Математический тривиум -- II · 2014-01-27 · 1993 г. январь —...

1993 г. январь — февраль т. ^8 , вып. 1 (289)

УСПЕХИ МА ТЕМА ТИЧЕСКИХ НА УК

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ТРИВИУМ - II

В. И. Арнольд

Кажется почти чудом, что современные методыобучения еще не совсем удушили святую любозна-тельность.

А. Эйнштейн

Призыв сделать экзамены по математике письменными из "Математического тривиума" [1]вызвал многочисленные отклики с критикой и устных, и письменных экзаменов как из России, таки из других стран Европы и Америки. Авторы многих писем из России считают, что в среднемпреподаватели умеют решать треть задач тривиума [1]. На этом основании они полагают, чтозадачи тривиума слишком трудны. Вероятно, это следует сопоставить с тем фактом, что в СССРоколо 40% заведующих математическими кафедрами не имели математического образования.Вероятно, положение будет ухудшаться и далее.

В нескольких ВУЗах были испробованы письменные экзамены по раз личным математическимпредметам, так что можно подвести некоторые итоги. Большинство участвовавших преподава-телей считает, что принимать письменные экзамены легче, чем устные. Как это ни удивительно,списывание менее опасно, чем можно было бы ожидать, так как оно легко обнаруживается (спи-сываются в основном неверные решения). Увеличение числа неудовлетворительных оценок (засчет выявления студентов, которые ничему не научились) вряд ли следует считать недостаткомписьменного экзамена.

Наиболее частые нарекания вызывает подбор задач экзамена. Здесь иногда случаются стран-ные вещи (выявление которых, впрочем, тоже полезно: личность составителя и местные традицииярко проявляются в характере и в самих формулировках задач).

Например, в официальном общеамериканском письменном экзамене (название которого со-стоит из трех букв, которые я забыл) в 1992г. имелась такая задача-тест:

"Что более всего похоже на соотношение между углом и градусом из нижеперечисленного:

1) время и минута,2) молоко и кварта,3) площадь и квадратный дюйм, . . . (еще 3 пары)."

"Правильный" ответ-площадь и квадратный дюйм. Мотивировка: градус есть наименьшая

212 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЖИЗНЬ

единица измерения углов, квадратный дюйм - площадей, а, например, минута делится ещё и насекунды.

Для нас этот ответ, конечно, звучит дико. Но американские учёные, которых я тестировал,почти всегда дают именно этот "правильный" ответ. Я долго не мог понять, в чём тут дело, покаодин известный американский физик не объяснил мне свой - правильный - ответ так: "Дело втом, что я правильно представляю себе степень идиотизма составителей этих задач".

Надеюсь, что сегодня такие задачи нашим экзаменуемым ещё не угрожают. Но наблюдающи-еся попытки ""американизации" обучения (начиная с начальной и средней школы) могут со вре-менем к этому привести. Конечно, я против такой американизации и не призывал к ней в [1].

Европейские традиции математических экзаменов, разные в разных странах, тоже поучитель-ны. В некоторых случаях университетские экзамены вырождаются в изощрённую систему ка-зуистики, подобную применяемой (или применявшейся?) у нас на вступительных экзаменах изафиксированной в печально известных сборниках задач (начиная с Новосёлова и др.) для по-ступающих в ВУЗы.

Литлвуд в "Математической смеси" указывает, что до некоторого моментаименно таковы бы-ли и университетские экзамены в Англии. Мне кажется, некоторые из приведённых ниже об-разцов европейских экзаменационных задач также способны вызвать сочувствие к несчастнымстудентам, вынужденным проходить через подобные математические пытки. "Что отличает этисхоластические культуры - это то, что они отводят ум от всего утончённого, окружая почетомлишь те ребяческие ухищрения, на которые потрачена вся жизнь и на которые смотрят как наестественное занятие людей профессионально степенных" (Ренан).

Опасность скатиться к "ребяческим ухищрениям" есть и у нас, и я призываю составителейэкзаменационных задач делать их содержательными, лёгкими, красивыми, поучительными и ин-тересными.

