Министерство образованияРоссийской Федерации

Московский государственный университет леса___________________________________________________________

Г. А. Данилин, П. А. Курзин, В. М. Курзина

Математические методы с MathcadЛабораторный практикум

Для студентов всех специальностей Учебное пособие

Издательство Московского государственного университета леса

Москва 2003

УДК 330.43(076.5) Данилин Г. А., Курзин П. А., Курзина В. М. Математичеcкие

методы с Mathcad: Учебное пособие: Лабораторный практикум для студентов всех специальностей. М.: МГУЛ, 2003. 152 с.

Учебное пособие содержит основные сведения о математических методах, реализуемых в системе Mathcad, позволяющих оптимизировать обработку экспериментальных данных при выполнении лабораторных работ, с использованием различных вариантов.

Разработано в соответствии с Государственным образовательным стандартом ВПО 2000 г. для направления подготовки студентов на основе примерной программы дисциплины "Высшая математика" для студентов всех специальностей 2002 года.

Одобрено и рекомендовано к изданию в качестве учебного пособия редакционно-издательским советом университета

Рецензенты: профессор А. В. Корольков, кафедра прикладной математики; профессор Л. Е. Цветкова, кафедра физики

Кафедра высшей математики

Авторы: Геннадий Александрович Данилин, профессор; Вера Михайловна Курзина, доцент;

Павел Алексеевич Курзин.

Данилин Г. А., Курзин П.А., Курзина В. М., 2003 Московский государственный университет леса, 2003

Введение

Математика играет важную роль в естественно-научных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Она стала для многих от­раслей знаний не только орудием количественного расчета, но также мето­дом точного исследования и средством предельно четкой формулировки понятий и проблем. без современной математики с ее развитым логиче­ским и вычислительным аппаратом невозможен прогресс в различных об­ластях человеческой деятельности.

Математика является не только мощным средством решения при­кладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом об­щей культуры.

Общий курс высшей математики является фундаментом математиче­ского образования современного специалиста, но уже в рамках этого курса должно проводиться ориентирование на приложение математических ме­тодов в профессиональной деятельности. Преподавание специальных раз­делов направлено, главным образом, на применение математических мето­дов к решению прикладных задач.

Одним из специальных курсов является курс "Математические мето­ды".

Цель курса – помочь студентам усвоить математические методы, да­ющие возможность анализировать и моделировать устройства, процессы и явления из области будущей деятельности студентов как специалистов.

Курс исключает разрыв между математической и компьютерной под­готовкой и обеспечивает тесную связь обучения математическим методам с общеинженерной подготовкой специалиста.

Усвоение курса позволит будущим специалистам исследовать мате­матические модели, решать математические задачи, обрабатывать и анали­зировать большие массивы экспериментальных данных.

В качестве базы для преподавания курса выбрана система Mathcad 2001, которая, в сравнении с другими математическими компьютерными системами, обладает наибольшей универсальностью.

1. СИСТЕМА АВТОМАТИЗАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ MATHCAD 2001

1.1. Входной язык Mathcad

1.1.1. Понятие о документах Mathcad

Все расчёты в Mathcad проводятся в документах, называемых Work­sheets. Фактически документы Mathcad объединяют программу на визуаль­но-ориентированном языке программирования Mathcad с результатами её работы и текстовыми и формульными комментариями. Напомним, что ви­зуально-ориентированные языки программирования задают программу не в виде малопонятных кодов, а в виде визуально понятных объектов.

Язык программирования Mathcad ориентирован на математические вычисления и потому практически не отличается от обычного языка мате­матических статей, отчётов и книг. Это огромное достоинство системы Mathcad. Оно делает документы Mathcad вполне понятными даже непро­граммистам.

1.1.2. Понятие о входном языке общения и языке реализации Mathcad

Как следует из вышесказанного, общение пользователя с системой Mathcad происходит на уровне так называемого входного языка, макси­мально приближённого к обычному языку описания математических задач. Поэтому решение таких задач не требует программирования в общеприня­том смысле – написания программ на некотором промежуточном языке или в машинных кодах.

Mathcad является интерпретатором. Это означает, что когда система опознаёт какой-либо объект, она немедленно исполняет указанные в блоке операции. Объектами системы могут быть формульные, текстовые и гра­фические блоки. При этом формульные блоки могут иметь особые призна­ки – атрибуты активности, пассивности, оптимизации. Они будут рассмот­рены в последующих параграфах.

Очень важно запомнить, что Mathcad выполняет действия над блока­ми в строго определённом порядке: блоки анализируются слева направо и сверху вниз. Поэтому нельзя располагать блоки в документе произвольно.

Также важно запомнить, что изменение в выражениях приводят к пересчёту всех последующих выражений (это не относится к символьным операциям, реализуемым с помощью команд меню).

1.2. Начальные сведения о работе в системе Mathcad

1.2.1. Первый запуск Mathcad 2001

Для того чтобы запустить Mathcad в Windows 95/98/Me/NT/2000, на­жмите на кнопку "Пуск", затем в открывшемся меню нажмите на пункт "Программы", потом выберите пункт меню "MathSoft Apps", наконец, на­жмите на пункт меню "Mathcad 2001".

После запуска Mathcad 2001 на некоторое время появляется заставка системы, которая вскоре сменяется основным окном системы. В окне си­стемы присутствует окно центра ресурсов, дающее доступ к учебнику для новых пользователей, средствам обновления, Интернет-сайту фирмы MathSoft, Inc. и средствам коллективной работы над научными проектами.

Обычно при каждом новом запуске системы в центре основного окна появляется окно Tip of the Day. Сняв флажок Show tips on startup, можно отказаться от появления этого окна при последующих запусках системы.

1.2.2. Создание окна нового документа

Для создания нового окна (документа) можно воспользоваться ко­мандой New из меню File. При выборе этой команды на экране появляется окно, в котором можно выбрать тип создаваемого документа. Чаще всего используется тип Normal. Новое окно этого типа – пустое окно с маркером ввода (в виде красного крестика +) в левом верхнем углу.

Если требуется создание документа другого вида можно воспользо­ваться соответствующим шаблоном из набора предлагаемых типов доку­ментов. Для этого нужно подвести указатель мыши к шаблону и нажать на него.

1.2.3. Органы управления окнами

После создания нового окна документа внутри основного окна систе­мы появляется окно редактирования текущего документа. Можно открыть несколько таких окон.

Удерживая левую кнопку мыши после наведения курсора на строку заголовка, можно перемещать окна.

Если подвести указатель мыши к сторонам окна или к его углам, то указатель превращается в двусторонние тонкие стрелки. Эти стрелки ука­зывают направления, по которым окно можно растягивать или сжимать, тем самым меняя его размер.

Возможно также управление окнами различных документов с помо­щью маленьких кнопок в строке заголовка каждого из окон. В правом верхнем углу окна помещены три такие кнопки.

Левая кнопка сворачивает окно, сохраняя систему Mathcad активной. При этом в левом нижнем углу основного окна появляется кнопка со знач­ком окна и его названием.

Средняя кнопка выполняет функции переключения размеров окна: она разворачивает окно на весь экран или сжимает его до меньших разме­ров, которые можно менять способом, описанным выше.

Правая кнопка служит для закрытия окна. При этом работа с систе­мой Mathcad завершается.

1.2.4. Подменю управления окнами

В левом верхнем углу окна (в строке заголовка) имеется значок си­стемы Mathcad или её документа. При щелчке на нём появляется систем­ное меню, содержащее команды управления окном. Эти команды перечис­лены ниже.

Restore (восстановить) – раскрыть окно приложения, если оно свёр­нуто в кнопку, или уменьшить его, в противном случае, а именно, в случае, если окно приложения развёрнуто во весь экран.

Move (переместить) – переместить окно приложения.Size (размер) – изменить размер окна приложения.Minimize (свернуть) – свернуть окно в кнопку.Maximize (развернуть) – развернуть окно во весь экран.Close (закрыть) – закрыть окно и, если это основное окно, закончить

работу с приложением.

1.2.5. Работа с панелью задач

Windows – многозадачная система, позволяющая одновременно рабо­тать нескольким приложениям. Работа пользователя в каждый момент воз­можна только с одним приложением. Активное приложение выделяется тёмно-синим цветом строки заголовка. Окна других приложений имеют строку заголовка серого цвета. Окно приложения можно сделать актив­ным, щёлкнув в нём один раз мышью. Также приложение можно сделать активным, выбрав его на панели задач Windows.

1.2.6. Упражнения

1. Как запустить Mathcad?2. Как убрать окно Tip of the Day?3. Какие средства дают возможность управления окнами Mathcad?4. Можно ли одновременно работать с Mathcad и другими приложе­

ниями? 5. Как создать окно нового документа? 6. Можно ли перемещать окна? 7. Для чего используют маленькие кнопки в строке заголовка окна? 8. Что означает команда Restore? 9. Какой командой Mathcad можно переместить окно приложения?10. Какой командой Mathcad можно изменить размер окна приложе­

ния?11. Как в Mathcad свернуть окно в кнопку?12. Что делает команда Maximize?13. Для чего применяется команда Close?14. Какие признаки позволяют определить активность приложения?15. С каким числом приложений возможна работа пользователя в

каждый момент времени?16. С помощью какой кнопки можно изменить размер окна?17. Как изменить размер окна с помощью мыши?18. Какие указатели присутствуют в окне системы Mathcad?19. Какой тип окна чаще всего используется?20. Какой вид имеет новое окно?21. В каком порядке выполняет Mathcad действия над блоками?22. Нуждается ли система Mathcad в предварительном программиро­

вании вводимой информации?23. На какие типы задач ориентирована система Mathcad?

24. Что происходит с результатами решения численных задач при внесении изменений в их задание?

25. Как изменяются результаты символьных решений задач при вне­сении изменений в числовые исходные данные?

1.2.7. Выводы

1. Mathcad позволяет производить простейшие вычисления без про­граммирования.

2. Mathcad имеет окно оперативной подсказки Tip of the Day. Его можно убрать.

3. Для организации работы в Mathcad существуют различные органы управления.

4. В Mathcad можно работать параллельно с работой в других прило­жениях.

5. В Mathcad размеры окна приложения можно менять произвольным образом.

6. Mathcad позволяет создавать различные виды документов.7. В Mathcad изменение входной числовой информации ведет к авто­

матическому пересчету результата решения задачи.

1.3. Интерфейс пользователя

1.3.1. Детали интерфейса

Сразу после запуска система готова к созданию документа с необхо­димыми пользователю вычислениями. Первая же кнопка панели инстру­ментов (с изображением чистого листа бумаги) позволяет создать новый документ.

В верхней части окна системы Mathcad видны шесть характерных элементов интерфейса, перечисленные ниже.

Строка заголовка – строка с именем системы и текущего документа, а также с кнопками управления окном системы.

Строка меню – строка, открывающая доступ к пунктам меню с раз­личными командами.

Панель инструментов – панель с кнопками (значками), обеспечиваю­щими быстрое исполнение наиболее важных команд при работе с систе­мой.

Панель форматирования – панель с кнопками (значками), обеспечи­вающими быстрое форматирование текстовых и формульных блоков в до­кументах.

Панель вывода палитр математических знаков – панель с кнопками (значками), выводящими палитры специальных математических знаков и греческих букв.

Координатная линейка – линейка с нанесенными на ней делениями, позволяющая точно располагать блоки по горизонтали. Деления показыва­ют расстояния в сантиметрах.

На каждой из панелей имеется область в виде вертикальной черты, за которую можно перетаскивать панели по экрану или фиксировать их в верхней части окна под строкой меню (также их можно разместить по кра­ям окна вертикально).

1.3.2. Курсор ввода и линия раздела страниц

На чистом листе нового документа всегда присутствует вертикальная линия, показывающая границу между двумя соседними листами. Её поло­жение имеет значение только при распечатывании документа.

Для установки курсора в любом месте документа достаточно щёлк­нуть левой кнопкой мыши, подведя курсор к необходимому месту.

1.3.3. Строка заголовка

Строка заголовка присутствует у всех Windows-приложений. Она отображает название загруженного или вводимого с клавиатуры докумен­та. В левой части строки имеется стандартная кнопка управления окном, а в правой части – три маленькие кнопки.

Каждая из кнопок отвечает за свою операцию: левая кнопка предна­значена для свёртывания окна; средняя – для развёртывания его во весь экран и правая – для закрытия окна.

Поместив курсор или стрелку на строку заголовка (зацепив строку заголовка) можно перемещать с помощью передвижения мыши по экрану любые окна.

1.3.4. Меню управления окном документа

Меню управления окном документа отличается от стандартного меню управления окном присутствием пункта "следующее", который акти­визирует следующий из открытых документов.

1.3.5. Строка меню

В строке меню системы Mathcad 2001 представлены следующие за­головки:

File – работа с файлами, сетью Интернет и электронной почтой;Edit – редактирование документов;View – изменение способов представления документа и скрытие или

отображение элементов интерфейса;Insert – вставка объектов и их шаблонов;Format – изменение формата объектов;Math – управление процессом вычислений;Graphics – работа с графическим редактором;Window – управление окнами системы;Help – работа со справкой, центром ресурсов и электронными книга­

ми.Меню Mathcad – контекстные. Это значит, что число позиций в них и

их назначение зависят от состояния системы. Указанные выше меню характерны для рабочего состояния, когда

идёт редактирование документа. Под каждым из заголовков при его нажа­тии показывается список операций, которые могут быть выполнены. Для выполнения конкретной операции нужно выделить ее курсором и нажать на кнопку мыши.

Для активизации строки меню с клавиатуры достаточно нажать кла­вишу "Alt". После этого с помощью стрелок и клавиши "Enter" можно вы­брать нужный пункт меню.

Также для активизации необходимой для дальнейшей работы строки меню клавиатуры можно нажимать одновременно "Alt" и клавишу с бук­вой, которая подчёркнута в строке меню.

В раскрытом меню показывается список команд. Недоступные в дан­ный момент команды показываются серым шрифтом. Их нельзя выбрать ни мышью, ни с клавиатуры.

1.3.6. Панель инструментов

Под строкой меню обычно располагается панель инструментов. Она содержит несколько групп кнопок управления, каждая из которых дубли­рует наиболее важные команды меню. При наведении курсора на кнопку появляется всплывающая подсказка, на которой написана команда, дубли­руемая кнопкой.

Панель инструментов можно переместить в любую точку экрана в пределах окна Mathcad, зацепившись за вертикальную черту.

В пределах панели инструментов можно выделить следующие груп­пы кнопок:

1) кнопки операций с файлами;2) кнопки печати и контроля;3) кнопки редактирования;4) кнопки размещения блоков;5) кнопки операций с выражениями;6) кнопки управления компонентами;7) кнопки управления ресурсами;8) кнопки форматирования;9) кнопки палитр математических знаков.

1.3.7. Кнопки операций с файлами

Документы системы Mathcad хранятся в виде файлов, то есть имею­щих имена блоков информации, содержащихся в устройстве хранения ин­формации. Файлы можно создавать, загружать (открывать), записывать и распечатывать на принтере. Соответственно, файловые операции представ­лены на панели инструментов первой группой из трёх кнопок:

New (создать) – создание нового документа типа Normal;Open (открыть) – загрузка ранее созданного документа с выбором его

файла из диалогового окна;Save (сохранить) – запись текущего документа с его текущим

именем.Кнопка Open открывает стандартное окно открытия файла. В верх­

ней части этого окна находится выпадающий список с деревом каталогов. В центральной области окна находится список файлов, содержащихся в те­кущем каталоге. После выбора файла для его открытия достаточно нажать кнопку с надписью Open (Открыть).

1.3.8. Кнопки печати и контроля

Эта группа тоже представлена тремя кнопками:Print (печать) – распечатка документа на принтере;Print Preview (предварительный просмотр) – предварительный про­

смотр документа;Check Spelling (правописание) – проверка орфографии в документе.

1.3.9. Кнопки редактирования

Во время подготовки документов их приходится изменять и допол­нять – редактировать. Следующие три кнопки служат для выполнения опе­раций редактирования документов:

Cut (вырезать) – перенос выделенной части документа в буфер обме­на с очисткой этой части документа;

Copy (копировать) – копирование выделенной части документа в бу­фер обмена. При этом выделенная часть не удаляется;

Paste (вставить) – вставка содержимого буфера обмена в текущую позицию курсора.

Буфер обмена предназначен для временного хранения блоков инфор­мации.

Следующие две кнопки также предназначены для редактирования документов:

Undo (отменить ввод) – отмена предшествующей операции редакти­рования;

Redo (вернуть ввод) – повторение ранее отменённой операции редак­тирования.

1.3.10. Кнопки размещения блоков

Все документы Mathcad состоят из блоков. Их расположение имеет значение при выполнении вычислений, так как они выполняются по поряд­ку слева направо и сверху вниз. Для их выравнивания предназначены сле­дующие две кнопки:

Align Across (выровнять по горизонтали) – блоки выравниваются по горизонтали;

Align Down (выровнять вниз) – блоки выравниваются по вертикали, располагаясь сверху вниз.

1.3.11. Кнопки операций с выражениями

Формульные блоки часто являются вычисляемыми выражениями или выражениями, входящими в состав заданных пользователем новых функ­ций. Для работы с выражениями служат следующие кнопки:

Insert Function (вставить функцию) – вставить функцию из списка, появляющегося в диалоговом окне;

Insert Unit (вставить единицу) – вставить размерную единицу;Calculate (вычислить) – вычислить выделенное выражение.Mathcad имеет множество встроенных функций. Все они перечисля­

ются в списке, вызываемом кнопкой Insert Function, поэтому необязатель­но запоминать синтаксис всех функций.

Если документы большие, то при их изменениях не всегда выгодно запускать вычисления с самого начала. В этом случае можно воспользо­ваться кнопкой Calculate. Вычисления будут произведены для выделенно­го выражения, претерпевшего изменения, и их результаты можно поме­стить туда, где они требуются для продолжения работы.

1.3.12. Кнопки управления компонентами

Insert Hyperlink (вставка гиперссылки) – создаёт гиперссылку.Component Wizard (мастер компонентов) – открывает окно, дающее

удобный доступ ко всем компонентам системы.

1.3.13. Кнопки управления ресурсами

Для оперативного изменения масштаба отображения символов в те­кущем окне на панели инструментов имеется раскрывающийся список Zoom (масштаб). В поле раскрывающегося списка отображается значение выбранного масштаба, а кнопка с направленной вниз стрелкой раскрывает список стандартных значений.

В эту группу входят ещё две кнопки:Resource Center (центр ресурсов) – открывает центр ресурсов;Help (справка) – открывает справочную систему.Справочная система должна быть предварительно загружена. В про­

тивном случае появится окно с информацией о том, что данная система не найдена.

1.3.14. Кнопки форматирования

Кнопки форматирования позволяют изменять формат текста, как и обычный текстовый редактор:

Style (стиль) – выбор стиля отображения текстовых блоков;Font (шрифт) – выбор шрифта для символов;Font Size (размер шрифта) – выбор размера шрифта;Bold (полужирный) – выбор полужирного начертания шрифта;Italic (курсив) – выбор наклонного начертания шрифта;Underlined (подчёркнутый) – установка подчёркивания символов;Align Left (по левому краю) – выравнивание строк по левой границе;Align Center (по центру) – выравнивание строк по центру;Align Right (по правому краю) – выравнивание строк по правой гра­

нице;Bullets (маркеры) – создание маркированного списка;Numbering (нумерация) – создание нумерованного списка.

1.3.15. Кнопки палитр математических знаков

Палитры математических знаков служат для вывода шаблонов мате­матических операторов, функций, символов.

Для вывода шаблона того или иного объекта с помощью палитры нужно:

1) вывести нужную палитру;2) выбрать необходимый шаблон в палитре.Кнопки вывода палитр находятся в нижнем ряду кнопок (в стандарт­

ном виде).Несмотря на присутствие палитр математических знаков, все опера­

торы, функции и символы можно вводить и с клавиатуры.Подробнее палитры математических знаков будут рассматриваться в

последующих параграфах.

1.3.16. Упражнения

1. Какие элементы составляют интерфейс системы Mathcad?2. Что включено в строку меню системы Mathcad?3. Для чего нужны кнопки операций с файлами?4. Что можно сделать, используя кнопки печати и контроля?

5. Какие кнопки редактирования имеются в Mathcad?6. Для чего используются кнопки размещения блоков?7. Какие действия позволяют выполнять кнопки операций с выраже­

ниями?8. В каких случаях используются кнопки управления компонентами?9. Для чего применяются кнопки управления ресурсами?10. Какие операции позволяют выполнить кнопки форматирования?11. Какие возможности дают кнопки палитр математических знаков?12. Для чего может быть использована опция Help меню?13. Каково назначение опции Format меню?14. В каких целях используется опция Edit меню?15. Для управления какими процессами используется опция меню

Math?16. Когда используется опция Graphics меню?17. Для чего может быть использована опция Insert меню?18. Измените вид окна Mathcad, убрав отдельные панели.19. Создайте новый документ сначала с помощью кнопки New, а за­

тем с помощью команды New меню File.20. Уберите линию раздела страниц.21. Введите шаблоны нескольких различных операторов.22. Измените размеры элементов документа.

1.3.17. Выводы

1. Панель инструментов обеспечивает удобное пользование различ­ными инструментами Mathcad.

2. Размеры элементов документа можно изменять.3. Кроме полноценной помощи, существуют всплывающие

подсказки.4. Кнопки форматирования позволяют изменять формат текста, как и

обычный текстовый редактор.5. Палитры математических знаков служат для вывода шаблонов ма­

тематических операторов, функций, символов.6. Все документы Mathcad состоят из блоков. Их расположение име­

ет значение при выполнении вычислений, так как они выполняются по по­рядку слева направо и сверху вниз.

7. Меню Mathcad – контекстные: число позиций в них и их назначе­ние зависят от состояния системы.

1.4. Работа с текстом и выполнение простейших математических операций

1.4.1. Работа с текстом

Текст в Mathcad необходим прежде всего для создания документов, понятных не только разработчику. Именно комментарии делают докумен­ты документами в общепринятом смысле этого слова.

В простейшем случае для ввода текстового комментария достаточно ввести символ " (двойные кавычки). В появившемся прямоугольнике мож­но вводить текст. В текстовой области курсор имеет вид вертикальной чер­ты. Стиль текста можно изменять с помощью кнопок форматирования.

Текстовый блок имеет маркеры изменения размера в виде маленьких чёрных прямоугольников, уцепившись за которые, размеры блока можно увеличивать или уменьшать. Размер текста при изменении размера блока не изменяется.

Блок можно перемещать, удерживая его за рамку. Если в начале перемещения нажать клавишу Ctrl, то будет выполняться перенос блока с его сохранением на первоначальном месте.

Для завершения ввода текста достаточно перевести указатель мыши за пределы блока и щёлкнуть кнопкой мыши или нажать комбинацию кла­виш Ctrl + Shift + Enter.

Для коррекции текста необходимо подвести указатель мыши к тому месту, где будет производиться изменение введенного ранее и щёлкнуть левой кнопкой мыши.

1.4.2. Построение выражений

Многие математические выражения можно создавать, просто печатая последовательность символов. Часть символов – буквы и цифры – служит для ввода чисел и имён функций и переменных, другие символы, подобно * и + , служат для создания операторов.

При редактировании выражений в Mathcad используется выделяю­щая рамка. Важно запомнить, что заключённая в рамку часть выражения становится операндом следующего вводимого оператора.

Необходимость использования выделяющей рамки покажем на при­мере.

Если набрать: 1*2−3*4/5^2, то получим следующее:

1 2⋅ 3 4

52

⋅−

Если перед набором знака деления выделить всё выражение рамкой (нажимая на пробел, пока всё выражение не окажется подчёркнутым:

), то получим следующее:1 2⋅ 3 4⋅−

52

1.4.3. Операции присваивания значения и вычисления

Для присвоения переменной какого-либо численного значения доста­точно после введения переменной нажать на клавишу = и ввести числен­ное значение.

Такой способ присвоения переменной численного значения приме­ним только в случае начального присвоения. Если переменной уже присва­ивалось значение, то нажатие на клавишу = приведёт к тому, что Math­cad покажет это значение. Для присвоения нового значения в этом случае необходимо нажать на клавишу со знаком двоеточия.

Для вычисления любого выражения достаточно после него ввести знак равенства. После выполнения вычислений результат будет выведен в строке выражения сразу за поставленным знаком равенства.

1.4.4. Использование шаблонов и функций

Для того чтобы ввести выражение с использованием шаблона из па­литры, достаточно нажать на кнопку с необходимым шаблоном. После это­го в документе появляется шаблон с местами ввода чисел или переменных, обозначенных маленькими чёрными прямоугольниками. Установив курсор в место ввода, необходимо ввести число или переменную. После этого ввод выражения с использованием шаблона заканчивается.

Сложные математические выражения наряду с операторами содер­жат математические функции. Для облегчения ввода математических функций служит кнопка , которая выводит окно с полным перечнем функций, разбитым на тематические разделы. Выбранная функция вводит­ся в документ после нажатия на кнопку OK или Insert (вставить). Функ­ции, также как и шаблоны, имеют места ввода.

1.4.5. Упражнения

1. Введите в документ текстовый блок с надписью:а) "тренировка"; б) "обучение"; в) "задача"; г) "пример № 15";д) "решение"; е) "ответ"; ж) " машина"; з) "операция"; и) "уравнение"; к) "метод вычислений"; л) "алгоритм";м) "корень уравнения"; н) "неравенство"; о) "функция".2. Проведите форматирование надписи.3. Проведите следующие вычисления:

а) 1 + 7; б) 3 ∙ 10; в) 57 3

13 ; г) 0, 4 + 0, 3; д) 0, 4 ∙ 0, 7;

е) 7 311

− 519 ; ж) 0, 2 + 1

3 ; з) ; и) 5, 1233⋅1, 6514 ; к) ;

л) 0, 7613 ; м) 35

9741

88 ; н) 2112⋅1623 ; о) 167, 398 ⋅ 0, 3785;

п) 3489, 31 ⋅ 1, 2; р) 5437, 45 : 1765, 876; с) 6789, 973 : 11, 984;

т) 172⋅31121

−5 2⋅17193 ; у) 3,4 3 :14−2

72−2⋅19−812

134⋅1254

3476 1113

2134 ;

ф) 65⋅13−2 : 45⋅ 311

−119

:141−2⋅352 ; х) 177 :35178

−1594

⋅7789

:235

366 ;

ц) 65 311

−75 519

:873467 ; ч) 71 , 345⋅ 3

11−45 , 788 : 5

19⋅2 11 .

4. Вычислите значения функций в заданных точках:а) sin x , cos x при x = 0, 0037; 0, 0368; 0, 3465; 0, 465; 0, 571; 0, 64382;б) e x , log4 x при x = 0, 654; 0, 2458; 0, 36576; 0, 465; 1, 463; 2, 376;

4, 0785; 1, 332; 1, 4356; 1, 9821; 0, 99832; 2, 1112354; 0, 786549834; в) arcsin x , arccos x при x = − 0, 3114562; − 0, 036338; 0, 34616644825;

0, 0468565; 0, 87434732; 0, 99876; 0, 989943; 0, 876543; 0, 765412;г) tg x, ctg x при x = 0, 0031277; 0, 0389668; 0, 34789651; 0, 46789115;

1, 57213379; 3, 5698437; 4, 53321; 8, 235234; 9, 123523; 10, 54326; д) 3 x , x−2 при x = 0, 0058; 0, 0118; 0, 2315; 0, 4785; 1, 389; 3, 142553;

6, 1213; 8, 965437; 25, 875948; 635, 2315499; 7845, 5423; 23199, 434356;

е) x8 , 1x5136 при x = 37, 541; 13, 0368; 4, 3465; − 1, 42365; 1, 591171;

3, 145567; 4, 675892; 6, 542311; 7, 452399; 0, 123721; 0, 76547; 0, 21415;ж) arctg x, arcctg x при x = 3, 789; 0, 0368; 1, 3465; 2, 67345; 4, 414671;

3, 567; 6, 123876; 9, 3254; 2, 17654; 2, 95431; 1, 37778; 1, 972111;

з) 7x−3x 2−4 при x = 3, 756; 6, 7898; 7, 8543; 10, 465; 11, 571; 13, 567;

14, 532; 4, 112657; 3, 55312; 3, 87645; 43, 895412; 65, 2131; 44, 337765;

26 5

719

+

к) sin xx21 при x = 0, 0037; 0, 0368; 0, 3465; 0, 465; 1, 571; 3, 567; 4, 53;

1, 0037; 2, 0368; 3, 3465; 4, 465; 5, 571; 6, 56712; 3б 54231;

л) x2−x13x 4−4x4

при x =1, 0037; 2, 0368; 3, 3465; 4, 465; 5, 571; 6, 567; 0,

0037; 0, 0368; 0, 3465; 0, 465; 1, 571; 1, 371; 1, 568; 1, 789; 0, 465;м) sin π

x при x = 0, 37; 0, 68; 3, 465; 4, 65; 5, 71; 6, 734; 7, 321; 8, 324; 9, 43; 13, 1211; 0, 8765; 32, 11335; 23,87611; 37,896711; 61, 11999345;

н) x sin πx при x = 1, 371; 1, 568; 1, 789; 0, 465; 0, 713; 0, 0567; 0, 0453;

о) x2−2x6−3 x33x−7

x4−4x3 при x = 0, 723; 1, 815; 2, 478; 4, 5553; 8,

1678; 11, 348967; 2, 3456; 3, 7654; 8, 6453; 6, 231451; 2, 1133468; 2, 9782; 3, 124; 3, 465; 4, 571; 5, 567; 6, 5233; 6, 6783; 9, 5634; 11, 9742; 23, 7564;

п) ex , log7 x при x = 0, 0037; 0, 0368; 0, 3465; 0, 465; 1, 571; 3, 56387; 4, 5553; 8, 1678; 11, 3467; 2, 3456; 3, 7654; 8, 6453; 6, 231451; 2, 113342;

р) arctg x, arcctg x при x = − 0, 3227; 0, 1618; 0, 5354; 1, 545; −1, 571; 13, 5617; 14, 513; 23, 3412; 2, 3564; 2, 8769; 2, 6453; 3, 76511; 4, 321156;

с) e3x , log9 x при x = 0, 0317; 0, 03168; 0, 3458; 0, 846995; 1, 156785; 3, 788; 4, 5312; 6, 1312; 6, 5342; 5, 567; 6, 5233; 6, 6783; 0, 0368; 0, 3465;

т) arctg x, arcctg x при x = 1, 347; − 3, 128; 0, 3465; − 0, 4675; 1, 57561; 3, 567; − 4, 75453; 0, 3465; 14, 513; 23, 3412; 0, 465; 1, 571; 4, 578.

