Obične diferencijalne jednačine (PDF)

192

9 Numeričko re�avanje običnih diferencijalnih jednačina

9.1 UVOD

Matematički modeli velikog broja procesa u hemijskom in�enjerstvu imaju formu diferencijalnih jednačina. Obična diferencijalna jednačina (ODJ) je jednačina u kojoj, u op�tem slučaju, figuri�u: nezavisno promenljiva x, funkcija y(x) i njeni izvodi, počev od prvog pa do nekog n- tog. Dakle, ODJ defini�e vezu između funkcije i njenih izvoda i mo�emo da je uop�teno prika�emo kao:

bxayyyyxF n ≤≤=′′′ ,0),...,,,,( )( , (9.1)

ili u eksplicitnom obliku (re�eno po najvi�em izvodu):

bxayyyyxfdx

ydy nn

nn ≤≤′′′== − ),,...,,,,( )1()( (9.1a)

gde interval definisanosti funkcija, [a, b] mo�e biti beskonačan. Diferencijalna jednačina (9.1) u kojoj je najvi�i izvod koji figuri�e, izvod n-tog reda zove se ODJ n-tog reda. Svaka funkcija y(x), koja zadovoljava diferencijalnu jednačinu (9.1), predstavlja njeno re�enje. Re�enje mo�e biti,

• op�te, kada sadr�i n proizvoljnih konstanti, ci, i = 1,2,...,n, koje se zovu integracione konstante,

• partikularno, koje se dobija iz op�teg, određivanjem brojnih vrednosti n integracionih konstanti iz isto toliko dodatnih uslova, koje moraju da zadovolje funkcija i njeni izvodi 1., 2.,..., (n - 1)-vog reda na granicama a i b oblasti definisanosti. Ti dodatni uslovi se zovu granični uslovi.

Primer 1: Promena koncentracije reaktanta A, koji se tro�i u nekoj hemijskoj reakciji, sa vremenom t , pri konstantnoj temperaturi i gustini reakcione sme�e i uz idealno me�anje sme�e, opisana je diferencijalnom jednačinom 1. reda:

193

),0[,)( 3 ∞∈

= t

smmolCr

dtdC

AA

gde je r(CA) kinetički izraz, tj. izraz za brzinu hemijske reakcije u funkciji koncentracije reaktanta i temperature. Ako jednačini dodamo i podatak o početnoj koncentraciji reaktanta (u momentu otpočinjanja reakcije, t = 0), kao granični uslov:

0)0( AA CC =

dobijamo matematički model izotermskog �ar�nog hemijskog reaktora. Tra�ena funkcija CA(t) je partikularno re�enje date ODJ, koje se dobija određivanjem jedne integracione konstante (u pitanju je ODJ 1. reda) u op�tem re�enju, iz zadatog graničnog uslova u početnom momentu, 0

AC . Primer 2: Promena koncentracije reaktanta A, koji se tro�i u istoj hemijskoj reakciji, du�

stacionarnog cevnog hemijskog reaktora, pri konstantnoj temperaturi i gustini reakcione sme�e, opisana je diferencijalnom jednačinom 2. reda:

Lzsm

molCrdz

dCwdz

CdD AAA

A ≤≤

=−− 0,0)( 32

2

gde su,

z - rastojanje od ulaza u reaktorsku cev L - du�ina cevi DA - koeficijent difuzije reaktanta w - srednja brzina proticanja reakcione sme�e kroz reaktor

kojoj treba dodati i dva uslova: jedan za ulaz u reaktor (z = 0), a drugi za izlaz iz reaktora (z = L). Data ODJ i granični uslovi čine matematički model izotermskog cevnog reaktora. Tra�ena funkcija CA(z), predstavlja partikularno re�enje, koje pored date ODJ zadovoljava i dva granična uslova.

Primer 3: Promena polo�aja y (ugao tj. otklon u odnosu na vertikalu) matematičkog klatna u toku vremena t, predstavlja partikularno re�enje homogene dif. jednačine 2 reda sa konstantnim koeficijentima (bilans količine kretanja klatna):

0),/(0)()( 2 ≥=+′+′′ tsradbtyaty

sa dodatnim uslovima:

y(0) = y0 (zadat početni polo�aj � otklon klatna)

y′(0) = 0 (zadata ugaona brzina kretanja klatna u početnom momentu )

Numeričko re�enje ODJ

Mali broj diferencijalnih jednačina, koje su od praktičnog interesa, se mo�e re�iti

analitički, tj. dobiti njeno re�enje u vidu analitički definisane funkcije y(x). Tako se partikularno re�enje diferencijalne jednačine (9.1) dobija pribli�no ili numerički u obliku tabele pribli�nih vrednosti tra�ene funkcije: (xi, yi), i = 0,1,...,N u nizu tačaka xi, i = 0,1,...,N. Pri tom se razlikuju dva tipa problema:

194

• početni problem (initial value problem), kada su svi neophodni granični uslovi (ukupno n) dati na levoj granici a, oblasti definisanosti funkcije. U ovom slučaju, za granične uslove se koristi termin početni uslovi.

• granični problem (boundary value problem), kada su neki uslovi dati na levoj, granici a, a neki na desnoj granici b oblasti definisanosti funkcije y(x). Ka�emo da su granični uslovi razdvojeni (split boundary conditions)

Tako, Primeri 1 i 3 predstavljaju početne probleme, a Primer 2 granični problem.

Sistem običnih diferencijalnih jednačina

Sistem ODJ, m-tog reda se sastoji od n običnih diferencijalnih jednačina, u kojima figuri�e isto toliko funkcija yi(x), i = 1,2,...,n, i njhovi izvodi, pri čemu je najvi�i red izvoda koji je uključen jednak m. Tako, u najop�tejem slučaju, sistem ODJ izgleda:

],[,,...,2,1,0))(),...,(...,),(),...,(),(),...,(,( )()(

111 baxnixyxyxyxyxyxyxF mn

mnni ∈==′′

ili u vektorskom obliku:

nibaxdxd

dxd

dxdxF m

m

i ,...,2,1],,[,0.,..,,,, 2

2

=∈=

yyyy (9.2)

Specijalno, sistem ODJ prvog reda je:

nibxadxdxFi ,..,2,1,,0,, =≤≤=

yy (9.3)

ili u eksplicitnom obliku:

).,.,.,,(

).,.,.,,(

21

2111

nnn

n

yyyxfdxdy

yyyxfdxdy

=

=

M (9.4)

Partikularno re�enje sistema ODJ je skup funkcija y1(x), y2(x),...,yn(x), koje zadovoljavaju sistem jednačina (9.2) i jo� ukupno n × m graničnih uslova. Kao i u slučaju jedne ODJ, razlikujemo početni i granični problem u zavisnosti da li su svi granični uslovi dati u levoj, ili su neki dati u levoj, a neki u desnoj granici oblasti definisanosti funkcija, [a, b]. Primer 4: Dobijanje temperaturnog profila T(x) fluida koji protiče kroz cev i temperaturnog

profila )(xT ′ , fluida koji protiče kroz omotač stacionarnog istostrujnog izmenjivača toplote tipa cev u cevi, du�ine L, predstavlja početni problem za sledeći sistem od dve diferencijalne jednačine 1. reda (energetski bilansi za jedan i drugi fluid):

195

( ) ( )

( )( ) ( )smJTT

RRRK

dzTdwc

smJTTR

KdzdTwc

Tp

Tp

32

3

12

2

′−−′

=′

′′ρ′

−′=ρ

sa zadatim ulaznim temperaturama oba fluida, kao početnim uslovima:

x = 0: T(0) = T0 , T′(0) = T′0 (oba granična uslova u x = 0)

gde su, R, R′ - unutra�nji poluprečnici unutra�nje i spoljnje cevi izmenjivača ρ, ρ′ - gustine fluida cp, c′p - specifične toplote fluida w, w′ - srednje brzine fluida KT - koeficijent prolaza toplote

Primer 5: Dobijanje temperaturnog profila oba fluida u stacionarnom suprotnostrujnom izmenjivaču toplote tipa cev u cevi, du�ine L, predstavlja granični problem:

( )

( )( )TT

RRRK

dzTdwc

TTR

KdzdTwc

Tp

Tp

−′−′

=′

′′ρ′

−′=ρ

12

2

2

sa zadatim ulaznim temperaturama oba fluida, kao graničnim uslovima:

T(0) = T0 , T′(L) = T′0 (granični uslovi su "razdvojeni")

9.2 PREVOĐENJE ODJ, REDA n U SISTEM ODJ 1. REDA

ODJ n- tog reda:

