לש תובכרומה תא ןיבהל תבכרומ...

להבין את המורכבות של

פונקציה מורכבת

סוהיל שריף

נעה צור

צוות המרכז

יח"ל 5מתמטיקה ברמת ל םקהילות מורי – 5-מועדון ה

2 ללא גזירה פונקציות מורכבות תכונות של


מבוא

(:280מתוך הספר ללמוד וללמד אנליזה )עמוד

"חלק גדול מהפונקציות בהן עוסקים בבית הספר, הן פונקציות מורכבות.

לכן העיסוק בפונקציות אלו ממשיך לאורך כל לימודי האנליזה בתיכון.

ת הקשרים שבין הפונקציה המורכבת לבין הפונקציות המרכיבות אותה מאפשרת, הבנ

פעמים רבות, לראות בדמיון את גרף הפונקציה הנחקרת, עוד לפני התחלת החקירה."

בחקירת פונקציה מורכבת, הסתכלות כללית על הפונקציות המרכיבות יכולה לעזור

בפיתוח "אינטואיציה" לנכונות החקירה.

שנביא, ננסה להתחקות אחרי התכונות של הפונקציות המרכיבות, כדי בדוגמאות

להרכיב את גרף הפונקציה המורכבת.

מהלך הסדנה

דקות( 10פונקציות ) 2הנקודות להרכבת 5מסלול .1

דקות( 2) הצגת גרפים של פונקציות שכיחות .2

דקות( 5) חשיבה משותפת על תכונות שעשויות לקדם חקירה .3

ln-ו eשורש חקירה במליאה של הרכבת פונקציה .4

דקות( 10) ופונקציות טריגונומטריות

דקות( 15) הופכיות דה בקבוצות על הרכבת פונקציות דפי עבו .5

דקות( 20) ת עבודה בקבוצות עליה וירידה, זוגיות ואי זוגיו הכללות: לגבי .6

דקות( 15הצגת מסקנות במליאה עם הוכחות )חלקי( ) .7

דקות( 3פתרון איכותני ) -חילהפתירת השאלה שהוצגה בת .8



הנחיות והמלצות

ההרכבה של " את להביןהרעיון של הסדנה, לצאת מהמסגרת של חקירה סטנדרטית ו"

מה המשפיעים, על גרף הפונקציה? מה צריך לדעת כדי להרכיב את הפונקציה.

הפונקציה?

פים בסיסיים של פונקציות ויש להבין את מהות ההרכבה של לצורך כך יש להכיר גר

הפונקציות.

הנקודות )אם מתאים לכם 5נמחיש את תהליך ההרכבה בעזרת מסלול לכן, בתחילה

פונקציות( 3אפשר להרחיב את המסלול להרכבת

נלמד להסתכל על מאפיינים של פונקציות מסוימות העוזרים לבנות את הגרף.

כלומר מה "עבד" בכל ההרכבות ללות של התכונות השונות, אחר כך נעשה הכ

., גם כאלו שאינן מוכרות לנוכדי שיהיו לנו כלים לפונקציות נוספותשעשינו. זאת

רב הפעילות נעשית בקבוצות עבודה.

אפשר לבצע את הפעילויות הראשונות של הפונקציות כמו השורש כחידון שהתשובה

כלומר לבקש מהנןכחים לשרטט על הלוח איך לדעתו ניתנת על ידי התוכנה הגרפית,

תיראה הפונקציה המורכבת ולראות אם יצא נכון בהקרנת הפונקציה.

בחלק מהפעילות, בפונקציות ההופכיות xf

1, כל קבוצה תקבל פונקציה פנימית

אחרת.

הפעילות בקבוצות זהה. -בהכללות

ץ עם פתרונות.דפי העבודה לצילום וקוב -מצורפים



הנקודות לשרטוט גרף של 5מסלול .1

פונקציות( 2) פונקציה מורכבת

מסלול של חמש נקודות –בניית הגרף של פונקציה מורכבת .א

בנייה גאומטרית לגרף של פונקציה מורכבת xgfxh מסלול של חמש" ,

:(303)מתוך הספר ללמוד וללמד אנליזה עמוד הנקודות"

הכנה: –ראשון שלב

מסרטטים , במערכת צירים אחת, את הגרפים של שתי הפונקציות המרכיבות :

xf , xg והישרy=x .

נחלק דפים ועליהם הגרפים של שתי פונקציות מרכיבות. הפונקציות ינתנו בגרף

בלבד ללא הצגה סימבולית.