1.4.6. Выводы

1. В Mathcad можно использовать обычный текст, который можно форматировать, как в обычном текстовом редакторе.

2. В Mathcad можно производить различные вычисления.3. В Mathcad используются элементы программирования, например,

присваивание значения переменной.4. Mathcad автоматизирует арифметические вычисления.5. Mathcad вычисляет значения различных функций при любых зна­

чениях аргумента из области их определения.

2. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

2.1 Вычисление определителя матрицы n×n

Для введения матрицы в документ можно вывести панель векторов и матриц (vector and matrix toolbar), а затем выбрать шаблон матрицы (ma­trix or vector). Также можно воспользоваться командой Matrix меню Insert (вставка).

Матрица – математический объект в виде таблицы, который характе­ризуется числом строк (rows) и столбцов (columns). В Mathcad элементами матрицы могут быть числа, константы, переменные и даже математиче­ские выражения. При введении шаблона матрицы в документ появляется диалоговое окно, в котором необходимо ввести размерность матрицы, то есть число ее строк и столбцов.

Шаблон, введённый в документ, содержит места ввода элементов матрицы. Место ввода можно сделать активным, щёлкнув на нём мышью. С помощью клавиш перемещения курсора можно ввести все элементы мат­рицы.

Обращение к элементам матрицы производится с помощью имени матрицы и индексов элемента. Индексы вводятся с помощью клавиши "]" и разделяются запятой. Первый индекс соответствует номеру строки, а второй – номеру столбца матрицы, содержащей элемент.

Нижняя граница индексов по умолчанию начинается с нуля. Она определяется встроенной переменной ORIGIN, которую можно поменять с помощью команды Options меню Math.

Для работы с векторами и матрицами система Mathcad поддерживает ряд операторов и функций. Здесь мы рассмотрим основные из них.

Сначала напомним, что называется определителем.Понятие определителя вводится только для квадратных матриц, то

есть матриц с равным числом строк и столбцов. Число строк (столбцов) определяет порядок квадратной матрицы, и этот же порядок присваивается соответствующему матрице определителю.

Определителем первого порядка называется число |a11| = a11.Определителем второго порядка называется число

∣A∣=∣a11 a12

a21 a22∣=a11a22−a12a21 ,

где a11 , a12 , a21 , a22 – элементы матрицы, определитель которой нужно вы­числить.

Определитель третьего порядка – это число

∣A∣=∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a23 a33∣=a11 a22 a33 a13 a21 a32 a12 a23 a31 −

−a13 a22 a31 −a11 a23 a32 −a12 a21 a33 .

Вычисление определителей четвертого и последующих порядков сводится к вычислению определителей второго и третьего порядков.

Порядок определителя − это число его строк и столбцов. Определителем n -го порядка называется число, вычисленное по

определенным правилам на основе чисел, заданных квадратной таблицей из n строк и n столбцов.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.Матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны

единице, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной. Ее определитель равен единице.

Матрица называется вырожденной, если её определитель равен ну­лю.

Примерами вырожденных матриц являются матрицы, содержащие строки или столбцы из одних нулевых элементов, матрицы, имеющие два одинаковых столбца или две одинаковых строки.

Матрицы, все элементы которой выше главной диагонали или ниже главной диагонали равны нулю, называется треугольной.

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на ее главной диагонали.

В Mathcad имеется возможность вычислять определитель любой мат­рицы и с любой заданной точностью вычислений.

Определитель матрицы вычисляется с помощью оператора "|A|", где А – заданная в задаче матрица.

Например, операция вычисления определителя в Mathcad запишется в виде двух операций, а именно, задания матрицы А и вывода ее определи­теля (сами действия по вычислению определителя при этом не отобража­ются на экране):

, |A|= − 999.A

5

4

1

3−

20

2

4

1

5

1−

1

1−

3

1

6

2

:=

2.2. Вычисление обратной матрицы

Обратной матрицей для данной квадратной матрицы А называется такая матрица A−1 , произведение на которую матрицы А справа и слева является единичной матрицей:

AA−1=A−1 A=E .Для невырожденной квадратной матрицы A существует единствен­

ная обратная матрица A-1.Для вычисления обратной матрицы для исходной матрицы A доста­

точно напечатать: A-1 =. Например:

, A−1=−0 . 013 0 .135 0 .038 −0 .1620 . 054 0 .054 −0 . 081 0 .1350 . 019 −0 . 351 0 .175 −0 .378−0 . 037 0 0 .185 0

.

2.3. Определение ранга матрицы

Линейной комбинацией элементов a и b некоторого множества од­нородных математических объектов называется их сумма αaβb , где α и β − числа. Если строка (столбец) матрицы может быть получена в ре­

зультате линейной комбинации других ее строк, говорят, что строка линей­но зависима от этих строк.

Рангом матрицы А называется максимальное число линейно незави­симых строк (столбцов) матрицы А.

Для определения ранга матрицы можно воспользоваться функцией rank(M), которая возвращает ранг матрицы M.

Например:

A

1

3

1

2

6

1

4

8

0

:= , rank A( ) 3= ;

B3

7

10

4

2

6

5

3

8

1

2

3

:= , rank B( ) 2= .

A

5

4

1

3−

20

2

4

1

5

1−

1

1−

3

1

6

2

:=

2.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений

Решением системы линейных алгебраических уравнений называется такое значение вектора неизвестных, при подстановке которого все урав­нения системы удовлетворяются тождественно.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений с исполь­зованием матричных операций необходимо представить систему уравне­ний в виде: AX = B, где A – матрица коэффициентов системы линейных уравнений, B – вектор свободных членов, X – вектор неизвестных. После введения матрицы коэффициентов системы линейных уравнений и вектора свободных членов вектор неизвестных определяется следующим образом: X = A-1B.

Например:

{ x12x2−x3x4=4 ;2x1−x2 x3− x4=1 ;

3x12x23x32x4=0 ;x1x2−4x3=9 .

A

1

2

3

1

2

1−

2

1

1−

1

3

4−

1

1−

2

0

:= , B

4

1

0

9

:= ,

X : =A−1⋅B , X = 1 . 5560 .333−1 . 778

0 .

Системы линейных алгебраических уравнений в Mathcad не обяза­тельно решать с помощью матричных операций, о чём будет сказано в сле­дующих главах.

2.5. Упражнения

1. Вычислить определители следующих матриц:

а) 20 43 2 5 111 30 10 3 2 3 71 2 51 9 5 5 7 9 347 4 6 8 23

; б) 93 1 33 6 814 3 8 9 3 16 13 48 2 1 3 17 30 47 9 4 83 55 3 6

;

в) 1 8 3 5 2 7 8 5 3 9 3 6 5 5 3 8 7 3 2 4 9 1 6 3 7

; г) 3 7 8 3 4 13 15 16 71 8125 50 3 6 1931 4 6 7 413 8 33 2 7

;

д) 76 67 11 34 5419 54 14 33 2716 22 56 17 7653 43 32 78 9217 32 53 18 37

; е) 12 153 16 115 2375 22 48 56 1752 71 42 51 3921 54 73 9 1886 24 34 53 31

;

ж) 56 63 21 31 3411 53 18 37 5715 28 95 67 7157 13 32 78 84123 39 73 15 81

; з) 30 13 27 57 3115 10 13 35 2233 11 21 53 9152 54 78 92 3771 41 69 18 28

;

и) 36 40 11 12 3441 53 28 39 1725 28 75 23 1354 13 32 65 1545 39 73 15 92

; к) 35 13 271 57 3019 10 113 35 1231 11 111 53 5459 54 110 92 2771 41 61 18 22

;

л) 56 43 21 22 3441 53 28 39 4725 38 75 23 4354 13 35 65 1545 39 73 15 72

; м) 36 21 66 78 6361 59 28 39 1575 28 76 23 1384 13 32 45 1555 38 73 15 24

.

2. Вычислить обратную матрицу для следующих матриц:

а) 1 1 1 1 1 2 4 8 1 3 9 271 4 16 64

; б) 4 3 −2 1 3 −4 1 2 −2 −1 −4 3 −1 2 3 4

;

в) −1 2 3 −1 −8 2 6 −4 −27 2 9 −9 −64 2 12 −16

; г) −7 3 −1 5 −1 5 −3 7 −3 7 −5 1 −5 1 −7 3

;

д) 41 41 41 6141 2 4 8 41 3 9 2741 4 16 64

; е) −10 −10 −10 −10−10 20 40 80−10 30 90 270−10 40 160 640

;

ж) 9 9 9 9 9 2 4 8 9 3 9 279 4 16 64

; з) 1 1 1 1 4 8 12 161 3 9 273 12 48 192

.

3. Определить ранг матриц:

а) 53 51 12 34 3733 11 32 14 3166 22 64 28 6221 41 15 16 2522 14 13 51 34

; б) 3 1 2 4 3 1 1 3 1 1 6 2 7 8 6 12 4 14 16 5 2 1 3 5 4

;

в) 1 2 1 3 −3 4 2 4 1 2 1 3 2 3 4 0 6 1 5 5 11 10 8 12

; г) 3 3 4 2 3 6 4 2 3 1 2 4 3 1 1 2 1 2 9 5 1 1 5 3

;

д) 13 22 13 23 −1 1935 45 51 19 −1 2771 11 24 49 −2 2951 11 21 39 −5 29

; е) 1 5 13 23 −1 9 9 45 51 19 −1 7 3 15 24 49 −2 9 7 35 21 39 −5 9

;

ж) 13 41 32 34 3731 71 35 14 3162 72 64 28 6243 89 15 16 2532 81 17 51 34

; з) 55 51 65 4 3 33 11 82 4 3 66 22 64 28 6221 45 15 16 2522 40 10 24 34

;

и) 7 22 13 23 −15 1 21 66 51 19 −17 7 7 8 14 13 −28 2 21 24 42 39 −84 6

; к) 97 82 4 23 −41 1 95 48 4 19 −82 2 91 81 4 49 −21 6 59 18 4 39 −51 8

;

л) 3 22 13 23 −1 195 45 51 19 −1 277 11 24 49 −2 295 11 21 39 −5 29

; м) 13 2 13 −23 1 1735 4 −51 −19 1 1871 1 24 −49 2 1151 1 21 −39 5 15

.

4. Решить системы линейных алгебраических уравнений:

а) { x1x2−3x3x4=3 ;2x15x2−10 x3−3x4=0 ;

x1−2x23x34x4=6 ;4x14x2x3−5x4=11 .

б) { 2x1−2x2 x3− x4=1 ;x1x2−3x36x4=3 ;2x1 x2 x32x4=8 ;

3x1−x22x3−3x4=2 .

в) { 5x1−7x24x3−x 4=9 ;3x12x26x3−8x4=14 ;

4x1−9x2−5x3−3x4=−10 ;x13x2− x3−2x4=7 .

г) {x14x2−5x33x4=14 ;2x1−3x24x3− x4=−5 ;

x1x2 x3 x4=7 ;3x12x23x32x4=16 .

д) { x1−10 x24x3−11 x4=−42 ;x16x218 x3−24 x 4=284 ;

x1− x2−x3−x4=106 ;0 . 5x1x 2−7x3−140 x4=−80 .

е) {3x1−7x24x3−x4=−78 ;x12x26x3−x4=−8 ;

x1−9x2−5x3−x4=−173 ;2x13x2−x3−x4=−18.

ж) {0 . 5x1−x 26x3x4=161 ;2x12x24x3 x4=260 ;−x19x2−5x3−x 4=−99 ;

x13x2−x3−x 4=33.

з) {5x1− x24x3−x4=−37 ;3x1x26x3−8x4=117 ;4x1− x2−5x3−3x4=−73 ;

x1−x2−x3−2x4=−91.

2.6. Выводы

1. В Mathcad при помощи специальных операторов вычисляются ве­личины, характеризующие матрицу: определитель матрицы и ранг матри­цы.

2. В Mathcad простым присвоением оператору A-1 вычисляется обрат­ная матрица.

3. В Mathcad автоматизировано решение систем линейных алгебраи­ческих уравнений любого порядка с невырожденной матрицей коэффици­ентов.

4. Вычисления с матрицами чисел выполняются с использованием матричных операторов.

3. МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

3.1. Решение нелинейных уравнений

В Mathcad легко с заданной погрешностью решить практически лю­бое нелинейное уравнение. Для простейших уравнений вида F(x) = 0 (причем F(x) – функция любого вида) решение находится с помощью функции из Mathcad root(F(x, y, ...), x, [a, b]). В качестве аргумента функ­ции root(F) записывается функция F(x, y, ...) – левая часть уравнения F(x, y, ...) = 0, числа a и b – соответственно нижняя и верхняя границы интервала, в пределах которого нужно найти корень уравнения. Функция root возвра­щает значение корня уравнения с точностью, заданной системной перемен­ной TOL.

Границы интервала, в пределах которого должен находиться корень, указывать необязательно. Можно предварительно задать начальное значе­ние переменной, относительно которой решается уравнение.

Функция root отыскивает как действительные, так и комплексные корни.

Для поиска корней обычного полинома в Mathcad существует функ­ция polyroots(v), возвращающая вектор, содержащий все корни полинома, коэффициенты которого содержатся в v.

Например: нужно решить уравнение 4x3−x2 x−5=0 .

Решение в Mathcad для этого уравнения состоит из двух операций – задания вектора коэффициентов уравнения и вывода результата его реше­ния:

v

5−

1

1−

4

:= , polyroots v( )

0.417− 0.99i−

0.417− 0.99i+

1.084

= .

Как и при других операциях в Mathcad, все промежуточные вычисле­ния, приводящие к полученному результату, скрыты от пользователя.

3.2. Итерационные вычисления

Mathcad позволяет реализовать вычисления, производимые по рекур­рентным соотношениям. Это такие соотношения, при которых значение некоторой функции находится по одному или нескольким предшествую­щим её значениям. Классическим примером рекуррентных вычислений яв­ляется расчёт чисел Фибоначчи, приведённых в 1228 году в рукописи Леонарда Пизанского (Фибоначчи). Это числа из последовательности, в которой каждое число, начиная с третьего, получается как сумма двух пре­дыдущих чисел, а первые два числа равны единице.

Вычисление первых десяти чисел Фибоначчи в Mathcad выглядит следующим образом:

x0 1:= x1 1:= i 2 9..:= xi xi 2− xi 1−+:=

xT 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

=

Mathcad поддерживает также некоторые распространённые операто­ры языков программирования, используемые для вычислений, повторяю­щихся циклически, например For или While. Их также можно использовать для итерационных вычислений.

3.3. Построение графика функции

Чаще всего при расчётах в качестве иллюстрации или материала для анализа требуются двумерные графики функций. В соответствии с этим построение таких графиков в Mathcad максимально упрощено.

Для построения графика функции одной переменной сначала требу­ется набрать функцию, например, 4x3−x2 x−5 . После этого нужно в па­литре графиков выбрать двумерный график: . На экране появится ша­блон графика с уже введённой по оси Y функцией. В место ввода шаблона по оси X нужно ввести имя переменной, например, x. После этого нужно щёлкнуть мышью вне шаблона, и график построится:

10 5 0 5 106000

4000

2000

0

2000

4000

4x3 x2− x+ 5−

x

С помощью мыши очень легко изменить размеры и переместить гра­фик.

Для построения на том же графике ещё нескольких графиков после первой функции через запятую нужно ввести необходимые функции.

Непосредственно на графике можно изменить границы построения графика, добавить сетку, изменить цвет графика и т. д.

Границы построения указываются в местах ввода, появляющихся не­посредственно слева и справа от имени переменной.

Добавление сетки, изменение цвета производится путём выбора пункта Format из контекстного меню графика.

1 0.5 0 0.5 1 1.5 220

10

0

10

20

30

4x3 x2− x+ 5−

x

3.4. Дифференцирование

Операцию нахождения производной функции называют дифферен­цированием.

Дифференциалом dy функции y = f(x) в точке x0 называют глав­ную линейную часть приращения функции (относительно Δx) в этой точке.

Для вычисления дифференциала dy функции y = f(x) в точке x0 сле­дует воспользоваться следующей формулой:

dy= f ' x0 ⋅dx . Дифференциалом dx независимой переменной x называют прираще­

ние этой переменной Δx, то есть dx=Δx .Производная n-го порядка функции f(x) – производная от производ­

ной (n – 1)-го порядка (вторая производная – производная от первой произ­водной этой функции; третья производная – производная от второй и т. д.)

Mathcad позволяет дифференцировать не только численно, но и сим­вольно. Символьными называют такие вычисления, результаты которых представляются в аналитическом виде, то есть в виде формул. В частном случае результат может быть и числом. Вычисления в символьном виде от­личаются большей общностью и позволяют судить о математических, фи­зических и иных закономерностях решаемых задач.

Ядро символьного процессора системы Mathcad – несколько упрощённый вариант ядра известной системы символьной математики Maple V.

Команды, относящиеся к работе символьного процессора, содержат­ся в меню Symbolics. Чтобы символьные операции выполнялись, процессо­ру необходимо указать, над каким выражением это должно проводиться, то есть надо выделить выражение.

При дифференцировании выделяется не выражение, а переменная, по которой дифференцируется выражение. Дифференцирование произво­дится командой меню Variable ►Differentiate. Для вычисления производ­ных высшего порядка нужно повторить вычисление необходимое число раз.

Например. Исходное выражение: 3x1x41 .

Производная: 3

x41 −4 ⋅3x1

x 41 2⋅x3 .

Исходное выражение: 2 sin x ⋅ln cos x

Производная: 2 sin x ⋅cos x ⋅ln 2 ln cos x −2 sin x ⋅sin x cos x .

3.5. Разложение в ряд Тейлора

При использовании сложного вида функции в ряде прикладных задач их заменяют рядами Тейлора. Ряд Тейлора – это представление функции f(x) в окрестности точки x0 ∈ X с помощью её производных различного по­рядка в виде ряда по степеням двучлена (x − x0):

При x0 = 0 ряд будет по степеням переменной x. Такой степенной ряд является частным случаем разложения функции в ряд Тейлора и называет­ся рядом Маклорена.

Разложение в ряд Тейлора осуществляется командой Variable ►Expand to Series. По умолчанию число членов ряда равно шести. В разложении указы­

вается остаточная погрешность.Например:ecos x x⋅ln x

=exp 1 −12⋅exp 1 ⋅ln x ⋅x3−1

12⋅exp1 ⋅ln x ⋅x5o x6

f x = f x0 f ' x0

1 ! x−x0

f ' ' x0 2 !

x−x0 2

f n x0

n! x− x0

no x−x0 n1

3.6. Интегрирование

Множество вопросов математического анализа и приложений в раз­нообразных отраслях науки приводит к задаче: по данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой равна функции f(x).

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на проме­жутке X, если для любого x ∈ X функция F(x) дифференцируема и выпол­няется равенство F'(x) = f(x).

Операция нахождения первообразной по её производной или неопре­делённого интеграла по заданной подынтегральной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование является операцией, обратной дифференцированию. Для проверки правильности выполнения интегрирования нужно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Интегрирование осуществляется командой меню Variable ►Integrate.

Эта команда используется так же, как и команда дифференцирова­ния. Например:

3.7. Разложение на правильные дроби

Разложение сложного алгебраического выражения на правильные дроби позволяет проанализировать поведение исследуемой величины в за­висимости от каждой из составляющих. При этом возможно нагляднее представить влияние особенных точек на поведение исследуемой величи­

Исходное выражение 1

sin x( )5

Интеграл

1−

4 sin x( )4⋅cos x( )⋅

3

8 sin x( )2⋅cos x( )⋅−

38

ln csc x( ) cot x( )−( )⋅+

Исходное выражение 1ln x( )

ИнтегралEi 1 ln x( )−,( )−

ны, выявить существенные и несущественные составляющие. Эта опера­ция позволяет упростить интегрирование рациональных выражений.

Команда Variable ►Convert to Partial Fraction возвращает символь­ное разложение выражения, представленное относительно заданной пере­менной в виде суммы правильных дробей.

Например:2 ⋅x2−9x−6x3

x−1 ⋅ x3 ⋅ x2 =1 − 1

x−1 3 x3

− 4 x2

и

4x5 x2+ 8 x4⋅− 24+ 6x3+x 13+( ) x 5−( )⋅ x 11+( )⋅ x 9−( )

=

= 4 x⋅ 48−1726649

792 x 13+( )⋅8299

1152 x 5−( )⋅−

769173640 x 11+( )⋅

−+188187

1760 x 9−( )⋅+ .

3.8. Матричные операции

Наряду с рассмотренными ранее матричными операциями над чис­ленными матрицами в Mathcad имеется более общий аппарат для работы с матрицами при их задании в символьном виде.

Символьный процессор системы Mathcad обеспечивает проведение в символьном виде, то есть в виде формул, трёх наиболее распространённых матричных операций: транспонирование (замену строк матрицы ее столб­цами и наоборот), создание обратных матриц, а также вычисление опреде­лителя. Эти действия осуществляются соответственно командами Trans­pose, Invert, Determinant из подменю Matrix меню Symbolics.

Например.

Транспонирование:

a cb d → a b

c d .

Обращение:

a cb d →

1a⋅d −c⋅b ⋅ d −c

−b a .

Нахождение определителя:

a cb d → Δ=a⋅d−c⋅b .

3.9. Определённый интеграл

Вычисление определённых интегралов может производиться, как и операции с матрицами, и численно, и в аналитическом (символьном) виде. При символьном вычислении необходимо воспользоваться той же ко­мандой меню, что и для вычисления неопределённого интеграла:

Variable ►Integrate.При численном интегрировании, как обычно, достаточно поставить

знак равенства. Например:

3.10. Упражнения

1. Решить нелинейные уравнения:а) e x⋅sin xcos2 x=3 ; б) x4−5x33x2−4x7=0 ;

в) sin2 x⋅ln x− x=1 ; г) 1

x2−1sin x cos2x=0 ;

д) 6 cos2 x⋅ln 3x−5 6x=8 ; е) ln x−4x2−1

x−3 2x1 4=0 ;

ж) cos4 xsin x2−1

sin x cos2x=0 ; з) 4 e5x⋅ x−9 3 x3 7=3 ;

и) x21−3x1312 x5−8x15=0 ; к) e7x2−3x4⋅xx2−4x−11=3 ;

л) ln 3x5 −4

x3−1 ln 2x1 4=0 ; м) x−4 4

x2−1x−3 ln 8x−3 =0 .

1

3xax2 x+

⌠⌡

d =263

a⋅ 4+

x⋅ Символьное интегрирование

1

3xx ln x( )sin x( )⋅

⌠⌡

d 2.978= Численное интегрирование

2. Выполнить итерационные вычисления:а) x0 = 1; x1 = 2; xi = 3xi-1 + xi-2, i = 2,..., 10;б) x0 = 0, 5; x1 = 1; xi = xi-1 – 2xi-2, i = 2,..., 10;в) x0 = π/3; x1 = π/2; xi = sin(xi-1) + cos(xi-2), i = 2,..., 10;г) x0 = 8; x1 = 10, 5; xi = xi-1 + xi-2, i = 2,..., 10;д) x0 = 5; x1 = 1; xi = tg xi-1 – 2 tg xi-2, i = 2,..., 10;е) x0 = 1; x1 = 0, 5; xi = xi-1 /xi-2, i = 2,..., 10;ж) x0 = 0; x1 = 1; xi = e

xi−1ex i−2 , i = 2,..., 10;

з) x0 = 1; x1 = 3; xi = ln x i−1ln xi−2 , i = 2,..., 10;

и) x0 = 1; x1 = 1, 5; xi =x i−12x i−23 , i = 2,..., 10;

к) x0 = 1; x1 = 0, 5; xi = x i−13x i−2 , i = 2,..., 10;л) x0 = 1; x1 = 0, 5; xi = 2xi−14x i−2 ⋅ x i−13x i−2 , i = 2,..., 10;

м) x0 = 1; x1 = 0, 5; xi =2x i−113xi−24 , i = 2,..., 10;

н) x0 = 0, 5; x1 = 0, 3; xi =5x i−136xi−27 , i = 2,..., 10.

3. Построить графики функций:

а) y= x ln x x2 2 ; б) y= e x

x1 x−2 ;

в) y=sin xx ; г) y= 4

x2 x3 ;

д) y= x3−3x2x4−4x3

; е) y=arctg 1x 21 ;

ж) y=x sin 3π4x ; з) y= x2−2x6−

3 x32x−6x2−4x3

;

и) y= x−1x1

x2

; к) y=1 2x3

x−2

;

л) y=5 sin2 2x cos 3x−1 ; м) y=3 sin 6x cos5x−4 sin 3x ;н) y=sin 2x−cos x

1 − tg x ; о) y= 1 −3 cos 4xπ−4x .

4. Продифференцировать функции:

а) y= 2x3x2−5x5 ; б) y=x tg x−ctg x

sin2 x ; в) y= 53 x2

− 8x 3 x ;

г) y=x n sin 12 xcos5 31 x ; д) y=esin x log6cos x2 ; е) y=sin x ln xcos 2x 8x 2 ; ж) y=cos3 x sin3x4−2x2−9 ; з) y=ln xcos2x−ln x2 e3x−x ; и) y=ax x3cos4x− x−3sin 7x ; к) y=log 3cos58x−sin3 6x cos2 4xx x ; л) y=xsin 5x lncos 5x ;

м) y=x x⋅ 23 x4x3

sin xcos ; н) y= xcos 2x−esin x

x1 2 x−3 2 x5 3;

о) y=e x⋅14sin5 x9x2 cos4 2x−3x sin 5x ; п) y=cos3 x⋅2 x−4 ; р) y=sin2 x⋅cos 2xcos5 x⋅sin 7x ; с) y=xcos 7x lnsin 8x ;

т) y=21 x43x2−6x59x5−73 x2−15 x35

; у) y=cos2 x ln xcos 2x 3x 2 ;

ф) y=x5 ln 3xcos5x e2x2 ; х) y=sin1 − 3x−15x3⋅2x3

x25;

ц) y=sin 2x3 cos e3x−6 45 x2−23 x78

; ч) y=log 3 ln 8xcos5x −17 x3 .

5. Разложить функции в ряд Тейлора:а) y=sin2 x ; б) y=sin 4x cos x ; в) y=e2x−sin x ; г) y=x 2 ln 1 x ; д) y=x3 sin2 x ; е) y=x⋅e2x−ln 2 x ;

ж) y=x 2⋅sin x ; з) y=arctg 2x x ; и) y= x8

8 1 −x2 ;

к) y=2xsin x− x2−2 cos x ; л) y= 22x−1

− 4x2−0 . 25 ;

м) y=sin xcos xsin x−cos x ; н) y=2x3−3x−4

x55.

6. Проинтегрировать функции:а) y=x n ; б) y=sin x ; в) y=e x ; г) y= 1

x ; д) y=x⋅ln x ; е) y=2sin x6 −3x2 ; ж) y=x x−1 12 ;

з) y=31 − x2 ; и) y= x3

x81; к) y= e x

x; л) y= x2 esin x

24 .

