запись числа 23 оканчивается на...
Transcript of запись числа 23 оканчивается на...
B7 Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которыхзапись числа 23 оканчивается на 2.
Пояснение.
1. Нужно найти все целые числа (цифра 2 есть только в таких в системах счисления),
такие, что остаток от деления 23 на равен 2, или (что то же самое) , где — целое
неотрицательное число (0, 1, 2, …);
2. Из формулы получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найтивсе делители числа 21, которые больше 2;
3. В этой задаче есть только три таких делителя: и
О т ве т : 3, 7, 21
B7 Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которыхзапись числа 39 оканчивается на 3.
Пояснение.
1. Нужно найти все целые числа (цифра 3 присутствует в системах счисления только с
таким основанием), такие что остаток от деления 39 а равен 3, или (что то же самое)
, где — целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);
2. Из формулы получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найти вседелители числа 36, которые больше 3;
3. В этой задаче есть шесть таких делителей: и .
О т ве т : 4, 6, 9, 12, 18, 36
B7 Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которыхзапись числа 71 оканчивается на 13.
Пояснение.
потому, что в системах с меньшим основанием нет цифры 3.
2. Так как число в системе счисления с основанием кончается на 13, то число 71 в десятичной
системе счисления при делении на должно давать остаток 3 (т. е. — любое
целое неотрицательное число, — искомое основание системы счисления), а частное от этого
деления должно давать остаток 1 при делении на (т. е. , - любое целое
неотрицательное число). Следовательно,
3. Определим наибольшее возможное с учетом условия . Из уравнения
следует, что . Чем меньше , тем больше , поэтому значение не превышает
4. Остается рассмотреть все допустимые значения (от 0 до 4), решая для каждого из них
уравнение относительно , причем нас интересуют только натуральные
числа
Получаем:
а) при
б)при решения — не целые числа;
в) при и условию натуральности соответствует только первое
решение.
сайт Шпаргалка ЕГЭ Подготовка к ЕГЭ 2013 24.05.2013
http://shpargalkaege.ru Группа в ВК http://vk.com/shpargalkaege
О т ве т : 4, 68
B7 Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которыхзапись числа 40 оканчивается на 4.
Пояснение.
1. Итак, нужно найти все целые числа (цифра 4 присутствует в системах счисления только
с таким основанием), такие что остаток от деления 40 на равен 4, или (что то же самое)
, где — целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);
2. Из формулы получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найтивсе делители числа 36, которые больше 4;
3. В этой задаче есть только три таких делителя: и .
Ответ: 6, 9, 12, 18, 36.
О т ве т : 6, 9, 12, 18, 36
B7 Запись числа 6910 в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит 4
цифры. Чему равно основание этой системы счисления N?
Пояснение.
Составим уравнение для перевода числа в систему счисления ( ).
где — разряды
числа в системе счисления, числа в промежутке .
Так как — целое, 68 должно делиться нацело на . Найдем все делители 68, большие 2: 4, 17. В системе с основанием 17 число 69 не будетсодержать 4 цифры, в системе с основанием 4 число 69 будет выглядеть так: 10114.
Следовательно, основание системы равно 4.
О т ве т : 4
B7 Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные натуральные числа, непревосходящие 17, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на двеодинаковые цифры?
Пояснение.Решение.
Так как число в системе счисления с основанием 3 кончается на , то искомое число в
десятичной системе счисления при делении на 3 должно давать остаток (т. е. -
любое целое неотрицательное число, - искомое число) и частное от этого деления также
должно давать остаток при делении на 3 (т. е. , - любое целое неотрицательное
число). Следовательно, .
Подбирая и , найдем все натуральные решения этого уравнения, не превосходящие 17.
1. При ;
2. При ;
3. При ;
4. При ;
5. При ;
6. При .
Заметим, что в последнем варианте искомое число больше 17, значит, мы заканчиваем пересчетна предыдущем.
О т ве т : 4, 8, 9, 13, 17
B7 Запись числа в некоторой системе счисления выглядит так: . Найдите основание
системы счисления q.
сайт Шпаргалка ЕГЭ Подготовка к ЕГЭ 2013 24.05.2013
http://shpargalkaege.ru Группа в ВК http://vk.com/shpargalkaege
Пояснение.
Составим уравнение: где - основание этой системы
счисления. Решая квадратное уравнение, получаем
О т ве т : 4
B7 Десятичное число 59 в некоторой системе счисления записывается как 214. Определитеоснование системы счисления.
Пояснение.
Пусть — основание этой системы счисления, тогда Решая
квадратное уравнение получаем что невозможно, или
О т ве т : 5
B7 Укажите, сколько всего раз встречается цифра 3 в записи чисел 19, 20, 21, …, 33 в системесчисления с основанием 6.
Пояснение.Запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с основанием 6:
Запишем по порядку числа, в записи которых встречается цифра 3, от до : 316, 326, 336,
346, 356, 436, 536. Всего цифра «3» встречается 8 раз.
Ответ: 8.
О т ве т : 8
B7 Запись числа 338 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 2.Чему равно максимально возможное основание системы счисления?
Пояснение.
Составим уравнение для перевода числа в систему счисления ( ).
где — разряды числа в
системе счисления, числа в промежутке .
Так как — целое, 336 должно делиться нацело на . Найдем все делители 336, большие 2: 3, 4,7, 8, 12, 14. 16, 21, 24, 28, 42, 48, 56, 84, 112, 336. Максимально возможное основание системы
счисления достигается при минимальном значении выражения , равном , при которомсамо — целое. Решая уравнение, получим корень между 19-ю и 18-ю. Начнем перебиратьсистемы счисления с основанием, меньшим либо равным 18, но при этом являющиеся делителем336. Первое подходящее — 16.
Ответ: 16.
О т ве т : 16
B7 Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которыхзапись числа 32 оканчивается на 4.
Пояснение.
1. Итак, нужно найти все целые числа (цифра 4 присутствует в системах счисления только
с таким основанием), такие что остаток от деления 32 на равен 4, или (что то же самое)
, где — целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);
2. Из формулы получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найтивсе делители числа 28, которые больше 4;
3. В этой задаче есть только три таких делителя: и .
О т ве т : 7, 14, 28
сайт Шпаргалка ЕГЭ Подготовка к ЕГЭ 2013 24.05.2013
http://shpargalkaege.ru Группа в ВК http://vk.com/shpargalkaege
B7 Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25,запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 101?
Пояснение.Так как число в системе счисления с основанием 2 кончается на 101, то искомое число в
десятичной системе счисления при делении на 2 должно давать остаток 1 (т. е. -
любое целое неотрицательное число, - искомое число), частное от этого деления
должно давать остаток 0 при делении на 2 (т. е. , - любое целое неотрицательное
число), а при следующем делении остаток должен быть равен 1 (т. е. , - любое целое
неотрицательное число). Следовательно,
При При При При
значит,
О т ве т : 5, 13, 21
B7 Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25,запись которых в троичной системе счисления оканчивается на 21?
Пояснение.Так как число в системе счисления с основанием 3 кончается на 21, то искомое число в
десятичной системе счисления при делении на 3 должно давать остаток 1 (т. е. -
любое целое неотрицательное число, - искомое число), а частное от этого деления должно
давать остаток 2 при делении на 3 (т. е. , - любое целое неотрицательное число).
Следовательно, .
При При При При значит,
Ответ: 7, 16, 25.
О т ве т : 7, 16, 25
B7 Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которыхзапись числа 75 оканчивается на 13.
Пояснение.Так как число 75 в системе счисления с основанием кончается на 13, то число 75 в десятичной
системе счисления при делении на должно давать остаток 3 (т. е. - любое
целое неотрицательное число, - основание искомой системы счисления) и частное от этого
деления должно давать остаток 1 при делении на (т. е. , - любое целое
неотрицательное число). Следовательно, где
Иначе говоря, должно быть кратным . Отбросим сразу те которые при вычитании из
72 дают простые числа, а также те, квадраты которых больше 72: 1, 5, 9, 10, и так далее добесконечности. Но при этом 72 тоже является решением данной задачи, так как 72 – особый случай, ведь
Итого остается еще 2, 3, 4, 6, 7 и 8. Из них подходит только 8. Ответ: 8, 72.
О т ве т : 8, 72
B7 Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 30,запись которых в системе счисления с основанием 5 начинается на 3?
Пояснение.
Сначала определим запись числа 29 в пятеричной системе. . Выпишем числа, меньшие
запись которых в пятеричной системе начинается на 3: 3, 30, 31, 32, 33, 34.
Переведем их в десятичную систему счисления. , , , ,
,
О т ве т : 3, 15, 16, 17, 18, 19
B7 Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25,запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?
сайт Шпаргалка ЕГЭ Подготовка к ЕГЭ 2013 24.05.2013
http://shpargalkaege.ru Группа в ВК http://vk.com/shpargalkaege
Пояснение.Так как число в системе счисления с основанием 4 кончается на 11, то искомое число в
десятичной системе счисления при делении на 4 должно давать остаток 1 (т. е. —
любое целое неотрицательное число, — искомое число) и частное от этого деления также
должно давать остаток 1 при делении на 4 (т. е. , — любое целое неотрицательное
число). Следовательно,
При
При
При
значит,
О т ве т : 5, 21
B7 Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которыхзапись числа 61 оканчивается на 15.
Пояснение.Так как число 61 в системе счисления с основанием кончается на 15, то число 61 в десятичной
системе счисления при делении на должно давать остаток 5 (т. е. - любое
целое неотрицательное число, - основание искомой системы счисления) и частное от этого
деления должно давать остаток 1 при делении на (т. е. , - любое целое
неотрицательное число). Следовательно, где
Иначе говоря, должно быть кратным . Отбросим сразу те которые при вычитании из
56 дают простые числа, а также те, квадраты которых больше 56, т.е. от 8 до бесконечности. Но при этом 56 тоже является решением данной задачи, так как 56 – особый случай, ведь
Итого остается еще 6 и 7. Из них подходит только 7.
О т ве т : 7, 56
B7 В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 56 и 45 заканчиваются на 1.Определите основание системы счисления.
Пояснение.
Составим уравнение для перевода числа и в систему счисления ( ).
.
.
Так как — целое, 55 и 44 должно делиться нацело на . Общий делитель этих двух чиселединственен — 11.
Ответ: 11.
О т ве т : 11
B7 Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 26,запись которых в троичной системе счисления оканчивается на 22?
Пояснение.Так как число в системе счисления с основанием 3 кончается на 22, то искомое число в
десятичной системе счисления при делении на 3 должно давать остаток 2 (т. е. -
любое целое неотрицательное число, - искомое число) и частное от этого деления также
должно давать остаток 2 при делении на 3 (т. е. , - любое целое неотрицательное
число). Следовательно, .
При При При При значит,
сайт Шпаргалка ЕГЭ Подготовка к ЕГЭ 2013 24.05.2013
http://shpargalkaege.ru Группа в ВК http://vk.com/shpargalkaege
Ответ: 8, 17, 26.
О т ве т : 8, 17, 26
B7 Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которыхзапись числа 31 оканчивается на 11.
Пояснение.Так как число в системе счисления с основанием кончается на 11, то число 31 в десятичной
системе счисления при делении на должно давать остаток 1 (т. е. — любое
целое неотрицательное число, — основание искомой системы счисления) и частное от этого
деления также должно давать остаток 1 при делении на (т. е. , — любое целое
неотрицательное число). Следовательно, где —
неотрицательное целое число, а
Иначе говоря, должно быть кратным . Отбросим сразу те которые при вычитании из
30 дают простые числа,а также те, квадраты которых больше 30: 1, 6, 7, 8, 9, 10, и так далее добесконечности. Но при этом 30 тоже является решением данной задачи, так как 30 – особый
случай, ведь Итого остается еще 2, 3, 4 и 5. Из них подходят 2, 3, 5.