F(x, y, y′, y′′,..., y (n)) = 0, (a ≤ x ≤ b) (9.1)

sledećim smenama:

)1(

3

2

1

,,

,

−=

′′=

′==

nn yy

yyyyyy

M

(9.5)

prevodimo u sledeći ekvivalentan sistem od n ODJ 1. reda:

196

( )

( )

( )

( )),,,,(),,,,(

),,,,(

),,,,(

),,,,(

2121

2111

21232

21121

nnnn

nnnn

n

n

yyyxfyyyxfdxdy

yyyxfydx

dy

yyyxfydxdy

yyyxfydxdy

KK

K

M

K

K

==

==

==

==

−−

(9.6)

u kome se poslednja jednačina dobija, imajući u vidu da je:

( ) )()1( nnn yydxd

dxdy

== −

re�avanjem polazne diferencijalne jednačinu po najvi�em izvodu i uvođenjem datih smena:

),...,,,(),...,,,(0),...,,,( 21

smene)1()()(

nnnnn yyyxfyyyxf

dxdyyyyyxF →′==⇒=′ −

Primer 6: Diferencijalna jednačina 2. reda:

042 22 =+′−′′ yyyy

se smenama:

yyyy ′== 21 ,

prevodi u sistem:

1

21

22

222

21

24

24

yyy

yyyy

dxdy

ydxdy

−=

−′=′′=

=

U slučaju početnog problema,

10

)1(

0

0

)(

)()(

−− =

′=′=

nn yay

yayyay

M

početni uslovi za uvedene funkcije glase:

10

02

01

)(

)()(

−=

′==

nn yay

yayyay

M (9.6a)

197

9.3 NUMERIČKO RE�AVANJE ODJ 1. REDA OJLEROVA METODA

Tra�imo funkciju y(x), definisanu u oblasti [a, b], kao re�enje početnog problema: 0)(,),( yayyxfy ==′ (9.7) odnosno, koja zadovoljava datu ODJ 1. reda i dati početni uslov. Numeričko re�enje dobijamo u vidu pribli�nih vrednosti tra�ene funkcije, yi, i = 1,2,..., N u nizu ekvidistantnih tačaka:

bxax

NiN

abhihxx

N

i

==

=−

=+=

,

,...,2,1,)(,

0

0 (9.8)

odnosno u vidu tabele: (xi, yi), i = 0,1,...,N. Ka�e se da smo izvr�ili diskretizaciju domena [a, b] nezavisno promenljive. Na Sl. 9.1 prikazani su: tačno re�enje, tj. neka (nepoznata) funkcija ϕ(x) i numeričko re�enje, tj. niz tačaka (xi, yi), i = 0,1,...,N.

Pretpostavimo sada, za momenat, da je poznata vrednost funkcije u tački xi, )( ii xyy = . Kako odrediti vrednost funkcije yi+1 u sledećoj tački? Ojlerova (Euler) metoda se zasniva na aproksimaciji prvoga izvoda količnikom prira�taja:

( ) ( )iiiii

ii

ii yxfxyh

yyxxyy ,1

1

1 =′≈−

=−− +

+

+

iz koje sledi (rekurentna) formula za dobijanje pribli�nog re�enja: ( ) 1,...1,0,,1 −=+=+ Niyxhfyy iiii (9.9) korak diskretizacije h (9.8) naziva se korak integracije ili integracioni korak.

Slika 9.1 - Tačno i numeričko re�enje ODJ 1. reda

ϕ(x)

tačna vrednost ( ) ( )iti xy ϕ=

xi x0

yi

y0

y

198

Zadatak 9.1 Potrebno je re�iti numerički diferencijalnu jednačinu:

1)0(

10,25

=

≤≤−=

y

xydxdy

a) Dobiti numeričko re�enje, deleći interval definisanosti funkcije (interval integracije) na N=10 podintervala (koraka) i uporediti ga sa tačnim re�enjem:

xexy 25)( −=

b) Ponoviti proračun sa N = 15 integracionih koraka i uporediti ga sa tačnim re�enjem.

c) Ponoviti proračun i poređenje za N = 50

d) Povećavati broj integracionih koraka, dok maksimalno odstupanje pribli�nog od tačnog re�enja na intervalu integracije ne postane manje od 0.01

Rešenje (Mathcad):

i 0 N..:=ε y yt−:=

yt

0

01

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10.082

6.738·10 -3

5.531·10 -4

4.54·10 -5

3.727·10 -6

3.059·10 -7

2.511·10 -8

2.061·10 -9

1.692·10 -10

1.389·10 -11

=y

0

01

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1-1.5

2.25

-3.375

5.063

-7.594

11.391

-17.086

25.629

-38.443

57.665

=ytiφ xi( ):=yt0

1:=

Tacne vrednosti:

yi yi 1− h f xi 1− yi 1−,( )⋅+:=

xi x0 i h⋅+:=

i 1 N..:=

Integracija:

y0 1:=x0 a:=h 0.1=hb a−

N:=Korak integracije:N 10:=

a)

b 1:=a 0:=f x y,( ) 25− y:=Podaci:

φ x( ) e 25− x:=Tacno resenje:

199

Priblizno resenje osciluje oko tacnog, ali se greska po apsolutnoj vrednosti smanjuje.

0 5 10 151

0

1

yi

yti

i

i 0 N..:=

ε y yt−:=Greske:

yt

0

01

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

10.189

0.036

6.738·10 -3

1.273·10 -3

2.404·10 -4

4.54·10 -5

8.575·10 -6

1.62·10 -6

3.059·10 -7

5.778·10 -8

1.091·10 -8

2.061·10 -9

3.893·10 -10

7.353·10 -11

1.389·10 -11

=y

0

01

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1-0.667

0.444

-0.296

0.198

-0.132

0.088

-0.059

0.039

-0.026

0.017

-0.012

7.707·10 -3

-5.138·10 -3

3.425·10 -3

-2.284·10 -3

=ytiφ xi( ):=Tacne vrednosti:

yi yi 1− h f xi 1− yi 1−,( )⋅+:=

xi x0 i h⋅+:=

i 1 N..:=Integracija:

h 0.067=hb a−

N:=

N 15:=b)

Racunski proces je nestabilan! Numericko resenje osciluje oko tacnog,pri cemu odstupanje raste.

0 5 1050

0

50

100

εi

i0 5 10

0

100

yi

yti

i

200

Racunski proces je stabilan, aline dovoljno tacan

Greska ima stalni znak i po apsolutnoj vrednostimonotono opada.

5 10 15 200.15

0.1

0.05

0

εi

i

Priblizno resenje ne osciluje

0 5 10 15 200

0.5

1

yi

yti

i

i 0 N..:=

max ε→( ) 0.118=ε y yt−:=yti

φ xi( ):=

Greske:

yi yi 1− h f xi 1− yi 1−,( )⋅+:=xi x0 i h⋅+:=i 1 N..:=

Integracija :

h 0.02=hb a−

N:=Korak integracije:N 50:=

c)

max ε→( ) 0.856=Greska metode je velika

Racunski proces je stabilan

5 101

0

1

εi

i

d)

N 100:= Korak integracije: hb a−

N:= h 0.01=

201

Integracija:

i 1 N..:= xi x0 i h⋅+:= yi yi 1− h f xi 1− yi 1−,( )⋅+:=

Greske:

ytiφ xi( ):= ε y yt−:= max ε

→( ) 0.051=

Povecavati broj integracionih koraka dok se ne dobiju prihvatljivirezultati: ε 0.01<

Lokalna gre�ka i red numeričke metode

Lokalna gre�ka neke numeričke metode, 1+iE je gre�ka na (i + 1)-vom integracionom koraku (i = 0,1,...,N-1), tj. odstupanje tačnog prira�taja tra�ene funkcije kada se x promeni sa xi na xi+1, od prira�taja )( 1 ii yy −+ izračunatog posmatranom metodom. Njena apsolutna vrednost opada sa smanjivanjem integracionog koraka i u op�tem slučaju je proporcionalana nekom celobrojnom pozitivnom stepenu koraka, hn. Tako je ona, kada h te�i nuli, beskonačno mala veličina reda hn i pi�emo:

( )ni hOE =+1

Po dogovoru, ka�emo da je metoda p - tog reda tačnosti, ako je njena lokalna gre�ka reda hp+1:

( )1

1+

+ = pi hOE (9.10)

Globalna gre�ka i stabilnost numeričke metode

Pod globalnom gre�kom numeričke metode integracije dif. jednačine, podrazumeva se

odstupanje tačnog od numeričkog re�enja. Tako je globalna gre�ka, εi+1 u nekoj tački xi+1 u intervalu integracije, jednaka:

( ) 11111 )( +++++ −=−=ε itiiii yyyxy (9.11) Na Sl. 9.1, globalne gre�ke u pojedinim tačkama su odstupanja krive (tačno re�enje dif. jednačine) od tačaka (pribli�no re�enje).