7. Разложить на правильные дроби:

а) y= x3−3x1 x1 2 x21 x−4 x5

;

б) y= x3−4x5 x 23x5 x−1 3 x2

;

в) y= x3−4x28 x−2 2 x5 x1

;

г) y= x23x7 x−1 3 x3 x−9

;

д) y=5x4−7x43x3−4x236 x−7 2 x1 x−133

;

е) y=19 x3−12 x255 x−87 x−4 x−6 x9 3

;

ж) y=25 x3−48 x22x−50 x−4 3 x−7 x11

;

з) y=67 x5−34 x418 x3−54 x2−77 x92 x−12 2 x15 3 x13

;

и) y=111 x3−234 x2182 x−932 x−212 x23 x21

;

к) y=45 x4−56 x2188 x−48 x542 x17 x−18

л) y=312 x3−512 x2534 x−812 x−11 2 x41 x17

м) y=315 x3−255 x2165 x−124 x−252 x13 x19

.

8. Выполнить транспонирование и обращение следующих матриц:

а) a2 a3

ab ab2 ; б) 1 cda a−cd ;

в) 1 a a2

b a2 b abb2 ab2 a 2b ; г) 1 a a3

1 b b3

1 c c3 ;

д) c a3c a2cbc ab3 bc a2 bcb2c ab23c2 a2 b2c ; е) d−1 1 d 22

dc−2 c d 2c1 dc2−1 c2 d 2 c23 ;

ж) 1 ac a2−c2

c aca a2c−4 c2 ac21 a2 c2−9 ; з) 10 a a2

5b ab a2b25b2 ab2 a2 b2 .

9. Вычислить определённые интегралы:

а) ∫1

2

x3 dx ; б) ∫0

π

sin x4

dx ; в) ∫ln 2

ln 3

e x dx ; г) ∫4

9

x 2 sin3π xdx ;

д) ∫1

2

e x 2dx ; е)∫

1

6

x 4 ln x1 dx ; ж) ∫0

8

x4 5 x−3 4 dx ;

з) ∫1

3

cos3 πx /8 dx ; и) ∫π /16

π /14

cos8 xdx ; к) ∫1

24 x3 4− x x−0,5 5

dx ;

л) ∫31

52

x3 x7 e−2x dx ; м) ∫15

28

2 x=1 x4 5 dx ; н) ∫10

45

x−33 −x sin πx17

dx .

3.11. Выводы

1. В Mathcad могут быть найдены решения любых нелинейных урав­нений. При этом не нужно задавать интервал, где лежат эти решения.

2. Mathcad выполняет итерационные вычисления.3. В Mathcad автоматизировано построение графиков функций одной

переменной любого вида.4. В Mathcad можно продифференцировать функцию как в числен­

ном виде, так и в символьном.5. Mathcad отыскивает ряды Тейлора функций.

6. Mathcad позволяет проводить аналитическое (символьное), а так­же численное интегрирование функций.

7. Mathcad осуществляет основные матричные операции в символь­ном виде.

8. Mathcad находит разложение на правильные дроби.9. Mathcad позволяет численно и символьно вычислять определён­

ные интегралы.

4. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

4.1. Решение ОДУ

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка назы­вается уравнение вида

F x , y , y ' , y ' ' , . .. , y n =0 ,где x − независимая переменная; y − искомая функция переменной x: y = y(x); y ' , y ' ' , . .. , y n − производные искомой функции от первого до n-го по­рядка соответственно.

Решением уравнения называется функция y= f x , определенная на некотором интервале a , b , которая обращает это дифференциальное уравнение в тождество.

При заданных начальных условиях для функции и ее производных (в некоторой точке области существования уравнения) задачу отыскания ре­шения уравнения называют задачей Коши.

Общим решением дифференциального уравнения в его области опре­деления называется функция y= f x ,C1 , C2 , .. . ,C n , если она является ре­шением этого уравнения при любых постоянных величинах C1 , C2 , .. . , Cn . При заданных начальных условиях эти постоянные величины могут быть определены единственным образом.

Частным решением дифференциального уравнения называется функция, найденная из общего решения подстановкой в нее фиксирован­ных значений (конкретных чисел) постоянных C1 , C2 , .. . , Cn :

yчастное= f x , C10 , C2

0 , .. . ,C n0 .

Обыкновенные дифференциальные уравнения в Mathcad можно ре­шать с помощью ряда встроенных функций. Каждая из этих функций пред­назначена для численного решения ОДУ. В результате решения получается матрица, содержащая значения функции, вычисленные на некотором мно­

жестве точек − на некоторой сетке значений. Для каждого алгоритма, кото­рый используется при решении дифференциальных уравнений, Mathcad имеет различные встроенные функции. Несмотря на различные методы по­иска решения, каждая из этих функций требует, чтобы были заданы, по крайней мере, следующие величины, необходимые для поиска решения:

1) начальные или граничные условия;2) набор точек, в которых нужно найти решение;3) само дифференциальное уравнение, записанное в некотором спе­

циальном виде. Как и в других задачах, при решении дифференциальных уравнений

промежуточные выкладки опускаются и пользователь получает, используя операторы Mathcad, готовые решения. Форма вывода решения может быть как табличной, так и графической.

Нелинейные ДУ и системы с такими уравнениями, как правило, не имеют аналитических методов решения, и здесь особенно важна возмож­ность их решения численными методами.

Уравнения решаются с использованием так называемого "блока ре­шения", состоящего из последовательности выражений, которые включают в себя слово Given, набор условий и вызов внешней функции для решения уравнения.

Функция odesolve(x, b, [step]) возвращает функцию с аргументом x, которая является решением ОДУ, зависящую от начальных или граничных условий, заключающихся в "блоке решения". Представление ОДУ должно быть линейным относительно высшей производной, и число начальных условий должно соответствовать порядку ОДУ.

Аргументы функции odesolve:x – переменная интегрирования;b – конечная точка интервала интегрирования;step (не обязателен) – количество шагов при решении уравне­ния.

Пример решения ОДУ второго порядка с использованием функции odesolve:

Given

53 x'' t( ) 0 x' t( )+ 3 x t( )+ e t− tan t( )+

x 0( ) 0 x 1( ) 2x Odesolve t 150,( ):=

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

x t( )

t

Символ " ' ", обозначающий производную, ставится с использовани­ем комбинации клавиш Ctrl + F 7.

Другой функцией, позволяющей решать ОДУ, является функция rk­fixed. Для решения с помощью этой функции ОДУ, если оно содержит производные второго порядка и выше, должно быть представлено в виде системы ОДУ первого порядка.

Системы из ОДУ для их решения в среде Mathcad с помощью функ­ции rkfixed должны быть представлены в форме Коши:

{y1 x0 = y0,1 ;y 2 x0 = y0,2 ;. . . . .y n x0 = y0, n ;

{y1' = f 1 x , y1 , y 2 , . .. , yn ;

y 2' = f 2 x , y1 , y2 ,. . . , yn ;

. . . . . . . . .yn

' = f n x , y1 , y2 ,. . . , yn .

Обыкновенные дифференциальные уравнения n-го порядка yn = f x , y , y' , y ' ' , .. . , yn−1 с заданными начальными условиями

y x0 = y0 , y ' x0 = y0,1 , y ' ' x0 = y0,2 , ..., yn−1 x0 = y0, n−1 приводятся к систе­ме ОДУ в форме Коши с помощью замены:

y1 x = y x , y2 x = y ' x , ..., yn x = y n−1 x , y0,0= y x0 , y0,1= y ' x0 , ..., y0,n−1= y n−1 x0 .

В итоге получаем начальные условия

{ y1 x0 = y0,0 ;y2 x0 = y 0,1 ;

. . . . .y n x0 = y0, n−1 ;

и систему ОДУ

{ y1' = y2 ;

. . . .yn−1

' = yn ;y n

' = f x , y1 , y2 , .. . , yn .

Функция rkfixed(y, x1, x2, npoints, D) возвращает матрицу, первый столбец которой содержит точки, в которых вычислялось решение; второй столбец содержит соответствующие решения и их первые n – 1 производ­ные.

Аргументы функции rkfixed:y должен быть вектором с n начальными значениями, где n – порядок дифференциального уравнения или число уравнений в системе (если решается система уравнений);x1, x2 – начальная и конечная (граничные) точки интервала, на котором ищется решение (начальные значения в векторе y даны для точки x1);npoints – число точек, не считая начальной точки, в которых решение должно аппроксимироваться; от значения npoints за­висит количество строк матрицы, возвращаемой функцией;D – n-элементная векторная функция, содержащая первые производные неизвестных функций.

Пример решения дифференциального уравнения с использованием функции rkfixed:

Вместо rkfixed после представления уравнения в виде системы мож­но использовать и другие функции, которые будут описаны далее.

Сначала нужно переобозначить дифференциальноеуравнение как систему двух уравнений первого порядка

Пусть x'' t( ) x' t( )− x t( )+ sinh t( )

тогда пусть x0 t( ) x t( ) x1 t( ) x0' t( )

теперь можно записать систему

x0' t( ) x1 t( )

x1' t( ) x1 t( ) x0 t( )− sinh t( )+

x0 0( )

x1 0( )

1

7

ic1

7

:=

D t X,( )X1

X1 X0− sin t( )+

:=

S rkfixed ic 0, 10, 1500, D,( ):=

T S 0⟨ ⟩:= значения независимой переменной

X S 1⟨ ⟩:= значения искомой функции

0 5 10500

0

500

1000

X

T

4.2. Решение систем ОДУ

Функцию rkfixed можно использовать для любых систем ОДУ. Для того чтобы решить систему ОДУ, необходимо:1) определить вектор, содержащий начальные условия для каждой

неизвестной функции;2) определить функцию, возвращающую значение в виде вектора из

n элементов, которые содержат первые производные каждой из неизвест­ных функций;

3) выбрать точки, в которых нужно найти приближённое решение;4) передать всю эту информацию в функцию rkfixed.Функция rkfixed вернёт матрицу, чей первый столбец содержит точ­

ки, в которых ищется приближённое решение, а остальные столбцы содер­жат значения найденного приближённого решения в соответствующих точках.

Например:

ic1

3

:=

D t x,( )

x1x0 sin t( )⋅

cos t( ) x0⋅

:=

Z rkfixed ic 1, 20, 1000, D,( ):=n :=0 .. . 999

20 0 200

10

20

30

Z n 1,

Z n 2,

В Mathcad существуют специальные функции для решения отдельно мягких и жёстких систем ОДУ.

Система ОДУ называется мягкой, если изменение шага интегрирова­ния не влияет на сходимость решения. Её решениями являются гладкие

функции, поэтому для нахождения их лучше воспользоваться функцией Bulstoer.

Система ОДУ называется жесткой, если шаг интегрирования дол­жен оставаться достаточно малым, чтобы решение сходилось. Система дифференциальных уравнений, записанная в виде y = Ax является жёсткой системой, если матрица A почти вырождена. В этом случае решение, воз­вращаемое функцией rkfixed, может сильно осциллировать или быть неу­стойчивым. При решении жёсткой системы необходимо использовать одну из двух функций, специально предназначенных для решения жёстких си­стем дифференциальных уравнений: Stiffb и Stiffr.

Функция Bulstoer(y, x1, x2, npoints, D) основана на методе Булириша-Стоера, который более точен, чем метод Рунге-Кутта, и используется для решения нежестких систем ОДУ. Изложение методов, используемых при решении систем ОДУ не приводится, поскольку их работа осуществляется автоматически и не зависит от воли пользователя. Пользователю необхо­димо правильно выбрать функцию для решаемой им системы ОДУ и за­дать входные параметры согласно ее описанию. Все результаты будут вы­ведены согласно описанию используемой функции.

Для решения жёстких систем ОДУ применяются функции Stiffb(y, x1, x2, npoints, D, J) и Stiffr(y, x1, x2, npoints, D, J), у которых J – функция, воз­вращающая матрицу n×(n+1), первый столбец которой содержит производ­ные, а оставшаяся часть – якобиан матрицы системы дифференциальных уравнений. Stiffb основан на методе Булириша-Стоера, а Stiffr – на методе Розенброка.

Матрица J для системы ОДУ с двумя неизвестными получается сле­дующим образом:

Существует ещё одна функция для решения систем ОДУ, а именно для решения медленно меняющихся систем ОДУ. Эта функция – Rkadapt(y, x1, x2, npoints, D). Используется она аналогично rkfixed, но, в от­личие от rkfixed, которая интегрирует равными шагами, Rkadapt анализи­рует скорость изменения решения и соответственно адаптирует размер ша­га.

Задавшись фиксированным числом точек, можно аппроксимировать функцию более точно, если вычислять её значения в точках, расположен­ных следующим образом: достаточно часто на тех интервалах, где функ­ция меняется быстро; и не очень часто там, где функция изменяется медленнее.

Адаптированный контроль величины шага даёт возможность функ­ции Rkadapt вычислять значение приближённого решения на более мелкой сетке в тех областях, где оно меняется быстро, и на более крупной в тех областях, где оно меняется медленно. Это позволяет и повысить точность, и сократить время, требуемое для решения уравнения.

Пусть D t P,( )t P0⋅ t3 P1⋅−

sin t P0⋅( ) P1⋅

:=

Преобразуем, убрав индексы:

∆ t P0, P1,( ) t P0⋅ t3 P1⋅−

sin t P0⋅( ) P1⋅

:=

Теперь определим следующую матрицу:

Jacobstiff A x, y, z,( )x

A x y, z,( )0dd

xA x y, z,( )1

dd

yA x y, z,( )0

dd

yA x y, z,( )1

dd

zA x y, z,( )0

dd

zA x y, z,( )1

dd

:=

Вычислим символьно матрицу Якобиана для нашей системы:

Jacobstiff ∆ t, P0, P1,( ) P0 3 t2 P1⋅⋅−

cos t P0⋅( ) P0 P1⋅⋅

t

cos t P0⋅( ) t P1⋅⋅

t3−

sin t P0⋅( )

→

Теперь, опустив опять индексы, получим функцию J:

J t P,( )P0 3 t2⋅ P1⋅−

P0 cos t P0⋅( )⋅ P1⋅

t

t cos t P0⋅( )⋅ P1⋅

t3−

sin t P0⋅( )

:=

Хотя функция Rkadapt при решении дифференциального уравнения использует во внутренних расчётах переменный шаг, она возвращает при­ближённое решение на равномерной сетке ( в равноотстоящих точках).

Функция Rkadapt имеет те же самые аргументы, что и функция rk­fixed. Матрица с приближённым решением, возвращаемая функцией Rkadapt, идентична по виду матрице, возвращаемой функцией rkfixed.

4.3. Аналитическое решения ДУ

У Mathcad очень небольшие возможности символьного решения дифференциальных уравнений. В частности, для решения ОДУ первого по­рядка можно записать готовую формулу для задачи Коши и символьно её проинтегрировать.

Приводящиеся в ряде пособий примеры решения дифференциаль­ных в символьном виде фактически демонстрируют общие формулы реше­ния ОДУ, приводящиеся в различных учебниках по решению ОДУ, выпол­ненные авторами с использованием текстовых возможностей изображения формул в Mathcad.

4.4. Упражнения

1. Решить ОДУ первого порядка:а) y '= y

x x2−3x1 , y(1) =1; б) y '=2 ⋅∣y∣ , y(0) = 1;

в) y '=2 ⋅∣y∣3 , y(1) = 0; г) y '=2 ⋅∣x∣ , y(0) = 1;

д) y '= x2 y3 xy2 y x , y(-1) = 0;

е) y '= xy3 x2 y2x , y(2) = 0; ж) y '= xyx , y(1) = 1;

з) 3 y '=xy3xy 2x3 y , y(1) = 0; и) y '= 4 xy2x , y(0) = 1;

к) y '=4yx2x2−x1 , y(0) =1; л) y '= y

x x2−2x , y(0) = 2;

м) y '=7y2

x x3−3x2 , y(−2) =1; н) y '= y

xxy , y(5) =1;

о) y '=x xy⋅¿ y3x23x¿

, y(1) =1;

п) y '=e−2x xy xy−8x15 , y(0) =1.

2. Решить ОДУ второго порядка:

а) y ' ' x2−9 sin y' x 2−3x2 y=0 , y(0) = 1, y'(0) = 0.5;

б)

2

y ' '=2y−1y 21

y¿

¿

, y(0) = 1, y'(0) = 2;

в) 2

y ' '=2 y¿1 x y '− y

y2 x2, y(0) = 0, y'(0) = 1;

г)

2

y ' '=− y¿

y3x4

y2

¿

, y(0) = 1, y'(0) = 3;

д) 2

y ' '=4y−1y5

y¿

¿

, y(0) = 1, y'(0) =1;

е)

2

y ' '=12 y31y211

y¿

¿

, y(0) = 11, y'(0) =1;

ж) y ' 'x3 sin y '3x25x1 y=0 , y(0) = 2, y'(0) = 1;

з) 4 y ' ' x2−4 y '5x12 y=0 , y(0) = 1, y'(0) = 0.5;

и)

2

2 y ' '=−5 y¿

y6x7

4y2

¿

, y(0) = 1, y'(0) = 0;

к)

2

y ' '=− y¿

y 4x5

y¿

, y(0) = 3, y'(0) = 1;

л) y ' '6x y'−9x2−4x11 y=0 , y(0) = 1, y'(0) = 0;

м) 15 y' 'sinπx /3 2 y 'cos x12 sin x−11 y=0 , y(0) = 1, y'(0) = 0.5.

3. Решить системы ОДУ:

а) {y1' =sin xy1 xy2

y2' =cos xy2 −1

, {y1 0 =1 y2 0 =0 ;

б) {y1' = y1 y21 y2

' = y22 y1

, { y1 0 =1 y 20 =−1 ;

в) {y1' = y1

2 y2 y3 lg xy2

' = y2 y3− y1 3 x

y3' =

y2 y1 y3

x

, { y10 =1 y 20 =−2

y3 0 =0;

г) { y1' = y1

2 y2 y3

y 2' = y 2 y1 y3

y3' =

y2

y1 y3

, { y1 0 =1 y2 0 =0 . 5 y3 0 =−0 .5

;

д) {y1' = xy1 y 2

3x 2 y2

y2' = xy1− y2

2−x, {y1 0 =2

y2 0 =1 ;

е) { y1' = y1

3 y22 y3

5 x3

y 2' = xy2x−1 y3−x2 3 y2

y3' =

y2− y1 y3

x 2

, {y1 0 =−3 y 20 =−1

y3 0 =1;

ж) { y1' =cos y1 y2 y3 sin x

y 2' =sin y2− y3− y1 cos x2

y3' =

cos y12 y2

2 y32

sin1 x2

, {y10 =5 y 20 =2 y30 =3

;

з) {y1' =sin xy1 x4 y2

y2' =cos2 xy2− y1

, {y1 0 = 2/2 y2 0 =1 ;

и) {y1' =lg xy1

2x2 y2 x−1 y3

y 2' = y2 y3− y1 ⋅x−2

y3' =

sin y2 y1 y3 x

, { y1 0 =2 y2 0 =1 y3 0 =−1

;

к) {y1' =sin y1

2 y2 y3/ x3

y 2' =cos y2 y3 y1

3 x

y3' =tg

y2 y1 y3

6x2

, {y1 0 =0 y 20 =1 y3 0 =3

;

л) { y1' =x2 sin y1

2cos y2sin y3

y 2' =cos y2 sin y3−cos y1 sin x

y3' =

sin y2 sin y1cos y3

sin x3

, {y10 =−1 y 20 =−1

y3 0 =1;

м) {y1' =lg y1

2 y22 y3⋅lg x

y2' = y2 y3⋅lg xy1

2

y3' =

y 2 y1 y3

x

, {y1 0 =2 y 20 =1 y3 0 =1

.

4.5. Выводы

1. В Mathcad имеется ряд встроенных функций для численного реше­ния ОДУ и систем ОДУ.

2. Решения дифференциальных уравнений могут быть получены в графическом и табличном виде.

3. Метод Рунге–Кутта использован в функциях odesolve и rkfixed.4. Mathcad позволяет решать нежёсткие системы ОДУ с помощью

функции Bulstoer.5. Жёсткие системы решаются функциями Stiffb и Stiffr.6. Функция Rkadapt позволяет ввести адаптивный контроль величи­

ны шага в зависимости от характера изменения функции-решения.7. Аналитическое решение методами Mathcad возможно для весьма

ограниченного класса ОДУ.

5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И ВОЛНОВЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

5.1. Спектральный анализ

В радиотехнических расчётах для представления периодических сиг­налов используют функции времени y(t) на отрезке [0, Т] с периодом T = 1/f1, где f1 – частота первой гармоники периодического сигнала. В этом случае интегрируемую на отрезке [0, T] функцию y(x), удовлетворяющую условиям Дирихле можно представить в виде ряда Фурье

y t =a0

2∑

k=1

∞

ak cos 2π kf 1 t bk sin 2πkf 1 t .

Коэффициенты вычисляются по следующим формулам:

ak=2T ∫0

T

y t cos 2π kf 1 t dt ; bk=2T ∫0

T

y t sin 2π kf 1 t dt .

В этом случае коэффициенты ak и bk описывают косинусную и си­нусную составляющие k-й гармоники сигнала с периодом T и частотой по­вторения f1 = 1/T.

Часто используется иная форма ряда Фурье, упрощающая его синтез:

y t =a0

2∑

k=1

∞

Ak cos 2π kf 1 tϕ k ,

где Ak – амплитуда k-й гармоники периодического сигнала, Ak=ak2bk

2 ;ϕk – фаза k-й гармоники;

ϕ k=−arctanbk

ak.

Разложение функции на гармонические составляющие, то есть вы­числение коэффициентов Фурье, принято называть спектральным анали­зом. А воссоздание приближения функции рядом Фурье, т.е. получение её тригонометрического представления, называют спектральным синтезом.

Гармонику с k = 1 называют основной, или первой, гармоникой сиг­нала. Она задаёт его частоту повторения f1. Остальные гармоники называ­ют высшими, их частоты равны fk = kf1, где k = 2, 3, 4, ... Таким образом, спектр периодических сигналов дискретный – он содержит набор фикси­рованных частот fk. У непериодических сигналов спектр будет сплошным, и вместо амплитуды гармоник он характеризуется спектральной плотно­стью сигнала.

Переход от некоторой функции f(t) к параметрам её ряда Фурье (ам­плитудам и фазам гармоник) называется прямым преобразованием Фурье.

Преобразование Фурье – функция F(z), построенная по заданной

функции f(x) по формуле: F(z) = 12π ∫−∞

∞

f u eizu du .

Если для f(x) справедлива интегральная формула Фурье, то в силу

комплексной формы интеграла Фурье f(x) = 12π ∫−∞

∞

F z e−izu dz . Таким об­

разом, записанная функция f(x) будет обратным преобразованием Фурье функции F(z).

К сожалению, вычисление интегралов, подынтегральные функции в которых быстро осциллируют, существенно затруднено при заданной точности и ведёт к значительным затратам времени.

5.2. Преобразования Фурье

Стандартными функциями для преобразования Фурье в Mathcad яв­ляются fft(A), ifft(B), FFT(A), IFFT(B).

Если сигнал представлен в виде вектора дискретных значений, то применяется дискретное преобразование Фурье (ДПФ), для которого су­ществует алгоритм эффективной реализации вычислений, называемый бы­стрым преобразованием Фурье (Fast Fourier Transform).

Функция fft(A) возвращает преобразование Фурье для вектора. Ре­зультатом является 12 m−1 − элементный вектор, k-ый элемент которого равен

c j=1n∑

kAk e i 2πj/n k ,

где n – число элементов в A; i – мнимая единица.

В исходном векторе A должно содержаться чётное (больше 2) число действительных элементов. В противном случае выводится сообщение об ошибке – неверном размере вектора.

FFT(A) отличается только формулой, по которой получаются элемен­ты преобразования:

c j=1n∑k

Ak e−i 2πj/n k .

ifft(B) возвращает обратное преобразование Фурье. Результатом яв­ляется 2 m − элементный вектор, k-й элемент которого равен

c j=1n∑

kBk e−i 2πj/n k .

В векторе B должно содержаться 12 m−1 элементов.Функция IFFT(B) также осуществляет обратное преобразование Фу­

рье и соответствует FFT(A).Также существуют функции преобразования для векторов, содержа­

щих комплексные величины или с числом элементов, не соответствующим требованиям для функций fft(A) и ifft(B), а именно:

cfft(A), icfft(B), CFFT(A), CFFT(B).Функции CFFT(A) и ICFFT(B) аналогичны соответственно функциям

cfft(A) и icfft(B) за исключением нормализующей величины и знаков. Поэтому к ним следует обращаться по аналогии.

Mathcad, кроме преобразований Фурье, способен выполнять wavelet-преобразования (wave(v) и iwave(u)), которые используются для прямо­угольных сигналов.

5.3. Примеры выполнения преобразований

1. Быстрое преобразование Фурье:

Пусть задан следующий сигнал:

i 0 63..:= xi cos πi

10⋅

rnd 1( )⋅ rnd 1( )+ .5−:=

0 10 20 30 40 50 60 702

0

2Signal

xi

i

5.4. Упражнения

1. Выполнить преобразование Фурье для следующих функций:а) f t =5 e−3t4 e−2t на отрезке [0;6];б) f t =14 e−it6 e2 it на отрезке [0;4];в) f t =6 e−2t4 e−3t5 e−5t на отрезке [0;10];г) f t =e−2 ite−4 ite−5 it на отрезке [0;9];д) f t =7 e−2t−4 e−3t−11e−5t на отрезке [0;10];е) f t =3 e−2 it5 e−4 it7 e−5 it на отрезке [0;9];ж) f t =−2 e−2 it3 e−4 ite−5 it на отрезке [0;8];з) f t =−5e−2 it−8 e−4 it3 e−5 it на отрезке [0;9].

2. Выполнить преобразование Фурье для следующих векторов с дей­ствительными элементами:

Осуществим преобразование Фурье:

c fft x( ):=

N last c( ):= N 32=

j 0 N..:=

0 8 16 24 320

2

4Transform

cj

j

Осуществим обратное преобразование:

z ifft c( ):=

N2 last z( ):= N2 63=

k 0 N2..:=

Максимальная разница после прямого и обратногопреобразований:

max x z−→( ) 2.916 10 12−×=

а) (0; 111123; 0, 75324; 0; − 0, 511123; − 0, 123335; 0; 0, 233412; 0, 1253456; 0; − 0, 062511664; − 0, 03118925);

б) (0, 4367789; 1, 2332422; 0, 984444; − 0, 3344; − 0, 177455; 0; 0, 112555; 0, 1343675434; 0; − 0, 06789964; − 0, 01276589);

в) (0, 112313; 1, 324617; 0, 897545; 0; − 0, 1657; − 0, 19215333; 0, 001; 0, 1325787; 0, 14525; 0, 0096; − 0, 01996; − 0, 0541281);

г) (0, 342219872; 5, 234429865111; 0, 498218222; − 0, 43321322; − 0, 1772322119; 0; 0, 11252217893; 0, 1345611123; 0; − 0, 06789989866564; − 0, 01276589);

д) (0, 211333211873; 1, 23245646897; 0, 2897544565; 0.0000111123; − 0, 2165487657; − 0, 3192153; 0, 20015111; 0, 198772351; 0, 11325788977; 0, 114525; 0, 008976; − 0, 02996; − 0, 0341281);

е) (1, 113343; 0, 324656; 0, 89755678; 0, 1121111; − 1, 1655667; − 2, 192153; 1, 001234; 1, 132578677; 2, 145254988; 3,009665786; − 1,01996; − 2, 0541281);

ж) (0, 31236532222; 1, 624645512; 0, 997485312; 0, 127658789; − 0,36548977; − 0, 592153; 0, 9723001; 0, 4325787; 0, 64525; 0, 0012963211; − 0,0341996; − 0, 023541281).

3. Выполнить преобразование Фурье для векторов с комплесными элементами:

а) (1 + 6i; 2 + 5i; 3 + 6i; 4 + 4i; 5 + 3i; 6 + 2i; 7 + i; 8i);б) (16 + 11i; 14 + 13i;1 9 + 31i; 5 +17i; 8 +13i; 14 + 3i; 5 + 21i; 27+ 23i;

19 + 21i;18 + 11i);в) (33 +36i;42 + 35i; 23 + 16i; 41 + 52i; 15 + 31i; 23 + 17i; 27 + i; 33 +

28i; 26 + 17i; 15 + 21i; 22 + 33i).г) (19 + 11i; 17 + 13i; 13 + 11i; 15 +27i; 8 +23i; 24 + 3i; 15 + 11i; 37+

23i; 39 + 21i;16 + 12i).4. Выполнить спектральное разложение:

а) прямоугольного импульса;б) симметричного треугольного импульса;в) полусинусоидального импульса;г) симметричного трапециевидного импульса.

5.5. Выводы

1. В Mathcad возможно спектральное разложение и синтез импульса.2. Импульс может задаваться в виде вектора как с действительными,

так и c комлексными значениями.

3. Функции fft и ifft дают точные (в пределах погрешности чиленных расчётов) обращения.

4. Равенство ifft(fft(v)) = v можно использовать для проверки преоб­разований.

5. Функция cfft(A) реализует прямое преобразование Фурье для век­тора A с комплексными компонентами, а функция icfft(B) – обратное преобразование Фурье.

