전위와 축전기 - Tistorycfs8.tistory.com/upload_control/download.blog?fhandle=... ·...
Transcript of 전위와 축전기 - Tistorycfs8.tistory.com/upload_control/download.blog?fhandle=... ·...
전위와 축전기 * 제 15 장
전하와 전기장 – 전위와 축전기 – 정전류
이 장에서는...
1. 전기 위치 에너지와 전위
2. 전기장과 전위의 관계
3. 전위 계산 연습
- - -
4. 축전기와 전기용량
5. 축전기의 에너지 충전과 연결
6. 유전체의 전기적 특성
1/19 http://phys.cau.ac.kr/w/jtseo
전위와 축전기 * 제 15 장
전기 위치 에너지
전기장 속에서 어떤 전하를 A에서 B로 옮기는 동안
전기력이 한 일은 경로에 무관: 전기력은 보존력
WAB = ∫r A
rB F⋅d s
(전기 위치 에너지) = -(전기력이 한 일)
Ur ≡ −W
= −∫∞
r F⋅d s = −∫∞
rQ0
E⋅d s
전기 위치 에너지의 원점; 즉 전기력이 한 일의 기준점은
무한 원점으로 둔다: Why? 전기력이 0 인 곳 이므로!
점전하 Q 로부터 r 만큼 떨어진 곳의 점전하 Q0 의
전기 위치 에너지는;
Ur = −∫∞
r F⋅d s = −∫∞
r 140
QQ0
r2r⋅−d r
= −∫∞
r 140
QQ0
r2dr =
140
QQ0[1r −1∞ ] =
140
QQ0
r
2/19 http://phys.cau.ac.kr/w/jtseo
전위와 축전기 * 제 15 장
여러 점전하에 의한 전체 전기 위치 에너지는 단순히 대수적인 합(에너지는 스칼라)
U = U1 U2 ⋯ UN = ∑i=1
N
Ui = ∑i=1
N 140
Qi Q0
r i
Q0 는 일정하므로,
U = Q0∑i=1
N 140
Qi
r i
= Q0V
V ≡ ∑i=1
N 140
Qi
r i
V는 N 개의 점전하들이 만들어낸 전위
전위
전위(electric potential; V = V r )란, 주위의 전하 분포에 따라 주어지는, 단위 전하당 전기 위치 에너지
(REMEMBER 전기장은? 단위 전하 당 전기력)
에너지 단위 J, 그리고 전하의 단위 C 으로부터 전위의 단위는 – J/C = Nm/C = V /볼트/
전위 V 인 지점에 놓인 전하 Q0 가 가지는 전기 위치 에너지: U = Q0V
두 지점 사이의 전위차의 의미? 단위 전하를 이동시키기 위해 필요한 일: V rB − V r A = W AB/Q0
3/19 http://phys.cau.ac.kr/w/jtseo
전위와 축전기 * 제 15 장
등전위선(면)
등전위선(면)(equipotential line/surface)은 전위(potential)를 시각적으로 표현하기 위한 닫힌 곡선들
● 전위의 값이 같은 지점들을 선으로 이었으며 방향성은 없음
● 닫힌 도형이다(등전위선은 폐곡선, 등전위면은 폐곡면). 서로 교차하지 않는다.
● 등전위선의 조밀도는 전위의 경사 정도를 의미
● 전기력선(electric field line)에 항상 수직
4/19 http://phys.cau.ac.kr/w/jtseo
전위와 축전기 * 제 15 장
전기장과 전위
전기장과 전위의 관계는 보존력과 위치 에너지의 관계와 동일: 공간에 대한 미분 - 적분 관계
두 위치 사이의 전위차는 전기장의 경로 적분 어떤 위치에서의 전기장은 전위의 벡터 미분
V r = −∫A
BE⋅d s
E x = −∂V∂x
, E y = −∂V∂y
, E z = −∂V∂ z
또는 E = −∇V
5/19 http://phys.cau.ac.kr/w/jtseo
전위와 축전기 * 제 15 장
[보기] 선전하밀도가 인 무한히 긴 도선으로부터 수직거리 r 인 곳의 전기장과 전위
Gauss 법칙에 의해 구한 전기장은 E =
20
1rr .
