МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА...

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА.

ТЕРМОДИНАМИКА

Методические указания к лабораторным работам

по физике

Составитель А. А. Гришина

Ульяновск УлГТУ

2013

УДК 536 (076.5) ББК 22.317я7

У51

Рецензент: кандидат технических наук, доцент кафедры «Проектирование и технология электронных средств» Максимова О. В.

Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета Ульяновского государственного технического университета

Молекулярная физика. Термодинамика : методические указания к лабораторным работам по физике / сост. А. А. Гришина. – Ульяновск : УлГТУ, 2013. – 55 с.

Указания составлены в соответствии с рабочей программой курса физики и вклю-чают 7 лабораторных работ по разделу «Молекулярная физика. Термодинамика», вы-полняемых в рамках физического практикума на кафедре «Физика» УлГТУ. Работы в различное время составлялись преподавателями кафедры.

Каждая работа включает в себя необходимый теоретический материал, позво-ляющий студентам в компактной форме получить достаточную информацию об изу-чаемых в ней физических явлениях и закономерностях, описание экспериментальной установки, методику проведения измерений, контрольные вопросы.

Методические указания предназначены для студентов Ульяновского государст-венного технического университета, обучающихся по техническим направлениям под-готовки бакалавров.

Подготовлены на кафедре «Физика».

УДК 536 (076.5) ББК 22.317я7

А. А. Гришина, составление, 2013 Оформление, УлГТУ, 2013

У51

3

СОДЕРЖАНИЕ

Техника безопасности ........................................................................................... 4

Лабораторная работа 1. Определение вязкости жидкости по методу Стокса ....................................................................................................................... 5

Лабораторная работа 2. Определение коэффициента внутреннего трения и средней длины свободного пробега молекул воздуха ......................... 12

Лабораторная работа 3. Определение коэффициента поверхностного натяжения жидкости методом Кантора – Ребиндера ........................................... 19

Лабораторная работа 4. Определение длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха ............................................................ 26

Лабораторная работа 5. Сравнительный метод определения зависимости удельной теплоемкости металлов от температуры .............................................. 31

Лабораторная работа 6. Определение отношения теплоемкостей газа методом Клемана – Дезорма .................................................................................. 40

Лабораторная работа 7. Определение приращения энтропии при плавлении олова ...................................................................................................... 48

Библиографический список ............................................................................... 55

4

ТЕХНИКА БЕЗОПАСНОСТИ

При выполнении лабораторных работ применяется электрооборудование, питаемое от сети переменного тока напряжением 220 В. В связи с этим следует соблюдать следующие правила техники безопасности:

- приступать к работе можно только после получения допуска у препода-вателя; - перед включением установки необходимо убедиться в исправности со-единительных проводов, вилок, розеток и т.д. Обо всех замеченных неис-правностях следует тут же сообщить преподавателю или лаборанту; - запрещается включать установку влажными руками или стоять на мок-ром полу; - запрещается оставлять включенную установку без присмотра; - запрещается загромождать рабочее место посторонними предметами; - запрещается производить какие-либо изменения в электрических схемах установки; - работы в лаборатории выполняются только в присутствии преподавате-ля или лаборанта; - при выявлении неисправностей после включения установки быстро обесточьте ее; - по завершению работы все приборы должны быть отключены от сети; - во избежании ожогов не прикасаться руками к нагревательным приборам.

5

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ ПО МЕТОДУ СТОКСА

Цель работы: определить экспериментально численное значение коэффициен-та динамической вязкости исследуемой жидкости методом Стокса. Приборы и принадлежности: стеклянная трубка с исследуемой жидкостью, металлические шарики, масштабная линейка, секундомер.

Краткие теоретические сведения

Всякое тело при движении испытывает сопротивление среды, в которой оно движется. Если перемешивать стеклянной палочкой воду, сахарный сироп, глицерин, мед и т. д., то ощущается сопротивление движению палочки. Сила, противодействующая движению тела, носит название силы трения.

Когда тело испытывает сопротивление движению со стороны своих же частиц, противодействующая сила называется внутренним трением (или вязко-стью). Таким образом, вязкость – это внутреннее трение, проявляющееся при относительном движении соседних слоев жидкости и зависящее от сил сцепле-ния (взаимодействия) между молекулами этой жидкости. Во всех жидкостях при перемещении одних слоев относительно других возникают более или менее значительные силы трения, направленные по касательной к поверхности этих слоев.

Причиной вязкости является перенос импульса молекулами жидкости, пе-реходящими из одного слоя в другой, движущимися с различными скоростями. Всем реальным жидкостям в большей или меньшей степени присуща вязкость (или внутреннее трение). При движении твердого тела в жидкости со скоростью v

столкновения молекул жидкости с поверхностью твердого тела носят неупру-гий характер. Тело передает молекуле жидкости импульс mv

в направлении сво-

его движения. Слой жидкости будет ускоряться, так как на границе с твердым телом на него будет действовать суммарная средняя сила в направлении дви-жения тела. По третьему закону динамики со стороны жидкости будет действо-вать сила трения тр, замедляющая его движение. Определим эту величину. При движении твердого тела слой жидкости, граничащий с его поверхностью, прили-пает к нему и движется со скоростью тела. Ближайшие смежные слои жидкости также приходят в движение, но получаемая ими скорость тем меньше, чем даль-ше они находятся от тела. Таким образом, при вычислении сопротивления среды следует учитывать трение отдельных слоев жидкости относительно друг друга, а не трение твердого тела о жидкость. Слои жидкости движутся с различными скоростями, непрерывно меняющимися от слоя к слою. Величина, характери-

6

зующая быстроту изменения скорости на единице длины перпендикулярно к на-правлению движения слоев, называется градиентом скорости:

grad .v v v

v i j kx y z

(1)

Градиент скорости есть вектор, направленный в сторону наибольшего воз-

растания скорости движения жидкости. Предположим, что вектор скорости те-чения имеет постоянное вдоль всего потока направление (ламинарное течение) и меняется только вдоль одного направления (например, оси ОХ). Возникшее под действием внешних сил поступательное движение слоя всегда накладыва-ется на непрерывное движение частиц в этом слое. Участвуя в тепловом движе-нии, молекула, переходя из более быстрого слоя в более медленный, переносит некоторый импульс mv

и ускоряет его. Одновременно молекулы из прилегаю-

щих слоев, движущихся с меньшей скоростью, проникают в слой, движущийся быстрее, и этим уменьшают общий импульс слоя, т. е. тормозят его. В резуль-тате такого взаимодействия слоев жидкости общий импульс одного слоя уменьшается, а другого (соседнего) – увеличивается.

В свою очередь изменение импульса связано с наличием градиента скоро-сти. Тогда сила внутреннего трения трF

должна быть пропорциональна градиен-

ту скорости и площади поверхности S соприкасающихся слоев жидкости, т. е.

,тр

dvF S

dx

(2)

где dx – расстояние между двумя соседними слоями, движущимися со скоро-стями 1v

и 2v

. Сила внутреннего трения тем больше, чем больше рассматриваемая пло-

щадь поверхности слоя S , и зависит от того, насколько быстро меняется ско-рость течения жидкости при переходе от слоя к слою. Коэффициент пропор-циональности , входящий в формулу (2), носит название коэффициента внут-реннего трения, или вязкости жидкости. Вязкость (или динамическая вязкость) численно равна силе внутреннего трения, действующей на единицу площади границы раздела слоев жидкости, когда скорость их движения уменьшается на единицу в направлении, перпендикулярном к границе. Единица измерения вяз-кости – паскаль-секунда (Па с ). 1 Па с равна динамической вязкости среды, в которой при ламинарном течении и градиенте скорости с модулем, равным 1 м/с на 1 м , возникает сила внутреннего трения 1 Н на 1 2м поверхности каса-ния слоев. Выравнивание скорости потока будет зависеть также от плотности жидкости и определяется величиной ( – плотность жидкости). Величину

называют кинематической вязкостью.

7

Уравнение (2) было получено Ньютоном из анализа экспериментальных данных (так называемый закон Ньютона) и является основой при изучении движения вязкой жидкости и газа. Этим же уравнением определяется и сила трения, возникающая на границе между жидкостью и движущимся в этой жид-кости твердым телом.

Итак, на всякое тело, движущееся в вязкой жидкости, будет действовать сила сопротивления. В общем случае величина этой силы зависит от многих факторов: от внутреннего трения данной жидкости, от формы тела, от характе-ра обтекания тела и т. д. Вязкость является величиной, характерной для данной жидкости. Величина, обратная вязкости, т. е. 1 , называется текучестью.

Жидкости, подчиняющиеся уравнению (2), получили название ньютонов-ских. Стоксом было получено строгое решение задачи о ламинарном обтекании шарика безграничной жидкостью. Рассмотрим движение маленького шарика радиуса r в жидкости. Обозначим скорость шарика относительно жидкости че-рез 0v

. Распределение скоростей по слоям жидкости, увлекаемых шариком,

должно иметь вид, изображенный на рис. 1.

Рис. 1. Распределение скоростей по слоям жидкости

В непосредственной близости к поверхности шарика эта скорость v

равна

0v

, а по мере удаления уменьшается и практически становится равной нулю на некотором расстоянии L от поверхности. Очевидно, что чем больше радиус шарика, тем большая масса жидкости вовлекается им в движение и, следова-тельно, L должно быть пропорционально r :

rL ,

где – коэффициент пропорциональности. Величина коэффициента пропор-циональности , вообще говоря, несколько различна для передней и задней частей движущегося тела. В связи с этим под будем понимать среднее зна-

8

чение этого коэффициента. Тогда среднее значение модуля градиента скорости по поверхности шара равно ∆∆ = = .

