ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского»

На правах рукописи

ШИЛОВСКИЙ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕМОДЕЛИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ МЕТАМАТЕРИАЛОВ

01.04.03 – Радиофизика05.13.18 – Математическое моделирование,численные методы и комплексы программ

Диссертацияна соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Научные руководители:доктор физико-математических наук,

профессор Давидович М.В.доктор физико-математических наук,

доцент Андрейченко Д.К.

Саратов – 2014

СОДЕРЖАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ

РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В

МЕТАМАТЕРИАЛАХ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1. Метод Корринги-Кона-Ростокера . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2. Метод плоских волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3. Метод матриц передачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4. Метод конечных разностей во временной области . . . . . . . . 23

1.5. Метод интегральных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5.1. Функции Грина периодических структур . . . . . . . . . 25

1.5.2. Построение интегральных уравнений . . . . . . . . . . . 27

1.6. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЕ

ОДНОМЕРНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ И ДВУМЕРНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ

СТРУКТУР . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1. Замедляющая система типа «диэлектрическая гребенка с

металлизацией» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2. Одномерно-периодические металло-диэлектрические

пленочные структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3. Двумерно-периодические металлические проволочные структуры 43

2.3.1. Постановка задачи с учетом тока проводимости . . . . . 43

2

2.3.2. Постановка задачи с учетом тока поляризации . . . . . . 46

2.3.3. Гомогенизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.3.4. Результаты моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЕ

ТРЕХМЕРНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР . . . . . . . . . . . . 61

3.1. Металлические проволочные стержневые структуры . . . . . . 61

3.2. Металлические проволочные кольцевые структуры . . . . . . . 69

3.3. Металлические и диэлектрические кубические структуры . . . 75

3.4. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4. РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА ДЛЯ РАСЧЕТА

ДИСПЕРСИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МЕТАМАТЕРИАЛОВ . . . 84

4.1. Метод решения дисперсионного уравнения при наличии полюсов 84

4.2. Формальное описание алгоритма расчета дисперсионных

характеристик метаматериалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.3. Модификация алгоритма для параллельных вычислительных

систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.4. Определение оптимальных параметров расчета . . . . . . . . . . 92

4.5. Характеристика программного комплекса . . . . . . . . . . . . . 96

4.6. Технологии параллельных вычислений . . . . . . . . . . . . . . 99

4.7. Анализ эффективности программного комплекса . . . . . . . . . 101

4.8. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

ЗАКЛЮЧЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность. Изучение электродинамических свойств гиперболических

метаматериалов представляет собой актуальное направление в современной

радиофизике. Гиперболические метаматериалы (ГМ) – искусственные диэлек-

трики, у которых компоненты тензора эффективной диэлектрической (или

магнитной) проницаемости, определяемые в двух взаимно перпендикулярных

плоскостях, имеют противоположные знаки [1–3]. Данные материалы облада-

ют анизотропией и могут поглощать или пропускать электромагнитные вол-

ны в зависимости от направления их распространения. Ввиду особого вида

поверхности изочастот, имеющей форму гиперболоида, в таких средах воз-

можно распространение волн с большими значениями компонент волнового

вектора, что приводит к высокой плотности фотонных состояний и большим

значениям фактора Парселла. Наличие данных свойств делает перспективным

применение ГМ в элементной базе для широкого класса электрофизических

устройств от сверхвысокочастотного (СВЧ) до оптического диапазона вклю-

чительно [4–8].

Метаматериалы – это искусственно созданные среды, электрофизические

свойства которых выходят за пределы свойств образующих их компонентов.

Такие материалы, например, в определенных частотных диапазонах могут об-

ладать отрицательными значениями компонент тензора эффективной диэлек-

трической или магнитной проницаемости как по отдельности, так и одновре-

менно. При диссипации следует говорить об отрицательности вещественных

частей этих компонент. Первые работы по метаматериалам относятся к 40-м

годам прошлого века (Л. Левин [9, 10], Л.И. Мандельштам [11]), где были де-

тально рассмотрены эффект распространения обратной волны и необычный

4

закон преломления при падении волны из свободного пространства в среду, в

которой групповая и фазовая скорости направлены в противоположные сторо-

ны. В таком случае преломленный луч отклоняется в противоположную сто-

рону от нормали к поверхности, в отличие от случая совпадения направлений

обеих скоростей. В 50-х годах было теоретически рассмотрено и доказано,

что волны с противоположно направленными фазовой и групповой скоростью

могут возникать в средах с одновременно отрицательными диэлектрической и

магнитной проницаемостями (Д.В. Сивухин [12], В.Е. Пафомов [13], Р.А. Си-

лин [14]). В 1967 году В.Г. Веселаго выдвинул гипотезу о том, что в таких

материалах показатель преломления имеет отрицательный знак, обосновал

возможность их существования и описал их электродинамику [15]. Однако

широкое распространение исследования метаматериалов приобрели с начала

90-х годов после ряда работ (Э. Яблонович [16,17], Д. Джоаннопоулос [18,19],

Д. Пендри [20,21] и др.), в которых были описаны результаты изучения прак-

тических образцов материалов с отрицательной диэлектрической или магнит-

ной проницаемостью. В 2000 году исследовательская группа Д.Р. Смита полу-

чила материал с отрицательной рефракцией в диапазоне 4.2–4.6 ГГц [22].

Одним из видов метаматериалов являются фотонные кристаллы (ФК) –

среды с периодически внедренными в основу объектами различной природы:

металлическими, диэлектрическими, полостными и другими. Частный слу-

чай ФК – структуры с периодически меняющимся в пространстве показате-

лем преломления. В зависимости от вида структуры различают одномерно-

периодические, двумерно-периодические и трехмерно-периодические ФК.

Указанная периодичность обуславливает возникновение запрещенных зон для

энергий фотонов – области частот, в пределах которой электромагнитные вол-

ны подавляются во всех (полная запрещенная зона) или некоторых (неполная

5

запрещенная зона) направлениях. Наличие потерь, конечность структур, ква-

зипериодичность включений приводят к искажению зонной структуры, и соот-

ветствующие материалы следует рассматривать как многополосовые фильтру-

ющие среды. Для одноосных ФК характерна анизотропия и ярко выраженная

пространственная дисперсия. При этом в запрещенных зонах наблюдаются от-

рицательные значения лишь некоторых компонент тензоров диэлектрической

или магнитной проницаемостей. Таким образом, в частотных диапазонах, со-

ответствующих запрещенным зонам, такие ФК ведут себя как гиперболиче-

ские метаматериалы.

К настоящему времени имеется большое число публикаций по исследова-

нию электродинамических свойств метаматериалов (Д. Пендри [20,21,23–25],

К. Сакода [26–29], И.В. Линделл [30–32], К.Р. Симовский [33–35], С.А. Тре-

тьяков [36–39], И.С. Нефедов [40–43], С.А. Никитов [44–46], Е.А. Виногра-

дов [47–49], П. Белов [50–54], С.Е. Банков [55–57] и др.). Тем не менее в

известной литературе остались мало изученными металлические тонкопрово-

лочные ФК и металло-диэлектрические плоскослоистые среды. Данные струк-

туры перспективны для создания на их основе гиперболических метамате-

риалов с электрическими или магнитными свойствами. Также недостаточно

исследованы ФК с включениями в виде прямоугольных параллелепипедов.

В диссертации рассматриваются следующие виды ФК: двумерно-

периодические с включениями в виде идеальных и неидеальных металличе-

ских бесконечно протяженных тонких проволочек, трехмерно-периодические

с включениями в виде идеальных металлических тонкопроволочных стержней

или колец, одномерные периодические и квазипериодические из слоев метал-

ла и диэлектрика, трехмерно-периодические с включениями в виде металли-

ческих или диэлектрических прямоугольных параллелепипедов (кубов). Ана-

6

лизируются также некоторые замедляющие структуры, которые можно рас-

сматривать как одномерные метаматериалы.

Технологические трудности при изготовлении метаматериалов делают ма-

тематическое моделирование главным методом исследования в сравнении со

сложным и дорогим экспериментом. В работе используется метод интеграль-

ных уравнений (ИУ), основанный на применении периодических функций

Грина (ФГ). Такие ФГ, являющиеся функциями периодически расположен-

ных и сфазированных точечных источников, позволяют свести задачу к ре-

шению ИУ для включений в одной ячейке периодичности, что делает ме-

тод интегральных уравнений весьма универсальным и удобным, например, по

сравнению с методом плоских волн. Метод ИУ применим для любых включе-

ний: металлических, полупроводниковых, диэлектрических, включая полост-

ные включения в диэлектрической основе. При этом сами включения могут

описываться макроскопическими диэлектрическими и магнитными проницае-

мостями, которые в общем случае могут иметь тензорный характер. Продви-

жение в область инфракрасных и оптических частот требует учета потерь в

металлах при расчете дисперсии сред с металлическими включениями. В этом

случае возможно применение итерационных методов решения ИУ, позволяю-

щих исследовать дисперсию на конкретной ветви с комплексными волновыми

векторами. В диссертации такие методы используются для анализа двумерно-

периодических металлических проволочных ФК.

Строгий анализ метаматериалов, связанный с нахождением действитель-

ных и комплексных законов дисперсии, а также определением эффективных

материальных параметров, требует решения краевых задач для уравнений

электродинамики в двумерных и трехмерных бесконечно протяженных об-

ластях. Следовательно, необходимы привлечение и разработка специальных

7

методов численного моделирования задач математической физики в неогра-

ниченных пространственных областях, в частности, методов, основанных на

использовании интегральных уравнений и функций Грина и позволяющих

свести моделирование дисперсионных характеристик к численному решению

дисперсионного уравнения (ДУ). В свою очередь, корни ДУ требуется нахо-

дить в достаточно широком частотном диапазоне (теоретически – на полубес-

конечной вещественной оси частот). Для каждого фиксированного значения

характерной частоты вычисление значения левой части ДУ аналогично чис-

ленному решению линейных интегральных уравнений, к которым сводится

краевая задача для векторных уравнений Гельмгольца в неограниченной дву-

мерной или трехмерной пространственной области. Таким образом, данный

класс математических моделей и методов их численного анализа обладает

значительным ресурсом параллелизма на двух уровнях – с одной стороны,

поиск корней дисперсионного уравнения в разных частотных диапазонах мо-

жет выполняться независимо, то есть параллельно, а с другой стороны, может

быть распараллелено решение линейных интегральных уравнений. Следова-

тельно, требуется разработка параллельных алгоритмов, которые в полной ме-

ре используют ресурсы параллелизма, свойственные математическим моделям

метаматериалов и методам их численного анализа. Перспективным является

реализация данных параллельных алгоритмов в виде комплексов программ

для выполнения расчетов на высокопроизводительных вычислительных систе-

мах под управлением технологий параллельных вычислений (Message Passing

Interface и Open Calculation Language).

Все отмеченное выше определяет актуальность темы диссертации и рас-

сматриваемых в ней вопросов, которые включают разработку адекватных ис-

следуемым структурам математических моделей электродинамического уров-

8

ня разной сложности, численных методов, алгоритмов и комплексов про-

грамм.

Целью диссертационной работы является выявление закономерностей

распространения электромагнитных волн в гиперболических метаматериалах

путем численного моделирования с применением распараллеливания алгорит-

мов, а также разработка программного комплекса для расчета дисперсионных

характеристик метаматериалов.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие основ-

ные задачи:

∙ Построение математических моделей распространения электромагнит-

ных волн в одномерно-периодических структурах: замедляющей си-

стеме с диэлектрической металлизированной гребенкой и пленочных

металло-диэлектрических фотонных кристаллах; проведение вычисли-

тельных экспериментов, анализ электродинамических свойств.

∙ Построение математических моделей распространения электромагнит-

ных волн в двумерно-периодических металлических фотонных кристал-

лах с включениями в виде бесконечно протяженных параллельных про-

волочек, проведение вычислительных экспериментов, анализ электроди-

намических свойств.

∙ Построение математических моделей распространения электромагнит-

ных волн в трехмерно-периодических фотонных кристаллах с метал-

лическими проволочными включениями в виде непересекающихся па-

раллельных стержней и колец, а также с металло-диэлектрическими ку-

бическими включениями; проведение вычислительных экспериментов,

анализ электродинамических свойств.

9

∙ Разработка параллельного алгоритма расчета дисперсионных характери-

стик метаматериалов и его реализация в виде программного комплекса.

Методы исследования. Методами исследования в работе являются мате-

матическое моделирование на основе интегральных уравнений электродина-

мики, проекционные и итерационные методы их решения, а также методы

сшивания полей.

Научная новизна работы:

∙ Предложены новые математические модели для стержневых и кольце-

вых металлических проволочных фотонных кристаллов, отличающиеся

тонкопроволочным приближением. Cогласно данным моделям, по про-

волочкам протекает азимутально-независимый линейный ток, что поз-

воляет решать интегральное уравнение лишь для компонент электриче-

ского поля, ориентированных вдоль контуров проволочек.

∙ На основе численного решения дисперсионного уравнения получена за-

висимость компоненты тензора эффективной диэлектрической проница-

емости от частоты и волнового вектора для металлических фотонных

кристаллов с включениями в виде стержней конечной и бесконечной

длины. Для структур со стержнями бесконечной длины получена чис-

ленная оценка уровня низкочастотной отсечки, ниже которого данная

компонента принимает отрицательные значения. В центре диаграммы

Бриллюэна наблюдается неполная запрещенная зона, границы которой

смыкаются в области точки M.

∙ На основе численного моделирования показано, что металлические про-

волочные фотонные кристаллы с конечными стержнями в кубической

решетке с периодом 𝑎 обладают полной запрещенной зоной для волн

с нормированной продольной компонентой волнового вектора менее 𝜋

10

при длине стержней 𝑙 = 0.7𝑎 и радиусе 𝑟 = 0.05𝑎. Для кольцевых про-

волочных структур наблюдается неполная запрещенная зона и, соответ-

ственно, достижение одновременно отрицательных величин диэлектри-

ческой и магнитной проницаемостей на структурах из стержней и колец

является проблематичным.

∙ Получены дисперсионные характеристики для двумерно-периодических

наноразмерных диссипативных стержневых фотонных кристаллов с уче-

том плазменных свойств металла. Показано, что подобные структуры

имеют малые потери и слабую дисперсию для волн, распространяющих-

ся вдоль стержней вплоть до инфракрасного диапазона.

∙ Исследована замедляющая система с одномерно-периодической диэлек-

трической металлизированной гребенкой и показано, что данная струк-

тура обладает близким к линейному законом дисперсии и почти постоян-

ным замедлением в широкой полосе частот. При этом величина замед-

ления увеличивается при уменьшении ширины и увеличении глубины

гребней.

∙ Исследованы одномерные наноразмерные структуры с металлическими

и диэлектрическими пленками как фильтрующие элементы с учетом ча-

стотных свойств металлов. Показано, что такие структуры могут слу-

жить основой при создании тепловых электромагнитных экранов, про-

пускающих видимый свет.

∙ Исследованы обладающие потерями металлические фотонные кристал-

лы из прямоугольных параллелепипедов в кубической решетке и показа-

но, что для достижения фильтрующих свойств в области высоких частот

следует использовать сильно разреженные структуры с наноразмерными

включениями.

11

∙ Предложен новый метод решения дисперсионного уравнения, основан-

ный на анализе скорости изменения значений целевой функции и позво-

ляющий определять корни различных дисперсионных ветвей.

∙ На основе метода интегральных уравнений создан параллельный алго-

ритм расчета дисперсионных характеристик метаматериалов и разрабо-

тана его реализация в виде программного комплекса для выполнения

расчетов на параллельных вычислительных системах с поддержкой тех-

нологий Message Passing Interface и Open Calculation Language.

Научная и прикладная значимость. Научной значимостью обладают раз-

работанные математические модели гиперболических метаматериалов и за-

медляющих структур, а также результаты расчета электродинамических ха-

рактеристик на основе данных моделей, существенно дополняющие представ-

ления о физике распространения электромагнитных волн в искусственно со-

зданных средах. В прикладном аспекте результаты работы представляют су-

щественный интерес для проектирования и расчета устройств на основе ме-

таматериалов, включая управляемые структуры, линзы, резонаторы, фильтры

и линии передач.

Отдельный практический интерес представляют следующие результаты:

∙ Предложена структура тепловых электромагнитных экранов, прозрач-

ных в оптическом диапазоне, на основе одномерно-периодических нано-

размерных металло-диэлектрических пленочных фотонных кристаллов.

∙ Рассчитаны электродинамические характеристики направляющей струк-

туры в диапазоне от СВЧ до оптического на основе двумерно-

периодических металлических фотонных кристаллов.

∙ Предложена структура замедляющей системы для ламп бегущей волны,

обеспечивающая почти постоянное замедление в широком частотном

12

диапазоне, на основе одномерно-периодической диэлектрической метал-

лизированной гребенки.

∙ Предложен метод решения дисперсионного уравнения при наличии по-

люсов, позволяющий определять корни различных дисперсионных вет-

вей.

∙ Разработан программный комплекс для расчета дисперсионных характе-

ристик метаматериалов, поддерживающий высокопроизводительные па-

раллельные вычислительные системы.

Достоверность результатов. Достоверность результатов работы основана

на использовании строгих электродинамических моделей анализа, в основе

которых лежат уравнения Максвелла, сходимости применяемых алгоритмов

и удовлетворительных результатах расчета невязки граничных условий. До-

стоверность части численных результатов подтверждена их совпадением и

сравнением с аналогичными как теоретическими, так и экспериментальными

результатами других авторов.

Положения и результаты, выносимые на защиту:

1. В двумерно-периодическом металлическом фотонном кристалле из

тонких бесконечно протяженных параллельных идеально проводящих

стержней существует низкочастотная отсечка, ниже которой такая струк-

тура ведет себя как гиперболический материал с одной продольной от-

рицательной компонентой диагонального тензора эффективной диэлек-

трической проницаемости.

2. В трехмерно-периодическом металлическом фотонном кристалле из тон-

ких параллельных идеально проводящих стержней конечной длины су-

ществует полная запрещенная зона, которая исчезает при стремлении

нормированной продольной компоненты волнового вектора к 𝜋. При пе-

13

реходе с нижней дисперсионной ветви прямой волны на верхнюю ча-

стотная дисперсия такого метаматериала соответствует модели Лоренца

среды с осцилляторами.

3. Трехмерно-периодические металлические фотонные кристаллы с вклю-

чениями из тонкопроволочных идеально проводящих колец обладают

неполной запрещенной зоной для волновых векторов, параллельных

плоскостям колец.

4. Разработанный программный комплекс с модульной структурой, осно-

ванный на параллельном алгоритме решения дисперсионного уравнения

и поддерживающий технологии высокопроизводительных параллельных

вычислений Message Passing Interface и Open Calculation Language, поз-

воляет получать дисперсионные характеристики одномерных, двумер-

ных и трехмерных метаматериалов, обеспечивает масштабируемость по

числу выполняющих устройств и обладает возможностями расширения

функционала.

Апробация результатов работы. Основные результаты по теме диссерта-

ционного исследования докладывались на следующих международных шко-

лах, конференциях и семинарах: 15-ая, 16-ая и 17-ая международные школы-

конференции по оптике, лазерной физике и биофизике «Saratov Fall Meeting»,

Саратов 2011–2013; семинары IEEE отделения Саратов-Пенза 2011–2013; 15-

ая международная зимняя школа-семинар по электронике сверхвысоких ча-

стот и радиофизике, Саратов 2012; 22-ая и 23-ая международные конференции

«СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии» (КрыМиКо’2012–2013);

международная конференция «Компьютерные науки и информационные тех-

нологии», Саратов 2012; международная конференция «Излучение и рассея-

ние электромагнитных волн» (ИРЭМВ-2011).

14

Публикации. По теме диссертации было опубликовано 14 печатных работ,

в том числе 7 статей в рецензируемых российских журналах, рекомендован-

ных ВАК, и 7 статей в сборниках международных и российских конференций.

Получено свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ.

Личный вклад автора. Лично автором разработаны все программы, про-

изведена основная часть расчетов и интерпретирована значительная часть по-

лученных в работе результатов. Постановка задач и разработка алгоритмов

проводилась совместно с научными руководителями.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех

глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 125 страницах

машинописного текста, содержит 34 рисунка, 4 таблицы и список литературы

из 122 наименований.

15

1. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ

РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В

МЕТАМАТЕРИАЛАХ

В настоящее время существует множество методов численного моделиро-

вания распространения электромагнитных волн в метаматериалах. В данной

главе приведен сравнительный анализ наиболее распространенных методов,

среди которых метод Корринги-Кона-Ростокера, метод плоских волн, метод

матриц передачи, метод конечных разностей во временной области и метод

интегральных уравнений. Для каждого метода выделены достоинства и недо-

статки, а так же определена оптимальная область применения.

1.1. Метод Корринги-Кона-Ростокера

Метод Корринги-Кона-Ростокера представляет собой процедуру, исполь-

зуемую в физике твердого тела и адаптированную для расчета фотонных

кристаллов [58–64]. В данном методе кристалл анализируется совокупностью

центров рассеивания, при этом волновые функции представляются в виде сфе-

рических волн.

Основная идея заключается в том, что зонная структура в периодической

решетке рассеивателей определяется двумя факторами [60]: как волна рассе-

ивается отдельным элементом и как эти элементы расположены в решетке.

Рассеивание от одного элемента определяется фазовым сдвигом соответству-

ющей матрицы, в то время как распределение рассеивателей объединяется в

структурный множитель.

Пусть имеется трехмерная периодическая структура. Согласно теореме

Блоха, распространение волны 𝜓 в такой структуре характеризуется волно-

16

вым вектором k [61, 62]. При этом для любого направления r:

𝜓(r + r𝑠) = 𝜓(r)𝑒𝑗kr𝑠,

где r𝑠 – вектор трансляции периодической решетки. Данная волновая функция

должна удовлетворять уравнению Гельмгольца

(∇2 + 𝑘20)𝜓(r) = 0,

где 𝑘0 – волновое число.

Функция Грина (ФГ) 𝐺 удовлетворяет уравнению Гельмгольца в периоди-

ческой системе

(∇2 + 𝑘20)𝐺(r,p) = −𝑐∑𝑝

𝛿(r− r𝑠 − p)𝑒𝑗kr𝑠,

где r – кординаты точки наблюдения, p – координаты точки источника, 𝑐 = 2𝜋

или 1 для массива из цилиндров и сфер соответственно. ФГ соответствует

условиям квазипериодичности, исходя из

𝐺(r + r𝑠,p) = 𝑒𝑗kr𝑠𝐺(r,p),

𝐺(r,p + r𝑠) = 𝑒−𝑗kr𝑠𝐺(r,p).

Зонная структура определяется из уравнения

𝑑𝑒𝑡[1 − 𝑡(𝑘)𝑔(𝑘0,k)] = 0,

где 𝑡 - матрица рассеивания одного элемента периодической решетки, 𝑔 - мат-

рица постоянных структуры.

Данный метод позволяет рассчитывать как диэлектрические, так и метал-

лические структуры. Из преимуществ данного метода можно отметить то, что

17

большая часть вычислений связана с конкретной геометрий структуры и долж-

на быть вычислена всего лишь раз для всей зонной диаграммы. Данный под-

ход ведет к компактным и быстросходящимся вычислительным процедурам,

по сравнению, например, с методом плоских волн. С другой стороны приме-

нение данных методов ограничено случаями со сферическими и цилиндри-

ческими включениями, обладающими постоянной диэлектрической проница-

емостью (ДП). Данный метод нельзя применять в структурах с комплексной

ДП, а также в структурах с дефектами.

Функция Грина рассчитывается с помощью техники вариационно-

итерационных вычислений. Возможен вариант расчета и в виде периоди-

ческой суммы с помощью быстросходящегося метода Неймана – метод Ре-

лея [65–68]. Данный метод позволяет рассчитывать структуры с дефектами, а

также с комплексной ДП.

1.2. Метод плоских волн

По сравнению с предыдущим методом, метод плоских волн является более

универсальным и легким для программирования, что способствовало его ши-

рокому распространению [26,69–74]. Хотя в общем случае этот метод сходит-

ся медленнее, возникают ситуации, когда сходимость достаточно быстрая [74].

Данный метод работает в пространстве Фурье. Определим

k = x1𝑘1 + x2𝑘2,

как двухмерный волновой вектор и

G(ℎ) = ℎ1b1 + ℎ2b2,

18

как вектор обратной решетки в пространстве Фурье. Далее разложим вектор

электрического поля следующим образом:

𝐸(r) =∑G

𝐵G𝑒𝑗(k+G)r, (1.1)

где 𝐵K – коэффициенты Фурье. Так же определим инверсированную диэлек-

трическую постоянную

1

𝜀(r)=

∑G

��G𝑒𝑗Gr, (1.2)

где 𝜀(r) – периодическая функция в физическом пространстве, удовлетворяю-

щая условию 𝜀(r) = 𝜀(r + r𝑠), а ��G – коэффициенты Фурье.

Теперь подставляем (1.1) и (1.2) в уравнения Максвелла и получаем урав-

нение на собственное значение матрицы

∑G′

��G−G′|k + G|2𝐵G′ =𝜔2

𝑐2𝐵G.

Решаем данное уравнение, из которого определяем частоту, а так же коэф-

фициенты разложения поля.

Данный метод является наиболее подходящим для расчета структур со сфе-

рическими и цилиндрическими включениями. При расчете структур другого

вида требуется учитывать большее количество плоских волн, что увеличивает

время вычислений.

Из недостатков данного метода можно отметить отсутствие учета поверх-

ностных токов на включениях при расчете металлических структур, что поз-

воляет использовать данный метод лишь в тех частотах, где металл ведет себя

как диэлектрик и пропускает поле внутрь [70].

19

1.3. Метод матриц передачи

Пендри и МакКиннон в 1992 году разработали метод матриц передачи для

изучения электромагнитных кристаллов [75], который затем был рассмотрен

в множестве работ [76–78]. В данном методе система делится на ячейки, и

поле в каждой такой ячейке представляет собой комбинацию полей в соседних

ячейках. Таким образом, может быть определена матрица передачи, которая

связывает поля на противоположных сторонах структуры.

