Introdução à Neurociência Computacional (Graduação)– Antonio Roque – Aula 13

1

O Modelo de FitzHugh-Nagumo

A partir da análise do modelo de Hodgkin-Huxley no plano de fase rápido-lento (veja a aula 12),

FitzHugh propôs um modelo bi-dimensional muito simples, mas capaz de produzir oscilações

qualitativamente similares aos disparos de um neurônio.

FitzHugh sabia muito bem que suas equações não forneciam uma descrição detalhada dos potenciais de

ação de um neurônio, mas, como ele mesmo disse (FitzHugh, 1969): “para alguns propósitos é útil ter um

modelo de uma membrana excitável que seja matematicamente tão simples quanto possível, mesmo que

os resultados experimentais sejam reproduzidos de forma menos precisa”.

O modelo de FitzHugh (1961), posteriormente aperfeiçoado por Nagumo et al. (1962) e, por isso,

chamado hoje em dia de modelo de FitzHugh-Nagumo, possui duas variáveis: a voltagem de membrana V

(variável rápida) e uma variável de repolarização lenta w. A variável w pode ser interpretada como

representando o efeito dominante da condutância de K+ para fora da célula após o pico do potencial de

ação.

As equações do modelo de FitzHugh-Nagumo são as seguintes:

injIwVVdtdV

+−−=3

3

τ (1)

abVwdtdw

w ++−=τ . (2)

Diferentes autores usam diferentes valores para os parâmetros dessas equações. Aqui, vamos usar os

seguintes valores (Wilson, 1999): τ = 0,1 ms; τw = 1,25 ms; b = 1,25; e a = 1,5. Iinj é a corrente injetada na

membrana e será tratada como um parâmetro livre, podendo assumir diferentes valores. Note que a

constante de tempo para V é bem menor que a constante de tempo para w, refletindo o fato de que os

processos de ativação do potencial de membrana são bem mais rápidos que os processos de repolarização.

As equações que serão consideradas nesta aula são, portanto:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−= injIwVV

dtdV

310

3

(3)

( )5,125,18,0 ++−= Vwdtdw

. (4)

Consideremos inicialmente o caso em que Iinj = 0. Para este caso, as equações das isóclinas nulas de V e w

podem ser obtidas fazendo dV/dt = 0 e dw/dt = 0. Isto nos dá as seguintes equações:

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2

!Lista!4!

Rodrigo!Felipe!de!Oliveira!Pena!N!USP!6789043!

Neurociência!Computacional!!!!!

Questão!1!!

a)!Para$esta$questão$foi$utilizado$o$modelo$de$FitzHugh6Nagumo$com$os$parâmetro$dados$na$lista:$$

!"!" = 10 ! − !

!

3 − ! + !!"# $!"!" = 0,8 −! + 1,25!!+ !1,5 $

$Considerando$!!"# = 0,$ obter$ as$ isóclinas$ nulas$ pode$ ser$ feito$ ao$ igualar$ os$ termos$ das$derivadas$a$zero:$$

!"!" = 0$

$!"!" = 0$

$Assim,$teremos:$$

!! = !! − !!

3 $$

! = 1,25!!+ !1,5$$que$ são$ as$ isóclinas$ nulas.$ Em$ seguida,$ traçando$ essas$ equação$ em$ um$ plano$ de$ fase$(!!!!!),$temos:$$

(5)

(isóclina nula de V)

e

!Lista!4!

Rodrigo!Felipe!de!Oliveira!Pena!N!USP!6789043!

Neurociência!Computacional!!!!!

Questão!1!!

a)!Para$esta$questão$foi$utilizado$o$modelo$de$FitzHugh6Nagumo$com$os$parâmetro$dados$na$lista:$$

!"!" = 10 ! − !

!

3 − ! + !!"# $!"!" = 0,8 −! + 1,25!!+ !1,5 $

$Considerando$!!"# = 0,$ obter$ as$ isóclinas$ nulas$ pode$ ser$ feito$ ao$ igualar$ os$ termos$ das$derivadas$a$zero:$$

!"!" = 0$

$!"!" = 0$

$Assim,$teremos:$$

!! = !! − !!

