O Teorema de Stokes em Variedades · PDF fileThales Fernando Vilamaior Paiva O Teorema de...

Universidade Federal de Mato Grosso do Sul

Campus de Aquidauana

Curso de Matematica

Thales Fernando Vilamaior Paiva

O Teorema de Stokes em Variedades

Aquidauana

2011



Monografia apresentada ao Curso de Matematica

da UFMS, como requisito para a obtencao parcial

do grau de LICENCIADO em Matematica.

Orientador: Elias Tayar Galante

Mestre em Matematica - IMECC

Aquidauana

2011



Monografia apresentada ao Curso de Matematica

da UFMS, como requisito para a obtencao parcial

do grau de LICENCIADO em Matematica.

Aprovado em 03 de Novembro de 2011

BANCA EXAMINADORA

Elias Tayar Galante

Mestre em Matematica - IMECC

Adriana Wagner

Mestre em Matematica - UEM

Fabio Dadam

Doutor em Matematica - IMECC

Thales

Stamp

Thales

Stamp

Thales

Stamp

A minha famılia e amigos,

ofereco.

Resumo

Neste trabalho discutimos o teorema de Stokes, tanto para aplicacoes em R3 quanto sua

generalizacao para variedades. Inicialmente, por meio da motivacao fısica do calculo do

trabalho, tratamos das integrais de linha e, posteriormente, das integrais de superfıcie,

provando o teorema de Stokes para aplicacoes em R2 e R3. Em seguida apresentamos

alguns requisitos para a generalizacao do teorema em variedades compactas orientaveis.

Palavras-chaves: Teorema de Stokes, Analise Vetorial, Variedades.

Abstract

In this work we discuss the Stoke’s theorem, for applications in R3 and its generalization

for manifolds. Initially, motivated by the physical calculus of work, we’ll discuss about

line integrals and, after, surface integrals, proofing the Stoke’s theorem for applications

in R2 and R3. Following, we present some requirements for generalizations of theorem on

compact orientated manifolds.

Keywords: Stoke’s Theorem, Vector Analysis, Manifolds.

Agradecimentos

A Deus, por tudo.

A minha famılia, pelo apoio em todos os sentidos.

Aos meus amigos, em especial a “Santıssima Trindade”, composta pelos de-

mais vertices Fernando da Silva Batista e Renan Maneli Mezabarba, da qual tenho o

privilegio de fazer parte.

Aos frequentadores da casa da Ismara e da Jessyca, pela companhia, agradavel

conversa e especialmente pelo otimo cafe.

Ao orientador e amigo, professor Elias Tayar Galante, desde a escolha do tema

ate as muitas sugestoes e correcoes.

Aos professores Adriana Wagner e Fabio Dadam, por se disporem a fazer parte

da banca examinadora.

A professora Irene Magalhaes Craveiro, por toda ajuda e incentivo desde o

inıcio da graduacao.

Em especial, a minha noiva, que muito privou-se de minha companhia em prol

do termino deste trabalho.

A todos voces, o meu muito obrigado!

Assim perguntamos, sem parar,

Ate um punhado de terra

Cobrir a nossa boca

Mas isso sera uma resposta?

Heinrich Heine.

Sumario

1 Integrais de Linha e o Teorema de Stokes 9

1.1 Integrais de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 O Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 O Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Formas 31

2.1 Formas Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Formas Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Integracao em Variedades 45

3.1 Variedades Diferenciaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Conclusao e Estudos Posteriores 59

5 Apendice A - Diferenciabilidade 60

6 Apendice B - Topologia Elementar do Rn 64

Referencias Bibliograficas 71

7

Introducao

Apresentamos neste trabalho um tratamento do teorema de Stokes, tanto para

aplicacoes em superfıcies do R3 quanto sua generalizacoes em superfıcies abstratas de

dimensoes arbitrariamente grandes, chamadas variedades.

No capıtulo 1 comecamos introduzindo o conceito de integral de linha, mo-

tivado pelo calculo do trabalho realizado por uma forca ao deslocar uma partıcula no

espaco. E em seguida, apresentamos os teoremas de Green, de Stokes e de Gauss.

Optamos por fazer um tratamento dos teoremas do capıtulo 1 de forma in-

dependente das formas diferenciais, pois julgamos interessante faze-lo do ponto de vista

do calculo usual para duas e tres variaveis, simplificando alguns resultados e tornando

possıvel a apresentacao dos teoremas sem muitos pre-requisitos.

No capıtulo 2 iniciamos com uma pequena introducao a algebra das aplicacoes

multilineares, enfatizando em particular as aplicacoes alternadas, motivando muitos dos

resultados a respeito das formas diferenciais, que estabelecemos na sessao 2.2. Nomeamos

a sessao 2.1 por Formas Alternadas pelo fato de que consideramos apenas aplicacoes da

forma T : V ×· · ·×V → R, isto e, com contradomınio real. E em particular, tais aplicacoes

sao comumente denominadas formas, na literatura consultada.

O capıtulo 3 fecha o texto principal, apresentando duas sessoes, onde a primeira

e dedicada ao conceito de variedade diferenciavel, e a segunda dedicada ao teorema de

Stokes.

Mostramos na sessao 3.3 as considereacoes necessarias a respeito da integral

de uma k−forma em uma variedade diferenciavel, para posteriormente fazer uso na de-

monstracao do teorema de Stokes. Entretanto, a forma em que apresentamos o teorema

restrige-se apenas para o caso em que a variedade considerada e compacta e orientavel, o

que facilita sua interpretacao e tambem a demonstracao. E um tratamento mais geral a

respeito do teorema para aplicacoes em variedades nao compactas e com singularidades

pode ser encontrado na bibliografia consultada.

O texto consta ainda de dois apendices, o primeito dedicado a uma pequena

8

revisao sobre diferenciabilidade de funcoes de varias variaveis, e o segundo sobre topologia

dos espacos euclidianos. O resultado mais importante no apendide B se da nas definicoes

e consideracoes a respeito dos espacos compactos, pois tais resultados sao admitidos no

capıtulo 3, principalmente quando tratamos das chamadas particoes diferenciaveis da

unidade e variedades compactas, usadas na demostracao do teorema de Stokes.

Apresentamos ainda ao final deste trabalho (capıtulo 4) uma breve discussao

dos resultados obtidos e tambem dos estudos posteriores, motivado pelos resultados estu-

dados na elaboracao desta monografia.

9

1 Integrais de Linha e o Teorema de Stokes

Neste primeiro capıtulo, faremos uma exposicao dos mecanismos necessarios

para o desenvolvimento, prova e aplicacoes do teorema de Stokes que, em alguns textos

e chamado de teorema fundamental do calculo de muitas variaveis, pelo seu carater de

generalizacao do teorema fundamental do calculo (em uma variavel).

Focaremos primeiramente na exposicao do teorema para aplicacoes em R2 e R3

e, nos capıtulos seguintes, iniciaremos a apresentacao dos requisitos para sua generalizacao

em variedades.

Comecaremos agora com o estudo das integrais sobre curvas no espaco, tra-

dicionalmente chamadas de integrais de linha, e logo depois faremos o caso especial do

teorema de Stokes em R2, chamado de teorema de Green e, finalmente, faremos o teorema

de Stokes para R3. Ao longo deste capıtulo baseamo-nos principalmente nas referencias

[1, 10].

1.1 Integrais de linha

Quando p e uma partıcula que se move ao longo de um segmento de reta no

espaco, com ponto inicial A e final B, e F e uma forca constante, sabemos que o trabalho

realizado por F ao deslocar p ao longo de AB e dado por

W = F · AB, (1.1)

onde “ · ” denota o produto interno.

Quando p se move ao longo de uma curva C, podemos aproxima-lo por uma

linha poligonal com vertices em C, dividindo o segmento por meio de uma particao regular,

para entao usar a equacao (1.1) e obter o Trabalho realizado no deslocamento da partıcula

ao longo de C, e essa sera nossa motivacao para a definicao de integral de linha.

Definicao 1.1.1. Uma particao P de um intevalo fechado [a, b] e uma sucessao t0, · · · , tn,

onde a = t0 < · · · < tn = b. Neste caso P e dito de ordem n, pois separa [a, b] em

1.1 Integrais de linha 10

n subintervalos. Dizemos ainda que P e regular se para qualquer j = 1, · · · , n − 1,

tj+1 − tj = b−an.

Sejam,

F : R3 −→ R3

(x, y, z) 7→ F (x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z))

um campo vetorial1, e C uma curva em R3 definida por σ(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b].

Dividimos o intervalo I = [a, b] por meio de uma particao regular de ordem n,

a = t0 < · · · < ti < · · · < tn = b,

e obtemos uma linha poligonal de vertices σ(ti) = (x(ti), y(ti), z(ti)), i = 0, · · · , n − 1.

Como, para n grande, ∆ti = ti+1 − ti e pequeno, o deslocamento da partıcula

de σ(ti) ate σ(ti+1) e aproximado pelo vetor ∆Si = σ(ti+1)−σ(ti), e F pode ser considerada

constante e igual a F (σ(ti)) no intervalo [ti, ti+1]. Supondo que σ seja de classe C1 em

[a, b], entao, pela definicao de derivada, temos

σ′(ti) =σ(ti+1)− σ(ti)

ti+1 − ti⇒ σ′(ti) =

∆Si∆ti⇒ ∆Si ≈ σ′(ti)∆(ti). (1.2)

Portanto, o trabalho realizado para deslocar uma partıcula de σ(ti) ate σ(ti+1)

e aproximadamente

F (σ(ti)) ·∆Si ≈ (F (σ(ti)) · σ′(ti)) ·∆(ti). (1.3)

Assim, o trabalho W realizado pela forca F para deslocar uma partıcula ao

longo de C e

W = limn→∞

(n−1∑i=0

(F (σ(ti)) · σ′(ti))∆ti

). (1.4)

Se σ e de classe C1 em [a, b] e o campo F (x, y, z) e contınuo em C, o limite

acima existe e e igual a

W =

∫ b

a

(F (σ(t)) · σ′(t))dt. (1.5)

Facamos entao a seguinte definicao.

Definicao 1.1.2. Consideremos uma curva C em R3 parametrizada por

σ(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b], onde σ e de classe C1, e

1Um campo vetorial trata-se de uma aplicacao F : U ⊂ Rn → Rn, que associa a cada n−upla

(x1, · · · , xn) um vetor em Rn.


F (x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) um campo vetorial contınuo2 definido em

C. Definimos a integral de linha de F ao longo de C por

∫C

F · dr =

∫ b

a

(F (σ(t)) · σ′(t))dt.

Lembrando que F = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) e σ(t) = (x(t), y(t), z(t)),

e usando suas componentes, a equacao acima obtem a seguinte forma:∫C

F · dr =

∫ b

a

F1(σ(t))x′(t)dt+ F2(σ(t))y′(t)dt+ F3(σ(t))z′(t)dt, (1.6)

que comumente e simplificada para∫C

F · dr =

∫C

F1dx+ F2dy + F3dz. (1.7)

Se a curva C e fechada a integral de linha e denotada por∮C

F · dr. (1.8)

Podemos adaptar a definicao (1.1.2) para uma integral de linha de funcao

escalar da seguinte forma.

Sejam f : R3 −→ R uma funcao real e C uma curva em R3, definida pela

funcao

σ : I[a, b] −→ R3

t 7→ σ(t) = (x(t), y(t), z(t)).

Dividimos o intervalo I = [a, b], como feito anteriormente, por meio de uma

particao regular, obtendo uma decomposicao de C em curvas Ci definidas em [ti, ti+1].

Supondo que σ(t) e de classe C1, e denotando por ∆Si o comprimento da curva

Ci, tem-se, pela formula do comprimento de arco

∆Si =

∫ ti+1

ti

||σ′(t)||dt. (1.9)

Pelo teorema do valor medio para integrais, existe ui ∈ [ti, ti+1] tal que ∆Si =

||σ′(ui)||(ti+1 − ti) = ||σ′(ui)||∆ti, onde ∆ti = ti+1 − ti.2Um campo vetorial F sera contınuo se cada funcao coordenada Fi for contınua.


Quando n e grande, ∆Si e pequeno e f(x, y, z) pode ser considerada constante

em Ci e igual a f(σ(ui)). Obtemos assim a soma de Riemann

n−1∑i=0

f(σ(ui))||σ′(ui)||∆ti. (1.10)

Logo, se considerarmos f(x, y, z) constante em C, obtemos

limn→∞

(n−1∑i=0

f(σ(ui))||σ′(ui)||∆ti

)=

∫ b

a

f(σ(t))||σ′(t)||dt. (1.11)

Facamos entao a seguinte definicao.

Definicao 1.1.3. Consideremos uma curva C em R3 parametrizada por

σ(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b], onde σ e de classe C1, e f(x, y, z) uma funcao real

contınua em C. Definimos a integral de linha de f ao longo de C por∫C

fds =

∫C

f(x, y, z)ds =

∫ b

a

f(σ(t))||σ′(t)||dt.

Observacao 1.1.1. Se f(x, y, z) = 1 obtemos simplesmente a formula do comprimento da

curva C ∫C

ds =

∫ b

a

||σ′(t)||dt. (1.12)

Suponha agora que uma partıcula se mova ao longo de uma curva C, para-

metrizada por uma funcao σ(t), e que exista uma parametrizacao equivalente β(t) de C.

Veremos entao a relacao entre as integrais∫Cσ

F · dr e

∫Cβ

F · dr, (1.13)

onde Cσ e a parametrizacao de C por σ(t) e Cβ e a parametrizacao de C por β(t).

Definicao 1.1.4. Sejam σ(t) (a ≤ t ≤ b) e β(t) (c ≤ t ≤ d) duas parametrizacoes de classe

C1 de uma curva C. Dizemos que σ(t) e β(t) sao parametrizacoes equivalentes se existe

uma funcao h : [c, d]→ [a, b], bijetora e de classe C1, tal que β(t) = σ(h(t)), c ≤ t ≤ d. Se

h e crescente, dizemos que h preserva a orientacao.

Teorema 1.1.1. Sejam σ(t) (a ≤ t ≤ b) e β(t) (c ≤ t ≤ d) parametrizacoes C1 por partes

e equivalentes, isto e, existe h dada pela definicao anterior. Se h preserva orientacao,

entao ∫Cβ

F · dr =

∫Cσ

F · dr.


Se h inverte a orientacao, entao∫Cβ

F · dr = −∫Cσ

F · dr.

Demonstracao. Se σ(t) e β(t) sao equivalentes, entao existe h tal que β(t) = σ(h(t)), t ∈

[c, d]. Entao∫Cβ

F ·dr =

∫ d

c

F (β(t))·β′(t)dt =

∫ d

c

F (σ(h(t)))·σ′(h(t))dt =

∫ d

c

F (σ(h(t)))·σ′(h(t))·h′(t)dt.

Fazendo u = h(t) obtemos du = h′(t)dt, e entao∫Cβ

F · dr =

∫ h(d)

h(c)

F (σ(u)) · σ′(u)du.

Portanto,∫Cβ

F · dr =

∫ h(d)

h(c)

F (σ(u)) · σ′(u)du =

∫ b

a

F (σ(u)) · σ′(u) =

∫Cσ

F · dr,

se h preserva a orientacao (h e crescente), e∫ h(d)

h(c)

F (σ(u)) · σ′(u)du =

∫ a

b

F (σ(u)) · σ′(u)du = −∫Cσ

F · dr,

se h inverte a orientacao (h e decrescente).

Observe que o procedimento utilizado foi possıvel pela forma com que se define

uma parametrizacao equivalente, isto e, por existir uma bijecao h : [c, d]→ [a, b].

Por serem definidas em termos de integrais ordinarias, as integrais de linha

gozam de algumas importantes propriedades das integrais ordinarias, como a linearidade

e a aditividade, como segue:

Linearidade: ∫C

(aF + bG) · dr = a

∫C

F · dr + b

∫C

G · dr. (1.14)

Aditividade: Se C admite uma decomposicao em um numero finito de curvas C1, · · · , Cnentao ∫

C

F · dr =n∑i=1

∫Ci

F · dr. (1.15)

Vimos ate agora que a integral de linha depende do caminho, isto e, da curva

C a qual estamos considerando. Passaremos a analisar em quais condicoes a integral de


linha depende apenas dos pontos inicial e final do caminho C. Veremos que isto esta

relacionado com as caracterısticas do campo vetorial ao qual estamos considerando.

Antes de enunciar o teorema que nos dara uma condicao para que a integral de

linha dependa somente dos pontos final e inicial, lembremo-nos do teorema fundamental

do calculo, pois alem de utiliza-lo na proxima demonstracao, poderemos observar ate certa

semelhanca com o teorema em questao.

Teorema 1.1.2. (Teorema Fundamental do Calculo). Sejam f uma funcao contınua

no intervalo fechado [a, b] e g uma funcao, com g′(x) = f(x) para todo x ∈ [a, b]. Entao,∫ b

a

f(t)dt = g(b)− g(a).

Teorema 1.1.3. Seja F um campo vetorial contınuo definido num subconjunto aberto

U ⊂ R3 para o qual existe uma funcao real f tal que ∇f = F em U . Se C e uma curva

em U com pontos inicial e final A e B, respectivamente, parametrizada por uma funcao

σ(t), C1 por partes, entao∫C

F · dr =

∫C

∇f · dr = f(B)− f(A).

Demonstracao. Sejam A = σ(a) e B = σ(b) os pontos inicial e final de C, respectivamente.

Entao, como ∫C

F · dr =

∫ b

a

∇f(σ(t)) · σ′(t)dt

basta fazer g(t) = f(σ(t)), a ≤ t ≤ b e obtemos, pela regra da cadeia, que

g′(t) = ∇f(σ(t)) · σ′(t).

E finalmente, pelo Teorema Fundamental do Calculo,∫C

F · dr =

∫ b

a

g′(t)dt = g(b)− g(a) = f(σ(b))− f(σ(a)) = f(B)− f(A).

Definicao 1.1.5. O campo vetorial F acima e chamado de campo vetorial conservativo,

ou campo vetorial gradiente, e f e dita uma funcao potencial3.

3Este nome foi utilizado pela primeira vez pelo matematico George Green, em um trabalho publicado

em 1828.

