ob}aq topologiqmath.nw.ru/~pozharsky/1kypc/Files/Filonov.pdf · ob}aq topologiq 5 opredelenie 2....

ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ

Общая тенденция второй половины XX века – все большая алгебраизация игеометризация физики. В основных курсах лекций на физическом факультетерассказывают математику еще XIX века. Более современные методы попадаютсначала на факультативные спецкурсы. Они рассчитаны на тех, кто собира-ется заниматься научной работой; формально говоря, в дальнейшем на такиеспецкурсы опираться не будут.Интуитивно ясно, что сферу (надувной шарик) нельзя превратить в тор

(поверхность бублика) непрерывной деформацией. Для точной формулировкии доказательства утверждений такого типа необходимо понятие близких точек.Возникает идея топологического пространства, которая пронизывает всю на-уку. Топологические пространства, непрерывные отображения и свойства, неменяющиеся при непрерывных отображениях, составляют предмет топологии.Если в тексте ниже встречается утверждение, после которого вместо доказа-

тельства формулируется новая мысль, то подразумевается, что доказательст-во тривиально. В четырех случаях, наоборот, написано ”без доказательства”.Это означает, что соответствующие теоремы достаточно сложны, а объем лек-ций ограничен (эти доказательства, разумеется, в зачет не входят).

§0. Мощность множестваПрежде чем начать изложение топологических идей, напомним некоторые

элементарные понятия теории множеств.

1. Счетные множества. Не определяя самого понятия ”мощность”, дадимследующее

Определение 1. Будем говорить, что множестваA иB равномощны, и писатьA ∼ B, в том случае, если существует биекция A ←→ B.

Определение 2. Множество A счетно, если A ∼ N.

Утверждение 1. Если A счетно и B ⊂ A, то B конечно или счетно.

Утверждение 2. Пусть Ak – счетные множества и A = ∪∞k=1Ak. Тогда Aсчетно.

Примеры. 1) 2N счетно; 2) Z счетно.

Утверждение 3. Пусть A1, ..., An – счетные множества, B = A1× ...×An.Тогда B счетно.

Доказательство. Индукция по n. База n = 1 очевидна.Переход n → n + 1. Будем считать, что

B = {(a1, ..., an, an+1); ak ∈ Ak}, An+1 = {a(1)n+1, a

(2)n+1, ...}.

Typeset by AMS-TEX

1

2 ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ

Множество Bj = {(a1, ..., an, a(j)n+1); ak ∈ Ak, k 6 n} счетно по предположению

индукции, т.к. Bj ∼ A1 × ...×An. Следовательно, B = ∪∞j=1Bj счетно. ¤Теорема 1. Пусть A ∼ B1 ⊂ B и B ∼ A1 ⊂ A. Тогда A ∼ B.

Без доказательства.

Примеры. 1) Q счетно;2) Zn и Qn счетны;3) множество многочленов с целыми коэффициентами счетно. Множество

алгебраических чисел счетно.

2. Несчетные множества.

Теорема 2. Отрезок [0, 1] не счетен.

Доказательство. Предположим, что отрезок может быть представлен в видепоследовательности [0, 1] = {x1, x2, ...}. Разделим [0, 1] на три равные части иобозначим через U1 ту, которая не содержит точку x1. Затем разделим U1 натри части и обозначим через U2 ту, которая не содержит x2. Продолжая этупроцедуру до бесконечности, получим последовательность вложенных проме-жутков Uk, длины которых равны соответственно 3−k, и xk 6∈ Uk. Существуетточка ξ ∈ ∩∞k=1Uk. Ясно, что ξ не совпадает ни с одной xk. Мы пришли кпротиворечию. ¤Следствие. Существуют трансцендентные числа.

Определение 3. Множество A имеет мощность континуума, если A ∼ [0, 1].

Утверждение 4. При любых вещественных a < b будет [a, b] ∼ [a, b) ∼(a, b] ∼ (a, b) ∼ [0, 1].

Теорема 3. Пусть Ak ∼ [0, 1] и A = ∪∞k=1Ak. Тогда A ∼ [0, 1].

Доказательство. Ak ∼ (1/(k + 1), 1/k]. ¤Примеры. 1) R ∼ [0, 1].

2) Множество всех последовательностей из нулей и единиц ∼ [0, 1].3) [0, 1]n ∼ Rn ∼ [0, 1].

Упражнения.1) Какова мощность множества прямых на плоскости?2) Какова мощность множества непрерывных функций на отрезке?3) Докажите теорему 1.4) Пусть A ∪ B ∼ [0, 1]. Докажите, что хотя бы одно из множеств A и B

имеет мощность континуума.

ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ 3

Глава I. Топологические пространства

В этой главе мы введем основные понятия: топологическое пространство,открытые и замкнутые множества, непрерывность, связность.

§1. Открытые множества

1. Пусть X – множество, τ – семейство его подмножеств.

Определение 1. (X, τ) называется топологическим пространством, если вы-полнены следующие аксиомы:

1) ∅, X ∈ τ ;2) Uα ∈ τ =⇒ (∪αUα) ∈ τ ;3) U1, ..., Un ∈ τ =⇒ (∩n

k=1Uk) ∈ τ .Семейство τ называется топологией на пространстве X; множества U ∈ τ

называются открытыми множествами.

Ясно, что свойство 3) можно ослабить.

Утверждение 1. Предположим, что для множества X и семейства τ вы-полнены условия 1), 2) и

3’) U, V ∈ τ =⇒ U ∩ V ∈ τ .Тогда (X, τ) – топологическое пространство.

Доказательство. Индукция по n. ¤Примеры. 1) Пусть X – произвольное множество, τ = {∅, X}. ”Пространствослипшихся точек”.

2) Пусть X – произвольное множество, τ – семейство всех его подмножеств.Дискретная топология.

3) Пусть X состоит из двух элементов X = {a; b}, τ = {∅, {b}, X}.4) Пусть X – любое бесконечное множество. Назовем открытыми пустое и

те множества, дополнение которых конечно. Топология Зарисского.5) Стандартная топология в X = Rn:

U ∈ τ ⇐⇒ ∀x ∈ U ∃ε > 0 : Bε(x) ⊂ U.

2. Пусть (X, τ) – топологическое пространство.

Определение 2. Пусть x ∈ M ⊂ X. Точка x называется внутренней точкоймножества M , а множество M называется окрестностью точки x, если сущест-вует множество U ∈ τ , такое что x ∈ U ⊂ M . Множество всех внутреннихточек множества M называется его внутренностью и обозначается intM .

Теорема 1. Следующие три условия эквивалентны: 1) M ∈ τ ; 2) M = intM ;3) M является окрестностью любой своей точки.

Доказательство. 1) =⇒ 2) и 2) =⇒ 3) – очевидно.3) =⇒ 1). Для любой точки x ∈ M существует Ux ∈ τ , такая что x ∈ Ux ⊂

M . Следовательно,

M =⋃

x∈M

Ux =⇒ M ∈ τ. ¤


Утверждение 2. Внутренность intM любого множества M открыта.

Доказательство. Пусть x ∈ intM . Существует открытое множество U , та-кое что x ∈ U ⊂ M . Ясно, что U ⊂ intM . Следовательно, intM являетсяокрестностью любой своей точки и, по теореме 1, открыто. ¤Пример. X = R, intR = R, intQ = ∅.Следующее утверждение показывает, что во всяком подмножестве тополо-

гического пространства, в свою очередь, может быть введена топология.

Утверждение 3. Пусть A – подмножество X. Семейство

τA = {V = U ∩A, U ∈ τX}

является топологией на A.

Доказательство. 1) ∅ = ∅ ∩A, A = X ∩A.2) Пусть Vα = Uα ∩A, Uα ∈ τX . Тогда

⋃α

Vα =

(⋃α

Uα

)∩A =⇒

(⋃α

Vα

)∈ τA.

3) Пересечение – аналогично. ¤Определение 3. τA называется индуцированной (или относительной) топо-логией на A.

Примеры. 1) Круг на плоскости.2) Пусть X = R, A = Z. Тогда τA дискретна.

Упражнения.1) Пусть V1, ..., Vn – окрестности точки x. Докажите, что пересечение

∩nk=1Vk – также окрестность точки x.2) Докажите, что int(A ∩ B) = intA ∩ intB. Предъявите пример, когда

int(A ∪B) 6= intA ∪ intB.3) Докажите, что всякое открытое ограниченное множество на вещественной

оси представимо в виде конечного или счетного объединения непересекающихсяинтервалов.

§2. Замкнутые множества


Определение 1. Множество F ⊂ X называется замкнутым, если X \ F ∈ τ .

Утверждение 1. 1) ∅ и X замкнуты;2) пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто;3) объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.

Замечание. Можно задать топологию на множестве, описав все замкнутые под-множества.


Определение 2. Пусть M ⊂ X. Замыканием множества M называется пере-сечение всех замкнутых множеств F , содержащих M ,

M =⋂

F⊃M

F.

Утверждение 2. M является наименьшим замкнутым множеством, содер-жащим M .

Доказательство. Ясно, что M замкнуто и что M ⊂ M . Далее, если F0 –замкнутое множество, содержащее M , то M ⊂ F0. ¤Утверждение 3. Множество M замкнуто тогда и только тогда, когдаM = M .

Еще одно описание замыкания множества доставляет следующая

Теорема 1. M = {x ∈ X : любая окрестность x пересекается с M}.Доказательство. Выпишем серию эквивалентных утверждений.

x ∈ M ⇐⇒если x /∈ F = F, то M 6⊂ F ⇐⇒

если x ∈ U ∈ τ, то U ∩M 6= ∅ ⇐⇒любая окрестность x пересекается с M. ¤

Определение 3. Множество M (всюду) плотно в X, если M = X.

