םילוגרתו תואצרה תרבוח סלפל תורמתה...
Transcript of םילוגרתו תואצרה תרבוח סלפל תורמתה...
חוברת הרצאות ותרגולים
התמרות לפלס: בנושא
ט "ל תשס"שנה2008-2009
, בומה אברמוביץ' דר: בעריכתדבורה טולדנו קטעי ' דריעקב לוצקי ' דר
2
תוכן העניינים
תקצירי הרצאות
3 הגדרה ותכונת הלינאריות : 1פרק
8 אינטגרל ומשפט ההזזה ,נגזרת: תכונות: 2פרק
פונקצית הביסייד והתמרת לפלס של פונקציות : 3פרק
רציפות למקוטעין
15
19 התמרת לפלס של פונקציה מחזורית : 4פרק
21 פונקצית דלתא של דיראק : 5פרק
24 התמרת לפלס הפוכה : 6פרק
28 קונבולוציה : 7פרק
31 שימושים להתמרות לפלס : 8פרק
תקצירי תרגילים נוספים
45 הגדרה ותכונת הלינאריות : 1פרק
49 אינטגרל ומשפט ההזזה ,נגזרת: תכונות: 2פרק
53 התמרת לפלס הפוכה , התמרה של פונקצית הביסייד: 3פרק
63 קונבולציה : 4פרק
65 שימושים להתמרות לפלס : 5פרק
88 תרגילי בית
3
תקצירי הרצאות
הגדרה של התמרת לפלס
: הגדרהתהי tf פונקציה רציפה למקוטעין בקרן הימנית ,0כלומר , עם טווח ערכים מרוכבים
CRf : . לכל מספר ממשיsמגדירים אינטגרל מוכלל :
0
1.1 dtetfstfLsF ts
. fהתמרת לפלס של נקרא , (מתכנס ) בהם הוא קיים sעבור ערכי , האינטגרל ואינה קיימת עבור s קיימת עבור ערכים מסויימים של fהתמרת לפלס של )
(ערכים אחרים
הפונקציה tf והפונקציה פונקצית מקור נקראת stfLsF תמונת לפלס של נקראתf .
נמצא את התמרת לפלס של הפונקציה :1.1דוגמא 1tf .
: לפי הגדרת התמרת לפלס : פתרון
b
ts
b
ts dtedtestfLsF00
lim1
0עבורsהאינטגרל מתבדר כיוון ש - btdtF
b
b
b
b
blimlim1lim0
0
0
0עבורsהאינטגרל מתכנס כיוון ש -
s
eess
edtesF sb
b
bst
b
b
ts
b
11limlimlim 0
000
0עבורsהאינטגרל מתבדר כיוון ש -
0
00
1limlimlim ee
ss
edtesF sb
b
bst
b
b
ts
b
מתקיים :לסיכום 0;1
12.1 ss
sL
נמצא את התמרת לפלס של הפונקציה :1.2דוגמא taetf 0 עבורaממשי .
: לפי הגדרת התמרת לפלס :פתרון
4
b
tas
b
tastsat dtedtedteestfLsF000
lim
עבורas : האינטגרל מתבדר כיוון ש - btdtaF
b
b
b
b
blimlim1lim
0
0
עבורas : האינטגרל מתכנס כיוון ש -
asee
asas
edtesF bas
b
btas
b
tas
11
limlim 0
000
עבורas : האינטגרל מתבדר כיוון ש -
0
00
1limlim ee
asas
edtesF bas
b
btas
b
tas
ממשי מתקיים 0a לכל :לסיכום asas
seL ta
;1
3.1
נמצא את התמרת לפלס של הפונקציה :1.3דוגמא tzetf עבור Cz :
iz נסמן :פתרון 21 R21 , . לפי הגדרת התמרת לפלס :
sze
szdtedtedteestfLsF bsz
b
b
tsz
b
tsztszt 11limlim
000
isssנסמן 21 Rss 21 מנוסחת אוילר . , 2222 sincos22 sisesi
- נובע ש 1sincos 22
2
22
222
ssesi ולכן
0limlim 11
bs
b
bsz
bee
011- בתנאי ש s .
מתקיים :לסיכום zszs
seL tz ReRe;1
4.1
נמצא את התמרת לפלס של הפונקציה :1.4דוגמא
ctA
ctAtf
;
0;
2
1
RcAAcעבור ,,;0 21 .
5
: לפי הגדרת התמרת לפלס :פתרון
b
c
ts
b
cts
s
b
c
ts
b
c
ts
c
ts
c
tsts
s
eA
s
eA
dteAdteA
dteAdteAdtetfstfLsF
lim
lim
2
0
1
0
2
0
1
2
0
1
0
s
eAeA
ees
Ae
s
A
scsc
s
scbs
b
sc
s
21
0
0
21
0
1
lim1
:משפט
תהי tf רציפה למקוטעין בקרן הימנית ,0יהיו . ומקבלת ערכים מרוכביםA0- וk שני
: קבועים ממשיים כך שמתקיים tAektf 0 לכלt , אזי :
התמרת לפלס .א stfL מוגדרת לכל s ממשי עבורו As .
מתקיים .ב 0lim5.1
stfLs
האינטגרל המוכלל , נראה כי בתנאי המשפט :הוכחת א
0
dttfestfL st מתכנס בהחלט ,
Asלכל . ולכן מתכנס מתקיים :
As
kseLkdteekdtekedttfedttfe AtAtstAtststst
0000
עבור הפונקציה :1.5דוגמא taetf כאשר Ra .
: מתקיים השוויון 0tלכל tata eetf כלומר aA 1- וk ולכן התמרת לפלס
seL ta מוגדרת לכל s ממשי עבורו as .
עבור הפונקציה :1.6דוגמא tzetf כאשר Cz .
Cz משמע קיימים Ryx ,כך ש -iyxz . 0לכלt מתקיים השוויון :
6
txtxytitxytitxtiyxtz eeeeeeeetf
1
zxAכלומר Re1- וk ולכן התמרת לפלס seL tz מוגדרת לכל s ממשי
zsעבורו Re .
לפונקציה :1.7דוגמא נגדית 2tetf אין התמרת לפלס כלומר זו איננה פונקצית מקור .
: הסבר
: שני קבועים ממשיים כך שמתקיים0k- וAנניח בשלילה כי קיימים tAektf לכל
0t , אזי התמרת לפלס stfL מוגדרת לכל s ממשי עבורו As .
keekeektf AtttAttA 22
מתקיים
Att
te
2
lim , כלומר הפונקציהAtte 2
0k- וAובפרט לא קיימים , איינה חסומה
: קבועים ממשיים כך שמתקיים tAektf 0 לכלt .
הסבר זה לא מוכיח כמובן שההתמרה seL t2
כיוון שהמשפט מספק תנאי מספיק אך לא ) לא קיימת
במקרה זה יש להראות כי האינטגרל . (הכרחי לקיום התמרת לפלס dte stt
0
2
. מתבדר
תכונת הלינאריות של התמרת לפלס
: משפטתהיינה tfו - tg פונקציות מקור המוגדרות בקרן ,0
נניח כי התמרת לפלס של tfו - tg קיימות לכל as ,אזי : קיימת התמרת לפלס של פונקצית הסכום .1 tgtf ובפרט לכל as מתקיים :
stgLstfLstgtfL 6.1
קיימת התמרת לפלס של פונקצית הכפל בסקלר Cלכל קבוע מרוכב .2 tf
asובפרט לכל מתקיים : stfLstfL 7.1
נמצא את התמרת לפלס של הפונקציה :1.8דוגמא attf sin לכל Ra0 .
: פתרון
נשתמש בנוסחא i
eeat
tiatia
2sin
ובתכונות הלינאריות ונקבל :
seLseLi
si
eeLsatL tiatia
tiatia
2
1
2sin
7
iaz פעם אחת עם 1.4נשתמש בנוסחה 1 ופעם נוספת עם iaz 2 :
מהדרישות 0ReRe 1 iazsו - 0ReRe 2 iazs 0 נובע כיs : ולכן
2222
2
2
1
2
1
11
2
1
2
1sin
as
a
as
ia
iiasias
iasias
i
iasiasiseLseL
isatL tiatia
קבלנו את הנוסחא : לסיכום 0;sin8.122
sas
asatL
Ra0 לכל :1.9דוגמא 0;cos9.122
sas
ssatL
הוכחה באופן דומה עם שימוש בנוסחא :פתרון 2
costiatia ee
at
נמצא את התמרת לפלס של הפונקציה :1.10דוגמא attf sinh לכל Ra .
:פתרון
נשתמש בנוסחא 2
sinh
ee
: ובתכונות הלינאריות ונקבל
seLseLsee
LsatL tatatata
2
1
2sinh
as ונקבל לכל 1.3נשתמש בנוסחה :
2222
2
2
1
2
1
11
2
1
2
1sinh
as
a
as
a
asas
asas
asasseLseLsatL tata
: קבלנו את הנוסחא:לסיכום asas
asatL
;sinh10.1
22
as ולכל Ra לכל :1.11דוגמא מתקיים asas
ssatL
;cosh11.1
22
הוכחה באופן דומה עם שימוש בנוסחא:פתרון 2
cosh
ee
8
פונקציות מקור של התמרת לפלס של נגזרות
:משפט
תהי tf רציפה למקוטעין בקרן ,0 עם A0- וk שני קבועים ממשיים כך
שמתקיים tAektf 0 לכלt 0 ונניח עוד כי לכלt הנגזרת tf פונקציה רציפה
: למקוטעין אזי Asלכל קיימת התמרת לפלס של הנגזרת tf ובפרט מתקיימת הנוסחא :
01.2 fstfLsstfL
: הוכחה
00lim
limlim
**
00***
00
*00
fstfLsdttfesfbfe
dttfestfedttfedttfestfL
stfL
stbs
b
b
stb
st
b
b
st
b
st
: הסברים(*)
dttfestfedttfestfetfvesu
tfveudttfe stststst
st
st
st
בנתוני המשפט ולפי משפט קודם שלמדנו התמרת לפלס (**)
0
dttfestfL st
Asמוגדרת לכל .
נגדיר (***) bfebg bs
00
As
bbAsbs
bA
bsbs e
k
e
ek
e
bf
e
bfbg
נובע כי , לפי כלל הסנדויץ , ולכן 0
b
bs bfebg לכל As
את התמרת לפלס של , 2.1באמצעות המשפט והגדרה , נחשב :2.1דוגמא ttf .
פתרון
: מתקיים 1 tfו - 00 f לפי נוסחא קודמת, ולכן : stLssL 1
חשבנו בעבר כי s
sL1
1 0 לכלsולכן נקבל : 0;1
2 s
sstL
9
ם א:טענה tfו - tf הן פונקציות מקור רציפות למקוטעין בקרן ,0ו - tf היא
: פונקצית מקור אזי 002.2 2 ffsstfLsstfL
נציב בנוסחא קודמת : הוכחה tftg ונקבל
0000
00
2 ffsstfLsffstfLss
fstfLsgstgLsstgLtfL
: ניתן להכליל ולהוכיח את הנוסחא הבאה, באופן דומה
אם :טענה tftftftf n ,,,1 ו - tf הן פונקציות מקור רציפות למקוטעין בקרן
,0ו - tf n היא פונקצית מקור אזי :
0003.2 121 nnnnn ffsfssfLsstfL
נחשב התמרת לפלס של :2.2דוגמא nttf לכל nטבעי .
:פתרון
: מתקיים 00000 1 nffff ו - !ntf n
: 2.3לפי נוסחא , ולכן stLssnL nn !
לפי תכונת הלינאריות והנוסחא s
sL1
1 מתקיים s
nsLnsnL
!1!!
: ולכן נקבל 0;!
4.21
ss
nstL
n
n
נחשב התמרת לפלס של :2.3דוגמא ttf 4cos .
:פתרון
מתקיים : מצד אחד ttttf sincos4cos 34
ולכן
164
440
4
4
2
1
2
2
4sin2
12sin2cos2sin2sin
2cos12sincos2cossin2sincos4
22
2
2222
23
ss
s
ss
stLstLsttLstL
sttLstttLsttLstfL
עבור 2.1מנוסחה : מצד שני ttf 4cos המקיימת 10 f מקבלים כי :
1coscos 44
stLsstL
: נשווה בין שני הביטויים ונקבל
1cos164
240 4
22
2
stLs
ss
s
10
נחלץ את stL 4cos : 164
2416cos
22
244
sss
ssstL
גזירת תמונה של התמרת לפלס
:משפט
אם tfהיא פונקצית מקור אזי : stfLstftL5.2
כאשר stfL היא הנגזרת הראשונה של התמרת לפלס stfL .
: הוכחה
stftLdttfte
dttfetdttfeds
dstfL
ds
dstfL
dttfestfL
ts
tsts
ts
0
00
0
נחשב התמרת לפלס של :2.4דוגמא t
ttf
sin .
:פתרון
:מתקיים ttft sin כאשר ידוע לנו כבר כי 0;1
1sin
2
s
sstL
: 2.5לפי נוסחה , ולכן
t
tLstL
sinsin כלומר
21
1sin
st
tL
: י אינטגרל לא מסוים על שני אגפים נקבל"ע
Csdsst
tL
arctan
1
1sin2
( : 1מפרק ) 1.5 נשתמש בתכונה Cעל מנת למצוא את הקבוע
20
20arctanlim0
sinlim
2
CCCst
tL
ss
arctan;0: לסיכום2
sin
ss
t
tL
(. נראה בהמשך דרך שונה לחישוב התמרה זו )
:הכללה
אם tfהיא פונקצית מקור אזי : nnn stfLstftL 16.2
11
כאשר nstfLהיא הנגזרת ה -n - ית של התמרת לפלס stfL .
נחשב התמרת לפלס של :2.5דוגמא nttf . ( 2.4 נוסחה –חשבנו קודם בדרך אחרת )
:פתרון
ידוע לנו כבר כי s
sL1
1 0 לכלs . נוכל לרשום את tfבאופן הבא : 1 nttf
: 2.6לפי נוסחא , ולכן
11
0
!!11
11111
nn
nn
n
n
s
nnn
s
n
s
n
ssLstL
:2.4כלומר קבלנו שוב את נוסחא 0;!1
ss
nstL
n
n
נחשב התמרת לפלס של :2.6דוגמא atn ettf עבור Ra .
