Ocenˇovańı´ neˇkteryćh cennyćh...

NastrojeNektere cenne papıry

Trznı cena rizika

Ocenovanı nekterych cennych papıru

Premysl Bejda

[email protected]

2010

Premysl Bejda Ocenovanı nekterych cennych papıru


Trznı cena rizika

Obsah

1 Nastroje

2 Nektere cenne papıryCizı menyAkcie

3 Trznı cena rizikaObchodovatelnostCena rizika



Trznı cena rizika

Itoovo lemma

Lemma (Itoovo)Necht’ Xt je stochasticky proces ve tvaru dXt = σtdWt + µtdt a fje deterministicka dvakrat diferencovatelna funkce. PotomYt = f (Xt) je take stochasticky proces a platı:

dYt = (σt f′(Xt))dWt + (µt f

′(Xt) +

12σ2

t f′′(Xt))dt

Prvnı krok Neobchodovatelny



Trznı cena rizika

Martingaly

LemmaNecht’ X je stochasticky proces ve tvaru dXt = σtdWt + µtdt,

ktery splnuje podmınku E [(∫T

0 σ2s ds)

12 ] <∞. Wt je Brownuv

pohyb. Pak platı:Xt je martingal⇔ X je bez driftu (µt ≡ 0).

Veta (O reprezentaci martingalu)

Necht’ Mt je martingal vzhledem k mıre Q, jehoz volatilita σt jes.j. nenulova. Pokud Nt je libovolny martingal vzhledem k mıreQ, pak existuje Ft -previsible proces φt tak, ze s.j. platı

∫T

0 φ2t σ

2t dt <∞ a Nt lze psat jako: Nt = N0 + ∫

t0 φsdMs. Proces φt

je navıc urcen jednoznacne.

Prvnı krok Kroky 2 a 3



Trznı cena rizika

Cameron - Martin - Girsanov

Veta (Cameron - Martin - Girsanov)Necht’ Wt je Brownuv pohyb vzhledem k mıre P a γt jeFt -adaptovany proces, ktery splnuje podmınkuEP exp{1

2 ∫T

0 γ2t dt} <∞. Pak existuje mıra Q takova, ze platı:

1 Q je ekvivalentnı s P2 dQ

dP = exp{− ∫T

0 γtdWt − 12 ∫

T0 γ2

t dt}3 Wt = Wt + ∫

t0 γsds je Brownuv pohyb vzhledem k mıre Q.

Tedy Wt je Brownuv pohyb vzhledem k mıre Q s driftem −γt vcase t.

Prvnı krok Shodne hodnoty



Trznı cena rizika

Samofinancujıcı a replikacnı strategie

Samofinancujıcı strategie je takova, kdy nemusıme doplnovatportfolio zadnymi penezi navıc, ale take nenı mozne z nejjakekoli penıze odcerpat. Tj. zmena hodnoty portfolia zavisıpouze na zmenach cen jednotlivych komponent nasehoportfolia. Vypocty

Veta (Samofinancujıcı strategie a ekvivalentnı tvrzenı)

Mame-li nejake portfolio s cenou akcie St a mnozstvımjednotek teto akcie φt . Dale mame-li dluhopis Bt v poctu ψt .Dvojici (φt , ψt) oznacme za strategii. Nase portfolio ma hodnotuVt = φtSt + ψtBt . Diskontovanou hodnotu Et = φtZt + ψt , kdeZt = B−1

t St . Pak z definice je strategie samofinancujıcı pokuddVt = φtdSt + ψtdBt , coz je ekvivalentnı s dEt = φtdZt .

Replikacnı strategie je samofinancujıcı a navıc hodnotaportfolia presne zajist’uje nejakou budoucı platbu. 3 kroky



Trznı cena rizika

Identifikace normality

Veta (Identifikace normality)

Nahodna velicina X je normalne rozdelena vzhledem k mıre P,prave tehdy kdyz pro kazde θ

EP(exp(θX)) = exp(θµ + 12θ2σ2).