Дляменя явилось неожиданностью обилие в экзаменационных упражнениях европейских уни-верситетов вопросов, ответы на которые можно прямо списать из учебника. Вероятно, они до-пустимы, когда экзамен проводится под садзором полиции (как во Франции), но не в наших ус-ловиях. Интересно также, что в английской системе оценка работы студента не только растёт сулучшением её качества, но и падает с улучшением качества работ его товарищей-соперников.Возможно, этот соревновательный характер экзаменаи препятствует списыванию, но видеть егоу нас почему-то не хочется.

Письменный экзамен по курсу обыкновенных дифференциальных уравнений на механико-мате-матическом факультете МГУ впервые проводился весной 1991 г. На приведённые ниже задачибыло отведено два часа. Проверка (10-15 работ на преподавателя) заняла час, после чего ре-зультаты объявлялись студентам. Ещё час студенты смотрели свои работы и анализировалиошибки (с помощью преподавателей). Эта часть экзамена была добровольной, но почти все сту-денты захотели обсудить свои работы с преподавателями.

Критерии оценок уточнялись после упорядочения работ, но в общем оказывались примернотакими: удовлетворительно - более одной верно решённой задачи, хорошо - более двух, отлично- более трёх.

Когда через несколько дней такой же экзамен проводился в другой группе, все задачи полнос-тью заменялись. Чтобы была видна степень сходства вариантов одного дня и степень различиязаданий последующих дней, ниже приведены варианты всех дней. Они составлены с учётом то-го, что студенты, экзаменующиеся позже, знали задачи предыдущих дней (что само по себе длястудентов неплохо, но но требует дополнительных усилий от составителя). Составлять задачибыло бы легче, если бы весь курс (поток) сдавал экзамен одновременно, но это по техническимпричинам не удалось организовать.

Экзамен по дифференциальным уравнениям,механико-математический факультет МГУ, 1991г.

П Е Р В Ы Й ДЕНЬ (ОДИНИЗ 6 вариантов).

1. Найти образ вектора (1,0), приложенного в точке (тг, 0), под действием преобразования завремя t = 1 фазового потока системы х = у, у = sin г.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЖИЗНЬ 213

2. В каких координатах разделяются переменные в уравнении

if £i i *J "J О

— = xy +x у ?

3. Имеет ли задача Коши

,™ + (х* - х)?± = y*t t i ( o , » ) = o ,дх ду

решение в окрестности точки (хо = 0, у = j/o) и единственно ли оно?4. Устойчиво ли по Ляпунову решение системы

х = yz, у = — xz, к = О

с начальным условием (х о, j/o, zo) ?

ВТОРОЙ ДЕНЬ. Дана система (6 вариантов):

х = у, \ х = у3, Г х = j / , / х = -у2, [ х = у4, j х = у2

у = - х 2 . у у = - х . I i/ = ж 4 . | у = х 2 . у у = - х . у у = .

1) Н айти положения равновесия и исследовать их устойчивость.2) Все ли решения системы продолжаются неограниченно?3) Сколько ненулевых решений, для которых у(0) = г(1) = 0, имеет система?4) Найти производную решения с начальным условием х(0) = j/(0) = а по а при а = 0.

ТРЕТИЙ ДЕНЬ. Дана система (6 вариантов):

X — —X у , I X — —X у , I X — — XJ/ , I £ — Ху

9 1 Ч 1 4 1 • 1 l • 2 2 i

2/ = - I J / Z . [ 3/ = a : ^ . [ у = x y * . [ y = x y . [ y = - x y . [ y =

1) и 2) - как в предыдущий день.3) Найти диффеоморфизм плоскости, выпрямляющий поле направлений фазовых кривых в ок-

рестности точки (1,1).4) Найти все непрерывные на всей плоскости первые интегралы, совпадающие с у на оси у.

Ч Е Т В Ё Р Т Ы Й ДЕНЬ. Дана система (6 вариантов):

2 . 2 • • 2 • 2 • • 2 • 2

Z = IZ . Z = Z . Z = IZ Z. Z — ZZ . Z = IZZ . Z — IZ .

1) - как в предыдущие дни.2) Найти все начальные условия, для которых решения продолжаются неограниченно впе-

рёд.3) Найти образ вектора (0,1), приложенного в точке 0, под действием преобразования фазо-

вого потока за время 1. •4) Найти все первые интегралы, непрерывные в окрестности точки z = 1 и равные 1 на вещес-

твенной оси.