1.2 O Teorema de Green 15

1.2 O Teorema de Green

O Teorema de Green4 trata-se de um resultado muito importante no estudo

das integrais de linha, pois as relaciona com uma integral dupla sobre a regiao limitada

pela curva a qual estamos considerando, da seguinte forma:∮∂D

F1dx+ F2dy =

∫ ∫D

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)dxdy. (1.16)

Mas para a validade de (1.16) faz-se necessario supor a veracidade de duas

condicoes. Primeiro, e necessario que as funcoes F1 e F2 sejam integraveis. E em se-

gundo lugar, temos condicoes impostas a natureza da regiao D e sua fronteira ∂D.

Sera necessario que ∂D seja uma curva fechada simples, isto e, se parame-

trizada por uma funcao σ definida em um intervalo fechado [a, b], entao σ(a) = σ(b). E

ainda, σ(t1) 6= σ(t2), para todo t1 6= t2, onde t1, t2 ∈ (a, b).

Curvas fechadas simples sao usualmente chamadas de curvas de Jordan, em

homenagem ao matemaico frances Camille Jordan (1838-1922), um dos pioneiros nos

estudos referentes a curvas fechadas e arcos.[1]

Antes de enunciar o Teorema, facamos as seguintes definicoes:

Definicao 1.2.1. Uma regiao D do plano xy e chamada de Regiao de tipo I se existem

ϕ1 e ϕ2 funcoes, tais que a regiao pode ser descrita da seguite forma:

D = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b e ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x)}.

Definicao 1.2.2. Uma regiao D do plano xy e chamada de Regiao de tipo II se existem

ψ1 e ψ2 funcoes, tais que a regiao pode ser descrita da seguinte forma:

D = {(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d e ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y)}.

Definicao 1.2.3. Uma regiao D do plano xy e dita simples se pode ser descrita como

uma regiao do tipo I e II, simultaneamente.

Definicao 1.2.4. Dizemos que a fronteira ∂D, de uma regiao limitada D esta orientada

positivamente se a regiao D fica a esquerda, ao percorrermos a fronteira ∂D.

Definicao 1.2.5. Consideremos um campo vetorial F : U ⊂ R3 → R3. F e de classe C1

se todas as derivadas parciais ∂Fi∂xj

das funcoes coordenadas de F sao contınuas no conjunto

aberto U.4O teorema leva esse nome em homenagem ao matematico ingles George Green (1793-1841).


Teorema 1.2.1. (Teorema de Green). Seja D uma regiao fechada e limitada do

plano xy, cuja fronteira ∂D esta orientada positivamente e e parametrizada por uma

funcao C1 por partes, de modo que ∂D seja percorrida apenas uma vez (∂D sera uma

curva de Jordan). Se F (x, y) = (F1(x, y), F2(x, y)) e um campo vetorial de classe C1 num

subconjunto aberto que contem D, entao∮∂D

F1dx+ F2dy =

∫ ∫D

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)dxdy.

Demonstracao. Supomos primeiramente que D e uma regiao simples, isto e, D pode ser

descrita simultaneamente por uma regiao de tipo I e de tipo II.

Observe que temos valida a seguinte identidade:∫ ∫D

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)dxdy =

∫ ∫D

∂F2

∂xdxdy +

∫ ∫D

−∂F1

∂ydxdy.

Sendo assim, se D e de tipo I, temos∫ ∫D

−∂F1

∂ydxdy =

∫ b

a

∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

−∂F1

∂ydydx =

=

∫ b

a

[F1(x, ϕ1(x))− F2(x, ϕ2(x))] dx =

∫ b

a

F1(x, ϕ1(x))dx−∫ b

a

F1(x, ϕ2(x))dx =

=

∮∂D

F1dx

De forma analoga, supondo agora D de tipo II, obtemos∫ ∫D

∂F2

∂xdxdy =

∫ d

c

∫ ψ2(y)

ψ1(y)

∂F2

∂xdxdy =

=

∫ d

c

[F2(ψ2(y), y)− F2(ψ1(y), y)] dy =

∫ d

c

F2(ψ2(y), y)dy −∫ d

c

F2(ψ1(y), y)dy =

=

∮∂D

F2dy.

Portanto, ∫ ∫D

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)dxdy =

∮∂D

F1dx+ F2dy.

Se porem, D nao e simples, entao D pode ser descrita como uma soma de

regioes simples, isto e, D =⋃ni=1Di, onde cada Di e simples com fronteira ∂Di para-

metrizada por uma funcao C1 por partes, e sendo assim, podemos aplicar o teorema de

Green a cada regiao simples, obtendo∫ ∫D

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)dxdy =

n∑i=1

∫ ∫Di

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)dxdy =

n∑i=1

∮∂Di

F1dx+ F2dy.


Observe que se uma fronteira ∂Di e percorrida duas vezes, isto e, e parte da fronteira

comum a duas regioes, entao pelo teorema 1.1.1 sera em sentidos opostos, e os resultados

serao anulados, fazendo com que somente as partes que formam a fronteira ∂D sejam

consideradas, o que garante a validade do teorema.

Definicao 1.2.6. Um subconjunto aberto U ⊂ R2 e dito um domınio se dois pontos

quaisquer de U podem ser ligados por uma poligonal totalmente contida em U.

Definicao 1.2.7. Um subconjunto aberto U ⊂ R2 e dito simplesmente conexo se, para

toda curva fechada C em U , a regiao limitada por C esta totalmente contida em U.

Teorema 1.2.2. Se z = f(x, y) e uma funcao de classe C2, entao suas derivadas mistas

sao iguais, isto e∂2f

∂x∂y=

∂2f

∂y∂x.

Teorema 1.2.3. Seja F = (F1, F2) um campo vetorial de classe C1 definido num domınio

simplesmente conexo U ⊂ R2. As seguintes condicoes sao equivalentes.

1.∮CF · dr = 0, qualquer que seja a curva fechada C,C1 por partes, contida em U

2. A integral de linha de F do ponto A ate o ponto B independe da curva C1 por partes,

contida em U que liga A a B.

3. F e um campo vetorial conservativo de alguma funcao potencial f em U.

4. ∂F2

∂x= ∂F1

∂y.

Demonstracao. Faremos a demonstracao mostrando que (1)⇒ (2)⇒ (3)⇒ (4)⇒ (1).

(1) ⇒ (2). Sejam C1 e C2 dois caminhos C1 por partes ligando A e B. Denotando por

C−i o caminho Ci com a orientacao contraria, temos que C = C1 ∪C−2 e fechada e C1 por

partes, e assim, por (1) obtemos

0 =

∮C

F · dr =

∫C1

F · dr −∫C2

F · dr ⇒

⇒∫C1

F · dr =

∫C2

F · dr.

(2)⇒ (3). Provaremos a existencia de f tal que ∂f∂x

= F1, para F2 segue-se analogamente.

Fixe (x0, y0) ∈ U, e para cada (X, Y ) ∈ U defina

f(X, Y ) =

∫ (X,Y )

(x0,y0)

F1dx+ F2dy.


Esta funcao esta bem definida, pois de (2) decorre que a integral independe do caminho

que liga (x0, y0) a (X, Y ).

Tomando agora ∆x→ 0 temos

f(X + ∆x, Y )− f(X, Y ) =

∫ (X+∆x,Y )

(x0,y0)

F1dx+ F2dy −∫ (X,Y )

(x0,y0)

F1dx+ F2dy =

=

∫ (X+∆x,Y )

(X,Y )

F1dx+ F2dy.

Novamente, esta ultima integral independe do caminho entre (X, Y ) e (X + ∆x, Y ), e

entao podemos toma-lo como sendo o segmento de reta que liga esses pontos (lembrando

que por hipotese a regiao e um domınio). Assim, como a coordenada y e constante, temos∫ (X+∆x,Y )

(X,Y )

F1dx+ F2dy =

∫ (X+∆x,Y )

(X,Y )

F1dx.

Finalmente, pelo teorema do valor medio para integrais,∫ (X+∆x,Y )

(X,Y )

F1dx = ∆xF1(x+ t∆x, Y ),

0 ≤ t ≤ 1. Logo,

f(X + ∆x, Y )− f(X, Y )

∆x=

1

∆x

∫ (X+∆x,Y )

(X,Y )

F1dx+ F2dy = F1(X + t∆x, Y ),

e tomando o limite quando ∆x→ 0 obtemos

∂f

∂x(X, Y ) = F1(X, Y ).

(3) ⇒ (4). Se F = ∇f em U, entao ∂f∂x

= F1 e ∂f∂y

= F2, e ainda como F e de classe C1

imediatamente f e de classe C2. Considerando entao suas derivadas parciais de segunda

ordem obtemos ∂2f∂y∂x

= ∂F1

∂ye ∂2f∂x∂y

= ∂F2

∂x. Logo,

∂F1

∂y=∂F2

∂x.

(4) ⇒ (1). Basta aplicar o teorema de Green, pois como C e uma curva fechada em U ,

entao pelo fato de U ser simplesmente conexo, segue que a regiao D limitada por C esta

totalmente contida em U. Assim,∮C

F1dx+ F2dy =

∫ ∫D

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)dxdy = 0.

1.3 O Teorema de Stokes 19

1.3 O Teorema de Stokes

O Teorema de Stokes, que possui esse nome em homenagem ao matematico

irlandes G. G. Stokes (1819-1903), e uma extencao direta do teorema de Green, dado na

secao anterior. Ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de

uma curva fechada C no R3 com a integral sobre uma superfıcie S da qual C e bordo, da

seguinte forma: ∫ ∫S

(rotF · n)ds =

∫∂S

F · dr. (1.17)

Mas antes de enunciar e provar esse teorema, estudaremos as chamadas inte-

grais de superfıcie, a fim de compreender os mecanismos necessarios para a aplicacao e

prova do Teorema de Stokes.

Relembraremos algumas maneiras de descrever uma superfıcie:

Representacao implıcita: Podemos descrever uma superfıcie como o conjunto dos

pontos (x, y, z) que satisfazem uma equacao da forma F (x, y, z) = 0, por exemplo, a

esfera de raio 1 centrada na origem tem representacao implıcita x2 +y2 +z2−1 = 0.

Representacao explıcita: Quando temos uma representacao implıcita e e possıvel

resolver essa equacao para uma variavel, isto e, z = F (x, y), y = F (x, z) ou x =

F (y, z) obtemos a chamada representacao explıcita da superfıcie. Usando o exemplo

anterior e resolvendo a equacao para z, obtemos as representacoes explıcitas z =√1− x2 − y2 e z = −

√1− x2 − y2.

Representacao parametrica: Consideremos uma funcao ϕ : D ⊂ R2 → R3 definida

num subconjunto D ⊂ R2. A imagem de D por ϕ, ϕ(D), e dita uma superfıcie

parametrizada, e sua representacao parametrica e

ϕ(u, v) = (x, y, z) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) e (u, v) ∈ D.

A funcao ϕ e de classe C1 se x(u, v), y(u, v) e z(u, v) sao de classe C1.

Suponhamos que uma superfıcie S com representacao parametrica ϕ(u, v) =

(x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D, seja diferenciavel em (u0, v0) ∈ D. Fixando u = u0,

obtemos uma funcao,

I ⊂ R→ R3

v 7→ ϕ(u0, v)


que define uma curva v na superfıcie. Se o vetor

∂ϕ

∂v(u0, v0) =

(∂x

∂v(u0, v0),

∂y

∂v(u0, v0),

∂z

∂v(u0, v0)

)e nao nulo, entao ele e um vetor tangente a esta curva no ponto ϕ(u0, v0).

Procedendo analogamente, definimos a curva u na superfıcie, e entao, se o

vetor∂ϕ

∂u(u0, v0) =

(∂x

∂u(u0, v0),

∂y

∂u(u0, v0),

∂z

∂u(u0, v0)

)e nao nulo, ele e tangente a curva u em ϕ(u0, v0).

Quando N(u0, v0) = ∂ϕ∂u

(u0, v0)× ∂ϕ∂v

(u0, v0) e nao nulo, N(u0, v0) e normal ao

plano gerado pelos vetores ∂ϕ∂u

(u0, v0) e ∂ϕ∂v

(u0, v0).

Definicao 1.3.1. (Plano Tangente). Seja S uma supefıcie parametrizada por

ϕ : D ⊂ R2 → R3. Suponhamos que ∂ϕ∂u

e ∂ϕ∂v

sejam contınuas em (u0, v0) ∈ D. Se

N(u0, v0) = ∂ϕ∂u

(u0, v0)× ∂ϕ∂v

(u0, v0) e nao nulo, dizemos que S e regular em ϕ(u0, v0) ∈ S.

Neste caso, definimos o plano tangente a S em ϕ(u0, v0) = (x0, y0, z0) como sendo o plano

gerado pelos vetores ∂ϕ∂u

(u0, v0) e ∂ϕ∂v

(u0, v0), cuja equacao e dada por

N(u0, v0) · (x− x0, y − y0, z − z0) = 0

Uma superfıcie S = ϕ(D) e regular5 se e regular em todos os pontos.

Considere agora uma superfıcie parametrizada

ϕ : D ⊂ R2 → R3

ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).

Por simplicidade, e sem perda de generalidade, suponha queD seja um retangulo,

e considere uma particao regular de D de ordem n da seguinte forma:

Para cada i, j ∈ {0, 1 · · · , n − 1}, seja Rij o retangulo de vertices (ui, vj),

(ui+1, vj), (ui, vj+1) e (ui+1, vj+1).

Para facilitar a notacao, denotamos o vetor ∂ϕ∂u

(ui, vj) por ϕui , e analogamente

∂ϕ∂v

(ui, vj) por ϕvj .

5Intuitivamente dizemos que uma superfıcie regular nao possui “bicos”.


Seja ∆u = ui+1 − ui e ∆v = vj+1 − vj. Dessa forma os vetores ∆uϕui e ∆vϕvj

sao tangentes a superfıcie em ϕ(ui, vj) = (xij, yij, zij), e ainda, esses vetores formam um

paralelogramo Pij situado no plano tangente a superfıcie em (xij, yij, zij).

Relembrando que a area de um paralelogramo determinado por dois vetores u

e v e ||u× v||, observe que para n suficientemete grande, a area do paralelogramo Pij se

aproxima da area de ϕ(Rij).

Portanto, a area da superfıcie e aproximada por

An =n−1∑i=0

n−1∑j=0

A(Pij) =n−1∑i=0

n−1∑j=0

||ϕui × ϕvj ||∆u∆v, (1.18)

Fazendo n→∞, a sequencia An converge para a integral∫ ∫D

∣∣∣∣∣∣∂ϕ∂u

(u, v)× ∂ϕ

∂v(u, v)

∣∣∣∣∣∣dudv. (1.19)

Feito isso, facamos a seguinte definicao.

Definicao 1.3.2. (Area de Superfıcie). Seja S uma superfıcie parametrizada por

ϕ(u, v), (u, v) ∈ D. Definimos a area A(S) de S pela formula

A(S) =

∫ ∫D

∣∣∣∣∣∣∣∣∂ϕ∂u (u, v)× ∂ϕ

∂v(u, v)

∣∣∣∣∣∣∣∣ dudv.Se S e decomposta por um numero finito de superfıcies, entao sua area e dada pela soma

destas areas, isto e

A(S) =n∑i=1

A(Si), onde S =n⋃i=1

Si.

Integrais de superfıcie podem ser tratadas de forma analoga as integrais de

linha, pois possuem uma estreita ligacao. Enquanto uma integral de linha trata-se de

uma integral sobre uma curva no espaco, integrais de superfıcie podem ser interpretadas

como uma integral sobre uma superfıcie no espaco. Veremos a seguir a definicao de integral

de superfıcie.

Definicao 1.3.3. Seja S uma superfıcie parametrizada por ϕ(u, v), (u, v) ∈ D, e f(x, y, z)

uma funcao real contınua definida em S. Definimos a integral de superfıcie de f sobre S

por ∫ ∫S

fds =

∫ ∫S

f(x, y, z)ds =

∫ ∫S

f(ϕ(u, v))∣∣∣∣∣∣∂ϕ∂u× ∂ϕ

∂v

∣∣∣∣∣∣dudv.


Quando a superfıcie S e definida explicitamente por uma equacao da forma

z = g(x, y), onde (x, y) ∈ D entao, sabendo que

∂z

∂x× ∂z

∂y=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

1 0 ∂z∂x

(x, y)

0 1 ∂z∂y

(x, y)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1k − ∂g

∂yj − ∂g

∂xi,

temos∫ ∫S

fds =

∫ ∫S

f(x, y, g(x, y)) ·

√1 +

(∂g

∂x(x, y)

)2

+

(∂g

∂y(x, y)

)2

dxdy. (1.20)

Logo, se f(x, y, z) = 1 sobre S, a equacao acima se reduz a∫ ∫S

ds =

∫ ∫D

∣∣∣∣∣∣∣∣∂ϕ∂u (u, v)× ∂ϕ

∂v(u, v)

∣∣∣∣∣∣∣∣ dudv, (1.21)

que e igual a area de S, e por essa razao o sımbolo ds pode ser interpretado como um

elemento de area de superfıcie, e a integral de superfıcie∫ ∫

Sfds e chamada de integral

de f com respeito ao elemento de area ds, estendida sobre a superfıcie S.[10]

Seja S uma superfıcie parametrizada, entao a esta superfıcie estao associados

dois campos contınuos de vetores unitarios n1 e n2 :

n1(ϕ(u, v)) =∂ϕ∂u

(u, v)× ∂ϕ∂v

(u, v)

||∂ϕ∂u

(u, v)× ∂ϕ∂v

(u, v)||, (1.22)

n2(ϕ(u, v)) = −n1(ϕ(u, v)). (1.23)

Definicao 1.3.4. Seja S uma superfıcie parametrizada. Dizemos que S esta orientada

se fixarmos sobre ela um campo de vetores normais unitarios da forma n1 ou n2.

Definicao 1.3.5. Se F : S ⊂ R3 → R3 e um campo vetorial contınuo e n um dos campos

n1 ou n2, denotamos por Fn = F · n a funcao escalar que a cada ponto de S associa a

componente do campo F na direcao do vetor n.

Definicao 1.3.6. Seja F um campo vetorial contınuo definido numa superfıcie orientada

S parametrizada por ϕ(u, v), (u, v) ∈ D. Definimos a integral de superfıcie de F sobre S

por ∫ ∫S

F · ds =

∫ ∫S

(F · n)ds =

∫ ∫S

Fnds.

Assim, pela definicao de integral de superfıcie de funcao escalar obtemos, para

o caso em que n = n1,∫ ∫S

(F · n)ds =

∫∫D

[F (ϕ(u, v)) · n(ϕ(u, v))]

∣∣∣∣∣∣∣∣∂ϕ∂u (u, v)× ∂ϕ

∂v(u, v)

∣∣∣∣∣∣∣∣ dudv =


=

∫∫D

[F (ϕ(u, v)) ·

(∂ϕ

∂u(u, v)× ∂ϕ

∂v(u, v)

)]dudv.

