ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Θέματα εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα & Αναλυτική Γεωμετρία» (ΕΜ111)

Ηράκλειο, 23 Νοεμβρίου 2008

Θέμα 1. (μονάδες 2.7)

Έστω το σύστημα εξισώσεων: 2

2 3 22 6 5 5

3 8 ( 7) 8λ λ

⎫+ − =⎪

+ − = ⎬⎪− − + + = − ⎭

u v wu v w

u v w

, με αγνώστους , ,u v w∈ και με λ∈ γνωστή

παράμετρο. α) [μονάδες: 0.7] Για ποια τιμή (ή ποιες τιμές) του λ το σύστημα δεν έχει λύση; β) [μονάδες: 1.0] Για ποια τιμή (ή ποιες τιμές) του λ το σύστημα έχει άπειρες λύσεις; Ποια η γενική μορφή

αυτών των λύσεων; γ) [μονάδες: 1.0] Για ποιες τιμές του λ το σύστημα έχει μοναδική λύση; Υπολογίστε τη λύση αυτή

συναρτήσει της παραμέτρου λ . Θέμα 2. (μονάδες 1.8) α) [μονάδες: 1.2] Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία απαλοιφής Gauss-Jordan για να βρείτε τον αντίστροφο του πίνακα:

3 10 46 15 63 5 0

−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

A

β) [μονάδες: 0.6] Βρείτε τη λύση του συστήματος =Ax b , όπου ( )1,4,3= −b . Θέμα 3. (μονάδες 3.6)

Έστω V είναι ο υπόχωρος του 3 που παράγεται από τα διανύσματα:

1

11

0

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

v , 2

35

2

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

v , 3

132

−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

v

α) [μονάδες: 1.0] Να βρεθεί η διάσταση και μια βάση του V. β) [μονάδες: 1.0] Εξετάστε αν το διάνυσμα (2,3, 4)= −v ανήκει στο V. γ) [μονάδες: 0.6] Να βρεθεί ένας πίνακας Β που έχει τον V ως χώρο γραμμών δ) [μονάδες: 1.0] Να βρεθεί ένας πίνακας C που έχει τον V ως μηδενόχωρο. Θέμα 4. (μονάδες 1.9)

Έστω ο πίνακας:

1 1 02 3 11 4 35 10 5

−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦

A .

α) [μονάδες: 1.0]. Βρείτε την παραγοντοποίηση LU σε κάτω τριγωνικό πίνακα L (με 1 σε όλη την κύρια διαγώνιο) και σε πίνακα U με κλιμακωτή μορφή, και προσδιορίστε την τάξη του Α.

β) [μονάδες: 0.9]. Προσδιορίστε τις βασικές και τις ελεύθερες μεταβλητές του συστήματος 0=Ax και βρείτε τη γενική του λύση.

Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες