ПЕРЕДМОВА -...

3

ПЕРЕДМОВА

Шановніколеги!Мищировдячнівамзате,щовиобралинавчально-методичний

комплект «Геометрія-7» А. П. Єршової, В. В. Голобородька таО.Ф.Крижановського.

Упевнені,щонашпідручникнерозчаруєвас.Аджевін ство-рений на основі багаторічного практичного досвіду викладаннягеометріївшколі,зурахуваннямусіхнагальнихпотребсучасноговчителя. Ми ретельно вивчили досвід авторів чималої кількостіпідручників—яквітчизняних,такізарубіжних—іврахуваливсітіпереваги,якізасукупністюперетворюютьвикладаннягеометріївшколіназахопливутворчупрацю.Нашпідручникнепотребуєвід учителя фундаментальної зміни підходів до викладання, ба-гатогодинноїпраці з опануванняновихдоведень і відборузадач.Але він містить низку цікавих удосконалень традиційних мето-дик,яківжевикликалисхвальнівідгукифахівціві,переконані,зацікавлятьтакож івас.

Маємо честь познайомити вас із деякими особливостями на-шогопідручника.

Підручник«Геометрія»для7класузагальноосвітніхнавчаль-нихзакладів створеновідповіднодовимогновоїнавчальноїпро-грами з математики для загальноосвітніх навчальних закладів.

Основою науково-методичної концепції запропонованого під-ручникаєреалізаціядіяльнісногопідходудонавчаннягеометріїчерезсвідомеформуванняорієнтовнихосновдійізбазовимигео-метричнимиконфігураціями.

Основні поняття планіметрії вводяться на основі наочно-аксіоматичногопідходу.Системааксіом,запропонованавпідруч-нику,ґрунтуєтьсянасистеміаксіомпланіметріїО.В.Погорєлова.Однак з метою уникнення надмірної формалізації навчальногоматеріалуйвикладенняйогоувідповідностідовіковихособливо-стейучнівдеякіаксіоми,інтуїтивнозрозуміліучням,опущеніабоподані у скороченому вигляді. Так, зокрема, в основній частиніпідручника не вводиться поняття півплощини, а замість цього

4

щодо розміщення точок відносно прямої використовуютьсяфор-мулювання«поодинбіквідпрямої»,«порізнібокивідпрямої».

Особливу увагу в підручнику приділено питанню коректно-стійумотивованості введенняновихпонять.Так,навідмінувідбільшості існуючихпосібників,теоремапро існування ієдиністьперпендикуляра до прямої (§ 9) розглядається після доведенняпершої ознакирівності трикутників.Цедозволяє,по-перше,по-казати застосуваннящойно отриманої ознаки рівності для дове-дення інших теорем і розв’язування задач, а по-друге, коректностверджуватинаявністьудовільномутрикутникуєдиноївисоти,проведеноїзданоївершини(п.12.1).Додатковообґрунтовуєтьсятакожкоректністьозначеньвідстанейвідточкидопрямоїтаміжпаралельнимипрямими.

Структура,обсягіспіввідносністьрозділівнавчальногомате-ріалувціломувідповідаютьзатвердженійпрограмі.Однак,зура-хуванням концепції підручника, автори вважали за недоцільнерозглядати базову конфігурацію «паралельні прямі, перетнутісічною»увідривівідпоняттятрикутника.Черезцепитанняпровзаємнерозміщенняпрямихнаплощинірозглядаєтьсявпершомурозділіпідручника,авластивостійознакипаралельнихпрямих—у другому розділі, після вивчення ознак рівності трикутників.Такий підхід є традиційним для вітчизняної школи й дозволяєоптимізувати систему вправ і завдань за темою «Паралельністьпрямих»,уникаючиштучногорозривувуявленніучняміжкон-фігураціями розміщення прямих на площині та властивостямитрикутників.

Побудова тексту підручника відповідає обраній науково-методичній концепції та враховує специфіку першого року на-вчання геометрії як окремого предмета. Підручник складаєтьсяз трьохрозділів, акожнийрозділ— ізпараграфів.Навивченнякожного параграфа залежно від обсягу навчального матеріалуі конкретнихумов відводиться від 1 до 4 уроків. З урахуваннямрозподілунавчальногочасупередбачається,щопротягом І семе-стру(2годнатиждень)учнівивчатимутьматеріалрозділівІіІІ,апротягомІІсеместру (2годнатиждень)—матеріалрозділів ІІі ІІІ. У кожному параграфі виділено основний зміст (означення,аксіоми, теореми й наслідки з них), доповнення та прикладирозв’язуваннязадач.Докожноїаксіомийтеоремиподаноїїназву.Наприкінці кожного розділу міститься підсумковий огляд йогозмістуувиглядітаблиць,якінаочноілюструютьзмістовно-логічні

5

таструктурно-функціональнізв’язкиміжелементаминавчальногоматеріалу.Підручникзавершуєтьсязведенимперелікомосновнихвідомостей курсу і предметним покажчиком, у якому відбитоосновніпоняттяйфакти,щовивчалисяпротягомроку.Крімтого,наприкінцікожногорозділупропонуютьсяконтрольнізапитанняізадачідляпідготовкидоконтрольнихробіт,атакожпосиланняна тести, які можна виконати в онлайн-режимі на сайті http://interactive.ranok.com.ua.Наявністьцихматеріалівдаєзмогуучне-ві самостійно оцінити рівень своєї математичної підготовки; за-питанняізадачімаютьдіагностичнуцінністьісприяютькорекціїзнань. Додаткові задачі до розділів призначені для організаціїінтегрованого повторення й узагальнення вивчених тем, уста-новленнявнутрішніхвзаємозв’язківміжокремимифрагментамикурсу. Така організація матеріалу дозволяє забезпечити опану-вання учнем програмового змісту як під керівництвом учителя,так і самостійно.

Упідручнику реалізовано комплекснийпідхід до диференці-ації навчального матеріалу за видами, фундаментальним спря-муванням і системно творчим фактором. Теоретичний матеріалвибудовано за схемою «означення основних понять — аксіомийтеореми—наслідки—прикладизастосування».Окремемісцевідводиться опорним задачам, що містять додаткові теоретичнівідомості,наякіучнідаліможутьпосилатисябездоведення.Такізадачіподаютьсяяквосновномутекстіпараграфівабовпунктахдля необов’язкового вивчення, позначених зірочкою, так і в за-дачномуматеріалі. Задачі до кожного параграфа розподілено начотири групи. Першу групу складають усні вправи— завданнятеоретичного плану, розгляд яких є проміжним етапом між ви-вченням теорії і розв’язуваннямписьмових задач.Наявність та-кихзадачдозволяєвикористовуватинауроціінтерактивніформироботи.Уперше у вітчизнянійметодиці задачі цього виду систе-матизовановрамкахпідручника,причомубільшістьзапропонова-нихуснихзавдань—авторські.Другагрупазавдань—графічнівправи,якіучніможутьвиконуватияквласноручу зошиті, такі за допомогою комп’ютера. Ці вправи дають наочне уявленняпро базові геометричні конфігурації, що вивчаються, сприяютьрозвиткупочатковихкреслярськихуміньінавичокроботизгра-фічнимикомп’ютернимипрограмами.Наступнугрупускладаютьписьмові задачі, згруповані за трьома рівнями складності: А,БіВ.Зазначимо,щонакожномурівнізавданнядиференційовано

6

зазмістомнавчальноїдіяльності:задачінаобчислення,доведення,побудовутощо.Особливемісцезаймаютьзадачінаготовихкрес-леннях і задачіпрактичногоспрямування (обчисленнявідстанейна місцевості, знаходження геометричних об’єктів із заданимивластивостями тощо). Нарешті, наприкінці кожного параграфавиділено теоретичний матеріал, який необхідно повторити длясвідомогозасвоєннянаступноїтеми,іподанозадачідляповторен-ня. Деякі з цих задач мають пропедевтичний характер, містятьевристичніелементи—так,учнямпропонуєтьсявисловитипри-пущеннящодофактів,якізгодомвивчатимуться,зробитипорів-няльний аналіз геометричних конфігурацій. Обговорення думокучнівзприводурозв’язанняцихзадачможестатипоштовхомдовивченнянової теми.

Розв’язувати всі задачі підручника не обов’язково (а з ура-хуваннямнаявного навчального часу— і неможливо). Задачі докожноїтемисвідомоподановнадлишковійкількості,щоброзши-рититворчіможливостівчителя,сприятиорганізаціїособистісноорієнтованого навчання, диференціації роботи учнів у класі тавдомазурахуванням їх індивідуальнихможливостей ірівняма-тематичноїпідготовки.Крімтого,упідручнику(§21)розглянутотему«Геометричніпобудови»,яканеєобов’язковоюдлявивчен-ня, але, сподіваємося, запропонований матеріал стане у пригодіі вчителю, іучням,якіцікавлятьсягеометрією.

Поряд з основною лінією викладання навчального матеріалувпідручникувиділяютьсячотиридодаткові змістовнілінії.

1) Логічна лініясприяєформуваннюсоціальнихкомпетенційучнівчерезознайомленнязфундаментальнимипоняттямилогікийзаконамиправильногомислення,логічнимиосновамитеоріїар-гументації.Протягомвивченнякурсугеометріївбезпосередньомузв’язкузпоточнимматеріаломподаютьсявідомостіпроозначенняпонять, аналогію, структуру умовних тверджень, способи їх до-веденняіспростування,прямійоберненітвердження,властивостійознаки,діленняйкласифікаціюпонятьтощо.

