И.Ю. Савельева, И.В. Станкевич

Математическое моделирование процессов теплопроводности методом конечных элементов

Учебное пособие

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет)»

2 Предисловие

УДК 519.63+536.2 ББК 22.317

С12

Издание доступно в электронном виде по адресу ebooks.bmstu.press/catalog/93/book1887.html

Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Прикладная математика»

Рекомендовано Научно-методическим советом МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия

Рецензенты:

д-р техн. наук, профессор Н.Д. Чайнов; д-р физ.-мат. наук, профессор М.П. Галанин

Савельева, И. Ю. Математическое моделирование процессов теплопро-

водности методом конечных элементов : учебное пособие / И. Ю. Савельева, И. В. Станкевич. — Москва : Издатель-ство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2018. — 176, [2] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-4932-3 Приведены формулировки стационарных и нестационарных задач

теплопроводности. Рассмотрены основные особенности построения чис-ленного решения этих задач в рамках конечно-элементной технологии.

Для студентов 3-го и 4-го курсов факультета «Фундаментальные науки» МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих дисциплины «Уравнения математиче-ской физики», «Методы вычислений», «Математическое моделирование», «Прикладные пакеты инженерного анализа», «Математические модели ме-ханики сплошной среды» и выполняющих соответствующие курсовые рабо-ты. Может быть полезно студентам старших курсов других факультетов, изучающим численные методы решения краевых и начально-краевых задач.

УДК 519.63+536.2 ББК 22.317

МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018 Оформление. Издательство

ISBN 978-5-7038-4932-3 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018

С12

Предисловие 3

ПРЕДИСЛОВИЕ

В данном пособии рассмотрены формулировки нелинейных стационарных и нестационарных задач теплопроводности и ос-новные особенности построения численных решений этих задач в рамках конечно-элементной технологии. Особое внимание уде-лено вопросам применения квадратичных изопараметрических конечных элементов. Элементы этого типа хорошо аппроксими-руют криволинейные границы геометрически сложных областей и имеют высокие интерполяционные характеристики.

Целью пособия является формирование познавательных дей-ствий, становление научного сознания, развитие любознательно-сти и познавательной мотивации в процессе изучения теоретиче-ских основ конечно-элементной технологии и практического применения соответствующих алгоритмических построений для создания программного кода прикладных комплексов и пакетов, ориентированных на 2D и 3D математическое моделирование сложных теплофизических процессов.

Пособие содержит пять глав и приложение, параграфы в ко-торых могут состоять из нескольких подразделов. Ссылки в тек-сте на соответствующий параграф или подраздел набраны по-лужирным шрифтом, например: см. 2.5.2 (вторая глава, пятый параграф, второй подраздел). Формулы, рисунки и таблицы в пределах глав имеют двойную нумерацию, например: (3.7) — третья глава, седьмая формула; рис. 2.5 — вторая глава, пятый рисунок; табл. 4.1 — четвертая глава, первая таблица.

Структура пособия отражает блочно-модульное построение дисциплин «Уравнения математической физики», «Методы вы-числений», «Математическое моделирование», «Прикладные па-кеты инженерного анализа» и «Математические модели механики сплошной среды», занимающих ключевые места в профессио-нальном цикле подготовки бакалавров и магистров по направле-нию подготовки «Прикладная математика». Каждая глава посо-бия соответствует блоку, параграфы — модулям, т. е. логически замкнутой части материала, имеющей самостоятельное значение при изучении соответствующих дисциплин. Между собой модули и блоки тесно связаны в теоретическом, методическом и терми-нологическом отношении.

4 Предисловие

Во введении указана актуальность решения температурных задач при общем анализе работоспособности исследуемых кон-струкций. Отмечено особое значение, которое в настоящее время придается численному решению нелинейных стационарных и нестационарных задач теплопроводности с применением конечно-элементной технологии. Первая глава посвящена общим форму-лировкам нелинейных стационарных и нестационарных задач теплопроводности. Во второй главе сформулировано понятие конечного элемента и рассмотрено построение функций формы конечных элементов разной размерности с различным числом узлов. В третьей главе дано построение основных матричных со-отношений метода конечных элементов (МКЭ) и освещены во-просы реализации численного интегрирования матричных кон-струкций МКЭ. В четвертой главе приведены численные схемы, реализующие решение нестационарных задач теплопроводности. В пятой главе рассмотрены алгоритмические особенности методов решения больших систем линейных алгебраических уравнений с разреженными матрицами. В приложении приведена формули-ровка начально-краевой задачи для гиперболического уравнения теплопроводности, дано развернутое построение основных мат-ричных соотношений МКЭ и рассмотрен пример численного ре-шения этой задачи.

В конце каждой главы приведен список вопросов и заданий, которые могут помочь в усвоении изложенного в главе материала.