Tato veta je specialnı prıpad vety o charakteristicke funkcinormalnıho rozdelenı. Forward Shodne hodnoty



Trznı cena rizika

Radonova Nikodymova veta

Veta (Procesy do casu T )

Predpokladejme, ze P a Q jsou ekvivalentnı mıry (vzajemneabsolutne spojite). Muzeme definovat kladnou realnounahodnou velicinu dP

dQ splnujıcı

1 EQ(XT ) = EP ( dPdQXT) , pro kazdou XT platbu, jez bude

znama v case T .2 EQ(XT ∣Fs) = ζ−1

s EP(ζT XT ∣Fs), pokud s ≤ t ≤ T , kdeζt = EP( dP

dQ ∣Ft).

Tato veta take ukazuje vlastnosti Radonovi Nikodymoviderivace, ale bylo by treba dokazat ekvivalenci. Shodne hodnoty



Trznı cena rizika

Cizı menyAkcie

Definice

V case T , dojde k platbe X .t ∈ [0,T ] je cas.Urokova mıra pro dolar je r , pro libru u.Smenny kurz v case t je Ct .

Blackuv-Scholesuv model pro meny

Dluhopis na dolar Bt = ert .

Dluhopis na libru Dt = eut .

Kurz libry vuci dolaru Ct = C0 exp(σWt + µt),

kde Wt je Brownuv pohyb vzhledem k P a r ,u, σ, µ jsoukonstanty.



Trznı cena rizika

Cizı menyAkcie

Investor s dolary

Bt je obchodovatelne.St = CtDt cena dluhopisu na jednu libru vyjadrena vdolarech. Je obchodovatelna pro naseho investora.Ct samo nenı obchodovatelne, protoze ze samotnychpenez nemame zisk.V rizikove neutralnım svete budu mıt vzdy pouze vynos,ktery se rıdı urokovou mırou r , aby melo St vyznam jakomartingal, je treba diskontovat.

Tri kroky k replikacnı strategii Strategie

1 Najdi mıru Q, Zt = B−1t CtDt je martingal.

2 Vytvor proces Et = EQ(B−1T X ∣Ft).

3 Najdi previsible proces φt , tak ze dEt = φtdZt .



Trznı cena rizika

Cizı menyAkcie

Prvnı krok

1 Mame tedy

Zt = C0 exp(σWt + (µ + u − r)t). (1)

Dale postupujeme jako predchozı prednasku:Definuj Yt = σWt + (µ + u − r)t , pak stochastickadiferencialnı rovnice je dYt = σdWt + (µ + u − r)dt .Jelikoz Zt = exp(Yt) dostanu z Itoova lemmatu

dZt = σZtdWt + (µ + u − r + 12σ2)Ztdt . (2)

Itoovo lemma

Podle tvrzenı o martingalech, aby Zt bylo martingal, nesmımıt drift. Martingaly

Nynı oznacıme konstantnı procesγt = γ = (µ + u − r + 1

2σ2)/σ.



Trznı cena rizika

Cizı menyAkcie

Prvnı krok

Podle C-M-G muzeme nalezt mıru Q, pri ktere Wt = Wt + γtje Brownuv pohyb vzhledem k mıre Q. C-M-G

Po substituci Wt = Wt − γt do (2) dostaneme dZt = σZtdWt .Takze podle vety o martingalech nema (vzhledem ke Q) Ztdrift a tedy je martingal vzhledem ke Q.Nynı dosadıme do (1) Wt = Wt − ((µ + u − r + 1

2σ2)/σ) t tım

dostaneme Zt = C0 exp(σWt − 12σ

2t) a tedyCt = C0 exp(σWt + (r − u − 1

2σ2)t).

Forward Shodne hodnoty



Trznı cena rizika

Cizı menyAkcie

Druhy a tretı krok

2 Proces Et = EQ(B−1T X ∣Ft) jak to vypada s platbou X , pokud

jsem v case t . Je to martingal.3 Podle vety o reprezentaci martingalu existuje F−previsible

proces φt , takovy ze Et = E0 + ∫t

0 φsdZs. Martingaly

Strategie

Budeme drzet φt jednotek dluhopisu v librach.ψt = Et − φtZt jednotek dolaroveho dluhopisu.

