o Metodo Diferencas Finitas
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UNIVERSIDADE DA AMAZÔNIA
ALEXANDRE ANDRADE BRANDÃO SOARES
O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO À
TEORIA DAS VIGAS
BELÉM/PA
DEZEMBRO – 2010
ii
ALEXANDRE ANDRADE BRANDÃO SOARES
O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO À
TEORIA DAS VIGAS
Trabalho de conclusão de curso apresentado ao curso de Engenharia Civil da Universidade da Amazônia como requisito para obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil. Orientador: Prof. D.Sc.Selênio Feio da Silva.
BELÉM/PA
DEZEMBRO – 2010
iii
ALEXANDRE ANDRADE BRANDÃO SOARES
O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO À
TEORIA DAS VIGAS
Trabalho de conclusão de curso apresentado ao curso de Engenharia Civil da Universidade da Amazônia como requisito para obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil. Orientador: Prof. D.Sc.Selênio Feio da Silva.
Banca examinadora:
Professor Selênio Feio da Silva, D. Sc.
(Orientador)
Professor Leonardo Augusto Lobato Bello, D. Sc.
(Examinador Interno)
Professor Evaristo Clementino Rezende dos Santos Junior, M. Sc.
(Examinador Interno)
Apresentado em: / / /
Conceito: ____________
BELÉM/PA
DEZEMBRO – 2010
iv
Dedicado à
Universidade da Amazônia.
v
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus pela minha existência.
A Universidade da Amazônia (UNAMA) por me proporcionar uma formação
profissional e humana, em especial a professora Marlene Vianna.
Aos professores do curso de Engenharia Civil pelos ensinamentos passados
durante estes cinco anos de curso.
Agradecimento especial ao professor Selênio Feio da Silva pela dedicação e
paciência de ensinar e me orientar na pesquisa, iniciação científica e
principalmente neste TCC.
A minha família e em especial ao meu avô Arthur, minha avó Celeste, minha
tia-avó Izaura, minha mãe Regina e irmãs Verena e Erida por terem me
ensinado através do convívio os caminhos corretos a seguir na vida.
Aos amigos que fiz durante o curso que muito me ajudaram e ensinaram:
André Bueno, Anselmo Moraes, Felipe Ribeiro, Jeferson Bezerra, Mariana
von Paumgartten e Murilo Rocha.
Por fim, agradeço a banca examinadora que aceitou humildemente meu
convite para participar desta defesa de conclusão de curso.
vi
RESUMO
O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO À TEORIA DAS
VIGAS
Autor: Alexandre Andrade Brandão Soares.
Orientador: Selênio Feio da Silva.
Trabalho de Conclusão de Curso – Engenharia Civil.
Belém-Pa, dezembro de 2010.
Neste trabalho, serão apresentados alguns conceitos sobre estruturas civis,
de forma a lembrar da classificação dos vínculos e os tipos de estruturas que
existem. Além de expor a morfologia das peças estruturais, serão mostrados
os tipos de esforços que atuam em uma estrutura.
Visto isso, uma abordagem sobre o estudo de vigas será feita, através de
suas classificações quanto ao tipo de seus apoios e a origem de seus
carregamentos. Ira ser mostrado um estudo sobre flexão nas vigas e as
possíveis deformações que nela podem ocorrer. Além disso, apresentam-se
as Teorias de Euler e Timoshenko, suas semelhanças e diferenças.
Mostra-se o Método das Diferenças Finitas e os seus operadoresadvindos
da expansão em série de Taylor, para posteriormente aplicá-los em alguns
exemplosde viga, supondo que a mesma se enquadra na Teoria de Euler
para o comportamento estático. Tem-se como objetivo calcular as flechas
adimensionais em uma viga engastada-livre, bi-apoiada e uma viga bi-
engastada.
Palavra-chave: Engenharia Estrutural. Viga de Euler. Método da Integração Dupla.
Método das Diferenças Finitas.
vii
ABSTRACT
THE METHOD OF FINITE DIFFERENCES APPLIED TO THE THEORY OF
BEAMS
Author: Alexandre Andrade Brandão Soares.
Supervisor: Selênio Feio da Silva.
End of Course Work- Civil Engineering.
Belém-Pa, december 2010.
In this paper, some concepts of civil structures will be presented, in order to
remember the classification of links and the types of structures that exist.
Besides discussing the morphology of structural components, will be shown
the types of stresses that act on a structure.
In addition, one approach to the study of beams will be made through their
ratings on the type of support and the origin of their loads. Will be shown a
study about flexion on beams and possible deformations that can occur in it.
Furthermore, the similarities and differences between the Euler and
Timoshenko theories will be presented.
It shows the Method of Finite Differences and their operators coming from the
Taylor expansion series, and later apply them to some examples of the
beams, assuming that it fits with the theory of Euler for the static behavior. It
has the objective to calculate the dimensionless arrows in a beam clamped-
free, bi-supported and a bi-clamped beam.
Keyword: Structural Engineering. Euler beam. Double Integration Method. Finite
Difference Method.
viii
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 –Estrutura em forma de arco ........................................................ 5
Figura 2.2 –Tipos de estruturas na construção civil ....................................... 6
Figura 2.3 – Simbologia para apoio do 1º grau .............................................. 6
Figura 2.4–Simbologia para apoio do 2º grau ................................................ 7
Figura 2.5–Simbologia para apoio do 3º grau ................................................ 7
Figura 2.6–Estrutura hipostática .................................................................... 8
Figura 2.7–Estrutura hiperestática ................................................................. 9
Figura 2.8 – Estrutura isostática ..................................................................... 9
Figura 2.9 – Exemplo de peças estruturais lineares (vigas e pilares) .......... 10
Figura 2.10 – Elementos bi-dimensionais .................................................... 11
Figura 2.11 – Elemento tri-dimensional ........................................................ 11
Figura 2.12 – Esforços ativos e reativos ...................................................... 12
Figura 2.13 – Esforços internos solicitantes ................................................. 13
Figura 2.14 – Equilíbrio elástico no corpo em equilíbrio ............................... 13
Figura 2.15 – Esforço normal em um corpo sólido ....................................... 14
Figura 2.16–Esforço cortante em um corpo sólido ....................................... 14
Figura 2.17 – Momento fletor em um corpo sólido ....................................... 15
Figura 2.18 – Momento torço em um corpo sólido ....................................... 15
Figura 3.1–Principais tipos de vigas existentes............................................ 17
Figura 3.2–Exemplo de carregamento concentrado .................................... 18
Figura 3.3–Cargas distribuídas ao longo da viga ......................................... 18
Figura 3.4–Flexão em viga ........................................................................... 19
Figura 3.5–Deslocamento excessivo devido à flecha .................................. 20
Figura 3.6–Ângulo de rotação ...................................................................... 20
Figura 3.7–Comportamento estático de uma viga ........................................ 21
Figura 3.8–Viga convencional de Euler-Bernoulli ......................................... 24
Figura 3.9 – Esforços atuantes na viga de Euler-Bernoulli .......................... 25
Figura 3.10–Teoria da flexão de vigas de Timoshenko ................................ 26
Figura 3.11–Empenamento das seções devido o esforço P ........................ 28
Figura 4.1 –Interpretação geométrica para a derivada ................................ 31
Figura 4.2–Viga engastada .......................................................................... 34
Figura 4.3–Viga com apoio do 2º gênero ..................................................... 35
Figura 4.4–Viga com extremidade livre ........................................................ 36
ix
Figura 4.5–Viga com apoio do deslizante .................................................... 37
Figura 5.1–Viga bi-apoiada .......................................................................... 41
Figura 5.2 – Viga bi-apoiada e discretizada com 3 nós em diferenças finitas
(comportamento estático) ............................................................................ 44
Figura 5.3 – Viga bi-apoiada e discretizada com 5 nós em diferenças finitas
(comportamento estático) ............................................................................ 46
Figura 5.4 – Viga bi-apoiada e discretizada com 7nós em diferenças finitas
(comportamento estático) ............................................................................ 49
Figura 5.5 – Viga bi-apoiada e discretizada com 9 nós em diferenças finitas
(comportamento estático) ............................................................................ 52
Figura 5.6 – Viga bi-apoiada e discretizada com 11 nós em diferenças finitas
(comportamento estático) ............................................................................ 56
Figura 5.7 – Viga bi-apoiada e discretizada com 19 nós em diferenças finitas
(comportamento estático) ............................................................................ 61
Figura 5.8 – Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das
flechas para viga bi-apoiada ........................................................................ 70
Figura 5.9 – Viga engastada-livre ................................................................ 71
Figura 5.10 – Viga engastada-livre e discretizada com 3 nós em diferenças
finitas (comportamento estático) .................................................................. 74
Figura 5.11 – Viga engastada-livre e discretizada com 5 nós em diferenças
finitas (comportamento estático) .................................................................. 77
Figura 5.12 – Viga engastada-livre e discretizada com 7 nós em diferenças
finitas (comportamento estático) .................................................................. 80
Figura 5.13 – Viga engastada-livre e discretizada com 9 nós em diferenças
finitas (comportamento estático) .................................................................. 84
Figura 5.14 – Viga engastada-livre e discretizada com 11 nós em diferenças
finitas (comportamento estático) .................................................................. 88
Figura 5.15 – Viga engastada-livre e discretizada com 13 nós em diferenças
finitas (comportamento estático) .................................................................. 92
Figura 5.16 – Viga engastada-livre e discretizada com 15 nós em diferenças
finitas (comportamento estático) .................................................................. 98
Figura 5.17 – Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das
flechas para viga engastada-livre ............................................................... 104
Figura 5.18 – Viga bi-engastada ................................................................ 105
x
Figura 5.19 – Viga bi-engastada e discretizada com 3 nós em diferenças
finitas (comportamento estático) ................................................................ 107
Figura 5.20 – Viga bi-engastada e discretizada com 5 nós em diferenças
finitas (comportamento estático) ................................................................ 108
Figura 5.21 – Viga bi-engastada e discretizada com 7 nós em diferenças
finitas (comportamento estático) ................................................................ 110
Figura 5.22 – Viga bi-engastada e discretizada com 9 nós em diferenças
finitas (comportamento estático) ................................................................ 112
Figura 5.23 – Viga bi-engastada e discretizada com 11 nós em diferenças
finitas (comportamento estático) ................................................................ 114
Figura 5.24 – Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das
flechas para viga bi-engastada .................................................................. 118
xi
LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1 – Representação esquemática para a diferencial central ........... 38
Tabela 4.2 – Representação das condições de contorno para a diferencial
central .......................................................................................................... 39
Tabela 5.1 – Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das
Flechas para viga bi-apoiada ....................................................................... 69
Tabela 5.2 – Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das
Flechas para viga engastada-livre ............................................................. 104
Tabela 5.3 – Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das
Flechas para viga bi-engastada ................................................................. 117
xii
LISTA DE SIMBOLOS, NOMENCLATURAS E ABREVIAÇÕES
- 2ª derivada parcial em x
- 3ª derivada parcial em x
- 4ª derivada parcial em x
- Somatório contínuo (integral)
- Somatório discreto
- Forças horizontais
- Forças verticais
- Cargas distribuídas
- Equação da curva elástica
- Equação da rotação
- Erro percentual relativo
- Derivada parcial em x
A - Seção de viga
a; b - Distâncias da carga P para os apoios
E - Módulo de elasticidade
h - Altura da seção transversal de uma viga
L - Comprimento de uma viga
M - Momento fletor
MDF - Método das Diferenças Finitas
MID - Método da Integração Dupla
P - Carga concentrada
q; -q - Esforços distribuídos de maneira aleatória
R, R1, R2 e Ra
- Reações de apoio
β ; Ф - Giro suplementar
θ - Ângulo de rotação
- Compressão
- Momento de inércia
- Equação do momento
- Esforço normal
- Momento torço
- Tração
- Esforço cortante ou de Cisalhamento
- Constante de integração
xiii
- Carregamento distribuído
- Flecha
- Flecha adimensional
- Deformação linear unitária
xiv
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ........................................................................................... 1
1.1 GENERALIDADES ................................................................................... 1
1.2 O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ............................................... 2
1.3 OBJETIVOS .................................................................................................................. 2
1.3.1 Objetivo Geral ...................................................................................... 2
1.3.2 Objetivo Específico ............................................................................. 3
2. BREVE REVISÃO ESTRUTURAL ........................................................... 4
2.1 INTRODUÇÃO ......................................................................................... 4
2.2 CONCEITO DE ESTRUTURA ................................................................ 5
2.3 EQUILÍBRIO DOS CORPOS .................................................................. 6
2.3.1 Vínculos ou apoios ............................................................................. 6
2.4 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS .................................................. 8
2.4.1 Estruturas Hipostática ........................................................................ 8
2.4.2 Estruturas Hiperestática ..................................................................... 8
2.4.3 Estruturas Isostática ........................................................................... 9
