OBIETTIVO: capire i concetti di base che serviranno alla ... · ( mmn ) ( nmm ) ( mmm ) Con quale...

11Statistica per la biologia 1 a.a. 2002-2003 Lauree specialistiche in biologia, Univ. Torino

Cenni di calcolo delle probabilità

ARGOMENTI TRATTATI:

OBIETTIVO: capire i concetti di base che serviranno allastatistica inferenziale

• Assiomi del calcolo delle probabilità• Probabilità di eventi e variabili aleatorie• Distribuzioni binomiale, multinomiale, ipergeometrica, di Poisson,• Media, varianza, momenti di una variabile casuale

• Distribuzioni uniforme, esponenziale, normale• Legge dei grandi numeri e suo utilizzo• Teorema del limite centrale e suo utilizzo

Lezione 2

Lezione 3

Allora non impariamo aformulare modelliprobabilistici!


Calcolo delle probabilità

Fenomeno deterministico Fenomeno casuale

Determino la legge che lo regola

Studio le regolarità delfenomeno

PREVISIONIDETERMINISTICHE

PREVISIONISTOCASTICHE


Probabilità: un metro di misura per fenomeni casuali

Nomenclatura: eventi, spazio degli eventi, eventi incompatibili

Esempio:Mi aspetto che la capra abbia il vello a

macchie o che l’abbia nero?

Come posso “misurare” la facilità con cui siproduce un evento o l’altro?

Misuro la probabilità di ciascun evento


Probabilità: gli assiomi• La probabilità dell’evento certo vale1• La probabilità di un qualunque evento è sempre compresa tra 0 e 1• La probabilità dell’unione di due eventi tra loro incompatibili èuguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi

D’accordo, la probabilità godedi queste belle proprietà, ma come lacalcolo per sapere il colore del vellodella mia capra?


Probabilità: definizioni operative

Definizione classica: rapporto tra il numero di casi favorevoli enumero di casi possibili

Rispetta gli assiomi e... per lecapre funziona

(se ho studiato genetica!)

La definizione classicadiviene inutilizzabile

Esempio: pensiamoancora alle capre ma…e se non conoscessimo leleggi dell’ereditarietà?

Avremo bisogno di far fare moltifigli alle nostre capre!

Definizione frequentista: rapporto tra il numero di volte in cui si èverificato l’evento e il numero di prove fatte


Esempio: ancora le capre

-Semplifichiamo: La probabilità che un figlio sia nero è 1/2 eche sia a macchie è 1-1/2=1/2)

Supponiamo che le nostre capre abbiano 3 figli, gli eventi elementari sono:

( nnn )( nnm)( nmn )( mnn )( mnm )( mmn )( nmm )( mmm )

Con quale probabilità 2 capretti saranno neri e uno sarà a macchie?

P(2 neri e 1 a chiazze)= P(nnm)+ P(nmn)+P(mnn)=3/8

P(nnn)=1/8P(nnm)=1/8

P(nmn)=1/8P(mnn)=1/8

=1/8=1/8=1/8=1/8

E se la probabilità che un figliosia nero fosse 3/4, con quale

probabilità ci saranno 2 caprettineri e uno a macchie?

Tutti gli 8 eventi sono equiprobabili!


Probabilità di combinazioni di eventi

Con quale probabilità dei 3 capretti meno di due saranno a macchie?

P(almeno 2 a chiazze)= P(nmm)+ P(mnm)+P(mmn)+ P(mmm) =1/2( nnn )( nnm)( nmn )( mnn )( mnm )( mmn )( nmm )( mmm )

Con quale probabilità il secondo capretto sarà a macchie e il III nero?

P(II a chiazze)= P(nmn)+ P(mmn)=1/4

Con quale probabilità si verifica uno tra i due eventi(almeno 2 a chiazze) o (tutti uguali)?