Forward



Trznı cena rizika

Cizı menyAkcie

Nekolik vypoctu

Chceme, aby strategie byla replikacnı tj. aby VT = X , kdeVt je hodnota naseho portfolia. Take chceme, aby bylastrategie (φt , ψt) samofinancujıcı. Strategie

Dıky vete o reprezentaci martingalu mame (viz predchozıslide) dEt = φtdZt , coz je ekvivalentnı podmınka prosamofinancujıcı strategii.Hodnota naseho portfolia v case t za strategie (φt , ψt) a pojednoduchem vypoctu je Vt = φtSt + ψtBt = BtEt , nebot’ψt = Et − φtB−1

t St .

Z toho VT = BT ET , ale ET = B−1T X takze nase portfolio je

replikacnı, nebot’ ma v case T hodnotu X .



Trznı cena rizika

Cizı menyAkcie

Ocenovacı vzorec pro cizı meny

Z predchozıch vypoctu vyplyva nasledujıcı vztah.

Ocenovacı vzorec pro cizı meny

Portfolio s reprodukcnı strategiı na dosazenı platby X v case T ,ma v case t hodnotu

Vt = BtEQ(B−1T X ∣Ft) (3)

kde Q je mıra vzhledem ke ktere je Zt martingalem.

Pomocı tohoto vzorce muzeme tedy pocıtat hodnotu nejakeplatby X v budoucnu na trhu s cizı menou. Nebot’ nase portfoliomelo takovou hodnotu, abychom byli schopni tuto platbu vbudoucnu uskutecnit. L Shodne hodnoty



Trznı cena rizika

Cizı menyAkcie

Forward

Za jakou cenu k bychom meli souhlasit s nakupem jednelibry v case T?V case T budeme muset zaplatit rozdıl mezi cenou naburze a dohodnutou cenou, tedy X = CT − k .Z naseho vzorce na predchozım slidu plyne, ze hodnotatohoto forwardu v case t je Vt = BtEQ(B−1

t X ∣Ft), coz jee−r(T−t)EQ(CT − k ∣Ft).Protoze pocıtame v rizikove neutralnım svete je V0 = 0, cozdava k = EQ(CT ).Odtud a z Vzorec Ct

k = EQ (C0 exp(σWT + (r − u − 12σ

2)T )) = e(r−u)T C0 kde

jsme vyuzili vlastnosti Brownova pohybu WT ∼ N(0,T ) aIdentifikace normality .



Trznı cena rizika

Cizı menyAkcie

Forward

Vzorec z predchozıho slidu pouzijeme, ale mısto z 0vyjdeme z t dostaneme EQ(CT ∣Ft) = e(r−u)(T−t)Ct .Pak muzeme pocıtat Vt = e−r(T−t)EQ(CT − k ∣Ft) =e−r(T−t) (EQ(CT ∣Ft) − e(r−u)T C0) = ⋅ ⋅ ⋅ =e−uT (eutCt − ertC0) .Z predchozıho vıme, ze Vt = BtEt aZt = B−1

t CtDt = e−rtCteut takze diskontovana hodnotaportfolia je Et = B−1

t Vt = e−uT Zt − e−uT C0.

Z toho dostaneme dEt = e−uT dZt takze pro strategii φt(vzhledem ke vzorci Kroky 2 a 3 ) dostaneme e−ut . Pro ψt pakψt = Et − φtZt = −e−uT C0.



Trznı cena rizika

Cizı menyAkcie

Call opce

Hledame cenu opce: muzeme nakoupit jednu libru za kdolaru v case T .Platba v dolarech v case T je X = (CT − k)+.Opet vyuzijeme vztahu Vt = BtEQ(B−1

T X ∣Ft).Protoze CT ma logaritmicko-normalnı rozdelenı vyuzijemevztahu:

Vztah pro logaritmicko normalnı rozdelenı

Jestlize Z ∼ N(0,1) a F , σ,k jsou konstanty, pak

E((F exp(σZ − 12σ2) − k)+) =

FΦ⎛⎝

log Fk +

12 σ

2

σ

⎞⎠− kΦ

⎛⎝

log Fk −

12 σ

2

σ

⎞⎠.