2.5 ELEMENTOS ESTRUTURAS ............................................................... 10
2.5.1 Elementos unidimensionais ou lineares ......................................... 10
2.5.2 Elementos bi-dimensionais ou planos ............................................ 10
2.5.3 Elementos tri-dimensionais ou espaciais ....................................... 11
2.6 TIPOS DE ESFORÇOS NAS ESTRUTURAS ....................................... 11
2.6.1 Esforços externos ............................................................................. 12
2.6.2 Esforços internos .............................................................................. 13
3. ESTUDO DE VIGA ................................................................................. 16
3.1 INTRODUÇÃO ...................................................................................... 16
3.2 CLASSIFICAÇÃO ................................................................................. 16
3.2.1 Quanto ao tipo e posição dos apoios.............................................. 16
3.2.2 Quanto à origem do carregamento .................................................. 17
3.3 FLEXÃO SIMPLES ............................................................................... 18
3.4 DEFORMAÇÃO NA FLEXÃO ............................................................... 19
3.4.1 Flecha e ângulo de rotação .............................................................. 19
3.4.1.1 Relação momento curvatura ........................................................... 20
3.5 VIGA DE EULER-BERNOULLI .............................................................. 23
3.5.1 A equação de Euler para a viga ....................................................... 24
xv
3.6 VIGA DE TIMOSHENKO ....................................................................... 26
4. O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ............................................. 29
4.1 FORMULAÇÃO BÁSICA ....................................................................... 29
4.1.1 Série de Taylor para funções de variáveis n ................................... 29
4.1.2 Aproximação das derivadas por série de Taylor ............................ 30
4.2 CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA O MÉTODO DAS DIFERENÇAS
FINITAS (MDF) ............................................................................................ 33
4.2.1 No engaste ......................................................................................... 33
4.2.2 No apoio do 2º gênero ou 1º gênero ................................................ 34
4.2.3 Na extremidade livre ......................................................................... 35
4.2.4 No apoio deslizante .......................................................................... 37
4.2.5 Esquema de solução......................................................................... 38
4.3 O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO A EQUAÇÃO DE
VIGA DE EULER ......................................................................................... 39
5. APLICAÇÃO DO MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS NA VIGA DE
EULER ......................................................................................................... 41
5.1 VIGA BI-APOIADA ................................................................................ 41
5.1.1 Método da integração dupla aplicado a uma viga de Euler bi-
apoiada ....................................................................................................... 41
5.1.2 Método das diferenças finitas aplicado a uma viga de Euler bi-
apoiada ....................................................................................................... 43
5.1.2.1 Discretização da viga com 3 nós ...................................................... 43
5.1.2.2 Discretização da viga com 5 nós ...................................................... 46
5.1.2.3 Discretização da viga com 7 nós ...................................................... 49
5.1.2.4 Discretização da viga com 9 nós ...................................................... 52
5.1.2.5 Discretização da viga com 11 nós .................................................... 56
5.1.2.6 Discretização da viga com 19 nós .................................................... 61
5.1.3 Análise dos resultados ..................................................................... 68
5.2 VIGA ENGASTADA-LIVRE ................................................................... 70
5.2.1 Método da integração dupla aplicado a uma viga de Euler
engastada-livre ........................................................................................... 70
5.2.2 Método das diferenças finitas aplicado a uma viga de Euler
engastada-livre ........................................................................................... 73
5.2.2.1 Discretização da viga com 3 nós ...................................................... 73
xvi
5.2.2.2 Discretização da viga com 5 nós ...................................................... 76
5.2.2.3 Discretização da viga com 7 nós ...................................................... 80
5.2.2.4 Discretização da viga com 9 nós ...................................................... 83
5.2.2.5 Discretização da viga com 11 nós .................................................... 88
5.2.2.6 Discretização da viga com 13 nós .................................................... 92
5.2.2.7 Discretização da viga com 15 nós .................................................... 97
5.2.3 Análise dos resultados ................................................................... 103
5.3 VIGA BI-ENGASTADA (HIPERESTÁTICA) ........................................ 105
5.3.1 Método da integração dupla aplicado a uma viga de Euler bi-
engastada ................................................................................................. 105
5.3.2 Método das diferenças finitas aplicado a uma viga de Euler bi-
engastada ................................................................................................. 106
5.3.2.1 Discretização da viga com 3 nós .................................................... 106
5.3.2.2 Discretização da viga com 5 nós .................................................... 108
5.3.2.3 Discretização da viga com 7 nós .................................................... 110
5.3.2.4 Discretização da viga com 9 nós .................................................... 111
5.3.2.5 Discretização da viga com 11 nós .................................................. 113
5.3.2.6 Discretização da viga com 13, 15, 17 e 19 nós .............................. 116
5.3.3 Análise dos resultados ................................................................... 116
6. CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ..... 119
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................... 122
ANEXO ...................................................................................................... 125
ANEXO A – FORÇAS DE FIXAÇÃO DEVIDAS A CARGAS DE VÃO NA
BARRA BI-ENGASTADA .......................................................................... 126
1
1. INTRODUÇÃO
1.1 GENERALIDADES
A falta de um estudo no campo numérico na graduação em Engenharia Civil
torna-se a cada dia uma necessidade, uma vez que o graduando não tem
familiaridade com esta ferramenta matemática. Além de que, o Engenheiro Civil
precisa entender como os softwares realizam seus processos de cálculo, em
especial na área da Engenharia Estrutural, onde simplificações matemáticas e a
solução de problemas que muitas das vezes não tem soluções analíticas (exatas)
são comuns de ocorrerem. Entretanto, estudos numéricos vêm acontecendo em
centros avançados de pesquisas no Brasil e no Mundo.
Apesar do cálculo numérico não ser considerado exato, dependendo do nível
de aproximação dado pelo operador, ele pode ser tão preciso quanto se queira.
Existe uma grande quantidade de estruturas que são muito complexas para serem
analisadas pelas técnicas clássicas (exatas), por isso a solução analítica se torna
em alguns casos impossível de calcular sem que haja grandes e excessivas
simplificações, resultando em valores pouco apurados.
Os métodos analíticos clássicos permitem o cálculo da resposta exata, como
por exemplo, das flechas, frequências, deformações e tensões em todos os pontos
de uma estrutura que apresente uma problematização “simples”. Neste contexto se
insere a questão central que motiva o estudo do Método das Diferenças Finitas
(MDF). Pois ele não se restringe a problemas específicos.
No Método das Diferenças Finitas (MDF) e de modo geral nos métodos
numéricos, permitem-se observações importantes em termos computacionais para
matrizes de coeficientes que serão produzidas quando o MDF for empregado. Para
a programação de um software os métodos numéricos são importantes, pois como já
dito, não se restringem a nenhum caso particular, podendo assim ser empregados
de forma segura e precisa, dependendo do grau de refinamento do cálculo.
Na engenharia dificilmente se conhece a solução matemática analítica dos
fenômenos físicos (SOUSA, 2006). As equações diferenciais que regem esses
fenômenos são muitas vezes complicadas e em geral não lineares. Segundo
2
SOUSA (2006), torna-se necessário utilizar procedimentos numéricos para montar
soluções na forma de equações algébricas.
As soluções numéricas estão relacionadas diretamente com os métodos
computacionais, estas soluções ganharam grande “espaço” na prática e no próprio
meio acadêmico após o advento dos computadores. Sem dúvida estas soluções
apresentam inúmeras vantagens sobre as demais. Em relação à solução analítica, já
não exige problemas relativamente simples com tantas particularidades; e em
relação à solução experimental o tempo e o custo são consideravelmente reduzidos.
1.2 O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS
Segundo SOUSA (2006), a solução de uma equação diferencial em um
domínio implica no conhecimento dos valores da(s) variável(eis) estudada(as) em
todo o meio continuo. Para isso, SOUSA (2006) diz que o Método das Diferenças
Finitas (MDF) consiste em resolver a equação diferencial em pontos discretos. Estes
pontos são igualmente espaçados, ou seja, a malha é regular.
Para transformação das equações diferenciais em formas discretizadas e
posteriormente em um sistema de equações algébricas em função dos valores da
variável em cada nó, é preciso aproximar as derivadas (SOUSA, 2006).
Em resumo, SOUSA (2006) diz que, o uso da técnica de Diferenças Finitas
procura escrever os operadores diferenciais em sua forma discreta, ou seja, em
função de valores pontuais da solução. O conhecimento da solução, mesmo que de
forma aproximada, em alguns pontos dá uma boa idéia da solução contínua, à
medida que essa nuvem de pontos é adensada o valor da resposta numérica se
aproxima do valor real.
1.3 OBJETIVOS
1.3.1 Objetivo Geral
Apresentar um estudo na área de engenharia estrutural que vislumbre o
entendimento das estruturas civis de modo a facilitar e desenvolver um ramo pouco
estudado na graduação, através do Método das Diferenças Finitas. Onde se aplica
3
em um tipo de elemento estrutural muito usado na construção civil, que são as vigas.
Para tal, se torna necessário o estudo das vigas de maneira que haja um
entendimento de seu comportamento.
1.3.2 Objetivo Específico
Rever alguns conceitos estruturais afim dar subsídios para o estudo do
Método das Diferenças Finitas aplicado a teoria das vigas
Apresentar a equação que rege a teoria das vigas de Euler;
Obter as condições de contorno nos vínculos dos apoios da viga de modo a
levar os problemas relacionados a um sistema possível determinado;
Demonstrar a diferença entre a Teoria de vigas de Euler e Timoshenko;
Aplicar o método das diferenças finitas na equação da viga de Euler, para o
comportamento estático;
Calcular os valores das flechas em vigas através da aplicação do Método das
Diferenças Finitas na teoria da viga de Euler, em diferentes malhas.
4
2. BREVE REVISÃO ESTRUTURAL
Neste capítulo serão fornecidos alguns conceitos importantes para o melhor
entendimento das estruturas como suas classificações e apoios, além de demonstrar
os tipos de elementos estruturais. O capítulo também descreve os esforços que
atuam nas estruturas quando solicitadas.
2.1 INTRODUÇÃO
Segundo NOVAES (2008) a busca por um abrigo e proteção é uma
necessidade básica do ser humano, que pode ser notada desde os primórdios da
humanidade. O homem só conseguiu sair das cavernas (uma estrutura da natureza)
quando conseguiu ter conhecimento e habilidade suficiente para construir seu
próprio abrigo. As primeiras estruturas foram criadas a partir de materiais rústicos
pouco elaborados. As primeiras estruturas eram de alvenaria de rocha ou de
madeira (NOVAES, 2008).
Segundo PIMENTA (2006), as construções em alvenaria, isto é, com pedras
naturais ou artificiais (tijolos cerâmicos, blocos de argamassa ou gesso, etc.) são,
juntamente com as construções de madeira, as mais antigas da Cultura Humana. Já
havia construções em alvenaria nas mais antigas eras. No início, as pedras eram
apenas empilhadas, mas logo se desenvolveu a técnica de talhar as pedras, dando-
lhes um melhor encaixe.
As primeiras formas estruturais eram compostas de viga e pilares, formando
pórticos, tipo até hoje muito usado. A limitação quanto aos materiais disponíveis
levava a limitação dos vãos e necessidade de vários pilares. Talvez observando as
estruturas da natureza, cedo se percebeu que a forma de arco, por levar a uma
melhor distribuição de esforços, permite a elaboração de construções estáveis de
maiores vãos, conforme figura 2.1.
5
Figura 2.1: Estrutura em forma de arco
Fonte: PIMENTA, 2006
Essa forma, assim como sua variação espacial, como cúpulas e abóbodas, é
muito presente em construções antigas (NOVAES, 2008). De uma maneira geral,
pode-se dizer que os gregos criaram as estruturas em pórticos, depois
aperfeiçoadas pelos romanos para a forma de arco, possibilitando maiores vãos com
os materiais disponíveis à época. Somente com a Revolução Industrial, a partir do
século XIX (NOVAES, 2008), é que a forma em pórtico volta a ser popular, pois os
novos materiais, como o ferro fundido e posteriormente o aço e o concreto armado,
possibilitavam vãos maiores.
2.2 CONCEITO DE ESTRUTURA
Estruturas são sistemas compostos de uma ou mais peças (estruturais),
ligadas entre si e ao meio exterior de modo a formar um conjunto estável, isto é, um
conjunto capaz de receber solicitações externas, absorvê-las internamente e
transmiti-las até seus apoios, onde estas solicitações externas encontrarão seu
sistema estático equilibrante (VANDERLEI, 2007). Ou seja, toda estrutura deve
proporcionar um equilíbrio para dar suporte às diversas ações que vierem a solicitá-
la durante a sua vida útil sem que ela perca a sua função (NOVAES, 2010).
A figura 2.2 mostra alguns dos diversos tipos de estruturas que existem na
construção civil.
6
Figura 2.2: Tipos de estruturas na construção civil
Fonte: VANDERLEI, 2007.
2.3 EQUILÍBRIO DOS CORPOS
2.3.1 Vínculos ou apoios
São elementos que podem impedir o deslocamento de pontos das peças,
introduzindo como conseqüência esforços nesses pontos correspondentes aos
deslocamentos que impedem (CAMPANARI, 1985). Logo, eles têm a função de
travar possíveis deslocamentos que a estrutura venha a ter.
No plano estes apoios impedirão três movimentos que um provável
corpo rígido causará. Para isso deve-se ter um sistema de carregamento aplicado,
este sistema é equilibrado por um conjunto de carregamentos reativos que foi
introduzido através dos vínculos ligados a estrutura (CAMPANARI, 1985).