Jasno je da ako lokalna gre�ka metode raste iz koraka u korak, to će prouzrokovati povećanje globalne gre�ke sa povećanjem x odnosno i, tj. propagaciju gre�ke u toku računskog procesa. U skladu sa definicijom stabilnosti računskog procesa, takva numerička

202

metoda je nestabilna. U problemu 9.1 uočava se nestabilnost Ojlerove metode pri pribli�nom re�avanju zadate ODJ, sa korakom integracije 0.1 (a).

Povećanje globalne gre�ke tokom računskog procesa mo�e biti prouzrokovano i akumulacijom gre�aka zaokru�ivanja. Tako, sa smanjenjem integracionog koraka, radi povećanja tačnosti metode mo�e doći do propagacije gre�aka zaokru�ivanja (veliki broj računskih operacija) i povećanja nestabilnosti procesa. Propagacija gre�aka zaokru�ivanja se mo�e minimizovati ako se proračun izvodi sa velikim brojem značajnih cifara, �to je slučaj pri kori�ćenju Mathcad-a, ili pri proračunu u dvostrukoj preciznosti u nekom programskom jeziku (Pogl. 1.5).

9.4 TAČNOST I STABILNOST OJLEROVE METODE

Da bi izveli izraz za lokalnu gre�ku Ojlerove metode, pretpostavimo da je vrednost yi

tačna. Tačnu vrednost za yi+1 bi dobili integracijom diferencijalne jednačine (9.7) u granicama xi do xi+1:

( )( ) ( )( )∫∫∫+++

+=⇒= +

111

,, 1

i

i

i

i

i

i

x

xii

x

x

y

y

dxxyxfyydxxyxfdy

Ojlerov metod se bazira na aproksimaciji podintegralne funkcije Tajlorovim polinomom nultog reda - konstantom. Naime, funkcija f(x, y), tj. prvi izvod tra�ene funkcije y(x) se uzima konstantnim i jednakim f(xi, yi) u celom intervalu ],[ 1+ii xx , odakle sledi formula (9.9). Tačna vrednost yi+1 bi bila:

( ) ( ) ( ) ( )1

ijeaproksimac greska

1

1

!1, ++ <ξ<

ξ′

−++= ∫+

ii

x

xiiiiti xxdxfxxyxfyy

i

i 4434421

odnosno,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ξ′′+=ξ′+=ξ′

−++= +++ ∫+

yhyfhydxfxxyxhfyy ii

x

xiiiiti

i

i22!1

,2

1

2

1

metodOjlerov

1

1

4434421

pa je lokalna gre�ka metode jednaka:

( ) ( ) 1

2

111 ,2 ++++ <ξ<ξ′′=−= iiitii xxyhyyE (9.12)

U skladu sa dogovorom, ka�emo da je Ojlerova metoda prvog reda tačnosti. Na Sl. 9.2 data je grafička ilustracija lokalne gre�ke Ojlerove metode. Metode prvog reda tačnosti su najmanje tačne metode i radi postizanja zahtevane tačnosti numeričkog re�enja ODJ, u nekim problemima neophodno je odabrati vrlo male integracione korake (Zadatak 9.1).

203

nagib = f(xi,yi )

f(xi,yi)

1+iE

ii yy −+1

xi xi+1 xi+1

f(x,y(x))

yi+1

( )tiy 1+

1+iE

xi

yi

y

Slika 9.2 - Lokalna gre�ka Ojlerove metode

Propagacija gre�ke u računskom procesu

Neka je globalna gre�ka procene funkcije u tački xi jednaka: ( ) itii yy −=ε . Ova gre�ka

prouzrokuje gre�ku procene funkcije u sledećoj tački xi+1 (pojava �irenja ili propagacije gre�ke), po�to vrednost funkcije koja se zamenjuje u formulu (9.9) nije tačna. Na gre�ku koja potiče od gre�ke vrednosti yi treba dodati lokalnu gre�ku metode i gre�ku zaokru�ivanja. Ako gre�ku zaokru�ivanja zanemarimo, globalnu gre�ku vrednosti funkcije u tački xi+1 dobijamo kao:

1,...,1,0,1),(1 −=+ε+ε=ε ++ NiEiyxhfii ii

Drugu od gre�aka procenjujemo kao:

[ ] iiiixyxhf yxyfhyxhf

y iiiε

∂∂

=ε∂∂

=ε ),(),(),(

pa je:

1,...,1,0,)],(1[ 11 −=+ε∂∂

+=ε ++ NiEyxyfh iiiii (9.13)

Ako kao primer uzmemo jednostavnu diferencijalnu jednačinu:

0)(, yayyy =λ=′ (9.14)

gde je λ neka konstanta, imaćemo:

.,),(,),()12.9(

1 constEEyxyfyyxf iii ==λ=

∂∂

λ= + (9.14a)

i (9.13) dobija jednostavan oblik:

204

1,...,1,0,]1[1 −=+εβ=+ελ+=ε + NiEEh iii (9.13a)

Uzastopnom primenom formule (9.13a) mo�emo, polazeći od ε0 = 0, da izračunamo gre�ku εn funkcije u nekoj tački xn, koja je rezultat �irenja gre�ke na intervalu ],[ 0 nxx :

NnhhEE n

n

n ,...,2,1,]1)1[(11

=−λ+λ

=β−β−

=ε (9.15)

Ako bi uveli neku srednju vrednost lokalne gre�ke E na posmatranom intervalu ],[ 0 nxx , kao i srednju vrednost ω , funkcije,

),()( yxyfx

∂∂

=ω

na istom intervalu, iz (9.13) bi dobili procenu globalne gre�ke na n-tom koraku nε , za op�ti oblik ODJ (9.7):

NnhhE n

n ,...,2,1,]1)1[( =−ω+ω

=ε (9.16)

Stabilnost računskog procesa

Iz (9.16) je jasno da će globalna gre�ka pribli�nog re�enja ODJ u toku Ojlerovog

postupka (n raste), da raste, ako je izraz )1( ω+ h , koji se stepenuje sa n, po apsolutnoj vrdnosti veći od jedinice. Tako iz (9.16) sledi dovoljan uslov stabilnosti Ojlerove metode na nekom intervalu ],[ 0 nxx :

)0(],,[,1)(1 0 >∈≤ω+ hxxxxh n (9.17)

U specijalnom slučaju λ=ω )(x (9.14), dovoljan uslov stabilnosti (9.16) je i potreban i glasi: )0(11 >≤λ+ hh , odnosno,

)0(02 >≤λ≤− hh

Dakle,

• za pozitivne vrednosti parametra λ, Ojlerova metoda je nestabilna, sa bilo koliko malim korakom integracije h,

• za negativne vrednosti λ, metoda će biti stabilna, ako i samo ako integracioni korak (h > 0) zadovoljava uslov: 02 ≤≤− λh , odnosno,

205

λ

≤2h (9.17a)

Primer 7: U Zadatku 9.1 smo Ojlerovom metodom integrisali ODJ oblika (9.14) sa λ = -25, sa početnim uslovom y0 = 1. Stabilnu (�to ne znači i dovoljno tačnu) računsku proceduru obezbeđuje izbor veličine integracionog koraka:

08.0252 =≤h

�to obja�njava nestabilnost proračuna sa N = 10, h = 0.1 (a). Nestabilan računski proces u (a) ima oscilatoran karakter. To se mo�e objasniti na sledeći način. Za datu ODJ, Ojlerova metoda (9.9), za pribli�nu vrednost funkcije u tački xi+1 daje:

( ) 1,...,1,0,1),(1 −=λ+=λ+=+=+ Niyhyhyyxhfyy iiiiiii

Očigledno je da re�enje osciluje, tj. naizmenično menja znak (a time i globalna gre�ka) u toku nestabilnog proračuna (a), jer je:

01)1( <−<λ+ h

Stabilan računski proces mo�e da ima oscilatoran ili monoton karakter. On je oscilatoran, ako je:

λ

≤<λ

⇒>λ≥⇒>λ−−≥⇒<λ+≤−21120110)1(1 hhhh

odnosno u posmatranom primeru: 0.04 < h ≤ 0.08, �to smo imali za N = 15 (b). Stabilan računski proces ima monoton karakter (vrednosti yi ne menjaju znak),za:

λ

<<⇒>λ>⇒−>λ−−>⇒<λ+<10011101)1(0 hhhh

�to smo imali u slučajevima (c) i (d).