Основные обозначения 5

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Математические символы

i ia b — суммирование по повторяющемуся латинскому индексу: 1 1 2 2 3 3 i ia b a b a b a b 1.1

def

A B — величина A по определению равна величине B 1.1 1( )C G — пространство непрерывно дифференцируемых

функций, заданных на множестве G, с первым порядком гладкости 1.2

i je e — базисная диада 1.3

1,i n — натуральное число i, последовательно принима-ющее все значения от 1 до n 1.1

Im A — образ линейного оператора (матрицы) A 5.1

Int S — внутренность множества S — совокупность всех внутренних точек 2.1

G — область (открытое множество) 1.1 G — граница области 1.1

G G G — замыкание области — объединение области и ее границы 1.2

2 ( )L G — пространство измеримых функций, вторая сте-пень которых интегрируема 1.2

mes S — мера множества S, в простейших случаях — дли-на, площадь, объем 1.1

( )eM — число узлов конечного элемента (е) 2.1

in — компоненты единичного вектора внешней норма-ли i inn e 1.1

1 2 3O x x x — прямоугольная декартова система координат 1.1 3 — трехмерное евклидово пространство 1.1

( ),iT x — операция дифференцирования функции ( )T x по

пространственным координатам ( 1, 3)ix i 1.1

T — интерполированное значение функции Т 3.2 ( ) ( )i jV V — пересечение замкнутых областей с номерами со-

ответственно ( )i и ( )j 2.1 Gx — элемент принадлежит области G 1.1

6 Основные обозначения

X Y — прямое (декартово) произведение двух множеств — множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары элементов ис-ходных множеств 1.1

f — первая вариация функции f 1.2

Φ — первая вариация функционала Ф 1.2 2Φ — вторая вариация функционала Ф 1.2

T — функционал 1.2

— логическое «или» (операция дизъюнкции) 2.1

— —

квантор всеобщности (x — для любого элемен-та x) 1.1 квантор существования (x — существует эле-

мент x) 2.1 — знак тензорного произведения 1.3

Физические величины

c — удельная массовая теплоемкость материала тела 1.3

Vq — мощность внутренних тепловых источников (сто-ков) 1.1

wq — плотность теплового потока в направлении внешней нормали к поверхности 1.1

T — температура среды 1.1

fT — температура среды у поверхности 1.1

w — коэффициент теплоотдачи на поверхности 1.1

ij

— компоненты тензора теплопроводности , 1,3i j 1.1

— тензор теплопроводности 1.3 — плотность материала тела 1.3

Введение 7

ВВЕДЕНИЕ

На первом этапе при решении задач вычислительной термо-механики определяют температурные поля в исследуемых обла-стях. Функции, характеризующие температурные поля, являются решениями задач теплопроводности. В настоящее время особое значение придается решению нелинейных стационарных и не-стационарных задач теплопроводности.

В областях, имеющих сложную геометрическую форму, и при сравнительно невысоких требованиях к гладкости функций, вхо-дящих в формулировку стационарных и нестационарных задач, наиболее перспективны численные методы, среди которых про-должительное время лидирующее положение занимает метод конечных элементов (МКЭ) [3, 5, 6].

Широкому и успешному применению МКЭ способствовали такие его свойства, как естественность, простота, доступность, универсальность и высокая технологичность. Метод конечных элементов позволяет проводить численный анализ в областях сложной геометрической формы, учитывать особенности гранич-ных условий и теплофизических свойств материалов. Этот метод отличается прозрачностью основных вычислительных процедур, что позволяет эффективно контролировать обработку данных. Кроме того, МКЭ алгоритмически и программно весьма удобен для объединения с современными методами и средствами ком-пьютерной графики.

При решении стационарных задач теплопроводности с по-мощью МКЭ используется, как правило, интегральная, в частно-сти, вариационная формулировка. Существенным достоинством вариационных формулировок является то, что они позволяют не только найти решение, но и оценить его погрешность. В этом смысле весьма эффективным оказывается применение двой-ственных вариационных формулировок. Построение и использо-вание двойственных вариационных формулировок для получения апостериорных оценок точности температурных полей подробно рассмотрено в работах [1, 4].

Без ограничения общности не удается дать эквивалентную ва-риационную постановку нестационарным задачам теплопро-

8 Введение

водности. В данной ситуации технически простым является ис-пользование метода прямых (метод Роте). В этом случае аппрок-симация строится по временной переменной, что позволяет перейти от задачи с параболическим оператором к последова-тельности задач эллиптического типа на фиксированных времен-ных шагах, каждая из которых часто допускает вариационную постановку. При этом полученное на предыдущем шаге решение рассматривается как начальное на текущем. Однако более широ-кие возможности для решения нестационарных задач дает при-менение метода взвешенных невязок в форме Галёркина [2, 6]. Численное решение нестационарных задач с использованием МКЭ, как правило, осуществляется в соответствии с методом Галёркина. Решение реализуется в два этапа. На первом этапе с помощью процедур МКЭ выполняется дискретизация по про-странству, на втором этапе применяется какая-либо конечно-разностная схема на временном отрезке, приводящая к пошаго-вой процедуре интегрирования по времени.

Если рассматривается нелинейная нестационарная задача и не используются линеаризующие процедуры, то на каждом времен-ном шаге придется решать систему нелинейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с помощью итерационных методов. Для того чтобы этого избежать, применяют схемы типа «предиктор — корректор». Эти схемы на каждом временном шаге требуют ре-шения двух СЛАУ. Существенными недостатками использования схем «предиктор — корректор» являются общее усложнение ал-горитма решения и дополнительные затраты оперативной памяти. Эти трудности можно обойти, если нестационарную задачу в каждый момент времени решать методом простых итераций с явным заданием скорректированных значений коэффициентов уравнения теплопроводности и граничных условий, применяя метод Галёркина для построения матричных соотношений МКЭ. Таким образом, в каждой точке временного отрезка решение нелинейной нестационарной задачи заменяется последователь-ностью решений подобных линейных стационарных задач, раз-личающихся численными значениями коэффициентов уравне-ния теплопроводности и граничных условий. При этом перед проведением очередной итерации определяют численные значе-ния коэффициентов по решению, полученному на предыдущей итерации.