2) Лінія методики розв’язування задачакцентуєувагуучнівназагальнихіспеціальнихприйомахрозв’язуваннярізнихвидівгеометричнихзадач.Упідручникуокремовиділенометодподвоєн-нямедіанийметоддопоміжноготрикутника,розглядаютьсявидидодатковихпобудов.Особливаувагазвертаєтьсянахідміркувань,які приводять до правильного розв’язку, аналіз уже отриманихрозв’язань,розв’язуваннябагатоваріантних задач.

7

3) Пропедевтична лінія готує учнів до свідомого сприй-няття подальших теоретичних відомостей, розкриває внутрішнівзаємозв’язкиокремихчастинматеріалу,щовивчається.Особливароль у цьому відводиться розділу «Повторенняперед вивченнямнаступногопараграфа»,доякоговключенозадачіпропедевтичногозмісту.Крімтого,чималозадачутемах«Ознакирівностітрикут-ників» і «Властивості й ознаки паралельних прямих» описуютьгеометричніконфігурації, які розглядатимутьсяу8класі в темі«Чотирикутники»,арозділ«Геометричніпобудови»міститьпід-готовчівправидотеми«Вписанійописанімногокутники».

4) Евристична лініязабезпечуєможливістьорганізаціїпроб-лемногонавчання,стимулюваннясамоосвітийзацікавленостіучняв розвитку математичних здібностей. Важливу роль у створеннідодатковоїмотиваціїнавчаннявідіграютьвступнітекстидорозді-лів іокремихпараграфів.Так,вивченнюпершоїознакирівностітрикутників передує створення проблемної ситуації, пов’язаноїзнеобхідністювиділеннярівностейокремихелементівтрикутни-ківдлявстановленнярівностісамихтрикутників.Увагувчителяв«сильнихкласах»привернутьдодатки,вякихподаноматеріалдля поглиблення вивчення курсу, а також пункти підручника,позначені зірочкою. Крім того, наприкінці кожного розділу за-пропонована орієнтовна тематика для учнівських повідомленьі рефератів (як суто математичного, так і прикладного й гума-нітарного спрямувань) і перелік необхідних джерел інформації(утомучислі і в Інтернеті).

Автори підручника приділили значну увагу гуманітарнійскладовій навчання геометрії. Кожному розділу передують епі-графи— висловлювання про геометрію видатних діячів світовоїнаукийкультури.Одночаснозуведеннямновихтермінівнаполяхподаютьсямовознавчі довідки про їх походження. В історичнихдовідкахдокожногорозділувідображеноеволюціюнауковихідей,рольпровіднихучених,зокремаукраїнських,установленнісучас-ної геометрії тарозвиткуметодики її викладання.Виховнурольу навчанні покликані відіграти також реферати й повідомленняучнів, темиякихпропонуютьсявпідручнику.

Ілюстративний матеріал підручника забезпечує реалізаціюнауково-методичної концепції через унаочнення базових геоме-тричнихконфігурацій.Довсіхрисунків,щосупроводжуютьтео-ретичнийматеріал,подаютьсяпідписизістислимпереказомзміс-ту геометричної конфігурації. У задачах на готових кресленнях

рисуноквиступаєяксамостійнеджерелоінформації—цесприяєформуваннюнавичокучнівщодоформалізаціїумовгеометричнихзадач. Ілюстративнийапараторієнтуванняпозбавленийнадлиш-ковоїумовності,зрозумілийдлякористувачівпідручникаісприяєнавчаннюучнівосноворганізаціїпраці.

Підручник є частиною навчально-методичного комплекту«Геометрія-7», до якого включено також збірник самостійнихі контрольних робіт і методичний посібник для вчителів, якийвизаразтримаєтевруках.

Сподіваємось,щоцякнига,створенаталановитимметодистомС. П. Бабенко, допоможе вам у кропіткій повсякденній праці.Зі свого боку, аби краще пояснити особливості та переваги на-шогопідручника,мистворилидокожногопараграфа«Методичнікоментаріавторівпідручника»,яківизнайдетенасторінкахцієїкниги.Мичекаємонавашівідгукийпобажання.

Бажаємовамуспіхів!

З глибокою повагою,автори підручника «Геометрія. 7 клас»

9

КАлЕНДАРНИЙПлАНЗГЕОМЕТРІїДля7КлАСУ

70год; І семестр—32год—2годнатиждень; ІІ семестр—38год—2годнатиждень

Номер уроку

тема урокуКількість

годин

тема 1. елементарні геометричні фігури та їхні властивості. Взаємне розміщення прямих на площині

15

1 Точка іпряма.Властивості точок іпрямих 1

2 Промінь 1

3,4Відрізок.Вимірюваннятавідкладаннявід-різків.Відстаньміждвоматочками

2

5,6Кут.Вимірюваннятавідкладаннякутів. Бісектрисакута

2

7,8 Паралельніпрямі 2

9,10 Суміжнікутита їхнівластивості 2

11 Вертикальнікутита їхнівластивості 1

12,13 Перпендикулярніпрямі.Кутміжпрямими 2

14 Заключнийурокзатемою 1

15 Тематичнаконтрольнаробота 1тема 2. трикутники та їх рівність 1816 Трикутник ійогоелементи 1

17Рівність геометричнихфігур.Рівністьтри-кутників

1

18,19Першаознакарівності трикутниківта її за-стосування

2

20,21Перпендикулярдопрямої.Відстаньвідточ-кидопрямої

2

22–24Другаознакарівності трикутниківта її за-стосування

3

25,26Видитрикутників.Рівнобедренийтрикут-ник,йоговластивістьтаознака

2

27 Медіана, бісектриса і висотатрикутника 1

28,29Властивості таознакирівнобедреноготри-кутника,пов’язані змедіаною,бісектрисоюівисотою

2

Номер уроку

тема урокуКількість

годин

30,31Третяознакарівності трикутниківта її за-стосування

2


33 Тематичнаконтрольнаробота 1тема 3. Паралельні прямі. Сума кутів трикутника 1834,35 Кути,утвореніприперетинідвохпрямих

січною.Ознакипаралельностіпрямих2

36–38 Властивостікутів,утворенихприперетиніпаралельнихпрямихсічною

3

39–42 Сумакутівтрикутника.Зовнішнійкуттри-кутника

4

43–46 Прямокутні трикутники.Ознакитавласти-востіпрямокутнихтрикутників

4

47–49 Співвідношенняміжсторонами ікутамитрикутника.Нерівністьтрикутника

3


51 Тематичнаконтрольнаробота 1тема 4. Коло і круг 1352–54 Коло ікруг 3

55–57 Дотичнадокола, її властивістьтаознака 3

58–60 Геометричнемісцеточок 2

61,62 Описане і вписанеколатрикутника 3


64 Тематичнаконтрольнаробота 1Повторення 6

65 Основні геометричніфігури 1

66 Рівністьтрикутників 1

67 Паралельніпрямі.Рівнобедренийтрикутник 1

68 Сумакутівтрикутника.Зовнішнійкуттри-кутника

1

69 Підсумковаконтрольнаробота 1

70 Заключнийурок 1

Закінчення таблиці

11

розДіл I

ЕлЕМЕНТАРНІГЕОМЕТРИЧНІФІГУРИТАїХНІВлАСТИВОСТІ.ВЗАЄМНЕРОЗМІщЕННя

ПРяМИХНАПлОщИНІ(15ГОД)

§ 1 Геометричні фіГури. точка, пряма, промінь (2 год, уроки № 1, 2)

Коментар для вчителя

Урезультатівивчення§1учнімають:знати: предмет вивчення геометрії; предмет вивчення планіметрії; поняття най-

простіших фігур у геометрії; поняття «означення»; означення променя та доповняльних променів; поняття «аксіома»; аксіоми проведення прямої та розміщення точок на прямій;

уміти: відтворювати термінологію, що описує взаємне розміщення точок і пря-мих, формулювання аксіом проведення прямої та розміщення точок на прямій; позначати точки і прямі на рисунку; описувати геометричну ситуацію, зображену на рисунку й, навпаки, за описом геометричної си-туації виконувати рисунок та користуватись найпростішим креслярським приладдям; позначати й розрізняти на рисунку промені; виконувати рисунок за описом геометричної ситуації з використанням уже вивченої термінології.

методичні реКомендації до вивчення матеріалу

1. Вступнабесідаможебутипроведена затакимпланом.1) Зародженнягеометрії.2) ГеометріяЕвкліда.3) З історіїрозвиткугеометрії, будова геометрії.4) Найпростіші геометричніфігури.5) щотакеаксіома.

Увступнійбесідіможнавикористатигеометричнізнання,які учні здобули, навчаючись у 1–6 класах, а також зверну-тисядоїхньогожиттєвогодосвіду.Требатакожскористатисядодатковоюлітературою.

2. Точка іпряма.Привикладенніцьогопитаннясліддатиучнямуявлення

про те, що являють собою точка і пряма, указати на моделіцихфігурунавколишньомусвіті,апотімнагадати,якзобра-жуються та позначаються пряма і точка (слід указати на те,

12

що зазвичай прямі позначаються маленькими латинськимилітерами,аточки—великими).

3. Властивості точок іпрямих.1) Властивістьналежності точок іпрямих.2) Аксіомапроведенняпрямої.3) Аксіомарозміщенняточокнапрямій.

Нові терміни: «лежить», «проходить через точки», «пе-ретинатися», «лежить між», «лежить по один бік, по різнібоки»—слідуводитиодночаснозвиконаннямрисунка.Прицьомуслідсформулюватийаксіомупроведенняпрямої,йак-сіому розміщення точок на прямій, зробити висновки і ско-ристатисятабл.1«Точка іпряма».