9.5 MODIFIKOVANE OJLEROVE METODE

Poznate modifikacije Ojlerove metode, sa ciljem povećanja tačnosti su: • Ojlerova metoda srednje tačke • Ojlerova metoda srednjeg nagiba

i obe su drugog reda, tj. lokalna gre�ka im je proporcionalna 3. stepenu integracionog koraka.

Metoda srednje tačke

Geometrijski interpretirano, kod originalne Ojlerove metode se pribli�na vrednost funkcije yi+1 u tački xi+1 dobija kretanjem iz tačke (xi, yi), po tangenti krive y(x), povučene u tački xi (prva ilustracija na Sl. 9.2). Kod metode srednje tačke se pomeranje iz xi za korak h vr�i du� prave s nagibom izračunatim, kao nagib tangente na krivu y(x) u srednjoj tački

206

xi+0.5h posmatranog intervala ],[ 1+ii xx (Sl. 9.3), čime se povećava tačnost procenjenog prira�taja (yi+1 - yi). Rezultat je formula:

)(1,...,1,0),5.0,5.0(

00

1

xyyNihfyhxfhyy iiiii

=−=++⋅+=+ (9.18)

Slika 9.3 Ojlerova metoda srednje tačke

Metoda srednjeg nagiba

Kod ove metode se pomeranje iz tačke (xi, yi) vr�i du� prave, čiji je nagib izračunat kao srednji nagib tangenti na krivu y(x) u početnoj i krajnjoj tački posmatranog intervala

],[ 1+ii xx :

[ ])(

1,,1,0,),(),(2

00

1

xyy

Nihfyhxfyxfhyy iiiiiii

=

−=++++=+ K (9.19)

x

y

xi+1xi

yi+1

yi

k1

k2

k2

ks

( )( )

2

,,

21

2

1

kkk

hfyhxfkfyxfk

s

iii

iii

+=

++===

Slika 9.4 - Ojlerova metoda srednjeg nagiba

y

x

k2

yi+1

xi+1xi xi +h/2

yi

k1

k2

k1,k2- nagibi pravih

( )( )iii

iii

hfyhxfkfyxfk

5.0,5.0,

2

1

++===

207

9.6 RUNGE KUTA METODA 4. REDA

Zbog svoje tačnosti i relativne jednostavnosti, ovo je najverovatnije naj�ire kori�ćena metoda za numeričku integraciju ODJ 1. reda. Formule su:

( )

),()2,2()2,2(

),(

1,...,1,0,2261

34

23

12

1

43211

KyhxhfKKyhxhfKKyhxhfK

yxhfK

NiKKKKyy

ii

ii

ii

ii

ii

++=++=++=

=

−=++++=+

(9.20)

Geometrijska interpretacija je sledeća. Tačka (xi+1, yi+1) se dobija pomeranjem iz tačke (xi, yi) po pravoj, čiji je nagib izračunat kao srednja vrednost 4 nagiba, pri čemu su 2. i 3. nagib uzeti sa dvostrukom te�inom u odnosu na 1. nagib (nagib tangente u početnoj tački) i 4. nagib (nagib tangente u krajnjoj tački). Naime, u formulama (9.20), prepoznajemo:

1. f (xi, yi) nagib u početnoj tački

2. f (xi+h/2, yi+K1/2) nagib u sred.tački dobijenoj iz poč.tačke nagibom 1

3. f (xi+h/2, yi+K2/2) nagib u sred.tački dobijenoj iz poč.tačke nagibom 2

4. f (xi+h, yi+K3) nagib u krajnjoj tački dobijenoj iz poč.tačke, nagibom 3

Zadatak 9.2 Diferencijalna jednačina koja opisuje promenu koncentracije reaktanta u reakciji prvog reda BA → koja se odigrava u idealno me�anom i idealno izolovanom (adijabatski re�im) �ar�nom reaktoru glasi:

)()(

)0(,

00

0)(0

AAp

RA

AAACTR

EA

CCcHTCT

CCCekdt

dCA

−ρ

∆+=

=−=−

gde su:

00 , ACT - početna temperatura i koncentracija

k0, E - predeksponencijalni faktor i energija aktivacije u Arenijusovom izrazu R - univerzalna gasna konstanta RH∆ - toplota reakcije cp, ρ - specifična toplota i gustina reakcione sme�e

Potrebno je za date podatke (Praktkum) odrediti koncentraciju reaktanta nakon 2500s od startovanja reaktora, a) Ojlerovom metodom s različitim integracionim koracima b) Runge - Kuta (Runge- Kutta) metodom 4. reda sa različitiom integracionim koracima i uporediti rezultate

208

Rešenje: (Praktikum, XIII-3)

9.7 KLASIFIKACIJA NUMERIČKIH METODA ZA INTEGRACIJU ODJ 1. REDA

Jedna podela metoda je na:

• jednokoračne, koje za izračunavanje vrednosti funkcije yi+1 u narednoj tački koriste samo vrednost funkcije i izvoda u prethodnoj tački (yi, fi ) To su prethodno izlo�ene Ojlerove metode i metoda Runge-Kuta.

• vi�ekoračne, koje za izračunavanje yi+1 pored yi i fi koriste i vrednosti funkcije i izvoda u nizu prethodnih tačaka: yi-1, fi-1 = f(xi-1, yi-1), yi-2, fi-2 = f(xi-2, yi-2), ...

Druga podela je na:

• eksplicitne, kod kojih je formula za izračunavanje vrednosti funkcije u narednoj tački, yi+1 ekplicitno izra�ena po yi+1. Izlo�ene Ojlerove metode i metoda Runge � Kuta su eksplicitne jednokoračne metode

• implicitne, kod kojih je formula za izračunavanje yi+1 implicitna.

9.8 IMPLICITNA OJLEROVA METODA SREDNJEG NAGIBA

Implicitne jednokoračne metode se baziraju se na ideji da se pri aproksimaciji izvoda f(x,y) funkcije y(x), radi procenjivanja vrednosti funkcije u narednoj tački, yi+1 uključi tačka xi+1 u kojoj je vrednost funkcije f(xi+1, y(xi+1)) nepoznata i da se onda zahvaljujući iterativnom određivanju yi+1 iz tako dobijene implicitne formule (metod uzastopnih zamena) poveća stabilnost računskog procesa. Implicitne metode sadr�e dve formule:

• prediktor formulu, koja slu�i za određivanje prve procene za yi+1, pomoću neke eksplicitne jednokoračne metode

• korektor formulu, koja je implicitna i čijim se iterativnim kori�ćenjem (metod uzastopnih zamena) dobija yi+1 sa unapred zadatom precizno�ću.

Tako se implicitnom metodom srednjeg nagiba, koja je, kao i odgovarajuća eksplicitna metoda, drugog reda, vrednost funkcije yi+1 računa kao:

( )

)(

1,...,1,0,),(),(2

00

111

xyy

Niyxfyxfhyy iiiiii

=

−=++= +++ (9.21)

a prediktor i korektor formule su: prediktor: ),()0(

1 iiii yxhfyy +=+ (9.21a)

209

korektor: [ ] 1...,1,0;,...1,0),(),(2

)(11

)1(1 −==++= +++

+ Nikyxfyxfhyy kiiiii

ki (9.21b)

izlazni kriterijum: ε<− ++

+)(1

)1(1

ki

ki yy (9.21c)

Mo�e se izvesti sledeći dovoljan uslov stabilnosti metode:

],[x x 0),()( 0 Nxyxyfx ∈≤

∂∂

=ω (9.22)

koji je očigledno znatno manje restriktivan nego uslov stabilnosti Ojlerove eksplicitne metode (9.17).

