o[ ] I f)(j PIgt C Sf)

C f)oIn[ i J 01[ ] =

( ) ( )

y su grafico es una recta de pendiente 1

Cuando se tiene flujo radial sin efecto de sobreflujo pero en el periodo transiente el

comportamiento de la derivada es

5 J ( ~ [ ln ~I) +ln C)e 2s +0809)) ~ 1 ( I Ii ion middot

C i

=0 5 Y su grafico sera una horizontal por 05 Cuando se tiene flujo linealla soluci6n de la ecuaci6n de difusividad tiene la siguiente forma

Cl oSP = = Conslanle [ I I~ J05 i 0 (

S )

y la derivada tendra tendra la siguiente forma

O5 Jip) i C I f)

oInUJ-ainU]( onstanle

[ C J

5( t i I Conslanle 05 (CSIi) ( 05( Iii J

O

)= _ = onsfant e

[ 11i -JO5 (j In( I) J (1)

( so ( Si

y al graficarla en papellog - log se tendra una recta de pendiente Y

Cuando se tiene fluJo radial libre del efecto de almacenaje y en el periodo seudoestable la soluci6n de la ecuaci6n de difusividad es de la forma

Pi =(c onSlanlel +Conslanle2 [ Ii__ JJ ( )

y por tanto su derivada sera

281

(5~ ) (5 In[J I-] ( Conslanle l + ConSlanle2 ( ~lt] l~In[ ~ ) ]

( ~) ( l

= ConSfanle2 + [ I I ( ) )

o sea que al graficarla en papellog - log se tendra una linea recta de pendiente 1

Finalmente cuando se tiene flujo esferico la solucion de la ecuacion de difusividad tiene la forma

ConslanlePI = y siguiendo un procedimiento similar al aplicado para los otros casos se

I (J)

l

Conslanle l l encuentra que Pl = ( -( y por tanto una grafico log - log Pl vs es una recta de

I l ( l ) ( l

pendiente - 12

EI razonamiento anterior es para cuando se tiene una prueba de fluJo pero para una prueba de I

restauracion de presion el resultado es similar solo que se estara hablando en lugar de l de

1 J

Cl

I Ill para realizar las derivadas aunque el grafico si es de P I) vs 10( I + ~I ) () ( f)

Finalmente el grafico de (5 Po (5 In(1 l C l ) vs toCso se conoce como grafico de diagnostico y

aparece acompariado de las curvas tipo de Gringarten mostrando la forma que aparece en la figura 39

De acuerdo con la forma que presente la curva del grafico de diagnostico se pueden seleccionar intervalos de la prueba de presion y analizarlos de acuerdo con los procedimientos tradicionales que se conocen para interpretar pruebas de presion para un modelo de flujo dado Sin embargo la referencia (1) plantea los cuidados que se deben tener al tratar de identificar modelos de flujo de acuerdo con las diferentes regiones que se observan en el grafico de diagnostico

EI procedimiento para interpretar una prueba de presion usando el grafico de diagnostico es el siguiente

1(1 + Il ) bull Se elabora el grafico de trabaJo que puede ser (IlP) vs Llt a LltllP vs Llt

p dependiendo de si es una prueba de restauracion 0 de flujo en una escala log -Iog De la misma amplitud de cicio que la de la carta de curvas tipo

Se desplaza el papel del grafico de trabajo sobre la carta de curvas tipo manteniendo los ejes paralelos hasta conseguir que la parte horizontal del grafico quede sobre la parte horizontal de la carta de curvas tipo esta parte horizontal representa el flujo radial en periodo transiente y en el caso de la carta de curvas tipo pasa por Se toma cualquier valor de Llt en el graficode

282

trabajo y con este valor 05 el valor de la ordenada en el gratico de trabajo correspondiente al valor de Llt tomado y la ecuaci6n (623) 0 (624) se puede obtener el val~r de k

Luego se desplaza el grafico de trabajo horizontalmente sobre la horizontal de 05 hasta encontrar que la curva del grafico de trabajo coincida con alguna de las curvas identificada con

2S el parametro Csoe Ycuando esto se consiga se toma un valor de Llt en el grafico de trabajo y el correspondiente valor de toC so en la carta de curvas tipo con estos dos valores se puede obtener Cso

bull Finalmente con el valor de Csoe 2S obtenido de la curva con la cual coincidio la curva del

grafico de trabajo el valor de Cso Y la ecuacion (619) se obtiene el valor de S

p p

T lC

Figura 39- Grcifico de Diagnostico para una Prueba de Presion

Problema 61

Un pozo ha producido 12173 BN Se considera que no tiene dano AI pozo se Ie hizo una prueba

de restauracion de presi6n con el fin de determinar la P de su area de drenaje Durante la prueba de restauraci6n hay variacion de nivel de IIquido en el pozo Los siguientes datos del pozo y del yacimiento

~~ - 6 6 I -6 t 2 ltp =014 iJ= 055 cp ~t =15 10 Ipc-1 rw = 05 pies AWb =00281 pies re =1320 (pozo centrado en un area de drenaje circular) p= 548 Ibmpie3

q = 988 bNID B-=-126 BYBN tvz-7 k= 2-4-5 md A I

Los datos registrados durante la prueba de presion se dan en la tabla 11

283

Tabla 11- Datos de la Prueba de Presion para el Problema 61

~t(hrs ) Pws(Lpc) ~t(hrs ) Pws(lpc) ~t(hrs ) Pws(Lpc)

0 197 2 95 394 4 92 591

709 3169 3508 3672 3772 3873

788 986 14 8 197 24 6 29 6

3963 4026 4133 4198 4245 4279

345 394 444 49 3 59 1

4306 4327 4343 4356 4375

- Encontrar tiempo al cual usa el efecto de almacenaje - Encontrar k - Encontrar 8

- Encontrar P

Solucion

De acuerdo con la forma de las curvas tipo Agarwal e l efecto de almacenaje term ina cuando

twbsD =(60 + 358) CSD

y como 8 = 0 entonces el tiempo adimensional correspondiente al tiempo al cual termina el efecto de almacenaje es

twbsD= 60 CSD

CSD se calcula de la siguiente manera

c _ 24 264 10-4 CS

SI) - 000708 ltlgthC r~

Itll144 0002 18 = 00102( bl s Ipe) fI l CS = 561 5 548 r ( C _ 24 264 10-

4 00 102

SI) - 000708 01 4 7 16 10-( ( 05) ~

twbsD =60 2328 =1397164

f A ( )wh I If U r shy

f Igth 264 10 4 k

13971 64 014 055 16 I 0-( 0 5-2

f = =788 hrs Igth 264 I 0-4 245

284

o sea que de los datos de la tabla se pueden utilizar los que aparecen despues de 788 hrs para analizar la prueba por el metodo de Horner

Para elaborar los datos de la grafica de Horner se calcula tp de

t = 12173 24 = 2957 l 988

por tanto la tabla para el grafico de Horner sera la tabla 12

Tabla 12- Calculos para el Gratico de Horner del Problema 61

M Pws (tp+lt)lt (hrs ) (Lpc )

986 4026 3099

148 4133 2098

197 4198 16018

246 4245 130282

296 4279 1099

345 4306 957

394 4327 851

444 4343 7661

493 4356 70

591 4375 60

Veamos ahora cuales de estos puntos estan en el periodo transiente

Para que el yacimiento este en el periodo transiente se requiere

r tl) lt~ 0 sea que

4

264 1 0 - 4kl 1 r 2

rjJuCr2 4 r

rjJuCr 014 055 16 10 -6 1320- I 5 - -------shy

426410 -~ k 426410 -4

=2032 8 hrs

o sea que todo el periodo de cierre esta en el regimen transiente

EI grafico de Horner para los puntos de la tabla 12 se muestran en la figura 40

Como se puede apreciar en la figura 40 no hay una buena recta por los puntos y puede ser porque los puntos iniciales se salen apreciablemente de la tendencia de la recta posiblemente no estuvo bien calculado el tiempo al cual se cree termina el efecto de sobreflujo

285

EI valor de CSD tambien se pudo encontrar usando datos de la prueba de la siguiente manera

C s

= qB 6l 24 6P

donde Llt Y Ll P deben ser tomados a tiempos iniciales de la prueba ademas se debe tener en cuenta que en caso de una Li t =Lite =Llt tp(tp + Llt) 0 sea que tomando Llt = 197 hrs Se tiene

100

y =shy 13 304Ln(x) + 57 693

R2 = 09357

10

(tp+dt)Idt

Figura 40- Gratico de Horner para los Datos de la Tabla 11

Ll P = (3169 - 709) =2460

6tc = 197 2957 = 1983 ( 2957 + 197)

yentonces C s = qB 1983 24 2460

9R8 116 1983 = 385 I 0-2 24 2460

286

1

35

30

25

20

~ c

15

10

5

o

Como este es un valor para CSD que depende de datos de la prueba puede ser mas aceptable que 00102 que depende s610 de datos del pozo y del fluido

Recordando que S = 0

C = 0874 Cs S() ltjgtChr

08 74 385 10-2 ______ _ _ _ = 915 10 1

01 4 1 5 1 0 -( 7 (05) 2

twbsD = 60 915 103 = 55 105

y de aqui se puede calcular twbs asi

55 105 014 05 15 10-6 (05)1

264 10-4 245

twbs = 22 3 hrs

o sea que de acuerdo con este procedimiento los datos de la prueba libres de almacenaje son aquellos obtenidos despues de las 22 horas

AI graficar los datos de la prueba a partir de ~t = 24 6 (incluido) se obtiene la recta que se muestra en la figura 41 cuya pendiente cuando se usa 109aritmo decimal es 169372 303=3900591 =m Y

qJl B 1626 por tanto 3900591 = m = y

kh

1626 qJLB = k = 1626 988 05 116 = 3413 md m h 3900591 7

Para calcular el dano se debe obtener Pws cuando ~t = 1 hr suponiendo que no hay efecto de almacenaje y que Pi = 4400

2957+1 )P )1 11 = 4685 - 3900591 log 1 = 3 72 101 Lpc(

y por tanto S sera

S = l15 [PI - Plhr _ 323 + log k ~ 1 m rimer

287

= 115[4400-372101+323_10 3413 ]=-3 615 3900591 g 014 05 15 16 () 05 2

o sea que de acuerdo con estos calculos en un pozo que fue ligeramente estimulado