Se capita A o Bscriviamo A∪ B

Se capitano sia A che Bscriviamo A∩B

P=1/2+1/8=5/8

Se gli eventi non sono incompatibiliP(A∪ B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)


Combinazioni di eventi• E and F ( E∩F ) : si verificano sia l’evento E che

l’evento FEsempio: E: L’errore della lunghezza è minore di 0.1 cm

F: L’errore della temperatura supera 1°• E or F ( E∪ F ): si verifica l’evento E o l’evento F o

entrambiEsempio: E: Mario supera l’esame di CPS

F: Luigi supera l’esame di CPS• not E ( E ) : l’evento E non si verifica

E F

E∪ F EE E

F

E∩∩∩∩F

Diagrammi di Venn


Probabilità condizionata

Se sappiamo che il primo capretto è a macchie, con quale probabilità tra i3 capretti almeno 2 sono a macchie?


Spazio campione in assenza di informazioni sul I capretto

( mnn )( mnm )( mmn )( mmm )

Spazio campione avendo informazioni sul I capretto

P(almeno 2 a macchie|I a macchie)=3/4

3/8P(almeno 2 |I a macchie) = P (almeno 2 a macchie e il I è a macchie) =

P(il I è a macchie) 1/2= 3/4

P(A|B) = P(A∩B)

P(B)

P(A∩B)= P(A|B)P(B)


Indipendenza

Sia A l’evento il primo capretto è a macchie e sia B l’evento il secondo caprettoè a macchie, valutare la probabilità P(A|B)


P(A|B) = 422

21=

( nmn )( mmn )( nmm )( mmm )

P(A) = 21

A e B sono indipendenti

Sono uguali!!P(A|B)=P(A)

Trovate degli esempi di eventi indipendenti


Variabili casuali

Non possopassare il tempo a

guardare se èuscito testa

o croce!

Lavorare con gli eventi è “faticoso”:conviene contare gli eventi che ci interessano

Associamo dei numeri agli eventi: sepossiamo

associare a questi numeri le probabilitàdegli

eventi originari diciamo che questi valorisono variabili casuali


Variabili aleatorie

Eventi: difficili da utilizzare

Preferiamo lavorare con i numeri

S

A

ℜ

I0 1

P

Variabilealeatoria


1/8

X: numero di capretti a macchie

Posso introdurre media evarianza di una variabile casuale

Generalizzando

Variabili casuali discrete

Una variabile casuale X discreta assume diversi valori conprobabilità specificate dalla sua funzione di distribuzione


X

X P(X)

0 1/81 3/82 3/83

X P(X)x1 P(x1)x2 P(x2)x3 P(x3)… ….

xn P(xn)


Variabili aleatorie discrete 1

• Assumono un numero finito o un’infinità nuberabile divalori, Xi =xi i=1,2,...;

• Sono completamente descritte quando sia nota laprobabilità con cui si può verificare ciascun valore:

P(Xi =xi) =pi con µ pi=1

• Media e Varianza sono indici riassuntivi delle proprietà ditali variabili

EX= µ xi pi Var (X)= µ (xi -EX )2pi

i=1

`Distribuzione di X

i=1

`

i=1

`


Media e varianza di una variabile casuale discreta

La media campionaria e la varianza campionaria caratterizzano solo il campione

µ = E(X) = ∑ i=1 x iP(x i)m

σ2 = Var(X) = ∑ i=1( x i - µ) 2P(x i)

Caratterizzano l’interapopolazionem

XX

n

ii

n

= =∑

1

V(X) = Σ (X - X i) 2i=1

n

n-1

Caratterizzano il campione

n taglia del campione

m numero di possibili esiti dell’esperimento


Media e Varianza

EX= µ xi pi Var (X)= µ (xi -EX )2pi

Proprietà del modello

s2 (X) = µ (Xi -X )2

n-1X = µ Xi

n

Proprietà del campione

Cal

colo

del

le p

roba

bilit

àSt

atis

tica


Campione/Modello


Variabili aleatorie discrete

• Bernoulli: X=

Esempi 1. Testa o croce, p=1/2. 2. Capretto con il vello nero/a macchie, p=3/4. 3. Verificarsi o meno di una mutazione genetica p=? 4. Ibrido/non ibrido p=?