3 $$

! = 1,25!!+ !1,5$$que$ são$ as$ isóclinas$ nulas.$ Em$ seguida,$ traçando$ essas$ equação$ em$ um$ plano$ de$ fase$(!!!!!),$temos:$$

(6)

(isóclina nula de w).

O gráfico de w versus V (plano de fase) para este caso está mostrado abaixo.

1. As equações que serão consideradas nesta questão são:

𝑑𝑉𝑑𝑡

= 10 (𝑉 − 𝑉3

3− 𝑤 + 𝐼𝑖𝑛𝑗) ------------------------------------------- (1)

𝑑𝑤𝑑𝑡

= 0,8(−𝑤 + 1,25𝑉 + 1,5) ------------------------------------------ (2)

a) Considerando Iinj = 0, pode-se obter as isóclinas nulas de V e w igualando as derivadas das equações (1) e (2) a zero.

De (1), temos:

𝑑𝑉𝑑𝑡

= 10(𝑉 −𝑉3

3− 𝑤) = 0

10(𝑉 −𝑉3

3− 𝑤) = 0

𝑤1 = 𝑉 −𝑉³3

De (2), temos:

𝑑𝑤𝑑𝑡

= 0,8(−𝑤 + 1,25𝑉 + 1,5) = 0

0,8(−𝑤 + 1,25𝑉 + 1,5) = 0

𝑤2 = 1,25𝑉 + 1,5

Plotando o gráfico de w versus V, obtemos então:

b) Igualando w1 com w2 podemos obter os pontos os quais as curvas das isóclinas nulas se cruzam e assim obter os pontos de equilíbrio do sistema.

Só existe um ponto de intersecção entre as duas isóclinas nulas, portanto só há um ponto de equilíbrio. Os

valores de V e w nesse ponto são: V = −1,5 e w = −0,375 (mostre isso como exercício).

Para analisar a estabilidade desse ponto de equilíbrio, devemos primeiramente linearizar o sistema de

equações (3)-(4). Para fazer isso, vamos considerar pequenas perturbações em torno do ponto de

equilíbrio:

V = V* + δV

w = w* + δw,

onde (V*, w*) é o ponto de equilíbrio do sistema (V* = −1,5, w* = −0,375).

Substituindo estas expressões no sistema de equações (3)-(4) e desprezando os termos de ordem

quadrática ou superior em δV e δw obtemos (note que dV*/dt = dw*/dt = 0):

!(!" + !∗)!" = 10 !" + !∗ − (!" + !

∗)!3 − (!" + !∗) $

!(!" + !∗)!" = 0,8 −(!" + !∗)+ 1,25(!" + !∗) !+ !1,5 $

$$rearranjando$estas$equações$e$simplificando$os$termos$de$segunda$ordem,$é$obtido:$$$$

!(!")!" = 10(1− !∗!)!"!− !10!"$

!(!")!" = !" − 0,8!"$

$$Este$resultado$em$forma$matricial$e$com$o$ponto$de$equilíbrio$(!∗ = −1,5!; !!!∗ = −2,6)$irá$fornecer:$$

!(!")!"

!(!")!"

!= ! −12,5!!!!!!!!!!− 10!!!1!!!!!!!!!!!!− 0,8 ! !!"!" $

$onde$encontramos$a$matriz$jacobiana.$$Outra$maneira$de$se$encontrar$a$matriz$jacobiana$do$sistema$é$apresentada$abaixo.$Esta$pode$ser$escrita$como$em$função$das$suas$derivadas$parciais$da$seguinte$forma:$$

!! = !!!!!" !!!!!

!!!!"

!!!!" !!!!!

!!!!"