:פתרון
ידוע לנו כבר כי as
seL at
1as לכל .
: 2.6לפי נוסחא , ולכן
11
!!11
111
nn
nn
n
n
as
natnatn
as
n
as
n
asseLsetL
:כלומר קבלנו את הנוסחא
asas
nsetL
n
atn
;!
7.21
Ra לכל
אינטגרציה של פונקצית מקור
:משפט
אם tf 0 היא פונקצית מקור והאינטגרל אזי לכלs :
s
stfLsdfL
t
0
8.2
12
נחשב התמרת לפלס של :2.7דוגמא t
d0
cosh .
:פתרון
נשתמש בזהות 2
cosh
ee
ובתכונות הלינאריות של האינטגרל המסוים ושל התמרת לפלס
: ונקבל
sdeLsdeL
sdedeLsdee
LsdL
tt
tttt
00
0000
2
1
2
1
2
1
2cosh
פעם אחת עם 2.8כעת נשתמש בנוסחה ef ופעם אחת עם efונקבל :
22
000
111
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1cosh
sssss
s
s
s
sdeLsdeLsdL
ttt
: לפי תכונת הלינאריות ונוסחאות קודמות שחשבנו נקבל כי
41
2coscos22
p
p
p
pptLptLptfL
אינטגרציה של תמונה
:משפט
אם tf היא פונקצית מקור והאינטגרל
s
dpptfLאזי, קיים :
s
dpptfLst
tfL9.2
נחשב התמרת לפלס של :2.8דוגמא
t
tttg
2coscos .
:פתרון
: נסמן tttf 2coscos ( אזי : t
tftg )
: נקבל כי1.9לפי תכונת הלינאריות ונוסחא
41
2coscos22
p
p
p
pptLptLptfL
13
: 2.9לפי נוסחה , ולכן
1
4ln
2
1
4
1ln
2
1
4
1ln
4
1ln
2
1lim
4
1ln
2
1lim
4
2
1
2
2
1lim
41
2
2
2
2
2
2
01ln
1
2
2
2
2
2222
s
s
s
s
s
s
b
b
p
p
dpp
p
p
pdp
p
p
p
pdpptfLs
t
tfLstgL
b
b
sb
b
sb
ss
translationמשפט ההזזה
:משפט
אם tf היא פונקצית מקור אזי לכל מספר ממשי Raמתקיים :
astfLstfeL at 10.2
כאשר astfL זוהי התמרת לפלס של tf המחושבת בנקודה המוזזת as .
:הוכחה astfLdttfedttfeestfeL tasattsat
00
נחשב התמרת לפלס של :2.10דוגמא tettg 52 .
: נסמן 2ttf . 2 עם 2.4לפי נוסחהn נקבל 3
2 !2
sstL 0 לכלs
05 נקבל כי לכל 2.10לפי נוסחה s , 5כלומר לכלs :
3
2
5
25
sstLstgL
נחשב התמרת לפלס של :2.11דוגמא tetg t 4sin3 .
: נסמן ttf 4sin . 1.8לפי נוסחה 16
44sin
2
sstL 0 לכלs
03 נקבל כי לכל 2.10לפי נוסחה s , 3כלומר לכלs :
163
434sin
2
s
stLstgL
נחשב התמרת לפלס של :2.12דוגמא tetg t 3cosh4 .
: נסמן ttf 4cosh . 1.11לפי נוסחה 9
3cosh2
s
sstL 3 לכלs
14
34 נקבל כי לכל 2.10לפי נוסחה s , 7כלומר לכלs :
78
4
94
443cosh
22
ss
s
s
sstLstgL
: נובעות הנוסחאות הבאות1.9 - ו1.8מנוסחת ההזזה ומנוסחאות
asbas
asbteL at
;cos11.2
22
asbas
bbteL at
;sin12.2
22
( (scalingשינוי קנה מידה
:משפט
אם tf 0 היא פונקצית מקור אזי לכל מספר ממשי חיוביaמתקיים :
a
stfL
asatfL
113.2
כאשר
a
stfL זוהי התמרת לפלס של tf המחושבת בנקודה
a
s .
. לתכונה זו יש רק משמעות תיאורטית ולכן לא נדגים אותה כאן, למעשה
15
התמרת לפלס של פונקציה רציפה למקוטעין , פונקצית הביסייד
:הגדרות וסימונים
: היא פונקציה בחלקים מהצורה( Heviside )פונקצית הביסייד .1
0;0
0;10
t
ttuth
: נגדיר פונקצית הביסייד כללית0cלכל .2
ct
cttuc
;0
;11.3
0)(גרפים של הפונקציות tu ו -)(tuc בהתאמה 3.2- ו3.1 נתונים בציורים
1
c
3.1איור 3.2 יורא
אם .3 tf מוגדרת לכל ct עבור הפונקציה בחלקים מהצורה :
ct
cttftg
;0
;
: מתקיים tftutg c . כלומר
ct
cttftftuc
;0
;2.3
012 נובע כי עבור 2- מ .4 cc מתקיים :
21
21
0;וגם
;13.3
21 ctct
ctctutu cc ( 3.3איור )
012 נובע כי עבור 4- ו3- מ .5 cc מתקיים :
21
21
0;וגם
;4.3
21 ctct
ctctftftutu cc ( 3.4איור)
tf
1
21 cc 21 cc
3.3 יור א 3.4 יורא
16
: התמרת לפלס של פונקצית הביסייד
מתקיים 0sלכל s
esLestuL
cscs
c
15.3
: הוכחה
s
eee
ss
edtedttuestuL
cs
s
csbs
b
b
c
st
bc
st
c
st
c
00
1limlim1
נחשב התמרת לפלס של :3.1דוגמא
0;2וגם4
42;1
tt
ttf .
: במקרה זה מתקיים tututf 42 0 נקבל כי לכל 3.5 ולכן מתכונת הלינאריות ומנוסחהs
ssss
eess
e
s
estuLstuLstutuLstfL 42
42
4242
1
:(הכללה של נוסחא קודמת )משפט
תהי tf 0אזי לכל , פונקצית מקורcמתקיים :
stfLesctftuL cs
c 6.3
: הוכחה
0
0 0 0
0
st stc c
c
s x c s x s c s c s x s c
L f s
x t c
dx dtL u t f t c s e u t f t c dt e f t c dt
t c x
t x
e f x dx e e f x dx e e f x dx e L f s
נחשב התמרת לפלס של :3.2דוגמא 2
2 2 ttutg .
- ו2cבמקרה זה 2ttf ( 222 ttf ) 3.6לפי נוסחה , ולכן :
3
2222
2
22
sestLesttuLstgL ss
למציאת התמרת לפלס של פונקציה מהצורה 3.6כדי להשתמש בנוסחה tftuc צריך למצוא
פונקציה tgכך ש - ctgtf ואחר כך לטפל בפונקציה ctgtuc .
17
נחשב התמרת לפלס של :3.3דוגמא
3
2;0
3
2;
3
2cos
t
tt
tg .
נוכל לרשום את tgבאופן השקול הבא :
3
2cos
3
2
ttutg
במקרה זה 3
2cו - ttf cos (
3
2cos
3
2 ttf ) 3.6לפי נוסחה , ולכן :
1
cos3
2cos
2
3
2
3
2
3
2
s
sestLesttuLstgL
ss
נחשב התמרת לפלס של :3.4דוגמא tuttg 4
24 .
- ו4cבמקרה זה 2ttf ( 244 ttf ) 3.6לפי נוסחה , ולכן :
3
4242
4
24
sestLesttuLstgL ss
למציאת התמרת לפלס של פונקציה מהצורה 3.6כדי להשתמש בנוסחה tftuc צריך למצוא
פונקציה tgכך ש - ctgtf ואחר כך לטפל בפונקציה ctgtuc .
:(נובעת ממשפט קודם )טענה
תהי tgפונקצית מקור כך ש - tfctg 0 לכלcאזי מתקיים :
stgLestftuL cs
c 7.3
נחשב התמרת לפלס :3.5דוגמא tutL 2 :
- ו2cבמקרה זה ttf ( 2 ttg ) 3.7לפי נוסחה , ולכן :
2 22 2
2 2 2
2 2
2 2 2
1 1 1 22 1 2
s s
s s s
L t u t s e L u t t s e L t s
se L t s L s e e
ss s
נחשב התמרת לפלס של :3.6דוגמא tuttg 4
2 .
- ו4cבמקרה זה 24 ttf ( 2
444 ttf ) 3.7לפי נוסחה , ולכן :
18
ssse
sLstLstLesttLe
stLesttuLsttuLstgL
s
ss
s
116
18
2
1168168
444
23
4
2424
242
4
2
4
:נחשב התמרת לפלס של הפונקציה :3.7דוגמא
3;
31;3
10;1
2 te
t
t
tft
:
ניתן להציג את tf באופן הבא :
tuetututututf t
3
2
1310 31
2sולכן לכל
20 1 3 1 3
3 6 32
0 1 3 3
*
3
12 3 2 3
2
t
s s st
L f t s L u t L u t L u t L u t L e u t
e e eL u t L u t L u t L e u t
s s s s
: חישובי עזר
3.5לפי נוסחא * s
estuL
cs
c
נקבל : s
stuL1
0 , s
estuL
s
1
וגם s
estuL
s3
3
לפי הנוסחא stgLestftuL cs
c 3 עםcו - teetg 26
: נקבל
2
1
2
1 3636263
3
2
se
seeseLeestueL sstst
19
התמרת לפלס של פונקציה מחזורית
: פונקציה מחזורית–הגדרה
ממשי בתחום הגדרתה מתקיים t אם לכל T בעלת מחזור פונקציה מחזוריתנקראת tf)(פונקציה
: הגדרה)0( Tמקור מחזורית - פונקציותtf)(תהי T . אזי
T
st
Tsdttfe
estfL
0
)(1
1)(1.4
: ההבא Tמחזורית ה הפונקציהמצא התמרת לפלס של :4.1דוגמא
21,1
10,1)(
t
ttf , 2T ( 4.1איור ראה)
. 4.1איור
נובע 4.1 -מ :פתרון
2 1 2
2 2
0 0 1
1 2
2
2 2
0 1
2 2
2
/ 2
1 1( ) ( ) 1 ( 1)
1 1
1 11
1 1
1 12 1 (1 )
(1 )(1 )1
1 (
(1 )
st st st
s s
st sts s s
s s
s s s
s ss
s s
s
L f t s f t e dt e dt e dte e
e ee e e
s se s e
e e es e es e
e e
s e
/ 2 / 2
/ 2 / 2 / 2
1 ) 1 1tanh( ).
2(1 )
s s s
s s s s
e e e s
s ss e e e e
20
: ההבא Tמחזורית ה הפונקציהמצא התמרת לפלס של . 2
2,1
0,)(
t
tttf , 2T , ( 4.2איור ראה .)
. 4.2 ציור
:ובעזרת אינטגרציה בחלקים נקבל 4.1 -מ :פתרון
.)1(
1)1(
1111
1
1
1
1
1
11
1)(
1
1)(
22
2
2
222
2
022
2
0
2
2
0
2
s
sss
ssss
s
ststst
s
stst
s
st
s
es
seees
es
ess
es
ese
s
ee
se
s
t
e
dtedtete
dtetfe
stfL
21
(Dirak)פונקצית דלתא של דירק
זו . במובן רחב יותר "פונקציה "אלא , פונקצית דלתא של דירק איננה פונקציה במובן הרגיל המוכר לנו . למעשה פעולה מסויימת מעל פונקציות
על מנת להגדיר את פונקצית דירק בצורה מתמטית מדוייקת אנו נזקקים לידע מתמטי החורג ממסגרת ". הגדרה"לפיכך אנו ניתן מעין . לימודי ההנדסה
י " או עaי "פונקצית דלתא של דירק מסומנת ע at פונקצית האימפולס ונקראת לפעמים
. aבנקודה . לפונקצית דלתא יש יישומים חשובים בתחומים רבים של מדע וטכניקה
": הגדרה"
המקיימת a" פונקציה"ה. מספר ממשי נתוןaיהי afdtttfA
a 1.5
פונקצית נקראת , a המכילה סביבה של Aועבור כל קבוצה , a בסביבת fלכל פונקציה רציפה
. aדלתא של דירק בנקודה
. a הרציפה בנקודה f המקיימת את דרישות ההגדרה לכל aלמעשה לא קיימת פונקציה רגילה
aאלא כפונקציה הפועלת על פונקציות, איננה קיימת במובן הרגיל של פונקציות .
: היא כגבול של תהליךaאחת הדרכים המקובלות לתאר את
: נגדיר פונקציה0cלכל
cacat
cacatc
tC
,;0
,;2
1
2.5
: aתכונות של הפונקציה
1. 13.5
dttc
2.
at
attc
c ;
;0lim4.5
0
22
" ניתן להבין כגבול aאת פונקצית דירק tc
c
0lim "( הגבול לא קיים במובן הרגיל 5.4לפי )
מקיימת את התכונה a- נראה ש afdtttfA
a :
: אזי מתקיים, RA ותהי a רציפה בסביבת fתהי
aftfctfc
dttfc
dtttfdtttfdtttfdtttf
cc
cc
ca
cac
cc
cc
a
A
a
00
*
0
00
lim22
1lim
2
1lim
limlim
catcaקיימת נקודה , לפי משפט ערך הביניים האינטגרלי(*) c כך ש -
ctfcacatfdttf cc
ca
ca
2
.
catca- כיוון ש c , כי (' לפי כל הסנדוויץ )נובעatcc
0
lim
: התמרת לפלס של פונקצית דירק
: מתקיימת הנוסחא הבאה0aלכל as
a
st
a edttestL
0
5.5
: תכונה שימושית של פונקצית דירק
0;1
6.5
a
a
bt
abat
נחשב התמרת לפלס של :5.1דוגמא tttf 42 35 .