3-4תתפים מסלול נקודה אחת ונבקש מכל אחד בדף שלו להוסיף נדגים עם המש

נקודות כדי שיוכל לשרטט סקיצה של גרף הפונקציה המורכבת.

)כדאי, אם זה לא יעלה מהמשתתפים, לבחור גם נקודת התחלה שאיננה בתחום

ההגדרה של הפונקציה המורכבת(

הצלחנו אםה נבדוק?

, עקבו אחר המסלול עבור נקודות מיוחדות הנקודות" 5את היישומון "פתחו

.Aוניידו את נקודה Eעקבות על נקודה הפעילוו

http://tube.geogebra.org/material/iframe/id/2777643/width/1100/height/500/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ld/true/sri/false/at/preferhtml5



נקודה על גרף הפונקציה המורכבת: קביעת –שלב שני

.ביחד עם המשתתפים נסביר מה עשינו כאן

כאן .h(x)תחום ההגדרה של הפונקציה הנמצאת ב xבוחרים באחד מערכי .א

-מתחיל המסלול

. A(x,0) -ב x-על ציר הנסמן את הנקודה של ראשית המסלול

. g(x)עד למפגש האנך עם גרף הפונקציה Aבנקודה xמעלים אנך לציר .ב

. B(x, g(x)) נסמן זו הנקודה השנייה במסלול.

, y=xעד המפגש עם הישר x -מעבירים קטע המקביל לציר ה Bמהנקודה .ג

. C(g(x), g(x)) נסמן:. זו הנקודה השלישית

f(x)עד המפגש עם גרף הפונקציה yציר מעבירים קטע המקביל ל Cמהנקודה .ד

. D(g(x), f(g(x))) נסמן:. זו הנקודה הרביעית

x-עד המפגש עם האנך לציר ה x-מעבירים קטע המקביל לציר ה Dמנקודה .ה

E. הנקודה E(x, f(g(x))))או עם המשכו(. זו הנקודה החמישית Aמנקודה

. h(x)=f(g(x))שייכת לגרף הפונקציה המורכבת

אחרת מתחום A(x,0)לחזור על תהליך הבניה , כאשר כל פעם בוחרים בנקודה אפשר

הנמצאות בדרך זו מהווה גרף הפונקציה E. אוסף כל הנקודות f(g(x))ההגדרה

.h(x)=f(g(x))המורכבת

)הערה: אם תשימו לב, גזירת פונקציה מורכבת, מאד מזכירה את המסלול המתואר(



ם של פונקציות שכיחותגרפי .2

גרפים של פונקציות שכיחות כפונקציות מרכיבות

2xxf 3xxf

x

xf1

xxf

xexf

xxf ln

xxf sin

xxf cos

xxf tan



. תכונות של הפונקציות המרכיבות 3

לחשוב ביחד עם המשתתפים אילו תכונות של פונקציות המרכיבות עשויות לעזור

בתיאור גרף הפונקציה המורכבת?

תשובות אפשריות:

תחומי עליה וירידה .א

תחום הגדרה .ב

זוגיות ואי זוגיות .ג

יצוןנקודות ק .ד

מחזוריות .ה

שליליות וחיוביות .ו

נקודות חיתוך עם הצירים .ז

אסימפטוטות/חורים .ח



הרכבה ללא חקירה .3

ln(g(x))פונקציית

נתבונן בגרף של הפונקציה xh .ששרטטנו במסלול הנקודות

שאלות לדיון:

פונקציה איך השפיעה כל אחת מהפונקציות המרכיבות על תחום ההגדרה של ה .1

המורכבת?

מכיוון שהפונקציה החיצונית xxf ln 0מוגדרת עבורx הפונקציה המורכבת ,

תהיה מוגדרת רק על תחומי החיוביות של הפונקציה הפנימית.

נבחר כדי לשרטט את הפונקציה המורכבת? )אם צריך, ln-אילו תכונות של פונקציית ה .2

ז לכוון לאסימפטוטות(אפשר לרמו

תחום הגדרה פונקצייתln מוגדרת רק על מספרים חיוביים.



כאשר הפונקציה הפנימית)(xg שואפת לאינסוף )(ln xg.

כאשר הפונקציה הפנימית)(xg שואפת לאפס )(ln xg.

כאשר הפונקציה הפנימית )(xg שואפת לאחד 0)(ln xg

1כאשר)( xg 0)(ln xg.