Определение 4. Пространство X называется сепарабельным, если в нем су-ществует счетное плотное множество.

Поясним, что многие факты проще доказываются в сепарабельных про-странствах (а некоторые только для них и верны).

Примеры. 1) Q2 = R2 =⇒ R2 – сепарабельно.2) Прямая с дискретной топологией не сепарабельна.3) Пусть X – бесконечное множество с топологией Зарисского (см. §I.1.1,

пример 4). Любое бесконечное подмножество M плотно в X. Следовательно,X сепарабельно.

2. Граница множества. Пусть (X, τ) – топологическое пространство,M ⊂ X.

Определение 5. Точка x называется граничной точкой множества M , еслилюбая ее окрестность V пересекается с M и с его дополнением,

V ∩M 6= ∅, V ∩ (X \M) 6= ∅.

Множество всех граничных точек M называется границей и обозначается ∂M .

Замечание. Ясно, что 1) ∂∅ = ∂X = ∅; 2) ∂(X \M) = ∂M .


Утверждение 4. 1) ∂M = M ∩ (X \M);2) ∂M замкнуто.

Доказательство. 1) По теореме 1 точка x принадлежит пересечению M ∩(X \M) тогда и только тогда, когда любая окрестность x пересекается с M ис X \M ;

2) очевидно из 1). ¤Примеры. 1) Пусть X = R, M = [a, b). Тогда intM = (a, b), M = [a, b], ∂M ={a, b}. ∂Q = R.

2) X = Rn, ∂B1(0) = Sn−1.

Упражнение. Докажите, что intM = M \ ∂M ; M = M ∪ ∂M .

§3. Непрерывные отображения

Пусть X, Y – топологические пространства, f : X → Y .

Определение 1. Пусть x0 ∈ X, f(x0) = y0 ∈ Y . Отображение f непрерывнов точке x0, если для любой окрестности V точки y0 существует такая окрест-ность U точки x0, что f(U) ⊂ V . Отображение f называется непрерывным,если оно непрерывно в каждой точке x ∈ X. Множество всех непрерывныхотображений обозначается C(X, Y ).

Теорема 1. Отображение непрерывно тогда и только тогда, когда прооб-раз всякого открытого множества открыт,

f ∈ C(X, Y ) ⇐⇒ f−1(G) ∈ τX ∀G ∈ τY .

Доказательство. =⇒) Пусть G ∈ τY , x ∈ f−1(G). Тогда

∃ Ux : f(Ux) ⊂ G =⇒ Ux ⊂ f−1(G) =⇒ f−1(G) ∈ τX .

⇐=) Очевидно. ¤Композиция непрерывных отображений непрерывна.

Утверждение 1. Пусть X, Y , Z – топологические пространства,

f : X → Y, g : Y → Z, h = g ◦ f.

1) Если f непрерывно в точке x0, f(x0) = y0, g непрерывно в точке y0, тоh непрерывно в точке x0.

2) Если f ∈ C(X, Y ), g ∈ C(Y, Z), то h ∈ C(X, Z).

Определение 2. Топологические пространства X, Y называются гомеоморф-ными, если существует биективное отображение f : X → Y , такое что f ∈C(X, Y ), f−1 ∈ C(Y,X). Отображение f называется гомеоморфизмом.

Насчет образов при непрерывном отображении ничего сказать нельзя.

Примеры. 1) f : R→ R, f(x) = 1/(x2 + 1), f(R) = (0, 1].


2) X = (−1, 1), Y = R, f(x) = tg(πx/2) – гомеоморфизм, f−1(y) = 2π arctg y.

3) f : X → X, f(x) = x – гомеоморфизм.4) Сфера без точки гомеоморфна плоскости.

Замечание. Далее мы покажем, что вся сфера не гомеоморфна плоскости и негомеоморфна тору.

Упражнение. Докажите, что шар B1(0) гомеоморфен пространству Rn.

§4. Фактортопология

1. Если в данном топологическом пространстве отождествить (”склеить”)некоторые точки, то в новом пространстве возникает естественная топология.Пусть на множестве X задано отношение эквивалентности ∼. Классы экви-

валентности будем обозначать x, т.е. x, y ∈ x ⇐⇒ x ∼ y.

Утверждение 1. Пусть (X, τ) – топологическое пространство, ∼ – от-ношение эквивалентности. Определим семейство τ∼ подмножеств (X/ ∼)следующим образом: ∅ ∈ τ∼, кроме того,

V = {x} ∈ τ∼ ⇐⇒( ⋃

x∈V

x

)∈ τ.

Тогда τ∼ – топология на фактормножестве.

Доказательство. 1) Очевидно.2) Пусть Vα ∈ τ∼, V = ∪αVα. Тогда

⋃

x∈V

x =⋃α

( ⋃

x∈Vα

x

)∈ τ.

3) Аналогично 2). ¤

2. Примеры.1) Если у квадрата склеить две противоположные стороны, то получится

боковая поверхность цилиндра (но можно вложить в R2 – кольцо на плоскости).2) Если две противоположные стороны склеить ”наоборот” (т.е. отождест-

вить точки с координатами (0; x2) и (1; 1 − x2)), то получится лист Мебиуса(вкладывается в R3).

3) Если склеить две пары противоположных сторон, получится тор.4) Если две стороны склеить ”правильно”, а две – ”наоборот”, то получится

бутылка Клейна (вкладывается в R4).5) Если две пары сторон склеить ”наоборот”, то получится проективная

плоскость (вкладывается в R4).6) Если всю поверхность шара в Rn склеить в одну точку, то полученное

пространство будет гомеоморфно сфере Sn.7) Пусть X = Rn \ {0}. Введем отношение эквивалентности

x ∼ y ⇐⇒ ∃λ ∈ R : x = λy.


Получаемое факторпространство называется проективным пространством иобозначается RPn. RP 1 гомеоморфно S1.

8) CPn.

Упражнения.1) Докажите, что проективная плоскость из примера 5) гомеоморфна RP 2.2) ПустьX – топологическое пространство, ∼ – отношение эквивалентности,

f : X → (X/ ∼) – отображение, переводящее элемент x в класс эквивалентнос-ти, которому он принадлежит, f(x) = x. Докажите, что f непрерывно.

3) Если два листа Мебиуса склеить по краю, получится бутылка Клейна.4) Докажите, что CP 1 гомеоморфно S2.

§5. База топологии

1. Пусть X – топологическое пространство, B – семейство его подмножеств.

Определение 1. Пусть B ⊂ τ . B называется базой топологии, если любоеоткрытое множество U представимо в виде U = ∪αVα, где Vα ∈ B.

Теорема 1 (критерий базы). Пусть X – некоторое множество, B – се-мейство его подмножеств. B является базой некоторой топологии тогдаи только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1) ∀x ∈ X ∃U ∈ B : x ∈ U ;2) если x ∈ U , x ∈ V и U, V ∈ B, то найдется W ∈ B, такое что

x ∈ W ⊂ U ∩ V.

Доказательство. =⇒) Пусть B – база топологии τ на X. Проверим выполне-ние условий 1 и 2.

1) X = ∪αVα =⇒ ∀x∃Vα ∈ B : x ∈ Vα;2) (U ∩ V ) ∈ τ =⇒ U ∩ V = ∪αWα =⇒ ∃α : x ∈ Wα ⊂ U ∩ V .⇐=) Пусть B – семейство подмножеств X, удовлетворяющее условиям 1 и

2. Определим топологию τ таким образом: открытыми будем считать пустоемножество и все множества вида U = ∪αVα, где Vα ∈ B. Проверим выполнениеаксиом.

1) ∅, X ∈ τ – очевидно;2) Пусть Uα ∈ τ . Тогда Uα = ∪βVα,β и, следовательно,

(⋃α

Uα

)=

⋃

α,β

Vα,β

∈ τ ;

3) Пусть U, V ∈ τ , т.е.

U = ∪αUα, V = ∪βVβ , Uα, Vβ ∈ B.

Нас интересует множество U ∩ V = ∪α,β(Uα ∩ Vβ). Имеем

∀x ∈ U ∩ V ∃Wx ∈ B : x ∈ Wx ⊂ Uα ∩ Vβ ,

следовательно, U ∩ V = ∪xWx. ¤Замечание. Можно задать топологию, задав базу.

2. Естественно дать следующее


Определение 2. Топологическое пространство (X, τ) называется простран-ством со счетной базой, если существует база B = {Uk}∞k=1.

Примеры. 1) Одноточечные множества образуют базу дискретной топологии.2) Rn – пространство со счетной базой B = {Br(x), x ∈ Qn, r ∈ Q+}.

Утверждение 1. Пространство со счетной базой сепарабельно.

Доказательство. Пусть {Uk} – база, xk ∈ Uk. Тогда A = {xk} – счетно.Множество V = X \A открыто, значит, V = ∪jUkj

. Но xkj6∈ V , поэтому V = ∅

и A = X. ¤

Следующее утверждение показывает, что обратное неверно.

Утверждение 2. Пусть X – несчетное множество, τ – топология Зарис-ского. Тогда (X, τ) – сепарабельное пространство, в котором нет счетнойбазы.

Доказательство. Пусть B – база топологии, x0 ∈ X. Для любой точки y 6= x0

существует такой элемент базы Uy ∈ B, что y 6∈ Uy, x0 ∈ Uy. Следовательно,

⋂

y 6=x0

Uy = {x0} =⇒ X \ {x0} = X \ ⋂

y 6=x0

Uy

=

⋃(X \ Uy).