Trznı cena rizika

Cizı menyAkcie

Call opce

Pomocı predchozıho vztahu a obdobnych metod, kterejsme vyuzili pro forward se dospeje k nasledujıcımuvztahu. F = EQ(CT ) je cena forwardu.

V0 = e−rT⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

FΦ⎛⎝

log Fk +

12σ

2T

σ√

T

⎞⎠− kΦ

⎛⎝

log Fk −

12σ

2T

σ√

T

⎞⎠

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭.

Pro strategie vychazejı obdobne vzorce.



Trznı cena rizika

Cizı menyAkcie

Investice v librach

Musıme pouze celou situaci zrcadlove prevratit.

Definice a znacenı

C−1t predstavuje cenu jednoho dolaru v librach.

Ut je cena naseho portfolia v case t .

Dt jako drıv hodnota dluhopisu v librach. Bt hodnota dolarovehodluhopisu.

Yt = D−1t C−1

t Bt = C−10 exp(−σWt − (µ + u − r)t) diskontovana cena

dolaroveho dluhopisu v librach.



Trznı cena rizika

Cizı menyAkcie

Investice v librach

Nynı stacı zıskat proces WLt = Wt + σ−1t(µ + u − r − 1

2σ2),

tak aby proces Yt byl martingalem, ale nynı k mıre QL.Toto potrebujeme k tomu, abychom mohli sledovat tri krokyco vedou k replikacnı strategii, jen pouzıvame prevraceneznacenı.Z tohoto dostaneme:

Ocenovacı vzorec pro cizı meny (vzhledem k libram)

Portfolio s reprodukcnı strategiı na dosazenı platby v librach Xv case T , ma v case t hodnotu

Ut = DtEQL(D−1T X ∣Ft)

kde QL je mıra vzhledem ke ktere je Yt martingalem.

Jen pro kontrolu. $ Shodne hodnoty



Trznı cena rizika

Cizı menyAkcie

Prijme Anglican jinou cenu, nez American?

Otazku formalizujeme do tvaru: CtUt = Vt?

Protoze z predchozıch uvah vıme, zeWt = Wt + σ−1t(µ + u − r + 1

2σ2), pak WL

t = Wt − σt .Nynı muzeme opet pouzıt C-M-G s γ = −σ.Dostaneme dQL

dQ = exp(σWT − 12σ

2T ).

Dale zaved’me ζt = EQ (dQLdQ ∣Ft) = exp(σWt − 1

2σ2t).

Identifikace normality



Trznı cena rizika

Cizı menyAkcie

Prijme Anglican jinou cenu, nez American?

Drıve jsme spocetli Prvnı krok , z toho mameC0ζt = Zt = B−1

t CtDt .

Z vety R-N plyne EQL(X ∣Ft) = ζ−1t EQ(ζT X ∣Ft).

Ze vzorce L dostavame CtUt = CtDtEQL(D−1T C−1

T X ∣Ft) =CtDtζ

−1t EQ(ζT D−1

T C−1T X ∣Ft). X je dolarova pltaba, proto

Anglican radeji v T zaplatı C−1T X , nebot’ cena je v dolarech.

Po dosazenı a ze vzorce $ dostanemeCtUt = BtEQ(B−1

T X ∣Ft) = Vt . Coz jsme chteli ukazat.



Trznı cena rizika

Cizı menyAkcie

Spojite vynosy

Predstavme si, ze jsme vlastnıky nejakeho aktiva, ktereprinası staly a jisty vynos, ci ztratu. Pro jednoduchostbudeme mluvit o akciıch.

Akciovy model se spojitymi vyplatami

Necht’ se cena akcie vyvıjı podle Blackova-Scholesova modelu,St = S0 exp(σWt + µt) a Bt = exp(rt) je dluhopis s konstantnıurokovou mırou. Pak necht’ platba dividendy v casovemintervalu dt pocınajıcım v case t ma hodnotu δStdt .

Problem spocıva v neobchodovatelnosti procesu St , nebot’pokud koupıme za S0 a pak prodavame v case T , jiznemame pouze pocatecnı mnozstvı. Mame navıc to, cojsme zıskaly na dividendach (coz dohromady stojı vıc nezST ).