100

y = -16937Ln(x) + 4685

R2 = O99 1

10

(tp+dtjdt

4400

4380

4360

4340

4320

4300

1

4280

4260

4240

1 4220

Figura 41- GrMico de Horner para el Problema 61 Usando Datos a Partir de las 22 horas

VI ~ a

La permeabilidad y el dano tambien se pueden obtener trabajando con curvas tipo (usando en este caso las curvas de Ramey) En este caso se usaran los datos de la prueba pertenecientes a los tiempos iniciales (0 sea menores de 24 horas) y como es una prueba de restauraci6n se elabora la tabla 13

Tabla 13- Calculos para Elaborar Curva Tipo del Problema 61

8P Me 8t Pws

(Pws - p wfbull ~t =0) (M bull tpt(tp + 61))

- - 0 709 2460 1983 197 3169 2799 292 295 3508 2963 389 394 3672 3063 484 492 3772 3164 579 591 3873-shy - - -shy -

288

Las columnas de ~P y ~te se grafican en papel log - log de escala identica a la de curvas tipo y se hace coincidir la curva obtenida con la de S = 0 correspondiente a la familia de curvas de Cso = 104 EI apareamiento se puede observar en la figura 42 en la cual se muestra que la escala de LlP va de 1000 a 1000) la de Llte de 1 a 100 Una vez obtenida la coincidencia se selecciona el punto de ajuste del cual se puede obtener

De la curva obtenida ~P)MP = 2000 ~te)MP = 112

De la familia de las curvas tipo

Con estos datos se puede obtener k de

k= Pntll qjB = 49881degmiddot5116 =23125rnd 70810-1 (tlP)MP h 70810 20007

Observando la grafica ~P vs ~te Y la coincidencia con la curva tipo de S = 0 se ve que se une a la linea de las otras curvas tipo de S = 0 en punto cuyo to es 4 bull 105

0 sea que twbOs = 4 bull 105 un valor similar al calculado antes con la expresion para twbos

Ejemplo 62

Un pozo fue sometido a una prueba de Draw Down durante 200 horas y la informacion que se obtuvo en la prueba es la que aparece en la tabla 14

Ademas se tiene la siguiente informacion adicional

h =48 ltjl =012 rw =3 C = 186middot 10-5 Ipcmiddot1 q = 190 8NID 80 =152 8Y8N 1-10 =125 cp Pi = 32151pc

Tabla 14- Datos de la Prueba de Presion del problema 62shy

t (hrs)t (hrs) ~P (Ipc)~P (Ipc) (Pi - Pwf)

3 220005 8 16010 5 250 24 290015 10

030 47 20 300 308050 70 30 314080 105 50 319100 120 80 322150 160 100 329190 200200

Calcular

CSO twbs tss A CA k Y S Ademas calcular Pws suponiendo que se cerrara el pozo a las 10 horas despues de haber fluido durante 200 horas

289

(5~ ) (5 In[J I-] ( Conslanle l + ConSlanle2 ( ~lt] l~In[ ~ ) ]

( ~) ( l

= ConSfanle2 + [ I I ( ) )

o sea que al graficarla en papellog - log se tendra una linea recta de pendiente 1

Finalmente cuando se tiene flujo esferico la solucion de la ecuacion de difusividad tiene la forma

ConslanlePI = y siguiendo un procedimiento similar al aplicado para los otros casos se

I (J)

l

Conslanle l l encuentra que Pl = ( -( y por tanto una grafico log - log Pl vs es una recta de

I l ( l ) ( l

pendiente - 12

EI razonamiento anterior es para cuando se tiene una prueba de fluJo pero para una prueba de I

restauracion de presion el resultado es similar solo que se estara hablando en lugar de l de

1 J

Cl

I Ill para realizar las derivadas aunque el grafico si es de P I) vs 10( I + ~I ) () ( f)

Finalmente el grafico de (5 Po (5 In(1 l C l ) vs toCso se conoce como grafico de diagnostico y

aparece acompariado de las curvas tipo de Gringarten mostrando la forma que aparece en la figura 39

De acuerdo con la forma que presente la curva del grafico de diagnostico se pueden seleccionar intervalos de la prueba de presion y analizarlos de acuerdo con los procedimientos tradicionales que se conocen para interpretar pruebas de presion para un modelo de flujo dado Sin embargo la referencia (1) plantea los cuidados que se deben tener al tratar de identificar modelos de flujo de acuerdo con las diferentes regiones que se observan en el grafico de diagnostico

EI procedimiento para interpretar una prueba de presion usando el grafico de diagnostico es el siguiente

1(1 + Il ) bull Se elabora el grafico de trabaJo que puede ser (IlP) vs Llt a LltllP vs Llt

p dependiendo de si es una prueba de restauracion 0 de flujo en una escala log -Iog De la misma amplitud de cicio que la de la carta de curvas tipo

Se desplaza el papel del grafico de trabajo sobre la carta de curvas tipo manteniendo los ejes paralelos hasta conseguir que la parte horizontal del grafico quede sobre la parte horizontal de la carta de curvas tipo esta parte horizontal representa el flujo radial en periodo transiente y en el caso de la carta de curvas tipo pasa por Se toma cualquier valor de Llt en el graficode

282

trabajo y con este valor 05 el valor de la ordenada en el gratico de trabajo correspondiente al valor de Llt tomado y la ecuaci6n (623) 0 (624) se puede obtener el val~r de k

Luego se desplaza el grafico de trabajo horizontalmente sobre la horizontal de 05 hasta encontrar que la curva del grafico de trabajo coincida con alguna de las curvas identificada con

2S el parametro Csoe Ycuando esto se consiga se toma un valor de Llt en el grafico de trabajo y el correspondiente valor de toC so en la carta de curvas tipo con estos dos valores se puede obtener Cso

bull Finalmente con el valor de Csoe 2S obtenido de la curva con la cual coincidio la curva del

grafico de trabajo el valor de Cso Y la ecuacion (619) se obtiene el valor de S

p p

T lC

Figura 39- Grcifico de Diagnostico para una Prueba de Presion

Problema 61

Un pozo ha producido 12173 BN Se considera que no tiene dano AI pozo se Ie hizo una prueba

de restauracion de presi6n con el fin de determinar la P de su area de drenaje Durante la prueba de restauraci6n hay variacion de nivel de IIquido en el pozo Los siguientes datos del pozo y del yacimiento

~~ - 6 6 I -6 t 2 ltp =014 iJ= 055 cp ~t =15 10 Ipc-1 rw = 05 pies AWb =00281 pies re =1320 (pozo centrado en un area de drenaje circular) p= 548 Ibmpie3

q = 988 bNID B-=-126 BYBN tvz-7 k= 2-4-5 md A I

Los datos registrados durante la prueba de presion se dan en la tabla 11

283

Tabla 11- Datos de la Prueba de Presion para el Problema 61

~t(hrs ) Pws(Lpc) ~t(hrs ) Pws(lpc) ~t(hrs ) Pws(Lpc)

0 197 2 95 394 4 92 591

709 3169 3508 3672 3772 3873

788 986 14 8 197 24 6 29 6

3963 4026 4133 4198 4245 4279

345 394 444 49 3 59 1

4306 4327 4343 4356 4375

- Encontrar tiempo al cual usa el efecto de almacenaje - Encontrar k - Encontrar 8

- Encontrar P

Solucion

De acuerdo con la forma de las curvas tipo Agarwal e l efecto de almacenaje term ina cuando

twbsD =(60 + 358) CSD

y como 8 = 0 entonces el tiempo adimensional correspondiente al tiempo al cual termina el efecto de almacenaje es

twbsD= 60 CSD

CSD se calcula de la siguiente manera

c _ 24 264 10-4 CS

SI) - 000708 ltlgthC r~

Itll144 0002 18 = 00102( bl s Ipe) fI l CS = 561 5 548 r ( C _ 24 264 10-

4 00 102

SI) - 000708 01 4 7 16 10-( ( 05) ~

twbsD =60 2328 =1397164

f A ( )wh I If U r shy

f Igth 264 10 4 k

13971 64 014 055 16 I 0-( 0 5-2

f = =788 hrs Igth 264 I 0-4 245

284

o sea que de los datos de la tabla se pueden utilizar los que aparecen despues de 788 hrs para analizar la prueba por el metodo de Horner

Para elaborar los datos de la grafica de Horner se calcula tp de

t = 12173 24 = 2957 l 988

por tanto la tabla para el grafico de Horner sera la tabla 12

Tabla 12- Calculos para el Gratico de Horner del Problema 61

M Pws (tp+lt)lt (hrs ) (Lpc )

986 4026 3099

148 4133 2098

197 4198 16018

246 4245 130282

296 4279 1099

345 4306 957

394 4327 851

444 4343 7661

493 4356 70

591 4375 60

Veamos ahora cuales de estos puntos estan en el periodo transiente

Para que el yacimiento este en el periodo transiente se requiere

r tl) lt~ 0 sea que

4

264 1 0 - 4kl 1 r 2

rjJuCr2 4 r

rjJuCr 014 055 16 10 -6 1320- I 5 - -------shy

426410 -~ k 426410 -4

=2032 8 hrs

o sea que todo el periodo de cierre esta en el regimen transiente

EI grafico de Horner para los puntos de la tabla 12 se muestran en la figura 40

Como se puede apreciar en la figura 40 no hay una buena recta por los puntos y puede ser porque los puntos iniciales se salen apreciablemente de la tendencia de la recta posiblemente no estuvo bien calculado el tiempo al cual se cree termina el efecto de sobreflujo

285

EI valor de CSD tambien se pudo encontrar usando datos de la prueba de la siguiente manera

C s

= qB 6l 24 6P

donde Llt Y Ll P deben ser tomados a tiempos iniciales de la prueba ademas se debe tener en cuenta que en caso de una Li t =Lite =Llt tp(tp + Llt) 0 sea que tomando Llt = 197 hrs Se tiene