Zadatak 9.3 Problem iz prethodnog zadatka re�iti primenom Ojlerove implicitne metode


9.9 VI�EKORAČNE EKSPLICITNE METODE

Pribli�na vrednost funkcije, koja predstavlja tačno re�enje diferencijalne jednačine:

00 )(,),( yxyyxfdxdy

==

u tački xi+1 mo�e da se odredi pribli�nom integracijom jednačine u granicama xi-k do xi+1 gde je k ≥ 0,

( )( )dxxyxfyyi

ki

x

xkii ∫

+

−

=− −+

1

,1

Pri tom ćemo podintegralnu funkciju aproksimirati pomoću NJIP2 r-tog stepena, sa čvorovima interpolacije: xi, xi-1 ,...,xi-r. Dakle, on ne prolazi kroz (nepoznatu) tačku (xi+1, yi+1), da bi rezultujuća formula bila ekplicitna. Tako se vi�ekoračne eksplicitne metode iz jednačine:

( ) ( ) ( )11

1

1 ,1,, ++−

−+ ≠−

=ααα+= ∫ iiri

krkii yxfP

hxxdPhyy (9.23)

Uslov ( ) ( )11 ,1 ++≠=α iir yxfP , znači da gornja granica integracije xi+1(α = 1) nije interpolacioni čvor pa je IP je na desnom kraju intervala integracije "slobodan" (uočite razliku od integracionih formula, izvedenih u Gl. 4). Ka�e se da je rezultujuća integraciona formula otvorenog tipa, za razliku od formula zatvorenog tipa, koje slu�e za pribli�no računanje određenih integrala (Gl. 4) Za različite izbore k i r , izvode se različite formule. Tako na primer, za r = 2 interpolacioni polinom izgleda:

210

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2112

2 2!2

1!2

1−−− +−

+αα+−α+=∇

+αα+∇α+=α iiiiiiiii fffffffffP

i za odabrano k = 3, izvodi se sledeća formula, 4 - tog reda:

( ) ( )52131 ,1,...,4,3,22

34 hOENifffhyy iiiii =−=+−+= −−−+

Ona očigledno zahteva prethodno izračunavanje prve tri vrednosti funkcije, nekom jednokoračnom metodom. �to se tačnosti eksplicitnih vi�ekoračnih metoda tiče, mo�e se, integracijom gre�aka interepolacije, izvesti:

( )( )

=+

+

neparno za,parno za ,

3

2

rhOrhO

E r

r

9.10 VI�EKORAČNE IMPLICITNE METODE

Izvode se analogno eksplicitnim vi�ekoračnim metodama, s tim �to se za aproksimaciju podintegralne funkcije f(x,y(x)) koristi IP koji prolazi i kroz tačku (xi+1, yi+1):

( ) ( ) ( )1111 ,,1

+++−+ =+= ∫+

−

iiir

x

xrkii yxfxPdxxPyy

i

ki

Rezultat je implicitna formula (korektor formula). Kao prediktor formula koristi se neka vi�ekoračna eksplicitna metoda.

Milne � ova metoda

To je metoda 4. reda i jedna je od najpoznatijih vi�ekoračnih implicitnih metoda. Njena prediktor formula je izvedena na opisani način, sa k = 3, r = 2, a korektor formula sa k = 1, r=2 je:

prediktor: 1,...,4,3),22(3

4213

)0(1 −=+−+= −−−+ Nifffhyy iiiii (9.24a)

korektor: ,...2,1,0,)4(3 1

)(11

)1(1 =+++= −+−+

+ kfffhyy iik

iik

i (9.24b)

Za dobijanje prve tri tačke numeričkog re�enja, koristi se neka jednokoračna metoda, najbolje, istog reda tačnosti. To je metoda Runge-Kuta 4. reda (Pogl. 9.6). Ako se Milne-ova implicitna vi�ekoračna metoda uporedi sa eksplicitnom Runge-Kuta metodom, mo�e se, imajući u vidu efekat korektora, konstatovati:

211

• obe metode imaju lokalne gre�ke istog reda, O(h5) • Milneova metoda je stabilnija, tj. otpornija na propagaciju gre�aka u toku

računskog procesa, pa u op�tem slučaju ima manju globalnu gre�ku. Zadatak 9.4 Problem formulisan u Zadatku 9.2 re�iti Milne-ovom metodom.


9.11 NUMERIČKA INTEGRACIJA SISTEMA ODJ PRVOG REDA

Početni problem za sistem od n ODJ 1. reda se mo�e formulisatu kao:

0,0

21

)(

,...,2,1,),,,,(

ii

nii

yxy

niyyyxfdxdy

=

== K


00 )(,),( yyyfy== xx

dxd (9.25)

Numeričko re�avanje problema zahteva diskretizaciju domena nezavisno promenljive:

x0 ≤ x ≤ xN , xk = x0 + kh , k = 0,1,..., N (9.26a)

yi,k = yi(xk), i = 1,2,...,n , k = 0,1,..., N (9.26b)

Dakle, za označavanje različitih funkcija koristićemo indeks i, a za označavanje diskretnih vrednosti x i odgovarajućih vrednosti funkcija, indeks k. Za numeričku integraciju sistema (9.25) koriste se metode numeričke integracije jedne ODJ 1. reda, pri čemu se primenjuju simultano na sve jednačine u sistemu. Opisaćemo primenu Ojlerove metode i metode Runge-Kuta.

Primena Ojlerove metode

( ) 1,...,1,0,,...,2,1,)(),...,(),(,)()( 211 −==+=+ Nknixyxyxyxhfxyxy knkkkikiki (9.27a)


1,..,1,0),,(1 −=+=+ Nkxh kkkk yfyy (9.27b)

212

Primena Metode Runge - Kutta 4. reda

1,,0,...,2,1)22(61)()( 43211 −==++++=+ NkniKKKKxyxy iiiikiki K (9.28)

gde su:

( )

( ) ,...,2,1,)(,,)(,

,2

)(,,2

)(,2

,2

)(,,2

)(,2

,)(),...,(

31314

21213

11112

11

niKxyKxyhxhfK

KxyKxyhxhfK

KxyKxyhxhfK

x yx, yx = hfK

nknkkii

nknkkii

nknkkii

knkkii

=+++=

+++=

+++=

KK

KK

KK

(9.28a)


1,...,1,0),22(61 )(

4)(

3)(

2)(

11 −=++++=+ Nkkkkkkk KKKKyy (9.29)

gde su:

,=

2,

2=

2+,

2+=

),(

)(3

)(4

)(2)(

3

)(1)(

2

)(1

)( kk

k

k

kk

k

kk

kkk

hxh

hxh

hxh

xh

KyfK

KyfK

KyfK

yfK

++

++

=

(9.29a)

9.12 NUMERIČKA INTEGRACIJA ODJ U MATHCAD-U Integracija ODJ 1. reda

Za pribli�no re�avanje ODJ prvog reda (9.7) ili uop�te re�avanje jedne ODJ vi�eg reda (za detalje videti Help System Mathcad-a), namenjen je Odesolve block:

• prvi deo bloka počinje rečju Given (analogija sa Solve block-om) iza koje se daje formulacija problema (diferencijalna jednačina i početni uslov), u obliku vrlo sličnom izvornom (9.7)

• drugi deo bloka je poziv funkcije Odesolve, koja defini�e funkciju y(x) kao interpolacionu funkciju za izračunatu tabelu - numeričko re�enje.

213

Značenja argumenata (x, xmax, nk) funkcije Odesolve su: • x - nezavisno promenljiva • xmax - gornja granica intervala integracije • nk - broj integracionih koraka, N (neobavezan)

Ako se nk izostavi iz pozivne liste u okviru funkcije se automatski bira integracioni korak da se zadovolji tačnost sa kriterijumom definisanim sistemskim parametrom TOL. Funkcija se bazira na Runge-Kuta metodi 4. reda sa konstantnim integracionim korakom du� intervala integracije. Postoji mogućnost izbora (desnim klikom na Odesolve) iste metode uz promenljivi korak, du� intervala integracije sa ciljem dostizanja zadovoljavajuće tačnosti. Pozivom funkcije y(x), čije ime je definisano u formulaciji problema, mo�e se dobiti vrednost funkcije, koja predstavlja re�enje date ODJ, u bilo kojoj tački iz intervala

]max.[ xa , (a = x0) .

Zadatak 9.5 Problem formulisan u zadatku 9.2. re�iti pomoću Odesolve block-a.


Početni problem za sistem ODJ 1. reda Od vi�e funkcija kojima raspola�e Mathcad za numeričko re�avanje sistema ODJ

(9.25), odabraćemo dve: • rkfixed, koja se bazira na Runge-Kuta metodi, sa konstantnim integracionim

korakom u celom intervalu integracije ],[ 0 Nxx (9.26a), • Rkadapt, koja za razliku od rkfixed menja korak du� intervala integracije da bi se

zadovoljio kriterijum tačnosti, definisan sistemskim parametrom TOL. Obe funkcije imaju identičnu listu argumenata: y, x0, xmax, nt, D:

• y - vektor početnih vrednosti funkcija • [x0, xmax] interval integracije (9.26a) • nt - broj izračunatih vrednosti funkcija tra�enih 1,...,1,0),( −= nixyi , koje korisnik

dobija • D - prethodno definisana vektorska funkcija f(x,y) (9.25)

Funkcije vraćaju matricu dimenzija [(nt+1)x(nt+1)] čija prva kolona sadr�i levu granicu x0 i nt ekvidistantnih vrednosti nezavisno promenljive, a ostale kolone odgovarajuće vrednosti tra�enih funkcija 1,...,1,0),( −= nixyi .