0

1 P(X=1)=p; P(X=0)=1-p

0 1

P

x

EX=pVar(X)=p(1-p)


Variabili aleatorie Binomiali B(n,p)

• Binomiale: X=

Esempi a. Numero di ibridi su n osservazioni; b. Numero di studenti su n che superano l’esame con un voto maggiore di 28.

Numero di successi in n prove INDIPENDENTI

01..n

P(X=i)= ni

pi(1-p)n-i

=n!i!(n-i)!

n(n-1) · · · 3·2 · 1

i(i-1) · · ·2 ·1 · !(n-i) · · ·1=


(a+b)n = Σ ai bn-i

Abbiamo bisognodi nuovi mezzi di

calcolo!

Un foglio piùgrande potrebbe

bastare!

10015

Coefficiente binomiale

nii=0

nTeorema binomiale

Triangolo di Pascal

72

53


Variabili Binomiali: media e varianza

Una variabile Y ∼ B(n,p) è la somma di n variabili Xi ,i=1,…,n di Bernoulli INDIPENDENTI

EY=E X1 + E X2 + …+ E Xn = p+…+p = np

La varianza della somma di variabili indipendenti è ugualealla somma delle varianze

Var (Y)=Var ( X1 )+ Var ( X2 )+ …+ Var ( Xn )= np(1-p)


Binomiale: esempioUna certa malattia ha un’evoluzione per cui non si conoscono terapie, tuttavia tra lepersone colpite il 40% guarisce spontaneamente nell’arco di due mesi. Non conoscendoparticolarità della malattia, la possibilità di guarigione nell’arco di due mesi viene vistacome puramente casuale.• Con quale probabilità tra 6 persone colpite dalla malattia 2 guariranno spontaneamentenell’arco di due mesi? Qual è il numero medio di guarigioni spontanee? Quanto vale lavarianza?• Con quale probabilità nessuno guarirà spontaneamente?

Soluzione

Conta il numero di persone che guariscono spontaneamente

Conta il numero di persone che NON guariscono spontaneamente

Sono uguali!

I.

II.

Potrei valutare questaprobabilità utilizzandola variabile casuale M?

E(N) = 2.4Var(N)=2.16


EsempioSupponiamo che effettuando una misura vi siano 10 cause di errori casuali indipendenti.Per semplicità, ciascuna di queste cause produca un errore di 0.1 mm. Se con probabilità1/2 un errore casuale aumenta il valore da noi misurato e con probabilità 1/2 lodiminuisce, qual è la distribuzione del valore misurato.

Y= V + n ·0.1 - (10 - n ) ) ) ) ·0.1

Soluzione Y= valore misurato V= misura esatta, senza errori

Variabile casuale Quantità deterministica

N= numero di errori di misura che producono un aumento rispetto al valore esatto

Variabile casuale: Bi(10,1/2)


Distribuzione Binomiale

Bi (5, 0.5)

Bi (5, 0.7)

Bi (5, 0.3)

Bi (6, 0.5)


Vediamo se questa macchina inquina.

Una vettura viene controllataogni anno. Sia 0.1 la probabilitàche abbia una cattiva carburazione esia 0.9 la probabilità che, in presenza cattiva carburazione i tecnici se ne accorgano imponendo la riparazione.Con quale probabilità la vettura non supera il controllo 3 volte in 8 anni?

Esercizi 1

Se c’è petroliola mia compagniaguadagna 1 milionedi dollari se non c’èperde 100000 dollari

La probabilità di trovare il petrolio èuguale a 0.1 ogni volta che si effettua una nuovatrivellazione

Quanto è in media il guadagno della compagniadopo 10 trivellazioni? Si valuti anche la varianza di tale cifra.