Если база B счетна, то объединение в правой части тоже не более, чем счетно.Каждое множество (X \ Uy) конечно, поэтому все пространство X счетно, имы пришли к противоречию. ¤

3. Понятие базы позволяет ввести топологию на произведении пространств.Пусть (X, τX), (Y, τY ) – топологические пространства. Рассмотрим декартовопроизведение множеств X × Y .

Утверждение 3. Семейство B = {U ×V ; U ∈ τX , V ∈ τY } – база некоторойтопологии на X × Y .

Доказательство. Достаточно проверить выполнение условий теоремы 1.1) ∀(x, y) ∈ X × Y .2) Пусть (x, y) ∈ U1 × V1, (x, y) ∈ U2 × V2. В качестве W можно взять

W = (U1 ∩ U2)× (V1 ∩ V2). ¤

Определение 3. (X × Y, τB) называется произведением топологических про-странств.

Примеры. 1) R× R гомеоморфно R2;2) S1 × S1 гомеоморфно тору;3) Sn−1 × (0,∞) гомеоморфно Rn \ {0}.

Упражнение. Пусть π : X × Y → X – отображение, которое паре (x, y) ставитв соответствие точку x. Докажите, что π непрерывно.


§6. Связные множества


Определение 1. Пространство X связно, если не существует других мно-жеств, открытых и замкнутых одновременно, кроме пустого и всего X.

Определение 1’. Пространство X не связно, если оно представимо в видеобъединения двух непустых непересекающихся открытых множеств.

Определение 2. Множество A ⊂ X называется связным, если связно про-странство (A, τA) (см. §1, утверждение 3).

Определение 2’. Множество A ⊂ X не связно, если существуют такие от-крытые множества U и V , что

A ⊂ U ∪ V, A 6⊂ U, A 6⊂ V, A ∩ U ∩ V = ∅.

Утверждение 1. Отрезок [a, b] связен.

Доказательство. Пусть [a, b] ⊂ U ∪ V , U ∩ V = ∅, U, V ∈ τR. Не ограничиваяобщности, считаем a ∈ U . Существует ε > 0, такое что [a, a+ε) ⊂ U . Положимx = sup{y : [a, y) ⊂ U}. Если x < b, то

x 6∈ U =⇒ x ∈ V =⇒ (x− δ, x] ⊂ V,

и мы пришли к противоречию. То же самое в случае, если x = b 6∈ U . Остаетсятолько вариант [a, b] ⊂ U , V = ∅. ¤При непрерывном отображении образ связного множества связен.

Утверждение 2. Пусть X, Y – топологические пространства, причем Xсвязно. Если f ∈ C(X, Y ), то f(X) связно.

Доказательство. Если

f(X) ⊂ U ∪ V и U ∩ V ∩ f(X) = ∅,то

X ⊂ f−1(U) ∪ f−1(V ) и f−1(U) ∩ f−1(V ) = ∅,откуда следует результат. ¤

2. Компоненты связности.

Утверждение 3. Пусть набор связных множеств Aα таков, что любые двамножества пересекаются. Тогда их объединение B = ∪αAα связно.

Доказательство. Пусть U и V – открытые множества, B ⊂ U ∪V , U ∩V = ∅.Для всякого α либо Aα ⊂ U , либо Aα ⊂ V . Если существуют два такие индексаβ и γ, что Aβ ⊂ U , Aγ ⊂ V , то

U ∩ V ⊃ Aβ ∩Aγ 6= ∅ =⇒ B ∩ U ∩ V 6= ∅,чего быть не может. Следовательно, все Aα содержатся в одном из множеств,например, Aα ⊂ U ∀α, и B ⊂ U . ¤


Определение 3. Пусть x ∈ X. Обозначим через Lx объединение всех связ-ных множеств Aα(x), содержащих точку x, Lx = ∪αAα(x). Множество Lx

называется связной компонентой точки x в топологическом пространстве X.

Замечание. Lx – наибольшее связное множество, содержащее точку x.

Утверждение 4. z ∈ Lx =⇒ Lz = Lx.

Доказательство. Lx – связно, z ∈ Lx. Следовательно,

Lx ⊂ Lz =⇒ x ∈ Lz =⇒ Lz ⊂ Lx. ¤

Теорема 1. Всякое топологическое пространство является объединениемнепересекающихся компонент связности.

Доказательство. Рассмотрим две точки x, y. Их компоненты связности Lx,Ly либо не пересекаются, либо совпадают, т.к. из z ∈ Lx ∩ Ly вытекает Lx =Lz = Ly. ¤

Упражнения.1) Докажите, что Q не связно в R.2) Докажите, что Lx = Lx.3) Докажите, что произведение связных пространств связно.

§7. Линейно связные множества


Определение 1. Путем, соединяющим точки x, y, называется непрерывноеотображение f : [0, 1] → X, такое что f(0) = x, f(1) = y.

Утверждение 1. Если существуют путь, соединяющий точки x, y, и путь,соединяющий точки y, z, то существует путь, соединяющий точки x, z.

Доказательство. Пусть f, g ∈ C([0, 1], X), f(0) = x, f(1) = y = g(0), g(1) = z.Положим h(t) = f(2t) при 0 6 t 6 1/2, h(t) = g(2t− 1) при 1/2 6 t 6 1. ¤

Определение 2. Пространство X называется линейно связным, если для лю-бых двух точек x, y ∈ X существует путь, их соединяющий.

Утверждение 2. Пусть X линейно связно. Если f ∈ C(X,Y ), то f(X)линейно связно.

Доказательство. Пусть y0 = f(x0) ∈ f(X), y1 = f(x1) ∈ f(X). Существуетg ∈ C([0, 1], X), такое что g(0) = x0, g(1) = x1. Положим h = f ◦g ∈ C([0, 1], Y ).Ясно, что h(0) = y0, h(1) = y1. ¤

Теорема 1. Всякое линейно связное пространство X связно.

Доказательство. Предположим, что существуют непустые U, V ∈ τX , такиечто

X = U ∪ V, U ∩ V = ∅.


Пусть x ∈ U , y ∈ V . Существует непрерывное отображение f : [0, 1] → X, прикотором f(0) = x, f(1) = y. Следовательно, множество f([0, 1]) не связно, чтопротиворечит результатам предыдущего параграфа. ¤

2. Примеры. 1) Рассмотрим в R2 множество

A = {(x; sin(1/x));x 6= 0} ∪ {(0; y); y ∈ [−1, 1]}.

Множество A связно, но не линейно связно.2) Множество M ⊂ Rn называется выпуклым, если для любых x, y ∈ M весь

отрезок {tx + (1− t)y; t ∈ [0, 1]} содержится в M . Всякое выпуклое множестволинейно связно; в частности, Rn и Br(x).

Упражнение. Докажите, что сфера Sn связна.


Глава II. Метрические пространства

В этой главе мы рассмотрим пространства, в которых ”близость” точек другк другу измеряется количественно; иначе говоря, задана функция расстояния.

§1. Расстояние

1. Пусть X – множество, ρ : X ×X → [0,∞).

Определение 1. (X, ρ) называется метрическим пространством, если выпол-нены следующие аксиомы:

1) ρ (x, y) = 0 ⇐⇒ x = y;2) ρ (x, y) = ρ (y, x) ∀x, y ∈ X;3) ρ (x, z) 6 ρ (x, y) + ρ (y, z) ∀x, y, z ∈ X (неравенство треугольника).Функция ρ называется метрикой или расстоянием. Шаром с центром в точке

x радиуса r называется множество Br(x) = {y ∈ X : ρ (x, y) < r}.Определение 2. Множество U ⊂ X называется открытым, если

∀x ∈ U ∃ε > 0 : Bε(x) ⊂ U.

Утверждение 1. Набор τ открытых множеств из определения 2 образуеттопологию.

Доказательство. Первые два свойства очевидны. Проверим третье. ПустьUk ∈ τ , V = ∩n

k=1Uk. Пусть x ∈ V . Существуют εk > 0, такие что Bεk(x) ⊂ Uk.

Положим ε = mink=1,...,n εk > 0. Тогда Bε(x) ⊂ V , следовательно, V ∈ τ . ¤Утверждение 2. Семейство всех шаровB = {Br(x) : x ∈ X, r > 0} являетсябазой топологии τ .

Утверждение 3. Пусть A – подмножество X. Тогда

x ∈ A ⇐⇒ Br(x) ∩A 6= ∅ ∀r > 0.

Доказательство. См. §I.2.1, теорема 1. ¤Утверждение 4. Если (X, ρ) – сепарабельное метрическое пространство,то (X, τρ) – пространство со счетной базой.

Доказательство. Пусть A = {xk}∞k=1, A = X. Тогда

∀y ∈ X ∀ε > 0 ∃xk ∈ A : ρ (xk, y) < ε.

Докажем, что семейство B = {B1/m(xk)}k,m∈N является базой. Пусть U ∈ τ ,y ∈ U . Существуютm и k, такие что B1/m(y) ⊂ U и ρ (xk, y) < 1/2m. ПоложимBy = B1/2m(xk). Ясно, что y ∈ By. Далее, если z ∈ By, то

ρ (y, z) <1

2m+ ρ (xk, z) <

1m

=⇒ z ∈ B1/m(y) =⇒ By ⊂ B1/m(y) ⊂ U.


Значит, U = ∪yBy. ¤

Замечание. Сравните с §I.5.2, утверждения 1 и 2.