Запишем уравнения Максвелла:

∇× E = −𝜕B𝜕𝑡, (1.3)

∇×H =𝜕D

𝜕𝑡. (1.4)

В пространстве (k, 𝜔) получаем

k× E = 𝜔B,

k×H = −𝜔D.

Далее выражаем D и B через E и H и подставляем в (1.3) и (1.4). Получаем

следующие уравнения, записанные в матричном виде:⎡⎢⎢⎢⎢⎣x y z

𝑘𝑥 𝑘𝑦 𝑘𝑧

𝐸𝑥 𝐸𝑦 𝐸𝑧

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ = 𝜔𝜇

⎡⎢⎢⎢⎢⎣𝐻𝑥x

𝐻𝑦y

𝐻𝑧z

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ , (1.5)

⎡⎢⎢⎢⎢⎣x y z

𝑘𝑥 𝑘𝑦 𝑘𝑧

𝐻𝑥 𝐻𝑦 𝐻𝑧

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ = −𝜔𝜀

⎡⎢⎢⎢⎢⎣𝐸𝑥x

𝐸𝑦y

𝐸𝑧z

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ . (1.6)

20

Из (1.5) и (1.6) получаем

1

𝜔𝜇(𝑘𝑥𝐸𝑦 − 𝑘𝑦𝐸𝑥) = 𝐻𝑧, (1.7)

𝑘𝑦𝐻𝑧 − 𝑘𝑧𝐻𝑦 = −𝜔𝜀𝐸𝑥. (1.8)

Далее подставляем (1.7) в (1.8):

𝑘𝑦

[1

𝜔𝜇(𝑘𝑥𝐸𝑦 − 𝑘𝑦𝐸𝑥)

]− 𝑘𝑧𝐻𝑦 = −𝜔𝜀𝐸𝑥. (1.9)

Проведя замену 𝐻 ′ = 𝑗𝑎𝜔𝜀𝐻 , получаем

(𝑗𝑎𝑘𝑧)𝐻′𝑦 =

𝑗𝑎𝑘𝑦𝑐2𝜇−1

𝑟

𝑎2𝜔2[(𝑗𝑎𝑘𝑥)𝐸𝑦 − (𝑗𝑎𝑘𝑦)𝐸𝑥] − 𝜀𝑟𝐸𝑥.

В случае простой кубической решетки мы можем определить поля с по-

мощью векторов a, b, c длины 𝑎 в направлении x0, y0, z0 соответственно.

Переходя обратно в пространство (r, 𝑡), получаем выражения электрического

и магнитного полей без z-компоненты:

𝐻 ′𝑥(r + c) = −𝜀𝑟(r + c)𝐸𝑦(r + c) +𝐻 ′

𝑥(r)−

− 𝑎2𝜇−1(r− a− c)

𝑎2𝜔2[𝐸𝑦(r+c)−𝐸𝑦(r−a+c)−𝐸𝑥(r−a+b+c)+𝐸𝑥(r−a+c)]−

− 𝑎2𝜇−1(r− c)

𝑎2𝜔2[𝐸𝑦(r + a + c) − 𝐸𝑦(r + c) − 𝐸𝑥(r + b + c) + 𝐸𝑥(r + c)],

𝐻 ′𝑦(r + c) = −𝜀𝑟(r + c)𝐸𝑥(r + c) +𝐻 ′

𝑦(r)−

− 𝑎2𝜇−1(r− b− c)

𝑎2𝜔2[𝐸𝑦(r+a−b+c)−𝐸𝑦(r−b+c)−𝐸𝑥(r+c)+𝐸𝑥(r−b+c)]−

− 𝑎2𝜇−1(r− c)

𝑎2𝜔2[𝐸𝑦(r + a + c) − 𝐸𝑦(r + c) − 𝐸𝑥(r + b + c) + 𝐸𝑥(r + c)],

21

𝐸 ′𝑥(r + c) = 𝜔2𝜇𝑟(r)𝐻

′𝑦(r) + 𝐸 ′

𝑥(r)+

+ 𝜀−1𝑟 (r)[𝐻 ′

𝑦(r− a) −𝐻 ′𝑦(r) −𝐻 ′

𝑥(r− b) +𝐻 ′𝑥(r)]−

− 𝜀−1𝑟 (r + a)[𝐻 ′

𝑦(r) −𝐻 ′𝑦(r + a) −𝐻 ′

𝑥(r + a− b) +𝐻 ′𝑥(r + a)],

𝐸 ′𝑦(r + c) = −𝜔2𝜇𝑟(r)𝐻

′𝑥(r) + 𝐸 ′

𝑦(r)+

+ 𝜀−1𝑟 (r)[𝐻 ′

𝑦(r− a) −𝐻 ′𝑦(r) −𝐻 ′

𝑥(r− b) +𝐻 ′𝑥(r)]−

− 𝜀−1𝑟 (r + b)[𝐻 ′

𝑦(r− a + b) −𝐻 ′𝑦(r + b) −𝐻 ′

𝑥(r) +𝐻 ′𝑥(r + b)].

Таким образом, зная значения компонент 𝑥 и 𝑦 поля с одной стороны струк-

туры, мы можем вычислить их значения с другой стороны. Если структура

состоит из 𝑁 ×𝑁 ×𝑁 ячеек, то размерность матрицы передачи равна 4𝑁 2.

Данный метод является развитием метода матрицы передачи для описания

цепочек четырехполюсников [79]. В случае одномерных структур, состоящих

из чередующихся вдоль оси 𝑧 слоев металла или диэлектрика, удобно вос-

пользоваться матрицей скачка волновых сопротивлений. Обозначим через 𝜀𝑖 и

𝜇𝑖 соответственно диэлектрическую и магнитную проницаемости слоя 𝑖. То-

гда матрица 𝑡𝑖 связывает амплитуды электрического и магнитного полей на

левой границе слоя 𝑖 с амплитудами на правой границе:⎡⎣ 𝐸𝑥𝑖

𝐻𝑦𝑖

⎤⎦ = 𝑡𝑖

⎡⎣ 𝐸𝑥𝑖+1

𝐻𝑦𝑖+1

⎤⎦ . (1.10)

Матрица 𝑡𝑖 выглядит следующим образом:

𝑡𝑖 =1√

4𝑝𝑖𝑝𝑖+1

⎡⎣ (𝑝𝑖+1 + 𝑝𝑖) exp(𝑗𝜃𝑖) (𝑝𝑖+1 − 𝑝𝑖) exp(𝑗𝜃𝑖)

(𝑝𝑖+1 − 𝑝𝑖) exp(−𝑗𝜃𝑖) (𝑝𝑖+1 + 𝑝𝑖) exp(−𝑗𝜃𝑖)

⎤⎦ ,

22

где 𝑝𝑖 =√𝜇𝑖/𝜀𝑖, 𝜃𝑖 = 𝑑𝑖𝑘0

√𝜀𝑖𝜇𝑖, 𝑑𝑖 – толщина слоя 𝑖. Матрица 𝑡 всей структу-

ры из 𝑁 слоев получается перемножением 𝑁 матриц. В этом случае величина

𝑇 = 1/𝑡11 есть коэффициент пропускания, а 𝑅 = 𝑡21/𝑡11 – коэффициент отра-

жения.

Главное преимущество данного метода состоит в том, что коэффициенты

пропускания и отражения определяются напрямую из вычислений. Так же

данный метод применяется в случае, когда метод плоских волн становится

слишком медленным, например, если диэлектрическая проницаемость зависит

от частоты или имеет большую мнимую часть.

Метод матрицы передачи подходит для расчета конечных и бесконечных

стуруктур, но наибольшую эффективность он имеет при расчете конечных

структур из периодически расположенных слоев.

1.4. Метод конечных разностей во временной области

Метод конечных разностей во временной области является наиболее ис-

пользуемым численным методом решения задач электродинамики [80–86]. Он

предоставляет простой способ дискретизации уравнений Максвелла и не тре-

бует каких-либо сложных математических формулировок или наличия строгой

периодичности у рассматриваемой структуры. Кроме того, он позволяет вы-

числить решение во временной области, с помощью которого может быть по-

лучено частотное поведение структуры в широком диапазоне частот. Первый

алгоритм, реализующий данный метод, был предложен Yee [80] в 1966 году. С

тех пор метод получил широкое распространение и было создано множество

модификаций.

Алгоритм, предложенный Yee, одновременно работает с электрическим и

магнитным полем в пространстве и времени, используя пару вихревых урав-

23

нений Максвелла вместо того, чтобы решать волновое уравнение для электри-

ческого или магнитного поля в одиночку. Предполагается, что в пространстве

не имеется источников электрического тока, но имеются материалы, способ-

ные накапливать электрическую или магнитную энергии.

Запишем интересующие нас уравнения Максвелла:

𝜕B

𝜕𝑡= −∇× E− 𝜎*H, (1.11)

𝜕D

𝜕𝑡= ∇×H− 𝜎E, (1.12)

где 𝜎* – эквивалентные магнитные потери, 𝜎 – электрическая проводимость.

В линейных изотропных недисперсионных материалах D и B относятся к

E и H следующим образом:

B = 𝜇H = 𝜇0𝜇𝑟H, (1.13)

D = 𝜀E = 𝜀0𝜀𝑟E. (1.14)

Подставляя (1.14) и (1.13) в (1.12) и (1.11), получаем уравнения Максвелла

в линейных изотропных материалах:

𝜕H

𝜕𝑡= −1

𝜇∇× E− 1

𝜇𝜎*H, (1.15)

𝜕E

𝜕𝑡=

1

𝜀∇×H− 1

𝜀𝜎E. (1.16)

Далее получаем 6 связанных дифференциальных уравнений, которые со-

ставляют базис метода конечных разностей во временной области. Данные

уравнения дискретизируются по времени и пространственным координатам и

решаются с помощью схемы leapfrog [81].

24

Из достоинств метода можно выделить то, что используется прямой расчет

уравнений Максвелла без введения дополнительного математического аппара-

та, а также обычная кубическая сетка. При этом объем вычислений возрастает

линейно в зависимости от количества ее ячеек.

К недостаткам метода можно отнести как то, что объекты, не обладаю-

щие прямоугольной формой, дискретизируются «лесенкой», так и то, что про-

странство необходимо обрезать очень тщательно, иначе высока возможность

появления ошибок вычислений.

1.5. Метод интегральных уравнений

1.5.1. Функции Грина периодических структур

Метод интегральных уравнений основывается на применении периодиче-

ских функций Грина, которые представляют собой удобный аппарат решения

электродинамических задач. В однородной среде с относительной диэлектри-

ческой проницаемостью 𝜀 такая функция имеет вид [87]:

��(r− r′) =1

8𝜋3

∞∫−∞

exp(−𝑗𝑘𝑥(𝑥− 𝑥′) − 𝑗𝑘𝑦(𝑦 − 𝑦′) − 𝑗𝑘𝑧(𝑧 − 𝑧′))

𝑘2𝑥 + 𝑘2𝑦 + 𝑘2𝑧 − 𝑘20𝜀𝑑k,

где 𝑥, 𝑦, 𝑧 – координаты точки наблюдения поля, 𝑥, 𝑦, 𝑧 – координаты точки

источника поля, 𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧 – компоненты волнового вектора k, 𝑘0 – волновое

число в вакууме. Свободному пространству соответствует 𝜀 = 1.

Удобно использовать следующее представление данной формулы в свер-

нутом виде [87]:

𝐺0(𝑟) =exp(−𝑗𝑘0𝑟)

4𝜋𝑟,

где 𝑟 = |r− r′| – расстояние между точками истока и наблюдения.

25

Скалярная ФГ удовлетворяет неоднородному уравнению Гельмгольца с

дельта-особенностью в правой части

(∇2 + 𝑘20𝜀)𝐺(𝑟) = −𝛿(𝑟),

то есть определяет потенциалы сосредоточенного источника.

Далее предположим, что в однородный диэлектрик (среду) периодически

включены магнитоэлектрические тела объема 𝑉 с некоторыми диэлектриче-

скими 𝜀(𝜔, r) и магнитными ��(𝜔, r) проницаемостями, которые мы будем счи-

тать зависящими от координат, а также металлические тела, имеющие по-

верхность 𝑆. Проницаемости 𝜀 и �� будем считать комлексными тензорами,

соответствующими некоторой модели включений, например, плазме носите-

лей заряда в полупроводнике, ферритовым частицам и т.п. Полагаем, что в

рассматриваемом частотном диапазоне указанные модели справедливы, а ве-

личины 𝜀 и �� правильно описывают макроскопические свойства включений.

Для металлических тел будем задавать импедансные граничные условия на

поверхности 𝑆, хотя данные тела можно моделировать и как диэлектрики с

потерями [88].

Для ФК будем использовать ФГ периодической структуры, имеющей вид

трехмерной суммы по пространственным гармоникам [88–90]:

𝐺(r− r′) =∞∑

𝑚,𝑛,𝑘=−∞

exp(−𝑗(𝑘𝑥𝑚(𝑥− 𝑥′) + 𝑘𝑦𝑛(𝑦 − 𝑦′) + 𝑘𝑧𝑘(𝑧 − 𝑧′)))

𝑎𝑏𝑐(𝑘2𝑥𝑚 + 𝑘2𝑦𝑛 + 𝑘2𝑧𝑘 − 𝑘20𝜀), (1.17)

где 𝑎, 𝑏 и 𝑐 – периоды вдоль осей 𝑥, 𝑦 и 𝑧; 𝑘𝑥𝑚 = 𝑘𝑥 + 2𝑚𝜋𝑎 , 𝑘𝑦𝑛 = 𝑘𝑦 + 2𝑛𝜋

𝑏 ,

𝑘𝑧𝑘 = 𝑘𝑧 + 2𝑘𝜋𝑐 .

Представляет интерес и ФГ двумерно-периодической структуры. Данная

стуктура получается из (1.17) путем увеличения периода по оси 𝑧 до беско-

26

нечности [91]. В таком случае соответствующую сумму необходимо заменить

на интеграл по всем плоским волнам 𝛾, распространяющимся в положитель-

ном и отрицательном направлении оси 𝑧. Тогда ФГ имеет вид:

𝐺(r− r′) =1

2𝜋𝑎𝑏

∞∫−∞

𝑑𝛾×

×∞∑

𝑚,𝑛=−∞

exp(−𝑗(𝑘𝑥𝑚(𝑥− 𝑥′) + 𝑘𝑦𝑛(𝑦 − 𝑦′) + 𝛾(𝑧 − 𝑧′)))

𝑘2𝑥𝑚 + 𝑘2𝑦𝑛 + 𝛾2 − 𝑘20𝜀. (1.18)

Аналогично вводится и ФГ одномерно-периодической структуры:

𝐺(r− r′) =1

4𝜋2𝑎

∞∫−∞

𝑑𝛾

∞∫−∞

𝑑𝛽×

×∞∑

𝑚=−∞

exp(−𝑗(𝑘𝑥𝑚(𝑥− 𝑥′) + 𝛽(𝑦 − 𝑦′) + 𝛾(𝑧 − 𝑧′)))

𝑘2𝑥𝑚 + 𝛽2 + 𝛾2 − 𝑘20𝜀2. (1.19)

где 𝛽 – плоская волна, распространяющаяся в направлении оси 𝑦.

1.5.2. Построение интегральных уравнений

С использованием введенных ФГ для ФК можно получить интегральные

уравнения (ИУ). Используем соотношение для вектора-потенциала, выражен-

ное через ФГ [87]:

A(r) =

∫𝑉

J(r′)𝐺(r− r′)𝑑𝑉 ′, (1.20)

где 𝐽(r′) – плотность тока в точке источника. Далее получим выражение для

электрического поля

E(r) = E𝑖𝑛(r) +∇2 + 𝑘20𝜀

𝑗𝜔𝜀0𝜀A(r). (1.21)

27

В (1.21) введено падающее (возбуждающее) поле E𝑖𝑛(r), поэтому оно со-

ответствует задаче о возбуждении диэлектрической структуры. Физический

смысл уравнения состоит в принципе суперпозиции, согласно которому пол-

ное поле имеет непрерывные касательные компоненты и есть сумма возбужда-

ющего и рассеянного телом полей. Обычно исследуются собственные волны

ФК, поэтому возбуждающее поле равно нулю.

После подстановки (1.20) в (1.21) получаем искомое ИУ

E(r) =∇2 + 𝑘20𝜀

𝑗𝜔𝜀0𝜀

∫𝑉

J(r′)𝐺(r− r′)𝑑𝑉 ′. (1.22)

Уравнение (1.22) связывает поле в выделенной ячейке с полем в других

ячейках структуры, поэтому его достаточно рассматривать не во всем про-

странстве, а только в выделенной элементарной ячейке. Более того, его реше-

ние можно искать только в той части этой ячейки, которая занята включением.

Полная плотность тока равна сумме плотностей тока проводимости и тока

смещения. В зависимости от вида и свойств включений можно пренебречь

одним из слагаемых. Так, для металлов на частотах СВЧ диапазона и ниже

основной вклад вносит ток проводимости, поскольку электрическое поле не

проникает внутрь включений. При этом поле можно выразить в следующем

виде:

E(r) = 𝑍J(r),

где 𝑍 – поверхностный импеданс включения. В приближении идеального ме-

талла следует положить 𝑍 = 0, тогда левая часть уравнения (1.22) обращается

в нуль.

28

С повышением частоты в область инфракрасного диапазона и выше поле

начинает проникать внутрь включений, и следует рассматривать задачу отно-

сительно дополнительного, по сравнению с основой, тока их электрической

поляризации. Последнее справедливо и для диэлектриков в независимости от

частоты. В этом случае электрическое поле принимает вид:

E(r) =J(r)

𝑗𝑤𝜀0(𝜀− 𝜀),

где 𝜀 – диэлектрическая проницаемость включения.

Таким образом в обоих случаях получаем зависимость поля от плотности

тока в виде E(r) = 𝐶J(r), где 𝐶 принимает значения электрического импе-

данса 𝑍 или (𝑗𝑤𝜀0(𝜀−𝜀))−1 для приближения тока проводимости и тока поля-

ризации соответственно. Подставляя выражение для поля в уравнение (1.22)

и перенося интеграл в правую часть, получаем

𝐶J(r) − ∇2 + 𝑘20𝜀

𝑗𝜔𝜀0𝜀

∫𝑉

J(r′)𝐺(r− r′)𝑑𝑉 ′ = 0. (1.23)

Нетривиальные решения уравнения (1.23) возможны при некоторых ком-

плексных векторных зависимостях 𝑘0 = 𝑓(k). В случае сред без потерь после

умножения левой части ИУ на сопряженную плотность тока J*(r) и интегри-

рования по координатам наблюдения получаем стационарный функционал

𝐹 (𝑘0,k) = 𝐶

∫𝑉

J(r)J*(r)𝑑𝑉 − ∇2 + 𝑘20𝜀

𝑗𝜔𝜀0𝜀

∫𝑉

∫𝑉

J(r′)𝐺(r− r′)J*(r)𝑑𝑉 ′𝑑𝑉.

В общем случае будем использовать разложение плотности тока в ряд:

J(r) =3∑

𝑖=1

x𝑖

𝑁∑𝑠=1

𝐼𝑖𝑠𝜑𝑠(r),

29

где x𝑖 – орты декартовых осей, 𝐼𝑖𝑠 – неизвестные коэффициенты разложения,

𝜑𝑠 – базисные функции. После подстановки разложения плотности тока (1.5.2)

функционал превращается в квадратичную форму, и следует использовать ва-

риационные методы или метод Галеркина. В последнем случае ДУ имеет вид

равенства нулю определителя соответствующей матрицы 𝐴:

𝐹 (𝑘0,k) = det𝐴 = 0. (1.24)

Матрица 𝐴 обладает размерностью 3𝑁 × 3𝑁 и состоит из блоков 𝐴𝑖𝑗. Ее

элементы имеют вид:

𝐴(𝑠𝑠′)𝑖𝑗 = 𝛿𝑖𝑗𝛿𝑠𝑠′𝐶

∫𝑉

𝜑𝑠(r)𝜑*𝑠′(r)𝑑𝑉−

𝑘20𝜀𝛿𝑖𝑗 − 𝜕2

𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗

𝑗𝜔𝜀0𝜀

∫𝑉

∫𝑉

𝜑𝑠(r′)𝐺(r− r′)𝜑*𝑠′(r)𝑑𝑉

′𝑑𝑉,

где 𝜑*𝑠′ – функции, сопряженные с 𝜑𝑠′, а 𝛿𝑖𝑗 = 1 при 𝑖 = 𝑗, иначе 𝛿𝑖𝑗 = 0.

Решение ДУ может быть комплексным даже в отсутствии потерь (пр. вол-

ны могут нарастать по одной из координат и затухать по другой). Если поло-

жить 𝑘𝑦 = 𝑘𝑧 = 0 и искать волны, распространяющиеся вдоль оси 𝑥, то из

ДУ можно найти функцию 𝑘𝑥 = 𝑘𝑥(𝑘0). Аналогично находятся 𝑘𝑦 = 𝑘𝑦(𝑘0)

и 𝑘𝑧 = 𝑘𝑧(𝑘0). В общем случае необходимо задавать произвольные значения

двух компонент k и искать 𝑘0. Иначе можно задавать 𝑘0 и две компоненты

k и искать третью компоненту. Таким образом, ДУ связывает комплексный

трехмерный волновой вектор и частоту.

Метод одинаково хорошо подходит для расчета электродинамических ха-

рактеристик как идеальных и неидеальных металлических, так и металло-

диэлектрических структур. Следует учитывать, что вид разложения плотно-

30

сти тока напрямую зависит от структуры моделируемого метаматериала. Так,

для металлов на частотах ниже инфракрасного диапазона задаются поверх-

ностные либо линейные токи проводимости на включениях и определяются

граничные условия. Для диэлектриков и металлов на высоких частотах следу-

ет рассматривать токи поляризации внутри включений. В этом случае задача

становится трехмерной, и необходимо решать объемные интегральные урав-

нения.

Так же следует заметить, что ФГ из (1.17) содержит полюса при обраще-

нии в нуль знаменателя. В таком случае значение поля стремится к бесконеч-

ности, что существенно затрудняет процесc нахождения корня. Данное обсто-

ятельство должно учитываться алгоритмом поиска корня ДУ, о чем подробнее

описано в четвертой главе.

1.6. Выводы

В данной главе рассмотрены основные методы моделирования распростра-

нения электромагнитных волн в метаматериалах. Для каждого метода опреде-

лена оптимальная область применения, выделены достоинства и недостатки.

Подробно изложен метод интегральных уравнений на основе функций Грина.

Показано, что данный метод может быть применен для расчета электродина-

мических характеристик различных видов структур.

Для структур с металлическими и металло-диэлектрическими включения-

ми применение метода интегральных уравнений приводит к компактным вы-

числительным формулам и алгоритмам с возможностью распараллеливания.

Поэтому этот метод и был использован для решения большинства радиофизи-

ческих задач, поставленных в диссертации.

31

2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЕ

ОДНОМЕРНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ И ДВУМЕРНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ

СТРУКТУР

В главе описываются математические модели метаматериалов с

одномерно-периодической и двумерно-периодической структурой. Использу-

ется метод моделирования на основе интегральных уравнений и функций Гри-

на, а так же метод матриц передачи. Приводятся результаты аналитического и

численного моделирования.

Результаты данной главы опубликованы в работах [91–96].

2.1. Замедляющая система типа «диэлектрическая гребенка с

металлизацией»

Рассмотрим замедляющую систему (ЗС), изображенную на рис. 2.1 и пред-

ставляющую собой бесконечно протяженный вдоль одной из осей волновод

высоты 𝑎, ограниченный сверху диэлектрической металлизированной гребен-

кой с периодом 𝑑 и высотой ℎ = 𝑔 − 𝑏.

Для анализа данной конфигурации будем использовать введенный ранее

метод периодических функций Грина [92], приводящий к интегральному урав-

нению для поверхностной плотности тока, текущей по изгибающемуся про-

воднику. Частичное диэлектрическое заполнение приводит к необходимости

решения объемно-поверхностных интегральных уравнений. Чтобы избежать

этого и получить простую модель, диэлектрическое заполнение учтено путем

введения в указанные ФГ эффективной диэлектрической проницаемости 𝜀𝑒𝑓 ,

которую можно представить в виде 𝜀𝑒𝑓 = 1+(𝜀−1)(ℎ𝑐+(𝑎−𝑏−ℎ)𝑑)/(𝑎𝑑). ДУ

получено в приближении волны тока, бегущей со скоростью света в частично

32

c

dga

b

Рисунок 2.1. Конфигурация ЗС типа «диэлектрическая гребенка сметаллизацией» в экране: трехмерное изображение (слева) и продольный

разрез (справа)

заполненной диэлектриком структуре вдоль изгибающейся поверхности про-

водника. Использование данного приближения позволило получить замкнутое

ДУ, имеющее вид явного функционального соотношения 𝑓(𝑘0, 𝑘𝑧) = 0, связы-

вающего волновое число 𝑘0 и постоянную распространения 𝑘𝑧. Использова-

но двумерное приближение. В действительности ЗС выполняются в экране с

конечным поперечным сечением. Если экран прямоугольный, имеем периоди-

ческую ФГ, построенную на основе периодического продолжения ФГ прямо-

угольного волновода [87,88]. Такая трехмерная задача существенно усложняет

алгоритм, поскольку необходимо учитывать вариации полей и тока по второй

поперечной координате (растет число базисных функций) и ФГ представляет-

ся трехмерным рядом.