Zadatak 9.6 Diferencijalne jednačine koje opisuju promene koncentracija učesnika u reakcijama prvog reda:

12

10 05.0,1.0,

10 −− ==→→ skskCBAkk

sa vremenom, u �ar�nom, idealno me�anom reaktoru, su:

214

0)0()0(,1)0( 3

1

10

0

===

=

−=

−=

CBA

BC

BAB

AA

CCmkmolC

Ckdt

dC

CkCkdt

dC

Ckdt

dC

a) Pomoću funkcije rkfixed naći numeričko re�enje datog sistema u vremenskom intervalu (s) ]60,0[ , sa N = 20 integracionih koraka i krajnje koncentracije komponenata.

b) Proveriti da li je odabrani broj koraka dovoljno veliki da obezbedi tačnost krajnjih koncentracija od 4 sigurne cifre.

c) Isti problem re�iti pomoću funkcije Rkadapt, pri čemu se tra�e koncentracije u 5 ekvidistantnih vremenskih momenata u datom intervalu. Uporediti re�enja.

Rešenje: (Prakt., XIV-2) Funkcije rkfixed i Rkadapt mogu da se koriste za integraciju jedne ODJ 1. reda, pri

čemu se ona posmatra kao specijalan slučaj sistema ODJ.

Zadatak 9.7 Problem definisan u Zadatku 9.2, re�iti pomoću funkcija rkfixed i Rkadapt

Rešenje: (Prakt., XIV-3)

9.13 GRANIČNI PROBLEM ZA ODJ 2. REDA

Za teoriju hemijskih reaktora je od posebnog interesa re�avanje ODJ 2. reda (videti Primer 2), čiji je op�ti oblik:

y′′ + g1(x, y)y′ + g2(x, y) = g3(x), a ≤ x ≤ b (9.30)

sa razdvojenim graničnim uslovima, koji u najop�tijem slučaju (Robinov problem) glase:

Ay(a) + B y′ (a) = c (9.31a)

A1y(b) + B1 y′ (b) = c1 (9.31b)

Specijalan slučaj ODJ (9.30) je linerna ODJ:

y′′ + g1(x)y′ + g2(x)y = g3(x) (9.30a)

Specijalni slučajevi problema (graničnih uslova) su:

• Dirihleov (Dirichlet) problem (A = A1 = 1, B = B1 = 0)

y(a) = c (9.32a)

y(b) = c1 (9.32b)

215

• Nojmanov (Neuman) problem (A = A1 = 0, B = B1 = 1)

y′(a) = c (9.33a)

y′(b) = c1 (9.33b)

Treba reći, da u op�tem slučaju, tip graničnog uslova na levoj granici ne mora da bude isti kao tip uslova na drugoj granici. Recimo na levoj granici mo�emo imati Dirihleov uslov (9.32a), a na desnoj Nojmanov (9.33b)

9.13 METOD PROBE I GRE�KE

Dirihleov problem (9.32a,b)

Uzmimo kao primer Dirihleov problem. Uz diskretizaciju domena nezavisno promenljive:

ihxxbxaxn

abh in +===−

= 00 ,,,

diferencijalna jednačina (9.30) se re�ava numeričkom integracijom ekvivalentnog sistema ODJ prvog reda (9.34):

( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ?

,,

,

002

01

1221132

2121

=′==

−−=

′===

xyxycxy

yxgyyxgxgdxdy

yyyyydxdy

(9.34)

Međutim, za otpočinjanje numeričke integracije sistema nedostaje vrednost prvog izvoda tra�ene funkcije u tački x0 = a. Probajući sa različitim početnim vrednostima za )(xy′ , dobijali bi različite vrednosti funkcije )( nn xyy = na kraju intervala integracije i tra�imo onu vrednost )( 0xy′ za koju se za yn dobija zadata vrednost c1, tj. dok se ne zadovolji uslov (9.32b) na desnoj granici, x = b:

1. k = 0, usvaja se polazna procena )(0 )( kxy′

2. Integri�e se sistem ODJ 1. reda:

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )kxyxy

cxy

yxgyyxgxgdxdy

ydxdy

002

01

1221132

21

,,

′=

=

−−=

=

216

3. Ako je zadovoljen uslov ε<− 1)()( cxy k

n , kraj postupka. Inače,

4. k = k+1, usvaja se nova procena )(0 )( kxy′ . Povratak na 2.

Kojim algoritmom da korigujemo procenu )(0 )( kxy′ ? Iz prethodne analize sledi da se problem

mo�e postaviti kao problem tra�enja korena jednačine:

F(y′ (x0)) = y(xn) - c1 = 0 (9.35)

odnosno nule funkcije F(y′ (x0)), koja nije definisana analitički nego se njena vrednost za neku vrednost nezavisno promenljive y′ (x0), dobija numeričkom integracijom sistema (9.34) za tu vrednost y′ (x0) (vidi Sl. 9.5).

b = xn a = x0

nagib y′(a)(k)

c1

F(k)

y Numeričko re�enje u k-toj iteraciji

y(b)(k)

Re�enje, koje zadovoljava uslov y(b) = c1

Slika 9.5 - Grafička ilustracija metode probe i gre�ke za re�avanje Dirihleovog problema

Tako, ako odaberemo metod sekante, korigovanu procenu početne vrednosti prvog izvoda tra�ene funkcije dobijamo formulom:

K,2,1,)(

])()([)()(

1)()(

)1()(

)1(0

)(0

)()(

0)1(

0

=−=−

′−′−′=′

−

−+

kcxyFFF

xyxyFxyxy

kn

k

kk

kkkkk

(9.36)

Nojmanov problem (9.33a,b)

Po�to je na levoj granici intervala integracije poznata vrednost izvoda, ali ne i vrednost same funkcije koju tra�imo, problem re�avamo kao problem tra�enja korena jednačine:

( ) 0)()( 10 =−′= cxyxyF n (9.37)

metodom sekante.

217

Robinov problem (9.31a,b)

Problem se mo�e re�avati kao problem re�avanja jednačine:

F(y(x0)) = A1y(xn) + B1y′(xn) - c1 = 0 (9.38)

Iz procene početne vrednosti funkcije y(x0)(k), dobijene metodom sekante, početnu vrednost njenog prvog izvoda dobijamo iz graničnog uslova (9.31a):

])([1)( )(0

)(0

kk xAycB

xy −=′

Alternativno, ako se kao nezavisno promenljiva uzme početna vrednost prvog izvoda y′(x0)(k), iz istog graničnog uslova se dobija procena početne vrednosti funkcije y(x0)(k).

Zadatak 9.8 U tankom filmu tečnosti, debljine L, koji je sa jedne strane (x = 0) u kontaktu sa turbulentnom masom fluida, a sa druge (x = 1), sa čvrstim zidom, odvija se reakcija:

BAk

→

i bezdimenzioni koncentracijski profil y(x) reaktanta A u filmu, opisan je diferencijalnom jednačinom:

0)1(1)0(

05.022

2

=′=

=Φ−

yy

ydx

yd

gde je bezdimenzioni parametar 2Φ (Tilov modul), definisan kao:

DkL2

2 =Φ

k - konstanta brzine reakcije

D - koeficijent difuzije reaktanta kroz film tečnosti

Izračunati koncentracijski profil reaktanta u filmu za 8.02 =Φ

Rešenje: (Mathcad)

Definicija desne strane ekvivalentnog sistema od dve dif. jed. 1. reda:

D x z,( )

z1

Φ2 z0( )0.5⋅

:=

Funkcija ciju nulu trazimo : f z0 1( )( ) 1 z0 0( )−

gde z0 0( ) predstavlja dobijenu vrednost y(0) numerickom integracijom sistema od desne

granice x=1 do leve granice x=0 (negativan korak integracije) uz zadatu pocetnu vrednost prvog izvoda : z1(1)=0 i pretpostavljenu pocetnu vrednost funkcije y(1), odnosno z0(1).