$

$onde$!! = !!" !"$e$!! = !!" !".$$Assim,$realizando$as$derivadas$parciais$nas$duas$equações$do$sistema,$teremos:$$$

!! = ! 10(1− !∗!) !!!!!!!− 10

1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!− 0,8 $$$Observa6se,$ como$ já$ foi$ apontado$na$questão,$ que$para$ cada$ponto$de$ equilíbrio$haverá$uma$matriz$jacobiana$diferente.$No$caso,$aplicaremos$então$o$ponto$que$se$deseja$estudar$(! = −1,5!; !!! = −2,6), obtendo:$$$

!! = ! −12,5!!!!!!!!!!− 10!!!1!!!!!!!!!!!!− 0,8 ! $$

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Esse sistema pode ser escrito em forma matricial como:

(7)

ond

(8)

A matriz ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

srqp é chamada de matriz jacobiana do sistema no ponto de equilíbrio (V*, w*). Cada ponto

de equilíbrio de um sistema tem uma matriz jacobiana diferente.

Para analisar o tipo de estabilidade de um dado ponto de equilíbrio, é necessário determinar os

autovalores da sua matriz jacobiana. Os livros de texto sobre Álgebra Linear ensinam como calcular os

autovalores e os autovetores de uma matriz arbitrária.

Seja uma matriz L = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

srqp . Para encontrar os seus autovalores, deve-se resolver a chamada equação

característica:

.0det =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−

λ

λ

srqp

Esta equação pode ser posta na forma polinomial (p – λ)(s – λ) – qr = 0, ou:

,02 =Δ+−τλλ

onde

spL +== tr τ e qrpsL −==Δ det

são, respectivamente, o traço e o determinante da matriz L. A forma polinomial quadrática acima tem

duas soluções da forma:

242

1Δ−+

=ττ

λ e 242

2Δ−−

=ττ

λ , (9)

que são números reais (quando τ2 – 4Δ ≥ 0) ou complexos conjugados (quando τ2 – 4Δ < 0).

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Em geral, uma matriz 2x2 têm dois autovalores com autovetores distintos, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

12

111 v

vv e ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

22

212 v

vv . Nesses

casos, a solução geral do sistema linearizado é da forma:

,221121 vecvec

wV tt λλ

δ

δ+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (10)

onde c1 e c2 são constantes que dependem das condições iniciais.

Quando os dois autovalores são reais e negativos, ou complexos com as partes reais negativas, a equação

(10) implica que as perturbações δV e δw decaem para zero com o tempo e, portanto, o ponto de

equilíbrio (V*, w*) é assintoticamente estável.

Quando pelo menos um dos autovalores é real e positivo, ou é complexo com a parte real positiva, então o

ponto de equilíbrio (V*, w*) é instável.

Voltando ao nosso caso, os autovalores da matriz em (8) são

λ1 = −1,73 e λ2 = −11,57.

Portanto, como os autovalores são reais e negativos o ponto de equilíbrio do modelo de FitzHugh-

Nagumo para Iinj = 0 é estável.

Os autovalores da matriz jacobiana de um ponto de equilíbrio também determinam a maneira como o

sistema converge (ou diverge) para o ponto de equilíbrio nas suas vizinhanças no plano de fase. Há três

tipos de convergência (ou divergência), correspondendo a três tipos de pontos de equilíbrio chamados na

literatura de nó, sela e foco (ou espiral).

Um nó ocorre quando os autovalores são reais e do mesmo sinal. Se eles forem negativos, o nó é estável,

e se eles forem positivos o nó é instável.

Um ponto de sela ocorre quando os autovalores são reais e de sinais opostos. Os pontos de sela são

sempre instáveis.

Um foco ocorre quando os autovalores são complexos conjugados. Quando as suas partes reais são

negativas, o foco é estável, e quando as suas partes reais são positivas o foco é instável.

A figura abaixo, adaptada do livro de Izhikevich (2007), ilustra os tipos de convergência (divergência).

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5

Quando os dois autovalores forem puramente imaginários, isto é, forem números complexos com suas

partes reais nulas, então o ponto de equilíbrio é chamado de centro. Neste caso, as trajetórias do sistema

são órbitas fechadas em torno do ponto de equilíbrio (veja a figura abaixo).