ПЯТЫЙ ДЕНЬ. Рассматривается задача (одиниз 6 вариантов):

x ^ - ( l + x 4 + ? / 2 ) ^ = 2«, «(0, у) = 0.ах оу

1) Имеет ли задача определённое на всей плоскости неограниченное решение ?2) Ограничена ли величина и на характеристиках?

3) Все ли характеристики пересекают поверхность у = х + и ?4) Имеет ли уравнение характеристик первый интеграл, производная которого по и в нача-

ле координат равна 1 ? Найти производную этой производной по и вдоль характеристическоговектора.


ШЕСТОЙ ДЕНЬ. Дано уравнение (6 вариантов):

x + x=sb.3x. х + х = sh3 х/2.

х + sin х — х . х + sin x — х /2.

х + х=2х3. х + х = х3/2.

1) Продолжается ли решение с начальным условием х(0) — 1, i(0) = 0навсюось2?2) Ограничена ли третья производная по а при а = Орешениясначальнымусловиема:(0) = а,

Г ( 0 ) = 0 ?

3) Вычислить значение этой производной при X = 2тг.4) Вычислить десятую производную решения с начальным условием х(0) = a, i(0) = 0 по а

при а = 0.

СЕДЬМОЙ ДЕНЬ. Дано уравнение (6 вариантов):

2 • 2 , • 2 2 .

х = х — sin I. ж = г — cos с.2 2 • 2 2

х = sin t — х . х — cos i — i .i = sh ж — sin t. i = s l i - cos i.

1) Найти третью производную решения с начальным условием х(0) = 0 в нуле.2) Продолжается ли это уравнение на всю ось t ?3) Имеет ли уравнение неограниченные решения?4) Найти число асимптотически устойчивых периодических решений уравнения.Ниже приведены экзаменационные задачи для студентов первого и третьего курсов различ-

ных европейских университетов, опубликованные в [2].

Университет Уорика (Англия)

В течение первого года студенты изучают от 10 до 15 предметов ("модулей"), в том числе 8обязательных. На третьем году обучения число предметов от 8 до 15 (но, начиная со второго года,есть и облегчённые программы с меньшим числом предметов, дающие право на другой диплом).Каждый предмет соответствует 30 лекционным часам, но обучение в основном осуществляетсяаспирантами-руководителями ("тьюторами"). На первом году один из обязательных предметов- работа с руководителем, на третьем году единственный обязательный предмет специализации"прикладная математика" - курсовая работа, соответствующая двум предметам.

Экзамены короткие (1 ч. 30мин.-2 часа) и состоят из 3-5 независимых упражнений. Почтивсе упражнения содержат вопросы из курса. Если дано га упражнений, то оценка выводиться наосновании п — 1 лучшего из предложенных решений. Для иллюстрации разнообразия предметов,ниже выбраны

- для первокурсников: четыре упражнения по предметам "анализ II" (обязательный), "ли-нейная алгебра" (обязательный), "теория групп В" (обязательный для специализирующихся почистой математике), "жизнь в трёх измерениях" (обязательный для специализирующихся в при-кладной математике)

- для третьекурсников: три упражнения по предметам "комплексный анализ" (единственныйобязательный предмет для специализирующихся по чистой математике), "алгебраическая топо-логия" и "теория катастроф".

Анализ II.Определите аккуратно, что означает равномерная непрерывность функции / : / —+ К , сфор-

мулируйте отрицание этого определения, т. е. что означает отсутствие равномерной непрерыв-ности функции.

Докажите подробно, проверив, что Ваше определение выполнено, что /(х) = х равномернонепрерывна на R , но д(х) = х -нет. Пусть / : [а, Ь] —• К ограничена и интегрируема на[а, Ь] ,определим F : [а, Ъ] —> К соотношением^^) = J^ f(t) dt..


Предполагал известными все нужные Вам свойства интеграла (сформулируйте их), докажи-те, что F равномерно непрерывна на [а, Ъ] ; если же / еше и непрерывна, то докажите, что Fдифференцируема и что F1 = / .