Введение 9

Применение итераций при решении нелинейных уравнений эллиптического и параболического типов является известным и довольно широко используемым методом. Наиболее полные ре-зультаты здесь получены для эллиптических уравнений. Особую проблему при итерационном решении составляет сходимость. В силу ограниченности объема этот вопрос здесь не рассматрива-ется, заинтересованные читатели могут ознакомиться с результа-тами работы [2].

10 1. Математические формулировки задач теплопроводности

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛИРОВКИ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

1.1. Постановка нелинейной стационарной задачи теплопроводности

Дано трехмерное евклидово пространство 3 с произвольно выбранной прямоугольной декартовой системой координат

1 2 3,O x x x в которой положение точки фиксировано радиус-

вектором i ixx e , где ,ix =1,3,i — координаты вектора ;x , =1,3,i ie — единичные орты координатных осей. (Здесь и да-

лее по повторяющимся латинским индексам проводится сумми-рование от 1 до 3, а по греческим индексам не проводится.)

В ограниченной области 3G с кусочно-гладкой границей G рассматривается нелинейное уравнение теплопроводности

( , ) , , , 0,ij j i VT T q T x x Gx , (1.1)

с граничными условиями

1( ) ( ),wS

T Tx x 1S G x ; (1.2)

2( , ) , ( , )i ij j wS

n T T q T x x , 2S G x ; (1.3)

3

( , ) , ( , ) ( ) ( )i ij j w fSn T T T T T x x x x , 3S G x , (1.4)

где 1 2 3 ;S S S G 1 2 1 3 2 3mes mes mes 0.S S S S S S

В (1.1) – (1.4) использованы следующие обозначения: ( , )ij Tx — компоненты тензора теплопроводности (где ( )T T x — температу-

18 2. Типы конечных элементов и их функции формы

2. ТИПЫ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И ИХ ФУНКЦИИ ФОРМЫ

2.1. Понятие конечного элемента

Выбор типов конечных элементов для решения той или иной краевой задачи зависит от многих факторов: формы области ана-лиза и ее границы ,G граничных условий, общего объема исход-ных данных, степени автоматизации их подготовки и т. п. Тем не менее в значительной степени выбор типов конечных элементов остается интуитивным. Поскольку применение конечно-элемент-ной технологии предполагает создание пакета прикладных про-грамм, пригодного для решения максимально широкого круга задач, выбор типов конечных элементов должен обеспечивать ап-проксимационную достаточность и универсальность. Однако оста-ется открытым вопрос об оптимальности (по требуемой точности, времени подготовки данных, времени счета и т. п.) выбранных ти-пов конечных элементов для решения конкретной задачи.

Для численного решения широкого круга задач прикладной термомеханики можно использовать простейшие линейные ко-нечные элементы. Такие элементы вполне удовлетворительно аппроксимируют криволинейные границы геометрически слож-ных областей и технологически просты при программировании. Кроме того, применение линейных конечных элементов позволя-ет удобно, экономно и с приемлемой точностью оперировать как исходными данными, так и результатами. Однако для получения более точных результатов следует использовать квадратичные конечные элементы и даже конечные элементы, использующие кубическую интерполяцию. В отдельных случаях полезными оказываются конечные элементы эрмитова семейства.

Прежде всего определим понятие конечного элемента. Под конечным элементом будем понимать объект, характеризуемый

замкнутой областью ( ) ,eV занимаемой им в евклидовом про-

странстве , координатами узлов ( ) ( )e ep Vx и интерполяцион-

ными функциями вида

3.1. Стационарная задача теплопроводности 95

3. ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЧНЫХ СООТНОШЕНИЙ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

3.1. Стационарная задача теплопроводности

После построения сетки конечно-элементной модели из (1.17) имеем

2 3

1 1, , 2 .2 2

h h h

h ij i j V w w fG S S

T T q T dx q Tds T T Tds (3.1)

Здесь все данные, входящие в формулировку задачи (1.5) – (1.8), с учетом результатов работы [10] отнесены к области 3

hG и участкам ее границы 2 3h h hS S G . Функционал h в силу свойства аддитивности может быть представлен в виде

грэл

( ) ( )

1 1,

kk

e eh hV hS

e e

(3.2)

где

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 , , 2 ,2e

e e e e e eij i j VhV

V

T T q T dx ( ) ;ehV G (3.3)

( )

( )

( ) ( ) ( )2

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3

, ;

1 , .2

e

e

e e ew h

SehS

e e e e ew hf

S

q T ds S S

T T T ds S S

(3.4)

С помощью интерполяционного соотношения (2.1) функции ( )eT и ( ) ,e

iT 1,3i , присутствующие в (3.3) и (3.4), можно выра-зить через глобальный вектор T узловых температур, компонен-

4.1. Двухслойные разностные схемы 119

4. ОСОБЕННОСТИ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ

4.1. Двухслойные разностные схемы

Уравнение (3.24) совместно с начальным условием (3.25) со-ставляют задачу Коши. Для ее решения существуют различные под-ходы [2, 6, 10], однако наибольшее T распространение получили следующие два способа. Первый состоит в том, что производную по времени в уравнении (3.24) заменяют каким-либо конечно-разностным аналогом, а второй заключается в использовании конечных элементов во временной области (метод Галёркина).