100

y =shy 13 304Ln(x) + 57 693

R2 = 09357

10

(tp+dt)Idt

Figura 40- Gratico de Horner para los Datos de la Tabla 11

Ll P = (3169 - 709) =2460

6tc = 197 2957 = 1983 ( 2957 + 197)

yentonces C s = qB 1983 24 2460

9R8 116 1983 = 385 I 0-2 24 2460

286

1

35

30

25

20

~ c

15

10

5

o

Como este es un valor para CSD que depende de datos de la prueba puede ser mas aceptable que 00102 que depende s610 de datos del pozo y del fluido

Recordando que S = 0

C = 0874 Cs S() ltjgtChr

08 74 385 10-2 ______ _ _ _ = 915 10 1

01 4 1 5 1 0 -( 7 (05) 2

twbsD = 60 915 103 = 55 105

y de aqui se puede calcular twbs asi

55 105 014 05 15 10-6 (05)1

264 10-4 245

twbs = 22 3 hrs

o sea que de acuerdo con este procedimiento los datos de la prueba libres de almacenaje son aquellos obtenidos despues de las 22 horas

AI graficar los datos de la prueba a partir de ~t = 24 6 (incluido) se obtiene la recta que se muestra en la figura 41 cuya pendiente cuando se usa 109aritmo decimal es 169372 303=3900591 =m Y

qJl B 1626 por tanto 3900591 = m = y

kh

1626 qJLB = k = 1626 988 05 116 = 3413 md m h 3900591 7

Para calcular el dano se debe obtener Pws cuando ~t = 1 hr suponiendo que no hay efecto de almacenaje y que Pi = 4400

2957+1 )P )1 11 = 4685 - 3900591 log 1 = 3 72 101 Lpc(

y por tanto S sera

S = l15 [PI - Plhr _ 323 + log k ~ 1 m rimer

287

= 115[4400-372101+323_10 3413 ]=-3 615 3900591 g 014 05 15 16 () 05 2

o sea que de acuerdo con estos calculos en un pozo que fue ligeramente estimulado

100

y = -16937Ln(x) + 4685

R2 = O99 1

10

(tp+dtjdt

4400

4380

4360

4340

4320

4300

1

4280

4260

4240

1 4220

Figura 41- GrMico de Horner para el Problema 61 Usando Datos a Partir de las 22 horas

VI ~ a

La permeabilidad y el dano tambien se pueden obtener trabajando con curvas tipo (usando en este caso las curvas de Ramey) En este caso se usaran los datos de la prueba pertenecientes a los tiempos iniciales (0 sea menores de 24 horas) y como es una prueba de restauraci6n se elabora la tabla 13

Tabla 13- Calculos para Elaborar Curva Tipo del Problema 61

8P Me 8t Pws

(Pws - p wfbull ~t =0) (M bull tpt(tp + 61))

- - 0 709 2460 1983 197 3169 2799 292 295 3508 2963 389 394 3672 3063 484 492 3772 3164 579 591 3873-shy - - -shy -

288

Las columnas de ~P y ~te se grafican en papel log - log de escala identica a la de curvas tipo y se hace coincidir la curva obtenida con la de S = 0 correspondiente a la familia de curvas de Cso = 104 EI apareamiento se puede observar en la figura 42 en la cual se muestra que la escala de LlP va de 1000 a 1000) la de Llte de 1 a 100 Una vez obtenida la coincidencia se selecciona el punto de ajuste del cual se puede obtener

De la curva obtenida ~P)MP = 2000 ~te)MP = 112

De la familia de las curvas tipo

Con estos datos se puede obtener k de

k= Pntll qjB = 49881degmiddot5116 =23125rnd 70810-1 (tlP)MP h 70810 20007

Observando la grafica ~P vs ~te Y la coincidencia con la curva tipo de S = 0 se ve que se une a la linea de las otras curvas tipo de S = 0 en punto cuyo to es 4 bull 105

0 sea que twbOs = 4 bull 105 un valor similar al calculado antes con la expresion para twbos

Ejemplo 62

Un pozo fue sometido a una prueba de Draw Down durante 200 horas y la informacion que se obtuvo en la prueba es la que aparece en la tabla 14

Ademas se tiene la siguiente informacion adicional

h =48 ltjl =012 rw =3 C = 186middot 10-5 Ipcmiddot1 q = 190 8NID 80 =152 8Y8N 1-10 =125 cp Pi = 32151pc

Tabla 14- Datos de la Prueba de Presion del problema 62shy

t (hrs)t (hrs) ~P (Ipc)~P (Ipc) (Pi - Pwf)

3 220005 8 16010 5 250 24 290015 10

030 47 20 300 308050 70 30 314080 105 50 319100 120 80 322150 160 100 329190 200200

Calcular

CSO twbs tss A CA k Y S Ademas calcular Pws suponiendo que se cerrara el pozo a las 10 horas despues de haber fluido durante 200 horas

289

trabajo y con este valor 05 el valor de la ordenada en el gratico de trabajo correspondiente al valor de Llt tomado y la ecuaci6n (623) 0 (624) se puede obtener el val~r de k

Luego se desplaza el grafico de trabajo horizontalmente sobre la horizontal de 05 hasta encontrar que la curva del grafico de trabajo coincida con alguna de las curvas identificada con

2S el parametro Csoe Ycuando esto se consiga se toma un valor de Llt en el grafico de trabajo y el correspondiente valor de toC so en la carta de curvas tipo con estos dos valores se puede obtener Cso

bull Finalmente con el valor de Csoe 2S obtenido de la curva con la cual coincidio la curva del

grafico de trabajo el valor de Cso Y la ecuacion (619) se obtiene el valor de S

p p

T lC

Figura 39- Grcifico de Diagnostico para una Prueba de Presion

Problema 61

Un pozo ha producido 12173 BN Se considera que no tiene dano AI pozo se Ie hizo una prueba

de restauracion de presi6n con el fin de determinar la P de su area de drenaje Durante la prueba de restauraci6n hay variacion de nivel de IIquido en el pozo Los siguientes datos del pozo y del yacimiento

~~ - 6 6 I -6 t 2 ltp =014 iJ= 055 cp ~t =15 10 Ipc-1 rw = 05 pies AWb =00281 pies re =1320 (pozo centrado en un area de drenaje circular) p= 548 Ibmpie3

q = 988 bNID B-=-126 BYBN tvz-7 k= 2-4-5 md A I

Los datos registrados durante la prueba de presion se dan en la tabla 11

283

Tabla 11- Datos de la Prueba de Presion para el Problema 61

~t(hrs ) Pws(Lpc) ~t(hrs ) Pws(lpc) ~t(hrs ) Pws(Lpc)

0 197 2 95 394 4 92 591

709 3169 3508 3672 3772 3873

788 986 14 8 197 24 6 29 6

3963 4026 4133 4198 4245 4279

345 394 444 49 3 59 1

4306 4327 4343 4356 4375

- Encontrar tiempo al cual usa el efecto de almacenaje - Encontrar k - Encontrar 8

- Encontrar P

Solucion

De acuerdo con la forma de las curvas tipo Agarwal e l efecto de almacenaje term ina cuando

twbsD =(60 + 358) CSD

y como 8 = 0 entonces el tiempo adimensional correspondiente al tiempo al cual termina el efecto de almacenaje es

twbsD= 60 CSD

CSD se calcula de la siguiente manera

c _ 24 264 10-4 CS

SI) - 000708 ltlgthC r~

Itll144 0002 18 = 00102( bl s Ipe) fI l CS = 561 5 548 r ( C _ 24 264 10-

4 00 102

SI) - 000708 01 4 7 16 10-( ( 05) ~

twbsD =60 2328 =1397164

f A ( )wh I If U r shy

f Igth 264 10 4 k

13971 64 014 055 16 I 0-( 0 5-2

f = =788 hrs Igth 264 I 0-4 245

284

o sea que de los datos de la tabla se pueden utilizar los que aparecen despues de 788 hrs para analizar la prueba por el metodo de Horner

Para elaborar los datos de la grafica de Horner se calcula tp de

t = 12173 24 = 2957 l 988

por tanto la tabla para el grafico de Horner sera la tabla 12

Tabla 12- Calculos para el Gratico de Horner del Problema 61

M Pws (tp+lt)lt (hrs ) (Lpc )

986 4026 3099

148 4133 2098

197 4198 16018

246 4245 130282

296 4279 1099

345 4306 957

394 4327 851

444 4343 7661

493 4356 70

591 4375 60

Veamos ahora cuales de estos puntos estan en el periodo transiente

Para que el yacimiento este en el periodo transiente se requiere

r tl) lt~ 0 sea que

4

264 1 0 - 4kl 1 r 2

rjJuCr2 4 r

rjJuCr 014 055 16 10 -6 1320- I 5 - -------shy

426410 -~ k 426410 -4

=2032 8 hrs

o sea que todo el periodo de cierre esta en el regimen transiente

EI grafico de Horner para los puntos de la tabla 12 se muestran en la figura 40

Como se puede apreciar en la figura 40 no hay una buena recta por los puntos y puede ser porque los puntos iniciales se salen apreciablemente de la tendencia de la recta posiblemente no estuvo bien calculado el tiempo al cual se cree termina el efecto de sobreflujo

285

EI valor de CSD tambien se pudo encontrar usando datos de la prueba de la siguiente manera

C s

= qB 6l 24 6P

donde Llt Y Ll P deben ser tomados a tiempos iniciales de la prueba ademas se debe tener en cuenta que en caso de una Li t =Lite =Llt tp(tp + Llt) 0 sea que tomando Llt = 197 hrs Se tiene

100

y =shy 13 304Ln(x) + 57 693

R2 = 09357

10

(tp+dt)Idt

Figura 40- Gratico de Horner para los Datos de la Tabla 11

Ll P = (3169 - 709) =2460

6tc = 197 2957 = 1983 ( 2957 + 197)

yentonces C s = qB 1983 24 2460

9R8 116 1983 = 385 I 0-2 24 2460

286

1

35

30

25

20

~ c

15

10

5

o

Como este es un valor para CSD que depende de datos de la prueba puede ser mas aceptable que 00102 que depende s610 de datos del pozo y del fluido