(3)

Учитывая, что площадь поверхности шара 22 rS , полная сила трения, испытываемая движущимся шариком, равна

тр = = 4 = . (4)

Более точное решение уравнения движения вязкой жидкости, проведенное

Стоксом, дало для шарика значение 32 . Следовательно, трение, испыты-ваемое шариком, движущимся в вязкой жидкости, прямо пропорционально вяз-кости этой жидкости , радиусу шарика r и скорости его движения :

тр = 6 . (5)

Формула (5) носит название закона Стокса. Она применима лишь в случае тел достаточно малых размеров и малых скоростей их движения. При больших скоростях вокруг движущихся тел возникают сложные вихревые движения жидкости. В этом случае сила сопротивления возрастает пропорционально квадрату скорости, а не первой ее степени, как это следует из формул (4) и (5).

Падение тела в вязкой среде. Если в вязкой жидкости движется тело, то вместе с ним, как единое целое, движется и прилипший к нему слой жидкости. Этот слой, благодаря внутреннему трению, увлекает за собой и соседние слои. Возникающее при этом движение жидкости является ламинарным или турбу-лентным в зависимости от размеров и формы тела, а также его скорости. Харак-тер движения зависит также и от свойств жидкости и определяется безразмер-ным числом Рейнольдса. Число Рейнольдса eR

есть функция скорости тела v ,

величины l , определяющей размеры тела, плотности и коэффициента внут-реннего трения жидкости

, , ,eR f l v .

При малых значениях чисел Рейнольдса, меньших некоторого критическо-

го значения крR , движение жидкости является ламинарным. При значениях

e крR R движение жидкости переходит в турбулентное. Рассмотрим физиче-

скую суть метода Стокса. Пусть небольшой металлический шарик падает вертикально в вязкой жид-

кости. На шарик действуют три силы:

9

1) сила тяжести шарика:

,

3

4 3 grgVmg шш

(6)

где ш – плотность материала шарика, g – ускорение свободного падения,

V – объем шарика, r – радиус шарика; 2) выталкивающая сила АF , определяемая по закону Архимеда:

34,

3А жF r g

(7)

где ж – плотность жидкости;

3) сила внутреннего трения трF , определяемая по формуле Стокса:

6 ,трF rv

(8)

где v – скорость движения шарика в жидкости.

Сила тяжести и выталкивающая сила постоянны по величине и направле-ны в противоположные стороны. Сила же внутреннего трения пропорциональ-на скорости движения шарика. Поэтому с увеличением скорости она будет рас-ти, уменьшая ускорение шарика до тех пор, пока не обратит его в нуль (при этом сonstv ). В этом случае

Атр FmgF

(9)

или

346 .

3 ш жrv r g

(10)

Из уравнения (10) следует, что коэффициент вязкости

22.

9ш жgr

v

(11)

Формула (11), строго говоря, справедлива лишь тогда, когда шарик падает

в безграничной среде. Практически жидкость всегда находится в каком-либо сосуде, имеющем стенки. Вязкость жидкостей зависит от температуры: с уве-личением температуры вязкость уменьшается. Особенно сильно от температу-ры зависит вязкость масел. Например, вязкость касторового масла в интервале 18 ÷ 40 °С уменьшается в четыре раза.

10

Если шарик падает вдоль оси трубки радиусом R , то учет наличия стенок и подстановка v l t (здесь l – длина трубки, t – время, за которое шарик про-

ходит длину трубки l ) приводит к следующему выражению для коэффициента вязкости:

22.

9 1 2,4

ш жgr t

rl

R

(12)

Порядок выполнения работы

1. Измерить расстояние l между двумя кольцевыми метками на стеклянной трубке, в которую налита исследуемая жидкость. Первая метка берется на рас-стоянии 5–6 см от верхнего конца трубки. Вторая метка берется на таком же расстоянии от нижнего конца трубки. 2. Через открытый конец стеклянной трубки строго по ее оси опустить метал-лический шарик. 3. В момент прохождения шариком верхней кольцевой метки включить секун-домер и остановить его в момент прохождения шариком второй кольцевой мет-ки. 4. Опыт повторить не менее пяти раз. По формуле (11) вычислить коэффициент вязкости исследуемой жидкости. В данной работе плотность исследуемой жид-кости, плотность материала металлического шарика и радиус шарика приведе-ны на экспериментальной установке. Ускорение свободного падения принять равным 9,8 м/с2. 5. Рассчитать погрешности измерений. 6. Результаты измерений и вычислений занесите в табл. 1. 7. Сделать вывод по работе.

Таблица 1. Определение коэффициента внутреннего трения жидкости № r, м l, м t, с v,

м/с , Па·c

,

Па·c S ,

Па·c ,

Па·c ,

%

,

Па·c

1. 2. 3. 4. . . .

11

Контрольные вопросы

1. Укажите характерные признаки ламинарного и турбулентного движения жидкости. 2. Какие силы действуют на тело, падающее в вязкой жидкости? 3. Как объяснить наличие вязкости у жидкости? 4. Что называется коэффициентом вязкости и в каких единицах она измеряется? 5. Почему требуется начинать отсчет времени с момента прохождения шариком отметки, расположенной на некотором расстоянии от поверхности жидкости, а вторую отметку не следует выбирать на уровне дна сосуда? 6. Как зависит коэффициент внутреннего трения жидкостей от температуры? 7. Вывести расчетную формулу для определения коэффициента вязкости жид-кости.

12


ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВНУТРЕННЕГО ТРЕНИЯ

И СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА МОЛЕКУЛ ВОЗДУХА

Цель работы: ознакомиться с одним из методов определения коэффициента внутреннего трения и средней длины свободного пробега молекул воздуха; экспериментально определить численные значения коэффициента внутреннего трения и средней длины свободного пробега молекул воздуха.


Допустим, что между двумя пластинами бесконечных размеров находится газ (рис. 1). Нижняя пластинка расположена в плоскости ХY и неподвижна. Верхняя пластинка находится на высоте Z над нижней и движется со скоростью

0v параллельно ей в направлении оси ОХ. Оказывается, что газ тоже движется. Мысленно разобьем газ на тонкие слои, параллельные пластинкам. Допустим, что соприкасающиеся к пластинкам слои газа прилипают к ней. Тогда слой га-за, прилегающий к верхней пластинке, будет двигаться со скоростью этой пла-стинки. Слой же, прилегающий к нижней, будет неподвижен. Остальные слои из-за трения между слоями станут двигаться параллельно пластинкам с тем большей скоростью, чем дальше они отстоят от неподвижной пластинки.

Обозначим через скорость слоя 1, а через – скорость слоя 2 и через ( − ) – расстояние между этими слоями. Отношение ( − ) ( − )⁄ показывает, как меняется скорость движения газа параллельно пластинкам при переходе от слоя к слою в направлении, перпендикулярном к слоям. Предел этого отношения при → = :

grad v

v kz

(1)

называется градиентом скорости в точке, находящейся на расстоянии от не-подвижной пластинки.

Градиент скорости в данной точке есть вектор, направленный в сторону наиболее быстрого возрастания скорости. Поскольку всякий вышележащий слой движется быстрее, чем смежный с ним нижележащий, то верхний слой из-за тре-ния между слоями увлекает за собой с некоторой силой и силой − нижний. С другой стороны, нижний слой тормозит движение верхнего, действуя на него с такой же по величине силой , но в обратную сторону. Силы и − , дейст-вующие по границе между слоями, называются силами внутреннего трения. Они направлены по касательной к поверхности раздела между двумя соприкасающи-мися слоями и вызывают сдвиг одного слоя относительно другого.

13

Рис. 1. Определение внутреннего трения в жидкостях

Отношение силы внутреннего трения , приложенной по касательной к площади S между слоями, к величине этой площади называется касательным напряжением, т. е.

.xx

f

S

(2)

Символ x обозначает, что касательное напряжение действует в направлении

оси ОХ на поверхностный слой, нормаль к которому совпадает с положитель-ным направлением оси Z.

Сдвигающее напряжение x создает в газе, обусловленное внутренним

трением, касательное напряжение x , равное x , но противоположно ему на-

правленное. По закону Ньютона касательное напряжение, создаваемое в газе внутрен-

ним трением, прямо пропорционально модулю градиента скорости, т. е.

,x

dv

dz

(3)

где – коэффициент внутреннего трения, иначе называемый коэффициентом динамической вязкости. Молекулы слоя газа, который прилегает к движущейся пластинке, могут временно адсорбироваться пластинкой. Когда через некоторое время они оторвутся от пластинки, то их движение будет происходить по инер-ции со скоростью пластинки 0v . Таким образом, каждая из этих молекул приоб-ретает от движущейся пластинки импульс в направлении движения пластинки.

14

Кроме скорости 0v рассматриваемые молекулы, как и все остальные, име-

ют среднюю скорость неупорядоченного теплового движения U . Из слоя, при-легающего к движущейся пластинке, молекулы могут попадать в соседние слои и, сталкиваясь там с другими молекулами, сообщать им некоторое добавочное количество направленного движения, заимствованного от движущейся пла-стинки. Перемешивание молекул разных слоев, происходящее в силу их хаоти-ческого движения, приводит к выравниванию скоростей движения разных сло-ев. Согласно кинетической теории, наличие внутреннего трения в газах обу-словлено переносом молекулами импульса, причем этот процесс происходит в направлении, противоположном градиенту скорости.

Если в какой-то момент времени устранить причины, создающие движение газа, то скорости движения различных слоев начнут выравниваться, для чего необходимо наличие силы внутреннего трения, действующей между слоями га-за. Величина этой силы, как следует из уравнений (2) и (3), равна

.x

dvf S

dz

(4)

Вязкость численно равна силе внутреннего трения, действующей на

единицу площади границы раздела параллельно движущихся слоев газа, когда скорость их движения уменьшается на единицу при перемещении в направле-нии, перпендикулярном к границе, на единицу длины.

Положив в (4) = 1 H, S =1 м2 и = 1 c⁄⁄ , находим, что выражает-ся в единицах Па·с. Единица вязкости – паскаль-секунда (Па·с): 1 Па·с равна динамической вязкости среды, в которой при ламинарном течении и градиенте скорости с модулем, равным 1 м/с, возникает сила внутреннего трения 1 Н на 1 м2 поверхности касания слоев.

