμική Δυναμική Ενέργεια Ορίζουμε ως Δυναμική Ενέργεια U μίας μάζας m η οποία βρίσκεται σε ένα σημείο P στο βαρυτικό πεδίο της Γης το έργο που απαιτείται προκειμένου να μετακινηθεί στο άπειρο (όπου θεωρούμε ότι η δυναμική του ενέργεια είναι μηδέν):

Η Δ.Ε. είναι αρνητική (έχουμε λάβει υπόψη ότι είναι μηδέν στο άπειρο δηλαδή σε μεγάλες αποστάσεις). Η Δ.Ε. αυξάνεται όσο απομακρύνεται από την πηγή του βαρυτικού πεδίου και μειώνεται όσο την προσεγγίζει. Αυτό γίνεται

προφανές από το αρνητικό πρόσημο ορισμού της δυναμικής ενέργειας.

Τα σημεία υψηλής Δυναμικής Ενέργειας καλούνται Ασταθή ενώ αυτά χαμηλής Δυναμικής Ενέργειας Ευσταθή.

Νομοτελειακά σε κάθε απομονωμένο σύστημα, τα σώματα τείνουν να κινούνται από Ασταθή σε Ευσταθή σημεία




Δυναμική Δυναμική Ενέργεια Το έργο μετακίνησης ενός σώματος μεταξύ δύο σημείων P, Q μέσα στο βαρυτικό πεδίο δίνεται από τη σχέση:

όπου rP και rQ είναι οι αποστάσεις των σημείων από το κέντρο της Γης. Για μικρές αποστάσεις h (ύψη) του σώματος από την επιφάνεια της Γης (άρα αμελητέες μεταβολές της έντασης του βαρυτικού πεδίου g και αμελητέα μήκη σε σχέση με την ακτίνα της Γης) η δυναμική ενέργεια μπορεί να γραφεί:

U=m∙g∙h Πράγματι:




Δυναμική Μηχανική Ενέργεια Το άθροισμα της Κινητικής και Δυναμικής Ενέργειας ενός σώματος το οποίο κινείται μέσα στο βαρυτικό πεδίο καλείται Μηχανική ή Ολική Ενέργεια:

Ε = K+U Συντηρητικό ή Διατηρητικό είναι ένα Πεδίο όταν το έργο κατά μήκος μίας κλειστής διαδρομής είναι ίσο με το μηδέν. Το Βαρυτικό Πεδίο είναι Συντηρητικό και ισχύει (Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας ή ΑΔΕ):

Η Μηχανική Ενέργεια σε ένα Συντηρητικό Πεδίο διατηρείται δηλαδή παραμένει σταθερή (δεν μεταβάλλεται) με τον χρόνο

Από την παραπάνω ιδιότητα διαπιστώνουμε ότι:

Εαρινό Εξάμηνο Ακαδημαϊκού...

Documents

Transcript of Εαρινό Εξάμηνο Ακαδημαϊκού...