Рассмотрим основные этапы построения разностного аналога задачи Коши (3.24), (3.25) в виде семейства двухслой-ных разностных схем. В пределах временного шага 1n nh векторы узловых температур T и правой части R уравне-ния (3.24) представим в виде следующих линейных комбинаций:

1( ) (1 ) ;n n

T T T (4.1)

1( ) (1 ) ,n n

R R R (4.2)

где 1[ , ] [0, ]n n t — время; — весовой множитель

[0, 1] . Здесь и далее векторы 1nT , 1n

R и nT , n

R

отнесены к моментам времени соответственно 1n и n . Разностную аппроксимацию производной по времени можно

представить следующим образом:

1 .n nT TT

Th

(4.3)

Теперь, полагая, что коэффициенты в уравнении (3.24) посто-янны на отрезке 1[ , ]n n , и подставляя (4.1) – (4.3) в (3.24), полу-

128 5. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

5.1. Основные понятия теории итерационных методов

Для решения СЛАУ создано много прямых и итерационных методов, некоторые из этих методов постоянно совершенству-ются. Выбор метода решения заданного класса сеточных урав-нений, его алгоритмическое построение и программная реализа-ция в значительной степени зависят от типа решаемой краевой задачи (одномерная или многомерная, стационарная или неста-ционарная, линейная или нелинейная), а также от технических характеристик доступной вычислительной техники. При реше-нии двумерных и трехмерных задач большое значение имеет вид области анализа.

В настоящее время известно много работ, посвященных при-менению прямых методов для решения СЛАУ с разреженными матрицами (см., например, [2]). Прежде всего это относится к развитию метода Холецкого и методов факторизации. Перспек-тивным направлением в разработке прямых методов является ре-ализация алгоритма быстрого дискретного преобразования Фурье. Наиболее значительные результаты применения прямых методов получены при решении СЛАУ не очень большого поряд-ка в геометрически простых областях, например, типа прямо-угольника или параллелепипеда.

При решении краевых задач в областях общего вида прямые методы требуют значительных временных затрат и, кроме того, обостряется проблема накопления ошибок округления. В отдель-ных случаях решение, полученное прямым методом, подвергает-ся итерационному уточнению. Достаточно сложна для прямых методов проблема рационального использования оперативной памяти. Известно, что прямые методы по сравнению с итераци-онными требуют в общем случае больше оперативной памяти. Это связано с особенностями процедуры исключения (проблема восполнения).

158 Приложение

Приложение

ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

П1. Постановка задачи

В феноменологической теории теплопроводности предпола-гается, что скорость распространения теплоты является беско-нечно большой. Это предположение подтверждается результата-ми расчета температурных полей для широкого класса задач. Однако при высокоинтенсивных нестационарных процессах теп-лообмена необходимо учитывать, что теплота распространяется не бесконечно быстро, а с некоторой (хотя и очень большой) ко-нечной скоростью.

Для изотропных тел закон, обобщающий закон теплопро-водности Фурье , ,i T iq T установил А.В. Лыков [1, 4]:

, , i T i T iq q T (П1)

где iq — проекции вектора плотности теплового потока, 1, 2, 3;i

T — время релаксации теплового потока, связанного со скоростью

TV распространения теплоты соотношением T T TV c ;

T — теплопроводность (в случае изотропного тела const).T

Для стационарного потока теплоты 0q соотношение

(П1) совпадает с законом Фурье. Для высокоинтенсивных нестационарных процессов вто-

рой член в левой части соотношения (П1) становится сравнимым с первым.

Физический смысл соотношения (П1) заключается в том, что при возникновении градиента температуры необходимо некото-рое время на установление теплового потока; когда градиент температуры исчезает, тепловой поток не пропадает мгновенно,

а затухает со временем релаксации T . Для металлов 1110T

c, для полимеров, имеющих сложную структуру, время релакса-

П1. Постановка задачи 159

ции достигает значений 7 510 –10 . Для газов в условиях сверхзву-кового потока влияние конечного значения скорости распростра-нения теплоты на теплообмен становится заметным.

Получим дифференциальное уравнение теплопроводности для процесса, описываемого соотношением (П1). В уравнение баланса теплоты

,i i VT

с q q

(П2)

подставим выражение для iq из соотношения (П1):

, , .T ii T i i VT

с T q q

(П3)

Продифференцировав (П2) по , преобразуем уравнение (П3):

2

2,

V

T T ii V TqT T

с с T q

и с учетом выражения для скорости распространения теплоты

T T TV c запишем его в виде

2

2 2, .

T V

T ii V TT

qT Tс T q

V (П4)

Последнее уравнение представляет собой гиперболическое уравнение теплопроводности, в котором дополнительное слага-емое в левой части позволяет учесть конечную скорость распро-странения теплоты.