О т ве т : 2, 3, 5, 30
B7 Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 70 трехзначна.
Пояснение.
Составим уравнение для перевода числа в систему счисления.
где - разряды числа в системе счисления,
числа в промежутке .
Так как мы ищем наименьшее основание системы счисления, рассмотрим максимальные и ,
равные
Перепишем уравнение: То
есть, Будем искать не в точности ведь оно не будет натуральным, а близкие к
решению этого уравнения. Возьмем наименьшее -
Переведем 70 в четверичную систему счисления: . Число четырехзначно, и это
означает, что стоит взять систему счисления
Переведем 70 в пятеричную систему счисления: , это число трехзначно,следовательно, ответом к этой задаче будет 5.
О т ве т : 5
B7 Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 100,запись которых в системе счисления с основанием 5 оканчивается на 11?
Пояснение.Так как число в системе счисления с основанием 5 кончается на 11, то искомое число в
десятичной системе счисления при делении на 5 должно давать остаток 1 (т. е. -
любое целое неотрицательное число, - искомое число) и частное от этого деления также
должно давать остаток 1 при делении на 5 (т. е. , - любое целое неотрицательное
число). Следовательно, .
При При При При При
значит,
Ответ: 6, 31, 56, 81.
О т ве т : 6, 31, 56, 81
B7 Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 10, 11, 12, …, 17 в системесчисления с основанием 5.
Пояснение.Запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с основанием 5:
Запишем по порядку числа от до :
сайт Шпаргалка ЕГЭ Подготовка к ЕГЭ 2013 24.05.2013
http://shpargalkaege.ru Группа в ВК http://vk.com/shpargalkaege
Всего цифра «2» встречается 7 раз.
О т ве т : 7
B7 В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 49 записывается в виде 100.Укажите это основание.
Пояснение.Составим уравнение:
где - основание этой системы счисления. Исходя из
уравнения,
Ответ:
О т ве т : 7
B7 Решите уравнение 100 7 + x = 2005.
Ответ запишите в шестнадцатеричной системе (основание системы счисления в ответе писать ненужно).
Пояснение.Приведем элементы уравнения к десятичному виду:
1007 = 1·72 + 0·71 + 0·70 = 4910;
2005 = 2·52 + 0·51 + 0·50 = 5010.
Запишем получившееся уравнение: 4910 + x = 5010 ⇔ x = 110.
В шестнадцатеричной системе 1 и есть 1.
О т ве т : 1.
О т ве т : 1
сайт Шпаргалка ЕГЭ Подготовка к ЕГЭ 2013 24.05.2013
http://shpargalkaege.ru Группа в ВК http://vk.com/shpargalkaege
B7 Ниже на 4-х языках записан алгоритм. Получив на вход число x, этот алгоритм печатает двачисла a и b.
Бейсик ПаскальDIM X, A, B AS INTEGER
INPUT X
A=0: B=0
WHILE X > 0
A = A+1
B = B +(X MOD 10)
X = X \ 10
WEND
PRINT A
PRINT B
var x, a, b: integer;
begin
readln(x);
a:=0; b:=0;
while x>0 do
begin
a:=a+1;
b:=b+(x mod 10);
x:=x div 10;
end;
writeln(a); write(b);
end.
Си Алгоритмический#include<stdio.h>
void main()
{
int x, a, b;
scanf("%d", &x);
a=0; b=0;
while (x>0){
a=a+1;
b=b + (x%10);
x= x/10;
}
printf("%d\n%d", a, b);
}
алг
нач
цел x, a, b
ввод x
a:=0; b:=0
нцпока x>0
a:=a+1
b:=b+mod(x,10)
x:=div(x,10)
кц
вывод a, нс, b
кон
Укажите наибольшее из таких чисел x, при вводе которых алгоритм печатает сначала 2, а потом8.
Пояснение.Рассмотрим цикл, число шагов которого зависит от изменения переменной x: while x > 0 do begin ... x:= x div 10; end; Т. к. оператор div оставляет целую часть от деления, то при делении на 10 это равносильноотсечению последней цифры.
