Aula: Integral de Linha.

Objetivos:

Definir e resolver problemas com

Integrais de Linha de Campos

Escalares.

Se é uma função real, a integral definida ,

com , representa a área da região do plano

acima do domínio D e abaixo da curva gráfico

da função .

Integral Definida

( )f x ( )b

af x dx

( ) 0f x

f

Se é uma função de duas variáveis reais a

valores reais então , com ,

representa o volume do sólido compreendido entre o

gráfico de e o domínio B.

Integral Dupla

( , )f x y

( , )B

f x y dxdy ( , ) 0f x y

f

Existem situações não contempladas pelas integrais acima.

Exemplo:Se quisermos calculara área do “muro” ao lado.

Área de um muro

Consideremos uma curva C unindo dois pontos no plano xoy e uma função contínua em D onde D é uma região do plano contendo a curva C.

Um muro é construído ao longo de C e tem altura igual à em cada ponto de C. Qual é a área desse muro?

Problema

( , )z f x y

( , ) 0f x y ( , )x y

Considere uma partição da curva C.

Área do Muro

P0

P1

P2

Pn-1

Pn

C

Ai

Área do muro

Área muro = 1 2 ... nA A A A

P0

P1P2

Pn-1

Pn

C

Pi-1

Pi

Qi

A1

A2 A3 An

f(xi , yi)

Área do muro

Pi-1

Pi

Qi

f(xi , yi)

iS

O comprimento de Arco denotaremos por .

1i iP P

is

Área do muro

Pi-1

Pi

Qi

iS

A área da i-ésimatira fica:

E a área do muro:

( , ).i i i iA f x y s

1

( , ).n

i i ii

A f x y s

f(xi , yi)

Se aumentarmos, indefinidamente, o número de arcos na partição, então em cada arco o comprimento tende a zero.

Dessa forma , trata-se de uma

integral que é chamada integral de linha ou curvilínea

da função f ao longo da curva C.

Conclusão

1

( , ).n

i i ii

f x y s

limn

A

Se C é uma curva contínua e limitada no plano xoy e f é uma função escalar contínua em D contido no plano e que contem C. A integral de linha de f ao longo de C é dada por:

Notação

1

( , ).n

i i ii

f x y s

limn

( , )C

f x y ds

Se C está no espaço e f é uma função de três variáveis, então:

Observação

1

( , , ).n

i i i ii

f x y z s

limn

( , , )C

f x y z ds

Consideremos agora uma parametrização para a curva suave e limitada C , dada pela função vetorial:

Integral de linha

( ) ( ), ( ) , ,r t x t y t t a b

Então:

Como: e

Logo:

Integral de linha

( , ) ( ), ( )b

aC

f x y ds f x t y t ds

'( )b

as r t dt '( )

dsr t

dt

'( )ds r t dt

Substituindo em obtemos:

Integral de linha

'( )ds r t dt ( ), ( )b

af x t y t ds

( ), ( ) '( )b

af x t y t r t dt

Analogamente

Integral de linha

( , , ) ( ), ( ), ( ) '( )b

aC

f x y z ds f x t y t z t r t dt

Lembramos que

Observação

2 2

'( ) '( ) '( )r t x t y t

Calcule a integral de linha , sendo C o

segmento que une o ponto A(-1,0) ao ponto B(2,3).

Aplicação

( 3 )C

xy x ds

Calcule a integral de linha , onde C é a curva

dada pelas equações e .

Aplicação

C

xy ds2 2 4x y 8x z

Integral de linha de uma curva C1 por partes

1

...nC C C

f ds f ds f ds

Calcule onde C

é uma curva dada pelo

gráfico ao lado.

Aplicação

3C

xy ds

1

2

Definição

Seja um campo contínuo definido em C e de classe C1, uma parametrização de C descrita por uma partícula em Ω definida por:

Integral de linha de um campo vetorial

: n nf

: [ , ]g a b

1( ) ( ( ), ..., ( ))ng t x t x t

Definição

Sendo assim, temos:

Integral de linha

`1( ( )) ( ( )), ..., ( ( ))nf g t f g t f g t

1'( ) ,..., ndx dxg t

dt dt

( ) . '( )b

aC

f dg f g t g t dt

Calcule , sendo dados (x,y,z) = (x,y,z) e

r(t) = (cost, sent,t), 0 ≤ t ≤ 2π.

Aplicação

C

F dr

F

Integral de linha no 2

( ) ( ( ), ( ))g t x t y t ,t a b,

( ) . '( )b

aC

f dg f g t g t dt

C

f dg 1 2( ) , ( ) . ,b

a

dx dyf g t f g t dt

dt dt

Calcule , onde g(t) = (2, sent, t)

para .

Aplicação

( )g

dx x y dy zdz

0,2

t

Calcule , onde é uma curva

de classe C1 cuja imagem é a circunferência

com t variando de a até b no sentido

anti-horário.

Aplicação

ydx xdy

2: ,a b

2 2 2 3x y x

A integral de linha pode depender do caminho que liga dois pontos, mas não depende da parametrização de um caminho.