Таблиця 1точка і пряма

Аксіома проведення прямоїАксіома розміщення точок

на прямій

Через будь-які дві точки мож-на провести пряму, і до тогожтількиодну.

A B c

Прямаc—єдинапрямадляточокA і B, яку можна провести черезці точки

Із трьох точок на прямій однаітількиодналежитьміждвомаіншими.

A B C a

ТочкаBлежитьміжточкамиA іC.СередточокA,B іC тількиточкаBлежитьміждвома іншимиточками

4. Длязакріпленнявведеноїтермінологіїтаповторенняаксіомипроведенняпрямоїйаксіомирозміщенняточокнапрямійданозавдання.

завдання. Зарис.1дайтевідповідінатакі запитання.а) НаякихпрямихлежитьточкаA?точкаB?точкаC?точкаD?б) які прямі проходять через точ-

куA?B?C?D?в) Вякійточціперетинаютьсяпря-

міa іb;b іc;c іm;b іm?

A

Рис.1

D C

Bm

a

bc

г) В якій точці перетинаються трипрямі?Назвітьціпрямі.

д) яка точка на рисунку лежитьміж двома іншими? Чи можнасказати,щоточкаAлежитьміжточкамиB іD?

13

5. Уявлення про поділ прямої на частини будь-якою її точ-кою. Означення променя, елементи променя. Доповняльніпромені.

На рівні інтуїтивного сприйняття з курсу 5 класу учнямвідоміпоняттяпроменяідоповняльнихпроменів.Заразціпо-няття вводяться з використанням аксіоми розміщення точокнапрямій (табл.2).

Таблиця 2Промінь

1 Означення,позначення

2 Властивістьналежності точок

A C

a

OB

Точка O лежить на пря-мій a, точки A, B, C лежатьпоодинбіквідточкиO,томуточки A, B, C належать про-менюOA

3 Доповняльніпромені

AB

O OA і OB — доповняльніпромені, бо:1) O— їх спільнийпочаток;2) OA і OB — різні промені

однієїпрямої

6. Означеннятайогорольу геометрії.Говорячипроозначеннятайогорольугеометрії,бажанона-

вестиприкладирізнихозначень,якіучнямзнайоміз5–6кла-сів, та організувати роботу з означеннями за такою схемою:послідовновилучаючизозначеннятечиіншеслово,підвестиучнів до висновку,що міститься в п. 1.4 підручника: «Важ-ливоприділятиувагукожномусловувозначенні:тількитакможнапо-справжньомузрозумітигеометрію».

Методичні коМентарі авторів підручникаПоняттяточки,прямоїтапроменядобрезнайомісемикласни-

камізпопередньогокурсуматематики,томуосновнуувагупідчасвивченняцієївступноїтемислідприділитиформулюваннямаксіомі найпростіших наслідків із них, новому поняттю «доповняльніпромені», а також суто логічним моментам (тлумачення понять

14

«аксіома»та«означення»).Звертаємоувагу,щотермін«аксіома»вперше вводиться вже в тексті вступу до розділу I, а самі аксіо-ми, наведені в параграфі, подаються з назвами. Автори свідомовідмовилисявідпершоїчастиниПогорєловськоїаксіоми«якабнебулапряма,існуютьточки,якіналежатьційпрямій,іточки,якіненалежать їй»—цеформулюванняподаневДодатку1,аленевключеневосновнучастинупідручника,оскількиданетвердженнявидається учням очевидним, тому краще відпрацювати його наконкретнихприкладах(п.1.1).Зточкизорулогіки,цетвердженняузгоджуєзастосуваннящодоточокіпрямихлогічногозакону«ви-ключеноготретього»,алепояснюватицесемикласникам,нанашудумку,передчасно.Крімтого,авторисвідомоуникалитеоретико-множинного терміна«приналежність» (вінпотребуєдодатковогопояснення, яке на початковому етапі курсу несвоєчасне), але незаперечують, якщо слова «належати», «міститися» та позначен-ня A a∈ вживатимуться вчителями як синонімиформулювання«лежатина»,прийнятоговпідручнику.

Вводячи для розміщення точок терміни «лежати між», «ле-жатипоодинбік,порізнібоки»,слідзвернутиувагуучнівнате,що такі формулювання застосовуються лише для точок однієїпрямої.

Особливуувагузвертаємонате,щоавторивозначеннідопов-няльних променів використовують слово «різні», яке в даномувипадкумаєпринциповуважливість.Аналізуючисуттєвістьцьогословавозначенні,можнарозглянутиконтрприклад: точкиB іCлежать по один бік від точкиA, тобто променіAB іAC не є до-повняльними.

Розв’язуючи в класі задачі до § 1, слід особливо підкреслю-ватинеобхідністьобґрунтуваннякожногокрокуміркуваньчерезпосилання на відповідні означення та аксіоми. Окремо скажемопрооформленнярозв’язань: авторипереконані,щокороткийза-писумовзадачіувигляді«Дано—довести»неєєдиноприйнят-ним (що особливо яскраво видно на багатоваріантних задачах),ісхиляютьсядоописаннярозв’язаньутомувигляді,вякомувониподаються в підручнику. Але форма запису «Дано — довести»на початковому етапі є беззаперечно корисною: вона допомагаєучневірозтлумачитисловесніформулюваннямовоюматематичнихрівностей,економитьнавчальнийчас,томуобов’язковомаєбутипоказанаучням,особливов задачахнаобчислення.

планування вивчення матеріалуНавивченняматеріалу§1відводитьсядвауроки.

15

на першому уроці: ; у класі: провестивступнубесідувідповіднодоп.1.1–1.2;вивчити

видивзаємногорозміщенняточокіпрямихтааксіоми,щоописуютьцівиди;розв’язативправи:

[2]:№ 1–5 усно;№ 9 графічно;№ 11, 13, 18, 20 пись-мово;додатково№26;

вдома: [2]:§1,п.1.1,1.2;контрольнізапитання1–3нас.56;розв’язативправи:

[2]:№12,14,19,21письмово; додатковузадачу (с.17)письмово.

на другому уроці: ; у класі: виконати перевірку домашнього завдання у формі ма-

тематичного диктанту (с. 17); вивчити зміст поняття«означення»,означенняпроменятадоповняльнихпро-менів;розібратизадачу,розв’язанувп.1.3підручника;розв’язативправи:

уснівправи (с.16–17); [2]:№10графічно;№15,16,22,24письмово;додатко-

во№29; вдома: [2]:§1,п.1.3,1.4;контрольнізапитання4–5нас.56;

розв’язативправи: [2]:№6–8усно;№17,23,25письмово;№30наповто-

рення.

вКазівКи до розв’язування задач

При розв’язуванні як усних, так і графічних та письмовихвправслідуженапершомууроціпривчатиучнівдопопередньогоздійснення певних послідовних міркувань, які ґрунтуються назмістірозглянутихпонятьтааксіом.Наприклад:

[2]: № 11.ПозначтеточкиBіC.Проведітьчерезнихпряму.Про-ведітьщеоднупрямутак,щобвонапроходилачерезточкуB,аленепроходилачерезточкуC.Скількиспільнихточокмаютьціпрямі?

Ро з в ’ я з ання

Рис.2

A

C

BПозначимоточкиB іC.Зааксіомоюпро-веденняпрямої,черезцідвіточкиможнапро-вестипряму, ітількиодну(рис.2).Візьмемоточку A, що не лежить на прямій BC. Тодічерез точки A і B, за аксіомою проведенняпрямої,можнапровестипрямуAB,дотогожєдину.Отже,пряміABіBCмаютьоднуспіль-нуточкуB.

16

усні вправи ;(Рисункизаздалегідьпідготовленонадошці.)

1. Нарис.3 зображенотрилінії:пряму,кривуталаману.

A

B

С

D E

F

M

K

Рис.3

Назвітьточки,вякихперетинаються: а)прямайкрива; б)пряматаламана; в)криваталамана; г)усі трилінії.

2. Зарис.4назвіть: а)прямі,щонепроходятьчерезточуC; б) прямі, на яких точкаO лежить, а точкаD не лежить; в) прямі, що перетинаються в точці B, але не проходять

черезточкуD; г)довільні триточки,якінележатьнаоднійпрямій.

3. Зарис.5назвіть: а) точки,щолежатьміжточкамиB іD; б) точки,міжякимилежитьточкаM; в) точки,проякінеможна сказати,щовонилежатьміж

двома іншимиданимиточками; г) паруточок,якілежатьпоодинбіквідточкиP;порізні

бокивіднеї.

Рис.5Рис.4

O C

B

A

D

A

B

C

DF

R

M N

P

Q

4. Чиєправильнимтвердження:«Черездвірізніточкизавждиможна провести півпряму, причому тільки одну»? Відповідьпоясніть.

17

5. Нарис.6укажіть:а) усіпроменібезвинятку;б) промені з початковою точ-

коюF;

Рис.6

C BA

D

F

G

в) промені з початковою точ-коюA;

г) паридоповняльнихпроменів;д) промені,щозбігаються.

6. НапроменіABпозначеноточкуC.ЧиможеточкаAлежатиміжточками B і C? Чи може точка B лежати між точками A і C?

7. ПроменіDEіDF—доповняльні.яказточокD,EіFлежитьміждвома іншими?

математичний диктант ;1. Проведіть пряму, використавши аксіому проведення прямої,

тапозначте її.2. Проведітьпрямуa,позначтеточкуC,якалежитьнапрямійa,

точкуD, яка не лежить на прямійa.Проведіть пряму b,щопроходитьчерезточкуDіперетинаєпрямуa.ПозначтеточкуперетинупрямихлітероюF.