Из приведенного цикла видно, что на каждом шаге от десятичной записи x отсекается последняяцифра до тех пор, пока все цифры не будут отсечены, то есть x не станет равно 0; поэтому циклвыполняется столько раз, сколько цифр в десятичной записи введенного числа, при этом число a
сайт Шпаргалка ЕГЭ Подготовка к ЕГЭ 2013 24.05.2013
http://shpargalkaege.ru Группа в ВК http://vk.com/shpargalkaege
столько же раз увеличивается на 1. Следовательно, конечное значение a совпадает с числомцифр в x. Для того, чтобы a стало a = 2, x должно быть двухзначным.
Теперь рассмотрим оператор изменения b: while x>0 do begin b:=b+(x mod 10); end;
Оператор mod оставляет остаток от деления, при делении на 10 это последняя цифра x;следовательно, число b получается суммой цифр числа x.
Число 8 можно представить в виде суммы 8 + 0 = 7 +1 = 6 + 2 = 5 + 3 = 4 + 4. Нас интересуетнаибольшее число, поэтому x = 80.
Ответ: 80.
О т ве т : 80
B7 Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 13, 14, 15, …, 23 в системесчисления с основанием 3.
Пояснение.Запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с основанием 3:
Запишем все числа из заданного диапазона, содержащие цифру "2": 112, 120, 121, 122, 200, 201,202, 210, 211, 212. Итого 2 встречается 13 раз.
О т ве т : 13
B7 Ниже на 4-х языках записан алгоритм. Получив на вход число x, этот алгоритм печатает двачисла a и b.
Бэйсик Паскаль
DIM X, A, B AS INTEGER INPUT X A = 0: B = 1 WHILE X > 0 A = A + 1 B = B * (X MOD 10) X = X \ 10 WEND PRINT A PRINT B
var x, a, b : integer; begin readln(x); a := 0; b := 1; while x > 0 do begin a := a + 1; b := b * (x mod 10); x := x div 10; end; writeln(a); write(b); end.
Си Алгоритмический
#include void main() { int x, a, b; scanf("%d", &x); a = 0; b = 1; while (x > 0){ a = a + 1; b = b *(x%10); x= x / 10; } printf("%d\n%d", a, b); }
алг нач цел x, a, b ввод x a := 0; b := 1 нц пока x > 0 a := a+1 b := b * mod(x,10) x := div(x,10) кц вывод a, нс, b кон
Укажите наибольшее из таких чисел x, при вводе которых алгоритм печатает сначала 3, а потом 5.
Пояснение.
сайт Шпаргалка ЕГЭ Подготовка к ЕГЭ 2013 24.05.2013
http://shpargalkaege.ru Группа в ВК http://vk.com/shpargalkaege
Рассмотрим цикл, число шагов которого зависит от изменения переменной x: while x > 0 do begin ... x:= x div 10; end; Т. к. оператор div оставляет целую часть от деления, то при делении на 10 это равносильноотсечению последней цифры.
Из приведенного цикла видно, что на каждом шаге от десятичной записи x отсекается последняяцифра до тех пор, пока все цифры не будут отсечены, то есть x не станет равно 0; поэтому циклвыполняется столько раз, сколько цифр в десятичной записи введенного числа, при этом число aстолько же раз увеличивается на 1. Следовательно, конечное значение a совпадает с числом цифр вx. Для того, чтобы a стало a = 3, x должно быть трёхзначным.
Теперь рассмотрим оператор изменения b: while x>0 do begin b:=b*(x mod 10); end;
Оператор mod оставляет остаток от деления, при делении на 10 это последняя цифра x;следовательно, число b получается произведением цифр числа x.
Число 5 простое, поэтому 5 = 5 * 1 * 1 — единственное представление числа 5. Следовательно,максимальное число x = 511.
Ответ: 511.
О т ве т : 511
B7 Запись десятичного числа в системах счисления с основаниями 3 и 5 в обоих случаях имеетпоследней цифрой 0. Какое минимальное натуральное десятичное число удовлетворяет этомутребованию?