Observacao 1.3.1. Se considerarmos n = n2, entao apenas mudaremos o sinal da integral

de superfıcie acima.

Uma importante aplicacao da integral de superfıcie de um campo vetorial e

a interpretacao do fluxo, ou taxa de escoamento por uma superfıcie S, ao qual veremos

brevemente a seguir.

Suponhamos que um campo vetorial contınuo F : W ⊂ R3 → R3 represente

um campo de velocidade associado ao escoamento de um fluido em cada ponto da regiao

W. O fluxo ou taxa de escoamento por unidade de tempo pela superfıcie S contida em W

e dado pela integral de superfıcie de F sobre S.

De fato, se S e plana e F e um campo constante, entao o volume de um fluido

que passa por S na unidade de tempo e (F · n) · (area de (S)). Portanto o fluxo e dado

por

φ = (F · n) · (area(S)). (1.24)

Se S e uma superfıcie nao plana contida em W, a decompomos por meio de

curvas coordenadas da forma u = c1, v = c2, com c1 constante, e supomos que F e

constante em cada parte Sk de S assim formada. Aproximando S por paralelogramos

tangentes determinados pelos vetores ∂ϕ∂u

∆u e ∂ϕ∂v

∆v, obtemos que o fluxo por uma parte

Sk de S e aproximadamente

φk ≈ (F (ϕ(uk, vk)) · nk) · (area(Sk)) ≈

≈ F (ϕ(uk, vk)) ·(∂ϕ

∂u(uk, vk)×

∂ϕ

∂v(uk, vk)

)∆u∆v. (1.25)

E quando n→∞, a sequencia das somas

n∑k=1

(F (ϕ(uk, vk)) ·

(∂ϕ

∂u(uk, vk)×

∂ϕ

∂v(uk, vk)

))∆u∆v (1.26)

converge para o fluxo total de F pela superfıcie S. Assim, o fluxo total φ pode ser obtido

pela integral de superfıcie∫ ∫D

F (ϕ(u, v)) ·(∂ϕ

∂u× ∂ϕ

∂v

)dudv =

∫ ∫S

F · ds. (1.27)

Uma pergunta pertinente no estudo das integrais de superfıcie e certamente

o comportamento de uma integral quando mudamos a parametrizacao da superfıcie em

questao. Para respondermos essa pergunta, consideremos os seguintes resultados.


Definicao 1.3.7. Sejam ϕ1(u, v), (u, v) ∈ D1, e ϕ2(s, t), (s, t) ∈ D2, duas parametrizacoes

de uma superfıcie orientada S. Dizemos que ϕ1 e ϕ2 sao parametrizacoes equivalentes se

existe uma bijecao de classe C1

G : D2 ⊂ R2 → D1 ⊂ R2

(s, t) 7→ G(s, t) = (u, v) = (u(s, t), v(s, t)) ,

tal que ϕ1 (G(D2)) = ϕ2(D2) = S, isto e, ϕ2(s, t) = ϕ1(u(s, t), v(s, t)), (s, t) ∈ D2.

Definicao 1.3.8. Considere uma aplicacao definida por ϕ(s, t) = (u(s, t), v(s, t)), onde

u e v sao funcoes de um subconjunto aberto U ⊂ R2 em R. Definimos o determinante

Jacobiano da aplicacao ϕ por

∂(u, v)

∂(s, t)= det

∂u∂s

∂v∂s

∂u∂t

∂v∂t

.

Teorema 1.3.1. Se ϕ1(u, v) e ϕ2(s, t) sao parametrizacaoes equivalentes de uma su-

perfıcie regular orientada entao

Nϕ2 = Nϕ1

∂(u, v)

∂(s, t),

onde

Nϕ1 =∂ϕ1

∂u× ∂ϕ1

∂ve Nϕ2 =

∂ϕ2

∂s× ∂ϕ2

∂t.

Demonstracao. Se ϕ1 e ϕ2 sao parametrizacoes equivalentes, entao existe uma bijecao

dada pela definicao (1.3.7) tal que

ϕ2(s, t) = ϕ1(u(s, t), v(s, t)).

Entao6

∂ϕ2

∂s=∂ϕ1

∂u

∂u

∂s+∂ϕ1

∂v

∂v

∂s,

∂ϕ2

∂t=∂ϕ1

∂u

∂u

∂t+∂ϕ1

∂v

∂v

∂t.

Logo

Nϕ2 =∂ϕ2

∂s× ∂ϕ2

∂t=

(∂ϕ1

∂u

∂u

∂s+∂ϕ1

∂v

∂v

∂s

)×(∂ϕ1

∂u

∂u

∂t+∂ϕ1

∂v

∂v

∂t

)=

=

(∂ϕ1

∂u

∂u

∂s

)(∂ϕ1

∂v

∂v

∂t

)−(∂ϕ1

∂v

∂v

∂s

)(∂ϕ1

∂u

∂u

∂t

)=

6As derivadas parciais foram obtidas usando a regra da cadeia.


=

(∂ϕ1

∂u

∂ϕ1

∂v− ∂ϕ1

∂v

∂ϕ1

∂u

)(∂u

∂s

∂v

∂t− ∂v

∂s

∂u

∂t

)=

=

(∂ϕ1

∂u× ∂ϕ1

∂v

)∂(u, v)

∂(s, t)= Nϕ1

∂(u, v)

∂(s, t).

Teorema 1.3.2. Sejam ϕ1(u, v), (u, v) ∈ D1, e ϕ2(s, t), (s, t) ∈ D2, parametrizacoes

equivalentes de uma superfıcie regular orientada S.

1. Se f e uma funcao escalar contınua definida em S, entao∫ ∫ϕ1(D1)

fds =

∫ ∫ϕ2(D2)

fds.

2. Se F e um campo vetorial contınuo definido em S, entao∫ ∫ϕ1(D1)

(F · n)ds =

∫ ∫ϕ2(D2)

(F · n)ds,

se os vetores normais Nϕ1 e Nϕ2 tem o mesmo sentido em cada ponto de S, e∫ ∫ϕ1(D1)

(F · n)ds = −∫ ∫

ϕ2(D2)

(F · n)ds,

se os vetores normais Nϕ1 e Nϕ2 tem sentidos opostos em cada ponto de S.

Demonstracao. 1. Pela definicao (1.3.3) temos∫ ∫ϕ1(D1)

fds =

∫ ∫D1

f(ϕ1(u, v))

∣∣∣∣∣∣∣∣∂ϕ1

∂u(u, v)× ∂ϕ1

∂v(u, v)

∣∣∣∣∣∣∣∣ dudv.Como por ϕ1 e ϕ2 sao parametrizacoes equivalentes, entao existe uma funcao G

dada pela definicao (1.3.7) tal que∫ ∫D1

f(ϕ1(u, v))

∣∣∣∣∣∣∣∣∂ϕ1

∂u(u, v)× ∂ϕ1

∂v(u, v)

∣∣∣∣∣∣∣∣ dudv =

∫ ∫D2

f(ϕ1(u(s, t), v(s, t)))

∣∣∣∣∣∣∣∣∂ϕ1

∂u× ∂ϕ1

∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∂(u, v)

∂(s, t)

∣∣∣∣ dsdt.E finalmente, pelo teorema (1.3.1) obtemos a igualdade∫ ∫

D2

f(ϕ2(s, t))

∣∣∣∣∣∣∣∣∂ϕ2

∂s(s, t)× ∂ϕ2

∂t(s, t)

∣∣∣∣∣∣∣∣ dsdt =

∫ ∫ϕ2(D2)

fds.

2. Pela definicao (1.3.6) temos∫ ∫ϕ1(D1)

(F · n)ds =

∫ ∫D1

F (ϕ1(u, v)) ·(∂ϕ1

∂u× ∂ϕ1

∂v

)dudv =


=

∫ ∫D2

F (ϕ1(u(s, t), v(s, t))) ·(∂ϕ1

∂u× ∂ϕ1

∂v

) ∣∣∣∣∂(u, v)

∂(s, t)

∣∣∣∣ dsdt.Portanto, se Nϕ1 e Nϕ2 tem o mesmo sentido, pelo teorema (1.3.1), a integral acima

e igual a∫ ∫D2

F (ϕ2(S, T )) ·(∂ϕ2

∂s(s, t)× ∂ϕ2

∂t(s, t)

)dsdt =

∫ ∫ϕ2(D2)

(F · n)ds.

E se Nϕ1 e Nϕ2 possuem sentidos opostos, entao∫ ∫D2

F (ϕ1(u(s, t), v(s, t))) ·(∂ϕ1

∂u× ∂ϕ1

∂v

) ∣∣∣∣∂(u, v)

∂(s, t)

∣∣∣∣ dsdt =

=

∫ ∫D2

−F (ϕ2(s, t)) ·(∂ϕ2

∂s(s, t)× ∂ϕ2

∂t(s, t)

)dsdt = −

∫ ∫ϕ2(D2)

(F · n)ds.

Definicao 1.3.9. Considere um campo vetorial F = (F1, F2, F3) com derivadas parciais

definidas num subconjunto aberto do R3. Definimos o campo vetorial rotacional de F por

rotF = ∇× F =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

∂∂x

∂∂y

∂∂z

F1 F2 F3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =

(∂F3

∂y− ∂F2

∂z,∂F1

∂z− ∂F3

∂x,∂F2

∂x− ∂F1

∂y

).

Definicao 1.3.10. Seja S uma superfıcie parametrizada por ϕ(u, v), com (u, v) ∈ D. O

bordo ∂S de S e a curva de S correspondente por ϕ a fronteira de D.

Teorema 1.3.3. (Teorema de Stokes). Sejam S uma superfıcie orientada, parametri-

zada por ϕ(u, v), (u, v) ∈ D, onde D e uma regiao fechada do plano uv, limitada por uma

curva C1 por partes, e ϕ uma funcao de classe C2 num subconjunto aberto de R2 contendo

D. Se F = (F1, F2, F3) e um campo vetorial de classe C1, definido num subconjunto aberto

de R3 que contem S, cujo bordo ∂S esta orientado positivamente, entao∫ ∫S

(rotF · n)ds =

∫∂S

F · dr.

Demonstracao. Consideremos S parametrizada por ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),

com (u, v) ∈ D, e ainda orientada com campo de vetore normais

n =∂ϕ∂u× ∂ϕ

∂v∣∣∣∣∂ϕ∂u× ∂ϕ

∂v

∣∣∣∣ ,onde

∂ϕ

∂u× ∂ϕ

∂v=

(∂(y, z)

∂(u, v),∂(z, x)

∂(u, v),∂(x, y)

∂(u, v)

).


Pela formula da integral de superfıcie temos,∫ ∫S

(rotF · n)ds =

=

∫ ∫D

[(∂F3

∂y− ∂F2

∂z

)∂(y, z)

∂(u, v)+

(∂F1

∂z− ∂F3

∂x

)∂(z, x)

∂(u, v)+

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)∂(x, y)

∂(u, v)

]dudv,

E para completar a demontracao basta verificar que∫∂S

F1dx =

∫ ∫D

[∂F1

∂z

∂(z, x)

∂(u, v)− ∂F1

∂y

∂(x, y)

∂(u, v)

]dudv,

∫∂S

F2dy =

∫ ∫D

=

[−∂F2

∂z

∂(y, z)

∂(u, v)+∂F2

∂x

∂(x, y)

∂(u, v)

]dudv

e ∫∂S

F3dz =

[∂F3

∂y

∂(y, z)

∂(u, v)− ∂F3

∂x

∂(z, x)

∂(u, v)

]dudv,

pois somando estas tres equacoes obtemos o teorema de Stokes. Provaremos apenas a

primeira identidade, pois as demais sao analogas.

Supomos que h(t) = (u(t), v(t)), a ≤ t ≤ b e uma parametrizacao da fronteira

deD, orientada de modo que ϕ(h(t)) seja uma parametrizacao do bordo ∂S de S, orientado

positivamente. Assim,∫∂S

F1dx =

∫ b

a

[F1(ϕ(h(t)))

d

dt(x(h(t)))

]dt =

=

∫ b

a

[F1(ϕ(h(t)))

(∂x

∂u(h(t))u′(t) +

∂x

∂v(h(t))v′(t)

)]dt =

=

∫∂D

F1(ϕ(u, v))

(∂x

∂u(u, v)du+

∂x

∂v(u, v)dv

)=

=

∫∂D

F1(ϕ(u, v))∂x

∂u(u, v)du+ F1(ϕ(u, v))

∂x

∂v(u, v)dv.

Como ϕ e de classe C2, podemos aplicar o teorema de Green a esta ultima integral,

obtendo∫∂S

F1dx =

∫ ∫D

[∂

∂u

(F1(ϕ(u, v))

∂x

∂v

)− ∂

∂v

(F1(ϕ(u, v))

∂x

∂u(u, v)

)]dudv.

Mas,∂

∂u

((F1 ◦ ϕ)

∂x

∂v

)− ∂

∂v

((F1 ◦ ϕ)

∂x

∂u

)=

=∂

∂u(F1 ◦ ϕ)

∂x

∂v+ (F1 ◦ ϕ)

∂2x

∂u∂v− ∂

∂(F1 ◦ ϕ)

∂x

∂u− (F1 ◦ ϕ)

∂2x

∂v∂u=


∂

∂u(F1 ◦ ϕ)

∂x

∂v− ∂

∂v(F1 ◦ ϕ)

∂x

∂u=(

∂F1

∂x

∂x

∂u+∂F1

∂y

∂y

∂u+∂F1

∂z

∂z

∂u

)∂x

∂v−(∂F1

∂x

∂x

∂v+∂F1

∂y

∂y

∂v+∂F1

∂z

∂z

∂v

)∂x

∂u=

−∂F1

∂y

(∂x

∂u

∂y

∂v− ∂x

∂v

∂y

∂u

)+∂F1

∂z

(∂x

∂v

∂z

∂u− ∂x

∂u

∂z

∂v

)=

−∂F1

∂y

∂(x, y)

∂(u, v)+∂F1

∂z

∂(z, x)

∂(u, v).

Logo, ∫∂S

F1dx =

∫ ∫D

[∂F1

∂z

∂(z, x)

∂(u, v)− ∂F1

∂y

∂(x, y)

∂(u, v)

]dudv,

o que garante a validade da primeira identidade. De forma analoga provam-se as outras

duas, concluindo a demonstracao.

Observe que se a regiao S do teorema acima for uma regiao do plano xy, entao

n = (0, 0, 1), e assim obtemos o teorema de Green, isto e,∫∂S

F · dr =

∫∫S

(rotF · n) · dr =

∫∫S

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)dxdy.

Como vimos, o Teorema de Stokes expressa uma relacao entre uma integral de

superfıcie e uma integral de linha sobre a curva que e o bordo da superfıcie em questao.

O proximo teorema que iremos apresentar e o Teorema da divergencia, ou Teorema de

Gauss, que relaciona uma integral tripla com uma integral de superfıcie.

Definicao 1.3.11. Seja W uma regiao limitada do R3, tendo como fronteira uma su-

perfıcie ∂W. Diremos que ∂W esta orientada positivamente se o vetor normal em cada

ponto de ∂W aponta para fora de W.

Definicao 1.3.12. Seja F (x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) um campo veto-

rial de classe C1 definido num subconjunto do R3. O divergente de F,denotado por divF.

e definido por

divF (x, y, z) =∂F1

∂x(x, y, z) +

∂F2

∂y(x, y, z) +

∂F3

∂z(x, y, z).

Teorema 1.3.4. (Teorema de Gauss). Seja W uma regiao fechada e limitada de R3

cuja fronteira ∂W e uma superfıcie orientada positivamente. Se F e um campo vetorial

de classe C1 num subconjunto aberto de R3 que contem W, entao∫ ∫∂W

(F · n)ds =

∫ ∫ ∫W

divFdxdydz.


Demonstracao. Suponhamos que W seja uma regiao simples.Se F = (F1, F2, F3), podemos

escrever∫ ∫ ∫W

divFdxdydz =

∫ ∫ ∫W

∂F1

∂xdxdydz+

∫ ∫ ∫W

∂F2

∂ydxdydz+

∫ ∫ ∫W

∂F3

∂zdxdydz.

E por outro lado,∫ ∫∂W

(F ·n)ds =

∫ ∫∂W

[(F1, 0, 0) · n] ds+

∫ ∫∂W

[(0, F2, 0) · n] ds+

∫ ∫∂W

[(0, 0, F3) · n] ds.

Portanto, para validar o teorema, basta provarmos as seguintes identidades∫ ∫ ∫W

∂F1

∂xdxdydz =

∫ ∫∂W

[(F1, 0, 0) · n] ds

∫ ∫ ∫W

∂F2

∂ydxdydz =

∫ ∫∂W

[(0, F2, 0) · n] ds∫ ∫ ∫W

∂F3

∂zdxdydz =

∫ ∫∂W

[(0, 0, F3) · n] ds.

contudo, provaremos somente a ultima, pois as demais sao analogas. Para tanto, descre-

vemos W como uma regiao do tipo I.

W ={

(x, y, z) ∈ R3|f1(x, y) ≤ z ≤ f2(x, y) , (x, y ∈ D)}.

Essa regiao e limitada inferiormente por uma superfıcie S1 de equacao z = f1(x, y), com

(x, y) ∈ D e limitada superiormente por uma superfıcie S2 de equacao z = f2(x, y), com

(x, y) ∈ D. Possivelmente, essa regiao tambem e limitada por uma porcao de cilindro

gerada por uma reta paralela ao eixo z ao longo da fronteira de D, que denotaremos por

S3. Assim, ∫ ∫ ∫W

∂F3

∂zdxdydz =

∫ ∫D

[∫ f2(x,y)

f1(x,y)

∂F3

∂zdz

]dxdy =

=

∫ ∫D

[F3(x, y, f2(x, y))− F3(x, y, f1(x, y))]dxdy.

E ainda ∫ ∫∂W

[(0, 0, F3) · n]ds =3∑i=1

∫ ∫Si

[(0, 0, F3) · n]ds.

E como, em S3 o campo de vetores normais unitarios e paralelo ao plano xy,

entao (0, 0, F3) · n = 0, o que acarreta∫ ∫S3

[(0, 0, F3) · n]ds = 0.