שרטטו את הפונקציה 2-ו 1על סמך המסקנות בסעיפים .3 65ln 2 xxxf.

652 xxy 3חיובית בתחוםx 2אוx לכן זה תחום ההגדרה של , xf.

xfyx 02

xfyx 03

xfyx

3,2-לכן יש אסימפטוטות אנכיות ב xx:וגרף הפונקציה



נסכם:

פונקצייתln .מוגדרת רק על מספרים חיוביים

כאשר הפונקציה הפנימית)(xg שואפת לאינסוף )(ln xg.

כאשר הפונקציה הפנימית)(xg שואפת לאפס )(ln xg.

כאשר הפונקציה הפנימית)(xg שואפת לאחד 0)(ln xg

1כאשר)( xg 0)(ln xg.

מכאן ניתן להסיק לגבי פונקציית )()( xgexp

.הפונקציה המעריכית חיובית

כאשרx אז 0xp.

כאשרx אז xp.

0כאשרx אז 1xp.

0כאשרx אז 1xp.

כמו למשל 3xexf



פונקצית שורש

בשרטוט מתוארות הפונקציות המרכיבות kpxaxf 2

xxg והפונקציה

)())((המורכבת xfgxh .

התאימו לכל גרף את הפונקציה המתאימה. .4

והכחול הגרף של הפונקציה המורכבת. g, אדום הגרף של fתשובה : הירוק הגרף של

נסחו תכונות של פעולת השורש שיעזרו בשרטוט הפונקציה המורכבת. .5

תשובה: ת.ה של הפונקציה המורכבת הוא התחום שבו הפונקציה הפנימית אי שלילית, נקודות

של y-החיתוך של הפונקציה הפנימית עם הפונקציה המורכבת הן הנקודות שבהם ערך ה

או אפס. 1הוא הפונקציה

מצאו את המשותף והשונה בין הפונקציה המורכבת לפונקציות המרכיבות )קיצון, .6

(1)ניתן להיעזר בישומון חיתוך, זוגיות, חיוביות שליליות, עליה ירידה...(

שלילי הפונקציה המורכבת תשמור -תשובה: בתחום שבו הפונקציה הפנימית הוא אי

, x-תחומי העליה וירידה, נקודות החיתוך עם ציר ה של נקודות הקיצון, x-על: שיעור ה

והתחום החיובי של הפונקציה. השוני יהיה בערכים 1 -שווה ל y-ונקודות שבהן ערך ה

של הפונקציות.

בכל אחד משני המקרים : f(x) -יחסית ל h(x)איך משתנים הערכים של הפונקציה .7



(I) 0 < 𝑓(𝑥) < 1 (II )f(x) > 1 .

הערכים של הפונקציה המורכבת יגדלו , בתחום f(x) < 1 > 0ובה: בתחום שבו : תש

הערכים של הפונקציה המורכבת יקטנו. f(x) > 1שבו הערכים של הפונקציה

. xמשיק לציר f(x)כאשר הגרף של הפונקציה h(x)סרטט את הגרף של הפונקציה .8

חלט למשל : תשובה : במקרה זה אנו נקבל פונקצית הערך המו

ℎ(𝑥) = √𝑥2 − 4𝑥 + 4 = | 𝑥 − 2|

)())((סרטטו את הפונקציה .9 xfgxh כאשר xxg ו- 3xxf .

שימו לב לזוגיות/אי זוגיות של הפונקציות, נקודות קיצון , עליה/ירידה של

ידי -נקבעות על xh)(מהתכונות של הפונקציה הפונקציות, חיוביות ושליליות. אלו

ידי הפנימית?-הפונקציה החיצונית? ואילו על

תשובה: תחום ההגדרה של הפונקציה המורכבת ישתנה ל- 𝑥 ≥ , הפונקציה המורכבת 0

דת , תשמור על עליה של הפונקציה הפנימית, נקו (0,0)מקבלת ערך מינימום מוחלט בנקודה

. y=1נשמרת , נקודת חיתוך נוספת של שתי הפונקציות כאשר x-החיתוך עם ציר ה

נסכם:

.פונקציית השורש מוגדרת רק עבור הערכים החיוביים של הפונקציה הפנימית

ה את הערכים עליה היא מופעלת רק במידה וערכים קטינפונקציית השורש מ

.1-אלו גדולים מ

הערכים עליה היא מופעלת רק במידה וערכים ה את גדילפונקציית השורש מ

.1-ל 0אלו בין

פונקציית השורש שומרת את הערכים עליה היא מופעלת רק במידה וערכים אלו

.1או 0הם

שלוש נקודות אלו מנחות אותנו בשרטוט גרף הפונקציה המורכבת, כאשר

הפונקציה החיצונית היא פונקציית השורש הריבועי.