[1] 전기장으로부터 전위 구하기
두 위치 사이의 전위차는 전기장의 경로 적분이므로
V r = −∫ref
r E⋅ds = −∫ref
r
20
1rr⋅d s (ref 는 임의의 기준점)
d s = d r 이라 하고 적분변수를 r’ 로 두면,
V r = −
20
∫ref
r 1r '
dr ' = −
20
ln r C (C는 상수)
[2] 전위로부터 전기장 구하기
어떤 위치에서의 전기장은 전위의 벡터 미분이므로
E = −∇V = −∇ [−
20
lnr C]이 경우 전기장 성분은 r 방향 뿐이므로 ∇는 r 에 대한 편미분이 되고, 따라서
E = −r ∂
∂ r [−
20
ln r C] =
20
1rr
6/19 http://phys.cau.ac.kr/w/jtseo
전위와 축전기 * 제 15 장
전위 및 전기장 계산 연습
문제!대칭성이 있다
Gauss 법칙을 쓸 수 있다 전기장 먼저 계산; 경로 적분으로 전위 계산
Gauss 법칙을 쓸 수 없다 전위 먼저 계산; 벡터 미분으로 전기장 계산
대칭성이 없다 전위 먼저 계산; 벡터 미분으로 전기장 계산
점전하 Q 로부터 거리 r 인 곳에서의 전기장과 전위
E =1
40
Q
r2r (공간에 대한 미분-적분 관계 확인!) V =
140
Qr
점전하들: 중첩의 원리에 의해 각 점전하의 전위와 전기장을 합한다.
● 전위는 단순한 대수합: V = ∑i=1
N
V i = ∑i=1
N 140
Qi
r i
● 전기장은 벡터합: (14장 참고)
연속적인 전하 분포
● V =1
40∫
dlr
( 선밀도) V =1
40∫
dsr
( 면밀도) V =1
40∫
dvr
( 밀도)
7/19 http://phys.cau.ac.kr/w/jtseo
전위와 축전기 * 제 15 장
원형 고리 문제: 전하 Q 로 대전된 반지름 R 원형고리의 중심을 지나고 고리면에 수직한 축에서의 전위
미소전하가 dQ가 만드는 전위 dV
dV =1
40
dQ
r2 R2
여기서 dQ = ds = Rd 이므로 적분은 0 ~ ~ 2
에 대해서 하면 된다;
V = ∫0
2 140
Rd
r2 R2
=R
20r2 R2
전기장은 전위의 공간에 대한(거리 r) 벡터 미분이므로
E = −∇V = −r ∂
∂rR20
r2 R2
−1 /2
= −rR20
−122r r2
R2 −3/2
= rRr20
r2 R2
−3/2
이 결과는 14 장에서의 다음 결과와 동일 !
E∥=∫dE
∥= ⋯ =
140
r Q
r2 R2
3/2
( 2R = Q )
8/19 http://phys.cau.ac.kr/w/jtseo
전위와 축전기 * 제 15 장
축전기와 전기용량
축전기(capacitor): 같은 크기 반대 부호로 대전되어 서로 마주보고 있는 두 도체
축전기에 전하가 쌓이려면 일을 해줘야 한다 결과적으로 축전기에는 전기 에너지가 저장
도체의 형태에 따라 평행판 / 원통형 / 구형 축전기 등
대전된 전하량( ∣±Q∣= Q )는 두 도체 사이의 전위차(V)에 비례; 비례상수는 전기용량(capacitance) C
Q = CV 또는 C =QV
F (farad) = C / V ... 일반적으로 F ( 10−6 F) 또는 pF ( 10−12 F) 이용
축전기에 대전된 전하량은 전체 전하량( Q − Q = 0 )이 아니라, 각 도체에 대전된 전하량의 절대값인 Q
축전기의 전기용량은 기하학적 요소에 의해 결정
1. 축전기를 구성하는 도체에 전하 Q 대전된( Q 및 −Q ) 상태 가정
2. 두 도체 사이의 전기장 구한 후(대부분 Gauss 법칙 적용 가능; 전기장은 전하 Q의 함수)
3. 도체 사이 거리로부터 전위차 V 구하면
4. 정의식 C = Q/V 로부터 전기용량 계산
9/19 http://phys.cau.ac.kr/w/jtseo
전위와 축전기 * 제 15 장
평행판(parallel plate) 축전기: 거리 d 만큼 떨어져 있는 면적 A 인 두 도체판
[ 전제 ] 도체판 사이와 주변 공간은 진공이고
모서리 효과(edge effect)는 무시; 거리 d 에 비해 면적 A 가
충분히 넓으므로 도체판 사이에서 전기장 E 일정하다고 근사
+Q 를 포함하는 Gauss 면을 잡고 Gauss 법칙을 적용하면
Q = 0E A
두 도체 사이의 전위차는
V = −∫−
E⋅d s = ∫−
Eds = E∫0
dds = Ed (적분경로 d s는 임의 방향; −Q Q )
전위차를 Q에 대한 함수로 다시 쓰면
V = Ed =Q0 A
d
그러므로 평행판 축전기의 전기용량은
C ≡QV
= 0Ad
10/19 http://phys.cau.ac.kr/w/jtseo
전위와 축전기 * 제 15 장
원통형(cylindrical) 축전기: 길이 L 이고 반지름이 각각 a 및 b (a < b) 인 두 동축 원통형 도체
[ 전제 ] 도체판 사이와 주변 공간은 진공이고
모서리 효과(edge effect)는 무시; 거리 b − a 에 비해 길이 L 이
충분히 길어서 도체판 사이에서 (Gauss 면 위에서) 전기장 E 의 크기가
일정하다고 근사
Gauss 법칙에 의해 Q = 0E 2 r L (r 은 Gauss 면의 반지름)
두 도체 사이의 전위차는
V = −∫−
E⋅d s = ∫−
Eds = ∫b
a Q20Lr
ds
=Q
20L∫a
b drr
=Q
20Llnba (적분경로 d s는 임의 방향; −Q Q ; d s = −d r )
전기용량의 정의로부터, 원통형 축전기의 전기용량은 다음과 같다.