Observe agora que em S2 o campo de vetores normais que aponta para fora de

W e dado por N2 =(−∂f2

∂x,−∂f2

∂y, 1), ja em S1 o campo de vetores normais que aponta

para fora de W e dado por N1 =(∂f1∂x, ∂f1∂y,−1

). Portanto,∫ ∫

S2

[(0, 0, F3) · n]ds =

∫ ∫D

[(0, 0, F3(x, y, f2(x, y))) ·

(−∂f2

∂x,−∂f2

∂y, 1

)]dxdy =

=

∫ ∫D

F3(x, y, f2(x, y))dxdy

e ainda∫ ∫S1

[(0, 0, F3) · n]ds =

∫ ∫D

[(0, 0, F3(x, y, f1(x, y))) ·

(∂f1

∂x,∂f1

∂y,−1

)]dxdy =

=

∫ ∫D

−F3(x, y, f1(x, y))dxdy.

Assim,∫ ∫∂W

[(0, 0, F3) · n]ds =

∫ ∫D

[F3(x, y, f2(x, y))− F3(x, y, f1(x, y))]dxdy,

o que garante a validade da identidade.

Para completar a demonstracao, observe que se W nao for uma regiao simples,

entao podemos decompor W em uma uniao finita de regioes simples W =⋃ni=1 Wi, e

usando o teorema de Gauss em cada regiao simples, obtemos∫ ∫ ∫W

divFdxdydz =n∑i=1

∫ ∫∂Wi

(F · n)ds.

E como os vetores normais exteriores a fronteira comum de duas regioes simples

sao opostos, entao as integrais de superfıcie correspondentes sao simetricas, e portanto se

cancelam. Assim,n∑i=1

∫ ∫∂Wi

(F · n)ds =

∫∫∂W

(F · n)ds.

31

2 Formas

2.1 Formas Alternadas

Nesta sessao adaptamos o que e exposto por [11], fazendo uso de alguns resul-

tados obtidos em [5, 6].

Definicao 2.1.1. Seja V um R-espaco vetorial, e denote por V k o produto cartesiano

V × · · · × V. Uma funcao T : V k → R denomina-se multilinear se para cada i, com

1 ≤ i ≤ k, verificam-se

T (v1, · · · , vi + v′i, · · · , vk) = T (v1, · · · , vi, · · · , vk) + T (v1, · · · , v′i, · · · , vk);

T (v1, · · · , avi, · · · , vk) = aT (v1, · · · , vi, · · · , vk).

Uma funcao multilinear T : V k → R denomina-se um k-tensor ou tensor de

ordem k, e o conjunto de todos os tensores de ordem k, que denotaremos por Tk(V ), sera

um espaco vetorial definindo as seguintes operacoes naturais, para S, T ∈ Tk(V )

(S + T )(v1, · · · , vk) = S(v1, · · · , vk) + T (v1, · · · , vk);

(aS)(v1, · · · , vk) = a · S(v1, · · · , vk), para a ∈ R.

Definicao 2.1.2. Tomando S ∈ Tk(V ) e T ∈ Tl(V ), definimos o produto tensorial S⊗T ∈

Tk+l(V ) por

S ⊗ T (v1, · · · , vk, vk+1, · · · , vk+l) = S(v1, · · · , vk) · T (vk+1, · · · , vk+l).

O produto tensorial possui as seguintes propriedades1:

1. (S1 + S2)⊗ T = S1 ⊗ T + S2 ⊗ T

2. S ⊗ (T1 + T2) = S ⊗ T1 + S ⊗ T2

3. (aS)⊗ T = S ⊗ (aT ) = a(S ⊗ T )

1Sugerimos a leitura de [5] para as demonstracoes.

2.1 Formas Alternadas 32

4. (S ⊗ T )⊗ U = S ⊗ (T ⊗ U)

Teorema 2.1.1. Sejam β = {v1, · · · , vn} uma base de V , e β∗ = {ϕ1, · · · , ϕn} sua base

dual, onde ϕi(vj) = δij. Entao o conjunto de todos os produtos tensoriais de k fatores

ϕi1 ⊗ · · · ⊗ ϕik com 1 ≤ i1, · · · , ik ≤ n

e uma base para Tk(V ), e ainda dim(Tk(V )) = nk.

Demonstracao. Primeiramente, observe que

ϕi1 ⊗ · · · ⊗ ϕik(vj1 , · · · , vjk) = δi1j1 · · · δikjk .

Agora, se w1, · · · , wk ∈ V , com wi =∑n

j=1 aijvj, aij ∈ R e T ∈ Tk(V ), entao

T (w1, · · · , wk) =n∑

j1,··· ,jk=1

a1j1 · · · akjkT (vj1 , · · · , vjk) =n∑

i1,··· ,ik=1

T (vi1,··· ,vik )·ϕi1⊗· · ·⊗ϕik(w1, ..., wk).

Assim T =∑n

i1,··· ,ik=1 T (vi1 , · · · , vik) ·ϕi1⊗· · ·⊗ϕik . E portanto ϕi1 , · · ·ϕik geram Tk(V ).

Suponha agora que existam numeros ai1,··· ,ik tais que

n∑i1,··· ,ik=1

ai1,··· ,ik · ϕi1 ⊗ · · · ⊗ ϕik = 0.

Aplicando ambos os membros da equacao acima a (vj1 , · · · , vjk) obtemos que aj1,··· ,jk = 0.

Portanto ϕi1⊗· · ·⊗ϕik sao linearmente independentes. Segue tambem que dim(Tk(V )) =

nk.

Definicao 2.1.3. Uma permutacao de X e uma bijecao σ : X → X, ou seja, σ ∈ F(X),

onde F(X) denota o conjuto das aplicacoes de X em si mesmo, de forma que para cada

y ∈ X existe um unico x ∈ X com σ(x) = y. Por ser uma bijecao, cada permutacao σ

admite uma inversa σ−1, definida pela condicao

σ−1(y) = x⇔ σ(x) = y.

E naturalmente σ−1 ◦ σ = σ ◦ σ−1 = Id.

Observacao 2.1.1. O conjunto das permutacoes de X munido da operacao de composicao

de funcoes forma um grupo, chamado de grupo das permutacoes de X, denotado por

S(X), e como sabemos, se X e um conjunto finito com k elementos, entao o numero de

permutacoes de X e k!, isto e, o numero de elementos de S(X) e k!. Portanto, sendo o

conjunto Ik = {1, · · · , k} o conjunto dos inteiros de 1 a k, entao denotando2 S(Ik) por

Sk, teremos que |Sk| = k!.

2Este grupo e chamado de grupo simetrico de k elementos.


Definicao 2.1.4. Uma permutacao τ ∈ Sn, n ≥ 2, chama-se uma transposicao quando

existem inteiros a 6= b em In tais que τ(a) = b, τ(b) = a e τ(i) = i para i 6∈ {a, b}. Quando

τ e uma trasposicao, tem-se τ 2 = Id, isto e, τ−1 = τ.

Teorema 2.1.2. Toda permutacao σ ∈ Sm pode ser escrita como um produto σ = τ1 · · · τkde transposicoes.

Demonstracao. Facamos por inducao sobre m.

Se m = 2 o resultado e obvio para qualquer permutacao σ ∈ S2. Supomos

entao que o resultado esteja demonstrado para m − 1, com m > 2, isto e, qualquer

permutacao σ ∈ Sm−1 e escrita como um produto de transposicoes. Temos assim que, se

por acaso, σ(m) = m, entao a restricao de σ a Im−1, σ′, e uma permutacao, e pela hipotese

de inducao temos que σ′ = σ|Im−1 e tal que existem transposicoes τ ′1, · · · , τ ′k ∈ Sm−1 tais

que σ′ = τ ′1 · · · τ ′k. E como cada transposicao τ ′i ∈ Sm−1 se estende a uma transposicao

τi ∈ Sm, com τi(m) = m, entao teremos que σ = τ1 · · · τk.

Se porem for σ(m) = n < m, basta considerar uma transposicao τ ∈ Sm, tal

que τ(n) = m, e assim teremos que τσ(m) = m, e portanto τσ = τ1 · · · τk, e pelo fato de

que τ = τ−1, segue que σ = ττ1 · · · τk

De fato, tal representacao de uma transposicao nao e unica, isto e, para uma

dada permutacao podem existir varias formas de representa-la como um produto de trans-

posicoes. Entretanto afirmamos que a paridade de k e unica3, ou seja, sendo σ = τ1 · · · τk,

onde k e par, entao qualquer outra representacao sera formada por um produto de n

fatores de transposicoes, com n tambem par. Isso nos permite a seguinte definicao.

Definicao 2.1.5. Diremos que uma permutacao σ ∈ Sk e par quando ela for o produto

de um numero par de transposicoes, e ımpar no caso contrario. Usaremos o sımbolo

sgn(σ) para representar o sinal, ou a paridade da permutacao: sgn(σ) = 1 se σ for uma

permutacao par e sgn(σ) = −1 se σ for ımpar.

De forma resumida temos

sgn(σ) =

1 se σ e par

−1 se σ e ımpar

3Apesar de nao demonstrarmos tal fato, sugerimos [6] como leitura complementar sobre permutacoes.


Observacao 2.1.2. Notemos que, sendo σ e ρ duas permutacoes, entao sgn(σρ) = sgn(σ)sgn(ρ),

e em particular, sgn(σ−1) = sgn(σ). Alem disso, quando τ e uma transposicao, entao

sgn(τ) = −1.

Definicao 2.1.6. Seja ω ∈ Tk(V ) um tensor de ordem k. Chamamos ω de alternado se,

para todo v1, · · · , vk ∈ V, tem-se

ω(v1, · · · , vi, · · · , vj, · · · , vk) = −ω(v1, · · · , vj, · · · , vi, · · · , vk).

Teorema 2.1.3. O conjunto de todos os tensores de ordem k alternados, denotado por

Λk(V ), e um espaco vetorial de Tk(V ).

Demonstracao. Sejam ω, η ∈ Λk(V ), v1, · · · , vk ∈ V e a ∈ R, entao

(a · ω + η)(v1, · · · , vi, · · · , vj, · · · , vk) =

= a · ω(v1, · · · , vi, · · · , vj, · · · , vk) + η(v1, · · · , vi, · · · , vj, · · · , vk) =

= (−1) · a · ω(v1, · · · , vj, · · · , vi, · · · , vk)− η(v1, · · · , vj, · · · , vi, · · · , vk) =

(−1) · a[ω(v1, · · · , vj, · · · , vi, · · · , vk) + η(v1, · · · , vj, · · · , vi, · · · , vk)] =

= −a(ω + η)(v1, · · · , vj, · · · , vi, · · · , vk).

Definicao 2.1.7. Seja T ∈ Tk(V ). Definimos Alt(T ) por

Alt(T )(v1, · · · , vk) =1

k!

∑σ∈Sk

sgn(σ) · T (vσ(1), · · · , vσ(k)).

Teorema 2.1.4. Se ω ∈ Tk(V ), entao Alt(ω) ∈ Λk(V ).

Demonstracao. Seja τ uma transposicao de i e j. Se σ ∈ Sk, seja σ′ = σ · τ, entao,

Alt(ω)(v1, · · · , vj, · · · , vi, · · · , vn) =

=1

k!

∑σ∈Sk

sgn(σ) · ω(vσ(1), · · · , vσ(j), · · · , vσ(i),··· ,vσ(k)) =

=1

k!

∑σ∈Sk

sgn(σ) · ω(vσ′(1), · · · , vσ′(i), · · · , vσ′(j), · · · , vσ′(k)) =

=1

k!

∑σ′∈Sk

−sgn(σ′) · ω(vσ′(1), · · · , vσ′(k)) = −Alt(ω)(v1, · · · , vn).


Teorema 2.1.5. Se ω ∈ Λk(V ), entao Alt(ω) = ω.

Demonstracao. Considere uma tranposicao τ de i e j, e ω ∈ Λk(V ). Observe que

ω(vτ(1), · · · , vτ(k)) = sgn(τ) · ω(v1, · · · , vk).

Pelo fato de que toda permutacao e um produto de transposicoes, segue que

Alt(ω)(v1, · · · , vk) =1

k!

∑σ∈Sk

sgn(σ) · ω(vσ(1), · · · , vσ(k)) =

=1

k!

∑σ∈Sk

sgn(σ) · sgn(σ) · ω(v1, · · · , vk) = ω(v1, · · · , vk).

Corolario 2.1.1. Se T ∈ Tk(V ), entao Alt(Alt(T )) = Alt(T ).

Definicao 2.1.8. Sejam ω ∈ Λk(V ) e η ∈ Λl(V ). Definimos a operacao ω ∧ η ∈ Λk+l(V ),

chamada de produto exterior, como sendo

ω ∧ η =(k + l)!

k!l!Alt(ω ⊗ η).

Teorema 2.1.6. Sejam S ∈ Tk(V ), T ∈ Tl(V ). Se Alt(S) = 0, entao Alt(S ⊗ T ) =

Alt(T ⊗ S) = 0.

Demonstracao.

Alt(S ⊗ T ) =1

(k + l)!

∑σ∈Sk+l

sgn(σ)S ⊗ T (vσ(1), · · · , vσ(k), vσ(k+1), · · · , vσ(k+l)) =

=1

(k + l)!

∑σ∈Sk+l

sgn(σ)S(vσ(1), · · · , vσ(k)) · T (vσ(k+1), · · · , vσ(k+l)).

Se σ ∈ G ⊂ Sk+l, onde G denota o conjunto das permutacoes de Sk+l que mantem todos

os k + 1, · · · , k + l fixos, entao

=1

(k + l)!

∑σ∈Sk+l

sgn(σ)S(vσ(1), · · · , vσ(k)) · T (vσ(k+1), · · · , vσ(k+l)) =

[1

(k + l)!

∑σ∈G

sgn(σ)S(vσ(1), · · · , vσ(k))

]· T (vk+1, · · · , vk+l) =

Alt(S) · T (vk+1, · · · , vk+l) = 0.

Se porem σ0 6∈ G, defina G · σ0 = {σ · σ0 : σ ∈ G}, e seja

vσ0(1), · · · , vσ0(k+l) = w1, · · · , wk+l,


entao1

(k + l)!

∑σ∈G·σ0

sgn(σ) · S(vσ(1), · · · , vσ(k)) · T (vσ(k+1), · · · , vσ(k+l)) =

=

[sgn(σ0) · 1

(k + l)!

∑σ′∈G

sgn(σ′) · S(wσ′(1), · · · , wσ′(k))

]· T (wk+1, · · · , wk+l) =

= Alt(S) · T (wk+1, · · · , wk+l) = 0.

A demontracao de que Alt(T ⊗ S) = 0 se faz de forma similar.

Teorema 2.1.7. Sejam ω ∈ Λk(V ), η ∈ Λl(V ) e θ ∈ Λm(V ), entao Alt(Alt(ω⊗η)⊗ θ) =

Alt(ω ⊗ η ⊗ θ) = Alt(ω ⊗ Alt(η ⊗ θ)).

Demonstracao. Observe que

Alt(Alt(η ⊗ θ)− η ⊗ θ) = Alt(η ⊗ θ)− Alt(η ⊗ θ) = 0,

logo, pelo teorema anterior,

0 = Alt(ω[Alt(η ⊗ θ)− η ⊗ θ]) =

= Alt(ω ⊗ Alt(η ⊗ θ))− Alt(ω ⊗ η ⊗ θ).

Entao

Alt(Alt(ω ⊗ η)⊗ θ) = Alt(ω ⊗ η ⊗ θ).

O caso Alt(ω ⊗ Alt(η ⊗ θ)) = Alt(ω ⊗ η ⊗ θ) se prova de forma similar.

Teorema 2.1.8. Sejam ω ∈ Λk(V ), η ∈ Λl(V ) e θ ∈ Λm(V ), entao (ω ∧ η) ∧ θ =

ω ∧ (η ∧ θ) = (k+l+m)!k!l!m!

Alt(ω ⊗ η ⊗ θ).

Demonstracao.

(ω ∧ η) ∧ θ =(k + l +m)!

(k + l)!m!Alt((ω ∧ η)⊗ θ) =

=(k + l +m)!

(k + l)!m!· (k + l)!

k!l!Alt(ω ⊗ η ⊗ θ) =

(k + l +m)!

k!l!m!Alt(ω ⊗ η ⊗ θ).

De fato, o que acabamos de mostrar e que vale a associatividade

ω ∧ (η ∧ θ) = (ω ∧ η) ∧ θ = ω ∧ η ∧ θ. (2.1)

2.2 Formas Diferenciais 37

E de forma geral, temos o produto de ordem superior

ω1 ∧ · · · ∧ ωr =r∧i=1

ωi. (2.2)

Uma das principais razoes de estudar as formas alternadas trata-se de analisar

a estrutura da funcao determinante, o que nao faremos neste trabalho, pelo fato de o

mesmo ter outro objetivo. Os resultados apresentados ate aqui serao suficientes para o

desenvolvimento do que se segue. Entretanto sugerimos a leitura das referencias [5, 6, 9]

para estudos mais aprofundados sobre o tema.

2.2 Formas Diferenciais

Nesta sessao iremos definir as chamadas k−formas diferenciais em Rn, genera-

lizando a ideia que primeiramente apresentaremos para 1−formas em R3. Os resultados

sao adaptados principalmente pelo que e exposto pela referencia [3].

Convencionaremos que a partir desta sessao, quando dissermos que uma aplicacao

e diferenciavel, estaremos nos fererindo a uma aplicacao de classe C∞, e dessa forma nao

devemos confundir o termo com seu significado no calculo usual.

Definicao 2.2.1. Considere p um ponto de R3. O conjunto dos vetores q−p, para q ∈ R3,

sera chamado espaco tangente de R3 em p, e sera denotado por R3p.

Observacao 2.2.1. Lembrando que o conjunto dos vetores e1, e2, e3 formam a base canonica

de R3, e como podemos representar R3 por R30, segue que o conjunto {(e1)p, (e2)p, (e3)p}

forma uma base para o espaco tangente R3p, denotando um elemento v ∈ R3

p por vp. Este

resultado sera generalizado para um espaco tangente em Rn.

Definicao 2.2.2. Um campo de vetores em R3 e um aplicacao κ, que associa a cada ponto

p ∈ R3 um vetor κ(p) ∈ R3p. Podemos escrever κ como

κ(p) = a1(p)e1 + a2(p)e2 + a3(p)e3,

onde a1, a2 e a3 sao funcoes de R3 em R.

Diremos que um campo vetorial κ e diferenciavel se cada funcao ai : R3 → R,

i = 1, 2, 3, for diferenciavel.