Уравнение теплопроводности (П4) можно записать и в интег-родифференциальной форме. Для этого проинтегрируем уравне-ние (П1) при условии 0iq при 0t . В результате получим

0

exp , ,Ti i

T T

tq T dt

160 Приложение

или, применив к интегралу в последнем соотношении один раз правило интегрирования по частям,

0

, exp , .i T i T itT

tq T T dt

Подставив найденное решение в уравнение баланса теплоты (П2), получим уравнение теплопроводности в интегродиффе-ренциальной форме

0

,, exp .iiT ii T V

T

TT tс T dt q

t

(П5)

Краевые условия для уравнений (П4) и (П5) имеют вид

1

2

3

0

1

0

2

0

3

,0 , ;

, , , , 0;

, exp ,

, , , , 0;

, exp ,

, , , , , , 0,

wS

i T i T itT S

w

i T i T itT S

w f

T T G

T T S G

tn T T dt

q T S G

tn T T dt

T T x T x S G

x x x

x x x

x x

x x

где 1 2 3 ;S S S G 1 2 1 3 2 3mes mes mes 0;S S S S S S

,wT x — температура поверхности 1S ; in — компоненты еди-

ничного вектора внешней нормали ;n , ,wq Tx — плотность

теплового потока на поверхности 2S ; , , w Tx — коэффици-

ент теплоотдачи на поверхности 3S ; ,fT x — температура сре-

ды у поверхности 3.S

:

П2. Построение матричных соотношений МКЭ 161

Можно выделить большой класс моделей, основанных на уравнениях теплопроводности типа (П4) или (П5). Это и задачи высокоинтенсивного теплообмена в установках импульсной и лазерной техники, и моделирование процессов плазменного напыления, процесса электронной теплопроводности в высоко-температурной плазме, в структурно-чувствительных (дисперс-ных, зернистых и т. п.) материалах и др.

Задачи, основанные на уравнении теплопроводности гипер-болического типа, называют обобщенными. С математической точки зрения обобщенные задачи значительно отличаются от классических для уравнений параболического типа. Они более сложны для нахождения аналитических решений.

П2. Построение матричных соотношений метода конечных элементов

Как уже отмечалось (см. гл. 3), при решении нестационар-ных задач теплопроводности конечно-элементную дискретиза-цию по пространству целесообразно выполнять на основе метода взвешенных невязок в форме Галёркина.

Рассмотрим подробнее построение численной схемы для нахождения узловых значений температуры среды на примере задачи поверхностного нагрева в одномерной постановке, кото-рая без учета внутреннего энерговыделения 0Vq имеет вид

2 2

2 20

exp ; T T

T

T T t Tс dt

tx x (П6)

0

00

0

, , 0;

exp , 0;

exp 0, ,

T TT

T TT

T x T

T t Tdt Q x

x t x

T t Tdt x L

x t x

(П7)

где 0T — начальная температура среды; 0Q — тепловой по-

ток, падающий на левую границу стенки; L — толщина стенки.

162 Приложение

Применив к уравнению (П6) и граничным условиям из (П7) конечно-элементную процедуру (см. 3.2), получим в матричном виде систему интегродифференциальных уравнений относитель-но неизвестных узловых значений температуры

0

[ ] [ ] exp [ ] ,T

tC T K T K T dt F

t

(П8)

в которой матрицы [ ]C теплоемкости, [ ]K теплопроводности и вектор F тепловой нагрузки определяются соотношениями

эл

эл

т( ) ( )

1

т( ) ( )

1

т0

[ ] ;

[ ] ;

( ), 0, ..., 0 ,

e

e

ke e

V Ve

V

k e eV V

eV

C c N N dx

N NK dx

x x

F Q

(П9)

где элk — количество конечных элементов; ( )eV — объем конечно-

го элемента; ( )eVN — локальная матрица-строка, определяемая

типом конечного элемента, компонентами которой являются функ-ции формы.

Значения температуры в узлах расчетной сетки конечных элементов в ( 1k )-й момент времени определим, заменив инте-гральное слагаемое в (П8) соответствующей суммой и решив СЛАУ при аппроксимации (П8) двухслойной схемой с весами [2]:

1 1

1 1

1

1

(1 )

exp exp exp

(1 ) ,

k k k k k k k

k m mkk m m

TT T Tm

k k k

С T T K T T

K T

F F

(П10)

где — вес схемы, т. е. параметр, задающий схему интегриро-вания 0 1 ( 0 — явная схема; 1 — неявная схема;

П2. Построение матричных соотношений МКЭ 163

0,5 — схема Кранка — Николсона); k — шаг интегриро-вания по времени.

Далее будем использовать только неявную схему интегри-рования ( 1). В этом случае система уравнений принимает вид

1 1 1 1

1 11

1

1

exp exp exp

.

k k k k k k

k m mkk m m

TmT T T

k k

С T T K T

K T

F

(П11)

Записав отдельно последнее слагаемое, входящее в суммиро-вание в системе уравнений (П11), преобразуем эту систему к виду

1 1 1

1 1 1

1 111

1

1 exp

1 exp

exp exp exp .

kk k k k

TT

kk k k k k

TT

k m mkk m m

TmT T T

С K T

F С K T

K T

(П12)

Последнее слагаемое в правой части (П12) на каждом вре-менном шаге будем вычислять с помощью следующей рекур-рентной формулы:

1 111

1

11 1

exp exp exp

exp 1 exp ,

k m mkk k m m

TmT T T

k kk k k k

TT T

P K T

K T P

где 12; 0.k P

При использовании традиционной формулировки МКЭ в виде (П8), (П9) в начальные моменты времени нестационарного про-цесса теплопроводности могут возникать осцилляции решения

164 Приложение

в точках конечно-элементной сетки вблизи нагреваемой поверх-ности. Эти осцилляции могут быть объяснены проявлением неконсервативности схемы МКЭ для одного элемента при кон-сервативности всей системы в целом. Наиболее ярко этот эффект заметен в тех случаях, когда велики тепловые нагрузки на нагре-ваемой поверхности.