נומטריותפונקציות טריגו

בשרטוט מתוארות הפונקציות המרכיבות: kpxaxf 2

xxg s i n והפונקציה

)())((המורכבת xfgxh .

התאימו לכל גרף את הפונקציה המתאימה. .1

. hוהכחול זה g, הירוק זה fהאדום זה תשובה :

כבת לפונקציות המרכיבות )מחזוריות, מצאו את המשותף והשונה בין הפונקציה המור .2

קיצון, חיתוך, זוגיות, עליה ירידה...(

:שלבים בשרטוט הפונקציה המורכבת

ידוע לנו מגרף הפונקציה xxg sin

כי נקודות החיתוך שלה עם ציר ה-x הן ב- 0,kלכן עבור שיעורי ה .-x של

kyנקודות החיתוך של הישר עם xf לפונקציה המורכבת תהיה נקודת חיתוך עם

.xציר



ידוע לנו מגרף הפונקציה xxg sin כי היא מקבלת מקסימום בנקודות

1,

22

k

של נקודות החיתוך של הישר x-לכן עבור שיעורי ה2

2

ky עם xf לפונקציה

.1שלה yהמורכבת תהיה נקודת קיצון שערך

.בנקודות ובדומה לגבי נקודות המינימום

1,

22

k לכן עבור שיעורי ה-x

של נקודות החיתוך של הישר 2

2

ky עם xf דת לפונקציה המורכבת תהיה נקו

.1שלה yקיצון שערך

2ניישם זאת בעזרת יישומון .3

)())((סרטטו את הפונקציה .4 xfgxh כאשר xxg sin ו- xxf .

שימו לב לזוגיות/אי זוגיות של הפונקציות, נקודות קיצון, עליה/ירידה של

ליליות.הפונקציות, חיוביות וש

אלו מהתכונות של הפונקציה)(xh ידי הפונקציה החיצונית? ואילו -נקבעות על

ידי הפנימית?-על

)()3cos(לפי המסקנות עד עתה, איך יראה גרף הפונקציה .5 2 xxh.

שימו לב לזוגיות/אי זוגיות של הפונקציות, נקודות קיצון עליה/ירידה של

ידי -נקבעות על xh)(יוביות ושליליות. אלו מהתכונות של הפונקציה הפונקציות, ח

ידי הפנימית?-הפונקציה החיצונית? ואילו על

נסכם:

מחזוריות הפונקציות הטריגונומטריות, מאפשרת לנו חקירה איכותנית של הפונקציה

המורכבת.



תשע"ד: 807דוגמה מבחינת בגרות חורף

ודת הפיתול תהיה בנקודה בה חל שינוי בפונקציית השורש)פונקציית השורשנק

)(1-( כלומר במקרה זה ב"עברה" מהגדלת ערכים להקטנתם xxg.



פונקציות הופכיות𝟏

𝒇(𝒙)

נחלק את המשתתפים לקבוצות. כל קבוצה תחקור פונקציה הופכית לפונקציה פנימית שונה:

חת הפונקציה הפנימית היא פרבולה קבוצה א kpxaxf 2

קבוצה שנייה הפונקציה הפנימית היא axxxf 3

הפונקציה הפנימית היא קבוצה שלישית )cos( baxxf

ןת הוהפנימי ותהפונקציקבוצה רביעית baxexf ו- )ln( baxxf .

דה לקבוצותדף עבו

נתונה הפונקציה xfהרשומה בטבלה ו- x

xg1

והפונקציה המורכבת))(()( xfgxh .

שערו כיצד נראית הפונקציה המורכבת.

בדקו את השערתכם בעזרת תוכנה לשרטוט גרפים.