A seguir serão mostrados tipos de vínculos (apoios) que atuam no plano:
a) Apoio simples (1º gênero ou 1º grau): Impedem o deslocamento
perpendicular ao plano de apoio, introduzindo uma única força nesta
direção, permitindo a rotação (CAMPANARI, 1985). Em resuma são
apoios que restringe um movimento, desta maneira teremos somente uma
reação de apoio.
Figura 2.3: Simbologia para apoio do 1º grau.
Fonte: UL- Universidade de Lisboa, 2010.
7
b) Articulação (2º gênero ou 2º grau): Impedem o deslocamento em qualquer
direção no plano, introduzindo, em consequência, uma força numa direção
qualquer [11], contudo este tipo de vínculo permite a rotação da estrutura.
Chegam a ser mais “eficientes” que os apoios simples, pois restringem
dois movimentos, desta maneira produzem duas reações (SANTOS,
2007).
Figura 2.4: Simbologia para apoio do 2º grau.
Fonte: UL- Universidade de Lisboa, 2010.
c) Engastamento (3º gênero ou 3º grau): Impedem qualquer deslocamento
ou rotação no plano, assim ele introduz duas componentes de força e um
momento (CAMPANARI, 1985). Desta maneira o engaste impede três
movimentos, conseqüentemente produz três reações de apoio.
Figura 2.5: Simbologia para apoio do 3º grau.
Fonte: UL- Universidade de Lisboa, 2010.
8
2.4 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS
2.4.1 Estruturas Hipostáticas
São estruturas que não possuem equilíbrio estático, logo não são estáveis,
tendo por isso algum movimento (grau de liberdade) não restringido (ROMÃO,
2003).
De um modo geral estas estruturas possuem um número de reações de apoio
inferior ao número de equações de equilíbrio estático. No entanto, é possível ter uma
estrutura hipostática com um número de reações igual ou até superior ao número de
equações de equilíbrio estático (Figura 2.6) desde que essas reações estejam
dispostas de forma ineficaz (ROMÃO, 2003). Um dos principais fatores que deixa
esta estrutura instável ocorre devido à presença dos vínculos que não impedem
todos os possíveis movimentos da mesma.
Figura 2.6: Estrutura hipostática.
Fonte: ROMÃO, 2003.
2.4.2 Estruturas Hiperestáticas
As estruturas hiperestáticas têm um número de reações superior ao
estritamente necessário para impedir qualquer movimento (Figura 2.7). Verifica-se,
então, a possibilidade de, ao serem criteriosamente retiradas determinadas reações,
9
estas estruturas continuarem a não apresentar movimento e serem, portanto,
estáveis (ROMÃO, 2003).
Figura 2.7: Estrutura hiperestática.
Fonte: ROMÃO, 2003.
2.4.3 Estruturas Isostáticas
Diferentemente das estruturas hipostáticas e hiperestáticas as estruturas
isostáticas têm o número de reações estritamente necessário para impedir qualquer
movimento (ROMÃO, 2003). Suas reações estão dispostas de forma eficaz a
restringir os possíveis movimentos da estrutura
Figura 2.8: Estrutura Isostática.
Fonte: ROMÃO, 2003.
10
2.5 ELEMENTOS ESTRUTURAIS
2.5.1 Elementos unidimensionais ou lineares
São elementos em que uma das dimensões é bastante maior que as outras
duas, as dimensões da seção são nitidamente menores que a extensão da sua linha
central. Alguns exemplos de estruturas lineares são vistas na figura 2.9.
Figura 2.9: Exemplo de peças estruturais lineares (vigas e pilares).
Fonte: LEMA- Arquitetos Associados, 2010
2.5.2 Elementos bi-dimensionais ou planos
São elementos em que uma das dimensões é bastante menor que as outras
duas, a espessura é nitidamente menor que as dimensões da seção. Existem três
tipos desse elemento: as placas (Figura 2.10a), as chapas (Figura 2.10b) e as
cascas (Figura 2.10c). A primeira recebe forças perpendiculares ao plano de carga,
como exemplo pode-se citar as lajes. A segunda recebe esforços normais, são
comuns de ocorrerem em alvenarias estruturais. Por fim, o terceiro elemento plano é
a casca, são estruturas de superfície média curva cujos esforços atuantes são
perpendiculares a sua superfície.
11
(a)
(b)
(c)
Figura 2.10: Elementos bi-dimensionais: Placa (a), Chapa (b) e Casca (c). Fonte: CAMPOS, 2010.
2.5.3 Elementos tri-dimensionais ou espaciais
São elementos em que as dimensões são de mesma ordem de grandeza
(Figura 2.11), não necessariamente do mesmo tamanho, logo diferente dos
elementos anteriormente mencionados ela não tem nenhuma dimensão
predominante.
Figura 2.11: Elemento tri-dimensional: Bloco de Fundação.
Fonte: UFPR- Universidade Federal do Paraná, 2010.
2.6 TIPOS DE ESFORÇOS NAS ESTRUTURAS
Existem dois tipos de esforços atuantes nas estruturas, são os externos e os
internos. Um como o próprio nome diz atua fora da estrutura (externo) enquanto o
12
outro age a nível molecular (interno). Tanto para os externos quanto para os internos
existem divisões que serão descritas a seguir.
2.6.1 Esforços externos
Os esforços externos atuam no sistema material em análise (por contato ou
ação à distância) oriundos da ação de outro sistema (o peso próprio, a ação do
vento, esforços vinculares, são exemplos de esforços externos) (CAMPOS, 2010).
Este esforço esta subdividido em ativos (ação) e reativos (reação).
Os esforços ativos serão classificados de permanentes quando atuam
constantemente sobre a estrutura (como seu peso próprio) e acidentais quando
atuam de forma transitória (o efeito do vento nas construções, carga de partida das
máquinas, etc.) (CAMPOS, 2010). Eles são conhecidos a priori devido ao fato que
no projeto o peso próprio, por exemplo, é inicialmente conhecido já que as
dimensões das peças estão estabelecidas.
Os esforços reativos, produzidos pelos vínculos, são denominados de
reações de apoio, sendo determinados pelas equações da estática que regem o
equilíbrio das forças sobre um corpo em repouso (CAMPOS, 2010). A figura 2.12
ilustra o caso de esforços ativos e reativos.
Figura 2.12: Esforços ativos e reativos.
Fonte: Elaborada pelo autor.
13
2.6.2 Esforços Internos
Os esforços internos são os oriundos da ação de uma parte da estrutura ou
elemento estrutural, sobre outra parte da estrutura, por contato. Este esforço esta
subdividido em solicitante e resistente.
Esforço interno solicitante é o conjunto de esforços que devido às ações se
exerçam sobre uma ou mais seções de um elemento da estrutura (LIMA, 2010).
Estes esforços internos geralmente são distribuídos de forma complexa sobre as
seções (figura 2.13), mas, no entanto as condições de equilíbrio são satisfeitas para
cada parte separadamente (LIMA, 2010).
(a)
(b)
Figura 2.13: Esforços internos solicitantes. Corpo recortado virtualmente (a). Distribuição de forças ao longo da superfície recortada (b)
Fonte: LIMA, 2010.
A resultante das forças internas na seção genérica virtual pode ser obtida
tanto no lado esquerdo quanto no direito do corte imaginário, como pode ser visto na
figura 2.14.
Figura 2.14: Equilíbrio elástico no corpo em equilíbrio
Fonte: LIMA, 2010.
14
As resultantes dos esforços internos solicitantes estão descritas abaixo.
a) Esforço Normal (N): Corresponde à componente da resultante de forças
perpendicular à seção transversal (ou tangente ao eixo longitudinal). Esta
solicitação tem como efeito sobre a peça a tendência de distendê-la ou
comprimi-la (encurtá-la), ou seja, sendo a peça retilínea, aumentar ou
diminuir seu comprimento. A convenção de sinais utilizada é que o esforço
normal é positivo sempre que a componente de força em questão estiver
saindo de ambas às faces de uma fatia isolada da peça, ou seja, em
tração (UFPR, 2010).
(a)
(b)
Figura 2.15: Esforço normal em um corpo sólido. Efeito de compressão (a). Efeito de tração (b). Fonte: UFPR- Universidade Federal do Paraná, 2010.
b) Esforço Cortante ou de Cisalhamento (V): Corresponde às componentes
da resultante de forças contidas no plano da seção transversal. Esta
solicitação tem como efeito sobre a peça a tendência a fazer as diversas
seções transversais deslizarem, umas sobre as outras,
perpendicularmente ao eixo longitudinal (UFPR, 2010).
(a)
(b)
Figura 2.16: Esforço cortante em um corpo sólido. Estrutura antes do carregamento (a), Estrutura com carregamento e sob efeito de cisalhamento (b).
Fonte: UFPR- Universidade Federal do Paraná, 2010.
15
c) Momento Fletor (M): Corresponde às componentes da resultante de momentos contidas na seção transversal (perpendiculares ao eixo). Seu efeito sobre a peça é a tendência a encurvar ou fletir seu eixo longitudinal, fazendo com que as seções transversais girem umas em relação às outras, em torno de um eixo contido na seção transversal. Essa deformação causa tração em parte das fibras da peça, e compressão em outras (UFPR, 2010).
(a)
(b)
Figura 2.17: Momento fletor em um corpo sólido. Estrutura antes do carregamento (a). Estrutura com carregamento e sob efeito do momento fletor (b).
Fonte: UFPR- Universidade Federal do Paraná, 2010.
d) Momento Torço (T): Corresponde à componente da resultante de
momentos perpendicular à seção transversal (ou tangente ao eixo longitudinal). Seu efeito sobre a peça é a tendência das diversas seções transversais girarem umas em relação às outras, em torno do eixo longitudinal, torcendo a peça (UFPR, 2010)
(a)
(b)
Figura 2.18: Momento torço em um corpo sólido. Estrutura em repouso (a). Estrutura sob efeito do momento torço (b).
Fonte: UFPR- Universidade Federal do Paraná, 2010.
A distribuição dos esforços ao longo de todos os pontos de uma seção
genérica transversal é chamado de esforço interno resistente e é considerado,
muitas das vezes como uniforme, embora talvez nunca se verifique na realidade. O
valor exato do esforço que atua em cada ponto é função da natureza cristalina do
material e da orientação dos cristais no ponto (GHISI, 2005). Quando este esforço
atuar perpendicularmente em cada ponto desta seção transversal, ou seja, ao longo
da área da seção, ela recebe o nome de tensão normal (GHISI, 2005). Quando o
esforço for cortante (Q) ele atuará também ao longo da área do plano de uma seção
genérica transversal, logo este esforço criará uma tensão tangencial denominado de
tensão de cisalhamento (GHISI, 2005).
16
3. ESTUDO DE VIGA
Neste capítulo serão apresentados alguns conceitos referentes à classificação
das vigas, que serão importantes para o melhor entendimento do comportamento
das mesmas, além de relatar os tipos de esforços que atuam nas vigas. O capítulo
também descreve as duas teorias de viga: Euler e Timoshenko.
3.1 INTRODUÇÃO
Os elementos estruturais que oferecem resistência à flexão, provocada por
carregamentos aplicados, são conhecidos como vigas (MERIAM, 1999). São
normalmente barras retas e prismáticas, o que ocasiona maior resistência ao
cisalhamento e flexão (UNICAMP, 2010). Não há dúvida de que a viga é o mais
importante de todos os elementos estruturais e sua teoria básica deve ser
completamente entendida para o seu dimensionamento (MERIAM, 1999).
Segundo MERIAM (1999), a análise da capacidade das vigas em suportar
carregamento consiste, primeiramente, em estabelecer os requisitos de equilíbrio da
viga como um todo, para isso requer a aplicação dos princípios da estática. O
mesmo autor também relata que, em seguida devem ser estabelecidas as relações
entre as forças resultantes e a resistência interna da viga para suportar essas forças,
para isso se utiliza características da resistência dos materiais.
3.2 CLASSIFICAÇÃO
3.2.1 Quanto ao tipo e posição dos apoios
Segundo MERIAM (1999), vigas estaticamente determinadas, são aquelas
que estão suportadas de tal forma que suas reações externas nos suportes podem
ser calculadas aplicando-se apenas as equações da estática (Equação 3.1). Ou
seja, são vigas isostáticas como por exemplo: bi apoiadas, em balanço e
combinadas (Figura 3.1).
17
; ; (3.1)
Existem também as vigas que são as chamadas de estaticamente
indeterminada, são aquelas onde além de considerar as equações de equilíbrio
estático (Equação 3.1) é necessário considerar as propriedades da relação carga-
deformação da viga, são as hiperestáticas, como por exemplo: contínuas, em
balanço apoiada na extremidade e bi engastada (Figura 3.1).
Figura 3.1: Principais tipos de vigas existentes. Em balanço (a). Simplesmente apoiada (b). Bi-
engastada (c). Articulada ou Gerber (d). Contínua (e). Fonte: NOVAES & PARSEKIAN, 2008.
3.2.2 Quanto à origem do carregamento
Existem dois tipos principais de carregamento externo que uma viga suporta,
cargas concentradas e cargas distribuídas. Carregamento concentrado são forças
aplicadas em um único ponto (Figura 3.2), logo são pontuais, ocorrem em um ponto
exclusivo da viga (SANTOS, 2007).
18
Figura 3.2: Exemplo de carregamento concentrado.