: 5.5לפי נוסחא
ss eestLstLsttLstfL 42
4242 353535
נחשב התמרת לפלס של :5.2דוגמא 524 ttf . : 5.5- ו5.6לפי נוסחאות
25
25 22
2
5
2
14524
s
estLstLstLstfL
נחשב התמרת לפלס של :5.3דוגמא ttttf lncos .
23
: לפי הגדרת התמרת לפלס מקבלים
lnlncoslncos
lncoslncos0
ss
t
st
st
eeett
dtetttstttLstfL
24
התמרות לפלס הפוכות
י "כעת נעסוק במציאת פונקצית מקור ע. בפרקים קודמים חשבנו התמרות לפלס של פונקציות מקור
כלומר לכל פונקצית . ( 1Lסימון )לפעולה זו קוראים התמרת לפלס הפוכה . תמונת לפלס שלה
מקור tf המקיימת stfLsF מתקיים tftsFL 1 .
:הגדרה
tf היא היא התמרת לפלס הפוכה של sFאם מתקיים : sFstfL
: סימון tsFLtf 11.6
. כדי למצוא פונקצית מקור בהינתן התמונה שלה יש להשתמש בטבלת התמרות לפלס
נחשב התמרת לפלס הפוכה של :6.1דוגמא s
sF1
.
1111
t
sLtsFLtf
נחשב התמרת לפלס הפוכה של :6.2דוגמא 4
22
s
sF .
tts
LtsFLtf 2sin4
22
11
נחשב את התמרת לפלס ההפוכה של :6.3דוגמא 4
2
6
ssF.
: נשתמש בנוסחא 1
!
n
nat
as
nsteL 3 עםn2- וaונקבל כי :
32
4
11
2
!3tet
sLtsFL t
: תכונת הלינאריות של התמרת לפלס ההפוכה
נניח כי tfו - tg התמרות לפלס הפוכות של sFו - sGו -C , אזי
1.
tgtftsGLtsFLtsGsFL 1112.6
2.
tftsFLtsFL 113.6
נחשב התמרת לפלס הפוכה של :6.4דוגמא 9
52
s
ssF .
25
tts
sLt
s
sLtsFLtf 3cos5
35
9
522
1
2
11
נחשב התמרת לפלס הפוכה של :6.5דוגמא 41
33122
s
s
ssF .
tetts
sLt
sLt
s
s
sLtsFL t 2cos3
41
13
1
41
3312
1
2
1
22
11
נחשב התמרת לפלס הפוכה של :6.6דוגמא 5
6
4
922
ss
sF .
ttts
Lts
L
ts
Lts
Ltss
LtsFLtf
5sinh5
62sin
2
9
5
5
5
6
2
2
2
9
5
16
4
19
5
6
4
9
22
1
22
1
2
1
2
1
22
11
: התמרה הפוכה של פונקציות רציונאליות
נחשב התמרת לפלס הפוכה של :6.7דוגמא 822
ss
ssF .
: ראשית נמצא פירוק הביסייד 4242822
s
B
s
A
ss
s
ss
ssF
: מכנה משותף והשוואת מונים ssBsA 24
46 נקבל 4sמהצבת B כלומר 3
2B
26 נקבל 2sמהצבת A כלומר 3
1A
לכן פירוק הביסייד של sFהנו : 4
1
3
2
2
1
3
1
sssF
: מתכונת הלינאריות של התמרה הפוכה ומלוח ההתמרות נקבל
tt ee
ts
Lts
Ltss
LtsFL
42
1111
3
2
3
1
4
1
3
2
2
1
3
1
4
1
3
2
2
1
3
1
נחשב התמרת לפלס הפוכה של :6.8דוגמא 542
ss
ssF .
542הגורם הריבועי ss (אחרת היינו נוקטים בדרך זהה לדוגמא קודמת ) איננו פריק
26
: אולם ניתן לרשום
12
12
12
2
12
22
1214454 222222
ss
s
s
s
s
s
ss
s
ss
ssF
: מתכונת הלינאריות של התמרה הפוכה ומלוח ההתמרות נקבל
tetet
sLt
s
sL
tss
sLtsFL
tt sin2cos12
12
12
2
12
12
12
2
22
2
1
2
1
22
11
נחשב התמרת לפלס הפוכה של :6.9דוגמא 3
2
1
52
s
sssF .
2
3
11
3
1
211 2
1
46
1
1
1
412
2
teets
Lts
Lts
ssLtsFLtf tt
s
נחשב התמרת לפלס הפוכה של :6.10 דוגמא 204
462
ss
ssF .
2042הגורם הריבועי ssאיננו פריק אולם ניתן לרשום :
22222242
42
42
26
1644
826
204
46
ss
s
ss
s
ss
ssF
: מתכונת הלינאריות של התמרה הפוכה ומלוח ההתמרות נקבל
1 1
2 22 2
1 1 2 2
2 22 2
2 46 2
2 4 2 4
2 46 2 6 cos 4 2 sin 4
2 4 2 4
t t
sL F s t L t
s s
sL t L t e t e t
s s
: התמרה הפוכה עם פונקצית הביסייד
ראינו כי אם3בפרק tf 0אזי לכל , פונקצית מקורcאז מתקיים :
stfLesctftuL cs
c 6.3
: מנוסחא זו נובע ctftutstfLeL c
sc 14.6
:ובכתיב שקול ctsgLtutsgeL c
sc 114.6
27
: נחשב התמרת לפלס ההפוכה של הפונקציה :6.11דוגמא 1
2
s
esF
s
- ו2c עם 6.4נשתמש בנוסחא 1
1
ssg
: ונקבל 2
2
1
2
211 21
1
1
1
ts etut
sLtut
seLtsFL
:נחשב התמרת לפלס ההפוכה של הפונקציה : 6.12דוגמא 2
2
s
esF
s
- ו2c עם 6.4נשתמש בנוסחא 2
1
sstfLsg
: ונקבל
42
2
22
2
1
2
211 22
1
2
1
tts etuetut
sLtut
seLtsFL
נחשב התמרת לפלס הפוכה של :6.13דוגמא ses
sF 2
6
5 .
- ו2c עם 6.4נשתמש בנוסחא 6
5
ssg
1 1 2 126 6
551
2 26
5 52
12 ; 25 5! 1
2 2 245! 24
0 ; 0 2
sf t L F s t L e t u t L ts s
t tu t L t u t t
st
נחשב התמרת לפלס הפוכה של :6.14דוגמא s
es
ssF
5
4
2 25
.
עם 6.4נשתמש בנוסחא 5
4cו -
252
s
ssg
4
1 1 1542 2
5
4 4
5 5
4
525 25
4cos 5 4 ;
4 5cos 5 cos 5 4
450 ; 0
5
ss sf t L F s t L e t u t L t
s s
t t
u t t u t t
t
28
קונבולוציה
: הגדרהתהיינה tfו - tg פונקציות מקור המוגדרות בקרן ,0 , באמצעות * נגדיר ביניהן פעולה
: אינטגרל באופן הבא
t
dxxgxtftgf0
*1.7
. g- וfקונבולוציה בין נקראת *הפעולה
נחשב קונובולוציה בין :7.1דוגמא ttf sinו - ttg cos
tt
tttt
xtxtdxxtt
dxxxtxxtxdxxttttgf
t
tt
tt
sin2
1
2
cos0
2
cossin
2
1
2
2cossin
2
12sinsin
2
1
sinsin2
1cossincos*sin*
cos
00
00
נחשב קונובולוציה בין :7.2דוגמא tetf ו - 2ttg
: לפי הגדרת הקונבולוציה
t
xt
t
xtt dxxeedxxetetgf0
2
0
22**
: נבצע אינטגרציה בחלקים ונקבל
222222
22*
22
0
2
0
22
ttettee
xxeedxxeette
ttt
txt
t
xtt
תכונות של קונבולוציה
קונבולוציה .1 tgf . היא פונקצית מקור*
: קומוטטיביות .2 tfgtgf **2.7
29
: הוכחה
tgfduugutfduutfug
duutfug
tutu
dxdu
xtu
dxxfxtgtfg
tt
t
t
*
0,0
*
00
0
0
משפט הקונבולוציה .3 sgLsfLsgfL *3.7
נחשב התמרת לפלס של הקונובולציה בין הפונקציות :7.3דוגמא ttf sinו - tutg
: נובע ( 7.3נוסחה )ממשפט הקונבולוציה
11
1sin*sin
22
ss
e
s
e
sstuLstLstutL
ss
נחשב התמרת לפלס של הפונקציה :7.4דוגמא
t
xdxxttF0
2cosh.
נובע כי ( 7.1נוסחה )מהגדרת הקונבולוציה tttF cosh*2
נובע ( 7.3נוסחה )ממשפט הקונבולוציה
1
2
1
2coshcosh*
2223
22
sss
s
sstLstLsttL
מסקנה ממשפט הקונבולוציה .4
אם stfLsF ו - stgLsG אזי מתקיים
tsGLtsFLtsGsFL 111 *4.7
נחשב התמרת לפלס הפוכה של :7.5דוגמא 22 1
1
ssH
1 1 1
2 2 22
1 1
2 2
1 1 1
1 11
1 1* sin *sin
1 1
L H s t L t L ts ss
L t L t t ts s
נחשב את קונובולוציה בין ttf sinו - ttg sin
30
2
cossin0
2
sincos
2
sin
2
1
cos2
2sin
2
1cos2cos
2
1
coscos2
1sinsinsin*sin*
sin
00
00
tttttt
t
xttx
dxttx
dxxxtxxtxdxxttttgf
t
tt
tt
נחשב התמרת לפלס הפוכה של :7.6דוגמא 22 1
s
ssH
1 1 1
2 2 22
1 1
2 2
1
1 11
1* cos *sin
1 1
s sL H s t L t L t
s ss
sL t L t t t
s s
tttt את הקונבולוציה 7.1חשבנו קודם בדוגמא sin2
1cos*sin
:ולכן tttttsHL sin2
1sin*cos1
שימושים של קונבולוציה .חישוב התמרות הפוכות .1
(נראה בפרק של שימושים ). פתרון משוואות אינטגרודיפרנציאליות .2
31
שימושים : התמרות לפלס
: בפרק זה נראה מספר שימושים להתמרות לפלס .חישוב אינטגרלים מוכללים .1
.דיפרנציאליות-פתרון משוואות אינטגרליות ואינטגרו .2
.פתרון בעיות התחלה עם מקדמים קבועים .3
.פתרון מערכת בעיות התחלה של משוואות מסדר ראשון במקדמים קבועים .4
חישוב אינטגרלים מוכללים 8.1
נחשב את האינטגרל המוכלל :8.1דוגמא
0
3 2cos dtte t .
: נגדיר התמרת לפלס :1דרך
0
2cos dttesF st .
זוהי התמרת לפלס של הפונקציה ttf 2cos וידוע כי מתקיים
4
2cos2
s
sstLsF
ולכן 3sהאינטגרל הנתון הנו מקרה פרטי של ההתמרה שהגדרנו עם
13
3
43
332cos
2
0
3
Fdtte t
: נגדיר התמרת לפלס :2דרך
0
3 2cos dtteesF tst .
זוהי התמרת לפלס של הפונקציה tetf t 2cos3 וידוע כי מתקיים
43
32cos
2
3
s
ssteLsF t
ולכן 0sהאינטגרל הנתון הנו מקרה פרטי של ההתמרה שהגדרנו עם
13
3
403
0302cos
2
0
3
Fdtte t
חשב את האינטגרל :8.2דוגמא
0
32 2cos dttetI t.
: 1דרך
: נסמן tettf t 2cos32 של 2 בפרק 8 לפי הגדרה של התמרת לפלס ולפי תוצאה של תרגיל .
: 3sהתרגילים הנוספים לכל
32
2
0
32
43
123322cos
s
ssdtetetstfLsF stt
32
האינטגרל הנתון
0
32 2cos dttetI t 0 הוא מקרה פרטי של התמרה זו עבורs הנמצא בתחום
: ההגדרה של ההתמרה ולכן
2197
18
13
332
43
1233202cos
3
0
32
2
0
32
s
t
s
ssFdttetI
: 2דרך
: נסמן tttf 2cos2 .לפי הגדרה של התמרת לפלס :
0
2 2cos dtettstfLsF st
: נחשב את ההתמרה
0;4
122
42cos2cos
32
2
2
2
s
s
ss
s
sstLsttLstfLsFה
אינטגרל הנתון
0
32 2cos dttetI t 3 הוא מקרה פרטי של התמרה זו עבורs הנמצא בתחום
: ההגדרה של ההתמרה ולכן
2197
18
13
332
4
12202cos
3
3
32
2
0
32
s
t
s
ssFdttetI
.דיפרנציאליות- פתרון משוואות אינטגרליות ואינטגרו8.2
:8.3דוגמא
נמצא פתרון למשוואה האינטגרלית tdxxtxftf
t
0
sin3 .
: פתרון
:מהגדרת הקונבולוציה נובע כי ttfdxxtxf
t
sin*sin0
ולכן נוכל לרשום ייצוג שקול של
: המשוואה tttftf sin*3 .
:נסמן sFstfL
: נפעיל התמרת לפלס של שני אגפי המשוואה stLsttftfL sin*3
: מתכונת הלינאריות נקבל stLsttfLstfL sin*3
33
: כעת נשתמש בתוצאות הבאות
2
2
11
1sinsin*
sstL
ssFstLstfLsttfL
: נציב במשוואה ונקבל 22
1
1
13
sssFsF
נחלץ את sF :
2 2
2
2 2
2
2 2
3 11
1
4 1
1
1
4
F ss s
sF s
s s
sF s
s s
: לאחר ביצוע פירוק הביסייד נקבל 4
1
4
31
4
1
4
12222
2
ssss
ssF
נמצא התמרת לפלס הפוכה tf :
ttts
Lts
Ltss
Ltf 2sin8
3
4
1
4
2
8
31
4
1
4
1
4
31
4
12
1
2
1
22
1
: פתרון tttf 2sin8
3
4
1
:8.4דוגמא
דיפרנציאלית -מצא פתרון למשוואה האינטגרו
t
xdxextftf0
21
המקיים 10 f .