Recordando que S = 0

C = 0874 Cs S() ltjgtChr

08 74 385 10-2 ______ _ _ _ = 915 10 1

01 4 1 5 1 0 -( 7 (05) 2

twbsD = 60 915 103 = 55 105

y de aqui se puede calcular twbs asi

55 105 014 05 15 10-6 (05)1

264 10-4 245

twbs = 22 3 hrs

o sea que de acuerdo con este procedimiento los datos de la prueba libres de almacenaje son aquellos obtenidos despues de las 22 horas

AI graficar los datos de la prueba a partir de ~t = 24 6 (incluido) se obtiene la recta que se muestra en la figura 41 cuya pendiente cuando se usa 109aritmo decimal es 169372 303=3900591 =m Y

qJl B 1626 por tanto 3900591 = m = y

kh

1626 qJLB = k = 1626 988 05 116 = 3413 md m h 3900591 7

Para calcular el dano se debe obtener Pws cuando ~t = 1 hr suponiendo que no hay efecto de almacenaje y que Pi = 4400

2957+1 )P )1 11 = 4685 - 3900591 log 1 = 3 72 101 Lpc(

y por tanto S sera

S = l15 [PI - Plhr _ 323 + log k ~ 1 m rimer

287

= 115[4400-372101+323_10 3413 ]=-3 615 3900591 g 014 05 15 16 () 05 2

o sea que de acuerdo con estos calculos en un pozo que fue ligeramente estimulado

100

y = -16937Ln(x) + 4685

R2 = O99 1

10

(tp+dtjdt

4400

4380

4360

4340

4320

4300

1

4280

4260

4240

1 4220

Figura 41- GrMico de Horner para el Problema 61 Usando Datos a Partir de las 22 horas

VI ~ a

La permeabilidad y el dano tambien se pueden obtener trabajando con curvas tipo (usando en este caso las curvas de Ramey) En este caso se usaran los datos de la prueba pertenecientes a los tiempos iniciales (0 sea menores de 24 horas) y como es una prueba de restauraci6n se elabora la tabla 13

Tabla 13- Calculos para Elaborar Curva Tipo del Problema 61

8P Me 8t Pws

(Pws - p wfbull ~t =0) (M bull tpt(tp + 61))

- - 0 709 2460 1983 197 3169 2799 292 295 3508 2963 389 394 3672 3063 484 492 3772 3164 579 591 3873-shy - - -shy -

288

Las columnas de ~P y ~te se grafican en papel log - log de escala identica a la de curvas tipo y se hace coincidir la curva obtenida con la de S = 0 correspondiente a la familia de curvas de Cso = 104 EI apareamiento se puede observar en la figura 42 en la cual se muestra que la escala de LlP va de 1000 a 1000) la de Llte de 1 a 100 Una vez obtenida la coincidencia se selecciona el punto de ajuste del cual se puede obtener

De la curva obtenida ~P)MP = 2000 ~te)MP = 112

De la familia de las curvas tipo

Con estos datos se puede obtener k de

k= Pntll qjB = 49881degmiddot5116 =23125rnd 70810-1 (tlP)MP h 70810 20007

Observando la grafica ~P vs ~te Y la coincidencia con la curva tipo de S = 0 se ve que se une a la linea de las otras curvas tipo de S = 0 en punto cuyo to es 4 bull 105

0 sea que twbOs = 4 bull 105 un valor similar al calculado antes con la expresion para twbos

Ejemplo 62

Un pozo fue sometido a una prueba de Draw Down durante 200 horas y la informacion que se obtuvo en la prueba es la que aparece en la tabla 14

Ademas se tiene la siguiente informacion adicional

h =48 ltjl =012 rw =3 C = 186middot 10-5 Ipcmiddot1 q = 190 8NID 80 =152 8Y8N 1-10 =125 cp Pi = 32151pc

Tabla 14- Datos de la Prueba de Presion del problema 62shy

t (hrs)t (hrs) ~P (Ipc)~P (Ipc) (Pi - Pwf)

3 220005 8 16010 5 250 24 290015 10

030 47 20 300 308050 70 30 314080 105 50 319100 120 80 322150 160 100 329190 200200

Calcular

CSO twbs tss A CA k Y S Ademas calcular Pws suponiendo que se cerrara el pozo a las 10 horas despues de haber fluido durante 200 horas

289

Tabla 11- Datos de la Prueba de Presion para el Problema 61

~t(hrs ) Pws(Lpc) ~t(hrs ) Pws(lpc) ~t(hrs ) Pws(Lpc)

0 197 2 95 394 4 92 591

709 3169 3508 3672 3772 3873

788 986 14 8 197 24 6 29 6

3963 4026 4133 4198 4245 4279

345 394 444 49 3 59 1

4306 4327 4343 4356 4375

- Encontrar tiempo al cual usa el efecto de almacenaje - Encontrar k - Encontrar 8

- Encontrar P

Solucion

De acuerdo con la forma de las curvas tipo Agarwal e l efecto de almacenaje term ina cuando

twbsD =(60 + 358) CSD

y como 8 = 0 entonces el tiempo adimensional correspondiente al tiempo al cual termina el efecto de almacenaje es

twbsD= 60 CSD

CSD se calcula de la siguiente manera

c _ 24 264 10-4 CS

SI) - 000708 ltlgthC r~

Itll144 0002 18 = 00102( bl s Ipe) fI l CS = 561 5 548 r ( C _ 24 264 10-

4 00 102

SI) - 000708 01 4 7 16 10-( ( 05) ~

twbsD =60 2328 =1397164

f A ( )wh I If U r shy

f Igth 264 10 4 k

13971 64 014 055 16 I 0-( 0 5-2

f = =788 hrs Igth 264 I 0-4 245

284

o sea que de los datos de la tabla se pueden utilizar los que aparecen despues de 788 hrs para analizar la prueba por el metodo de Horner

Para elaborar los datos de la grafica de Horner se calcula tp de

t = 12173 24 = 2957 l 988

por tanto la tabla para el grafico de Horner sera la tabla 12

Tabla 12- Calculos para el Gratico de Horner del Problema 61

M Pws (tp+lt)lt (hrs ) (Lpc )

986 4026 3099

148 4133 2098

197 4198 16018

246 4245 130282

296 4279 1099

345 4306 957

394 4327 851

444 4343 7661

493 4356 70

591 4375 60

Veamos ahora cuales de estos puntos estan en el periodo transiente

Para que el yacimiento este en el periodo transiente se requiere

r tl) lt~ 0 sea que

4

264 1 0 - 4kl 1 r 2

rjJuCr2 4 r

rjJuCr 014 055 16 10 -6 1320- I 5 - -------shy

426410 -~ k 426410 -4

=2032 8 hrs

o sea que todo el periodo de cierre esta en el regimen transiente

EI grafico de Horner para los puntos de la tabla 12 se muestran en la figura 40

Como se puede apreciar en la figura 40 no hay una buena recta por los puntos y puede ser porque los puntos iniciales se salen apreciablemente de la tendencia de la recta posiblemente no estuvo bien calculado el tiempo al cual se cree termina el efecto de sobreflujo

285

EI valor de CSD tambien se pudo encontrar usando datos de la prueba de la siguiente manera

C s

= qB 6l 24 6P

donde Llt Y Ll P deben ser tomados a tiempos iniciales de la prueba ademas se debe tener en cuenta que en caso de una Li t =Lite =Llt tp(tp + Llt) 0 sea que tomando Llt = 197 hrs Se tiene

100

y =shy 13 304Ln(x) + 57 693

R2 = 09357

10

(tp+dt)Idt

Figura 40- Gratico de Horner para los Datos de la Tabla 11

Ll P = (3169 - 709) =2460

6tc = 197 2957 = 1983 ( 2957 + 197)

yentonces C s = qB 1983 24 2460

9R8 116 1983 = 385 I 0-2 24 2460

286

1

35

30

25

20

~ c

15

10

5

o

Como este es un valor para CSD que depende de datos de la prueba puede ser mas aceptable que 00102 que depende s610 de datos del pozo y del fluido

Recordando que S = 0

C = 0874 Cs S() ltjgtChr

08 74 385 10-2 ______ _ _ _ = 915 10 1

01 4 1 5 1 0 -( 7 (05) 2

twbsD = 60 915 103 = 55 105

y de aqui se puede calcular twbs asi

55 105 014 05 15 10-6 (05)1

264 10-4 245

twbs = 22 3 hrs

o sea que de acuerdo con este procedimiento los datos de la prueba libres de almacenaje son aquellos obtenidos despues de las 22 horas

AI graficar los datos de la prueba a partir de ~t = 24 6 (incluido) se obtiene la recta que se muestra en la figura 41 cuya pendiente cuando se usa 109aritmo decimal es 169372 303=3900591 =m Y

qJl B 1626 por tanto 3900591 = m = y

kh

1626 qJLB = k = 1626 988 05 116 = 3413 md m h 3900591 7

Para calcular el dano se debe obtener Pws cuando ~t = 1 hr suponiendo que no hay efecto de almacenaje y que Pi = 4400

2957+1 )P )1 11 = 4685 - 3900591 log 1 = 3 72 101 Lpc(

y por tanto S sera

S = l15 [PI - Plhr _ 323 + log k ~ 1 m rimer

287

= 115[4400-372101+323_10 3413 ]=-3 615 3900591 g 014 05 15 16 () 05 2

o sea que de acuerdo con estos calculos en un pozo que fue ligeramente estimulado

100

y = -16937Ln(x) + 4685

R2 = O99 1

10

(tp+dtjdt

4400

4380

4360

4340

4320

4300

1

4280

4260

4240

1 4220

Figura 41- GrMico de Horner para el Problema 61 Usando Datos a Partir de las 22 horas

VI ~ a

La permeabilidad y el dano tambien se pueden obtener trabajando con curvas tipo (usando en este caso las curvas de Ramey) En este caso se usaran los datos de la prueba pertenecientes a los tiempos iniciales (0 sea menores de 24 horas) y como es una prueba de restauraci6n se elabora la tabla 13

Tabla 13- Calculos para Elaborar Curva Tipo del Problema 61

8P Me 8t Pws

(Pws - p wfbull ~t =0) (M bull tpt(tp + 61))

- - 0 709 2460 1983 197 3169 2799 292 295 3508 2963 389 394 3672 3063 484 492 3772 3164 579 591 3873-shy - - -shy -