C ≡QV
= 20L
log b /a
11/19 http://phys.cau.ac.kr/w/jtseo
전위와 축전기 * 제 15 장
축전기의 충전
축전기의 충전(charging)이란, 축전기의 양 전극이 Q만큼
대전되도록 기전력을 가하는 과정
기전력(electromotive force; emf; )
● 회로 한 바퀴에 걸쳐 있는 전위차; 또는 그 전위차를
유지시키는 힘이나 요인
● 기전력 제공 화학 – 전지, DC/AC 전원, 태양 전지 등
● 축전기는 기전력에 의해 충전,
기전력이 사라지면 방전(discharge; electrostatic – )
● 대부분 문제에서 기전력은 무한한 전기 에너지원; 일정한 전위차를 항상 유지하는 것으로 간주
(REMEMBER 열원(heat reservoir)은 무한한 열저장소!)
그림의 회로에서 스위치를 닫으면
전지의 기전력에 의해 축전기는 전지와 같은 전위차로 대전– ; 기전력의 쪽이 Q , − 쪽이 −Q
축전지의 충전이 완료되면 회로의 전위차가 없으므로 전류가 더이상 흐르지 않는다.
(회로에 전류가 흐르는 이유!)
12/19 http://phys.cau.ac.kr/w/jtseo
전위와 축전기 * 제 15 장
축전기에 저장되는 에너지
축전기 충전의 의미; 평지에서 구덩이를 파낸 흙으로 언덕 쌓기
– 흙의 양은 일정; 전하량의 총합도 일정
– 파낸 흙을 끌어올리는 동안 일을 하고, 구덩이가 깊어질수록(언덕이 높아질수록) 더 힘이 든다.
미소 전하 dq 를 음극판( −Q로 대전될 극판)에서
떼어내 양극판(Q로 대전될 극판)으로 이동하면;
양 극판 사이의 전위차가 dV 만큼 증가
두 극판이 각각 ±q 만큼 대전되어 전위차가 V 일 때,
미소 전하 dq 를 또 옮기기 위해서는 전위차에 해당하는 일을 해주어야 한다;
이때 필요한 일 dW 는
dW = V dq =qC
dq (by 전위, 전기용량의 정의)
그러므로 충전되지 않았을 때부터
Q 만큼 충전되는 동안 필요한 일 W 는
W = ∫0
Q qC
dq =12
Q2
C=
12
QV =12
C V2 ( Q = CV )
13/19 http://phys.cau.ac.kr/w/jtseo
전위와 축전기 * 제 15 장
전기장 에너지와 에너지 밀도
축전기를 Q 만큼 충전하는 동안 해준 일은
축전기가 가지게 된 에너지 & 충전된 축전기의
두 극판 사이에는 항상 전기장이 생성
☺
☞전기장 안에 에너지 있다!
축전기에 저장된 내부 에너지 U 는 다음과 같고; 이 에너지는 전기장 형태로 저장된다.
U = W =12
CV 2=
12
QV =12
Q2
C
면적이 A 이고 극판 사이의 거리가 d 인 평행판 축전기를 가정하면 전기용량 C 와 전위 V 는 각각
C = 0Ad
, 그리고 V = Ed
그리고 전기장 에너지와 에너지 밀도(energy density)는 각각 다음과 같다.