В структурах с координатными границами вектор-потенциалы в прямо-

угольной системе координат выражаются через тензорные диагональные ФГ,

диагональные компоненты которых соответствуют задачам об ориентации то-

чечных диполей вдоль каждой из осей [87]. Такая диагональная ФГ для элек-

трического вектор-потенциала для двумерной задачи о бесконечно широкой

33

гребенчатой структуре имеет компоненты:

𝐺𝑥𝑥(𝑥, 𝑧, 𝑥′, 𝑧′) =2

𝑎𝑑

∞∑𝑛=0

∞∑𝑚=−∞

cos(𝑘𝑥𝑛𝑥) cos(𝑘𝑥𝑛𝑥′) exp(−𝑗𝑘𝑧𝑚(𝑧 − 𝑧′))

(1 + 𝛿𝑛0)[𝑘2𝑥𝑛 + 𝑘2𝑧𝑚 − 𝑘20𝜀𝑒𝑓 ], (2.1)

𝐺𝑧𝑧(𝑥, 𝑧, 𝑥′, 𝑧′) =

2

𝑎𝑑

∞∑𝑛=1

∞∑𝑚=−∞

sin(𝑘𝑥𝑛𝑥) sin(𝑘𝑥𝑛𝑥′) exp(−𝑗𝑘𝑧𝑚(𝑧 − 𝑧′))

[𝑘2𝑥𝑛 + 𝑘2𝑧𝑚 − 𝑘20𝜀𝑒𝑓 ], (2.2)

где 𝑘𝑥𝑛 = 𝑛𝜋/𝑎, 𝑘𝑦𝑛 = 𝑘𝑧 + 2𝑚𝜋/𝑑, 𝑑 – период. Ширина металлической по-

верхности большая, но конечная, а вся конструкция помещена в экран, ниж-

няя и верхняя поверхность которого и приведены на рис. 2.1. При этом для

основной симметричной по 𝑦 моды можно не учитывать зависимости от этой

координаты.

Зададим ток в виде бегущей волны с учетом фазовых набегов:

J𝑧1(𝑧) = z0𝛿(𝑥− 𝑏) exp(−𝑗𝑘𝑧), 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑐;

J𝑥1(𝑥) = x0𝛿(𝑧 − 𝑐) exp(−𝑗𝑘(𝑥− 𝑏) − 𝑗𝑘𝑐), 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑔;

J𝑧2(𝑧) = z0𝛿(𝑥− 𝑏− ℎ) exp(−𝑗𝑘(𝑧 − 𝑐) − 𝑗𝑘(𝑐+ ℎ)), 𝑐 ≤ 𝑧 ≤ 𝑑;

J𝑥2(𝑥) = x0𝛿(𝑧 − 𝑑) exp(𝑗𝑘(𝑥− 𝑏− ℎ) − 𝑗𝑘(ℎ+ 𝑑)), 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑔,

где 𝑘 = 𝑘0√𝑒𝑒𝑓 , x0 и z0 – орты осей 𝑥 и 𝑧 соответственно.

Интегрируя компоненты плотности тока с соответствующими ФГ (2.1) и

(2.2), получаем выражение для вектор-потенциала A:

A(𝑥, 𝑧) =

𝑏+ℎ∫𝑏

J𝑥1(𝑥′)𝐺𝑥𝑥(𝑥, 𝑧, 𝑥′, 𝑐)𝑑𝑥′ +

𝑏+ℎ∫𝑏

J𝑥2(𝑥′)𝐺𝑥𝑥(𝑥, 𝑧, 𝑥′, 𝑑)𝑑𝑥′+

+

𝑐∫0

J𝑧1(𝑧′)𝐺𝑧𝑧(𝑥, 𝑧, 𝑏, 𝑧

′)𝑑𝑧′ +

𝑑∫𝑐

J𝑧2(𝑧′)𝐺𝑧𝑧(𝑥, 𝑧, 𝑏+ ℎ, 𝑧′)𝑑𝑧′.

34

Вычисляем полученные интегралы:

𝐴𝑥(𝑥, 𝑧) =2

𝑎𝑑

∞∑𝑛=0

∞∑𝑚=−∞

cos(𝑘𝑥𝑛𝑥) exp(−𝑗𝑘𝑧𝑚𝑧)

(1 + 𝛿𝑛0)[𝑘2𝑥𝑛 + 𝑘2𝑧𝑚 − 𝑘20𝜀𝑒𝑓 ]𝑓𝑛𝑚(𝑘, 𝑘𝑧),

𝐴𝑧(𝑥, 𝑧) =2

𝑎𝑑

∞∑𝑛=0

∞∑𝑚=−∞

sin(𝑘𝑥𝑛𝑥) exp(−𝑗𝑘𝑧𝑚𝑧)

𝑘2𝑥𝑛 + 𝑘2𝑧𝑚 − 𝑘20𝜀𝑒𝑓𝑔𝑛𝑚(𝑘, 𝑘𝑧),

где введены функции:

𝑓𝑛𝑚(𝑘, 𝑘𝑧) = exp(−𝑗(𝑘𝑧𝑚 − 𝑘)𝑐)𝑓(𝑘𝑥𝑛, 𝑘, 𝑏, ℎ)+

+ exp(𝑗(𝑘𝑧𝑚 − 𝑘)𝑑− 𝑗2𝑘ℎ)𝑓(𝑘𝑥𝑛,−𝑘, 𝑏, ℎ), (2.3)

𝑔𝑛𝑚(𝑘, 𝑘𝑧) = sin(𝑘𝑥𝑛𝑏)𝑔(𝑘𝑧𝑚 − 𝑘, 𝑐)+

+ exp(−𝑗𝑘(𝑐+ ℎ) + 𝑗𝑘𝑧𝑚𝑐) sin(𝑘𝑥𝑛(𝑏+ ℎ))𝑔(𝑘𝑧𝑚 − 𝑘, 𝑑− 𝑐), (2.4)

𝑓(𝑘𝑥𝑛, 𝑘, 𝑏, ℎ) =

𝑏+ℎ∫𝑏

cos(𝑘𝑥𝑛𝑥′) exp(−𝑗𝑘(𝑥′ − 𝑏))𝑑𝑥′ =

=1

2

𝑏+ℎ∫𝑏

[exp(𝑗𝑘𝑥𝑛𝑥′) + exp(−𝑗𝑘𝑥𝑛𝑥′)] exp(−𝑗𝑘(𝑥′ − 𝑏))𝑑𝑥′ =

=1

2

ℎ∫0

[exp(𝑗𝑘𝑥𝑛(𝑥′ + 𝑏)) + exp(−𝑗𝑘𝑥𝑛(𝑥′ + 𝑏))] exp(−𝑗𝑘𝑥′)𝑑𝑥′ =

=1

2(exp(𝑗𝑘𝑥𝑛𝑏)𝑔(𝑘𝑥𝑛 − 𝑘, ℎ) + exp(−𝑗𝑘𝑥𝑛𝑏)𝑔(−𝑘𝑥𝑛 − 𝑘, ℎ)),

𝑔(𝑘, 𝑐) =

𝑐∫0

exp(𝑗𝑘𝑥′)𝑑𝑥′ =exp(𝑗𝑘𝑐) − 1

𝑗𝑘.

35

Для получения ДУ выразим компоненты электрического поля:

𝐸𝑥(𝑥, 𝑧) = (𝑗𝜔𝜀0𝜀𝑒𝑓)−1(𝜕

𝜕𝑥(𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑥+𝜕𝐴𝑧

𝜕𝑧) + 𝑘20𝜀𝑒𝑓𝐴𝑥),

𝐸𝑧(𝑥, 𝑧) = (𝑗𝜔𝜀0𝜀𝑒𝑓)−1(𝜕

𝜕𝑧(𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑥+𝜕𝐴𝑧

𝜕𝑧) + 𝑘20𝜀𝑒𝑓𝐴𝑧).

Далее следует проинтегрировать компоненты полей с сопряженными зна-

чениями тока и, учитывая граничные условия, приравнять интеграл к нулю.

𝑐∫0

𝐸𝑧(𝑏, 𝑧) exp(−𝑗𝑘𝑧)𝑑𝑧 +

𝑑∫𝑐

𝐸𝑧(𝑏+ ℎ, 𝑧) exp(−𝑗𝑘(𝑧 − 𝑐) − 𝑗𝑘(𝑐+ ℎ))𝑑𝑧+

+

𝑏+ℎ∫𝑏

(𝐸𝑥(𝑥, 𝑐) exp(−𝑗𝑘(𝑥−𝑏)−𝑗𝑘𝑐)+𝐸𝑥(𝑥, 𝑑) exp(𝑗𝑘(𝑥−𝑏−ℎ)−𝑗𝑘(ℎ+𝑑)))𝑑𝑥 = 0.

Данные интегралы вычисляются с помощью соотношений (2.3) и (2.4). Решая

данное ДУ, получаем зависимость 𝑘0 от 𝑘𝑧. Отношение 𝑘𝑧/𝑘0 покажет замед-

ление, которое дает данная конфигурация системы.

Полученные для ЗС результаты расчета дисперсии (рис. 2.2) соответству-

ют физике распространения волн в гребенке лишь на низких частотах ввиду

того, что в разложении плотности тока присутствует лишь одна гармоника. В

отсутствии гребней и диэлектрика зависимость линейная (кривая 1). Штрихо-

ванные кривые соответствуют конфигурациям с 𝜀 = 1 и 𝑏/𝑎 = 0.5, 𝑐/𝑎 = 0.2,

𝑑/𝑎 = 0.4, ℎ/𝑎 = 0.3 (2); 𝑏/𝑎 = 0.5, 𝑐/𝑎 = 0.1, 𝑑/𝑎 = 0.2, ℎ/𝑎 = 0.3 (3);

𝑏/𝑎 = 0.3, 𝑐/𝑎 = 0.1, 𝑑/𝑎 = 0.2, ℎ/𝑎 = 0.6 (5). С появлением гребней линей-

ность пропадает, при этом замедление тем больше, чем уже и глубже гребень.

Результаты для 𝜀 = 4 представлены в виде сплошных кривых: 𝑏/𝑎 = 0.5,

𝑐/𝑎 = 0.1, 𝑑/𝑎 = 0.2, ℎ/𝑎 = 0.3 (4); 𝑏/𝑎 = 0.3, 𝑐/𝑎 = 0.1, 𝑑/𝑎 = 0.2,

ℎ/𝑎 = 0.6 (6). Можно убедиться, что повышение ДП диэлектрического слоя

еще больше увеличивает замедление.

36

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

kzd

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

k0d

1

2

3

4

5

6

Рисунок 2.2. Дисперсия ЗС для различных конфигураций гребенки

Увеличение замедления за счет диэлектрика достигается уменьшением от-

ношения 𝑏/𝑎. Увеличение размера гребня ℎ уменьшает 𝜀𝑒𝑓 (при прочих неиз-

менных размерах), но увеличивает геометрическое замедление. Соответствен-

но, при больших 𝜀 замедление может уменьшиться, а при малых 𝜀 при этом

будет возрастать.

Исходя из результатов, можно сделать вывод, что наибольшее замедление

достигается при комбинации геометрического замедления и замедления, по-

лученного за счет диэлектрика, и соответствует волноводу, более чем наполо-

вину заполненному диэлектрической металлизированной гребенкой с узкими,

но глубокими гребнями. При этом величина замедления на низких частотах

постоянна в широкой полосе, что позволяет использовать данный вид ЗС при

создании ламп бегущей волны в терагерцовом диапазоне.

37

2.2. Одномерно-периодические металло-диэлектрические пленочные

структуры

Рассмотрим одномерно-периодический металлический фотонный кри-

сталл (МФК), расположенный на рис. 2.3 и состоящий из двух чередующихся

вдоль оси 𝑥 слоев металла и диэлектрика с заданными значениями диэлек-

трической проницаемости 𝜀1 и 𝜀2. Ширина слоя металла равна 𝑎, период – 𝑑.

xza d0

y

Рисунок 2.3. Слоистая одномерно-периодическая структура

Возьмем слой с 𝜀2 за основу и будем считать, что слои с 𝜀1 излучают как

вторичные источники с током поляризации, при этом плотность тока зависит

лишь от 𝑥:

J(𝑥) = 𝛿(𝑦 − 𝑦′)𝛿(𝑧 − 𝑧′)𝑗𝜔𝜀0(𝜀1 − 𝜀2)E(𝑥), (2.5)

Такой структуры соответствует одномерная ФГ вида (1.19). Обычно рас-

сматривают волны вдоль структуры, считая 𝑘𝑦 = 𝑘𝑧 = 0. В этом случае ФГ

упрощается и представляет собой одномерный ряд. Интегрируя ФГ с (2.5),

38

найдем электрическое поле

E(𝑥) = (∇2 + 𝑘20𝜀2)(𝜀1/𝜀2 − 1)

𝑎∫0

𝐺(𝑥− 𝑥′)E(𝑥′)𝑑𝑥′.

Данное уравнение описывает электрическое поле в бесконечной периоди-

ческой структуре. Такие бесконечные среды являются гиперболическими ме-

таматериалами с двумя отрицательными компонентами диагонального тензора

эффективной диэлектрической проницаемости [3, 97–100]. В действительно-

сти данные структуры выполняются с конечным числом периодов и играют

роль электромагнитных экранов в различных диапазонах, начиная с радио-

частот и вплоть до оптического. Для подавления инфракрасного излучения

и прозрачности для оптических частот перспективно использовать нанораз-

мерные слои. В этом случае данная структура может играть роль теплового

экрана. Простейшим таким экраном является квазипериодическая структура

из нескольких слоев металла и 𝑆𝑖𝑂2, нанесенная на стекло [94]. Для расчета

коэффициентов пропускания и отражения удобно использовать метод матриц

передачи (1.10), позволяющий напрямую определять данные коэффициенты.

Согласно результатам [88, 90], применение метода ФГ и ИУ приводит к

тому же дисперсионному соотношению, что и метод матриц передачи. Оно

имеет следующий вид:

𝑘𝑥 = −𝑗 ln(𝑍 +√𝑍2 − 1),

где 𝑍 = cos(𝑘1) cos(𝑘2) − 12 sin(𝑘1)𝑠𝑖𝑛(𝑘2)[

√𝜀2/𝜀1 +

√𝜀1/𝜀2], 𝑘1 = 𝑘0

√𝜀1𝑎,

𝑘2 = 𝑘0√𝜀2(𝑑− 𝑎).

Диэлектрическая проницаемость металлов является комплексной величи-

ной, а ее вещественная часть изменяется с сильно отрицательных значений на

39

низких частотах на положительные в ультрафиолетовом диапазоне. Для ФК

будем моделировать слои металла как плазму:

𝜀(𝜔) = 𝜀𝑟 − 𝜔2𝑝/(𝜔(𝜔 − 𝑗𝜔𝑐)), (2.6)

где 𝜀𝑟 – относительная ДП кристаллической решетки, 𝜔𝑝 – плазменная частота

металла, 𝜔𝑐 – частота столкновений электронов.

Рассмотрим результаты расчета дисперсии одномерных МФК из чередую-

щихся слоев алюминия и диэлектрика (рис. 2.4). Для алюминия взяты пара-

метры 𝜔𝑝 = 2.2 ·1016, 𝜔𝑐 = 1.35 ·1015 [101]. В области низких частот запрещен-

ных зон нет, и имеет место небольшое поглощение, а также чередование об-

ластей аномальной и нормальной дисперсии. Заметим, что наличие областей

аномальных дисперсий характерно и для волноводов с потерями на частотах

ниже отсечек для соответствующих идеальных волноводов [102–104].

а) б)

Рисунок 2.4. Дисперсия (а) и нормированные потери на ячейкупериодичности (б) одномерного МФК с алюминиевым слоем толщиной

19𝑛𝑚, периодом 𝑑 = 188𝑛𝑚, 𝜀𝑟 = 9.8 − 0.001𝑗, 𝜀2 = 1

40

На рис. 2.5 показана дисперсия одномерно-периодического ФК в идеаль-

ном случае отсутствия проводимости (𝜔𝑝 = 0). Для МФК это реализуется при

𝜔𝑝 >> 𝜔, что соответствует жесткому ультрафиолетовому диапазону. В этом

случае на низких частотах дисперсия нормальная. На высоких частотах появ-

ляются запрещенные зоны, и их ширина зависит от разницы значений 𝜀1 и 𝜀2

– чем больше разница, тем шире зоны.

Рисунок 2.5. Дисперсия одномерного диэлектрического ФК с диэлектричекимслоем толщиной 19𝑛𝑚, периодом 𝑑 = 188𝑛𝑚, 𝜀1 = 9.8 − 0.001𝑗, 𝜀 = 2

(1 – вакуум) и 𝜀2 = 3.2 − 0.0003𝑗 (2 – 𝑆𝑖𝑂2)

На рис. 2.6 приведены результаты расчета коэффициента прохождения по

мощности одномерных квазипериодических металло-диэлектрических струк-

тур в зависимости от длины волны в сантиметрах для разных металлов: алю-

миния, никеля и хрома. Использовался метод матриц передачи. Параметры

металлов были взяты из работы [101], при этом величина относительной ди-

электрической проницаемости кристаллической решетки в рассматриваемом

диапазоне практически не имеет дисперсии и изменяется в области 8-12. Ис-

41

пользовалось четыре периода с толщиной металлического слоя 30 нм, диэлек-

трического – 300 нм.

,см

Рисунок 2.6. Коэффициент прохождения по мощности теплового экрана ввиде четырех периодов со слоями металла 30 нм и слоями 𝑆𝑖𝑂2 300 нм в

зависимости от длины волны (см): кривая 1 – алюминий, 2 – никель, 3 – хром

Как можно заметить, данные структуры хорошо подавляют частоты ин-

фракрасного диапазона, оставаясь прозрачными в оптическом. При этом ми-

нимальное значение коэффициента пропускания наблюдается для структур из

алюминия. Расчеты двух периодов показывают существенно меньшее ослаб-

ление прошедшей волны. Улучшить параметры экрана можно путем увели-

чения числа слоев и оптимизации их толщин, что в свою очередь усложняет

изготовление. Полученные данные согласуются с результатами работы [105],

вышедшей практически одновременно с [94].

42

2.3. Двумерно-периодические металлические проволочные структуры

2.3.1. Постановка задачи с учетом тока проводимости

Рассмотрим двумерно-периодический МФК, расположенный на рис. 2.7 и

состоящий из металлических бесконечно протяженных проволочек радиуса 𝑟.

Проволочки ориентированы по оси 𝑧 и периодически расположены по осям

𝑥, 𝑦 с периодами соответственно 𝑎 и 𝑏 в среде (матрице) с диэлектрической

проницаемостью 𝜀.

x

y

a

b

r

Рисунок 2.7. Двумерно-периодический МФК с включениями в видебесконечно протяженных тонких проволочек

Учитывается приближение идеально проводящего металла. Проволочки

считаем тонкими, 𝑟 << min(𝑎, 𝑏), и будем моделировать ток линейным то-

ком проводимости, текущим по оси стержня. Тогда его плотность запишется

следующим образом:

J(r) = z0𝐼𝛿(𝑥)𝛿(𝑦) exp(−𝑗𝑘𝑧𝑧). (2.7)

43

Для построения ИУ будем использовать скалярную ФГ двумерно-

периодических сфазированных источников (периодическую ФГ) (1.18). Ну-

левой ячейке, соответствующей началу координат, принадлежит только одна

проволочка, расположенная в центре. Плотность тока создает только одну ком-

поненту электрического вектор-потенциала

𝐴𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) =1

2𝜋𝑎𝑏

∞∫−∞

𝑑𝑧′ exp(−𝑗𝑘𝑧𝑧′)∞∫

−∞

𝑑𝛾×

×∞∑

𝑚,𝑛=−∞

exp(−𝑗(𝑘𝑥𝑚𝑥+ 𝑘𝑦𝑛𝑦 + 𝛾(𝑧 − 𝑧′)))

𝑘2𝑥𝑚 + 𝑘2𝑦𝑛 + 𝛾2 − 𝑘20𝜀, (2.8)

через которую можно выразить электрическое поле.

Для вычисления интегралов по 𝑧′ и 𝛾 преобразуем следующее выражение:

1

2𝜋

∞∫−∞

exp(−𝑗𝑘𝑧𝑧′ − 𝑗𝛾(𝑧 − 𝑧′))𝑑𝑧′ =exp(−𝑗𝛾𝑧)

2𝜋

∞∫−∞

exp(𝑗𝑧′(𝛾 − 𝑘𝑧))𝑑𝑧′ =

= exp(−𝑗𝛾𝑧)𝛿(𝛾 − 𝑘𝑧),

тем самым избавляясь от интеграла по 𝑧′. Теперь, подставляя полученное зна-

чение в (2.8), вычисляем интеграл по 𝛾:

𝐴𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) =1

𝑎𝑏

∞∫−∞

𝑑𝛾 exp(−𝑗𝛾𝑧)𝛿(𝛾 − 𝑘𝑧)∞∑

𝑚,𝑛=−∞

exp(−𝑗(𝑘𝑥𝑚𝑥+ 𝑘𝑦𝑛𝑦)

𝑘2𝑥𝑚 + 𝑘2𝑦𝑛 + 𝛾2 − 𝑘20𝜀=

=1

𝑎𝑏

∞∑𝑚,𝑛=−∞

exp(−𝑗(𝑘𝑥𝑚𝑥+ 𝑘𝑦𝑛𝑦 + 𝑘𝑧𝑧))

𝑘2𝑥𝑚 + 𝑘2𝑦𝑛 + 𝑘2𝑧 − 𝑘20𝜀.

В итоге мы получили выражение для электрического вектор-потенциала,

не содержащее интегралов по 𝑧 и 𝛾. Далее выражаем компоненту 𝐸𝑧 электри-

44

ческого поля:

𝐸𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐼𝑘20𝜀− 𝑘2𝑧𝑗𝜔𝜀0𝜀𝑎𝑏

∞∑𝑚,𝑛=−∞

exp(−𝑗𝑘𝑥𝑚𝑥− 𝑗𝑘𝑦𝑛𝑦 − 𝑗𝑘𝑧𝑧)

𝑘2𝑥𝑚 + 𝑘2𝑦𝑛 + 𝑘2𝑧 − 𝑘20𝜀. (2.9)

В случае идельной проводимости металла поверхностный импеданс равен

нулю, и компонента 𝐸𝑧 должна обратиться в нуль на поверхности проволочки.

Для получения ДУ необходимо проинтегрировать (2.9) с базисной функцией

разложения тока:

∞∫−∞

𝐸𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) exp(−𝑗𝑘𝑧𝑧)𝑑𝑧 = 0.

Ввиду наличия лишь одной базисной функции, после интегрирования по-

лучаем одно уравнение и, следовательно, одноэлементную матрицу 𝐴, равен-

ство нулю определителя которой и представляет собой ДУ. Удобно рассмот-

реть проволочку в плоскости 𝑧 = 0. В (2.9) точка (𝑥, 𝑦) принадлежит окружно-

сти: 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2. Целесообразно усреднить поле по всем точкам окружности,

записав 𝑥 = 𝑟 cos(𝜙), 𝑦 = 𝑟 sin(𝜙) и проинтегрировав по углу. При этом воз-

никают функции Бесселя:

1

2𝜋

2𝜋∫0

exp(±𝑗𝑟(𝑘𝑥𝑚 cos(𝜙) + 𝑘𝑦𝑛 sin(𝜙)))𝑑𝜙 = 𝐽0(𝑟√𝑘2𝑥𝑚 + 𝑘2𝑦𝑛). (2.10)

После подстановки (2.10) в (2.9) ДУ принимает вид:

𝐹 (k, 𝑘0) = det𝐴 =𝑘20𝜀− 𝑘2𝑧𝑗𝜔𝜀0𝜀𝑎𝑏

𝑀∑𝑚,𝑛=−𝑀

𝐽0(𝑟√𝑘2𝑥𝑚 + 𝑘2𝑦𝑛)

𝑘2𝑥𝑚 + 𝑘2𝑦𝑛 + 𝑘2𝑧 − 𝑘20𝜀= 0. (2.11)

где (𝑀+1)2 – количество учитываемых плоских волн (пространственных гар-

моник). Использование функций Бесселя позволяет существенно увеличить

скорость сходимости рядов в (2.11) в зависимости от 𝑀 (рис. 2.8а). Так же

45

стоит заметить, что ряды сходятся тем быстрее, чем больше радиус 𝑟 прово-

лочки (рис. 2.8б). Например, для 𝑟/𝑎 = 0.05 достаточно взять 𝑀 = 40, в то

время как для 𝑟/𝑎 = 0.005 уже требуется 𝑀 = 120.

0 50 100 150 200

M

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

A

а)

0 50 100 150 200

M

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

A

б)

Рисунок 2.8. Зависимость значения матричного элемента от количестваучитываемых плоских волн в ФГ: а) при усреднении по окружности во всех

точках (сплошная кривая) и в 4-х точках (штрихованная кривая) для𝑟/𝑎 = 0.05; б) при усреднении по всем точкам окружности для

𝑟/𝑎 = 0.05 (сплошная кривая), б) 𝑟/𝑎 = 0.005 (штрихованная кривая)

Решая ДУ, находим зависимость вида 𝑘0 = 𝑓(𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧), на основе которой

строится зонная диаграмма Бриллюэна и далее определяется наличие и ши-

рина запрещенных зоны. Заметим, что тривиальное решение получается при

𝑘0𝜀 = 𝑘𝑧, что соответствует распространению волн вдоль стержней с той же

скоростью, что и в диэлектрической среде. Из этого следует, что такие МФК

могут быть направляющими структурами для частотных диапазонов, где свой-

ства металла близки к идеальным.

2.3.2. Постановка задачи с учетом тока поляризации

Далее рассмотрим такую же структуру с учетом прохождения поля внутрь

включений, что соответствует диэлектрическим проволочкам, либо металли-

ческим проволочкам на частотах, близких к плазменным. ДП таких включений

46

является функцией частоты 𝜀(𝜔), источниками поля являются токи поляриза-

ции с плотностью

J𝑝(r, 𝜔) = 𝑗𝜔𝜀0(𝜀(𝜔) − 𝜀)E(r, 𝜔), (2.12)

а объемное ИУ формулируется для электрического поля внутри включе-

ний [96]. Плоская волна создает ток поляризации и им же поддерживается,

чему соответствует однородное ИУ. Как и в случае токов проводимости, вдоль

оси 𝑧 задана постоянная распространения волны 𝑘𝑧 и используется ФГ (1.18).