Линейная алгебра.1. Г : V —У V - линейное преобразование из векторного пространства V в себя. Определите

линейные преобразования Т 2 : V —У V и Г : V —> V.2. V - трёхмерное векторное пространство надК и Т : V —у V - такое линейное преобразо-

вание, что Г ф 0 , но Г = 0 . Пусть е\ - вектор в V такой, что Г2'е\ ф 0. Пусть е^ = Те\ иез = Т е\. Покажите, что е\, ег, ез образуют базис в V.

3. Найдите матрицу преобразования Г : V —У V в базисе 61,62,63-4. Докажите, что каждая 3 x 3 матрица А над К, для которой А ф 0, но А3 — 0, подобна

матрице

/О 0 0\1 0 0

\ 0 1 О)

Теория групп.Определите гомоморфизм и ядро. Докажите, что ядро гомоморфизма - нормальная подгруп-

па.Сформулируйте первую теорему о гомоморфизмах.Докажите, что диедральная группа D2n

н е имеет сюрьективных гомоморфизмов на цикли-ческую группу Сп порядка п, если п > 2.

Предъявите инъективный гомоморфизм Сп в Dn •

Жизнь в трёх измерениях.1. Пусть S = {((2 + cos x) cos у, (2 + cos x) sin у, sini)) | 0 < х < 27г,0 < у < 27г}. Найти

плошадь S.

2. а) Для функции д : К 3 —> К и векторного поля v : R —у R докажите, что div(gv) =

Vд • v + д • div v. Выведите отсюда, что для ограниченной области Q С К

/ д • div v = I gv • п dA — /Jn Jdu JO,

• v,

где п - внешняя нормаль дп и dA - инфинитезимальный элемент площади на <ЭГ2.

Ь) Предполагая дополнительно, что v = V<7, div( Vg) = div v = 0, и что g „„ = 0, покажите,что g (а значит, и л ) - тождественный нуль в П.

3. Для / : К -> К определим м : М3 -> Ккак и(ж, j/, г) = f(x2 + у2 + z2).

a) Вычислить Va в терминах х, у, гш fr.

b) Пусть и(х, у, г) = V«(x, у, z) и div г) = 0. Для R > 1 пусть f2/j = {(х, 2/, г) 6 К 3 | 1 <

х +у +z < Д }. Применив теорему о дивергенциик г) в Г2д, покажите,что Д f'(R ) — / ' (1) .

Пусть < = R2, покажите, что f(t) = /(1) + 2/'(1)(1 - t ~ 1 / 2 ) .

Комплексный анализ.1. Определите вычет res(/, zo) функции / в изолированной особой точке ZQ . Если ZQ - простой

полюс /, докажите, что res(/, ZQ) = limz-»z0 ( г — zo)f(z)-2. Сформулируйте теорему Коши о вычетах.3. Докажите, что

dt 2 /" zdz- 2 /~ Л Jcl + 6cos2t ib Jc z4 +2(1 +2/b)z2 + l

где Ь вещественно положительно и C(i) = ег* (—тг < t < 7г).Выведите из 1. и 2., что этот интеграл равен ж/^/1 + Ь.


Алгебраическая топология.1. Определите клеточные гомологии Нп(К) клеточного комплекса К. Определите изомор-

физм ip : Нп {К) —> Нп (К) (доказывать, что ip корректно определено, не обязательно).

2. Вычислите гомологии клеточного комплекса if = eQUeJlJelUe^U^e2, где / соответствует

слову а\ О2Оз а.2 аз а1-Опишите элемент порядка 2 в Hi (К).

Теория катастроф.

1. Пусть 7 : К —+ М - плоская кривая, пробегаемая со скоростью единица, k(t) - её кри-визна в 7(*) и n(t)- нормальный орт в 7(*)- Каустикой кривой ~/ называется бифуркационноемножество функций "квадрат расстояния" fa(t) = \\"f{i) — о|| . Докажите, что каустика па-раметризуется соотношением а = 7(') + n(i)/k(t), если кривизна не обращается в нуль. Чтослучиться в точке, где кривизна обращается в нуль ?

Нарисуйте кривую у = ж (1 — ж ) и (без вычислений) попытайтесь понять, как выглядит еёкаустика. (Формулами Серре-Френе можно пользоваться, не доказывая их.)