3. ПозначтенапрямійaточкиM,S іKтак,щобточкаKлежа-ламіжточкамиM іS.ПозначтенапрямійточкуA так,щобточкиS іK лежали по один бік, а точкаM— по інший біквід точкиA.Прочитайтеназви точокпослідовно, починаючизточкиM.Запишітьутворене слово.

4. Назвітьяку-небудь геометричнуфігуру.5. Виконайте зображеннятапозначтеточкуA.6. Накресліть іпозначтепрямуb.7. Скількиспільнихточокмаютьдвіпрямі,щонеперетинаються?8. Скільки спільних точок мають дві прямі, що перетинаються?9. НакреслітьпрямуaтапозначтенанійточкиA,B,Cтак,щоб

точкаC лежаламіжточкамиA іB.

зауваження: наведенізавданняматематичногодиктантуєорі-єнтовними,томузалежновідрівняпідготовкиучнівучительможезапропонуватиїмвиконатидиктантневповномуобсязі.

Додаткова задача ;• Скількирізнихпрямихможутьзадаватиточки:

а)A,B,C;б)A,B,C,D;в)A,B,C,D,O?Відповідіпоясніть,проілюструвавши їхрисунками.

18

§ 2 ВіДрізок. ВимірюВання та ВіДклаДання ВіДрізкіВ. ВіДстань між ДВома точками (2 год, уроки № 3, 4)


Урезультатівивчення§2учнімають:знати: зміст понять відрізка, рівних відрізків, середини відрізка та довжини

відрізка, зміст аксіоми вимірювання відрізків; зміст аксіоми відкладання відрізків та сфери її застосування; зміст поняття відстані між двома точками та властивостей рівних відрізків і властивостей порівняння відрізків;

уміти: розпізнавати на готовому рисунку відрізки (користуючись означенням) та за готовими рисунками робити записи, що відповідають аксіомі ви-мірювання відрізків, і навпаки; розв’язувати найпростіші задачі на за-стосування аксіоми вимірювання відрізків разом із вивченою раніше аксіомою розміщення точок на прямій; відтворювати аксіому відкладання відрізків; застосовувати названу аксіому для розв’язування відповідних задач; застосовувати властивості порівняння відрізків разом з аксіомою вимірювання відрізків для розв’язування задач на встановлення вза-ємного розміщення точок на прямій.


1. Означеннявідрізка,йогоелементитапозначення.Означеннярівнихвідрізків.Серединавідрізка.Довжинаякміравідрізка.Одиницівимірюваннявідрізків.

Насправдізнавчальнимматеріалом,викладенимуп.2.1–2.3,учнізнайоміщез5класу.Томуосновнезавданнявчителяполягаєв тому,щобвикластицей, знайомийучням,матеріаліздостатнімрівнемстрогості,зпосиланнямнавивченийранішетеоретичний матеріал (аксіому розміщення точок на прямій).Висновки,отриманівходівивченняматеріалу,учительдемон-струєувиглядітаблиці«Відрізки».Уявленняпроможливістьсуміщення або несуміщення відрізків бажано надати за допо-могоюнаочноїдемонстрації(ізвикористаннямпрозороїплівки)відповіднодоопису,поданоговпідручнику.

2. Аксіомавідкладаннявідрізків.Для мотивації вивчення аксіоми відкладання відрізків

можназапропонуватиучнямтакузадачу.задача. На промені OA відкладено відрізки OA = 8 см

і OB =1 2, дм.яка з точокO,A,B лежитьміждвома іншими?

19

Післярозв’язування запропонованої вчителем задачіціл-ком логічним є формулювання відповідної аксіоми (відкла-даннявідрізків).Теперстаєзрозумілимпитаннязастосуванняцієїаксіоми:дляобґрунтуванняпорівняннявідрізків(яквід-кладаннявідрізківвідпочатковоїточкиодногойтогосамогопроменя)безнеобхідності суміщативідрізки.

Говорячипропрактичнезастосуваннягеометричнихвідо-мостей,логічноввестипоняттявідстаніміждвоматочкамиякдовжинивідрізка зкінцямиудвохданихточках.

Розв’язання задачі, наведене на с. 17 підручника, такожєважливимелементомнавчальногоматеріалу,боєзразкомза-стосуванняподаниху§1,2аксіомдляобґрунтуванняміркувань.

методичні Коментарі авторів підручниКа

Поняття«відрізок»,«довжинавідрізка»,«серединавідріз-ка»добрезнайоміучнямщезпочатковоїшколи,томузавдан-ня вчителя— звернути увагу на необхідність систематизаціїнаявнихзнань,наданняїмпевноїнауковоїстрогості.Звертаємоувагунате,щовнашомупідручникукінцівідрізкаєточкамицьоговідрізка.Такеозначення,по-перше,дозволяєуникнутинепорозуміньщодоперетинувідрізказпрямою,якапроходить

ТаблицяВідрізки

1 Означення,позначення

A B ВідрізокAB

2 Рівнівідрізки

C D

M N CD MN= , бо суміщаютьсяпринакладанні

3 Серединавідрізка

D FE ТочкаE—серединавідрізка DF, DE EF=

4 Аксіомавимірювання

A Ba ВідрізокABмаєдовжинуa; a > 0 , AB a=

A BC ТочкаC лежитьнавідрізкуAB, томуAC CB AB+ =

20

через один з його кінців, а по-друге, узгоджує геометричнеозначеннявідрізказозначеннямчисловоговідрізка(проміж-ку)вкурсіалгебри.

Вводячи поняття рівності відрізків, слід звернути ува-гу на те, що означення рівності геометричних фігур черезнакладання є основним у даному підручнику. Поняття на-кладання інтуїтивно зрозуміле учням і може вводитися задопомогою моделей (накладання відрізків, накреслених напрозорійплівці,перегинпаперовогоаркушадлявизначеннясерединивідрізка).Таксамочерезнакладаннявводимоіпо-рівняннявідрізків.

Підчасвведенняпоняттядовжинивідрізкаособливослідвиділититакімоменти:1) довжина є кількісною характеристикою (мірою) відрізка

(провестианалогіюзмірамиваги,часутощо);2) введення поняття довжини відрізка спирається на відпо-

віднуаксіому;3) існуєпрямийзв’язокміжвимірюваннямтанакладанням

відрізків—завдякицьомупорівняннявідрізківчерезна-кладанняузгоджується зпорівнянням їхдовжин;

4) через довжину відрізка визначається відстань між двоматочками, а аксіоми проведення прямої та відкладаннявідрізків гарантують однозначність (коректність) такоговизначення.Розв’язуючи задачі цього параграфа, особливе місце від-

водимо відпрацюванню фактів, які очевидно випливають ізвивченихаксіомтаозначень,алеявнонесформульованівтек-стіпідручника (наприклад,такого:«Триточкиоднієїпрямоївизначаютьтривідрізки,причомунайбільшийізнихдорівнюєсумідвох інших»).

планування вивчення матеріалуНавивченняматеріалу§2відводитьсядвауроки.

на першому уроці: ; у класі: вивчитиозначеннявідрізка,означеннярівнихвідрізків

та середини відрізка, зміст поняття довжини відрізка;розв’язативправи:

усні вправи 1–4 (с. 22) (завдання 1 — на повторенняматеріалу,вивченогонапопередніхуроках);

[2]:№ 39 графічно;№ 41 (а), 43, 48 (а), 49 письмово; додатковузадачу (с.23)письмово;

21

вдома: [2]:§2,п.2.1,2.2,2.3(першачастина);контрольніза-питання6–9нас.56;розв’язативправи:

[2]:№32–34усно;№41 (б),42,44,52 (а)письмово.

на другому уроці: ; у класі: перевіритидомашнєзавдання,провівшиматематичний

диктант(с.23),вивчитизмістаксіомивідкладаннявід-різків;розібратизадачу,розв’язанувп.2.3підручника;розв’язативправи:

уснівправи5–9 (с.22–23); [2]:№45,47,51,53,55,57,59письмово; вдома: [2]: §2;п.2.1–2.3;контрольні запитання1–9на с.56;

розв’язативправи: [2]: № 35–38 усно; № 31, 46, 52 (б), 56, 58 письмово;

№61наповторення.

вКазівКи до розв’язування задач1. Задачіна застосуванняаксіомивимірюваннявідрізків.

Названий вид задач є першою спробою аргументовано-го (з посиланням на вивчені аксіоми) та алгоритмічногорозв’язування геометричних задачна обчислення.Томупри-кладрозв’язаннязадачтакоговидубажанозаписативзошитиучнів звідповіднимкоментарем.

Під час розв’язування задач потрібно вимагати від учнівміркувань,якіприводятьдозастосуванняаксіомивимірюван-нявідрізків,асаме:якщооднаточка(A)зтрьохточок(A,B,C)прямоїлежитьміждвомаіншими,тоцяточка(A)належитьвідрізку з кінцями у двох інших точках (B іC), отже, вико-нуєтьсяаксіомавимірюваннявідрізків(асаме: AC AB BC+ = ,тобтонайбільшийізтрьохвідрізків,щоутворилися,дорівнюєсумідвохінших).Томудалі,ужевиходячизумовзадачі,абопідставляємо відомі величини й виконуємо обчислення, абоскладаєморівняння.

2. Надругомууроцівпершерозглядаєтьсязадача,щопередбачаєдваваріантирозв’язаннязалежновідвзаємногорозміщенняточокнапрямій,томудоцільнопроаналізуватизапропонованевпідручникурозв’язанняцієї задачі ([2], с. 17).

