Classe III A di CAMOGLI PROBABILITA’

Obiettivo del lavoro di quest’anno:• portare l’attenzione dei bambini sul fatto che scoprendo alcune “regolarità

matematiche” si possono fare previsioni motivate sull’andamento dei giochi di sorte;• cercare in giochi diversi queste regolarità, per rilevare come si strutturino in

combinazioni diverse in relazione al tipo di gioco;• osservare ed indagare per via argomentativa i motivi per cui le previsioni non sempre si

verificano.

1° tappa – 1000 lanci con moneta (Novembre 2002)Sono presenti 18 bambini, ognuno di loro ha una moneta, le monete vengono lanciate ognivolta contemporaneamente; le uscite vengono registrate man mano in una tabella e ogni 10volte si sommano le uscite, per una totale di 180 uscite a batteria.I bambini vengono informati che questa volta vogliamo fare un’ “osservazione scientifica”,perciò non importa per chi teniamo e soprattutto non dobbiamo barare per far vincere una ol’altra faccia.Prima di iniziare i lanci i bambini rispondono a tre domande scritte molto simili, maformulate in modo diverso, tese a verificare chi privilegia l’aspetto razionale:1 – Pensi che vincerà testa o croce?2 – Tu per chi tieni?3 - Ha più probabilità di vincere testa o croce?Nella tabella alcune risposte rappresentative della totalità delle risposte:Pensi che vincerà testa o croce? Tu per chi tieni? Ha più probabilità di

uscire testa o croce?Potrebbe vincere testa o croce,perché non sappiamo cosa decideràla sorte.Giovanni

Secondo me vincerà la croce, perchéla croce per me è il cattivo, cioè contesta all’inizio si perde e alla fine sivince, ma siccome la maggior partedi noi è sfigata potrebbe ancheessere che vinca la croce. Roberto

Vincerà croce, perché testa non èmolto forte. Alessandro

Secondo me vincerà croce. Simone

Secondo me vincerà la croce, perchédi solito la croce è cattiva, però escesempre. Pietro

Vincerà croce, perché secondo mec’è più peso dalla facciata della testae allora ci saranno più uscite della

Io tengo per croce, perché trai miei segni indiani c’è unacroce.

Io naturalmente tengo pertesta, perché come ho dettoprima per me la croce è ilcattivo, quindi testa è il bravo,e io non sono mai stato cattivoe mi sentirei male.

Io tengo per croce, perché mipiace la croce.

Io tengo per croce, perchécredo che ci tengono lamaggior parte degli amici.

Io tengo per croce, perché latesta non esce quasi mai

Io tengo per croce e il perchél’ho già detto.

L’ ho già detto nellaprima risposta.

Secondo me hanno lastessa probabilitàperché tutte e due lefacce pesano uguali, epoi dipende.

Non lo so.

Sì, perché è possibileche escano tutti e due,ma è impossibile cheesca solo una specie.

Secondo me uscirà dipiù croce, perché latesta ha molteprobabilità di perdere,però anche la croce haprobabilità di perdere.

Secondo me non hannola stessa probabilità diuscita.

Secondo me vincerà croce perchécroce mi ha fatto sempre vincere;non scelgo testa perché sembra chequando testa perde te la devonotagliare. Anna

Vincerà croce, perché è il mio segnofortunato, perché è il più forte.Jessika

Secondo me vincerà croce, perchéquando giocavo con la mamma o congli amici usciva quasi sempre croce.Chiara

Croce, perché tutte le volte che dico“croce”, vinco; croce è fortunata!Giulia

Secondo me vincerà testa, perchédecide l’angioletto. Ada

Vincerà testa, perché quando iogioco con mio papà vinco io contesta. Evandro

Tengo per croce perché miporta sempre fortuna.

Io tengo per croce perché èbello.

Io tengo per croce, non so direperché, però un giorno mihanno detto “giochiamo atesta o croce, cosa scegli?”, ioho scelto croce e da quelgiorno ho tenuto sempre percroce.

Io tengo per croce, perché miha fatto sempre vincere.

Io tengo per testa, perché perpensare bisogna usare latesta.

Io tengo per testa.

Secondo me, se tu citieni tanto a vincere,forse non hanno lastessa probabilità.

Sì, perché possonoessere uguali.

Sì, perché testa e crocesono la stessa cosapraticamente.

Sì, la mia è stata solofortuna per quelle volte.

No, perché se lanci lamoneta testa o croceviene scelto in manieracasuale.

Forse sì forse no,perché non si sa ilfuturo.

35% vincerà testa51% vincerà croce14% vincerà una o l’altra

71% tiene per testa 43% tiene per croce

64% stesse probabilità*14% più croce22% non si esprime o lofa in modo confuso econtraddittorio

Si effettuano i lanci che vengono registrati in una tabella alla lavagna e sui quaderni.Tabella delle uscite ogni 10 lanci delle 18 monete (una per ciascuno)TESTA 85 93 90 80 76 52 Totale uscite 476CROCE 95 87 90 100 104 56 Totale uscite 532N° lanci 180 180 180 180 180 108 Totale lanci 1008Dopo i lanci chiedo di giocare al “piccolo matematico”, scrivendo le loro osservazionisull’andamento delle uscite. Ecco alcune osservazioni dei bambini:Giovanni- L’andamento dei primi 3 gironi è un alternarsi, cioè nel primo stava vincendo croce,nel secondo testa, nel terzo la bilancia della testa e della croce si è messa alla pari; negli altritre una freccia di fortuna ha colpito la croce.Roberto- Per me questa partita è stata sia bella che sleale: bella perché è stata divertente,sleale perché secondo me qualcuno ha barato, soprattutto nel quarto e quinto giro, invece i

Alessandro- Io qualche volta ho barato, alcune volte mi era venuto testa non croce.Mattia- Io ho notato che nella tabella finale non potevamo arrivare a 1000 tiri in tutto, perchéogni bambino ha lanciato 56 volte la sua moneta e eravamo 18.Certe volte devo ammettere che baravo, perché io tenevo per croce. Fino alla terza partita lesquadre si sono alternate, poi la qualità dei segni sono alternati o uguali.Pietro- Secondo me, i lanci della moneta sono andati bene perché abbiamo giocato lealmente.Io ho scoperto che noi abbiamo tirato 56 volte a testa a turno. Oppure ho scoperto che hovisto nella mia mente una bilancia che mi ha fatto vedere che si sono quasi alternati ipunteggi; però secondo me ci doveva essere un pareggio.Danilo- Secondo me, le monete tirano un po’ a venire più o meno delle volte uguali e fino allaterza volta testa e croce si sono alternate.Elisa- Io non c’ero quando hanno fatto i tiri, però osservando la tabella ho notato che sempreal terzo tiro sono 9 testa e 9 croce. Ho anche notato che al terzo gruppo di 180 lanci il totale è90 per testa e 90 per croce; invece al quinto tiro la testa ha 76 e la croce 104, mi sembrastrano, secondo me qualcuno ha barato!

Discussione al termine dei lanciIns.- Avevano la stessa probabilità di uscire le due facce?Jessika- No, perché una poteva uscire più dell’altra o viceversa.

Giovanni- Per me avevano la stessa probabilità, perché non sapevamo mica se la sortedecideva che per esempio vincessero le croci e testa perdesse. Quindi avevano le stesseprobabilità di uscire.

Ins.- Cosa intendi quando parli di sorte?Giovanni- La sorte si intende quando uno non se l’aspetta… capita… non è che uno decide.Simone- Sì, è la sorte che decide.

Ins.- Ma prima che noi cominciamo a giocare c’è qualcuno, qualcosa che decide chi vincerà?Simone- Ma nooo! Però c’è qualcuno che ti dice “Michela, a te verrà testa”, lei lancia e vienetesta… all’improvviso… casualmente.(Giulia- Per me testa o croce potevano avere le stesse possibilità di uscire. Anche nella tabelladei tiri si vede che prima ha vinto croce, poi ha vinto testa, poi hanno fatto pari, 90 e 90,…cioè… è che avevano la stessa probabilità.Chiara- Sì, hanno la stessa probabilità, perché praticamente sono la stessa cosa solo chehanno due nomi diversi. Perché dovrebbe avere più probabilità testa che croce di uscire?Ada- Avevano la stessa probabilità di uscire, decide la sorte… è la sorte che decide, prima.Giulia- Ma non è una cosa concreta la sorte… è una cosa che nessuno può vedere.Marco Q.- Perché quella cosa lì praticamente non esiste.Giulia- E’ il destino, praticamente.

Marco Q.- E’ il futuro.Mattia- E’ il mistero.Roberto- Come se fosse Dio che ha scritto la storia del mondo e per ogni cosa ha scritto cosasuccedesse.Ins.- Allora era già scritto che dovessero uscire prima 85 testa, poi….Alcuni- Sìììì. Altri- Noooo.Giovanni- Però è una cosa che io non saprò mai…Giulia- E’ come scritta in inchiostro simpatico.

Mattia- Io dico di no. Secondo me c’è una probabilità in più che esca una delle due facce seuna faccia pesa di più. Se pesano uguale, allora è la fortuna tua che decide, perché la fortunadi tutti messa insieme decide che cosa esce… è già calcolato.Alessandro- Secondo me, la moneta dice se è testa o croce, e la moneta te lo dice, non c’ènessuno che ha pensato “oggi facciamo uscire 5 testa e 3 croce”… è la moneta che lo dice.Matteo- E’ possibile che le facce escono 9 volte una e 9 volte l’altra, quindi viene uguale… unpo’ da una parte, un po’ dall’altra.Nada- Per me c’è qualcuno che ha scritto chi vincerà, qualcuno che … è Dio che decide chivincerà. Se io domani mi faccio male, è Lui che l’ha deciso.Ins. – Ma allora è cattivissimo!Nada- Ma Lui lo fa perché … quelli giocano meglio o si comportano meglio…Roberto- Secondo me hanno la stessa probabilità, perché dipende, nessuno decide, neanchenoi. Se cade testa è testa, se cade croce è croce, non è detto che deve per forza vincere uno…dipende. E’ come nelle partite, non si sa prima chi vince e chi perde.Pietro- Anche secondo me non decide qualcuno, viene come viene. Però se qualcuno gioca acalcio o a pallanuoto, vince chi gioca regolarmente e bene.Evandro- Se tu non tieni per nessuno e lanci la moneta, ti viene una cosa a caso, testa o croce.Michela- Dipende da come la lanci tu come viene la moneta! Però se tu non tieni per nessuno,hanno la stessa probabilità, perché anche se la testa si chiamava croce o la croce si chiamavatesta, era uguale. E’ impossibile che Dio sta a guardare tutte queste cose che succedono!