Примеры. 1) Введем на произвольном множестве X метрику ρ (x, y) = 0, еслиx = y, ρ (x, y) = 1, если x 6= y. Соответствующая топология дискретна.

2) X = C, ρ (z1, z2) = |z1 − z2|.3) X = Sn.

2. Пусть (X, ρ) – метрическое пространство, {xn} ⊂ X.

Определение 3.

xn → x ⇐⇒ ∃ limn→∞

ρ (xn, x) = 0.

Утверждение 5 (единственность предела). Если xn → x и xn → y, тоx = y.

Доказательство. ρ (x, y) 6 ρ (x, xn) + ρ (xn, y) → 0. ¤

Утверждение 6. x ∈ A ⇐⇒ ∃{xn} ⊂ A : xn → x.

Доказательство. =⇒). Пусть x ∈ A. Имеем

B1/n(x) ∩A 6= ∅ =⇒ ∃ xn ∈ A : ρ (xn, x) <1n

=⇒ xn → x.

⇐=). Пусть {xn} ⊂ A, xn → x. Для любого ε > 0 существует такое N , чтоxn ∈ Bε(x) при всех n > N . Следовательно, x ∈ A. ¤

Теорема 1. Пусть (X, ρ), (Y, ρ′) – метрические пространства, f : X → Y ,f(x) = y. Следующие утверждения эквивалентны:

1) отображение f непрерывно в точке x;2) если xn → x, то f(xn) → y.

Доказательство. 1) =⇒ 2). Пусть f непрерывно в x и xn → x. Пусть ε > 0.Существует такое δ > 0, что f(Bδ(x)) ⊂ Bε(y). Начиная с некоторого номера,xn ∈ Bδ(x), поэтому ρ (f(xn), y) < ε, и значит, f(xn) → y.

2) =⇒ 1). Пусть ε > 0. Предположим, что для любого положительного δf(Bδ(x)) 6⊂ Bε(y). Тогда для любого n существует такая точка xn ∈ B1/n(x),что f(xn) 6∈ Bε(y). Теперь xn → x, но f(xn) 6→ y. Противоречие. ¤

Определение 4. Пусть f : (X, ρ) → (Y, ρ′) – биекция. Отображение f назы-вается изометрией, если

ρ′ (f(x1), f(x2)) = ρ (x1, x2) ∀x1, x2 ∈ X.

Замечание. f – изометрия =⇒ f−1 – изометрия.


Утверждение 7. f – изометрия =⇒ f ∈ C(X, Y ), f−1 ∈ C(Y, X).

Доказательство.

xn → x ⇐⇒ ρ (xn, x) → 0 ⇐⇒ f(xn) → f(x). ¤

Упражнения.1) Постройте пример метрического пространства, в котором шар большего

радиуса может содержаться в шаре меньшего радиуса.2) Пусть p – простое число. Любое рациональное число q 6= 0 представимо

в виде q = ab pn, где a, b, n – целые числа, причем a и b не делятся на p. Введем

функцию ϕ следующим образом: ϕ(q) = p−n при q 6= 0, ϕ(0) = 0. Докажите,что формула ρ (q1, q2) = ϕ(q1 − q2) задает некоторую метрику на множестверациональных чисел.

§2. Нормированные пространстваТак же как метрические пространства – важный частный случай тополо-

гических, так и нормированные пространства являются наиболее распростра-ненным частным случаем метрических.

1. Пусть E – линейное пространство над полем K, K = R или C.

Определение 1. E называется нормированным пространством, если на немзадан функционал, сопоставляющий каждому элементу x неотрицательное чис-ло ‖x‖ (норма x), удовлетворяющий следующим условиям:

1) ‖x‖ = 0 ⇐⇒ x = 0;2) ‖αx‖ = |α|‖x‖ ∀α ∈ K;3) ‖x + y‖ 6 ‖x‖+ ‖y‖ ∀x, y ∈ E.

Утверждение 1. Пусть E – нормированное пространство, ρ (x, y) = ‖x−y‖.Тогда (E, ρ) – метрическое пространство.

Доказательство. 1) очевидно из 1);2) ρ (y, x) = ‖(−1)(x− y)‖ = ‖(x− y)‖ в силу 2);3) ρ (x, z) = ‖x− z‖ 6 ‖x− y‖+ ‖y − z‖ = ρ (x, y) + ρ (y, z) согласно 3). ¤

2. Примеры.1) E = Rn, ‖x‖ =

√x2

1 + ... + x2n.

2) E = C[0, 1]. Введем норму ‖f‖ = maxx∈[0,1] |f(x)|.Утверждение 2. C[0, 1] – нормированное пространство.

Доказательство. 1) ‖f‖ = 0 ⇐⇒ f(x) = 0, ∀x ∈ [0, 1].2) ‖αf‖ = |α|‖f‖.3)

|(f + g)(x)| 6 |f(x)|+ |g(x)| 6 ‖f‖+ ‖g‖ ∀x ∈ [0, 1]

=⇒ max |f(x) + g(x)| 6 ‖f‖+ ‖g‖. ¤


Замечание. C[0, 1] – сепарабельное пространство. В нем плотно множество по-линомов с рациональными коэффициентами (проще доказать, впрочем, плот-ность множества кусочно линейных функций).

3) Через l∞ обозначим пространство ограниченных последовательностей ве-щественных чисел,

x = (ξ1, ξ2, ..., ξn, ...) ∈ l∞ ⇐⇒ supk∈N

|ξk| < ∞.

Линейные операции введем покоординатно, т.е. αx = (αξk)k∈N, и если y =(ηk)k∈N, то x + y = (ξk + ηk)k∈N.

Утверждение 3. Функционал ‖x‖ = supk∈N |ξk| является нормой в l∞.

Утверждение 4. Пространство l∞ не сепарабельно.

Доказательство. Рассмотрим множество M всех последовательностей, состо-ящих из нулей и единиц. M имеет мощность континуума (см. §0.2 пример 2) иM ⊂ l∞. Предположим, что некоторое множество A плотно в l∞, A = l∞. Тог-да B1/2(x)∩A 6= ∅ ∀x ∈ M . С другой стороны, если x 6= y ∈ M , то ‖x− y‖ = 1,и следовательно, B1/2(x)∩B1/2(y) = ∅. Отсюда вытекает, что множество A несчетно. ¤Упражнения.

1) Через lp, p > 1, обозначается пространство последовательностей, сумми-руемых со степенью p,

x = (ξ1, ξ2, ..., ξn, ...) ∈ lp ⇐⇒∞∑

k=1

|ξk|p =: ‖x‖plp

< ∞.

Докажите, что l1 – сепарабельное нормированное пространство.2) Докажите, что lp – сепарабельное нормированное пространство.

§3. Полные метрические пространства

1. Пусть (X, ρ) – метрическое пространство.

Определение 1. Последовательность {xn}∞n=1 называется фундаментальной,если для любого положительного ε существует такое N , что ρ (xn, xm) < ε привсех n,m > N .

Утверждение 1. Если xn → x, то {xn} фундаментальна.Доказательство. ∀ε > 0 ∃N : ρ (xn, x) < ε/2 ∀n > N =⇒

ρ (xn, xm) 6 ρ (xn, x) + ρ (x, xm) < ε ∀n,m > N. ¤

Определение 2. Пространство X называется полным, если любая фундамен-тальная последовательность является сходящейся.


Определение 3. Полное нормированное пространство называется банаховым.

Замечание. Stefan Banach, Польша, 1892 – 1945.

Примеры полных пространств. 1) Rn; 2) C[a, b]; 3) l∞.

Утверждение 2. l∞ полно.

Доказательство. Рассмотрим фундаментальную последовательность xn эле-ментов l∞, xn = (ξ(n)

k )k∈N и ρ (xn, xm) → 0. Имеем

∣∣‖xn‖ − ‖xm‖∣∣ 6 ‖xn − xm‖ =⇒ ‖xn‖ 6 C.

Далее, из соотношения |ξ(n)k −ξ

(m)k | 6 ‖xn−xm‖ → 0 вытекает, что при каждом

k существует такое вещественное число ηk, что ξ(n)k → ηk, причем |ηk| 6 C.

Положим y = (η1, η2, ...) ∈ l∞. Нам известно, что для любого ε > 0 существуеттакое N , что

|ξ(n)k − ξ

(m)k | < ε ∀n,m > N ∀k ∈ N.

Переходя в неравенстве к пределу по n →∞, получим |ηk − ξ(m)k | 6 ε, ∀m > N .

Отсюда следует ‖y − xm‖ → 0. ¤

2. Этот пункт посвящен двум теоремам, имеющим место в полных метри-ческих пространствах. Ниже (X, ρ) – полное пространство.

Определение 4. Отображение F : X → X называется сжатием, если

∃α < 1 : ρ (F (x), F (y)) 6 αρ (x, y) ∀x, y ∈ X.

Утверждение 3. Всякое сжатие непрерывно.


xn → x =⇒ ρ (F (xn), F (x)) 6 αρ (xn, x) → 0 =⇒ F (xn) → F (x). ¤

Теорема 1 (принцип сжимающих отображений). Если отображение Fявляется сжатием, то существует единственная неподвижная точка y ∈ X(т.е. такая, что F (y) = y).