Fonte: NAKAO, 2010
Enquanto que o carregamento concentrado atua em um único ponto a carga
distribuída é expressa como a força ao longo do uma unidade de comprimento da
viga (Figura 3.3), a intensidade da força pode ser constante ou variável (MERIAN,
1999).
Figura 3.3: Cargas ( distribuídas ao longo da viga.
Fonte: UNICAMP- Universidade de Campinas, 2010.
3.3 FLEXÃO SIMPLES
Na seção transversal de uma viga que esteja com um carregamento qualquer,
existe uma solicitação de flexão pura quando na mesma atua apenas um momento
fletor (M). Quando junto com o momento fletor atuar uma força cortante (Q), a
solicitação passa a ser chamada de flexão simples (SCHÄFFER, 2010).
Os efeitos dos carregamentos na viga produzem deslocamentos nos diversos
pontos do eixo da mesma conhecida pelo nome de flecha, além disso, dão origem a
19
tensões normais e de cisalhamento nas diversas seções transversais da viga
(NASH, 1982).
É de conveniência imaginar que a viga seja formada de um número infinito de
fibras longitudinais (NASH, 1982). Assim, a viga da figura 3.4 fletirá, encurtando-se
para baixo; as fibras da parte inferior serão distendidas e as da parte superior,
encurtadas, isto é, diminuem de comprimento (Nash, 1982). Logo as fibras
superiores serão comprimidas e as fibras inferiores serão tracionadas.
Figura 3.4: Flexão em viga.
Fonte: PUCPR- Pontífice Universidade Católica do Paraná, 2010.
Existe um ponto na viga que não sofre tração e nem compressão chamado de
eixo neutro (ou linha neutra). Por este motivo que todas as fibras que se situam na
seção transversal, do mesmo lado, em relação à linha neutra, estão submetidas à
tração; as que se situam no lado oposto, são submetidas à compressão (NASH,
1982).
3.4 DEFORMAÇÃO NA FLEXÃO
3.4.1 Flecha e ângulo de rotação
Segundo FERRARI (2010), os esforços solicitantes (forças normais de
compressão, forças normais de tração, forças tangenciais, momentos fletores e
momentos de torção) causam deformações nas estruturas. O fato de a maioria das
deformações serem menores que a acuidade visual permite detectar, sua
importância teórica, entretanto, é enorme.
20
Uma dessas deformações é conhecida por flecha, que é o deslocamento na
direção de qualquer ponto no eixo da viga (FERRARI, 2010). A falta de controle no
cálculo das flechas pode ocasionar no aumento excessivo delas, com isso o
aparecimento de fissuras nas paredes localizadas em baixo de vigas, ou até impedir
a abertura de janelas localizada na alvenaria que esta recebendo esta força devido à
flecha (Figura 3.5).
Figura 3.5: Deslocamento excessivo devido à flecha.
Fonte: TQS- Informática Ltda, 2010.
Quando a viga é flexionada, não há somente uma flecha em cada ponto ao
longo do eixo, mas também uma rotação. O ângulo de rotação (θ) do eixo da viga é
o ângulo entre o eixo e a tangente à curva deformada como mostrado na figura
3.6.
Figura 3.6: Ângulo de rotação θ.
Fonte: AZEVEDO, 2003
3.4.1.1 Relação momento curvatura
Para se obter o valor analiticamente do ângulo de rotação e da flecha, se
torna necessário desenvolver uma importante relação entre o momento fletor
interno na viga e o raio de curvatura (rô) da curva da linha elástica em um ponto,
mostrado na figura 3.7b (HIBBELER, 2010). Através desta relação será possível
21
definir a equação da curva elástica, em função de , com essa equação se encontra
o valor da flecha em qualquer ponto da viga.
Devido às cargas presentes na figura 3.7a, a deformação da viga é provocada
pela força cortante interna, bem como pelo momento fletor. Segundo HIBBELER
(2010), se o comprimento da viga for muito maior do que sua altura, a maior
deformação será causada por flexão.
(a)
(b)
Figura 3.7:Comportamento estático de uma viga. Viga submetida a diversos carregamentos (a), elemento infinitesimal da viga (b).
Fonte: HIBBELER, 2010.
Segundo HIBBELER (2010), quando o momento fletor interno deforma o
elemento da viga, o ângulo entre as seções transversais torna-se (figura 3.7b).
Para o mesmo autor, o arco representa uma porção da linha elástica que
intercepta o eixo neutro para cada seção transversal. O raio de curvatura para esse
arco é definido como a distância , que é medida do centro de curvatura até .
Qualquer arco sobre o elemento, exceto , está sujeito a uma deformação normal
(tração ou compressão). A deformação no arco , localizado em uma posição em
relação ao eixo neutro é:
(3.2)
Todavia;
(3.3)
E;
(3.4)
22
Portanto, substituindo (3.3) e (3.4) em (3.2), temos;
(3.5)
Supondo que a viga tem material homogêneo e comporta-se de uma maneira
linear elástica, a lei de Hooke, , é aplicável. A fórmula da flexão também se
aplica, (HIBBELER, 2010). Substituindo essas equações na equação
(3.5), temos:
(3.6)
Para HIBBELER (2010), a relação que representa a curvatura ( ) em
termos de e , pode ser definida como:
(3.7)
Substituindo a equação (3.7) na equação (3.6), temos:
(3.8)
Esta solução, denominada elástica, dá a forma exata da linha elástica. Para
facilitar a solução de um número maior de problemas a equação (3.8) pode ser
modificada, pois a inclinação da linha elástica determinada por será muito
pequena e o quadrado dessa inclinação será desprezível, logo a equação (3.8) pode
ser expressa como:
(3.9)
Onde:
: equação do momento;
E: módulo de elasticidade;
I: momento de inércia.
23
Com a equação (3.9), é capaz de obter o valor da flecha em qualquer ponto
de uma determinada viga, através da curva elástica que a expressão fornece, para
resolver-la se deve integrar a equação. A primeira integral da equação (3.9) fornece
a equação das rotações ( ), ou seja, o ângulo de rotação em qualquer ponto da
viga. Já a segunda integral fornece a equação da curva elástica ( )
disponibilizando a flecha em qualquer ponto da viga. Este processo é conhecido
como o Método da Integração Dupla (MID).
Como a equação (3.9) é de segunda ordem, aparecem, após a integração,
duas constantes. Essas constantes determinam-se com as condições referentes a
flechas e inclinações, da linha elástica, em certos pontos da viga (NASH, 1982).
3.5 VIGA DE EULER-BERNOULLI
A viga, como dito anteriormente, é tratada como modelo unidimensional,
fazendo-se a hipótese que o comprimento é bem maior que as dimensões da seção
transversal. Observa-se que a análise de vigas é bastante comum em problemas de
engenharia, tornando-se fundamental o estudo de sua formulação. Para esta
finalidade, geralmente, consideram-se o modelo de viga de Euler-Bernoulli ou
simplesmente viga de Euler (Viga clássica).
Para uma relação muito pequena, entre a altura (h) da seção transversal de
uma viga e seu comprimento (L), define-se a viga de Euler. Segundo SILVA (2008),
esta se caracteriza por considerar apenas os efeitos de flexão (Caso elementar de
flexão) devido à tensão normal.
Supondo uma viga (figura 3.8) de comprimento , seção transversal e
módulo de inércia , agindo em uma série de cargas verticais e momentos contidos
no plano . Segundo NAVARRA (1995), a viga anteriormente descrita é
classificada como viga de Euler quando ela atender as 3 (três) hipóteses seguintes:
1ª) O deslocamento vertical (flecha) para todos os pontos de uma seção
transversal são pequenas e igual ao eixo da viga;
2ª) O deslocamento lateral é nulo;
3ª) As seções transversais normais ao eixo da viga antes da deformação
permanecem planas e, ortogonal ao eixo após a deformação.
24
Figura 3.8: Viga convencional de Euler-Bernoulli
Fonte: NAVARRA, 1995.
3.5.1 A equação de Euler para a viga
Segundo THOMSON (1997), para determinar a equação diferencial da viga
de Euler, deve-se considerar as forças e momentos agindo sobre um elemento da
viga mostrado na figura 3.9. Sabe-se que, e são o esforço cortante e o
momento fletor, respectivamente, e a carga por unidade de comprimento da
viga.
25
Figura 3.9: Esforços atuantes na viga de Euler-Bernoulli
Fonte: THOMSON (1997).
Fazendo a somatória das forças verticais presente no elemento da viga da
figura 3.9, tem-se:
(3.10)
Somando-se os momentos em qualquer ponto da face direita do elemento:
O produto é muito pequeno e o quadrado dele dividido por dois é
menor ainda, logo se torna desprezível.
(3.11)
26
A equação (3.11) mostra que a taxa de variação do momento ao longo de
uma viga é igual ao cisalhamento, enquanto que a equação (3.10) afirma que a taxa
de mudança de cisalhamento ao longo do comprimento da viga é igual à carga por
unidade de comprimento.
Derivando a equação (3.11) em função de , obtemos:
(3.12)
Substituindo a equação (3.10) na equação (3.12), temos:
(3.13)
Dividindo a equação (3.9) por ( e em seguida substituindo na equação
(3.13):
(3.14)
Logo a equação (3.14) representa a equação governante da viga de Euler
para o comportamento estático.
3.6 VIGA DE TIMOSHENKO
A teoria de Timoshenko, considera a relação da altura , com o comprimento
próxima de 1 (SILVA & PEDRODO, 2005). Segundo NAVARRA (1995), a teoria de
vigas de Timoshenko compartilha as hipóteses 1 e 2 da teoria de vigas clássicas.
Em contrapartida, a nova hipóteses 3 (figura 3.10) estabelece que as seções planas
normais ao eixo da viga antes da deformação permanecem planas, mas não
necessariamente perpendiculares ao eixo após a deformação.
27
Figura 3.10: Teoria da flexão de vigas de Timoshenko. Giro (Φ) da seção normal a fibra média.
Fonte: NAVARRA, 1995.
Segundo SOUSA Jr. (2006), a teoria de flexão simples (viga de Euler),
mostrada na figura 3.8, considera as seções como retas, ou seja, que não há
distorções das mesmas. Para vigas esbeltas em que a altura da seção é pequena
em relação ao comprimento a deformação cisalhante é relativamente pequena.
Porém quando essa relação não é tão pequena (viga de Timoshenko) as
deformações cisalhantes (deformação angular de cisalhamento) devem ser
consideradas e a teoria clássica (Euler-Bernoulli) não se aplica mais.
A figura 3.11, ilustra o efeito de empenamento da seção devido o esforço
cortante. Observa-se que as seções não permanecem mais planas e o modelo
clássico de vigas em flexão não se aplica mais.
28
Figura 3.11: Empenamento das seções devido o esforço P.
Fonte: SOUSA Jr., 2006
29
4. O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS
Neste capítulo se mostrará a formulação básica da série de Taylor, que da
início ao Método das Diferenças Finitas (MDF), através da aproximação das
derivadas. O capítulo também mostrará as condições de contorno presentes na viga,
além de demonstrar a equação de Euler na forma de diferenças finitas.
4.1 FORMULAÇÃO BÁSICA
4.1.1 Série de Taylor para funções de variáveis n
Este método utiliza como técnica de solução de equações diferenciais, a
substituição das derivadas por formas de diferenças finitas que são obtidas pela
expansão em série de Taylor e truncamento ao nível da ordem do erro desejada
(SILVA & PEDROSO, 2005).
(4.1)
; onde , o resto após n termos, é dado por qualquer das formas seguintes
[24]:
Forma de Lagrange:
(4.2)
Forma de Cauchy:
(4.3)
Segundo SILVA (2008), o valor de , que pode ser diferentes nas duas
formas, fica entre a e x. O resultado determina se tem derivadas contínuas de
30
ordem n pelo menos. A série é infinita, se , e é chamada de série de
Taylor para em . Se , a série é frequentemente chamada de série de
Meclaurin. Essas séries, chamadas de séries de potências, convergem para todos
os valores de x em algum intervalo de convergência e divergem para todos os
valores de x fora desse intervalo (SILVA & PEDROSO, 2005).
4.1.2 Aproximação das derivadas por série de Taylor
A partir da equação (4.1), pode-se escrever (SILVA, 2008):
(4.4)
(4.5)
Trabalhando com dois termos das séries ( ):
E operando as equações 4.4 menos 4.5:
(4.6)
Segundo SILVA (2008), fazendo e usando a notação inicial, tem-se
o operador em diferenças finitas para a primeira derivada:
(4.7)
31
As equações 4.6 e 4.7 podem ser interpretadas geometricamente como
mostra a figura 4.1.
A equação 4.7 é conhecida como diferencial central, há também a diferencial
para frente e a diferencial para trás (SILVA & PEDROSO, 2005). Sabe-se que a
diferencial central ter melhor acurácia para solução exata (SILVA, 2008), por isso
não serão mostradas as diferenciais para frente e a diferencial para trás.
Figura 4.1: Interpretação geométrica para a derivada.
Fonte: [25]
Para obter o operador em diferenças finitas para a segunda derivada deve-se
somar as equações 4.4 e 4.5 com os três primeiros termos da série ( ).
E operando as equações 4.4 mais 4.5:
(4.8)
Assim como na equação 4.6 ao fazer e usando a notação inicial,
tem-se o operador em diferenças finitas para a segunda derivada:
(4.9)
32
Segundo SILVA (2008), ele define que para achar o operador em diferenças
finitas para a terceira derivada se deve partir da equação 4.6, nela substitui-se
por
, como mostrado a seguir.