В результате все величины типа (2.12) приобретают множитель exp(−𝑗𝑘𝑧𝑧),

который дальше, как и зависимость от заданной частоты 𝜔, будем опускать. В

нашем случае продольная компонента тока поляризации гораздо меньше по-

перечной, причем ее влияние тем больше, чем меньше радиус стержней. Это

означает, что в ФК может распространяться волна, у которой имеется ком-

понента электрического поля 𝐸𝑧, а ИУ можно приближенно сформулировать

только относительно этой компоненты, то есть получить одномерное ИУ в

двумерном пространстве. Запишем выражение для 𝐸𝑧:

𝐸𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) =(𝑘20𝜀− 𝑘2𝑧)(𝜀− 𝜀)

𝑎𝑏𝜀×

×∫𝑆

∞∑𝑚,𝑛=−∞

exp(−𝑗𝑘𝑥𝑚(𝑥− 𝑥′) − 𝑗𝑘𝑦𝑛(𝑦 − 𝑦′))𝐸𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑘2𝑥𝑚 + 𝑘2𝑦𝑛 + 𝑘2𝑧 − 𝑘20𝜀𝑑𝑆 ′, (2.13)

где 𝑆 – площадь поперечного сечения стержня.

Далее введем цилиндрическую систему координат в центре стержня и рас-

смотрим плоскость 𝑧 = 0. Полагаем 𝜀 = 1 и предполагаем, что 𝐸𝑧 зависит

только от 𝑝. Данное предположение означает, что поле на поверхности стерж-

ня одинаковое, а внутри изменяется только вдоль радиуса. Поскольку волна

при распространении затухает, такое предположение возможно при малом за-

47

тухании волны в поперечном направлении на расстояниях порядка 𝑟 и в том

случае, когда для длины волны выполняются условия 𝜆 > 𝑎 >> 𝑟, что соот-

ветствует радиусу порядка нанометров и разреженности ФК, обеспечивающей

малые потери. Для получения ДУ нужно умножить (2.13) на 𝐸𝑧 и проинте-

грировать по поперечному сечению. При этом в знаменателе (2.13) возникают

функции Бесселя (2.10). Перенося интегралы в левую часть, получаем функ-

ционал

𝐹 (𝑘0,k, 𝐸𝑧) =

𝑟∫0

𝐸2𝑧 (𝑝)𝑑𝑝−(𝑘20𝜀−𝑘2𝑧)(𝜀/𝜀−1)

𝑟∫0

𝑟∫0

𝐸𝑧(𝑝)𝐾(𝑝, 𝑝′)𝐸𝑧(𝑝′)𝑝′𝑑𝑝′𝑑𝑝,

где введено следующее ядро:

𝐾(𝑝, 𝑝′) =2𝜋

𝑎𝑏

∞∑𝑚,𝑛=−∞

𝐽0(𝑝𝑘𝑚𝑛)𝐽0(𝑝′𝑘𝑚𝑛)

𝑘2𝑚𝑛 + 𝑘2𝑧 − 𝑘20𝜀,

в котором обозначено 𝑘𝑚𝑛 =√𝑘2𝑥𝑚 + 𝑘2𝑦𝑛.

Экстремум по 𝐸𝑧(𝑝) имеет нулевое значение и приводит к ДУ, которое по-

лучается при подстановке некого оптимального распределения электрического

поля и приравнивании 𝐹 (𝑘0,k, 𝐸𝑧) к нулю. Более точный подход требует раз-

ложения 𝐸𝑧 по базисным функциям, что приводит к необходимости поиска

комплексных корней определителя. Умножим левую и правую части (2.13) на

𝑝, тогда функционал примет вид:

𝐹 (𝑘0,k, 𝐸𝑧) =

𝑟∫0

𝐸2𝑧 (𝑝)𝑝𝑑𝑝−(𝑘20𝜀−𝑘2𝑧)(𝜀/𝜀−1)

𝑟∫0

𝑟∫0

𝑝𝐸2𝑧 (𝑝)𝐾(𝑝, 𝑝′)𝐸2

𝑧 (𝑝′)𝑝′𝑑𝑝′𝑑𝑝.

Далее необходимо подобрать поле 𝐸𝑧. Внутри стержня это симметричное

по азимуту поле удовлетворяет волновому уравнению

𝑝−1(𝜕/𝜕𝑝)(𝑝𝜕𝐸𝑧(𝑝)/𝜕𝑝) + (𝑘20𝜀− 𝑘2𝑧)𝐸𝑧(𝑝) = 0.

48

Обозначим 𝜅 =√𝑘20𝜀− 𝑘2𝑧). Решение волнового уравнения имеет вид

𝐸𝑧(𝑝) = 𝐶𝐽0(𝑝𝜅). Распространение плоской волны в ФК можно формально

рассматривать как ее движение под углом arctan(𝑘𝑧/√𝑘2𝑥 + 𝑘2𝑦) к оси прово-

лочек. Компоненту 𝐸𝑝 в данном случае не учитываем, ввиду малого радиуса

стержней. Теперь ДУ принимает вид:

𝐹 (𝑘0,k) =

𝑟∫0

𝐶𝐽20 (𝑝)𝑝𝑑𝑝−

− (𝑘20𝜀− 𝑘2𝑧)(𝜀/𝜀− 1)

𝑟∫0

𝑟∫0

𝐶𝑝𝐽0(𝑝)𝐾(𝑝, 𝑝′)𝐽0(𝑝′)𝑝′𝑑𝑝′𝑑𝑝 = 0. (2.14)

В (2.14) аналитически все интегралы выражаются через функции Бесселя.

Далее запишем ДУ в виде:

𝐹 (𝑘0,k) = 𝜅−2

𝑟𝜅∫0

𝐽20 (𝑥)𝑥𝑑𝑥−

− (𝑘20𝜀− 𝑘2𝑧)(𝜀/𝜀− 1)𝜅−4

𝑟𝜅∫0

𝑟𝜅∫0

𝑥𝐽0(𝑥)𝐾(𝑥/𝜅, 𝑥′/𝜅)𝐽0(𝑥′)𝑥′𝑑𝑥′𝑑𝑥 = 0.

Обозначим через 𝑓(𝑟, 𝜅) и 𝑔(𝑟, 𝜅, 𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧, 𝑘0) первый и второй интегралы

соответственно и приведем формулы их вычисления:

𝑓(𝑟, 𝜅) =𝑟𝜅

2

[𝐽20 (𝑟𝜅) + 𝐽2

1 (𝑟𝜅)],

𝑔(𝑟, 𝜅, 𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧, 𝑘0) =2𝜋

𝑎𝑏

∞∑𝑚,𝑛=−∞

ℎ2(𝑘𝑚𝑛, 𝜅, 𝑟)

𝑘2𝑚𝑛 + 𝑘2𝑧 − 𝑘20𝜀,

ℎ(𝑘𝑚𝑛, 𝜅, 𝑟) = 𝑟𝜅𝐽1(𝑟𝜅)𝐽0(𝑟𝑘𝑚𝑛) − (𝑘𝑚𝑛/𝜅)𝐽0(𝑟𝜅)𝐽1(𝑟𝑘𝑚𝑛)

1 − (𝑘𝑚𝑛/𝜅)2.

49

Теперь ДУ можно записать в виде:

𝜅 =√

(𝑘20𝜀− 𝑘2𝑧)(𝜀/𝜀− 1)𝑔(𝑟, 𝜅, 𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧, 𝑘0)/𝑓(𝑟, 𝜅).

Такой вид обычно используют для итерационного решения. Другой вид

ДУ возможен на основе формулы

𝑘𝑧 =

√𝑘20𝜀−

𝜅2𝑓(𝑟, 𝜅)

(𝜀/𝜀− 1)𝑔(𝑟, 𝜅, 𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧, 𝑘0). (2.15)

Данные формулы позволяют при заданных 𝑘𝑥, 𝑘𝑦 и 𝜀 находить дисперсион-

ную зависимоcть 𝑘𝑧 = 𝑘𝑧(𝑘0) для волн, распространяющихся вдоль стержней.

Заметим, что все полученные соотношения носят приближенный характер,

поскольку в ФК с диссипацией невозможно из-за потерь получение в стержне

строго азимутально-независимого тока. В случае диэлектрических стержней

малого радиуса это приближение работает существенно лучше, а его точность

определяется в основном параметром 𝑟/𝑎.

ДУ (2.14) также можно использовать для поиска 𝑘0 при заданных компо-

нентах волнового вектора. При этом следует учитывать, что каждому значе-

нию 𝑘0 и частоты 𝜔 согласно (2.6) соответствует значение диэлектрической

проницаемости включения. Поскольку 𝑘0 нормированно на ячейку, то частота

𝜔 находится из формулы

𝜔 = 𝑘0𝑐𝑑−1,

где 𝑐 – скорость света в вакууме, 𝑑 – размер ячейки в метрах.

50

2.3.3. Гомогенизация

Применение метаматериалов при конструировании сложных электродина-

мических систем требует гомогенизации, то есть представления неоднород-

ных сред в виде однородных с набором эффективных материальных парамет-

ров: диэлектрической и магнитной проницаемости.

Рассмотрим гомогенизацию МФК в случае идеальной проводимости. Так

как проволочки тонкие и азимутальных токов нет, то магнитные свойства от-

сутствуют и 𝜇 = 1. Данная структура представляет из себя одноосный кри-

сталл, и ее диэлектрическая проницаемость описывается диагональным тен-

зором [106]

𝜀(𝑘0,k) =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣𝜀 0 0

0 𝜀 0

0 0 𝜀𝑧𝑧

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ . (2.16)

Далее воспользуемся методом гомогенизации, основанным на вычисле-

нии дипольных моментов и усреднении полей. Искомая компонента связана с

единственной z-компонентой вектора поляризации:

𝜀𝑧𝑧(𝑘0,k) = 1 +𝑃𝑧

𝜀0 ⟨𝐸𝑧⟩,

где ⟨𝐸𝑧⟩ – усредненная по ячейке z-компонента электрического поля. В част-

ности, нам необходимо усреднять функции типа exp(−𝑗𝑘𝑥𝑚𝑥) на интервале

(−𝑎/2, 𝑎/2). Тогда среднее значение примет вид:

𝑒𝑥𝑚(𝑘𝑥, 𝑎) =1

𝑎

𝑎/2∫−𝑎/2

exp(−𝑗𝑘𝑥𝑚𝑥)𝑑𝑥 =2(−1)−𝑚 sin(𝑘𝑥𝑎/2)

𝑎(𝑘𝑥 + 2𝑚𝜋/𝑎).

51

Усреднение по 𝑧 проведем так:

𝑒𝑧𝑘(𝑘𝑧, 𝐿) =1

2𝐿

𝐿∫−𝐿

exp(−𝑗𝑘𝑧𝑧)𝑑𝑧 =sin(𝑘𝑧𝐿)

𝑘𝑧𝐿.

Эта величина, как функция 𝐿 убывает и колеблется с периодом 2𝜋/𝑘𝑧.

Поэтому усредним по указанному периоду:

𝑒𝑧𝑘(𝑘𝑧) =𝑘𝑧2𝜋

𝜋/𝑘𝑧∫−𝜋/𝑘𝑧

sin(𝑘𝑧𝐿)

𝑘𝑧𝐿𝑑𝐿 =

1

𝜋𝑠𝑖(𝜋).

Вектор поляризации имеет только одну z-компоненту:

𝑃𝑧(𝑘𝑧, 𝐿) =𝐼𝑘𝑧

2𝜔𝑎𝑏𝐿

𝐿∫−𝐿

𝑧 exp(−𝑗𝑘𝑧𝑧)𝑑𝑧 =−𝑗𝐼𝜔𝑎𝑏

(− cos(𝑘𝑧𝐿) +sin(𝑘𝑧𝐿)

𝑘𝑧𝐿). (2.17)

Члены в (2.17) как функции 𝐿, четные: первый осциллирует с периодом

2𝜋/𝑘𝑧, а второй осциллирует и затухает при больших длинах L. Усредним

результат по периоду осцилляций:

𝑃𝑧 =𝑘𝑧𝜋

𝜋/𝑘𝑧∫0

𝑃𝑧(𝑘𝑧, 𝐿)𝑑𝐿 =−𝑗𝐼𝜋𝜔𝑎𝑏

𝑠𝑖(𝜋).

Так же возможно нахождение 𝜀𝑧𝑧 компоненты диэлектрической проницае-

мости непосредственно из ДУ. Для этого воспользуемся уравнением Френеля

кристаллооптики для одноосных кристаллов [106]

𝑘2𝑧𝜀

+𝑘2𝑥 + 𝑘2𝑦𝜀𝑧𝑧

= 𝑘20, (2.18)

из которого при 𝜀 = 1 следует, что

𝜀𝑧𝑧 =𝑘2𝑥 + 𝑘2𝑦𝑘20 − 𝑘2𝑧

. (2.19)

52

2.3.4. Результаты моделирования

На рис. 2.9 приведены зонные диаграммы Бриллюэна двумерно-

периодических проволочных МФК с учетом токов проводимости при 𝑎 = 𝑏,

𝜀 = 1 для различных значений нормированной продольной компоненты вол-

нового вектора 𝑘𝑧𝑎 и радиуса проволочек. Нормированная поперечная ком-

понента волнового вектора принимала значения между точками Γ = (0, 0),

X = (𝜋/𝑎, 0), M = (𝜋/𝑎, 𝜋/𝑏). Результаты получены с помощью формулы

(2.11). При этом тривиальное решение 𝑘0𝜀 = 𝑘𝑧, соответствующее прохож-

дению продольной волны без потерь вдоль проволочек, не учитывалось.

M Γ X Mka

0

1

2

3

4

5

6

7

k0a

1

2

а)

M Γ X Mka

0

1

2

3

4

5

6

7

k0a

1

2

б)

Рисунок 2.9. Зонные диаграммы МФК с бесконечно протяженнымипроволочками при 𝑎 = 𝑏, 𝜀 = 1, а) 𝑟/𝑎 = 0.05 и 𝑘𝑧𝑎 = 0 (кривая 1),

𝑘𝑧𝑎 = 2 (2); б) 𝑘𝑧𝑎 = 0 и 𝑟/𝑎 = 0.05 (1), 𝑟/𝑎 = 0.005 (2)

Из результатов видно, что в области низких частот таким МФК соответ-

ствует низкочастотная отсечка, которая повышается при увеличении норми-

рованной продольной компоненты волнового вектора и понижается с умень-

шением радиуса проволочек. Между нижней и верхней ветвями зонной диа-

граммы наблюдается неполная запрещенная зона, которая исчезает в области

точки M. Данные результаты согласуются с результатами работ [50,51]: тесто-

53

вые расчеты для структур с 𝜋𝑟2/𝑎2 = 0.001 показывают, что результат решения

дисперсионного уравнения и построенная зонная диграмма практически пол-

ностью совпадают с приведенными в вышеупомянутых работах – рис. (2.10)

(сплошные линии соответствуют результатам расчета с помощью метода ИУ

и ФГ, точками обозначены результаты полученные методом, представленным

в [50]). Так же наблюдается качественное совпадение с численными и экспе-

риментальными результатами работ [20, 21, 68].

M Γ X Mka

0

1

2

3

4

5

6

7

k0a

Рисунок 2.10. Зонные диаграммы МФК с бесконечно протяженнымипроволочками при 𝑎 = 𝑏, 𝜀 = 1, 𝜋𝑟2/𝑎2 = 0.001, 𝑘𝑧𝑎 = 0, рассчитанные

различными методами

Была проведена процедура гомогенизации по формуле (2.19). Для структу-

ры с радиусом стержней 𝑟 = 0.05𝑎 была рассчитана компонента 𝜀𝑧𝑧 диэлек-

трической проницаемости в зависимости от нормированного волнового числа

(рис. 2.11). Ниже отсечки 𝜀𝑧𝑧 < 0, причем значение стремится к бесконечности

на нулевой частоте. В области отсечки значение данной компоненты стремит-

ся к нулю и постепенно повышается до единицы с ростом частоты. Получен-

ная частотная дисперсия аналогична частотной дисперсии плазмы [107], при

этом ниже частоты отсечки такая структура ведет себя как гиперболический

метаматериал с одной отрицательной компонентой диагонального тензора эф-

фективной диэлектрической проницаемости.

54

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

k0a

01

εzz

Рисунок 2.11. Компонента ДП 𝜀𝑧𝑧 в зависимости от нормированноговолнового числа при движении по нижней ветви зонной диаграммы от точки

Г к М для МФК при 𝑎 = 𝑏, 𝜀 = 1, 𝑟/𝑎 = 0.05, 𝑘𝑧 = 0

Далее рассмотрим результаты расчета дисперсии данных структур с уче-

том прохождения поля внутрь проволочных включений, что соответствует, на-

пример, металлам на частотах, близких к плазменным. Были взяты структуры

из медных и вольфрамовых проволочек для размеров ячейки 𝑎 = 𝑏 = 1 мкм и

𝑎 = 𝑏 = 500 нм. Для меди имеем плазменную частоту 𝜔𝑝 = 1.65 · 1016 Гц и ча-

стоту столкновений электронов 𝜔𝑐 = 4.23 ·1013 Гц [94]. Для вольфрама данные

значения равны 𝜔𝑝 = 7.68·1015 Гц, 𝜔𝑐 = 5·1013 Гц [108]. Диэлектрическая про-

ницаемость рассчитывалась по формуле (2.6). Зонные диаграммы Бриллюэна

приведены на рис. 2.12. Можно заметить, что, как и в случае идеально про-

водящих проволочек, данные структуры обладают низкочастотной отсечкой,

относительная величина которой понижается с уменьшением размера ячеек.

При этом для структуры c 𝑎 = 𝑏 = 1 мкм частоты отсечки равны 85.5 ТГц

(медь) и 70.3 ТГц (вольфрам), а для структуры с 𝑎 = 𝑏 = 500 нм – 144.8 ТГц

и 93.6 ТГц. Таким образом, при уменьшении размера периода структуры ча-

стота отсечки повышается в абсолютном значении.

55

M Γ X Mka

0

1

2

3

4

5

6

7

k0a

1

2

а)

M Γ X Mka

0

1

2

3

4

5

6

7

k0a

1

2

б)

Рисунок 2.12. Зонные диаграммы МФК с бесконечно протяженнымипроволочками при 𝜀 = 1, 𝑘𝑧𝑎 = 0, 𝑟/𝑎 = 0.05 из меди (кривая 1) и

вольфрама (2), а) 𝑎 = 𝑏 = 1 мкм; б) 𝑎 = 𝑏 = 500 нм

Также были исследованы дисперсионные свойства таких структур для

волн, распространяющихся вдоль стержней. При этом фиксировалось норми-

рованное волновое число 𝑘0𝑎 = 1 (частота), выбиралось значение диэлектри-

ческой проницаемости включения и строилась зонная диаграмма для 𝑘𝑧 по

итерационной формуле (2.15). На рис. 2.13а и 2.13б изображены зависимо-

сти вещественной и мнимой части 𝑘𝑧 от различных 𝑘𝑥 и 𝑘𝑦, принимающих

значения между точками высокой симметрии зонной диаграммы Бриллюэна.

Для обоих рисунков 𝑟 = 0.05𝑎, при этом кривые 1, 2, 3 и 4 соответству-

ют следующим значениям 𝜀: 3 − 10𝑗, −3 − 50𝑗, −10 − 100𝑗, −100 − 1000𝑗.

Данные величины могут соответствовать разным металлам, полуметаллам и

полупроводникам при некоторых температурах и частотах. Сплошные кри-

вые соответствуют случаю, когда значения 𝑘𝑥 и 𝑘𝑦 задавались действитель-

ными, а штрихованные – когда действительные 𝑘𝑥 и 𝑘𝑦 умножались на√𝜀𝑒𝑓𝑓

(𝜀𝑒𝑓𝑓 = 1 + 𝜋𝑟2(𝜀− 1)/𝑎2).

Потери растут при приближении свойств материала стержня к свой-

ствам диэлектрика – с увеличением значения 𝑅𝑒(𝜀). Максимальные значения

56

M Γ X Mka

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

k′za

1

23

4

а)

M Γ X Mka

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

k′′za

1

2

3

4

б)

Рисунок 2.13. Пространственная дисперсия волны вдоль стержней для МФКс бесконечно протяженными проволочками (вещественная часть – (а),

мнимая – (б)) при 𝑎 = 𝑏 = 1, 𝜀 = 1, 𝑟/𝑎 = 0.05 для 𝜀 = 3 − 10𝑗 (кривые 1),𝜀 = −3 − 50𝑗 (2), 𝜀 = −10 − 100𝑗 (3), 𝜀 = −100 − 1000𝑗 (4)

|𝐼𝑚(𝑘𝑧)| соответствуют случаю диэлектрика с большими потерями (кривая 1),

что для металлов реализуется в оптическом или ближнем ультрафиолетовом

диапазоне. При увеличении значения поперечной компоненты волнового век-

тора реализуется решение 𝑘𝑧 ∼ 𝑘0√𝜀, характеризующее волну, распростра-

няющуюся внутри стержня как в диэлектрическом волноводе. Заметим, что

случай 𝑅𝑒(𝜀) < 0 означает вытеснение поля из металла, при этом, чем больше

диэлектрические потери |𝐼𝑚(𝜀)|, тем меньше поле проникает в стержень, и

тем меньше потери на распространение волны. Таким образом, в инфракрас-

ном диапазоне периодические металлические стержни есть почти идеально

направляющие структуры. С дальнейшим уменьшением 𝑅𝑒(𝜀) описание все

точнее соответствует идельно проводящим проволочкам, где продольная вол-

на распространяется без потерь вдоль стержня.

На рис. 2.14 представлены результаты для ФК из золотых проволочек ра-

диусом 25 нм с периодом включений 500 нм. При этом 𝜔𝑝 = 1.37 · 1016 Гц

и 𝜔𝑐 = 2.56 · 1014 Гц [101]. Кривые 1, 2 и 3 соответствуют значениям длины

57

волны 𝜆 = 0.5 мкм, 𝜆 = 0.65 мкм и 𝜆 = 1 мкм. На инфракрасных частотах

данным структурам характерны малые потери и слабая дисперсия для волн,

распространяющихся вдоль проволочек. Тем самым можно сделать вывод, что

такие структуры можно использовать для передачи энергии инфракрасного

диапазона практически без потерь.

M Γ X Mka

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

k′z/k0

1

2

3

а)

M Γ X Mka

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0.0

k′′z/k0

1

23

б)

Рисунок 2.14. Замедление (а) и нормированные потери (б) волны вдольстержней для МФК с бесконечно протяженными золотыми проволочками

при 𝑎 = 𝑏 = 500 нм, 𝜀 = 1, 𝑟 = 25 нм для 𝜆 = 0.5 мкм (кривые 1),𝜆 = 0.65 мкм (2), 𝜆 = 1 мкм (3)

На рис. 2.15 представлены результаты расчета невязки значения напря-

женности электрического поля для случая идеально проводящих проволочек

с параметрами, соответствующими кривой 1 на рис. 2.9a. Для каждой точки

зонной диаграммы было посчитано нормированное значение усредненного на

поверхности стержня модуля напряженности электрического поля, которое,

согласно выбранным граничным условиям, должно обращаться в нуль. Из ре-

зультатов видно, что невязка повышается с приближением значений компо-

нент волнового вектора к 𝜋, но не превышает 3% от максимального значения

напряженности в ячейке. Представленные результаты являются интегральны-

58

ми характеристиками от поля, определяемыми функционалами. Невязка ДУ и

функционалов на порядок меньше.

M Γ X Mka

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

|Ez|

Рисунок 2.15. Зависимость нормированного модуля напряженностиэлектрического поля, усредненного на поверхности стержня, от волновоговектора в МФК с бесконечно протяженными проволочками при 𝑟/𝑎 = 0.05

2.4. Выводы

В данной главе рассмотрены одномерно-периодические и двумерно-

периодические метаматериалы: замедляющая система с диэлектрической ме-

таллизированной гребенкой, металло-диэлектрические пленочные структуры

и металлические фотонные кристаллы с включениями в виде тонких беско-

нечно протяженных проволочек. Были получены следующие результаты:

∙ Получены дисперсионные характеристики замедляющей системы для

ламп бегущей волны с диэлектрической металлизированной гребенкой и

проанализирована зависимость величины замедления от геометрических

и диэлектрических параметров гребенки. Показано, что такая структура

59

обладает близким к линейному законом дисперсии и почти постоянным

замедлением в широком частотном диапазоне, при этом наибольшее за-

медление достигается при комбинации широкого слоя диэлектрика с уз-

кими и глубокими металлизированными гребнями.

∙ Рассчитана частотная зависимость коэффициента пропускания для

одномерно-периодических металло-диэлектрических пленочных нано-

размерных метаматериалов. Показано, что такие структуры обладают

фильтрующими свойствами в области инфракрасного диапазона и мо-

гут быть основой для создания тепловых электромагнитных экранов.

∙ Предложены модели в тонкопроволочном приближении для металличе-

ских проволочных фотонных кристаллов с бесконечными стержнями,

согласно которым по проволочкам бежит азимутально-независимый ток.

Это позволяет ввести линейную плотность тока и рассматривать инте-

гральное уравнение относительно компонент электрического поля, ори-

ентированных вдоль контуров проволочек.

∙ Получены дисперсионные характеристики двумерно-периодических ме-

таллических стержневых фотонных кристаллов. Показано, что при усло-

вии идеальной проводимости данные структуры обладают низкочастот-

ной отсечкой, ниже которой ведут себя как плазма. При учете плаз-

менных свойств металла и наличии наноразмерных включений отсечка

понижается. Для волн, распространяющихся вдоль проволочек, данные

структуры имеют слабую дисперсию и малые потери вплоть до инфра-

красного диапазона.