Para cada espaco tangente R3p podemos associar o seu espaco dual, denotado

por (R3p)∗. Explicitamente,

(R3p)∗ = {ϕ : R3

p → R | ϕ e linear}.

Teorema 2.2.1. Considere a base canonica {(e1)p, (e2)p, (e3)p} de R3p. Defina a aplicacao

xi por

xi : R3 → R

x 7→ xi,

para i = 1, 2, 3, onde x = (x1, x2, x3).

Nestas condicoes, o conjunto {(dxi)p; i = 1, 2, 3} sera a base dual de {(ei)p; i =

1, 2, 3}.

Demonstracao. De fato, basta observar que

(dxi)p(ej) =∂xi∂xj

=

1 se i = j;

0 se i 6= j.

Definicao 2.2.3. Uma forma exterior de grau 1 em R3 e uma aplicacao ω, que associa a

cada ponto p ∈ R3 um elemento ω(p) ∈ (R3p)∗. Pelo teorema anterior, podemos representar

uma forma exterior de grau 1 como

ω(p) = a1(p)dx1 + a2(p)dx2 + a3(p)dx3 =3∑i=1

ai(p)dxi.

Omitindo (p) na expressao, obtemos simplesmente a forma ω =∑3

i=1 aidxi.

Definicao 2.2.4. Considere a forma exterior ω =∑3

i=1 aidxi. Se cada aplicacao ai : R3 →

R, i = 1, 2, 3, for diferenciavel, ω e dita uma forma diferencial de grau 1.

Definicao 2.2.5. Sejam ϕ1, ϕ2 ∈ (R3p)∗. Definimos a operacao ϕ1 ∧ ϕ2 ∈ Λ2(R3

p)∗ por

(ϕ1 ∧ ϕ2)(v1, v2) = det (ϕi(vj)) .

O elemento (dxi)p ∧ (dxj)p ∈ Λ2(R3p)∗ sera denotado por (dxi ∧ dxj)p. Alem disso, temos

em particular que (dxi ∧ dxj)p = −(dxj ∧ dxi)p, e (dxi ∧ dxi)p = 0.

Teorema 2.2.2. O conjunto {(dxi ∧ dxj)p; i < j}, com i, j = 1, 2, 3, e uma base para

Λ2(R3p)∗.


Faremos a demonstracao do caso geral deste teorema (teorema 2.2.3).

Definicao 2.2.6. Um campo de formas bilineares ou forma exterior de grau 2 em R3, e

uma correspondencia ω que associa a cada p ∈ R3 um elemento ω(p) ∈ Λ2(R3p).

Pelo teorema (2.2.2) podemos escrever uma forma exterior ω como

ω(p) = a12(p)(dx1 ∧ dx2)p + a13(p)(dx1 ∧ dx3)p + a23(p)(dx2 ∧ dx3)p, (2.3)

ou simplesmente, por omissao de p, ω =∑

i<j aijdxi ∧ dxj, i, j = 1, 2, 3, onde aij sao

funcoes reais em R3.

Definicao 2.2.7. Quando temos a forma exterior ω =∑

i<j aijdxi ∧ dxj, i, j = 1, 2, 3, e

cada aij e diferenciavel, chamaremos ω de forma diferencial de grau 2 ou simplesmente

2−forma.

Ate agora definimos o conceito de 1−forma diferencial e 2−forma diferencial.

Tais definicoes tiveram o intuito de nos familiarizar com os resultados e notacoes, para a

posterior generalizacao.

Definicao 2.2.8. Considere p um ponto de Rn. O conjunto dos vetores q−p, para q ∈ Rn,

sera chamado espaco tangente de Rn em p, e sera denotado por Rnp .

Lembrando que Λk(Rnp )∗ denota o espaco das formas alternadas de (Rn

p )k em

R, isto e

Λk(Rnp )∗ = {ϕ : Rn

p × · · · × Rnp → R | ϕ e k−linear e alternada},

observamos que, tomando elementos ϕ1, · · · , ϕk ∈ (Rnp )∗, entao o elemento ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk

pertence a Λk(Rnp )∗, onde por definicao

(ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk)(v1, · · · , vk) = det (ϕi(vj)) , i, j = 1, · · · , k. (2.4)

Observacao 2.2.2. Em particular, note que (dxi1)p ∧ · · · ∧ (dxik)p ∈ Λk(Rnp )∗, i1, · · · , ik =

1, · · · , n. Denotaremos este elemento por (dxi1 ∧ · · · ∧ dxik)p.

Teorema 2.2.3. O conjunto {(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik)p; i1 < i2 < · · · < ik; ij ∈ {1, · · · , n}} e

uma base para o espaco Λk(Rnp )∗.


Demonstracao. Inicialmente, notemos que dxi1∧· · ·∧dxik sao linearmente independentes,

pois tomando ai1,··· ,ik , i1 < i2 < · · · < ik, ij ∈ {i, · · · , n} de forma que∑i1<···<ik

ai1,··· ,ikdxi1 ∧ · · · ∧ dxik = 0, (2.5)

e aplicando (2.5) aos vetores (ej1 , · · · , ejk), j1 < j2 < · · · < jk, com jl ∈ {1, · · · , n}, temos∑i1<···<ik

ai1,··· ,ikdxi1 ∧ · · · ∧ dxik(ej1 , · · · , ejk) = aj1,··· ,jk ,

e portanto ai1,··· ,ik = 0.

Devemos mostrar agora que para qualquer f ∈ Λk(Rnp )∗, f e uma combinacao

linear da forma

f =∑

i1<···<ik

ai1,··· ,ikdxi1 ∧ · · · ∧ dxik .

Para tanto, basta tomar g ∈ Λk(Rnp )∗, onde

g =∑

i1<···<ik

f(ei1 , · · · , eik)dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .

De fato, f(ei1 , · · · , eik) = g(ei1 , · · · , eik) para todos i1, · · · , ik.Assim, fazendo f(ei1 , · · · , eik) =

ai1,··· ,ik , obtemos a forma para f,

f =∑

i1<···<ik

ai1,··· ,ikdxi1 ∧ · · · ∧ dxik .

Definicao 2.2.9. Uma k−forma exterior em Rn e uma aplicacao ω que associa a cada

p ∈ Rn, um elemento ω(p) ∈ Λk(Rnp )∗.

Pelo teorema (2.2.3), podemos escrever uma forma exterior ω como

ω(p) =∑

i1<···<ik

ai1,··· ,ik(p)(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik)p, (2.6)

onde ij ∈ {1, · · · , n} e todos os ai1,··· ,ik sao funcoes reais em Rn.

Definicao 2.2.10. Quando uma k−forma exterior ω =∑

i1<···<ik ai1,··· ,ikdxi1 ∧ · · · ∧ dxike tal que, todas as funcoes aij : Rn → R sao diferenciaveis, ω sera dita uma k−forma

diferencial.


Denotando por I a k−upla (i1, · · · , ik), entao com o intuito de simplificar a

notacao, podemos denotar uma k−forma diferencial ω por

ω =∑I

aIdxI . (2.7)

Por convencao, definiremos que uma 0−forma diferencial em Rn sera uma

aplicacao diferenciavel f : Rn → R.

A partir de agora, por simplicidade, chamaremos uma k−forma diferencial

simplesmente por uma k−forma, e o nosso objetivo sera definir algumas operacoes envol-

vendo tais formas, e estudar suas propriedades.

Definicao 2.2.11. Sejam ω e η duas k−formas em Rn. Podemos definir a soma ω + η

como,

ω + η =∑I

aIdxI +∑I

bIdxI =∑I

(aI + bI)dxI

Definicao 2.2.12. Sejam ω uma k−forma e ϕ uma s−forma. Definimos o produto exte-

rior de formas diferenciais ω ∧ ϕ como

ω ∧ ϕ =∑IJ

aIbJdxI ∧ dxJ ,

onde ω =∑

I aIdxI , I = (i1, · · · , ik), com i1 < · · · < ik, e ϕ =∑

J bJdxJ , J = (ii, · · · , ij),

i1 < · · · < ij.

Observacao 2.2.3. De acordo com a definicao de produto exterior, podemos ter uma

k−forma ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk, onde cada ϕi e uma 1−forma, para i = 1, · · · , k, lembrando

que ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk(v1, · · · , vk) = det(ϕi(vj))

Teorema 2.2.4. Sejam ω uma k−forma, ϕ uma s−forma, e θ uma r−forma, entao,

(i) (ω ∧ ϕ) ∧ θ = ω ∧ (ϕ ∧ θ);

(ii) (ω ∧ ϕ) = (−1)ks(ϕ ∧ ω);

(iii) ω ∧ (ϕ+ θ) = ω ∧ ϕ+ ω ∧ θ, se r = s.

Demonstracao. Sejam ω =∑

I aIdxI , I = (i1, · · · , ik), i1 < · · · < ik, ϕ =∑

J bJdxJ ,

J = (j1, · · · , js), com j1 < · · · < js e θ =∑

L cLdxL, L = (i1, · · · , il), com i1 < · · · < il.

(i)

(ω ∧ ϕ) ∧ θ =

(∑IJ

aIbJdxI ∧ dxJ

)∧ θ =

∑IJL

aIbJcLdxI ∧ dxJ ∧ dxL =


= ω ∧

(∑JL

bJcLdxJ ∧ dxL

)= ω ∧ (ϕ ∧ θ).

(ii)

ω ∧ ϕ =∑IJ

aIbJdxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjs =

=∑IJ

aIbJ(−1)dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1∧ dxj1 ∧ dxik ∧ · · · ∧ dxjs =

=∑IJ

bJaI(−1)kdxj1 ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj2 ∧ · · · ∧ dxjs .

Procedendo indutivamente obtemos, pelo fato de J possuir s elementos,

ω ∧ ϕ =∑JI

bJaI(−1)ksdxj1 ∧ · · · ∧ dxjs ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik = (−1)ksϕ ∧ ω.

(iii) Se r = s, a operacao ϕ+ θ esta definida, e

ϕ+ θ =∑J

bJdxJ +∑J

cJdxJ =∑J

(bJ + cJ)dxJ .

Portanto,

ω ∧ (ϕ+ θ) =∑I

aIdxI ∧∑J

(bJ + cJ)dxJ =∑IJ

aI(bJ + CJ)dxI ∧ dxJ =

=∑IJ

aIbJdxI ∧ dxJ +∑IJ

aIcJdxI ∧ dxJ = (ω ∧ ϕ) + (ω ∧ θ).

Consideremos uma aplicacao diferenciavel f : Rn → Rm. Entao f induz uma

aplicacao f ∗ que associa uma k−forma em Rn a uma k−forma em Rm, pela seguinte

definicao.

Definicao 2.2.13. Sejam f : Rn → Rm uma aplicacao diferenciavel e ω uma k−forma

em Rn. Definimos a aplicacao f ∗ω por

(f ∗ω)(p)(v1. · · · , vk) = ω(f(p))(dfp(v1), · · · , dfp(vk)),

onde p ∈ Rn, v1, · · · , vk ∈ Rnp e dfp : Rn

p → Rmf(p) e a diferencial da aplicacao f em p.

Observacao 2.2.4. Por convencao, quando g e uma 0−forma, definimos a aplicacao f ∗(g)

como a composta g ◦ f.

Sejam f : Rn → Rm uma aplicacao diferenciavel, ω e ϕ k−formas em Rm e

g : Rm → R uma 0−forma. Assumiremos as seguintes propriedades, cuja demonstracao

pode ser encontrada em [3].


(i) f ∗(ω + ϕ) = f ∗ω + f ∗ϕ;

(ii) f ∗(gω) = f ∗(g)f ∗(ω);

(iii) se ϕ1, · · · , ϕk sao 1−formas em Rm, entao f ∗(ϕ1 ∧ · · · ∧ϕk) = f ∗(ϕ1)∧ · · · ∧ f ∗(ϕk).

Definicao 2.2.14. Seja g : Rn → R uma 0−forma, entao a diferencial

dg =n∑i=1

∂g

∂xidxi

e uma 1−forma.

Definicao 2.2.15. Seja ω =∑

I aIdxI uma k−forma em Rn. A diferencial exterior dω,

de ω, e definida por

dω =∑I

daI ∧ dxI .

Teorema 2.2.5. Sejam ω1, ω2 k−formas em Rm e ϕ uma s−forma em Rm. Entao,

(i) d(ω1 + ω2) = dω1 + dω2;

(ii) d(ω ∧ ϕ) = dω ∧ ϕ+ (−1)kω ∧ dϕ;

(iii) d(dω) = d2ω = 0;

(iv) d(f ∗ω) = f ∗(dω), onde f : Rn → Rm e uma aplicacao diferenciavel.

Demonstracao. Provaremos somente as afirmacoes (ii) e (iii)

(ii)

d(ω ∧ ϕ) = d

(∑IJ

aIbJdxI ∧ dxJ

)=∑IJ

d(aIbJ) ∧ dxI ∧ dxJ =∑IJ

bJdaI ∧ dxI ∧ dxJ+

+∑IJ

aIdbJ ∧ dxI ∧ dxJ = dω ∧ ϕ+ (−1)k∑IJ

aIdxI ∧ dbJ ∧ dxJ = dω ∧ ϕ+ (−1)kω ∧ dϕ.

(iii) Assuma primeiramente que ω seja uma 0−forma, isto e, ω e uma funcao f : Rn → R

que associa cada ponto (x1, · · · , xn) ∈ Rn ao valor f(x1, · · · , xn) ∈ R. Entao,

d(df) = d

(n∑j=1

∂f

∂xjdxj

)=

n∑j=1

d

(∂f

∂xj

)∧ dxj =

n∑j=1

(n∑i=1

∂2f

∂xi∂xjdxi ∧ dxj

).

Pela hipotese de f ser uma 0−forma, segue que ∂2f∂xi∂xj

= ∂2f∂xj∂xi

(teorema 1.2.2). E como

dxi ∧ dxj = −dxj ∧ dxi, quando x 6= j, temos

d(df) =∑i<j

(∂2f

∂xi∂xj− ∂2f

∂xj∂xi

)dxi ∧ dxj = 0.


Considere agora o caso em que ω =∑

I aIdxI . Pela afirmacao (i), podemos

restringir ao caso em que ω = aIdxI , com aI 6= 0. E por (ii), segue dω = daI ∧ dxI +

aId(dxI).

Mas observe que d(dxI) = d(1) ∧ dxI = 0. Portanto,

d(dω) = d(daI ∧ dxI) = d(daI) ∧ dxI + daI ∧ d(dxI) = 0,

lembrando que d(daI) = d(dxI) = 0.

45

3 Integracao em Variedades

Neste capıtulo iremos definir as variedades em Rn, e utilizar dos conceitos

estudados no capıtulo anterior para estabelecer a nocao de integral de uma k−forma em

Rn. Posteriormente, para a demonstracao do teorema de Stokes, iremos definir a integral

de uma k−forma definida em uma variedade diferenciavel.

3.1 Variedades Diferenciaveis

No capıtulo 1 vimos o teorema de Stokes para aplicacoes em R2 e R3, que nos

forneceu a seguinte identidade∫ ∫S

(rotF · n)ds =

∫∂S

F · dr, (3.1)

onde S e uma superfıcie em R3. Para a generalizacao deste teorema, precisaremos estender

o conceito de superfıcie para dimensoes maiores, que sao as chamadas variedades.

Intuitivamente, uma variedade e a generalizacao de curvas e superfıcies para

dimensoes arbitrariamente grandes, e como a maioria dos conceitos matematicos, sua

formalizacao nao foi fruto da pesquida de apenas um, mas de varios matematicos durante

muitos anos.

Alguns matematicos como Riemann e Gauss figuram entre os principais nomes

que contribuıram para a formalizacao do conceito de variedade. Em especial, o termo ma-

nifold1 e uma traducao direta (para o ingles) da palavra de origem alema Mannigfaltigkeit,

utilizada por Riemann em seu trabalho pioneiro intituado Uber die Hypothesen, welche

der Geometrie zu Grunde liegen (Sobre as Hipoteses Subjacentes aos Fundamentos da

Geometria).

Iremos agora definir o conceito de variedade diferenciavel, bem como mostrar

aluns teoremas envolvendo tal conceito. Os resultados apresentados nesta sessao foram

adaptados das referencias [3, 9, 11].

1Utilizamos como traducao nao literal a palavra variedade, para manifold, como e usualmente feito

na literatura nacional.

3.1 Variedades Diferenciaveis 46

Definicao 3.1.1. Seja I um conjunto, cujos elementos α chamaremos de ındices. Dado

um conjunto U, uma famılia de elementos de U com ındices em I e uma funcao u : I→ U.

O valor de u no ponto α ∈ I sera indicado com o sımbolo uα. A famılia u e representada

pela notacao (uα)α∈I, ou simplesmente uα, quando nao houver duvidas sobre o conjunto

I.

Definicao 3.1.2. Uma variedade diferenciavel n−dimensional, ou simplesmente uma

n−variedade, e um conjunto M munido com uma famılia de aplicacoes injetivas fα :

Uα ⊂ Rn →M, de abertos Uα em M , tais que

(m1)⋃α fα (Uα) = M ;

(m2) Para cada par α, β, com fα(Uα)∩ fβ(Uβ) = W 6= ∅, os conjuntos f−1α (W ) e f−1

β (W )

sao abertos em Rn, e as aplicacoes f−1β ◦ fα, f−1

α ◦ fβ sao diferenciaveis;

Definicao 3.1.3. O par (Uα, fα), com p ∈ fα(Uα), e chamado uma parametrizacao, ou

sistema de coordenadas de M em p. E fα(Uα) e chamada uma vizinhanca coordenada de

p.

Definicao 3.1.4. Uma famılia (fα, Uα) que goza das propriedades (m1) e (m2) e chamada

uma estrutura diferenciavel em M.

Segue imediatamente da definicao que o proprio conjunto Rn e uma variedade

diferenciavel de dimensao n, assim como todo subconjunto aberto A ⊂ Rn.

Observando a definicao (3.1.5) de superfıcie regular no R3 dada por [2], segue

que uma superfıcie regular no R3 e uma variedade diferenciavel de dimensao 2.

Definicao 3.1.5. Um subconjunto S ⊂ R3 e uma superfıcie regular se, para cada p ∈ S,

existe uma vizinhanca V de p em R3 e uma aplicacao x : U → V ∩ S de um aberto U de

R2 sobre V ∩ S ⊂ R3 tais que,

(i) x e diferenciavel;

(ii) x e um homeomorfismo2;

(iii) Para todo q ∈ U, a diferencial dxq : R2 → R3 e injetiva.