Отношение динамической вязкости газа к его плотности называется кине-матической вязкостью, т. е.

.

Коэффициент динамической вязкости можно определить по формуле Пуазейля, для вывода которой рассмотрим движение газа по капиллярной труб-ке длиной l и радиусом r . Обозначим скорость движения газа в данной точке v , а расстояние этой точки от оси капилляра через . Выделим в газе элемен-тарный цилиндрический объем. Согласно формуле (4) сила внутреннего трения, действующая на боковую поверхность цилиндра, равна

= − 2 ,

(5)

15

где – радиус цилиндра, l – длина цилиндра. Знак «минус» в (5) показывает, что с увеличением уменьшается.

При установившемся стационарном течении газа в цилиндре сила F урав-новешивается разностью давлений на основаниях цилиндра, т. е.

− 2 =

или = − Δ2 .

Интегрируя последнее равенство, получим: = − + ,

(6)

где – постоянная интегрирования, которая определяется из условия, что ско-рость у стенки трубки ( = ) равна нулю. Тогда

2

.2 2

p rA

l

(7)

Подставляя (7) в (6), получаем

2 2 .4

pv r y

l

(8)

Выражение (8) представляет собой закон распределения скорости по сече-нию трубки. Объем газа V , протекающего через цилиндр за время t , определя-ется равенством

0

2 .r

V vt ydy

(9)

Подставляя в (9) значение v из (8) и проводя интегрирование, имеем:

4

,8

r t pV

l

откуда

16

4

.8

r t p

Vl

(10)

Это выражение носит название закона Пуазейля. Коэффициент внутреннего трения связан со средней длиной свободного

пробега молекул газа соотношением

1

3v , (11)

где – плотность газа при данной температуре, v

– средняя арифметическая

скорость молекул газа. Из уравнения Менделеева – Клапейрона следует, что

Mp

RT , (12)

где 329 10M кг/моль – молярная масса воздуха, – давление воздуха.

Средняя арифметическая скорость молекул воздуха определяется по фор-муле

8RTv

M . (13)

Из формул (11), (12) и (13) следует, что

1,06RT

p M

. (14)

Кроме того, можно подсчитать теоретически, исходя из основного

уравнения молекулярно-кинетической теории газа: ̅ = √ , (15)

где 103 10d м – диаметр молекулы, 231,38 10k Дж/К – постоянная Больцмана.

17

Экспериментальная часть работы

Схема экспериментальной установки приведена на рис. 2. Установка со-стоит из аспиратора 1, наполненного дистиллированной водой, капилляра 2 и U-образного водяного манометра 3. Когда из аспиратора 1 выливается вода, давление в нем понижается. Через капилляр 2 засасывается воздух. Вследствие внутреннего трения давление на концах капилляра не одинаково. Разность этих давлений измеряется U-образным манометром 3.

Рис. 2. Схема экспериментальной установки


1. Наполнить полностью аспиратор дистиллированной водой. 2. Открыть кран К и выждать, пока установится стационарное течение газа (при этом разность уровней жидкости в манометре h будет постоянна). 3. Включить секундомер. После того, как вытечет из аспиратора определенный объем воды, выключить секундомер и измерить температуру воздуха в комнате. 4. При определении Δ следует учесть, что Δ = Δℎ (Δℎ измеряется в мил-лиметрах водного столба). Ускорение свободного падения = 9,8 м/с2, плот-ность воды 1000 кг/м3.

5. Вычислить и по формулам (10) и (14).

6. Опыт проделать не менее пяти раз и вычислить ошибки в определении и .

7. Вычислить теоретическое значение по формуле (15). 8. Результаты измерений и вычислений занесите в табл. 1 и 2.

18

9. Сопоставить значение , полученное экспериментально, с его теоретиче-ским значением. Сделать вывод по работе.

Таблица 1. Определение внутреннего трения молекул воздуха

№ r, м l, м t, с V, м3 Δp, Па

, Па·c , Па·c

S ,

Па·c ,

Па·c ,

%

,

Па·c

1. 2. 3. 4. . . .

Таблица 2. Определение средней длины пробега молекул воздуха

№ , м , м S , м , м , % , м

1. 2. 3. 4. . . .


1. Вывести формулу Пуазейля. 2. Что понимают под средней длиной свободного пробега молекул воздуха? 3. Как зависит длина свободного пробега молекул воздуха от температуры и давления? 4. Почему коэффициент внутреннего трения у жидкостей убывает с температу-рой, а у газов возрастает?

19


ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

МЕТОДОМ КАНТОРА – РЕБИНДЕРА

Цель работы: изучить физическую основу данного метода; экспериментально определить численное значение коэффициента поверхностного натяжения ис-следуемой жидкости.


В жидкостях среднее расстояние между молекулами значительно меньше, чем в газах. На таких расстояниях молекулы притягиваются друг к другу. Любая молекула, находящаяся внутри жидкости, окружена со всех сторон дру-гими молекулами, которые притягивают ее к себе с силой, одинаковой во всех направлениях.

Пусть молекула находится внутри жидкости (рис. 1) в области близкой к ее поверхности (точка О). Вокруг рассматриваемой молекулы, как центра, опишем сферу радиуса r , равного радиусу молекулярного действия (наи-меньшее расстояние, на котором взаимодействием двух молекул можно пре-небречь). На молекулу действуют силы притяжения только со стороны моле-кул, находящихся в этой сфере. Если расстояние R от молекулы до поверхно-сти жидкости превосходит r (положение молекулы 1 на рис. 1), то сфера рав-номерно заполнена жидкостью и равнодействующая 0pF приложенных к ней

сил притяжения равна нулю, т. е. 0 0pF . Когда R становится меньше r (по-

ложение молекулы 3 на рис. 1), то часть сферы молекулярного действия вы-ступает над поверхностью жидкости, и в этой части молекул очень мало. Поэтому действием этих молекул на молекулу, находящуюся в центре сферы, можно пренебречь. Нескомпенсированным остается действие молекул за-штрихованной части сферы, т. е. части, заполненной жидкостью. Она дает равнодействующую, направленную внутрь жидкости. По мере уменьшения заштрихованной части эта равнодействующая возрастает и принимает макси-мальное значение тогда, когда молекула выходит на границу жидкости. После пересечения этой границы на молекулу действуют только молекулы заштри-хованной части сферы, которых мало, что снова дает равнодействующую, на-правленную внутрь жидкости. Эта равнодействующая обращается в нуль, ко-гда сфера целиком выходит из жидкости.

20

Рис. 1. Иллюстрация сил поверхностного натяжения

Таким образом, в поверхностном слое жидкости, толщина которого равна r , имеет место нескомпенсированность сил притяжения: молекулы, находя-щиеся в этом слое, испытывают направленную внутрь жидкости, нормально к ее поверхности, силу притяжения pF

со стороны остальных молекул. Для пере-

вода молекулы изнутри жидкости к ее границе, необходимо совершить работу по преодолению этой силы pF .

Рассмотрим вопрос об энергии поверхностного слоя жидкости. Молекулы такого слоя имеют кинетическую энергию теплового движения и потенциаль-ную энергию, обусловленную силами межмолекулярного взаимодействия. Средняя кинетическая энергия молекул зависит от температуры. В случае рав-новесного состояния температура постоянна по всему объему жидкости. Поэтому в среднем кинетическая энергия молекул поверхностного слоя и моле-кул, находящихся внутри объема жидкости, одинакова. Иначе обстоит дело с потенциальной энергией. При переходе молекул из внутренних частей жидко-сти на ее поверхность они должны совершать работу против направленных внутрь жидкости сил притяжения со стороны других молекул жидкости. Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии молекул, переходящих в поверхностный слой. Следовательно, молекулы поверхностного слоя имеют большую потенциальную энергию, чем молекулы внутри жидкости. Разность между потенциальной энергией молекул поверхностного слоя жидкости и по-тенциальной энергией молекул внутри ее называется поверхностной энергией W , величина которой пропорциональна площади поверхности жидкости:

W S , (1)

где S – площадь поверхности, α – коэффициент пропорциональности, называе-мый коэффициентом поверхностного натяжения.

Из-за наличия поверхностной энергии жидкость обнаруживает стремление к сохранению своей поверхности. Поверхностный слой состоит из тех же моле-кул, что и вся жидкость. Взаимодействие между молекулами имеет в поверхно-стном слое тот же характер, что и внутри жидкости. Однако молекулы в по-верхностном слое обладают дополнительной энергией по сравнению с молеку-лами внутри жидкости.

21

Выделим мысленно часть поверхности жидкости, ограниченную замкну-тым контуром. Тенденция этого участка к сокращению приводит к тому, что он действует на граничащие с ним участки с силами, распределенными по всему контуру (по третьему закону Ньютона внешние участки поверхностного слоя действуют на рассматриваемую часть поверхности с силами такой же величи-ны, но противоположного направления). Эти силы называются силами поверх-ностного натяжения. Обозначим силу поверхностного натяжения, приходящую на единицу длины контура, через α. Эту величину называют коэффициентом поверхностного натяжения. Измеряют ее в международной системе СИ в Н/м.

Предположим, что имеется прямоугольная рамка с подвижной переклади-ной, затянутая пленкой жидкости (рис. 2). Пленка представляет собой тонкий плоский объем жидкости, ограниченный с двух сторон поверхностным слоем.

Рис. 2. Определение коэффициента поверхностного натяжения

Вследствие стремления поверхностного слоя к сокращению со стороны

пленки, имеющей две поверхности, на перекладину будет действовать сила, равная2 .l Чтобы перекладина находилась в равновесии, к ней нужно прило-жить внешнюю силу , равную силе натяжения пленки, т. е. 2 .l Предполо-жим, что перекладина переместилась в направлении силы F на очень малую ве-личину dx . Этот процесс сопровождается совершением жидкостью над пере-кладиной работы

2 ,dA ldx dS

где dS – приращение площади поверхностного слоя.