: פתרון
:מהגדרת הקונבולוציה נובע כי t
t
x etfdxextf 2
0
2 * ולכן נוכל לרשום ייצוג שקול של
: המשוואה tetftf 2*1 .
:נסמן sFstfL
: נפעיל התמרת לפלס של שני אגפי המשוואה setfLstfL t2*1
: מתכונת הלינאריות נקבל setfLsLstfL t2*1
34
: כעת נשתמש בתוצאות הבאות
ssL
ssFseLstfLsetfL
sFsfsfLssfL
tt
11
2
1*
10
22
1
: נציב במשוואה ונקבל 2
111
s
sFs
sFs
נחלץ את sfL :
21
2
1 11
2
2 1 1
2
2
1
s
F s ss s
s s sF s
s s
sF s
s s
: לאחר ביצוע פירוק הביסייד נקבל 1
12
1
2
ssss
ssF
נמצא התמרת לפלס הפוכה tf :
tets
Lts
Ltss
Ltf
2
1
112
1
12 111
: פתרון tetf 2
:8.5דוגמא
דיפרנציאלית -מצא פתרון למשוואה האינטגרו 13 33
0
tt
t
eteduutfuf
המקיים 00 f , 00 f .
: פתרון
:מהגדרת הקונבולוציה נובע כי tftfduutfuf
t
*0
ולכן ניתן להציג את המשוואה
: הנתונה באופן השקול הבא 13* 33 tt etetftf .
: נשתמש בתכונת הלינאריות והקונבולוציה ונקבל, נפעיל התמרת לפלס על שני אגפי המשוואה
sLseLsteLstfLstfL tt 13 33
: ניעזר בתוצאות הבאות
35
2
3
3
0
3
13
1
11
0
ssteL
sseL
ssL
stfLfstfLsstfL
t
t
:נסמן sFstfL נציב במשוואה ונקבל : sss
sFsFs1
3
1
3
32
:באופן שקול נוכל לרשום 2
22
3
333
ss
sssssFs
נחלץ את sF :
3
3
3
9
3
922
2
2
2
sssF
sssF
sssF
: נמצא פירוק הביסייד 33
3
s
B
s
A
ss
: מכנה משותף והשוואת מונים 33 BssA
33 ונקבל 0sנציב A 1 כלומרA
33 ונקבל 3sנציב B 1 כלומרB
נמצא התמרת לפלס הפוכה tf :
11
3
11
3
1
3
3 31111
tet
sLt
sLt
ssLt
ssLtf
עבור 13
1 tetf מתקיים tetf 3
1 3 ובפרט 0301 fולכן זה הפתרון המבוקש .
:פתרון 13 tetf
36
. ר לינאריות במקדמים קבועים" פתרון בעיות התחלה עם מד8.3
:8.6דוגמא
נמצא פתרון לבעיית ההתחלה
10;00
sin23
yy
tyyy
: פתרון
tyyyנפעיל התמרת לפלס על שני אגפי המשוואה sin23 ונקבל :
stLsyyyL sin23 : מתכונת הלינאריות נובע כי
stLsyLsyLsyL sin23
:נסמן sYstyL
: כעת נשתמש בתוצאות הבאות
0
0 1
2 2
2
0
0 0 1
1sin
1
L y s s L y s y s Y s
L y s s L y s s y y s Y s
L t ss
: נציב במשוואה ונקבל 1
1231
2
2
ssYsYssYs
נחלץ את sY :
2
2
2
2
22
2
2
2 2
2
2
13 2 1
1
13 2 1
1
23 2
1
2
1 3 2
2.
1 1 2
Y s s ss
Y s s ss
sY s s s
s
sY s
s s s
sY s
s s s
: נחפש פירוק הביסייד מהצורה 121211
222
2
s
DCS
s
B
s
A
sss
s
: מכנה משותף והשוואת מונים יניבו את התוצאות הבאות
101,
103,
56,
23 DCBA
: ולכן
37
1
13
10
1
2
1
5
6
1
1
2
3
211
222
2
s
s
sssss
ssY
נמצא התמרת לפלס הפוכה tyy :
ttee
ts
Lts
sLt
sLt
sL
ts
s
ssLty
tt sin10
1cos
10
3
5
6
2
3
1
1
10
1
110
3
2
1
5
6
1
1
2
3
1
13
10
1
2
1
5
6
1
1
2
3
2
2
1
2
111
2
1
: פתרון לבעיית ההתחלה tteety tt sin10
1cos
10
3
5
6
2
3 2
:8.7דוגמא
נמצא פתרון לבעיית ההתחלה
00;10
cos22
yy
tyyy
: פתרון
tyyyנפעיל התמרת לפלס על שני אגפי המשוואה cos22 ונקבל :
stLsyyyL cos22 : מתכונת הלינאריות נובע כי
stLsyLsyLsyL cos22
:נסמן sYstyL
: כעת נשתמש בתוצאות הבאות
1
01
2 2
2
0 1
0 0
cos1
L y s s L y s y s Y s
L y s s L y s s y y s Y s s
sL t s
s
: נציב במשוואה ונקבל 1
2122
2
s
ssYsYsssYs
נחלץ את sY :
38
2
2
2
2
1 222 2
2 2 21
2 2 21
2
2 21 2 2
sY s s s s
s
sY s s s s
s
s sY s Y s Y s
s ss s s
222נעיר כי הגורם ss הוא אי פריק אך ניתן לבצע את ההשלמה לריבוע הבאה 112s
נחפש התמרת לפלס הפוכה tyy 2ל - 22
222
ss
ssY
tete
ts
Lts
sL
ts
sLt
s
sLty
tt sincos
11
1
11
1
11
11
11
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
כעת נחפש התמרת לפלס הפוכה tyy 1ל - 221 221
sss
ssY :
: נחפש פירוק הביסייד מהצורה 221221 22221
ss
DCs
s
BAs
sss
ssY
: מכנה משותף והשוואת מונים יניבו את התוצאות הבאות5
4,5
1,5
2,5
1 DCBA
: ולכן
11
1
5
3
11
1
5
1
1
1
5
2
15
1
1112222221
ss
s
ss
s
ss
ssY
נמצא את התמרת לפלס ההפוכה tyy 1 :
11 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 2 1 1 1 3 1
5 5 5 51 1 1 1 1 1
1 2 1 1 1 3 1
5 5 5 51 1 1 1 1 1
1 2 1 3cos sin cos sin
5 5 5 5
t t
s sy t L t
s s s s
s sL t L t L t L t
s s s s
t t e t e t
פתרון לבעיית ההתחלה :
39
ttett
tetetetetttytyty
t
tttt
sincos25
2sin2cos
5
1
sincossin5
3cos
5
1sin
5
2cos
5
121
:8.8דוגמא
נמצא פתרון לבעיית ההתחלה
00;00
2 2
yy
tutyyy
: פתרון
נפעיל התמרת לפלס על שני אגפי המשוואה tutyyy 22 ונקבל :
stutLsyyyL 22 : מתכונת הלינאריות נובע כי
stuLstLsyLsyLsyL 22
:נסמן sYstyL
: כעת נשתמש בתוצאות הבאות
0
0 0
2 2
2
2
0
0 0
1
s
L y s s L y s y s Y s
L y s s L y s s y y s Y s
L t s
eL u t s
s
: נציב במשוואה ונקבל s
esYsYssYs
s
2
2 12
נחלץ את sY :
22
2
2 2
2
1 22 2
2 1 1
1
2 1 2 1
1
1 1
s
s
s
eY s s s
s
eY s
s s s s s
eY s Y s Y s
s s s
עבור 21
1
1
ssY התמרת לפלס הפוכה tyy 1היא :
ttets
Lty
2
1
11
1
כעת נחפש התמרת לפלס הפוכה tyy 2ל - 2
2
21
ss
esY
s
:
40
: נחפש פירוק הביסייד מהצורה 222
111
1
s
C
s
B
s
A
sssY
1,1,1: מכנה משותף והשוואת מונים יניבו את התוצאות הבאות CBA
: ולכן
2
2
2
2
21
1
1
11
1 ssse
ss
esY s
s
: מתקיים
tt teet
sLt
sLt
sLt
sssL
1
1
1
1
11
1
1
1
112
111
2
1
נמצא את התמרת לפלס ההפוכה tyy 2 :
נשתמש בנוסחה ctsgLtutsgeL c
sc 6.4 הנובעת מנוסחה 11
עם 2
1
1
1
11
ssssgו -2cוניעזר בתוצאה קודמת שחישבנו :
1 22 2
12 2
2 2
2
1 1 1
1 1
1 1 12
1 1
1 2
s
t t
y t L e ts s s
u t L ts s s
u t e t e
פתרון לבעיית ההתחלה :
22
221 21 ttt etetutetytyty
41
. פתרון מערכת משוואות לינאריות מסדר ראשון עם מקדמים קבועים8.4
צורה כללית של מערכת משוואות מסדר ראשון במקדמים קבועים
משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון במקדמים קבועים nנתונה מערכת של
tgtxatxatxadt
dx
tgtxatxatxadt
dx
tgtxatxatxadt
dx
nnnnnn
n
nn
nn
2211
222221212
112121111
nji הם מספרים קבועים לכל ijaכאשר המקדמים ,1 ,
הפונקציות tgtgtg n,,, 21 פונקציות רציפות בקטע משותף E .
משפט הקיום והיחידות מבטיח פתרון יחיד txtxtx n,,, 21 של המערכת המוגדר ושייך למחלקה
C בקטע E ומקיים את תנאי ההתחלה 00 ctxi , ni 1
ncccלכל סט של קבועים ,,, 21 ונקודה Et 0 .
:הצגה מטריציונית של המערכת tGXAX
כאשר
tx
tx
tx
tXX
n
2
1
. וקטור הפונקציות הנעלמות
tx
tx
tx
tXX
n
2
1
. וקטור הנגזרות של הפונקציות הנעלמות
njiijaA
1, מטריצת קבועים של מקדמי המערכת .
tg
tg
tg
tG
n
2
1
וקטור הפונקציות החופשיות tg i ni 1
42
בקטע פתרון של מערכת משוואות ba,הנו וקטור של פונקציות
tx
tx
tx
tXX
n
2
1
ואשר אם נציבן במערכת נקבל זהות לכל , הגזירות ברציפות בקטע bat , .
: תנאי התחלה/בעיית התחלה
ל עם סט של תנאי התחלה על ערכי הפונקציות הנעלמות בנקודה נתונה "מערכת משוואות לינאריות כנ
bat ,0 :
0
02
01
0
tx
tx
tx
tXC
n
בקטע פתרון של בעיית התחלה ba,הנו וקטור של פונקציות
tx
tx
tx
tXX
n
2
1
. המהווה פתרון למערכת המשוואות ובנוסף מקיים את תנאי ההתחלה
אנו נדגים פתרון באמצעות התמרת לפלס והעקרון הוא . ל"ישנן שיטות שונות לפתרון מערכת כנ. להפעיל התמרת לפלס על כל אחת ממשוואות המערכת תוך שימוש בתנאי התחלה
שנעלמיה הן התמרות לפלס של משוואות אלגבריותכתוצאה מכך מקבלים מערכת לינארית של . הפונקציות הנעלמות
פתרון המערכת האלגברית יתן לנו את וקטור ההתמרות של הפונקציות הנעלמות וביצוע התמרה . הפוכה ינפיק את פונקצית הפתרון לכל נעלם
:8.9דוגמא
מצא פתרון למערכת המשוואות עם תנאי ההתחלה
00;00
1
yx
etxty
tytx
t
: פתרון
: נפעיל התמרת לפלס על שני אגפי משוואות המערכת הנתונה ונקבל
seLstxtyL
sLstytxLt
1
: מתכונת הלינאריות נובע כי
seLstxLstyL
sLstyLstxLt
1
: כעת נשתמש בתוצאות הבאות
43
1
1;
11
0
00
0
sseL
ssL
sxLsxsxLssxL
syLsysyLssyL
t
נסמן sXsxL ו - sYsyL ,
: נציב במערכת המשוואות ונקבל
21
1
11
ssXsYs
ssYsXs
אם נכפול משוואה ראשונה ב -s , נחבר בין המשוואות ונחלץ את sX , נקבל :
111
11
1
22
ss
s
s
ssX
נחפש פירוק הביסייד 1111 22
s
CBs
s
A
ss
s
כאשר במקרה זה מתקיים 2
1 BCA
: ולכן
tte
ts
Lts
sLt
sLt
s
s
sLtx
t sin2
1cos
2
1
2
1
1
1
2
1
12
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
12
1
2
11
2
1
אם נכפול משוואה שנייה ב, באופן דומה -s , נחבר בין המשוואות ונחלץ את sY,
: נקבל
11
1
1
1
1
2
2
2
sss
ss
s
s
s
ssY
נחפש פירוק הביסייד 1111
122
2
s
DCs
s
B
s
A
sss
ss
- ו1Aכאשר במקרה זה מתקיים 2
1 DCB
: ולכן
tte
ts
Lts
sLt
sLt
sL
ts
s
ssLty
t sin2
1cos
2
1
2
11
1
1
2
1
12
1
1
1
2
11
1
1
2
1
1
1
2
11
2
1
2
111
2
1
: פתרון המערכת הנו, לסיכום
44
ttety
ttetx
t
t
sin2
1cos
2
1
2
11
sin2
1cos
2
1
2
1
: הערהנעיר כי ברגע שחשבנו את tx יכולנו לחשב את הנגזרת tx ולהציב במשוואה הראשונה של
המערכת 1 tytx ולחלץ את ty וזאת מבלי לחשב את sYואת ההתמרה ההפוכה שלו .