3. Вправи № 45, 51 є вправами на закріплення способу дій,розглянутого у вищевказаній задачі;№ 47, 53— вправами,розв’язування яких передбачає комплексне застосування якаксіоми вимірювання відрізків, так і аксіоми відкладаннявідрізківразом ізвластивістюпорівняннявідрізків.

22


1. Чиєправильнимиподані твердження?а) Через точкуплощиниможнапровестинеменшевід1000

прямих.б) Маючитриточкиплощини,завждиможемопровеститри

різніпрямі.в) На кожній прямій можна позначити принаймні 1000 точок.г) Ізтрьохточокнапрямійпринаймніодналежитьміждво-

ма іншими.д) Двірізніпрямінаплощиніможутьматихочабоднуспільну

точку.2. Зарис.1,2опишітьвзаємнерозміщенняточокідайтевідпо-

відіна запитання.

AB

C

Рис.1

AB

C

Рис.2

D

а) Скількивідрізківутворилосьнарисунку?б) якийзутворенихвідрізківнайбільший?Чому?

3. Користуючисьрис.3,розв’яжіть задачі.а) Дано: AB CD= .Доведіть,що AC BD= .б) Дано: AC BD= .Доведіть,що AB CD= .

4. Чидійсно AC BC AB= + (рис.4)?А Так Б Ні В Встановитинеможливо

A B C D A BC

Рис.3 Рис.4

5. Відомо, що MN MK KN= + . який з варіантів а–в на рис. 5відповідаєційумові?

M N K P M NK

a

M KN

б в

Рис.5

6. Скількивідрізківзаданоїдовжиниможнавідкластинаданомупроменівідйогопочаткової точки?

7. Скількивідрізківзаданоїдовжиниможнавідкластинаданійпрямійвідданої точки?

23

8. Точки A, B і C лежать на промені AM, AB AC> . Чи можеточкаCлежатиміжточкамиA іB?ЧиможеточкаAлежатиміжточкамиB іC?

9. Точки A, B і C лежать на одній прямій, AB AC> . Чи можеточкаCлежатиміжточкамиA іB?ЧиможеточкаAлежатиміжточкамиB іC?

математичний диктант ;зауваження: тут і далі дані, наведені у квадратних дужках,

призначенідлядругоговаріанту.

1. ТочкаC лежитьна відрізкуAB.Нехай AC = 4 [7] см, AB = 9 [10] см.якадовжинавідрізкаBC?

2. Чи може довжина відрізка виражатися дробовим додатним[цілимвід’ємним]числом?

3. Чиможедовжинавідрізкадорівнюватинулю[числу0,0001]?4. Позначте точки M, P і K так, щоб справджувалася рівність

MK PK MP+ = MP KP MK+ =[ ] .Додаткова задача ;

• На прямій позначено точки A, B, C так, що AB =17 см,AC =11 см, BC =6 см.яказцихточоклежитьміждвомаін-шими?Чизмінитьсявідповідь,якщо AB =17 см, AC =11 см,BC =28 см?

§ 3 кут. ВимірюВання та ВіДклаДання кутіВ. Бісектриса кута (2 год, уроки № 5, 6)


Урезультатівивчення§3учнімають:знати: означення кута, елементів кута; позначення кута; означення внутрішньої

області кута, променя, що ділить даний кут на два кути, розгорнутого кута, рівних кутів, бісектриси кута; аксіоми вимірювання та відкладання кутів; види кутів; зміст поняття «аналогія».

уміти: відтворювати означення вказаних понять та аксіом; описувати готові рисунки, спираючись на названі поняття, та навпаки, за даним описом робити відповідний рисунок; без допомоги вимірювальних інструмен-тів визначати вид кута (за його градусною мірою); оперувати вивче-ними поняттями для обґрунтування дій під час розв’язування задач на знаходження градусної міри кутів; виконувати побудову кутів та їх вимірювання із використанням лінійки, транспортира та косинця.

24

методичні реКомендації до вивчення матеріалуВивченняновогоматеріалу§3можнапровестизатакимпланом.

1) Означеннякута.Елементикута.Позначеннякутів.2) Внутрішня область кута.Промінь,що ділить кут на два кути.3) Розгорнутийкуттайоговнутрішняобласть.4) Рівністькутів.Бісектрисакута.5) Вимірюваннякутів:одиницівимірювання,аксіомавимірювання.6) Аксіомавідкладаннякутів,порівняннякутівзаградусноюмірою.7) Видикутів.8) Поняттяаналогії в геометрії.

Таксамо,якіпоняттявідрізка,поняттякутанаінтуїтивномурівнізнайомеучнямщез5класу.Томуосновнезавданняучите-ля—спираючисьназнанняучнівтавикористовуючиприйомана-логії,датидостатньострогіматематичніформулюваннявсіхперелі-ченихматематичнихпонять.Прицьомуроботуучніворганізуватиякпрактичну(виконаннязавдань1–4—див.нижче).Висновкамидо кожного із завдань і будуть зазначені в темі уроку поняття.

завдання 1. Візьміть довільну точку O та побудуйте два до-повняльних промені OA і OB. Потім візьміть довільну точку Cта побудуйте двапроменіCM іCN,щоне є доповняльними.щоспільноговутворенихгеометричнихфігурах?Зякихгеометричнихфігурскладаютьсяутвореніфігури?Зробітьвисновок.

(Учительразомзучнямиформулюєозначеннякута,йогоеле-ментівтавнутрішньоїобластікута.)

завдання 2. (Кожній парі учнів роздано набір пронумерова-них паперових моделей кутів— різної градусної міри та різнихза розмірами.) Порівняйте кути, моделі яких роздано. Знайдітьі вкажіть середзапропонованихмоделейкутів:

а) рівні; в) найбільший;б) нерівні; г) найменший.Поясніть, які дії ви виконували при цьому. Зробіть висновок.(Учитель разом з учнямиформулює означення рівних кутів,

атакожбісектрисикута,можливо,властивістьпорівняннякутівзадопомогоюнакладання.)

завдання 3. (Робота з тими самими паперовими моделямикутів.)якимще(іншим,ніжзастосованийузавданні2)способомможнаперевірити,чиє середкутів:

а) рівні; в) найменший?б) найбільший;якуодиницювимірюванняіякийвимірювальнийінструмент

визастосовувалидляцьогоу5класі?Зробітьвисновок.

25

(Учительразомзучнямиформулюєзмістпоняттявимірюваннякутівтааксіомивимірюваннятавідкладаннякутів.)

завдання 4. (Робота з моделями.)Порівнявши градусні мірикутів,поділітьїхначотиригрупи(заградусноюмірою).Пояснітьсвійвибір.Зробітьвисновок.

(Учитель разом з учнями робить висновок щодо видів кутівзаградусноюміроютаформулюєвластивостіпорівняннякутівзаградусноюмірою.)

Післяцьогослідпродемонструватиучнямузагальненутабл.1«Кути».

Таблиця 1Кути

1 Означення, елементиA

O B

Промені OA і OB виходятьіз точкиO, томуутворився AOB ,O—вершинакута;OA і OB —стороникута

2 РівнікутиA

O B

C

O D

AOB COD= , бо суміщаютьсянакладанням

3 Бісектрисакута

A

OB

C

ПроміньOC виходить ізвер-шиниOкутаAOB і ділитьйогонадвакутитакі,що∠ = ∠AOC COB , томуOC—бісектрисакутаAOB

4 АксіомавимірюванняA

O B

Ca

КутAOBмає градуснуміру α ;α > 0; AOB = α .ПроміньOC ділитькутAOBнадвакутиАOC іСOB, тому AOB BOC AOB+ =АOC AOB BOC AOB+ =

5 Видикутів:розгорнутий

OA B

180°

прямий

O

A

B

90°

гострий

O

A

B

тупий

O

A

B

26


Введення основних понять, пов’язаних із кутами, спи-рається на ту саму логічну схему, яка вже застосовуваласядля відрізків.Учительмає звернути увагу учнів на відповід-ність (аналогічність) цих понять стосовно відрізків і кутів(табл.2):

Таблиця 2

Відрізки Кути

Кінцівідрізка Стороникута

Точкаділитьвідрізокнадвавідрізки

Проміньділитькутнадвакути

Рівнівідрізкисуміщаютьсянакладанням

Рівнікутисуміщаютьсяна-кладанням

Серединавідрізка Бісектрисакута

Довжина (міра)відрізка Градуснаміракута

Аксіомивимірюваннятавід-кладаннявідрізків

Аксіомивимірюваннятавід-кладаннякутів

Бажано, щоб таку таблицю учні створювали самі під ке-рівництвом учителя — це допоможе успішному засвоєннюпоняття«аналогія» (п.3.4).

Зауважимо,що авторипідручникарозглядають«каркас-ні»кути(тобтотакі,уякихвнутрішняобластьнеєчастиноюкута—поняттяплоскогокутавводитьсяу8класі) івикори-стовують формулювання «промінь ділить кут на два кути»,свідомовідмовившисявідформулювання«проміньпроходитьміж сторонами кута», яке, на нашу думку, автоматично непередбачає,щопроміньвиходитьізвершиникута.Звертаємоособливу увагу на те, що поняття півплощини в основнійчастині підручника не вводиться (його можна знайти в До-датку 1), а замість відкладання кута «у задану півплощину»кутвідкладається«узаданийбіквідпрямої».

Під час опрацювання задач слід окремо підкреслюва-ти аналогії з відрізками — можна навіть запропонуватиучнямудомазнайтивсіпарианалогічнихзадач ізпарагра-фів 2 і 3.

27

планування вивчення матеріалу

Навивченняматеріалу§3відводитьсядвауроки.