Избавиться от осцилляций решения можно путем диагонали-зации матрицы теплоемкости [ ],C причем алгоритмов диагона-лизации этой матрицы в МКЭ предложено достаточно много. Диагональные компоненты матрицы [ ],C соответствующие од-ному элементу, можно вычислить по формулам

эл*( ) ( )

1

k

e eii ij

j

С C

или эл эл эл

*( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

, ; ,

k k k

e e e eii ii ij ii

i j i

С C b g b C g C

где ,i j — текущие номера узлов конечного элемента. Все недиа-

гональные элементы матрицы [ ]C при таком подходе полагаются равными нулю.

Возможен также метод диагонализации матрицы [ ]C исходя

из конечно-разностного представления с T в уравнении теплопроводности на сетке четырехугольных конечных эле-ментов. Для линейных треугольных конечных элементов диа-гонализация матрицы [ ]C проводится путем численного интегри-рования с использованием вершин этих элементов в качестве узлов интегрирования, причем указано, что такая процедура не снижает скорость сходимости приближенного решения к точному.

Следует отметить, что предложенные приемы диагонализации матрицы теплоемкости всей системы использовались только для плоских задач и применение их для осесимметричных задач может привести к значительным погрешностям или к невозмож-ности определения температуры в узлах сетки, лежащих на оси вращения.

П3. Анализ численных решений 165

П3. Анализ численных решений

Предположим, что высокоинтенсивный тепловой поток на границе пластины определяется следующим соотношением:

0 0exp( / ),mQ AM m

где 0, const; 1; 0. A M m Для расчета температурного поля в пластине будем использо-

вать безразмерные параметры и переменные:

20 0 0 0

0 0 0

; ; ; ; ;

; exp ; ( 1)!,

z

TT T

Tm m m

x a a c D T T T

T A a q M m M m m

где параметр M выбран из условия 00

1q d

.

На рис. П1 представлена зависимость безразмерного потока 0q , действующего слева на полупространство, от безразмерного

времени при различных значениях параметра интенсивности .m

Рис. П1. Зависимость теплового потока от времени

при различных значениях параметра интенсивности m

Распределение температуры по координате z для моментов времени 1, соответствующего максимуму подводимого теп-лового потока, и 5 , когда практически весь подведенный по-ток поглощен, приведено на рис. П2 для 2m и 4m ; штрихо-

166 Приложение

вой линией обозначено распределение температуры, соответ-ствующее классической модели теплопроводности с бесконечной скоростью распространения теплоты; сплошными линиями — распределения температуры, соответствующие модели гипербо-лической теплопроводности.

При 5 (см. рис. П2, б и г) с возрастанием параметра 2TD на

кривых распределения температуры появляется ярко выражен-ный максимум, значение которого тем больше, чем больше .m Глубина проникновения теплоты при гиперболической теплопро-водности определяется координатой .z TD

Рис. П2. Распределение температуры по глубине полупространства

при разных значениях 2TD для различных моментов времени

и параметров интенсивности: а — 1, 2;m б — 5, 2;m в — 1, 4;m г — 5, 4m

На рис. П3 представлена зависимость безразмерной темпера-туры поверхности полупространства от безразмерного времени при различных значениях 2

TD .

П3. Анализ численных решений 167

Рис. П3. Зависимость температуры поверхности полупространства

от времени при 2m и различных значениях 2TD

Отметим, что в практических расчетах учитывать конечную

скорость имеет смысл при 2 0,1.TD

168 Заключение

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В учебном пособии приведены общие формулировки краевых и начально-краевых задач теплопроводности и подробно рас-смотрены вопросы построения основных матричных конструк-ций, возникающих при решении одно-, дву- и трехмерных задач теплопроводности как стационарных, так и нестационарных. Это дает возможность глубокого и вдумчивого изучения основ ко-нечно-элементной технологии, которая в настоящее время явля-ется основным прикладным инструментом, позволяющим прово-дить разнообразные вычислительные эксперименты (поисковые, диагностические, оптимизационные) на всех стадиях создания новейшей техники и технологии — от замысла до выпуска се-рийных образцов и организации современных высокотехнологи-ческих процессов.

Математическое моделирование интенсивно развивается: усовершенствуются модели сложных нелинейных теплофизиче-ских процессов и конструируются новые численные алгоритмы для их анализа, которые реализуются в виде современного при-кладного программного обеспечения.

Развитие вычислительных средств привело к появлению мощных компьютерных систем. Это открывает более широкие возможности эффективного использования математического мо-делирования сложных теплофизических процессов. В то же время качество математического моделирования во многом зависит, во-первых, от достоверности математических моделей, принятых на теоретическом уровне, во-вторых, от полноты их алгоритмиче-ской и программной реализации.

Важнейшим результатом применения математического моде-лирования является проверка точности и глубины понимания изучаемых теплофизических процессов путем сравнения числен-ных и доступных экспериментальных данных. При этом весьма полезно совместное координирование экспериментальных и чис-ленных исследований и, как следствие, построение и пополнение информационных баз данных о моделируемых теплофизических процессах, имеющих широкую перспективу технической реали-зации в создаваемых образцах новейшей техники и технологии.

