Районная научно-практическая конференция школьников

«Первые шаги в науку»

Секция: математика

«Методы решения сюжетных

задач»

Выполнила:

Орлова Елизавета,

МКОУ Ордынская средняя

общеобразовательная школа№3

8 класс

Научный руководитель:

Лучко Елена Андреевна,

учитель математики,

первой квалификационной категории

р.п. Ордынское, 2015г

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава I……………………………………………………………………………… 3

1.1 Что такое сюжетные задачи?…………………………………………………… 5

Глава II……………………………………………………………………………….6

2.1 Виды сюжетных задач……………..…………………………………………….6

2.2 Типы сюжетных задач………..…………………………………………….……8

2.3Методы решения сюжетных задач….………………………………………..… 11

Глава III………………………………………………………………………………20

3.1 Диаграммы……………………………………………………………………..… 20

Заключение……………………………………………………………………….….23

Список используемой литературы……………………………………………..…23

Слайды презентации………………………………………………………………..24

3

Введение

Аннотация

Тема исследования решения сюжетных задач заинтересовала меня

после того, как учитель на уроке по решению задач с помощью квадратных

уравнений, показала другие методы решения этих задач. Мне стало

интересно: Что вообще такое - задачи, какие есть виды, способы решения ,

какие из них больше нравятся моим сверстникам. Я поняла, что эта тема

является актуальной в наши дни, так как сюжетные задачи включены в

итоговые экзамены в выпускных классах.

Математическое исследование показывает необходимость

познаний математики за страницами учебника, осуществление

межпредметных связей.

Цель:

Выяснить, какие виды сюжетных задач существуют и каковы способы их

решения, какие виды сюжетных задач нравятся ученикам 8 класса, какие

способы решения они предпочитают, разработать памятку по способам

решения сюжетных задач.

Гипотеза:

Вероятно, ученики 8 класса знают несколько видов задач, умеют решать их

несколькими способами.

Методы исследования:

1.Изучить материалы о сюжетных задачах.

4

2.Провести опрос среди учеников 8 класса.

3.Составить диаграммы и сопоставительный анализ.

4.Сделать выводы.

5.Разаработать памятку.

Задачи исследования:

1.Прочитать математическую литературу, в которой авторы рассказывают о

сюжетных задачах и исследовать полученную информацию.

2.Познакомиться с видами и типами сюжетных задач.

3. Выяснить, существуют ли неизвестные мне методы решения сюжетных

задач.

4.Составить памятку по решению сюжетных задач.

Для изучения данной проблемы я использовала ресурсы библиотеки,

Интернета, мне помогал учитель и родители.

План:

1)Что такое сюжетные задачи.

2)Какие существуют виды сюжетных задач

3) Типы сюжетных задач

4) Каковы способы решения сюжетных задач

5)Сопоставительный анализ и диаграммы.

6)Выводы

Глава I

Под сюжетной задачей понимают задачи, в которых описан

некоторый жизненный сюжет (явление, событие, процесс) с целью

нахождения определенных количественных характеристик или значений

Л.П.Фридман

5

Всякая задача есть требование либо на нахождение каких-либо знаний о

явлениях действительности (объектах и процессах) и их

характеристиках, которые они имеют в определенных заданных в задаче

условиях, либо на получение какого-то искомого практического результата

(построить что-то, обеспечить выполнение каких-то условий и тому

подобное

И.И.Ильясов

Задача представляет собой непустое множество элементов,

на котором определено заранее данное отношение.

В.И. Крупич

Всѐ это определения сюжетных задач известных математиков. Эти

высказывания разные по выражениям, но смысл у всех один. Все эти

определения верны. Так что же такое сюжетная задача?

1.1 Что такое сюжетные задачи?

Сюжетные задачи – это наиболее древний вид школьных задач. Они всегда

широко использовались и будут использоваться в обучении математике. Ещѐ

задолго до нашей эры в Древнем Египте, Вавилоне, Китае, Индии были

известны и многие методы их решения. Однако со временем цели и функции

решения сюжетных задач существенно изменялись и меняются до сих пор.

Если например до 19-ого века цели решения этих задач были чисто

практические: научить решать задачи, которые часто встречаются в

жизненной практике, то затем эти цели значительно расширились и, кроме

практических целей, они начинают использоваться как важное

общеобразовательное и методическое средство. Известный русский методист

В.А. Евтушевский (1836-1888) так охарактеризовал функции сюжетных задач

в обучении начальной математике: «Задачи, предлагаемые в классе,

заключают в себе живой материал для упражнения мышления ученика, для

вывода математических правил и для упражнения приложения этих правил в

решении частных практических вопросов».