1cos2
1sin
2
1
2
11sin
2
1cos
2
1
2
11
ttettetxty t
tx
t
45
תקצירי תרגילים נוספים
תכונת הלינאריות. הגדרה: התמרת לפלס
:הגדרה של התמרת לפלס
: חשב את התמרת לפלס של הפונקציה .1
3;1
3;1
t
ttf
: פתרון
0;121
11333
*3
3
00
ss
e
s
e
s
edtedtedttfestfL
sssststst
: חישובי עזר(*)
0;111
13
03
3
00
3
0
ss
eee
se
sdte
ssst
S
st
0;1
lim1
limlim13
0
3
30
33
ss
eee
se
sdtedte
s
s
sbs
b
b
st
b
S
b
st
b
st
חשב את התמרת לפלס של הפונקציה .2 tettf 1.
: פתרון
1;
11
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11
1
1lim
1
11
1
1lim
1lim11
222
1
2
1;0
1
2
1;0
1
1
0
1
2
1
1
0
1
0
1
00
ss
s
s
s
ss
sse
seb
s
es
ets
dttedttedtetedttfestfL
s
s
bs
s
bs
b
s
b
tsts
b
s
b
ts
b
tststst
: חישובי עזר
1;1
11
1
1
1
11
1
1
1;1
11
11
1
2
1
1
11
1
1
1
1
sCes
tes
dtes
tes
ses
vu
evtudtte
tsts
s
tsts
s
ts
ts
ts
46
נמצא את התמרת לפלס של הפונקציה .3
2;2
20;
t
tttf .
: לפי הגדרת התמרת לפלס :פתרון
2
2
0
2
02
2
0
2
2
00
2
2
0
2
2
00
1
lim211
2
lim21
2lim
2
s
e
eessss
e
s
e
st
s
e
dtedtet
dtedtetdtetfstfLsF
s
s
sbs
b
s
s
bts
b
ts
s
b
ts
b
ts
tststs
נמצא את התמרת לפלס של הפונקציה .4
4;0
41;
10;1
t
te
t
tf t .
: לפי הגדרת התמרת לפלס :פתרון
1
1
1
1
141
1
4
1
11
01
4
1
1
1
0
4
1
1
00
s
ee
s
e
s
e
s
edtedte
dteedtedtetfstfLsF
sss
s
tsts
s
tsts
tsttsts
47
: תכונת הלינאריות
חשב את התמרת לפלס של .5 tttf 6sinh56cos3 .
: נשתמש בתכונת הלינאריות ונקבל :פתרון
6;6
30
6
3
6
65
63
6sinh56cos36sinh56cos3
22222222
sss
s
ss
s
stLstLsttLstfL
חשב את התמרת לפלס של .6 attf 2cos עבור Ra.
נשתמש בזהות :פתרון
2
2cos1cos2
ובתכונת הלינאריות ונקבל :
0;
4
2
2
1
2
1
2cos12
1
2
2cos1cos
22
22
22
0
2
s
ass
as
as
s
s
satLsLsat
LsatLstfL
s
חשב את התמרת לפלס של .7 tettf 72 3sin .
נשתמש בזהות :פתרון
2
2cos1sin 2
7;7
1
62
11
2
1
6cos2
11
2
1
2
6cos13sin
22
7
772
sss
s
s
seLstLsL
set
LsetLstfL
t
tt
חשב את התמרת לפלס של .8 112
atea
tf at עבור Ra0.
: נשתמש בתכונת הלינאריות ונקבל :פתרון
as
asssasaasa
sLa
stLa
seLa
satea
LstfL
as
atat
;
1111111
1111
11
2222
222
48
חשב את התמרת לפלס של .9 ntmttf cossin .
נשתמש בזהות :פתרון tnmtnmntmt sinsin2
1cossin ובתכונת הלינאריות ונקבל
:
2 22 2
0
2 2 2
22 2 2 2 2
0
1sin sin
2
1 1sin sin
2 2
1 1
2 2
, 0.
4
s
s
L f t s L m n t m n t s
L m n t s L m n t s
m n m n
s m n s m n
m s m ns
s m n m n
49
אינטגרל ומשפט ההזזה,נגזרת: תכונות
חשב את התמרת לפלס של .01 tttg sin2.
2.2 בתרגיל זה נשתמש בנוסחא :פתרון stfLstftL - ו2 ttf sin
0;1
26
1
2
1
1sin1sin
32
2
222
22
s
s
s
s
s
sstLsttL
חשב את התמרת לפלס .11 tetg t 2sin3.
: 2.10 בתרגיל זה נשתמש נשתמש בתכונת ההזזה :פתרון astfLstfeL at עם
3a - ו ttf 2sinונקבל :
3;43
232sin2sin
2
3
ss
stLsteL t
חשב את התמרת לפלס .21 tetg t 2sin 23.
בתרגיל זה נשתמש נשתמש בזהות :פתרון
2
2cos1sin 2
, בתכונת הלינאריות של
: ונקבל2.10התמרות לפלס ובנוסחת ההזזה
3;
163
3
3
1
2
1
4cos2
1
2
4cos12sin
2
33323
ss
s
s
steLseLst
eLsteL tttt
חשב את התמרת לפלס .31 ttetg t 2cos.
: פתרון
: 1דרך
: 2.10נשתמש בתכונת ההזזה astfLstfeL at 1 עםa
- ו tttf 2cosונקבל :
2
22
*
1 4cos 2 cos 2 1 ; 1.
1 4
t sL e t t s L t t s s
s
2.1בחישובים אלו נשתמש בנוסחא : חישוב עזר(*) stfLstftL
- ו ttf 2cos
0;4
4
42cos12cos
22
2
2
1
s
s
s
s
sstLsttL
50
: 2דרך
2.1ראשית נשתמש בנוסחא stfLstftLו - tetf t 2cos
22
2
2
1
41
41
41
12cos12cos
s
s
s
ssteLsteL tt
:2.10בחישובים אלו נשתמש בתכונת ההזזה : חישוב עזר(*) astfLstfeL at
- ו1aעם ttf 2cos
1;
41
112cos2cos
2
s
s
sstLsteL t
נחשב התמרת לפלס של .41 t
ttg
sin .
: פתרון
: נסמן ttf sin ( אזי : t
tftg ) כאשר ידוע 0;sin
22
s
as
asatL
: נשתמש בתכונה
s
dpptfLst
tfL
ssb
pdpp
dpptfLst
tfLstgL
b
b
sbss
arctan2
arctanarctanlim
arctanlim1
1
2
2
חשב את התמרת לפלס .51
st
tL
2cos1.
: פתרון
: 1דרך
: נסמן
t
ttf
2cos1אזי מתקיים : ttft 2cos1
:2.1לפי התכונה , ולכן stfLstftL1
נקבל 1
כלומר stfLstLstftL 2cos1
ידוע לנו כבר כי 0;4
12cos1
2
s
s
s
sstL
: ולכן נקבל את השוויון 0;1
42
s
ss
sstfL
51
: י אינטגרל לא מסוים על שני אגפים נקבל"ע
Cs
sCssds
ss
sstfL
4lnln4ln
2
11
4
22
2
: 1.5 נשתמש בתכונה Cעל מנת למצוא את הקבוע
004
lnlim0lim
01ln
1
2
CC
s
sstfL
ss
: לסיכום
s
ss
t
tLstfL
4ln
2cos1 2
.
:2דרך
: 2.9לפי נוסחה
s
dpptfLst
tfL עם ttf 2cos1נקבל :
s
s
s
s
s
s
b
b
p
p
dpp
p
pdp
p
p
p
dpptLpLdpptLst
tL
b
b
s
b
b
sb
s
ss
4ln
4ln
4ln
4lnlim
4lnlim
4
2
2
11lim
4
1
2cos12cos12cos1
2
2
2
01ln
22
22
חשב את התמרת לפלס .61 btbttg sinhsin עבור Rb.
: פתרון
נשתמש בזהות 2
sinhbtbt ee
bt
י שימוש בתכונת הלינאריות " ונקבל ע
sbteLsbteLsee
btLstgL btbtbtbt
sin2
1sin
2
1
2sin
: 2.10נשתמש בתכונת ההזזה astfLstfeL at עם bttf sin, פעם אחת עם
ba ופעם נוספת עם ba ונקבל :
52
bsbs
sb
bbsbbs
bbsbbsb
bbs
b
bbs
bbsbtLbsbtLstgL
;4
2
2
2
1sin
2
1sin
2
1
44
2
2222
2222
2222
חשב את התמרת לפלס .71 tettg t 2cos32 .
: פתרון
: 1דרך
: 2.10נשתמש בתכונת ההזזה astfLstfeL at 3 עםa
- ו tttf 2cos2ונקבל :
3;136
12632
43
1233232cos2cos
32
2
32
2
*
223
sss
sss
s
sssttLstteL t
2.2בחישובים אלו נשתמש בנוסחא : חישוב עזר(*) stfLstftL 2
- ו ttf 2cos
0;4
122
4
4
42cos2cos
32
2
22
2
2
2
s
s
ss
s
s
s
sstLsttL
: 2דרך
2.2ראשית נשתמש בנוסחא stfLstftL עם 2 tetf t 2cos3
2 3 3
2
*
22
2 32 2
3cos 2 cos 2
3 4
2 3 3 124 3; 3
3 4 3 4
t t sL t e t s L e t s
s
s sss
s s
:2.10בחישובים אלו נשתמש בתכונת ההזזה : חישוב עזר(*) astfLstfeL at
- ו3aעם ttf 2cos
3;
43
332cos2cos
2
3
s
s
sstLsteL t
53
התמרת לפלס הפוכה , התמרה של פונקצית הביסייד
פונקצית הביסייד
: חשב את התמרת לפלס של הפונקציה .81
20
2;
2sin
t
tttf
ניתן להציג את :פתרון tf באופן הבא : tuttf22
sin ולכן :
1
1sin
2
22
sestLestfL
ss
: חשב את התמרת לפלס של הפונקציה .91
2;cos
20;0
tt
ttf
ניתן להציג את :פתרון tf באופן הבא : 2coscos 22 ttuttutfולכן :
1
cos2cos2
22
2
s
sestLetuLstfL ss
:נחשב התמרת לפלס של הפונקציה .02
3,2;0
32;sin
tt
tt
tf :
ניתן להציג את :פתרון tf באופן הבא :
)(sin)(sin)()(sin)( 3232 tuttuttututtf
: על סמך זהויות טריגונומטריות נוכל לרשום
)3cos(3sin)3sin(3cos)3)3((sin
)2cos(2sin)2sin(2cos)2)2sin((sin
tttt
tttt
: לכן
).())3cos(3sin)3sin(3(cos)())2cos(2sin)2sin(2(cos)( 3
sin
2
sin
tutttutttf
tt
: מתכונת הלינאריות נקבל
54
sttuLsttuL
sttuLsttuLstfL
3cos3sin3sin3cos
2cos2sin2sin2cos)(
33
22
: נקבל3.7מנוסחה
tLetLe
tLestLestfL
ss
ss
cos3sinsin3cos
cos2sinsin2cos)(
33
22
: כלומר
1
3sin1
13cos
12sin
1
12cos)(
2
3
2
3
2
2
2
2
s
se
se
s
se
sestfL ssss
ss
ess
estfL ss
3sin3cos1
12sin2cos
1
1)(
2
3
2
2
: חשב את התמרת לפלס של הפונקציה .12
0;אחרת
43;4
21;
tt
tt
tf
ניתן להציג את tf באופן הבא :
tututtututtf 4321 4
0sולכן לכל
2
4
2
3
2
2
2
*
4321
11211
44
se
s
se
s
se
s
se
tutLtutLtutLtutLstfL
ssss
: חישובי עזר(*)
22
11
111
1111
s
se
sse
sLstLestLesttuLstutL
ss
ss
2
2
2
2
22
22
1221
12222
s
se
sse
sLstLestLesttuLstutL
ss
ss
2
44
4
14
sestLestutL ss
2
3
2
3
33
33
111
11134
s
se
sse
sLstLestLestutLstutL
ss
ss
55
מצא התמרת לפלס של הפונקציה .22
4,0
42,2
20,2
t
tt
tt
tg .
את הפונקציה : פתרון tgניתן להציג בצורה הבאה :
22
2
42
2
2
2
0
42
2
20
ttuttuttuttu
ttututtututg
0sולכן לכל
sse
ssse
s
sse
se
ssse
s
tutLtutLtutLtutLstgL
ss
sss
214322
2114422
22
2
4
23
2
3
2
4
2
2
23
2
3
*
422
2
0
2
: חישובי עזר
3
20
0
2 2
sstLestutL s
sssesLstLstLe
sttLestttuLstutL
ss
s
442144
444242
23
222
222
22
2
2
22
2
12
sestLestutL ss
ssesLstLe
stLestutLstutL
ss
s
212
2242
2
44
4
44
56
:נחשב התמרת לפלס של הפונקציה .32
6,0
62,4
21,
10,
)(
2
t
t
tt
tt
tf :
ניתן להציג את :פתרון tf באופן הבא :
tututtutttut
tututututtututtf
62
2
1
2
0
6221
2
10
44
4
0sולכן לכל
sss es
ess
esss
stuLstutLstuttLtutL
stututtutttutLstfL
62
23232
*
62
2
1
2
0
62
2
1
2
0
442121
44
44
: חישובי עזר
לפי הנוסחא stfLesctftuL cs
c 0 עםcו - ttf
: נקבל 2
0
0
1
sstLetutL
לפי הנוסחא stfLesctftuL cs
c 1 עםcו - tttf 2
כאן : הסבר ) tttf ונוכל לרשום 21
1111111222 tttttttf ולכן tttf 2 )
: 0sולכן נקבל לכל
23
22
1
2 12
ssestLstLesttLestuttL sss
לפי הנוסחא stfLesctftuL cs
c 2 עםcו -
tttttf 44 2
כאן : הסבר ) 242 ttf ונוכל לרשום
42222
24222422442222
tttt
tttttttf ולכן
tttf 42 )
: 0sולכן נקבל לכל
23
22
1
2 12
ssestLstLesttLestuttL sss
32
2
2222
2
2
214
444
sse
stLstLesttLestutL
s
ss
נקבל 3.5לפי נוסחא s
estuL
s6
6
0 לכלs .