Если процесс протекает очень медленно (обратимо), вследствие чего тем-пература пленки остается неизменной за счет притока тепла извне, то для обра-тимого изотермического процесса совершаемая работа равна убыли свободной энергии

.dA dS dE

22

Полученный результат означает, что при изотермическом увеличении площади поверхностного слоя на dS свободная энергия жидкости возрастает на dE dS . Отсюда следует, что коэффициент поверхностного натяжения пред-ставляет собой дополнительную свободную энергию, которой обладает едини-ца площади поверхностного слоя.

Величина, численно равная работе, которую надо совершить для увеличе-ния поверхности жидкости на единицу площади, называется коэффициентом поверхностного натяжения. В соответствии с этим α можно выражать не только в Н/м, но и в Дж/м2.

Рассмотрим поверхность жидкости, опирающуюся на некоторый плоский контур (рис. 3 а). Если поверхность жидкости не плоская, то стремление ее к сокращению приведет к возникновению дополнительного давления ∆ . Если поверхность выпуклая, то ∆ положительно (рис. 3 b), если поверхность вогну-тая – ∆ отрицательно (рис. 3 с).

Рис. 3. Зависимость дополнительного давления от формы поверхности жидкости

Естественно предположить, что величина дополнительного давления должна зависеть от величины силы поверхностного натяжения жидкости и от степени искривленности ее поверхности, иначе говоря, от коэффициента по-верхностного натяжения и радиуса кривизны поверхности . Характер зави-симости тоже очевиден: дополнительное давление должно быть пропорцио-нально коэффициенту поверхностного натяжения и обратно пропорционально радиусу кривизны поверхности жидкости, т. е. величина добавочного давления возрастает с увеличением коэффициента поверхностного натяжения и уменьшением радиуса кривизны поверхности . Вычислим добавочное давле-ние для сферической поверхности жидкости. Для этого рассечем мысленно сферическую каплю жидкости диаметральной плоскостью.

Из-за поверхностного натяжения обе части притягиваются друг к другу с силой, равной

2 .F l R (1)

Дополнительное давление, создаваемое силами поверхностного натяжения внутри жидкости, равно

2

2 2.

F RP

S R R

(2)

23

Точное выражение для дополнительного давления под жидкой искривлен-

ной поверхностью любой формы теоретически вывел в 1805 г. французский ма-тематик и физик Лаплас:

1 2

1 1,p

R R

(3)

где знак плюс соответствует выпуклой поверхности, знак минус – вогнутой по-верхности, R1 и R2 – радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных сече-ний поверхности. В случае сферической поверхности R1=R2=R, поэтому, со-гласно формуле (3), дополнительное давление будет

2.p

R

(4)

В случае цилиндрической поверхности следует взять одно сечение поперек цилиндра, другое – вдоль его образующей. Тогда, очевидно, R1=R и R2→∞. По-этому дополнительное давление будет

.pR

Наконец, в случае плоской поверхности R1=R2 → ∞, и ∆ → 0. При большой кривизне поверхности, которая имеет место, например, у

очень маленьких капелек, дополнительное давление может быть довольно зна-чительным. Так для капельки воды радиусом R = 0,001 мм и = 73 ∙ 10 H/м

∆ = = 1,5 ∙ 10 Па.

На поверхностное натяжение жидкости большое влияние оказывают нахо-дящиеся в ней примеси. Например, мыло, растворенное в воде, уменьшает ее поверхностное натяжение с 0,075 H/м до 0,045 H/м.

Вещество, ослабляющее поверхностное натяжение жидкости, называется поверхностно-активным. По отношению к воде поверхностно-активными явля-ются нефть, спирт, эфир, мыло и многие другие жидкости и твердые вещества.

С точки зрения молекулярной теории влияние поверхностно-активных ве-ществ объясняется следующим образом. Силы притяжения между молекулами самой жидкости больше сил притяжения между молекулами жидкости и по-верхностно-активной примеси. Некоторые вещества увеличивают поверхност-ное натяжение жидкости в связи с тем, что их молекулы взаимодействуют с мо-лекулами жидкости сильнее, чем молекулы жидкости между собой. Примером такого рода примесей могут служить сахар и соль. Таким образом, поверхность

24

мыльной воды будет состоять преимущественно из молекул мыла, поверхность водного раствора спирта из молекул спирта, а поверхность водного раствора сахара будет состоять преимущественно из молекул воды. Возвращаясь теперь к формуле (1), можно сказать, что уменьшение свободной энергии поверхности жидкости (или поверхностной энергии) может осуществляться двумя путями: во-первых, сокращением поверхности жидкости и, во-вторых, ослаблением ко-эффициента поверхностного натяжения с помощью поверхностно-активных веществ. В данной работе предлагается по изменению величины лапласовского давления определить значение коэффициента поверхностного натяжения ис-следуемой жидкости.


Схема лабораторной установки приведена на рис. 4.


Установка состоит из трубки 1 с оттянутым кончиком (капилляром К).

Трубка 1 вставлена в резиновую пробку, закрывающую сосуд 2 с исследуемой жидкостью. При этом кончик капилляра К должен соприкасаться с поверхно-стью жидкости. Верхний конец капилляра К открыт и выходит в окружающую среду. Тройник 3 соединяет воздушное пространство сосуда 2, аспиратора 4 и U-образный водяной манометр 5. С помощью манометра измеряют разность атмосферного давления и давления воздуха в сосуде 2.


1. В аспиратор 4 налить воды до верхнего уровня.

25

2. Сосуд 2 и аспиратор 4 плотно закрыть резиновыми пробками. 3. Открыть кран аспиратора 4 так, чтобы вода из него выливалась медленной струйкой в сливной стакан. При этом в сосуде 2 создается разряжение. Под действием разности давлений p в исследуемую жидкость выдувается воз-душный пузырек, который при некоторой величине этой разности отрывается от капилляра К. 4. В момент отрыва пузырька U-образным водяным манометром измерить раз-ность давлений ∆ в миллиметрах водного столба. Эта разность давлений ∆ равна лапласовскому давлению. 5. Измерив разность давлений ∆ , по формуле (4) вычислить коэффициент по-верхностного натяжения . Входящий в данную формулу радиус воздушного пузырька R в первом приближении можно принять равным радиусу капилляра К. 6. Опыт повторить не менее 5 раз. Численное значение радиуса капилляра ука-зано на лабораторной установке. 7. Результаты измерений и вычислений занести в табл. 1. 8. Провести оценку точности измерений и сопоставить экспериментально полу-ченное среднее значение коэффициента поверхностного натяжения для данной жидкости с ее табличным значением (исследуемой жидкостью является вода). 9. Сделать вывод по работе.

Таблица 1. Определение коэффициента поверхностного натяжения

№ Δp, Па

, H/м

, H/м S ,

H/м ,

H/м , % , H/м

1. 2. 3. 4. . . .


1. Каков физический смысл коэффициента поверхностного натяжения? 2. В каких единицах измеряется коэффициент поверхностного натяжения в СИ? 3. Каково значение коэффициента поверхностного натяжения жидкости при достижении ей критической температуры? 4. Вывести формулу Лапласа. 5. Какое соотношение между одним миллиметром водного столба и 1 Па? 6. Изменится ли коэффициент поверхностного натяжения воды, если в нее до-бавить спирт? Почему?

26


ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА И ЭФФЕКТИВНОГО ДИАМЕТРА

МОЛЕКУЛ ВОЗДУХА

Цель работы: экспериментально определить численное значение средней дли-ны свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха.


Воздух в основном состоит из азота (около 78 %) и кислорода (около 21 %). Другие газы (аргон, углекислый газ, водород и другие) содержатся в не-значительном количестве. Линейные размеры молекул азота и кислорода со-ставляют примерно 84 10 cм . В таком случае объем одной молекулы состав-ляет примерно 2310 cм . При нормальных условиях ( 00 Ct , = 760 мм рт. ст.) в 1 см3 воздуха находится около 2,7 ∙ 10 молекул. Следовательно, на одну молекулу приходится объем примерно 18 34 10 cм . Сопоставляя эти две цифры (собственный объем молекулы и объем, приходящийся на одну молекулу), вид-но, что молекулы воздуха находятся на больших расстояниях друг от друга. Молекулы начинают взаимодействовать между собой лишь тогда, когда рас-стояния между ними становятся сравнимы с их собственными размерами. Отклонение траектории молекул от прямолинейности происходит только при достаточных их сближениях. Минимальное расстояние между центрами двух молекул, на котором под действием сил отталкивания происходит явление по-добное удару, называется эффективным диаметром молекулы. Большое число соударений, испытываемое молекулой за секунду, объясняет факт медленного перемещения молекул в газах, хотя тепловые скорости молекул порядка сотен метров в секунду. За счет этих столкновений молекула непрерывно меняет на-правление своего движения. Расстояние, которое молекула проходит между двумя последовательными соударениями, называется длиной свободного про-бега молекулы. Эта величина для различных молекул может сильно различать-ся. Даже для одной и той же молекулы от соударения к соударению она может меняться в очень широком интервале. Однако среднее значение этой величины для данного состояния газа является величиной постоянной. Средняя длина свободного пробега молекул зависит от числа молекул в единице объема газа. Кроме того, чем больше размер молекулы, тем меньше средняя длина свобод-ного пробега. Основные количественные данные для определения длины сво-бодного пробега молекул в газе и их эффективных диаметров можно получить из исследований явлений переноса, к которым относятся диффузия, теплопро-водность, внутреннее трение (вязкость). В частности, из молекулярно-

27

кинетической теории следует, что коэффициент вязкости (или просто вязкость) газа связан со средней длиной свободного пробега молекул соотношением:

1,

3v

(1)

где – плотность воздуха, – его вязкость, – средняя длина свободного

пробега молекул, v – средняя скорость молекул. Определив из опыта вязкость

и зная среднюю скорость молекул, можно определить среднюю длину свобод-ного пробега. Вязкость воздуха можно определить по формуле Пуазейля:

4

,8

r t p

Vl

(2)

где r – радиус капилляра, l – длина капилляра, t – время, за которое протекает объем воздуха V через капилляр. Среднюю скорость молекул газа можно найти по формуле:

8,

RTv

M (3)

где M – молярная масса воздуха, R – универсальная газовая постоянная. Плот-ность воздуха, если считать его идеальным газом, находится из уравнения Менделеева – Клапейрона:

,m

pV RTM

(4)

откуда

.

m pM

V RT

Подставляя последнее выражение и уравнение (2) в (1), получаем ̅ = √√ .