Главное состоит в том, чтобы сформировать у учащихся общий подход к

решению любых задач. Это подход состоит в том, что задача

рассматривается как модель некоторой проблемной ситуации, как объект для

тщательного изучения, а еѐ решение – как процесс применения общих

теоретических положений математики и общелогических правил вывода к

условиям задачи, с целью последовательного еѐ преобразования и

6

перемоделирования до тех пор, пока не будет удовлетворено требование

задачи – не будет найден ответ на вопрос задачи.

Статистические данные анализа результатов проведения ЕГЭ с момента его

существования говорят о том, что решаемость задания, содержащего

текстовую задачу, составляет год от года чуть больше или меньше 30%.

Такая ситуация позволяет сделать вывод, что большинство учащихся не в

полной мере владеет техникой решения текстовых задач и не умеет за их

часто нетрадиционной формулировкой увидеть типовые задания, которые

были достаточно хорошо отработаны на уроках в рамках школьной

программы. По этой причине возникла необходимость более глубокого

изучения этого традиционного раздела элементарной математики.

Сюжетная задача-это задача ,в которой речь идѐт о реальных процессах,

объектах, связях и отношениях.

Пример сюжетной задачи:

Три пятых класса собрали 700кг макулатуры, 5 «А» 130 кг, 5 «Б» в 2 раза

больше, сколько кг. Макулатуры собрал 5 «В»?

Глава II

2.1 Виды сюжетных задач.

Сюжетные задачи по видам могут быть:

1. Текстовые

2. Сказочные

3.Физминутки

4.Логические

Текстовые.

Это такие задачи, в которых зависимость между условием и требованием

выражена текстом.

Например:

Плата за квартиру на 555 р. больше платы за телефон, а плата за

электричество на 1300 р. меньше платы за квартиру. Что больше: плата за

телефон или плата за электричество, и на сколько?

7

Сказочные

Сказочные задачи по математике – это задачи со сказочным сюжетом

и (или) со сказочными героями.

Например:

У злого гнома есть волшебная палочка. С помощью этой палочки гном

делает злые дела. Если отнять у гнома палочку, он умрет, но тогда умрет и

тот, кто возьмет эту палочку в руки. Как быть?

Физминутки

Физминутка математического характера – это небольшой комплекс

физических упражнений, сопровождаемых стишками или песенками,

направленные на развитие и закрепление математического счета,

ориентировки в пространстве, на снятие напряжения и усталости у детей, на

поддержания интереса к занятию. Физминутки математического содержания

включаются непосредственно в содержание занятий как одно из средств

реализации программных задач

Например:

Раз – подняться, потянуться,

Два – согнуться, разогнуться,

Три – в ладоши три хлопка,

Головою три кивка.

На четыре – руки шире,

Пять – руками помахать

Логические

Задача на логику – это такая задача, для решения которой, как правило,

требуется логическое мышление, сообразительность, иногда применение

нестандартного мышления, а не специальные знания высокого уровня.

8

Например:

У Александра есть собственный зоомагазин по продаже птиц. Если он

помещает по одной птице в каждой клетке, то одной птице не хватит клетки.

Если же Александр поместит в каждую клетку по две птицы, то одна клетка

останется свободной. Как вы думаете, сколько же клеток и птиц в

зоомагазине Александра?

2.2 Типы сюжетных задач

1.На движение

Пример 1.Рассмотрим два объекта, движущихся навстречу с указанными на

рисунке скоростями.

Пусть прошла 1 минута. Как изменилось положение объектов:

Видим, что расстояние между объектами сократилось на 15 + 10 = 25 метров.

Таким образом, объекты сближаются со скоростью, равной сумме их

скоростей. Значит, время их встречи равно t = 100/(15 + 10) = 4 (мин).Если

расстояние между двумя телами равно s, а их скорости v1 и v2, то время t,

через которое они встретятся, находится по формулеt = S/(v1 + v2 ).

Пример 2.Расстояние между городами А и В равно 435 км. Из города А в

город В со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после

этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 65 км/ч второй

автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся?

Ответ дайте в километрах.Решение.