Trznı cena rizika

Cizı menyAkcie

Spojite vynosy

Tj. pokud se budeme rıdit pouze St ocenıme nezbytnenejaky derivat nizsı hodnotou, nez jaka by mela byt, abynedoslo k arbitrazi (pokud δ > 0).Potrebujeme proces, ktery ma souvislost s St , ale jeobchodovatelny.Predstavme si, ze nakoupıme za kazdou utrzenoudividendu, ktere se ovsem vyplacı spojite, ihned akcii, zktere dividendy dostavame.Coz je to same jako spojite urocenı, takze se cena mehoportfolia musı jeste nasobit exp(δt).Obchodovatelny proces bude vypadat taktoSt = S0 exp(σWt + (µ + δ)t).



Trznı cena rizika

Cizı menyAkcie

Vysledky u spojitych vynosu

S tımto procesem jiz muzeme pracovat a hledat replikacnıstrategii. Postupujeme obdobne jako v predchozımprıpade.Pro forward vychazı jeho hodnota F = e(r−δ)T S0.

Pricemz replikacnı strategie rıka: drzte φt = e−δ(T−t)

jednotek akcie a ψt = −Fe−rT jednotek dluhopisu.



Trznı cena rizika

Cizı menyAkcie

Periodicky placene vynosy

Model pro akcie s periodickymi dividendami

Necht’ v casech T1,T2, . . . jsou vyplaceny dividendy definovanejako nejake δ ∈ (0,1) nasobene cenou akcie v momentuvyplacenı. Trznı cena akcie je modelovana vztahem

St = S0(1 − δ)n[t] exp(σWt + µt)

kde n[t] = max{i ∶ Ti ≤ t} je pocet vyplacenych dividend do casut . Je zde take obvykla cena dluhopisu v case t na jednotkumeny Bt = exp(rt). Wt je Brownuv pohyb, µ,σ jsou konstanty.



Trznı cena rizika

Cizı menyAkcie

Periodicky placene vynosy

Nynı celıme dvema problemum:1 Opet St nenı obchodovatelne, protoze nepocıtame s tım, ze

dostaneme dividendy.2 Mimo casy T1,T2, . . . se sice proces St rıdı stochastickou

diferencialnı rovnicı dSt = St(σdWt + (µ + 12σ

2)dt), nicmenev techto casech ma skoky.

Stacı ovsem postupovat jako v predchozım prıpade.Dividendy, ktere dostaneme, ihned investujeme do nakupuakcie.Tım padem to dopadne, jako kdybychom zadne dividendynevyplaceli. Tedy mame obchodovatelny proces bezeskoku St = (1 − δ)−n[t]St = S0 exp(σWt + µt).S tımto procesem jiz pracujeme standardne. Dostanemenapr. cenu forwardu jako F = S0(1 − δ)n[T ]erT .



Trznı cena rizika

ObchodovatelnostCena rizika

Martingaly jsou obchodovatelne

Bohuzel jsem v knize Financial Calculus nenasel vhodnoudefinici obchodovatelnosti, z ktere by bylo moznovychazet. Budeme postupovat pouze intuitivne.Obchodovatelne aktivum bude pro nas takove, kterenevytvarı arbitraznı prılezitosti.Mejme obchodovatelny martinagal Zt = B−1

t St vzhledem kmıre Q. Jiny Ft adaptovany proces Et = B−1

t Vt vzhledem kmıre Q, ktery je taktez Q martingalem. Bt predstavujeobchodovatelny dluhopis. Je pak proces Et takeobchodovatelny?Stacı spocıtat replikacnı strategii, dıky ktere dospejeme kET pomocı St a Bt .



Trznı cena rizika



Jenze tohle umıme z predchozıch vypoctu⇒ mame tedysamofinancujıcı strategii, ktera pouzıva obchodovatelneportfolio a kopıruje hodnotu Et .

Nemuze zde tedy byt arbitraz, nebot’ se hodnota Etneodchyluje od hodnoty portfolia, ktere tvorıobchodovatelne (bez moznosti arbitraze) komponenty atoto portfolio je samofinancujıcı se.Co kdyby EQ(B−1

T VT ∣Fs) ≠ B−1s Vs a soucasne by Vt bylo

obchodovatelne?Definujme jiny proces Ut = BtEQ(B−1

T VT ∣Ft).Pak ovsem jev Us ≠ Vs je pravdepodobny. Tj. mame dvaobchodovatelne procesy, shodne v case T , ale ruzne vcase s.Tato ruznost n8m nabızı moznost arbitraze.