2Significa que a aplicacao e contınua e possui inversa tambem contınua.


Observacao 3.1.1. Assumiremos a partir de agora que todas as variedades consideradas

serao de Hausdorff, e possuirao base enumeravel3. E com o intuito de simplificar a notacao,

iremos nos referir na maioria das vezes a uma variedade diferenciavel n−dimensional M

simplesmente por Mn, onde o expoente n indicara sua dimensao.

Definicao 3.1.6. Sejam Mn1 e Mm

2 variedades diferenciaveis. Uma aplicacao ϕ : Mn1 →

Mm2 e diferenciavel no ponto p ∈ Mn

1 se, dada uma parametrizacao g : V ⊂ Rm → Mm2

em uma vizinhanca de ϕ(p), existe uma parametrizacao f : U ⊂ Rn → Mn1 em uma

vizinhanca de p, tal que, ϕ(f(U)) ⊂ g(V ), e a aplicacao g−1 ◦ ϕ ◦ f :⊂ Rn → Rm e

diferenciavel em f−1(p).

Naturalmente, diremos que a aplicacao ϕ e diferenciavel em algum aberto de

Mn1 se e diferenciavel em todos os pontos deste conjunto.

Precisamos agora definir os conceitos de curva diferenciavel e vetor tangente

em uma variedade diferenciavel, para poder estender os conceitos usuais do calculo em

superfıcies no R3.

Lembremos da definicao de curva diferenciavel.

Definicao 3.1.7. Uma curva diferenciavel parametrizada e uma aplicacao diferenciavel

α : I → Rn de um intervalo aberto I = (−ε, ε) da reta real R em Rn.

Observacao 3.1.2. A palavra diferenciavel na definicao acima significa que α e uma cor-

respondencia que leva cada t ∈ I em um ponto (x1(t), · · · , xn(t)) ∈ Rn, de modo que as

funcoes reais x1, · · · , xn sao diferenciaveis. E importante notar ainda que nao excluımos

o caso em que o intervalo I = (−∞,∞).

Consideremos a aplicacao α : (−ε, ε) → Rn, que descreve uma curva dife-

renciavel em Rn, com α(0) = p ∈ Rn, e escrevemos

α(t) = (x1(t), · · · , xn(t)), t ∈ (−ε, ε), (x1, · · · , xn) ∈ Rn.

Entao α′(0) = (x′1(0), · · · , x′n(0)) = v ∈ Rn. Considere agora uma funcao

ϕ : Rn → R, diferenciavel em uma vizinhanca de p. Dessa forma a derivada de ϕ na

direcao de v, no ponto p e dada por

d

dt(ϕ ◦ α)

∣∣t=0

=n∑i=1

∂ϕ

∂xi

dxidt

∣∣t=0

=

(n∑i=1

x′i(0)∂

∂xi

)ϕ. (3.2)

3Tais definicoes encontram-se no apemdice B.


Portanto, a derivada direcional na direcao do vetor v e um operador sobre

funcoes diferenciaveis que depende apenas de v. Por meio dessa propriedade podemos

definir o conceito de vetor tangente a uma variedade e, posteriormente definir um espaco

tangente a uma variedade diferenciavel.

Consideremos um variedade diferenciavel Mn e D o conjunto das funcoes em

Mn que sao diferenciaveis em p, e escolha uma parametrizacao f : U ⊂ Rn → Mn em

uma vizinhanca de p = f(0, · · · , 0). Entao a curva α : I → Mn, e uma funcao ϕ ∈ D

podem ser escritas respectivamente como

f−1 ◦ α(t) = (x1(t), · · · , xn(t));

ϕ ◦ f(q) = ϕ(x1, · · · , xn), q = (x1, · · · , xn).

Entao, por (3.2) podemos escrever

α′(0)ϕ =d

dt(ϕ ◦ α)

∣∣t=0

=d

dtϕ(x1(t), · · · , xn(t))

∣∣t=0

=

(n∑i=1

x′i(0)

(∂

∂xi 0

)0

)ϕ. (3.3)

Logo o vetor tangente α′(0) em p pode ser escrito como

α′(0) =n∑i=1

x′i(0)

(∂

∂xi

)0

. (3.4)

Estas consideracoes feitas anteriormente servem para podermos observar que,

chamando de TpM ao espaco tangente em p de uma variedade diferenciavel M, entao

a escolha de uma parametrizacao ao redor de p servira para determinar uma base para

TpM, que de fato sera um espaco vetorial. Detalhes a respeito desta construcao podem

ser encontrados na referencia [3].

De forma resumida, assumiremos a seguinte definicao.

Definicao 3.1.8. Seja Mn uma variedade diferenciavel e p ∈Mn. Chamaremos de espaco

tangente a Mn em p ao conjunto TpM. E a base{(

∂∂xi

)0

; i = 1, · · · , n}

para TpM sera

chamada base associada a parametrizacao f.

Agora que definimos o espaco tangente a uma variedade, podemos definir a

diferencial de uma aplicacao ϕ : Mn1 →Mm

2 , utilizando destes conceitos.

Definicao 3.1.9. Sejam Mn1 e Mm

2 variedades diferenciaveis, e ϕ : Mn1 → Mm

2 uma

aplicacao diferenciavel. Para cada p ∈Mn1 , a diferencial de ϕ em p e a aplicacao linear

dϕp : TpMn1 → Tϕ(p)M

m2 ,


que associa cada vetor v ∈ TpMn1 ao vetor dϕp(0) ∈ Tϕ(p)M

m2 , que e definida escolhendo

uma curva diferenciavel α : (−ε, ε) → Mn1 , com α′(0) = v, o que nos permite a repre-

sentacao

dϕp(v) = (ϕ ◦ α)′(0).

Observe que para fazer sentido a definicao (3.1.9), ela tem que ser independente

da escolha de α. E este resultado e garantido pelo seguinte teorema.

Teorema 3.1.1. Na definicao (3.1.9), dado v ∈ TpMn1 , o vetor dϕp(v) = (ϕ ◦ α)′(0) nao

depende da escolha de α.

Demonstracao. Sejam f1(x1, · · · , xn) e f2(y1, · · · , yn) parametrizacoes em vizinhancas de

p e ϕ(p), respectivamente, e suponha que ϕ seja expressa nestas coordenadas por

ϕ(x1, · · · , xn) = (ϕ1(x), · · · , ϕn(x)), onde x = (x1, · · · , xn).

Considere α(t) = (x1(t), · · · , xn(t)), t ∈ (−ε, ε). Dessa forma obtemos,

(ϕ ◦ α)(t) = ϕ(x1(t), · · · , xn(t)) = (ϕ1(x1(t), · · · , xn(t)), · · · , ϕn(x1(t), · · · , xn(t))) .

E a expressao de (ϕ ◦ α)′(0) na base {∂f2∂xi} e

(ϕ ◦ α)′(0) =

(∂ϕ1

∂x1

x′1(0) + · · ·+ ∂ϕ1

∂xnx′n(0), · · · , ∂ϕn

∂x1

x′1(0) + · · ·+ ∂ϕn∂xn

x′n(0)

).

O que nos mostra que (ϕ ◦ α)′(0) depende apenas da aplicacao ϕ e das coordenadas de

(x′1(0), · · · , x′n(0)) na base {∂f1∂xi}.

Definicao 3.1.10. Uma aplicacao ϕ : Mn1 → Mm

2 entre variedades diferenciaveis e dita

um difeomorfismo se e bijetora, diferenciavel, e possui inversa tambem diferenciavel. Di-

remos ainda que uma aplicacao ϕ sera um difeomorfismo local em um ponto p, se satisfaz

a condicao de difeomorfismo em uma vizinhanca de p. Isto e, existem abertos U e V, com

p ∈ U tais que ϕ : U → V e um difeomorfismo.

Definiremos agora as formas diferenciais em variedades difereciaveis.

Definicao 3.1.11. Considere uma variedade diferenciavel Mn. Uma k−forma exterior ω

em Mn e a escolha, para cada p ∈Mn, de um elemento ω(p) ∈ Λk(TpM)∗.


Definicao 3.1.12. Dada uma k−forma exterior ω em uma variedade diferenciavel Mn,

e uma parametrizacao fα : Uα → Mn em uma vizinhanca de p ∈ fα(Uα), definimos a

representacao de ω nesta parametrizacao como a k−forma exterior ωα em Uα ⊂ Rn, dada

por

ωα(v1, · · · , vk) = ω(dfα(v1), · · · , dfα(vk)), com v1, · · · , vk ∈ Rn.

Observe na definicao acima que, se mudarmos o sistema de coordenadas para

fβ : Uβ →Mn, p ∈ fβ(Uβ), obtemos

(f−1β ◦ fα)∗ωβ(v1, · · · , vk) = ωβ

(d(f−1β ◦ fα

)(v1), · · · , d

(f−1β ◦ fα

)(vk)

)(3.5)

= ωβ((dfβ ◦ d

(f−1β ◦ fα

))(v1), · · · ,

(dfβ ◦ d

(f−1β ◦ fα

))(vk)

)= ωα(v1, · · · , vk). (3.6)

E temos a relacao (f−1β ◦ fα)∗ωβ = ωα, motivando a seguinte definicao.

Definicao 3.1.13. Uma k−forma diferencial em uma variedade diferenciavel Mn e uma

forma exterior que possui representacao diferenciavel em algum sistema de coordenadas.

Observacao 3.1.3. Pelas equacoes (3.5) e (3.6), e pela definicao acima, podemos concluir

que se uma k−forma exterior possuir representacao diferenciavel em algum sistema de

coordenadas, entao possuira em todos.

De forma resumida observamos que, sendo ω uma k−forma diferencial em

Mn, entao para uma parametrizacao (Uα, fα) de Mn, ω e a escolha de uma k−forma

diferencial ωα em Uα, de forma que, para alguma outra parametrizacao (Uβ, fβ) de Mn,

com fα(Uα) ∩ fβ(Uβ) 6= ∅, tenha-se

ωα =(f−1β ◦ fα

)∗ωβ. (3.7)

Afirmamos ainda que todas as consideracoes feitas a respeito de formas diferen-

ciais em Rn podem ser estendidas para formas diferenciais em uma variedade diferenciavel

Mn, tomando uma representacao local.

De fato, a diferencial de uma k−forma em uma variedade diferenciavel Mn

esta bem definida, pois por (3.7) tem-se

dωα = d(f−1β ◦ fα

)∗ωβ =

(f−1β ◦ fα

)∗dωβ. (3.8)

Definicao 3.1.14. Uma variedade diferenciavel M e dita orientavel se possui uma es-

trutura diferenciavel {(Uα, fα)}, tal que para cada par α, β, com fα(Uα) ∩ fβ(Uβ) 6= ∅,

a diferencial da mudanca de coordenadas f−1β ◦ fα, possui determinante positivo. Caso

contrario, M e dita nao orientavel.

3.2 Teorema de Stokes 51

3.2 Teorema de Stokes

Nesta sessao, nossa meta sera a demonstracao do teorema de Stokes em vari-

edades compactas4 e orientaveis. E por este motivo todas as variedades consideradas a

partir de agora serao compactas e orientaveis, salvo apenas mencao contraria.

Para as primeiras consideracoes, limitaremos ao caso em que Mn = Rn, isto e,

consideraremos a variedade diferenciavel n−dimensional (nao compacta) Rn.

Definicao 3.2.1. Seja ω uma forma diferencial definida em um conjunto aberto U ⊂Mn,

definimos o suporte K de ω como o fecho5 do conjunto A = {p ∈Mn | ω(p) 6= 0}.

Considerando ω uma n−forma diferencial em Rn, entao podemos escrever ω

como

ω = a(x1, · · · , xn)dx1 ∧ · · · ∧ dxn. (3.9)

E supondo que o suporte K de ω seja compacto e esteja contido em U, entao

definimos a integral de ω sobre U por∫U

ω =

∫K

adx1 · · · dxn, (3.10)

onde no lado direito da igualdade temos uma integral multipla em Rn.

Observaremos agora as estreitas relacoes entre a integral de uma n−forma

definida em Rn e uma n−forma definida em uma variedade diferenciavel qualquer Mn.

Consideremos ω uma n−forma definida em uma variedade diferenciavel Mn,

e suponha que o suporte K de ω esteja contido em alguma vizinhanca coordenada Vα =

fα(Uα). entao, sendo a representacao local de ω, ωα em Uα dada por

ωα = aα(x1, · · · , xn)dx1 ∧ · · · ∧ dxn, (3.11)

e dessa forma podemos definir a integral∫M

ω =

∫Vα

ωα =

∫Uα

aαdx1 · · · dxn, (3.12)

onde o lado direito da igualdade expressa uma integral multipla usual em Rn.

4Aqui o termo compacto tera o mesmo significado que o empregado na topologia geral, uma vez que

uma variedade e um espaco topologico. Vide definicao (6.0.19) e o teorema (6.0.13) no apendice B.5Trata-se do conjunto dos pontos aderentes. Ver definicao (6.0.17) no apendide B.


Mas observe que para a validade de (3.12), precisamos mostrar que ela inde-

pende da escolha de uma vizinhanca coordenada em particular. Na verdade, para mostrar

este resultado, sera fundamental nossa hipotese inicial de que Mn e orientavel, isto e, a

diferencial da mudanca de coordenadas possui determinante positivo.Tal resultado sera

garantido pelo teorema a seguir.

Teorema 3.2.1. Seja ω uma n−forma em Mn, e fα, fβ dois sistemas de coordenadas em

Mn. Entao assumindo que Mn seja orientavel, e valida a igualdade∫Vα

ωα =

∫Vβ

ωβ.

Demonstracao. Tome ωα e ωβ formas diferenciais em Mn, com representacoes em Uα e

Uβ, respectivamente, e vizinhancas coordenadas {Vα} e {Vβ}.

Considere a mudanca de coordenadas f = f−1α ◦ fβ : Uα → Uβ. Fazendo

xi = fi(y1, · · · , yn), i = 1, · · · , n e (x1, · · · , xn) ∈ Uα, com (y1, · · · , yn) ∈ Uβ, e lembrando

que ωβ = f ∗(ωα), obtemos

ωβ = det(df)aβdy1 ∧ · · · ∧ dyn,

onde aβ = aα(f1(y1, · · · , yn), · · · , fn(y1, · · · , yn)).

Dessa forma, o resultado segue pela formula da mudanca de variaveis na inte-

gral multipla em Rn, isto e,∫Uα

aαdx1 · · · dxn =

∫Uβ

det(df)aβdy1 · · · dyn.

Pois pela hipotese de que Mn e orientavel, segue que det(df) > 0, e portanto∫Vα

ωα =

∫Vβ

ωβ.

Observe que as consideracoes feitas a respeito da integral de uma n−forma

em Mn foram todas feitas supondo que o suporte K de ω estivesse contido em alguma

vizinhanca coordenada. Iremos agora explorar o caso em que isso nao se verifica.

Para tanto, considere uma cobertura {Vα} para uma variedade diferenciavel

compacta Mn. Iremos construir uma famılia (finita) de funcoes ϕ1, · · · , ϕn, que satisfacam

as seguintes condicoes:


(p1)∑n

i=1 ϕi = 1;

(p2) 0 ≤ ϕi ≤ 1, e o suporte de ϕi estara contido em algum Vαi = Vi.

Definicao 3.2.2. A famılia {ϕi} que satisfaz as propriedades (p1) e (p2), listadas acima,

sera chamada uma particao diferenciavel da unidade, ou simplesmente particao da uni-

dade, subordinada a cobertura {Vα}.

Observacao 3.2.1. De fato, ainda nao apresentamos garantia da existencia de uma particao

diferenciavel da unidade, entretanto tal resultado e valido pelo teorema (3.2.2), que apenas

enunciaremos.

Assumindo a existencia de uma famılia {ϕi}, entao o suporte da forma ϕiω

em uma variedade Mn esta contido em Vi, para algum i, e pelas caracterısticas da famılia

{ϕi}, temos a identidade ∫M

ω =m∑i=1

∫M

ϕiω. (3.13)

Mas observe que para a validade de (3.13), precisamos garantir que ela inde-

pende das escolhas feitas.

Com efeito, considere uma outra cobertura {Wβ} de M , que induz a mesma

orientacao que a cobertura {Vα}, e seja {ψj} uma particao da unidade subordinada ao

recobrimento {Wβ}.

Entao {Vα ∩Wβ} ainda recobrira M, e a famılia {ϕiψj} sera uma particao da

unidade subordinada a esse recobrimento. Assim,

m∑i=1

∫M

ϕiω =m∑i=1

∫M

ϕi

(s∑j=1

ψj

)ω =

∑ij

∫M

ϕiψjω. (3.14)

E analogamente,

s∑j=1

∫M

ψjω =s∑j=1

∫M

(m∑i=1

ϕi

)ψjω =

∑ij

∫M

ϕiψjω. (3.15)

O que nos garante que a validade de (3.13) nao depende das escolhas feitas, tanto do

recobrimento quanto da particao da unidade subordinada a ele.

Teorema 3.2.2. (Existencia da particao diferenciavel da unidade). Sejam

Mn uma variedade diferenciavel compacta e orientavel, e {Vα} uma cobertura de Mn por

vizinhancas coordenadas. Entao existem funcoes diferenciaveis ϕ1, · · · , ϕm tais que,


(p1)∑m

i=1 ϕi = 1;

(p2) 0 ≤ ϕi ≤ 1, e o suporte de ϕi esta contido em algum Vαi de da cobertura {Vα}.

A demonstracao deste teorema pode ser encontrada nas referencias [3, 9, 11].

Para as consideracoes posteriores precisaremos definir um tipo especial de va-

riedade, chamada variedade diferenciavel com fronteira, e para isso necessitamos da de-

finicao de um semi-espaco em Rn.

Definicao 3.2.3. Chama-se semi-espaco em Rn ao conjunto

Hn = {(x1, · · · , xn) ∈ Rn | x1 ≤ 0}.