Para:
Tem-se:
(4.10)
Ao fazer e usando a notação inicial, tem-se o operador em
diferenças finitas para a terceira derivada:
(4.11)
Por fim se chega ao operador em diferenças finitas para a quarta derivada,
onde a partir da equação 4.8 se substitui por
, como mostrado a seguir.
33
Para:
Tem-se:
(4.12)
Ao fazer e usando a notação inicial, tem-se o operador em
diferenças finitas para a quarta derivada:
(4.13)
4.2 CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA O MÉTODO DAS DIFERENÇAS
FINITAS (MDF)
Segundo SILVA & PEDROSO (2005), no método das diferenças finitas, as
condições de contorno têm a função de diminuir o número de variáveis no sistema
de equações, por meio de valores conhecidos em determinado ponto da viga e/ou
relacionar pontos fora da viga (nós artificiais da malha de diferenças finitas) a pontos
no seu interior, levando sempre a um sistema possível determinado para problemas
estáticos.
4.2.1 No engaste
A figura 4.2 representa uma viga engastada com a diferencial central, a
diferencial para frente e a diferencial para trás.
34
Figura 4.2: Viga engastada.
Fonte: SILVA & PEDROSO, 2005.
A flecha no engaste é zero, logo, ficará representada como mostra a equação
4.14.
(4.14)
O mesmo acontece com a rotação no engaste, que têm seu valor igual a zero
que resulta na equação 4.15.
Para:
Tem-se:
(4.15)
4.2.2 No apoio do 2º gênero ou 1º gênero
A figura 4.3 representa uma viga com apoio do 2º gênero (ou 1º gênero) com
a diferencial central, a diferencial para frente e a diferencial para trás.
35
Figura 4.3: Viga com apoio do 2º gênero.
Fonte: SILVA & PEDROSO, 2005.
Assim como no engaste a flecha no apoio do 2º gênero vale zero, e sua
representação é mostrada na equação 4.16.
(4.16)
Entretanto a rotação não será nula como ocorre no engaste, apesar disso o
momento terá o valor igual a zero que resultará na equação 4.17.
Para:
Tem-se:
(4.17)
4.2.3 Na extremidade livre
A figura 4.4 representa uma viga com extremidade livre.
36
Figura 4.4: Viga com a extremidade livre.
Fonte: SILVA & PEDROSO, 2005.
Na extremidade livre como não se tem apoio o cortante é nulo, ou seja, valerá
zero (equação 4.18).
Para:
Tem-se:
(4.18)
Assim como no apoio do 2º gênero o momento na extremidade livre será nulo,
como mostrado na equação 4.19.
Para:
Tem-se:
37
(4.19)
4.2.4 No apoio deslizante
A figura 4.5 representa uma viga com apoio deslizante.
Figura 4.5: Viga com apoio do deslizante.
Fonte: SILVA & PEDROSO, 2005.
Igualmente como o engaste a rotação no apoio deslizante (1º gênero ou 1º
grau) será igual a zero e poderá ser visto na equação 4.20
Para:
Tem-se:
(4.20)
O valor do cortante neste apoio deslizante também será igual a zero, como
mostra a equação 4.21.
Para:
38
Tem-se:
(4.21)
4.2.5 Esquema de solução
Para melhor entendimento as equações (5.7), (5.8), (5.10) e (5.12) estão
representadas esquematicamente na tabela 4.1. Para maior facilidade na busca das
condições de contorno definidas e deduzidas anteriormente foram também
esquematizadas na tabela 4.2.
Tabela 4.1: Representação esquemática para a diferencial central.
Operador
Aproximado Célula (coeficiente)
Fonte: SILVA & PEDROSO, 2005.
39
Tabela 4.2: Representação das condições de contorno para a diferencial central.
Tipos de apoio Condições de contorno
Fonte: SILVA & PEDROSO, 2005.
4.3 O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO A EQUAÇÃO DE VIGA
DE EULER
Como já visto anteriormente a viga de Euler considera somente os efeitos de
flexão, para o comportamento estático a equação diferencial governante submetida
a um carregamento fica definida na equação 4.22.
(4.22)
Divide-se a equação (4.22) por (EI):
40
(4.23)
Aplicando o MDF na equação (4.23), ver equação (4.13) e tabela 5.1:
(4.24)
Multiplica-se a equação (4.24) por :
(4.25)
A equação (4.25) representa a equação governante da viga de Euler por
diferenças finitas.
41
5. APLICAÇÃO DO MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS NA VIGA DE
EULER
Para um melhor entendimento do Método das Diferenças Finitas, será feito
aplicações do mesmo na viga de Euler, considerando três tipos de vigas, duas do
tipo isostáticas e uma hiperestática, visando mostrar a eficiência do MDF. Em todas
as vigas começa-se com uma malha de três nós e gradativamente se aumenta a fim
de mostrar a melhor convergência dos resultados em comparação com o método
analítico que também será mostrado neste capítulo.
5.1 VIGA BI-APOIADA
5.1.1 Método da integração dupla aplicado a uma viga de Euler bi-apoiada
Como já descrito no capítulo 3, o Método da Integração Dupla (MID) calcula o
valor da flecha em determinado ponto de uma viga, para tal é preciso ter a equação
do momento que representa a viga. Para encontrar essa equação, supondo que a
viga tem carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de
inércia e comprimento , antes precisará ter o valor das reações de apoio da viga
da figura 5.1.
Figura 5.1: Viga bi-apoiada. Fonte: Elaborada pelo autor.
Com uma seção imaginária passando a uma distância da reação
encontra-se o valor de através de:
42
(5.1)
Com a equação (5.1) se acha a expressão do momento da viga.
(5.2)
Substituindo a equação (5.2) na equação (3.2) e em seguida integrando-a,
tem-se a equação das rotações (equação 5.3).
(5.3)
Ao integrar a equação (5.3) se obtém a equação da curva elástica (equação
5.4) capaz de mostrar o valor da flecha em qualquer ponto da viga da figura 5.1.
(5.4)
As constantes e são encontradas quando:
(5.5)
(5.6)
Substituindo a equação (5.5) na equação (5.4), se encontra o valor de .
(5.7)
Substituindo as equações (5.6) e (5.7) na equação (5.4), se encontra o valor
de .
43
(5.8)
Por fim, substituindo as equações (5.7) e (5.8) na equação (5.4),
considerando o
, encontra-se o valor analítico da flecha no meio do vão.
Dividindo a equação por :
(5.9)
A equação (5.9) representa o valor analítico da flecha no meio do vão da viga
da figura 5.1.
5.1.2 Método das diferenças finitas aplicado a uma viga de Euler bi-apoiada
5.1.2.1 Discretização da viga com 3 nós
Nesta aplicação, mostra-se a técnica de resolução por diferenças finitas para
a equação de equilíbrio estático, visto no capítulo 4 (equação 4.25) de uma viga de
Euler. Utiliza-se uma viga bi-apoiada do tipo isostática com um carregamento
distribuído . Com a utilização do MDF pretende-se obter as soluções numéricas
das flechas no meio do vão. A viga de estudo é mostrada na figura 5.2 e tem módulo
de elasticidade , momento de inércia e comprimento .
Os nós virtuais presentes fora desta viga (figura 5.2) e nas vigas dos próximos
exemplos são obtidos através das condições de contorno descrito no capítulo 4
(tabela 4.2).
44
Como o MDF calcula os valores de forma pontual, a viga (figura 5.2) com três
nós fica com um nó no centro, onde a flecha é máxima, e um nó em cada apoio.
Esses nós são separados igualmente, tanto os de dentro da viga quanto os de fora.
Figura 5.2: Viga bi-apoiada e discretizada com 3 nós em diferenças finitas (comportamento estático).
Fonte: Elaborada pelo autor.
Para três nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão ( ).
Substituindo na equação (4.25) , se obtém:
(5.10)
Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:
No apoio do 2º gênero ( )
(5.11)
(5.12)
No apoio do 1º gênero ( )
(5.13)
45
(5.14)
Substituindo as equações (5.11), (5.12), (5.13) e (5.14) na equação (5.10),
tem-se:
1ª equação:
(5.15)
Para:
E;
Temos:
(5.16)
A solução anterior, equação (5.16), representa a flecha no meio do vão,
aproximada na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.
46
5.1.2.2 Discretização da viga com 5 nós
Como no item anterior, neste próximo exemplo também se pretende calcular a
flecha no meio do vão. A viga da figura 5.3 tem as mesmas propriedades da anterior
(carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia e
comprimento ) mudando apenas o número de nós que serão discretizados na
mesma. Em resumo, ira se mostrar a técnica de resolução por diferenças finitas para
a equação de equilíbrio estático (equação 4.25) de uma viga de Euler.
Figura 5.3: Viga bi-apoiada e discretizada com 5 nós em diferenças finitas (comportamento estático).
Fonte: Elaborada pelo autor.
Para cinco nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão ( ).
Substituindo na equação (4.25) , se obtêm:
(5.17)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.18)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.19)
Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:
No apoio do 2º gênero ( )
(5.20)
47
(5.21)
No apoio do 1º gênero ( )
(5.22)
(5.23)
Substituindo as equações (5.20), (5.21), (5.22) e (5.23) nas equações (5.17),
(5.18) e (5.19), tem-se:
1ª equação:
(5.24)
2ª equação:
(5.25)
3ª equação:
(5.26)
Em resumo:
48
Portanto obteve-se um sistema de equações do tipo: , descrito abaixo:
Resolvendo o sistema pelo método de Cramer, encontra-se o valor do :
O valor de representa o valor da flecha no meio do vão da viga, quando:
E;
Logo:
(5.27)
A solução anterior, equação (5.27), representa a flecha no meio do vão da
viga, aproximada na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.
49
5.1.2.3 Discretização da viga com 7 nós
No próximo exemplo (figura 5.4) se pretende usar a mesma viga dos
exemplos anteriores (carregamento distribuído , módulo de elasticidade ,
momento de inércia e comprimento ) diferenciando apenar a discretização que
será de 7 nós, também se pretende calcular a flecha no meio do vão usando o
MDF.
Figura 5.4: Viga bi-apoiada e discretizada com 7 nós em diferenças finitas (comportamento estático).
Fonte: Elaborada pelo autor.
Para sete nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão ( ).
Substituindo na equação (4.25) , se obtém:
(5.28)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.29)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.30)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.31)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.32)
Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:
No apoio do 2º gênero ( )
50
(5.33)
(5.34)
No apoio do 1º gênero ( )
(5.35)
(5.36)
Substituindo as equações de condições de contorno (5.33), (5.34), (5.35) e
(5.36) nas equações (5.28), (5.29), (5.30), (5.31) e (5.32), tem-se:
1ª equação:
(5.37)
2ª equação:
(5.38)
3ª equação:
(5.39)
51
4ª equação:
(5.40)
5ª equação:
(5.41)
Em resumo:
Portanto obteve-se um sistema de equações do tipo: , descrito abaixo:
Resolvendo o sistema através de um software de computação técnica
chamado Maple (MapleSoft, 2010), encontram-se os valores dos , entretanto
apenas o será usado, que representa o valor da flecha no meio da viga.
Para:
52
E;
Temos:
(5.42)
A solução anterior, equação (5.42), representa a flecha no meio do vão da
viga aproximada na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.
5.1.2.4 Discretização da viga com 9 nós
No exemplo a seguir (figura 5.5) se usa uma discretização de 9 nós na viga,
sabendo que o carregamento distribuído , módulo de elasticidade E, momento
de inércia I e comprimento L permanecem, se pretende calcular a flecha no meio do
vão usando o MDF.
Figura 5.5: Viga bi-apoiada e discretizada com 9 nós em diferenças finitas (comportamento estático).
Fonte: Elaborada pelo autor.
Para nove nós na viga, se deseja calcular a flecha no meio do vão ( ).
Substituindo na equação (4.25) , se obtêm:
53
(5.43)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.44)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.45)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.46)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.47)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.48)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.49)
Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:
No apoio do 2º gênero ( )
(5.50)
(5.51)
No apoio do 1º gênero ( )
54
(5.52)
(5.53)
Substituindo as equações de condições de contorno (5.50), (5.51), (5.52) e
(5.53) nas equações (5.43), (5.44), (5.45), (5.46), (5.47), (5.48) e (5.49), tem-se:
1ª equação:
(5.54)
2ª equação:
(5.55)
3ª equação:
(5.56)
4ª equação:
(5.57)
5ª equação:
(5.58)
6ª equação:
(5.59)
55
7ª equação:
(5.60)
Em resumo:
Portanto, obteve-se um sistema de equações do tipo: , descrito
abaixo:
Como no exemplo anterior, foi usado para resolução do sistema, um software
de computação técnica chamado Maple (MapleSoft, 2010), que calculou os valores
dos , contudo, apenas o será usado, que representa o valor da flecha no meio
da viga.
Para:
56
E;
Temos:
(5.61)
A solução anterior, equação (5.61), representa a flecha no meio do vão da
viga aproximada na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.
5.1.2.5 Discretização da viga com 11 nós
Prosseguindo com o mesmo exemplo (carregamento distribuído , módulo
de elasticidade , momento de inércia e comprimento ) modificando apenas a
discretização que agora será de 11 nós (figura 5.6), se pretende calcular a flecha no
meio do vão empregando o MDF.