57
נתונה הפונקציה
1;
32;
21;
10;
)(2
1
0
MtM
t
t
t
tf
M
; הם מספרים ממשיים n כאשר ,
1 ntn ,Mn ,...,2,1,0 , Mחשב . הוא מספר טבעי נתון ( )L f t s .
:פתרון
:נרשום את הפונקציה בצורה הבאה
))).()(())()(())()(())()(()( 1322211100 tututututututututf MMM
,כלומר
M
n
nnn tututf0
1 ))()(()(
: נחשב התמרת לפלס ונשתמש בתכונת הלינאריות
.1
)))((())(((()(
0
)1(
0
1
0
nsM
n
n
ssnnsM
n
n
nn
M
n
n
es
e
s
e
s
e
stuLstuLstfL
58
התמרת לפלס הפוכה
חשב את התמרת לפלס ההפוכה של .42 12
12
ss
sF.
: נקבל (פירוק לשברים יסודיים )י פירוק הביסייד "ע :פתרון
4
1
3
1
7
1
34
1
12
12 ssssss
sF
מתכונת הלינאריות ומשימוש בנוסחא , ולכן atetas
L
: נקבל11
tt eets
Lts
Ltss
LtsFL 43111
7
1
4
1
3
1
7
1
4
1
3
1
7
1
חשב את התמרת לפלס ההפוכה של .52 32
122
ss
ssF
322 הגורם הריבועי :פתרון ss להציג את , י השלמה לרבוע "ע, איננו פריק אולם ניתן sF
: באופן הבא
21
2
2
1
21
12
21
211
221
21
221
12
212
12
22
2222
ss
s
s
s
s
s
s
s
ss
ssF
מתכונת הלינאריות ומשימוש בנוסחאות
btetbas
asL at cos
22
1
- ו
btetbas
bL at sin
22
1
1 עםa2- וbנקבל :
tetet
sLt
s
sLssFL tt 2sin
2
12cos2
21
2
2
1
21
12
2
1
2
11
59
נחשב התמרת לפלס הפוכה של .62 41
12
sss
sF .
: ראשית נמצא פירוק הביסייד:פתרון 4141
122
s
DCs
s
B
s
A
ssssF
: מכנה משותף והשוואת מונים 11441 22 ssDCsssBssA
14 נקבל 0sמהצבת A כלומר 4
1A
15 נקבל 1sמהצבת B כלומר 5
1B
שמצאנו נקבל ,BA וערכי 1sמהצבת 4
1 DC
שמצאנו נקבל ,BA וערכי 2sמהצבת 10
12 DC
ממערכת המשוואות
1012
41
DC
DC מקבלים
201Cו -
51D
לכן פירוק הביסייד של sFהנו : 4
5
1
20
1
1
51
41
2
s
s
sssF
: מתכונת הלינאריות של התמרה הפוכה ומלוח ההתמרות נקבל
tte
ts
Lts
sLt
sLt
sL
ts
s
ssLtsFL
t 2sin5
22cos
20
1
5
1
4
1
4
2
5
2
420
1
1
1
5
11
4
1
4
5
1
20
1
1
51
41
2
1
2
111
2
11
חשב את התמרת לפלס ההפוכה של . 27 22
2
ss
esF
s
.
:י פירוק הביסייד נקבל" ע:פתרון
2
1
1
1
3212
22
2
2
ss
e
ss
e
ss
esF
sss
, ולכן
60
tt
ss
eetu
ts
Lts
Ltu
ts
eLt
s
eLtsFL
242
2
11
2
21
211
3
1
22
12
1
1
3
1
213
1
כאן השתמשנו בעובדות ) tets
L
1
- ו11 tets
L 21
2
1
)
חשב את התמרת לפלס ההפוכה של . 28
4
12
s
sesF
s
.
נשתמש בנוסחא :פתרון ctsgLtutsgeL c
sc - ו1c עם 11 4
12
s
ssg
כאשר )
ttts
Lts
sLt
s
sLtsgL 2sin
2
12cos
4
2
2
1
44
12
1
2
1
2
11
ולכן 22sin2
122cos1 ttctsgL )
: ונקבל
22sin
2
122cos
4
112
11 tttus
seLtsFL s
חשב התמרת לפלס הפוכה של . 29 12
ss
esF
s
: מהצורה (פירוק לשברים יסודיים ) נמצא פירוק הביסייד :פתרון 11
122
s
CBs
s
A
ss
: מכנה משותף והשוואת מונים 112 CBsssA
: השוואת מקדמים
0
0
11
2
BA
C
A
s
s
1B- ו1A , 0C: מפתרון המערכת נקבל
: נקבל את הפירוק הבא, ולכן 1
1
1
122
s
s
sss
: ומשימוש בהתמרות ידועות נקבלתמתכונת הליניאריו
tt
s
sLt
sLt
ssL cos1
1
1
1
12
11
2
1
61
נשתמש בנוסחא ctsgLtutsgeL c
sc - ו1c עם 11 1
12
ss
sg
1cos11
1
1
112
1
12
1
ttutss
Ltutss
eL
s
, כלומר
1cos11
12
1
ttut
ss
eL
s
חשב התמרת לפלס הפוכה של . 30
1
12
ss
essF
s
.
- וc עם 6.4 נשתמש בנוסחא :פתרון 1
12
ss
sstfL
t
s
s
Ltu
tss
sLtute
ss
sLtsFLtf s
4
3
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
11
tetutetu
t
s
Ltut
s
s
Ltu
t
ss
s
Ltu
tt
2
3sin
3
1
2
3cos
2
3
2
1
2
3
3
1
2
3
2
1
2
1
2
3
2
1
2
3
3
1
2
3
2
1
2
1
22
22
1
22
1
2222
1
חשב התמרת לפלס הפוכה של . 31 45
32
2
ss
esF
s
.
- ו2c עם 6.4 נשתמש בנוסחא :פתרון 45
32
ss
stfLונקבל :
245
32
1
2
1
t
ssLtutsFL
62
נחפש פירוק הביסייד 4141
3
45
32
s
B
s
A
ssss
מכנה משותף והשוואת מונים יניבו את המשוואה 314 sBsA
1A נובע כי 1s ומהצבה 1B נובע כי 4sמהצבה
: ולכן הפירוק המתאים הנו4
1
1
1
45
32
ssss
: וההתמרה ההפוכה היא
tt eets
Lts
Ltss
L
411
2
1
4
1
1
1
45
3
: מכאן 224
2
1 tt eetutsFL
63
קונובולוציה
: חשב את התמרת לפלס ההפוכה של הפונקציה .72 1
122
ss
sF.
: פתרון
ttttts
Lts
Ltss
Ltss
LtsFL sinsin*1
1*
1
1
11
1
12
1
2
1
22
1
22
11
: חישובי עזר
tttttxxtx
xdxxtxxvu
xvxtuxdxxttt
t
tt
t
sin1sincos0sincos
coscoscos1
sinsinsin*
0
0
0
0
: חשב את התמרת לפלס ההפוכה של הפונקציה .82 22
2
1
s
ssF
: פתרון
ttttt
ts
sLt
s
sLt
s
s
s
sLt
s
sLtsFL
sincos2
1cos*cos
1*
11112
1
2
1
22
1
22
211
: חישובי עזר
ttt
tttt
xttxdxxtt
xdxxttt
tt
t
sincos2
1
2
sin
2
sincos
2
1
2
2sincos
2
12coscos
2
1
coscoscoscos2coscoscos*cos
00
0
64
: חשב את התמרת לפלס ההפוכה של הפונקציה .92 22 9
s
ssF
: פתרון
tttt
ts
Lts
sLt
ss
sLt
s
sLtsFL
3sin2
13sin
3
1*3cos
9
1*
99
1
992
1
2
1
22
1
22
11
: חישובי עזר
tttttt
xttxdxxtt
dxxxttt
tt
t
3sin6
13cos
6
13cos
6
13sin
6
1
6
63cos3sin
6
163sin3sin
2
1
3
1
sinsinsincos23sin3cos3
13sin
3
1*3cos
00
0
-הוכח באמצעות משפט קונבולוציה ש. 30
t
ttdxxtx0
sin2
1)cos(sin
: פתרון
2222
0)1(1
1
1
1)(cos)(sin)(cossin)()cos(sin
s
s
ssstLstLsttLsdxxtxL
t
222 )1(1
1
2
1)(sin
2
1)(sin
2
1
s
s
sstLsttL
sin)( קבלנו2
1)()cos(sin
0
sttLsdxxtxL
t
.דרושהשוויון את הנקבל , אם נבצע עכשיו התמרת לפלס ההפוכה
ttyy: פתור את המשוואה הבאה . 31 cossin1 .
נפעיל התמרת לפלס על שני אגפי המשוואה :פתרון sttLsyyL cossin1 .
: ממשפט קונבולוציה מקבלים stLstLsLsyLsyL cossin1
נסמן syLsY ,נשתמש בהתמרות ידועות ונקבל את המשוואה :
2222
2
1
1
11
11
ss
s
sssY
מכאן נובע 1
1sin
1
122
1
ssYtt
sLty
65
2222
0)1(1
1
1
1)(cos)(sin)(cossin)()cos(sin
s
s
ssstLstLsttLsdxxtxL
t
222 )1(1
1
2
1)(sin
2
1)(sin
2
1
s
s
sstLsttL
sin)( קבלנו2
1)()cos(sin
0
sttLsdxxtxL
t
.דרושהשוויון את הנקבל , אם נבצע עכשיו התמרת לפלס ההפוכה
ttyy: פתור את המשוואה הבאה .03 cossin1 .
נפעיל התמרת לפלס על שני אגפי המשוואה :פתרון sttLsyyL cossin1 .
: ממשפט קונבולוציה מקבלים stLstLsLsyLsyL cossin1
נסמן syLsY ,נשתמש בהתמרות ידועות ונקבל את המשוואה :
2222
2
1
1
11
11
ss
s
sssY
מכאן נובע 1
1sin
1
122
1
ssYtt
sLty .
66
שימושים
dxאת האינטגרל המוכלל , בעזרת התמרת לפלס מתאימה, חשב את . 1x
xe x
0
sin.
: פתרון
: נגדיר התמרת לפלס
0
sindt
t
tesF st .
זוהי התמרת לפלס של הפונקציה t
ttf
sin 0 וראינו בפרקי ההרצאה כי לכלs
sst
tL arctan
2
sin
ולכן 1sהאינטגרל הנתון הנו מקרה פרטי של ההתמרה שהגדרנו עם
442
1arctan2
1sin
0
Fdxx
xe x
dttetאת האינטגרל המוכלל , בעזרת התמרת לפלס מתאימה, חשב את . 2 t
0
52 sin.
: פתרון
: נגדיר התמרת לפלס
0
2 sin dtttesF st .
זוהי התמרת לפלס של הפונקציה tttf sin2 . נחשב אותה :
0sלכל
32
2
2
22
1
26
1
1sin1sin
s
s
sstLsttLsF
ולכן 5sהאינטגרל הנתון הנו מקרה פרטי של ההתמרה שהגדרנו עם
30
52
26
1485sin
Fdttet t
dtנחשב את האינטגרל . 3t
DeCeBeAeI
tttt
0
,,,0- אם ידוע ש 0- ו DCBA .
:פתרון
: נסמן tttt DeCeBeAetf ונסמן את ההתמרה
67
dtet
tfs
t
tfLsF st
0
אזי לפי הגדרת התמרת לפלס מתקיים . 0FI .
ראשית נחשב את ההתמרה
st
tfLsF
:
: ותכונת הלינאריות של התמרת לפלס נקבל כי ( 2פרק ) 2.9לפי נוסחא
b
sb
b
s
tttt
b
b
s
tttt
b
b
sb
s
dpp
D
p
C
p
B
p
A
dppeLDpeLCpeLBeLA
dppDeCeBeAeL
dpptfLdpptfLst
tfL
lim
lim
lim
lim
CBADנתון כי : ולכן נקבל
s
sC
s
sB
s
sA
s
s
b
bC
s
s
b
bB
s
s
b
bA
p
pC
p
pB
p
pA
dpp
C
p
C
p
B
p
B
p
A
p
A
dpp
CBA
p
C
p
B
p
As
t
tfL
bbb
b
sb
b
sb
b
sb
b
sb
b
sb
lnlnln
lnlnlimlnlnlimlnlnlim
lnlimlnlimlnlim
lim
lim
01ln01ln01ln
כזכור 0FI 0 ולכן נציב בהתמרה שקבלנוsונקבל :
lnlnlnlnlnln00 CBACBA
t
tfLFI
68
פתור את המשוואה האינטגרלית . 4 tdxxtxftf
t
cossin0
.
: פתרון
:מהגדרת הקונבולוציה נובע כי ttfdxxtxf
t
sin*sin0
ולכן נוכל לרשום ייצוג שקול של
: המשוואה tttftf cossin* .
: נפעיל התמרת לפלס של שני אגפי המשוואה stLsttftfL cossin*
: מתכונת הלינאריות נקבל stLsttfLstfL cossin*
: כעת נשתמש בתוצאות הבאות
1cos
1
1sinsin*
2
2
s
sstL
sstfLstLstfLsttfL
נסמן sFsfL ,נציב במשוואה ונקבל : 11
122
s
s
ssFsF
נחלץ את sF :
s
sFs
s
s
ssF
s
s
ssF
s
s
ssFsF
1
11
11
11
11
1
22
2
2222
נמצא התמרת לפלס הפוכה tf : 111
t
sLtf
: תשובה סופית 1tf
פתור את המשוואה האינטגרלית . 5
t
duufutttf0
2cos52sin2
3.