אם ) xעם ציר fאת נקודות החיתוך של x1 < x2 , נסמן a>0נניח כי השלימו את הטבלה הבאה:

יש(

תכונה kpxaxf 2

למשל:

xxg

1 ))(()( xfgxh

מינימום k≠0 ; (p,1/k) אין מקסימום (p,k) נקודת קיצון

X1 ≠x<p אין x>p תחומי עליה

x≠0 p>x≠x2יורדת לכל X<p תחומי ירידה

x> x2או x> x2 x>0 X<x1או X<x1 תחומי חיוביות

, X1 < x< x2 X<0 X1 < x< x2 x≠p תחומי שליליות

הפונקציה זוגית p=0כאשר אי זוגית p=0זוגית כאשר זוגיות./ אי זוגיות

אין אין שלילי יש-אי kעבור xנקודות חיתוך עם ציר

X=0 אין אסימפטוטות אנכיות

שלילי יש -אי kכאשר

fות החיתוך של בנקוד

x-עם ציר ה



Y=0 Y=0 אין אסימפטוטות אופקיות

הפונקציות של yלאילו ערכי xf ו- xh כאשר ? _______ נחתכותf(x)=1 ( 1או- )

תכונה axxxf 3

a>0למשל:

xxg

1 ))(()( xfgxh

כן אין כן נקודת קיצון

יש אין יש תחומי עליה

יש x≠0לכל יש תחומי ירידה

fכמו של x>0 יש תחומי חיוביות

fכמו של X<0 יש תחומי שליליות

זוגית-אי זוגית-אי זוגית-אי זוגיות./ אי זוגיות

אין אין יש xנקודות חיתוך עם ציר

f(x)=0דות שבהן בנקו x=0יש אין אסימפטוטות אנכיות

y=0 Y=0 יש אין אסימפטוטות אופקיות

הפונקציות של yלאילו ערכי xf ו- xh כאשר ? ________ נחתכותf(x)=1 ( 1או- )

תכונה )cos( baxxf

a=b=1למשל:

xxg

1 ))(()( xfgxh

יש אין יש נקודת קיצון

πk<x<2.14+πk+1- אין πk<x<4.28+πk+2.14 תחומי עליה



kשלם

πk<x<2.14+πk x≠0+1- תחומי ירידה

2.14+πk<x<4.28+πk

תחומי חיוביות

-1+2πk <x<0.57+2πk

3.71+2πk <x<5.28+2πk

x>0

-1+2πk <x<0.57+2πk

3.71+2πk <x<5.28+2πk

0.57+2πk<x<3.17+2πk X<0 0.57+2πk<x<3.17+2πk תחומי שליליות

לא אי זוגית ---- זוגיות./ אי זוגיות

אין אין x X=0.57+πkנקודות חיתוך עם ציר

X=0 X=0.57+πk אין אסימפטוטות אנכיות

אין Y=0 אין אסימפטוטות אופקיות

הפונקציות של yלאילו ערכי xf ו- xh כאשר ? _____ נחתכותf(x)=1 ( 1או-)

תכונה baxexf למשל:

x

xg1

))(()( xfgxh

אין אין אין נקודת קיצון

תחומי עליההפונקציה a>0כאשר

xעולה לכל אין

הפונקציה a<0כאשר

xעולה לכל

תחומי ירידהיה הפונקצ a<0כאשר

xיורדת לכל x≠0לכל

הפונקציה a>0כאשר

xעולה לכל

xלכל x x>0לכל תחומי חיוביות

אין X<0 אין תחומי שליליות



לא זוגית-אי לא זוגיות./ אי זוגיות

אין אין אין xנקודות חיתוך עם ציר

אין X=0 אין אסימפטוטות אנכיות

Y=0 Y=0 Y=0 אסימפטוטות אופקיות

הפונקציות של yלאילו ערכי xf ו- xh כאשר ? _______ נחתכותf(x)=1

תכונה )ln( baxxf

a>0 , b>0למשל:

xxg

1 ))(()( xfgxh

אין אין אין נקודת קיצון

אין אין X>-(b/a) תחומי עליה

x≠0 (1-b)/a≠x>(-b/a)לכל אין תחומי ירידה

x>(1-b)/a x>0 x>(1-b)/a תחומי חיוביות

x<(1-b)/a X<0 (-b/a)<x<(1-b)/a>(b/a-) תחומי שליליות

לא זוגית-אי לא זוגיות./ אי זוגיות

אין x X=(1-b)/aנקודות חיתוך עם ציר

אין

לשים לב כי בנקודה

X=-b/a יש חור

X=-b/a X=0 X=(1-b)/a אסימפטוטות אנכיות

Y=0 Y=0 אין אסימפטוטות אופקיות

הפונקציות של yלאילו ערכי xf ו- xh כאשר ? ______ נחתכותf(x)=1 ( 1או-)



סכום:

הפונקציה xf

1שומרת על ערך xf עבור 1xf )הוכיחו(

כאשר xf עולה xf

1 יורדת והפוך.