Figura 5.6: Viga bi-apoiada e discretizada com 11 nós em diferenças finitas (comportamento
estático). Fonte: Elaborada pelo autor.
Para onze nós na viga se deseja calcular a flecha no meio do vão ( ).
Substituindo na equação (4.25) , se obtêm:
57
(5.62)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.63)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.64)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.65)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.66)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.67)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.68)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.69)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.70)
Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:
No apoio do 2º gênero ( )
(5.71)
58
(5.72)
No apoio do 1º gênero ( )
(5.73)
(5.74)
Substituindo as equações de condições de contorno (5.71), (5.72), (5.73) e
(5.74) nas equações (5.62), (5.63), (5.64), (5.65), (5.66), (5.67), (5.68), (5.69) e
(5.70), tem-se:
1ª equação:
(5.75)
2ª equação:
(5.76)
3ª equação:
(5.77)
4ª equação:
(5.78)
59
5ª equação:
(5.79)
6ª equação:
(5.80)
7ª equação:
(5.81)
8ª equação:
(5.82)
9ª equação:
(5.83)
Em resumo:
Portanto, obteve-se um sistema de equações do tipo: , descrito
abaixo:
60
Resolvendo o sistema acima com o software Maple, se encontram os valores
dos , sabendo que apenas o será usado, pois representa o valor da flecha no
meio da viga.
Para:
E;
Temos:
(5.84)
A solução acima, equação (5.84), representa a flecha no meio do vão da viga,
aproximada na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.
61
5.1.2.6 Discretização da viga com 19 nós
Optou-se por mostrar a viga de 19 nós e não mostrar as vigas com 13, 15 e
17 nós, pois elas convergem no mesmo valor da flecha encontrada para a viga com
11 nós (equação 5.84), considerando uma aproximação de quatro casas decimais.
Para a viga com 19 nós (figura 5.7) se mantém o carregamento distribuído
, módulo de elasticidade , momento de inércia e comprimento . Pretende-se
também calcular a flecha no meio do vão empregando o MDF.
Figura 5.7: Viga bi-apoiada discretizada com 19 nós em diferenças finitas (comportamento estático).
Fonte: Elaborada pelo autor.
Para dezenove nós na viga se deseja calcular a flecha no meio do vão ( ).
Substituindo na equação (4.25) , se obtêm:
(5.85)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.86)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.87)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.88)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.89)
62
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.90)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.91)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.92)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.93)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.94)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.95)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.96)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.97)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.98)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.99)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.100)
63
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.101)
Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:
No apoio do 2º gênero ( )
(5.102)
(5.103)
No apoio do 1º gênero ( )
(5.104)
(5.105)
Substituindo as equações de condições de contorno (5.102), (5.103), (5.104)
e (5.105) nas equações (5.85), (5.86), (5.87), (5.88), (5.89), (5.88), (5.90), (5.91),
(5.92), (5.93), (5.94), (5.95), (5.96), (5.97), (5.98), (5.99), (5.100) e (5.101), tem-se:
1ª equação:
(5.106)
2ª equação:
64
(5.107)
3ª equação:
(5.108)
4ª equação:
(5.109)
5ª equação:
(5.110)
6ª equação:
(5.111)
7ª equação:
(5.112)
8ª equação:
(5.113)
9ª equação:
(5.114)
10ª equação:
(5.115)
11ª equação:
(5.116)
65
12ª equação:
(5.117)
13ª equação:
(5.118)
14ª equação:
(5.119)
15ª equação:
(5.120)
16ª equação:
(5.121)
17ª equação:
(5.122)
Em resumo:
66
Portanto obteve-se um sistema de equações do tipo: , descrito a
seguir:
67
68
Resolvendo o sistema anterior com o software Maple, se encontram os
valores dos , onde apenas o será usado, pois representa o valor da flecha no
meio da viga.
Para:
E;
Temos:
(5.123)
A solução acima, equação (5.123), representa a flecha no meio do vão da
viga, aproximada na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.
5.1.3 Análise dos resultados
Para se ter uma melhor comparação entre o valor analítico obtido pelo
Método da Integração Dupla (MID) e os valores numéricos obtidos pelo Método das
Diferenças Finitas (MDF) mostra-se na tabela 5.1 uma comparação entre o MID e o
MDF com as malhas de 3, 5, 7, 11 e 19 nós. Para que essa comparação seja
69
possível, trabalha-se com as chamadas flechas adimensionais, ou seja, se divide a
equação da flecha por
, como mostra o exemplo genérico abaixo:
Dividindo a equação por
:
Tem-se;
(5.124)
Logo a equação (5.124) representa de forma genérica o valor das flechas
adimensionais, tanto para a viga bi-apoiada, quanto para as outras vigas que serão
posteriormente mostradas.
A tabela 5.1 mostra que com o aumento do número de nós na viga se tem
uma maior aproximação do valor da flecha numérica em comparação ao valor
analítico. Entretanto, nota-se que a partir da malha com 11 nós até a malha de 19
nós os valores convergem lentamente até o erro percentual ser anulado.
Tabela 5.1: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das flechas para viga bi-apoiada.
Flechas adimensionais:
Solução
Analítica
(MID)
Solução Numérica: MDF
Malha
com 3
nós
Malha
com 5
nós
Malha
com 7
nós
Malha
com 9
nós
Malha
com 11
nós
Malha
com 19
nós
=0,0130
0,0156
0,0137
0,0133
0,0132
0,0131
0,0130
=Erro percentual relativo. Fonte: Elaborada pelo Autor.
70
O valor do erro percentual pode ser achado por meio de:
Para melhor visualizar a convergência do método numérico (MDF) para o
valor analítico (MID), mostra-se o gráfico da figura 5.8.
Figura 5.8: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das flechas para viga bi-apoiada.
Fonte: Elaborada pelo autor.
5.2 VIGA ENGASTADA-LIVRE
5.2.1 Método da integração dupla aplicado a uma viga de Euler engastada-livre
Assim como o exemplo anterior, será empregado o Método da Integração
Dupla (MID) para o cálculo do valor da flecha no meio do vão e na extremidade livre
da viga, para tal, é preciso ter a equação do momento que representa a viga.
Supondo que a viga tem carregamento distribuído , módulo de elasticidade ,
momento de inércia e comprimento , se obtém a expressão do momento através
do emprego do MID para a viga da figura 5.9. Lembrando que esta viga também é
isostática.
71
Figura 5.9: Viga engastada-livre.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Com uma seção imaginária passando a uma distância do bordo livre
(olhando pelo lado direito), encontra-se o valor da expressão do momento.
(5.125)
Substituindo a equação (5.125) na equação (3.2) e em seguida integrando-a,
se tem a equação das rotações (equação 5.126).
(5.126)
Ao integrar a equação (5.126) se obtém a equação da curva elástica
(equação 5.126) capaz de mostrar o valor da flecha em qualquer ponto da viga da
figura 5.8.
(5.127)
As constantes e são encontradas quando:
(5.128)
(5.129)
72
Substituindo a equação (5.127) na equação (5.125), se encontra o valor de .
(5.130)
Substituindo as equações (5.129) e (5.130) na equação (5.127), se encontra o
valor de .
(5.131)
Por fim, substituindo as equações (5.130) e (5.131) na equação (5.127),
considerando o
, se encontra o valor analítico da flecha no meio do vão.
(5.132)
Dividindo a equação (5.132) por :
(5.133)
A equação (5.133) representa o valor da flecha no meio do vão da viga da
figura 5.8.
Além do valor da flecha no meio do vão, será calculado o valor da flecha na
extremidade livre, através da substituição da equação (5.130) e (5.131) na equação
(5.127), considerando o , pois para este exemplo esta se considerando a plano
cartesiano com origem na extremidade livre, após essas substituições se encontra o
valor analítico da flecha na extremidade livre da viga.
73
(5.134)
Dividindo a equação (5.134) por :
(5.135)
A equação (5.135) representa o valor da flecha na extremidade livre da viga
da figura 5.8.
5.2.2 Método das diferenças finitas aplicado a uma viga de Euler engastada-
livre
5.2.2.1 Discretização da viga com 3 nós
Nesta aplicação, mostra-se a técnica de resolução por diferenças finitas para
a equação de equilíbrio estático (equação 4.25) de uma viga de Euler. Utiliza-se uma
viga engastada do tipo isostática com um carregamento distribuído , com a
utilização do MDF se pretende obter as soluções numéricas das flechas. A viga de
estudo é mostrada na figura 5.9 e tem módulo de elasticidade , momento de inércia
e comprimento . O objetivo é calcular as flechas no meio do vão e na extremidade
livre.
Os nós virtuais presentes fora desta viga (figura 5.10) e nas vigas dos
próximos exemplos são obtidos através das condições de contorno descrito no
capítulo 4 (tabela 4.2).
74
Figura 5.10: Viga engastada-livre discretizada com 3 nós em diferenças finitas (comportamento
estático). Fonte: Elaborada pelo Autor.
Para três nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão ( ) e na
extremidade livre ( ). Substituindo na equação (4.25) , se obtém:
(5.136)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.137)
Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:
No engaste ( )
(5.138)
(5.139)
Na extremidade livre ( )
(5.140)
75
Substituindo a equação (4.19):
(5.141)
Substituindo as equações (5.138), (5.139), (5.140) e (5.141) nas equações
(5.136) e (5.137).
1ª equação:
(5.142)
2ª equação:
(5.143)
Portanto obteve-se um sistema de equações do tipo: , descrito abaixo:
Logo;
=
76
Para:
E;
Temos:
(5.144)
(5.145)
As soluções anteriores, equações (5.144) e (5.145), representam as flechas
no meio do vão e na extremidade livre da viga, respectivamente, aproximadas na
flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.
5.2.2.2 Discretização da viga com 5 nós
Assim como no item anterior, neste próximo exemplo também se pretende
calcular as flechas no meio do vão e na extremidade livre. A viga da figura 5.11 tem
as mesmas propriedades da anterior (carregamento distribuído , módulo de
elasticidade , momento de inércia e comprimento ) mudando apenas o número
de nós que serão discretizados na mesma. Em resumo, mostra-se a técnica de
resolução por diferenças finitas para a equação de equilíbrio estático (equação 4.25)
de uma viga de Euler.
77
Figura 5.11: Viga engastada-livre discretizada com 5 nós em diferenças finitas (comportamento
estático). Fonte: Elaborada pelo Autor
Para cinco nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão ( ) e na
extremidade livre ( ). Substituindo na equação (4.25) , se obtém:
(5.146)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.147)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.148)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.149)
Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:
No engaste ( )
(5.150)
(5.151)
Na extremidade livre ( )
78
(5.152)
(5.153)
Substituindo as equações (5.150), (5.151), (5.152) e (5.153) nas equações
(5.146), (5.147), (5.148) e (5.149).
1ª equação:
(5.154)
2ª equação:
(5.155)
3ª equação:
(5.156)
4ª equação:
(5.157)
Em resumo:
79
Portanto obteve-se um sistema de equações do tipo: , descrito abaixo:
Resolvendo o sistema encontram-se os valores dos , entretanto apenas os
e serão usados, que representam o valor da flecha no meio e na extremidade
livre da viga, respectivamente:
Para:
E;
Temos:
(5.158)
(5.159)
As soluções anteriores, equações (5.158) e (5.159), representam as flechas
no meio do vão e na extremidade livre da viga, respectivamente, aproximadas na
flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.
80
5.2.2.3 Discretização da viga com 7 nós
No próximo exemplo (figura 5.12) se pretende usar a mesma viga dos
exemplos anteriores (carregamento distribuído , módulo de elasticidade ,
momento de inércia e comprimento ) diferenciando apenar a discretização que
será de 7 nós, também se pretende calcular as flechas no meio do vão e na
extremidade livre usando o MDF.
Figura 5.12: Viga engastada-livre discretizada com 7 nós em diferenças finitas (comportamento
estático). Fonte: Elaborada pelo Autor.
Para sete nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão ( ) e na
extremidade livre ( ). Substituindo na equação (4.25) , se obtém:
(5.160)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.161)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.162)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.163)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.164)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.165)
81
Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:
No engaste ( )
(5.166)
(5.167)
Na extremidade livre ( )
(5.168)
(5.169)
Substituindo as equações de condições de contorno (5.166), (5.167), (5.168)
e (5.169) nas equações (5.160), (5.161), (5.162), (5.163), (5.164) e (5.165), tem-se:
1ª equação:
(5.170)
2ª equação:
(5.171)
3ª equação:
(5.172)
82
4ª equação:
(5.173)
5ª equação:
(5.174)
6ª equação:
(5.175)
Em resumo:
Portanto obteve-se um sistema de equações do tipo: , descrito abaixo:
Resolvendo o sistema encontram-se os valores dos , entretanto apenas os
e serão usados, que representam o valor da flecha no meio e na extremidade
livre da viga, respectivamente:
83
Para:
E;
Temos:
(5.176)
(5.177)
As soluções anteriores, equações (5.176) e (5.177), representam as flechas
no meio do vão e na extremidade livre da viga, respectivamente, aproximadas na
flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.