: פתרון
: מהגדרת הקונבולוציה נובע כי ttfduufut
t
2cos*2cos0
ולכן נוכל לרשום את
: המשוואה באופן הבא ttfttf 2cos52sin2
3
: נשתמש בתכונת הלינאריות ונקבל, נפעיל התמרת לפלס על שני אגפים
sttfLstLstfL 2cos*52sin2
3
69
: כעת נשתמש בתוצאות הבאות
4
22sin
42cos2cos*
2
2
sstL
s
sstfLstLstfLsttfL
נסמן sFsfL ,נציב במשוואה ונקבל : 4
54
2
2
322
s
ssF
ssF
נחלץ את sF :
45
3
4
3
4
45
4
3
4
51
4
5
4
2
2
3
222
2
2222
sssF
ss
sssF
ss
ssFsF
s
s
ssF
נמצא התמרת לפלס הפוכה tf :
tss
Ltf
45
32
1
נחפש פירוק הביסייד 4141
3
45
32
s
B
s
A
ssss
מכנה משותף והשוואת מונים יניבו את המשוואה 314 sBsA
1A נובע כי 1s ומהצבה 1B נובע כי 4sמהצבה
: ולכן הפירוק המתאים הנו4
1
1
1
45
32
ssss
: וההתמרה ההפוכה היא
tt eets
Lts
Ltss
L
411
2
1
4
1
1
1
45
3
: תשובה סופית tt eetf 4
דיפרנציאלית -מצא פתרון למשוואה האינטגרו. 6 t
dxxtfxtf0
המקיים 10,10 ff
: פתרון
:מהגדרת הקונבולוציה נובע כי ttfdxxtfx
t
*0
ולכן נוכל לרשום ייצוג שקול של
: המשוואה ttftf * .
: נפעיל התמרת לפלס של שני אגפי המשוואה sttfLstfL *
70
: כעת נשתמש בתוצאות הבאות
2
2
11
2
1*
100
sstfLstLstfLsttfL
ssfLsffssfLssfL
נסמן sFsfL , נציב במשוואה ונקבל : 2
2 11
ssFssFs
נחלץ את sF :
11111
1
1
11
1
111
1
2
2
2
2
4
2
2
4
2
2
2
2
ss
ssF
sss
sssF
s
sssFs
s
ssF
ss
ssFs
sFssFs
נחשב פירוק הביסייד של sF :
1111 22
2
s
CBs
s
A
ss
ssF
: מכנה משותף והשוואת מונים יניבו את התוצאות הבאות
21,
21,
21 CBA
: כלומר נקבל את הפירוק
1
1
2
1
12
1
1
1
2
122
ss
s
ssF
: מתכונת הלינאריות של ההתמרה ההפוכה נקבל
tte
ts
Lts
sLt
sLtsFLtf
t sincos2
1
1
1
11
1
2
12
1
2
111
: תשובה סופית ttetf t sincos2
1
71
דיפרנציאלית -מצא פתרון למשוואה האינטגרו. 7 tuxdxxtftf
t
1
0
cos
המקיים 00 f .
: פתרון
:מהגדרת הקונבולוציה נובע כי ttfxdxxtf
t
cos*cos0
ולכן נוכל לרשום ייצוג שקול של
: המשוואה tuttftf 1cos* .
: נפעיל התמרת לפלס של שני אגפי המשוואה stuLsttftfL 1cos*
: מתכונת הלינאריות נקבל stuLsttfLstfL 1cos*
: כעת נשתמש בתוצאות הבאות
s
estuL
s
sstfLstLstfLsttfL
sfLsfsfLssfL
s
1
2
0
1coscos*
0
נסמן sFsfL , נציב במשוואה ונקבל : s
e
s
ssFsFs
s
12
נחלץ את sF :
424
2
3
2
2
3
2
1111
1
1
sse
s
se
s
s
s
esF
s
e
s
ssF
s
e
s
sssF
sss
s
s
נמצא התמרת לפלס הפוכה tf :
2
1
3
114
1
12
1
1
4
1
2
1
42
1
16
111
16
111
11
1
11
tttu
ttuttuts
Ltuts
Ltu
ts
eLt
s
eLt
sseLtf
sss
: תשובה סופית
2
1 16
111 tttutf
72
: פתור את המשוואה האינטגרודיפרנציאלית הבאה. 8 12 2
0
tduuutyty
t
תנאי התחלה עם 10 y.
:פתרון
: בעזרת הגדרת הקונבולוציה נוכל לרשום את המשוואה בצורה השקולה הבאה
12 2 tttyty
: נפעיל התמרת לפלס על שני אגפי המשוואה stLsttytyL 12 2
: מתכונת הלינאריות נקבל sLstLsttyLstyL 12 2
: מתכונת הקונבולוציה נובע sLstLstLstyLstyL 12 2
נסמן sYsyL ונשתמש בתוצאות הבאות :
3
2
2
1
2;
1;
11
10
sstL
sstL
ssL
sYsysyLssyL
: נציב במשוואה ונקבל sss
sYssY121
1232
נחלץ את sY :
2
22
2
22
222
21221
2
2
3
2
3
2
23
ss
ss
s
s
s
sssY
s
ss
s
ssY
sssssY
מפירוק הביסייד 22
2222
2
s
C
s
B
s
A
ss
ss מקבלים
21,1,
21 CBA
ולכן 2
1
2
111
2
12
sss
sY .
נמצא התמרת לפלס הפוכה ty :
tet
ts
Lts
Lts
Ltsss
Lty
2
1
2
11
2
1
2
1
2
1
2
1
2
111
2
1
2
1
2
111
2
1
: תשובה סופית tetty 2
2
1
2
1
73
: פתור את המשוואה האינטגרלית הבאה . 9 t
t
eduuutyty 2
0
sin
: פתרון
:מהגדרת הקונבולוציה נובע כי ttyduuuty
t
sin*sin0
ולכן נוכל לרשום ייצוג שקול של
: המשוואה tettyty 2sin* .
: נפעיל התמרת לפלס של שני אגפי המשוואה seLsttytyL t2sin*
: מתכונת הלינאריות נקבל seLsttyLstyL t2sin*
: כעת נשתמש בתוצאות הבאות
2
11
1sinsin*
2
2
sseL
sstyLstLstyLsttyL
t
נסמן sYsyL ,נציב במשוואה ונקבל : 2
1
1
12
ss
sYsY
נחלץ את sY :
22
1
2
1
1
2
2
1
1
11
2
1
1
1
2
2
2
2
22
ss
ssY
ss
ssY
sssY
sssYsY
מפירוק הביסייד 2222
122
2
s
CBs
s
A
ss
s מקבלים
31,
61,
65 CBA
ולכן 2
2
23
1
26
1
2
1
6
522
ss
s
ssY
נמצא התמרת לפלס הפוכה ty :
tte
ts
Lts
sLt
sL
tss
s
sLty
t 2sin23
12cos
6
1
6
5
2
2
23
1
26
1
2
1
6
5
2
2
23
1
26
1
2
1
6
5
2
2
1
2
11
22
1
: תשובה סופית ttety t 2sin23
12cos
6
1
6
5 2
74
פתור את המשוואה האינטגרודיפרנציאלית . 10 0230
tyduuyutty
t
עם תנאי התחלה 00 y , 10 y .
: פתרון
:מהגדרת הקונבולוציה נובע כי tytduuyut
t
*0
ולכן נוכל לרשום ייצוג שקול של המשוואה :
02*3 tytytty .
: נפעיל התמרת לפלס של שני אגפי המשוואה 02*3 styLstyttyL
: מתכונת הלינאריות נקבל 02*3 styLstytLstyL
נסמן sYsyL ונשתמש בתוצאות הבאות :
100
1*
2
10
2
2
sYsyysstyLssyL
sYs
styLstLstytL
: נציב במשוואה ונקבל 021
312
2 sYsYs
sYs
נחלץ את sY :
3113132
132
121
3
2
2
22
2
24
2
2
24
2
2
sss
s
ss
ssY
ss
ssY
s
sssY
sssY
מפירוק הביסייד 311311 22
2
s
DCs
s
B
s
A
sss
s
מקבלים 4
3,0,8
1,8
1 DCBA
ולכן 3
1
4
3
1
1
8
1
1
1
8
12
sss
sY
נמצא התמרת לפלס הפוכה ty :
tee
ts
Lts
Lts
L
tsss
Lty
tt 3sin4
3
8
1
8
1
3
3
4
3
1
1
8
1
1
1
8
1
3
3
34
3
1
1
8
1
1
1
8
1
2
111
2
1
:תשובה סופית teety tt 3sin4
3
8
1
8
1
75
:מצא פתרון לבעיית ההתחלה. 11
10;20
23
yy
eyyy t
: פתרון
teyyyנפעיל התמרת לפלס על שני אגפי המשוואה : ונקבל23
seLsyyyL t 23 : מתכונת הלינאריות נובע כי
seLsyLsyLsyL t 23
נסמן sYsyL ונשתמש בתוצאות הבאות :
1
1
1200
20
2
12
2
2
sseL
ssYsyyssyLssyL
sYsysyLssyL
t
: נציב במשוואה ונקבל 1
1223122
ssYsYsssYs
נחלץ את sY :
2
2 22
2
2
13 2 2 5
1
2 7 6 2 7 63 2 1 2
1 1
2 7 6
1 2
Y s s s ss
s s s sY s s s Y s s s
s s
s sY s
s s
: נחפש פירוק הביסייד מהצורה 21121
67222
2
s
C
s
B
s
A
ss
ss
: מכנה משותף והשוואת מונים יניבו את התוצאות הבאות
0,1,2 CBA : ולכן
22
2
1
1
1
2
21
672
ssss
sssY
: מתכונת הלינאריות של התמרת לפלס הפוכה נקבל
tt teets
Lts
Ltss
Lty
2
1
1
1
22
1
1
1
22
11
2
1
: פתרון לבעיית ההתחלה tt teety 2
76
:מצא פתרון לבעיית ההתחלה. 12
00y
tfyy עבור
2,00
20;1
tt
ttf
:פתרון
ראשית נציין כי tf ניתנת לייצוג שקול tututf 20
נפעיל התמרת לפלס על שני אגפי המשוואה tfyy ונקבל :
stutuLsyyL 20 : מתכונת הלינאריות נובע כי
stuLstuLsyLsyL 20
נסמן sYsyL ונשתמש בתוצאות הבאות :
s
estuL
sstuL
sYsysyLssyL
s2
2
0
0
1
0
: נציב במשוואה ונקבל s
esYsYs
s21
נחלץ את sY :
2
2
2 2
1
11
1 1
1 1 1
s
s
s s
es Y s Y s
s
eY s s
s
e eY s
s s s s s s
: נחפש פירוק הביסייד מהצורה 11
1
s
B
s
A
ss
1,1: מכנה משותף והשוואת מונים יניבו את התוצאות הבאות BA
: ולכן
1
11
1
11 2
sse
sssY s
: כעת נשתמש בתוצאות הבאות
tts
s
t
etuetuts
Ltuts
eL
tututs
Ltuts
eL
ets
L
ts
L
2
2
2
2
1
2
21
22
1
2
21
1
1
21
1
1
121
1
1
11
: מתכונת הלינאריות של התמרת לפלס הפוכה נקבל tt etuety 2
2 11
77
מצא פתרון לבעיית ההתחלה . 13
10;10
44 1
yy
tuyyy
:פתרון
נפעיל התמרת לפלס על שני אגפי המשוואה tuyyy 144 ונקבל :
stuLsyyyL 144 : מתכונת הלינאריות נובע כי
stuLsyLsyLsyL 144
נסמן sYsyL ונשתמש בתוצאות הבאות :
1
1 1
2 2
1
0 1
0 0 1
s
L y s s L y s y s Y s
L y s s L y s s y y s Y s s
eL u t s
s
: נציב במשוואה ונקבל s
esYsYsssYs
s
41412
נחלץ את sY :
2
2
2 2
*
4 4 5
4 4 5
5
2 2
s
s
s
eY s s s s
s
eY s s s s
s
e sY s
s s s
נמצא התמרת לפלס הפוכה tyy :
teettu
ts
sLt
ss
eLt
s
s
ss
eLy
tt
ss
314
112
4
1
2
5
22
5
2
222
1
*
2
1
2
1
22
1
: חישובי עזר(*)
teetets
Lts
L
ts
Lts
Ltss
Lts
sLt
s
sL
ttt 3132
13
2
1
2
13
2
1
2
3
2
1
2
32
2
5
222
2
11
2
11
2
1
2
1
2
1
78
4
112
4
1
4
1112
4
11
2
1
2
22
1
12
1
**
2
1
12
1
t
ts
ettu
ettutss
Ltutss
eL
4
112
4
112
4
1
4
1
2
2
1
22
11
*12
1*
1
2
11
2
1**
2
0
2
0
22
0
2
0
22
2
0
2
2
2
11
2
1
2
1
t
t
x
t
xx
t
x
t
xx
xt
x
t
etexeex
dxeex
evu
evxudxxe
tets
Lts
Ltss
Ltss
L
: פתרון לבעיית ההתחלה teettuy tt 314
112
4
1 222
1
: הבאהבעיית ההתחלה את בעזרת התמרת לפלספתור. 14
10;00
sin52
yy
teyyy t
: נפעיל התמרת לפלס על המשוואה .פתרון
steLsyLsyLsyL t sin52
נסמן sYsyL ונשתמש בתוצאות הבאות :
0
0 1
2 2
2 2
0
0 0 1
1 1sin
2 21 1
t
L y s s L y s y s Y s
L y s s L y s s y y s Y s
L e t ss ss
:נציב במשוואה ונקבל 22
1521
2
2
sssYsYssYs
נחלץ את sY :
2
2
22
2
2 1 23 3
2 22 2
12 5 1
2 2
2 32 5
2 2
2 3
2 2 2 52 2 2 5
Y s s ss s
s sY s s s
s s
s sY s
s s s ss s s s
נבצע פירוק הביסייד 52225222
322222
2
ss
DCs
ss
BAs
ssss
ss
79
, 0CA: ונקבל3
1Bו -3
2D
ולכן נוכל לרשום
52225222
322
32
2
31
22
2
ssssssss
sssY
נמצא התמרת לפלס הפוכה tyy :
ttet
sLt
sL
tss
Ltss
Ltssss
Ly
t 2sinsin3
1
21
2
3
1
11
1
3
1
52
1
3
2
22
1
3
1
5222
22
1
2
1
2
1
2
1
2
32
2
31
1
: פתור את המשוואה הדיפרנציאלית עם תנאי התחלה . 15
000
2cos96 2
yy
ttuyyy
:פתרון
יל התמרת לפלס על שני אגפים של המשוואה ע נפ
sttuLsyLsyLsyL 2cos96 2
נסמן sYsyL ונשתמש בתוצאות הבאות :
1cos2cos
00
0
2
22
2
2
00
2
0
s
sestLesttuL
sYsyyssyLssyL
sYsysyLssyL
ss
:נציב במשוואה ונקבל 1
962
22
s
sesYsYssYs s
נחלץ את sY :
2 2
2
2 2
2 2
2
22
6 9 1
6 91 6 9
1 3
s
s
s
sY s s s e
s
sY s s s e
s s s
se
s s
נמצא התמרת לפלס הפוכה tyy :
80
2323
*
22
1-
222
21-
210
3
25
22sin
50
32cos
25
2
2961961
t
tt
s
etett
tsss
sLtut
sss
seLy
: חישובי עזר(*)
מפירוק הביסייד 2232 33131
s
D
s
C
s
BAs
ss
s
מקבלים 10
3,25
2,50
3,25
2 DCBA
: ולכן נוכל לרשום 22222
3
1
10
3
3
1
25
2
1
1
50
3
125
2
521
ssss
s
sss
s
: ומתקיים
10
3
25
2sin
50
3cos
25
2
3
1
10
3
3
1
25
2
1
1
50
3
125
2
521
33
2
11
2
1
2
1
22
1
tt teett
ts
Lts
Lts
Lts
sL
tsss
sL
ולכן
10
3
25
22sin
50
32cos
25
22
521
2323
22
1
tt teetttsss
sL
: פתור את המשוואה הדיפרנציאלית עם תנאי התחלה . 16
10,00
,1
xx
euxx t
כאשר ,
1,0
1,11
t
ttu .