Um centro é um ponto de equilíbrio chamado de neutralmente estável.

Todos os tipos de estabilidade de um ponto de equilíbrio podem ser mostrados em um gráfico de τ versus

Δ (o traço da matriz jacobiana versus o seu determinante). A figura abaixo, reproduzida de Izhikevich

(2007), ilustra isso (a linha indicada na figura como bifurcação de Andronov-Hopf corresponde à região

do plano τ versus Δ para a qual os pontos de equilíbrio são centros). Na figura, a região pintada indica os

valores de τ e Δ para os quais ocorrem pontos de equilíbrio estáveis.

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6

Voltando ao nosso caso, como os dois autovalores são reais e negativos, o ponto de equilíbrio do modelo

de FitzHugh-Nagumo para Iinj = 0 é um nó estável.

Se os autovalores da matriz jacobiana de um ponto de equilíbrio forem reais e não nulos, ou complexos

conjugados com a parte real diferente de zero, então o ponto de equilíbrio é chamado de hiperbólico

(estável ou instável).

A importância dos pontos de equilíbrio hiperbólicos é que, segundo o teorema de Hartman-Grobman

(Izhikevich, 2007), o seu tipo de estabilidade é robusto, isto é, o tipo de estabilidade determinado pela

linearização do sistema (como feito acima) mantém-se para o sistema não-linear sem desprezar os termos

de ordem superior em δV e δw. Dizemos que a dinâmica do sistema não linear nas vizinhanças de um

ponto de equilíbrio hiperbólico é topologicamente equivalente à dinâmica da sua versão linearizada. Isto

quer dizer que os termos de ordem superior que foram desprezados na análise linearizada do sistema não

desempenham qualquer papel qualitativo na sua dinâmica.

Em linguagem mais matemática, em tal caso existe um homeomorfismo (uma deformação contínua com

inversa contínua) que mapeia o plano de fase do sistema linearizado no plano de fase do sistema não-

linear. As trajetórias e as direções das setas são preservadas quando se mapeia um diagrama no outro.

Em uma linguagem mais livre, dois planos de fase topologicamente equivalentes são como versões

distorcidas um do outro. Eles podem estar dobrados ou esticados (mas não rasgados), de maneira que

trajetórias fechadas em um plano continuam fechadas no outro.

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7

Quando um ponto de equilíbrio tem autovalores reais nulos, ou complexos conjugados com a parte real

nula, ele é chamado de não-hiperbólico. Os pontos de equilíbrio não-hiperbólicos não são robustos e a

técnica de linearização não pode determinar o seu tipo de estabilidade no caso geral.

O aparecimento de autovalores reais nulos ou de complexos conjugados com a parte real nula ocorre

quando o ponto de equilíbrio passa por uma bifurcação (veja o diagrama do livro de Izhikevich (2007)

acima).

Voltando ao nosso caso, como os autovalores do modelo de FitzHugh-Nagumo para Iinj = 0 são reais e

não nulos, o ponto de equilíbrio para este caso é hiperbólico.

Na lista 5, você continuará a análise iniciada nesta aula para os casos em que Iinj = 0,5 e Iinj = 1,5.

Referências

FitzHugh, R., Impulses and physiological states in models of nerve membrane. Biophysical Journal,

1:445-466, 1961.

FitzHugh, R., Mathematical models of excitation and propagation in nerve. In: Schwan, H. P. (Ed.),

Biological Engineering, Nova York: McGraw-Hill, 1969, pp. 1-85.

Izhikevich, E. M., Dynamic Systems in Neuroscience: the geometry of excitability and bursting.

Cambridge, MA: MIT Press, 2007.

Nagumo, J. S., Arimoto, S., and Yoshizawa, S., An active pulse transmission line simulating nerve axon.

Proceedings of the IRE, 50:2061-2070, 1962.

Wilson, H., Spikes, Decisions and Actions: the dynamical foundations of neuroscience. Oxford: Oxford

University Press, 1999.

http://www.scholarpedia.org/article/FitzHugh-Nagumo_model