5.2.2.4 Discretização da viga com 9 nós
No exemplo a seguir (figura 5.13), usa-se uma discretização de 9 nós na viga,
sabendo que o carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento
de inércia e comprimento permanecem, se pretende calcular as flechas no meio
do vão e na extremidade livre usando o MDF.
84
Figura 5.13: Viga engastada-livre discretizada com 9 nós em diferenças finitas (comportamento
estático). Fonte: Elaborada pelo Autor.
Para nove nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão ( ) e na
extremidade livre ( ). Substituindo na equação (4.25) , se obtm:
(5.178)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.179)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.180)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.181)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.182)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.183)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.184)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.185)
85
Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:
No engaste ( )
(5.186)
(5.187)
Na extremidade livre ( )
(5.188)
(5.189)
Substituindo as equações de condições de contorno (5.186), (5.187), (5.188)
e (5.189) nas equações (5.178), (5.179), (5.180), (5.181), (5.182) (5.183), (5.184) e
(5.185), tem-se:
1ª equação:
(5.190)
2ª equação:
(5.191)
3ª equação:
(5.192)
86
4ª equação:
(5.193)
5ª equação:
(5.194)
6ª equação:
(5.195)
7ª equação:
(5.196)
8ª equação:
(5.197)
Em resumo:
87
Portanto obteve-se um sistema de equações do tipo: , descrito abaixo:
Resolvendo o sistema encontram-se os valores dos , entretanto apenas os
e serão usados, que representam o valor da flecha no meio e na extremidade
livre da viga, respectivamente:
Para:
E;
Temos:
(5.198)
(5.199)
As soluções anteriores, equações (5.198) e (5.199), representam as flechas
no meio do vão e na extremidade livre da viga, respectivamente, aproximadas na
flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.
88
5.2.2.5 Discretização da viga com 11 nós
Continuando com o mesmo exemplo (carregamento distribuído , módulo
de elasticidade , momento de inércia e comprimento ) mudando apenas a
discretização que será agora de 11 nós (figura 5.14), se pretende calcular as flechas
no meio do vão e na extremidade livre empregando o MDF.
Figura 5.14: Viga engastada-livre discretizada com 11 nós em diferenças finitas (comportamento
estático). Fonte: Elaborada pelo Autor.
Para onze nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão ( ) e na
extremidade livre ( ). Substituindo na equação (4.25) , se obtém:
(5.200)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.201)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.202)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.203)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.204)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.205)
89
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.206)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.207)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.208)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.209)
Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:
No engaste ( )
(5.210)
(5.211)
Na extremidade livre ( )
(5.212)
(5.213)
Substituindo as equações de condições de contorno (5.210), (5.211), (5.212)
e (5.213) nas equações (5.200), (5.201), (5.202), (5.203), (5.204), (5.205), (5.206),
(5.207), (5.208) e (5.209), tem-se:
1ª equação:
90
(5.214)
2ª equação:
(5.215)
3ª equação:
(5.216)
4ª equação:
(5.217)
5ª equação:
(5.218)
6ª equação:
(5.219)
7ª equação:
(5.220)
8ª equação:
(5.221)
9ª equação:
(5.222)
91
10ª equação:
(5.223)
Em resumo:
Portanto obteve-se um sistema de equações do tipo: , descrito abaixo:
Resolvendo o sistema encontram-se os valores dos , entretanto apenas os
e serão usados, que representam o valor da flecha no meio e na extremidade
livre da viga, respectivamente:
Para:
92
E;
(5.224)
(5.225)
As soluções anteriores, equações (5.224) e (5.225), representam as flechas
no meio do vão e na extremidade livre da viga, respectivamente, aproximadas na
flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.
5.2.2.6 Discretização da viga com 13 nós
Agora a viga será discretizada com 13 nós (figura 5.15), sendo o
carregamento distribuído , módulo de elasticidade E, momento de inércia I e
comprimento L. Assim como anteriormente se pretende calcular as flechas no meio
do vão e na extremidade livre empregando o MDF.
Figura 5.15: Viga engastada-livre discretizada com 13 nós em diferenças finitas (comportamento
estático). Fonte: Elaborada pelo Autor.
93
Para treze nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão ( ) e na
extremidade livre ( ). Substituindo na equação (4.25) , se obtêm:
(5.226)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.227)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.228)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.229)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.230)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.231)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.232)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.233)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.234)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.235)
94
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.236)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.237)
Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:
No engaste ( )
(5.238)
(5.239)
Na extremidade livre ( )
(5.240)
(5.241)
Substituindo as equações de condições de contorno (5.238), (5.239), (5.240)
e (5.241) nas equações (5.226), (5.227), (5.228), (5.229), (5.230), (5.231), (5.232),
(5.233), (5.234), (5.235), (5.236) e (5.237), tem-se:
1ª equação:
(5.242)
2ª equação:
95
(5.243)
3ª equação:
(5.244)
4ª equação:
(5.245)
5ª equação:
(5.246)
6ª equação:
(5.247)
7ª equação:
(5.248)
8ª equação:
(5.249)
9ª equação:
(5.250)
10ª equação:
(5.251)
11ª equação:
96
(5.252)
12ª equação:
(5.253)
Em resumo:
Portanto obteve-se um sistema de equações do tipo: , descrito abaixo:
97
Resolvendo o sistema encontram-se os valores dos , entretanto apenas os
e serão usados, que representam o valor da flecha no meio e na extremidade
livre da viga, respectivamente:
Para:
E;
Temos:
(5.254)
(5.255)
As soluções anteriores, equações (5.254) e (5.255), representam as flechas
no meio do vão e na extremidade livre da viga, respectivamente, aproximadas na
flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.
5.2.2.7 Discretização da viga com 15 nós
Por último se aplica o MDF em uma viga (carregamento distribuído ,
módulo de elasticidade , momento de inércia e comprimento ) discretizada com
15 nós (figura 4.12). Pretende-se calcular as flechas no meio do vão e na
extremidade livre.
98
Figura 5.16: Viga engastada-livre discretizada com 15 nós em diferenças finitas (comportamento
estático). Fonte: Elaborada pelo Autor.
Para quinze nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão ( ) e
na extremidade livre ( ). Substituindo na equação (4.25) , se obtêm:
(5.256)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.257)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.258)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.259)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.260)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.261)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.262)
99
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.263)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.264)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.265)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.266)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.267)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.268)
Substituindo na equação (4.25) , têm-se:
(5.269)
Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:
No engaste ( )
(5.270)
(5.271)
Na extremidade livre ( )
(5.272)
100
(5.273)
Substituindo as equações de condições de contorno (5.270), (5.271), (5.272)
e (5.273) nas equações (5.256), (5.257), (5.258), (5.259), (5.260) (5.261), (5.262),
(5.263), (5.264), (5.265), (5.266), (5.267), (5.268) e (5.269), tem-se:
1ª equação:
(5.274)
2ª equação:
(5.275)
3ª equação:
(5.276)
4ª equação:
(5.277)
5ª equação:
(5.278)
6ª equação:
(5.279)
7ª equação:
(5.280)
101
8ª equação:
(5.281)
9ª equação:
(5.282)
10ª equação:
(5.283)
11ª equação:
(5.284)
12ª equação:
(5.285)
13ª equação:
(5.286)
14ª equação:
(5.287)
Em resumo:
102
Portanto obteve-se um sistema de equações do tipo: , descrito abaixo:
Resolvendo o sistema encontram-se os valores dos , entretanto apenas os
e serão usados, que representam o valor da flecha no meio e na extremidade
livre da viga, respectivamente:
Para:
E;
103
Temos:
(5.288)
(5.289)
As soluções anteriores, equações (5.288) e (5.289), representam as flechas
no meio do vão e na extremidade livre da viga, respectivamente, aproximadas na
flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.
5.2.3 Análise dos resultados
Como na viga bi-apoiada se usou a flecha adimensional para se ter uma
melhor comparação entre os valores analíticos obtidos pelo Método da Integração
Dupla e os valores numéricos obtidos pelo Método das Diferenças Finitas, também
se usará na viga engastada-livre este artifício de comparação. A fim de melhorar a
visualização se criou a tabela 5.2, que mostra uma comparação entre o MID e o
MDF, com malhas de 3, 5, 7, 11, 13 e 15 nós.
Nota-se que o MDF no meio do vão, para a malha com 3 nós, converge mais
rápido para o valor analítico que na extremidade livre, entretanto na malha com 15
nós esta diferença é quase que irrelevante.
104
Tabela 5.2: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das flechas para viga engastada-livre.
Flechas adimensionais:
Solução
Analítica
(MID)
Solução Numérica: MDF
Malha
com 3
nós
Malha
com 5
nós
Malha
com 7
nós
Malha
com 9
nós
Malha
com 11
nós
Malha
com 13
nós
Malha
com 15
nós
=0,0443
0,0625
0,0488
0,0463
0,0454
0,0450
0,0448
0,0446
=0,1250
0,1563
0,1328
0,1285
0,1270
0,1263
0,1259
0,1256
: Erro percentual relativo Fonte: Elaborada pelo Autor.
Para melhor visualizar a convergência do método numérico (MDF) para o
valor analítico (MID), mostra-se o gráfico da figura 5.17.
Figura 5.17: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das flechas para viga engastada-livre.
Fonte: Elaborada pelo autor.
105
5.3 VIGA BI-ENGASTADA (HIPERESTÁTICA)
5.3.1 Método da integração dupla aplicado a uma viga de Euler bi-engastada
Por fim, será empregado o MDF em uma viga de Euler bi-engastada, ou seja,
uma viga hiperestática. Pretende-se mostrar que o MDF não se limita apenas a
casos de vigas isostáticas. Para isso, como nos exemplos anteriores, será
empregado o Método da Integração Dupla (MID) para o cálculo do valor da flecha no
meio do vão da viga. Supondo que a viga tem carregamento distribuído , módulo
de elasticidade , momento de inércia e comprimento , se obtém a expressão do
momento através do emprego do MID para a viga da figura 5.18.
Figura 5.18: Viga bi-engastada. Fonte: Elaborada pelo Autor.
Como esta viga é uma estrutura hiperestática, as equações da estática
(equação 3.1) não funcionam para o cálculo das reações. Por isso se usou para o
cálculo das reações do engaste do lado esquerdo: e , uma tabela disponível
nos anexos deste trabalho, onde:
Com as reações, se chega à expressão do momento da viga da figura 5.16.
(5.290)
Substituindo a equação (5.290) na equação (3.2) e em seguida integrando-a,
se tem a equação das rotações (equação 5.291).
(5.292)
106
Ao integrar a equação (5.292), se obtém a equação da curva elástica
(equação 5.291), capaz de mostrar o valor da flecha em qualquer ponto da viga da
figura 5.16.
(5.292)
As constantes e são encontradas quando:
(5.293)
(5.294)
Substituindo a equação (5.293) e (5.294) na equação (5.292), se encontra os
valores de e .
(5.295)
(5.296)
Por fim, substituindo as equações (5.295) e (5.296) na equação (5.292),
considerando o
, se encontra o valor analítico da flecha no meio do vão.
(5.297)
Dividindo a equação por , temos:
(5.298)
A equação (5.298) representa o valor da flecha no meio do vão da viga da
figura 5.16.
5.3.2 Método das diferenças finitas aplicado a uma viga de Euler bi-engastada
5.3.2.1 Discretização da viga com 3 nós
Nesta aplicação, assim como nas aplicações anteriores, mostra-se a técnica
de resolução por diferenças finitas para a equação de equilíbrio estático, visto no
capítulo 4 (equação 4.25) para uma viga de Euler. Utiliza-se uma viga bi-engastada
107
do tipo hiperestática com um carregamento distribuído , com a utilização do
MDF pretende-se obter as soluções numéricas da flecha. A viga de estudo é
mostrada na figura 5.19 e tem módulo de elasticidade , momento de inércia e
comprimento .
Os nós presentes nesta viga (figura 5.19) e nas vigas dos próximos exemplos
são obtidos através das condições de contorno descrito no capítulo 4 (tabela 4.2).
Figura 5.19: Viga bi-engastada e discretizada com 3 nós em diferenças finitas (comportamento
estático). Fonte: Elaborada pelo autor.
Para três nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão ( ).
Substituindo na equação (4.25) , se obtêm:
(5.299)
Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:
No primeiro engaste ( )
(5.230)
(5.301)
No segundo engaste ( )
(5.302)
(5.303)
Substituindo as equações (5.230), (5.301), (5.302) e (5.303) na equação
(5.299), tem-se:
1ª equação:
(5.304)
108
Para:
E;
Temos:
(5.305)
A solução anterior, equação (5.305), representa a flecha no meio do vão,
aproximada na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.
5.3.2.2 Discretização da viga com 5 nós
A viga da figura 5.20 tem as mesmas propriedades da anterior (carregamento
distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia e comprimento )
mudando apenas o número de nós que serão discretizados na mesma.
Figura 5.20: Viga bi-engastada e discretizada com 5 nós em diferenças finitas (comportamento
estático). Fonte: Elaborada pelo autor.
Para cinco nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão ( ).