Iteraciona promenljiva : pocetna vrednost koncentracije y(1), tj. funkcije z 0(1)

218

2. iteracija

X Xp FpXp Xpp−

Fp Fpp−⋅−:= z

X

0

:= F 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,−:=

vrednosti: X 0.6617= ∆ X Xp−:= ∆ 1.742 10 3−×= F 2.035 10 5−

×=

priprema za novu iteraciju: Xpp Xp:= Xp X:= Fpp Fp:= Fp F:=

3. iteracija

X Xp FpXp Xpp−

Fp Fpp−⋅−:= z

X

0

:= F 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,−:=

vrednosti: X 0.6617= ∆ X Xp−:= ∆ 1.633 10 5−×= F 2.623− 10 9−

×=


Polazni broj integracionih koraka za Rkadapt: n 5:=

1. polazna procena i integracija :

Xpp 0.5:= zXpp

0

:= S Rkadapt z 1, 0, n, D,( ):= S

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.5

0.511

0.546

0.604

0.686

0.796

0

0.114−

0.23−

0.351−

0.479−

0.616−

=

Fpp 1 S 1⟨ ⟩( )n−:= Fpp 0.204=

2. polazna procena i integracija

Xp 0.8:= zXp

0

:= Fp 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,−:= Fp 0.171−=

Metod sekante

1. iteracija

X Xp FpXp Xpp−

Fp Fpp−⋅−:= z

X

0

:= F 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,−:=

vrednosti: X 0.6634= ∆ X Xp−:= ∆ 0.137= F 2.151− 10 3−×=


219

(Smanji TOL) f X( ) 4.233 10 5−×=X 0.6616=X root f x( ) x,( ):=x 0.5:=

Poziv funkcije root:

f x( ) zx

0

←

f 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,−←

freturn

:=

Definisanje funkcije cija nula se trazi:

Resenje problema koriscenjem funkcije root:

y x( )→

0

01

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

10.966

0.934

0.904

0.875

0.849

0.824

0.802

0.781

0.761

0.744

0.728

0.714

0.702

0.691

0.682

=

0.5 0 0.5 10.6

0.8

1

1.2

y x( )→

x

y z( ) interp k x, y, z,( ):=

k cspline x y,( ):=Definisanje kubnog splajna:

y reverse S 1⟨ ⟩( ):=x reverse S 0⟨ ⟩( ):=Definisanje vektora x i y:

S Rkadapt z 1, 0, n, D,( ):=Racunanje konacnog profila:

n 20:=Povecanje broja tacaka profila radi preciznije interpolacije:

Definisanje funkcije koja daje koncentraciju u bilo kojoj tacki interpolacijom u tabeli x - y numericki dobijenog resenja.

Zadatak 9.9 Bezdimenzioni matematički model reakcije:

BAk

→

n - tog reda, u poroznom zrnu katalizatora oblika pločice, debljine L je:

zrna) inaspovrspoljnja(11:1

)zrna simetrijeravan (0:0

10,022

2

(−=−=

==

≤≤=Φ−

ydxdy

Bix

dxdyx

xydx

yd n

gde su 2Φ i Bi bezdimenzione grupe (Tilov modul i Bajotov broj). Izračunati koncentracijski profil u zrnu za: 5,5.0,2 ===Φ Bin

220

Rešenje: (Mathcad)

Metod sekante

1. iteracija

X Xp FpXp Xpp−

Fp Fpp−⋅−:= z

X

0

:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):= F f S 1⟨ ⟩( )n S 2⟨ ⟩( )

n,

:=

vrednosti: X 0.0466= ∆ X Xp−:= ∆ 0.053= F 0.098=


2. iteracija

X Xp FpXp Xpp−

Fp Fpp−⋅−:= z

X

0


n,

:=

Definicija desne strane ekvivalentnog sistema od dve dif. jed 1. reda:

D x z,( )

z1

Φ2

z0( )0.5⋅

:=

f y 0( )( ) y 1( ) 1−1Bi x

y 1( )dd

⋅+Funkcija ciju nulu trazimo :

gde je nezavisno promenljiva pretpostavljena pocetna vrednost funkcije y(0), odnosno z0(0). y(1), odnosno z0(1) predstavlja dobijenu vrednost funkcije na desnoj granici numerickom integracijom sistema od leve granice x=0, a dy(1)/dx, odnosno z1(1) dobijenu vrednost prvog izvoda na desnoj granici.

Iteraciona promenljiva :pocetna vrednost koncentracije y(0), tj. funkcije z 0(0)

Polazni broj integracionih koraka za Rkadapt: n 5:=

f u v,( ) u 1−1Bi

v⋅+:=


Xpp 0.01:= zXpp

0

:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=

Fpp f S 1⟨ ⟩( )n S 2⟨ ⟩( )

n,

:= Fpp 0.313−=


Xp 0.1:= zXp

0

:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=

Fp f S 1⟨ ⟩( )n S 2⟨ ⟩( )

n,

:= Fp 0.457=

221

F 2.355 10 3−×=


itd....

Resenje problema koriscenjem funkcije root:

Definisanje funkcije cija nula se trazi:f x( ) z

x

0

←

S Rkadapt z 0, 1, n, D,( )←

f S 1⟨ ⟩( )n 1−

1Bi

S 2⟨ ⟩( )n⋅+←

freturn

:=

Poziv funkcije root: TOL 0.0001:=

x 0.1:= X root f x( ) x,( ):= X 0.03535= f X( ) 1.083 10 6−×=

zX

0

:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):= S

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.035

0.051

0.103

0.208

0.385

0.663

0

0.161

0.376

0.685

1.114

1.686

=

vrednosti: X 0.032= ∆ X Xp−:= ∆ 0.015= F 0.032−=


3. iteracija

X Xp FpXp Xpp−

Fp Fpp−⋅−:= z

X

0


n,

:=

vrednosti: X 0.0356= ∆ X Xp−:= ∆ 3.615 10 3−×=

9.13 LINEARNA ODJ METODA SUPERPOZICIJE

Mo�e se pokazati, da ako je diferencijalna jednačina linearna (9.30), algebarska jednačina koja se re�ava metodom probe i gre�ke (9.35, 9.37 ili 9.38) je takođe linearna, pa se njeno re�enje dobija u prvoj iteraciji metode sekante, iz dve polazne procene, odnosno re�enje dif. jednačine se dobija u trećoj integraciji ekvivalentnog sistema od 2 ODJ 1. reda.

Metoda superpozicije

Za linearnu diferencijalnu jednačinu va�i princip superpozicije: linearna kombinacija dva partikularna re�enja,

222

( ) ( ) ( )xyxyxy 2211 λ+λ= (9.39)

takođe parikularno re�enje. Tako se re�enje Robinovog problema mo�e dobiti na sledeći način:

1. Sa polaznom procenom y′1(a) dobijamo numerički prvo partikularno re�enje y1 u obliku dva niza: y1=( y1,i , y′1,i )i = 0,n

2. Sa polaznom procenom y′2(a) dobijamo numerički drugo partikularno re�enje y2=(y2,i , y′2,i)i = 0,n

3. Iz uslova da tra�eno re�enje y = λ1y1 + λ2y2 zadovolji granične uslove (9.31a,b), tj. iz sistema od dve linearne jednačine:

( ) ( )( ) ( ) 1,22,111,22,111

0,220,110,220.11

cyyByyAcyyByyA

nnnn =′λ+′λ+λ+λ

=′λ+′λ+λ+λ

dobijamo parametre λ1 i λ2

4. Konačno, re�enje dobijamo superpozicijom:

niyyy iii ,...,1,0,,22,11 =λ+λ=

Zadatak 9.10 Za reakciju prvog reda u tankom filmu tečnosti (Zad.9.8), koncentracijski profil reaktanta je opisan linearnom ODJ 2. reda:

0)1(1)0(

022

2

=′=

=Φ−

yy

ydx

yd

Izračunati za 8.02 =Φ , koncentracijski profil, a) metodom probe i gre�ke b) metodom superpozicije

Rešenje: (Mathcad)

a) D x z,( )z1

Φ2 z0⋅

:= n 5:=


Xpp 0.5:= zXpp

0

:= S Rkadapt z 1, 0, n, D,( ):= S

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.5

0.508

0.532

0.574

0.634

0.714

0

0.08−

0.163−

0.252−

0.348−

0.456−

=

Fpp 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,−:= Fpp 0.286=


Xp 0.8:= zXp

0

:= Fp 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,−:= Fp 0.142−=

223

Definisanje kubnog splajna: k cspline x y,( ):=


0.5 0 0.5 10.6

0.8

1

1.2

y x( )→

x

y x( )→

00123

45

67

8910

1112

1314

15

10.9690.94

0.913

0.8880.864

0.8420.822

0.8040.7870.772

0.7580.746

0.7350.726

0.718

=

b) n 5:=


X1 0.5:= zX1

0

:= S1 reverse Rkadapt z 1, 0, n, D,( )( ):= S1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.714

0.634

0.574

0.532

0.508

0.5

0.456−

0.348−

0.252−

0.163−

0.08−

0

=


X2 0.8:= zX2

0

:= S2 reverse Rkadapt z 1, 0, n, D,( )( ):= S2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.142

1.014

0.918

0.852

0.813

0.8

0.729−

0.557−

0.403−

0.261−

0.129−

0

=

Metod sekante

1. iteracija

X Xp FpXp Xpp−

Fp Fpp−⋅−:= z

X

0

:= F 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,−:=

vrednosti: X 0.7006= ∆ X Xp−:= ∆ 0.099= F 0=

Resenje dobijeno u 1. iteraciji !