Anna- Ma sì, non è giusto dire che è Dio, è un altro personaggio che non c’è ma esiste. E’ tipoun angelo custode della moneta. E’ lui che decide.Roberto- Allora, siccome la moneta ha due facce, c’è un angelo custode di una faccia e unangelo custode dell’altra faccia.Evandro- Io non sono d’accordo che c’è qualcuno che fa uscire testa o croce, perché se… nonc’è… è a sorte.Simone- Io non sono d’accordo con lui che dice che Dio scrive, perché se Dio scrive farà anchedelle pause e allora quando fa le pause è come se non ci fosse più futuro e allora noidovremmo rimanere immobili.Mattia- Sì, perché non c’è più il tempo.Chiara- Ma non è che lo scrive Lui, praticamente si scrive da solo. Lui lo pensa e si scrive nellasua mente. E se domani io mi faccio male, non è che Lui l’ha deciso, ma Lui lo sapeva già, losapeva già quando siamo nati che proprio in questo giorno preciso io mi farò male.Simone- Ma allora io non decido niente. E’ la più maledizione che ci sia!Giovanni- Non è proprio che Dio decide! Ma è come se Lui, quando ha creato il mondo, hacreato anche una creatura che sceglie in determinati posti che cosa avviene e dopo ci sonoqueste creature che decidono soltanto per gli oggetti che non hanno l’anima, invece noi cheabbiamo l’anima è l’anima che decide. Praticamente tutto quello che facciamo noi lo decide lanostra anima.Alcuni- Anche il cervello!Giulia- E’ come se tutta la vita di tutta la terra fosse scritta in un libro… ma non è che è scrittae allora noi siamo come dei robottini che fanno tutto senza pensare…!Mattia- E sì eh, se è tutto scritto…Ins.- Mi sembra che ci stiamo allontanando sempre più dall’argomento in discussione,ritorniamo alla probabilità nel gioco con la moneta.Pietro- Quando lanciamo le monete, è come l’aria che entra fa muovere le monete e le faandare dove le manda il vento… dove capita.Evandro- Ma la moneta è più pesante dell’aria! L’aria non pesa.Giovanni- Non è vero che l’aria non pesa.Roberto- Volevo fare un’obiezione a Chiara: Dio non ha la mente, perché Dio è uno spirito e glispiriti non hanno la mente. E’ come se pensasse senza cervello, è magico.Nada- Secondo me le monete hanno anche loro lo spirito e quando rotolano fanno venire paritàqualche volta…Roberto- Soltanto gli esseri umani hanno lo spirito, gli oggetti tipo i peluches non hannospirito, sono stati fatti con materiali e non hanno spirito.Simone- le monete sono pezzi di metallo … se avessero lo spirito dovrebbero avere le mani, le

Evandro- Certo che non hanno spirito, perché lo spirito ce l’ hanno solo le cose che vivono.Pietro- Anche secondo me le monete non hanno spirito.Ada- Sì, ce l’ hanno, è come se uno fosse dentro la moneta e avesse tante macchine percomandarla.Nada- io ho cambiato idea, perché penso che non c’è nessuno che scrive la nostra vita; sennòsaremmo come robottini che qualcuno guida. Noi abbiamo il cervello e facciamo quello chedecidiamo.Mattia- Sì, capita quel che capita, perché quando tu lanci la moneta, gira per un po’ e poicade… e dipende da come cade, da come si muove nell’aria… è casuale.Pietro- Proprio questa è la fregatura, che viene o testa o croce e rotola e viene casualmente.

…“Per me testa o croce potevano avere le stesse possibilità di uscire. Anche nella tabella dei tirisi vede che prima ha vinto croce, poi ha vinto testa, poi hanno fatto pari, 90 e 90,… cioè… èche avevano la stessa probabilità.”…“Ma non è una cosa concreta la sorte… è una cosa che nessuno può vedere.”…“E’ il destino, praticamente.”…“E’ come se tutta la vita di tutta la terra fosse scritta in un libro… ma non è che è scritta eallora noi siamo come dei robottini che fanno tutto senza pensare…!”

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2° tappa - DADO O MONETA? (Dicembre 2002)Sono presenti 18 bambini.Consegna: “Oggi facciamo un “gioco di sorte” con un dado e una moneta che verranno lanciatiper 100 volte dalla maestra.Ognuno di voi può liberamente scegliere se preferisce giocarecon la moneta, tenendo per testa o per croce,oppure con il dado, tenendo per uno dei numeri.Scrivi che cosa scegli, spiegando il tuo motivo.”

Nella tabella alcune risposte:Io scelgo… perché…Io vorreigiocare con lamoneta

Io scelgo il n°1 del dado

Io gioco con ildado

Io scelgo lamoneta

Io preferiscousare lamoneta

Io ho scelto lamoneta

Io vorrei usareil dado

Io scelgo ildado

Io scelgo il 4del dado

Io dico moneta

Così esce più volte testa o croce, invece con il dado ad esempio se uno tieneper il 6 e se vengono quasi sempre gli altri numeri, uno si può annoiare.Danilo

ogni volta che giocavo con mio papà col dado usci spesso il n° 1. Evandro

ha 21 punti che sembrano occhi e il nà per cui tengo è il 4, perché è il mionumero preferito. Ada

tengo per la croce, perché la croce distrugge il male, infatti nel cimitero c’è lacroce, perché almeno il male non c’è. Michela

in testa o croce hai più probabilità di vincere, perché i numeri sono tanti einvece i lati della moneta sono due, quindi se per esempio tieni per il due deviaspettare che fra tanti numeri esca quello che vuoi, invece se fai testa o croceesce uno o l’altro. Chiara

porta fortuna. Jessika

è più divertente, più difficile perché ha più possibilità di farci perdere e anchepiù numeri da scegliere. Marco Q.

c’è il 4 che è il mio numero preferito; un altro motivo è che sulla moneta sipossono scoprire motivi scientifici meno che sul dado. E’ più probabile vincerecon la moneta, perché il dado ha sei facce mentre la moneta ne ha due.Mattia

per vedere gli altri numeri che andamento hanno. Giovanni

devi fare il lancio mettendola su un dito. Alessandro

55% scelgonola moneta45% il dado

39% motivazioni di tipo probabilistico66% motivazioni varie (fortuna, scelta più diversificata, possibilità diimbrogliare,,,)*

Si effettua il gioco, lanciando contemporaneamente un dado e una moneta e registrando in unistogramma a barre le uscite successive del dado e della moneta.Il gioco viene interrotto dalla campanella d’uscita dopo 50 lanci; il giorno dopo, prima diriprendere il gioco, viene proposta una riflessione individuale scritta:

“Anna prima dell’inizio del gioco ha scritto:- Io sceglierei la moneta, perché ha solo due lati,allora ha più probabilità che esca sempre il tuo, perché nel dado ci sono tanti numeri chepossono uscire invece che il tuo.Leggi, rifletti, poi scrivi che cosa ne pensi.”Alcune riflessioni nella tabella:E’ giusta

Ha ragione

Condivido la suascelta

Non ci avevopensato, però ègiusto

Ha ragione, equasi quasivorrei cambiare

E’ giusto

Non è detto

Ha ragione

Io sonod’accordo

Perché la moneta ha meno facce e se uno tiene per la croce con la monetapuò uscire o la testa o la croce e allora ha meno possibilità di non uscire,invece con il dado se tieni per il 4, magari può uscire pochissime volte,perché a parte quella facciata del 4, ce ne sono ancora 5 di facciate. Roberto

Perché io ho scelto il n° 1 del dado e non è uscito quasi mai, invece la testae la croce sono uscite tante volte, perché la moneta ha due lati e il dado ha6 lati. Evandro

Perché con il dado ci metti ore. Ada

Perché nella moneta ci sono molte più possibilità. Ad esempio, in duelabirinti ci sono in uno due strade e nell’altro sei, quello che sceglie illabirinto da due ha più possibilità di uscire, se in ogni labirinto c’è soloun’uscita. Giulia

Io avevo pensato che con il dado avevo più scelte, quella dell’1, del 2… e siaveva una vera sfida; però come dice Anna, con la moneta hai più possibilitàdi vincere. Elisa

Perché nel grafico dei numeri del dado ce ne sono massimo 15, mentre inquello della moneta ci sono 32 testa e 18 croce, molti di più. Luca

Perché Anna teneva per croce, ma il 2 che era il più basso poteva rimontaree superare croce oppure qualche altro numero poteva uscire più spesso deglialtri. Simone

Perché nella moneta c’è un solo nemico, invece nel dado ci sono 5 nemici.Giovanni

Ho visto ieri e oggi il grafico e ha tante possibilità la moneta. Alessandro

94% dà ragione6% noncondivide

DADO MONETAlanci 1 2 3 4 5 6 T C1°2°3°4°5°6°7°8°9°10°

2 1 1 1 2 2 1 1 5 1

1 1 1 0 1 1 1 2 1 0

1 2 3 0 4 3 1 0 1 2

1 2 2 3 0 2 1 1 1 1

3 2 2 3 3 0 2 1 1 4

2 2 1 3 0 2 4 5 1 2

5 5 6 4 3 5 7 5 6 5

5 5 4 6 7 5 3 5 4 5

Riflessione individuale scritta sull’esempio dei labirinti proposto da Giulia.Consegna: “Leggendo ciò che aveva scritto Anna a proposito della scelta tra dado e monetaper giocare, Giulia dice:- Non ci avevo pensato, però è giusto, perché nella moneta ci sonomolte più possibilità. Ad esempio, in due labirinti ci sono in uno due strade e nell’altro sei,quello che sceglie il labirinto da due ha più possibilità di uscire, se in ogni labirinto c’è soloun’uscita.Che cosa pensi dell’esempio del labirinto che fa Giulia?Perché lei aggiunge quell’ultima frase, “se in ogni labirinto c’è solo un’uscita”? Era proprionecessaria o poteva non scriverla?”

Alcune riflessioni:Giovanni- Io sono d’accordo con Giulia. Giulia aggiunge quella frase che è importantissima eindispensabilissima, perché se no sarebbero uguali le probabilità e senza difficoltà, se è certoche esci perché il labirinto da sei strade e quello da due hanno tutte le uscite aperte,diventerebbe un bivio.Luca- Io sono d’accordo su quello che ha detto Giulia, perché se sono due strade, ne fai una ese non esci allora fai l’altra, invece su quello da sei, ne devi provare tante, o forse una, macomunque è meglio usare quello da due. Secondo me, ha fatto bene a scrivere l’ultima frase,perché se quel labirinto a sei strade aveva cinque uscite, allora conveniva prendere quellabirinto, perché se ne hai cinque si prende quello così non ti perdi.Roberto- Secondo me, l’esempio di Giulia è giusto, perché nell’uscita se sbagli la strada puoistare sicuro che è l’altra, invece nel dado se sbagli strada non sei sicuro che sia l’altra, perchéce ne sono tante di facce e non puoi sapere qual è. Io voglio dire che se usi il dado che ha seistrade e cinque sono giuste o prendi l’uscita che ha due facce e una è giusta è la stessa cosa,perché se sbagliano sanno che è sicuramente l’altra e invece in tutte altre possibilità è megliola moneta.Emanuele- Secondo me, l’esempio di Giulia è necessario, è più probabile perché tipo se c’è unlabirinto uno a due strade è più probabile che indovini qual è quella giusta, invece nell’altro cisono sei strade e una uscita ed è probabile che sbagli la strada per l’uscita. Invece se fai deilabirinti uguali, il labirinto con due strade è probabile che lo fai giusto, invece puoi fare subitogiusto anche quando c’è un labirinto a sei strade e quattro aperte che portano all’uscita èuguale a quello a due strade come probabilità.

0

10

20

30

40

50

60

dado

1

dado

2

dado

3

dado

4

dado

5

dado

6

TESTA

CROCE

Serie1

Serie2

Matteo- Io sono d’accordo di usare il labirinto da due strade, perché è più facile trovarel’uscita. L’ultima frase è inutile, perché ogni labirinto ha un’uscita.Elisa- L’esempio di Giulia per me va bene: Giulia scrive nell’ultima frase “…..”, perché se c’è unlabirinto da sei strade, ma ha cinque uscite è facile, perché se trovi una strada che non hauscita, prendi una strada che vuoi, perché le altre cinque hanno un’uscita ognuna e se illabirinto di due strade ha due uscite, anche in questo labirinto ne scegli una che vuoi perchéognuna ha un’uscita, quindi Giulia ha fatto bene a mettere quella frase.Marco Q.- Secondo me, l’esempio di Giulia è giusto e anche un po’ logico, perché Giulia quandoha fatto il suo ragionamento ha aumentato la differenza, perché in sei strade è più difficiletrovare l’uscita e in due è più facile e in quello da sei se c’è un’uscita provi più volte.Poi Giuliadice che se in un labirinto ci sono più strade, ma più uscite serve prendere quello da piùstrade.Mattia- L’osservazione di Giulia è molto chiara e giusta, non ci sono frasi che non servivano.L’ultima frase è indispensabile perché se nel labirinto da due strade ci sono mille uscite e inquello da sei strade ce n’è solo una, allora esci prima dal labirinto a due strade. Giulia haaggiunto quella frase perché se il labirinto da sei strade diventa con più uscite di quello da unaconviene.Simone- Io sono d’accordo con Giulia, perché quello da sei è molto più complicato perché tupotresti stare a cercare l’uscita tutta la notte, mentre l’altro dorme a casa sua. In quello da seici vogliono cinque uscite su sei entrate e così converrebbe di più quello da sei che quello daun’uscita.Ada- Io penso queste cose: c’è uno che sceglie il labirinto da sei e ci mette dieci ore pertrovare la strada giusta e uno che nel labirinto ha due strade e ci mette cinque minuti a trovarela strada giusta. Poi pensi che Giulia abbia aggiunto quella frase, perché era proprionecessaria, perché forse qualcuno non avrebbe capito.Giulia- Io confermo quello che avevo detto e secondo me l’ultima frase è indispensabile, perchése ogni strada porta all’uscita le possibilità sono uguali, però non sarebbe più un labirinto,sarebbero tante strade che dovunque vai arrivi alla meta Se in quello da sei ci sono cinqueuscite, conviene di più quello da sei, perché in quello da sei se non becchi proprio la stradasbagliata sei salvo, invece in quello da due ti preoccupi di scegliere quella giusta.