288

Las columnas de ~P y ~te se grafican en papel log - log de escala identica a la de curvas tipo y se hace coincidir la curva obtenida con la de S = 0 correspondiente a la familia de curvas de Cso = 104 EI apareamiento se puede observar en la figura 42 en la cual se muestra que la escala de LlP va de 1000 a 1000) la de Llte de 1 a 100 Una vez obtenida la coincidencia se selecciona el punto de ajuste del cual se puede obtener

De la curva obtenida ~P)MP = 2000 ~te)MP = 112

De la familia de las curvas tipo

Con estos datos se puede obtener k de

k= Pntll qjB = 49881degmiddot5116 =23125rnd 70810-1 (tlP)MP h 70810 20007

Observando la grafica ~P vs ~te Y la coincidencia con la curva tipo de S = 0 se ve que se une a la linea de las otras curvas tipo de S = 0 en punto cuyo to es 4 bull 105

0 sea que twbOs = 4 bull 105 un valor similar al calculado antes con la expresion para twbos

Ejemplo 62

Un pozo fue sometido a una prueba de Draw Down durante 200 horas y la informacion que se obtuvo en la prueba es la que aparece en la tabla 14

Ademas se tiene la siguiente informacion adicional

h =48 ltjl =012 rw =3 C = 186middot 10-5 Ipcmiddot1 q = 190 8NID 80 =152 8Y8N 1-10 =125 cp Pi = 32151pc

Tabla 14- Datos de la Prueba de Presion del problema 62shy

t (hrs)t (hrs) ~P (Ipc)~P (Ipc) (Pi - Pwf)

3 220005 8 16010 5 250 24 290015 10

030 47 20 300 308050 70 30 314080 105 50 319100 120 80 322150 160 100 329190 200200

Calcular

CSO twbs tss A CA k Y S Ademas calcular Pws suponiendo que se cerrara el pozo a las 10 horas despues de haber fluido durante 200 horas

289

o sea que de los datos de la tabla se pueden utilizar los que aparecen despues de 788 hrs para analizar la prueba por el metodo de Horner

Para elaborar los datos de la grafica de Horner se calcula tp de

t = 12173 24 = 2957 l 988

por tanto la tabla para el grafico de Horner sera la tabla 12

Tabla 12- Calculos para el Gratico de Horner del Problema 61

M Pws (tp+lt)lt (hrs ) (Lpc )

986 4026 3099

148 4133 2098

197 4198 16018

246 4245 130282

296 4279 1099

345 4306 957

394 4327 851

444 4343 7661

493 4356 70

591 4375 60

Veamos ahora cuales de estos puntos estan en el periodo transiente

Para que el yacimiento este en el periodo transiente se requiere

r tl) lt~ 0 sea que

4

264 1 0 - 4kl 1 r 2

rjJuCr2 4 r

rjJuCr 014 055 16 10 -6 1320- I 5 - -------shy

426410 -~ k 426410 -4

=2032 8 hrs

o sea que todo el periodo de cierre esta en el regimen transiente

EI grafico de Horner para los puntos de la tabla 12 se muestran en la figura 40

Como se puede apreciar en la figura 40 no hay una buena recta por los puntos y puede ser porque los puntos iniciales se salen apreciablemente de la tendencia de la recta posiblemente no estuvo bien calculado el tiempo al cual se cree termina el efecto de sobreflujo

285

EI valor de CSD tambien se pudo encontrar usando datos de la prueba de la siguiente manera

C s

= qB 6l 24 6P

donde Llt Y Ll P deben ser tomados a tiempos iniciales de la prueba ademas se debe tener en cuenta que en caso de una Li t =Lite =Llt tp(tp + Llt) 0 sea que tomando Llt = 197 hrs Se tiene

100

y =shy 13 304Ln(x) + 57 693

R2 = 09357

10

(tp+dt)Idt

Figura 40- Gratico de Horner para los Datos de la Tabla 11

Ll P = (3169 - 709) =2460

6tc = 197 2957 = 1983 ( 2957 + 197)

yentonces C s = qB 1983 24 2460

9R8 116 1983 = 385 I 0-2 24 2460

286

1

35

30

25

20

~ c

15

10

5

o

Como este es un valor para CSD que depende de datos de la prueba puede ser mas aceptable que 00102 que depende s610 de datos del pozo y del fluido

Recordando que S = 0

C = 0874 Cs S() ltjgtChr

08 74 385 10-2 ______ _ _ _ = 915 10 1

01 4 1 5 1 0 -( 7 (05) 2

twbsD = 60 915 103 = 55 105

y de aqui se puede calcular twbs asi

55 105 014 05 15 10-6 (05)1

264 10-4 245

twbs = 22 3 hrs

o sea que de acuerdo con este procedimiento los datos de la prueba libres de almacenaje son aquellos obtenidos despues de las 22 horas

AI graficar los datos de la prueba a partir de ~t = 24 6 (incluido) se obtiene la recta que se muestra en la figura 41 cuya pendiente cuando se usa 109aritmo decimal es 169372 303=3900591 =m Y

qJl B 1626 por tanto 3900591 = m = y

kh

1626 qJLB = k = 1626 988 05 116 = 3413 md m h 3900591 7

Para calcular el dano se debe obtener Pws cuando ~t = 1 hr suponiendo que no hay efecto de almacenaje y que Pi = 4400

2957+1 )P )1 11 = 4685 - 3900591 log 1 = 3 72 101 Lpc(

y por tanto S sera

S = l15 [PI - Plhr _ 323 + log k ~ 1 m rimer

287

= 115[4400-372101+323_10 3413 ]=-3 615 3900591 g 014 05 15 16 () 05 2

o sea que de acuerdo con estos calculos en un pozo que fue ligeramente estimulado

100

y = -16937Ln(x) + 4685

R2 = O99 1

10

(tp+dtjdt

4400

4380

4360

4340

4320

4300

1

4280

4260

4240

1 4220

Figura 41- GrMico de Horner para el Problema 61 Usando Datos a Partir de las 22 horas

VI ~ a

La permeabilidad y el dano tambien se pueden obtener trabajando con curvas tipo (usando en este caso las curvas de Ramey) En este caso se usaran los datos de la prueba pertenecientes a los tiempos iniciales (0 sea menores de 24 horas) y como es una prueba de restauraci6n se elabora la tabla 13

Tabla 13- Calculos para Elaborar Curva Tipo del Problema 61

8P Me 8t Pws

(Pws - p wfbull ~t =0) (M bull tpt(tp + 61))

- - 0 709 2460 1983 197 3169 2799 292 295 3508 2963 389 394 3672 3063 484 492 3772 3164 579 591 3873-shy - - -shy -

288

Las columnas de ~P y ~te se grafican en papel log - log de escala identica a la de curvas tipo y se hace coincidir la curva obtenida con la de S = 0 correspondiente a la familia de curvas de Cso = 104 EI apareamiento se puede observar en la figura 42 en la cual se muestra que la escala de LlP va de 1000 a 1000) la de Llte de 1 a 100 Una vez obtenida la coincidencia se selecciona el punto de ajuste del cual se puede obtener

De la curva obtenida ~P)MP = 2000 ~te)MP = 112

De la familia de las curvas tipo

Con estos datos se puede obtener k de

k= Pntll qjB = 49881degmiddot5116 =23125rnd 70810-1 (tlP)MP h 70810 20007

Observando la grafica ~P vs ~te Y la coincidencia con la curva tipo de S = 0 se ve que se une a la linea de las otras curvas tipo de S = 0 en punto cuyo to es 4 bull 105

0 sea que twbOs = 4 bull 105 un valor similar al calculado antes con la expresion para twbos

Ejemplo 62

Un pozo fue sometido a una prueba de Draw Down durante 200 horas y la informacion que se obtuvo en la prueba es la que aparece en la tabla 14

Ademas se tiene la siguiente informacion adicional

h =48 ltjl =012 rw =3 C = 186middot 10-5 Ipcmiddot1 q = 190 8NID 80 =152 8Y8N 1-10 =125 cp Pi = 32151pc

Tabla 14- Datos de la Prueba de Presion del problema 62shy

t (hrs)t (hrs) ~P (Ipc)~P (Ipc) (Pi - Pwf)

3 220005 8 16010 5 250 24 290015 10

030 47 20 300 308050 70 30 314080 105 50 319100 120 80 322150 160 100 329190 200200

Calcular

CSO twbs tss A CA k Y S Ademas calcular Pws suponiendo que se cerrara el pozo a las 10 horas despues de haber fluido durante 200 horas

289

EI valor de CSD tambien se pudo encontrar usando datos de la prueba de la siguiente manera

C s

= qB 6l 24 6P

donde Llt Y Ll P deben ser tomados a tiempos iniciales de la prueba ademas se debe tener en cuenta que en caso de una Li t =Lite =Llt tp(tp + Llt) 0 sea que tomando Llt = 197 hrs Se tiene

100

y =shy 13 304Ln(x) + 57 693

R2 = 09357

10

(tp+dt)Idt

Figura 40- Gratico de Horner para los Datos de la Tabla 11

Ll P = (3169 - 709) =2460

6tc = 197 2957 = 1983 ( 2957 + 197)

yentonces C s = qB 1983 24 2460

9R8 116 1983 = 385 I 0-2 24 2460

286

1

35

30

25

20

~ c

15

10

5

o

Como este es un valor para CSD que depende de datos de la prueba puede ser mas aceptable que 00102 que depende s610 de datos del pozo y del fluido

Recordando que S = 0

C = 0874 Cs S() ltjgtChr

08 74 385 10-2 ______ _ _ _ = 915 10 1

01 4 1 5 1 0 -( 7 (05) 2

twbsD = 60 915 103 = 55 105

y de aqui se puede calcular twbs asi

55 105 014 05 15 10-6 (05)1

264 10-4 245

twbs = 22 3 hrs

o sea que de acuerdo con este procedimiento los datos de la prueba libres de almacenaje son aquellos obtenidos despues de las 22 horas