Через

час после выезда первого автомобиля расстояние между автомобилями стало

9

равно 435 - 60 = 375 (км), поэтому автомобили встретятся через времяt =

375/(60 + 65) = 3 (ч)Таким образом, до момента встречи первый автомобиль

будет находиться в пути 4 часа и проедет 60 · 4 = 240 (км).Ответ: 240км

Движение вдогонкуПример 3.Рассмотрим два объекта, один из которых

догоняет другой, с указанными на рисунке скоростями.

Пусть прошла 1 минута. Как изменилось положение объектов:

Видим, что расстояние между объектами сократилось на 15 – 10 = 5 метров.

Т.е. объекты сближаются со скоростью, равной разности их скоростей.

Значит, время, за которое первый объект догонит другой, или время их

встречи равноt = 100/(15 - 10) = 20 (мин).

На задуманное число

задача 1. Задумайте число. Отнимите 1. Остаток удвойте и прибавьте

первоначально задуманное число. Скажите результат. Я угадаю задуманное

число.

Способ угадывания. Прибавьте к результату 2, а сумму разделите на 3.

Частное — задуманное число.

Пример. Задумано 18;

18 — 1 = 17; 17*2 = 34; 34 + 18 = 52. Угадываем: 52 + 2=54; 54:3 = 18.

Доказательство. Задуманное число обозначим буквой х. Выполняем

требуемые действия:

х— 1, 2(х— 1), 2(х— 1) + х.

Результат:,

2х — 2+х=Зх— 2.

Прибавляя 2, получаем Зx, а разделив на 3. получаем задуманное число х.

задача 2. Предложите своему другу задумать какое-либо число. Затем

заставьте его несколько раз поочередно умножать и делить задуманное им

10

число на различные, произвольно вами назначаемые числа. Результат

действий пусть он вам не сообщает.

После нескольких умножений и делений остановитесь и предложите

задумавшему число разделить полученный им результат на то число, которое

он задумал, затем прибавить к последнему частному задуманное число и

сказать вам результат. По этому результату вы немедленно угадываете число,

задуманное вашим другом.

Секрет очень прост. Угадывающему самому тоже надо задумать

произвольное число (например, 1) и проделывать над ним все назначаемые

им умножения и деления вплоть до деления на первоначально задуманное

число. Тогда в частном у него получится то же самое число, что и у другого

задумавшего, хотя бы первоначально задуманные числа и были у них

различными. После этого угадывающему надо вычесть из сообщенного ему

результата свой результат. Разность и будет искомым числом.

Задача1. Произведение двух натуральных чисел равно 84. Одно из чисел на 5

больше другого. Найти эти числа.

Анализируем условие задачи, составляем и решаем уравнение.

Пусть меньшее из данных чисел равно х, тогда большее число равно х+5. По

условию произведение этих чисел равно 84. Составим уравнение х(х+5)=84.

Получили квадратное уравнение х2+5х-84=0. Решим это уравнение. D=5

2-

4*1*(-84)=25+336=361=192, х1=(-5+19):2=7; х2=(-5-19):2=-12. Второй корень

по смыслу задачи не подходит, т.к. даны натуральные числа. Значит меньшее

число равно 7, а большее число равно 7+5=12.

Ответ: 7 и 12.

Геометрические

Рассмотрим задачу с геометрическим содержанием, для решения которой,

применяется формула площади треугольника.

Задача 2. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что

один из них на 7 см больше другого, а площадь этого треугольника равна 30

см2.

Решение. Площадь прямоугольного треугольника равна половине

произведения катетов. Длины катетов неизвестны. Площадь равна 30 см2.

Пусть х см-длина одного катета, (х+7) см-длина второго катета . Используя

формулу площади треугольника составим уравнение: х(х+7)/2=30 . Решим

уравнение: х2+7х=60 , х

2+7х-60=0, D=289, х1=-12; х2=5. Так как длина отрезка

11

величина положительная, то только х=5 удовлетворяет условию задачи.

Найдем длину второго катета: 5+7=12 см. Ответ: 5см и 12 см.

Задача3. Мяч брошен вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Через

сколько секунд оно окажется на высоте 60 м?