Заключение 169

Дальнейшее интенсивное развитие методов математического моделирования как эффективного средства исследования слож-ных процессов теплообмена — одна из актуальных задач при-кладной математики, так как открывает новые возможности в развитии теории теплопроводности, численных методов и при-кладного программирования, а также значительно расширяет перспективы практического использования систем автоматизиро-ванного проектирования общего назначения и проблемно-ориентированных автоматизированных комплексов проектирова-ния с элементами искусственного интеллекта.

170 Заключение

ЛИТЕРАТУРА

1. Власова Е.А., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические мо-дели процессов теплопроводности: учеб. пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016. 124 с.

2. Галанин М.П., Савенков Е.Б. Методы численного анализа матема-тических моделей. M.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. 591 с.

3. Даутов Р.З., Карчевский М.М. Введение в теорию метода конеч-ных элементов: учеб. пособие. Казань: Казанский гос. университет им. В.И. Ульянова–Ленина, 2004. 239 с.

4. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 512 с.

5. Зарубин В.С., Станкевич И.В. Расчет теплонапряженных кон-струкций. М.: Машиностроение, 2005. 352 с.

6. Котович А.В., Станкевич И.В. Решение задач теплопроводности методом конечных элементов: учеб. пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2010. 84 с.

7. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения ма-тематической физики: учебник для вузов. 2-е изд. / под ред. B.C. Зару-бина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 368 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. XII).

8. Саад Ю. Итерационные методы для разреженных линейных си-стем. В 2 т. Т. 1: Пер. с англ. М.: Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова, 2013. 344 с.

9. Сагдеева Ю.А., Копысов С.П., Новиков А.К. Введение в метод ко-нечных элементов: метод. пособие. Ижевск: Изд-во «Удмуртский универ-ситет», 2011. 44 с.

10. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных эле-ментов для решения скалярных и векторных задач: учеб. пособие. Ново-сибирск: Изд-во НГТУ, 2007. 896 с.

Предметный указатель 171

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Вариация функционала: вторая 14 первая 13

Задача:

вариационная 14 двумерная 88 нелинейной теплопроводности стационарной 10 – – нестационарной 15 одномерная 84 трехмерная 93

Компонент тензора теплопроводности 10 Коэффициент теплоотдачи 11 Матрица:

геометрических связей конечного элемента объемного 97 – – – – поверхностного 97 разреженная 148 теплоемкости глобальная 102 теплопроводности глобальная 99 функций формы 19

Метод: верхней релаксации 140 взвешенных невязок в форме Галёркина 100 вырождения 31 итерационный двухслойный 132 – трехслойный 141 локально оптимальный 145 полуитерационный Чебышёва 141 последовательных приближений (простых итераций) 11 сопряженных градиентов 144 – поправок 143 циклических чебышёвских итераций 132

Модель конечно-элементная 148 Мощность внутренних тепловых источников (стоков) 10

172 Предметный указатель

Номер: глобальный 21, 34 локальный 21, 34

Область замкнутая 20 Отображение изопараметрическое 103 Параметры итерационные 129 Полином:

второго порядка одной переменной 24 – – трех переменных 23 интерполяционный 22 Лагранжа интерполяционный 26 третьего порядка от двух переменных 23 n-го порядка 23

Пространство: евклидово 10 – трехмерное 10

Семейство:

лагранжево 30 полиномов Лагранжа 28 сирендипово 30 эрмитово 83

Сетка конечных элементов 21 Система координат:

прямоугольная декартова 10 локальная треугольного конечного элемента 44 – тетраэдрального конечного элемента 61 целочисленная 45

Схема: двухслойная 119 интегрирования 106 трехслойная 120

Температура:

начальная 16 поверхности 11 среды 10

Теплопроводность 10 Тетраэдр Паскаля 22 Треугольник Паскаля 22

Предметный указатель 173

Уравнение: матричное 100 теплопроводности 10 – интегродифференциальной формы 160 – гиперболическое 159 – нелинейное 10 – – нестационарное 15 Эйлера (Эйлера — Лагранжа) 13

Условия: граничные 10 достаточные 14 начальные 15 необходимые 13

Форма интегродифференциальная уравнения теплопроводности 160 Функционал 12 Функция:

интерполируемая 18 интерполяционная 18 формы 19

Шаг:

по времени 119 по пространству 119

Элемент конечный 18

двумерный восьмиузловой 54 – двенадцатиузловой 57 – девятиузловой 56 – десятиузловой 50 – четырехугольный 53 – шестнадцатиузловой 59 одномерный линейный 33 – квадратичный 37 – кубический 40 – переходной 82 призматический двадцатишестиузловой 71 – двенадцатиузловой 73 – пятнадцатиузловой 70 – шестиузловой 68 субпараметрический 106 суперпараметрический 106

174 Предметный указатель

Элемент конечный: тетраэдральный двадцатиузловой 66 – десятиузловой 64 – четырехузловой 60 треугольный 42 – шестиузловой 43 трехмерный восьмиузловой 75 – двадцатиузловой 77 – тридцатидвухузловой 78 шестигранный лагранжева семейства 80 – сирендипова семейства 75 эрмитов 83

Предметный указатель 175

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ............................................................................................. 3 Основные обозначения ............................................................................ 5 Введение ................................................................................................... 7 1. Математические формулировки задач теплопроводности ........ 10

1.1. Постановка нелинейной стационарной задачи теплопровод-ности ........................................................................................... 10