Пояснение.Если искомое десятичное число при переводе в другую систему счисления дает последним разрядом0, это значит, что оно делится на основание этой системы счисления без остатка. Минимальноенатуральное десятичное число, имеющее делителями 3 и 5 — это 15.
О т ве т : 15
B7 В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается в виде 110. Укажите этооснование.
Пояснение.Решение.
Составим уравнение: где - основание этой системы
счисления. Исходя из уравнения,
О т ве т : 3
B7 Найдите основание системы счисления, в которой выполнено сложение: 144 + 24 = 201.
Пояснение.Пусть основание искомой системы счисления - . Переведем в десятичную систему счисления
исходное равенство:
Упростим это уравнение, скомпоновав члены: Решим это уравнение.
О т ве т : 7
B7 К записи натурального числа в восьмеричной системе счисления справа приписали два нуля. Восколько раз увеличилось число? Ответ запишите в десятичной системе счисления.
Пояснение.Когда мы приписываем к числу в некоторой системе счисления справа два ноля, мы "сдвигаем" число
на два разряда, т.е. увеличиваем его в раз, где — основание системы счисления. В нашем случае
оно равно 8, а значит, число увеличится в раза.
сайт Шпаргалка ЕГЭ Подготовка к ЕГЭ 2013 24.05.2013
http://shpargalkaege.ru Группа в ВК http://vk.com/shpargalkaege
О т ве т : 64
B7 Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 50 трехзначна.
Пояснение.
Составим уравнение для перевода числа в систему счисления.
где - разряды числа в системе
счисления, числа в промежутке .
Так как мы ищем наименьшее основание системы счисления, рассмотрим максимальные и ,
равные
Перепишем уравнение: То есть,
Будем искать не в точности ведь оно не будет натуральным, а близкие к решению
этого уравнения. Возьмем наименьшее -
Переведем 50 в троичную систему счисления: . Число четырехзначно, и это означает,
что стоит взять систему счисления
Переведем 50 в четверичную систему счисления: , это число трехзначно, следовательно,ответом к этой задаче будет 4.
О т ве т : 4
B7 Десятичное число кратно 16. Какое минимальное количество нулей будет в конце этого числапосле перевода его в двоичную систему счисления?
Пояснение.
Пусть это десятичное число - . Тогда
Совершим перевод этого десятичного числа в двоичную систему счисления. Для этого мы должныразделить его на 2 и записать остаток, потом частное от этого деления также разделить на 2 изаписать остаток, и т.д. То есть, если число делится на 2, остаток равен 0, соответственно,количество нолей в конце двоичного числа - это количество раз, которое мы можем разделить числона 2 без остатка.
Чтобы число было минимальным, будем считать, что - нечетное. значит, в конце числа
будут стоять 4 ноля.
О т ве т : 4
B7 Автоматическое устройство осуществило перекодировку информационного сообщения на русскомязыке длиной в 100 символов, первоначально записанного в 2-байтном коде Unicode, в 8-битнуюкодировку КОИ-8. На сколько бит уменьшилась длина сообщения? В ответе запишите только число.
Пояснение.Объем информации в кодировке КОИ-8: 100 символов * 1 байт = 100 байт. Объем информации в 2-байтном коде Unicode: 100 символов * 2 байта = 200 байт. Длина сообщения уменьшилась на 200 байт - 100 байт = 100 байт. Переведём ответ в биты: 100 байт * 8 = 800 бит.
Ответ: 800 бит.
О т ве т : 800
B7 В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 25 записывается как 100. Найдитеэто основание.
Пояснение.Составим уравнение:
где - основание этой системы счисления. Исходя из
уравнения,
О т ве т : 5
B7 Текстовый документ, состоящий из 5120 символов, хранился в 8-битной кодировке КОИ-8. Этотдокумент был преобразован в 16-битную кодировку Unicode. Укажите, какое дополнительноеколичество Кбайт потребуется для хранения документа. В ответе запишите только число.