AI graficar los datos de la prueba a partir de ~t = 24 6 (incluido) se obtiene la recta que se muestra en la figura 41 cuya pendiente cuando se usa 109aritmo decimal es 169372 303=3900591 =m Y

qJl B 1626 por tanto 3900591 = m = y

kh

1626 qJLB = k = 1626 988 05 116 = 3413 md m h 3900591 7

Para calcular el dano se debe obtener Pws cuando ~t = 1 hr suponiendo que no hay efecto de almacenaje y que Pi = 4400

2957+1 )P )1 11 = 4685 - 3900591 log 1 = 3 72 101 Lpc(

y por tanto S sera

S = l15 [PI - Plhr _ 323 + log k ~ 1 m rimer

287

= 115[4400-372101+323_10 3413 ]=-3 615 3900591 g 014 05 15 16 () 05 2

o sea que de acuerdo con estos calculos en un pozo que fue ligeramente estimulado

100

y = -16937Ln(x) + 4685

R2 = O99 1

10

(tp+dtjdt

4400

4380

4360

4340

4320

4300

1

4280

4260

4240

1 4220

Figura 41- GrMico de Horner para el Problema 61 Usando Datos a Partir de las 22 horas

VI ~ a

La permeabilidad y el dano tambien se pueden obtener trabajando con curvas tipo (usando en este caso las curvas de Ramey) En este caso se usaran los datos de la prueba pertenecientes a los tiempos iniciales (0 sea menores de 24 horas) y como es una prueba de restauraci6n se elabora la tabla 13

Tabla 13- Calculos para Elaborar Curva Tipo del Problema 61

8P Me 8t Pws

(Pws - p wfbull ~t =0) (M bull tpt(tp + 61))

- - 0 709 2460 1983 197 3169 2799 292 295 3508 2963 389 394 3672 3063 484 492 3772 3164 579 591 3873-shy - - -shy -

288

Las columnas de ~P y ~te se grafican en papel log - log de escala identica a la de curvas tipo y se hace coincidir la curva obtenida con la de S = 0 correspondiente a la familia de curvas de Cso = 104 EI apareamiento se puede observar en la figura 42 en la cual se muestra que la escala de LlP va de 1000 a 1000) la de Llte de 1 a 100 Una vez obtenida la coincidencia se selecciona el punto de ajuste del cual se puede obtener

De la curva obtenida ~P)MP = 2000 ~te)MP = 112

De la familia de las curvas tipo

Con estos datos se puede obtener k de

k= Pntll qjB = 49881degmiddot5116 =23125rnd 70810-1 (tlP)MP h 70810 20007

Observando la grafica ~P vs ~te Y la coincidencia con la curva tipo de S = 0 se ve que se une a la linea de las otras curvas tipo de S = 0 en punto cuyo to es 4 bull 105

0 sea que twbOs = 4 bull 105 un valor similar al calculado antes con la expresion para twbos

Ejemplo 62

Un pozo fue sometido a una prueba de Draw Down durante 200 horas y la informacion que se obtuvo en la prueba es la que aparece en la tabla 14

Ademas se tiene la siguiente informacion adicional

h =48 ltjl =012 rw =3 C = 186middot 10-5 Ipcmiddot1 q = 190 8NID 80 =152 8Y8N 1-10 =125 cp Pi = 32151pc

Tabla 14- Datos de la Prueba de Presion del problema 62shy

t (hrs)t (hrs) ~P (Ipc)~P (Ipc) (Pi - Pwf)

3 220005 8 16010 5 250 24 290015 10

030 47 20 300 308050 70 30 314080 105 50 319100 120 80 322150 160 100 329190 200200

Calcular

CSO twbs tss A CA k Y S Ademas calcular Pws suponiendo que se cerrara el pozo a las 10 horas despues de haber fluido durante 200 horas

289

Como este es un valor para CSD que depende de datos de la prueba puede ser mas aceptable que 00102 que depende s610 de datos del pozo y del fluido

Recordando que S = 0

C = 0874 Cs S() ltjgtChr

08 74 385 10-2 ______ _ _ _ = 915 10 1

01 4 1 5 1 0 -( 7 (05) 2

twbsD = 60 915 103 = 55 105

y de aqui se puede calcular twbs asi

55 105 014 05 15 10-6 (05)1

264 10-4 245

twbs = 22 3 hrs

o sea que de acuerdo con este procedimiento los datos de la prueba libres de almacenaje son aquellos obtenidos despues de las 22 horas

AI graficar los datos de la prueba a partir de ~t = 24 6 (incluido) se obtiene la recta que se muestra en la figura 41 cuya pendiente cuando se usa 109aritmo decimal es 169372 303=3900591 =m Y

qJl B 1626 por tanto 3900591 = m = y

kh

1626 qJLB = k = 1626 988 05 116 = 3413 md m h 3900591 7

Para calcular el dano se debe obtener Pws cuando ~t = 1 hr suponiendo que no hay efecto de almacenaje y que Pi = 4400

2957+1 )P )1 11 = 4685 - 3900591 log 1 = 3 72 101 Lpc(

y por tanto S sera

S = l15 [PI - Plhr _ 323 + log k ~ 1 m rimer

287

= 115[4400-372101+323_10 3413 ]=-3 615 3900591 g 014 05 15 16 () 05 2

o sea que de acuerdo con estos calculos en un pozo que fue ligeramente estimulado

100

y = -16937Ln(x) + 4685

R2 = O99 1

10

(tp+dtjdt

4400

4380

4360

4340

4320

4300

1

4280

4260

4240

1 4220

Figura 41- GrMico de Horner para el Problema 61 Usando Datos a Partir de las 22 horas

VI ~ a

La permeabilidad y el dano tambien se pueden obtener trabajando con curvas tipo (usando en este caso las curvas de Ramey) En este caso se usaran los datos de la prueba pertenecientes a los tiempos iniciales (0 sea menores de 24 horas) y como es una prueba de restauraci6n se elabora la tabla 13

Tabla 13- Calculos para Elaborar Curva Tipo del Problema 61

8P Me 8t Pws

(Pws - p wfbull ~t =0) (M bull tpt(tp + 61))

- - 0 709 2460 1983 197 3169 2799 292 295 3508 2963 389 394 3672 3063 484 492 3772 3164 579 591 3873-shy - - -shy -

288

Las columnas de ~P y ~te se grafican en papel log - log de escala identica a la de curvas tipo y se hace coincidir la curva obtenida con la de S = 0 correspondiente a la familia de curvas de Cso = 104 EI apareamiento se puede observar en la figura 42 en la cual se muestra que la escala de LlP va de 1000 a 1000) la de Llte de 1 a 100 Una vez obtenida la coincidencia se selecciona el punto de ajuste del cual se puede obtener

De la curva obtenida ~P)MP = 2000 ~te)MP = 112

De la familia de las curvas tipo

Con estos datos se puede obtener k de

k= Pntll qjB = 49881degmiddot5116 =23125rnd 70810-1 (tlP)MP h 70810 20007

Observando la grafica ~P vs ~te Y la coincidencia con la curva tipo de S = 0 se ve que se une a la linea de las otras curvas tipo de S = 0 en punto cuyo to es 4 bull 105

0 sea que twbOs = 4 bull 105 un valor similar al calculado antes con la expresion para twbos

Ejemplo 62

Un pozo fue sometido a una prueba de Draw Down durante 200 horas y la informacion que se obtuvo en la prueba es la que aparece en la tabla 14

Ademas se tiene la siguiente informacion adicional

h =48 ltjl =012 rw =3 C = 186middot 10-5 Ipcmiddot1 q = 190 8NID 80 =152 8Y8N 1-10 =125 cp Pi = 32151pc

Tabla 14- Datos de la Prueba de Presion del problema 62shy

t (hrs)t (hrs) ~P (Ipc)~P (Ipc) (Pi - Pwf)

3 220005 8 16010 5 250 24 290015 10

030 47 20 300 308050 70 30 314080 105 50 319100 120 80 322150 160 100 329190 200200

Calcular

CSO twbs tss A CA k Y S Ademas calcular Pws suponiendo que se cerrara el pozo a las 10 horas despues de haber fluido durante 200 horas

289

= 115[4400-372101+323_10 3413 ]=-3 615 3900591 g 014 05 15 16 () 05 2

o sea que de acuerdo con estos calculos en un pozo que fue ligeramente estimulado

100

y = -16937Ln(x) + 4685

R2 = O99 1

10

(tp+dtjdt

4400

4380

4360

4340

4320

4300

1

4280

4260

4240

1 4220

Figura 41- GrMico de Horner para el Problema 61 Usando Datos a Partir de las 22 horas

VI ~ a

La permeabilidad y el dano tambien se pueden obtener trabajando con curvas tipo (usando en este caso las curvas de Ramey) En este caso se usaran los datos de la prueba pertenecientes a los tiempos iniciales (0 sea menores de 24 horas) y como es una prueba de restauraci6n se elabora la tabla 13

Tabla 13- Calculos para Elaborar Curva Tipo del Problema 61

8P Me 8t Pws

(Pws - p wfbull ~t =0) (M bull tpt(tp + 61))

- - 0 709 2460 1983 197 3169 2799 292 295 3508 2963 389 394 3672 3063 484 492 3772 3164 579 591 3873-shy - - -shy -

288

Las columnas de ~P y ~te se grafican en papel log - log de escala identica a la de curvas tipo y se hace coincidir la curva obtenida con la de S = 0 correspondiente a la familia de curvas de Cso = 104 EI apareamiento se puede observar en la figura 42 en la cual se muestra que la escala de LlP va de 1000 a 1000) la de Llte de 1 a 100 Una vez obtenida la coincidencia se selecciona el punto de ajuste del cual se puede obtener

De la curva obtenida ~P)MP = 2000 ~te)MP = 112

De la familia de las curvas tipo

Con estos datos se puede obtener k de

k= Pntll qjB = 49881degmiddot5116 =23125rnd 70810-1 (tlP)MP h 70810 20007

Observando la grafica ~P vs ~te Y la coincidencia con la curva tipo de S = 0 se ve que se une a la linea de las otras curvas tipo de S = 0 en punto cuyo to es 4 bull 105

0 sea que twbOs = 4 bull 105 un valor similar al calculado antes con la expresion para twbos

Ejemplo 62

Un pozo fue sometido a una prueba de Draw Down durante 200 horas y la informacion que se obtuvo en la prueba es la que aparece en la tabla 14