Racunanje profila:

n 20:= S Rkadapt z 1, 0, n, D,( ):=

Definisanje vektora x i y: x reverse S 0⟨ ⟩( ):= y reverse S 1⟨ ⟩( ):=

224

Jednacine iz kojih se odredjuju parametri λ1 i λ2 su:

y 0( ) λ1 y1 0( )⋅ λ2 y2 0( )⋅+ 1 (1) y1 0( ) S10 1, S10 1, 0.714=

xy 1( )d

dλ1 x

y1 1( )dd

⋅ λ2 xy2 1( )d

d⋅+ 0 y2 0( ) S20 1, S20 1, 1.142=(2)

Druga se svodi na identitet pa ostaje samo prva jednacina, sto znaci da mozemo dabiramo proizvoljno jedan od parametara , a drugi odredimo iz prve jednacine:

λ1 0:= λ21 λ1 S10 1,⋅−

S20 1,:= λ2 0.876=

Racunanje profila :

y λ1 S1 1⟨ ⟩⋅ λ2 S2 1⟨ ⟩

⋅+:= y

1

0.888

0.804

0.746

0.712

0.701

=

Zadatak 9.11 Za reakciju 1. reda u poroznoj pločici katalizatora (Zad.9.9), matematički model glasi:

11:1

0:0

10,022

2

−=−=

==

≤≤=Φ−

ydxdy

Bix

dxdyx

xydx

yd

Izračunati koncentracijski profil u zrnu za: 5,2 ==Φ Bi a) metodom probe i gre�ke b) metodom superpozicije

Rešenje: (Mathcad)

Definicija desne strane ekvivalentnog sistema od dve dif. jednacine 1. reda:

D x z,( )

z1

Φ2

z0⋅

:= n 5:= f u v,( ) u 1−1Bi

v⋅+:=


Xpp 0.01:= zXpp

0

:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=

Fpp f S 1⟨ ⟩( )n S 2⟨ ⟩( )

n,

:= Fpp 0.948−=

225

Resenje dobijeno u 1. iteraciji !

Racunanje profila:

n 10:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=

Definisanje vektora x i y: x S 0⟨ ⟩:= y S 1⟨ ⟩

:=

Definisanje kubnog splajna: k cspline x y,( ):=


0 0.5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

y x( )→

x

y x( )→

001

23

456

78

910

0.1920.196

0.2070.227

0.2570.2960.347

0.4130.494

0.5960.722

=

b)


X1 0.01:= zX1

0

:= S1 Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=


Xp 0.1:= zXp

0

:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=

Fp f S 1⟨ ⟩( )n S 2⟨ ⟩( )

n,

:= Fp 0.479−=

Metod sekante

1. iteracija

X Xp FpXp Xpp−

Fp Fpp−⋅−:= z

X

0


n,

:=

vrednosti: X 0.1918= ∆ X Xp−:= ∆ 0.092= F 0=

226

y

0

01

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.1920.196

0.207

0.227

0.257

0.296

0.347

0.413

0.494

0.596

0.722

=y λ1 S1 1⟨ ⟩⋅ λ2 S2 1⟨ ⟩

⋅+:=Racunanje profila :

λ2 1.918=λ2

1 λ1 S1n 1,1Bi

S1n 2,⋅+

⋅−

S2n 1,1Bi

S2n 2,⋅+

:=λ1 0:=

Prva jednacina se svodi na identitet pa ostaje samo druga jedn., sto znaci da mozemo da biramo proizvoljno jedan od parametara , a drugi odredimo iz druge jednacine:

S2n 2, 0.725=xy2 1( )d

dS2n 2,S1n 2, 0.073=

xy1 1( )d

dS1n 2,

S2n 1, 0.376=y2 1( ) S2n 1,S1n 1, 0.038=y1 1( ) S1n 1,

(2) λ1 y1 1( )1Bi x

y1 1( )dd

⋅+

⋅ λ2 y2 1( )1Bi x

y2 1( )dd

⋅+

⋅+ 1

(1) xy 0( )d

dλ1 x

y1 0( )dd

⋅ λ2 xy2 0( )d

d⋅+ 0

Jednacine iz kojih se odredjuju parametri λ1 i λ2 su:

S2 Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=zX1

0

:=X1 0.1:=

2. polazna procena i integracija :0

9.13 LINEARNA ODJ METODA KONAČNIH RAZLIKA

Alternativan način pribli�nog re�avanja graničnog problema za linearnu ODJ (9.30a) je metoda konačnih razlika, koja se zasniva na aproksimaciji izvoda konačnim razlikama. Izvodi koji figuri�u u dif. jednačini (9.30a) aproksimiraju se u unutra�njim tačkama xi, i=1,2,... n-1 diskretizovanog domena nezavisno promenljive, konačnim razlikama:

( ) ( )

( ) ( )22

1112

2

2111

,2

,22

hOEh

yyyh

hyhyh

yxy

hOEh

yyh

yyxy

iiiiiii

iiiii

=+−

=∆−∆

=∆

≈′′

=−

=∆+∆

≈′

−+−

−+−

(9.40)

227

(gre�ka aproksimacija je reda h2) čime se diferencijalna jednačina zamenjuje sledećim sistemom od (n -1) linearne algebarske jednačine sa, u uslučaju Robinovog problema, ukupno (n +1) nepoznatih: yi, i = 0,1,..., n,

1,...,2,1,)()()(232

1112

11 −==+−

++− −+−+ nixgyxg

hyyxg

hyyy

iiiii

iiii (9.41)

Nedostajuće 2 jednačine su granični uslovi (9.31a,b) u kojima su prvi izvodi aproksimirani konačnim razlikama unapred ili u nazad (gre�ke aproksimacija su reda h): c

hyyBAy =

−+ 01

0 (9.42a)

11

11 ch

yyByA nnn =

−+ − (9.42b)

Rezultujući SLJ ima trodijagonalnu strukturu i re�ava se Thomasovim algoritmom.U specijalnom slučaju Dirihleovih graničnih uslova, vrednosti funkcije u krajnjim tačkama, y0 i yn su zadate, pa se re�avaju samo jednačine (9.40) po y1,...,yn-1.

Zadatak 9.12 Bezdimenzioni koncentracijski profil reaktanta c(z) u cevnom reaktoru, u koome se odvija reakcija prvog reda:

BAk

→

opisan je diferencijalnom jednačinom:

reaktora) iz (izlaz0:1

reaktor)u (ulaz11:0

10,012

2

==

=−=

≤≤=−−

dzdcz

dzdc

Pecz

zcDdzdc

dzcd

Pe a

Potrebno je, za vrednosti bezdimenzionih parametara: Pe = 1, Da = 2

a) Izračunati i nacrtati koncentracijski profil c(z)

b) Izračunati postignu stepen konverzije reaktanta u reaktoru:

)0()1()0(

cccx −

=

c) Uporediti dobijeni rezultat za x sa onim izračunatim iz analitičkog re�enja problema:

aeeeaeee

rrrre

xrrxrre

DPPPrDPPPr

eerrererPererPrrzc

421

21,4

21

21

)()()(),,(

22

21

2112

1221 2112

2112

+−=++=

−+−−

=++

228

d) Povećavati broj integracionih koraka (za po 100), dok se numeričkim postupkom ne dobije stepen konverzije sa tačno�ću od 3 sigurne cifre.

Rešenje: (Prakt., XVI-4)

Obične diferencijalne jednačine (PDF)

Documents

Transcript of Obične diferencijalne jednačine (PDF)