6. ОБРАБОТКА ДАННЫХ И СТАТИСТИКА

6.1. Линейная и сплайновая аппроксимации

Для представления физических закономерностей, а также при прове­дении научно-технических расчётов часто используются зависимости вида y(x), причём число заданных точек этих зависимостей ограничено. Неиз­бежно возникает задача приближённого вычисления значений функций в промежутках между узловыми точками и за их пределами. Эта задача ре­шается аппроксимацией исходной зависимости, то есть её подменой какой-либо достаточно простой функцией. Система Mathcad предоставляет воз­можность аппроксимации двумя важными типами функций: кусочно-ли­нейной и сплайновой.

При кусочно-линейной интерполяции вычисления дополнительных точек выполняются по линейной зависимости, для чего используется функ­ция linterp(VX, VY, x). Для заданных векторов узловых точек VX и VY и за­данного аргумента x функция возвращает значение функции при её линей­ной аппроксимации (интерполяции).

При экстраполяции используются отрезки прямых, проведённых че­рез две крайние точки.

Например:

i 1 15..:=

VX i i i 1−+:= VY i 3 2 rnd 1( )⋅ VX i⋅+:=

0 10 20 3020

0

20

40

60

80

linterp VX VY, x,( )

x

При небольшом числе узловых точек линейная интерполяция оказы­вается довольно грубой. Гораздо лучшие результаты даёт сплайн-интерпо­ляция. При ней исходная функция заменяется отрезками кубических поли­номов, проходящих через три смежные узловые точки. Коэффициенты по­линомов рассчитываются так, чтобы непрерывными были первая и вторая производные.

Для того, чтобы получить сплайн-интерполированное значение та­блично заданной функции, нужно воспользоваться функцией

interp(vs,vx,vy,x), где vs – вектор вторых производных таблично заданной функции, vx и vy – вектора узловых точек.Для получения вектора vs по заданным узловым точкам служат сле­

дующие три функции:cspline(vx,vy) – для кубической кривой в узловых точках;pspline(vx,vy) – для параболической кривой в узловых точках;lspline(vx,vy) – для линейной в узловых точках функции.

Пример сплайн-интерполяции:

data0 1

01

2

3

4

1 12 5

3 7

4 2

5 4

:=

X data 0⟨ ⟩:= Y data 1⟨ ⟩

:=

S lspline X Y,( ):=X data 0⟨ ⟩:= Y data 1⟨ ⟩:=

S lspline X Y,( ):=

y x( ) interp S X, Y, x,( ):=

0 5 10 15 20 254

2

0

2

4

6

8

10

y x( )

Y

x X,

При сплайн-интерполяции график функции оказывается плавным и точки его перегиба не выглядят остриями, как при линейной интерполя­ции.

6.2. Статистическая обработка данных

При выполнении экспериментов их данные обычно представляются с той или иной случайной погрешностью, поэтому их обработка нуждается в соответствующих статистических методах. С помощью Mathcad можно проводить наиболее распространённые статистические расчёты с данными, представленными векторами их значений.

6.2.1. Функции анализа данных

В Mathcad присутствует огромное множество статистических функ­ций. Здесь мы опишем основные:

cvar(A,B) – ковариация элементов двух m×n массивов A и B;corr(A,B) – Пирсонов корреляционный коэффициент для двух m×n

массивов A и B;gcd(A,B,C,...) – наибольший общий делитель для чисел A, B, C;gmean(A,B,C,...) – геометрическое среднее для чисел A, B, C;hmean(A,B,C,...) – гармоническое среднее для A, B, C;kurt(v) – эксцесс для вектора v;lcm(A,B,C,...) – наименьшее общее кратное для чисел A, B, C;mean(A,B,C,...) – арифметическое среднее для чисел A, B, C;median(A,B,C,...) – медиана для чисел A, B, C;mode(A,B,C,...) – мода (наиболее часто встречающееся значение ряда)

для A, B, C;skew(v) – коэффициент асимметрии для вектора v;stdev(A,B,C,...) или Stdev(A,B,C,...) – среднее квадратическое отклоне­

ние (Stdev(A,B,C,...) – несмещённая оценка);var(A,B,C,...) или Var(A,B,C,...) – дисперсия (Var(A,B,C,...) – не­

смещённая оценка).

6.2.2. Функции распределений

Функции для работы с основными плотностями вероятности подраз­деляются на следующие классы:

плотности вероятности – дают вероятность того, что случайная ве­личина примет определённое значение;

функции распределения – дают вероятность того, что случайная ве­личина примет значение меньшее или равное определённого значения. Они могут быть получены путём простого интегрирования соответствую­щих плотностей вероятности на области определения;

обратные функции распределения – это функции, которые использу­ют вероятность в качестве аргумента и возвращают такое значение, чтобы случайная величина с данной вероятностью принимала значения меньшие или равные ему.

В Mathcad присутствует огромное множество функций распределе­ний. Здесь мы опишем наиболее часто применяющиеся функции. Присут­ствуют как численные величины этих распределений, так и графическое представление, которое может быть выведено на экран при обращении к используемой функции распределения.

Биноминальное распределение: dbinom(k,n,p) – плотность вероятности;pbinom(k,n,p) – функция распределения;qbinom(p,n,r) – обратная функция распределения;rbinom(m,n,p) – возвращает вектор из m значений, распределённых

по биноминальному закону.

χ2 распределение: dchisq(x,d) – плотность вероятности;pchisq(x,d) – функция распределения;qchisq(p,d) – обратная функция распределения;rchisq(m,d) – возвращает вектор из m значений, распределённых по

закону χ2.

Показательное распределение: dexp(x,r) – плотность вероятности;pexp(x,r) – функция распределения;qexp(p,r) – обратная функция распределения;rexp(m,r) – возвращает вектор из m значений, распределённых по по­

казательному закону.

Геометрическое распределение: dgeom(k,p) – плотность вероятности;pgeom(k,p) – функция распределения;qgeom(p,r) – обратная функция распределения;rgeom(m,p) – возвращает вектор из m значений, распределённых по

геометрическому закону.

Нормальное распределение: dnorm(x,µ,σ) – плотность вероятности;pnorm(x,µ,σ) – функция распределения;cnorm(x) – функция распределения со средней 0 и дисперсией 1;qnorm(p,µ,σ) – обратная функция распределения;rnorm(m,µ,σ) – возвращает вектор из m значений, распределённых по

нормальному закону.

Распределение Пуассона: dpois(k,λ) – плотность вероятности;ppois(k,λ) – функция распределения;qpois(p,λ) – обратная функция распределения;rpois(m,λ) – возвращает вектор из m значений, распределённых по за­

кону Пуассона.

Распределение Стьюдента: dt(x,d) – плотность вероятности;pt(x,d) – функция распределения;qt(p,d) – обратная функция распределения;rt(m,d) – возвращает вектор из m значений, распределённых по зако­

ну Стьюдента.

Равномерное распределение: dunif(x,a,b) – плотность вероятности;punif(x,a,b) – функция распределения;qunif(p,a,b) – обратная функция распределения;rnd(x) – возвращает случайную величину между 0 и x, подчиняющу­

юся равномерному закону;runif(m,a,b) – возвращает вектор из m значений, распределённых по

равномерному закону.

В Mathcad также существуют соответствующие функции для распре­делений, имеющих следующие названия:

бета-распределение;

распределение Коши;F-распределение;гамма-распределение;гипергеометрическое распределение;логарифмическое нормальное распределение;логистическое распределение;негативное биноминальное распределение;распределение Вейбула.

6.2.3. Гистограммы

В Mathcad существуют две специальные функции для построения ги­стограмм:

hist(intvls,data) – возвращает вектор, состоящий из частот, с которы­ми значения из вектора data попадают на интервалы, содержащиеся в intvls;

histogram(intvls,data) – возвращает матрицу с двумя столбцами. Пер­вый столбец содержит средние точки n подынтервалов одинаковой длины области min(data) ≤ значение ≤ max(data). Второй столбец идентичен век­тору, возвращаемому функцией hist(n,data), поэтому результирующая мат­рица имеет n строк.

Для обеих функций аргумент intvls может быть:вектором интервалов, являющихся действительными числами в воз­

растающем порядке; при этом в возвращаемом векторе i-й элемент будет показывать число точек из data, попадающих между i-м и (i+1)-м элемен­тами intvls;

целым числом большим нуля, показывающим число подынтервалов одинаковой длины.

6.2.4. Комбинаторика

В Mathcad также существуют две функции, позволяющие быстро рассчитывать сочетания и перестановки.

combin(n,k) – число сочетаний из n по k.permut(n,k) – число размещений из n по k.Эти функции позволяют быстро решать различные задачи с элемен­

тами теории вероятностей.

6.3. Регрессия

При исследовании различных явлений часто приходится иметь дело со взаимосвязанными показателями. При этом часто связь, существующая между двумя или несколькими показателями, скрыта, усложнена наслоени­ем действия других причин (факторов). Изучить, насколько изменение од­ного показателя зависит от изменения другого (или нескольких), – одна из важнейших задач статистики. Следует различать функциональные и корре­ляционные связи. В отличие от функциональной зависимости, при которой каждому значению одной переменной строго соответствует одно опре­делённое значение другой переменной, зависимость, при которой одному значению переменной (x) может соответствовать (в силу наслоения дей­ствия других причин) множество значений другой переменной (y), называ­ют корреляционной. Корреляционная зависимость проявляется лишь на основе массового наблюдения.

Наиболее простым случаем корреляционной зависимости является парная корреляция, т.е. зависимость между двумя признаками − результа­тивным и одним из факторных.

Основными задачами при изучении корреляционных зависимостей являются:

1) отыскание математической формулы, которая бы выражала эту зависимость y от x;

2) изменение тесноты такой зависимости. Решение первой задачи, то есть определение формы связи с последу­

ющим отысканием параметров уравнения, называется нахождением урав­нения связи − уравнения регрессии.

Возможны различные формы связи: 1) прямолинейная; 2) криволинейная в виде параболы второго порядка, гиперболы или

показательной функции.В Mathcad присутствуют следующие функции для определения урав­

нения регрессии.

Линейная регрессия:slope(vx,vy) – тангенс угла наклона линии регрессии;intercept(vx,vy) – точка пересечения линии регрессии с линией Oy;line(vx,vy) – возвращает вектор, содержащий коэффициенты для ли­

нии регрессии (a+b⋅x), наилучшим образом аппроксимирующей данные из векторов vx, vy;

medfit(vx,vy) – возвращает вектор, содержащий коэффициенты для линии регрессии, полученные методом медиан-медианной регрессии.

Полиномиальная регрессия:regress(vx,vy,k) – возвращает вектор, используемый функцией interp

для построения полинома k-й степени, наилучшим образом приближающе­гося к значениям из vx и vy (для нахождения полинома необходимо воспользоваться функцией interp);

loess(vx,vy,span) – возвращает вектор, используемый функцией interp для нахождения полинома второй степени, приближающегося к значениям точек из vx, vy (span контролирует расстояние от исходных точек, на кото­ром может находиться парабола; чем больший разброс данных, тем большим должен быть параметр span; хорошие результаты даёт значение span = 0.75).

Специальная регрессия:expfit(vx,vy,vg) – находит коэффициенты для экспоненциальной кри­

вой, наилучшим образом соответствующей данным из vx, vy; в vg содер­жатся предполагаемые значения коэффициентов ( a⋅eb⋅xc );

lgsfit(vx,vy,vg) – находит коэффициенты для логистической кривой

(a

1b⋅e−c⋅x ), в vg содержатся предполагаемые значения коэффициентов;

sinfit(vx,vy,vg) – находит коэффициенты для гармонической кривой (a⋅sin xb c );

logfit(vx,vy,vg) – находит коэффициенты для логарифмической кри­вой вида a⋅ln xb c ;

lnfit(vx,vy) – находит коэффициенты для логарифмической кривой вида a⋅ln x b ;

pwrfit(vx,vy,vg) – находит коэффициенты для кривой вида a⋅xbc .

Генерализованная регрессия:linfit(vx,vy,F) – возвращает вектор, содержащий коэффициенты, ис­

пользуемые для составления линейной комбинации функций, содержащих­ся в F, наилучшим образом соответствующей значениям из vx, vy.

6.4. Функции сглаживания данных

Обычно полученные в результате опыта экспериментальные значе­ния расположены не совсем правильным образом – дают некоторый "раз­брос", то есть обнаруживают случайные отклонения от видимой общей за­

кономерности. Эти уклонения связаны с неизбежными при всяком опыте ошибками измерения.

Для устранения этих ошибок решается задача сглаживания экспери­ментальной зависимости.

В Mathcad существуют три функции сглаживания:medsmooth(vy,n) – возвращает вектор, полученный сглаживанием vy

со смещающимися медианами с окном ширины n;ksmooth(vx,vy,b) – возвращает вектор, полученный сглаживанием с

использованием ядра Гаусса для вычисления средневзвешенных элементов из vy;

supsmooth(vx,vy) – возвращает вектор, полученный путём сглажива­ния адаптивным методом наименьших квадратов.

В любом случае после сглаживания получается кривая, намного бо­лее гладкая, чем кусочно-линейная функция, соединяющая точки друг с другом в последовательном порядке. При сглаживании бывает полезно применение функции sort(Y), сортирующей данные векторов, что иногда уменьшает погрешности численного алгоритма сглаживания.

6.5. Функция предсказания

В Mathcad используется линейный алгоритм предсказания. Предска­зание осуществляется функцией predict(v,m,n), возвращающей вектор из n предсказанных значений на основе m последних элементов из v.

6.6. Упражнения

1. Выполнить кусочно-линейную интерполяцию следующих функ­ций, заданных таблично:

а) x i=i2−1 , y i=3xi−5 sin x i , i = 1,..., 20;б) x i=i3i1 , yi=e isin i , i = 1,..., 30;в) x i=sin i , y i=x i

2−cos i , i = 1,..., 40;г) x i=i32i5 , y i=cos6x isin 8x i , i = 1,..., 20;д) x i=cos i , y i=x i

2−cos i , i = 1,..., 30;е) x i=sin i6 , y i=5x

2i4x i−3 , i = 1,..., 20;ж) x i=ln i1 , y i=x i

3−i2 , i = 1,..., 40;

з) x i=i−1 2i4 , y i=x i2−cos i , i = 1,..., 30;

и) x i=e i−1 , y i=xi−12 , i = 1,..., 20;

к) x i=sin π6

i , y i=sin x i2−cos i , i = 1,..., 40;

л) x i=ln i 2−1 , y i=3x i−5 x i4 , i = 1,..., 20;м) x i=8i−9 4i1 , y i=xi

3−xi21 , i = 1,..., 30 .

2. Выполнить сплайн-интерполирование функций, заданных таблич­но:

а) x 3 4 8 9 10 12,5 13 14 15 16 18y 4 7 9 9, 2 8, 8 6, 8 2 1 0, 9 0, 75 0, 5 ;

б) x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12

y 1, 2 1, 8 2, 0 3, 5 4, 5 7, 5 8, 2 9, 6 10 10, 5 ;

в) x 1, 2 1, 3 1, 7 1, 8 1, 9 2, 1 2, 2 2, 4 2, 5y 3 3, 2 3, 3 3, 5 3, 7 4, 2 4, 5 4, 9 5, 3 ;

г) x 2 3 3, 5 4 5 6 7 8 9 10 12y 0, 2 0, 8 1, 8 2, 7 3, 9 5, 5 9, 5 6, 2 6 4 3, 5

д) x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 15y 2 3, 8 4 5, 5 7 9, 5 10, 5 11, 2 12, 6 13 15, 5

е) x 4 5 6 8 9 10 12 14 15 18 19y 1, 2 1, 5 1, 8 2, 0 3, 5 4, 5 7, 5 8, 2 9, 6 10 10, 5

ж) x 1 4 8 12 16 19 20 24 26 28 29y 2, 2 4, 8 6, 8 8 9, 5 12 14 15 1 6 18 20, 5

и) x 12 13 14 15 16 17 18 19 20y 5, 2 6, 8 7, 5 8, 0 9, 5 10, 2 11, 4 12, 6 12, 8

к) x 23 24 25 26 27 28 29 31 35y 8 10 13, 5 15, 5 17, 85 21, 26 29, 63 32, 05 33, 5

л) x 3 4 5 6 7 8 9 10 12y 11, 8 21, 0 31, 5 44, 5 47, 5 48, 2 49, 6 51, 3 53, 5

м) x 13 24 35 46 47 48 59 60 62y 11, 8 21, 0 31, 5 44, 5 47, 5 48, 2 49, 51, 3 53, 5

3. Вычислить НОД и НОК для чисел:а) 1212, 3626, 5648, 4232, 6454, 7896, 86794, 76584, 768242; б) 1098, 2400, 3525, 4546, 5552, 5642, 5876, 5988, 6884;в) 3240, 6800, 2345, 1700, 7895, 16785, 15455, 345555, 556780; г) 2268, 4564, 6786, 13498, 13576, 16792, 16896, 15678, 23454; д) 3165, 5685, 7840, 1215, 362060, 516485, 432325, 6145, 78965; е) 3423, 4527, 6543, 12123, 36261, 56438, 42832, 64584, 78396; ж) 4353, 7613, 2612, 3696, 6489, 42321, 64524, 7896, 8679, 963; з) 789, 567, 347, 1212, 6626, 5648, 4232, 36454, 57896, 86794; и) 11662, 4581, 1239, 3626, 9648, 56232, 64548, 89668, 79464; к) 3456, 67894, 5432, 6546, 7552, 8642, 8876, 8988, 18848; л) 34625,8765, 1120, 6455, 6450, 5645, 15875, 25985, 6880; м) 2244, 6654, 4846, 8976, 6874, 3246, 5552, 5642, 5876, 25988.

4. Вычислить арифметическое, геометрическое и гармоническое средние для чисел:

а) 130, 270, 3469, 1260, 26884, 86426, 8670, 8679, 9924, 62991; б) 310, 415, 348, 7000, 7040, 3755, 7895, 7545, 9712, 13748; в) 1357, 2348, 3158, 2543, 3578, 3468, 8524, 8656, 9834, 9564;г) 6268, 7564, 6786, 6498, 6576, 6792, 6896, 7678, 6464, 7876; д) 5165, 5685, 5840, 4955, 5166, 5168, 5325, 6145, 5896, 5236; е) 4293, 4527, 6543, 4123, 3626, 5648, 4283, 6454, 4396, 4444; ж) 7753, 7613, 8612, 7696, 7889, 7521, 7554, 7896, 8679, 7963; з) 9789, 9567, 9347, 9212, 8626, 8648, 8232, 9454, 8965, 8694; и) 1662, 1581, 1239, 3626, 2648, 6232, 6454, 2668, 4642, 1778; к) 24561, 67894, 15432, 26546, 37552, 18642, 18876, 18988; л) 5625, 5765, 5120, 5455, 6450, 5645, 5875, 5985, 5880, 6123; м) 3454, 6654, 4846, 3976, 6874, 3246, 3552, 5642, 3876, 3988.

5. Определить медиану и моду для чисел:

а) 132, 148, 171, 132, 133, 145, 139, 132, 146, 139, 147, 138, 146, 148, 146, 147, 166, 170, 140, 146, 132, 147, 172, 132, 132, 147, 146, 133, 132, 147, 171, 146, 132, 146, 146, 133, 134, 134, 145, 145, 146, 148, 146, 147, 172;

б) 215, 217, 215, 215, 216, 215, 216, 216, 219, 217, 219, 215, 218, 215, 217, 217, 217, 215, 217, 219, 215, 215, 217, 219, 217, 217, 215, 217, 219, 215, 215, 219, 215, 215, 215, 216, 217, 217, 218, 218, 219, 219, 215, 215, 215;

в) 344, 357, 372, 357, 372, 344, 357, 357, 372, 357, 372, 344, 357, 372, 357, 372, 344, 357, 357, 372, 357, 372, 357, 372, 344, 357, 357, 372, 357, 357, 357, 357, 372, 357, 372, 357, 372, 344, 357, 357, 372, 357, 372, 357, 372;

г) 832, 748, 671, 732, 833, 645, 739, 832, 646, 739, 847, 638, 746, 748, 846, 647, 766, 770, 840, 846, 832, 647, 672, 732, 732, 647, 746, 833, 832, 747, 871, 846, 732, 746, 746, 733, 734, 834, 845, 645, 646, 648, 646, 647, 772;

д) 515, 517, 515, 516, 516, 516, 516, 516, 519, 517, 519, 515, 517, 515, 517, 517, 517, 515, 517, 519, 515, 515, 517, 519, 517, 517, 515, 517, 519, 516, 515, 519, 515, 515, 516, 516, 517, 517, 518, 518, 519, 518, 515, 515, 515;

е) 268, 267, 272, 257, 272, 268, 268, 257, 272, 257, 272, 254, 257, 268, 257, 268, 244, 257, 268, 272, 257, 272, 257, 272, 244, 257, 268, 272, 268, 257, 257, 258, 272, 268, 268, 257, 272, 244, 257, 257, 272, 257, 272, 257, 268, 257, 268, 244, 257, 268, 272, 257, 272, 257, 272, 244, 257, 268, 244, 257, 268;

ж) 163, 148, 161, 132, 163, 145, 139, 132, 161, 139, 147, 168, 146, 148, 166, 147, 166, 176, 160, 146, 132, 147, 172, 162, 163, 147, 146, 133, 163, 167, 161, 146, 162, 146, 166, 133, 164, 134, 165, 145, 166, 148, 166, 147, 167, 166, 176, 160, 146, 132, 147, 172, 162, 163, 147, 146, 133, 163, 167, 161, 146, 162, 146, 166, 133, 164, 163, 148, 161, 132, 167, 161, 146, 162, 146, 166, 133;

з) 415, 217, 415, 315, 316, 215, 416, 216, 419, 217, 219, 415, 218, 215, 317, 217, 317, 215, 417, 219, 315, 215, 217, 219, 417, 417, 315, 217, 219, 415, 315, 219, 215, 215, 315, 216, 317, 217, 317, 418, 219, 219, 215, 315, 315;

и) 444, 574, 472, 457, 572, 444, 557, 557, 472, 557, 572, 544, 457, 472, 457, 572, 344, 557, 457, 472, 457, 572, 457, 572, 444, 557, 457, 472, 457, 457, 457, 557, 572, 557, 572, 557, 572, 544, 457, 457, 472, 557, 472, 457, 472;

к) 4132, 6148, 5171, 6132, 5133, 5145, 5139, 5132, 5146, 4139, 4147, 4138, 5146, 5148, 6146, 6147, 6166, 6170, 4140, 4146, 6132, 6147, 6172, 4132, 4132, 6147, 5146, 5133, 5132, 5147, 5171, 4146, 4132, 4146, 4146, 5133, 5134, 5134, 5145, 6145, 4146, 4148, 4146, 4147, 5172, 5534, 7089, 9067, 2134;

л) 8215, 8217, 8215, 8215, 9216, 8215, 8216, 8216, 8219, 8217, 8219, 8215, 8218, 8215, 8217, 8217, 7217, 7215, 7217, 8219, 8215, 8215, 8217, 8219, 8217, 8217, 8215, 9217, 8219, 8215, 9215, 8219, 8215, 8215, 9215, 6216, 8217, 6217, 8218, 8218, 8219, 8219, 8215, 8215, 9215;

м) 744, 757, 772, 757, 772, 744, 757, 757, 772, 757, 772, 744, 757, 772, 757, 772, 744, 757, 757, 772, 757, 772, 757, 772, 744, 757, 757, 772, 757, 757, 757, 757, 772, 757, 772, 757, 772, 744, 757, 757, 772, 757, 772, 757, 772.

6. Для вектора v найти эксцесс и коэффициент асимметрии:

а) v = (2, 6; 3, 4; 2, 6; 3, 4; 3, 0; 4, 2; 3, 4; 3, 4; 3, 0; 4, 2; 3, 0; 3, 0; 3, 4; 3, 4; 3, 4; 3, 8; 3, 4; 3, 4; 3, 8; 3, 8; 4, 2; 4, 2; 3, 4; 4, 2; 4, 2; 3, 4; 3, 0; 3, 8; 3, 8; 4, 2; 4, 0);

б) v = (48; 52; 52; 56; 56; 60; 64; 60; 64; 60; 60; 64; 64; 64; 64; 68; 68; 68; 72; 72; 68; 68; 68; 72; 72; 72; 72; 68; 68; 68; 72; 72; 68; 72; 60; 58; 58);

в) v = (10, 2; 10, 4; 10, 6; 10, 8; 10, 8; 10, 8; 11; 11; 11; 11; 11, 6; 11, 6; 11, 8; 12, 0; 11, 2; 11, 2; 11, 4; 11, 4; 11, 4; 11, 21; 10, 8; 11, 1; 11,05; 10, 9; 10, 9; 11; 11);

г) v = (2, 8; 2, 4; 2, 8; 2, 4; 3, 0; 2, 6; 2, 4; 2, 4; 3, 0; 2, 2; 2, 8; 3, 0; 2, 4; 2, 4; 2, 4; 2, 8; 2, 4; 2,4; 2, 8; 2, 8; 2, 2; 3, 2; 3, 4; 2, 2; 2, 2; 2, 4; 3, 0; 2, 8; 2, 8; 2, 2; 3, 0);

д) v = (4, 82; 5, 12; 5, 22; 5, 16; 5, 16; 4, 68; 4, 68; 5, 26; 5, 64; 5, 62; 5, 16; 4, 64; 4, 64; 4, 64; 4, 64; 4, 68; 4, 68; 4, 68; 4, 72; 5, 72; 4, 68; 4, 68; 4, 68; 4, 72; 4, 72; 4, 72; 4, 72; 5, 68; 4, 68; 4, 68; 4, 72; 4, 72; 4, 68; 4, 72; 5, 16; 4, 58; 5, 58);

е) v = (17, 2; 16, 4; 17, 6; 17, 8; 16, 8; 17, 8; 17, 1; 17, 1; 17, 1; 17, 1; 17, 6; 17, 6; 16, 8; 17, 4; 17, 2; 17, 2; 17, 4; 16, 4; 17, 4; 17, 2; 16, 8; 17, 1; 16, 4; 17, 61; 17, 81; 16, 8; 17, 4; 17, 6; 17, 8);

ж) v = (8, 6; 8, 4; 7, 6; 6, 4; 7, 0; 7, 2; 6, 4; 7, 4; 8, 0; 8, 2; 8, 0; 8, 0; 8, 4; 7, 4; 8, 4; 7, 8; 6, 4; 6, 4; 7, 8; 7, 8; 8, 2; 8, 2; 8, 4; 7, 2; 7, 2; 8, 4; 8, 0; 7, 8; 7, 8; 6, 2; 7, 0);

з) v = (1, 48; 1, 524; 1, 52; 1, 561; 1, 562; 1, 60; 1, 64; 1, 60; 1, 64; 1, 60; 1, 60; 1, 64; 1, 64; 1, 64; 1, 64; 1, 68; 1, 68; 1, 68; 1, 72; 1, 72; 1, 68; 1, 68; 1, 68; 1, 72; 1, 72; 1, 72; 1, 72; 1, 68; 1, 68; 1, 68; 1, 72; 1, 72; 1, 68; 1, 72; 1, 60; 1, 58; 1, 58; 1, 68);

и) v = (12; 14; 16; 18; 18; 18; 10; 10; 10; 10; 16; 16; 11; 12; 11; 12; 11;14; 14; 11; 10; 11; 11; 10; 10;11; 11; 16; 18; 18; 18; 10; 10; 10; 10; 16; 16; 11;14; 14; 11; 10; 11; 11; 10; 10; 11; 11; 18; 10; 18; 18; 10; 10; 10; 16; 10; 11);

к) v = (7, 96; 8, 41; 7, 68; 7, 94; 7, 82; 7, 82; 7, 84; 7, 94; 7, 91; 7.84; 8, 23; 8, 29; 7, 74; 7, 65; 7, 84; 7, 84; 8, 25; 8, 04; 7, 94; 7, 82; 7, 82; 7, 84; 7, 94; 7, 91; 6, 82);

л) v = (548; 552; 552; 556; 556; 560; 564; 560; 564; 560; 560; 564; 564; 564; 564; 568; 568; 548; 472; 572; 568; 568; 568; 572; 570; 571; 572; 569; 568; 568; 572; 572; 468; 472; 460; 558; 558; 568; 572; 570; 571; 572; 569);

м) v = (23, 2; 24, 4; 23, 6; 23, 8; 23, 8; 23, 8; 21, 1; 23, 6; 23, 1; 23, 4; 23, 6; 23, 6; 23, 8; 23, 0; 23, 2; 23, 2; 24, 4; 23, 4; 23, 4; 23, 2; 23, 8; 24, 02; 24, 2; 23, 9; 23, 9; 24, 02; 24, 03; 23, 2; 23, 2; 24, 4; 23, 4; 23, 4; 23, 2; 24, 4; 23, 6; 23, 8; 21, 1).