2. Определите кривую центров масс вытесненной воды и математическую кривую (двумерно-го) судна. Покажите, что кривая центров масс вытесненной воды эллиптического судна - такжеэллипс, и опишите его метапентрическую кривую. Опишите коротко, как меняется равновесиекорабля, когда его центр тяжести движется по оси эллипса (различая большую и малую оси).

(Можете не доказывать, что линейные преобразования переводят центр тяжести плоской об-ласти в центр тяжести её образа.)

Университет Копенгагена

Число предметов здесь меньше (4 для первокурсников специальностей математика и физика).Каждой специализации соответствует определённый набор курсов. Каждый предмет изучаетсяна лекциях, сопровождающихся упражнениями. Экзамены, как правило, письменные, состоятиз 3 или 4 независимых упражнений, которые могут включать вопросы курса. Но это не всегдаэкзамены в классическом смысле слова: два из трёх экзаменов для третьекурсников, приведён-ных ниже, состоят из упражнений, на которые студентам даётся два с половиной дня, под честноеслово, что каждый работает самостоятельно.

Ниже приведены:для первокурсников - одно упражнение по анализу и одно по линейной алгебре;для третьекурсников - одно упражнение по теории групп, одно по дифференциальной геомет-

рии и два по системам дифференциальных уравнений.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Пусть п = {(х,у) е К 2 | х / 0}nJ(x,y) = s m x y при(а;,у) е п.

a) Вычислить df/дх = D\f(x,y)mdf/dy — D2f(x,y) для всех (ж, у) g П.b) Найти степенной ряд X^nLo ап^п такой, что

5(t) = !HL! = J2 antn длявсех<бК\{0},

n=0

и вывести отсюда, что ~д : К\{0} —> К продолжается до функции д : К —» К к л а с с а С 0 0 . Найдите

()с) Докажите, что / : U —> К продолжается до функции / : R —» R класса С°°. Найдите

/(О, у), Di /(0, у) и £>2/(0, у) для всех у £ R.

, S1H X tJУКАЗАНИЕ. f(x,y) = у = уд(ху) тршх Ф 0, у ф 0.

ху

УПРАЖНЕНИЕ 2. Рассмотрим матрицу В (с), с е К,

В(с) =


a) Определить для каждого с £ Й полином q степени 2 такой, что для характеристическогополиномаpB/ c) матрицы B(c),pg/C\(t) = (с — t)qc{t) для всех с и< 6 R.

b) Докажите, что qc(c) = 0 при с = — 1. Покажите, что при с ф — 1 матрица В (с) имеет 3собственных числа.

c) Найдите множество D — {с € К | В(с) К-диагонализируема}. Докажите, что множествоО = {с € R | .8(с) диагонализируемав ортогональном базисе} пусто.

УПРАЖНЕНИЕ 3. Пусть S - регулярная поверхность, U - открытое подмножество в R , ипусть («, v) —> Х(и, v) - параметризация 5, определённая в U. Во всей задаче предполагается,что коэффициенты Е, F, G первой фундаментальной формы S, вычисленные при помощи пара-метризации (X, U), обладают следующими свойствами: Е зависит только от и, G только от v, Fтождественно равно нулю.

a) Пусть w(t) - векторное поле вдоль параметризованной кривой X(u(t), v(t)). Докажите,что угол между Хи (u(t), v(t)) и w(t) не зависит от t.

b) Покажите с помощью а) (или независимо), что гауссова кривизна К - тождественныйнуль.

c) Докажите, что Х(и) локально изометрично К , используя, если угодно, параметризацию

R 2 вида (и, о) -> (v(u), Ф(У)).

УПРАЖНЕНИЕ 4. Группапорядка 12 имеет 6 классов сопряжённых элементов. Укажите чис-ло классов неприводимых представлений и размерности этих представлений. Зная, что порядкиклассов К\,..., Къ равны 1, 1, 2, 2, 3, 3 и что заданные ниже функции <pi,tf2i Рз являются ха-рактерами, определить, какие из них неприводимы, и составить таблицу характеров группы

Кг К2 К3 К4 Къ К6

<Р\ 1 1 1 1 - 1 - 1<Р2 1 - 1 - 1 1 - 1 1¥>з 3 1 - 2 0 1 - 1

У П Р А Ж Н Е Н И Е 5 .