Diremos que uma funcao f : V → R, definida em um aberto V ⊂ Hn e

diferenciavel, se existem um conjunto U ⊂ Rn que contem V, e uma funcao diferenciavel

f em U , tal que a restricao de f a V seja igual a f . E neste caso, a diferencial dfp, de f

em p ∈ V, e definida como

dfp = dfp. (3.16)

Definicao 3.2.4. Uma variedade diferenciavel n−dimensional com fronteira e um con-

junto M, munido com uma famılia de aplicacoes injetivas fα : Uα ⊂ Hn →M, de abertos

de Hn em M tais que,

(m′1) Uαfα(Uα) = M ;

(m′2) Para todo par α, β, com fα(Uα)∩ fβ(Uβ) = W 6= ∅, os conjuntos f−1α (W ) e f−1

β (W )

sao abertos em Hn, e as aplicacoes f−1β ◦ fα, f−1

α ◦ fβ sao diferenciaveis;

(m3) A famılia {(Uα, fα)} e maximal com relacao a (m′1) e (m′2).

Definicao 3.2.5. Um ponto p de uma variedade diferenciavel Mn e dito um ponto de

fronteira de M, se para alguma parametrizacao f : U ⊂ Hn →M em alguma vizinhanca

de p, tenha-se f(0, x2, · · · , xn) = p.

Para que a definicao anterior de ponto de fronteira de uma variedade faca sen-

tido, precisamos garantir que ela independe da parametrizacao utilizada. E tal resultado

e exibido pelo proximo teorema.

Teorema 3.2.3. A definicao de ponto de fronteira nao depende da parametrizacao.


Demonstracao. Seja f1 : U2 →M uma parametrizacao em uma vizinhanca de p, de forma

que f1(q) = p, com q = (0, x2, · · · , xn).

Suponha por absurdo que exista outra parametrizacao f2 : U2 → M, em uma

vizinhanca de p, tal que f−12 (p) = q2 = (x1, · · · , xn), com x1 6= 0.

Seja W = f1(U1) ∩ f2(U2). Temos entao a aplicacao f−11 ◦ f2 : f−1

2 (W ) →

f−11 (W ), que sera um difeomormismo, isto e, bijetora, diferenciavel e que possui inversa

tambem diferenciavel.

Como supomos x1 6= 0, existira uma vizinhanca U de q2, U ⊂ f−12 (W ), que

nao intersepta o eixo x1, e restringindo f−11 ◦ f2 a U, temos ainda um difeomorfismo, dado

por

f−11 ◦ f2 : U → Hn,

e alem disso, det(d(f−11 ◦ f2)) 6= 0.

Finalmente, pelo teorema da funcao inversa, podemos garantir que a aplicacao

f−11 ◦ f2 : V ⊂ U → U1 ⊂ Hn

sera um difeomorfismo, o que nos leva a uma contradicao, uma vez que se isso se verificasse

terıamos pontos da forma (x1, · · · , xn), com x1 > 0, sendo levados em Hn por f−11 ◦ f2.

Portanto garantimos que p sera um ponto de fronteira mesmo com outra pa-

rametrizacao.

Sem ambiguidades, podemos entao definir o conjunto dos pontos de fronteira

de uma variedade diferenciavel Mn.

Definicao 3.2.6. Sendo Mn uma variedade diferenciavel, denotamos por ∂M o conjunto

dos pontos de fronteira de Mn, chamado simplesmente de fronteira de M .

Observacao 3.2.2. Se ∂M = ∅, entao naturalmente a variedade nao possui fronteira, e

portanto e definida segundo a definicao (3.1.2).

Teorema 3.2.4. A fronteira ∂M de uma n−variedade diferenciavel M com fronteira, e

uma (n− 1)−variedade diferenciavel.

Demonstracao. Tome um ponto p ∈ ∂M, e considere a parametrizacao fα : Uα ⊂ Hn →

Mn, em alguma vizinhanca de p.


Dessa forma, f−1α (p) = (0, x2, · · · , xn) ∈ Uα. Chamando Uα = Uα∩{(x1, · · · , xn) ∈

Rn | x1 = 0}, podemos observar que Uα sera um aberto em Rn−1. Basta entao considerar

fα a restricao de fα a Uα e, pelo teorema (3.2.3), segue que fα(Uα) ⊂ ∂M. E ainda, a

famılia {(Uα, fα)} sera uma estrutura diferenciavel em ∂M.

Se Mn e uma variedade diferenciavel orientavel com fronteira, entao a ori-

entacao de Mn induz uma orientacao em ∂M, e dizemos que ∂M possui a orientacao

induzida por M. E a demonstracao deste resultado pode ser encontrada na referencia [3].

Finalmente, com as definicoes e resultados anteriores, podemos enunciar e

provar o teorema de Stokes em uma variedade.

Teorema 3.2.5. (Teorema deStokes). Sejam Mn uma variedade diferenciavel com

fronteira, compacta e orientavel, ω uma (n−1)−forma diferenciavel em M e i : ∂M →M

uma aplicacao inclusao6. Entao ∫∂M

i∗ω =

∫M

dω.

Demonstracao. Consideremos K o suporte de ω, e iremos dividir a demonstracao em dois

casos:

(Caso 1). Se K esta contido em alguma vizinhanca coordenada V = f(U) de uma

parametrizacao f : U ⊂ Hn →M, entao tomando a representacao local de ω em U, temos

ω =n∑j

ajdx1 ∧ · · · ∧ dxj ∧ · · · dxn,

onde aj = aj(x1, · · · , xn) e uma funcao diferenciavel em U, e a notacao dxj significa que

o termo dxj esta sendo omitido. Assim, a diferencial dω obtem a forma

dω =n∑j=1

daj ∧ dxj =

(∑j

(−1)j−1 ∂aj∂xj

)dx1 ∧ · · · ∧ dxn.

Agora observe que podemos subdividir o caso 1 em dois subcasos, um para o caso em que

f(U) ∩ ∂M = ∅ e outro para quando f(U) ∩ ∂M 6= ∅.

(i).

Se considerarmos f(U)∩∂M = ∅, entao o valor de ω sera zero em ∂M, e consequentemente

6Trata-se simplesmente de uma aplicacao da forma i(x) = x, e o nome inclusao e motivado pelo fato

de que ∂M ⊂M .


i∗ω tambem ira se anular em ∂M. Portanto∫∂M

i∗ω = 0.

Por outro lado, estendendo a definicao de aj em Hn, por aj(x1, · · · , xn) = aj(x1, · · · , xn), se (x1, · · · , xn) ∈ U

aj(x1, · · · , xn) = 0, se (x1, · · · , xn) ∈ Hn \ U

temos f−1(K) ⊂ U, e aj e diferenciavel em Hn.

Considere entao Q ⊂ Hn um paralelepıpedo, definido por

x1j ≤ xj ≤ x0

j , j = 1, · · · , n

e que contenha f−1(K) em seu interior. Assim,∫U

dω =

∫U

(∑j

(−1)j−1 ∂aj∂xj

)dx1 · · · dxn =

=∑j

(−1)j−1

∫Q

[aj(x1, · · · , xj−1, x0j , xj+1, · · · , xn)−

−aj(x1, · · · , xj−1, x1j , xj+1, · · · , xn)]dx1 · · · dxj · · · dxn = 0,

pois aj(x1, · · · , x0j , · · · , xn) = aj(x1, · · · , x1

j , · · · , xn) = 0, para todo j = 1, , · · · , n. E

portanto, ∫∂M

i∗ω =

∫M

dω.

(ii).

Se porem, f(U) ∩ ∂M 6= ∅, entao a aplicacao i pode ser escrita como

i =

x1 = 0;

xj = xj, se j 6= 1

e usando a orientacao induzida em ∂M, temos

i∗ω = a1(0, x2, · · · , xn)dx2 ∧ · · · ∧ dxn.

Estendendo novamente aj a Hn, e considerando o paralelepıpedo Q′ dado por

x11 ≤ x1 ≤ 0 ; x1

j ≤ xj ≤ x0j , j = 1, · · · , n,

de forma que a uniao de Q′ com o hiperplano x1 = 0 contenha f−1(K). Entao,∫M

dω =n∑j=1

(−1)j−1

∫Q′

∂aj∂xj

dx1 · · · dxn =


=

∫Q′

[a1(0, x2, · · · , xn)− a1(x11, x2, · · · , xn)]dx2 · · · dxn+

+n∑j=2

∫Q′

[aj(x1, · · · , x0j , · · · , xn)− aj(a1, · · · , a1

j , · · · , xn)]dx1 · · · dxj · · · dxn.

E como aj(x1, · · · , x0j , · · · , xn) = aj(x1, · · · , x1

j , · · · , xn) = 0,

para j = 2, · · · , n, e a1(x11, x2, · · · , xn) = 0, temos∫

M

ω =

∫a1(0, x2, · · · , xn)dx2 · · · dxn =

∫∂M

i∗ω.

garantido a validade do teorema nestas condicoes.

(Caso 2). Suponha agora que K nao esteja contido em alguma vizinhanca coordenada.

Iremos utilizar da construcao de uma particao diferenciavel da unidade para a demons-

tracao.

Seja {Vα} uma cobertura de M por vizinhancas coordenadas, compativeis com

a orientacao em M. Tome ϕ1, · · · , ϕm uma particao diferenciavel da unidade subordinada

ao recobrimento {Vα}.

Observando que as formas ωj = ϕjω, j = 1, · · · ,m satisfazem as condicoes do

primeiro caso considerado (caso 1), e que∑

j dϕj = 0, seguem,∑j

ωj = ω e∑j

dωj = dω.

E portanto, ∫M

dω =m∑j=1

∫M

dωj =m∑j=1

∫∂M

i∗ωj =

∫∂M

i∗∑j

ωj =

∫∂M

i∗ω.

59

4 Conclusao e Estudos Posteriores

Neste trabalho vemos a generalizacao dos teoremas de Green e de Stokes para

variedades compactas orientaveis, o que nos forneceu uma visao mais ampla dos teoremas

fundamentais do calculo. Percebe-se que este teorema fornece uma generalizacao ate

mesmo para o teorema fundamental do calculo em sua forma classica, para funcoes de

uma variavel em R.

Um prosseguimento natural desta monografia poderia ser feito estudando o

teorema de Stokes para aplicacoes em variedades com singularidades, o que nao e feito

neste trabalho, pois observa-se grande aplicabilidade de tais resultados em muitas areas,

tanto da matematica pura quanto da aplicada.

Resultados especıficos de analise em variedades tambem podem ser uma boa

forma de continuacao do exposto. Conceitos como mergulho e imersao, que motivam

varios teoremas fundamentais para esse tipo de analise. Por exemplo, analisar sob quais

condicoes uma variedade diferenciavel pode ser imersa em uma espaco euclidiano.

Uma extensao deste tambem podera ser feita considerando aplicacoes dos te-

oremas apresentados, como por exemplo a interpretacao do fluxo eletrico, envolvendo

integrais de superfıcie, conhecida como Lei de Gauss, alem de muitas outras intepretacoes

fısicas possıveis.

Tambem seria possıvel uma revisao do capıtulo 1, incluindo a linguagem das

formas diferenciais, introduzidas somente no capıtulo 2. Com elas poderia-se perceber com

mais clareza a relacao intrınseca dos resultados do capıtulo 1 com os da sessao 3.3. Tratam-

se os resultados do capıtulo 1 de casos particulares da sessao 3.3, considerando superfıcies

regulares como variedades diferefenciaveis de dimensao 2, e as formas ω = Pdx + Qdy

como 1−formas no R3.

60

5 Apendice A - Diferenciabilidade

Definicao 5.0.7. Uma funcao f : Rn → Rm e diferenciavel em a ∈ Rn, se existe uma

transformacao linear λ : Rn → Rm tal que

limh→0

|f(a+ h)− f(a)− λ(h)||h|

= 0.

Teorema 5.0.6. Se f : Rn → Rm e diferenciavel em a ∈ Rn existe uma unica trans-

formacao linear λ : Rn → Rm tal que

limh→0

|f(a+ h)− f(a)− λ(h)||h|

= 0.

Demonstracao. Suponha que exista µ : Rn → Rm tal que

limh→0

|f(a+ h)− f(a)− µ(h)||h|

= 0

Chamando d(h) = f(a+ h)− f(a), entao

limh→0

|λ(h)− µ(h)||h|

= limh→0

|λ(h)− d(h) + d(h)− µ(h)||h|

≤ limh→0

|λ(h)− d(h)||h|

+ limh→0

|d(h)− µ(h)||h|

≤ limh→0

| − 1||f(a+ h)− f(a)− λ(h)||h|

+ limh→0

|f(a+ h)− f(a)− µ(h)||h|

= 0

Observe que, para x ∈ Rn, t 7→ 0, entao tx 7→ 0, logo, tomando x 6= 0 obtemos

0 = limt→0

|λ(tx)− µ(tx)||tx|

=|λ(x)− µ(x)|

|x|,

e entao λ(x) = µ(x).

Definicao 5.0.8. A transformacao linear λ e chamada de diferencial de f em a, e e

denotada por dfa.

Observacao 5.0.3. Assim como no caso das funcoes reais em R, diferenciabilidade implica

em continuidade para funcoes de varias variaveis. Entretanto a recıproca nao se verifica,

assim como para funcoes de uma variavel.

Pelas definicoes apresentadas, podemos observar os seguintes resultados.


Teorema 5.0.7. Se f : Rn → Rm e uma funcao constante, entao dfa = 0. E se f e uma

transformacao linear, entao df = f.

Demonstracao. Basta observar que

limh→0

|f(a+ h)− f(a)− 0||a|

= limh→0

|c− c||h|

= 0,

onde c ∈ Rm e uma constante tal que f(x) = c para todo x ∈ Rn.

E para o segundo caso,

limh→0

|f(a+ h)− f(a)− f(h)||h|

= limh→0

|f(a) + f(h)− f(a)− f(h)||h|

= 0

Definicao 5.0.9. Uma funcao f : Rn → Rm e dita diferenciavel se e diferenciavel em

todos os pontos do seu domınio.

Definicao 5.0.10. Considere um aplicacao f : Rn → Rm, a um ponto do Rn e v um

vetor em Rn. Definimos a derivada direcional de f na direcao de v em a, como o vetor

Dvf(a) = limh→0

f(a+ hv)− f(a)

h.

O interesse especial das derivadas direcionais sera quando v = ei, onde {ei; i =

1, · · · , n} e a base canonica do Rn. E estas serao chamadas derivadas parciais de f.

Usaremos as seguintes notacoes equivalentes para as derivadas direcionais:

Deif(a), Dif(a),∂f

∂xi(a),

∂f

∂xi

∣∣a.

Dessa forma, sendo a = (a1, · · · , an), temos

∂f

∂xi(a) = lim

h→0

f(a+ hei)− f(a)

h= lim

h→0

f(a1, · · · , ai + h, · · · , an)− f(a1, · · · , an)

h.

E percebe-se que ∂f∂xi

(a) e o resultado da derivada de f em relacao a variavel xi, mantendo

as outras constantes.

Naturalmente, temos as derivadas parciais de segunda ordem,

∂

∂xi

(∂f

∂xi

)=∂2f

∂x2i

, ou

∂

∂xi

(∂f

∂xj

)=

∂2f

∂xi∂xj.


E de forma geral tem-se,∂

∂xi· · · ∂f

∂xi=∂kf

∂xki, e

∂

∂x1

· · · ∂f∂xk

=∂kf

∂x1 · · · ∂xk.

Os proximos dois teoremas desempenham importante papel no estudo das

funcoes difereciaveis, sendo suas consequencias alem dos assuntos tratados neste trabalho.

Tratam-se da regra da cadeia e do teorema da funcao inversa, que apenas enunciaremos,

pois os utilizamos em algumas justificativas no decorrer do texto.

Teorema 5.0.8. (Regra da Cadeia). Se f : Rn → Rm e diferenciavel em a e g :

Rm → Rp e diferenciavel em f(a) entao a composta g ◦ f : Rn → Rp e diferenciavel em

a, e

(g ◦ f)′(a) = g′(f(a)) · f ′(a).

Teorema 5.0.9. (Teorem da Funcao Inversa). Seja f : U ⊂ Rn → Rn uma

aplicacao diferenciavel, e suponha que em p ∈ U , a diferencial dfp : Rn → Rn e um

isomorfismo1. Entao existe uma vizinhanca V de p em U e uma vizinhanca W de f(p)

em Rn tal que f : V → W tem inversa diferenciavel f−1 : W → V.

Podemos interpretar a diferencial de uma aplicacao diferciavel da seguinte

forma.

Definicao 5.0.11. Seja f : U ⊂ Rn → Rm uma aplicacao diferenciavel. Associamos a

cada a ∈ U uma aplicacao linear dfa : Rn → Rm (diferencial de f em a), e a definimos

como:

Sejam w ∈ Rn e α : (−ε, ε) → U uma curva diferenciavel2 tal que α(0) = a e

α′(0) = w. Pela regra da cadeia, a curva β = f ◦α : (−ε, ε)→ Rm e tambem diferenciavel.

Entao

dfa(w) = β′(0).

Observacao 5.0.4. De fato, a definicao dada para dfa nao depende da escolha da curva

que passa por a com vetor tangente w. E a demontracao pode ser vista em [2], p. 150.

Definicao 5.0.12. A matriz de dfa : Rn → Rm nas bases canonicas de Rn e Rm, isto

e, a matriz(∂fi∂xj

), i = 1, · · · ,m e j = 1, · · · , n, e chamada a matriz jacobiana de f em

1Trata-se de uma transformacao linear bijetora.2Ver definicao (3.2.7).


a. Quando m = n, a matriz e quadrada e o seu determinante e chamado o determinante

jacobiano, e e denotado por

det

(∂fi∂xj

)=∂(f1, · · · , fn)

∂(x1, · · · , xn).

64

6 Apendice B - Topologia Elementar do Rn

Por ser um espaco vetorial, e possuir uma estrutura metrica induzida pelo

produto interno usual, o espaco Euclidiano Rn possui uma estrutura topologica que, dentre

outras coisas, nos permite definir certos tipos de conjuntos e estudar suas propriedades.

Definicao 6.0.13. Sejam a, b pontos do Rn. Denotamos por d(a, b) ∈ R a distancia

do ponto a ao ponto b. No nosso contexo usaremos a distancia euclidiana dada por:

|a− b| =√∑n

i=1(ai − bi)2, onde a = (a1, ..., an) e b = (b1, ..., bn).

Definicao 6.0.14. Chamamos de bola aberta, bola fechada e esfera, de centro a ∈ Rn e

raio r ∈ R, respectivamente aos conjuntos

B(a, r) = {x ∈ Rn : d(x, a) < r};

B[a, r] = {x ∈ Rn : d(x, a) ≤ r};

S(a, r) = {x ∈ Rn : d(x, a) = r}.

Observacao 6.0.5. Veja que a bola fechada e a uniao disjunta da bola aberta com a esfera,

isto e,

B[a, r] = B(a, r) ∪ S(a, r).