Trznı cena rizika



Na zaklade predchozıch hrubych uvah napıseme nasledujıcıvetu (ktera ovsem platı).

Veta (Obchodovatelna aktiva)Necht’ je dan nejaky dluhopis se spojitym urocenım Bt aobchodovatelne aktivum St . Proces Vt je obchodovatelny,prave kdyz B−1

t Vt je martingal vzhledem k mıre Q. Kde Q jemıra, pri ktere je diskontovane aktivum B−1

t St martingalem.



Trznı cena rizika


Odvozenı ceny rizika

Rekneme, ze model se vyvıjı podle stochastickediferencialnı rovnice dSt = St(σdWt + µdt).Budeme takove procesy mıt dva, ale budou se vyvıjetpodle stejneho Brownova pohybu dSi

t = Sit(σidWt + µidt),

kde i ∈ {1,2}.Aby tato aktiva byla obchodovatelna musı jejichdiskontovane hodnoty byt martingaly vzhledem ke stejnemıre Q.Budeme pouzıvat nejjednodussı Blackuv-Scholesuvmodel, jako v minule prednasce, Bt = exp(rt). Z tohomame Wt = Wt + (µi−r

σi) t . Chceme, aby toto byl Brownuv

pohyb pri stejne mıre.



Trznı cena rizika


Odvozenı ceny rizika

To je ovsem mozne pouze tehdy, pokud µ1−rσ1

= µ2−rσ2

.

σ bude nynı mıra rizikovosti, r bezrizikova urokova mıra,pak γ = µ−r

σ predstavuje zisk navıc na jednu jednotku rizika.Anglicky se tomuto cıslu rıka market price of risk.V obecnejsım prıpade kdy se model rıdı stochastickoudiferencialnı rovnicı dSt = St(σtdWt + µtdt) lze ukazat, zehodnoty µt−r

σtjsou shodne a take udavajı trznı cenu rizika.



Trznı cena rizika


Neobchodovatelna aktiva

Nekdy se stane, ze chceme zjistit Stochastickoudiferencialnı rovnici, ci trznı cenu rizika proneobchodovatelne aktivum.Tuto situaci jsme jiz resili pro kurz cizı meny.Mejme tedy neobchodovatelne Xt , ktere se rıdıstochastickou diferencialnı rovnicı dXt = σtdWt + µtdt .Dale predpokladejme, ze toto aktivum je spojene sobchodovatelnym aktivem Yt pomocı funkce f , tedyYt = f (Xt).Z Itoova lemmatu Itoovo lemma dostaneme

dYt = σt f′(Xt)dWt + (µt f

′(Xt) +

12σ2

t f′′(Xt))dt .



Trznı cena rizika


Neobchodovatelna aktiva

Pokud r je konstantnı, muzeme napsat trznı cenu rizika Yt(postupujeme jako drıve, zbavıme se driftu u dYt , pomocıWt , aby diskontovane Yt bylo martingal, riziko je prave tendrift)

γt =µt f

′(Xt) + 12σ

2t f′′(Xt) − rf (Xt)

σt f′(Xt)

.

Protoze tımto postupem jsme v podstate prechazeli odmıry P k mıre Q, muzeme napsat take stochastickoudiferencialnı rovnici pro proces Xt pri mıre Q

dXt = σtdWt +rf (Xt) − 1

2σ2t f′′(Xt)

f ′(Xt)dt .



Trznı cena rizika


Bibliography

M. Baxter, A. Rennie.Financial Calculus: An introduction to derivative pricing.Cambridge university press, 1996.

J. C. Hull.Options Futures and Other Derivatives.Prentice Hall, 2002.



Trznı cena rizika


Zaver

Cas na dotazy



Trznı cena rizika


Zaver

Dekuji za pozornost


Ocenˇovańı´ neˇkteryćh cennyćh...

Documents

Transcript of Ocenˇovańı´ neˇkteryćh cennyćh...