Д а н а к р а е в а я з а д а ч а

еу" + (х2 - 7х + 12)у' + (х5)у = О,

Для любого е > 0 обозначим через у(х,е) точное решение этой задачи. Определить длявсякого е приближённое решение уи (х, е) такое, что

max \у{х,е)-уи{х,е)\=О(е) прие-+0.0<я;<1

У П Р А Ж Н Е Н И Е 6.

Дана автономная система в плоской области

n = { ( x > , ) e R | , > 0 } .у = ху- 4у,

a) Найти положения равновесия и типы невырожденных положений равновесия.b) Показать, что орбита (x(t),y(t)),t £ I, находящаяся при to € / в первом квадранте, оста-

нется в замкнутом первом квадранте при всех t > to > t 6 I •c) Найти замкнутую ограниченную область, обладающую следующим свойством: каждая

орбита, вошедшая в область, остаётся там в дальнейшем.


Франция

Для первокурсников: части1и11 июньского экзамена 1991г. в Университете Париж-6 (третьячасть представляла собой вопросник типа да/нет по всему пройденному материалу).

Лля третьекурсников: экзамен по интегрированию в Университете Париж-7 в 1990г.

Экзамен в Университете Париж-6 (первокурсники).

Пусть

А =\& б -г)

Цель упражнения - найти комплексные матрицы В такие, что В3 = А.1) Найдите собственные числа и пространства для А. Найдите матрицу Р такую, что D =

Р — 1 / 1 Р имеет диагональный вид с а < Ь < с на диагонали, причём первая строка Р состоит изединиц.

2) Пусть Е - комплексное и-мерное векторное пространство и / - эндоморфизм Е с п различ-ными собственными числами Ai,Аг,..., Ап• Обозначим через v\, vi,... , i/n ненулевые собст-венные векторы, соответствующие числам Aj , А2,. .. , Ап (в указанном порядке).

Пусть д - эндоморфизм Е, такой что / о д = д о /. Покажите, что векторы v\, v^, . , . ,vn

собственные для д, и выведите отсюда, что д диагонализируется в том же базисе, что и /.3) Покажите, что если В = А, то АВ = В А, и выведите отсюда, что Д = Р~ ВР диаго-

нальна.4) Найдите все диагональные матрицы Д с комплексными элементами, для которых Д —

d.5) Найдите отсюда число матриц В с комплексными элементами, для которых В3 = А, и

вычислите явно ту из них, которая имеет только вещественные элементы.

II

1) Плоскость отнесенак ортонормированному реперу (Ох ,ОУ). Дана функция <р класса С 1 наинтервале/ осиК. Для всякого £из / через Mj обозначается точка с координатами yip(t),t +<),через Pi — точка с координатами (t , 0) и через Г^ — кривая, описываемая точкой М%, когда tменяется на I.

Покажите, что для того, чтобы касательная к кривой Г v в точке М( проходила через точку Ptдля всякого t, кроме -1/2, необходимо и достаточно, чтобы функция ip удовлетворяла некоторомудифференциальному уравнению, и найдите это уравнение.

2) Пусть (Е)~ дифференциальное уравнение

х(х + 1)у' - (2х + 1)у + х2(2х + 1) = 0

a) Для каких точек плоскости можно априори утверждать, что через них проходит локальноодна и только одна интегральная кривая? Для каких точек плоскости можно априори утверж-дать, что через них не проходит ни одной интегральной кривой?

b) Определите множество точек, где касательные всех интегральных кривых уравнения Е го-ризонтальны.

c) Найдите решения дифференциального уравнения Е на интервалах

] - о о , - 1 [ , ] — 1,0[ и ]0,+оо[.

d) Можно ли продолжить эти решения в -1 ? в 0 ? Есть ли решения на К ?3) Рассмотрим кривые Г^, определённые в 1), для функций ip, удовлетворяющих уравнению

(Е) наК \ { — 1}, продолженныхпонепрерывностив-1. Рисунок кривых прилагается.


a) Рисунок подсказывает, что кривые Tip имеют две общих точки. Докажите это и определитекасательные кривых Tip в этих точках.

b) Рисунок подсказывает, что каждая кривая Tip имеют точку возврата Rip и что точки Ripлежат на прямой. Докажите это и найдите уравнение этой прямой.