60

3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЕ

ТРЕХМЕРНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР

В главе описываются математические модели метаматериалов с

трехмерно-периодической структурой. Используется метод моделирования на

основе интегральных уравнений и функций Грина. Приводятся результаты

аналитического и численного моделирования.

Результаты данной главы опубликованы в работах [91, 93, 95, 109–112].

3.1. Металлические проволочные стержневые структуры

Рассмотрим трехмерный МФК с проволочными включениями в виде

стержней длиной 𝑙 и радиусом 𝑟. Стержни ориентированы по оси 𝑧 и пе-

риодически расположены по осям 𝑥, 𝑦, 𝑧 с периодами 𝑎, 𝑏 и 𝑐 соответственно

в среде с диэлектрической проницаемостью 𝜀. Проволочки считаем тонкими:

𝑟 << 𝑙, 𝑙 < min(𝑎, 𝑏, 𝑐). Ячейка такого МФК изображена на рис. 3.1.

Поместим центр проволочки нулевой ячейки в начало координат и введем

плотность электрического тока проводимости. Ток течет только по оси про-

волочки, поэтому базисные функции следует выбирать таким образом, чтобы

на концах проволочки плотность тока обращалась в нуль. Будем использовать

функцию cos(𝑘𝑠𝑧), где 𝑘𝑠 = (2𝑠− 1)𝜋/𝑙, 𝑠 – целое число, характеризующее но-

мер гармоники тока в разложении. Плотность тока имеет вид [91,95,109,112]:

J(r) = z0𝛿(𝑥)𝛿(𝑦)𝑁∑𝑠=1

𝐼𝑠 cos(𝑘𝑠𝑧), (3.1)

где z0 – орт оси 𝑧, 𝑁 – количество учитываемых гармоник тока.

Заметим, что вместо поверхностной плотности тока на проволочках в силу

их малой толщины используем линейный ток, то есть переходим от поверх-

61

a

b

c

y

z

x

r

Рисунок 3.1. Ячейка трехмерно-периодического МФК с включениями в видетонких проволочек

ностных уравнений к линейным. Если же импеданс проволочек конечен, а

частоты достаточно высокие, следует использовать объемное распределение

плотности тока. Для учета потерь на более низких частотах можно наложить

импедансные граничные условия.

Для МФК будем использовать скалярную ФГ периодически расположен-

ных сфазированных источников (1.17). Плотность тока (3.1) создает только

одну компоненту вектор-потенциала

𝐴𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

∫𝑉

𝛿(𝑥)𝛿(𝑦)𝑁∑𝑠=1

𝐼𝑠 cos(𝑘𝑠𝑧′)𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′)𝑑𝑉 ′ =

=𝑁∑𝑠=1

𝐼𝑠

𝑙/2∫−𝑙/2

cos(𝑘𝑠𝑧′)𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧, 0, 0, 𝑧′)𝑑𝑧′. (3.2)

62

При интегрировании ФГ с cos(𝑘𝑠𝑧′) получаем следующее:

𝑙/2∫−𝑙/2

𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧, 0, 0, 𝑧′) cos(𝑘𝑠𝑧′)𝑑𝑧′ =

=∞∑

𝑚,𝑛,𝑘=−∞

exp(−𝑗[𝑘𝑥𝑚𝑥+ 𝑘𝑦𝑛𝑦 + 𝑘𝑧𝑘𝑧])

𝑎𝑏𝑐(𝑘2𝑥𝑚 + 𝑘2𝑦𝑛 + 𝑘2𝑧𝑘 − 𝑘20𝜀)

𝑙/2∫−𝑙/2

exp(𝑗𝑘𝑧𝑘𝑧′) cos(𝑘𝑠𝑧

′)𝑑𝑧′.

Интеграл в представленном выше выражении вычисляется аналитически:

𝑙/2∫−𝑙/2

exp(𝑗𝑘𝑧𝑘𝑧′) cos(𝑘𝑠𝑧

′)𝑑𝑧′ =

𝑙/2∫−𝑙/2

cos(𝑘𝑧𝑘𝑧′) cos(𝑘𝑠𝑧

′)𝑑𝑧′ =

= 2

𝑙/2∫0

cos(𝑘𝑧𝑘𝑧′) cos(𝑘𝑠𝑧

′)𝑑𝑧′ =

𝑙/2∫0

cos([𝑘𝑧𝑘 + 𝑘𝑠]𝑧′) + cos([𝑘𝑧𝑘 − 𝑘𝑠]𝑧

′)𝑑𝑧′ =

=sin([𝑘𝑧𝑘 + 𝑘𝑠]𝑙/2)

𝑘𝑧𝑘 + 𝑘𝑠+

sin([𝑘𝑧𝑘 − 𝑘𝑠]𝑙/2)

𝑘𝑧𝑘 − 𝑘𝑠=

=sin(𝑘𝑧𝑘𝑙/2 + 𝜋𝑠− 𝜋/2)

𝑘𝑧𝑘 + 𝑘𝑠+

sin(𝑘𝑧𝑘𝑙/2 − 𝜋𝑠+ 𝜋/2)

𝑘𝑧𝑘 − 𝑘𝑠=

=− cos(𝑘𝑧𝑘𝑙/2)(−1)𝑠

𝑘𝑧𝑘 + 𝑘𝑠+

cos(𝑘𝑧𝑘𝑙/2)(−1)𝑠

𝑘𝑧𝑘 − 𝑘𝑠=

2(−1)𝑠𝑘𝑠 cos(𝑘𝑧𝑘𝑙/2)

𝑘2𝑧𝑘 − 𝑘2𝑠. (3.3)

После подстановки (3.3) в (3.2) получим:

𝐴𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) =2

𝑎𝑏𝑐

𝑁∑𝑠=1

(−1)𝑠𝐼𝑠𝑘𝑠×

×∞∑

𝑚,𝑛,𝑘=−∞

cos(𝑘𝑧𝑘𝑙/2) exp(−𝑗[𝑘𝑥𝑚𝑥+ 𝑘𝑦𝑛𝑦 + 𝑘𝑧𝑘𝑧])

(𝑘2𝑘𝑧 − 𝑘2𝑠)(𝑘2𝑥𝑚 + 𝑘2𝑦𝑛 + 𝑘2𝑧𝑘 − 𝑘20𝜀)

.

Учитывая используемое приближение тонких проволочек и линейного то-

ка, азимутальные компоненты электрического поля обращаются в нуль, а ин-

тегральное уравнение формулируется лишь относительно 𝐸𝑧 компоненты, ко-

63

торая принимает вид:

𝐸𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) =2

𝑗𝜔𝜀0𝜀𝑎𝑏𝑐

𝑁∑𝑠=1

(−1)𝑠𝐼𝑠𝑘𝑠×

×∞∑

𝑚,𝑛,𝑘=−∞

(𝑘20𝜀− 𝑘2𝑧𝑘) cos(𝑘𝑧𝑘𝑙/2) exp(−𝑗[𝑘𝑥𝑚𝑥+ 𝑘𝑦𝑛𝑦 + 𝑘𝑧𝑘𝑧])

(𝑘2𝑘𝑧 − 𝑘2𝑠)(𝑘2𝑥𝑚 + 𝑘2𝑦𝑛 + 𝑘2𝑧𝑘 − 𝑘20𝜀)

. (3.4)

Рассмотрим случай идеальной проводимости металла: поверхностный им-

педанс равен нулю и компонента (3.4) должна обратиться в нуль на поверхно-

сти проволочки. Интегрируя с функциями из базиса (3.1), имеем

𝑙/2∫−𝑙/2

𝐸𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) cos(𝑘𝑠′𝑧)𝑑𝑧 = 0. (3.5)

Интегрирование проводим аналогично (3.3). В (3.5) усредним поле по всем

точкам окружности, записав 𝑥 = 𝑟 cos(𝜙), 𝑦 = 𝑟 sin(𝜙) и проинтегрировав по

углу. При этом возникают функции Бесселя (2.10).

Соотношения (3.4) и (3.5) приводят к системе линейных алгебраических

уравнений и соответствующей матрице 𝐴. Определитель матрицы должен

быть равен нулю, что представляет собой искомое ДУ (1.24). Матричные эле-

менты имеют вид:

𝐴(𝑠𝑠′) =4𝑘𝑠𝑘𝑠′(−1)𝑠+𝑠′

𝑗𝜔𝜀0𝜀𝑎𝑏𝑐

𝑀∑𝑚,𝑛,𝑘=−𝑀

cos2(𝑘𝑧𝑘𝑙/2)(𝑘20𝜀− 𝑘2𝑧𝑘)𝐽0(𝑟√𝑘2𝑥𝑚 + 𝑘2𝑦𝑛)

(𝑘2𝑘𝑧 − 𝑘2𝑠)(𝑘2𝑘𝑧 − 𝑘2𝑠′)(𝑘

2𝑥𝑚 + 𝑘2𝑦𝑛 + 𝑘2𝑧𝑘 − 𝑘20𝜀)

,

(3.6)

где (𝑀 + 1)3 – количество учитываемых плоских волн (пространственных

гармоник).

Заметим, что использование функций Бесселя существенно улучшает схо-

димость формулы (3.6) по сравнению с использованием четырех точек окруж-

64

ности, что видно из рис. 3.2. Это позволяет использовать меньшее количество

плоских волн в ФГ и уменьшает общее время вычислений.

0 10 20 30 40 50

M

−0.085

−0.080

−0.075

−0.070

−0.065

−0.060

−0.055

−0.050

−0.045Ass′

Рисунок 3.2. Зависимость значения матричного элемента от количестваучитываемых плоских волн в ФГ при усреднении по всем точкам окружности

(сплошная кривая) и по 4 точкам окружности (штрихованная кривая)

После решения ДУ получаем значения 𝑘0, связанные с тройками значе-

ний 𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧. Данная структура МФК является одноосным кристаллом, и ее

диэлектрическая проницаемость описывается диагональным тензором (2.16).

При этом компонента 𝜀𝑧𝑧 находится по формуле (2.19).

На рис. 3.3 приведены зонные диаграммы Бриллюэна для стержневых

МФК с 𝑎 = 𝑏 = 𝑐, 𝜀 = 1. Были рассмотрены случаи разной длины и радиуса

проволочек. Ввиду высокой вычислительной сложности расчета дисперсион-

ных характеристик таких трехмерных структур вычисления были проведены

на параллелльной вычислительной системе. Более подробно об используемых

параллельных алгоритмах и программном комплексе рассказано в четвертой

главе. Там же показано, что оптимальным по точности и времени выполнения

является использование параметров 𝑁 = 7 и 𝑀 = 20, что соответствует мат-

рице из 7 × 7 элементов, каждый из которых имеет вид ряда из 21 × 21 × 21

слагаемых.

65

M Γ X Mka

0

1

2

3

4

5

6

k0a

1

2

а)

M Γ X Mka

0

1

2

3

4

5

6

k0a

1

2

б)

M Γ X Mka

0

1

2

3

4

5

6

k0a

1

2

в)

Рисунок 3.3. Зонные диаграммы МФК с проволочными стержнями при𝑎 = 𝑏 = 𝑐, 𝜀 = 1, 𝑁 = 7, 𝑀 = 20: а) 𝑘𝑧 = 0, 𝑟/𝑎 = 0.05, 𝑙/𝑎 = 0.7 (кривая 1)

и 𝑙/𝑎 = 0.6 (2); б) 𝑘𝑧 = 0, 𝑙/𝑎 = 0.7, 𝑟/𝑎 = 0.05, (1) и 𝑟/𝑎 = 0.01 (2);в) 𝑙/𝑎 = 0.7, 𝑟/𝑎 = 0.05, 𝑘𝑧 = 0 (1), 𝑘𝑧 = 2.8 (2)

Из результатов моделирования видно, что данные структуры обладают пол-

ной запрещенной зоной при радиусе проволочек 𝑟/𝑎 = 0.05 и длине 𝑙/𝑎 ≥ 0.7

(рис. 3.3a и 3.3б) для волн, распространяющихся в плоскости, перпендикуляр-

ной проволочкам. При увеличении продольной компоненты волнового векто-

ра (𝑘𝑧) запрещенная зона смещается в верхнюю область (рис. 3.3в) и исчезает

при 𝑘𝑧 = 2.8. Полученные результаты качественно совпадают с численными

результатами из работы [21].

66

Для структур, соответствующих кривой 1 рис. 3.3a, была проведена проце-

дура гомогенизации по формуле (2.19) и посчитано значение компоненты 𝜀𝑧𝑧

тензора эффективной ДП в зависимости от нормированного волнового числа

(рис. 3.4). При движении по нижней дисперсионной ветви значение 𝜀𝑧𝑧 меня-

ется от единицы при 𝑘𝑥 = 𝑘𝑦 = 0 (точка Γ) до значения несколько больше

единицы на граничной частоте при 𝑘𝑥𝑎 = 𝑘𝑦𝑎 = 𝜋 (точка M). В запрещен-

ной зоне она становится отрицательной и растет с увеличением частоты. С

переходом на верхнюю прямую ветвь 𝜀𝑧𝑧 > 0 и стремится к единице в случае

движения из точки Х в точку M (кривая 1), а при движении из точки M в

точку Γ становится больше единицы (кривая 2). В первом случае частотная

дисперсия соответствует модели Лоренца среды с гармоническими осцилля-

торами [106].

0 1 2 3 4 5

k0a

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

εzz

1

2

Рисунок 3.4. Компонента ДП 𝜀𝑧𝑧 в зависимости от нормированного волновогочисла при движении по нижней ветви зонной диаграммы по точкам Γ-X-M,переходом в X верхней ветви и движении к M (кривая 1), к Γ (2) для МФК

при 𝑎 = 𝑏 = 𝑐, 𝜀 = 1, 𝑙/𝑎 = 0.7, 𝑟/𝑎 = 0.05, 𝑘𝑧 = 0

Таким образом, можно сделать вывод, что на частотах, соответствующих

запрещенной зоне между первой и второй дисперсионными ветвями, данная

структура является гиперболическим метаматериалом с одной отрицательной

67

компонентой диагонального тензора эффективной диэлектрической проница-

емости.

Далее рассмотрим невязку граничных условий. На рис. 3.5 представлены

результаты расчета нормированного по ячейке значения напряженности элек-

трического поля для каждой из точек диаграммы 1 рис. 3.3a.

M Γ X Mka

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

|Ez|

Рисунок 3.5. Зависимость нормированного модуля напряженностиэлектрического поля, усредненного на поверхности стержня, от волнового

вектора в МФК с конечными проволочками при 𝑙/𝑎 = 0.7, 𝑟/𝑎 = 0.05

Согласно выбранным граничным условиям электрическое поле, усреднен-

ное на поверхности стержня, должно обращаться в нуль. Как и в случае струк-

тур с бесконечно протяженными проволочками, с увеличением значений вол-

нового вектора невязка поля увеличивается, но не превышает 4% от макси-

мального значения в ячейке. Точность расчета ДУ еще выше, так как пред-

ставленные результаты являются интегральными характеристиками от поля.

Стоит заметить, что при увеличении количества учитываемых гармоник в раз-

68

ложении плотности тока невязка понижается, что согласуется с результатами

исследования сходимости алгоритма в четвертой главе.

Также необходимо отметить, что в рамках предложенной модели не учи-

тывается влияние торцевых токов на стержнях, расположенных в соседних

ячейках вдоль оси 𝑧. В связи с этим не стоит брать длину проволочек близкой

к размерам ячейки.

3.2. Металлические проволочные кольцевые структуры

Рассмотрим трехмерный МФК, состоящий из металлических проволочных

колец прямоугольной формы с длиной стороны 𝐿 и радиусом проволочек 𝑟.

Кольца ориентированы в плоскости 𝑥𝑦 и периодически расположены по осям

𝑥, 𝑦, 𝑧 с периодами 𝑎, 𝑏, 𝑐 соответственно в среде с диэлектрической прони-

цаемостью 𝜀. Проволочки считаем тонкими, 𝑟 << 𝐿, 𝐿 < min(𝑎, 𝑏, 𝑐). Ячейка

такого МФК изображена на рис. 3.6.

Поместим центр рамки в начало координат и введем плотность электри-

ческого тока. Базисные функции следует выбирать таким образом, чтобы ток

непрерывно тек по каждой из сторон рамки вдоль осей проволочек. Поскольку

рамка замкнута, нужно учитывать и постоянную компоненту тока. Будем ис-

пользовать функцию cos(𝑘𝑠𝑞), где 𝑘𝑠 = 2(𝑠−1)𝜋/(4𝐿), 𝑞 – точка на оси рамки,

𝑠 – номер гармоники тока в разложении. Плотность тока имеет вид [110,111]:

J(r) = q0𝛿(𝑧)𝛿(ℎ± 𝐿/2)𝑁∑𝑠=1

𝐼𝑠 cos(𝑘𝑠𝑞), (3.7)

где q0 – орт оси рамки, 𝑁 – количество учитываемых гармоник тока, ℎ –

координата оси, вдоль которой проходит сторона рамки. Здесь плотность тока

записана в прямоугольной системе координат с центром в центре рамки, а 𝑞

69

a

b

c

L

2r

y

z

xРисунок 3.6. Ячейка трехмерно-периодического МФК с включениями в виде

тонких проволочных колец прямоугольной формы

принимает значения на оси проволочек. Плотность тока будет описываться

различными уравнениями на каждой из четырех сторон рамки:

J𝑥1(𝑥) = x0𝛿(𝑦 + 𝐿/2)𝛿(𝑧)

𝑁∑𝑠=1

𝐼𝑠 cos(𝑘𝑠(𝑥+𝐿

2)),

J𝑦1(𝑦) = y0𝛿(𝑥− 𝐿/2)𝛿(𝑧)𝑁∑𝑠=1

𝐼𝑠 cos(𝑘𝑠(𝑦 +3𝐿

2)),

J𝑥2(𝑥) = x0𝛿(𝑦 − 𝐿/2)𝛿(𝑧)

𝑁∑𝑠=1

𝐼𝑠 cos(𝑘𝑠(5𝐿

2− 𝑥)),

J𝑦2(𝑦) = y0𝛿(𝑥+ 𝐿/2)𝛿(𝑧)𝑁∑𝑠=1

𝐼𝑠 cos(𝑘𝑠(7𝐿

2− 𝑦)).

Далее будем использовать скалярную ФГ периодически расположенных

сфазированных источников (1.17). Плотность тока (3.7) создает 𝐴𝑥 и 𝐴𝑦 ком-

70

поненты вектор-потенциала:

𝐴𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝑁∑𝑠=1

𝐼𝑠

𝐿/2∫−𝐿/2

[cos(𝑘𝑠(𝑥′ +

𝐿

2))𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑥′,−𝐿

2, 0)+

+ cos(𝑘𝑠(5𝐿

2− 𝑥′))𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑥′,

𝐿

2, 0)]𝑑𝑥′, (3.8)

𝐴𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝑁∑𝑠=1

𝐼𝑠

𝐿/2∫−𝐿/2

[cos(𝑘𝑠(𝑦′ +

3𝐿

2))𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧,

𝐿

2, 𝑦′, 0)+

+ cos(𝑘𝑠(7𝐿

2− 𝑦′))𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧,−𝐿

2, 𝑦′, 0)]𝑑𝑦′. (3.9)

В представленных выше формулах интегралы вычисляются следующим

образом:

𝐿/2∫−𝐿/2

cos(𝑘𝑠(𝛼𝑥′ + 𝛾))𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′)𝑑𝑥′ =

1

𝑎𝑏𝑐×

×∞∑

𝑚,𝑛,𝑘=−∞

exp(−𝑗(𝑘𝑥𝑚𝑥+ 𝑘𝑦𝑛(𝑦 − 𝑦′) + 𝑘𝑧𝑘(𝑧 − 𝑧′)))

𝑘2𝑥𝑚 + 𝑘2𝑦𝑛 + 𝑘2𝑧𝑘 − 𝑘20𝜀×

×𝐿/2∫

−𝐿/2

cos(𝑘𝑠(𝛼𝑥+ 𝛾)) exp(𝑗𝑘𝑥𝑚𝑥)𝑑𝑥.

𝑓𝑠𝑥′(𝛼, 𝛾, 𝑘𝑥𝑚) =

𝐿/2∫−𝐿/2

cos(𝑘𝑠(𝛼𝑥′ + 𝛾)) exp(𝑗𝑘𝑥𝑚𝑥

′)𝑑𝑥′ =

=1

2

𝐿/2∫−𝐿/2

[exp(𝑗𝑘𝑠(𝛼𝑥′ + 𝛾) + exp(−𝑗𝑘𝑠(𝛼𝑥′ + 𝛾)] exp(𝑗𝑘𝑥𝑚𝑥

′)𝑑𝑥′ =

= exp(𝑗𝑘𝑠𝛾)sin(𝐿/2(𝑘𝑥𝑚 + 𝛼𝑘𝑠))

𝑘𝑥𝑚 + 𝛼𝑘𝑠+ exp(−𝑗𝑘𝑠𝛾)

sin(𝐿/2(𝑘𝑥𝑚 − 𝛼𝑘𝑠))

𝑘𝑥𝑚 − 𝛼𝑘𝑠.

71

Подставляя полученные выражения в (3.8) и (3.9), получим:

𝐴𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝑁∑𝑠=1

𝐼𝑠

∞∑𝑚,𝑛,𝑘=−∞

𝑈𝑠𝑥(𝑘𝑥𝑚) exp(−𝑗(𝑘𝑥𝑚𝑥+ 𝑘𝑦𝑛𝑦 + 𝑘𝑧𝑘𝑧)

𝑎𝑏𝑐(𝑘2𝑥𝑚 + 𝑘2𝑦𝑛 + 𝑘2𝑧𝑘 − 𝑘20𝜀), (3.10)

𝐴𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝑁∑𝑠=1

𝐼𝑠

∞∑𝑚,𝑛,𝑘=−∞

𝑈𝑠𝑦(𝑘𝑦𝑛) exp(−𝑗(𝑘𝑥𝑚𝑥+ 𝑘𝑦𝑛𝑦 + 𝑘𝑧𝑘𝑧)

𝑎𝑏𝑐(𝑘2𝑥𝑚 + 𝑘2𝑦𝑛 + 𝑘2𝑧𝑘 − 𝑘20𝜀), (3.11)

где введены функции:

𝑈𝑠𝑥(𝑘𝑥𝑚, 𝑘𝑦𝑛) = 𝑓𝑠𝑥(1,𝐿

2, 𝑘𝑥𝑚) exp(−𝑗𝑘𝑦𝑛

𝐿

2) + 𝑓𝑠𝑥(−1,

5𝐿

2, 𝑘𝑥𝑚) exp(𝑗𝑘𝑦𝑛

𝐿

2),

𝑈𝑠𝑦(𝑘𝑦𝑛, 𝑘𝑥𝑚) = 𝑓𝑠𝑦(1,3𝐿

2, 𝑘𝑦𝑛) exp(𝑗𝑘𝑥𝑚

𝐿

2) + 𝑓𝑠𝑦(−1,

7𝐿

2, 𝑘𝑦𝑛) exp(−𝑗𝑘𝑥𝑚

𝐿

2).

Для получения ДУ выразим компоненты электрического поля:

𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑗𝜔𝜀0𝜀)−1 𝜕

𝜕𝑥(𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑥+𝜕𝐴𝑦

𝜕𝑦) + 𝑘20𝜀𝐴𝑥, (3.12)

𝐸𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑗𝜔𝜀0𝜀)−1 𝜕

𝜕𝑦(𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑥+𝜕𝐴𝑦

𝜕𝑦) + 𝑘20𝜀𝐴𝑦. (3.13)

Подставим (3.10) и (3.10) в (3.12) и (3.13):

𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝑁∑𝑠=1

𝐼𝑠

∞∑𝑚,𝑛,𝑘=−∞

(𝑘20𝜀− 𝑘2𝑥𝑚)𝑈𝑠𝑥(𝑘𝑥𝑚, 𝑘𝑦𝑛) − 𝑘𝑥𝑚𝑘𝑦𝑛𝑈𝑠𝑦(𝑘𝑦𝑛, 𝑘𝑥𝑚)

𝑎𝑏𝑐𝑗𝜔𝜀0𝜀(𝑘2𝑥𝑚 + 𝑘2𝑦𝑛 + 𝑘2𝑧𝑘 − 𝑘20𝜀)𝑈𝑒,

𝐸𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝑁∑𝑠=1

𝐼𝑠

∞∑𝑚,𝑛,𝑘=−∞

(𝑘20𝜀− 𝑘2𝑦𝑛)𝑈𝑠𝑦(𝑘𝑦𝑛, 𝑘𝑥𝑚) − 𝑘𝑦𝑛𝑘𝑥𝑚𝑈𝑠𝑥(𝑘𝑥𝑚, 𝑘𝑦𝑛)

𝑎𝑏𝑐𝑗𝜔𝜀0𝜀(𝑘2𝑥𝑚 + 𝑘2𝑦𝑛 + 𝑘2𝑧𝑘 − 𝑘20𝜀)𝑈𝑒,

где 𝑈𝑒 = exp(−𝑗(𝑘𝑥𝑚𝑥+ 𝑘𝑦𝑛𝑦 + 𝑘𝑧𝑘𝑧)).

Рассмотрим случай идеального металла. Поверхностный импеданс равен

нулю, и электрическое поле должно обращаться в нуль на поверхности про-

волочки. Граничные условия наложим в плоскости 𝑧 = 0 на внутренней и

внешней стороне кольца. Тогда ИУ примет вид:

𝐸𝑥(𝑥,−𝐿2

± 𝑟) + 𝐸𝑥(𝑥,𝐿

2± 𝑟) + 𝐸𝑦(

−𝐿2

± 𝑟, 𝑦) + 𝐸𝑦(𝐿

2± 𝑟, 𝑦) = 0.