7. Вычислить среднее квадратическое отклонение и дисперсию для следующих чисел:

а) 10; − 4; 6; 6; − 4; 6; 10; 10; 10; 10; 10; − 4; 6; 6; − 4; 6; 10; 6; 10; − 4; 6; 6; 10; 6; − 4; 6; − 4; 6; 10; 10; 10; − 4; 6; 6; − 4; 6; 10;

б) 3; 5; 5; 7; 4; 7; 7; 7; 8; 8; 9; 5; 7; 4; 7; 7; 8; 5; 5; 7; 4; 7; 3; 5; 5; 7; 7; 8; 8; 9; 5; 7; 4; 7; 7; 8; 5; 5; 4; 7; 3; 8; 8; 9; 5; 7; 4; 7;

в) 131; 135; 137; 137; 140; 140; 141; 140; 140; 142; 140; 140; 143; 148; 150; 176; 137; 140; 140; 141; 140; 140; 131; 135; 137; 137; 135; 137; 137;

г) 548; 552; 552; 556; 556; 560; 564; 560; 564; 560; 560; 564; 564; 564; 564; 568; 568; 548; 472; 572; 568; 568; 568; 572; 570; 571; 572; 569; 556;

д) 17, 6; 17, 6; 16, 8; 17, 4; 17, 2; 17, 2; 17, 4; 16, 4; 17, 4; 17, 2; 16, 8; 17, 1; 17, 1; 17, 9; 17, 4; 17, 1; 17, 1; 16, 4; 17, 6; 17, 8; 16, 8; 16, 4; 17, 6; 17, 8; 16, 8; 17, 6; 17, 6; 16, 8; 17, 4; 17, 2; 17, 2; 17, 4;

е) 8215; 8217; 8215; 8215; 9216; 8215; 8216; 8216; 8219; 8217; 8219; 8215; 8218; 8215; 8217; 8217; 7217; 7215; 7217; 8219; 8215; 8215; 8217; 9216; 8215; 8216; 8216; 8219; 8217; 8219; 8215; 8218; 8215;

ж) 83, 2; 74, 8; 67, 1; 73, 2; 83, 3; 64, 5; 73, 9; 83, 2; 64, 6; 73, 9; 84, 7; 63, 8; 74, 6; 74, 8; 84, 6; 64, 7; 76, 6; 77, 6; 84, 3; 84, 6; 83, 2; 64, 7; 67, 2; 73, 2; 73, 2;

з) 3, 63; 3, 48; 3, 161; 3, 132; 3, 163; 3, 145; 3, 139; 3, 132; 3, 161; 3, 139; 3, 147; 3, 168; 3, 146; 3, 148; 3, 166; 3, 147; 3, 166; 3, 17621; 3, 16011; 3, 146; 3, 132; 3, 147; 3, 17212; 3, 1621; 3, 163; 3, 147; 3, 146; 3, 133; 3, 163; 3, 147; 3, 166; 3, 176;

и) 6, 81; 6, 77; 7, 72; 5, 87; 7, 72; 7, 68; 8, 68; 7, 57; 7, 72; 6, 57; 6, 72; 5, 7411; 5, 872; 6, 58; 5, 79; 6, 88; 6, 74; 6, 57; 6, 68; 7, 62; 6, 57; 7, 72; 6, 87; 6, 72; 7, 54; 7, 57; 7, 68; 6, 87; 6, 98; 5, 87; 7, 72; 7, 68; 6, 872; 6, 7232; 6, 68; 7, 62; 6, 57; 7, 72; 6, 87; 6, 72; 7, 54;

к) 17, 2; 16, 4; 17, 6; 17, 8; 16, 8; 17, 8; 17, 1; 17, 1; 17, 1; 17, 1; 17, 6 17, 6; 16, 8; 17, 4; 17, 2; 17, 2; 17, 4; 16, 4; 17, 4; 17, 2; 16, 812; 17, 1; 17, 1; 17, 9; 16, 8; 17, 6; 17, 8; 16, 8; 17, 8; 17, 1; 17, 1; 17, 1; 17, 11; 17, 61; 17, 6; 16, 8; 17, 4; 17, 2; 17, 2; 17, 4; 16, 8; 17, 4; 17, 2; 17, 2; 17, 421; 16, 4; 17, 4; 17, 2; 16, 8; 17, 1; 17, 9; 16, 8;

л) 1, 63; 1, 68; 1, 61; 1, 32; 1, 63; 1, 45; 1, 39; 1, 321; 1, 61; 1, 39; 1, 47; 1, 68; 1, 46; 1, 48; 1, 66; 1, 47; 1, 66; 1, 76; 1, 60; 1, 46; 1, 321; 1, 4712; 1, 66; 1, 76; 1, 60; 1, 46; 1, 32; 1, 32; 1, 63; 1, 45; 1, 391; 1, 3212; 1, 61; 1, 48; 1, 66; 1, 47; 1, 66; 1, 76;

м) 2, 681; 2, 671; 2, 72; 2, 57; 2, 72; 2, 68; 2, 68; 2, 57; 2, 72; 2, 57, 2, 57; 2, 72; 2, 44; 2, 57; 2, 68; 2, 72; 2, 68; 2, 44; 2, 571; 2, 681; 2, 721; 2, 57; 2, 68, 2, 68, 2, 57; 2, 72; 2, 72; 2, 68; 2, 57; 2, 68; 2, 44; 2, 571; 2, 7221; 2, 571; 2, 72; 2, 57; 2, 72; 2, 44; 2, 68; 2, 57.

8. Найти значение плотности вероятности, функции распределения и вектор из 17 значений, распределённых по биноминальному закону, если:

а) k = 3; n = 21; p = 0, 3; б) k = 5; n = 25; p = 0, 4;в) k = 7; n = 50; p = 0, 6; г) k = 4; n = 67; p = 0, 2; д) k = 5; n = 34; p = 0, 7; е) k = 7; n = 50; p = 0, 5; ж) k = 6; n = 42; p = 0, 4; з) k = 5; n = 33; p = 0, 7;

и) k = 9; n = 50; p = 0, 5; к) k = 3; n = 22; p = 0, 8.л) k = 3; n = 22; p = 0, 4; м) k = 5; n = 23; p = 0,5;

9. Найти значение плотности вероятности, функции распределения и вектор из 20 значений, распределённых по закону χ2, если:

а) x = 1; d = 4; б) x = 2; d = 2; в) x = 3; d = 6; г) x = 5; d = 2;д) x = 1; d = 6; е) x = 2; d = 6; ж) x = 3; d = 2; з) x = 5; d = 4;и) x = 1; d = 2; к) x = 2; d = 4; л) x = 3; d = 4; м) x = 5; d = 6.

10. Найти значение плотности вероятности, функции распределения и вектор из 15 значений, распределённых по нормальному закону, если:

а) x = 3; µ = 4; σ = 2; б) x = 3; µ = 4; σ = 0, 5; в) x = 4; µ = 3; σ = 1; г) x = 5; µ = 2; σ = 2;

д) x = 6; µ = 4; σ = 0, 5; е) x = 8; µ = 3; σ = 1;ж) x = 7; µ = 1;σ = 2; з) x = 9; µ = 4; σ = 0, 5; и) x = 12; µ = 3; σ = 1; к) x = 3; µ = 2; σ = 2; л) x = 3; µ = 4; σ = 1; м) x = 4; µ = 4; σ = 1.

11. Построить гистограмму с 15 произвольными значениями, исполь­зуя функции hist и histogram.

12. Вычислить число сочетаний:а) C10

3 ; б) C254 ; в) C36

7 ; г) C257 ; д) C37

10 ; е) C5021 ; ж) C52

33 ; з) C25

11 ; и) C2713 ; к) C44

21 ; л) C4833 ; м) C24

11 ; н) C2113 ; о) C48

23 ; п) C2415 ;

р) C2111 .

13. Вычислить число размещений:а) A10

5 ; б) A157 ; в) A20

3 ; г) A207 ; д) A36

15 ; е) A3621 ; ж) A52

33 ; з) A25

11 ; и) A2713 ; к) A21

9 ; л) A197 ; м) A25

17 ; н) A1915 ; о) A26

19 ; п) A3825 ;

р) A2513 .

14. Определить уравнение линейной регрессии для каждой из задан­ных таблиц:

а)x 9 11 13 15 19 21 23 25 27 29y 5 7, 5 8, 8 9, 7 12, 4 14, 3 15, 3 17, 45 17, 34 18, 5

б)x 0 1 2 3 4 5 6 8 9 10y −1 1, 1 3, 1 5, 2 6, 9 9, 05 10, 98 11, 52 14, 34 15, 5

в) x 1, 1 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6, 6 7, 7 8, 8 9, 9y 0, 5 1, 21 2, 4 3, 88 4, 15 5, 55 7, 58 9, 34 10, 95

г)x 0, 2 0, 4 0, 5 0, 7 0, 9 1, 2 2, 3 2, 9 3, 7 4, 4y 1, 2 1, 5 1, 8 2, 7 3, 4 4, 3 5, 8 7, 45 8, 34 10, 5

д)x 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19y 3, 4 4, 2 5, 1 6, 2 7, 9 8, 05 9, 98 10, 52 13, 34 14, 5

е) x 11 12 13 14 15 16 17 18 19y 115 121 132 134 145 155 164 172 183

ж)x 0, 5 0, 9 1, 3 1, 7 2, 1 2, 4 2, 7 3, 1 3, 5 3, 9y 1, 9 1, 95 2, 3 2, 47 2, 54 2, 63 2, 78 2, 65 2, 44 2, 35

з)x 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19y 5, 2 5, 4 5, 7 5, 9 6, 3 6, 95 7, 18 7, 52 7, 74 8, 25

и) x 0 11 23 35 47 59 71 83 95 107y 4 6 12 20 30 34 50 53 12 3

к)x 1, 2 1, 6 2, 5 2, 7 3, 1 3, 5 4, 3 4, 9 5, 5 6, 4y 1, 2 1, 5 1, 8 2, 7 3, 4 4, 3 5, 8 7, 45 8, 34 10, 5

л)x 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19y 3, 6 6, 2 12, 1 18, 2 27, 9 38, 5 42, 8 50, 5 60, 3 64, 5

м) x 10 20 30 40 50 60 70 80 90y 135 181 182 184 185 185 182 178 173

15. Сгладить экспериментальные зависимости с помощью функций medsmooth, ksmooth и supsmooth:

а)x 25 30 28 50 20 40 32 36 42 38 44y 28 31 36 52 24 36 33 35 45 40 47

б)x 76 71 57 49 70 69 26 68 59 71 74y 81 85 52 52 70 63 33 83 82 83 87

в)x 0, 18 0, 12 0, 12 0, 08 0, 08 0, 12 0, 19 0, 12 0,18y 0, 16 0, 09 0, 08 0, 152 0, 17 0, 11 0, 14 0, 083 0, 159

г)x 2, 5 3, 6 2, 8 5, 1 2, 4 4, 9 3, 2 3, 6 4, 8 3, 8 4, 9y 25, 2 31, 2 36 52 24, 8 35 33 31, 5 34, 5 34 47

д)x 76 71 50 49 70 69 68 68 59 71 74y 81 85 52 52 77 63 84 83 62 83 87

е)x 0, 15 0, 19 0, 19 0, 12 0, 115 0, 12 0, 19 0, 12 0,18y 0, 16 0, 09 0, 08 0, 152 0, 17 0, 11 0, 13 0, 13 0, 084

ж)x 25 30 28 50 20 40 32 36 42 38 44 46 44 30 32 50y 38 48 40 49 24 45 47 55 65 50 67 65 67 52 49 51

з)x 96 90 97 94 90 99 96 98 99 97 94y 16 15 19 13 10 21 19 18 20 17 14

и)x 0, 8 0, 9 1, 1 0, 8 0, 8 1, 2 0, 9 1, 12 0, 85y 0, 6 0, 65 0, 68 0, 65 0, 71 0, 71 0, 69 0, 83 0, 649

к)x 2, 5 3, 0 2, 8 5, 0 2, 0 4, 0 3, 2 3, 6 4, 2 3, 8 4, 4y 38 41 46 62 34 46 43 45 55 50 57

л)x 46 48 50 48 50 46 44 48 46 50 52 48 46 50 52y 15 17 10 21 12 19 14 19 17 13 7 17 18 11 5

м)x 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 3 0, 2 0, 1 0, 4 0,1y 0, 16 0, 09 0, 08 0, 152 0, 17 0, 11 0, 14 0, 143 0, 159

16. Осуществить предсказание значений на основе заданных, исполь­зуя m = 3:

а)x 0, 18 0, 12 0, 08 0, 12 0, 19 0, 32 0, 27 0, 22 0, 34y 0, 16 0, 09 0, 13 0, 103 0, 14 0, 33 0, 31 0, 24 0, 28

б)x 15 20 16 22 24 14 18 20 25y 15 22 14 25 29 16 20 24 30

в)x 0, 27 0, 32 0, 33 0, 28 0, 34 0, 39 0, 42 0, 53y 0, 16 0, 19 0, 18 0, 165 0, 21 0, 168 0, 281 0, 32

г)x 0, 15 0, 17 0, 19 0, 21 0, 29 0, 32 0, 37 0, 42 0, 44y 0, 16 0, 19 0, 23 0, 26 0, 34 0, 38 0, 43 0, 49 0, 58

д)x 150 200 216 222 224 240 280 290 325y 11 23 34 35 36 41 45 47 51

е)x 1, 27 1, 32 1, 33 1, 38 1, 47 1, 52 1, 59 1, 62 1, 73y 0, 18 0, 21 0, 28 0, 19 0, 1 0, 21 0, 168 0, 181 0, 13

ж)x 0, 18 0, 24 0, 3 0, 36 0, 42 0, 48 0, 54 0, 6 0, 7y 16, 4 16, 9 17, 3 17, 8 18, 4 17, 3 17, 2 16, 9 16, 58

з)x 115 120 136 212 244 314 382 420 525y 615 622 814 825 929 916 820 814 730

и)x 0, 7 1, 32 1, 6 2, 28 3, 27 4, 32 5, 39 6, 32 7, 33y 0, 6 0, 9 1, 18 1, 65 1, 74 2, 21 2, 68 1, 18 1, 1

к)x 18 21 28 32 39 42 47 52 53y 4, 16 4, 29 4, 33 4, 53 5, 14 5, 33 5, 31 5, 24 5, 21

л)x 1, 5 2, 0 2, 6 3, 2 4, 4 4, 8 5, 3 5, 8 6, 5y 15, 1 22, 8 24, 6 25, 4 29, 7 25, 8 20, 9 19, 5 16, 7

м)x 0, 7 0, 8 0, 9 1, 1 1, 27 1, 32 1, 39 1, 43 1, 5y 0, 64 0, 69 0, 78 0, 65 0, 64 0, 61 0, 58 0, 63 0, 69

6.7. Выводы

1. Mathcad позволяет вычислять статистические функции.2. В Mathcad есть функции для поиска точечных и интервальных

оценок.3. В Mathcad есть набор функций распределения дискретных и не­

прерывных случайных величин.4. Mathcad позволяет строить различные гистограммы.5. В Mathcad присутствуют функции для определения уравнения ре­

грессии различного вида.6. Mathcad позволяет решать задачу сглаживания экспериментальной

зависимости.7. В Mathcad используется линейный алгоритм предсказания значе­

ний.

76

ЗАДАНИЯ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

Лабораторная работа 1

Линейная алгебра

1. Цель работы: повторить теорию определителей и методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), продемонстрировать умение использовать Mathcad для вычисления определителей, обратных матриц и нахождения решений СЛАУ.

2. Задачи работы: – уметь вычислить определитель;– уметь найти обратную матрицу;– определить ранг матрицы средствами Mathcad;

– уметь сопоставить ранги главной (основной) и расширенной матрицы СЛАУ и сделать выбор метода решения СЛАУ;

– найти решение СЛАУ с использованием матричных опера­ций;

– закрепить навыки вычислений и анализа.

3. Общее описание задания:При выполнении лабораторной работы необходимо провести все вы­

числительные операции с целью получения ответа на те вопросы, которые были поставлены перед студентом в каждом конкретном случае (в соответ­ствии с вариантом задания).

Исходные данные представлены в виде матриц чисел.Каждый вариант задания может выполняться бригадой из двух –

четырёх человек для того, чтобы можно было бы провести анализ ре­зультатов расчётов разными способами.

По исходным данным необходимо:

Часть 11. Вычислить определитель матрицы и все её миноры четвёртого по­

рядка.1.2. Составить обратную матрицу из найденных миноров:

Τ

−

∆=

555251

1512111 .......1

AAA

AAAA

.

77

1.3. Найти обратную матрицу средствами Mathcad.1.4. Сравнить полученные результаты пунктов 1.2 и 1.3 и сделать вы­

вод о результатах определения A-1 разными способами.

Часть 22.1. Определить ранги матриц A и B СЛАУ.2.2. Проанализировать результаты расчётов и сделать вывод о коли­

честве решений СЛАУ.2.3. Найти решение СЛАУ средствами Mathcad.2.4. Сделать проверку найденного решения.2.5. Сделать выводы (ответить на практические вопросы задания).

4. Варианты задания.

Вариант 1.1Часть 1

=

196259132718174271623561129157321491221

A .

Часть 2.

−=−++−=−−−+=++−−

=++++=−−−+

.15491225222216111;165771154210647

;50168150302031;1474930726229

;5035016521646100

54321

54321

54321

54321

54321

xxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

Вариант 1.2Часть 1

=

233516221125273319171332671592181429241291831

A .

Часть 2

bAx = , где

=

5

4

3

2

1

xxxxx

x ;

=

248214203118170

b .

78

Вариант 1.3Часть 1

=

1962519232718171457162351641291573132149121231

A .

Часть 2

−=−++−=−−−+

=++−−=++++

=−−−+

.1458122522221611;123671154210646

;15068150302032;347149130172162129

;48671353165499

54321

54321

54321

54321

54321

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

xxxxx

Вариант 1.4Часть 1

=

2335461511252745661713322271159214314675372193344

A .

Часть 2

bAx = , где

=

5

4

3

2

1

xxxxx

x ;

=

345322321423322

b .

Вариант 1.5Часть 1

=

19625913271817427162356112915732114912252

A .

79

Часть 2

−=−++−=−−−+=++−−

=++++=−−−+

.154191225222216111;651771154210647;533168150992031

;11874930728329;5093501652164675

54321

54321

54321

54321

54321

xxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

Вариант 1.6Часть 1

=

23355622112527731917133226171519215814292412491831

A .

Часть 2

bAx = , где

=

5

4

3

2

1

xxxxx

x ;

=

289244378158180

b .

Вариант 1.7Часть 1

=

19625913271817242716235161191573150

149125020

A .

Часть 2

−=−++−=−−−+=++−−

=++++=−−−+

.13291325324617;189771154210647;245168150332031

;1471493726229;150305165216146

54321

54321

54321

54321

54321

xxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

80

Вариант 1.8Часть 1

=

233516221125273319171332637159218114292412901575

A .

Часть 2

bAx = , где

=

5

4

3

2

1

xxxxx

x ;

=

548514403418400

b .

Вариант 1.9Часть 1

=

2962513232718174271623516112215713214912211

A .

Часть 2

−=−++−=−−−+

=++−−=++++

=−−−+

.2546122522221626;2651771154210664

;150118150302053;1474930726235

;1253501152164685

54321

54321

54321

54321

54321

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

xxxxx

81

Вариант 1.10Часть 1

=

233516221125273319171332567154421381429241291839

A .

Часть 2

bAx = , где

=

5

4

3

2

1

xxxxx

x ;

=

748714773778703

b .

Вариант 1.11Часть 1

=

11625821327181742716235611291573214912226

A .

Часть 2

−=−++−−=−−−+

=++−−=++++

=−−−+

.18491325122216;168171153421647

;5066815332131;3474930726229

;513516164617

54321

54321

54321

54321

54321

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

xxxxx

82

Вариант 1.12Часть 1

=

2335562211252753191713324667159214814722412491863

A .

Часть 2

bAx = , где

=

5

4

3

2

1

xxxxx

x ;

=

296284243118170

b .

Вариант 1.13Часть 1

=

19612519352518171427162351612515173212149121219

A .

Часть 2

−=−++−=−−−+

=++−−=++++

=−−−+

.2541911251221655;654121514706473

;5026815382624;1784930726234

;1641001812544675

54321

54321

54321

54321

54321

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

xxxxx

83

Вариант 1.14Часть 1

=

533516221125273319171332655152321814391411591841

A .

Часть 2

bAx = , где

=

5

4

3

2

1

xxxxx

x ;

=

248214195176198

b .

Вариант 1.15Часть 1

=

2250258013271817512716234661121158148547567125487

A .

Часть 2

−=−++−=−−−+=++−−

=++++=−−−+

.5049122522221691;265771154210657;325168150302051

;2474930726292;1503501652164678

54321

54321

54321

54321

54321

xxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

Вариант 1.16Часть 1

=

2335162211252733191713326715921814292412691867

A .

84

Часть 2

bAx = , где

=

5

4

3

2

1

xxxxx

x ;

=

648614503518570

b .

5. Контрольные вопросы.

1. Определите понятие "матрица".2. Назовите ситуации, в которых может использоваться для сохране­

ния информации матрица.3. Когда вводится понятие "определитель матрицы"?4. Какая матрица называется "вырожденной"?5. Какая матрица называется "обратной"?6. Какая матрица называется "единичной"?7. Какие способы используются для нахождения обратной матрицы?8. Что называется рангом матрицы?9. Какие способы определения ранга матрицы Вы знаете?10. Что представляет собой СЛАУ?11. Что называется решением СЛАУ?12. Как связаны значения рангов основной матрицы A и расширен­

ной матрицы B СЛАУ с её решением?13. В каком случае применимы средства Mathcad для нахождения ре­

шения СЛАУ?14. Как решить СЛАУ в случае несовпадения рангов A и B?15. Что такое базисное решение СЛАУ?16. Как определяется число базисных решений СЛАУ?17. Как найти какое-либо из базисных решений СЛАУ средствами

Mathcad?

6. Требования к оформлению пояснительной записки (отчёта по ла­бораторной работе)

Пояснительная записка может быть представлена в тетради, объёмом около 12 листов, либо на листах формата A4.

Содержание пояснительной записки:1. Введение.1.1. Цель и задачи работы.1.2. Исходные данные варианта задания.1.3. Описание основных понятий линейной алгебры и необходимых

средств Mathcad для выполнения работы.

85

2. Расчётная часть − расчёты, анализ результатов.3. Заключение − краткое изложение результатов работы, выводы.

Лабораторная работа 2

Решение нелинейных уравнений

1. Цель работы: показать умения находить решения различных нели­нейных уравнений, анализировать их и выбирать необходимую точность решения.

2. Задачи работы: – освоить методы решения нелинейных уравнений различной

степени сложности;– уметь проанализировать результаты решения нелинейных

уравнений методами Mathcad;– научиться выбирать оптимальное для поставленной задачи

значение точности решения.

3. Общее описание заданияПри выполнении лабораторной работы необходимо провести все вы­

числительные операции с целью получения ответа на те вопросы, которые были поставлены перед студентом в каждом конкретном случае (в соответ­ствии с вариантом задания).

Исходные данные представлены в виде нелинейных уравнений.По исходным данным необходимо:

Часть 11.1. Вычислить корни алгебраического уравнения n-ой степени

0012

21

1 =+++++ −−

−− axaxaxaxa n

nn

nn

n с точностью: а) 0, 1; б) 0, 01; в) 0, 001.

1.2. Проанализировать, как влияет точность вычислений на значения корней. Сделать вывод о целесообразности дальнейшего увеличения точности.

Часть 22.1. Найти корни нелинейного уравнения вида 0)( =xf .2.2. Найти корни нелинейных уравнений 0)( =− axf , 0)( =+ axf ,

0)(2 =xf , 0)( =+ axf .2.3. Проанализировать, как изменяются корни уравнения при измене­

нии аргумента функции.

86

4. Варианты задания.

Вариант 2.1

Часть 11.1. 0421391027556369537101 2345678 =−++−−−++ xxxxxxxx .

Часть 22.1. 08143sin 62352 =+⋅−⋅ −xx xx ; .48=a

Вариант 2.2

Часть 1

1.1. 05512784147251256321195641 234567 =−++−−+− xxxxxxx .

Часть 22.1. 081cos)5(logsin 3

82 =−+⋅ xxxx ; .8=a

Вариант 2.3

Часть 11.1. 021142301754412355137231 2345678 =−++−−−++ xxxxxxxx .

Часть 22.1. 03532cos 62352 =+⋅−⋅ −xx xx ; 12=a .

Вариант 2.4

Часть 11.1. 0347561131863788212147351 234567 =−++−−+− xxxxxxx .

Часть 22.1. 0)315lg()3(logcos 2

22 =+−−⋅ xxxx ; .3=a

Вариант 2.5

Часть 11.1. 014191617550665317233 2345678 =−++−−−++ xxxxxxxx .

87

Часть 2.2.1. 01512)4( 62346 =+⋅−⋅+ −− xx xex ; .4=a

Вариант 2.6

Часть 11.1. 05127841497252562519561 234567 =−+−+−−+ xxxxxxx .

Часть 22.1. 056cos)5(logsin 3

72 =−−⋅ xxxx ; .4=a

Вариант 2.7

Часть 11.1. 04213910217546214485475 2345678 =−+++−−++ xxxxxxxx .

Часть 22.1. 0927sin 64232 =−⋅−⋅ −xx xx ; .28=a

Вариант 2.8

Часть 11.1. 055248414725256321195641 234567 =−−−−+++ xxxxxxx .

Часть 22.1. 08cos)5()15(logsin 3

93 =−−+⋅ xxxx ; .8=a

Вариант 2.9

Часть 11.1. 04239127515636556791 2345678 =−++−−−++ xxxxxxxx .

Часть 22.1. 018143sin 164455 =+⋅−⋅ −+ xx xx ; .48=a

Вариант 2.10

Часть 11.1. 05513841144251263215123 234567 =−++−−+− xxxxxxx .

Часть 22.1. 024cos)6(logsin 3

82 =−−⋅ xxxx ; 52=a

88

Вариант 2.11

Часть 11.1. 04335982755636993788 2345678 =−++−−−++ xxxxxxxx .

Часть 22.1. 06783sin 62352 =+⋅−⋅ −xx xx ; .25=a

Вариант 2.12

Часть 11.1. 0412584154525163215341 234567 =−++−−++ xxxxxxx .

Часть 22.1. 0)5.128cos()5(logsin 3

62 =π+−+⋅ xxxx ; .33=a

Вариант 2.13

Часть 11.1. 054339721575156125785 234689 =−++−+−+ xxxxxxx .

Часть 22.1. 02252sin 623142 =+⋅−⋅ −− xx xex ; .34=a

Вариант 2.14

Часть 11.1. 051278414725125632119541 234579 =−++−−+− xxxxxxx .

Часть 22.1. 07cos)4(log6sin 3

62 =−+⋅ xxxx x ; .30=a

Вариант 2.15

Часть 11.1. 0543397215751561251785 234678 =−++−+−+ xxxxxxx .

Часть 22.1. 0333562sin 623142 =+⋅−⋅ −− xx xx ; .34=a

89

Вариант 2.16

Часть 11.1. 044588414725125632119551 234568 =−++−−+− xxxxxxx .

Часть 22.1. 03cos)6(log2sin 3

42 =−−⋅ xxxx x ; .40=a

5. Контрольные вопросы

1. Что называется алгебраическим уравнением?2. Какие типы алгебраических уравнений Вам известны?3. Что называется корнем уравнения?4. Из чего состоит множество решений уравнения?5. Какие уравнения называются линейными?6. Какие уравнения являются эквивалентными?7. Какие преобразования уравнений можно делать, не изменяя кор­

ней уравнений?8. Какие уравнения называются уравнениями с параметрами?9. Для каких степеней алгебраических уравнений известны общие

формулы их решения?10. Сколько корней имеет алгебраическое уравнение n-ой степени?11. Сколько комплексных корней может иметь уравнение нечетной

степени?12. Сколько комплексных корней может иметь уравнение четной

степени?13. Сколько действительных корней может иметь уравнение нечет­

ной степени?14. Сколько действительных корней может иметь уравнение четной

степени?15. Какие средства Mathcad позволяют определять корни нелиней­

ных уравнений?16. Как задать точность определения корней при отыскании их сред­

ствами Mathcad?17. Какие приближённые методы нахождения корней нелинейных

уравнений Вам известны?18. На каком свойстве функций основаны приближенные методы на­

хождения корней уравнений? 19. Что такое абсолютная погрешность вычислений?20. Что называется относительной погрешностью вычислений?21. Можно ли построить линейное пространство на множестве урав­

нений n-ой степени?

90

6. Требования к оформлению пояснительной записки (отчёта по ла­бораторной работе)

Пояснительная записка может быть представлена в тетради, объёмом около 12 листов, либо на листах формата A4.

Содержание пояснительной записки:1. Введение.1.1. Цель и задачи работы.1.2. Исходные данные варианта задания.1.3. Описание основных понятий теории алгебраических уравнений и

1 – 2 методов приближённого нахождения их корней. Описание средств Mathcad для решения нелинейных алгебраических уравнений.

2. Расчётная часть − расчёты, анализ результатов.3. Заключение − краткое изложение результатов работы, выводы.