Экзамен в Университете Париж-7 (третийкурс).Части I, II и III довольно независимы.

I

Пусть д - ограниченная борелевская функция на интервале [0,1].

1) Покажите, что для любого t € [0, Т] и фиксированного п

/ ((""1) /&0 I е а(5) ds = / 1 — ехр(—е ^ '))g(s)ds.

2) Предположим отныне, что существует константа М такая, что

g(s)e s ds <М

для всякого целого п. Покажите, что для всякого t G [ О, Г] левая часть равенства 1) стремитсяк 0, когда п стремится к бесконечности. Выведите из этого, что цри всех t <Т

/JT

g(s)ds = 0.T-t

3) Покажите, что д равна нулю почти всюду. Если д непрерывная, то она тождественно равна.нулю.

4) Выведите из предыдущего, что если / - непрерывная функция на [1, v] такая, что

/xnf(x)dx < N < оо

пдля всех целых п, то / тождественно равна нулю.

5) Если / - непрерывная на [ 0, Т] функция такая, что JQ f(t) dt = 0 при всех п, то / тождес-твенно равна нулю. (Это можно вывести из 4), но можно доказать и прямо при помощи теоремыСтоуна - Вейерштрасса и результатов настоящего курса.)

II

Пусть / - борелевская локально ограниченная функция, равная нулю на] — оо, 0 ]. Для фик-сированного Т > 0 положим

1п= Г ens(f*f)(s)ds.Jo

1) Сделав замену переменной и = Т — v, s = 2Т — v — w, покажите, что

Т гТ

0 JT-V

2) Начиная отсюда, предположим, что / * / - тождественный нуль. Покажите, что

Т(J e~nvf(T-v)dv)2 = JJ z-n(*v

где Д - область {(у, w) | 0 < v, w < Т, v + w < Т).


3) Покажите, пользуясь I, что если / непрерывна на [ 0,1], то / - тождественный нуль.

III

Пусть fag- две непрерывные функции, равные 0 на] — оо, 0 ] и такие, что f * g = 0.1) Положим/i(t) = tf(t), g\(i) = tg{i). Покажите, что

(/l*ff) + ( / * 3 l ) = 0,

и выведите отсюда, что

2) Выведите отсюда, что при любых п и t

rt/ f{t-u)ung(u)du = O.

Jo

3) Покажите, наконец, что f ид тождественно равны нулю.Ниже приведены задачи экзаменов 1992г. по дифференциальным уравнениям на механико-

математическом факультете МГУ.

Экзамен по линейной теории (Н.Х.Розов, январь 1992; 3 часа).

1. Рассмотрим линейное уравнение

(1) ( a f + a ) | | + 7 r a ^ | _ ( a _ 1 ) t 2 . t g t . y = l n i ± ^

с дополнительными условиями:

(2) У(а) = 1, у'{а) = А, у"{а) = а;

здесь а, а, А - действительные параметры.a) (2 балла) Укажите все значения параметров а, а, А, при которых теорема существования и

единственности гарантирует однозначную разрешимость задачи Коши для дифференциальногоуравнения 3-го порядка (1) с начальными условиями (2).

b) (1 балл) Какова область определения непродолжаемого решения начальной задачи (1)-(2)в случае а = —1, а = —2, А = —3?

c) (1 балл) Представьте начальную задачу (1)-(2) в форме задачи Коши для нормальной ли-нейной системы дифференциальных уравнений.

2. Обозначим через (3) линейное однородное уравнение, соответствующее неоднородномууравнению (1) при значении се — —1. Рассмотрим для этого уравнения (3) три задачи Кошисоответственно с начальными условиями:

(4) г/(1) = 2, у'(1) = 0, »"(1) = 0;

(5) »(!) = - ! , » ' ( ! ) = ! »"(!) = -

(6) »(1) = 0, »'(!) = О, у"(1) = -

пусть <pi(t),<p2(t), <рз(1)> t £ 1~ непродолжаемые решения этих задач.a) (1 балл) Укажите явно интервал / и докажите, что {<р\ (t), <pi (t), у>з (<)} - фундаментальная

система решений уравнения (3) на /.b) (1 балл) Получите выражение для определителя Вронского решений vi (t), ¥'2('))

справедливое на интервале I.c) (2 балла) Запишите решение задачи Кошн длч уравнения (3) с начальными условиями

через функцииipi(t),


3. (3 балла) Имеется ли во множестве всех действительных решений уравнения

у + у = a cost, a = const > О,

периодическая функция?