1.2. Вариационная формулировка стационарной задачи тепло-проводности ............................................................................... 12

1.3. Постановка нелинейной нестационарной задачи теплопро-водности ..................................................................................... 15

Вопросы и задания ................................................................................... 17

2. Типы конечных элементов и их функции формы ....................... 18 2.1. Понятие конечного элемента .................................................... 18 2.2. Интерполяционные полиномы и функции формы .................. 22 2.3. Одномерные конечные элементы ............................................. 33

2.3.1. Линейные конечные элементы ........................................ 33 2.3.2. Квадратичные конечные элементы ................................. 37 2.3.3. Кубические конечные элементы ..................................... 40

2.4. Двумерные конечные элементы ................................................ 42 2.4.1. Треугольные конечные элементы ................................... 42 2.4.2. Четырехугольные конечные элементы ........................... 51

2.5. Трехмерные конечные элементы .............................................. 60 2.5.1. Конечные элементы на основе тетраэдра ....................... 60 2.5.2. Конечные элементы на основе треугольной призмы ......... 68 2.5.3. Шестигранные конечные элементы сирендипова

семейства .......................................................................... 75 2.5.4. Шестигранные конечные элементы лагранжева

семейства .......................................................................... 80 2.5.5. Переходные конечные элементы .................................... 82

2.6. Конечные элементы эрмитова семейства ................................ 83 Вопросы и задания ................................................................................... 94

3. Построение матричных соотношений метода конечных элементов ................................................................................................. 95

3.1. Стационарная задача теплопроводности ................................. 95 3.2. Нестационарная задача теплопроводности .............................. 100 3.3. Построение изопараметрических отображений ...................... 103 3.4. Особенности численного интегрирования матричных

соотношений метода конечных элементов ............................. 106 3.4.1. Расположение локальных координат гауссовых точек .................................................................................. 106

176 Оглавление

3.4.2. Интегрирование по объему ............................................. 107 3.4.3. Интегрирование по поверхности .................................... 113

Вопросы и задания ................................................................................... 117 4. Особенности численного решения задачи Коши ......................... 119

4.1. Двухслойные разностные схемы .............................................. 119 4.2. Трехслойные разностные схемы ............................................... 120 4.3. Диагонализация матрицы теплоемкости .................................. 125

Вопросы и задания ................................................................................... 127 5. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений ....... 128

5.1. Основные понятия теории итерационных методов ................. 128 5.2. Двухслойные итерационные методы ........................................ 132 5.3. Трехслойные итерационные методы ........................................ 141 5.4. Локально оптимальные трехслойные методы ......................... 145 5.5. Построение и использование разреженных матриц ................ 148

Вопросы и задания ................................................................................... 157 Приложение. Гиперболическое уравнение теплопроводности ............ 158

П1. Постановка задачи ...................................................................... 158 П2. Построение матричных соотношений метода конечных

элементов ................................................................................... 161 П3. Анализ численных решений ...................................................... 165

Заключение ............................................................................................... 168 Литература ................................................................................................ 170 Предметный указатель ............................................................................ 171

Учебное издание

Савельева Инга Юрьевна Станкевич Игорь Васильевич

Математическое моделирование процессов теплопроводности методом конечных элементов

Редактор И.В. Мартынова Художник Корректор О.Ю. Соколова

Компьютерная графика Т.Ю. Кутузовой Компьютерная верстка А.Ю. Ураловой

Оригинал-макет подготовлен

в Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана.

В оформлении использованы шрифты Студии Артемия Лебедева.

Подписано в печать 26.12.2018. Формат 6090/16.

Усл. печ. л. 11,125. Тираж 50 экз. Изд. № К400-2017. Заказ .

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1.

press@bmstu.ru www.baumanpress.ru

Отпечатано в типографии МГТУ им. Н.Э. Баумана.

105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1. baumanprint@gmail.com

Э.Ш. Мурадова

В 2014 году Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана запустило в эксплуата-цию web-портал (http://ebooks.bmstu.ru) для обеспечения оперативного доступа студентов к учебной литературе в электронной форме через сеть Университета и Интернет. На площадке web-портала в настоящее время размещены учебно-методические издания, вышедшие в Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана за последние 10 лет.

Информационные технологии в образовательном процессе МГТУ им. Н.Э. Баумана

Соответствие современным тенденциям в высшем образовании:

переход Университета на двухуровневую систему обучениявведение блочно-модульной схемы учебного процесса и новых УМКДоперативный доступ к образовательным материалам через сеть Университета и Интернет

Студентам:

полнотекстовый поиск требуе-мых материалов как по базе данных контента, так и внутри самого доку-мента

рубрикаторы по факультетам/ка-федрам МГТУ им. Н.Э. Баумана, обла-стям знаний, кодам специальностей (ОКСО), ключевым словам, указате-лю авторов

доступ к контенту изданий путем просмотра или загрузки на стацио-нарный, мобильный или планшет-ный компьютер, смартфон, комму-никатор в различных форматах

Авторам:

возможность оперативно вносить изменения и дополнения в текст учебных изданий

использование в учебном про-цессе материалов web-портала вне зависимости от выхода их печатной версии

публикация эксклюзивной мало-тиражной литературы и повышение индекса научного цитирования авто-ра и рейтинга Университета

Учебники, учебные пособия и методические пособия, лабораторные практикумы, курсы лекций и другие материалы в электронной форме