Dopo la riflessione individuale si apre la DISCUSSIONEIns.- Discutiamo sull’esempio dei due labirinti proposto da Giulia.Matteo- Io sono d’accordo di usare il labirinto da due strade, perché è più facile trovarel’uscita, invece in quella da sei strade è più difficile.Jessika- Per me, per esempio quando un uomo va in un labirinto, in quello da sei ci sonoquattro strade chiuse e due aperte… perché se in uno va e se c’è solo un’uscita, trova tuttecinque le strade chiuse e solo una aperta, è un po’ stanco dopo!Anna- Io sono d’accordo con Giulia che su due strade arrivi prima al traguardo, invece con seidevi farle tutte e ci metti tanto.Matteo- Però, scusa, anche nel labirinto da sei, non è detto che le devi fare tutte, perché tipola prima volta sbagli la strada, ma poi alla seconda o alla terza trovi quella che ti fa uscire…non è che devi farle tutte sei le strade!Giovanni- E’ obbligatoria la cosa che ha detto Giulia, cioè che c’è una sola uscita, perché se nodiventano tutte strade e non è più un labirinto.Mattia- Se in un labirinto ci fossero più uscite e meno strade, praticamente sarebbe facilissimo,invece se un labirinto ha tante strade e tante uscite sarebbe più facile,però le uscite devonoessere più della metà del numero di strade.Alcuni- Meno della metà!Ins.- Vorrei che Mattia ripetesse l’ultima frase che ha detto; ascoltate tutti, perché su questodopo discuteremo.Mattia- Posso fare un esempio? Nel labirinto da due strade c’è un’uscita, mentre in quello dasei ce ne sono tre; per far diventare quello da sei più facile di quello da due, devi mettere a più

Michela- Mattia ha detto che se c’è un labirinto con tante strade e tante porte.. ha detto che èpiù facile, invece è più difficile.Marco B.- Michela, ma Mattia ha detto che se ci sono sei strade e ognuna ha un’uscita, è piùfacile, perché uno prende una strada e esce subito.Michela- Ma allora non è più un labirinto.Giulia- Solo in quello da due non sarebbe più un labirinto, perché due strade due uscite… o seistrade sei uscite, ma se ci sono sei strade e cinque uscite è sempre un labirinto, solo checonviene di più di quello da due.Roberto- Io son d’accordo con Mattia, perché se hai una moneta, cioè un labirinto che haun’uscita e il dado, cioè il labirinto da sei che ha tre uscite, se a quelle tre uscite ne aggiungialtre, praticamente è più facile per il dado… se ne aggiungi due alle tre uscite praticamentesono tutt’e due facili uguali… hanno tutt’e due due probabilità; tipo, se nel dado uno va…Ins.- Posso consigliarti di lasciar perdere per ora dado e moneta, perché se tieni insieme dado,moneta e labirinti fai una gran confusione. Parliamo solo dei due labirinti ora.Roberto- Sì, i labirinti, se sono cinque uscite e se c’è una strada sbagliata e se nella monetac’è un’uscita e una strada sbagliata, praticamente hanno tutte e due la stessa probabilità diuscita, perché…Alcuni- Obiezione… obiezione...Roberto- Eh, però, non mi dite “obiezione” ché se no si registra, eh! Maleducati.Ins.- Ha ragione. Lasciategli finire il suo ragionamento, poi interverrete.Roberto- Se magari uno va nella strada sbagliata delle sei, sa sicuramente che le altre cinquesono esatte; e lo stesso in quello da due, se va in una sbagliata, sa che l’altra è giusta.Giulia- Secondo me, Roberto sbaglia, perché ha detto che se in quello da sei ha cinque uscite euna strada sbagliata, ha le stesse probabilità di quello da due che ha un’uscita e una stradasbagliata. Non sono d’accordo, perché quello da sei conviene, perché… perché… in quello dasei quando superi quella sbagliata… cioè su sei strade ce n’è solo una sbagliata… non so comespiegarmi…Ins.- Ti sei spiegata abbastanza, ma puoi essere più chiara. Pensaci ancora un po’, intantosentiamo Marco Q.Marco Q.- Roberto pensa che se tu fai subito quella sbagliata e cinque sono giuste è troppofacile.Emanuele- Scusa, Giulia, se un labirinto ha cinque strade giuste e una sbagliata, è come quelloda due con una sbagliata, perché quella sbagliata è sempre una.Nada- Io sono d’accordo con Marco Q. che dice che se ho sei strade e tutte sei sono aperte,allora è molto facile uscire.Evandro- Vorrei fare una domanda a Nada: se tu metti sei uscite al labirinto, che labirinto è?Per essere un labirinto ci devono essere una o due uscite.Pietro- Secondo me, è meglio… non so… si può prendere la strada da sei, perché se vai in unae è sbagliata, potresti provare le altre.Anna- Io dico che non va bene neanche quello da due, perché non è detto che deve esseredifficile.Marco B.- Pietro, non puoi provare a andare in quello da sei, perché se le provi tutte, magarine puoi provare una che è sbagliata, vuoi ritornare al punto di partenza, e magari non puoiperché è chiusa la strada sia davanti che dietro, da destra e da sinistra.Mattia- Se tu scegli il labirinto da sei strade e alla prima prova trovi subito la strada giusta, lì èanche fortuna. Invece se provi l’altra e hai più difficoltà a trovare quella giusta… non so…Ins._ Ritorniamo a confrontare il ragionamento di Mattia e quello di Roberto, per esprimere lanostra opinione. Allora, Mattia dice che uno è la metà di due, perciò se il percorso da sei stradeha tre uscite, allora ha le stesse probabilità di quello da due. Invece Roberto dice che se illabirinto da due ha una strada sbagliata, anche quello da sei deve avere una strada sbagliataperché le probabilità siano uguali.Michela- Io sono d’accordo con Mattia, perché se tu superi la metà, che è sbagliata… è così cheha detto?Mattia- No.Ins. Mattia ha detto che se nel labirinto da sei la metà delle strade è chiusa e l’altra metà èaperta, hai la stessa probabilità di uscire scegliendo un labirinto o l’altro.Mattia- No, io non avevo detto quello!

Ins.- Non hai detto che nel labirinto da sei, se hai la metà di strade aperte, hai la stessaprobabilità di uscire che hai in quello da due, e che se superi la metà di strade aperte diventaaddirittura più conveniente?Mattia- Certo, certo, OK, ora va bene, registralo.Michela- Io son d’accordo con Mattia, perché è come fare… se tu togli quelle due strade da unaparte e dall’altra è come fare una e una.Pietro- Quello che dice Mattia è sbagliato, fare la metà è sbagliato. Per me un labirinto deveavere una sola uscita. Io sono d’accordo con Roberto, perché solo da una strada si può uscireda tutti e due i labirinti.Alessandro- Io sono d’accordo con Mattia, perché… se si esce da tre strade… invece in quello diRoberto non sono d’accordo, perché… cinque strade sono chiuse, quindi...Elisa- Io sono d’accordo con Roberto, perché quando tu sai che una è sbagliata, le altre sonotutte giuste.Giulia- No, ha ragione Mattia, perché se tre sono chiuse e tre sono aperte e in quello da duestrade ce n’è una aperta e una sbagliata… è come se le tre sbagliate formassero una stradasbagliata e le tre giuste una strada giusta, come in quello a due strade.Nada- Io sono d’accordo con Mattia che quando ci sono due strade, una sbagliata e una giusta,e con quello da sei strade trer sono sbagliate e tre giuste e allora sono … pari.Ins.- Roberto, tu cosa ne dici?Roberto- Io sono d’accordo con Roberto… non ho cambiato idea.Ada- Anch’io sono d’accordo con Roberto, perché se tu guardi una piantina del labirinto puoitrovare subito la strada giusta.Ins.- Ada, non mi pare che Roberto abbia parlato di una piantina del labirinto.Evandro- Io sono d’accordo con Roberto perché… No, non sono d’accordo con nessuno dei due,perché in quello di Mattia ci sono tre probabilità di uscita, invece nell’altro una… non è che… leprobabilità di errore devono essere tre e quelle giuste tre.Emanuele- Io sono d’accordo con Roberto, perché, scusa, hanno tutti e due la stessaprobabilità di uscire, perché quella ne ha una sbagliata e l’altra anche.Jessika- Io sono d’accordo con Roberto, perché quello di Mattia non ha senso, perché tre uscitee tre senza uscita non ha senso.Luca- Io sono d’accordo con Roberto, perché…Danilo- Io sono d’accordo con Mattia, perché è come se in quella da due strade ce n’è metàaperte e metà no… e in quella da sei la stessa cosa.Marco Q.- … con Roberto perché… per me… quello di Roberto ha più probabilità…Michela- Sono d’accordo con Mattia, perché quello delle due strade è uguale a quello da sei setre sono aperte.Marco B.- Anch’io son d’accordo con Mattia, perché in quello di Roberto cinque strade sonochiuse.Giovanni- Io sono d’accordo con tutti e due.Ins.- Giovanni, non puoi essere d’accordo con entrambi, perché dicono cose opposte, unragionamento esclude l’altro.(Discussione interrotta dalla campanella d’uscita)

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Il gioco dei labirinti

Consegna scritta: “Per capire meglio quello che hanno affermato in discussione Roberto eMattia, percorreremo due labirinti, uno a due strade e uno a sei. Roberto dice:- Se in un labirinto ci sono cinque uscite e una strada sbagliata e nell’altro c’èun’uscita e una strada sbagliata, praticamente hanno tutte e due la stessa probabilità.Mattia dice:- Se nel labirinto da sei la metà delle strade è chiusa e l’altra metà è aperta, hai lastessa probabilità in un labirinto o nell’altro; per far diventare quello da sei più facile di quelloda due, devi mettere l’uscita a più della metà delle strade, perché se nell’altro ci sono duestrade e un’uscita, è la metà.”Discutiamo come organizzare il gioco, affinché l’esperimento ci aiuti a ragionaresull’argomento; i bambini, guidati dall’insegnante, arrivano a stabilire che è necessario che suidue labirinti giochino lo stesso numero di giocatori e che ogni entrata del labirinto sia sceltadallo stesso numero di giocatori. Ecco le regole decise insieme:

1) Giocheremo tutti sul primo labirinto, poi sul secondo, …;2) sui giochi deve giocare ogni volta lo stesso numero di bambini;3) da ogni entrata di ciascun gioco deve entrare lo stesso numero di bambini.

Noi stamattina siamo in 19 perché ci sono 3 assenti; vediamo come ci distribuiamo sui labirinti.

Labirinto a due entrate Labirinto a sei entrate Destra sinistra 1 2 3 4 5 6 X X X X X X X X X X NO

X X X X X X X X X

X X X X X X XNO

X X X X X X

X X X X X X

X X X X X X

X X X X X X

X X X X X X

19:2=9 r 1 19:6=3 r 11 bambino non può giocare in entrambi i labirintiL’insegnante distribuisce in successione fotocopie di labirinti:

• un labirinto a due strade, una aperta e una chiusa, nove bambini devono percorrere lastrada a sinistra e nove quella a destra;

• un labirinto a sei strade, cinque aperte e una chiusa, tre bambini devono entraredall’entrata contrassegnata con 1, tre dalla 2…;

• un labirinto a sei strade, tre aperte e tre chiuse, con tre bambini su ogni entrata;• un labirinto a sei strade, una aperta e cinque chiuse, stesse modalità.

Man mano registriamo in una tabella quanti bambini riescono ad uscire e quanti rimangonointrappolati nel labirinto.