(5)

Эффективный диаметр молекул воздуха можно вычислить по формуле

2

1,

2 nD

(6)

28

где n – число молекул воздуха в единице объема (концентрация молекул). Кон-центрация молекул определяется из соотношения

00

0

,pT

n np T

(7)

где p0, T0, n0 – соответственно давление, температура и концентрация молекул воздуха при нормальных условиях, p и Т – соответственно давление и темпера-тура окружающего воздуха. Из уравнений (6) и (7) следует, что

0

0 02

TpD

n pT . (8)


На рис. 1 приведена схема экспериментальной установки для определения численного значения средней длины свободного пробега и эффективного диа-метра молекул воздуха.

Сосуд на 3/4 наполняется водой. Сверху в сосуд вставлен капилляр. Если открыть кран, то вода будет выливаться из сосуда. В то же время через капил-ляр в сосуд будет всасываться воздух. Поэтому капилляр будет той трубкой, через которую устанавливается течение воздуха в результате того, что разные ее концы будут находиться под разным давлением (верхний конец – под атмо-сферным, а нижний – меньше атмосферного). Для того, чтобы найти давление воздуха у нижнего конца капилляра внутри сосуда, учтем, что при установив-шемся течении воды через кран, давление воздуха внутри сосуда и давление столба внутри высотыh уравновешиваются атмосферным давлением воздуха около крана: вн атмp gh p , откуда атм внp p gh p .

Из приведенных уравнений видно, что перепад давлений на концах капил-ляра изменяется с высотой воды в сосуде по линейному закону. Поэтому необ-ходимо взять средний перепад давлений

1 2

2

h hp g

, (9)

где 1h и 2h – высоты воды в сосуде в моменты времени, соответствующие нача-лу и концу измерений, g – ускорение свободного падения, – плотность воды. Подставив (9) в (5), получим

41 28

.32 2

r t h h RT

Vlp M

(10)

29

Атмосферное давление 1 Бp gh , где Бh – показание барометра (см рт.

ст.), 1 – плотность ртути.

Рис. 1. Экспериментальная установка Объем протекающего воздуха

21 2

4cD h h

V

,

где cD – диаметр сосуда. С учетом этого средняя длина свободного пробега молекул воздуха будет

определяться выражением ̅ = ( )√( ) Б√ . (11)

Все постоянные величины, входящие в уравнение (11), объединим и обо-

значим через К0 . Тогда

41 2

0 21 2

,с Б

r t h h TК

D h h lh

(12)

30

где

0

1

12 м0,585

32 2 с К

RК

M

.


1. Открыть кран установки. Дождавшись, когда вода начнет равномерно выте-кать из сосуда, включить секундомер. Зафиксировать высоту уровня воды 1h по шкале на сосуде, соответствующую началу измерений. 2. Когда уровень воды в сосуде опустится на 2–3 см, остановить секундомер, одновременно перекрыть кран и отсчитать высоту уровня воды 2h .

3. Повторить измерения не менее 5 раз, меняя при этом либо высоту 1h , либо 2h. Результаты измерений занести в табл. 1. 4. Измерить температуру 0t и давление p (см рт. ст.) окружающего воздуха.

Записать данные в рабочую тетрадь. 5. Вычислить среднюю длину свободного пробега по формуле (12). Значения всех линейных параметров необходимо брать в сантиметрах. Радиус и длина ка-пилляра, а также диаметр сосуда приведены на экспериментальной установке. 6. Определить среднее значение длины свободного пробега и вычислить по-грешности измерений. 7. Используя среднее значение длины свободного пробега, по формуле (8) оп-ределить эффективный диаметр молекулы воздуха. Концентрацию молекул воздуха при нормальных условиях 0n принять равной 19 32,69 10 см . 8. Сделать вывод по работе.


1. Что такое средняя длина свободного пробега и эффективный диаметр молекул? 2. Объясните формулу Пуазейля. Что она выражает? 3. Как определяется средняя длина свободного пробега молекул воздуха и их эффективный диаметр? 4. Объясните работу экспериментальной установки.

31


СРАВНИТЕЛЬНЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАВИСИМОСТИ УДЕЛЬНОЙ ТЕПЛОЕМКОСТИ

МЕТАЛЛОВ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ

Цель работы: изучить теорию теплоемкости твердого тела; экспериментально проверить зависимость удельной теплоемкости металлов от температуры. Техника безопасности. В работе образцы нагреваются до температуры 500 °С. Поэтому категорически запрещается касаться их в момент нагрева и остывания руками.


Коэффициент объемного расширения твердых тел мал, поэтому различие между теплоемкостями при постоянном давлении и при постоянном объеме не-велико. При комнатной температуре PC больше VC на 3÷5 %. Однако это раз-личие возрастает с повышением температуры. В соответствии с этим не имеет смысла подразделять PC и VС и можно пользоваться одним обозначением C . Из молекулярной физики известно, что теплоемкость при постоянном объеме есть первая производная по температуре от внутренней энергии тела:

V

dUС

dT

(1)

или для твердых тел

.dU

СdT

(2)

Внутренняя энергия твердого тела U складывается из энергии колебатель-

ного движения частиц, находящихся в узлах решетки, и из взаимной потенци-альной энергии этих частиц. Вообще говоря, колебания узлов решетки не явля-ются независимыми, но при достаточно высоких температурах, когда энергия колебаний становится большой, в первом приближении частицы можно рас-сматривать как независимые. Полная энергия колеблющейся частицы равна сумме потенциальной и кинетической энергии: Е = П + ЕK. Если масса частицы m, амплитуда колебания А и круговая частота ω, то

2 2 21cos

2П m A t и

2 2 21sin

2KE m A t .

32

Частота тепловых колебаний решетки очень велика, поэтому даже за ма-лый промежуток времени произойдет большое число колебаний. А это значит, что среднее значение потенциальной энергии за какое-то время будет равно среднему значению кинетической энергии за то же время (усредненное по вре-мени значение квадрата синуса равно усредненному значению квадрата косинуса), т. е.

KП E и 2K KE П E E .

Если допустить, что и для твердого тела справедлива гипотеза о равномер-

ном распределении энергии теплового движения по степеням свободы (на каж-дую степень свободы приходится энергия 1 1 2kT ; указанное допущение яв-ляется применением классической теории теплоемкостей к твердому телу), то полная энергия колебания одного узла решетки выразится формулой = 2 2 = 2 ∙ 3 ∙ = 3 , (3)

так как для поступательного движения точки число степеней свободы i = 3. В уравнении (3) k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура.

Используя уравнение (3), легко написать выражение для внутренней энер-гии одного грамм-атома вещества U (для атомных решеток молекулярный вес совпадает с атомным, так как молекула состоит из одного атома). Имеем

3 3AU kT N RT , (4) где NA – число Авогадро, = 8,31 Дж/моль ∙ К – универсальная газовая посто-янная. Дифференцируя энергию U по абсолютной температуре, получим сле-дующее выражение для молярной теплоемкости твердого тела с атомной ре-шеткой

= = 3 ≈ 25 Джмоль∙К . (5)

Этот результат находится в согласии с экспериментально установленным в

1819 г. французскими физиками П. Дюлонгом и А. Пти законом (правилом): молярная теплоемкость всех химически простых кристаллических твердых тел приблизительно равна 25 Дж моль ∙ К.⁄

На первый взгляд кажется, что выводы классической теории теплоемко-стей применительно к твердому телу дают хорошее совпадение с эксперимен-тальными данными. Но более глубокое рассмотрение вопроса приводит к за-ключению, что эти выводы находятся в резком противоречии с опытом. По классической теории теплоемкость твердого тела не зависит от температуры (см. формулу 5). На самом деле теплоемкость уменьшается с понижением тем-

33

пературы и стремится к нулю при приближении температуры к абсолютному нулю. Причиной уменьшения теплоемкости при низких температурах являются квантовые эффекты. В 1907 г. А. Эйнштейн предположил, что выражение Планка для средней энергии осциллятора

2exp 1

h hhkT

,

применимо не только к внутриатомным колебаниям, но и к тепловым колеба-ниям самих атомов. Слагаемое 2h , не зависящее от температуры и сохра-няющееся при T →0, называется нулевой энергией. Эйнштейн сделал грубое предположение, что все атомы твердого тела колеблются около своих положе-ний равновесия с одной и той же частотой ν. В этом случае энергия грамм-молекулы твердого тела равна

3 ,2

exp 1A

h hN

hkT

так как колебание каждого из NA атомов твердого тела можно представить в ви-де колебаний трех линейных осцилляторов. Теплоемкость одной грамм-молекулы твердого тела

2

2

exp3 ,

exp 1

E

EV

E

TT T

C RT T

T

где ET h k характеристическая температура Эйнштейна.

При высоких температурах, когда ≫ , для VС имеем классическое значение

3 3V AC N k R .

При низких температурах, когда ≪ ,

34

2

3 expE EV

T TC R

T T

.

Опыт показывает, что теплоемкость кристаллов изменяется вблизи абсо-

лютного нуля не экспоненциально, а по закону . Следовательно, теория Эйнштейна дает лишь качественно правильный ход теплоемкости при низких температурах. Количественного согласия с опытом удалось достигнуть Дебаю. Теория тепловых упругих волн в кристаллах была разработана голландским физиком Дебаем в 1912 г. Дебай учел, что колебания атомов в кристаллической решетке не являются независимыми. Смещение одного атома из положения равновесия влечет за собой смещение соседних с ним атомов. Таким образом, кристалл представляет собой систему N упруго связанных друг с другом мате-риальных точек, обладающую 3N степенями свободы. Механизм распростране-ния тепловых упругих волн в кристаллах аналогичен механизму распростране-ния акустических волн. Скорость распространения тепловых волн совпадает со скоростью распространения звука. Энергия распределяется между всеми вида-ми волн, но большая часть ее приходится на короткие волны. Подобно энергии электромагнитных волн, энергия тепловых акустических волн тоже квантована. Квант звуковой энергии называется фононом. Энергия фонона = ℎ ,

где h – постоянная Планка, ν – частота колебаний.