Решение. Из курса физики известно, что если не учитывать сопротивление

воздуха, то высота h(м), на которой брошенный вертикально вверх мяч

окажется через t(c), может быть найдена по формуле h=V0t-gt2/2, где Vo(м/с)-

начальная скорость, g-ускорение свободного падения, приближенно равное

10 м/с2. Подставив значения h и V в формулу, получим 60=40t-5t

2. Получили

квадратное уравнение, решим его. 5t2-40t+60=0, t

2-8t+12=0, D=16, t1=2;

t2=6. Рассмотрим график зависимости h от t, где h=40t-5t2. Из графика видно,

что мяч, брошенный вертикально вверх, в течении первых 4с поднимается

вверх до высоты 80 м, а затем начинает падать. На высоте 60 м от земли оно

оказывается дважды: через 2 с и через 6 с после бросания. Условию задачи

удовлетворяют оба найденных корня.

Ответ: на высоте 60 м тело окажется через 2 с и через 6 с.

2.3 Методы решения сюжетных задач

Сюжетные задачи многими людьми, окончившими школу, вспоминаются как

самые трудные. Для того чтобы понять, в чем состоит сложность решения

этих задач, необходимо проанализировать собственный опыт их решения.

В каждой сюжетной задаче можно выделить:

· числовые значения величин, которые называются данными, или известными

(их должно быть не меньше двух);

12

· некоторую систему функциональных зависимостей в неявной форме,

взаимно связывающих искомое с данными и данные между собой (словесный

материал, указывающий на характер связей между данными и искомыми);

· требование или вопрос, на который надо найти ответ.

Существуют различные методы решения данного класса задач:

Арифметический метод

Решить задачу арифметическим методом – значит найти ответ на требование

задачи посредством выполнения арифметических действий над числами.

Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими

способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений,

выполняемых в процессе решения задачи. Выделяют два основных подвида

арифметического метода решения:

Составление пропорций по условию задачи и нахождение четвертого

пропорционального;

получение числового выражения или последовательности числовых

выражений и нахождение их значений.

Задача 1. Для приготовления варенья на две части малины берут три части

сахара. Сколько килограммов сахара нужно взять на 2 кг 600 г малины?

При решении задачи на ―части‖ надо приучить наглядно представлять

условие задачи, т.е. лучше опираться на рисунок.

1. 2600:2=1300 (г) - приходится на одну часть варенья;

2. 1300*3= 3900 (г) - сахара нужно взять.

Задача 2. На первой полке стояло в 3 раза больше книг, чем на второй. На

двух полках вместе стояло 120 книг. Сколько книг стояло на каждой полке?

1) 1+3=4 (части) - приходится на все книги;

2) 120:4=30 (книг) - приходится на одну часть ( книги на второй полке);

3) 30*3=90 (книг)- стояло на первой полке.

Задача 3. В клетке сидят фазаны и кролики. Всего в ней 27 голов и 74 ноги.

Узнать число фазанов и число кроликов в клетке.

13

Представим, что на крышку клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы

положили морковку. Тогда все кролики встанут на задние лапки, чтобы

дотянуться до нее. Тогда:

1. 27*2=54 (ноги) - будут стоять на полу;

2. 74-54=20 (ног) - будут наверху;

3. 20:2=10 (кроликов);

4. 27-10=17 (фазанов).

Алгебраический метод

Алгебраический метод обеспечивает общий подход, общий принцип в

анализе и решении. Его отличие от арифметического метода прежде всего

состоит в введении неизвестной величины и еѐ специального обозначения.

Итак, при алгебраическом методе ответ на вопрос задачи находится в

результате составления и решения уравнения. В зависимости от выбора

неизвестного(неизвестных), для обозначения буквой (буквами), от хода

рассуждений можно составить различные уравнения по одной и той же

задаче. В этом случае можно говорить о различных алгебраических способах

решения этой задачи.

Составление уравнения отличается от арифметического метода не только

введением буквенных обозначений неизвестной величины, но и установление

зависимостей между величинами задачи. Эти зависимости представлены

здесь не в виде цепочки формул, каждое звено которой связано с

выполнением предшествующих действий и все звенья которой объединяются

лишь в конце, а сразу в виде уравнения, в котором фиксируются все

существенные связи между известными и чаще неизвестными величинами.

Это возможно благодаря особой функции «х», позволяющей замещать

неизвестную величину особым символом и оперировать с ним.

При алгебраическом методе решения задачи важно не вычисление

конкретных значений величин, а выявление и выражение основных

зависимостей между явными и неявными значениями величин, входящих в

условие задачи.