на першому уроці: ; у класі: перевірити домашнє завдання в ході самостійної ро-

боти аналогічного змісту (див. нижче); вивчити озна-чення кута, рівних кутів та бісектриси кута; повтори-ти та узагальнити відомості про вимірювання кутів;вивчити аксіому вимірювання кутів та сформулюва-ти означення різних видів кутів (за градусноюмірою);розв’язативправи:

уснівправи (с.27–28); [2]:№70графічно;№72 (а),76 (а)письмово; вдома: [2]:§3,п.3.1–3.3;контрольнізапитання10–15нас.56; [2]:№63,64усно,№71графічно;№72(б),76(б)письмово.

на другому уроці: ; у класі: розв’язативправиназастосуванняаксіомвимірювання

тавідкладаннякутів: [2]:№74,75,77,79,81,84письмово; логічнузадачу (с.28); вдома [2]: §3;п.3.3,3.4;розв’язативправи: [2]: № 78, 80, 83, 85 письмово; № 86 на повторення.

самостійна робота ;Запосібником [3]:Самостійна робота 3. (Рівень завдань учитель визначає, ви-

ходячизрівнянавчальнихдосягненьучнівкласу.)


1. Чи можна кут, зображений на рис. 1, позначити так: AOM;AMO;AMB;OMA;MOA;AMK;OMK;ABO;KMB;OKA?

A

MO

B

K

Рис.1

A M

C

B K

A

CB

D

E

Рис.2

а б

28

2. Назвітьусікути, зображенінарис.2,а,б.3. Назвітьвісімкутів, зображенихнарис.3.4. як,маючитількиаркушпаперудовільноїформи,побудувати

моделькутаградусноюмірою 180° ; 90° ; 45°?Покажітьце.5. Нарис.4:

а) назвітьусікути;б) назвітьнайбільшийкут;в) знайдіть рівні кути, якщо AC — бісектриса кута BAD

іAD—бісектрисакутаCAE.

Рис.3 Рис.4

T

S

O R

A

E

C

B

D

6. НапрямійпозначеноточкиAіB.якіфігуриприцьомуутво-рилися?

7. З точки O проведено два промені: OA і OB. яка фігура прицьомуутворилася?

8. НавідрізкуABобраноточкуC.Порівняйтевідрізки,щоутво-рилися.Чиможливо,що AC CB= ? AC AB= ?

9. ПроміньOCділитькутAOBнадвакути,причому∠ = ∠AOC COB .якназиваєтьсяпроміньOC?

логічна задача ;• Знайдітьпропущенечисло (рис.5).

A ECB D

A

OC

B

D10

Рис.5

29

§ 4 паралельні прямі (2 год, уроки № 7, 8)


1. Урезультатівивчення§4учнімають:знати, розуміти: означення паралельних прямих, паралельних відрізків; зміст

аксіоми паралельних прямих та теореми про дві прямі, паралельні тре-тій; зміст понять «теорема», «умова» і «висновок теореми», «доведення теореми»; алгоритм доведення методом від супротивного;

уміти відтворювати вказані раніше означення й аксіоми; розрізняти на рисунку паралельні прямі; використовувати означення й аксіому паралельних прямих та теорему про дві прямі, паралельні третій, для обґрунтування міркувань; використовувати алгоритм доведення методом від супротив-ного під час розв’язування задач на доведення.

2. Требапоступовопідвищуватирівеньвимогдоаргументованихміркуваньучнівуходірозв’язуваннязадач.


1. Поняттяпаралельнихпрямихнеєдляучнівновим,воновідомеїм з курсуматематики 6 класу. Тому вчитель при викладан-ні даного питання має спиратися на життєвий досвід учнівта узагальнювати учнівські спостереження, сформулювавшиозначенняйаксіомупаралельнихпрямих.

2. При вивченніматеріалу § 4 учні вперше знайомляться із по-няттям«теорема»тасупутнімипоняттями:«умовийвисновкитеореми»,«доведеннятеореми».Учнімаютьусвідомитисуттєвувідмінність теореми (як деякого твердження, правильністьякого встановлюється шляхом послідовних міркувань— до-веденням) від аксіоми (як твердження, істинність якого непотребуєдоведення).

3. Авториновогопідручникавважаютьдоречнимужевданійтеміознайомитиучнівзісхемоюдоведенняметодомвідсупротивноготарозпочатироботузнапрацюваннявміньучнівзастосовуватицюсхемуприрозв’язуваннізадач.Алеважливозвернутиувагуучнів(цевказановпідручнику)нате,щодоведеннявідсупро-тивного—неєдинийспосібдоведеннягеометричнихтверджень.

4. Теоремапродвіпрямі,паралельнітретій,такожрозглядаєть-сявданомупараграфі.Такапослідовністьподанняматеріалудозволяє спростити доведення ознаки паралельності прямих(п. 14.1), зробити його більш конструктивним і зрозумілимдляучнів.

30


Введенняпоняттяпаралельнихпрямихунашомупідручникуєдоситьтрадиційнимівідрізняєтьсяхібащододатковимозначен-нямпаралельностідлявідрізківіпроменів.Томузвернемоосновнуувагунатеоремупропаралельністьдвохпрямихтретій—першутеоремукурсу.Після розглядуцього твердженнянеобхіднопро-вестиґрунтовнийаналіз:по-перше,виділитиструктурніелементи(умовуй висновок),по-друге, розтлумачити схемудоведеннявідсупротивного.Особливо сліднаголосити,щометодвід супротив-ного—неєдинийможливийметодгеометричногодоведення.

Також варто зазначити, що аксіома паралельних у нашомупідручнику уточнюється й доповнюється до теореми у виглядівиноски в цьому параграфі, а існування відповідної прямої до-водитьсядалі,уп.14.3.

Задачний матеріал параграфа сприяє розвитку вміння учнівдоводити геометричні твердження (майже всі запропоновані за-дачієсамезадачаминадоведення).Власне,самечерезцеавториперенесли вказану теорему на початок курсу— бажано,щоб домоментурозглядуознакрівностітрикутниківучнінабулиякнай-більшедосвідудоведенняйобґрунтуваннятверджень.


Навивченняматеріалу§4відводитьсядвауроки.

на першому уроці: ; у класі: відповіднодозміступ.4.1вивчитиозначенняпаралель-

нихпрямих,випадкивзаємногорозміщеннядвохпрямихнаплощині,означенняпаралельнихвідрізків,променівтощо, зміст аксіоми паралельних прямих; розв’язативправи:

уснівправи1–5 (с.31–32); [2]:№88–92усно;№93графічно;№95,99,101пись-

мово; вдома [2]: §4,п.4.1;розв’язативправи: [2]:№94графічно;№96,100,102письмово.

на другому уроці: ; у класі: вивчити зміст поняття «теорема» та супутніх понять

(«умова й висновок теореми»; «доведення теореми»);розібратисхемудоведенняметодомвідсупротивноготарозв’язативправи:

уснівправи6–9 (с.32);

31

[2]:№97,103,107письмово; додатковузадачу1 (с.32) графічно; вдома: [2]: § 4, п. 4.2, 4.3; повторити аксіоми вимірювання

тавідкладаннякутів,розв’язативправи: [2]:№98,104письмово; додатковузадачу2 (с.32) графічно.


Задачі№88–92слідпрокоментувати,спираючисьнааксіомупаралельнихпрямих,тапроілюструвати.

Прирозв’язуваннізадач№95,99,101слідвимагативідучнівобґрунтування ізпосиланнямнааксіомутаозначенняпаралель-нихпрямих.


1. Зарис.1назвітьточки,прямі,відрізкитакути.

aO

M

BA

P

N

S

T

Рис.1

2. Сформулюйтеаксіоми,проілюстрованінарис.2,а–г.

a

BAA

a

B

A

a

C

O

b

a

а б в г

Рис.2

3. якідвіпрямінаплощиніназиваютьпаралельними?4. що треба знати про дві прямі, щоб стверджувати, що вони

єпаралельними?

32

5. Черезякізточок,зображенихнарис.3,можна провести пряму, паралельнупрямійa?Чому?

CA

a

DB

Рис.3

6. Відомо,що a b ;a c , c d .якіщепря-мі середназванихєпаралельними?

7. Відомо,щопряміa іbперетинаються,a c .Чиможебути,що b c ?Відповідьобґрунтуйте.

8. Складітьтвердження,протилежнеданому:а) пряміпаралельні;б) пряма не може перетинати дві інші прямі в одній точці;в) двіпряміпроходятьчерезоднуточку.

9. Середпрямихa,b,c,dназвітьпряму,яканепаралельнатрьоміншим,якщо a d ,b іcперетинаються, c d .

Додаткові задачі ;1. НакреслітькутAOB, градуснаміраякогодорівнює130°.

а) Поділіть даний кут променем на два кути так,щоб одинізнихбувбільшимза іншийна32°;

б) проведітьбісектрисукожногозутворенихкутівтазнайдітькутміжбісектрисамиспочаткувимірюванням,апотім—виконавшиобчислення.Порівняйтеотриманийрезультатіз градусноюміроюданогокута.щовипомітили?

2. НакреслітькутABC із градусноюмірою70°.а) Проведітьпромінь,доповняльнийдопроменяBC,іобчис-

літьутворенийкутDBA;б) проведітьбісектрисуBEутвореногокутаізнайдітькутDBE.

§ 5 суміжні кути та їхні ВластиВості (2 год, уроки № 9, 10)


Урезультатівивчення§5учнімають:знати: означення суміжних кутів, теорему про суму суміжних кутів та наслідки

з неї (із доведенням); зміст понять «наслідок» та «поси лання»;уміти: будувати кут, суміжний із даним; знаходити суміжні кути на готовому

рисунку; доводити теорему про суму суміжних кутів та наслідки з неї; використовувати ці твердження для обґрунтування розв’язування задач (на суміжні кути).