Фононы относятся к категории квазичастиц. Основное отличие квазича-стиц от обычных частиц (электронов, протонов, нейтронов, фотонов) заключа-ется в том, что квазичастицы не могут существовать в вакууме. Для своего воз-никновения и существования они нуждаются в некоторой вещественной среде. Квазичастицы–фононы являются элементарными носителями движения в сис-теме частиц, входящих в кристаллическую решетку и связанных друг с другом силами взаимодействия. Согласно квантовой механике, частицы не могут нахо-диться в покое, так как это противоречит принципу неопределенности. По принципу неопределенности

xx P h ,

где xP – неопределенность в определении импульса частицы, Δx – неопределенность в определении ее координаты, ℎ – постоянная Планка. Если частица покоится, то ее координаты точно фиксированы и Δx = 0. Тогда неопределенность в импульсе частицы будет бесконечно большой, т. е. частица будет обладать большой кинетической энергией. Это противоречие позволяет сделать заключение, что самое низкое энергетическое состояние тела при T = 0 K тоже будет особым состоянием движения – так называемое нулевое движе-ние. Особенность нулевого движения состоит в том, что оно не имеет дискрет-

35

ных характеристик, квазичастицы при этом как бы отсутствуют. Свойства твер-дого тела определяются не только свойствами его частиц и квазичастиц, но и характером нулевого движения. Совокупность динамических свойств квазича-стиц в кристалле и характер его основного состояния (нулевого движения) об-разует то, что принято называть энергетическим спектром твердого тела. Дискретность дебаевских тепловых волн проявляется при температурах ниже характеристической температуры Дебая Θ, определяемой соотношением

maxh

k

,

где νmax – максимальная частота тепловых колебаний частиц, свойственных данному твердому телу, k – постоянная Больцмана. По порядку величина Θ ≈ (102–103) K. Таким образом, характеристическая температура Дебая явля-ется температурным рубежом, ниже которого начинает проявляться квантовый характер тепловых волн. Исследуя теоретически с позиций квантовой теории вопрос о внутренней энергии кристаллов, Дебай нашел, что при температурах, близких к абсолютному нулю, внутренняя энергия твердого тела пропорцио-нальна четвертой степени абсолютной температуры

4U T ,

где α – постоянный множитель, зависящий от природы кристалла. Из этого со-отношения можно найти выражение для теплоемкости

34dU

C TdT

.

Следовательно, вблизи абсолютного нуля теплоемкость твердого тела про-

порциональна кубу абсолютной температуры. Эта закономерность носит назва-ние закона кубов Дебая. Область применения закона кубов лежит ниже темпе-ратуры, равной Θ/50. При более высоких температурах от Θ/50 до Θ находится промежуточная область, для которой пока не установлена количественная связь между теплоемкостью и температурой. Выше температуры Θ теплоемкость твердого тела не зависит от температуры (закон Дюлонга и Пти). Теория Дебая приводит к выводам, которые хорошо совпадают с экспериментальными дан-ными в широком интервале температур, но и она не свободна от недостатков. Трудно, например, согласиться с тем, что энергия кристалла отождествляется с энергией стоячих волн. В стоячей волне узлы и пучности закономерно распре-делены в пространстве, поэтому исключается возможность тепловых флуктуа-ций, совершенно неизбежных при тепловом движении. Дебаевская модель твердого тела является упрощенным представлением твердого тела в виде изо-тропной упругой среды, способной совершать колебания в конечном интервале

36

частот от нуля до = ( Θ) ℎ⁄ . Поэтому и выводы этой теории (например, зависимость теплоемкости от температуры) хорошо совпадают с эксперимен-тальными данными только для кристаллов с простыми решетками. К телам сложной структуры теория Дебая неприменима, так как энергетический спектр колебаний таких тел оказывается сложным.


Зависимость удельной теплоемкости твердых тел (применительно к метал-лам) от температуры можно проверить экспериментально. Металлический об-разец, имеющий температуру выше окружающей среды, будет охлаждаться. Скорость охлаждения в данной среде будет зависеть от величины удельной те-плоемкости металла и разности температур образца и окружающей среды. Если взять два образца одинаковой формы, но изготовленные из разных материалов, то, сравнивая скорости их охлаждения при различных температурах, по извест-ной удельной теплоемкости одного из образцов, принятого за эталон, можно определить теплоемкость другого. При этом следует исходить из того, что при малом изменении температуры удельную теплоемкость образца можно считать постоянной. Отсюда

00 ,

tQ cm t cm t

t

(6)

где c – удельная теплоемкость образца, m – масса образца, 0t t – скорость охлаждения образца.

Благодаря процессам теплообмена, тепловой поток через границу образец – окружающая среда обусловлен скачком температуры на этой границе. Нормальная составляющая этого потока зависит от коэффициента теплопро-водности и температур этих областей. Простейшее предположение, введенное Ньютоном, состоит в том, что количество теплоты, переданное образцом окру-жающей среде, пропорционально разности температур тела и среды на границе раздела этих областей, т. е.

0 00 ,Q t t S t

(7)

где 0

0t – температура окружающей среды, S – площадь поверхности образца, α – коэффициент теплоотдачи (или коэффициент внешней теплопроводности).

Приравнивая правые части уравнений (6) и (7), имеем:

0

0 00

tcm t t S

t

. (8)

37

Написав уравнение для двух образцов, полагая, что S1 = S2, t1 = t2 и α1 = α2 (этот коэффициент зависит только от свойств окружающей среды), и поделив одно уравнение на другое, получим

0

2

21 2 0

1

1

,

tm

tc c

tm

t

(9)

где m1 – масса первого образца, m2 – масса второго образца. На рис. 1 приве-дена схема экспериментальной установке.

Нагревание образцов осуществляется электропечью 1. Образец 2 представ-ляет собой цилиндр длиной 50 мм и диаметром 10 мм с высверленным в нем каналом. В этот канал помещается термопара 3, соединенная с термопарным измерителем температур 4. Температура образца в ℃ отсчитывается по прибо-ру 4 путем умножения показаний его в делениях шкалы на множитель, равный 5 ℃. Питается электропечь от сети переменного тока напряжением 220 В через трансформатор с выходным напряжением 12 В.

В работе используются три образца: медный, железный и алюминиевый. За эталонный образец принимается образец из меди, для которого известна за-висимость удельной теплоемкости от температуры в рассматриваемом интерва-ле температур (см. таблицу 2). Образцы нагревают до температуры 500 ℃, а за-тем охлаждают до 80 ℃. При этом необходимо следить, чтобы возле прибора не было перемещения воздуха, сквозняков. При охлаждении температуру об-разца фиксируют через каждые десять секунд по показаниям термопарного из-мерителя температур. По полученным данным определяют скорость охлажде-ния образца 0t t для определенных температур (400, 300, 200 и 100 ℃). Для этого надо учесть изменение температуры образца за достаточно малые ин-тервалы времени. Например, нужно измерить 0t t для температуры 100 ℃.

По табл. 1 надо посмотреть значение 01t образца на 10 c раньше 100 ℃ и темпе-

ратуру 02t на 10 c позднее 100 ℃. Тогда значение

0 001 2

2

t tt

t t

будет скоростью охлаждение образца при температуре 100 ℃. Затем по форму-ле (9) вычисляют удельную теплоемкость образца. Операции, описанные выше, выполняют для всех трех образцов для заданного температурного интервала. Масса каждого образца приведена на установке.

38



1. Ознакомиться с установкой и приборами. 2. Установить образец в печь 3. Вставить термопару в канал образца. 4. Включить печь через трансформатор в сеть с напряжением 220 В. 5. Нагреть образец до температуры 500 ℃. 6. Отвести образец в сторону от печи. Начиная с температуры 450 ℃, фиксиро-вать температуру исследуемого образца через каждые 10 с до тех пор, пока она не понизится до 80 ℃. 7. Результаты измерений провести с тремя образцами, взяв медный образец за эталон. Полученные данные занести в табл. 1. При этом следует учесть, что время охлаждение любого образца составляет 10 –13 минут. 8. По данным табл. 1 построить на миллиметровой бумаге графики зависимости t0 = f (t) для каждого образца. По этим графикам для этих образцов определить

значение 0 001 2

2

t tt

t t

для температур 100, 200, 300, 400 ℃ и занести их в соот-

ветствующие колонки табл. 2. 9. По формуле (9) рассчитать удельную теплоемкость железного и алюминие-вого образцов для температур 100, 200, 300 и 400 ℃, используя при этом значе-ния удельной теплоемкости меди для указанных температур (см. табл. 2). По-строить на миллиметровой бумаге графики зависимости удельной теплоемко-сти от температуры всех трех образцов, т. е. с = f (t). 10. Сделать вывод по работе.

39

Таблица 1. Экспериментальные данные

Время Образец Си Образец Fe Образец Al t, c t, ℃ t, ℃ t, ℃ 10 20 30 40 50

и т. д.

Таблица 2. Расчетные данные

Температура Образец Си

Образец Fe

Образец Al

Образец Си

Образец Fe

Образец Al

t, ℃ ∆∆ , ℃c ∆∆ , ℃c

∆∆ , ℃c с1,Джмоль∙К с2, Джмоль∙К с3,

Джмоль∙К

100 200 300 400

394 409 422 435


1. Дать определение удельной теплоемкости и теплоемкости твердого тела. 2. Что понимают под степенью свободы механической системы? 3. Записать формулу для нахождения средней энергии одноатомной молекулы. 4. Вывести закон Дюлонга и Пти. 5. Указать недостатки классической теории теплоемкости. 6. Как зависит теплоемкость твердого тела от температуры согласно формуле Дебая? 7. Выведите основное уравнение кинетической теории газов. 8. Изложите основные положения классической и квантовой теории теплоемко-стей газов.