4.(5 баллов) Вычислите основную матрицу е* для линейной однородной системы

х = Ах, х £ R3,

с постоянной матрицей(-2 1 -2 \

А= \ 1 - 2 2 .\ 3 - 3 5 /

5. (4 балла) Пусть K(t, т) - матрица Коши (фундаментальная матрица, нормированная вточке г) для линейной однородной системы

x = A(t)x, хеКп,

где матрица A(i) непрерывна на EL Выразите производную ——^—- через матрицы Л и А'.

Экзамен по нелинейным дифференциальным уравнениям (Н.Х.Розов, июнь1992г.).

1. (3 балла) Известно, что функция u(t) € C([0,oo]) удовлетворяет двойному неравенству

О1 /•*

<u{t)<-+ е~*т[и(т)]2 dr привсех* 6 [0 ,со) ,т Jo

Укажите оценку сверху для величины supr о, CXJ) u(О-

2. (4 балла) Может ли уравнение 3-го порядка

'х = f(t,x, х, х)

с непрерывно дифференцируемой правой частью f(t,x,u,v) иметь обе функции

Х1 = З + s in i - 2cost , i e K ,

среди своих решений ? Ответ обоснуйте.3. При каких (действительных) значениях параметра а тривиальное решение системы диффе-

ренциальных уравнений

х — ах + у + (а + 1)х ,

у = х + ау

является:a) (1 балл) Асимптотически устойчивым?b) (2 балла) Устойчивым по Ляпунову, но не асимптотически устойчивым ?c) (1 балл) Неустойчивым?4. Рассматривается фазовый портрет уравнения

х + 26х - х = О

на фазовой плоскости (х,у = х).a) (1 балл) Определите тип фазового,портретаэтого уравнения при каждом (действительном)

значении параметра 6.b) (2 балла) Нарисуйте фазовые портреты указанного уравнения при S — —1 иприЙ = 1.


с) (1 балл) Лля исследуемого уравнения при 6 = 0 найдите положение равновесия на фазовойплоскости и выясните, будет ли оно асимптотически устойчивым, устойчивым по Ляпунову илинеустойчивым (ответ обоснуйте). Сколько прямолинейных траекторий имеется в этом случае уфазового портрета?

5. а) (1 балл) Сформулируйте теорему о дифференцируемое™ решения системы дифференци-альных уравнений по параметру.

Ь) (4 балла) Вычислите производную от решения х = tp(t, А) задачи Коши

х + х = A sin t + Ax ,

х(0) = О, i(0) = 0

по параметру Л при значении А = 0.

Экзамен по дифференциальным уравнениям (А.Ф.Филиппов, июнь 1992).1. При каких постоянных а и Ь все решения системы

х = 2у — 4х + ч,

у = 2х - у + b

ограничены при t > 0 ?2. а) Дать определение устойчивости по Ляпунову.Ь) Лля системы

х = х — у,

найти решение с периодом тт.с) Устойчиво ли это решение?3. Для уравнения

у = 2х — у + 6 sin t

х + ix - 6 i 2 = 0

a) Найти траекторию на фазовой плоскости, проходящую через точку (1,0);

b) Найти решение уравнения с начальными условиями

ж(0) = 1, i(0) = 0.

4.Найти производную по параметру ц при ц = 0 от решения задачи

5.а) Сформулировать теорему о существовании решения задачи Коши для квазилинейногоуравнения с частными производными.

Ь) Решить задачу Коши

dz dz r оху— + xz-— = yz, линия £ : х = l,z = 1 + у .

дх ду

Список литературы

1. Арнольд В . И . Математический тривиум// УМН. 1991. Т. 46. №1. С. 225-232.2. A r t i g u e М. Sujets d'examens d'ici et d'ailleurs // Gazette des Mathematiciens. 1992. №53.

P. 77-83.

Математический тривиум -- II · 2014-01-27 · 1993 г. январь —...

Documents

Transcript of Математический тривиум -- II · 2014-01-27 · 1993 г. январь —...