Labirinto escono Non escono ProbabilitàA 2 strade, 1 aperta

A 6 strade, 5 apertee 1 chiusa 15 bambini 3 bambini Molti di più esconoA 6 strade, 3 aperte e3 chiuse 9 bambini 9 bambini Pari/ugualeA 6 strade, 1 apertae 5 chiuse 3 bambini 15 bambini Molti di più non escono

Riflessione scritta individuale: “Giocando con i labirinti, io ho capito che…”Marco Q.- Io ho capito che Mattia aveva ragione a dire che erano pari e io ho visto che illabirinto di Mattia era più difficile di quello di Roberto. E se il labirinto ha più strade ma piùuscite è più conveniente. Se ci sono due labirinti devi confrontarli, perché se i due labirintidevono essere alla pari devi sapere le uscite e le entrate e quindi devi confrontarle per saperese hai più probabilità di farcela.Nada- Ho capito che non si deve per forza giocare con i giocatori pari, perché qualcuno puògiocare anche da solo e trovare le strade che vuole. E ho capito che se tu giochi con unlabirinto da un milione di strade, dipende da quante strade ci sono e da quante uscite ci sono eallora si può vedere se il labirinto è facile o difficile.Chiara- Se vuoi capire se il labirinto è facile o difficile, non devi badare a quante strade ci sono,perché se c’è un labirinto da mille strade è difficile se per esempio ci sono due strade aperte ele altre 998 sono chiuse, ma se è il contrario è facilissimo.Simone- Mattia aveva ragione, perché lui voleva fare i due labirinti pari, in modo che faccianouna strada unica, e Roberto voleva fare la strada dispari e le strade devono essere pari.Giulia- Tra Mattia e Roberto, Mattia aveva ragione, perché le tre strade erano come unastrada. Se voglio sapere le probabilità devo sapere quante strade e quante uscite ci sono e ledevo confrontare, per esempio ho un labirinto da 1000 strade, sembra difficile, ma se ho 999uscite è più facile, anzi è facilissimo.Ada- Cercare la strada giusta è come cercare l’ago in un pagliaio. Ho capito che per valutaredevo sapere quante entrate, quante strade, quante uscite. Per esempio, c’è uno che deveandare in bagno entro 5 minuti; lui ha 5 strade per arrivare. La prima fa perdere tempo, laseconda è sbagliata, la terza è giusta, la quarta fa perdere tempo, la quinta è sbagliata.Giovanni- Roberto ha torto, Mattia ha avuto ragione. Ho notato che più uscite ci sono, più ènoioso; più strade ci sono vuol dire che è più bello e viceversa, però posso dirlo se metto aconfronto varie informazioni; le strade del labirinto più lunghe e più curvose e mischiate sonopiù divertenti.Roberto- Ho capito che il mio metodo era sbagliato, perché guardavo solo due strade e non lealtre quattro nel labirinto da sei. Ho capito che per sapere se esce una strada o non esce devifare un confronto.Evandro- Il primo labirinto e il terzo labirinto sono tutti e due pari, invece il secondo e ilquarto sono diversi, perché il secondo ha più bambini che escono e invece il quarto ha piùbambini che non escono, perché il secondo ha tre uscite, invece l’ultimo ha un’ uscita sola e lostesso numero di entrate. Dipende da quante uscite ci sono perché se un labirinto da trecentostrade ha un’uscita è difficile, se invece ha cento strade libere è un po’ più facile.Elisa- Ho capito che aveva ragione Mattia, perché lui diceva che ci sono tre strade chiuse e treaperte, invece Roberto diceva cinque strade aperte e una chiusa. Un’altra cosa potrebbe essereche se tu vuoi fare un labirinto più difficile, non importa quante strade, non so… 100, perché cipossono essere 99 aperte e 1 chiusa. Per avere un labirinto difficile può essere 100 strade euna sola esce, cioè queste due cose si devono confrontare.Emanuele- io ho capito che Mattia aveva ragione, perché abbiamo visto che Roberto avevadetto che erano uguali di probabilità di uscire e di sbagliare, invece sono usciti 15 e sonorimasti intrappolati 3; invece nel ragionamento di Mattia sono usciti 9 e 9 intrappolati. Un’altraosservazione è quella che se voglio sapere che probabilità di uscire, quante uscite e quantestrade chiuse mi serve confrontare i due labirinti. Un’ altra osservazione è quella che se ci sono50 strade e 25 sono chiuse è la metà di uscite e strade chiuse.Marco B.- Ho capito che è sempre più conveniente prendere i laboratori pari, esempio se cisono sei strade è un numero pari come l’esempio di Mattia che aveva detto tre sbagliate e treaperte e mi è piaciuto molto. Devi sapere quante uscite e quante entrate e quante probabilità.

3° tappa – La MORRA (modificata) (marzo 2003)(1° giorno) Spiegazione orale del gioco: si gioca a coppie e ognuno dei due giocatori usa unasola mano che tiene chiusa a pugno; al via ogni giocatore mostra velocemente con le dita unnumero (da 0 a 5) e contemporaneamente dice se il numero che uscirà sommando le propriedita e quelle del compagno di gioco sarà PARI o DISPARI; si vince un punto ogni volta che siindovina.Ipotesi scritta individuale prima dell’inizio del gioco:“E’ più facile che vinca chi sceglie pari o chi sceglie dispari? Perché?”Risposte raccolte per tipoFortuna Continuità trucco calcolo matematico altro5% 25% 5% 40% 25%Vinceranno idispariperché ci tiene lamaggior partedei bambini, e piùbambini citengonopiù è grandela fortuna.Simone

E’ facile chevincapari, perché èsempre un po’piùfortunato deldispari.Nada

Può vincerepari,perché èdallaseconda chetengo perpari.Jessika

E’ più facilechevinca pari,perché nellepartiteprecedentihavintosemprepari.Evandro

Dipendequantevolte sigioca,perchémagaritutticonosconoun trucco.Giulia

Vincerà il pari perché hapiù numeridel dispari… i numeri deldispari sono1 3 5 7 9, invece quellidel pari sono0 2 4 6 8 10, il dispari neha cinqueinvece pari ha sei numeri.Emanuele

Vincerà il dispari perchéha più possibilità, perchése conti i numeri parisono due e quelli disparitre.Marco Q.

Mi pare che vinca pari,perché mi sembra cheha dei numeri facili,cioè tipo 4 è unnumero pari.Marco B.

E’ più facile che vincaPari, perché i numeripari sono più alti diquelli dispari.Chiara

E’ più facile chevincano tutti e due,perché è una scelta…casuale.Ada

Gioco a turno: mentre una coppia gioca (10 tiri a coppia), gli altri osservano e possonocommentare (registrando). Registrazione delle uscite in tabella.Sono presenti 20 bambini, di conseguenza si fanno 10 coppie, ogni coppia fa 10 lanci chevengono registrati in una tabella, in base alla quale ognuno costruirà il proprio grafico.

Partita Uscite PARI DISPARI 1^ 2^ 3^ 4^ 5^

6-8-6-3-1-5-6-5-4-8 5-6-3-6-6-4-8-8-6-3 4-8-6-5-3-10-5-6-3-9 6-5-10-6-7-6-6-7-8-4 6-9-2-1-7-7-7-4-10-3

6 7 5 7 4

4 3 5 3 6

7^ 8^ 9^ 10^

10-7-9-7-7-7-6-9-8-10 5-7-5-4-7-7-7-10- 9-10 10-3-7-6-7-5-7-6-7-3 10-4-6-6-6-9-8-10-3-8

4 4 3 8

6 6 7 2

TOTALE 54 46

Confronto individuale scritto. (2° giorno)”Confronta le risposte date da Michela e da Mattia alla domanda posta prima dell’inizio delgioco, spiegando bene

• cosa hai capito,• se dicono cose analoghe o diverse,• cosa ne pensi tu.

Michela: “Secondo me, vinceranno i dispari, perché il 5 è dispari e l’ultimo numero è dispari ehai tre scelte, e pari ne ha due, perché pari ci sono 2 e 4, dispari 1-3-5, perciò il dispari è piùprobabile.”Mattia: ”E’ più probabile che vincano i pari, perché ci sono undici numeri che possono venirefuori nel risultato: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P D P D P D P D P D P = 5 Dispari e 6 Pariquindi è più probabile che vinca pari, bisogna tenere conto dello zero.”

Dal confronto si rileva che:• 95% capiscono il discorso di Michela;• 90% capiscono il discorso di Mattia;• 25% colgono come analogia che entrambi ragionano sui numeri;• 20% “ “ “ “ “ “ sulle mani;• 20% “ “ “ “ “ contano possibilità pari e dispari;• 80% colgono come differenza che uno pensa a una mano, l’altro a due;• 20% “ “ “ “ “ “ alle dita di una mano, l’altro alla somma di

due mani;• 35% colgono che uno include lo zero, l’altro no.

Alcuni testi di confrontoMichael- Michela guarda i numeri da 1 a 5, e afferma che vinceranno i dispari; Michela guardaquanti numeri ci sono di pari e dispari, da 1 a 5 numeri, perché hai una mano da buttare.Mattia guarda i numeri da 0 a 10, ma non da 1 a 5, Mattia guarda da 0 a 10, perché guarda lasua mano, ma anche quella dell’avversario. Mattia dice che è probabile che vinca il pari perchéda 0 a 10 ci sono più pari che dispari, 6 pari e 5 dispari.Fra Mattia e Michela ci sono delle cose simili, cioè Mattia dice che vince il pari perché da 0 a 10ci sono più pari, e Michela dice che vince dispari perché da 1 a 5 ci sono più dispari. Di diversoc’è che Mattia guarda la mano dell’avversario e la sua, invece Michela guarda solo la suamano.Emanuele- Michela guarda il pari e il dispari e dice che il dispari vincerà e anche che il pari hadue possibilità invece il dispari tre e dice anche che sta guardando l’ultimo numero del dispariche è il cinque ed è per questo che dice che vincerà il dispari.Mattia dice che vincono i pari e dice che ci sono undici numeri che possono venire fuori nelrisultato, Mattia guarda questo e dice pure che nel pari devi vedere anche lo zero e Mattia diceche è per questo che i pari vincono. Mattia guarda due mani una sua una dello sfidante.Una differenza è che Michela dice che vinceranno i dispari invece Mattia dice che vinceranno ipari, questa è una differenza. Un’analogia è che tutti e due i ragionamenti sono matematici , equesta è un’analogia.Mattia- Nel ragionamento di Michela si capisce che tiene conto dei numeri dispari e pari che cisono dall’uno al cinque, e ha pensato che se ci saranno più numeri dispari in una metà delrisultato massimo, cioè 10, ci saranno più numeri dispari che pari anche nell’altra metà. Nelmio ragionamento ho pensato alle due mani dei giocatori che siccome i numeri sono 11 chepossono venire fuori nel risultato, ci saranno più… che … e ho fatto una specie di calcolo, cioèho contato i numeri pari che ci sono dallo zero al dieci e anche quelli dispari; poi mi sono