72

Проинтегрируем компоненты поля с функциями из (3.7):

𝐿/2∫−𝐿/2

[𝐸𝑥(𝑥,−𝐿2

± 𝑟)𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑠′(𝑥+𝐿

2)) + 𝐸𝑥(𝑥,

𝐿

2± 𝑟)𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑠′(

5𝐿

2− 𝑥))]𝑑𝑥+

+

𝐿/2∫−𝐿/2

[𝐸𝑦(−𝐿2

± 𝑟, 𝑦)𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑠′(𝑦 +3𝐿

2)) +𝐸𝑦(

𝐿

2± 𝑟, 𝑦)𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑠′(

7𝐿

2− 𝑦))]𝑑𝑦 = 0.

Получившееся соотношение приводит к системе линейных алгебраических

уравнений и соответствущей матрице 𝐴, равенство нулю определителя кото-

рой и представляет собой ДУ (1.24). При этом элементы матрицы выражаются

следующим образом:

𝐴𝑠𝑠′ = 𝐸𝑥𝑠𝑠′𝑈𝑠′𝑥(−𝑘𝑥𝑚,−𝑘𝑦𝑛) exp(±𝑘𝑦𝑛𝑟) + 𝐸𝑦𝑠𝑠′𝑈𝑠′𝑦(−𝑘𝑦𝑛,−𝑘𝑥𝑚) exp(±𝑘𝑥𝑚𝑟),

и введены функции:

𝐸𝑥𝑠𝑠′ =𝑀∑

𝑚,𝑛,𝑘=−𝑀

(𝑘0𝜀− 𝑘2𝑥𝑚)𝑈𝑠𝑥(𝑘𝑥𝑚, 𝑘𝑦𝑛) − 𝑘𝑥𝑚𝑘𝑦𝑛𝑈𝑠𝑦(𝑘𝑦𝑛, 𝑘𝑥𝑚)

𝑎𝑏𝑐𝑗𝜔𝜀0𝜀(𝑘2𝑥𝑚 + 𝑘2𝑦𝑛 + 𝑘2𝑧𝑘 − 𝑘20𝜀),

𝐸𝑦𝑠𝑠′ =𝑀∑

𝑚,𝑛,𝑘=−𝑀

(𝑘0𝜀− 𝑘2𝑦𝑛)𝑈𝑠𝑦(𝑘𝑦𝑛, 𝑘𝑥𝑚) − 𝑘𝑦𝑛𝑘𝑥𝑚𝑈𝑠𝑥(𝑘𝑥𝑚, 𝑘𝑦𝑛)

𝑎𝑏𝑐𝑗𝜔𝜀0𝜀(𝑘2𝑥𝑚 + 𝑘2𝑦𝑛 + 𝑘2𝑧𝑘 − 𝑘20𝜀),

где (𝑀 + 1)3 – количество учитываемых плоских волн (пространственных

гармоник).

После решения ДУ получаем значения 𝑘0, связанные с тройками значений

𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧. Данная структура МФК является одноосным кристаллом и облада-

ет магнитными свойствами. Ее магнитная проницаемость представляет собой

73

диагональный тензор

��(𝑘0,k) =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣𝜇 0 0

0 𝜇 0

0 0 𝜇𝑧𝑧

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ ,

где 𝜇 – магнитная проницаемость основы. Компонента 𝜇𝑧𝑧 находится по фор-

муле, аналогичной (2.19):

𝜇𝑧𝑧 =𝑘2𝑥 + 𝑘2𝑦

𝑘20𝜀− 𝑘2𝑧/𝜇.

Рассмотрим результаты расчета дисперсии кольцевых МФК (рис. 3.7). Для

расчета была взята структура МФК с 𝑎 = 𝑏 = 𝑐, 𝜀 = 1. Были рассмотре-

ны случаи с разными длинами стороны 𝐿/𝑎 = 0.4 и 𝐿/𝑎 = 0.2 и радиусом

𝑟/𝑎 = 0.05, а также случаи с разными радиусами 𝑟/𝑎 = 0.05 и 𝑟/𝑎 = 0.01

при постоянной длине стороны 𝐿/𝑎 = 0.4. Как будет показано в четвертой

главе, оптимальным с точки зрения точности получаемых результатов и затра-

чиваемой на это скорости вычислений для данных длин проволочки является

случай 𝑁 = 2, 𝑀 = 10.

По результатам видно, что рассматриваемые кольцевые МФК обладают

лишь неполными запрещенными зонами, которые расширяются с увеличени-

ем длины стороны прямоугольного кольца либо радиуса проволочки. При этом

следует заметить, что в рамках данной модели не следует брать значения дли-

ны стороны рамки больше половины ячейки, так как при этом потребуется

учитывать влияние магнитных полей, возбуждаемых кольцами соседних яче-

ек, что является темой отдельного исследования.

74

M Γ X Mka

0

1

2

3

4

5

6

k0a

1

2

а)

M Γ X Mka

0

1

2

3

4

5

6

k0a

1

2

б)

Рисунок 3.7. Зонные диаграммы МФК с проволочными кольцами при𝑎 = 𝑏 = 𝑐, 𝜀 = 1, 𝑁 = 2, 𝑀 = 20: а) 𝑟/𝑎 = 0.05, 𝐿/𝑎 = 0.4 (кривая 1)

и 𝐿/𝑎 = 0.2 (2); б) 𝐿/𝑎 = 0.4, 𝑟/𝑎 = 0.05 (1) и 𝑟/𝑎 = 0.01 (2)

3.3. Металлические и диэлектрические кубические структуры

Рассмотрим трехмерный ФК, состоящий из диэлектрических включений,

внедренных в узлы решетки с периодами 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 соответственно по осям

𝑥𝑖 (𝑖 = 1, 2, 3) декартовой системы координат в среде с ДП 𝜀. Будем рассмат-

ривать включения с ДП 𝜀 в виде параллелепипеда с размерами △1, △2, △3

(рис. 3.8).

Постановку задачи произведем в общей форме, считая электрические раз-

меры включений большими [93]. Поместим центр параллелепипеда нулевой

ячейки в начало координат. Включения излучают как вторичные источники с

током поляризации

J𝑝(r, 𝜔) = 𝑗𝜔𝜀0(𝜀(𝜔) − 𝜀)𝐸(r, 𝜔). (3.14)

Будем использовать скалярную ФГ периодически расположенных сфазиро-

ванных источников (1.17). Свободные волны ФК создают на включениях сдви-

нутые по фазам токи поляризации, которые, в свою очередь, и поддерживают

75

Рисунок 3.8. Ячейка трехмерно-периодического ФК с включениями в видепараллелепипедов

волну. Выражение для электрического поля получается путем интегрирования

плотности тока (3.14) с ФГ:

E(r) = (∇2 + 𝑘20𝜀)

∫𝑉

𝐺(r, r′)(𝜀(r′, 𝜔)/𝜀− 1)E(r′)𝑑𝑉 ′. (3.15)

Интегральное уравнение (3.15) является объемным. Будем искать поле в

виде разложения по трем координатам:

E(r) =3∑

𝑖=1

x0𝑖

𝑆∑𝑠=1

𝑒𝑖𝑠𝑢𝑠(r), (3.16)

где x0𝑖 – орты декартовых осей, а 𝑢𝑠(r) – ортогональные функции из некото-

рого полного базиса определенного в объеме включения.

Подставляем (3.16) в (3.15) и, используя метода Галеркина, приходим к

ДУ (1.24). Матрица 𝐴 имеет блочную структуру с блоками 𝐴𝑖𝑗, где 𝑖, 𝑗 =

76

1, 2, 3 соответствует координатам 𝑥𝑖. Для изотропных однородных включений

с восприимчивостью 𝜒 = 𝜀/𝜀 − 1 матричные элементы блоков выражаются

так [93]:

𝐴(𝑠𝑠′)𝑖𝑗 = 𝛿𝑖𝑗𝛿𝑠𝑠′𝑢

2𝑠 − 𝜒

∞∑𝑚1,𝑚2,𝑚3=−∞

(𝑘20𝜀𝛿𝑖𝑗 − 𝑘𝑥𝑖𝑚𝑖𝑘𝑥𝑗𝑚𝑗

)𝑈(𝑠𝑠′)𝑚1𝑚2𝑚3

𝑎1𝑎2𝑎3(𝑘2𝑥1𝑚1+ 𝑘2𝑥2𝑚2

+ 𝑘2𝑥3𝑚3− 𝑘20𝜀)

,

где 𝑘𝑥𝑖𝑚𝑖= 𝑘𝑥𝑖

+ 2𝑚𝑖𝜋/𝑎𝑖, 𝑈(𝑠𝑠′)𝑚1𝑚2𝑚3 = 𝐵

(𝑠)𝑚1𝑚2𝑚3𝐵

(𝑠′)*

𝑚1𝑚2𝑚3, а также введены следу-

ющие величины:

𝑢2𝑠 =

∫𝑉

|𝑢𝑠(r)|2𝑑𝑉, (3.17)

𝐵(𝑠)𝑚1𝑚2𝑚3

=

∫𝑉

exp(−𝑗𝑘𝑥1𝑚1𝑥1 − 𝑗𝑘𝑥2𝑚2

𝑥2 − 𝑗𝑘𝑥3𝑚3𝑥3)𝑢𝑠(r)𝑑𝑉. (3.18)

В случае базисных функций в виде кусочно-постоянных элементов (КЭ),

определенных в областях |𝑥𝑖 − 𝑥𝑖𝑠| < △𝑥𝑖/2, интегралы (3.17) и (3.18) лег-

ко вычисляются. Первый имеет вид объема определения КЭ: 𝑢2𝑠 = △𝑉 =

△𝑥1△𝑥2△𝑥3; для второго имеем

𝐵(𝑠)𝑚1𝑚2𝑚3

= 8 exp(−𝑗𝑘𝑥1𝑚1𝑥1𝑠 − 𝑗𝑘𝑥2𝑚2

𝑥2𝑠 − 𝑗𝑘𝑥3𝑚3𝑥3𝑠)×

× sin(𝑘𝑥1𝑚1△𝑥1/2) sin(𝑘𝑥2𝑚2

△𝑥2/2) sin(𝑘𝑥3𝑚3△𝑥3/2)

𝑘𝑥1𝑚1𝑘𝑥2𝑚2

𝑘𝑥3𝑚3

. (3.19)

Однако использовать кусочно-постоянные функции некорректно: в силу

неинтегрируемой особенности ядра суммы в диагональных матричных эле-

ментах не сходятся. Это связано с недифференцируемостью разложения поля,

тогда как реальное поле достаточно гладкое (имеют место только скачки нор-

мальных компонент на границе включений). Существует ряд способов транс-

формации объемных интегральных уравнений к интегро-дифференциальным

с пониженной особенностью [88,113]. Используем ряд новых приемов. В пер-

77

вом случае усредним (проинтегрируем) выражение (3.19) по координате точки

наблюдения в окрестности △𝑉 :

��(𝑠)𝑚1𝑚2𝑚3

= 16 exp(−𝑗𝑘𝑥1𝑚1𝑥1𝑠 − 𝑗𝑘𝑥2𝑚2

𝑥2𝑠 − 𝑗𝑘𝑥3𝑚3𝑥3𝑠)×

× sin2(𝑘𝑥1𝑚1△𝑥1/2) sin2(𝑘𝑥2𝑚2

△𝑥2/2) sin2(𝑘𝑥3𝑚3△𝑥3/2)

△𝑥1△𝑥2△𝑥3(𝑘𝑥1𝑚1𝑘𝑥2𝑚2

𝑘𝑥3𝑚3)2

. (3.20)

Использование (3.20) уже достаточно для вычисления определителя. Есть

возможность еще улучшить сходимость, усреднив и 𝐵(𝑠′)*

𝑚1𝑚2𝑚3 по точке наблю-

дения. Такая усредненная величина комплексно сопряжена к (3.20).

Рассмотрим другой способ уменьшения сингулярности ядра ИУ (3.15).

Для этого проинтегрируем его по трем координатам наблюдения в областях

(−△𝑥𝑖/2, 𝑥𝑖). Для левой части (3.15) имеем

F(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) =

𝑥1∫−△𝑥1/2

𝑥2∫−△𝑥2/2

𝑥3∫−△𝑥3/2

𝐸(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)𝑑𝑥1𝑑𝑥2𝑑𝑥3. (3.21)

При интегрировании правой части под знаком сумм получается дополни-

тельный множитель

𝑉𝑚1𝑚2𝑚3=

exp(𝑗𝑘𝑥1𝑚1△𝑥1/2 + 𝑗𝑘𝑥2𝑚2

△𝑥2/2 + 𝑗𝑘𝑥3𝑚3△𝑥3/2)

𝑗𝑘𝑥1𝑚1𝑘𝑥2𝑚2

𝑘𝑥3𝑚3

,

улучшающий сходимость. Ограничимся одной кусочно-постоянной функцией

для каждой компоненты поля. Это означает, что мы задаем три компоненты

электрического поля, то есть три константы. Соответственно (3.21) принимает

вид:

F(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = x01𝐸1(𝑥1 + △𝑥1/2) + x02𝐸2(𝑥2 + △𝑥2/2) + x03𝐸3(𝑥3 + △𝑥3/2).

78

Теперь матричные элементы выглядят следующим образом:

𝐴𝑖𝑗 = (1/8)𝛿𝑖𝑗(△𝑥1△𝑥2△𝑥3)2−

− 𝜒∞∑

𝑚1,𝑚2,𝑚3=−∞

(𝑘20𝜀𝛿𝑖𝑗 − 𝑘𝑥𝑖𝑚𝑖𝑘𝑥𝑗𝑚𝑗

)𝑈(11)𝑚1𝑚2𝑚3𝑉𝑚1𝑚2𝑚3

𝑎1𝑎2𝑎3(𝑘2𝑥1𝑚1+ 𝑘2𝑥2𝑚2

+ 𝑘2𝑥3𝑚3− 𝑘20𝜀)

.

Интересно заметить, что повторное интегрирование в тех же пределах дает

𝐴𝑖𝑗 = (1/36)𝛿𝑖𝑗(△𝑥1△𝑥2△𝑥3)3−

− 𝜒∞∑

𝑚1,𝑚2,𝑚3=−∞

(𝑘20𝜀𝛿𝑖𝑗 − 𝑘𝑥𝑖𝑚𝑖𝑘𝑥𝑗𝑚𝑗

)𝑈(11)𝑚1𝑚2𝑚3𝑉

2𝑚1𝑚2𝑚3

𝑎1𝑎2𝑎3(𝑘2𝑥1𝑚1+ 𝑘2𝑥2𝑚2

+ 𝑘2𝑥3𝑚3− 𝑘20𝜀)

.

Соответствующие ряды сходятся очень быстро.

В случае металлических включений вводим ток проводимости. В простей-

шем случае заменим поверхностные токи на дипольные в центре включения:

J(r) = 𝛿(𝑥1)𝛿(𝑥2)𝛿(𝑥3)3∑

𝑖=1

x0𝑖𝐼𝑖, (3.22)

где 𝐼𝑖 – моменты тока.

ИУ представляет собой выражение (1.22). Для идеального металла поверх-

ностный импеданс равен нулю. Электрическое поле должно обращаться в нуль

на поверхности куба, поэтому наложим граничные условия в центрах трех

граней для компонент полей, параллельных токам в (3.22). В этом случае по-

лучаем систему из трех линейный алгебраических уравнений относительно

каждой из компонент поля и, следовательно, ДУ в виде (1.24). Матричные

элементы тогда примут вид:

𝐴𝑖𝑗 =1

𝑗𝜔𝜀0𝜀𝑎1𝑎2𝑎3

∞∑𝑚1,𝑚2,𝑚3=−∞

(𝑘20𝜀𝛿𝑖𝑗 − 𝑘𝑥𝑖𝑚𝑖𝑘𝑥𝑗𝑚𝑗

)𝑊𝑚1𝑚2𝑚3

𝑘2𝑥1𝑚1+ 𝑘2𝑥2𝑚2

+ 𝑘2𝑥3𝑚3− 𝑘20𝜀

,

где 𝑊𝑚1𝑚2𝑚3= exp(−𝑗(𝑘𝑥1𝑚1

△𝑥1/2 + 𝑘𝑥2𝑚2△𝑥2/2 + 𝑘𝑥3𝑚3

△𝑥3/2)).

79

Для получения численных результатов использовано приближение малых

электрических размеров включений. Дисперсия МФК с идеальными металли-

ческими кубическими включениями приведена на рис. 3.9. При расчете были

взяты следующие параметры: 𝑎1 = 𝑎2 = 𝑎3 = 𝑎, △/𝑎 = 0.1, 𝑘𝑦 = 𝑘𝑧 = 0,

𝑀 = 10. В области низких частот наблюдается существенное различие

свойств одномерных и трехмерных МФК. Для первых (рис. 2.4) имеет место

туннелирование волн через слои, что приводит к смыканию ветвей прямых

и обратных волн, но в областях смыкания потери велики, что соответствует

нераспространению волн в идеальном случае. Для вторых характерно почти

упругое рассеяние волн, что приводит к зонной структуре на низких частотах.

Рисунок 3.9. Дисперсия МФК с кубическими включениями при𝑎1 = 𝑎2 = 𝑎3 = 𝑎, 𝜀 = 1, △/𝑎 = 0.1, 𝑘𝑦 = 𝑘𝑧 = 0

На рис. 3.10 изображены результаты для ФК с идеальными и неидеальны-

ми диэлектрическими включениями. Первый случай реализуется для металлов

на высоких частотах (𝜔𝑝 << 𝜔, 𝜔𝑐 << 𝜔), когда 𝜀 = 𝜀𝑟 − 𝑗𝜔𝑐𝜔2𝑝/𝜔

3, а второй –

80

при 𝜔𝑝 << 𝜔, 𝜔𝑐 >> 𝜔, когда 𝜀 = 𝜀𝑟−𝑗𝜔2𝑝/(𝜔𝜔𝑐) и 𝜔2

𝑝/(𝜔𝜔𝑐) << 1. Структурам

с идеальными включениями характерны запрещенные зоны между дисперси-

онными ветвями прямых и обратных волн. Наличие же даже малых потерь

во включениях приводит к смыканию ветвей. При этом дисперсия нормаль-

ная как на низких, так и на высоких частотах. Здесь наблюдается совпадение

свойств одномерных (рис. 2.5) и трехмерных диэлектрических ФК.

Рисунок 3.10. Дисперсия диэлектрического ФК с кубическими включениямипри 𝑎1 = 𝑎2 = 𝑎3 = 𝑎, 𝜀 = 1, △/𝑎 = 0.2, 𝑘𝑦 = 𝑘𝑧 = 0,

𝜀 = 3.7 (сплошные кривые) и 𝜀 = 3.7 − 0.3𝑗 (штрихованные)

В итоге можно сделать вывод, что идеальный и недиссипативный ФК мо-

жет иметь полные и неполные запрещенные зоны. Это соответствует самосо-

пряженной задаче на собственные значения и сохранению числа фотонов. В

диссипативном периодическом ФК фотоны поглощаются, а их число не сохра-

няется, что приводит к смыканию дисперсионных ветвей прямых и обратных

волн в области запрещенных зон, которые практически исчезают.

81

3.4. Выводы

В данной главе рассмотрены трехмерно-периодические метаматериалы:

металлические фотонные кристаллы с включениями в виде тонких непере-

секающихся стержней и прямоугольных колец, металло-диэлектрические фо-

тонные кристаллы с включениями в виде прямоугольных параллелепипедов.

Были получены следующие результаты:

∙ Предложена модель в тонкопроволочном приближении для трехмерно-

периодических металлических проволочных фотонных кристаллов с

непересекающимися стержнями, согласно которой по стержням бежит

азимутально-независимый ток. Это позволяет ввести линейную плот-

ность тока, которая представляется тригонометрическим рядом и об-

ращается в нуль на концах проволочек, и рассматривать интегральное

уравнение относительно компоненты электрического поля, параллель-

ной проволочкам.

∙ Получены дисперсионные характеристики трехмерно-периодических

металлических стержневых фотонных кристаллов. Показано, что дан-

ные структуры с периодом кубической решетки 𝑎 обладают полной за-

прещенной зоной при радиусе проволочек 𝑟/𝑎 = 0.05 и длине 𝑙/𝑎 ≥ 0.7

для волн с нормированной продольной компонентой волнового векто-

ра менее 𝜋. Получена зависимость от нормированного волнового числа

компоненты тензора эффективной диэлектрической проницаемости, вза-

имодействующей с компонентой электрического поля. Данная характе-

ристика соответствует модели Лоренца осциллирующей среды.

∙ Предложена модель в тонкопроволочном приближении для трехмерно-

периодических металлических проволочных фотонных кристаллов с

82

непересекающимися прямоугольными кольцами, согласно которой по

кольцам бежит азимутально-независимый ток. Это позволяет ввести ли-

нейную плотность тока, которая представляется тригонометрическим

рядом и непрерывна по оси кольца, и рассматривать интегральное урав-

нение относительно компоненты электрического поля, параллельной

плоскости колец.

∙ Рассчитаны дисперсионные характеристики трехмерно-периодических

металлических прямоугольно-кольцевых фотонных кристаллов. Показа-

но, что данные структуры обладают неполной запрещенной зоной для

поперечных волн. Поэтому достижение одновременно отрицательных

величин диэлектрической и магнитной проницаемостей на структурах

из колец и стержней является проблематичным.

∙ Получены дисперсионные характеристики трехмерно-периодических

металло-диэлектрических фотонных кристаллов. Показано, что при

сильно разреженных наноразмерных включениях данные структуры об-

ладают потерями и фильтрующими свойствами в области высоких ча-

стот.

83

4. РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА ДЛЯ РАСЧЕТА

ДИСПЕРСИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МЕТАМАТЕРИАЛОВ

В данной главе рассматривается разработанный автором метод решения

дисперсионного уравнения при наличии полюсов, на основе которого был со-

здан алгоритм расчета дисперсионных характеристик метаматериалов и его

модификация для параллельных вычислительных систем. Проводится анализ

сходимости алгоритма и определяются оптимальные параметры расчета. Да-

лее приводится описание функциональных возможностей программного ком-

плекса, разработанного на основе полученного алгоритма. Анализируются ре-

зультаты тестирования на высокопроизводительных системах, основанных как

на центральных процессорах, так и с использованием графического ускорите-

ля вычислений. Формулируются выводы об эффективности и масштабируе-

мости.

Результаты данной главы опубликованы в работах [114–117].

4.1. Метод решения дисперсионного уравнения при наличии полюсов

На основе вышеописанных моделей сформулируем задачу расчета диспер-

сионных характеристик металлических фотонных кристаллов. Будем опирать-

ся на случай одноосного МФК с неконтактирующими проволочками с оговор-

кой, что подобный подход применим и для других видов включений.

Изначально будем задавать вид кристалла – его пространственный период

(𝑎, 𝑏, 𝑐), а также виды и параметры включений. В нашем случае это некон-

тактирующие металлические проволочки, которые располагаются по оси 𝑧 и

характеризуются длиной 𝑙 и радиусом 𝑟. Так же необходимо выбрать количе-

ство учитываемых гармоник в формуле плотности тока и плоских волн в ФГ.

84

Вопрос о оптимальных значениях данных величин будет рассмотрен далее в

главе.

Теперь, задавая различные значения 𝑘𝑥 и 𝑘𝑦, из ДУ можно получить по-

верхность 𝑘0 в трехмерном пространстве для каждого 𝑘𝑧. Далее из получен-

ных данных определяем значения 𝜀𝑧𝑧 для каждой четверки значений 𝑘0, 𝑘𝑥, 𝑘𝑦

и 𝑘𝑧.

Рассмотрим интегральное уравнение (1.22), которое описывает зависи-

мость поля в конкретной ячейке решетки от полей в других ячейках.

Данное уравнение сводится к ДУ (1.24) и представляет собой функцию

𝐹 (𝑘0, 𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧), равную нулю. Задавая значения 𝑘𝑥, 𝑘𝑦 и 𝑘𝑧, получаем урав-

нение с одним неизвестным 𝑘0.

Поиск корней сопряжен со сложностями, обусловленными наличием полю-

сов в знаменателе ФГ. При переходе значения знаменателя через нуль функция

имеет разрыв, также происходит смена знака функции. Данное обстоятельство

делает невозможным использование методов, подходящих для поиска корней

непрерывных функций.

Поэтому был проведен анализ поведения функции в окрестностях корней

и полюсов. Исходя из полученных данных (рис. 4.1, 4.2), был создан набор

правил, позволяющих определять наличие корня между двумя точками. Далее

приведен список этих правил:

1) Если знак определителя в левой точке равен знаку определителя в пра-

вой точке, то считаем, что в этом отрезке нет перехода через нуль, а значит

корня нет.

2) Если модуль разности значений определителя в левой и правой точках

значительно больше модуля разности на предыдущем отрезке, то считаем, что

произошел переход через полюс и корня нет. Эмпирическим путем была полу-

85

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

k0a

−5

0

5

F

Рисунок 4.1. Зависимость значений функции 𝐹 от 𝑘0𝑎 вблизи корня

3.08 3.10 3.12 3.14 3.16 3.18 3.20

k0a

−1000

−100

−10

0

10

100

1000

F

1 2 3

Рисунок 4.2. Зависимость значений функции 𝐹 от 𝑘0𝑎 вблизи полюсов(точки 1, 3) и корня (2)

чена константа 10, соответствующая десятикратному превосходству значения

разности на рассматриваемом отрезке к предыдущему.

86

3) Если значение определителя возрастает на предыдущем отрезке, а на

рассматриваемом отрезке убывает, то считаем, что произошел переход через

полюс и корня нет.

4) Если значение определителя убывает на предыдущем отрезке, а на рас-

сматриваемом возрастает, то также считаем, что произошел переход через по-

люс и корня нет.

5) Если правила 1-4 не выполняются для данного отрезка, то такой отрезок

считается содержащим корень.

Рисунок 4.3. Блок-схема алгоритма поиска решения на отрезке

Соответствующий алгоритм в виде блок-схемы представлен на рис. 4.3. A

– значение определителя в левой точке, B – значение определителя в правой

точка, D – умноженная на предопределенную константу разность значений

определителя в правой и левой точках на предыдущем отрезке.