При алгебраическом методе решения текстовой задачи выполняются

следующие этапы:

1.Разработка математической модели;

2. Поиск алгоритма решения;

14

3.Вычисление и исследование.

Пример решения задачи.

Задача. Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на 4 часа

быстрее товарного и на 1 час быстрее пассажирского. Найти скорости

товарного и скорого поездов, если известно, что скорость товарного поезда

составляет 5/8 от скорости пассажирского и на 50 км/ч меньше скорости

скорого.

Решение (черновик).

Отвечаем на вопросы, поэтапно составляя таблицу.

1. Речь идѐт о процессе движения, которое характеризуется тремя

величинами: расстояние, скорость, время (3 столбца таблицы).

2. В задаче 3 процесса: движение скорого, пассажирского и товарного

поездов (3 строчки таблицы).

Можно составить ―скелет‖ таблицы.

Величины

процессы

Расстояние (км) Скорость (км/ч) Время (ч)

Скорый поезд с с с

Пассажирский

поезд

с с с

Товарный поезд с с с

3. Заполняем таблицу в соответствии с условиями задачи

4. Вводим неизвестные величины: x, км/ч – скорость товарного поезда, y, ч –

время движения скорого поезда.

5. Составим ―модель‖.

(x+50)y = 8/5 x(y+1)

8/5 x(y+1) = x(y+4)

6. Решаем эту систему. Из первого уравнения находим у. Из второго

уравнения находим х.

Решение задачи (чистовик).

Пусть х, км/ч – скорость товарного поезда (х>0), у, ч – время движения

скорого поезда (у>0).

Составляем таблицу.

15

Величины

процессы

Расстояние (км) Скорость (км/ч) Время (ч)

Скорый поезд (х+50)у х+50 ? у

Пассажирский

поезд 8/5 х(у+1) 8/5 х у+1

Товарный поезд х(у+4) х ? у+4

По условию задачи поезда прошли одно и то же расстояние. Получаем

систему уравнений

8/5 х(у+1) = х(у+4)

(х+50)у = х(у+4).

По условию задачи х>0, тогда

8(у+1) = 5(у+4)

(х+50)у = х(у+4),

3у = 12

(х+50)у = х(у+4),

у = 4

х+50 = 2х,

у = 4

х = 50.

Полученные значения неизвестных удовлетворяют условию х>0, у>0, значит

удовлетворяют условию задачи.

50 км/ч – скорость товарного поезда.

50+50 = 100 (км/ч) – скорость скорого поезда.

Проверка по условию задачи.

50 км/ч – скорость товарного поезда,

4+4 = 8 (ч) – время движения товарного поезда.

50*8 = 400 (км) – расстояние, которое прошѐл товарный поезд.

50*8/5 = 80 (км/ч) – скорость пассажирского поезда.

4+1 = 5 (ч) – время движения пассажирского поезда.

80*5 = 400 (км) – расстояние, которое прошѐл пассажирский поезд.

4 ч – время движения скорого поезда.

50+50 = 100 (км/ч) – скорость скорого поезда.

16

100*4 = 400 (км) – расстояние, которое прошѐл скорый поезд.

Каждый поезд прошѐл одно и то же расстояние.

Задача решена верно.

Ответ: 50 км/ч, 100 км/ч.

Одни и те же задачи могут быть решены разными методами.

Пример такой задачи.

Три пятых класса собрали 700 кг макулатуры: 5-а – 130 кг, 5-б - в 2раза

больше, чем 5-а. Сколько килограммов макулатуры собрал 5-в класс?

Алгебраический

Пусть 5-в собрал х кг макулатуры. Составим уравнение:130 + 130*2

+ х = 700;130+260+х = 700;390+х = 700;Х=700-390;Х=310.

Ответ: ученики 5в класса собрали 310 кг макулатуры.

Арифметический

1)130*2=260(кг)-собрал 5б

2)260+130=390(кг)-собрали 5а и 5б

3)700-390=310(кг)-собрал 5в

Ответ:310 кг

Геометрический метод

Геометрический метод решения сюжетных задач основан на переводе

условия задачи на язык геометрических величин и использовании

метрических свойств геометрических фигур для ее решения.

В решении задач наиболее часто используются две разновидности этого

метода:

17

1.метод одномерных диаграмм (изображение процесса изменения одной

величины отрезками);

2. метод двумерных диаграмм (изображение связи нескольких величин с

помощью планиметрических фигур).