Пояснение.Объем информации в кодировке КОИ-8: 5120 символов * 1 байт = 5120 байт. Объем информации в 16-битной кодировке Unicode: 5120 символов * 2 байта = 10240 байт. 10240 байт - 5120 байт = 5120 байт.
сайт Шпаргалка ЕГЭ Подготовка к ЕГЭ 2013 24.05.2013
http://shpargalkaege.ru Группа в ВК http://vk.com/shpargalkaege
5120 : 1024 = 5 Кбайт.
Ответ: 5 Кбайт.
О т ве т : 5
B7 Запись числа 68 10 в системе счисления с основанием N оканчивается на 2 и содержит 4 цифры.
Чему равно основание этой системы счисления N?
Пояснение.
Составим уравнение для перевода числа в систему счисления ( ).
где —
разряды числа в системе счисления, числа в промежутке .
Так как — целое, 66 должно делиться нацело на . Найдем все делители 66, большие 2: 3, 6, 11, 33. В системе с основанием 33, 11 и 6 число 68 не будетсодержать 4 цифры.
Следовательно, ответ: 3.
О т ве т : 3
B7 Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых записьчисла 29 оканчивается на 5.
Пояснение.
1. Итак, нужно найти все целые числа (цифра 5 присутствует в системах счисления только с
таким основанием), такие, что остаток от деления 29 на равен 5, или (что то же самое)
, где — целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);
2. Из формулы получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найти вседелители числа 24, которые больше 5;
3. В этой задаче есть только три таких делителя: math>N=6, 8, 12 и .
О т ве т : 6, 8, 12, 24
B7 Десятичное число 71 в некоторой системе счисления записывается как 78. Определите основаниесистемы счисления.
Пояснение.
Составим уравнение: где — основание этой системы счисления. Решая
уравнение, получаем
О т ве т : 9
B7 Чему равно наименьшее основание позиционной системы счисления x, при котором 225x = 405y?
Ответ записать в виде целого числа.
Пояснение.Поскольку в левой и в правой частях есть цифра 5, оба основания больше 5, то есть перебор имеетсмысл начинать с
Для каждого вычисляем значение и решаем уравнение
, причем нас интересуют только натуральные
Для и нужных решений нет, а для получаем
так что
Ответ:
О т ве т : 8
сайт Шпаргалка ЕГЭ Подготовка к ЕГЭ 2013 24.05.2013
http://shpargalkaege.ru Группа в ВК http://vk.com/shpargalkaege
B7 В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 66 и 40 заканчиваются на 1. Определитеоснование системы счисления.
Пояснение.
Составим уравнение для перевода числа и в систему счисления ( ).
.
.
Так как — целое, 65 и 39 должно делиться нацело на . Общий делитель этих двух чиселединственен — 13.
Ответ: 13.
О т ве т : 13
B7 В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 144 записывается в виде 264.Укажите это основание.
Пояснение.Запишем формулу преобразования числа, записанного в системе счисления как 264 в десятичноечисло 144.
Решим это квадратное уравнение. Его корни: 7, -10. Так как основанием системы счисления не можетбыть отрицательное число, ответ - 7.
О т ве т : 7
B7 В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 18 записывается в виде 30.Укажите это основание.
Пояснение.
Составим уравнение: где — основание этой системы счисления.
Исходя из уравнения,
О т ве т : 6
B7 Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых записьчисла 63 оканчивается на 23.
Пояснение.
1. потому, что в системах с меньшим основанием нет цифры 3.
2. Так как число в системе счисления с основанием кончается на 23, то число 63 в десятичной
системе счисления при делении на должно давать остаток 3 (т. е. - любое целое
неотрицательное число, - искомое основание системы счисления), либо 23 (т.е. ).