Ademas se tiene la siguiente informacion adicional

h =48 ltjl =012 rw =3 C = 186middot 10-5 Ipcmiddot1 q = 190 8NID 80 =152 8Y8N 1-10 =125 cp Pi = 32151pc

Tabla 14- Datos de la Prueba de Presion del problema 62shy

t (hrs)t (hrs) ~P (Ipc)~P (Ipc) (Pi - Pwf)

3 220005 8 16010 5 250 24 290015 10

030 47 20 300 308050 70 30 314080 105 50 319100 120 80 322150 160 100 329190 200200

Calcular

CSO twbs tss A CA k Y S Ademas calcular Pws suponiendo que se cerrara el pozo a las 10 horas despues de haber fluido durante 200 horas

289

Las columnas de ~P y ~te se grafican en papel log - log de escala identica a la de curvas tipo y se hace coincidir la curva obtenida con la de S = 0 correspondiente a la familia de curvas de Cso = 104 EI apareamiento se puede observar en la figura 42 en la cual se muestra que la escala de LlP va de 1000 a 1000) la de Llte de 1 a 100 Una vez obtenida la coincidencia se selecciona el punto de ajuste del cual se puede obtener

De la curva obtenida ~P)MP = 2000 ~te)MP = 112

De la familia de las curvas tipo

Con estos datos se puede obtener k de

k= Pntll qjB = 49881degmiddot5116 =23125rnd 70810-1 (tlP)MP h 70810 20007

Observando la grafica ~P vs ~te Y la coincidencia con la curva tipo de S = 0 se ve que se une a la linea de las otras curvas tipo de S = 0 en punto cuyo to es 4 bull 105

0 sea que twbOs = 4 bull 105 un valor similar al calculado antes con la expresion para twbos

Ejemplo 62

Un pozo fue sometido a una prueba de Draw Down durante 200 horas y la informacion que se obtuvo en la prueba es la que aparece en la tabla 14

Ademas se tiene la siguiente informacion adicional

h =48 ltjl =012 rw =3 C = 186middot 10-5 Ipcmiddot1 q = 190 8NID 80 =152 8Y8N 1-10 =125 cp Pi = 32151pc

Tabla 14- Datos de la Prueba de Presion del problema 62shy

t (hrs)t (hrs) ~P (Ipc)~P (Ipc) (Pi - Pwf)

3 220005 8 16010 5 250 24 290015 10

030 47 20 300 308050 70 30 314080 105 50 319100 120 80 322150 160 100 329190 200200

Calcular

CSO twbs tss A CA k Y S Ademas calcular Pws suponiendo que se cerrara el pozo a las 10 horas despues de haber fluido durante 200 horas

289

Iv D o

_ t-ti1~1hH+ImiddotIWJIIIIIII JI

o shy

Solucian

i) Para calcular Cs se hace uso de un valor inicial de ~t y ~P Por ejemplo ~t 0 1 hrs y ~P 16 Ipc

C = q4B ~ = l~ J52 O ~O = 00752B1s fpc

middotc = 0874(- = 0874 0752 = 9815 5 J cent ( h r 012 186 1 0 - ) 48 (025) 2

ii) Para encontrar el valor twbsD se puede proceder de dos maneras

- Elaborando un grcHico de ~P vs ~t en papellog - log de la misma amplitud de cicio de la carta de curvas tipo Esta grafica mostrara inicialmente una recta de pendiente 1 y luego los puntos se saldran de la recta a partir del punto donde la curva se salga de la recta se desplaza 15 ciclos en la escala de ~t y este punto nos define el valor de twbsD

- Suponiendo que los ultimos puntos de la prueba no estan afectados por almacenaJe por ejemplo a partir de ~t 20 horas pero aun se esta en el periodo transiente En este caso un grafico de ~P vs log ~t sera una linea recta de la pendlente se puede obtener k y del intercepto el valor de S Este fue el procedimiento que se siguio

EI grafico de ~P vs ~t (log) se muestra en la figura 33 en la cual se puede observar que los puntos iniciales estan bastante afectados por almacenaje y no se define una tendencia generalizada hacia una recta pero los puntos finales muestran tendencia a una recta La figura 44 muestra los puntos de la prueba correspondientes a tiempos mayores 0 iguales a 10 horas los cuales se ajustan bastante bien a una recta de pendiente 13 0722303301048 cuando se usa logaritmo decimal

Pendiente 30 1048 Ipcciclo

= 1626 qlB kh

k = 1626 qJlB = 1626 190 125 152 = 40763 mD m h 301048 48

Ademas el dano se puede obtener de

S=1151 [8[gt111 + 323 - 1og k 2l m cent JlLr Jw

donde ~P1h se obtiene del mismo grafico de ~P vs ~t cuando ~t 1 hr

~P 1h 301048 LO~I + 26148 = 301048 Log(I)+26148=26148Lpc

291

S=1151 [ 26148 +3 23-10 40763 J= 40789 30 J0489 g 01 2 J 25 186 10-5 025 2

o sea que el pozo ha sido danado

350

300

( 250

200

a 0

I

150

100

50

o t 10 100

dt

Figura 43- Gratico MDH para la Prueba de Presion del Problema 62

EI valor de twbs es entonces

twbsD = (60 + 35 S)CSD

= (60 + 35 4 0789)98155= 72905755

De aqui se puede sacar el tiempo al cual term ina el efecto de almacenaje asi

1 = I I) centIJCr2 = 729057 10 5 0 12 1 25 186 10-5

025 2

= I 181 34 hrs 264 I 0 ~ k 264 10-4 40763

292

Solucian

i) Para calcular Cs se hace uso de un valor inicial de ~t y ~P Por ejemplo ~t 0 1 hrs y ~P 16 Ipc

C = q4B ~ = l~ J52 O ~O = 00752B1s fpc

middotc = 0874(- = 0874 0752 = 9815 5 J cent ( h r 012 186 1 0 - ) 48 (025) 2

ii) Para encontrar el valor twbsD se puede proceder de dos maneras

- Elaborando un grcHico de ~P vs ~t en papellog - log de la misma amplitud de cicio de la carta de curvas tipo Esta grafica mostrara inicialmente una recta de pendiente 1 y luego los puntos se saldran de la recta a partir del punto donde la curva se salga de la recta se desplaza 15 ciclos en la escala de ~t y este punto nos define el valor de twbsD

- Suponiendo que los ultimos puntos de la prueba no estan afectados por almacenaJe por ejemplo a partir de ~t 20 horas pero aun se esta en el periodo transiente En este caso un grafico de ~P vs log ~t sera una linea recta de la pendlente se puede obtener k y del intercepto el valor de S Este fue el procedimiento que se siguio

EI grafico de ~P vs ~t (log) se muestra en la figura 33 en la cual se puede observar que los puntos iniciales estan bastante afectados por almacenaje y no se define una tendencia generalizada hacia una recta pero los puntos finales muestran tendencia a una recta La figura 44 muestra los puntos de la prueba correspondientes a tiempos mayores 0 iguales a 10 horas los cuales se ajustan bastante bien a una recta de pendiente 13 0722303301048 cuando se usa logaritmo decimal

Pendiente 30 1048 Ipcciclo

= 1626 qlB kh

k = 1626 qJlB = 1626 190 125 152 = 40763 mD m h 301048 48

Ademas el dano se puede obtener de

S=1151 [8[gt111 + 323 - 1og k 2l m cent JlLr Jw

donde ~P1h se obtiene del mismo grafico de ~P vs ~t cuando ~t 1 hr

~P 1h 301048 LO~I + 26148 = 301048 Log(I)+26148=26148Lpc

291

S=1151 [ 26148 +3 23-10 40763 J= 40789 30 J0489 g 01 2 J 25 186 10-5 025 2

o sea que el pozo ha sido danado

350

300

( 250

200

a 0

I

150

100

50

o t 10 100

dt

Figura 43- Gratico MDH para la Prueba de Presion del Problema 62

EI valor de twbs es entonces

twbsD = (60 + 35 S)CSD

= (60 + 35 4 0789)98155= 72905755

De aqui se puede sacar el tiempo al cual term ina el efecto de almacenaje asi

1 = I I) centIJCr2 = 729057 10 5 0 12 1 25 186 10-5

025 2

= I 181 34 hrs 264 I 0 ~ k 264 10-4 40763

292

S=1151 [ 26148 +3 23-10 40763 J= 40789 30 J0489 g 01 2 J 25 186 10-5 025 2

o sea que el pozo ha sido danado

350

300

( 250

200

a 0

I

150

100

50

o t 10 100

dt

Figura 43- Gratico MDH para la Prueba de Presion del Problema 62

EI valor de twbs es entonces

twbsD = (60 + 35 S)CSD

= (60 + 35 4 0789)98155= 72905755

De aqui se puede sacar el tiempo al cual term ina el efecto de almacenaje asi

1 = I I) centIJCr2 = 729057 10 5 0 12 1 25 186 10-5

025 2

= I 181 34 hrs 264 I 0 ~ k 264 10-4 40763

292

335

330 J

325

y =13072Ln(x) + 26 148

R2 =09887

1

320 I 3 15

1

310

305

300

1 (

295 I

290 I

285 I 10 100 1000

dt

Figura 44-Porci6n Recta del Gratico MDH del Problema 62

Problema 63 (Tornado de referencia 4)

La tabla 15 es la informaci6n de una prueba de restauracion de presion en un pozo del cual se tiene tambien la siguiente informacion

Tp = 1533 hrs q =174 BPO B= 106 Ct = 42 106 Lpcmiddot1

h =107 Pies ~ =025 J =25 cP rw = 029 Pies

Interpretar la prueba siguiendo el siguiente procedirniento

Elaborar curva tipo y curva de la derivada Obtener dano y Cs Elaborar grafico semilog y obtener k y S Si hay informacion de periodo seudoestable obteiler A Y Ca

Soluci6n

La tabla 16 rnuestra los caleulos para obtener lu curva tipo y de la derivada curva de diagn stico para este caso y fa tigura 45 las rnencionadas curvas

293

Tabla 15- Informacion de la prueba de presion del problema 63

6P 6t 6PLt (hrs) (Lpc ) (hrs) (Lpc)