accorto che lo 0 è importante, perché se non ci fosse lo zero le probabilità di vincita sarebberouguali.Io ho scoperto un’analogia fra il mio ragionamento e quello di Michela, cioè Michela conta inumeri dispari dall’1 al 5 e anch’io conto dei numeri, dallo 0 al 10. Però ci sono delledifferenze, ad esempio lei ha trovato 2 numeri pari dall’uno al cinque, anch’io, però c’è ancheun altro numero che è nascosto, lo 0!Chiara- Michela ha guardato la sua mano e ha detto che ci sono più possibilità di vincere con idispari. Michela ha guardato la sua mano, ma soprattutto ha guardato le sue dita che sonocinque come tutte le altre. Mattia invece guarda le uscite che possono fare, cioè pensava alrisultato che potrebbe uscire dalle loro mani. Mattia ha scritto una cosa un pochino diversa daquella che guarda Michela, perché Michela guarda la sua mano, le sue dita, e Mattia guarda leuscite dei numeri; e sono due cose molto diverse… Una cosa che è analoga tra le due risposteè che tutti e due non hanno parlato di fortuna e neanche di trucchi.Michela- Io ho guardato la mano, non ho pensato a cosa dire, perché quello che si dice non èimportante. Mattia invece guarda la mano sua e dell’avversario, ha pensato a cosa viene condue mani, che l’ultimo numero è pari.Io di analogo a Mattia ho solo che tutti e due guardiamo le mani, però lui ne guarda due e iouna.Alessandro- Michela, secondo lei vincerà il dispari perché ci sono 1, 3, 5 e invece pari ci sono2, 4 e Michela guardava i tre numeri dei dispari nella sua mano.Mattia dice una cosa diversa da quella di Michela. Mattia dice che vincono i pari perché hacontato lo zero e ha contato tutt’ e due le mani di Mattia e dell’avversario.Nada- Michela dice che vincerà dispari, perché nel dispari ci sono tre numeri , e invece nel parici sono due numeri, quindi Michela dice che ha più probabilità di vincere dispari perché ha trenumeri, Michela guarda questi tre numeri che sono 1, 3, 5 perché tu ieri dovevi giocare allamorra con cinque dita. Mattia invece dice che nel risultato della morra ci sono 11 numericontando dallo 0 fino al 10, lui dice che vincerà il pari perché ha visto nei risultati ci sonocinque dispari e sei pari ed è per questo che Mattia dice che ha più probabilità il pari e Mattiaguarda tutt’e due le mani, Mattia guarda la sua mano e quella dell’altro. Mattia guarda irisultati che vengono dalla morra e invece Michela guarda le sue dita della mano, quindi questesono cose diverseDISCUSSIONEIns.- Allora, che ne pensate dei ragionamenti di Michela e Mattia?Simone- Io son d’accordo con Michela, perché ci sono in una mano, visto che ieri giocavamocon una mano e non con due, ci sono tre numeri dispari; non sono d’ accordo con Mattia,perché anche lui giocava con una mano e dice che ci sono 10 dita.Evandro- Mattia non dice che in una mano ci sono 10 dita, dice che nella sua e in quelladell’avversario ci sono 10 dita in tutto, ma lui giocava con una mano, però anche l’avversariogiocava con una mano e quindi il totale è 10.Marco Q.- Però Mattia non ha detto che usava 10 dita, ha detto 11 dita, perché lui contavaanche lo zero!Alcuni- Ma non 10 dita!!!Marco Q.- Va beh, volevo dire i numeri…Alcuni- I numeri dei risultati.Elisa- Però, scusa, ma bisognerebbe dire prima di tutto non il risultato, ma quando tu butti lemani per poi sommare, non quando arriva il risultato.

Mattia- Allora si gioca solo con una mano se conti soltanto una mano.Emanuele- Elisa, Michela non ha considerato tutte le probabilità del dispari, perché anchenell’altra mano ci sono delle probabilità dei numeri dispari.Roberto- Io non sono d’accordo con Mattia, perché lui ha detto… non ha detto che… sebisognava contare solo le dita di una mano ero d’accordo con Michela, però lui ha detto che cisono più probabilità per i pari perché conta anche lo zero, quindi grazie allo zero ci sono 6 parie 5 dispari…

Roberto- No, lei dice dall’uno al cinque.Giulia- Io son d’accordo con Mattia perché lui ha previsto tutte le uscite che potevano capitare,anche che se tutti e due mettevano pugno veniva zero.Michela- io mi sono dimenticata dello zero, però… nessuno aveva fatto zero!Ins.- Se Michela mette lo zero, cambia il suo ragionamento?Molti- SìììMarco B.- Sì, perché lo zero è pari. Lei dice che sono più probabili i dispari, ma se lei tieneconto dello zero, hanno meno probabilità.Giulia- Nooo, hanno pari probabilità se mette lo zero!Mattia- Michela se avesse usato lo zero, poi avrebbe cambiato idea e si sarebbe accorta che cisono 3 pari e 3 dispari.Matteo- Michela, se lei avesse messo lo zero non teneva più per il dispari perché era probabileche uscivano tutti e due.Luca- Son d’accordo con Mattia perché ha ragione, perché tutt’e due buttavano un numero epoi c’è anche lo zero e i pari da 0 a 10 sono 6.Ins.- Ma secondo voi Michela e Mattia non sarebbero dovuti arrivare alla stessa conclusione,più pari o più dispari,dato che tutti e due guardano i numeri?Luca- Come facciamo a decidere chi ha ragione?Chiara- Ha ragione Mattia, perché ha calcolato tutte tutte le uscite.Ins.- Attenzione: Chiara dice che Mattia ha calcolato tutte le uscite. Siete d’accordo?Roberto- Sì, tutte le uscite possibili.Anna- Io son d’accordo con Mattia perché usa due mani e è più giusto, perché…Nada- … perché tu con una mano sola non fai il gioco e quindi Mattia ha ragione.Marco B.- Io non sono tanto d’accordo, perché lui ha detto che potrebbe vincere pari, però,scusa, se uno butta lo zero lui non sa…Danilo- Sì, perché per vedere se esce pari o dispari devi vedere tutt’e due le mani!Elisa- Io ho cambiato idea e son d’accordo con Mattia perché lui conta il risultato.Giulia- Io sono d’accordo con Chiara che Mattia ha calcolato tutte le possibilità, perché haguardato le due mani e ha messo il risultato e ha guardato secondo me tutti i modiMattia- Veramente nel mio ragionamento non ho pensato… cioè ho pensato al risultatomassimo che poteva venire e poi al minimo e poi ho contato… e io non ho pensato alle mani.Ins.- E’ diverso pensare al risultato o pensare alle due mani? O è la stessa cosa?Mattia-… è … la stessa cosa… no… sì…Giulia- No, perché se tu pensi alle mani… al numero che butti… perché il risultato è un numeropiù un numero che fa un certo risultato. Prima di essere calcolati quei due numeri sono da soli,non sono già insieme… perché se uno butta 3 e l’altro 4…Roberto- … tipo, 4 è un numero 3 è un altro numero, come ha detto Giulia, se li metti insiemefanno 7, però prima di metterli insieme il 4 è un numero solitario e il 3 è un altro numerosolitario, poi quando si mettono insieme viene un numero formato da numeri più piccoli…Giulia-… sì, ma prima di essere calcolato il risultato, i due numeri possono essere degli altri.Ins.- Puoi fare un esempio, Giulia, per farci capire meglio il tuo ragionamento?Molti- 5 e 2, 3 e 4, 2 e 5. Alcuni- Ma scambiato è uguale! Altri- … la mano è diversa.Michael- E’ diverso… Mattia non ha calcolato tutte le uscite che…Ins.- Alessandro, cosa stanno dicendo i tuoi compagni?Alessandro- Che Mattia sta guardando i risultati, ma è un’altra cosa, perché 5+0 fa 5, maanche 4+1, anche 3+2, le uscite sono tante…Marco B.- Sì, Mattia ha guardato i risultati, ma i risultati si possono fare in tanti modi.Ins.- Sono più numerosi i risultati o le uscite?Marco B.- I risultati.Molti- NooooSimone- No, i risultati sono 11, ma le uscite sono di più, molte di più.Ins.- Sarà importante andare un po’ a ficcare il naso nelle uscite o non conta?Molti- Conta conta…Matteo- Se non contiamo le uscite, non può venire il risultato.Mattia- Io mi sono accorto che un numero dispari più un numero dispari fa un numero pari, unnumero pari più un numero pari fa un numero pari, un numero dispari più un numero pari faun numero dispari, quindi è probabile che vinca il pari se guardiamo le uscite.

Danilo- Se ora dici così fai il contrario del tuo ragionamento di prima!Roberto- Beh, si può cambiare idea!Giulia- Tutti ora abbiamo pensato un’altra cosa, perché pensiamo in che modi si può fare unrisultato.Ins.- Lo zero, ad esempio, in quanti modi si può fare?Luca- Uno, 0+0.Matteo- Anche 1-1.Molti- Ma no: le uscite si sommano, si fa solo più!Ins.- E uno in quanti modi si può fare?Molti- In due modi, 1+0 e 0+1.Ins.- Noi ora sappiamo se ha più probabilità di uscire pari o dispari?Alcuni- No.Michela- Per me è più probabile pari.Mattia- Dobbiamo fare tutti i calcoli.Anna – I calcoli per vedere tutti i modi.Mattia- Dobbiamo guardare tutte le combinazioni, però per me vincono i pari.Matteo- Praticamente dobbiamo contare come si possono fare i risultati, tutti i modi.3° giorno RIFLESSIONE individuale: Consegna <<Leggi quello che ha detto Giulia indiscussione:”Tutti ora abbiamo pensato un’altra cosa, perché pensiamo in che modi si può fareun risultato.”Pensa a che cosa significa la frase sottolineata, poi cerca i modi in cui si può fare un risultatogiocando alla morra.>>30% scrive autonomamente tutti i modi ,45% tralascia da uno a cinque modi,25% tralascia da sei a venti modi.Tutti riescono a individuare almeno sedici modi.OSSERVAZIONI COLLETTIVE scritte dopo una breve, ma molto partecipata discussione,avviata dalla domanda: “Ora che abbiamo scritto alla lavagna tutti i modi che avete trovato performare con due mani i risultati possibili, chi ha qualche osservazione da fare?”Roberto- I modi dallo 0 al 5 aumentano, dal 5 al 10 diminuiscono.Mattia e Giulia- Il 5 si forma in più modi, periò ha più probabilità di uscire.Emanuele e Giovanni- Lo 0 e il 10 si formano in un modo solo, perciò hanno meno probabilitàdi uscire.Danilo e Roberto- I risultati che messi insieme fanno 10 hanno lo stesso numero di modi, come7 e 3, 8 e 2, 4 e 6… .DOMANDA INDIVIDUALE SCRITTA: “ Secondo te, quante probabilità ha il DISPARI divincere?”Alcuni testi:Il dispari ha 18 possibilità di uscire e io ho contato i modi. Il pari ha 18 possibilità di uscirecome il dispari. Marco B.Il dispari ha 18 probabilità, perché io ho contato i modi dei dispari e in tutto erano 18. E i parihanno 18 probabilità, perché anche per i pari ho contato i modi. Perciò pari e dispari hanno lastessa probabilità. ChiaraIl dispari ha 18 possibilità di vincere perché ho contato i modi dispari, cioè i modi di 1, 3, 5, 7,9. I pari hanno 18 possibilità di vincere perché ho contato i modi di 0, 2, 4, 6, 8. 10. E i pari e idispari hanno pari possibilità di vincere. MichaelI dispari hanno 18 possibilità, perché i modi per fare tutti i risultati dispari sono 18. Lepossibilità dei pari sono 18, hanno pari possibilità. GiuliaIl dispari ha 18 possibilità di vincere perché è composto da 2 numeri dispari.Marco Q.I dispari hanno 18 possibilità di vincere. Io per dire questo ho preso tutti i risultati dispari adisposizione e ho contato i loro modi. poi ho messo insieme tutti i modi e mi è saltato fuori 18.I pari hanno uguali possibilità di vittoria. Io ho fatto lo stesso ragionamento con i dispari.Roberto

84% stabilisce autonomamente che le probabilità dei dispari sono 18 (due bambini dopo avoce diranno “18 su 36, è la metà”, però nessuno per iscritto fa riferimento al totale dellepossibilità);

44% nota che dispari e pari hanno la stessa probabilità di uscire.