Геометрический метод очень часто используется в комбинации с другими

методами решения сюжетных задач как средство получения образа задачной

ситуации или как средство получения дополнительных законов связи

величин.

Задача 1.

На одно платье и три сарафана пошло 9м

ткани, а на три таких же платья и пять

сарафанов – 19м ткани. Сколько ткани

требуется на одно платье и на один сарафан?

Решение. Во-первых, составим геометрическую модель этой задачи. Изобразим одно

платье синим отрезком одной длины, а три сарафана – тремя синими

отрезками другой длины. Все четыре отрезка будут моделировать количество

ткани, использованное для пошива платья и трѐх сарафанов, то есть 9м. Ниже

смоделируем соответствующими отрезками условие задачи, что на три таких

же платья и пять сарафанов потратили 19м ткани, значит, начертим три

синих и пять красных соответствующих отрезка. Так как во втором условии

задачи платьев в три раза больше, чем в первом условии, то в третьей строке

начертим три фигуры первой

строки, получим три синих и девять

красных отрезков общей условной

длиной 27м.Получили, что длина

третьей фигуры отличается от

длины второй фигуры на 4 равных

синих отрезка, а длина их

соответствует 27 – 19метрам, то есть

8-ми метрам. Итак, получили, что на 4 сарафана потрачено 8 м ткани, значит,

на один сарафан – 2м. Найти длину ткани, потраченной на платье, позволит

первая фигура. Очевидно, что длина синего отрезка соответствует 9 – 3

умноженное на 2м, то есть 3м ткани. Таким образом, мы ответили на главные

вопросы задачи: 3м ткани требуется на одно платье и 2м на один сарафан.

18

Рассмотрим другую задачу на применение геометрического метода с

использованием свойств площади прямоугольника.

Задача 2.

Токарь должен был изготовлять

по 24 детали в день, чтобы

выполнить задание в срок.

Однако он делал в день на 15

деталей больше и уже за 6 дней

до срока изготовил 21 деталь

сверх плана. Сколько деталей

должен был изготовить токарь?

Решение.

Так как в этой задаче общий объѐм изготовленных деталей зависит от

производительности и времени работы токаря, то наиболее удобной моделью

этой задачи будет прямоугольник. Одна из его сторон будет характеризовать

производительность, а другая – время работы. Так как объѐм выполненной

работы равен произведению скорости выполнения работы на время, а

площадь прямоугольника равна произведению еѐ сторон, то общее

количество сделанных

деталей будет отражать

площадь

смоделированного

прямоугольника. По

условию задачи токарь

должен был изготовлять

по 24 детали в день,

чтобы выполнить задание

в срок, значит, изобразим

прямоугольник длиной 24условных единицы и шириной t единиц, где t –

характеризует время, необходимое для выполнения задания в срок. Однако

по условию задачи токарь делал в день на 15 деталей больше и уже за 6 дней

до срока изготовил 21 деталь сверх плана. Значит, смоделируем новый

прямоугольник длиной большей на 15 условных единиц и шириной

меньшей на 6 условных единиц и наложим для сравнения его на

первоначальный прямоугольник. Таким образом, плановое выполнение

деталей соответствует сумме площадей двух прямоугольников S1 + S2, а

фактическое выполнение больше плана на 21 деталь, то есть S1 + S2 + 21. Из

чертежа несложно определить, что S2 = 24 умноженное на 6, то есть S2 =

144(деталям). Значит, площадь красного прямоугольника будет выражена

15умноженное на t – 6 с одной стороны, и 144 + 21 с другой стороны. Решая

несложное уравнение 15t – 90 = 165, получаем, что t = 17. Таким образом, по

плану токарь должен был затратить 17 дней. Следовательно, по плану токарь

должен изготовить 17 умноженное на 24 деталей, то есть 408 деталей.

19

Задача 3.

Двое рабочих, выполняя задание вместе, могли бы справиться с ним за

12 дней. Если сначала будет работать только один из них, а когда он

выполнит половину всей работы, его сменит второй рабочий, то все

задание будет выполнено за 25 дней. За сколько дней каждый рабочий в

отдельности сможет выполнить все задание?