כאשר xf חיובית/שלילית xf

1 חיובית/שלילית בהתאמה.

עבור ערכי x בהם 0xfל- xf

1 .יש אסימפטוטה אנכית והפוך

עבור ערכי x בהם ל- xfיש נקודת מקסימום ל- xf

1 יש נקודת מינימום והפוך.

לקראת הכללה .4

זוגיות ואי זוגיות בפונקציות מורכבות

מהתבוננות בפעילויות על הרכבות פונקציות שערו האם:

נתונות שתי פונקציות .א xf ו- xg זוגיות האם xfgxh זוגית או אי

זוגית?

נתונות שתי פונקציות .ב xf ו- xg זוגיות האם -אי xfgxh זוגית או אי

זוגית?

נתונות שתי פונקציות .ג xf זוגית ו- xg זוגית האם -אי xfgxh זוגית או

אי זוגית?

נתונות שתי פונקציות .ד xf זוגית ו-אי- xg זוגית האם xfgxh זוגית או

אי זוגית?

הוכיחו את השערותיכם. .ה

פתרון :

.h(x)=g(f(x))נגדיר הפונקציה g(x) -ו f(x)קציות : תונות שתי הפונ



זוגיות:-הוכחה עבור הרכבה של פונקציות זוגיות/אי

היא זוגית h=gofזוגית אז g -זוגית ו fתהי

זוגית. hכלומר h(-x)=g(f(-x))=g(f(x))=h(x)אכן :

תזוגי-היא אי h=gofזוגית אז -אי g -זוגית ו-אי fתהי

זוגית.-אי hכלומר h(-x)=g(f(-x))=g(-(f(x))=-g(f(x)) = h(x)אכן:

היא זוגית h=gofזוגית אז -אי g -זוגית ו fתהי

זוגית. hכלומר h(-x)=g(f(-x))=g(f(x))=h(x)אכן:

היא זוגית h=gofזוגית אז g -זוגית ו-אי fתהי

זוגית. hכלומר h(-x)=g(f(-x))=g(-f(x))=g(f(x))אכן :

תחומי עליה וירידה של פונקציות מורכבות

מונוטוניות של פונקציות הרכבה .א

:1דף פעילות

הרכבה עם .א xexg

𝑓(𝑥)באיור מופיע גרף הפונקציה = √𝑥3 .



𝑔(𝑥) שרטטו על מערכת צירים זו את גרף הפונקציה .1 = 𝑒𝑥

גרף הפונקציה המורכבת: שערו איך יראה .2 3 xexfgxh ושרטטו

אותו במערכת צירים זו

בדקו את השערתכם בתוכנה לשרטוט גרפים .3

תארו מה נשמר ומה השתנה בהרכבת פונקציות אלו? מה ניתן לומר על תחומי .4

העליה והירידה של הפונקציות?

הרכבה עם .ב xxg ln

𝑓(𝑥)איור מופיע גרף הפונקציה ב = √𝑥3 .

שרטטו על מערכת צירים זו את גרף הפונקציה .1 xxg ln

גרף הפונקציה המורכבת: שערו איך יראה .2 3ln xxfgxh

ושרטטו אותו במערכת צירים זו

בדקו את השערתכם בתוכנה לשרטוט גרפים .3

שתנה בהרכבת פונקציות אלו? מה ניתן לומר על תחומי תארו מה נשמר ומה ה .4

העליה והירידה של הפונקציות?



שתי פונקציות מונטוניות האם הרכבה של האם תוכלו לשער

?, תהיה עולה או יורדת? או שלא ניתן לדעתעולות

: 1פתרון דף פעילות

הרכבה עם .א xexg

נשמר תחום העלייה.

הרכבה עם .ב xxg ln

. x>0נשמר תחום העליה בתחום



מסקנה : הרכבה של שתי פונקציות מונוטוניות עולות נקבל פונקציה מונוטונית עולה.

: נוכיח כעת בשתי דרכים את הטענה

גם h(x)=f(g(x))שתיהן פונקציות עולות , אז הפונקציה המורכבת שלהן g(x) -ו f(x)אם

היא עולה.