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4° tappa-I DUE DADI (aprile 2003)

Consegna per riflessione individuale scritta prima di iniziare il gioco:”Oggi mettiamo due dadi in un bicchierino di carta, che ognuno di noi a turnocapovolge sul tavolo,dopo averlo agitato bene.Registriamo in un istogramma la somma dei numeri che si presentano sulle due faccead ogni tiro. Facciamo circa 100 tiri.Quali numeri hanno più probabilità di uscire, secondo te? Perché?”Pietro- Io penso che ha più probabilità di uscire il n° 6, perché è più numeroso; tipo,se bisogna sorteggiare per il segretario e ci sono 13 maschi e 10 femmine, ha piùprobabilità di diventare segretario un maschio, perché sono più numerosi; allora vuoldire 10 in su sono più numerosi quelli con due cifre o tre.Michael- Hanno più probabilità di uscire certi numeri, perché la somma è fino a 12 e ci

che formano più coppie di altri al centro, tra 2 e 12 il 5 e il 6, il 6 lo puoi formare concinque coppie e il 5 con sei coppie. Perciò il 5 e il 6 hanno delle probabilità di uscire.Giulia- Il risultato che può uscire è il 7, perché è un risultato che si fa in tanti modi.Quelli che hanno meno possibilità sono il 2 e il 12, perché si formano solo in un modo.Michela- Secondo me, ha più probabilità di uscire il 12, perché è nei numeri che escecon tutti e due i dadi e hanno più probabilità quelli che escono con due dadi, cioè 7, 8,9, 10, 11, 12.Evandro- Ci sono dei numeri che hanno più probabilità, cioè 2, 4, 6, 8, 10, 12, perchésono più numerosi di 3, 7, 9, 11, perché sono quattro numeri, invece gli altri sono sei,quindi è piùprobabile che escano.Marco B.- E’ probabile che esca il numero 3, 4, 5, perché quando gioco al giocodell’oca, quando tiro il dado escono di più quelli.Mattia- Ci sono due numeri che hanno più probabilità di uscire, sono 5 e 6, perché nellavoro dell’altra volta ho capito che quei numeri hanno più operazioni che portano aquel risultato, come nel gioco della morra. Ho capito che il 6 è tra lo 0 e il 12, quindiha più somme che producono quel prodotto. L’1 come prodotto non verrà mai, il 12solo una volta.Nada- Tutti i numeri hanno uguali probabilità, perché tu in questo gioco non puoi faretrucchi per far uscire un numero che hai scelto, quindi hanno tutti uguali probabilità diuscire. C’era un gioco che noi abbiamo giocato, che è con una mano prendi un numerodella mano e con te gioca un altro e anche lui con una mano butta un numero, lamaestra sommava i due numeri buttati dai due giocatori. Noi per sapere il numero cheha più probabilità dopo il gioco abbiamo guardato e abbiamo scoperto dei numeri chesi possono fare in più modi.Simone- I numeri che hanno più probabilità sono vicini all’11, perché di solito vengonospesso i numeri più alti vicino all’11, e non è probabile che venga spesso il 2.Chiara- I numeri che hanno più probabilità di uscire è comunque un numero non tantoalto, perché nei dadi non escono quasi mai due numeri uguali e molto alti e poi non ètanto probabile.Elisa- Ha più probabilità di uscire il 6 e l’8, perché sono due numeri che si possonofare in molti modi, invece il 2 è pochissimo probabile che venga, perché ha un modoper fare 2.Jessika- Il numero che può avere più probabilità di uscire è il 5, perché le probabilitàche il 5 sono di più, cioè ha sei probabilità di uscire in confronto agli altri numeri. Un’altra cosa è che ho calcolato sei probabilità perché quando abbiamo fatto quel lavoroche 1 ha due probabilità, io mi sono ricordata di quel lavoro e allora ho contato quanteprobabilità ha il 5 e è venuto che ha sei probabilità.Roberto- Hanno tutti le stesse probabilità di uscire, perché non è che la fortuna dice“oggi faccio vincere il 4” ad esempio, dipende da come si agitano i dadi, perché ogninumero dal 2 al 6 ha un modo diverso da agitare, ad esempio il 12 ha lo stesso mododel 6, perché 6+6 fa 12, l’8 ha lo stesso tipo di agitazione del 4,,perché 4+4 fa 8…45% dei bambini pensa al calcolo probabilistico dei “modi per fare…”55% dei bambini ragiona per continuità, analogia…Non so se considerare queste percentuali un successo,data la difficoltà dell’argomento el’imminenza delle vacanze pasquali, o una prova della necessità di rimandarlo a tempi piùmaturi. Certo ci sono alcune cose su cui riflettere, ad esempio il testo di Nada, che partita conun discorso sui trucchi conclude con il numero dei modi per formare un risultato, o il confrontotra il testo di Roberto e quello di Jessika.Ormai comunque il gioco si fa.

Il gioco si interrompe per fine lezione dopo 60 tiri; ciò mi dà modo di rilanciare per unariflessione scritta individuale il precedente testo scritto da Giulia, prima di continuare il gioco.

Consegna. <<Scrive Giulia: “Il risultato che può uscire è il 7, perché è il risultato che si fa intanti modi. Quelli che hanno meno possibilità sono il 2 e il 12, perché si fanno in un modosolo.” Che cosa ne pensi?>>Chiara- Io sono d’accordo con Giulia e ora cambio anche idea e non penso più quello che hoscritto. Non ci avevo pensato!Roberto- Giulia ha ragione, perché infatti il 2 ha solo 1+1 per riuscire, perché 0 e 2 o 2 e 0 nonsi possono fare, perché nei dadi non c’è lo 0, quindi con il 2 ha ragione; poi, al 12 sonod’accordo perché c’è solo 6+6; e per il 7 son d’accordo, perché il 7 ha 6+1, 5+2, 4+3,….Quindi ha ragione perché il 7 è l’unico che ha sei probabilità di uscita, e il 2 e il 12 sono gliunici che hanno due probabilità di uscita.Jessika- Io penso che Giulia ha detto una cosa giusta perché infatti il 7 ha tante possibilità diuscire, non come il 2 e il 12, perché infatti i sortilegi sono tanti.Ada- Io non sono d’accordo con Giulia perché potrebbe venire un altro numero.Pietro- E’ giusto il ragionamento di Giulia perché il 7 si può fare 4+3, 5+2… invece il 2 e il 12 sifanno in un modo, perché il 2 si fa 1+1, invece il 12 si fa soltanto con 10+2,però non puòuscire sempre perché 6+6 non esce sicurissimo, ma poche volte.Simone- Io son d’accordo con Giulia, perché è vero che il 2 e il 12 si fanno in un solo modo. Eson d’accordo con Giulia sulla storia del 7 perché può venire in tanti modi, per esempio6+1=7, 4+3=7, 5+2=7, …Giulia- Io sono ancora d’accordo anche se sul grafico la colonna del 7 non è la più alta, perchéquando ho fatto quel disegno (rappresentazione grafica dei modi possibili) ho visto che il 7aveva sei possibilità e gli altri sei.Michael-Io sono d’acordo solo che il 2 e il 12 hanno meno possibilità di uscire, perché siformano in una coppia, 1+1 e 6+6. Invece non sono d’accordo che il 7 si forma in tanti modiperché si può formare in quattro modi, invece il 5 in sei modi.Mattia- Non sono d’accordo con Giulia, perché secondo me sarebbe il 6 ad avere più possibilitàdi essere un prodotto, perché è tra il 12 (numero maggiore come risultato) e il 2 (numerominore).Emanuele- Io sono d’accordo e non sono d’accordo: sono d’accordo che il 2 e il 12 hanno menopossibilità, perché 1+1 può venire raramente come 6+6; non sono d’accordo perché nelgrafico il 12 ha quattro quadrati ed ha superato il 4, allora l’osservazione che fa Giulia sul 12 èsbagliata, e anche perché il 4 ha cinque possibilità.Luca- io non sono d’accordo perché il 7 di possibilità ne ha due, cioè 2+5 e 3+4. Poi non solo12 e 2 hanno una possibilità, ma anche 11, 10, 9 ne hanno una.70% dei bambini sembra capire e condividere il discorso di Giulia35% non condivide, ma usa il calcolo dei modi, sbagliando il conto5% non coglie assolutamente il significato del discorso di Giulia

due dadi

0

5

10

15

20

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

somme dei dadi

nu

mer

o d

elle

usc

ite

Uscite

Discussione dopo 126 lanci di due dadiIns.- Fate un commento a questo grafico, cioè dite ciò che pensate guardandolo.Elisa- Io guardando questo grafico sto capendo, per esempio, che il 2 ha un modo, einfatti è uscito soltanto una volta; quindi ha poche probabilità di uscire e infatti… inumeri che hanno più modi hanno avuto più probabilità di uscire.Giulia- Io non sono tanto d’accordo con Elisa, perché anche il 12 ha una probabilità diuscire come il 2, eppure ha più quadratini (nel grafico), perché il 2 ne ha uno e il 12ne ha 7.Marco Q.- Il 12 ha sette quadratini, perché il 2 si può fare con 1 e 1 e sono duenumeri che escono spesso, invece il 6 e il 6 escono molto poco.Roberto- E allora perché il 12 ha più quadratini del 2?Ada- E’ che il 2 esce raramente, è raro che escano due 1, perché…Anna- …perché… lei dice così perché è uscito solo una volta.Giulia- Sì, ma la domanda è “perché è uscito solo una volta”!Roberto- Forse perché l’1 e l’1 sono numeri bassi e di solito i numeri bassi esconomolto poco.Giulia- Però usciva spesso, tipo, 2 e 1, 3 e 1. 1 e 4, cioè i numeri bassi uscivanospesso, ma su un dado solo.Matteo- Anch’io vedevo che l’1 usciva tante volte, ma non 1 e 1…Mattia- Però se… cioè, capisco che il 2 è uscito poche volte, cioè una volta…praticamente però l’1 ci sta una volta in un dado e una volta nell’altro, e anche il 6 èsegnato una volta in un dado e una volta nell’altro, quindi praticamente il 12 ha avutoun pochino più… cioè è venuto più volte,… quindi la probabilità di uscire del 12 e del 2sarebbe uguale, … dipende…Evandro- Secondo me, l’1 doppio esce poche volte, perché se tu agiti il bicchiere poi lorovesci, magari quando è nel bicchiere segna 1, poi si capovolge e va sotto.Roberto- Dipende come lo agiti.Evandro- Forse il 12, siccome per fare 12 serve 6 e 6, i numeri più alti escono di più.Simone- Se tu agiti il bicchierino, lo giri e il risultato è 2, dopo può venire anche unaltro numero.Michela- 2, 3, 4 sono meno, perché sono più rari, perché… tu non puoi sapere quelloche ti viene.

Nada- Il 2 è uscito solo una volta, perché si può formare solo con 1 e 1 ed è perquesto che è uscito meno volte; ma il 12 che si può formare anche con un modo èuscito di più perché il 6 è più alto, perché … si può…Ins.- Perché le facce del dado con un numero più alto dovrebbero uscire più volte?Emanuele- Penso che il 2 è uscito meno volte del 12, perché 1 e 1 è un numero che…Marco B.- Il 2 è venuto meno volte magari, come ha detto Giulia, che ci sono menoprobabilità che esca, perché non ha più risultati, cioè non si può fare tante volte il 2come con il 4, 5, 6, 7, 8.Ins.- Dimmi un numero che secondo te ha più probabilità di uscire e spiega perché.Marco B. –Il 7, perché 5+2, 4+3, 6+1, 3+4…Roberto- E’ l’unico che ha sei probabilità di uscire.Marco B.- …oppure 7+0…Simone (sottovoce)- Ma no, 0 non c’è sul dado!Marco B. (meravigliato)- E’ vero!!!Danilo- Forse il 2 è venuto meno, perché di solito esce tanto…non saprei dire il perchéJessika- Il 2 è uscito poco, perché l’1 non esce quasi mai.Giovanni- Forse l’1 è uscito di meno, forse per la sorte… però mi sa che se parliamo disorte, torniamo su un discorso dell’anno scorso… della fortuna, dell’angioletto…Pietro- Il 2 è uscito di meno perché il 2 ha solo 1+1 e il dado di solito fa le cifre piùalte, tipo il 6, 7…, invece il 2 è un po’ bassetto.Chiara- Io non saprei perché l’1 non esce mai. Io direi che esce tante volte, però nonfa mai coppia… non lo so perché…Luca- Mi sembra un po’ strano, perché a casa, quando gioco con mio papà con i dadimi viene sempre 1 e mai 6, non so…Alessandro- Io penso che il 2 è difficile da far uscire perché è 1 e 1. Sarà moltodifficile da far uscire!Ins.- Non ti sembra ugualmente difficile il 12?Alessandro- Ehhhh, il 12 mi sembra facile, perché deve uscire un 6 e un altro 6, è piùfacile, perché, anche se 12 ha meno probabilità, è più facile da far uscire.Ins.- Ci sono altre osservazioni sul grafico? Non è necessario parlare sempre di 2 e 12.Emanuele- 6 e 6 esce più volte, perché è l’ultimo numero del dado, quindi… comeposso dire…?…Roberto- Pensaci come puoi dire prima di parlare! (risate)Emanuele- E’ che 6 e 6 è l’ultimo numero del dado e esce più volte.Ins.- Che cosa vuol dire “è l’ultimo numero del dado”?Emanuele- …che non può uscire 7 e 7, perché 7 non c’è sul dado, invece 6 può uscire.Invece 1 e 1 è il numero più piccolo.Roberto- Io vorrei dire due cose: primo che io avevo scritto che avevano la stessaprobabilità, perché avevo guardato tutti i risultati che potevano venire e i pari neavevano sei e i dispari sei; poi che secondo me il 12 è uscito più volte, perché il 6 è unnumero superiore, invece l’1 è un numero inferiore, è come in questa scuola che leclassi superiori sanno più cose delle classi inferiori, per questo il 6, che è superiore,esce di più dell’inferiore.Ada- Vorrei dire a Luca, che dice che a casa gli è uscito sempre 1 e 1 e 1…, vorrei direche i maghi fanno una magia, lanciano i dadi e viene sempre 1. (confusione)Cioè dimostrano che possono far uscire 1 e 1 e1 … 100 volte.Giulia- Ma i maghi non erano qui!Anna- Non esce il 2 perché 1 e 1 è un numero doppio e i numeri doppi non esconotante volte, soprattutto se sono piccoli.Intuisco la possibilità di un espansione del discorso alle probabilità di formare coppie di numeriuguali, ma la situazione mi sembra già così molto complicata. Inoltre tra poco tempo suoneràla campana e inizieranno le vacanze pasquali.