Лабораторная работа 3

Итерационные вычисления и построение графиков

1. Цель работы: показать знание основных свойств функций, проде­монстрировать умение использовать Mathcad для итерационных вычисле­ний, для разложения рациональных дроби в сумму простых дробей и по­строения графиков.

2. Задачи работы: – уметь проводить итерационные вычисления;– уметь определить основные точки графика заданной функции

по ее аналитическому виду;– уметь определить тип функции и характер ее изменения на

области определения, опираясь на графическое представление;– уметь строить графики функций средствами Mathcad;

– уметь раскладывать рациональные дроби в сумму простых дробей средствами Mathcad.

3. Общее описание заданияПри выполнении лабораторной работы необходимо провести все вы­

числительные операции с целью получения ответа на те вопросы, которые были поставлены перед студентом в каждом конкретном случае (в соответ­ствии с вариантом задания).

91

Исходные данные представлены в виде итерационных выражений и функций.

Каждый вариант задания может выполняться бригадой из двух – четырёх человек для того, чтобы можно было бы провести анализ ре­зультатов расчётов разными способами.

По исходным данным необходимо:

Часть 11.1. Выполнить итерационные вычисления.1.2. Проанализировать свойства полученного ряда чисел.

Часть 22.1.Построить графики заданных функций.2.2. Проанализировать результаты построения графиков функций и

описать поведение каждой из функций по ее графику.2.3. Разложить рациональные дроби в сумму простых дробей сред­

ствами Mathcad.2.4. Построить графики для найденного решения какой-нибудь из

дробей: отдельно график функции, определяемой исходной дробью, и функций, определяемых каждым из слагаемых.

2.5. Сделать выводы на основании полученных результатов вычисле­ний и знаний теоретических вопросов (ответить на практические вопросы задания).

4. Варианты задания:

Вариант 3.1

Часть 1а) ;15,...,1;53,0;1;sin1210 1011 ===−= −+ ixxxxx iii

б) .15,...,1;2.0;2);lg(2731 10111 ===−+= −−+ ixxxxxx iiii

Часть 2 2.1. );13(log;3;sin 23

332

21 −+=−== xxyxeyxxy x .17134315;cos)1()1sin( 235

522

4 +−+−=−+−= xxxxyxxxxy

2.2. а) )4)(1)(3)(2(123

−−−−−+

xxxxxx

;

б) )6)(1()1)(5( 2

34

+−+++−

xxxxxxx

.

92

Вариант 3.2

Часть 1а) ;15,...,1;1;10;1725 1011 ==−=+= −+ ixxxxx iii

б) .15,...,1;032,0;01,0;sincos 1011 ===+= −+ ixxxxx iii

Часть 2 2.1. ;sin)13(;lg3;cos 23

32

21 xxxyxxyxey x −+=−== .1283377425143224;16cos2sin 234567

53

4 −+−+−+−=+= xxxxxxxyxxy

2.2. а) )43)(11)(3)(12(149157713 23

−+−++−+

xxxxxxx

;

б) )13)(21()17)(15(50484589

2

234

+−++−+−

xxxxxxx

.

Вариант 3.3

Часть 1а) ;15,...,1;03,0;0;125 1011 ===+= −+ ixxxxx iii

б) .15,...,1;5,0;2);lg(23 10111 ===−+= −−+ ixxxxxx iiii

Часть 2 2.1. );13(log;)3(3;sin)1( 23

532

21 −+=−−=−= xxyxyxxy x .93847);

3cos()1()

6sin( 235

52

4 −−+−=π+−+π−= xxxxyxxxxy

2.2. а) )14)(11)(31)(25(384 23

−−−−−+

xxxxxx

;

б) )6)(9()11)(13(781257

2

234

+−+−−−+−xxxx

xxxx.

Вариант 3.4

Часть 1 а) ;15,...,1;1;1;35 1011 ==−=−= −+ ixxxxx iii

б) .15,...,1;032,0;01,0;sin2cos 1011 ===+= −+ ixxxxx iii

93

Часть 2 2.1. );

4sin()11(;)5(4lg;cos 3

32

22

1

π−+=−−== − xxyxxyxey x

.328343751458;6cos)6

(sin 235675

34 −+−−+−=+π+= xxxxxxyxxy

2.2. а) )14)(13)(23)(17(191556723 23

−+−++−+

xxxxxxx

;

б) )33)(29()17)(15(5074181459

2

234

+−++−+−

xxxxxxx

Вариант 3.5

Часть 1а) ;15,...,1;45,0;1;

2sin 1011 ===π= −+ ixxxxx iii

б) .15,...,1;2,0;1;lglg 1011 ===−= −+ ixxxxx iii

Часть 2 2.1. ;)87(log;;sin)2( 223

734

23

1 xxyxeyxxy x −=+=−= + .4733541361;cos)1(sin)4( 235

5222

4 +−+−=−++= xxxxyxxxxy

2.2. а) )47)(11)(31)(23(196348127 23

−−−−−+

xxxxxx

;

б) )61)(19()17)(51(91143589

2

34

+−++−+−

xxxxxxx

.

Вариант 3.6

Часть 1а) ;15,...,1;1;0;

4cos17

2sin 1011 ===π+π= −+ ixxxxx iii

б) .15,...,1;2;3;loglog 102131 ===+= −+ ixxxxx iii

Часть 2 2.1. );1154(;lg);5(

5cos 23

32

25

1 −+=−=−π= − xxyxxyxey x .12874251524;5cos4sin 234567

522

4 −+−+−+−=+= xxxxxxxyxxy

2.2. а) )43)(17)(13)(11(149157713 23

−+−++−+

xxxxxxx

;

94

б) )37)(21()17)(23(50484589

2

234

+−++−+−

xxxxxxx

.

Вариант 3.7

Часть 1а) ;15,...,1;2,0;1;3 1011 ===+= −+ ixxxxx iii

б) .15,...,1;2,0;2);lg2(7 10111 ===−+= −−+ ixxxxxx iiii

Часть 2 2.1. );13(log;24;

4cos 2

3322

21 +=−=π= − xyxeyxxy x

.5132376;cos)1()6

sin( 2355

24 +−+−=−+π−= xxxxyxxxxy

2.2. а) )41)(11)(13)(23(86976 23

−−−−−−+

xxxxxxx

;

б) )61)(11()13)(59(7433

2

34

+−++−+−

xxxxxxx

.

Вариант 3.8Часть 1

а) ;15,...,1;1;15;2315 1011 ==−=+= −+ ixxxxx iii

б) .15,...,1;032,0;01,0;sin2

cos 1011 ===π+π= −+ ixxxxx iii

Часть 2 2.1. );

23sin()1(;lg)3(;

3cos4 3

32

21

π−−=−−=π= xxyxxxyxy x .12327729846272;8cos4sin 234567

53

4 +−+−+−=+= xxxxxxyxxy

2.2. а) )43)(11)(13)(1(149959793 23

−+−++−+xxxx

xxx;

б) )13)(21()7)(19(50545845559

2

234

+−++−+−xxxx

xxx .

Вариант 3.9

Часть 1а) .15,...,1;5,0;1;sin54 1011 ===−= −+ ixxxxx iii

б) .15,...,1;2,1;1);lg(23 10111 ===−+= −−+ ixxxxxx iiii

95

Часть 2 2.1. );13(log;)7(4;4sin 23

632

21 −+=−−== xxyxeyxxy x .7314135;3cos)1()sin( 235

52

4 +−+−=−+π−= xxxxyxxxxy

2.2. а) )23)(11)(5)(3(166 23

−−−−+−+

xxxxxxx

;

б) )67)(17()17)(51(34559988

2

34

+−++−+−

xxxxxxx

.

Вариант 3.10

Часть 1 а) ;15,...,1;2;12;79 1011 ==−=+= −+ ixxxxx iii

б) .15,...,1;032,0;01,0;3sin2cos 1011 ===+= −+ ixxxxx iii

Часть 22.1. ;

32sin)(;4lg);

4cos(5 3

322

21

1 xxxyxxxyxy x +=−⋅=π+= + .3583469425742736;6cos3sin 234567

533

4 −+−+−+−=+= xxxxxxxyxxy

2.2. а) )43)(11)(13)(27(193519717 23

−+−++−+

xxxxxxx

;

б) )13)(21()17)(15(30684569

2

234

+−++−+−

xxxxxxx

.

Вариант 3.11

Часть 1а) ;15,...,1;5,0;1;126 1011 ===−= −+ ixxxxx iii .б) .15,...,1;2,0;2);lg(27lg3 10111 ===−+= −−+ ixxxxxx iiii

Часть 2 2.1. );4(log;)4(6;sin)4( 2

832

22

1 −=−−=−= xyxyxxy x .85132315;5.0cos)1()sin( 235

522

4 +−+−=−+π−= xxxxyxxxxy

2.2. а) )47)(11)(31)(23(78111245 23

−−−−−−+

xxxxxxx

;

б) )61)(11()13)(53(31769

2

34

+−++−+−

xxxxxxx

.

96

Вариант 3.12Часть 1

а) ;15,...,1;1;10;1715 1011 ==−=+= −+ ixxxxx iii

б) .15,...,1;032,0;01,0;sin2cos 1011 ===+= −+ ixxxxx iii

Часть 2. 2.1. ;2sin)13(;lg)23(;cos4 23

32

21 xxxyxxxyxy x −+=−−== .1283374415141224;12cos8sin 234567

54 −+−+−+−=+= xxxxxxxyxxy

2.2. а) )43)(11)(13)(11(149115177131 23

−+−−+−+xxxx

xxx;

б) )37)(21()17)(15(53484512

2

234

−−−−−+−

xxxxxxx

Вариант 3.13Часть 1

а) ;15,...,1;53,0;1);25(log 10131 ===+= −+ ixxxxx iii

б) .15,...,1;2,0;2);1lg( 10111 ===++= −−+ ixxxxxx iiii

Часть 2 2.1. ;)13(;)(sin2; 223

32

21 −+=−== xxyxyxtgxy x .194341317;cos)

43(2sin 235

52

4 +−+−=+π−= xxxxyxxxxy

2.2. а) )47)(17)(73)(97(5554 23

−−−−−+

xxxxxx

;

б) )83)(19()61)(53(117111235981

2

34

+−++−+−xxxx

xxx.

Вариант 3.14Часть 1.

а) ;15,...,1;1;10;1017 1011 ==−=−= −+ ixxxxx iii

б) .15,...,1;032,0;01,0;sincos 1011 ===π+π= −+ ixxxxx iii

Часть 2 2.1. ;sin)136(;14lg;8cos 23

32

272

1 xxxyxxyxey x −+=−== − .12833774251485;4.0cos9sin 23456

54 −+−+−+−=+= xxxxxxyxxy

2.2. а) )83)(11)(37)(12(491547775 23

−+−++−+xxxx

xxx;

97

б) )13)(21()17)(15(50484589

2

234

−+++−+−

xxxxxxx

.

Вариант 3.15Часть 1

а) ;15,...,1;2;12;7/ 1011 ==−== −+ ixxxxx iii

б) .15,...,1;032,0;01,0;3sin5cos 1011 ===−= −+ ixxxxx iii

Часть 2 2.1. ;

54sin)(;6lg)3();

4cos(5 3

322

21

1 xxxyxxxyxy x −=−+=π−= − .4883461511346544;7cos5sin 234567

533

4 −+−+−+−=+= xxxxxxxyxxy

2.2. а) )43)(11)(13)(27(193519794 23

+−−−+−+

xxxxxxx

;

б) )91)(23()17)(17(31484577

2

234

−−+−−+−

xxxxxxx

.

Вариант 3.16Часть 1

а) ;15,...,1;5,0;1;54 1011 ===+= −+ ixxxxx iii

б) .15,...,1;2,0;2);lg4lg3 10111 ===−= −−+ ixxxxx iii

Часть 2 2.1. );43(log;)4(8;sin)5( 2

832

22

1 +−=−=−= xxyxyxxy x .83132112;3.0cos)3(sin)6( 235

522

4 +++−=++−= − xxxxyxxxxy

2.2. а) )47)(11)(31)(29(6742431 23

−−−−−−+

xxxxxxx

;

б) )61)(11()29)(13(31769

2

34

+−++−+−

xxxxxxx

5. Контрольные вопросы

1. Какие вычисления называются итерационными?2. Какие числа называются числами Фибоначчи?3. Что называется функцией?4. Что такое график функции?5. Определите понятие непрерывной функции.6. Какие точки разрыва бывают у функции?7. Что называется корнями функции?8. Какие виды экстремумов функции Вы знаете?

98

9. Сформулируйте теорему Ферма.10. Сформулируйте достаточный признак экстремума функции.11. Как определить участки возрастания и убывания функции?12. Какие функции называют четными, а какие нечетными?13. Какие функции называются функциями общего вида?14. Какие функции называются однородными?15. Какие функции называют периодическими?16. Что такое точка перегиба?17. Как определяется точка перегиба?18. Какая функция называется выпуклой?19. Какая функция называется вогнутой?20. Всегда ли точка, в которой вторая производная функции равна

нулю, является точкой перегиба?21. Как найти асимптоты графика функции?22. Сформулируйте правила разложения рациональной дроби в сум­

му простых дробей.23. Какие средства Mathcad используются для итерационных вычис­

лений?24. Как построить график функции средствами Mathcad?25. Как разложить правильную рациональную дробь средствами

Mathcad?26. Как разложить неправильную рациональную дробь средствами

Mathcad?

6. Требования к оформлению пояснительной записки Пояснительная записка может быть представлена в тетради, объёмом

около 12 листов, либо на листах формата A4.Содержание пояснительной записки:1. Введение.1.1. Цель и задачи работы.1.2. Исходные данные варианта задания.1.3. Описание основных правил итерационных вычислений, общей

схемы построения графика функции одной переменной с полным ее иссле­дованием, формул разложения рациональной дроби в сумму простых дро­бей и необходимых для выполнения работы средств Mathcad.

2. Расчётная часть (расчёты, анализ результатов).3. Заключение (краткое изложение результатов работы, выводы).

99

Лабораторная работа 4

Символьное и численное дифференцирование функций

1. Цель работы: показать знание приемов и методов дифференциро­вания функций одного переменного продемонстрировать умение использо­вать Mathcad для вычислений производных и дифференциалов функций.

2. Задачи работы: – уметь вычислить производную функции;– уметь найти дифференциал функции;– уметь находить численное значение производной в любой

точке области определения функции средствами Mathcad.

3. Общее описание заданияПри выполнении лабораторной работы необходимо провести все вы­

числительные операции с целью получения ответа на те вопросы, которые были поставлены перед студентом в каждом конкретном случае (в соответ­ствии с вариантом задания).

Исходные данные представлены в виде функций.Каждый вариант задания может выполняться бригадой из двух –

четырёх человек для того, чтобы можно было бы провести анализ ре­зультатов расчётов разными способами.

По исходным данным необходимо:

Часть 11.1. Найти производную функций, заданных в варианте, используя

средства символьного дифференцирования.1.2. Записать дифференциалы функций, заданных в варианте, и

найти их значения в точке 0x для двух значений dx : а) 01,0=dx ; б) 001,0=dx .1.3. Проанализировать поведение функций в окрестности точки 0x ,

исходя из найденных значений ее дифференциалов.1.4.Найти вторые производные функций, заданных в варианте.

Часть 22.1.Вычислить значение первой и второй производных в точке 45=x

функции, заданной своими значениями в узлах ihxxi += 0 .2.2. Проанализировать результаты расчетов и сделать вывод о харак­

тере изменения функции в рассматриваемой точке.2.3. Построить графики функции и ее первой производной по

найденным значениям.

100

2.5. Сделать выводы (ответить на практические вопросы задания).

4. Варианты задания

Вариант 4.1Часть 1

а) xxy 23 sin= ; б) ;324 2 ++= xxy в) );52(log3 += xy

г) xxxy x 2sin

14132

+−+= ; .1050 =x

Часть 2 ;5,...1;10;10 === ihx

0170333,3;0128372,3;0086002,3;0043214,3;0,3)( =xf .

Вариант 4.2Часть 1

а)781560317

150273114825

234

++−++−+=

xxxxxxxy ;

б) ;14171cos4sin 23 xtgxxy += в) ));1753((log4xextgy +=

г) xexy xx 60sin4 2203 −= ; .950 =x

Часть 2;5,...,1;6,0;4,00 === ihx

.99333,4;87256,4;68902,4;2421,4;0,4)( =xf

Вариант 4.3Часть 1

а) xxy 22 sin= ; б) ;2345 3 +−= xxy в) );512(log3 += xy

г) )3

(sin114162 24 π−

+−+= − x

xxy x ; .330 =x

Часть 2 ;5,...,1;10;10 === ihx

0170333,5;0128372,5;0086002,5;0043214,5;0,5)( =xf .

Вариант 4.4Часть 1

а) 93555679

772421114825

234

++−++−+=

xxxxxxxy ;

б) ;68cos2sin 22 xtgxxy += в) ));5((log 26

−+= xextgy

г) )4

(sin4 2523 π−−= −− xexy xx ; .150 =x

101

Часть 2;5,...,1;5,0;4,00 === ihx

89333,1;77256,1;8021,1;121,1;001,1)( =xf .

Вариант 4.5Часть 1

а) xxy 2sin= ; б) ;574 2 +−= xxy в) );46(log3 −= xy

г) xxxey x sin

9411

2 −−+= ; .120 =x

Часть 2 ;5,...,1;10;10 === ihx

970333,3;928372,3;86002,3;43214,3;15,3)( =xf .

Вариант 4.6Часть 1

а)65154757

175512743625

234

++−++−+=

xxxxxxxy ;

б) ;812cossin 2 xtgxxy += в) ));53((sinlog 25

xxy +=г) xxy xx 60sin47 252 −= ; .190 =x

Часть 2 ;5,...,1;6,0;4,00 === ihx

3333,26;87256,25;...;297,25;21,24;01,24)( =xf .

Вариант 4.7Часть 1

а) )1(ln 23 xxy −= ; б) ;23123 2 +−= xxy в) );52(log9 += xy

г) xx

xy x 25 sin184

165+

−+= − ; .510 =x

Часть 2 ;5,...,1;10;10 === ihx

0170333,12;0128372,9;0086002,6;43214,3;001,0)( =xf .

Вариант 4.8Часть 1

а)7811156376

115127378125

234

++−++−+=

xxxxxxxy ;

б) ;2cos4sin 223 xtgxxy += в) ));17539(ln(log4xexy +=

г) xexy xx 3sin4 2143 +− −= ; .510 =x

102

Часть 2;5,...,1;6,0;4,00 === ihx

0099333,15;99256,14;89222,14;2156,14;021,14)( =xf .

Вариант 4.9Часть 1

а) xxy 4sin 22= ; б) ;15743 2 +−= xxy в) );2512(log3 −= xy

г) xx

xxy 33

2

sin8143

−−= ; .240 =x

Часть 2 ;5,...,1;10;10 === ihx

178471,8;843772,7;650402,7;453214,7;10204,7)( =xf .

Вариант 4.10Часть 1

а)641476012519573214

25

234

++−++−+=

xxxxxxxy ;

б) );141lg(2cos2sin 23 xxxy −+= в) ));17544(sin( xextgy +=

г) xxy x 3sin4)17( 23 −−= ; .250 =x

Часть 2 ;5,...,1;6,0;5,00 === ihx

99333,9;6787256,9;3468902,9;2421,9;23471,9)( =xf .

Вариант 4.11Часть 1

а) xxy 23 sin= ; б) ;324 2 =+= xxy в) );52(log3 += xy

г) xxxy x 2sin

14132

+−+= ; .1050 =x

Часть 2 ;5,...,1;10;10 === ihx

0170333,3;0128372,3;0086002,3;0043214,3;0,3)( =xf .

Вариант 4.12Часть 1

а)825150175

1646555725

234

++−++−+=

xxxxxxxy ;

103

б) ;43cos)2

(sin 23 xtgxxy +π−= в) );)1753(4(log 34 ++= xy

г) xexy xx 6sin4 2923 −= − ; .220 =x

Часть 2;5,...,1;6,0;4,00 === ihx

99333,5;1187256,5;8902,4;6421,4;0678,4)( =xf .

Вариант 4.13Часть 1

а) xxy 34 sin= ; б) ;1332655 2 −+= xxy в) );12(log3 += xy

г) xxxy x 2sin

6141532

+−+= ; .330 =x

Часть 2 ;5,...,1;10;10 === ihx

0170333,57;0128372,56;86002,55;40424,55;07856,55)( =xf .

Вариант 4.14Часть 1

а)781560317

7927316425

234

++−++−+=

xxxxxxxy ;

б) ;44cos4sin 22 xarctgxxy += в) ));4((log4xextgy +=

г) )5.0(sin2 2215 π−−= − xxy x ; .880 =x

Часть 2;5,...,1;6,0;4,00 === ihx

99333,54;87256,54;68902,54;2421,44;0,34)( =xf .

Вариант 4.15Часть 1

а) xxy 5cos22= ; б) ;45211116 2 −+= xxy в) );112(log5 −= xy

г) xxxy x 23 sin

174114352

+−+= − ; .230 =x

Часть 2 ;5,...,1;10;10 === ihx

98170,3;438372,3;346002,3;13214,32;1110,31)( =xf .

Вариант 4.16Часть 1

а)37813566177

3152172112325

234

++−++−+=

xxxxxxxy ;

104

б) ;46cos8sin 23 xtgxxy += в) ));1753((log11xextgy +=

г) xxy x 223 sin4−− −= ; .190 =x

Часть 2;5,...,1;6,0;4,00 === ihx

99333,46;87256,46;968902,45;72421,45;9920,41)( =xf .

5. Контрольные вопросы

1. Что называется производной функции в точке?2. Что называется производной функции на множестве?3. Записать таблицу производных элементарных функций.4. Записать основные правила дифференцирования простых функ­

ций.5. Записать формулу дифференцирования сложной функции.6. Определите понятие дифференциала функции7. Каким свойством обладает первый дифференциал функции?8. Как определяется вторая производная функции?9. Как определяется производная n-го порядка функции?10. Как определяется второй дифференциал функции?11. Обладает ли второй дифференциал функции свойством инвари­

антности?12. Какой геометрический смысл имеет производная к функции в

точке?13. Как записать уравнение касательной к графику функции?14. Что можно сказать о функции, зная ее производную?15. Как определить экстремумы функции?16. Как найти производную от функции, заданной параметрически?17. Как найти производную от функции, заданной неявно?18. Как определить участки выпуклости и вогнутости функции, ее

точку перегиба?19. Какие средства Mathcad используются для вычисления произ­

водных функций?20. Как определить дифференциал функции средствами Mathcad?

6. Требования к оформлению пояснительной записки.Пояснительная записка может быть представлена в тетради, объёмом

около 12 листов, либо на листах формата A4.Содержание пояснительной записки:1. Введение.1.1. Цель и задачи работы.1.2. Исходные данные варианта задания.

105

1.3. Описание основных понятий дифференциального исчисления для функций одного переменного и необходимых для выполнения работы средств Mathcad.

2. Расчётная часть − расчёты, анализ результатов.3. Заключение − краткое изложение результатов работы, выводы.

Лабораторная работа 5

Символьное и численное интегрирование функций

1. Цель работы: показать знание приемов и методов интегрирования функций, продемонстрировать умение использовать Mathcad для вычисле­ний интегралов.

2. Задачи работы: – уметь вычислить интеграл функции;– уметь найти интеграл функции, заданной таблично;– уметь находить интегралы с заданной точностью;– уметь находить площади фигур с помощью интегралов;– уметь находить объемы фигур с помощью интегралов.

3. Общее описание заданияПри выполнении лабораторной работы необходимо провести все вы­

числительные операции с целью получения ответа на те вопросы, которые были поставлены перед студентом в каждом конкретном случае (в соответ­ствии с вариантом задания).

Исходные данные представлены в виде интегралов и функций.Каждый вариант задания может выполняться бригадой из двух –

четырёх человек для того, чтобы можно было бы провести анализ ре­зультатов расчётов разными способами.

По исходным данным необходимо:Часть 11.1. Вычислить неопределенные интегралы функций.1.2. Найти значения заданных определенных интегралов.

Часть 22.1.Вычислить площадь заданной фигуры.2.2. Найти объем заданной фигуры вращения.2.3. Сделать выводы (ответить на практические вопросы задания).

106

4. Варианты заданияВариант 5.1Часть 1

1.1. а) ;44 2

2

∫ + x

x

edxe б) ;cossin 53∫ xdxx

в) ;1234∫ +−+ xxx

dx г) .ln2∫ xdxx

1.2. а) ;1

3,0∫ dxex x б) ∫

5

2;lntan xdxgx в)

∫ −4

1

2 6sin xdxe x .

Часть 22.1. Фигура ограничена кривыми 315201405)( 2

1 +−= xxxf и .72012711)( 2

2 ++−= xxxf2.2. Тело получено вращением вокруг OX фигуры, ограниченной ли­

ниями .8,16

64 22 yx

xy =

+=

Вариант 5.2Часть 1

1.1. а) ;351

721

21

∫ +

−

+ x

x dx б) ;cossin 1217∫ xdxx

в) ;153

224∫ +− xx

xdx г) .4cos)2( 7∫ + xdxxx

1.2. а) ;5ln5

2∫ dxx x б) ∫ −+−

2

1

34 ;)213153(sin dxxxxx

в) ∫ −+−3

1

21 )316(sin dxxe x .

Часть 22.1. Фигура ограничена кривыми 3

1 4)( xxf = и .2)( 22 xxf =

2.2. Тело получено вращением вокруг OX фигуры, ограниченной ли­ниями .0,1, ==⋅= yxexy x

107

Вариант 5.3Часть 1

1.1. а) ;45 4

4

∫ − x

x

edxe б) ;3cos3sin 53∫ xdxx

в) ;1234∫ −−− xxx

dx г) .)1ln(2∫ + dxxx

1.2. а) ;31

3,0∫ − dxex x б) ∫ +

5

2;)6ln(tan dxxx в)

∫ −4

1

22 6sin xdxe x .

Часть 22.1. Фигура ограничена кривыми 315601425)( 2

1 +−= xxxf и .72071811)( 2

2 ++−= xxxf2.2. Тело получено вращением вокруг OX фигуры, ограниченной ли­

ниями .25,25

125 22 yx

xy =

+=

Вариант 5.4Часть 1

1.1. а) ;251

221

21

∫ +

−

+ x

x dx б) ;3cos3sin 1217∫ xdxx

в) ;1612

524∫ +− xx

xdx г) .4cos)2( 7∫ − xdxxx

1.2. а) ;5)8ln(5

2∫ + dxx x б) ∫ −+−

2

1

234 ;sin)213153( xdxxxx

в) ∫π−+−

3

1

21 )4

2(sin dxxe x .

Часть 22.1. Фигура ограничена кривыми 3

1 9)( xxf = и .3)( 22 xxf =

2.2. Тело получено вращением вокруг OX фигуры, ограниченной ли­ниями .0,1,2 ==⋅= − yxexy x

108

Вариант 5.5Часть 1

1.1. а) ;25 5

5

∫ + x

x

edxe б) ;17cos33sin∫ xdxx

в) ;11264 23∫ +−− xxx

dx г) .)1ln( 22∫ ++ dxxxx

1.2. а) ;171

3,0∫ + dxex x б) ∫

5

2

;ln3 xdxxtg в) ∫ −4

1

22 6sin xdxe x .

Часть 22.1. Фигура ограничена кривыми 315401105)( 2

1 +−= xxxf и .72032111)( 2

2 ++−= xxxf2.2. Тело получено вращением вокруг OX фигуры, ограниченной ли­

ниями .25,9

121 22 yx

xy =

+=

Вариант 5.6Часть 1

1.1. а) ;2751

921

21

∫ +

−

+ x

x dx б) ;cossin 1512∫ xdxx

в) ;195

224∫ +− xx

xdx г) .7cos)42( 3∫ −+ xdxxx

1.2. а) ;5)1ln(5

2∫ − dxx x б) ∫ −+

2

1

32 ;)213153(sin dxxxx

в) ∫ +−3

1

21 2sin xdxe x .

Часть 22.1. Фигура ограничена кривыми 3

1 64)( xxf = и .8)( 22 xxf =

2.2. Тело получено вращением вокруг OX фигуры, ограниченной ли­ниями .0,1,8 ==⋅+= yxexy x

Вариант 5.7Часть 1

1.1. а) ;44 2

92

∫ +

−

x

x

edxe б) ;4cos4sin 53∫ xdxx

109

в) ;153 234∫ +−+ xxx

dx г) .ln)3( 2∫ + xdxx

1.2. а) ;161

3,0∫ + dxex x б) ∫

5

2

;ln3 xdxxtg в) ∫ −−4

1

24 6sin xdxe x .