דרך א:

, שכל אחת מהן עולה, בתחומה. עלינו להוכיח כי לכל g(x) -ו f(x)ניקח שתי פונקציות

f(g(x)) בתחום הפונקציה המורכבת x1 < x2שתי נקודות

. f(g(x1)) < f(g(x2)) : מתקיים

שייכות גם לתחום הן f(g(x))שייכות לתחום ההגדרה המורכבת x1 , x2אם הנקודות

שייכים לתחום לתחום הפונקציה g(x1) , g(x2), והערכים g(x)הפונקציה הפנימית

. f החיצונית

מכאן ע"ס ההגדרה של פונקציה עולה נובע :

𝑥1 < 𝑥2 על סמך

העליה שלg

⇒ 𝑔(𝑥1) < 𝑔(𝑥2)על סמך

העליה של𝑓

⇒ 𝑓(𝑔(𝑥1)) < 𝑓(𝑔(𝑥2))

היא עולה. f(g(x))כלומר הפונקציה המורכבת

דרך ב' :

ההוכחה מתבססת על נגזרת הפונקציה המורכבת ולכן היא תקפה רק לפונקציות גזירות.



fפונקציה עולה וגזירה בכל תחומה, אז הנגזרת שלה fאם gחיובית בכל התחום. אם גם /

gל עולה וגזירה בכל תחומה, אז גם הנגזרת ש חיובית בכל התחום. /

(f(g(x)))ומכאן : / = f

/(g(x))g

/(x) > 0 בכל נקודהx בתחום של הפונקציהf(g(x))) .

מכאן , הפונקציה המורכבת היא עולה.

.גזירות לפונקציות מוגבלת אינה שהיא הוא הראשונה ההוכחה של יתרונה :הערה

לפונקציות מונוטוניות: 2דף פעילות

את הטבלה הבאה: השלימו

מרכיבות פונקציות דוגמאות ל מספרבטבלה xf , xg .מונוטוניות

את תחומי העליה והירידה שלבכל אחד מהמקרים , מבלי שימוש בנגזרת, שערו

המורכבת הפונקציה xfgxh .

ה צי

קונ

פה

xf

ל ש

ה ד

רי י

אוה

ליע

י מ

חות

xf

ה צי

קונ

פה

xg

ל ש

ה ד

רי י

אוה

ליע

י מ

חות

xg

ה צי

קונ

פה

xfg

xh

לש

ה ד

ריוי

ה לי

עי

מחו

ת

xfg

xh

ה צי

קונ

פה

xgf

xh

לש

ה ד

ריוי

ה לי

עי

מחו

ת

xgf

xh

xexf

יורדת

xלכל

xxg

1

יורדת

לכל

x≠0

h(x)=ex עולה לכל

x

h(x)=e-

(1/x)

*

עולה לכל

x≠0

3xxf עולה

xלכל

xexg

יורדת

x לכל

ℎ(𝑥)

= 𝑒−𝑥3

יורדת

x xeלכל

xh

3

)(

יורדת

xלכל



כדאי לשים לב מה קורה לפונקציה משני הצדדים של הנקודהx=0 מצד אחד יש ,

. x=0לנו חור מצד שני יש אסימפטוטה אנכית

תהיה שתי פונקציות מונטוניות האם הרכבה של האם תוכלו לשער

?פונקציה עולה או יורדת? או שלא ניתן לדעת

: ההשערות

שתיהן פונקציות יורדות , אז הפונקציה המורכבת שלהן g(x) -ו f(x)אם (1

h(x)=f(g(x)) .גם היא עולה

עולה בכל תחומה והשנייה יורדת h(x)=f(g(x))אם אחת מהפונקציות המרכיבות (2

בכל תחומה אז הפונקציה המורכבת יורדת בכל תחומה.

בגרות קיץ תשע"ה מועד ב' :מתוך

ג את דרך הפתרון.נפתור את התרגיל, ונצי

פתרון:



axa. 1אxa

xa

0

axax. 2א ,

. 3א

0

2)(11222

xa

a

xa

xaxa

xa

xaxf

בתחום ההגדרה. xלכל

axaלכן הפונקציה עולה בתחום

. 4א

022

222

xa

axxf

0,0 0נקודת פיתול )אפשר לראות שעבור xa הפונקציה קעורה כלפי

axמטה ועבור 0 )הפונקציה קעורה כלפי מעלה

מורכבות פונקציות שלתחומי עלייה וירידה .ב

פתרון : 3פעילות

כאשר אחת מהפונקציות האם ההשערה שלנו נכונה גם xf ו- xg ות ימונוטונ

פונקציה השנייה בתחומה יש לה ( ואילו ההגדר)עולה ממש או יורדת ממש בכל התחום

תחומי עליה ותחומי ירידה חלקיים?