Решение. АС – график работы первого рабочего, BD – график работы второго

рабочего, AE – время совместной работы, AE=12. Проведѐм CM ǁ BD, тогда

АМ=50, ЕМ=38. Пусть ЕК=FC=х, тогда ED=38-12-х=26-х. ΔBРF~ΔЕРD,

ΔАРЕ~ΔСРF, следовательно FB/ED = FC/AE, откуда

12

2

8,1226 144 0

18.26 12

xxx x

xx

.

Очевидно, что х = 18 не подходит по смыслу задачи, так как 12 + 18 = 30 >

25, значит, х = 8, тогда время выполнения каждым рабочим задания

составляет 20 и 30 дней

Ответ: 20 и 30 дней.

Исследование

В ходе работы над проектом, мне стало интересно, что знают о сюжетных

задачах и методах их решения мои сверстники? Я предложила своим

одноклассникам и учащимся параллельного класса ответить на три

основных вопроса:

1.Какой метод решения задач ближе ученикам 8 класса?

20

2.Какой тип задач ближе ученикам 8 класса?

3.Какие виды задач знают ученики 8 класса?

Результаты своего опроса я оформила в виде диаграмм:

Диаграммы

Алгебраически

27%

Арифметически

73%

Какой метод решения задач ближе ученикам 8 класса?

Как видно из диаграммы большинству учеников 8-ых

классов больше нравится решать задачи по действиям(73%).

Остальные 27% задачи решают с помощью уравнения.

21

Геометрические

20%

Про задуманное

число

40%

Движение

40%

Какой тип задач ближе ученикам 8 класса?

Как видно из диаграммы равному количеству учеников по 40%

нравятся задачи на движение и задуманное число.

Всего 20% учеников нравятся задачи геометрического

содержания.

22

Как видно из диаграммы

больше половины учеников знают текстовые задачи.

Сказочные задачи знают 21% учащихся,

16% знает задачи-физминутки.

Всего 10% учащихся слышали о логических задачах.

Текстовые53%

Физминутки16%

Сказочные21%

Логические10%

Какие виды задач знают ученики 8 класса?

23

Заключение

«Мышление начинается с удивления»,- заметил 2500 лет назад

Аристотель. А математика замечательный предмет для удивления. В ходе

математического исследования я узнала много нового и интересного,

необычного. Чтобы проверить свои гипотезы, я читала книги, работала с

различными источниками информации в сети Интернет, проводила

исследования.

Выводы: Поставленной цели я достигла, так как я теперь знаю основные виды

сюжетных задач и основные способы их решения. Таким образом,

получается, что верна моя гипотеза, что учащиеся 8 класса знают только

некоторые виды сюжетных задач, и не все способы решения сюжетных задач,

в равной степени им под силу. Ещѐ по ходу исследования я узнала, что в

школьной программе не рассматривается геометрический метод решения

задач. Предлагаю включить материал этой работы, как дополнительный на

уроках математики и математических кружках и при подготовке к итоговым

экзаменам в выпускных классах.

Итогом своей работы так же считаю памятку по решению сюжетных задач.

Литература

1. В. Булынин Применение графических методов при решении текстовых

задач. – Еженедельная учебно-методическая газета «Математика», №14,

2005г.

2. Н.И. Попов, А.Н. Марасанов Задачи на составление уравнений. Учебное

пособие. Йошкар-Ола: Мар. гос. ун-т, 2003г.

3. Н.А. Зарипова Программа элективного курса "Текстовые задачи".

http://festival.1september.ru/articles/310281/

24

425

13

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Цель

• Цель:

Выяснить, какие виды сюжетных задач

существуют и каковы способы их решения,

какие виды сюжетных задач нравятся

ученикам 8 класса, какие способы решения они

предпочитают, разработать памятку по

способам решения сюжетных задач.

25

425

13

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Задачи

1.Прочитать математическую литературу, в

которой авторы рассказывают о сюжетных

задачах и исследовать полученную

информацию.

2.Познакомиться с видами и типами сюжетных

задач.

3. Выяснить, существуют ли неизвестные мне

методы решения сюжетных задач.

4.Составить памятку по решению сюжетных

задач.

425

13

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Актуальность

• Сюжетные задачи способствуют повышению мотивации учащихся к изучению математики;

• Развивают мышление и творческую активность;

• Формируют умения и навыки для решения практических задач;

• Изучение данной темы помогает более глубоко подготовиться к вступительным экзаменам и ЕГЭ.