Chiara- Allora perché 6 e 6 è un numero doppio ed è uscito più volte? Perché più deinumeri piccoli? Devi dirlo il perché.Giulia- Io con Anna sarei un po’ d’accordo e un po’ no, perché va bene il 12 si fa solocon 6 e 6 che è doppio ed è uscito più volte, però negli altri non è uscito tante volte 3e 3, 4 e 4, 2 e 2… solo nel 12 è uscito tante volte il doppio.Elisa – il 2 non esce spesso, perché l’1 è in un posto che non riesce tanto a venir fuori,per esempio, potrebbe essere sotto…Giulia- Ma sotto… dipende come giri il dado, se lo giri in un altro modo potrebbeessere sotto il 3… è una delle sei facce sul dado. Tutti possono essere sotto!Elisa- Sì, ma noi quando guardiamo il dado, guardiamo sopra, ma l’1 potrebbe esserein tutti i lati e non riesce a venire sopra. (confusione)Pietro- Io nel grafico ho visto che i numeri sono stati tutti leali, non sleali, cioè…Molti- Ma come fanno a essere leali o sleali i dadi?!Pietro- NO, volevo dire che sono usciti proprio così, e così va bene.Marco Q.- A Luca esce sempre 1 e 1, allora il dado deve essere truccato, se no non ciriesci.Matteo- Voglio fare un’obiezione a Nada, che lei prima ha detto che l’1 ha menoprobabilità di uscire, invece il 6 ha più probabilità perché è più alto, però non è veroperché, quando a casa gioco, escono un po’ tutti.Michael- Io nel grafico ho notato che i numeri ai lati, cioè il 2, 3, 4, 10, 11, 12 sonousciti meno di quelli al centro, perché quelli ai lati hanno meno modi, meno coppie performare il risultato, invece quelli al centro hanno più modi.Giovanni- Vedendo il grafico capisco che la teoria di Giulia, che il 7 aveva piùpossibilità, è giusta, infatti a questo punto è in testa.Jessika- io ho notato che il numero 5 ha più probabilità di uscire…Danilo- io vorrei fare un’obiezione ad Ada, perché va bene, magari i maghi con deitrucchi riescono anche a far uscire sempre 1, però credo che il papà di Luca non sia unmago.Mattia- Io sono d’accordo con Michael e vorrei dire il perché, perché il 2 e il 12 hannodue operazioni, una per uno, per avere quel prodotto, quindi praticamente andandoverso il centro ce ne sono sempre di più, tra il 12 e il 2 ci sarebbe il 6, però il 6 è allapari con l’8, e il 7 è avanti, quindi praticamente la probabilità non è riuscita.Evandro- Quello che ha scritto Giulia è stato vero, perché il 7 ha tantissimi quadratini,perché ha tante possibilità di uscire, 6+1, 5+2, 3+4,…Marco B.- Io son d’accordo con Michael che i numeri ai lati hanno meno colonne, peròvorrei aggiungere che quelli in centro hanno più colonne, perché hanno più possibilitàMichela- Il 12 è uscito più volte perché qualcuno può aver barato.Molti- Ma come fa a aver barato!!!Nada- Io non sono d’accordo con Michela, perché come faceva a barare, se noiagitavamo il bicchiere e poi lo giravamo sul tavolo.Emanuele- Io voglio dire che il 7, sì, ha più modi, ma il 7 è ora in testa, ma potrebbeanche perdere. ORA è in testa.Ins.- Attenzione. Emanuele dice che il 7, che è il numero che ha maggiori probabilitàdi uscire, ora è in testa, ma se lanciamo i dadi altre cento volte, potrebbe perdere.Emanuele- Sì, perché ora è in testa, ma potrebbe anche rimanere indietro.Giulia- E’ possibile che un numero come il 7 possa in cento tiri non uscire più, perchélo dice la parola, PROBABILE non vuol dire che è sicuro che esca sempre, però sebisogna scegliere prima tra un numero e l’altro è meglio scegliere quel numero,perché è un po’ più avvantaggiato.Marco Q.- E’ possibile, perché non sempre i numeri che hanno più probabilità vinconosempre, non è che quello più probabile debba sempre vincere.Pietro- Io son d’accordo con Emanuele che il 7 ora è in testa, ma potrebbe anche

Giovanni- Per me è possibile che il 7 resti indietro, infatti all’inizio del gioco era moltobasso e gli altri lo superavano. E poi son d’accordo con Giulia che probabile vuol direincerto, non sicuro.Jessika- Anche se ora il 7 è più alto, potrebbe rimanere indietro e il 2 che è il piùbasso può superare il 7.Mattia (dubbioso)- Potrebbero vincere il 2 o il 12 e perdere il 7 e l’8…Ins.- Quale considereresti un evento raro?Mattia – Che vinca il 2… rarissimo.Anna- Il 7 può rimanere indietro, ma secondo me non per cento tiri non esce più,perché comunque uscirà, non può stare fermo per cento tiri!Ada- Anch’io dico che il 7 può rimanere indietro.Ins.- Quale evento considerereste probabile prima di iniziare il gioco?Roberto- beh, io son d’accordo con Emanuele che il 7 nella prossima partita potrebberimanere ultimo.Ins.- Da che cosa dipende?Roberto- Dipende dai dadi, come escono.Alessandro- Dipende da che numero esce… dal bicchiere.Michael- Io vorrei dire che il 2 è un po’ difficile che diventi primo, cioè che quando tutiri i dadi venga sempre 1 e 1.Giovanni- Jessika- Dipende dalla sorte.Danilo- Mattia- Evandro- Simone- Dalla probabilitàMarco B.- Luca- Marco Q.- Dalla fortunaMichela- Nada- Ada- Giulia- Elisa- Matteo- Pietro- Dall’agitazione (come agiti i dadi)Emanuele- Dalle operazioni.Anna- Chiara- E’ un caso che esca un numero.Ins.- Vi rilancio tre parole che avete usato e vorrei sapere se sono modi diversi di direla stessa cosa o se sono cose diverse. Sorte, fortuna, caso.Nada – Alessandro- Chiara- Elisa- Giulia- Pietro- Marco Q.- Sono cose diverse.Tutti gli altri- Sono la stessa cosa detta in modi diversi.Ins.- Ora facciamo un gioco, velocemente perché sta per suonare la campanella.Chiudete gli occhi, io dirò una parola e subito dopo vi chiederò quale immagine avetevisto nella vostra mente.

SORTE FORTUNA CASOBicchiere vuoto DaniloLotteriaMatteo, Michael, Giovanni,Jessika,Elisa, Luca, Ada, ChiaraSoldi Marco B., Nada,AlessandroSorteggio in classeMattia, Emanuele, EvandroPesca in mare Matteo,Marco Q.Dirupo GiuliaDadi nel bicchiere AnnaNon sai cosa usciràRobertoNumero 15 SimoneTutto nero Michela

Vincita Pietro, Matteo,Danilo,Elisa, Marco B.,GiovanniContentezza EmanueleMarco Q., Jessika, Elisa,LucaSoldi Chiara, Anna,SimoneAnello d’oro GiuliaVittoria in garaAlessandroNonna non morta NadaPartita di calcio MattiaIncidente evitatoEmanueleTutto giallo MichelaQuadrifoglio AdaStella luminosa Roberto

Investigatore che scopre…Evandro, Marco Q., Ada,Alessandro,Emanuele,Matteo,Marco B.,Anna,Giovanni,Signor Caso PietroRitorno a casa SimoneIncontro inaspettato Elisa, ChiaraQualcuno ha sparato LucaRosso con macchie DaniloCasa diroccata MichelaMacchia arancione GiuliaRombi verdi JessikaCosa inaspettata RobertoPace fra due Nada, Michael

Mi piacerebbe chiedere ai bambini di giustificare la loro risposta precedente (sono o nola stessa cosa), mettendola in relazione con le immagini evocate dal nome, ma non soquale valenza potrebbe avere una riflessione di questo tipo, forse solo emozionale, oneanche se i bambini hanno dato risposte un po’ giocose e legate, per conformità oper opposizione, a quelle dei compagni.Una proposta di rilancio che mi stuzzica di più è, invece, mettere a confronto indiscussione i due istogrammi (quello sulla morra realizzato da me ora e quindisconosciuto ai bambini, quello sui dadi costruito da loro), cercando di utilizzare ognispunto per pilotare la discussione sul fatto che in uno interviene la mia scelta, quindic’è una minore casualità, che tuttavia la mia scelta data la velocità del gioco non èpensata, ma legata alla facilità gestuale di certi numeri.La consegna potrebbe essere più o meno vincolante:

- Abbiamo giocato prima alla morra con due mani, poi ai dadi con due dadi.Confrontate le uscite dei numeri-somma nei due giochi, riportate sugliistogrammi, che ne pensate?

- Abbiamo giocato prima alla morra con due mani, poi ai dadi con due dadi.Entrambe le volte avete scoperto che alcuni numeri somma hanno piùprobabilità di altri di uscire, però osservando gli istogrammi delle uscite sirilevano differenze notevoli su alcuni numeri, è possibile trovare dellemotivazioni? Quali?

- 5° tappa- CONFRONTO MORRA/DADI

RIFLESSIONE individuale:Abbiamo giocato prima alla morra con due mani, poi ai dadicon due dadi. Entrambe le volte avete scoperto che alcuni numeri somma hanno piùprobabilità di altri di uscire, però osservando gli istogrammi delle uscite si rilevanodifferenze notevoli su alcuni numeri, è possibile trovare delle motivazioni? Quali? LA MORRA

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20

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Est

due dadi

0

5

10

15

20

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

somme dei dadi

nu

mer

o d

elle

usc

ite

Uscite

Alcune risposte individuali scritte.Marco B.- Gli andamenti dei grafici sono diversi, perché i dadi non hanno il numero 1,mentre la morra lo ha. E i dadi non hanno lo 0 e la morra sì. Oppure la morra i numeripartono dallo 0 e arrivano al 10, mentre i numeri dei dadi partono dal 2 e arrivano al12, quindi l’andamento dei dadi è più lungo e forse più basso. Poi sei più libero nelgioco della morra, perché puoi lanciare il numero che vuoi con una mano.Roberto- La differenza è che in una cosa si parla di sorte e nell’altra è un po’ decisionee un po’ sorte, perché nei dadi non sai per niente che cosa uscirà nei due dadi e nelrisultato finale, lo scopri soltanto dopo aver tirato, e questo vuol dire sorte; invecenella morra è un po’ decisione perché tu sai con certezza che cosa uscirà da te, ma

non sai né che cosa tira l’avversario, né il risultato che verrà mettendo insieme le dueuscite.Jessika- I grafici dei dadi e della morra sono diversi, perché la morra è come untabellone in cui escono cinque pari e dei dispari, invece i dadi è come unamontagnetta che pian piano sale sale… finché non arriva in cima e poi scende. Lamorra per me è più libero, perché almeno puoi pensare a un numero.Marco Q. – I grafici sono venuti diversi, perché i dadi hanno sei facce e se si sommanodue dadi tutti messi insieme fanno 12, e giocando alla morra invece una mano hacinque dita e 5+5=10 e hanno meno probabilità. Poi ho notato che il numero 10 nellamorra esce spesso, invece nei dadi è uno dei più piccoli.Mattia- Il perché i due grafici sono molto diversi è questo: i risultati che potrebberouscire per i dadi sono 11 (poi scrive) NO!!Il motivo sul perché i grafici sono diversi è questo: le somme additive per portarmi adun risultato per la maggior parte dei numeri nella morra rispetto a quello dei dadi. E ilgioco in cui sono più libero è questo: la morra.Giulia- I grafici sono diversi perché ci sono dei numeri diversi e quindi le probabilità diuscita su ogni numero cambiano; nella morra decidi tu cosa buttare, nel dado no.Danilo- Il numero 7 del gioco dei dadi ha vinto perché ha più possibilità di uscita ditutti, anche del 7 alla morra. Secondo me con il gioco della morra sono più liberoperché decido che numero far uscire, invece con i dadi non lo posso decidere io.Emanuele- La differenza fra i due giochi è che alla morra in una mano puoi fare solo 5e anche nell’altra, quindi non può venire un numero sopra il 10. Nel gioco della morrapuoi scegliere il tuo numero, invece nei dadi sceglie la sorte.Chiara- I grafici sono diversi, perché dipendono soprattutto da come si gioca, peresempio, se il 6 ha più probabilità di uscire nella morra è perché nei dadi non puòuscire 0 e 6 perché nel dado non c’è lo 0. Secondo me cambiano i grafici perchécambia il modo di lanciare.Giovanni- Nella morra posso vedere un po’ cosa fa l’altro, quindi ti condiziona un po’su che numero fare e dire… invece nei dadi sei solo e nel bicchiere non puoi barare.Evandro- Secondo me dipende dal caso perché i due grafici sono diversi, e questoperché con i dadi le colonne sono di più e allora certi numeri hanno più possibilità diuscire.Anna- Secondo me c’è un andamento diverso tra morra e dadi, perché nel dado cisono più possibilità che esca un numero qualunque, perché nel dado ci sono seinumeri; invece nella morra ci sono meno modi di fare un numero perché sei tu, quindila tua mano vedi che ha cinque dita e non sei dita. Il gioco in cui ci sono più libertà èla morra, perché sei tu che scegli che numero buttare.