Definicao 6.0.15. Uma topologia num conjunto U e uma colecao τ de partes de U ,

chamados de abertos da topologia, com as seguintes propriedades:

1. ∅ e U pertencem a τ ;

2. Se A1, · · · , An ∈ τ entao A1 ∩ · · · ∩ An ∈ τ ;

3. Dada uma famılia arbitraria (Aλ)λ∈L comAλ ∈ τ para cada λ ∈ L, tem-se⋃λ∈LAλ ∈

τ.

Diremos entao que um espaco topologico e um par (U, τ), onde U e um conjunto

e τ e uma topologia em X. Entretanto, usaremos na maioria das vezes apenas o termo

espaco topologico, ficando subentendido a topologia τ. Ressaltamos ainda que apesar da

definicao pertencer a um contexto mais geral da topologia, nosso interesse neste trabalho

se restringe aos espacos topologicos euclidianos.


Definicao 6.0.16. Um subconjunto A ⊂ Rn e dito aberto se para todo ponto a ∈ A

existe um raio r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A.

Definicao 6.0.17. Um ponto a ∈ A ⊂ Rn e um ponto de acumulacao de A se toda

visinhanca de a em Rn contem um ponto de A distinto de a, isto e,

A ∩B(x, r) \ {x} 6= ∅, ∀r > 0.

Observacao 6.0.6. Tambem chamamos um ponto de acumulacao de um conjunto de ponto

aderente. E sendo A ⊂ Rn, denotaremos por A o conjunto de todos os pontos x ∈ Rn,

tais que x e ponto aderente em A.

Definicao 6.0.18. Um conjunto A ⊂ Rn e fechado se todo ponto de acumulacao de A

pertence a A. Equivalentemente, podemos dizer que A ⊂ Rn e fechado se toda sequencia

convergente (an)n∈N de pontos distintos de A possui limite em A, ou seja, a sequencia

converge para um ponto pertencente ao conjunto A.

Teorema 6.0.10. A ⊂ Rn e fechado se, e somente se,seu complementar Rn \A e aberto.

Demonstracao. Suponha que A seja fechado, e seja p ∈ Rn \ A. Como p nao e ponto de

acumlacao de A, existe r > 0 tal que B(p, r) nao contem pontos de A, isto e B(p, r) ⊂

Rn \ A, logo Rn \ A e aberto.

Reciprocamente, suponha que Rn \ A seja aberto e que p seja um ponto de

acumulacao de A. Provaremos entao que p ∈ A.

Suponha que p 6∈ A, entao existe r > 0 tal que B(p, r) ⊂ Rn\A. Isto implica em

B(p, r) nao conter pontos de A, contrariando a hipotese de p ser um ponto de acumulacao.

Segue que p ∈ A.

Ate agora definimos e observamos algumas caracterısticas de conjuntos abertos

e fechados em Rn, como por exemplo um intervalo aberto, ou mais geral, uma bola aberta

em Rn sao exemplos de conjuntos abertos, e ainda um intervalo fechado ou, analogamente,

uma bola fechada sao alguns exemplos de conjuntos fechados em Rn.

Mas em um contexto mais amplo da topologia, a caracterizacao de conjuntos

nao se restringe simplesmente em abertos ou fechados como, pois podem existir conjuntos

que nao sejam abertos nem fechados, como por exemplo o conjunto Q do numeros racionais

como subconjunto de R, ou ainda conjuntos que sejam caracterizados abertos e fechados,

simultaneamente.


Observacao 6.0.7. Em Rn, os unicos conjuntos que sao abertos e fechados, sumultanea-

mente, e o conjunto vazio ∅ e o proprio Rn.

Teorema 6.0.11. A funcao f : Rn → Rm e contınua se, e somente se, para qualquer

conjunto aberto U ⊂ Rm, a imagem inversa f−1(U) e aberta em Rn.

Demonstracao. Observe que o conjunto f−1(U) e expresso por

f−1(U) = {x ∈ Rn : f(x) ∈ U}.

Suponha que f e contınua. Se U ⊂ Rn e eberto, e a ∈ f−1(U), entao existe ε > 0 tal que

B(f(a), ε) ⊂ U . Como f e contınua, existe δ > 0 tal que f(B(a, δ)) ⊂ B(f(a), ε) ⊂ U.

Como B(a, δ) ⊂ f−1(U), entao segue que f−1(U) e aberto.

Suponha agora que f−1(U) e aberto para todo connjunto aberto U ⊂ Rm. Seja

a ∈ U e ε > 0. Entao A = f−1(B(f(a), ε)) e aberto. Assim, esxiste um δ > 0 tal que

B(a, δ) ⊂ A. Portanto, f(B(p, δ)) ⊂ f(A) ⊂ B(f(a), ε), e f e contınua em a.

Corolario 6.0.1. A funcao f : Rn → Rm e contınua se, e somente se, para qualquer

subconjunto fechado U ⊂ Rm a imagem inversa f−1(U) ⊂ Rn e subconjunto fechado.

Definicao 6.0.19. Um conjunto A ⊂ Rn e dito compacto se, e somente se, todo subcon-

junto infinito B de A possui um ponto de acumulacao em B. Essa afirmacao e equivalente

a dizer que toda sequencia de pontos em A possui uma subsequencia que converge para

um ponto de A.

Como exemplo de subconjuntos que nao sao compactos em Rn, podemos citar

o subconjunto R, pois Z ⊂ R e infinito e nao possui subsequencia convergente.

Outro exemplo de conjunto nao compacto e o intervalo aberto (0, 1) ⊂ R,pois

a sequencia { 1n

: n ∈ N} e um subconjunto infinito de (0, 1) que nao possui subsequencia

convergente porque { 1n

: n ∈ N} possui apenas um ponto de acumulacao, a saber o zero,

que nao pertece ao conjunto.

De forma natural, podemos generalizar o exemplo acima e afirmar que bolas

abertas em Rn nao sao conjuntos compactos1.

Se um conjunto A contido em Rn e finito, entao automaticamente A e compacto

pois, pela nossa definicao, para mostarmos que A nao e compacto terıamos que exibir um

1Ver demonstracao em [7].


subconjunto infinito que nao possuısse sequencia convergente dentro do proprio conjunto,

mas isso e impossıvel uma vez que A e finito.

Definicao 6.0.20. Um subconjunto A ⊂ Rn e limitado se ele esta contido em bola do

Rn.

Definicao 6.0.21. Uma cobertura aberta de um conjunto A ⊂ Rn e uma famılia de

conjuntos abertos {Uα}, α ∈ I tal que⋃α Uα = A. Quando ha apenas um numero finito

na famılia, dizemos que a cobertura e finita. Se a subfamılia {Uβ}, β ∈ I ′ ⊂ I, ainda

cobre A, isto e,⋃β Uβ = A, dizemos que {Uβ} e uma subcobertura de {Uα}.

Teorema 6.0.12. Para um conjunto K ⊂ Rn as seguintes afirmacoes sao equivalentes:

1. K e compacto.

2. (Heine - Borel). Toda cobertura de K tem uma subcobertura finita.

3. (Bolzano - Weierstrass). Todo subconjunto infinito de K tem um ponto de

acumulacao em K.

Demonstracao. Mostraremos as implpicacoes (1)⇒ (2)⇒ (3)⇒ (1).

(1) ⇒ (2) : Seja {Uα}, α ∈ A, uma cobertura de aberta do compacto K, e suponha que

{Uα} nao tenha subcobertura finita.

Como K e compacto, ele esta contido em uma regiao retangular

B = {(x1, · · · , xn) ∈ Rn | aj ≤ xj ≤ bj, j = 1, · · · , n}.

Entao dividimos B pelos hiperplanos2 xj =aj+bj

2. E obtemos assim 2n retangulos fechados

menores. Por hipotese, pelo menos uma das regioes retangulares menores, digamos B1,

e tal que B1 ∩ K nao e coberta por um numero finito de conjuntos abertos de {Uα}.

Dividimos agora B1 de forma analoga e, repetindo este processo, obtemos uma sequencia

de regioes retangulares fechadas

B1 ⊃ B2 ⊃ · · · ⊃ Bi ⊃ · · ·

tal que nenhum Bi ∩K e coberto por um numero finito de conjuntos abertos de {Uα} e

o comprimento do maior lado de Bi converge para zero.

2Em suma estamos subdividindo B em retangulos menores, por exemplo, se K ⊂ R2, entao ultilizando

este metodo iremos dividir K em 22 retangulos.


Afirmamos que existe p ∈ ∩iBi. De fato, projetando cada Bi sobre o eixo j de

Rn, j = 1, · · · , n, obtemos uma sequencia de intervalos fechados

[aj1, bj1] ⊃ [aj2, bj2] ⊃ · · · ⊃ [aji, bji] ⊃ · · ·

Como (bji, aji) e arbitrariamnente pequeno, vemos que aj = sup{aji} = inf{bji} = bj,

donde aj ∈ ∩i[aji, bji]. Assim, p = (a1, · · · , an) ∈ ∩iBi, como afirmamos.

Observe que qualquer vizinhanca de p contem algum Bi, para i suficiente-

mente grande, logo, ela contem um infinidade de pontos de K. Assim, p e um ponto de

acumulacao de K, e como K e fechado, p ∈ K.

Seja U0 um elemento da famılia {Uα} que contem p, como U0 e aberto, existe

uma bola B(p, ε) ⊂ U0. Por outro lado, para i suficientemente grande, Bi ⊂ B(p, ε) ⊂ U0,

contrariando o fato de que nenhum Bi ∩ K pode ser coberto por um numero finito de

elementos de {Uα}, e portanto temos que K possui uma subcobertura finita.

(2)⇒ (3) : Suponha que A e um subconjunto infinito de K, e que nenhum ponto de K e

um ponto de acumulacao de A. Entao e possıvel, para cada p ∈ K, p 6∈ A, escolher uma

vizinhanca3 Vp de p tal que Vp∩A 6= ∅, e para cada q ∈ A escolher uma vizinhanca Wq de

q tal que Wq∩A = q. Assim, a famılia {Vp,Wq}, p ∈ K \A, q ∈ A, e uma cobertura aberta

de K. Como A e infinito e a omissao de qualquer Wq da famılia deixa o ponto q sescoberto,

a famılia {Vp,Wq} nao tem uma subcobertura finita, e isso contradiz a afirmacao (2).

(3) ⇒ (1) : De fato K e fechado, pois se p e um ponto de acumulacao de K, tomando

bolas concentricas B(p, 1i) = Bi, obtemos uma sequencia

p1 ∈ B1 −B2, p2 ∈ B2 −B3, · · · , pi ∈ Bi −Bi+1 · · ·

E essa sequencia p como ponto de acumulacao, e logo p ∈ K.

Corolario 6.0.2. Todo subconjunto A ⊂ Rn e compacto se, e somente se e fechado e

limitado.

Corolario 6.0.3. Todo subconjunto fechado de um conjunto compacto em Rn e compacto

Teorema 6.0.13. Se A e um subconjunto compacto de Rm e B e um subconjunto compacto

de Rn, entao A×B e um subconjunto compacto de Rm+n.

3Trata-se de uma bola aberta com centro em p.


Demonstracao. Tome uma sequencia (c1)i∈N = (ai, bi)i∈N de pontos de A × B. Como

A e compacto, a sequencia (ai)i∈N possui uma subsequencia (aij)j∈N que converge para

um ponto a ∈ A. Analogamente, como B e compacto, a sequencia (bi)i∈N possui uma

subsequencia (bij)j∈N que converge para um ponto b ∈ B. Basta entao pbservar que a

sequencia (aij , bij)j∈N e uma subsequencia da sequencia (ai, bi)i∈N que converge para o

ponto (a, b) ∈ A×B.

Lema 6.0.1. Seja f : Rn → Rm uma funcao contınua em a ∈ Rn. Se (ai)i∈N e uma

sequencia que converge para a, entao a sequencia (f(ai))i∈N converge para o ponto f(a).

Teorema 6.0.14. Se A e um subconjunto compacto de Rn, e f : Rn → Rm e contınua,

entao f(A) ⊂ Rm e compacto.

Demonstracao. Se f(A) e finito nao ha o que provar. Suponha entao que f(A) nao seja

finito e tome um subconjunto infinito T ⊂ f(A). Temos que provar que T contem uma

sequencia de pontos que converge para um pono em f(A). Para tanto, tome o conjunto

infinito S = f−1(A) de pontos de A, e como, por hipotese, A e compacto, S contem uma

sequencia (ai)i∈N que converge para um ponto a em A. Como f e contınua, pelo lema

anterior temos que (f(ai))i∈N −→ f(a) e o resultado esta provado.

Teorema 6.0.15. De D e um subconjunto compacto de Rn e f : D → R e uma funcao

contınua, entao f atinge valor maximo e mınimo em pontos de D, isto e, existe pontos a

e b em D tais que f(a) ≤ f(x) ≤ f(a) para todo x ∈ D.

Demonstracao. Faremos a demonstracao somente para o valor maximo, pois para o valor

mınimo o argumento e similar.

Pelo teorema anterior sabemos que f(D) e um subconjunto compacto de R, isto e, f(D)

e fechado e limitado, e assimm existe sup f(D) = b tal que t ≤ b ∀t ∈ f(D). Queremos

provar que b ∈ f(D). Para isso observe que, para todo n ∈ N, existe um ponto tn ∈ f(D)

com b − 1n< tn < b. Mas entao a sequencia (tn)n∈N −→ b e o ponto b e um ponto

de acumulacao de f(D) logo, pela compacidade de f(D), b ∈ f(D) e o teorema esta

provado.

Definicao 6.0.22. Um espaco topologico U e dito de Hausdorff se, para quaisquer dois

ponto distintos p, q ∈ U, existem abertos A1, A2, com p ∈ A1 e q ∈ A2 tais que A1∩A2 = ∅.

Definicao 6.0.23. Uma colecao B de abertos de um espaco topologico U chama-se uma

base quando todo aberto A ⊂ U se exprime como reuniao de conjuntos Bα ∈ B, isto e,


A =⋃αBα. Equivalentemente, dados arbitrariamente A aberto, e p ∈ A, entao existe

B ∈ B tal que p ∈ B ⊂ A.

Definicao 6.0.24. Dizemos que um espaco topologico U possui base enumeravel, quando

existe uma colecao enumeravel B = {B1. · · · , Bn, · · · } de abertos em U tais que, todo

aberto em U e a reuniao de conjuntos Bα.

Referencias Bibliograficas

[1] APOSTOL, T., Calculus. vol. II. 2a ed. New York: Jhon Wiley, 1969.

[2] DO CARMO, M. P., Geometria Diferencial de Curvas e Superfıcies. 3a ed.

Rio de Janeiro: SBM, 2008.

[3] DO CARMO, M. P., Differential Forms and Applications. 1a ed. Germany:

Springer - Verlag, 1994.

[4] EDUARDS Jr., C. H. Advanced Calculus of Several Variables. 1a ed. New York:

Dover, 1994.

[5] KOSTRIKIN, A. I.; MANIN, Y. I. Linear Algebra and Geometry. New York:

Gordon and Breach, 1981.

[6] LIMA, E. L. Algebra Exterior. 1a ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2009.

[7] LIMA, E. L., Elementos de Topologia Geral. Rio de Janeiro: Ao Livro Tecnico,

1970.

[8] LIMA, E. L. Espacos Metricos. 4a ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2009.

[9] MARDSEN, J. E.; R, T.; ABRAHAM, R., Manifolds, Tensor Alalysis and Ap-

plications. 3a Ed. New York: Springer - Verlag, 2001.

[10] PINTO, D; MORGADO, M. C. F. Calculo Diferencial e Integral de Funcoes

de Varias Variaveis. 3a ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2008.

[11] SPIVAK, M. Calculus on Manifolds. Massachusetts: Addison - Wesley, 1965.

Indice Remissivo

aplicacao multilinear, 31

base, 69

enumeravel, 70

bola

aberta, 64

fechada, 64

campo vetorial, 10, 11, 37

conservativo, 14

diferenciavel, 37

divergente, 28

rotacional, 26

unitario, 22

cobertura aberta, 67

conjunto

aberto, 65

compacto, 66

domınio, 17

fechado, 65

limitado, 67

simplesmente conexo, 17

curva, 10

diferenciavel, 47, 62

fechada, 11

parametrizada, 10

derivada

direcional, 61

parcial, 61

determinante

jacobiano, 24

difeomorfismo, 49

local, 49

diferencial, 60

diferencial exterior, 43

distancia euclidiana, 64

esfera, 64

espaco

de Hausdorff, 69

tangente, 37, 39, 48

topologico, 64

estrutura diferenciavel, 46

formula, 11

comprimento de arco, 11, 12

mudanca de variaveis, 52

famılia, 46

fluxo, 23

forca, 9, 10

forma diferencial, 40

de grau 0, 41

em variedade, 50

de grau 2, 39

forma exterior, 40

de grau 1, 38

de grau 2, 39

em uma varirdade, 49

representacao local, 50

fronteira

regiao, 15

funcao

contınua, 66

72

INDICE REMISSIVO 73

diferenciavel, 60

escalar, 11

potencial, 14

homeomorfismo, 46

integral

de linha, 11

de superfıcie, 21

forma diferencial, 51

k-tensor, 31

alternado, 34

parametrizacao

equivalente, 12, 24

orientacao, 12

particao da unidade, 53

subordinada, 53

particao regular, 9

permutacao, 32

representacao, 33

sinal, 33

plano tangente, 20

ponto

aderente, 65

de acumulacao, 65

de fronteira, 54

produto exterior, 35, 41

produto tensorial, 31

de ordem superior, 37

regiao

de tipo I, 15

de tipo II, 15

simples, 15

regra da cadeia, 62

semi - espaco, 54

sistema de coordenadas, 46

superfıcie

area, 21

bordo, 26

elemento de area, 22

orientada, 22

orientada positivamente, 28

regular, 20, 46

representacao explıcita, 19

representacao implıcita, 19

representacao parametrica, 19

suporte, 51

teorema

Bolzano - Weierstrass, 67

da funcao inversa, 62

de Gauss, 28

de Green, 16

de Stokes, 26, 56

fundamental do calculo, 14

Heine - Borel, 67

topologia, 64

trabalho, 9, 10

transposicao, 33

variedade

com fronteira, 54

compacta, 47

diferenciavel, 46

fronteira, 55

orientavel, 50

vetor tangente, 20

INDICE REMISSIVO 74

vizinhanca coordenada, 46

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