Substituindo na equação (4.25) , , , respectivamente temos:
(5.306)
(5.307)
(5.308)
Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:
109
No primeiro engaste ( )
(5.309)
(5.310)
No segundo engaste ( )
(5.311)
(5.312)
Substituindo as equações (5.309), (5.310), (5.311) e (5.312) nas equações
(5.306), (5.307) e (5.308), respectivamente temos:
(5.313)
(5.314)
(5.315)
Portanto obteve-se um sistema de equações do tipo: , descrito abaixo:
Resolvendo o sistema pelo método de Cramer, encontra-se o valor do :
O valor de representa o valor da flecha no meio do vão da viga, quando:
E;
Temos:
(5.316)
A solução anterior, equação (5.316), representa a flecha no meio do vão da
viga, aproximada na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.
110
5.3.2.3 Discretização da viga com 7 nós
Emprega-se o MDF em uma viga hiperestática, desta vez com malha de 7
nós, os parâmetros da viga da figura 5.21 são os mesmos das anteriores. Pretende-
se calcular a flecha no meio do vão.
Figura 5.21: Viga bi-engastada e discretizada com 7 nós em diferenças finitas (comportamento
estático). Fonte: Elaborada pelo autor.
Para sete nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão ( ).
Substituindo na equação (4.25) , , , e , respectivamente,
obtêm-se:
(5.317)
(5.318)
(5.319)
(5.320)
(5.321)
Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:
No primeiro engaste ( )
(5.322)
(5.323)
No segundo engaste ( )
(5.324)
(5.325)
Substituindo as equações de condições de contorno (5.322), (5.323), (5.324)
e (5.325) nas equações (5.317), (5.318), (5.319), (5.320) e (5.321), respectivamente,
tem-se:
(5.326)
(5.327)
111
(5.328)
(5.329)
(5.330)
Portanto obteve-se um sistema de equações do tipo: , descrito abaixo:
Resolvendo o sistema através do software Maple, se encontram os valores
dos , contudo apenas o será usado, que representa o valor da flecha no meio da
viga.
Para:
E;
Temos:
(5.331)
A equação (5.331) representa a flecha no meio do vão da viga aproximada na
flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.
5.3.2.4 Discretização da viga com 9 nós
No exemplo a seguir (figura 5.22) se usa uma discretização de 9 nós na viga,
sabendo que o carregamento distribuído , módulo de elasticidade E, momento
de inércia I e comprimento L permanecem, se pretende calcular a flecha no meio do
vão usando o MDF.
112
Figura 5.22: Viga bi-engastada e discretizada com 9 nós em diferenças finitas (comportamento
estático). Fonte: Elaborada pelo autor.
Para nove nós na viga, se deseja calcular a flecha no meio do vão ( ).
Substituindo na equação (4.25) , , , , , e ,
respectivamente, se obtém:
(5.332)
(5.333)
(5.334)
(5.335)
(5.336)
(5.337)
(5.338)
Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:
No primeiro engaste ( )
(5.339)
(5.340)
No segundo engaste ( )
(5.341)
(5.342)
Substituindo as equações de condições de contorno (5.339), (5.340), (5.341)
e (5.342) nas equações (5.332), (5.333), (5.334), (5.335), (5.336), (5.337) e (5.338),
respectivamente, tem-se:
(5.343)
(5.344)
(5.345)
(5.346)
(5.347)
(5.348)
113
(5.349)
Portanto, obteve-se um sistema de equações do tipo: , descrito
abaixo:
Resolvendo o sistema através do software Maple, se encontram os valores
dos , contudo apenas o será usado, que representa o valor da flecha no meio da
viga.
Para:
E;
Temos:
(5.350)
A solução anterior, equação (5.350), representa a flecha no meio do vão da
viga aproximada na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.
5.3.2.5 Discretização da viga com 11 nós
Prosseguindo com o mesmo exemplo (carregamento distribuído , módulo
de elasticidade , momento de inércia e comprimento ) modificando apenas a
114
discretização que agora será de 11 nós (figura 5.23), se pretende calcular a flecha
no meio do vão empregando o MDF.
Figura 5.23: Viga bi-engastada e discretizada com 11 nós em diferenças finitas (comportamento
estático). Fonte: Elaborada pelo autor.
Para onze nós na viga se deseja calcular a flecha no meio do vão ( ).
Substituindo na equação (4.25) , , , , , , , e
, respectivamente, se obtêm:
(5.351)
(5.352)
(5.353)
(5.354)
(5.355)
(5.356)
(5.357)
(5.358)
(5.359)
Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:
No primeiro engaste ( )
(5.360)
(5.361)
No segundo engaste ( )
(5.362)
(5.363)
Substituindo as equações de condições de contorno (5.360), (5.361), (5.362)
e (5.363) nas equações (5.351), (5.352), (5.353), (5.354), (5.355), (5.356), (5.357),
(5.358) e (5.359), respectivamente, tem-se:
(5.364)
115
(5.365)
(5.366)
(5.367)
(5.368)
(5.369)
(5.370)
(5.371)
(5.372)
Portanto obteve-se um sistema de equações do tipo: , descrito abaixo:
Resolvendo o sistema acima com o software Maple, se encontram os valores
dos , sabendo que, apenas o será usado, pois representa o valor da flecha no
meio da viga.
Para:
E;
Temos:
(5.373)
A solução acima, equação (5.373), representa a flecha no meio do vão da
viga, aproximada na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.
116
5.3.2.6 Discretização da viga com 13, 15, 17 e 19 nós
Continuando com a viga bi-engastada, emprega-se o MDF com malhas de 13,
15, 17 e 19 nós. Sabe-se que ao substituir as condições de contorno nas devidas
equações se chega a sistemas de equações lineares que ao serem resolvidos com o
software Maple e substituindo os valores de e , temos os valor das flechas no
meio do vão, mostrado abaixo:
(5.374)
(5.375)
(5.376)
(5.377)
5.3.3 Análise dos resultados
Assim como as vigas dos exemplos anteriores, para se ter uma melhor
comparação entre o valor analítico obtido pelo MID e os valores numéricos obtidos
pelo MDF, mostra-se na tabela 5.3 uma comparação entre o MID e o MDF com as
malhas de 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17 e 19 nós. Para que essa comparação seja possível,
trabalha-se com as chamadas flechas adimensionais, já mostrada no item 5.1.3.
A tabela 5.3 mostra que com o aumento do número de nós na viga se tem
uma maior aproximação do valor da flecha numérica em comparação ao valor
analítico.
117
Tabela 5.3: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das flechas para viga bi-engastada.
Flechas adimensionais:
Solução
Analítica
(MID)
Solução Numérica: MDF
Malha
com 3
nós
Malha
com 5
nós
Malha
com 7
nós
Malha
com 9
nós
Malha
com 11
nós
Malha
com 13,
15 e
17nós
Malha
com 19
nós
=0,0026
0,0078
0,0039
0,0032
0,0029
0,0028
0,0027
0,0026
=Erro percentual relativo. Fonte: Elaborada pelo Autor.
Observa-se que com uma malha de 3 nós o erro é muito alto, contudo a
medida que aumenta a malha o erro diminui quase que pela metade a cada aumento
de malha. Apesar disso, as malhas de 13, 15 e 17 nós apresentaram o mesmo valor,
considerando quatro casas decimais, pois se fosse considerado apenas duas casas
decimais a malha com três nós já teria um erro de 0%.
Para melhor visualizar a convergência do método numérico (MDF) para o
valor analítico (MID), mostra-se o gráfico da figura 5.24.
118
Figura 5.24: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das flechas para viga bi-engastada.
Fonte: Elaborada pelo autor.
119
6. CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
A cada ano, o estudo das estruturas na construção civil se torna mais
presente nas universidades, através de estudos em nível de graduação e pós-
graduação. O mercado de trabalho cobra que o engenheiro estrutural tenha um
completo entendimento das tradicionais e novas técnicas que sujem para a análise e
o dimensionamento das peças estruturais.
O Método das Diferenças Finitas, apesar de não ser um método numérico
novo, é um método pouco explorado na graduação em engenharia civil, talvez
devido ao fato de se priorizar o ensinamento de métodos analíticos que, mostram de
forma global e ampla o comportamento de uma estrutura. De forma geral os
métodos numéricos, incluindo o MDF, mostram resultados de forma pontual,
entretanto, não se limitam a um único caso específico de aplicação.
As estruturas são elementos de um sistema maior, chamado de sistema
global, composto por vários elementos ou subsistemas que trabalham cada um de
forma distinta, onde um pode ou não interagir com o outro. Dependendo da forma,
posição e carregamento cada elemento estrutural produzirá esforços internos e
externos, afim de, estabilizar o sistema global.
Um dos principais elementos estruturais são as vigas. Elas podem ser
classificadas quanto ao tipo e posição dos apoios, a origem das cargas, etc. As
vigas são peças estruturais, que produzem esforços diferenciados das outras peças
estruturais. Sua deformação pode acarretar alguns incômodos em casas e edifícios,
essas deformações são conhecidas como flecha. No nível de graduação, existe o
método analítico da integração dupla que mostra o valor da flecha na viga, basta ter
a expressão do momento característico da viga em estudo.
Existem duas teorias que estudam o comportamento da viga, a teoria de Euler
e Timoshenko. A primeira é mais usual, pois a viga geralmente se apresenta como
um elemento unidimensional logo, apenas produz esforços de momento fletor. Já a
segunda, apesar de ser mais completa, não considera a viga com elemento
unidimensional, por isso produzirá além do momento fletor o esforço de
cisalhamento.
Através da substituição das derivadas por formas de diferenças finitas, que
são obtidas pela expansão em série de Taylor, se tem os operadores em diferenças
120
fintas para as derivadas de ordem , dependendo do truncamento e o nível da
ordem do erro desejado. Como a equação de Euler para viga, considerando a
estrutura estática, é uma equação de quarta ordem, o operador em diferenças finitas
encontrado foi até a substituição da derivada de quarta ordem, ou seja, se a
derivada fosse de uma ordem maior também se teria operadores para ela, logo se
conclui que para o MDF funcionar basta ter uma equação diferencial de qualquer
ordem, que o método não ira se limitar.
Como o MDF cria pontos virtuais (nós) na viga, acaba que aparecem também
pontos fora da viga, devido a isso, se torna necessário a utilização das condições de
contorno, que irão diminuir o número de variáveis, por meio de valores conhecidos
na viga, pois essas condições relacionam os pontos fora com os pontos de dentro da
viga.
Em resumo, o MDF substitui uma equação diferencial por um sistema de
equação. Como ocorre na equação de Euler, onde uma equação diferencial de
quarta ordem foi substituída por um sistema.
Para melhor entender o MDF e para mostrar que ele realmente funciona,
aplica-se o método em exemplos de vigas estáticas de Euler. Como primeiro
exemplo, uma viga bi-apoiada, através da equação governante da viga de Euler por
diferenças finitas com malhas de 3, 5, 7, 9, 11 e 19 nós, se calculou a flecha
adimensional no meio do vão. Considerando o MID como método de referência,
foram comparados os valores das flechas adimensionais encontrados por meio do
método numérico e do método analítico. Notou-se que à medida que aumenta o
número de pontos na viga o valor numérico (MDF) se aproxima mais do valor
analítico (MID). Entretanto, tem seqüências de malhas que o MDF demora para
convergir para o valor analítico.
O segundo exemplo que foi mostrado, uma viga engastada-livre, também se
calculou a flecha adimensional pelo MID e MDF (3, 5, 7, 9, 13 e 15 nós), contudo,
além da flecha no meio do vão, se torna válido a obtenção da flecha na extremidade
livre da viga. Para todas as malhas, o MDF converge mais rápido na extremidade
livre.
Para o último exemplo, uma viga bi-engastada, o método numérico na
primeira malha teve um erro muito grande, isso para uma aproximação de quatro
casas decimais, entretanto conforme a malha se adensa, o MDF converge para o
valor analítico (MID).
121
Com a aplicação do MDF nas vigas, se obteve sistemas de equações
lineares, que quando a malha possuía poucos nós, era possível resolver o sistema
de equações por técnicas aprendidas na graduação, e quando se aumentava os nós
se obteve matrizes grandes, que com o auxílio de um software puderam ser
resolvidas. O MDF converge a sistemas capazes de serem resolvido “a mão”, ou
seja, não se precisou de um software para calcular as flechas, apenas se usou um
software para o cálculo das matrizes, que funcionou como uma calculadora de mão,
onde se usa para cálculos grandes.
Conclui-se que o MDF, em todos os exemplos, convergiu para o método
analítico. Isso serve para outras possíveis aplicações do MDF, independente da
malha o MDF provavelmente ira convergir ( ).
Apesar de todas as contribuições desse trabalho, ficam algumas sugestões
para possíveis trabalhos futuros. Como por exemplo: a aplicação do MDF na viga de
Euler para o comportamento dinâmico, pois este trabalho apenas abordou o
comportamento estático. A aplicação do MDF na viga de Timoshenko,
comportamento estático e dinâmico. A criação de um programa de computador para
as possíveis aplicações do MDF. A aplicação do MDF em outro tipo de elemento
estrutural, como pilares, lajes, etc.
122
REFERÊNCIAS BIBLIOGÁFICAS
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124
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125
ANEXO
126
ANEXO A – FORÇAS DE FIXAÇÃO DEVIDAS A CARGAS DE VÃO NA BARRA
BI-ENGASTADA.
Este anexo fornece uma tabela para o cálculo das reações em uma viga
hiperestática, do tipo bi-engastada.
Figura A.1: Valores das reações em uma viga bi-engastada. Fonte: UNL, 2003.