: המרכיבות ושל הפונקציה המורכבת את הגרפים של הפונקציותירים במערכת הצסרטטו .1

i. 1

1

2 xexh



ii. 1log 2

2

12 xxh



שתי הפונקציותמאפיין את מה מבחינת תחומי עליה וירידה

המרכיבות החיצוניות?

.מונוטוניותשתי הפונקציות המרכיבות החיצוניות הן

חומי העלייה והירידה של הפונקציות מה אפשר לומר על ת

?יחסית לפונקציות המרכיבות אותן המורכבות

דה של ייה והיריהעלאז תחומי שאם הפונקציה החיצונית מונוטונית עולה קיבלנו

יה והירידה של הפונקציה הפנימית.יהפונקציה המורכבת דומה לתחום העל

ונקציה המורכבת הפוכים לתחום תחומי העלייה והירידה של הפ אם החיצונית יורדת אז

העלייה והירידה של הפונקציה הפנימית.

שער מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציות : האם תוכלו ל .2

xexm

xxk

cos

3sin



ה/הירידה של יה/הירידה של הפונקציה המורכבת דומה לתחום העלייתחום העלי

הפונקציה הפנימית.

את השערתכם. נסו להוכיח .3

שהיא פונקציה מונוטנית עולה . מגדירים g(x)ופונקציה f(x)רה : בהינתן פונקציה ההשע

. h(x)=g(f(x))פונקציה

דומה לתחום העלייה/הירידה של הפונקציה h(x)תחום העלייה/הירידה של הפונקציה

הפנימית.

בהנחה ששתי הפונקציות גזירות בתחום אז : הוכחה:

[h(x)]/= [g(f(x))]/= f/(x)g/(f(x))

שלילית , ומה שמשפיע על סימן -היא אי g/(f(x))מונוטנית עולה אז g(x) -ומפני ש

ולכן f/(x)זה h(x)הנגזרת של הפונקציה

דומה לתחום העלייה/הירידה של הפונקציה h(x)תחום העלייה/הירידה של הפונקציה

הפנימית.

הצגה במליאה את עבודת הקבוצות והוכחות .ג )חלקי(

סיכום .5

נתונות שתי הפונקציות : xf ו- xg ה נגדיר הפונקצי xfgxh .

xf xg xfgxh

זוגית זוגית זוגית

תאי זוגי זוגית-אי זוגית-אי

זוגית זוגית-אי זוגית

זוגית זוגית זוגית-אי



מונוטונית עולה מונוטונית עולה מונוטינית עולה

מונוטונית עולה מוניטונית יורדת מונוטונית יורדת

מונוטונית יורדת מונוטונית עולה מונוטונית יורדת

יורדתמונוטונית מונוטונית יורדת מונוטונית עולה

ככל 807גרות שאלון .שאלות מבחינות ב6

שיוותר זמן:

כאן מומלץ לתת זמן למורים לעבוד על הטבלה ואח"כ לסכם במליאה

טבלת סיכום עבור התכונות אשר נשמרות ולא נשמרות בפעולת ההרכבה:

𝑒𝑓(𝑥) ln (𝑓(𝑥)) התכונה

f(x)>0 נשמר תחום הגדרה

f(x)>0נשמר בתחום וןנשמר וסוג הקיצ נקודות קיצון וסוג הקיצון

נשמר נשמר תחומי עלייה וירידה

יש לבדוק אסימפטוטות יש לבדוק אסימפטוטות אסימפטוטות



בגרות קיץ תשע"ה מועד ב' : ושוב ל

נשרטט את שתי הפונקציות המרכיבות על אותה מערכת צירים: האדומה הפנימית הכחולה

חיצונית.



מוגדרת על ערכים חיוביים בלבד. לכן נתייחס רק לתחום בו הפונקציה ln -הפונקצית

."אדומה" הפנימית חיובית

שתי הפונקציות עולות לכן הפונקציה המורכבת תעלה בכל תחום הגדרתה.

נבדוק נקודות חיתוך עם הצירים ונבין את האסימפטוטות בהרכבה:

ln של חיובי אפסי שואף למינוס אינסוף ו- ln .של חיובי אינסופי שואף לאינסוף

כלומר שרטוט הפונקציה למעט דיוק של נקודת הפיתול ברורה וללא חישובים.

בגרות קיץ תשע"ד מועד א' :



בגרות קיץ תשע"ד מועד ג' :

לש תובכרומה תא ןיבהל תבכרומ...

Documents

Transcript of לש תובכרומה תא ןיבהל תבכרומ...