Observação

Seja f o campo vetorial definido por

para todos os pares . Calcular a

integral de linha de F de (0,0) até (1,1), ao longo de

cada um dos caminhos abaixo:

Aplicação

3( , ) ,F x y y x y 2( , ) , 0x y y

a) O segmento de reta de equações paramétricas

b) O caminho com equações paramétricas

Aplicação

1 : ; 0 1x t

ty t

2 3, ,0 1x t y t t

3( , ) ,F x y y x y

Calcular o trabalho realizado pela força(x,y) = (x,y + 1), para deslocar uma partícula, em

linha reta, do ponto P(0,1) até Q(1,–1).

Aplicação

F

Calcule a , sendo e

.

Aplicação

C

F ds

( , , ) (2 , ,1)F x y z x y

( ) ( , , )r t t t t [0,1]t

Um campo é chamado Conservativose existir um campo escalar diferenciável

tal que

Nesse caso denomina-se função potencial de F .

Definição Campo Conservativo

:

F

: n nF

Seja (n=2, 3) um campo vetorial de classe C1 no aberto . Uma condição necessária para Fser conservativo é que .

Ou seja, F é conservativo .

Teorema

: n nF

0rot F

0rot F

Observe que em

Exemplo

2 2 2 2( , ) , ( , ) (0,0)

x yF x y i j x y

x y x y

2 21( , ) ln( )

2x y x y

F 2 {(0,0)}

é conservativo, pois .

Verifique se o campo é conservativo.

Exemplo

( , )F x y yi x j

O campo diferencial dado é conservativo? Justifique.

a)

b)

Exercício

( , )F x y yi x j 2( , , ) ( ) ( )F x y z x y i x y z j z k

Definição

Dizemos que (I) é uma forma diferencial exata se F for conservativo.

( ) ( , ) ( , )I P x y dx Q x y dy

Seja F(x,y)=(P(x,y), Q(x,y))

Observação

(I) é exata então existe uma função diferenciável

tal que .:

.d dx dyx y

( ) ( , ) ( , )I P x y dx Q x y dy

F

Observe que a diferencial de é dada por:

Consequência da definição

(I) é exata

for conservativo em .

( , ) ( , ) ( , )F x y P x y i Q x y j

P Q

y x

Aplicação

Verifique se a forma diferencial é exata.2ydx xdy

Integral de Linha de um campo conservativo

Vimos no cálculo I que se for uma primitiva de f, então:

=

Vamos generalizar esse resultado.

( ) '( )b b

a af x dx x dx ( ) ( )b a

Teorema

Se for conservativo, for uma função potencial para F e for de classe C1, então:

: n nF :

: ,a b

. ( ) ( )F d d B A

Onde e ( )A a ( )B b

Observação

Concluímos do teorema acima que se for exata, com primitiva , teremos:

( )I Pdx Qdy

( ) ( )P dx Q dy d B A

( ) ( )b a

Aplicação

Calcule , onde é dada por e xdx ydy

x arctg t

3 , 0 1.y sen t t

Aplicação

Calcule , onde eF dr

2 2 2 2( , )

x yF x y i j

x y x y

é uma curva C1 por partes e fechada .

2: , (0,0)a b

Sla 35

Campo não conservativo com rotacional

Aplicação

Seja e seja

0

2 2 2 2( , ) , ( , ) (0,0)

y xF x y i j x y

x y x y

. Calcule . ( ) (cos , ), 0 2t t sen t t F d

Observação

Seja um campo vetorial contínuo e sejam A e B dois pontos quaisquer de . Suponha Fconservativo com função potencial . Segue que, para toda curva de classe C1

por partes, ligando A a B, teremos:

: n nF

:

: ,a b

Observação

Isto é, a integral de linha de F não depende da curva que liga A a B.

( ) ( )F d B A

Teorema

Seja um campo vetorial contínuo no aberto conexo por caminhos. São equivalentes as afirmações:

: n nF

Teorema

I) F é conservativo;

II) para toda curva , fechada, C1 por partes, com imagem contida em .

III) é independente do caminho de integração

0F d

F dr

em .

Exercício

Calcule onde2 2 2 2

y xdx dy

x y x y

2: 0,1

é uma curva C1 por partes, com imagem contida no semipleno y > 0, tal que e .(0) (1,1)y (1) ( 2,3)y

Aplicação

Calcule , onde C é a semicircunferência dada na figura abaixo.

( 2 )C

x y dsy

x

3

–3 30

C

Aplicação

Calcule onde C é a hélice circular dada por , do ponto até

.

2 2( )C

x y z ds ( ) cosr t t i sent j tk (1,0,0)P

(1,0,2 )Q

Aplicação

Calcule , onde C é o quadrado de vértices (1,0,1), (1,1,1), (0,1,1) e (0,0,1).

( )C

x y z ds

Aplicação

Calcular , ao longo da:

Parábola , do ponto A(0,2,0) ao ponto B(2,2,4);

(2 3 )C

xdx yzdy zdz 2z x 2y

Aplicação

Calcular , sendo e C o caminhoC

fdr ( , , )f xz xy yz

poligonal que une o ponto A(1,0,0) ao ponto B(0,2,2), passando por D(1,1,0).

Aplicação

Verificar se o campo vetorial é conservativo.

22f senx i yz j y k

Aplicação

Verificar se é um campo conservativo em . Em caso afirmativo, calcular

( 1)x y x yf e i e j 2

(1,1)

(1,0).f dr

Aplicação

Calcule:

a)

b)

(5,3)

(1,1)xdx ydy

(2,1)

(0,0)cosx xe ydx e senydy