Доказательство. См. в курсе матанализа. ¤

Положим Kr(x) := {y ∈ X : ρ (x, y) 6 r}.Утверждение 4. Множество Kr(x) замкнуто.


yn → y, ρ (x, yn) 6 r =⇒ ρ (x, y) 6 r. ¤


Теорема 2 (о вложенных шарах). Пусть Kn = Krn(xn) – последователь-

ность вложенных замкнутых шаров, Kn+1 ⊂ Kn, радиусы которых стремят-ся к нулю, rn → 0. Тогда существует единственная точка z, принадлежащаявсем шарам Kn (т.е. ∩∞n=1Kn = {z}).Доказательство. Существование. При m > n точка xm ∈ Km ⊂ Kn, зна-чит, ρ (xn, xm) 6 rn → 0, поэтому последовательность {xn} фундаментальна,следовательно, существует такая z, что xn → z. При этом

xn, xn+1, ... ∈ Kn =⇒ z ∈ Kn =⇒ z ∈∞⋂

n=1

Kn.

Единственность. Пусть y, z ∈ Kn при всех n. Тогда

ρ (y, z) 6 ρ (xn, y) + ρ (xn, z) 6 2rn → 0 =⇒ y = z. ¤

Упражнения.1) Докажите, что C[a, b] полно.2) Постройте полное метрическое пространство X и отображение F : X →

X, обладающее свойством ρ (F (x), F (y)) < ρ (x, y), ∀x 6= y, но не имеющеенеподвижных точек.

3) Постройте полное метрическое пространствоX и последовательность вло-женных замкнутых шаров, пересечение которых было бы пусто.

§4. ПополнениеВ этом параграфе мы покажем, что любое метрическое пространство может

быть вложено в некоторое полное пространство.


Утверждение 1. |ρ (x, y)− ρ (x′, y′)| 6 ρ (x, x′) + ρ (y, y′).

Утверждение 2. Если последовательности {xn}, {yn} – фундаментальны,то существует предел limn→∞ ρ (xn, yn).

Доказательство. |ρ (xn, yn)− ρ (xm, ym)| 6 ρ (xn, xm) + ρ (yn, ym) → 0. ¤Определение 1. Будем говорить, что фундаментальные последовательности{xn}, {yn} эквивалентны и писать {xn} ∼ {yn}, если limn→∞ ρ (xn, yn) = 0.

Утверждение 3. Отношение ∼ является отношением эквивалентности.Пусть x = {{xn}n∈N} – класс эквивалентных фундаментальных последова-

тельностей. Введем на множестве X таких классов, X = {x}, функцию ρ.

Определение 2. Пусть {xn} – какой-то представитель класса x, {yn} – классаy. Тогда положим

ρ (x, y) = limn→∞

ρ (xn, yn).


Утверждение 4 (корректность определения). Если {xn} ∼ {x′n} и {yn} ∼{y′n}, то lim ρ (xn, yn) = lim ρ (x′n, y′n).

Доказательство. Из утверждения 1. ¤Утверждение 5. (X, ρ) – метрическое пространство.

Доказательство. Ясно, что ρ (x, y) > 0. Проверим свойства расстояния.1)

ρ (x, y) = 0 ⇐⇒ lim ρ (xn, yn) = 0 ⇐⇒ {xn} ∼ {yn}.2) ρ (x, y) = ρ (y, x) – очевидно.3) Пусть последовательности {xn}, {yn}, {zn} – фундаментальны. Переходя

в неравенстве треугольника ρ (xn, zn) 6 ρ (xn, yn) + ρ (yn, zn) к пределу по n,получаем ρ (x, z) 6 ρ (x, y) + ρ (y, z). ¤

2. Определим отображение j : X → X, сопоставляющее каждому элементуx ∈ X класс последовательностей, сходящихся к этому элементу,

j(x) = x = {{xn} : xn → x}.

Замечание. j(x) 6= ∅, например, xn ≡ x.

Утверждение 6. ρ (j(x), j(y)) = ρ (x, y) ∀x, y ∈ X.

Доказательство. Если xn → x и yn → y, то ρ (xn, yn) → ρ (x, y). ¤

Будем отождествлять X и j(X) ⊂ X (они изометричны).

Утверждение 7. j(X) плотно в X.

Доказательство. Пусть ε > 0, x ∈ X, {xn} ∈ x. Существует такое N , чтоρ (xn, xm) < ε при всех n, m > N . При фиксированном n получаем ρ (j(xn), x) =limm→∞ ρ (xn, xm) 6 ε. ¤

Утверждение 8. (X, ρ) полно.

Доказательство. Пусть последовательность {xn} такова, что ρ (xn, xm) → 0при n,m →∞. При каждом n существует такая yn ∈ X, что ρ (j(yn), xn) < 1/n.Следовательно, ρ (yn, ym) → 0 и последовательность {yn} фундаментальна.Обозначим через y класс последовательностей, эквивалентных {yn}. Тогдаρ (xn, y) 6 ρ (xn, yn) + ρ (yn, y) → 0. ¤

Определение 3. Полное метрическое пространство (X, ρ) называется попол-нением метрического пространства (X, ρ), если X содержится и плотно в X и,кроме того, ρ |X≡ ρ.

Подведем итог предыдущих построений.

Теорема 1. У всякого метрического пространства существует пополне-ние.

Замечание. Пополнение единственно с точностью до изометрии.

3. Примеры.


Утверждение 9. На пространстве C [−1, 1] функционал

‖f‖1 =∫ 1

−1

|f(t)|dt

является нормой.

Утверждение 10. Пространство C [−1, 1] с нормой ‖.‖1 не полно.Доказательство. Рассмотрим последовательность функций

fn(x) =

−1, x 6 −1/n,

nx, −1/n 6 x 6 1/n,

1, x > 1/n.

Легко видеть, что ‖fn−fm‖ = |n−1−m−1| и последовательность {fn} фундамен-тальна. Предположим, что fn → g. Тогда

∫ 1

0|fn(t)−g(t)|dt → 0, значит g(t) = 1

при t > 0. Аналогично, g(t) = −1 при t < 0, тем самым, g 6∈ C[−1, 1]. ¤Замечания. 1) Пополнением пространства непрерывных функций по этой нор-ме является пространство L1(−1, 1) функций, для которых сходится интеграл∫ 1

−1|f(t)|dt (но интеграл надо понимать по Лебегу).

2) При p > 1 вводится пространство Lp(a, b) функций, для которых сходится

интеграл∫ 1

−1|f(t)|pdt с нормой ‖f‖Lp =

(∫ b

a|f(t)|pdt

)1/p

.

Упражнение. Докажите, что если E – линейное нормированное пространство,то его пополнение E является банаховым.


Глава III. Отделимость и компактность

§1. Аксиомы отделимости


Определение 1. (X, τ) удовлетворяет аксиоме T1, если для любых двух раз-личных точек x, y существует окрестность Ox точки x, не содержащая y.

Утверждение 1. Если X удовлетворяет аксиоме T1, то1) одноточечные множества {x} замкнуты;2) конечные множества {x1, ..., xn} замкнуты.

Доказательство. 1) Для всякой точки y ∈ X \ {x} существует окрестностьOy ⊂ X \ {x}, следовательно X \ {x} открыто;

2) очевидно. ¤Примеры. 1) Пусть X = {a; b}, τ = {∅, {b}, X}. Топология, но не T1.

2) Пусть X = R, τ = {(c,∞)}. Топология, но не T1.

Определение 2. (X, τ) удовлетворяет аксиоме T2 (хаусдорфово пространст-во), если у любых двух различных точек x, y существуют непересекающиесяокрестности Ox, Oy.

Замечание. Felix Hausdorff, 1868 – 1942.

Утверждение 2. T2 =⇒ T1.

Утверждение 3. Если X и Y – хаусдорфовы пространства, то их произве-дение Z = X × Y тоже хаусдорфово.

Доказательство. Пусть (x1, y1) = z1 6= z2 = (x2, y2). Не ограничивая общнос-ти, можно считать, что x1 6= x2. Существуют непересекающиеся окрестностиOk точек xk в пространстве X, k = 1, 2. Тогда Vk = Ok × Y – окрестноститочек zk в Z и V1 ∩ V2 = ∅. ¤Примеры. 1) На любом бесконечном множестве топология Зарисского удовле-творяет аксиоме T1 и не удовлетворяет T2.

2) Прямая с двойным нулем.


Определение 3. (X, τ) удовлетворяет аксиоме T3, если для любых замкнутогомножества F и точки x 6∈ F существуют окрестность Ox точки x и открытоемножество G, такие что F ⊂ G и Ox ∩G = ∅. Пространство, удовлетворяющееаксиомам T1 и T3 называется регулярным.

Утверждение 4. Если пространство регулярно, то оно хаусдорфово.

Определение 4. (X, τ) удовлетворяет аксиоме T4, если для любых двух не-пересекающихся замкнутых множеств F1 и F2 существуют открытые непере-секающиеся множества G1 и G2, такие что F1 ⊂ G1, F2 ⊂ G2. Пространство,удовлетворяющее аксиомам T1 и T4 называется нормальным.


Утверждение 5. Если пространство нормально, то оно регулярно.

Примеры. 1) В ”пространстве слипшихся точек” с топологией τ = {∅, X} вы-полнены аксиомы T3 и T4, но нет T1 и T2.

2) Дискретная топология удовлетворяет всем аксиомам.3) Пусть X = R, τ – обычная топология на прямой. Пусть F = {1/n}n∈N.

Введем топологию τ ′, включающую все множества вида U \ F , где U ∈ τ ,F ⊂ F . Аксиома T2 выполнена, а T3 – нет, т.к. точка 0 и множество F = F неотделимы.

Упражнения.1) Докажите, что пространство X хаусдорфово тогда и только тогда, когда

в пространстве X ×X ”диагональ” (т.е. множество {(x, x)}) замкнута.2) Введем на множестве [0, 1] отношение эквивалентности x ∼ y ⇐⇒ x− y ∈

Q. Докажите, что пространство ([0, 1]/ ∼) не хаусдорфово.3) Докажите, что всякое регулярное топологическое пространство со счетной

базой нормально (теорема Тихонова).