33


1. Введення означення суміжних кутів автори підручника мо-тивують необхідністю розглянути окремі випадки взаємногорозміщеннядвохкутів зі спільнимиелементами.

Такожважливозвернутиувагунанеобхідністьточноговід-творенняучнямиозначеннясуміжнихкутів:щобпереконатив цьому, можна після введення означення суміжних кутівзапропонуватизавдання.

завдання. Чи є суміжними кути, позначені на рис. 1?Чому?

a

a d

cb

б

a

cb

в

a d

cb

г

a

c

b

д

a c

d

Рис.1

Опрацювавшизучнямиозначеннясуміжнихкутів,бажанорозібратитехнологіюпобудовикута, суміжного зданим.

2. Оскільки теоремапро суму суміжнихкутів є доситьпростоюідоведенняїїґрунтуєтьсянааксіомівимірюваннякутів,мож-назапропонуватиучнямопрацюватиїїдоведеннясамостійно.

Важливопопередититрадиційнупомилкуучнів:тверджен-ня, обернене до зазначеної теореми, не є правильним. Прицьомувводитипоняття«оберненетвердження»необов’язково,аджевонодокладнорозглядатиметьсявп.11.4.

3. Залежновідрівняпідготовкиучнівтасформованостінавичокїхсамостійноїдіяльності,формулюванняідоведеннянаслідківізтеоремипросуміжнікутиабоможездійснитисамучитель,абоучніпрацюватимутьізтекстомпідручникасамостійно,абоможнаорганізуватипрактичнуроботувгрупах,щодозволитьучням здійснити «відкриття» ними самими сформульованихі доведених у підручнику наслідків із теореми про суму су-міжнихкутів.

34


Тема «Суміжні кути» розглядається в підручнику в межахтрадиційногопідходу.Післявведенняозначеннясуміжнихкутіввартоприділитиувагуважливостікожногословавцьомуозначенні(навестинеобхідніконтрприкладиабозапропонуватиучнямзро-бити це самостійно). Звертаємо увагу на наслідки з теореми просуміжні кути і тлумачення понять «наслідок» і «посилання»,поданевп.5.2.Можназапропонуватиучнямсамостійносформу-лювати іншінаслідки з доведеної теоремина основі розв’язанняусних задач цього параграфа. У процесі розв’язування задачіз метою економії навчального часу рекомендуємо використову-вати задачі на готових кресленнях (зокрема, задачі самостійноїроботи 4 посібника [3], який входить до навчально-методичногокомплектунашогопідручника).


Навивчення§5відводитьсядвауроки.

на першому уроці: ; у класі: провести самостійну роботу за попередньою темою як

перевірку домашнього завдання (див. нижче); вивчитиозначеннясуміжнихкутів;сформулюватийдовестите-оремупросумусуміжнихкутівтарозв’язативправи:

уснівправи1–3 (с.35); [2]:№115графічно;№117,119,121письмово; додатковузадачу1 (с.37)усно; вдома [2]: § 5, п. 5.1, 5.2 (перша частина, до наслідків); по-

вторити види кутів за їх градусною мірою; розв’язативправи:

[2]:№110,112–114усно,№118,120,123письмово.

на другому уроці: ; у класі: провестиматематичний диктант (с. 36); сформулювати

й довестинаслідки з теоремипро суму суміжнихкутіві розібрати зміст понять «наслідок» та «посилання»;розв’язативправи:

уснівправи4–8 (с.36); [2]:№ 124, 125, 127, 129 письмово; додатково№ 131; вдома: [2]: §5,п.5.2 (другачастина);розв’язативправи: [2]:№113,114усно;№126,128письмово;№134,135

наповторення; додатковузадачу2 (с.37)усно.

35


При розв’язуванні задач № 115, 117, 119, 121 слід робитипосилання на означення суміжних кутів та теорему про сумусуміжнихкутів.

Розв’язувати задачі№124,125,127,129 слід ізпосиланнямнавідповіднийнаслідок із теоремипросумусуміжнихкутів.

Розв’язуваннязадачі№131надаєучнямопорнийфакт,якийможенадалівикористовуватисядлярозв’язуваннязадач:кутміжбісектрисамисуміжнихкутів—прямий.

самостійна робота ;Запосібником [3]:Самостійна робота 4: задача 2 (варіанти 1, 2); самостійна ро-

бота 5: задача 2 (варіанти 1, 2); самостійна робота 6: задача 3(варіанти1,2)

або запосібником [4]:Самостійнаробота№2.

усні вправи ;1. ЗнайдітьградуснумірукутаAOB,зображеногонарис.2,а–г.

26°18°

51°45°

35°

35°

C

A

B

а

O O A A O A O С

B

B B

C C

б в г

Рис.2

2. Чиєнарис.3,а,бпарисуміжнихкутів?3. Знайдіть градуснімірикутівKLN іLPN (рис.4).

а б

A

C

B D EC

A BO

D

K

N

L P M25° 70°

Рис.3 Рис.4

36

4. якезчисел30°;130°;89°;98°; 12

180⋅ ° ;179°;180°єградусноюмірою:а) тупогокута;б) гострогокута;в) прямогокута;г) розгорнутогокута?

5. Скількиградусівможестановитисума:а) двохпрямихкутів;б) двохгострихкутів;в) двохтупихкутів;г) прямогой гострогокутів?

6. ЗнайдітькутXнарис.5.7. Нарис.6 1 4= .Доведіть,що 2 3= .8. Нарис.7 1 4 180+ = ° .Доведіть,що ∠ = ∠1 3; ∠ = ∠2 4.

Рис.6

A

C

M N B1 2 3 4

Рис.7

A

C

D

E

B

1 2

34

150°

C

A

B

Рис.5

O

D

X

математичний диктант ;1. Накресліть від руки два нерівні суміжні кути так, щоб

їхня спільна сторона була розміщена горизонтально [верти-кально].

2. Накреслітьдвасуміжнікутитак,щобїхсторони,щоєдопов-няльнимипроменями,булирозміщенівертикально [горизон-тально].

3. Накреслітьдвакути,якінеєсуміжними,так,щобвонималиоднуспільнусторонуйобидвабулитупими [гострими].

4. ПобудуйтекутAOB,що дорівнює 70° 60°[ ].Накресліть і по-значтедвакути,кожнийзякихє суміжним ізданимкутом.Знайдіть градуснімірицихкутів.

5. Знайдітькут,суміжнийізданимкутом,ізапишітьвидикутівукожнійпарі:

а) 30° 140°[ ] ; б) 90° 50°[ ] .

37

Додаткові задачі ;1. Чи єправильнимтвердження: «Двакути, якімають спільну

сторонуйсумаякихдорівнює180°, є суміжними»?2. Двакутимаютьспільнусторону.Чиозначаєце,що:

а) цікутимаютьспільнувершину;б) дві іншістороницихкутівєдоповняльнимипроменями;в) цікутиє суміжними;г) їхнясумастановить180°?

§ 6 Вертикальні кути та їхні ВластиВості. перпенДикулярні прямі. кут між ДВома прямими (3 год, уроки № 11–13)


Урезультатівивчення§6учнімають:знати: означення вертикальних кутів; формулювання й доведення теореми про

вертикальні кути; означення кута між прямими та означення перпенди-кулярних прямих; формулювання та схему доведення теореми про дві прямі, перпендикулярні до третьої прямої;

уміти: знаходити вертикальні кути на рисунку; виконувати зображення вер-тикальних кутів; знаходити на рисунку та виконувати зображення пер-пендикулярних прямих (із використанням транспортира або косинця); відтворювати вказані означення, теореми; застосовувати ці твердження для обґрунтування розв’язування задач на обчислення та пошук кутів, що утворились при перетині двох прямих, і кута між прямими.


1. як і при вивченні означення суміжних кутів, при вивчен-ні означення вертикальних кутів у даному підручникувертикальні кути розглядаються як окремий випадок вза-ємного розміщення двох кутів зі спільною вершиною. Та-кож важливим є пряме посилання на той факт, що вер-тикальні кути утворюються при перетині двох прямих.

2. У даному підручнику формулюються й доводяться теоремипровертикальнікути.Підручникміститьозначеннякутаміжпрямими.

3. Упідручникутема«Перпендикулярніпрямі»логічновипливаєз теми «Суміжні та вертикальні кути». У даному параграфінадається означення перпендикулярних прямих.Але автори

38

вважаютьнедоцільнимрозглядатинацьомуетапітеоремупроіснуваннятаєдиністьпрямої,перпендикулярноїдоданої,щопроходить через дану точку прямої. Замість неї цілком ви-правдано подається теорема про дві прямі, перпендикулярнідотретьої.

Таким чином, при доведенні теореми про дві прямі, пер-пендикулярні до третьої, застосовуютьсяякметод доведеннявідсупротивного,таківнеявномувиглядісиметріявідноснопрямої.

4. Прививченнітеоремипровертикальнікутислідзвернутиувагуназадачу,підчасрозв’язуванняякоїфактичновідпрацьовуєть-сятакавластивість:будь-якідвакути,утвореніприперетинідвохпрямих, єабо суміжними,абовертикальними.

5. Дляпервинногозакріпленняматеріалуможназапропонуватиучнямвиконатиуснівправи (с.40–41).