Часть 22.1. Фигура ограничена кривыми 315311223)( 2

1 +−= xxxf и .720327111)( 2

2 ++−= xxxf2.2. Тело получено вращением вокруг OX фигуры, ограниченной ли­

ниями .4,4

8 22

yxx

y =+

=

Вариант 5.8Часть 1

1.1. а) ;2551

521

21

∫ +

−

+ x

x dx б) ;8cos8sin 1217∫ xdxx

в) ;153

)42(24∫ +−

+xxdxx

г) .4cos)15( 7∫ − xdxxx

1.2. а) ;4ln5

2∫ dxx x б) ∫ −−

2

1

34 ;)2133(sin dxxxx

в) ∫ +−3

1

21 2sin xdxe x .

Часть 22.1. Фигура ограничена кривыми 3

1 64)( xxf = и .8)( 22 xxf =

2.2. Тело получено вращением вокруг OX фигуры, ограниченной ли­ниями .0,1,12 ==⋅−= yxexy x

Вариант 5.9Часть 1

1.1. а) ;5 2

122

∫ +

+

x

x

edxe б) ;9cos9sin 53∫ xdxx

в) ;1543 234∫ +−+ xxx

dx г) .)5ln(2∫ − dxxx

1.2. а) ;41

3,0∫ dxx x б) ∫

5

2

;lncos xdxx в) ∫ −4

1

2 6cos xdxe x .

110

Часть 22.1. Фигура ограничена кривыми 31520145)( 2

1 +−= xxxf и .72012711)( 2

2 ++−= xxxf2.2. Тело получено вращением вокруг OX фигуры, ограниченной ли­

ниями .18,16

64 22 +=

+= yx

xy

Вариант 5.10Часть 1

1.1. а) ;351

321

21

∫ +

−

+ x

x dx б) ;cossin 1115∫ xdxx

в) ;153

8124∫ +− xx

xdx г) .4cos)12( 3∫ −+ xdxxx

1.2. а) ;5ln7

2∫ dxx x б) ∫ −+−

3

1

34 ;)213153(sin dxxxxx

в) ∫ +−2

1

21 6sin xdxe x .

Часть 22.1. Фигура ограничена кривыми 3

1 144)( xxf = и .12)( 22 xxf =

2.2. Тело получено вращением вокруг OX фигуры, ограниченной ли­ниями .0,1,7 ==⋅+= yxexy x

Вариант 5.11Часть 1

1.1. а) ;86 6

6

∫ + x

x

edxe б) ;cossin 59∫ xdxx

в) ;1235∫ +−+ xxx

dx г) .2ln2∫ xdxx

1.2. а) ;161

3,0

2∫ ++ dxex x б) ∫8

4

;ln xdxtgx в) ∫ −45

21

2 6sin xdxe x

.

Часть 22.1. Фигура ограничена кривыми 315201205)( 2

1 +−= xxxf и .93127)( 2

2 ++−= xxxf

111

2.2. Тело получено вращением вокруг OX фигуры, ограниченной ли­

ниями .3,9

36 22 yx

xy =

+=

Вариант 5.12Часть 1

1.1. а) ;431

421

21

∫ +

−

+ x

x dx б) ;cossin 1211∫ xdxx

в) ;13

2324∫ +− xx

xdx г) .4cos)12( 23∫ −+ xdxxx

1.2. а) ;21ln45

2∫ ⋅+ dxx x б) ∫ −+−

3

1

34 ;)213153(sin dxxxxx

в) ∫ π−+−3

1

22 )3.02(sin dxxe x .

Часть 22.1. Фигура ограничена кривыми 3

1 441)( xxf = и .21)( 22 xxf =

2.2. Тело получено вращением вокруг OX фигуры, ограниченной ли­ниями .0,1,56 ==⋅+= yxexy x

Вариант 5.13Часть 1

1.1. а) ;4417

2

2

∫ + x

x

edxe б) ;cossin 515∫ xdxx

в) ;1173199 234∫ +−+ xxx

dx г) .)9ln()9(5 2∫ +− dxxx

1.2. а) ;11

3,0∫ dxex x б) ∫

53

21

;lnsin xdxx в) ∫ −4

1

2 16sin xdxe x .

Часть 22.1. Фигура ограничена кривыми 15456312)( 2

1 +−= xxxf и .720527111)( 2

2 ++−= xxxf2.2. Тело получено вращением вокруг OX фигуры, ограниченной ли­

ниями .25,625

625 22 yx

xy =

+=

112

Вариант 5.14Часть 1

1.1. а) ;751

723

23

∫ +

−

+ x

x dx б) ;cossin 1210∫ xdxx

в) ;153

)92(24∫ +−

−xxdxx

г) .4cos)1923( 24∫ −+− xdxxxx

1.2. а) ;4)9ln(8

2∫ ⋅− dxx x б) ∫ −+−π2

1

34 ;)213153(14

sin dxxxxx

в) ∫ −π+−3

1

21 )316(4

sin dxxe x .

Часть 22.1. Фигура ограничена кривыми 3

1 900)( xxf = и .28)( 22 xxf =

2.2. Тело получено вращением вокруг OX фигуры, ограниченной ли­ниями .0,1,2 ==⋅= yxexy x

Вариант 5.15Часть 1

1.1. а) ;57 9

9

∫ + x

x

edxe б) ;cossin 95∫ xdxx

в) ;1

)21(234∫ +−+

−xxxdxx

г) .ln)17( 2∫ − xdxx

1.2. а) ;3

3,0∫ dxex x б) ∫

5

2

;ln5cos xdxx в) ∫ −4

1

23 6sin xdxe x .

Часть 22.1. Фигура ограничена кривыми 31520145)( 2

1 +−= xxxf и .72012711)( 2

2 ++−= xxxf2.2. Тело получено вращением вокруг OX фигуры, ограниченной ли­

ниями .13,169

25 22 yx

xy =

+=

113

Вариант 5.16Часть 1

1.1. а) ;525

521

21

∫ +

−

+ x

x dx б) ;cossin 1515∫ xdxx

в) ;1553

2524∫ +− xx

xdx г) .5cos)25( 5∫ + xdxxx

1.2. а) ;27ln5

2∫ ⋅+ dxx x б) ∫ −+−

2

1

34 ;)213153(5sin dxxxxx

в) ∫ +−3

1

21 5sin xdxe x .

Часть 22.1. Фигура ограничена кривыми 3

1 25)( xxf = и .5)( 22 xxf =

2.2. Тело получено вращением вокруг OX фигуры, ограниченной ли­ниями .0,1,55 ==⋅+= yxexy x

5. Контрольные вопросы

1. Что называется первообразной функцией?2. Что называется неопределенным интегралом?3. Записать таблицу интегралов элементарных функций.4. Записать основные правила интегрирования функций.5. Записать основные свойства неопределенного интеграла функции.6. Запишите формулу интегрирования по частям для неопределенно­

го интеграла.7. Какой интеграл называется циклическим?8. Что называется определенным интегралом?9. Запишите основные свойства определенного интеграла.10. Сформулируйте теорему о среднем значении.11. Как определить площадь с помощью интеграла?12. Как найти объем тела с помощью интеграла?13. Какие методы приближенного вычисления интегралов Вы

знаете?14. Как вычислить интеграл в символьном виде средствами Mathcad?15. Как вычислить определенный интеграл средствами Mathcad?

6. Требования к оформлению пояснительной запискиПояснительная записка может быть представлена в тетради, объёмом

около 12 листов, либо на листах формата A4.

114

Содержание пояснительной записки:1. Введение.1.1. Цель и задачи работы.1.2. Исходные данные варианта задания.1.3. Описание основных понятий интегрального исчисления для

функций одного переменного и необходимых для выполнения работы средств Mathcad.

2. Расчётная часть (расчёты, анализ результатов).3. Заключение (краткое изложение результатов работы, выводы).

Лабораторная работа 6

Операции с матрицами

1. Цель работы: показать знание основных понятий теории матриц и методов матричных вычислений, продемонстрировать умение использо­вать возможности средств Mathcad для символьных и численных операций с матрицами.

2. Задачи работы: – уметь складывать матрицы;– уметь умножать матрицу на число и на матрицу;– уметь находить транспонированную матрицу для данной;– уметь находить обратную матрицу для данной;– уметь находить определители квадратных матриц.

3. Общее описание заданияПри выполнении лабораторной работы необходимо провести все вы­

числительные операции с целью получения ответа на те вопросы, которые были поставлены перед студентом в каждом конкретном случае (в соответ­ствии с вариантом задания).

Исходные данные представлены в виде матриц.Каждый вариант задания может выполняться бригадой из двух –

четырёх человек для того, чтобы можно было бы провести анализ ре­зультатов расчётов разными способами.

По исходным данным необходимо:Часть 11.1. Сложить заданные матрицы, умножить матрицы на 15, перемно­

жить те из матриц, для которых эта операция возможна.

115

1.2. Найти транспонированную матрицу для каждой из заданных.1.3. Вычислить определители квадратных матриц.1.4. Найти обратные матрицы, если они существуют.1.5. Проанализировать результаты вычислений и сделать выводы о

свойствах матриц на примере рассмотренных.

Часть 22.1. Транспонировать параметрическую матрицу. 2.2. Найти определитель параметрической матрицы.2.3. Обратить параметрическую матрицу.2.4. Исследовать заданную и полученные параметрические матрицы,

изменяя значение параметра от −∞ до ∞ .2.5. Проанализировать полученные результаты и сделать выводы (от­

ветить на практические вопросы задания).

4. Варианты заданияВариант 6.1Часть 1

а)

=

374312552548372957321411

A ;

=

833527454399644873887617

B ;

б) ;

413221187512395864513223

=A ;

193567875744927347589136

=B

в) ;141829195341

=A

=

372411171815

B ;

г) ;

39212547886793507911325691584212

=A .

21165585486844198053178875278436

=B

Часть 2

=

dccabba

A1

1

.

116

Вариант 6.2Часть 1

а)

=

347493152585225478327129517362194101

A ;

=

376431126554295488375319573329164131

B ;

б) ;

411392281181755172329568654541332223

=A ;

199355671879547442928793476581981365

=B

в) ;143128219192513141

=A

=

397246181175178154

B ;

г) ;

40262941345493537531297690776725

=A .

73564564899848129053173972296139

=B

Часть 2

=

333

222

cbacbacba

A .

Вариант 6.3Часть 1

а)

=

373431123552534813712957132114211

A ;

=

833527445439964448738876317

B ;

б) ;

413281187552395894513253

=A ;

193527875794927377589156

=B

в) ;114218219119253411

=A

=

537224411217418115

B ;

117

г) ;

39212577886793607911325611181232

=A .

21165585486844198053178875278436

=B

Часть 2

=

ddcccbbda

A .

Вариант 6.4Часть 1

а)

=

474931528525478327195736219415

A ;

=

376431126542954883753957332916431

B ;

б) ;

411392981181755672329568454541332123

=A ;

121345671879147442321793476581775365

=B

в) ;143128616874513441

=A

=

397249181127178146

B ;

г) ;

46262931335493437631292690756785

=A .

71564564897848124050173972296135

=B

Часть 2

=

3333

2222

cbbaccbacbbc

A .

118

Вариант 6.5Часть 1

а)

=

337543612565625448437529657832214611

A ;

=

813355237415423969654428713888766137

B ;

б) ;

414228284592396884575273

=A ;

193567875744927347225121

=B

в) ;144329455342

=A

=

374441171840

B ;

г) ;

39212547816793507911325391584142

=A .

21165585496744198653171875278436

=B

Часть 2

=

dcacababada

A1

2

.

Вариант 6.6Часть 1

а)

=

474915652547327917321461

A ;

=

663126552988753157296413

B ;

б) ;

411192181181155172329161154141132221

=A ;

199355671379347442328193476531181335

=B

в) ;143128219492313131

=A

=

394246141175578154

B ;

119

г) ;

50262951345493537531595690776755

=A .

63564564896858129053673952296169

=B

Часть 2

=

333

222

2

cbacbca

bcbaA .

Вариант 6.7Часть 1

а)

=

354252454548571947425417

A ;

=

833527454399644843584657

B ;

б) ;

413225187515395844513224

=A ;

195567877744927847587136

=B

в) ;144138219169553451

=A

=

372411171815

B ;

г) ;

39212547886793597911325491584211

=A .

21165985486846198053158875277436

=B

Часть 2

=

dcccadb

bdabA

2

1

.

Вариант 6.8Часть 1

а)

=

347493142575225478357169517362394151

A ;

=

376431126554295488375319573329164231

B ;

120

б) ;

411391281181754172329538654541232223

=A ;

199355171879547642928793576581981365

=B

в) ;146128219195513145

=A

=

391246181175177154

B ;

г) ;

40262941335493537531297690766722

=A .

53564564899548129053173972296159

=B

Часть 2

=

333

222

cbcabcbacbabc

A .

Вариант 6.9Часть 1

а)

=

244312552548372957321528

A ;

=

333527454359644839603518

B ;

б) ;

151413187512395864543928

=A ;

193567375714222347181116

=B

в) ;541829195315

=A

=

572411721854

B ;

г) ;

39212517886793517911321641185234

=A .

21363545446848394053174835273426

=B

121

Часть 2

=

dccab

bdadabcA

1.

Вариант 6.10Часть 1

а)

=

345493152851257783279311733219481

A ;

=

176431126854295488375178291390161156

B ;

б) ;

411192381181355672329568454541432823

=A ;

192255771179447342128393476181881665

=B

в) ;574127241456139441

=A

=

492249581125678254

B ;

г) ;

44262940345423527531306178516773

=A .

73534465899143189553143572216338

=B

Часть 2

=

444

222

cbacbacba

A .

Вариант 6.11Часть 1

а)

=

37461255625478372495738214131

A ;

=

833452745433929624418738876417

B ;

б) ;

413257857512598164513283

=A ;

193567675764266347589166

=B

122

в) ;164138289159533491

=A

=

327234111147188165

B ;

г) ;

39212547886793507911325691584212

=A .

21165585486844198053178875278436

=B

Часть 2.

=

dcccabbda

A2

2

.

Вариант 6.12Часть 1

а)

=

147193152185225178127125117162124123

A ;

=

376431126354395333375319573329164331

B ;

б) ;

411392288181755177329568656541332228

=A ;

199255671879347442928493476581581365

=B

в) ;843128919792513941

=A

=

397546181575178554

B ;

г) ;

40262981355493757531295485733724

=A .

33564564599858724053573932296139

=B

Часть 2

−−−=

333

222

321

cbacba

cbaA .

123

Вариант 6.13Часть 1.

а)

=

376312652578379957921471

A ;

=

831527254319643873187647

B ;

б) ;

413221187512305814511223

=A ;

193567871714127347589116

=B

в) ;1471862911953841

=A

=

3742481711771815

B ;

г) ;

39212545846793567911345891584219

=A .

21165545436144198154168875278436

=B

Часть 2

=

dccabba

A3

3

.

Вариант 6.14Часть 1

а)

=

347453152511225478327126515365154181

A ;

=

376435126554555455275529573325164131

B ;

б) ;

411192286181555178329468651541132227

=A ;

199255621879147422928293416581181315

=B

в) ;144128218196513149

=A

=

441246181175841225

B ;

124

г) ;

25262941343611537531817664776749

=A .

735662564899848412905316939722914439

=B

Часть 2

+++=

333

222

cbacba

accbbaA .

Вариант 6.15Часть 1

а)

=

378118242549331057361628

A ;

=

833527454356454873887630

B ;

б) ;

413255677512394264233221

=A ;

193571585744927347672827

=B

в) ;154148279129253154

=A

=

331415171931

B ;

г) ;

26212547286723502911325621584222

=A .

21165535486844394043674875278436

=B

Часть 2

=

dccabba

A8

8

.

125

Вариант 6.16Часть 1

а)

=

364493152853262478367269886362134156

A ;

=

376431126554275485375315231229642222

B ;

б) ;

411391281181758172329566654541337223

=A ;

199255571879247242928693476581381165

=B

в) ;146128219198514145

=A

=

396244182160178158

B ;

г) ;

40262941345463537336247894736247

=A .

72564564899748129053173572286036

=B

Часть 2

+++=

333

222

138

cbacba

cbaA .

5. Контрольные вопросы

1. Как определяется сумма матриц?2. Как умножить матрицу на число?3. Как умножить матрицу на матрицу?4. Что называется рангом матрицы?5. Какая матрица называется прямоугольной?6. Запишите нулевую матрицу любого порядка.7. Из каких элементов состоит нулевая матрица?8. Какая матрица называется треугольной?9. Как определяется квадратная матрица?10. Какая матрица называется единичной?11. Что называется определителем матрицы?12. Как определить, является ли данная матрица вырожденной?13. Как найти обратную матрицу?14. Какие свойства определителей Вы знаете?

126

15. Какие матричные операции коммутативны?16. Какие матричные операции ассоциативны?17. Как записать систему линейных алгебраических уравнений в мат­

ричном виде?18. Как записать решение системы линейных алгебраических уравне­

ний в матричном виде?19. Какая матрица называется транспонированной данной?21. Как найти транспонированную матрицу в символьном виде сред­

ствами Mathcad?22. Как вычислить обратную матрицу средствами Mathcad?23. Как вычислить определитель матрицы средствами Mathcad?24. В каком виде может быть задана матрица при использовании

средств Mathcad?

6. Требования к оформлению пояснительной запискиПояснительная записка может быть представлена в тетради, объёмом

около 12 листов, либо на листах формата A4.Содержание пояснительной записки:1. Введение.1.1. Цель и задачи работы.1.2. Исходные данные варианта задания.1.3. Описание основных понятий теории матриц и необходимых для

выполнения работы средств Mathcad.2. Расчётная часть (расчёты, анализ результатов).3. Заключение (краткое изложение результатов работы, выводы).

Лабораторная работа 7

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

1. Цель работы: показать знание приемов и методов решения обык­новенных дифференциальных уравнений и их систем с заданными началь­ными значениями, продемонстрировать умение использовать Mathcad для решения таких задач.

2. Задачи работы: – уметь решать обыкновенные дифференциальные уравнения с

начальными условиями;– уметь находить решения систем обыкновенных дифференци­

альных уравнений;

127

– уметь находить средства Mathcad , позволяющие наиболее эффективно решать заданные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

3. Общее описание заданияПри выполнении лабораторной работы необходимо провести все вы­

числительные операции с целью получения ответа на те вопросы, которые были поставлены перед студентом в каждом конкретном случае (в соответ­ствии с вариантом задания).

Исходные данные представлены в виде интегралов и функций.Каждый вариант задания может выполняться бригадой из двух –

четырёх человек для того, чтобы можно было бы провести анализ ре­зультатов расчётов разными способами.

По исходным данным необходимо:Часть 11.1. Записать обыкновенное дифференциальное уравнение в виде,

требуемом для решения его средствами Mathcad.1.2. Решить обыкновенное дифференциальное уравнение с заданны­

ми начальными условиями.1.3. Проанализировать полученное решение.

Часть 2 2.1.Решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений с

заданными начальными условиями.2.2.Проанализировать полученное решение.2.3. Сделать выводы (ответить на практические вопросы задания).

4. Варианты заданияВариант 7.1Часть 1Решить обыкновенное дифференциальное уравнение

,07sin 2 =+′⋅+′′ xyxyx при .1,40 =′== yyx

Часть 2 Решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений

=′+=′

−+=′

;sin;tansin;cossin

3123

212

31213

xxxxxxexxxxx

x

при .1,0,10 321 ==== xxxt

128

Вариант 7.2Часть 1Решить обыкновенное дифференциальное уравнение

,0715sin 32 =+′+′′ xeyxyx при .2,10 =′== yyx

Часть 2Решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений

+−=′=′

++=′

;;

;

3123

332

212

23

21

321

xxxxxxxx

xxxx

при .1,0,10 321 ==== xxxt

Вариант 7.3Часть 1Решить обыкновенное дифференциальное уравнение

,02cos 2 =+′⋅+′′ xyxyx при .1,10 =′== yyx

Часть 2 Решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений

=′+=′

−+=′

;3sin;2tan2sin;2cos2sin

3123

212

31213

xxxxxxexxxxx

x

при .1,0,10 321 ==== xxxt

Вариант 7.4Часть 1Решить обыкновенное дифференциальное уравнение

,0312sin 32 =+′+′′ xeyxyx при .1,10 =′== yyx

Часть 2Решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений

+−=′=′

++=′

;2;

;2

3123

332

212

23

21

321

xxxxxxxx

xxxx

129

при .1,0,10 321 ==== xxxt

Вариант 7.5Часть 1Решить обыкновенное дифференциальное уравнение

,0cos 22 =+′⋅+′′ xyxyx при .1,10 =′== yyx

Часть 2 Решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений

=′+=′

−+=′

;sin2;tansin;3cossin

3123

212

31213

xxxxxxexxxxx

x

при .1,0,10 321 ==== xxxt

Вариант 7.6Часть 1Решить обыкновенное дифференциальное уравнение

,0cos 32 =+′+′′ xeyxyx при .1,10 =′== yyx

Часть 2Решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений

+−=′=′

++=′

;2;

;2

3123

332

212

23

21

321

xxxxxxxx

xxxx

при .1,0,10 321 ==== xxxt

Вариант 7.7Часть 1Решить обыкновенное дифференциальное уравнение

,0122 =−+′⋅+′′ xyxyx при .1,10 =′== yyx

Часть 2 Решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений

130

=′+=′

−+=′

;sin2;cossin;654

3123

212

3121

xxxxxxxxxxx

при .1,0,10 321 ==== xxxt

Вариант 7.8Часть 1Решить обыкновенное дифференциальное уравнение

,0cos 42 =+′+′′ xeyxyx при .1,10 =′== yyx

Часть 2Решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений

+−=′=′

++=′

;2;

;

3123

332

212

23

21

221

xxxxxxxx

xxxx

при .1,0,10 321 ==== xxxt

Вариант 7.9Часть 1Решить обыкновенное дифференциальное уравнение

,01sin2 =++′⋅+′′ xyxyx при .1,10 =′== yyx

Часть 2 Решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений

=′+=′

−+=′

;sincos2;cossin

;sincossin

3123

212

3121

xxxxxxx

xxxx

при .1,0,10 321 ==== xxxt

Вариант 7.10Часть 1Решить обыкновенное дифференциальное уравнение

,031

43cos

21 =+′+′′ xeyxyx при .1,10 =′== yyx

131

Часть 2Решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений

+−=′=′

++=′

;4;4

;

3123

332

212

23

21

221

xxxxxxxx

xxxx

при .1,0,10 321 ==== xxxt

Вариант 7.11Часть 1Решить обыкновенное дифференциальное уравнение

,0cos2 =+′⋅+′′ xyxyx при .1,10 =′== yyx

Часть 2 Решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений

=′+=′

−+=′

;sinsincos;sincos

;cossinsin

3123

212

3121

xxxxxxx

xxxx

при .1,0,10 321 ==== xxxt

Вариант 7.12Часть 1Решить обыкновенное дифференциальное уравнение

,023 =+′+′′ xeyxyx при .1,10 =′== yyx

Часть 2Решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений

+−=′=′

++=′

;);ln(

;

3123

332

212

23

21

221

xxxxxxxx

xxxx

при .1,0,10 321 ==== xxxt

132

Вариант 7.13Часть 1Решить обыкновенное дифференциальное уравнение

,0422 =−+′⋅+′′ xyxyx при .1,10 =′== yyx

Часть 2 Решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений

=′+=′

−+=′

;sinsinsin;sinsin

;cossincos

3123

212

3121

xxxxxxx

xxxx

при .1,0,10 321 ==== xxxt

Вариант 7.14Часть 1Решить обыкновенное дифференциальное уравнение

,01223 =+′+′′ −xeyxyx при .1,10 =′== yyx

Часть 2Решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений

+−=′=′

++=′

;);ln(

);ln(

3123

332

212

23

21

221

xxxxxxxx

xxxx

при .1,0,10 321 ==== xxxt

Вариант 7.15Часть 1Решить обыкновенное дифференциальное уравнение

,0)4ln( 22 =−+′⋅+′′ xyxyx при .1,10 =′== yyx

Часть 2 Решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений

=′+=′

−+=′

;sinsinsin;sinsin

;sinsinsin

3123

212

3121

xxxxxxx

xxxx

133

при .1,0,10 321 ==== xxxt

Вариант 7.16Часть 1Решить обыкновенное дифференциальное уравнение

01223 =+′+′′ +xeyxyx при .1,10 =′== yyx

Часть 2Решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений

+−=′=′

++=′

;;

;

3123

232

212

23

21

221

xxxxxxxx

xxxx

при .1,0,10 321 ==== xxxt

5. Контрольные вопросы

1. Что называется обыкновенным дифференциальным уравнением?2. Сформулируйте определение задачи Коши для уравнения.3. Что называется решением обыкновенного дифференциального

уравнения?4. Какое решение обыкновенного дифференциального уравнения на­

зывается общим?5. Дайте понятие общего интеграла обыкновенного дифференциаль­

ного уравнения. Запишите его свойство.6. Какое решение называется частным решением обыкновенного

дифференциального уравнения.7. Сформулируйте теорему Коши-Пикара.8. Какие обыкновенные дифференциальные уравнения называются

разрешимыми в квадратурах?9. Какие виды обыкновенных дифференциальных уравнений Вы зна­

ете?10. Какие уравнения называются линейными дифференциальными

уравнениями?11. Какие уравнения называются однородными линейными диффе­

ренциальными уравнениями?12. Чем отличаются неоднородные линейные дифференциальные

уравнения от однородных?13. Как решаются линейные дифференциальные уравнения с посто­

янными коэффициентами?

134

14. Какие средства Mathcad Вы знаете для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем?

15. Какие возможности есть в Mathcad при выборе шага для решения системы дифференциальных уравнений?

16. Какие методы приближенного решения обыкновенных диффе­ренциальных уравнений Вы знаете?

17. Чем отличаются методы решения систем обыкновенных диффе­ренциальных уравнений, используемые в Mathcad?

6. Требования к оформлению пояснительной запискиПояснительная записка может быть представлена в тетради, объёмом

около 12 листов, либо на листах формата A4.Содержание пояснительной записки.1. Введение.1.1. Цель и задачи работы.1.2. Исходные данные варианта задания.1.3. Описание основных понятий обыкновенных дифференциальных

уравнений, методов их приближенного решения и необходимых для вы­полнения работы средств Mathcad.

2. Расчётная часть (расчёты, анализ результатов).3. Заключение (краткое изложение результатов работы, выводы).

Лабораторная работа 8

Интерполяция функций

1. Цель работы: показать знание теории интерполяции, приемов и методов построения интерполяционных многочленов, продемонстриро­вать умение использовать Mathcad для интерполяции и экстраполяции.

2. Задачи работы: – уметь построить интерполяционный многочлен;– уметь оценить погрешность интерполяции;– находить шаг задания функции, при котором погрешность не

превосходит заданную точность интерполяции;– уметь проиллюстрировать графически результаты интерполя­

ции.

135

3. Общее описание заданияПри выполнении лабораторной работы необходимо провести все вы­

числительные операции с целью получения ответа на те вопросы, которые были поставлены перед студентом в каждом конкретном случае (в соответ­ствии с вариантом задания).

Исходные данные представлены в виде набора значений функции и шага, с которым они заданы.

Каждый вариант задания может выполняться бригадой из двух – четырёх человек для того, чтобы можно было бы провести анализ ре­зультатов расчётов разными способами.

По исходным данным необходимо:Часть 11.1. Выполнить линейную интерполяцию функции, заданной в вари­

анте своими значениями в точках niihxxi ,...,1,0 =+= где h − шаг задания значений аргумента.

1.2. Провести интерполяцию с помощью другой функции Mathcad.1.3. Сопоставить результаты интерполяции функции разными поли­

номами.

Часть 22.1.Найти по заданным в варианте данным значения функции в точ­

ках .,...,1,2/01 niihxxi =+=2.2. Провести интерполяцию функции по данным, включающим

найденные точки .,...,1),( 1 nixf i =2.3. Сопоставить результат интерполяции функции с теми, что полу­

чены в части 1.2.4. Построить и вывести все графики полученных результатов вы­

числений интерполяционных полиномов (ответить на практические вопро­сы задания).

4. Варианты задания

Вариант 8.102,0=h

.9,9;3,10;2,11;9,18;2,15;3,9;2,11;3,14;17;15;8,13;13)( =xf

Вариант 8.25=h

.148;145;182;180;135;124;157;168;147;138;115;101)( =xf

Вариант 8.3025,0=h

.8,10;2,11;6,13,8,19;4,16;1,12;2,14;5,18;2,17;4,15;5,17;17)( =xf

136

Вариант 8.402,0=h

.8,14;2,18;01,18;2,15;43,14;84,17;41,18;32,17;5,18;7,15;52,11)( =xf Вариант 8.5

5,2=h.9.139;3.130;2.121;9.118;2.115;3.99;2.111;2.114;117;115;8.131;113)( =xf

Вариант 8.602,0=h

.85,14;62,18;30,18;15,13;46,12;72,15;81,16;47,14;18,13;15,11)( =xf

Вариант 8.702,0=h

f x =19 , 45 ; 18 , 86 ; 17 , 63 ; 14 , 23 ; 11 , 32 ; 9, 63 ; 14 , 52 ; 19 , 49 ; 21 , 32 ; 29 , 43.Вариант 8.8h=0, 06f x =31 , 23 ; 45 , 11 ; 48 , 45 ; 53 , 67 ; 68 , 89 ; 57 , 75 ; 44 , 34 ; 35 , 32 ; 28 , 43 ; 12 , 23 .