057000 187500 000417 62926000 381000000833 200000 642 23000 655000001250 225000 65971000 1003000 001667 237500 66719000 13270000022083 250000 67344000 1677000002500 275000 68465000

002917 2001000 300000 69511000 2325000 70406000 003333 325000

003750 2649000 350000 70980000 004583 2948000 375000 71950000 005000 3248000 400000 72597000 005833 3896000 425000 73020000

4592000 450000 731 95000 006667 5117000 475000007500 73370000 5764000008333 500000 73645000 7195000 525000 73969000009583

010833 8068000 550000 74264000 575000 744 70000 012083 8839000

9712000 013333 600000 74719000 014583 10424000 625000 74894000

11596000 016250 675000 74802000r shy017917 12668000 725000 75078000

13789000 775000019583 75301000 14837000021250 825000 754 52000 15907000022917 875000 75627000 171 79000 025000 925000 757 51000

029167 19712000 975000 75852000 22015000 033333 1025000 76001000

037500 24434000 1075000 76075000-26627000 041667 1125000 76176000

045833 28498000 1175000 76250000 304 44000 05000 1225000 763 51000

054167 32390000 1275000 76425000 058333 34383000 1325000 765 07000 062500 35805000 1375000 76550000 066667 37626000 1450000 76655000 070833 391 97000 1525000 76725000 075000 40369000 1600000 76799000 081250 42863000 1675000 76874000 087500 44734000 17 50000 76948000 093750 46355000 1825000 76999000

48175000 100000 1900000 77073000 06250 49623000 1975000 77099000

512 95000 112500 2050000 77149000 118750 527 41000 2125000 77224000 125000 54115000 2225000 77274000 131 250 55086000 2325000 77322000 137500 56285000 2425000 77348000 143750 57432000 2525000 77399000 150000 58381000 2625000 774 49000 162500 60227000 2725000 77473000 175000 61552000 285000 77523000

294

Tabla 16- Calculos para Obtener la curva Tipo y de Diagnostico (Derivada ) para e I P bl 63ro ema

LU AP Ate (P) (MY Derivada 000417 057 0004 000833 381 0008 779481 00125 655 0012 657967 718724 898404893

001667 1003 0017 836121 747044 124532131 0022083 1327 0022 600073 718097 158577048

0025 1677 0025 1203551 901 812 22545239 002917 2001 0029 779726 991639 289259934 003333 2325 0033 782 025 780876 26026459 00375 2649 0037 780572 781299 292985226

004583 2948 0046 360897 570735 261565479 005 3248 0050 723929 542413 271203641

005833 3896 0058 783418 753673 43 9611336 006667 4592 0066 841 351 812 384 541606548

0075 5117 0075 636090 738720 554027172 008333 57 64 0083 784 753 710422 591977013 009583 7195 0095 1158218 971486 930938792 010833 8068 0108 707732 932975 101 064204 012083 8839 0120 626055 666893 805757825 013333 9712 0132 710027 668041 890632445 014583 10424 0144 580020 645023 940553807 01625 11596 0161 717271 648645 105393247

017917 12668 0177 657484 687377 123140939 019583 13789 0193 689429 673456 131 86199 02125 14837 0210 645531 667480 141 813006

022917 15907 0226 660497 653014 149618804 025 171 79 0246 629894 645196 161 257394

029167 19712 0286 629538 629716 183605298 033333 22015 0326 575575 602 557 20075928

0375 24434 0366 607645 591 610 221 727304 041667 26627 0406 553806 580726 241 801476 045833 284 98 0445 475111 514458 23559302

05 30444 0484 496652 485881 242698378 054167 323 9 0523 499274 497963 269417318 058333 34383 0562 514 147 506710 295182172

0625 35805 0601 368680 441 414 275460158 066667 37626 0639 474 601 421 640 280606832 070833 39197 0677 411 681 443141 313277939

075 40369 0715 308649 360165 269536322 08125 42863 0772 440747 374698 303670717 0875 44734 0828 333219 386983 337622561

09375 46355 0883 290930 312 074 291597991

295

Tabla 15- Informacion de la prueba de presion del problema 63

6P 6t 6PLt (hrs) (Lpc ) (hrs) (Lpc)

057000 187500 000417 62926000 381000000833 200000 642 23000 655000001250 225000 65971000 1003000 001667 237500 66719000 13270000022083 250000 67344000 1677000002500 275000 68465000

002917 2001000 300000 69511000 2325000 70406000 003333 325000

003750 2649000 350000 70980000 004583 2948000 375000 71950000 005000 3248000 400000 72597000 005833 3896000 425000 73020000

4592000 450000 731 95000 006667 5117000 475000007500 73370000 5764000008333 500000 73645000 7195000 525000 73969000009583

010833 8068000 550000 74264000 575000 744 70000 012083 8839000

9712000 013333 600000 74719000 014583 10424000 625000 74894000

11596000 016250 675000 74802000r shy017917 12668000 725000 75078000

13789000 775000019583 75301000 14837000021250 825000 754 52000 15907000022917 875000 75627000 171 79000 025000 925000 757 51000

029167 19712000 975000 75852000 22015000 033333 1025000 76001000

037500 24434000 1075000 76075000-26627000 041667 1125000 76176000

045833 28498000 1175000 76250000 304 44000 05000 1225000 763 51000

054167 32390000 1275000 76425000 058333 34383000 1325000 765 07000 062500 35805000 1375000 76550000 066667 37626000 1450000 76655000 070833 391 97000 1525000 76725000 075000 40369000 1600000 76799000 081250 42863000 1675000 76874000 087500 44734000 17 50000 76948000 093750 46355000 1825000 76999000

48175000 100000 1900000 77073000 06250 49623000 1975000 77099000

512 95000 112500 2050000 77149000 118750 527 41000 2125000 77224000 125000 54115000 2225000 77274000 131 250 55086000 2325000 77322000 137500 56285000 2425000 77348000 143750 57432000 2525000 77399000 150000 58381000 2625000 774 49000 162500 60227000 2725000 77473000 175000 61552000 285000 77523000

294

Tabla 16- Calculos para Obtener la curva Tipo y de Diagnostico (Derivada ) para e I P bl 63ro ema

LU AP Ate (P) (MY Derivada 000417 057 0004 000833 381 0008 779481 00125 655 0012 657967 718724 898404893

001667 1003 0017 836121 747044 124532131 0022083 1327 0022 600073 718097 158577048

0025 1677 0025 1203551 901 812 22545239 002917 2001 0029 779726 991639 289259934 003333 2325 0033 782 025 780876 26026459 00375 2649 0037 780572 781299 292985226

004583 2948 0046 360897 570735 261565479 005 3248 0050 723929 542413 271203641

005833 3896 0058 783418 753673 43 9611336 006667 4592 0066 841 351 812 384 541606548

0075 5117 0075 636090 738720 554027172 008333 57 64 0083 784 753 710422 591977013 009583 7195 0095 1158218 971486 930938792 010833 8068 0108 707732 932975 101 064204 012083 8839 0120 626055 666893 805757825 013333 9712 0132 710027 668041 890632445 014583 10424 0144 580020 645023 940553807 01625 11596 0161 717271 648645 105393247

017917 12668 0177 657484 687377 123140939 019583 13789 0193 689429 673456 131 86199 02125 14837 0210 645531 667480 141 813006

022917 15907 0226 660497 653014 149618804 025 171 79 0246 629894 645196 161 257394

029167 19712 0286 629538 629716 183605298 033333 22015 0326 575575 602 557 20075928

0375 24434 0366 607645 591 610 221 727304 041667 26627 0406 553806 580726 241 801476 045833 284 98 0445 475111 514458 23559302

05 30444 0484 496652 485881 242698378 054167 323 9 0523 499274 497963 269417318 058333 34383 0562 514 147 506710 295182172

0625 35805 0601 368680 441 414 275460158 066667 37626 0639 474 601 421 640 280606832 070833 39197 0677 411 681 443141 313277939

075 40369 0715 308649 360165 269536322 08125 42863 0772 440747 374698 303670717 0875 44734 0828 333219 386983 337622561

09375 46355 0883 290930 312 074 291597991

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Tabla 16- Calculos para Obtener la curva Tipo y de Diagnostico (Derivada ) para e I P bl 63ro ema

LU AP Ate (P) (MY Derivada 000417 057 0004 000833 381 0008 779481 00125 655 0012 657967 718724 898404893

001667 1003 0017 836121 747044 124532131 0022083 1327 0022 600073 718097 158577048

0025 1677 0025 1203551 901 812 22545239 002917 2001 0029 779726 991639 289259934 003333 2325 0033 782 025 780876 26026459 00375 2649 0037 780572 781299 292985226

004583 2948 0046 360897 570735 261565479 005 3248 0050 723929 542413 271203641

005833 3896 0058 783418 753673 43 9611336 006667 4592 0066 841 351 812 384 541606548

0075 5117 0075 636090 738720 554027172 008333 57 64 0083 784 753 710422 591977013 009583 7195 0095 1158218 971486 930938792 010833 8068 0108 707732 932975 101 064204 012083 8839 0120 626055 666893 805757825 013333 9712 0132 710027 668041 890632445 014583 10424 0144 580020 645023 940553807 01625 11596 0161 717271 648645 105393247

017917 12668 0177 657484 687377 123140939 019583 13789 0193 689429 673456 131 86199 02125 14837 0210 645531 667480 141 813006

022917 15907 0226 660497 653014 149618804 025 171 79 0246 629894 645196 161 257394

029167 19712 0286 629538 629716 183605298 033333 22015 0326 575575 602 557 20075928

0375 24434 0366 607645 591 610 221 727304 041667 26627 0406 553806 580726 241 801476 045833 284 98 0445 475111 514458 23559302

05 30444 0484 496652 485881 242698378 054167 323 9 0523 499274 497963 269417318 058333 34383 0562 514 147 506710 295182172

0625 35805 0601 368680 441 414 275460158 066667 37626 0639 474 601 421 640 280606832 070833 39197 0677 411 681 443141 313277939

075 40369 0715 308649 360165 269536322 08125 42863 0772 440747 374698 303670717 0875 44734 0828 333219 386983 337622561

09375 46355 0883 290930 312 074 291597991

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