§2. Нормальные пространства

1. Пусть (X, τ) – нормальное пространство.

Утверждение 1. Если замкнутое множество F содержится в открытоммножестве U , F ⊂ U , то существует открытое множество G, такое чтоF ⊂ G, G ⊂ U .

Доказательство. Положим F1 = F , F2 = X \ U . Существуют G1, G2 ∈ τ , длякоторых F1 ⊂ G1, F2 ⊂ G2 и G1 ∩G2 = ∅. В качестве G можно взять G1. ¤Теорема 1 (Урысон). Пусть X – нормальное пространство, A и B – непе-ресекающиеся замкнутые множества. Тогда существует непрерывная функ-ция f ∈ C(X, [0, 1]), такая что f |A= 0, f |B= 1.

Доказательство. Первый шаг. Рассмотрим на отрезке [0, 1] числа вида r =2−nk, где n = 0, 1, 2, ...; k = 0, 1, ..., 2n. Докажем, что существует семействооткрытых множеств G(r), обладающих следующими свойствами: A ⊂ G(0);G(r) ⊂ G(r′) при r < r′; X \B = G(1). Доказательство проведем индукцией поn. База n = 0. Здесь r = 0 или r = 1.

∃G(0) : A ⊂ G(0), G(0) ⊂ X \B =: G(1).

Переход n− 1 → n. Добавляются числа вида r = (2m + 1)/2n. По предположе-нию G(2m/2n) ⊂ G((2m + 2)/2n). В силу утверждения 1

∃G(

2m + 12n

): G

(2m

2n

)⊂ G

(2m + 1

2n

), G

(2m + 1

2n

)⊂ G

(2m + 2

2n

).

Положим еще G(r) = ∅ при r < 0, G(r) = X при r > 1.Второй шаг. Положим f(x) = sup{r : x 6∈ G(r)}. Если x ∈ A, то x ∈

G(0) и f(x) = 0. Если x ∈ B, то x 6∈ G(1) и f(x) = 1. Остается доказатьнепрерывность f .


Пусть y ∈ X и ε > 0. Существуют такое n, что 2−n < ε, и такое r, чтоf(y) < r < f(y) + 2−n. Следовательно, y ∈ G(r) и y 6∈ G(r − 2−n). Введеммножество U = G(r) \ G(r − 2−n). Ясно, что y ∈ U ∈ τ . Далее, для любогоz ∈ U имеем

z ∈ G(r) =⇒f(z) 6 r < f(y) + 2−n

z 6∈ G(r − 2−n) =⇒f(z) > r − 2−n > f(y)− 2−n

}=⇒ |f(y)− f(z)| < 2−n < ε,

тем самым, f непрерывна. ¤

2. Пусть (X, τ) – метрическое пространство. Введем понятие расстояния отточки до множества: ρ (x,A) = infy∈A ρ (x, y).

Утверждение 2. x 6∈ F = F =⇒ ρ (x, F ) > 0.

Доказательство. МножествоX\F открыто, следовательно, существует такоеположительное ε, что

Bε(x) ⊂ X \ F =⇒ ρ (x, y) > ε ∀y ∈ F. ¤

Теорема 2. Всякое метрическое пространство нормально.

Доказательство. Выполнение аксиомы T1 (и T2) очевидно. Проверим T4.Пусть F1, F2 – замкнутые непересекающиеся множества. Для всякого x ∈ F1

положим r1(x) = ρ (x, F2)/2 > 0. Образуем множество G1 = ∪x∈F1Br1(x)(x).Ясно, что F1 ⊂ G1 ∈ τ . Аналогично поступим с F2:

r2(y) = ρ (y, F1)/2 > 0, G2 =⋃

y∈F2

Br2(y)(y), F2 ⊂ G2 ∈ τ.

Предположим теперь, что найдется точка z ∈ G1 ∩ G2. Тогда существуютxk ∈ Fk, такие что ρ (xk, z) < rk(xk), k = 1, 2. Следовательно,

ρ (x1, x2) < r1(x1) + r2(x2) =12(ρ (x1, F2) + ρ (x2, F1))

6 12(ρ (x1, x2) + ρ (x2, x1)) = ρ (x1, x2),

и мы пришли к противоречию. Поэтому G1 ∩G2 = ∅. ¤


Определение 1. Пространство (X, τ) называется метризуемым, если сущест-вует такая метрика ρ : X ×X → [0,∞), что τ = τρ.

Утверждение 3. Всякое метризуемое пространство нормально.

Доказательство. Теорема 2. ¤Теорема 3 (Урысон). Нормальное топологическое пространство со счет-ной базой метризуемо.


Упражнение. Предъявите два замкнутых непересекающихся подмножества Aи B прямой R, для которых infx∈A,y∈B ρ (x, y) = 0.


§3. Компактные множества


Определение 1. Множество Y ⊂ X называется компактным, если из любогоего открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие, т.е.

Y ⊂⋃α

Uα, Uα ∈ τ =⇒ ∃α1, ..., αN : Y ⊂N⋃

k=1

Uαk.

Утверждение 1. Если множества Y1, ... Ym компактны, то их объединениеY = ∪m

j=1Yj тоже компактно.

Утверждение 2. Пусть Y – компактно, F – его замкнутое подмножество,F = F ⊂ Y . Тогда F компактно.

Доказательство. Пусть F ⊂ ∪αUα, Uα ∈ τ . Положим V = (X \ F ) ∈ τ . Тогда

Y ⊂ (⋃α

Uα)⋃

V =⇒ ∃α1, ..., αN : Y ⊂ (N⋃

k=1

Uαk)⋃

V

и F ⊂ ⋃Nk=1 Uαk

. ¤Примеры. 1) X = {x1, ..., xn} – компактно;

2) Rn не компактно.Образ компактного множества при непрерывном отображении компактен.

Теорема 1. Пусть X, Y – топологические пространства, причем X ком-пактно. Если f ∈ C(X,Y ), то f(X) компактно в Y .

Доказательство. Пусть f(X) ⊂ ∪αVα, Vα ∈ τY . Множества Uα = f−1(Vα)открыты в X. Имеем

X ⊂⋃α

Uα =⇒ X ⊂N⋃

k=1

Uαk=⇒ f(X) ⊂

N⋃

k=1

Vαk. ¤

2. Пусть (X, τ) – хаусдорфово пространство.

Утверждение 3. Пусть K ⊂ X, K компактно, y 6∈ K. Тогда существуютоткрытые множества U , V , такие что K ⊂ U , y ∈ V , U ∩ V = ∅.Доказательство. Для любой точки x ∈ K существуют открытые Ux, Vx, длякоторых x ∈ Ux, y ∈ Vx, Ux ∩ Vx = ∅. В силу компактности K, из того, чтоK ⊂ ∪xUx, вытекает, что существуют точки x1, ..., xN , такие чтоK ⊂ ∪N

j=1Uxj .Остается положить

U =N⋃

j=1

Uxj , V =N⋂

j=1

Vxj . ¤


Утверждение 4. В хаусдорфовом пространстве любое компактное мно-жество замкнуто.

Доказательство. Пусть K – компактно в X. По предыдущему утверждениюдля любой точки y 6∈ K существует открытое V , такое что y ∈ V ⊂ X \ K.Следовательно, (X \K) ∈ τ . ¤Теорема 2. Если (X, τ) – компактное хаусдорфово пространство, то ононормально.

Доказательство. Пусть F1, F2 – замкнутые непересекающиеся множества. Всилу утверждения 2, F1 и F2 компактны. Для каждой y ∈ F2 найдем, соглас-но утверждению 3, открытые непересекающиеся множества Uy, Vy, такие чтоF1 ⊂ Uy, y ∈ Vy. Имеем

F2 ⊂⋃y

Vy =⇒ ∃{y1, ..., yN} : F2 ⊂N⋃

k=1

Vyk.

Положим

G1 =N⋂

k=1

Uyk, G2 =

N⋃

k=1

Vyk.

Эти множества открыты и не пересекаются, тем самым, мы проверили T4. ¤Утверждение 5. Пусть X – компактное пространство, Y – хаусдорфово,а отображение f : X → Y биективно. Если f непрерывно, то и обратноеотображение f−1 непрерывно (т.е. f – гомеоморфизм).

Доказательство. Если F = F ⊂ X, то F компактно. По теореме 1 множес-тво f(F ) тоже компактно, и следовательно, замкнуто. Таким образом, дляотображения f−1 прообраз любого замкнутого множества замкнут. ¤Упражнения.

1) Докажите, что произведение компактных пространств компактно.2) Докажите, что если f : R → R – непрерывная биекция, то f−1 также

непрерывна.3) Топологическое пространство называется локально компактным, если лю-

бая его точка обладает компактной окрестностью. Докажите, что локальнокомпактное хаусдорфово пространство регулярно.

§4. Компактность в метрических пространствах

1. Компактность в Rn.

Теорема 1 (Гейне – Борель). Отрезок [a, b] компактен.

Доказательство. Предположим, что [a, b] ⊂ ∪αUα и из открытого покрытияUα нельзя выбрать конечное подпокрытие. Разделим отрезок пополам и обо-значим через [a1, b1] тот, который нельзя покрыть конечным числом множествUα. И т. д. На n-ном шаге получим отрезок [an, bn], длина которого равна(b−a)2−n. По теореме о вложенных промежутках существует точка c, принад-лежащая всем [an, bn]. По условию c ∈ Uα0 при некотором α0. Следовательно,существует такое m, что [am, bm] ⊂ Uα0 . Противоречие. ¤


Утверждение 1. Параллелепипед [a1, b1]× ...× [an, bn] компактен в Rn.