40


ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ГАЗА МЕТОДОМ КЛЕМАНА–ДЕЗОРМА

Цель работы: изучить основные процессы, протекающие в идеальном газе; определить p VС C

для воздуха.


Состояние газа массой m характеризуется следующими параметрами дав-ление , объем V и температура T. Уравнение, связывающее эти величины, на-зывается уравнением состояния вещества. Состояние идеального газа выража-ется уравнением Менделеева–Клапейрона:

= ,

(1)

где m – масса газа, R – универсальная газовая постоянная, М – молярная масса газа.

Согласно первому началу термодинамики количество теплоты δQ, пере-данное системе, затрачивается на увеличение ее внутренней энергии dU и рабо-ту δA, совершаемую системой против внешних сил. Запишем первое начало термодинамики для одного моля газа:

.Q dU A dU pdV (2)

Разделив обе части уравнения (2) на dT, получим молярную теплоемкость газа

dU dVС p

dT dT . (3)

Молярной теплоемкостью газа называется количество теплоты, необходи-

мое для нагревания одного моля этого газа на 1 К. Рассмотрим основные процессы, протекающие в идеальном газе, при усло-

вии, что его масса остается неизменной. Изохорический процесс. Если при изменении температуры газа его объем

остается постоянным, то процесс называется изохорическим. Он характеризу-ется тем, что = 0, = = 0 и = const⁄ . В этом случае вся подво-димая к газу теплота идет на увеличение его внутренней энергии. Из уравнения (3) следует, что

41

.V

dUC

dT

(4)

Изобарический процесс. Процесс называется изобарическим, когда = const и = const. При этом = const⁄ . Согласно уравнению (3)

.P

dU dUС p

dT dT

(5)

Из уравнения состояния (1) получим = + . (6)

В рассматриваемом случае

= . (7)

Подставляя (7) в (5) и заменяя dU на CVdT, получим, что P VC C R . Теплоемкость газа при постоянном давлении CP больше теплоемкости того же газа при постоянном объеме CV, так как при изобарическом процессе теплота расходуется не только на увеличение внутренней энергии газа, но и на совер-шение работы против внешних сил.

Изотермический процесс. Изотермическим называется процесс, проте-кающий при постоянной температуре (Т = const). Для такого процесса dT = 0, dU = 0, dQ = dA, т. е. внутренняя энергия газа остается постоянной, а все подво-димое тепло расходуется на работу.

Адиабатический процесс. Адиабатическим называется процесс, проте-кающий без притока и отдачи теплоты, т. е. при полной тепловой изоляции. Для него dQ = 0. Уравнение первого начала термодинамики примет вид

0Q dU A или dA dU .

Это означает, что в данном процессе работа расширения (или сжатия) газа совершается исключительно за счет изменения запаса внутренней энергии. Вы-ведем уравнение, выражающее зависимость между объемом и давлением газа при адиабатическом процессе. Первое начало термодинамики для одного моля газа представим в виде

С + = 0; = − , (8)

а уравнение Менделеева–Клапейрона (1) в виде = . Из последнего урав-нения следует, что

42

+ = . (9)

Определяя из (8) значение dТ и подставляя его в уравнение (9), получим: + = −

или С + С = − . Учитывая, что P VR C C , упростим полученное выражение: = − ,

откуда С = − . (10)

Уравнение (10) приведем к виду = − .

Известно, что отношение

.P

V

C

C

Тогда = − .

Интегрируя последнее выражение в соответствующих пределах, получим ln = ln .

Переходя от логарифмов к основаниям, получим

43

= .

Откуда = = const.

Последнее уравнение известно как уравнение адиабаты (или уравнение

Пуассона) в координатах и V. Применяя молекулярно-кинетическую теорию теплоемкости, вычислим

значение показателя адиабаты. В частности, закон равномерного распределения энергии по степеням свободы (числом степеней свободы тела называется наи-меньшее число независимых координат, которые необходимо задать для того, чтобы полностью определить положение тела в пространстве) позволяет вы-числить молярную теплоемкость вещества при постоянном объеме, принимая во внимание лишь изменение внутренней энергии системы.

При нагревании одного моль газа на 1К при V = const затраченное количе-ство тепла численно равно VC . В этом случае работа газа равна нулю, и моляр-ная теплоемкость численно равна изменению внутренней энергии одного моля газа при повышении его температуры на 1 К, т. е.

1 .2 2 2V

i i iC R T RT R

Отсюда следует, что для одноатомного газа = (3 2)⁄ , для двухатомно-го газа = (5 2)⁄ и для трехатомного газа = 3 . Молярная теплоемкость газа, таким образом, определяется числом степеней свободы молекул. Вычис-лим теперь для соответствующих случаев значения теплоемкости PC и коэф-

фициента . С учетом соотношения P VC C R имеем для одноатомного газа = (3 2)⁄ + = (5 2)⁄ , для двухатомного газа = (7 2)⁄ и для трех- и многоатомного газа = 4 .

Известно, что

2.VP

V V

C RC i

C C i

Отсюда для одноатомного газа

3 2

1.67,3

44

для двухатомного газа

5 21.40,

5

и для трех- и многоатомного газа = 6 + 26 = 1.3.

Установлено теоретически и подтверждено экспериментально, что отно-шение P VC C тем меньше, чем сложнее молекула.


В данной работе величина определяется с помощью прибора Клемана-Дезорма. Экспериментальная установка (рис. 1) состоит из стеклянного баллона А, к которому подведена трубка В, соединяющая баллон с насосом С. Давление в баллоне измеряется с помощью водяного манометра М.


Адиабатический процесс можно осуществить быстрым сжатием или рас-ширением газа. При быстром сжатии температура газа повышается, а при быст-ром расширении – понижается. Закрыв кран К, с помощью насоса быстро соз-дают внутри баллона А давление выше атмосферного. При этом температура газа в баллоне повышается. Через две минуты газ охлаждается до комнатной

45

температуры 1T и давление немного падает. Это состояние соответствует точке 1 на графике (рис. 2).

Рис. 2. Графики изопроцессов

Откроем кран К. Газ начнет быстро расширяться. Через промежуток вре-

мени, равный 2–3 с, когда давление в баллоне сравняется с атмосферным, за-кроем кран. Конечное состояние газа изобразится точкой 2. Если за 2V принять объем баллона, то состояние 1 можно рассматривать как начальное для остав-шейся в баллоне массы газа. Для этой массы процесс 1–2 представляет адиаба-тическое расширение. Следовательно,

= . (10)

При расширении температура газа уменьшается 2 1T T . Однако через

2–3 минуты газ нагреется до температуры окружающего воздуха 1T . Так как

объем при этом не меняется, давление повысится до . Новое состояние будет соответствовать точке 3. Соответственно, точки 1 и 3 находятся на одной изо-терме. По закону Бойля–Мариотта

= . (11)

Возведя обе части уравнения (11) в степень γ и разделив полученный ре-зультат на (10), получим

= .

46

После логарифмирования имеем = . (12)

Упростим формулу (12), учитывая, что = + ℎ , = + ℎ , (13)

где 1h и 2h – соответствующие избыточные давления, измеряемые манометром в миллиметрах водного столба. Логарифмы выражений (13) разложим в ряд Тейлора, ограничиваясь при этом двумя первыми членами ряда. Имеем

ln = ln( + ℎ ) ≈ ln + ℎи

ln = ln( + ℎ ) ≈ ln + ℎ . Подставив эти значения в формулу (12), окончательно получим

1

1 2

.h

h h

(14)


1. Нагнетают насосом немного воздуха в баллон при закрытом кране К. При на-качивании воздух, сжимаемый под поршнем насоса, нагревается. Поэтому надо подождать 2–3 минуты пока, благодаря теплообмену, температура в баллоне не сравняется с комнатной. После этого измеряют манометром избыточное давле-ние 1h воздуха в сантиметрах водного столба. 2. Открывают кран К. В момент, когда уровни жидкости в обоих коленах мано-метра М сравняются, быстро его закрывают. Выждав 2–3 минуты, пока газ, ох-лажденный при адиабатическом расширении, нагревается до комнатной темпе-ратуры, измеряют избыточное давление 2h . Следует помнить, что 1h и 2h отсчи-тываются как разность высот жидкости в обоих коленах манометра. 3. По формуле (14) вычисляют . Результаты расчетов и погрешности заносят-ся в таблицу.

47

Таблица 1. Определение отношения теплоемкостей газа

№ 1,h

см2 ,hсм

S ,

%

1. 2. 3. 4. . . .


1. Написать и объяснить первое начало термодинамики.2. Что такое PC и VC ? Почему PC > VC ? 3. Какой процесс называется адиабатическим? Вывести уравнение Пуассона вкоординатах , и в координатах , . 4. Как зависят молярные теплоемкости газа PC и VC от числа степеней свобо-ды? Что понимают под числом степеней свободы? 5. Объясните график, изображенный на рис. 2.6. Чему равняется теоретическое значение для воздуха? Объясните возмож-ное расхождение теоретического и экспериментально полученного в данной работе значений .

48


ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИРАЩЕНИЯ ЭНТРОПИИ ПРИ ПЛАВЛЕНИИ ОЛОВА

Цель работы: экспериментально определить приращение энтропии при плавлении олова.


В термодинамике широко используется понятие обратимого и необратимо-го процессов. Тепловой процесс называют обратимым, если он допускает воз-вращение системы в первоначальное состояние без того, чтобы в окружающей среде произошли какие-либо изменения. Иными словами, процесс обратим, ес-ли при совершении его системой сначала в прямом, а затем в обратном направ-лениях в исходные состояния возвращается как сама система, так и все внеш-ние тела, с которыми система взаимодействует. Всякий процесс, не удовлетво-ряющий этому условию, называют необратимым. Необходимым и достаточным условием обратимости теплового процесса является его равновесность. Это означает, что система при обратимом тепловом процессе должна проходить ряд последовательных равновесных состояний.