Esercizi 2

• Si lanciano 3 dadi. Con quale probabilità non si ottienenessun 1? In media quante volte comparirà 2?

• Calcolare 6! Calcolare 25!/23!• Calcolare i coefficienti binomiali i=0,1,2,3• Quattro bambini vengono vaccinati contro il morbillo. Il

vaccino attecchisce con probabilità 0.8, garantendol’immunità del bambino alla malattia. Con quale probabilitàtutti i bambini risultano immunizzati? Se 100 bambinivengono vaccinati, qual è il numero medio di bambiniimmunizzati? Quanto vale la varianza di tale numero?

3i


Esercizi 3

• Nell’esercizio relativo ai bambini vaccinati contro il morbillo, sisupponga che se il vaccino non attecchisce il bambino si ammali conprobabilità 0.8. Con quale probabilità su 100 bambini vaccinati siriscontrano 4 casi di morbillo?

• Una popolazione si compone per il 40% di fumatori. Si sa che il 60%dei fumatori e il 7% dei non fumatori sono affetti da una malattiarespiratoria.a. Con quale probabilità un individuo scelto a caso è affetto da questamalattia?B. Con quale probabilità su 15 individui più della metà è affetto dallamalattia respiratoria?


Se oggi mangio una caramella rossa, con quale probabilità domani ne estrarrò una verde? E se invece mi mettessi a dieta e rimettessi la caramella rossanel recipiente… cambierebbe la probabilità che domani scelga una caramella verde?

Attenzione: se mangi la caramella la probabilità per domani dipende dalla scelta dioggi!Non sono quantitàINDIPENDENTI!

Estrazioni con o senza reimbussolamento

Binomiale o ipergeometrica


Distribuzione Ipergeometrica/Binomiale(estrazioni senza/con reimbussolamento)

P(X=i)=ri

N-rn-i

Nn

P(X=i)= ni pi (1-p)n-i

Senza

Reimbussolamento

Con

Reimbussolamento

p ∼ r/N = 0.3

Regola pratica: se n/N ≤ 0.05 posso usare la Binomiale al posto dell’Ipergeometrica


Distribuzione multinomiale

Distribuzione Binomiale: Bi(n,p)con p = k/n

Ho k palline bianche e j palline nere. Estraggo n palline con reimbussolamento. Numero di palline

bianche estratte?

Ho k palline bianche, j palline nere, i rosse e l verdi. Estraggo n palline con reimbussolamento.

Probabilità di trovarne 3 bianche2 nere, 4 rosse e 1 verde se n=10


Distribuzione di Poisson

P(X = i ) = e -λ λi

i!i = 0,1,...


Media e Varianza di una variabile di Poisson

Potrebbe esseredistribuita secondo Poisson: media e varianza sono UGUALI!

Il parametro che caratterizza ladistribuzione di Poisson è il numero

medio di conteggi.


Binomiale/PoissonLegge degli eventi RARI

Probabilità diavere i eventi inun intervallo di ampiezza t

Binomiale

Poisson

Se la probabiltà di unevento in ogni intervallino èpiccola e ho molti intervalliniposso usare Poisson invecedella Binomiale


• La probabilità con cui si verifica un nuovo evento NON cambia seconosco QUANDO si è verificato l’evento precedente.

• In un intervallo di ampiezza finita può verificarsi un qualunquenumero di eventi. (n=0, 1,2, …)

• La probabilità che si verifichino due o più eventi in un intervallinoinfinitesimo è trascurabile (cioè o c’è un evento o non ce n’ènessuno)

Quando usare ladistribuzione di Poisson?

Numero chiamate aun centralino inun’oraè distribuita secondoPoisson?

Numero di auto in attesaal semaforo: è distribuitasecondo Poisson?

Numero di nuovi brevetti registratida un inventore in un decennio.Segue la distribuzione di Poisson?