методичні Коментарі авторів підручниКаПідхіддовивченнявертикальнихкутівіперпендикулярності

прямих у нашому підручнику має такі особливості. По-перше,введенопоняттякутаміжпрямими(відпрацюванняякогозучня-ми не є занадто складним), завдяки якому перехід до розглядуперпендикулярності прямих стає природно вмотивованим. По-друге, у п. 6.3 доведено теорему про дві прямі, перпендику-лярні до третьої. Доведення цього твердження ґрунтується нанеявномузастосуваннісиметріїтаєдоволіскладнимдляучнів,томурекомендуємоневимагатийогообов’язковоговідтвореннясемикласниками. Водночас розгляд цієї теореми саме на дано-му етапі навчання дозволяє значно спростити доведення ознакпаралельності прямих у § 14. Крім того, корисно порівняти цетвердження з теоремою про дві прямі, паралельні третій, на-голосивши на тому,що застосування аналогії в цьому випадкубудехибним(аджетвердження«Двіпрямі,перпендикулярнідотретьої,перпендикулярні»хибне).

Під час розв’язування задач основну увагу приділяємо від-працюванню не сформульованого в явному вигляді наслідкуз теореми про вертикальні кути— «У результаті перетину двохпрямихутворюютьсяабопопарнорівнідвагостріідватупікути,абочотирипрямікути».

планування вивчення матеріалуНавивчення§6відводитьсятриуроки.

39

на першому уроці: ; у класі: виконатиперевіркудомашньогозавданняувиглядісамо-

стійної роботи 1 (див. нижче); вивчити означення вер-тикальнихкутів; сформулюватий довести теоремупровертикальнікути;вивчитипоняттякутаміжпрямими;розв’язативправи:

уснівправи1–3 (с.40); [2]:№143(а)графічно;№145,146,153,155письмово;

додатково№159; вдома: [2]: § 6, п. 6.1, 6.2; повторити перпендикулярні прямі

(6клас);розв’язативправи: [2]:№136–138усно;№147,149,150,154письмово.

на другому уроці: ; у класі: провести математичний диктант (с. 41); вивчити озна-

чення перпендикулярних прямих (відрізків та проме-нів); сформулювати та довести теорему про дві прямі,перпендикулярнідотретьої;розв’язативправи:

уснівправи4–6 (с.41); [2]:№143(б)графічно;№144,151,157,162письмово;

додатково№163; додатковузадачу (с.41–42)письмово. вдома: [2]: §6,п.6.3;розв’язативправи: [2]:№141усно;№148;158письмово.

на третьому уроці: ; у класі: виконати самостійнуроботу2 (див.нижче); розв’язати

вправи: [2]:№139,142усно;№155,160письмово; вдома: [2]: § 6; підсумковий огляд розділу І на с. 53–55; розв’язативправи: [2]:№152,156,161письмово.


При розв’язуванні задач № 145, 146, 153, 155, 159 вихо-дять ізтого,щобудь-якідвакути,щоутворилисьприперетинідвох прямих, є або суміжними (тобто їх сума дорівнює 180°),або вертикальними (тобто вони рівні), а також використовуютьфакт,що випливає з попереднього: у результаті перетину двохпрямих утворюються або два гострі і два тупі кути, або чотирипрямікути.

40

самостійна робота 1 ;Запосібником [3]:Самостійнаробота9: задачі1,2 (варіанти1,2)або запосібником [4]:Самостійнаробота№3.

самостійна робота 2 ;Запосібником [3]:Самостійнаробота9 (варіанти3,4)або запосібником [4]:Самостійнаробота№4.


1. Чи є на рис. 1 пари вертикальних кутів? Відповідь обґрун-туйте.

a b

ca

bc

d

c

a

d

b

а б в

a b

c

d

г

a

bc

d

ef

д

a

b

c

d

е

Рис.1

2. Зарис.2визначте,чиєсуміжни-миабовертикальнимикути:1і2;2і3;3і4;1і4;1і3;2і4.

3. Визначте,чиєсуміжнимиабовер-тикальнимидвакути,якіутвори-лися при перетині двох прямих,якщо:а) один ізнихна20° більшийза інший;б) їхнясумадорівнює100°.

1 2

4 3

Рис.2

a

b

41

4. Визначтевидкожного звертикальнихкутів,якщо їх сума:а) більшаза180°; в) дорівнює180°.б) меншавід180°;

5. Чи є на рис. 3, а–д прямі кути? Скільки їх на кожному ри-сунку? Відповідь перевірте за допомогою транспортира абокосинця.

D

C

B

A A

B C

DA

B

C

D

M

F

г

SM

N

K

да б в

A

B

C

D

Рис.3

6. Сформулюйтетвердження,якесуперечитьданому:а) двіпрямімаютьспільнуточку;б) двіпряміпаралельні;в) черездві точкиможнапровестипряму, і тількиодну.

математичний диктант ;1. ПряміAM іCEперетинаютьсявточціO.Назвітьпариверти-

кальнихкутів,щоутворилисяприцьому. [Ученьпобудувавдвавертикальнікути.Скількипарпрямих

прицьомуутворилося?]2. Данокут34°.якаградуснаміракута,вертикальногоданому? [Двакутимаютьспільнувершину.Градуснаміракожногокута

дорівнює60°.Чиобов’язковоцікутивертикальні?Відповідьпоясніть.]

3. Одинізчотирьохкутів,щоутворилисяврезультатіперетинудвохпрямих,дорівнює140°[70°].якаградуснаміракожногозрештикутів?

4. Два кути зі спільною вершиною рівні. Чи обов’язково вонивертикальні?

[якаградуснаміракута,вертикальногокуту80°?]

Додаткова задача ;• Урезультатіперетинудвохпрямихутворюютьсячотирикути.

Знайдіть градуснумірукожного зцихкутів,якщо:

42

а) сумадвохкутівдорівнює78°;б) різницядвохкутівдорівнює42°;в) один ізкутіву5разівменшийвід іншого;г) один ізкутіву2разименшийвід сумидвох інших;д) суматрьохкутівдорівнює300°;е) суматрьохкутівбільшазачетвертийна100°.

заключний урок за темою «елементарні Геометричні фіГури та їхні ВластиВості. Взаємне розміщення прямих на площині» (1 год, урок № 14)


Урок треба присвятити повторенню, систематизації та уза-гальненню спочатку знань, а потім умінь учнів за матеріаломрозділу I.

методичні реКомендації щодо проведення уроКу

1. Узагальнення знань учнів можна провести у формі груповоїроботи.

Учительзаписуєнадошціназвишестиосновнихпараграфіврозділу I тавибирає середучнівшість«експертів».

«Експерти»підбираютьсобі«команду»(три-чотириучні),ікожнагрупавиконуєзавдання:середконтрольнихзапитаньна с. 56–57 підручника вибрати ті, що стосуються окремогопараграфа (для кожної групи— свого). Потім представникикожноїгрупипрезентуютьіншимгрупамвідповідінасвоїза-питання; занеобхідності здійснюєтьсякорекція.

Крім того, на цьому уроці можна провести презентаціюповідомлень і рефератів за темами, запропонованими в під-ручникунас.60.

2. Узагальнення та систематизація умінь здійснюється під часгруповоїроботиучнівзіскладання,випробуваннятакорекціїалгоритміврозв’язуваннятиповихзадачзатемою.Наприклад,першагрупаотримуєтаке завдання.1) Скласти алгоритм розв’язування задачі на знаходження

довжинивідрізка,якийєчастиною іншоговідрізка.

43

2) Використовуючи складений алгоритм, розв’язати задачу.НапрямійпозначенотриточкиA,BіCтак,що AB =24 см,BC =18 см.ЗнайдітьвідстаньвідточкиAдосерединивід-різкаBC.Скількирозв’язківмає задача?

3) Занеобхідності скоригуватиалгоритм.

планування узагальнення матеріалуНаузагальненняматеріалузатемою«Елементарнігеометричні

фігури та їхні властивості. Взаємне розміщення прямих на пло-щині»відводитьсяодинурок.

на уроці: ; у класі: повторитипоняття«означення»,«аксіома»,«теорема»,

систематизувати та узагальнити знання про відрізок,промінь, кут, бісектрису кута; паралельні та перпен-дикулярні прямі; вертикальні та суміжні кути та їхнівластивості;

вдома: [2]: скориставшись складеними на уроці алгоритмами,виконатидомашнюконтрольнуроботу«Задачідляпід-готовкидоконтрольноїроботи№1»абопройтионлайн-тестування (с.52)

абозапосібником [3]: тест1.

тематична Контрольна робота (1 год, урок № 15)

Запосібником [3]:Контрольнаробота1 (варіанти1,2абоваріанти1–4залежно

відрівняпідготовкиучнів)або запосібником [4]:Контрольнаробота№1.

111

лІТЕРАТУРА

1. Навчальнапрограмадляучнів5–9класівзагальноосвітніхна-вчальнихзакладів.Математика[Електроннийресурс].—Режимдоступу:http://old.mon.gov.ua/ua/activity/education/56/692/educational_programs/1349869088/

2. ЄршоваА.П.Геометрія[Текст]:підруч.для7кл.загальноос-віт.навч.закл./А.П.Єршова,В.В.Голобородько,О.Ф.Кри-жановський.—Х. :Вид-во«Ранок»,2015.—224с.

3. Єршова А. П. Геометрія. 7 клас [Текст] : збірник самостій-них іконтрольнихробіт/А.П.Єршова,В.В.Голобородько,О.Ф.Крижановський.—Х. :Вид-во«Ранок»,2015.—80с.

4. БабенкоС.П.Геометрія.7клас[Текст]:зошитдляконтролюнавчальнихдосягнень/С.П.Бабенко.—Х.:Вид-во«Ранок»,2015.—48с.

ПЕРЕДМОВА -...

Documents

Transcript of ПЕРЕДМОВА -...