Рассмотрим первый случай:
а) Частное от этого деления должно давать остаток 2 при делении на (т. е. -
любое целое неотрицательное число). Следовательно,
б) Определим наибольшее возможное с учетом условия . Из уравнения
следует, что . Чем меньше , тем больше , поэтому значение не превышает
Так как - целое неотрицательное число, то можно считать,
что не превышает 3. в) Остается рассмотреть все допустимые значения (от 0 до 3), решая для каждого из них уравнение
относительно , причем нас интересуют только натуральные числа
сайт Шпаргалка ЕГЭ Подготовка к ЕГЭ 2013 24.05.2013
http://shpargalkaege.ru Группа в ВК http://vk.com/shpargalkaege
г) Получаем:
— при
— при решения — не целые числа;
— при и условию натуральности соответствует только первое решение.
Рассмотрим второй случай. Для этого уравнения , получается целым только при ,
Но в системе счисления с основанием 40 число 63 записывается как 1W, что неудовлетворяет условию.
Ответ: 5, 30.
О т ве т : 5, 30
B7 Запись числа 23 в некоторой системе счисления выглядит так: . Найдите основание системы
счисления q.
Пояснение.
Составим уравнение: где - основание этой системы
счисления. Решая квадратное уравнение, получаем
О т ве т : 3
B7 Текстовый документ хранился в 8-битной кодировке КОИ-8. Этот документ был преобразован в16-битную кодировку Unicode, при этом размер памяти, необходимой для хранения документаувеличился на 4 Кбайт. При этом хранится только последовательность кодов символов. Укажите,сколько символов в документе. В ответе запишите только число.
Пояснение.Обозначим количество символов в документе за . Тогда объем информации в кодировке КОИ-8: бит = байт
Объем информации в 16-битной кодировке Unicode: бит = байт.
Размер памяти увеличился на байт = 4*1024 байт . Откуда = 4096.
Ответ: 4096 символов.
О т ве т : 4096
B7 Решите уравнение 60 8 + x = 1007.
Ответ запишите в шестеричной системе (основание системы счисления в ответе писать не нужно).
Пояснение.Приведем элементы уравнения к десятичному виду:
608 = 6·81 + 0·80 = 4810;
1007 = 1·72 + 0·71 + 0·70 = 4910.
Запишем получившееся уравнение: 4810 + x = 4910 ⇔ x = 110.
В шестнадцатеричной системе 1 и есть 1.
О т ве т : 1.
О т ве т : 1
B7 Десятичное число 70 в некоторой системе счисления записывается как 77. Определите основаниесистемы счисления.
Пояснение.
Составим уравнение: где — основание этой системы счисления. Решая
уравнение, получаем
О т ве т : 9
B7 Сколько значащих цифр в записи десятичного числа 357 в системе счисления с основанием 7?
сайт Шпаргалка ЕГЭ Подготовка к ЕГЭ 2013 24.05.2013
http://shpargalkaege.ru Группа в ВК http://vk.com/shpargalkaege
Пояснение.
Запишем число в системе счисления с основанием 7.
.
О т ве т : 4
B7 Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых записьчисла 31 оканчивается на 4.
Пояснение.
1. Итак, нужно найти все целые числа (цифра 4 присутствует в системах счисления только с
таким основанием), такие что остаток от деления 31 на равен 4, или (что то же самое)
, где — целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);
2. Из формулы получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найти вседелители числа 27, которые больше 4;
3. В этой задаче есть только два таких делителя: и .
О т ве т : 9, 27
B7 Запись числа 180 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 0.Перечислите в порядке возрастания все возможные основания системы счисления.
Пояснение.1) Поскольку запись в системе счисления с основанием заканчивается на 0, то остаток от деления
числа 180 на N равен 0, то есть при некотором целом имеем Cледовательно,
основание – это делитель числа 180 (делителями числа 180 являются числа: 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12,
15, 18, 20, 30...
3) C другой стороны, запись числа содержит 3 цифры, то есть
4) Начнем выписывать кубы и квадраты делителей, пока квадрат делителя не будет превышать 180:
5) Видим, что из этого списка все условия выполняются для чисел .
О т ве т : 6, 9, 10, 12
сайт Шпаргалка ЕГЭ Подготовка к ЕГЭ 2013 24.05.2013
http://shpargalkaege.ru Группа в ВК http://vk.com/shpargalkaege