Обратимых процессов в природе не существует, хотя с точностью, доступ-ной опыту, можно осуществить множество процессов практически неотличи-мых от обратимых. Необратимые процессы протекают в одном направлении. Так, например, газ может расширяться сам по себе, но не может сжиматься без приложения внешних сил. Тепло может самопроизвольно переходить от горя-чего тела к холодному. Только при затрате энергии (например, электроэнергии) тепло может переходить от холодного тела к более нагретому. При трении ки-нетическая энергия микроскопического движения всегда превращается во внутреннюю, но никогда не происходит самопроизвольный обратимый про-цесс. Необратимость всех остальных процессов в конечном счете связана с тем, что в каждом из них в той или иной степени присутствует один из перечислен-ных выше процессов. Что общего у всех этих необратимых, односторонних процессов? Общим является то, что в них возрастает некоторая физическая ве-личина – энтропия. Энтропией S называется функция состояния системы, диф-ференциал которой в элементарном обратимом процессе равен отношению бес-конечно малого количества теплоты, сообщенной системе при изотермическом процессе, к абсолютной температуре последней:

.Q

dST

(1)

49

Если переход системы осуществляется не между бесконечно близкими со-стояниями, то изменение энтропии при переходе из состояния 1 в состояние 2 при условии обратимости процесса будет определяться как

2

2 1

1

.Q

S ST

(2)

Если переход между двумя состояниями системы необратим, то вместо

знака равенства в выражениях (1) и (2) необходимо поставить знак «больше». Таким образом, для произвольного элементарного процесса

.Q

dST

(3)

Для теплоизолированной системы 0Q и выражение (3) примет вид

0.dS (4)

Это неравенство справедливо для любого элементарного изменения со-стояния замкнутой системы.

Дело в том, что при передаче теплоты Q от одного тела системы к дру-гому в обратимом процессе температуры обоих тел равны друг другу. Поэтому убыль энтропии тела 1, отдающего теплоту Q , в точности равна увеличению энтропии тела 2, получающего эту теплоту:

− = ; + = 0.

Если же процесс теплообмена необратим (например, происходит при ко-нечной разности температур, так что 1 2T T ), то убыль энтропии первого тела меньше, чем увеличение энтропии второго тела:

− < ; + > 0.

Из уравнения (1) следует, что количество теплоты, сообщенной рабочему телу при бесконечно малом обратимом изменении его состояния,

,Q TdS где T – температура рабочего тела.

В случае необратимого процесса

;

QdS

T

,Q TdS

50

где T – температура того источника теплоты, который сообщает рабочему телу энергию Q в рассматриваемом процессе бесконечно малого изменения со-стояния этого тела.

Для произвольного процесса

.Q TdS

Знак равенства относится к обратимым процессам, знак неравенства – к необра-тимым. Выражая элементарную теплоту Q из первого закона термодинамики:

,Q dU A

приведенное выше неравенство можно записать в следующей форме:

.TdS dU A

Если процесс обратимый, то из последнего неравенства следует, что

A dU TdS или

.A d U TS SdT

Обозначим .F U TS

Функция F представляет собой разность двух функций состояния тела, а поэтому также является новой функцией его состояния. Эту величину называют свободной энергией.

Если рабочее тело совершает обратимый изотермический процесс, то 0dT и из уравнения

A dF SdT имеем

изот .A dF

Интегрируя это равенство в пределах обратимого изотермического пере-хода тела из состояния 1 в состояние 2, получим

изот 1 2.A F F

51

Следовательно, свободная энергия тела служит мерой той работы, которую могло бы совершить это тело в обратимом изотермическом процессе.

Из уравнения = −

следует, что

,U F TS

т. е. внутренняя энергия тела равна сумме его свободной энергии и так назы-ваемой связанной энергии .TS Свое название произведение TS получило пото-му, что оно представляет собой ту часть внутренней энергии тела, которая не может быть передана в форме работы в изотермическом процессе. Это как бы «обесцененная» часть внутренней энергии, которая при прочих равных услови-ях тем больше, чем больше энтропия тела. Поэтому можно сказать, что энтро-пия тела служит мерой «обесцененности» его энергии. Более глубокий смысл энтропии вскрывается в статистической физике: энтропия связывается с термо-динамической вероятностью состояния системы. Термодинамическая вероят-ность W состояния системы – это число способов, которыми может быть реали-зовано данное состояние макроскопической системы, или число микросостоя-ний, осуществляющих данное макросостояние. Согласно Больцману, энтропия системы и термодинамическая вероятность связаны между собой следующим образом (формула Больцмана): = ln ,

где k – постоянная Больцмана. Таким образом, энтропия определяется логарифмом числа микросостоя-

ний, с помощью которых может быть реализовано данное макросостояние. Следовательно, энтропия может рассматриваться как мера вероятности состоя-ния термодинамической системы. Формула Больцмана позволяет дать энтропии следующее статистическое толкование: энтропия является мерой неупорядо-ченности системы. В качестве примера найдем изменение энтропии одного мо-ля идеального газа при переходе его из состояния 1 с параметрами , , в состояние 2 с параметрами , , . На основании первого начала термодина-мики = + = + , где dU – изменение внутренней энергии газа, A – работа, совершаемая газом,

VC – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Подставив значение Q в (2), получим

52

− = + = + . Из уравнения Клапейрона – Менделеева для одного моля идеального газа = следует, что = ⁄⁄ . Учитывая данное соотношение, далее по-

лучим

2 2

1 1

2 22 1

1 1

ln ln .T V

V V

T V

T VdT dVS S C R C R

T V T V

В данной работе определяется приращение энтропии олова при его нагре-вании и плавлении. Общее приращение энтропии будет определяться суммой приращения энтропии при нагревании олова от комнатной температуры кT до

температуры плавления плT (процесс 1–2) и приращение энтропии при плавле-нии олова (процесс 2–3):

2 4

2 1

1 3

.Q Q

S S ST T

При нагревании олова = ,

где c – удельная теплоемкость олова, m – масса олова. При плавлении олова температура остается постоянной. Тогда

0

1ln .

пл

к

T Qпл

пл кT

TdTS cm Q cm

T T T

Количество теплоты Q , необходимого для плавления олова массы m , равно

= ,

где – удельная теплота плавления олова. Отсюда

ln .пл

к

TS cm

T

(5)

53


Экспериментальная установка состоит из тигля с оловом (1), электриче-ской печи (2) и измерителя температуры (3). Тигель с оловом помещен в элек-трическую печь, питаемую от сети переменного тока.



1. Ознакомиться с приборами данной установки.2. Включить печь в сеть. С момента включения печи через каждые 10 с снятьзначения температуры олова до тех пор, пока она не станет равной 250 ℃. 3. Выключить печь. С момента выключения печи снять значения температурыпри охлаждении олова через каждые 10 с до тех пор, пока она не станет равной 20–40 ℃. 4. На миллиметровой бумаге построить графики зависимости температуры на-гревания и охлаждения олова от времени, откладывая по оси ординат темпера-туру, а по оси абсцисс время в соответствующих масштабах. 5. Учитывая, что горизонтальные участки кривых соответствуют процессамплавления – кристаллизации, определить по обеим кривым температуру плав-ления олова и найти ее среднее значение. Вычислить границы доверительного интервала среднего значения плT . Если оба значения температуры совпадают, то для вычисления границы доверительного интервала следует воспользоваться формулой

∆ пл = 3 (∆ ) + (0,01 ) , где pt

– коэффициент Стьюдента для n , кT – погрешность измерения

комнатной температуры (равна половине цены деления комнатного термомет-ра), к – класс точности прибора для измерения температуры, нI – номинальное

значение температуры. 6. По формуле (5) вычислить приращение энтропии при плавлении олова.

54

Удельная теплоемкость олова 230 Дж/(кг К)с , удельная теплота плавления 45,86 10 Дж/кг . Масса олова m указана на установке. Следует учесть, что

в работе используется не чистое олово, а сплав, поэтому удельная теплоемкость в данной лабораторной работе получается несколько меньшим, чем табличное значение для олова. 7. Вычислить погрешности измерения приращения энтропии (границы довери-тельного интервала и относительную погрешность). Считая, что основной вклад вносит погрешность измерения плT , доверительный интервал вычислить по формуле

.плпл пл

mS с T

T T


1. Что понимают под обратимым тепловым процессом?2. Что такое энтропия? Каковы ее свойства?3. Сформулируйте второе начало термодинамики.4. Как находится приращение энтропии при плавлении олова в данной работе.5. Изложите основные положения классической и квантовой теории теплоемко-стей газов.

55

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Савельев, И. В. Курс общей физики. В 3-х томах. Т. 1: Механика. Моле-кулярная физика / И. В. Савельев. – СПб.: Лань, 2006. – 352 с.

2. Курс физики: учебник для вузов: в 2 т. / Арсентьев В. В., КирпиченковВ. Я., Князев С. Ю., Малибашева Л. Я., Лозовский В. Н.; под ред. В. Н. Лозов-ского. – 6-е изд., испр. и доп. – СПб. [и др.]: Лань, 2009. – Т. 2. – 600 с.

3. Валишев, М. Г. Курс общей физики: учеб. пособие для вузов /М. Г. Валишев, А. А. Повзнер. – СПб. [и др.]: Лань, 2010. – 573 с.

Учебное электронное издание

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА

Составитель Гришина Алена Александровна

Методические указания к лабораторным работам по физике

Редактор М. В. Теленкова

Объем данных 0,68 Мб. ЭИ № 138.

Печатное издание Подписано в печать 18.09.2013. Формат 60 84/16.

Усл. печ. л. 3,26. Тираж 200 экз. Заказ 849. Ульяновский государственный технический университет

432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, 32 ИПК «Венец» УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, 32

Тел.: (8422) 778-113. E-mail: [email protected]

http://www.venec.ulstu.ru

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА...

Documents

Transcript of МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА...