O metoda de rezolvare a unor ecuatii care contin module · O metoda de rezolvare a unor ecuatii...

O metoda de rezolvare a unor ecuatii care contin module

Atunci cand rezolvam ecuatii care contin module, principala grija este sa eliminam modulele si

sa obtinem astfel o ecuatie algebrica pe care stim cum sa o rezolvam.

Putem sa eliminam modulul unei expresii algebrice daca cunoastem semnul expresiei, ceea ce

nu este intotdeauna simplu, uneori, avand nevoie de multe calcule.

De exemplu avem de rezolvat ecuatia: ||| 2x – 1| - 9 | - 5 | = 3.

Pentru a elimina cele trei module folosind semnul expresiilor din modul avem nevoie de timp si

de multe calcule.

Va voi prezenta in continuare o metoda simpla de rezolvare a acestui tip de ecuatii.

In rezolvarea ecuatiei | x | = a, in R, unde a R, intalnim trei cazuri :

1. daca a < 0, ecuatia | x | = a nu are solutii, este imposibila.

2. daca a = 0, ecuatia | x | = 0 are solutia x = 0, S = {0}.

3. daca a > 0, ecuatia | x | = a x = a sau x = -a, ecuatia are doua solutii, S={-a,a }.

Procedand similar putem rezolva ecuatii de forma:

a) | 2 – x | = 3;

b) || 2x + 3|- 5| = 9;

c) ||| 5x- 1|- 4| - 3 | = 2;

d) ||| 2x – 1| - 9 | - 5 | = 3.

Rezolvare:

a) | 2 – x | = 3 2 – x = 3 sau 2 – x = - 3 - x = 3 - 2 sau - x = - 3 - 2 x = - 1 sau x = 5

S ={-1, 5};

b) || 2x + 3| - 5| = 9 |2x + 3| - 5 = 9 sau |2x + 3| - 5 = - 9 |2x + 3| = 14 sau |2x + 3| = - 4

| 2x + 3 | = 14 2x + 3 = 14 sau 2x + 3 = -14 2x = 14 – 3 sau 2x = - 14 - 3

x = 2

11 sau x = -2

17 S 1 =2

11,2

17 .

|2x + 3| = - 4 (ecuatie imposibila deoarece – 4 < 0) S 2 = Ø

Deci S = S 1 S 2 = 2

11,2

17

c) |||5x – 1| - 4| - 3| = 2 ||5x – 1| - 4 | - 3 = 2 sau ||5x – 1| - 4 | - 3 = - 2

||5x – 1| - 4| = 5 sau ||5x – 1|- 4| = 1 |5x – 1| - 4 = 5 sau |5x – 1| - 4= - 5 sau |5x – 1| - 4 = 1

sau |5x – 1| - 4 = - 1 |5x - 1| = 9 sau |5x - 1| = -1 sau |5x - 1| = 5 sau |5x - 1| =3

|5x – 1| = 9 5x – 1 = 9 sau 5x - 1= - 9 x = 2 sau x = -58 S 1 = 2,

58 .

|5x -1| = - 1(ecuatie imposibila deoarece – 1 < 0) S 2 = Ø

|5x – 1| = 5 5x - 1 = 5 sau 5x - 1 = - 5 x = 56 sau x = -

54 S 3 =

56,

54 .

|5x -1| = 3 5x – 1 = 3 sau 5x – 1 = - 3 x = 54 sau x = -

52 S 4 =

52,

54 .

Deci S = S 1 S 2 S 3 S 4 = 2,56,

54,

52,

54,

58

d) ||| 2x – 1| - 9 | - 5 | = 3 ||2x – 1| - 9 | - 5 = 3 sau ||2x – 1| - 9 | - 5 = - 3

||2x – 1| - 9 |= 8 sau ||2x – 1| - 9 |= 2 |2x – 1| - 9 = 8 sau |2x – 1| - 9 = - 8 sau |2x – 1| - 9 = 2

sau |2x – 1| - 9 = - 2 |2x – 1| = 17 sau |2x - 1| = 1 sau |2x - 1| = 11 sau |2x - 1| = 7

|2x – 1| = 17 2x – 1 = 17 sau 2x - 1= - 17 x = 9 sau x = - 8 S 1 = 9,8 .

|2x – 1| = 1 2x – 1 = 1 sau 2x - 1= - 1 x = 1 sau x = 0 S 2 = {0, 1}

|2x – 1| = 11 2x - 1 = 11 sau 2x - 1 = - 11 x = 6 sau x = - 5 S 3 = 6,5 .

|2x – 1| = 7 2x – 1 = 7 sau 2x – 1 = - 7 x = 4 sau x = - 3 S 4 = 4,3 .

Deci S = S 1 S 2 S 3 S 4 = {-8, -5, -3, 0, 1, 4, 6, 9}.

Pentru consolidare rezolvati urmatoarele ecuatiile:

|x – 3 | = 12 ; |3x – 7| = 2 ; |7- 3x| = 5 ; |2x + 3 |= 0 ; || 2x -3 | + 1| = 6; |||1 – x| + 1|- 12| = 6

Formule utile:

1+2+3+2

)1(nnn

16

)12)(1(2 222 nnnn

1 2333 ]2

)1([2 nnn

0,0,

xxxx

x

1. Rxx ,0 2. yxyx 3. xx 4. yxyx 5. yx

yx

6. 0,aaxaax 7. 0),,[],( aaaxax 8. yxyx

1.x = [x]+{x}, Rx , [x] Z {x} )1,0[ 2. [x] x< [x]+1, [x] = a xa < a+1 3. [x+k]=[x]+k, ZkRx ,

4. {x+k}={x}, ZkRx ,

Identitati si inegalitati

1. Identitati:

Fie a, b, c R si m, n N a) (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 , b) (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 , c) a 2 - b 2 = (a – b)(a + b), d) a 3 b 3 = (a b)( a 2 ab + b 2 ), e) a n - b n = (a – b)(a 1n + a 2n b + ... + ab 2n + b 1n ) f) a 1m2 + b 1m2 = (a + b)(a m2 - a 1m2 b + a 2m2 b - ... - ab 1m2 + b m2 ) g) a m2 - b m2 = (a m - b m )(a m + b m ) h) (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca.

2. Inegalitati:

a) daca 0 < a b atunci a p b p (p R ) si q a q b (q R) b) bababa , a, b R

c) l...ba a + b +...+ l a, b, ... , l R

d) daca a < b si a, b, m, n > 0 atunci a < nmnbma < b

e) a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca, a, b, c R f) a 3 + b 3 + c 3 3abc, a, b, c R

g) n

a...aa n21 nn21 a...aa , a 1 , a 2 , ... , a n R

h) (1 + a)(1 + b)...(1 + t) > 1 + (a + b + ... +t), a, b, ... , t 0 i) 1 - a n < n(1 – a) , a > 0, j) n 1n > (n + 1) n , 3 < n N,

k) nn < n! < n

21n , n N * ,

l) (a 21 + a 2

2 + ... + a 2n )(b 2

1 + b 22 + ... + b 2

n ) (a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n ) 2 , a 1 ,b 1 , ... , a n ,b n R, m) daca 0 < a < 1 si x < y atunci a x > a y , n) daca a > 0 si x < y atunci a x < a y , o) daca 0 < a < 1 si x < y atunci log a x > log a y , p) daca a > 0 si x < y atunci log a x < log a y .

e,/{ NxxB

,VD

};4,3,2, }3,2,1{ P

MUL IMI; RELA II Mul imea e un ansamblu de obiecte, numite elemente, grupate fie prin indicarea elementelor, fie prin formularea unor propriet i caracteristice lor i numai lor. Exemple:

1. C = {mul imea caietelor colare} 2. M= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 3. E= {e, l, v elementele cuvântului elev} 4. D = {x/x este elev în clasa a VIII a}

Observa ie: un element într-o mul ime apare numai o singur dat . Exemple:

1. M se cite te 9 apar ine mul imii M, respectiv 12 nu apar ine mul imii MM 12;92. EaE, 3. }3x

Mul imea care nu are nici un element se nume te mul imea vid . Mul imea vid estecu Ø. Observa ie. Exist o singur mul ime vid . O mul ime A este inclus într-o mul ime B dac i numai dac fiecare element al lui element i pentru mul imea B. Nota ie: A B i se cite te „A este inclus în B” i cite te „D nu este inclus în V” O mul ime A este submul ime a mul imii B dac toate elementele lui A sunt i în B, saltfel A este inclus în B. Mul imea Ø este submul ime pentru oricare mul ime . Exemple Q Q 1{P Dou mul imi sunt egale dac au acelea i elemente. Nota ie: B A

Mul imea în care se afl toate elementele mul imilor A i B, i numai ale lor (fiecare elemcomun mul imilor figurând o singur dat ), se nume te reuniunea mul imilor A i B. Astfel: sau AA xxB }Bx/{Nota ie: se cite te „reuniunea mul imilor A i B”. Exemple: iar atunci }5,3,1{A }5,2,1B },5,3,2,1{BA (se iau toate elementele o sindat ). Diferen a Mul imea elementelor care apar in mul imii A, dar care nu apar in mul imii B, se numdiferen a dintre mul imile A i B. Astfel: i AA xxB /{ }BxNota ie: B

}5,3,1{A }5,2,1{B }3{ sau A\B i se nume te „diferen a mul imilor A i B”. A

Exemple: iar atunci BA . MUL IMI FINITE, MUL IMI INFINITE Observ m c exist mul imi vide i mul imi cu un num r finit de elemente, numite mul imi fini Cardinalul unei mul imi finite este num rul finit de elemente, numite mul imi finite.

1. Asociativitatea reuniunii si a intersec iei: A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C 2. Comutativitatea reuniunii si a intersec iei: A B=B A A B=B A 3. Idempoten a reuniunii si intersec iei: A A=A A A=A 4. A Ø=A A Ø=Ø 5. Distributivitatea reuniunii fa de intersec ie: A (B C)=(A B) (A C) 6. Distributivitatea intersec iei fa de reuniune: A (B C)=(A B) (A C)

7. A,B E, (A B)= A B

(A B)= A B

8. A E, ( A)=A

9. A\B= (A B) 10. A\(B C)=(A\B)\C A\(B C)=(A\B) (A\C) (A B)\C=(A\C) (B\C) (A B)\C=A (B\C)=(A\C) B 11. A×(B C)=(A×B) (A×C) A×(B C)=(A×B) (A×C) A×(B\C)=(A×B)\ (A×C) A×B B×A A B ( x) (x A=>x B) A B ( x)((x A) (x B)) x A B (x A) (x B) x A B (x A) (x B) x C EA (x E) (x A) x A\B (x A) (x B)

}7,8,2{P }5,3,1{Q Dou mul imi sunt disjuncte dac intersec ia lor este mul imea vid . Exemple: iar QP Reuniunea Mul imea în care se afl toate elementele mul imilor A i B, i numai ale lor (fiecare elemencomun mul imilor figurând o singur dat ), se nume te reuniunea mul imilor A i B. Astfel: sau AA xxB }Bx/{Nota ie: se cite te „reuniunea mul imilor A i B”. Exemple: iar atunci }5,3,1{A }5,2,1B },5,3,2,1{BA (se iau toate elementele o singurdat ).

Puteri si radicali.

1. Prin puterea n a unui numar real a intelegem numarul a n = a·a· ... ·a (n N) a se numeste baza, iar n N se numeste exponent.

Daca a 0 avem a 0 = 1, a n = na1 .

2. Prin radacina de ordin n sau radical de ordin n, n N, n 2 a unui numar a > 0 intelegem un

numar real, pe care il notam cu n a = a n1

si care are proprietatea ( n a ) n = a. Proprietati - puteri: Fie n, m N, a, b R *

a) a n a m = a mn , b) (a n ) m = a nm , c) m

n

aa = a mn , d) (ab) n = a n ·b n ,

e) n

ba = n

n

ba .

Proprietati - radicali: Fie a, b >0, n, m N, n, m 2,

a) n ab = n a · n b , b) nba =

n

n

ba , c) n mna = a m , d) ( n a ) m = n ma ,

e) n ma = nk mka , f) n m a = nm a . 3. Daca a<0, n 3, n N impar, se numeste radical de ordinul n al lui a, numarul negativ notat n a care are proprietatea ca ( n a ) n = a. Obs.: Proprietatile date in cazul radicalilor din numere pozitive sunt valabile si pentru radicalii de ordin impar din numere negative. 4. BA si BA se numesc radicali dubli. In anumite conditii acestia se descompun in suma sau diferenta de radicali simpli. Daca A 2 - B= C 2 (este un patrat perfect) atunci:

BA =2

CA +2

CA si BA =2

CA -2

CA

5. O expresie care contine radicali se numeste conjugata unei alte expresii care contine radicali, daca produsul celor doua expresii se poate scrie fara radicali. Cele doua expresii se numesc conjugate.

n

Exemple: a) a > 0, b R atunci a +b si a - b sunt conjugate deoarece ( a +b)( a - b) = a - b 2 , b) a, b >0 atunci a + b si a - b sunt conjugate deoarece ( a + b )( a - b ) = a – b. 6. Puteri cu exponent rational:

a) Puteri cu exponent rational pozitiv: definim a nm

= n ma , a 0 si Qnm , 0

nm , n 2,

b) Puteri cu exponent rational negativ: definim a nm

=nm

a

1 =n ma

1 , a > 0 si Qnm , 0

nm , n 2

Proprietati ale puterilor cu exponent rational

Daca a > 0, b > 0 si Qqp,

nm avem:

a) a nm

·a qp

= a qp

nm

, b) (ab) nm

=a nm

·b nm

, c)nm

nm

nm

b

aba , d)

qp

nm

a = a qp

nm

,

e) qp

nm

qp

nm

aa

a .

Alte proprietati

a) Daca 0 < a < 1 si n 2, n N atunci 0 < n a < 1 0 < a n1

< 1.

b) Daca a > 1 si n 2, n N atunci 1 < n a 1 < a n1

. Pornind de la aceste proprietati putem stabili urmatoarele: a) Daca 0 < a < 1 si x Q, x > 0 atunci 0 < a x < 1. b) Daca a > 1 si x Q, x > 0 atunci a x > 1. c) Daca 0 < a < 1 si x Q, x < 0 atunci a x > 1 . d) Daca a > 1 si x Q, x < 0 atunci 0 < a x < 1. e) ( x) Q avem 1 x =1.

Functii – definitie, proprietati, functii elementare

1. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui element x X facem sa-i corespunda un singur element y Y.

Vom nota y = f(x) sau f: X Y sau Xf

Y. x – se numeste variabila sau argument, y – se numeste valoarea functiei, X – se numeste multimea de definitie Y – se numeste multimea valorilor functiei. 2. Daca X R si Y R vom spune ca f este functie reala de variabila reala. 3. Daca X 1 este o submultime a lui X (X 1 X) functia f 1 definita pe X 1 si egala cu f pe aceasta submultime (f 1(x) = f(x) ( ) x X1 ) se numeste restrictia lui f la X 1 . Invers, f se numeste prelungirea lui f 1 pe X. 4. Spunem ca functia f: X Y este strict descrescatoare daca ( ) x 1 , x 2 A, x 1 x 2 avem

21

21

xx)x(f)x(f

< 0.

5. Spunem ca functia f: X Y este strict crescatoare daca ( ) x 1 , x 2 A, x 1 x 2 avem

21

21

xx)x(f)x(f > 0.

6. Spunem ca functia f: X Y este injectiva daca este verificata una din urmatoarele conditii:

a) ( ) x 1 , x 2 X, x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) sau b) ( ) x 1 , x 2 X, astfel incat f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2 sau c) ( ) y Y ecuatia f(x) = y are cel mult o solutie in X.

Cele trei conditii sunt echivalente. In rezolvarea exercitiilor poate fi folosita oricare din ele.

7. Spunem ca functia f: X Y este surjectiva daca este satisfacuta una din urmatoarele conditii:

a) ( ) y Y, ( ) x X astfel incat f(x) = y sau

b) ( ) y Y ecuatia f(x) = y are cel putin o solutie in X.

8. O functie f: X Y este bijectiva daca este injectiva si surjectiva. 9. f: X Y este bijectiva ( ) y Y ecuatia f(x) = y are o singura solutie in X. 10. f: X Y este marginita daca exista doua numere reale m, M astfel incat ( ) x X avem

11. Daca YX:f si ZY:g , spunem ca urmatoarea functie notata ZX:gof unde ))x(f(g)x)(gof( se numeste compusa functiilor f si g.

12. X1 este functia identica definita pe X: XX:1x , x)x(1X . 13. Spunem ca functia YX:f este inversabila daca exista o functie XY:g astfel incat

X1)x)(gof( (x) si )y(1)y)(fog( Y . Inversa functiei f se noteaza cu f 1 . 14. Functia YX:f este inversabila daca si numai daca f este bijectiva. 15. Functia YX:f este para daca f(x) = f(-x) ( ) x X (X este o multime simetrica fata de 0). 16. Functia YX:f este impara daca f(x) = - f(x) ( ) x X (X este o multime simetrica fata de 0). 17. Functia YX:f este periodica, de perioada T, daca ( ) T R * astfel incat

f(x + T) = f(x) ( ) x X. Cel mai mic dintre aceste numere T pozitive se noteaza cu T * si se numeste perioada principala.

: E F si A E, B E, atunci (A) ={y F x A a.i. (x)=y} -1 (B) = {x E (x) B}.

Func ia de gradul I :f:R R,f(x)=ax+b,a 0 , a,b R

Propriet i:Dac a>0 f este strict cresc toare Dac a<0 f este strict descresc toare A )(),( fGf

Dac printr-un procedeu oarecare facem ca oric rui element din mul imea A s -i corespund un singur element dintr-o alt mul ime B, spunem c am definit o func ie de la A la B. A se nume te mul imea (domeniul) de defini ie a func iei. B se nume te mul imea în care func ia ia valori (codomeniul). Procedeul se nume te lege de coresponden Nota ie : f :A B citit “ f definit pe A cu valori în B” Exemplu: f : , f(x)=2x+3

Observa ie : Pentru a caracteriza o func ie trebuie date trei elemente : 1) mul imea de defini ie ;

2) legea de coresponden ; 3) mul imea în care ia valori ;

Dou func ii sunt egale dac : 1) au aceea i mul ime de defini ie 2) f(x)=g(x) pentru orice element din mul imea de defini ie ; 3) iau valori în aceea i mul ime.

Mul imea de puncte având coordonatele în plan (x,y), unde x este un element din mul imea de defini ie A, iar y=f(x) se nume te graficul func iei f. O func ie f : descris de o lege de forma f(x)= ax+b , unde a i b sunt constante reale, se nume te func ie liniar . Observa ie: Graficul unei func ii liniare este o dreapt . Pentru reprezentarea grafic a unei func ii liniare urm rim algoritmul :

1) Se calculeaz f(0)=b. Se reprezint punctul (0,b). Acest punct reprezin punctul de intersec ie dintre graficul func iei i axa ordonatelor Oy.

2) Se rezolv ecua ia ax+b=0. Se reprezint punctul ( ,0)ba

.Acest punct reprezint punctul de

intersec ie dintre graficul func iei i axa absciselor Ox. 3) Se traseaz dreapta care une te cele dou puncte ob inute i astfel se traseaz graficul

func iei liniare f(x)= ax+b. Observa ii : 1) Dac a=0 i b 0 ob inem func ii de genul f(x)=b ale c ror grafice sunt paralele cu axa Ox.