На основе приведенных выше правил был разработан численный метод

поиска корней дисперсионного уравнения. Данный метод представляет собой

87

деление области поиска на более мелкие отрезки, которые анализируются со-

гласно правилам определения корня. Полученные результаты объединяются и

выдаются в виде списка отрезков, которые содержат корень. Далее предпо-

лагается, что корень находится в середине каждого из таких отрезков. Соот-

ветственно, точность результатов напрямую зависит от количества и размера

анализируемых отрезков.

4.2. Формальное описание алгоритма расчета дисперсионных

характеристик метаматериалов

Блок-схема алгоритма поиска корней ДУ представлена на рис. 4.4. Приве-

дем описание данной схемы.

Рисунок 4.4. Блок-схема алгоритма расчета дисперсионных характеристикметаматериалов

88

Входные параметры: набор значений волнового вектора k (массив K, дли-

ной L), диапазон (значения FROM и TO) и шаг поиска (STEP) 𝑘0.

Выходные параметры: значения 𝑘0 (массив K0).

Ход алгоритма.

1) Выбор очередного значения волнового вектора k := K[i].

2) Разбиение отрезка [FROM, TO] точками с шагом STEP на отрезки.

3) Построение матрицы и вычисление ее определителя в каждой из точек.

4) Поиск нулевого значения между значениями определителя [A, B] на

каждом из отрезков [q, q + STEP] с учетом разности D данных значений на

предыдущем отрезке [q - STEP, q] – C(A, B, D) = 0 (рис. 4.3).

5) Сохранение найденного решения в массиве K0 (K0 += q + STEP).

6) Переход к следующему значению волнового вектора i += 1.

4.3. Модификация алгоритма для параллельных вычислительных

систем

Из формального описания алгоритма можно заметить, что имеет смысл

разбить заданную область поиска 𝑘0 между различными процессами для ор-

ганизации параллельного поиска отрезков, содержащих корень. Это и было

сделано в рамках данной работы.

Рассмотрим изображенную на рис. 4.5 схему разбиения области поиска 𝑘0

и решения ДУ несколькими процессами. Изначально у нас имеются левая и

правая границы области поиска (FROM и TO), шаг поиска (STEP), количе-

ство процессов (S), функция вычисления определителя (F) и волновой вектор

(k). Область поиска разбивается на S частей, каждая из которых отдается на

обработку отдельному вычислительному процессу. Данный процесс вычисля-

ет значения определителя для каждого значения 𝑘0 из своей области с шагом

89

STEP. Полученная последовательность значений анализируется, и в ней на-

ходятся искомые корни (K1_1, K1_2 и т.д.). Далее результаты всех процессов

объединяются и формируется итоговый список корней.

Рисунок 4.5. Блок-схема процесса разбиения области поиска 𝑘0 и решенияДУ несколькими процессами

С учетом данного подхода была модифицирована блок-схема последова-

тельного алгоритма поиска корней ДУ 4.4. Результат представлен на рис. 4.6.

Приведем описание новой схемы для каждого из вычислительных процессов.

Входные параметры: набор значений волнового вектора k (массив K дли-

ной L), диапазон (значения FROM и TO) и шаг поиска (STEP) 𝑘0, номер про-

цесса (PROC), количество процессов (S).

Выходные параметры: значения 𝑘0 (массив K0).

Ход алгоритма.

90

Рисунок 4.6. Блок-схема параллельной модификации алгоритма расчетадисперсионных характеристик метаматериалов

1) Выбор очередного значения волнового вектора k := K[i].

2) Разбиение отрезка [FROM, TO] между процессами на участки размера

T, в результате процессу PROC отводится отрезок [FROM + T * PROC, FROM

+ T * (PROC + 1)].

3) Разбиение отрезка [FROM, TO] точками с шагом STEP на отрезки.

4) Построение матрицы и вычисление ее определителя в каждой из точек.

5) Поиск нулевого значения между значениями определителя [A, B] на

каждом из отрезков [q, q + STEP] с учетом разности R данных значений на

предыдущем отрезке [q - STEP, q] – C(A, B, D) = 0 (рис. 4.3).

6) Сохранение найденного решения в массиве P (P += q + STEP).

91

7) Перенос значений из массива P в массив K0, общий для всех процессов,

– K0[i] += P[i], и переход к следующему значению волнового вектора i += 1.

4.4. Определение оптимальных параметров расчета

При расчете метаматериалов на основе вышеизложенных моделей возни-

кает необходимость выбора оптимального количества гармоник плотности

тока 𝑁 и учитываемых плоских волн в ФГ. Для замедляющей системы ти-

па «диэлектрическая гребенка с металлизацией» и металло-диэлектрических

структур плотность тока задается с помощью конечного числа функций, по-

этому в этом случае необходимо лишь определить количество учитываемых

плоских волн в ФГ. Опытным путем для ЗС было получено значение пре-

дела ряда 𝑀 = 20, что соответствует 820 плоским волнам, а для металло-

диэлектрических структур это значение равно 𝑀 = 10 (9261 плоская волна).

В случае же МФК на основе тонких идеально проводящих проволочек

необходимо определить оба параметра. Рассмотрим структуру МФК рис. 3.1.

Для простоты вычислений возьмем одну гармонику (𝑁 = 1) и 9261 плоскую

волну в функции Грина (𝑀 = 10). Результирующая зонная диаграмма распо-

ложена на рис. 4.7 (кривая 2).

Заметим, что первую зону непропускания (bandgap) образует первая вет-

ка в точке M (3,1075) и вторая ветка в точке X (3,14125). Рассмотрим, как

влияет изменение параметров 𝑁 и 𝑀 на точность получаемых результатов.

Соответствующие результаты даны в табл. 4.1, где приведены значения, полу-

ченные для точки M. Ячейки таблицы со знаком «-» означают невозможность

правильного расчета при данных параметрах.

92

M Γ X Mka

0

1

2

3

4

5

6

k0a

1

2

Рисунок 4.7. Зонная диаграмма Бриллюэна для 𝑎 = 𝑏 = 𝑐, 𝑙/𝑎 = 0.7,𝑟/𝑎 = 0.05 при 𝑁 = 7, 𝑀 = 20 (кривая 1), 𝑁 = 1, 𝑀 = 10 (2)

Таблица 4.1. Нормированные значения точки M для различного количестваучитываемых пространственных гармоник ((2𝑀 + 1)3) и гармоник тока (𝑁 )

𝑁 𝑀 = 10 𝑀 = 20 𝑀 = 30 𝑀 = 40 𝑀 = 501 3,1075 3,0825 3,0825 3,0825 3,08253 2,9925 2,9525 2,9575 2,9575 2,95755 2,9325 2,9025 2,9075 2,9075 2,91257 2,9225 2,8675 2,8775 2,8775 2,87759 - 2,8375 2,8525 2,8525 2,852511 - - 2,8325 2,8325 2,837513 - - 2,8125 2,8175 2,822515 - - - 2,8075 2,812517 - - - 2,7975 2,802519 - - - 2,7875 2,792521 - - - 2,7825 2,7925

С увеличением количества гармоник нужно увеличивать количество плос-

ких волн, чтобы обеспечить точность вычислений. Для наглядности приведена

93

табл. 4.2 с относительными значениями величины частотного зазора к конфи-

гурации 𝑁 = 1, 𝑀 = 10.

Таблица 4.2. Нормированные разности частотного зазора первой и второйветок в точке 𝑀 к значению 𝑁 = 1, 𝑀 = 10 для различных 𝑁 и 𝑀

𝑁 𝑀 = 10 𝑀 = 20 𝑀 = 30 𝑀 = 40 𝑀 = 501 1 2,71 2,71 2,71 2,713 4,29 5,43 5,29 5,29 5,295 6,00 6,86 6,71 6,71 6,717 6,29 7,86 7,57 7,57 7,579 - 8,71 8,14 8,14 8,1411 - - 8,86 8,86 8,7113 - - 9,42 9,29 9,1415 - - - 9,57 9,4217 - - - 9,86 9,7119 - - - 10,14 9,8621 - - - 10,29 9,86

В максимальной приведенной конфигурации зона непропускания увели-

чивается в 9,86 раз. Число же плоских волн существенно влияет на точность

вычислений только при переходе от 10 к 20 для 𝑁 = 7. Аналогичные вычисле-

ния для точки X показали, что ее значение слабо меняется при увеличении 𝑁

и 𝑀 . Таким образом, основной вклад в величину зоны непропускания вносит

точка M.

Рассмотрим сводную диаграмму изменения точности результата и скоро-

сти вычисления матрицы, представленную на рис. 4.8. Число плоских волн

было взято оптимальным для каждого случая, что соответствует 𝑀 , равному

20 для 𝑁 от 1 до 7, 30 – от 9 до 11, 40 – от 13 до 15, 50 – от 17 до 21.

Из диаграммы видно, что изменение точности вычислений, затухая, ста-

билизируется при увеличении 𝑁 . Для расчета зонных диаграмм для конфигу-

раций МФК c конечными непересекающимися проволочками длины меньше,

94

а)

б)

Рисунок 4.8. Зависимости значений относительной ширины запрещеннойзоны от количества учитываемых гармоник тока (а) и времени вычисления

матрицы от отношения числа гармоник тока к числу пространственныхгармоник по каждой из координат (б)

95

либо равной 0.7𝑎 разумно брать количество гармоник равное 𝑁 = 7 и 𝑀 = 20,

что соответствует 413 = 68921 плоской волне. В результате получаем точность

около 80% от максимального результата и приемлемое время вычислений. Ре-

зультирующая зонная диаграмма представлена на рис. 4.7 (кривая 1).

Заметим, что при дальнейшем увеличении длины проволочки придется

увеличивать число гармоник тока, что обусловлено емкостными связями по

торцам проволочек. Эти связи увеличивают эффективную длину проволочек

и влекут сложную некосинусоидальную зависимость тока.

Аналогичное исследование, проведенное для тонкопроволочных прямо-

угольных структур, показало, что уже начиная с 𝑁 = 2 и 𝑀 = 20, величина

зоны непропускания перестает меняться. Поэтому данные параметры были

приняты оптимальными для данного вида структур. Стоит заметить, что в

этом случае проводник не обладает разрывами, поэтому за первую гармонику

следует принять компоненту постоянного тока.

4.5. Характеристика программного комплекса

Программный комплекс [118] разработан с помощью высокоуровневых и

низкоуровневых средств программирования – языков Python и C. Комплекс

представляет собой комбинацию двух составляющих: модуля вычисления и

модуля управления (рис. 4.9).

Модуль вычисления написан на низкоуровневом языке программирования

С и содержит функции для нахождения волнового числа 𝑘0 и значения диэлек-

трической и магнитной проницаемости. Вычисление определителя произво-

дится методом итерации, который сводит исходную матрицу к диагональному

виду.

96

Рисунок 4.9. Схема программного комплека расчета дисперсионныххарактеристик метаматериалов

Модуль управления написан на высокоуровневом языке программирования

Python, рассмотренном в [117], и содержит функции по распараллеливанию

нахождения волнового числа, построению зонных диаграмм и вывода значе-

ния диэлектрической и магнитной проницаемости.

В модуле управления реализуется чтение параметров вычисления из кон-

фигурационного файла. Данный файл содержит записи вида:

∙ l = 0.5

∙ r = 0.05

Каждая строка содержит информацию о вводимом параметре и его вели-

чине. Если какой-то параметр не указан, используются значения по умолча-

нию. Ниже приведен полный список параметров, которые позволяет задавать

конфигурационный файл:

97

∙ type – тип включения,

∙ mode – вид получаемой характеристики,

∙ l – длина проволочки/стороны прямоугольного проволочного включения,

∙ r – радиус проволочки,

∙ a – период решетки по оси 𝑂𝑥,

∙ b – период решетки по оси 𝑂𝑦,

∙ с – период решетки по оси 𝑂𝑧,

∙ M – количество учитываемых членов ряда в суммах ФГ,

∙ N – количество гармоник тока (если плотность задана разложением),

∙ kz – компонента волнового вектора в направлении 𝑂𝑧,

∙ k0_step – шаг поиска 𝑘0,

∙ k0_start – нижняя граница поиска 𝑘0,

∙ k0_stop – верхняя граница поиска 𝑘0.

Программный комплекс обладает возможностью добавления функционала

расчета новых видов материалов. В связи с этим вычислительный модуль был

поделен следующим образом:

1) функции вычисления определителя матрицы, волнового числа на задан-

ном промежутке и проницаемости, используемые для всех видов материалов;

2) функции вычисления матричного элемента – отдельно для каждого вида

материала.

Таким образом, чтобы добавить новый материал, требуется лишь реализо-

вать функцию вычисления матричного элемента, а также добавить в модуль

управления возможность выбора данного материала.

98

4.6. Технологии параллельных вычислений

Программный комплекс использует технологии Message Passing Interface

(MPI) и Open Calculation Language (OpenCL) для организации параллельных

вычислений. Рассмотрим данные технологии более подробно.

Message Passing Interface – это спецификация для написания библиотек пе-

редачи сообщений, разработанная как стандарт для систем с распределенной

памятью, систем передачи сообщений и параллельных вычислений. MPI осно-

ван на модели передачи сообщений, в которой данные из адресного простран-

ства одного процесса передаются в адресное пространство другого процесса

посредством передачи сообщений.

Программная модель MPI представлена следующими элементами:

∙ Группы процессов. Каждая группа определяет упорядоченную коллек-

цию процессов и область видимости при операциях взаимодействия.

∙ Коммуникаторы. Объекты данного типа предоставляют все операции

взаимодействия в MPI. Каждый процесс для коммуникатора имеет свой

независимый номер, и все процессы составляют упорядоченную топо-

логию. Коммуникаторы делятся на два типа:

– Интра-коммуникаторы. Обеспечивают взаимодействие между про-

цессами из одной группы.

– Интер-коммуникаторы. Обеспечивают взаимодействие между дву-

мя группами процессов.

∙ Точка-точка операции. Осуществляют взаимодействие между двумя про-

цессами из одной группы. Часто используемым примером является вы-

зов MPI_Send, который позволяет внутри одной группы передать данные

от одного процесса к другому.

99

∙ Коллективные операции. Осуществляют взаимодействие среди всех про-

цессов в группе. Типичным примером является вызов MPI_Bcast, кото-

рый берет данные из одного процесса и отправляет их всем остальным

процессам из той же группы.

∙ Типизация операций. Многие операции в MPI требуют, чтобы был ука-

зан тип передаваемых данных. Хотя стандартом MPI определены некото-

рые типы данных (MPI_INT, MPI_DOUBLE и т. д.), возможно создавать

свои собственные типы и использовать их для передачи в сообщени-

ях [114–116,119].

Open Computing Language – это промышленный открытый стандарт про-

граммирования под различные платформы, в том числе центральные и графи-

ческие процессоры. Он включается в себя язык программирования, интерфейс

программирования приложений, библиотеки и системное окружение для раз-

работки программного обеспечения.

Для описания стандарта используют иерархию следующих моделей:

∙ Модель платформы. Состоит из хоста (запускающего устройства),

на котором расположено одно или несколько OpenCL-совместимых

устройств. Каждое из таких устройств разделено на выполняющие мо-

дули, состоящие из элементов обработки, производящих вычисления.

∙ Модель выполнения. Выполнение разделено на две части:

– Хост-программа. Задает контекст выполнения вместе с индексным

пространством OpenCL программы (ядра).

– Ядро. Выполняется непосредственно на OpenCL устройстве. Каж-

дому элементу индексного пространства сопоставляется свой эк-

земпляр ядра – рабочего элемента, выполняющегося на элементе

обработки устройства. Рабочие элементы объединяются в группы.

100

∙ Модель памяти. Каждый рабочий элемент имеет доступ к четырем об-

ластям памяти:

– Глобальная память. Предоставляет доступ на чтение и запись для

всех рабочих элементов из всех групп.

– Постоянная память. Остается постоянной в течение всего времени

выполнения ядра.

– Локальная память. Разделяется внутри одной группы рабочих эле-

ментов и доступна на чтение и запись.

– Личная память. Относится к одному рабочему элементу и не до-

ступна из остальных.

∙ Программная модель. Поддерживаются следующие программные моде-

ли:

– Модель параллельных данных. Определяет вычисление в виде по-

следовательности инструкций, примененных к нескольким элемен-

там объекта памяти. Индексное пространство, связанное с выпол-

нением OpenCL программы, определяет рабочие элементы и соот-

ношение данных с ними.

– Модель параллельных заданий. Определяет процесс вычисления,

при котором каждый экземпляр ядра выполняется независимо от

индексного пространства [114,115,120].

4.7. Анализ эффективности программного комплекса

Процесс решения ДУ представляет собой разбиение области поиска кор-

ня на участки и поиска такого участка, на котором функция 𝐹 (𝑘0,k) меняет

знак. В связи с этим возможно распараллеливание вычислений, при котором

101

каждому процессу отдается своя область поиска. В данном случае удобно ис-

пользовать технологию MPI [114,115].

Для расчета была взята структура, изображенная на рис. 1, со следующими

входными параметрами: 𝑙 = 0.5, 𝑟 = 0.05, 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 1, 𝑀 = 10, 𝑁 = 1,

𝑘𝑧 = 0, область поиска 𝑘0 – от 0.1 до 6.2 с шагом 0.005. Значения 𝑘𝑥 и 𝑘𝑦 взяты

из диапазона между точек 𝑀(𝜋/𝑎, 𝜋/𝑏), 𝐺(0, 0), 𝑋(𝜋/𝑎, 0), 𝑀(𝜋/𝑎, 𝜋/𝑏) по 10

значений из каждого отрезка.

В роли параллельной вычислительной системы выступала связка из трех

машин с двумя четырехъядерными процессорами Intel Xeon E5345 @ 2.33

ГГц на каждой – всего 24 ядра. Была использована широко известная реали-

зация стандарта MPI – MPICH2 [121]. Вычисления проводились в числах с

плавающей точкой двойной точности, учитывалось среднее из трех запусков.

Для конфигураций с различным числом работающих процессов в табл. 4.3

приведены величины времени выполнения в секундах и ускорения в сравне-

нии с последовательным вариантом. Для сохранения точности данные приве-

дены с учетом сотых долей.

Таблица 4.3. Зависимость времени выполнения и ускорения от числаработающих процессов

Число процессов Время, сек Ускорение1 117,38 14 29,44 3,998 14,82 7,9212 9,96 11,7816 7,67 15,3020 6,21 18,9024 5,35 21,94

Как можно видеть из результатов, конфигурация с 24-я работающими про-

цессами справляется с аналогичной задачей в 21,94 раза быстрее, чем после-

102

довательный вариант, что лишь на 8,6% меньше, чем максимально возможные

показатели. Конечно, рост величины ускорения будет замедляться с дальней-

шим увеличением количества процессов из-за возрастания нагрузки на сеть.

В нашем случае процессы лишь обмениваются итоговыми результатами для

каждого k, что делает нагрузку на сеть минимальной. Таким образом, исполь-

зование технологии MPI оправдано в задаче поиска корня при решении ДУ.

Далее заметим, что при решении ДУ требуется вычисление суммы трой-

ного ряда для каждого матричного элемента. Здесь так же целесообразно при-

менить параллельные вычисления. Для расчета суммы ряда была применена

технология OpenCL [114,115].

В качестве вычислительной системы выступала связка из двухъядерного

процессора Intel Pentium E2140 @ 2.81 ГГц и графического ускорителя AMD

Radeon HD 6950, поддерживающего технологию OpenCL (E2140 + HD6950).

Входные данные были взяты из предыдущего примера.

Для проверки эффективности данной технологии была получена зависи-

мость времени выполнения от размерности рядов. Для сравнения так же были

проведены измерения для 24-х ядерной вычислительной системы, рассмот-

ренной выше (6 x E5345). Полученные значения для наглядности округлены

до целых секунд. Результаты представлены в табл. 4.4.

Таблица 4.4. Зависимость времени выполнения от размерности ряда

Размерность ряда 6 x E5345 время, сек E2140 + HD6950 время, сек9261 5 4868921 44 52226981 151 77531441 355 1201030301 693 198

103

По результатам видно, что при использовании графического ускорителя

и технологии OpenCL время вычислений растет медленнее, чем размерность

ряда. Особенно это заметно в легких режимах, где основную роль на себя

берут накладные расходы, связанные с переключением контекста между цен-

тральным процессором и графическим ускорителем. В случае же 24-х ядерной

системы можно наблюдать практически линейное увеличение времени вычис-

лений при увеличении размерности ряда.

Рассмотрим абсолютные показатели обеих конфигураций. В легких режи-

мах, где велика роль накладных расходов на выполнение OpenCL приложения,

система на базе графического ускорителя серьезно проигрывает системе из 24-

х ядер. В тяжелых режимах наблюдается обратная ситуация. В самом ресур-

соемком случае при количестве элементов ряда равном 1030301 применение

технологии OpenCL и рядового графического ускорителя даже при маломощ-

ном центральном процессоре позволило добиться выигрыша в скорости более,

чем в 3 раза. Таким образом, можно сделать вывод, что технологию OpenCL

с данным графическим ускорителем выгодно использовать при расчете рядов

достаточно большой размерности.

Тем самым, тестирование производительности программного комплекса

показывает его эффективность и масштабируемость при использовании па-

раллельных вычислительных систем, основанных как на многоядерных про-

цессорах, так и на платах ускорения вычислений.

4.8. Выводы

В данной главе приведен разработанный алгоритм расчета дисперсионных

характеристик метаматериалов и рассмотрен программный комплекс для вы-

104

полнения расчетов на параллельных вычислительных системах, реализующий

данный алгоритм. Были получены следующие результаты:

∙ Предложен новый метод решения дисперсионного уравнения, основан-

ный на анализе скорости изменения значений целевой функции и позво-

ляющий определять корни различных дисперсионных ветвей.

∙ Разработаны последовательная и параллельная версии алгоритма расче-

та дисперсионных характеристик метаматериалов.

∙ Разработан программный комплекс, реализующий параллельный алго-

ритм расчета дисперсионных характеристик метаматериалов с приме-

нением метода интегральных уравнений. Показана его эффективность

при выполнении расчетов на параллельных вычислительных системах с

наличием многоядерных процессоров и графических ускорителей.

105

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе проведен анализ электродинамических свойств гипер-

болических метаматериалов путем численного моделирования с применени-

ем алгоритмов распараллеливания. Рассмотрены одномерно-периодические,

двумерно-периодические и трехмерно-периодические структуры с металличе-

скими и диэлектрическими включениями.

Для построения моделей исследуемых объектов был выбран метод инте-

гральных уравнений и функций Грина, основанный на решении дисперси-

онного уравнения и позволяющий получать дисперсионные характеристики

электродинамических систем произвольной конфигурации, а также метод мат-

риц передачи, удобный при расчете коэффициентов пропускания и отражения

для структур с конечным числом периодов.

Исследована замедляющая система с одномерно-периодической диэлек-

трической металлизированной гребенкой. Использовалось двумерное прибли-

жение, что позволило существенно упростить интегральные уравнения и

уменьшить сложность вычислений. Анализ дисперсионных характеристик по-

казал, что такая структура обладает близким к линейному законом дисперсии

и практически постоянным замедлением в широкой полосе частот. При этом

замедление обеспечивается как за счет диэлектрика, так и за счет геометрии

структуры и увеличивается при уменьшении ширины и увеличении глубины

гребней. Замедляющие системы такого типа перспективны при построении

ламп бегущей волны в терагерцовом диапазоне ввиду постоянного замедле-

ния в широкой полосе, в отличии от ЗС типа «меандр». Целесообразно ис-

пользовать гребенчатые подложки с большими значениями диэлектрической

106

проницаемости, что позволяет увеличить широкополосность, сопротивление

связи и снизить риск возникновения областей с аномальной дисперсией.

Методом матриц передачи получены значения коэффициента пропускания

для пленочных одномерно-периодических структур, состоящих из конечного

числа чередующихся наноразмерных слоев металла и диэлектрика. В инфра-

красном диапазоне данные структуры обладают фильтрующими свойствами и

могут стать основой для создания электромагнитных тепловых экранов, про-

пускающих оптический спектр. Такие экраны могут быть изготовлены ме-

тодом вакуумно-плазменного магнетронного напыления [122] и нанесены на

стекло.

Построены модели в тонкопроволочном приближении для фотонных кри-

сталлов с металлическими проволочными включениями. Согласно данным

моделям, по проволочкам бежит азимутально-независимый ток, что позволя-

ет получать дисперсионное уравнение, используя лишь интегральные уравне-

ния компонент электрического поля, ориентированных вдоль контуров прово-

лочек. С использованием данного подхода были определены дисперсионные

свойства двумерно-периодических гиперболических метаматериалов с вклю-

чениями из металлических бесконечно протяженных стержней. Показано, что

при условии идеальной проводимости данные структуры обладают низкоча-

стотной отсечкой, ниже которой ведут себя подобно плазме. В терагерцовом

диапазоне при наноразмерных включениях данная отсечка понижается ввиду

наличия у металла плазменных свойств. При этом наблюдается слабая дис-

персия и малые потери вплоть до инфракрасного диапазона для волн, распро-

страняющихся вдоль проволочек.

Получены дисперсионные характеристики трехмерно-периодических ги-

перболических метаматериалов с металлическими проволочными включени-

107

ями в виде тонких стержней конечной длины. Данные структуры обладают

полной запрещенной зоной между первой и второй ветвями диаграммы Брил-

люэна для волн с нормированной продольной компонентой волнового вектора

менее 𝜋. В запрещенной зоне волновой вектор комплексный, что соответству-

ет отрицательным значениям диэлектрической проницаемости. При переходе

с нижней дисперсионной ветви прямой волны на верхнюю частотная диспер-

сия таких структур соответствует модели Лоренца среды с гармоническими

осцилляторами.