: נפעיל התמרת לפלס על שני אגפי המשוואה ונקבל .פתרון
seuLsxLsxL t1
: נשתמש בתכונת הקונבולוציה ונקבל seLsuLsxLsxL t1
נסמן sXsxL ונשתמש בתוצאות הבאות :
81
1
1
100
1
2
10
2
sseL
s
estuL
sXsxxssxLssxL
t
s
:נציב במשוואה ונקבל 1
112
ss
esXsXs
s
נחלץ את sX :
2
2 2
11 1
1
1
1 1 1
s
s
eX s s
s s
eX s
s s s s
נמצא התמרת לפלס הפוכה txx :
1sin2
11cos
2
1
2
11cos
111
1cos
111
1
111
1
1
1
*
2
1
1
2
1
2
1
22
1
ttetut
tsss
Ltut
tsss
eLt
sLt
sss
e
sLtx
t
ss
: חישובי עזר (*)
: נשתמש בפירוק הביסייד 1111
122
s
DCs
s
B
s
A
sss: ונקבל
21,
21,
21,1 DCBA
: ולכן
tte
sL
s
sLt
sLt
sL
ts
s
ssLt
sssL
t sin2
1cos
2
1
2
11
1
1
2
1
12
1
1
1
2
11
1
1
2
1
1
21
1
11
1
2
1
2
111
2
1
2
1
:מצא פתרון למערכת המשוואות הבאה. 17
82
30;20
42
32
yx
xy
tyx
: פתרון
: נפעיל התמרת לפלס על שני אגפי משוואות המערכת הנתונה ונקבל
sxLsyL
styLsxL
42
32
: מתכונת הלינאריות נובע כי
sLsxLsyL
stLsyLsxL
142
32
נסמן sYsyL ו - sXsxL ונשתמש בתוצאות הבאות :
2
2
3
1;
11
20
30
sstL
ssL
sXsxsxLssxL
sYsysyLssyL
: נציב במערכת המשוואות ונקבל
2
32 2 , 1
42 3 , 2
s X s Y ss
X s s Y ss
משוואה שנייה ב2- אם נכפול משוואה ראשונה ב -s , נחבר בין המשוואות ונחלץ את
sY , נקבל : 4
68322
23
ss
sssY
נחפש פירוק הביסייד 44
6832222
23
s
DCs
s
B
s
A
ss
ss
כאשר במקרה זה מתקיים 2
13,2
3,3,0 DBCA
: ולכן
ttt
ts
Lts
sLt
sLt
s
s
sLty
2sin4
132cos3
2
3
4
2
4
13
43
1
2
3
4
21331
2
32
1
2
1
2
1
22
1
83
אם נכפול משוואה ראשונה ב, באופן דומה -s , ונחבר בין המשוואות ונחלץ 2- משוואה שנייה ב
את sX , נקבל : 4
5622
2
ss
sssX
נחפש פירוק הביסייד 44
16222
2
s
CBs
s
A
ss
ss
כאשר במקרה זה מתקיים 4
5Aו -4
13B6- וC
: ולכן
tt
ts
Lts
sLt
sL
tss
s
sLtx
2sin32cos4
131
4
5
4
23
44
131
4
5
4
23
44
131
4
5
2
1
2
11
22
1
: פתרון המערכת הנו, לסיכום
tttty
tttx
2sin4
132cos3
2
3
2sin32cos4
13
4
5
מצא פתרון למערכת המשוואות עם תנאי ההחלה . 18
00;00
1
yx
etxty
tytx
t
:פתרון
: נפעיל התמרת לפלס על שני אגפי משוואות המערכת הנתונה ונקבל
seLstxtyL
sLstytxLt
1
: מתכונת הלינאריות נובע כי
seLstxLstyL
sLstyLstxLt
1
: כעת נשתמש בתוצאות הבאות
1
1;
11
0
00
0
sseL
ssL
sxLsxsxLssxL
syLsysyLssyL
t
84
: נציב במערכת המשוואות ונקבל
21
1
11
ssxLsyLs
ssyLsxLs
נחבר בין המשוואות ונחלץ את , s- אם נכפול משוואה ראשונה ב sxL , נקבל :
111
11
1
22
ss
s
s
ssxL
נחבר בין המשוואות ונחלץ את , s- אם נכפול משוואה שנייה ב syL , נקבל :
11
1
1
1
1
2
2
2
sss
ss
s
s
s
ssyL
מצא פתרון למערכת המשוואות עם תנאי ההתחלה . 19
00;10 yx
etxty
ttytx
t
:פתרון
: נפעיל התמרת לפלס על שני אגפי משוואות המערכת הנתונה ונקבל
setxLstyL
sttyLstxLt
: מתכונת הלינאריות נובע כי
seLstxLstyL
stLstyLstxLt
: כעת נשתמש בתוצאות הבאות
1
1;
110
0
2
1
0
sseL
sstL
sxLsxsxLssxL
syLsysyLssyL
t
נסמן sXsxL ו - sYsyL ,
: נציב במערכת המשוואות ונקבל
21
1
11
12
ssXsYs
ssYsXs
: נסדר את המערכת
85
21
1
11
12
ssYssX
ssYsXs
מכלל קרמר נובע:
22
2
11
1
11
1
111
1
11
1
1
1
1
11
1
sssssss
s
s
sss
s
s
ss
s
sX
11
1
11
1
111
11
1
1
1
1
11
11
222
2
2
sssssss
s
s
ss
s
s
s
s
ss
sY
נמצא התמרה הפוכה ל :
3
2
21
11
1
11
1
11
sssssss
ssX
נחפש פירוק הביסייד . 1 1111
s
B
s
A
ss
s
במקרה זה מתקיים 2
1;2
1 BA
: ולכן
tt eet
sLt
sLt
ss
sL
2
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
11
111
נחפש פירוק הביסייד . 2 1111
1
s
C
s
B
s
A
sss
במקרה זה מתקיים 2
1;2
1;1 CBA
: ולכן
tt eet
sLt
sLt
sLt
sssL
2
1
2
11
1
1
2
1
1
1
2
11
11
1 1111
נחפש פירוק הביסייד . 3 22
11111
s
C
s
B
s
A
ss
s
במקרה זה מתקיים 2
1;4
1;4
1 CBA
: ולכן
86
ttt teee
ts
Lts
Lts
Ltss
sL
2
1
4
1
4
1
1
1
2
1
1
1
4
1
1
1
4
1
112
111
2
1
: ולכן התמרה הפוכה ל
3
2
21
11
1
11
1
11
sssssss
ssXתהיה :
12
1
4
3
4
5
2
1
4
1
4
1
2
1
2
11
2
1
2
1
321
ttt
ttttttt
teee
teeeeeeetx
כעת נמצא התמרה הפוכה ל -
3
2
21
2 11
1
11
1
11
sssssss
ssY
ראינו קודם כי מתקיים פירוק הביסייד . 1 22
1
21
1
41
1
41
11
sssss
s
: ולכן
ttt teee
ts
Lts
Lts
Ltss
sL
2
1
4
1
4
1
1
1
2
1
1
1
4
1
1
1
4
1
112
111
2
1
נחפש פירוק הביסייד . 2 1111
1
s
B
s
A
ss
במקרה זה מתקיים 2
1;2
1 BA
: ולכן
tt eet
sLt
sLt
ssL
2
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
11
1 111
נחפש פירוק הביסייד . 3 1111
122
s
D
s
C
s
B
s
A
sss
במקרה זה מתקיים 2
1;2
1;1;0 DCBA
: ולכן
tt eett
sLt
sLt
sLt
sssL
2
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
11
11
1 11
2
1
2
1
- ולכן התמרה הפוכה ל
3
2
21
2 11
1
11
1
11
sssssss
ssYתהיה :
87
tteee
eeteeteeety
ttt
ttttttt
2
1
4
5
4
5
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
1
4
1
321
: פתרון המערכת הנו, לסיכום
tteeety
teeetx
ttt
ttt
2
1
4
5
4
5
12
1
4
3
4
5
: הערה
נעיר כי ברגע שחשבנו את tx יכולנו לחשב את הנגזרת tx ולהציב במשוואה הראשונה של
המערכת ttytx ולחלץ את ty וזאת מבלי לחשב את sYואת ההתמרה ההפוכה שלו .
tteee
tteeeetteeettxty
ttt
tttt
tx
ttt
2
1
4
5
4
5
2
1
2
1
4
3
4
51
2
1
4
3
4
5
88
: תרגילים
: מצא את התמרת לפלס של הפונקציות הבאות .13
.א tetf t 2cos
.ב tetf t 2cosh4
.ג 22 1 ttf
.ד tttf 5sinh4cosh3
.ה
0;אחרת
87;3
42;1
t
t
tf
.ו
2;4
20;2
tt
tttf
.ז
8;1
87;3
70;
t
tt
tt
tf
.ח t
ttf
2sin
.ט
2;sin
20;0
tt
ttf
: את האינטגרלים המוכללים הבאים, בעזרת התמרת לפלס מתאימה,חשב .23
.א
0
3 costdtte t
.ב
0
sindt
t
te t
היעזר בהתמרה של : רמז ) t
tsin)
.ג
0
3
dtt
ee tt
89
: חשב את ההתמרות ההפוכות של .33
.א23
12 ss
.ב184
1432
ss
s
.ג 1
12 ss
.ד 11
2
ss
ee ss
.ה164
3
s
s
.ו 22 4
1
s
.ז 22
2
4s
s
.ח 22 4s
s
.ט 422
16
sss
e s
: 0tפתור את בעיות ההתחלה הבאות עבור .43
.א
10
00
4
y
y
tfyy
כאשר
3;0
32;3
21;1
10;0
t
tt
tt
t
tf
.ב
00
10
74 1
y
y
tuyyy
90
.ג
00
00
y
y
tgyy
כאשר
1;1
10;
t
tttg
.ד
00
10
32 3
y
y
tyyy
: דיפרנציאליות הבאות-האינטגרו/ מצא את הפונקציות המקיימות את המשוואות האינטגרליות .53
.א t
t
edxxtxftf 2
0
9cos2
.ב tdxxfxttf
t
2sin0
.ג
10
100
f
f
uduuttf
t
.ד 10
t
ut dueuftf
.ה 220
ttfduutfuf
t
פתור את המערכת הבאה .63
tgyxy
tgyxx
2
1
24
22 עם תנאי ההתחלה
0
1
0
0
y
x
עבור
tg
tgtg
2
: הנתונים בסעיפים הבאים 1
.א
t
ttg
cos
sin
.ב
0
tetg
.ג
0
1 tutg
91
: תשובות סופיות לתרגילים
: 1שאלה
.א52
12
ss
s. ב
62
4
ss
s. ג
5
24 244
s
ss
.ד25
20
1
322
ss
s. ה ssss eeee
s
8742 331
. ו
3
2
3
242
sse
s
s ז .
2
8
3
7
2
162111
sse
sse
s
ss
.ח
2arctan
2
s. ט
12
2
s
e s
: 2שאלה
. א25
3. ב
4
3ln. ג
: 3שאלה
tt. א ee 2 ב . tete tt 14sin14
814cos3 22
. דtcos1. ג 2cos11cos1 21 ttuttu
. ה tee tt 2cos2
1
4
1
4
1 22 ו . ttt 2cos8
12sin
16
1
.ז ttt 2cos2
12sin
4
1 ח . tt 2sin
4
1
. ט
163sin
3
1163cos1
4
1 16
16 ttetu t
92
: 4שאלה
: נסמן. א ttth 2sin8
1
4
1 אזי :
32212sin2
1321 thtuthtuthtutty
: נסמן. ב
tteth t 3sin
3
23cos2 אזי : 1
7
11 thtuthty
.ג 1sin1sin 1 tttuttty
. ד 32cos2
12sin
2
12cos 3
3
tetuttety tt
: 5שאלה
. א ttt teeetf 645 . ב 2 tttf 2sin3
4sin
3
2
.ג ttetf t sin2
1cos
2
1
2
1 ד . tetf 2
2
1
2
1
. ה 1tf או 12 0 ttf
: 6שאלה
. א
ttttty
tttttx
2sin22cos3
2sincos
3
2
2sin3
22cos
3
4sin
3
2cos
3
1
. ב
ttety
ttetx
t
t
2sin5
122cos
5
4
5
4
2sin5
82cos
5
4
5
1
. ג
ttuttty
tttutttx
2cos12sin22cos1
2sin2cos12
12sin32cos1
2
1