Доказательство. Аналогично. ¤Теорема 2. Множество K ⊂ Rn компактно тогда и только тогда, когдаоно замкнуто и ограничено.

Доказательство. =⇒) Замкнутость компактного K вытекает из хаусдорфо-вости Rn. Докажем ограниченность.

K ⊂∞⋃

m=1

Bm(0) =⇒ ∃M : K ⊂ BM (0).

⇐=) K – ограничено, значит, K ⊂ Q = [−L,L]× ...× [−L,L] при некоторомL. Множество Q компактно, K замкнуто, следовательно, компактно. ¤Следствие 1. Сфера S2 не гомеоморфна плоскости R2.

Следствие 2 (теорема Вейерштрасса). Пусть (X, τ) – компактное то-пологическое пространство, f – непрерывная функция, f ∈ C(X,R). Тогдаf ограничена и существуют такие точки a, b ∈ X, что f(a) = minx∈X f(x),f(b) = maxx∈X f(x).

Замечание. Пусть (X, τ) – компактно. Линейное пространство C(X,R) явля-ется банаховым с нормой ‖f‖ = maxx∈X |f(x)|.


Определение 1. Множество M называется секвенциально компактным, еслииз любой последовательности точек {xn} ⊂ M можно выбрать сходящуюся кнекоторой точке M подпоследовательность xnk

→ x ∈ M .

Утверждение 2. Секвенциально компактное множество замкнуто.

Теорема 3. В метрическом пространстве множество компактно тогда итолько тогда, когда оно секвенциально компактно.


Упражнения.1) Множество M называется вполне ограниченным, если для любого ε >

0 существует конечный набор точек {y1, ..., yn}, такой что M ⊂ ∪nk=1Bε(yk).

Докажите, что в полном метрическом пространстве множество секвенциальнокомпактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограничено(теорема Хаусдорфа).

2) Если X – топологическое пространство со счетной базой, то из любогоего открытого покрытия можно выбрать счетное подпокрытие.

3) Докажите теорему 3.


Глава IV. Гомотопии

При гомеоморфизмах топологических пространств остаются инвариантны-ми их гомотопические группы. Эти группы являются одним из основных ин-струментов изучения топологических пространств. В этой главе мы определимпервую гомотопическую группу – группу Пуанкаре.

§1. Гомотопные отображения

1. Пусть X, Y – топологические пространства, f, g ∈ C(X, Y ).

Определение 1. Отображения f и g называются гомотопными (мы будемписать f ∼ g), если существует такое отображение F ∈ C(X × [0, 1], Y ), чтоF (x, 0) = f(x), F (x, 1) = g(x).

Утверждение 1. Гомотопия – отношение эквивалентности на C(X,Y ).

Доказательство. 1) f ∼ f , т.к. можно взять F (x, t) = f(x).2) Если f ∼ g, то g ∼ f , т.к. можно взять G(x, t) = F (x, 1− t).3) Если f ∼ g и g ∼ h, то f ∼ h, т.к. можно взять

H(x, t) =

[F (x, 2t), 0 6 t 6 1/2,

G(x, 2t− 1), 1/2 6 t 6 1,

где F и G – отображения, реализующие гомотопии f ∼ g и g ∼ h. ¤

2. Пусть X – топологическое пространство, x0 ∈ X.

Определение 2. Пространство X называется стягиваемым, если гомотопныотображения f0 и f1, где f0(x) = x0, f1(x) = x.

Утверждение 2. Если пространство X стягиваемо, то оно линейно связно.

Доказательство. По условию существует такое F ∈ C(X × [0, 1], X), чтоF (x, 0) = x0, F (x, 1) = x. Для произвольной точки y ∈ X рассмотрим ото-бражение g : [0, 1] → X, g(t) = F (y, t). Ясно, что g непрерывно, g(0) = x0,g(1) = y, тем самым, существует путь, соединяющий y и x0. Аналогично,для любой z ∈ X существует путь, соединяющий z и x0, а следовательно (см.§I.7.1, утверждение 1), и путь, соединяющий y и z. ¤Утверждение 3. Определение стягиваемости не зависит от точки x0.

Доказательство. Пусть x0 ∈ X, X – стягиваемо. Пусть x ∈ X. Докажем, чтоf0 ∼ f , где f0(x) = x0, f(x) = x. X – линейно связно, поэтому существует путьh ∈ C([0, 1], X), h(0) = x0, h(1) = x. Теперь достаточно взять F (x, t) = h(t). ¤Пример. Любое выпуклое множество M ⊂ Rn стягиваемо. Действительно,пусть x0 ∈ M . Положим F (x, t) = t(x−x0)+x0. Имеем F (x, t) ∈ M , ∀x ∈ M, t ∈[0, 1], F непрерывно, F (x, 0) = x0, F (x, 1) = x. В частности, Rn стягиваемо.

Упражнение. Пусть X, Y – топологические пространства, причем Y стягивае-мо. Докажите, что любые два непрерывных отображения из X в Y гомотопны.


§2. Теорема Брауэра

Теорема 1. Сфера Sn−1 не стягиваема.

Доказательство. Мы рассмотрим только случай n = 2 (окружность), а слу-чай n > 2 оставим без доказательства.Выберем на окружности три точки A, B и C. Предположим, наше утверж-

дение неверно и существует отображение F ∈ C(S1 × [0, 1], S1), для которогоF (x, 0) = A, F (x, 1) = x, F (A, t) = A. Развернем цилиндр S1 × [0, 1] в пря-моугольник (разрыв окружности по точке A) и разобьем его на квадраты, акаждый квадрат – на два треугольника. Таким образом, каждый узел по-лучившейся сетки служит вершиной шести треугольников. Будем считать,что триангуляция настолько мелкая, что для каждой вершины V образ всехшести треугольников при отображении F содержится внутри дуги (ABC), ли-бо (BCA), либо (CAB). Сопоставим каждой вершине V соответственно бук-ву B, либо C, либо A. В верхней ”строке” прямоугольника окажется словоAA...BB...CC...AA, а в нижней и на боковых сторонах будут только буквы A.Отметим, что не может оказаться так, что вершинам какого-то одного тре-угольника сопоставлены три разные буквы.Теперь соединим верхние левую и правую вершины нашего прямоугольни-

ка ломаной. Будем двигать ее вниз, ”откусывая” на каждом шаге по одномутреугольнику, так что в первый момент она совпадала с верхней стороной, а впоследний – с тремя остальными сторонами прямоугольника. На каждом ша-ге сопоставим ломаной число по следующему алгоритму. Если звено ломанойсоединяет две вершины, которым соответствуют одинаковые буквы, т.е. AA,BB или CC, то такому звену сопоставим 0. Если звено соответствует переходу(при движении по ломаной слева направо) AB, BC или CA, то 1, если переходуAC, CB или BA, то -1. А всей ломаной – сумму чисел, сопоставленных звень-ям. Таким образом, в начальный момент ломаной соответствует число 3, а вконечный – 0. Нетрудно проверить, что при ”съедании” одного треугольникасумма, соответствующая ломаной, измениться не может (т.к. с точностью дозамены букв каждый треугольник – это либо AAB, либо ABA, либо AAA).Мы пришли к противоречию. ¤

Теорема 2 (Брауэр). Пусть B – замкнутый единичный шар в Rn, f : B → B– непрерывное отображение. Тогда существует хотя бы одна неподвижнаяточка x = f(x).

Доказательство. n = 1). Здесь f ∈ C[−1, 1]. Положим g(t) = t− f(t). Имеемg(−1) 6 0, g(1) > 0, следовательно, существует такая точка t, что g(t) = 0 иf(t) = t.

n > 2). Предположим, что f ∈ C(B, B) и f(x) 6= x ни при каком x ∈ B.Определим точку h(x) как пересечение луча [f(x), x) со сферой S. Ясно, чтоотображение h : B → S непрерывно и что h(x) = x, если x ∈ S. Введемобозначение x0 := h(0) ∈ S и рассмотрим отображение F : S × [0, 1] → S,заданное по формуле F (x, t) = h(tx). Т.к. F (x, 0) = x0, F (x, 1) = x, отсюдаследовало бы, что сфера стягиваема, что противоречит предыдущей теореме.Значит, наше предположение неверно и существует хотя бы одна неподвижная


точка. ¤Примеры. 1) Если рассмотреть на плоскости кольцо X, то поворот на какой-нибудь угол является непрерывным отображением X в себя, не имеющим не-подвижных точек.

2) Рассмотрим множество натуральных чисел как метрическое простран-ство с метрикой ρ (n, m) = 1 − δnm. Отображение f(n) = n + 1 является не-прерывным отображением замкнутого единичного шара в себя, не имеющимнеподвижных точек.

Упражнение. Пусть X – топологическое пространство, гомеоморфное замкну-тому шару в Rn. Докажите, что всякое непрерывное отображение пространст-ва X в себя имеет неподвижную точку.

§3. Фундаментальная группа

1. Пусть X – топологическое пространство, x0 ∈ X.

Определение 1. Петлей называется такое отображение ϕ ∈ C([0, 1], X), чтоϕ(0) = ϕ(1) = x0. Множество всех петель с началом и концом в x0 обозначимчерез Π.

Утверждение 1. Гомотопия – отношение эквивалентности в Π.