425

13

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Методы исследования

• Поисковый метод с использованием

научной и учебной литературы;

• Практический метод решения задач;

• Исследовательский метод решения задач;

• Анализ полученных результатов

26

425

13

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

В каждой сюжетной задаче можно выделить:

• числовые значения величин, которые

называются данными, или известными (их

должно быть не меньше двух);

• некоторую систему функциональных

зависимостей в неявной форме, взаимно

связывающих искомое с данными и данные

между собой (словесный материал,

указывающий на характер связей между

данными и искомыми);

• · требование или вопрос, на который надо

найти ответ.

425

13

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Этапы решения задачи:

• 1-й: анализ;

• 2-й: схематическая запись;

• 3-й: поиск способа решения;

• 4-й: осуществление решения:

• 5-й: проверка решения;

• 6-й: исследование задачи;

• 7-й: формулировка ответа;

• 8-й: анализ решения.

27

425

13

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Сюжетная задача

Путь от А до Б идет 3 км в гору, 6 км под гору и 12 км

по ровному месту. Этот путь мотоциклист проделал за

1 ч 7мин, а обратный путь – за 1 ч 16 мин. Найдите

скорость мотоциклиста в гору и скорость под гору, если

на ровном месте его скорость была 18 км/ч.

(При решении необходимо заметить, что и в гору, и под

гору мотоциклист ехал с постоянными скоростями как

на пути АВ, так и на обратном пути.)

425

13

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Арифметический способ решения

Если 3 км в гору и 6 км под гору мотоциклист ехал 27 мин, то удвоив путь, найдем, что на путь длиной 6 км в гору и 12 км под гору мотоциклисту понадобилось бы 54 мин. Поскольку на 6 км в гору и 3 км под гору мотоциклист по условию задачи затратил 36 мин, то на 9 км (12-3=9) под гору мотоциклисту понадобилось бы 18 мин (54-36=18). Следовательно, скорость мотоциклиста под гору равна 9/18=1/2 (км/мин), или 30 км/ч. Аналогично найдем, что на путь длиной 12 км в гору и 6 км под гору мотоциклисту понадобилось бы 72 мин (36·2=72). Тогда на путь 9км в гору ему понадобилось бы 45 мин (72-27=45). Следовательно, скорость мотоциклиста в гору равна 9/45=1/5 (км/мин), или 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч, 30 км/ч.

28

425

13

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Алгебраический метод решения

На ровном месте в одном направлении мотоциклист ехал

(12:18= ), или 40 мин. Тогда 3 км в гору и 6 км под

гору мотоциклист ехал 27 мин (1ч 7мин-40 мин = 27мин);

6 км в гору и 3 км под гору мотоциклист ехал 36 мин

(1ч 16мин-40мин =36мин). Если обозначить скорость

мотоциклиста в гору и скорость под гору соответственно

за (км/мин) и (км/мин), то получим систему

уравнений:

тогда скорость мотоциклиста в гору равна 12 км/ч., а

скорость мотоциклиста под гору равна 30 км/ч.

Ответ:12 км/ч, 30 км/ч

3

2ч

3

2

3663

2763

12

21

vv

vv1v

2v

425

13

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Задача

• Из двух городов навстречу друг другу

вышли одновременно два курьера. После

встречи один был в пути 16 часов, а

другой – 9 часов. Сколько времени был в

пути каждый?

29

425

13

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Геометрический метод решения задачи

• Условие задачи представим графически

• Обозначим время движения каждого курьера до

встречи t. Из подобия треугольника имеем:

•

• t2 = 144; t = 12.

• 12 + 16 = 28 (ч),

• 12 + 9 = 21 (ч).

Ответ: 21 ч, 28 ч.

9 t, чt

16

B

A

t

s, км

t

t 9

16

425

13

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Заключение

• Существуют сюжетные задач и три метода их решения: арифметический, алгебраический и геометрический.

• Алгебраический метод позволяет решить любую сюжетную задачу с помощью составления уравнения или системы уравнений.

• Арифметический метод решения задачи развивает смекалку, сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, позволяет воспитывать логическую культуру.

• Геометрический метод решения сюжетных задач дает более простое компактное решение, формирует умения и навыки для решения практических задач.

• Использование методов решений сюжетных задач способствует повышению уровня знаний учащихся.

• Данная исследовательская работа может служить материалом для использования на факультативных курсах и хорошим пособием для подготовки к выпускным экзаменам.