Вариант 8.9h=1, 2f x =21 , 53 ; 33 , 48 ; 25 , 18 ; 17 , 4 ; 14 , 36 ; 11 , 92 ; 9, 83 ; 15 , 22 ; 17 , 29 ; 12 , 5 ;

11 , 345 ; 10 , 323 ; 9, 7632 ; 9, 6543 ; 9, 5743 ; 8, 9111 ; 8, 8743 .Вариант 8. 10 h=0, 05f x =4, 01 ; 5, 15 ; 5, 138 ; 6, 147 ; 6, 168 ; 6, 517 ; 7, 124 ; 7, 353 ; 7, 56234 ;

8, 022 ; 8, 132 ; 8, 148 ; 8, 1532 ; 8, 16741 ; 8, 19642 ; 8, 20012 .

Вариант 8.1 1 h=0, 03f x =1, 733 ; 1, 898 ; 1, 915 ; 1, 927 ; 1, 935 ; 1, 943 ; 1, 193 ; 1, 115 ; 0, 982 ;

0, 911 ; 0, 8934 ; 0, 7654 ; 0, 7123 ; 0, 655512 ; 0, 5672 ; 0, 398769.

Вариант 8. 1 2 h=0, 02f x =0, 171 ; 0, 189 ; 0, 218 ; 0, 347 ; 0, 458 ; 0, 657 ; 0, 784 ; 0, 935 ; 0, 909 ;

1, 182 ; 1, 2148 ; 1, 2231 ; 1, 2541 ; 1, 2632 ; 1, 2745 ; 1, 3121.

Вариант 8.1 3 h=0, 04f x =3, 15 ; 3, 815 ; 3, 17 ; 4, 398 ; 4, 239 ; 3, 931 ; 3, 768 ; 3, 546 ; 3, 212 ;

3, 103 ; 2, 912 ; 2, 5234 ; 3, 1123 ; 4, 234 ; 4, 6354 ; 3, 4672 ; 3, 123 .

Вариант 8. 14 h=0, 7

137

f x =91 , 712 ; 85 , 635 ; 78 , 82213 ; 77 , 91242 ; 68 , 74553 ; 57 ,734668 ;44 , 5332 ; 35 , 8776 ; 34 , 54332 ; 33 , 21123 ; 25 , 7744 ; 21 , 8432 .

Вариант 8.1 5 h=0, 02f x =1, 893 ; 1, 876 ; 1, 875 ; 1, 776 ; 1, 763 ; 1, 752 ; 1, 743 ; 1, 732 ;

1, 291 ; 1, 201 ; 1, 376 ; 1, 463 ; 1, 552 ; 1, 643 ; 1, 432 ;1, 365 .

Вариант 8. 16 h=0, 03f x =4, 01 ; 5, 15 ; 6, 038 ; 6, 147 ; 6, 168 ; 6, 157 ; 6, 24 ; 6, 35 ; 6, 4923 ;

6, 582 ; 6, 598 ; 6, 776 ; 6, 341 ; 4, 752 ; 4, 4312 ; 3, 7312 ; 3, 4322 . 5. Контрольные вопросы

1. Дайте определение "понятие функции".2. Какие функции называются алгебраическими?3. Какие функции называются трансцендентными?4. Что называют корнями функции?5. Какая задача называется классической задачей интерполяции?6. Какой многочлен называется интерполяционным?7. Как записывается интерполяционный многочлен Лагранжа?8. Чему равна оценка погрешности интерполяционного многочлена

Лагранжа на [ a , b ] ?9. Что называется обратным интерполированием?10. Какие средства Mathcad используются для интерполирования?11. Что называется графиком функции?12. Какие средства Mathcad используются для построения графика

функции?13. Какие методы интерполяции и экстраполяции Вы знаете?14. Какие характерные точки функции можно определить по ее гра­

фику?15. Какие свойства функции можно узнать по виду ее графика?16. Можно ли использовать график функции для определения значе­

ний функции?

6. Требования к оформлению пояснительной запискиПояснительная записка может быть представлена в тетради, объёмом

около 12 листов, либо на листах формата A4.Содержание пояснительной записки:1. Введение.1.1. Цель и задачи работы.1.2. Исходные данные варианта задания.

138

1.3. Описание основных понятий теории интерполяции и необходи­мых для выполнения интерполяции и экстраполяции средств Mathcad.

2. Расчётная часть − расчёты, анализ результатов.3. Заключение − краткое изложение результатов работы, выводы.

Лабораторная работа №9

Обработка данных

1. Цель работы: показать знание основных методов математической обработки данных, регрессионного анализа данных и продемонстрировать умение использовать средства Mathcad.

2. Задачи работы: – уметь вычислить среднее арифметическое, среднее геометри­

ческое чисел;– уметь вычислить значение ковариации и корреляционный ко­

эффициент;– уметь найти моду и медиану ряда чисел;– находить эксцесс и асимметрию вектора чисел;– уметь находить несмещенные оценки;– находить различные уравнения регрессии;– уметь использовать различные функции распределений;– проводить сглаживание функций и предсказание результатов

эксперимента.

3. Общее описание заданияПри выполнении лабораторной работы необходимо провести все вы­

числительные операции с целью получения ответа на те вопросы, которые были поставлены перед студентом в каждом конкретном случае (в соответ­ствии с вариантом задания).

Исходные данные представлены в виде ряда чисел.Каждый вариант задания может выполняться бригадой из двух –

четырёх человек для того, чтобы можно было бы провести анализ ре­зультатов расчётов разными способами.

По исходным данным необходимо:Часть 1 1.1. Вычислить среднее арифметическое, среднее геометрическое чи­

сел, ковариацию и корреляционный коэффициент.1.2. Найти значения моды и медианы.

139

1.3. Найти математическое ожидание, эксцесс и асимметрию вектора чисел.

1.4. Найти несмещенные оценки − дисперсию, среднеквадратическое отклонение.

1.5. Подобрать из средств Mathcad функцию распределения наиболее близкую заданному.

Часть 22.1.Найти уравнение линейной регрессии для заданных данных.2.2. Найти сглаживающую прямую для уравнения линейной регрес­

сии.2.3. Сделать выводы: ответить на практические вопросы задания.

4. Варианты задания

Вариант 9.123; 34; 45; 23; 34; 65; 22; 21; 24; 47; 58; 58; 57; 59; 24; 45; 61; 52; 54; 67; 65; 63; 64; 22; 23; 25; 58; 67; 52; 56; 57; 69; 70; 81; 34; 35; 37; 38; 33; 55; 57; 58; 56; 34; 23; 24; 57; 47; 48; 56; 35; 35; 37; 38; 56; 57; 58; 64; 63; 44; 46; 55; 56; 57; 58; 57; 59; 53; 54; 32; 33; 35; 37; 34; 24; 26; 28; 65; 66; 63; 58; 59; 58; 67; 52; 56; 57; 69; 34; 45; 23; 34; 65; 22; 21; 24; 67; 52; 56; 57; 69; 70; 81; 34; 35; 37; 38; 33; 55; 57; 58; 56; 34; 23; 24; 57; 47; 48; 56; 35; 35; 37; 38; 56; 33; 55; 57; 58; 56; 34; 23; 24; 57; 47; 48; 56; 35; 35; 37; 38; 56; 57; 58; 64; 63; 44; 46; 55; 56; 57; 58; 57; 59; 53; 54; 32; 33; 58.

Вариант 9.2123; 125; 124; 123; 124; 125; 125; 126; 124; 126; 130; 122; 124; 126; 124; 125; 126; 125; 122; 123; 124; 124; 123; 122; 123; 125; 125; 127; 125; 123; 124; 124; 127; 125; 124; 122; 126; 128; 123; 125; 127; 123; 123; 124; 123; 122; 125; 127; 123; 124; 124; 125; 127; 124; 126; 122; 122; 124; 124; 124; 125; 124; 125; 126; 125; 122; 123; 124; 124; 123; 122; 123; 125; 125; 127; 125; 123; 124; 124; 127; 125; 124; 122; 126; 128; 123; 125; 127; 123; 123; 124; 123; 122; 125; 127; 123; 122.

Вариант 9.333; 34; 35; 33; 34; 45; 22; 41; 44; 47; 38; 48; 37; 39; 34; 35; 31; 32; 34; 47; 45; 43; 44; 42; 23; 25; 48; 47; 52; 56; 37; 49; 40; 31; 34; 35; 37; 38; 33; 45; 47; 58; 36; 34; 23; 24; 37; 47; 48; 36; 35; 35; 37; 38; 46; 37; 38; 34; 33; 44; 46; 35; 46; 37; 38; 37; 39; 43; 44; 32; 33; 35; 37; 34; 24; 33; 33; 35; 42; 43; 44; 33; 47; 45; 43; 44; 42; 23; 25; 48; 47; 52; 56; 37; 49; 40; 31; 34; 35; 37; 38; 33; 45; 47; 58; 36; 34; 23; 24; 37; 47; 48; 36; 35; 35; 37; 38; 46; 37; 38; 34; 33; 33; 23; 24; 45; 41; 26.

140

Вариант 9.4123; 314; 145; 123; 134; 165; 122; 121; 124; 147; 158; 158; 157; 159; 124; 145; 116; 115; 115; 116; 165; 163; 116; 122; 123; 125; 115; 167; 152; 115; 115; 169; 117; 118; 134; 135; 136; 138; 133; 155; 157; 158; 156; 134; 123; 124; 117; 114; 115; 117; 123; 178; 189; 190; 127; 134; 165; 163; 164; 124; 145; 116; 115; 115; 116; 165; 163; 116; 122; 123; 125; 115; 167; 152; 115; 115; 169; 117; 118; 134; 135; 136; 138; 133; 155; 157; 158; 156; 117;117; 158; 122; 123; 124; 136.

Вариант 9.515; 34; 45; 23; 34; 65; 22; 21; 24; 47; 38; 38; 37; 39; 24; 45; 11; 32; 34; 17; 15; 13; 14; 22; 23; 25; 38; 17; 52; 56; 57; 19; 20; 21; 34; 35; 37; 38; 33; 25; 27; 28; 26; 34; 23; 24; 27; 47; 48; 56; 35; 35; 37; 38; 36; 27; 28; 14; 13; 44; 46; 25; 26; 27; 28; 25; 29; 23; 24; 32; 33; 35; 37; 34; 24; 19; 13; 14; 15; 16; 16; 23; 25; 15; 13; 14; 22; 23; 25; 38; 35; 35; 37; 38; 36; 27; 28; 14; 13; 44; 46; 25; 26; 27; 28; 25; 29; 23; 24; 32; 17; 52; 56; 57; 19; 20; 21; 34; 35; 37; 38; 33; 25; 27; 28; 26; 25; 23; 26.

Вариант 9.613; 14; 15; 13; 14; 15; 12; 11; 14; 17; 18; 18; 17; 19; 14; 15; 16; 15; 15; 16; 15; 13; 16; 12; 13; 12; 15; 17; 12; 15; 11; 19; 17; 18; 14; 13; 13; 13; 13; 15; 15; 18; 16; 14; 13; 14; 17; 14; 15; 11; 12; 15; 18; 19; 19; 12; 13; 16; 13; 16; 12; 13; 13; 12; 15; 17; 12; 16; 14; 13; 14; 1715; 16; 15; 15; 15; 16; 15; 15; 12; 13; 15; 16; 15; 13; 16; 12; 13; 12; 15; 17; 12; 15; 11; 19; 17; 18; 14; 13; 13; 13; 13; 15; 16; 12; 15; 17; 12; 15; 11; 15.

Вариант 9.7233; 234; 245; 233; 234; 243; 242; 235; 234; 247; 235; 235; 247; 245; 243; 235; 241; 252; 243; 234; 251; 237; 236; 232; 234; 235; 251; 236; 235; 236; 237; 239; 243; 241; 243; 245; 243; 243; 235; 234; 245; 235; 245; 234; 236; 242; 247; 244; 243; 245; 235; 245; 243; 233; 235; 245; 235; 244; 234; 244; 244; 245; 245; 235; 233; 234; 234; 233; 344; 232; 233; 235; 237; 234; 224; 234; 246.

Вариант 9.873; 74; 85; 83; 74; 85; 72; 72; 84; 77; 78; 78; 87; 89; 84; 85; 86; 75; 75; 76; 85; 83; 86; 82; 83; 85; 75; 77; 72; 75; 75; 79; 77; 88; 74; 75; 76; 73; 73; 75; 75; 78; 76; 74; 73; 74; 77; 74; 85; 87; 83; 88; 89; 79; 77; 74; 76; 73; 73; 74; 83; 88; 85; 75; 75; 88; 89; 83; 84; 85; 89; 74; 73; 74; 75; 76; 74; 74; 75; 73; 75; 75; 78; 76; 74; 73; 74; 77; 74; 85; 87; 83; 88; 89; 79; 77; 74; 76; 73; 73; 74; 83; 88; 85; 76; 77.

141

Вариант 9.9223; 324; 485; 273; 384; 665; 282; 291; 254; 477; 578; 578; 587; 589; 294; 425; 261; 252; 534; 637; 365; 363; 644; 422; 423; 525; 558; 267; 252; 256; 357; 469; 570; 581; 344; 355; 357; 348; 353; 545; 537; 528; 536; 334; 243; 324; 257; 447; 448; 526; 345; 335; 337; 348; 526; 527; 518; 364; 463; 444; 446; 455; 556; 557; 358; 357; 359; 253; 354; 332; 333; 335; 337; 344; 252; 256; 357; 469; 570; 581; 344; 355; 357; 348; 353; 545; 537; 528; 536; 334; 243; 324; 257; 447; 448; 526; 345; 335; 337; 348; 526; 527; 518; 364; 463; 424; 526.

Вариант 9.10323; 414; 445; 323; 434; 365; 422; 321; 424; 447; 458; 458; 457; 459; 324; 345; 416; 415; 415; 416; 465; 463; 316; 322; 323; 425; 315; 467; 352; 315; 315; 469; 417; 318; 334; 335; 436; 438; 333; 455; 357; 458; 456; 334; 423; 324; 417; 314; 415; 317; 423; 378; 389; 390; 427; 334; 436; 345; 325; 436; 324; 345; 416; 415; 415; 416; 465; 463; 316; 322; 323; 425; 315; 467; 352; 315; 315; 469; 417; 318; 334; 335; 436; 438; 333; 455; 357; 458; 456; 334; 323; 434; 365; 422; 321; 437.

Вариант 9.11221; 322; 423; 274; 381; 365; 284; 294; 254; 277; 326; 333; 427; 285; 294; 424; 424; 244; 234; 337; 365; 363; 344; 422; 423; 325; 358; 267; 252; 256; 357; 429; 330; 331; 344; 355; 357; 348; 353; 345; 337; 328; 326; 334; 243; 324; 257; 447; 448; 326; 345; 335; 337; 348; 326; 36; 328; 364; 426; 444; 446; 455; 336; 327; 326; 336; 326; 253; 354; 332; 333; 333; 332; 294; 424; 424; 244; 422; 423; 325; 234; 337; 322; 324; 326.

Вариант 9.12123; 114; 144; 132; 143; 165; 142; 211; 124; 147; 158; 158; 157; 145; 114; 145; 161; 151; 115; 116; 125; 113; 116; 122; 123; 151; 151; 146; 132; 131; 131; 146; 141; 131; 133; 133; 143; 138; 133; 145; 135; 148; 145; 133; 123; 124; 117; 114; 115; 112; 123; 137; 138; 131; 127; 134; 146; 135; 132; 131; 131; 146; 141; 131; 133; 133; 143; 138; 133; 145; 135; 148; 145; 133; 123; 124; 117; 114; 115; 112; 123; 137; 138; 131; 127; 134; 132; 136; 114; 144; 132; 143; 165; 142; 211; 124; 137.

Вариант 9.1323; 34; 45; 23; 34; 65; 22; 21; 25; 47; 58; 57; 58; 58; 29; 42; 26; 25; 54; 67; 35; 33; 64; 42; 43; 55; 55; 26; 25; 56; 57; 46; 57; 58; 34; 35; 37; 34; 35; 55; 57; 58; 56; 34; 23; 34; 57; 47; 48; 52; 45; 35; 37; 48; 56; 57; 58; 34; 43; 44; 46; 55; 56; 57; 58; 57; 59; 53; 54; 32; 33; 38; 35; 53; 53; 57; 34; 44; 55; 65; 58; 57; 67; 35; 33; 64; 42; 43; 55; 55; 26; 25; 56; 57; 46;

142

57; 58; 34; 35; 37; 34; 35; 55; 57; 58; 56; 34; 23; 34; 57; 47; 48; 52; 45; 35; 37; 48; 56; 57; 58; 34; 43; 44; 46; 55; 56.

Вариант 9.14223; 314; 245; 323; 334; 365; 322; 321; 324; 247; 358; 358; 357; 353; 224; 345; 316; 315; 215; 316; 365; 363; 316; 322; 323; 325; 315; 367; 252; 315; 315; 369; 317; 318; 334; 335; 336; 438; 333; 255; 357; 358; 256; 234; 223; 324; 317; 314; 215; 317; 223; 378; 389; 390; 227; 334; 236; 245; 325; 336; 224; 345; 316; 315; 215; 316; 365; 363; 316; 322; 323; 325; 315; 367; 252; 315; 315; 339.

Вариант 9.15521; 622; 723; 674; 781; 765; 584; 594; 554; 577; 526; 633; 627; 585; 594; 624; 624; 544; 534; 637; 665; 663; 644; 622; 623; 625; 658; 667; 552; 556; 657; 729; 630; 631; 644; 655; 657; 648; 653; 665; 537; 628; 626; 634; 543; 624; 557; 647; 648; 626; 645; 635; 637; 648; 626; 636; 528; 564; 626; 544; 546; 555; 536; 627; 626; 536; 626; 553; 654;632; 633; 633; 632; 622; 624; 544; 534; 637; 665; 663; 644; 622; 623; 526.

Вариант 9.16923; 814; 944; 832; 843; 965; 942; 811; 924; 847; 958; 858; 957; 745; 814; 845; 761; 851; 815; 816; 825; 883; 896; 822; 723; 951; 951; 946; 832; 831; 831; 846; 841; 831; 833; 933; 943; 838; 733; 845; 835; 948; 845; 833; 923; 824; 817; 814; 715; 712; 923; 837; 838; 731; 827; 934; 846; 835; 732; 835; 937; 851; 815; 816; 825; 924; 847; 958; 858; 832; 831; 831; 846; 841; 835; 732; 835; 923; 814; 845; 761; 851; 944.

5. Контрольные вопросы

1. Что называется статистическим рядом данных?2. Как вычисляются среднее арифметическое и среднее геометриче­

ское чисел?3. Что такое мода и медиана?4. Как определяется математическое ожидание вектора чисел?5. Запишите свойства математического ожидания.6. Как определяется дисперсия случайной величины?7. Запишите свойства дисперсии.8. Что называется средним квадратическим отклонением?9. Какие виды распределений случайной величины Вы знаете?10. Чем занимается регрессионный анализ?11. Какие виды уравнений регрессии Вы знаете?12. Как найти коэффициенты линейной регрессии?

143

13. Какие методы для определения коэффициентов уравнений ре­грессии Вы знаете?

14. Как найти уравнение линейной регрессии средствами Mathcad?15. Как вычислить оценки случайной величины средствами Mathcad?

6. Требования к оформлению пояснительной запискиПояснительная записка может быть представлена в тетради, объёмом

около 12 листов, либо на листах формата A4.Содержание пояснительной записки:1. Введение.1.1. Цель и задачи работы.1.2. Исходные данные варианта задания.1.3. Описание основных понятий математической статистики, ре­

грессионного анализа, используемых при обработке данных, и необходи­мых для выполнения работы средств Mathcad.

2. Расчётная часть − расчёты, анализ результатов.3. Заключение − краткое изложение результатов работы, выводы.

Рекомендуемая литература

1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П. Численные методы. − М.: Наука, 1997. − 600 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алге­бры. − М.: Высшая школа, 1980. − 378 с.

3. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. В 2 ч. Ч.1. − М.: Наука, 1990. − 464 с.

4. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. В 2 ч. Ч.2. − М.: Наука, 1991. −366 с.

5. Бугров Я. С., Никольский С. М., Высшая математика. Дифферен-ци­альное исчисление. − М.: Наука, 1999.− 357 с.

6. Волков Е. А. Численные методы. − М.: Наука, 1992. − 254 с.7. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика:

Учебное пособие для вузов. −М.: Высшая школа, 2000. − 478 с.8. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей

и математическая статистике: Учебное пособие для вузов. − М.: Выс­шая школа, 2000. − 400 с.

9. Данилин Г. А., Курзина В. М. Математические методы: Учебное по­собие. − М.: МГУЛ, 2002. − 128 с., ил.

144

10.Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевников Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1.− М.: Высшая школа, 1997.− 416 с.

11.Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевников Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.2.− М.: Высшая школа, 1997.− 464 с.

12.Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. − М.: Наука, 1970.− 534 с.

13.Дьяконов В. Mathcad 2001: Учебный курс. − СПб.: Питер, 2001.− 624 с., ил.

14. Ермаков В. И., Рудык Б. М. Алгебра векторов и матриц. − М.: СП "Вся Москва", 1993. − 402 с.

15. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/ Под ред. Е. П. Демидовича. − М.: Наука, 1994.− 436 с.

16. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. − М.: Наука, 1994. − 386 с.

17. Красс М.С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. − М.: Дело, 2001.− 688 с.

18. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырский П. И. Вычислительные методы. В 2 т. Т. 2. − М.: Наука, 1977.− 400 с.

19. Кудрявцев В. М., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математи­ки. − М.: Наука, 1990. − 488 с.

20. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. − М.: Наука, 1980. − 535 с.

21. Mathcad 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95. 2-е изд. − М.: Информационно-издательский дом "Филинъ", 1997. − 712 с.

22. Митропольский А. К. Техника статистических вычислений. − М.: Наука, 1971.− 576 с., ил.

23.Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциаль­ных уравнений. − М.: Наука, 1988.− 362 с.

24. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. − М.: Наука, 1990.− 462 с.

25.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.1. − М.: Наука, 1998.− 526 с.

26. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т. 2. − М.: Наука, 1998.− 562 с.

27. Пустыльник Е. И. Статистические методы анализа и обработки на­блюдений. − М.: Наука, 1968.− 288 с., ил.

28.Романовский И. В. Дискретный анализ: Учебное пособие. 2-е изд. − СПб.: Невский диалект, 2000. − 240 с., ил.

145

29.Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А. В. Математика в эко­номике: Учебник. В 2 ч. Ч.1. − М.: Финансы и статистика, 2000. − 224 с.

30.Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А. В. Математика в эко­номике: Учебник: В 2 ч. Ч.2. − М.: Финансы и статистика, 2000. − 374 с.

31. Федосеев В.В., Рабцевич В.Л. Экономико-математические модели и методы в маркетинге. − М., Финстатпром, 1996.− 464 с.

32. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2 т. Т. 1/ Пер. с англ. − М.: Мир, 1994.− 528 с.,ил.

33. Чудесенко В. Ф. Сборник задач по специальным курсам высшей ма­тематики: учебное пособие для вузов. − М.: Высшая школа, 1998.− 242 с.

34.Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике, фи­нансах, бизнесе: Учебное пособие для вузов. − М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2000. − 367 с.

35. Щипачев В. С. Высшая математика. − М.: Высшая школа, 1995.− 502 с.

146

Оглавление

Стр.Введение............................................................................................. 3Г л а в а 1. Система автоматизации математических вычислений Mathcad 2001.................................................................................. 4

1.1. Входной язык системы Mathcad....................................... 41.1.1. Понятие о документах Mathcad..................................... 4

1.1.2. Понятие о входном языке общения и языке реализации Mathcad..................................................... 41.2. Начальные сведения о работе в системе Mathcad........... 5

1.2.1. Первый запуск Mathcad 2001............................... 51.2.2. Создание окна нового документа........................ 51.2.3. Органы управления окнами.................................. 61.2.4. Подменю управления окнами............................... 61.2.5. Работа с панелями задач........................................ 71.2.6. Упражнения............................................................ 7 1.2.7. Выводы................................................................... 8

1.3. Интерфейс пользователя.................................................... 81.3.1. Детали интерфейса................................................ 81.3.2. Курсор ввода и линия раздела страниц............... 91.3.3. Строка заголовка................................................... 91.3.4. Меню управления окнами..................................... 101.3.5. Строка меню........................................................... 101.3.6. Панель инструментов............................................. 111.3.7. Кнопки операций с файлами................................. 111.3.8. Кнопки печати и контроля..................................... 121.3.9. Кнопки редактирования......................................... 121.3.10. Кнопки размещения блоков................................. 121.3.11. Кнопки операций с выражениями....................... 131.3.12. Кнопки управления компонентами..................... 131.3.13. Кнопки управления ресурсами............................ 131.3.14. Кнопки форматирования...................................... 141.3.15. Кнопки палитр математических знаков.............. 141.3.16. Упражнения........................................................... 141.3.17. Выводы................................................................... 15

1.4. Математические операции................................................... 161.4.1. Работа с текстом...................................................... 161.4.2. Построение выражений.......................................... 161.4.3. Операции присваивания значения и вычисления. 171.4.4. Использование шаблонов и функций.................... 171.4.5. Упражнения.............................................................. 181.4.6. Выводы...................................................................... 19

147

Г л а в а 2. Задачи линейной алгебры.................................................... 202.1. Вычисление определителя матрицы n×n............................ 202.2. Вычисление обратной матрицы........................................... 222.3. Определение ранга матрицы................................................ 222.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений.... 232.5. Упражнения.......................................................................... 242.6. Выводы.................................................................................. 27

Г л а в а 3. Методы математического анализа...................................... 283.1. Решение нелинейных уравнений......................................... 283.2. Итерационные вычисления.................................................. 293.3. Построение графика функции............................................. 293.4. Дифференцирование............................................................. 313.5. Разложение в ряд Тейлора.................................................... 323.6. Интегрирование..................................................................... 323.7. Разложение на правильные дроби....................................... 333.8. Матричные операции............................................................ 343.9. Определённый интеграл....................................................... 353.10. Упражнения......................................................................... 353.11. Выводы................................................................................. 39

Г л а в а 4. Решение дифференциальных уравнений............................ 394.1. Решение ОДУ........................................................................ 394.2. Решение систем ОДУ............................................................ 444.3. Аналитическое решение ДУ................................................ 474.4. Упражнения........................................................................... 474.5. Выводы................................................................................... 50

Г л а в а 5. Преобразование Фурье и волновые преобразования........ 515.1. Спектральный анализ............................................................ 515.2. Быстрые прямое и обратное преобразования..................... 525.3. Примеры выполнения преобразований............................... 535.4. Упражнения........................................................................... 545.5. Выводы................................................................................... 56

Г л а в а 6. Обработка данных и статистика.......................................... 566.1. Линейная и сплайновая аппроксимации............................. 566.2. Статистическая обработка данных...................................... 59

6.2.1. Функции анализа данных........................................ 59 6.2.2. Функции распределений.......................................... 606.2.3. Гистограммы............................................................. 626.2.4. Комбинаторика......................................................... 62

6.3. Регрессия................................................................................ 636.4. Функции сглаживания данных............................................ 646.5. Функция предсказания.......................................................... 656.6. Упражнения........................................................................... 656.7. Выводы................................................................................... 75

148

Задания лабораторных работ............................................................... 76Лабораторная работа 1. Линейная алгебра......................................... 76Лабораторная работа 2. Нелинейные уравнения............................... 85Лабораторная работа 3. Итерационные вычисления......................... 91Лабораторная работа 4. Символьное дифференцирование.............. 100Лабораторная работа 5. Символьное интегрирование...................... 107Лабораторная работа 6. Матричные операции.................................. 116Лабораторная работа 7. Решение ДУ................................................. 130Лабораторная работа 8. Интерполяция.............................................. 138Лабораторная работа 9. Обработка данных....................................... 142Рекомендуемая литература ................................................................ 147

Учебное издание

Геннадий Александрович ДанилинПавел Алексеевич КурзинВера Михайловна Курзина

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ C MATHCAD

Редактор Е. Г. Петрова

Компьютерный набор и верстка П. А. Курзина

По тематическому плану внутривузовских изданий методической литературы на 2002 г., поз. 28

Лицензия ЛР № 020718 от 02.02.1998 г.Лицензия ПД № 00326 от 14.02.2000 г.

________________________________________________________________Подписано к печати Формат 60х88/16Бумага 80 г/м2 " Снегурочка" РизографияОбъем 9, 5 п. л. Заказ № Тираж 100 экз. . Издательство Московского государственного университета леса.141005. Мытищи-5, Московская обл., 1-я Институтская , 1, МГУЛ.

Телефон: (095) 588-57-62e-mail:izdat@mgul.ac.ru