Numero di guarigioninon imputabili allacura sono distribuitesecondo Poisson?


Esercizi: conteggio raggi cosmicie somme di variabili

• Il numero di raggi cosmici che colpisce una determinataarea in un intervallo di tempo fissato segue la distribuzionedi Poisson. Giustificare questa affermzione.

• Due studenti contano il numero di raggi che colpiscono uncontatore Geiger in un minuto ed un terzo conta quelli chelo colpiscono in 10 minuti. Ottengono, rispettivamente, 9,12 e 120. Questi risultati sono contraddittori ?

• Si considerino due variabili X e Y indipendenti distribuitesecondo Bernoulli di parametro p. Com’è distribuita lasomma X+Y ? Calcolare i valori attesi di X+Y e di X-Y

Particelle cariche protoni o particelle α


Esercizi 2

• Verificare che se in il numero di raggi cosmici che colpisce uncontatore Geiger in un minuto segua la distribuzione di Poisson diparametro λ = 9, il numero di raggi che colpisce il contatore in 5minuti segue la distribuzione di Poisson di parametro λ = 45.(suggerimento: verificare che la somma di due variabili di Poissonindipendenti è ancora una variabile di Poisson con parametro sommadei parametri)

• Uno studente osserva il numero di decadimenti un campioneradioattivo in 100 intervalli disgiunti di un minuto ottenendo i seguentirisultati:

n. decadimenti ν 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9n. volte osservate 5 19 23 21 14 12 3 2 1 0

– Tracciare un istogramma di questi risultati (utilizzare prima le frequenzeassolute e poi le relative)

– Tracciare sullo stesso grafico la distribuzione attesa se si pensa che ilcampione segua una legge di Poisson di parametro λ=3 al minuto. Qualedegli istogrammi è prossimo alla distribuzione attesa?


Esercizi 3

• Nel corso di 28 giorni un allevatore osserva che le suegalline depongono in media 2.5 uova tra le 10 e le 10:30.– Con quale probabilità in 10 giorni vengono deposte almeno 2 uova

nell’orario considerato?– Assumendo che il numero di uova deposto giornalmente in tale

orario segua la distribuzione di Poisson, determinare ladistribuzione del numero di giorni in cui non vengono deposteuova nell’orario considerato.

• La distribuzione di Poisson, come ogni distribuzione, deveverificare la condizione di normalizzazione Σ P(X=i)=1.Verificare che tale affermazione è verificata.

i=0

∞


Esercizi 4

• Stabilire quale delle seguenti situazioni può veniredescritta con un modello binomiale e quale con un modelloipergeometrico:– su un autobus sono presenti 25 persone, di cui 18 occupano un

posto a sedere. 5 persone scenderanno alla prossima fermata. Qualè la probabilità che si liberino esattamente due posti a sedere?

– Il controllore sale sull’autobus, sia p=0.05 la probabilità che unpasseggero non abbia il biglietto. Con quale probabilità ilcontrollore trova due persone prive di biglietto?

– Ogni giorno arrivo alla fermata dell’autobus alle ore 8:00. Siap=0.2 la probabilità che l’autobus arrivi entro 5 minuti. Qual è laprobabilità che in un mese (30 giorni) l’autobus non arrivi maientro 5 minuti?


Spazio degli eventi Ω

Insieme di tutti i possibili esiti dell’esperimento

Può convenirmi riconoscere eventi elementari ed eventi compostila capra è a macchie: evento elementare

la capra è a macchie o è nera: evento composto Se voglio studiare lospazio campione miconviene capire qualisiano gli eventi elementariche lo compongono


Eventi Ogni esito possibile di un esperimentocostituisce un evento

Esempio: guardo il colore del vello di una capra.Eventi possibili: nero, a macchie,

nero o a macchie non nero, a macchie o nero non a macchie,….

Vorrei la probabilità di ciascunevento in base alla mia

conoscenza sui genitori dellacapra

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