U =12
CV 2=
120 AdE2 ( Ad 는 극판 사이의 부피)
u ≡UAd
=120E2 ( u ... 전기장이 가지는 에너지 밀도; 진공 속에도 에너지가 있는 이유)
14/19 http://phys.cau.ac.kr/w/jtseo
전위와 축전기 * 제 15 장
축전기의 연결과 등가 용량
병렬 연결 직렬 연결
전체 전하량은 각 축전기의 전하량의 합이고,
각 축전기에 인가된 전위는 서로 같다; 그러므로
Q = Q1 Q2 = C1V C2V = CeqV ( Ceq ≡ C1 C2 )
n 개 축전기의 등가 용량: Ceq = ∑i=1
n
C i
전체 전위차는 각 축전기에 걸린 전위차의 합이고,
각 축전기에 대전된 전하량은 서로 같다;
V = V 1 V 2 =QC1
QC2
=Q
Ceq (
1Ceq
≡1C1
1C2
)
n 개 축전기에 대해서는: Ceq−1
= ∑i=1
n
C i−1
15/19 http://phys.cau.ac.kr/w/jtseo
전위와 축전기 * 제 15 장
유전체의 전기적 특성
전기적 특성에 따른 물질의 분류
도체
conductor
반도체
semiconductor
부도체 / 유전체
insulator / dielectric
전기 전도성 (electrical
conductivity) 좋음
도체와 부도체 사이
(낮은 온도에서는 거의 부도체)전기 전도성 나쁨
대개 금속이며
원자와 원자 사이에 많은 자유전자
약간의 에너지를 얻으면 원자 또는
분자로부터 탈출가능한 외곽전자
* band gap을 극복하면 탈출!
어지간한 에너지로는 원자 또는
분자로부터 탈출 못하는 외곽전자
대전되거나 외부 전기장이 가해졌
을 때 표면에만 전하 분포
(내부에서는 등전위; 전기장 0)
* 전자기적 차폐(shielding)
구조에 따라 극성/비극성;
전기장이 가해지면 –
극성: 쌍극자 모멘트가 정렬
비극성: 분극 현상에 의해 정렬
유전체는 극성/비극성 모두 외부 전기장에 대해 고유한 분극(polarization) 반응을 보인다.
16/19 http://phys.cau.ac.kr/w/jtseo
전위와 축전기 * 제 15 장
분자의 형태(극성 유무)에 따른 전기 쌍극자 모멘트 비교
극성 분자 비극성 분자
극성 분자는 이미 분극되어 있으며
(쌍극자 모멘트가 있으며) 전기장이
가해지면 한 쪽 방향으로 정렬
대칭적인 구조로 원래는
쌍극자 모멘트가 없는
비극성 분자
분극 현상: 외부 전하 Q 에 의한
전기장이 존재할 때 전자의 확률
분포 변형으로 쌍극자 모멘트 생김;
극성 분자처럼 한 쪽 방향으로 정렬
17/19 http://phys.cau.ac.kr/w/jtseo
전위와 축전기 * 제 15 장
유전 상수
매질의 분극(polarization of medium) P 는 분자 각각의 분극의 합을 부피로 나눈 값으로 정의
P ≡1V∑i
pi (매질의 분극: 단위 부피 당 분자 분극)
자주 접하는 매질은 대부분 선형(linear) 유전체; 분극이 외부 전기장에 선형적으로 비례
P = 0eE (e : 전기 감수율(electric susceptibility); 무차원 숫자)
Q로 대전된 평행판 축전기의 극판 사이에 유전체가 들어가면?
● Q에서 −Q를 향한 전기장 형성
● 유전체의 분극; 각 전기 쌍극자의 전하는 유전체 내부에서 상쇄
(But! 유전체의 표면에서는 상쇄 안 됨)
● 유전체 양쪽 표면에 남은 분극 전하는 원래의 전기장의
반대 방향으로 분극 전기장 형성
● 유전체가 들어가 있는 축전기 내부의 전기장은 원래의 전하에 의한
전기장 + 분극에 의한 전기장
● Gauss 법칙에서의 전기 선속 적분도 원래 선속 + 분극에 의한 선속
18/19 http://phys.cau.ac.kr/w/jtseo
전위와 축전기 * 제 15 장
즉, Gauss 법칙에서 Gauss 면에 포함된 전체 전하량은 원래의 Q 와 분극에 의한 전하량 Qp 의 합
0∮SE⋅dA = Q Qp = Q −∮S
P⋅dA
선형 매질에서는 P = 0eE 이므로,
0 1 e ∮SE⋅dA = Q
선형 유전체 매질에서의 Gauss 법칙:
∮SE⋅dA = Q ( ≡ 01 e = K 0 )
은 그 매질의 유전율(permittivity), 그리고 K ≡0
는 유전 상수(dielectric constant)
결국, 유전체 매질이 주어졌다면; Gauss 법칙을 통해 구했던 전기장이나 용량 표현에서 0 (진공의 유전율)
대신 을 쓰면 된다!
[ 보기 ] 평행판 축전기의 전기 용량 변화 (진공일 때와 유전체 매질 있을 때)
C0 = 0Ad
(진공) C = Ad
= K 0Ad
= K C0 (유전체 매질)
19/19 http://phys.cau.ac.kr/w/jtseo