Рассчитаны зонные диаграммы для трехмерно-периодических метаматери-

алов с металлическими включениями в виде тонких проволочных прямоуголь-

ных колец, обладающих магнитными свойствами. В таких структурах наблю-

дается смыкание дисперсионных ветвей, что соответствует неполной запре-

щенной зоне и как положительным, так и отрицательным значениям магнит-

ной проницаемости. Таким образом, достижение одновременно отрицатель-

ных величин обеих проницаемостей при объединении в ячейке металлических

проволочных включений в виде стержня и кольца является проблематичным.

Получены модели трехмерно-периодических металло-диэлектрических

метаматериалов. При использовании сильно разреженных структур с нанораз-

мерными кубическими включениями в области высоких частот наблюдаются

потери и демонстрируются фильтрующие свойства.

Предложен метод решения дисперсионного уравнения, основанный на ана-

лизе скорости изменения целевой функции. В отличии от традиционных мето-

дов, таких как метод половинного деления или метод касательных, он позволя-

ет определять корни различных дисперсионных ветвей. С применением этого

метода был разработан алгоритм расчета дисперсионных характеристик.

108

Полученный алгоритм был модифицирован для поддержки параллельных

вычислительных систем и реализован на языках C и Python в виде программ-

ного комплекса. Комплекс поддерживает технологии параллельных вычисле-

ний MPI и OpenCL, обеспечивает хорошую масштабируемость и обладает воз-

можностями расширения функционала. Наибольшая эффективность достига-

ется при использовании гибридных вычислительных систем на основе много-

ядерных центральных процессоров и современных графических ускорителей.

109

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Smith D. R., Schurig D. Electromagnetic wave propagation in media with in-

definite permittivity and permeability tensors // Phys. Rev. Lett. 2003. Vol. 90,

No. 7. P. 077405.

2. BW media – media with negative parameters, capable of supporting backward

waves / I. V. Lindell, S. A. Tretyakov, K. I. Nikoskinen et al. // Microwave

and Optical Technology Letters. 2001. Vol. 31, No. 2. P. 129–133.

3. Hyperbolic metamaterials / A. Poddubny, I. Iorsh, P. Belov et al. // Nature

Photonics. 2013. Vol. 7. P. 948–957.

4. Focus issue: hyperbolic metamaterials / M. Noginov, M. Lapine, V. Podolskiy

et al. // Optics Express. 2013. Vol. 21. P. 14895–14897.

5. Jacob Z., Smolyaninov I., Narimanov E. Broadband Purcell effect: radiative

decay engineering with metamaterials // Appl. Phys. Lett. 2012. Vol. 100.

P. 181105.

6. Jacob Z., Alekseyev L. V., Narimanov E. Optical Hyperlens: Far-field imaging

beyond the diffraction limit // Opt. Lett. 2006. Vol. 14, No. 18. P. 8247–8256.

7. Biehs S. A., Tschikin M., Ben-Abdallah P. Hyperbolic metamaterials as an

analog of a blackbody in the near field // Phys. Rev. Lett. 2012. Vol. 109.

P. 104301.

8. Smolyaninov I. I., Hung Y.-J., Hwang E. Experimental modeling of cosmo-

logical inflation with metamaterials // Physics Letters A. 2012. Vol. 376.

P. 2575–2579.

110

9. Левин Л. Современная теория волноводов. М.: Изд-во иностранной ли-

тературы, 1954. 216 с.

10. Левин Л. Теория волноводов. М.: Радио и связь, 1981. 312 с.

11. Мандельштам Л. И. Лекции по оптике, теории относительности и кван-

товой механики. М.: Наука, 1972. 440 с.

12. Сивухин Д. В. Об энергии электромагнитного поля в диспергирующих

средах // Оптика и спектроскопия. 1957. Т. 3, № 4. С. 308–312.

13. Пафомов В. Е. К вопросу о переходном излучении и излучении

Вавилова-Черенкова // Журнал экспериментальной и теоретической фи-

зики. 1959. Т. 36. С. 1853–1858.

14. Силин Р. А. Волноводные свойства двумерно периодических замедляю-

щих систем // Вопросы радиоэлектроники. Сер. 1. Электроника. 1959.

С. 11–33.

15. Веселаго В. Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицатель-

ными значениями 𝜀 и 𝜇 // Успехи физичeских наук. 1967. Т. 92, № 7.

С. 517–526.

16. Yablonovich E. Photonic band structures: the face-centered-cubic case em-

ploying nonspherical atoms // Phys. Rev. Lett. 1991. Vol. 67, No. 17. P. 2295–

2298.

17. 3-dimensional photonic band structure / E. Yablonovitch, T. J. Gmitter,

K. M. Leung et al. // Optical and Quantum Electronics. 1992. Vol. 24,

No. 2. P. S273–S283.

111

18. Joannopoulos J. D., Villeneuve P. R., Fan S. Photonic crystals: Putting a new

twist on light // Nature. 1997. Vol. 386. P. 143–149.

19. Joannopoulos J. D. Photonics: Minding the gap // Nature. 1995. Vol. 375,

No. 6529. P. 278.

20. Extremely low frequency plasmons in metallic mesostructures / J. B. Pendry,

A. J. Holden, W. J. Stewart et al. // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol. 76. P. 4773–

4776.

21. Low frequency plasmons in thin-wire structures / J. B. Pendry, A. J. Holden,

D. J. Robbins et al. // J. Phys.: Condens. Matter. 1998. Vol. 10. P. 4785–4809.

22. Composite medium with simultaneously negative permeability and permittiv-

ity / D. R. Smith, W. J. Padilla, D. C. Vier et al. // Phys. Rev. Lett. 2000.

Vol. 84, No. 18. P. 4184–4187.

23. Pendry J. B. Negative refraction makes a perfect lens // Phys. Rev. Lett. 2000.

Vol. 85. P. 3966–3969.

24. Smith D. R., Pendry J. B., Wiltshire M. C. K. Metamaterials and negative

refractive index // Science. 2004. Vol. 305. P. 788–792.

25. Pendry J. B., Schurig D., Smith D. R. Controlling electromagnetic fields //

Science. 2006. Vol. 23. P. 1780–1782.

26. Photonic bands of metallic systems. I. Principle of calculation and accuracy /

K. Sakoda, N. Kawai, T. Ito et al. // Phys. Rev. B. 2001. Vol. 64. P. 045116.

27. Sakoda K., Zhou H. Analytical study of two-dimensional degenerate metama-

terial antennas // Optics Express. 2011. Vol. 19, No. 15. P. 13899–13921.

112

28. Sakoda K. Dirac cone in two- and three-dimensional metamaterials // Optics

Express. 2012. Vol. 20, No. 4. P. 3898–3917.

29. Sakoda K. Proof of the universality of mode symmetries in creating photonic

Dirac cones // Optics Express. 2012. Vol. 20, No. 22. P. 25181–25194.

30. Lindell I. V. Image theory for a vertical dipole above Veselago medium half

space // Microwave and Optical Technology Letters. 2005. Vol. 44, No. 2.

P. 185–190.

31. Lindell I. V., Sihvola A. H. Negative-definite media, a class of bi-anisotropic

metamaterials // Microwave and Optical Technology Letters. 2006. Vol. 48,

No. 3. P. 602–608.

32. Lindell I. V., Sihvola A. Electromagnetic boundary condition and its realiza-

tion with anisotropic metamaterial // Phys. Rev. E. 2009. Vol. 79, No. 2.

P. 026604.

33. Grounded uniaxial material slabs as magnetic conductors / O. Luukkonen,

C. R. Simovski, et al. // Progress In Electromagnetics Research B. 2009.

Vol. 15. P. 267–283.

34. Симовский К. Р., Третьяков С. А., Viitanen A. J. Субволновое изображе-

ние в сверхлинзе плазмонных наносфер // Письма в журнал технической

физики. 2007. Т. 33. С. 76–82.

35. Effects of spatial dispersion on reflection from Mushroom-type artificial

impedance surfaces / O. Luukkonen, M. G. Silveirinha, A. B. Yakovlev et al. //

IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 2009. Vol. 57,

No. 11. P. 2692–2699.

113

36. Artificial magnetic materials based on the new magnetic particle: meta-

solenoid / S. Maslovski, P. Ikonen, I. Kolmakov et al. // Progress In Elec-

tromagnetics Research. 2005. Vol. 54. P. 61–81.

37. Tretyakov S. A. Electromagnetic field energy density in artificial microwave

materials with strong dispersion and loss // Physics Letters A. 2005. Vol. 343.

P. 231–237.

38. Electromagnetic cloaking with canonical spiral inclusions / K. Guven,

E. Saenz, R. Gonzalo et al. // New Journal of Physics. 2008. Vol. 10.

P. 115037.

39. Tretyakov S. A., Maslovski S. I. Veselago metamaterials: What is possible

and impossible about the dispersion of the constitutive parameters // IEEE

Antennas and Propagation Magazine. 2008. Vol. 49, No. 1. P. 37–43.

40. Nefedov I. S., Viitanen A. J. Guided waves in uniaxial wire medium slab //

Progress In Electromagnetics Research. 2005. Vol. 51. P. 167–185.

41. Nefedov I. S., Viitanen A. J., Tretyakov S. A. Propagating and evanescent

modes in two-dimensional wire media // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 71.

P. 046612.

42. Nefedov I. S., Tarot A. C., Abdouni W. Novel metamaterial: Magnetized

ferrite-wire medium // Loughborough Antennas and Propagation Conference.

Loughborough, UK., 2007. P. 189–192.

43. Nefedov I., de Falcon J. L. M., Tretyakov S. Beam splitter based on wire

media // Proceedings of Metamaterials. Pamplona, Spain, 2008. P. 407–409.

114

44. Nikitov S. A., Filimonov Y. A., Tailhades P. Magneto-photonic and magnonic

crystals based on ferrite films – new types of magnetic functional materials //

Advances in Science and Technology. 2006. Vol. 45. P. 1355–1363.

45. Review of phononic crystals, devices and prospects / S. A. Nikitov, Y. V. Gu-

laev, I. G. Grigorevsky et al. // Abstracts of IEEE Ultrasonics Symposium.

New York. 2012. P. 28–31.

46. Гуляев Ю. В., Лагарьков А. Н., Никитов С. А. Метаматериалы: фунда-

ментальные исследования и перспективы применения // Вестник РАН.

2008. Т. 78, № 5. С. 438–457.

47. Imaging by a system of parallel conducting wires that imitates a metamate-

rial / G. A. Fedorov, A. P. Vinogradov, A. V. Dorofeenko et al. // Journal of

Communications Technology and Electronics. 2006. Vol. 51, No. 7. P. 780–

787.

48. Виноградов А. П., Дорофеенко А. В., Зухди С. К вопросу об эффектив-

ных параметрах метаматериалов // Успехи физических наук. 2008. Т.

178, № 5. С. 511–518.

49. Прохождение света через композитные материалы, содержащие усилива-

ющие слои / А. В. Дорофеенко, А. А. Зябловски, А. А. Пухов [и др.] //

Успехи физических наук. 2012. Т. 182, № 11. С. 1157–1175.

50. Belov P. A., Tretyakov S. A., Viitanen A. J. Dispersion artificial lattices and

properties reflection media formed by regular of idealy conducting wires //

Journal of Electromagnetic Waves and Applications. 2002. Vol. 16, No. 8.

P. 1153–1170.

115

51. Belov P. A., Simovski C. R., Tretyakov S. A. Two-dimensional electromag-

netic crystals formed by reactively loaded wires // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 66.

P. 036610.

52. Belov P. A. Backward waves and negative refraction in uniaxial dielectric

with negative dielectric permittivity along the anisotropy axis // Microwave

and Optical Technology Letters. 2003. Vol. 37, No. 4. P. 259–263.

53. Belov P. A. Experimental demonstration of subwavelength field channeling

at microwave frequencies using a capacitively loaded wire medium // Phys.

Rev. B. 2006. Vol. 73. P. 073102.

54. Belov P. A., Hao Y., Sudhakaran S. Subwavelength microwave imaging using

an array of parallel conducting wires as a lens // Phys. Rev. B. 2006. Vol. 73.

P. 033108.

55. Банков С. Е. Собственные волны волновода в двумерном фотонном

кристалле из металлических цилиндров // Радиотехника и электроника.

2006. Т. 51, № 5. С. 533–542.

56. Банков С. Е., Дупленкова М. Д. Численное исследование СВЧ волновод-

ных элементов на основе EBG структуры // Журнал радиоэлектроники.

2009. № 4. http://jre.cplire.ru/jre/apr09/4/text.html.

57. Банков С. Е. Электромагнитные кристаллы. М.: Физматлит, 2010. 352 с.

58. Kohn W., Rostoker N. Solution of the Schrodinger equation in periodic lattices

with an application to metallic lithium // Phys. Rev. 1954. Vol. 94. P. 1111–

1120.

116

59. Moroz A. Inward and outward integral equations and the KKR method for

photons // J. Phys.: Condens. Matter. 1994. Vol. 6. P. 172–182.

60. Zhang W., Chan C. T., Sheng P. Multiple scattering theory and its application

to photonic band gap systems consisting of coated spheres // J. Opt. Soc. Am.

2001. Vol. 8, No. 3. P. 203–208.

61. Moroz A. Photonic crystals with small metal inclusions // Proceedings of

SPIE, Photonics, Devices, and Systems II. 2003. Vol. 5036. P. 407–412.

62. Van der Lem H., Tip A., Moroz A. Band structure of absorptive two-

dimensional photonic crystals // J. Opt. Soc. Am. B. 2003. Vol. 20, No. 6.

P. 1334–1341.

63. Korringa J. On the calculation of the energy of a bloch wave in a metal //

Physica. 1947. Vol. 13. P. 392–400.

64. Modinos A., et al. Applications of the layer-KKR method to photonic

crysals // Optics Express. 2001. Vol. 8. P. 197–202.

65. Nicorovici N. A., McPhedran R. C. Lattice sums for off-axis electromagnetic

scattering by grating // Phys. Rev. E. 1994. Vol. 50, No. 4. P. 3143–3160.

66. Chin S. K., Nicorovici N. A., McPhedran R. C. Green’s function and lattice

sums for electromagnetic scattering by a square array of cylinders // Phys.

Rev. E. 1994. Vol. 49, No. 5. P. 4590–4606.

67. Nicorovici N. A., McPhedran R. C. Propagation of electromagnetic waves in

periodic lattices of spheres: Green’s function and lattice sums // Phys. Rev. E.

1995. Vol. 51, No. 1. P. 690–702.

117

68. Nicorovici N. A., McPhedran R. C., Botten L. C. Photonic band gaps for

arrays of perfectly conducting cylinders // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 52, No. 1.

P. 1135–1145.

69. Kuzmiak V., Maradudin A. A., Pinsemin F. Photonic band structures of two-

dimensional systems containing metallic components // Phys. Rev. B. 1994.

Vol. 50. P. 16835–16844.

70. Low K. L., Jafri M. Z. M., Khan S. A. Band gap calculation using the plane

wave expansion method for metallic substrate photonic crystals (PC) with air

rods in E polarizing mode // Chinese Journal of Physics. 2009. Vol. 47, No. 6.

P. 853–861.

71. Ho K. M., Chan C. T., Soukoulis C. M. Existence of a photonic gap in periodic

dielectric structures // Phys. Rev. Lett. 1990. Vol. 65. P. 3152–3155.

72. Li Z. Y., Wang J., Gu B. Y. Creation of partial band gaps in anisotropic

photonic-band-gap structures // Phys. Rev. B. 1998. Vol. 58. P. 3721–3729.

73. Johnson S. G., Joannopoulos J. D. Block-iterative frequency-domain methods

for Maxwell’s equations in a planewave basis // Optics Express. 2001. Vol. 8.

P. 173–190.

74. Leung K. M., Liu Y. F. Photon band structures: The plane-wave method //

Phys. Rev. B. 1990. Vol. 41. P. 10188–10190.

75. Pendry J. B., MacKinnon A. Calculation of photon dispersion relations //

Phys. Rev. Lett. 1992. Vol. 69. P. 2772–2775.

76. Pendry J. B. Photonic band structures // Journal of Modern Optics. 1994.

Vol. 41. P. 209–229.

118

77. Photonic band gaps and defects in two dimensions: Studies of the transmission

coefficient / M. Sigalas, C. M. Soukoulis, E. N. Economou et al. // Phys. Rev.

B. 1993. Vol. 48, No. 19. P. 14121–14126.

78. Eghlidi M. H., Mehrany K., Rashidian B. Improved differential-transfer-

matrix method for inhomogeneous one-dimensional photonic crystals // J.

Opt. Soc. Am. B. 2006. Vol. 23, No. 7. P. 1451–1459.

79. Фельдштейн А. Р., Явич Л. Р. Синтез четырехполюсников и восьмипо-

люсников на СВЧ. М.: Связь, 1971. 388 с.

80. Yee K. S. Numerical solution of initial boundary value problems involving

Maxwells equations in isotropic media // IEEE Transactions on Antennas and

Propagation. 1966. No. 3. P. 302–307.

81. Hao Y., Mittra R. FDTD modeling of metamaterials. Theory and applications.

Artech House, 2009. 379 p.

82. Taflove A., Hagness S. Computational Electrodynamics. The finite-difference

time-domain method. Artech House, 2005. 1038 p.

83. Mur G. Absorbing boundary conditions for the finite-difference approxima-

tion of the time-domain electromagnetic field equations // IEEE Transactions

on Electromagnetic Compatibility. 1981. Vol. 23. P. 377–382.

84. Roden J. A., Gedeney S. D. Convolutional PML (CPML): An efficient FDTD

implementation of the CFS-PML for arbitrary media // Microwave and Optical

Technology Letters. 2000. No. 27. P. 334–339.

85. Kunz K., Luebbers R. The finite difference time domain method for electro-

magnetics. CRC Press, New York, 1993. 464 p.

119

86. Ziolkowski R. W., Tanaka M. Finite-difference time-domain modeling of

dispersive-material photonic bandgap structures // J. Opt. Soc. Am. A. 1999.

Vol. 16. P. 930–940.

87. Марков Г. Т., Чаплин А. Ф. Возбуждение электромагнитных волн. М.:

Энергия, 1967. 191 с.

88. Давидович М. В. Фотонные кристаллы: функции Грина, интегро-

дифференциальные уравнения, результаты моделирования // Известия

ВУЗов. Радиофизика. 2006. Т. 49, № 2. С. 150–163.

89. Давидович М. В. Математическое моделирование конфигурационно

сложных структур электродинамики: многомерные интегральные урав-

нения и операторы. Дис. д-ра физ.-мат. наук.: 05.13.16. Саратов, 2000.

480 с.

90. Давидович М. В. Фотонные кристаллы: функции Грина, интегродиффе-

ренциальные уравнения, результаты. Саратов: Изд-во Саратовского уни-

верситета, 2005. 40 с.

91. Давидович М. В., Стефюк Ю. В., Шиловский П. А. Металлические про-

волочные фотонные кристаллы. Анализ электрофизических свойств //

Журнал технической физики. 2012. Т. 82, № 3. С. 7–14.

92. Бушуев Н. А., Давидович М. В., Шиловский П. А. Перспективные замед-

ляющие системы терагерцового диапазона для ЛБВ // Известия Саратов-

ского Государственного Университета. Новая серия. Сер. Физика. 2012.

Т. 12, № 2. С. 64–75.

120

93. Давидович М. В., Шиловский П. А. Метаматериалы с диэлектрическими

и металлическими включениями в кубическую решетку // Журнал тех-

нической физики. 2013. Т. 83, № 8. С. 90–97.

94. Электромагнитные экраны инфракрасного диапазона на основе нанораз-

мерных слоев металла, SiO2 и SiO / М. В. Давидович, Р. К. Яфаров,

Д. М. Доронин [и др.] // Физика волновых процессов и радиотехниче-

ские системы. 2012. Т. 15, № 2. С. 19–21.

95. Материальные параметры металлических проволочных фотонных кри-

сталлов / М. В. Давидович, Ю. В. Стефюк, П. А. Шиловский [и др.] //

Излучение и рассеяние электромагнитных волн (ИРЭМВ-2011). Труды

конференции. Таганрог: ТРТУ. 2011. С. 246–250.

96. Давидович М. В., Шиловский П. А. Волны и дисперсия в 2-D периодиче-

ских металлических стержневых структурах // СВЧ-техника и телеком-

муникационные технологии (КрыМиКо’2013). Материалы конференции.

Севастополь: Вебер. 2013. С. 887–888.

97. Experimental realization of three-dimensional indefinite cavities at the

nanoscale with anomalous scaling laws / X. Yang, J. Yao, J. Rho et al. //

Nature Photonics. 2012. Vol. 6. P. 450–454.

98. Nonlocal effective parameters of multilayered metal-dielectric metamaterials /

A. V. Chebykin, A. A. Orlov, et al. // Phys. Rev. B. 2012. Vol. 86. P. 115420.

99. Control of absorption with hyperbolic metamaterials / T. U. Tumkur, L. Gu,

J. K. Kitur et al. // Appl. Phys. Lett. 2012. Vol. 100. P. 161103.

121

100. Spontaneous emission enhancement in metal–dielectric metamaterials /

I. Iorsh, A. Puddubny, A. Orlov et al. // Physics Letters A. 2012. Vol.

376. P. 185–187.

101. Optical properties of the metals Al, Co, Cu, Au, Fe, Pb, Ni, Pd, Pt, Ag, Ti,

and W in the infrared and far infrared / M. A. Ordal, L. L. Long, R. J. Bell

et al. // Applied Optics. 1983. Vol. 22, No. 77. P. 1099–1119.

102. Давидович М. В., Стефюк Ю.В. Нелинейное прохождение электромаг-

нитной волны через слой с квадратичной и дробно-полиномиальной за-

висимостями диэлектрической проницаемости // Прикладная нелинейная

динамика. 2010. Т. 18, № 3. С. 160–177.

103. Давидович М. В., Стефюк Ю.В. Волны плоскопараллельного волновода

типа «канал с многослойными стенками» // Известия ВУЗов. Радиофизи-

ка. 2010. Т. 53, № 1. С. 31–40.

104. Альтшулер Е. Ю., Давидович М. В., Стефюк Ю. В. LM-волны

полупроводниково-диэлектрического плоскослоистого волновода с дис-

сипативными и активными слоями // Радиотехника и электроника. 2010.

Т. 55, № 1. С. 25–32.

105. Aly A., Ismaeel M., Abdel-Rahman E. Comparative study of the one di-

mensional dielectric and metallic photonic crystals // Optics and Photonics

Journal. 2012. Vol. 2, No. 2. P. 105–112.

106. Ахиезер А. И., Ахиезер И. А. Электромагнетизм и электромагнитные

волны. М.: Высшая школа, 1985. С. 720.

122

107. Электродинамика плазмы / А. И. Ахиезер, И. А. Ахиезер, Р. В. Половин

[и др.]. М.: Наука, 1974. 720 с.

108. Номерованная Л. В., Кириллова М. М., Носков М. М. Оптические свой-

ства монокристалла вольфрама // Журнал экспериментальной и теорети-

ческой физики. 1971. Т. 60, № 2. С. 336–344.

109. Давидович М. В., Шиловский П. А. Расчет зонных диаграмм металличе-

ских проволочных фотонных кристаллов // Журнал технической физики.

2012. Т. 82, № 12. С. 79–83.

110. Давидович М. В., Шиловский П. А. Анализ электрофизических свойств

металлических прямоугольных проволочных фотонных кристаллов // Ге-

теромагнитная микроэлектроника. 2012. № 13. С. 45–50.

111. Давидович М. В., Шиловский П. А. Электрофизические свойства метал-

лических штыревых и кольцевых проволочных фотонных кристаллов //

СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии (КрыМиКо’2012).

Материалы конференции. Севастополь: Вебер. 2012. С. 641–643.

112. Davidovich M. V., Stephuk J. V., Shilovsky P. A. Metallic wire photonic crys-

tals: analysis of electrophysical properties // Modeling in Applied Electromag-

netics and Electronics. No. 10. Saratov University Press, 2011. P. 79–92.

113. Давидович М. В. Регуляризация ядер объемных интегральных уравне-

ний // Проблемы оптической физики. Материалы 10-й Международной

школы по оптике, лазерной физике и биофизике. Саратов: Новый ветер,

2007. С. 140–150.

123

114. Давидович М. В., Шиловский П. А., Андрейченко Д. К. Использование

технологий параллельных вычислений при моделировании металличе-

ских фотонных кристаллов // Известия Саратовского Государственного

Университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика.

2013. Т. 13, № 2. ч. 1. С. 86–90.

115. Давидович М. В., Шиловский П. А., Андрейченко Д. К. Применение тех-

нологий параллельных вычислений для решения задачи моделирования

металлических фотонных кристаллов // Компьютерные наки и информа-

ционные технологии. Материалы конференции. Саратов. 2012. С. 101–

104.

116. Shilovsky P., Atmakin D., Khvatov I. Using message passing interface tech-

nology for solving mathematical physics problems on parallel calculating sys-

tems // Presenting Academic Achievements to the World. 2010. P. 125–129.

117. Khvatov I., Atmakin D., Shilovsky P. Python for science computing // Pre-

senting Academic Achievements to the World. 2010. P. 55–58.

118. Шиловский П. А. Программа расчета зонных диаграмм фотонных кри-

сталлов // Свидетельство об официальной регистрации программы для

ЭВМ №2014610826 от 17 января 2014 г.

119. Message Passing Interface Forum. MPI: A Message Passing Interface

Standard. Version 2.2. http://www.mpi-forum.org/docs/mpi-2.2/

mpi22-report.pdf. Дата обращения: 14.05.2012.

120. The OpenCl specification. Version 1.2. http://www.khronos.org/

registry/cl/specs/opencl-1.2.pdf. Дата обращения: 14.05.2012.

124

121. A high-performance portable implementation of the MPI message passing

interface standard / W. Gropp, E. Lusk, N. Doss et al. // Parallel Computing.

1996. Vol. 22, No. 6. P. 789–828.

122. Яфаров Р. К. Получение наноалмазных композиционных материалов в

плазме // Журнал технической физики. 2006. Т. 76, № 1. С. 42–48.

125