Ad un certo punto Danilo, mentre leggo ciò che sta scrivendo, mi chiede:< Posso direche nella morra sono più libero? >; lo fa a voce piuttosto bassa, ma non abbastanza,infatti quest’idea di “libertà” entra nei testi di molti bambini che fino a quel punto nonsembravano orientati in questo senso. Il fatto che però siano così pronti a cogliere ilsuggerimento mi fa supporre che a livello intuitivo già ci fosse qualcosa.

DISCUSSIONEIn cerchio, con il foglio che riporta i due grafici in mezzo, rileggiamo la consegnaprecedente e cominciamo la discussione.

Ins.- Chi vuole prendere la parola per dire quali differenze ha notato fra i due grafici?Marco Q.- Io ho notato delle differenze tra il 6 della morra e il 2 dei dadi.Emanuele- E beh, quella differenza si vede subito e non è che devi starci a pensareper spiegare come mai! E’ meglio confrontare il 6 con il 6, così fai vedere la

Ins.- Perché è meglio confrontare il 6 con il 6?Roberto- E’ meglio confrontare dei numeri uguali, perché è inutile confrontare il 7 conil 12, perché ad esempio il 12 ha solo una possibilità.Mattia- Non ha solo una possibilità, ha solo una somma.Roberto- Va beh, ha solo una somma. E il 7 invece ne ha tante. Ad esempio, si puòconfrontare il 7 della morra con il 7 dei dadi; e anche altri, 3 e 3, 4 e 4 …Giulia- Io vorrei dire a Roberto che c’è della differenza tra il 6 della morra e il 6 deidadi perché ci sono degli altri numeri che cambiano, perché nella morra ci sono inumeri dallo 0 al 10, invece nei dadi dal 2 al 12, e i numeri che hanno più probabilitàsono quelli che stanno a metà strada.Pietro- Io sono d’accordo con Roberto che dice come confronti… tipo 6 con 7 la vedi ladifferenza. Ma come dice anche Emanuele è meglio confrontare 6 con 6.Mattia- Secondo me un numero che ha molta differenza tra morra e dadi è il 9, perchéil 9 dei dadi è uscito 14 volte, mentre quello della morra è uscito 9 volte. Il 9… cioè cisono più numeri distanti dall’ultimo numero, quindi avrà più probabilità il 9 dei dadi.Ins.- Qualcuno ha in mente qualche altra motivazione?Ada- Io son d’accordo con Roberto che è meglio fare 6 e 6, 4 e 4…Mattia- Il 9 è molto diverso tra i due grafici, perché il 9 del grafico dei dadi perarrivare al 12 ha tre numeri, invece nella morra uno, perciò praticamente nei dadi èpiù spinto a metà.Anna- Io vorrei parlare di una cosa che ho scritto, che sono diversi gli andamenti dellamorra e dei dadi, perché… allora, nei dadi ci sono più numeri perché c’è anche il 6,invece nella mano ci sono solo 5, allora è più probabile che esca un numero… va be’.Giovanni- Obiezione ad Anna: se conti i numeri senza guardare al numero vero sonocomunque tutt’e due undici, invece lei ha detto che nei dadi sono di più.Anna- Ma quando butti con la mano non puoi fare così (mostra 5 dita di una mano e 1dell’altra).Ins.- Però Giovanni dice che nei due grafici c’è la stessa quantità di numeri-somma.Anna- Lo so, perché nei dadi non c’è lo 0 come nella mano.Marco B.- Io ho notato una differenza, che nella morra i numeri partono dallo 0 earrivano a 10, mentre nei dadi partono da 2 e arrivano a 12, e secondo me questosuccede perché nella morra puoi buttare 0 e nei dadi non c’è lo 0.Simone- Sul secondo grafico i numeri dal 2 arrivano al 12.Ins.- Va bene, ma questo lo avete già detto!Chiara- Secondo me, c’è una differenza evidentissima sull’ 8, perché nella morra l’8 èa metà, invece nei dadi è quasi in cima.Roberto- Forse perché di solito i numeri che stanno a metà del grafico sono quelli chehanno più probabilità. Secondo me il 7 dei dadi è uscito più volte perché è a metà.Marco Q.- C’è grande differenza tra l’ultimo della morra e l’ultimo dei dadi!Emanuele- Però sono numeri diversi.Molti- Nooo…. Sono tutti e due ultimi!Giovanni- Gli ultimi, anche se si scrivono in modo diverso, sono tutti e due 11(undicesimi), perché 2 (nei dadi) è come se fosse 1 e 0 è come se fosse 1 (nellamorra), la scritta sotto non importa un bel niente, è il modo…Confusione.Anna- Obiezione a Roberto, che ha detto che in mezzo c’è il 7…Ins.- Scusa Anna, non farci tornare indietro nella discussione, ora stavamo guardandol’ultimo numero dei due grafici, tra le due colonnine c’è una notevole differenza, comesi spiega?Elisa- Secondo me, l’ultimo della morra è diventato alto perché tu decidi che numerobuttare e, tipo, se butti 5 è probabile che anche l’altro butti 5.Emanuele- Sì, è probabile che anche lui butti 5, perché certe volte ti viene di buttare

Luca- Anche a me una volta che giocavamo con Giovanni mi veniva da buttare 5.Molti- Perché è facile!Giulia- Il 5 è molto facile, perché tu devi fare veloce e apri tutta la mano e allora èfacile.Matteo- Il numero 12 nei dadi c’è meno volte, perché ha solo una probabilità, e ancheil 10, però il 10 è più comodo nella morra, invece nei dadi ci sono i dadi nel bicchiere eè più difficile che venga 6 e 6 tante volte.Confusione.Marco Q.- Secondo me il 10 della morra si è alzato perché quando tu butti giù la manoè difficile che ti venga proprio il numero che dici, perché devi fare presto.Alcuni- Ma tu non dici cosa viene, mica sai cosa butta l’altro!Danilo- Marco non vuol dire la somma che fanno le due mani, ma quello che pensa dibuttare lui, magari pensava 2 e gli veniva 5, perché 5 viene molto bene.Ins.- Proviamo tutti a buttare giù dei numeri un po’ velocemente, come se stessimogiocando alla morra, per controllare se ci sono dei numeri che buttiamo più spesso?Tutti provano e nella confusione registrata colgo alcune frasi:- Il 2 è difficile perché tiviene da mettere anche l’altro dito … Però se voglio lo butto il 2… Il 3 è facile, moltofacile… Il 4 è facile… il 5 di più… Lo 0 sarebbe comodo, ma non ti viene in mente dibuttarlo… a me è venuto un sacco di volte… se butti lo 0 una volta, poi ti vienesempre… anche con gli altri numeri viene da buttare sempre lo stesso … L’1 non vienemai a me… è difficile l’ 1!Danilo- Secondo me, sono più libero nella morra perché posso decidere, anche sequalche volta mi viene giù un altro numero, ma nei dadi non posso mai decidere io.Anna- Il 12 è venuto meno del 10, perché si può fare solo con una somma.Giovanni- C’è differenza tra il 5 dei dadi e il 5 della morra.Evandro- Secondo me il 10 nella morra sale perché quando buttiamo, ci viene dabuttare 5 e 5.Pietro- Perché tu quando fai 5 apri tutta la mano.Simone- Non mi va mica tanto bene, perché quando tiri puoi fare un altro numero…Ada- Io dico che il10 è venuto di più perché nei dadi non decidiamo noi il numero, nonguardiamo mica nel bicchiere, non siamo mica Mago Merlino!Ins.- Quali sono i numeri che nella morra vengono buttati meno spesso?Evandro- Secondo me sono il 2, l’ 1, l’ 11 e il 12.Molti- Con una mano l’ 11 e il 12 ?!?Evandro- Come somma!!! Il 2 è difficile, e anche l’ 1 perché se vai a velocità forte devichiudere 4 dita e lasciare 1.Roberto- A me un numero che viene facile è il… l’ 1, il 4 e il 5 mi vengono bene, sonoil 2 e il 3 che mi vengono abbastanza male… il 3 un po’ meglio, ma il 2 proprio no.Michela- Se il 12 è uscito poche volte è perché qualcuno può aver barato…Molti- Ma come fa a aver barato!!!Nada- Io non sono d’accordo con Michela, perché come facciamo a barare se noiagitiamo il bicchiere e poi lanciamo i dadi?Emanuele- Ma ora il 7 è in testa, ma potrebbe anche perdere.Ins.- Può essere, secondo voi, che pur avendo più probabilità un numero qualche voltanon vinca?Giulia- E’ possibile che un numero possa in 100 tiri uscire poche volte, lo dice anche laparola “probabilità”, probabile vuol dire che non è sicuro che esca sempre solo quelloo che esca più volte sempre. Però se per giocare dobbiamo scegliere tra uno e l’altro,sarebbe meglio scegliere questo più probabile.Marco Q.- E’ possibile, perché non sempre i numeri più probabili vincono.Pietro- Io son d’accordo con Emanuele, che il 7 ora è in testa, ma un’altra voltapotrebbe succedere che il 5 o il 6 o l’ 8… vincano.

Giovanni- E’ possibile che il 7 rimanga indietro, infatti all’inizio del gioco le altrecolonnine lo superavano molto spesso, però poi se vai avanti recupera. E sond’accordo con Giulia che “probabile” è incerto, non è sicuro.Jessika- Per me anche se adesso il 7 è più alto di tutti, potrebbe rimanere più basso eil 2 superare tutti.Mattia- Ma noooo!!!Ins.- Mattia, mi dici quale evento tu considereresti raro?Mattia- Che vinca il 2, perché ha troppo pochi modi!Anna- Il 7, secondo me, può rimanere un po’ indietro, ma non su 100 giri perdereproprio.Ada- Anch’ io come Giovanni dico che il 7 può rimanere indietro.Roberto- Dipende da come escono i dadi…Michael- Va beh, ma è difficile che il 2 diventi primo, perché dovrebbe uscire sempre1, 1, 1 … però dipende dalla sorte.Giulia e Mattia- Dipende dalle probabilità.Simone- dalla fortuna.Michela- Da come agiti il bicchiere.Evandro- Come escono i dadi.Elisa- E’ un caso che esca un numero o l’altro.Ins.- Avete usato tre parole che vi rilancio perché vorrei sapere se per voi hanno lostesso significato o significati diversi: fortuna, sorte, caso.Il tempo è finito, perciò raccolgo rapidamente le risposte senza motivazioni:solo per Nada e Alessandro le tre parole hanno significati diversi, per tutti gli altrivogliono dire la stessa cosa.