Определение 2. Классы эквивалентных петель будем обозначать [ϕ] = {ψ ∈Π : ψ ∼ ϕ}. Множество классов эквивалентности обозначим π1(X,x0) = {[ϕ]}.Определение 3. Произведением петель назовем отображение

(ϕ · ψ)(t) =

[ϕ(2t), t 6 1/2

ψ(2t− 1), t > 1/2.

Замечание. Ясно, что ϕ · ψ ∈ Π.

Утверждение 2.

ϕ ∼ ϕ, ψ ∼ ψ, =⇒ ϕ · ψ ∼ ϕ · ψ.

Таким образом, корректно определено произведение [ϕ] [ψ] = [ϕ · ψ].

Теорема 1. π1(X, x0) – группа.

Доказательство. 1) Положим ϕ0(t) = x0. Проверим, что класс петель, го-мотопных ϕ0, обладает свойствами единицы группы, e = [ϕ0]. Пусть ϕ ∈ Π,ψ = ϕ · e,

ψ(t) =

[ϕ(2t), t 6 1/2

x0, t > 1/2.

Отображение

F (s, t) =

ϕ

(2s

t + 1

), 0 6 s 6 t + 1

2x0, (t + 1)/2 6 s 6 1


принадлежит классу C([0, 1] × [0, 1], X) и F (s, 0) = ψ(s), F (s, 1) = ϕ(s). Темсамым, ψ ∼ ϕ.

2) Положим ϕ−1(t) = ϕ(1 − t). Проверим, что класс петель [ϕ−1] обладаетсвойствами обратного элемента, [ϕ]−1 = [ϕ−1]. Пусть ψ = ϕ · ϕ−1,

ψ(t) =

[ϕ(2t), t 6 1/2

ϕ(2− 2t), t > 1/2.

Отображение

F (s, t) =

x0, s 6 t/2

ϕ(2s− t), t/2 6 s 6 1/2

ϕ(2− 2s− t), 1/2 6 s 6 1− t/2

x0, 1− t/2 6 s

принадлежит классу C([0, 1] × [0, 1], X) и F (s, 0) = ψ(s), F (s, 1) = x0. Темсамым, ψ ∼ ϕ0.

3) Пусть ϕ, ψ, χ ∈ Π. Докажем, что (ϕ · ψ) · χ ∼ ϕ · (ψ · χ). Нужнымисвойствами обладает отображение

F (s, t) =

ϕ

(4s

t + 1

), 0 6 s 6 t + 1

4ψ(4s− t− 1), (t + 1)/4 6 s 6 (t + 2)/4

χ

(4s− 2− t

2− t

),

t + 24

6 s 6 1

. ¤

Определение 4. π1(X, x0) называется фундаментальной группой простран-ства X с отмеченной точкой x0.

Примеры. 1) Фундаментальная группа круга тривиальна. 2) Фундаменталь-ная группа кольца на плоскости нетривиальна (изоморфна Z).

2. Пусть X, Y – топологические пространства. В этом пункте мы докажем,что фундаментальные группы гомеоморфных пространств изоморфны.

Теорема 2. Пусть f : X → Y – гомеоморфизм, f(x0) = y0. Тогда π1(X,x0) 'π1(Y, y0).

Доказательство. Пусть

ΠX = {ϕ ∈ C([0, 1], X) : ϕ(0) = ϕ(1) = x0},ΠY = {ψ ∈ C([0, 1], Y ) : ψ(0) = ψ(1) = y0}.

Отображение G : ΠX → ΠY , сопоставляющее каждой петле ϕ ∈ Πx петлюG(ϕ) = f ◦ ϕ ∈ ΠY , является биекцией. Если ϕ ∼ ϕ, то G(ϕ) ∼ G(ϕ). Такимобразом, возникает биекция

g : π1(X,x0) → π1(Y, y0), g[ϕ] = [G(ϕ)].


Проверим, что отображение g переводит произведение в произведение. Пустьϕ1, ϕ2 ∈ ΠX , G(ϕ1) = ψ1, G(ϕ2) = ψ2. Имеем

G(ϕ1 · ϕ2)(t) = f((ϕ1 · ϕ2)(t)) =

[f(ϕ1(2t)), t 6 1/2

f(ϕ2(2t− 1)), t > 1/2

]

=

[ψ1(2t), t 6 1/2

ψ2(2t− 1)), t > 1/2

]= (ψ1 · ψ2)(t) =⇒

G(ϕ1 · ϕ2) = ψ1 · ψ2 =⇒ g([ϕ1] [ϕ2]) = g[ϕ1] g[ϕ2]. ¤

3. Пусть X – топологическое пространство. Для доказательства того, чтофундаментальная группа линейно связного пространства не зависит от выбораточки x0, нам понадобятся следующие обозначения. Пусть γ1, γ2 – пути в X,γ2(0) = γ1(1). Положим

(γ1 · γ2)(t) =

[γ1(2t), t 6 1/2

γ2(2t− 1), t > 1/2

(γ1 · γ2 – путь в X) и γ−1(t) = γ(1 − t). Ясно, что (γ1 · γ2) · γ3 ∼ γ1 · (γ2 · γ3).Если γ(0) = x0, то γ · γ−1 ∈ Πx0 и [γ · γ−1] = e в π1(X, x0).

Утверждение 3. Пусть x0, x1 ∈ X. Если существует путь γ, соединяющийточки x0 и x1, то π1(X,x0) ' π1(X,x1).

Доказательство. Пусть ϕ ∈ Πx0 . Положим Gϕ = γ−1 · ϕ · γ ∈ Πx1 . Еслиϕ ∼ ϕ, то Gϕ ∼ Gϕ. Возникает отображение g : π1(X, x0) → π1(X, x1). Поопределению зададим отображение G−1 : ψ 7→ γ · ψ · γ−1 (это не обратноеотображение). Оно порождает g−1 : π1(X, x1) → π1(X, x0). Это отображениеуже является обратным к g, т.к.

g−1(g [ϕ]) = g−1[γ−1 · ϕ · γ] = [γ · γ−1 · ϕ · γ · γ−1] = [γ · γ−1] [ϕ] [γ · γ−1] = [ϕ].

Таким образом, g – биекция.Пусть теперь ϕ1, ϕ2 ∈ Πx0 . Имеем

g([ϕ1] [ϕ2]) = g([ϕ1 · ϕ2]) = [γ−1 · ϕ1 · ϕ2 · γ]

= [γ−1 · ϕ1 · γ] [γ−1 · ϕ2 · γ] = g[ϕ1] g[ϕ2].¤

Следствие. Если X линейно связное пространство, то π1(X,x) ' π1(X, y)при любых x, y.


Определение 4’. π1(X) называется фундаментальной группой линейно связ-ного пространства X (группа Пуанкаре).

Замечание. Henri Poincare, 1854 – 1912.

4. Примеры.1) Если пространство X стягиваемо, то π1(X) ' {0}. В частности, фунда-

ментальная группа Rn тривиальна.2) π1(S1) ' Z.3) Фундаментальная группа тора изоморфна Z2.4) Рассмотрим на плоскости круг, из которого вырезаны два меньших непе-

ресекающихся круга (крендель). Фундаментальная группа такого пространст-ва не абелева.

5) π1(Sn) ' {0} при n > 2. Следовательно, тор не гомеоморфен сфере.

Упражнение. Пусть Q = [0, 1]n – куб, ∂Q – его граница, Π = {ϕ ∈ C(Q,X) :ϕ(∂Q) = x0}. Гомотопия – отношение эквивалентности на Π. [ϕ] – классэквивалентности. Введем произведение

(ϕ · ψ)(t1, t2, ..., tn) =

[ϕ(2t1, t2, ..., tn), t1 6 1/2

ψ(2t1 − 1, t2, ..., tn), t1 > 1/2.

Корректно определено произведение [ϕ] [ψ] = [ϕ · ψ]. Возникает πn(X, x0) –n-мерная гомотопическая группа пространства X с отмеченной точкой x0. До-кажите, что πn(X, x0) – абелева группа при n > 2.


Вопросы к зачету

1. Счетные и несчетные множества.2. Открытые множества.3. Замкнутые множества.4. Непрерывные отображения.5. Фактортопология.6. База топологии.7. Связные множества.8. Линейно связные множества.9. Метрические пространства.

10. Нормированные пространства.11. Принцип сжимающих отображений.12. Теорема о вложенных шарах.13. Пополнение метрического пространства.14. Аксиомы отделимости.15. Теорема Урысона.16. Нормальные пространства (связь с метрическими).17. Компактные множества.18. Компактность в Rn

19. Компактность в метрических пространствах.20. Гомотопные отображения.21. Теорема Брауэра о неподвижной точке.22. Фундаментальная группа (определение).23. Фундаментальные группы гомеоморфных пространств изоморфны.24. Фундаментальная группа линейно связного пространства.

Список литературы

[1] Борисович, Близняков, Израилевич, Фоменко, Введение в топологию, М, Наука, 1995.[2] Бурбаки, Общая топология, основные структуры, М, Наука, 1968.[3] Виро, Иванов, Нецветаев, Харламов, Задачи по топологии, СПбГУ, 2000.[4] Колмогоров, Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, М, Наука,

1989.[5] Мищенко, Фоменко, Курс дифференциальной геометрии и топологии, М, Наука, 2000.

ob}aq topologiqmath.nw.ru/~pozharsky/1kypc/Files/Filonov.pdf · ob}aq topologiq 5 opredelenie 2....

Documents

Transcript of ob}aq topologiqmath.nw.ru/~pozharsky/1kypc/Files/Filonov.pdf · ob}aq topologiq 5 opredelenie 2....