Aceste func ii se numesc constante nenule. 2) Dac a 0 i b=0, se ob in func ii de forma f(x)=ax , func ii care trec prin originea sistemului

de axe. 3) Pentru a=b=0, se ob ine ca grafic chiar axa absciselor Ox. Propriet i ale func iilor liniare : Fie func ia f :A B definit printr-o rela ie f(x). Proprietatea 1: Dac pentru oricare ar fi r,s A cu , avem r s ( ) ( )f r f s i spunem c

func ia este strict cresc toare Proprietatea 2: Dac pentru oricare ar fi r,s A cu , avem r s ( ) ( )f r f s i spunem c

func ia este strict descresc toare. Observa ie: În general, o func ie descris de legea f(x)= ax+b poate fi:

- strict cresc toare dac 0a , - constant dac a=0, - strict descresc toare dac 0a .

O ecua ie este o propozi ie cu o variabil (propozi iile cu o singur variabil se mai numesc i

predicate) în care apare , o singur dat semnul de egal. 0,2,3,5x Exemplu: 2x-1=5 cu

2

2 3 1;2 1

x x R x

O ecua ie cu o necunoscut are forma general : S(x)=D(x), x M; necunoscuta fiind x, iar S i D se numesc membrul stâng i respectiv membrul drept al ecua iei, iar M este mul imea solu iilor ecua iei.

Observa ii: 1. Orice valoare din mul imea M poate fi înlocuit în ecua ie i se poate ob ine o propozi ie

adev rat sau fals . Dac propozi ia ob inut este adev rat atunci valoarea respectiv este solu ie a ecua iei.

2. Prin rezolvarea ecua iei în elegem g sirea tuturor solu iilor ecua iei, din mul imea M.

Exemplu: din 2x-1=5, 0,2,3,5x

" "'( ) '( )S x D x

prin înlocuirea lui x ob inem o propozi ie adev rat doar pentru x=3.

Dou ecua ii sunt echivalente dac au acelea i solu ii . Nota ie : semnul echivalen ei dispus între dou ecua ii, adic : S(x)=D(x)

Exist o serie de propriet i pe care ne baz m în rezolvare i pe care folosindu-le ob inem

ecua ii echivalente i astfel g sim mul imea de solu ii ale ecua iei. Proprietate : Adunând la (sau sc zând din) ambii membri ai unei ecua ii acela i num r real

ob inem o ecua ie echivalent cu prima. Consecin : Se pot trece termenii unei ecua ii din membrul stâng în membrul drept i invers

schimbând doar semnul termenului. Exemplu : 3x+1=2x+1 +(-1) 3x=2x Proprietate : Înmul ind (sau împ r ind) ambii membri ai unei ecua ii cu acela i num r real,

diferit de zero, se ob ine o ecua ie echivalent . Exemplu : 4x-2=5 2 8x-4=10 Proprietate : O ecua ie este nedeterminat dac exist mai mult de o valoare din mul imea M

care genereaz propozi ii adev rate prin înlocuire în ecua ie. Exemplu : 2x-1=(6x-2)-4x+1, x echivalent cu 0=0, adic adev rat pentru orice x real. ECUA IA DE GRADUL I O ecua ie de forma ax+b=0, x în care 0a ; a,b poart denumirea de ecua ie de gradul

I cu o necunoscut . Solu ia ecua iei este unic , bxa

Exemplu : 2x-2=0 2x=2 22

x x=1

SISTEME DE ECUA II DE GRADUL I Un sistem de ecua ii reprezint o colec ie de dou sau mai multe ecua ii care au acelea i

necunoscute. Observa ie : Dac în ecua ii necunoscutele sunt la puterea 1, atunci sistemul este un sistem de

ecua ii de gradul I. Rezolvarea unui sistem de ecua ii se bazeaz pe propriet ile enun ate la capitolul ecua ii.

Astfel, distingem dou metode devenite clasice : 1.Metoda substitu iei : Se exprim una din necunoscute dintr-o ecua ie i se înlocuie te în cea de-a doua rezultând o

ecua ie cu o singur necunoscut care se rezolv i apoi se exprim i cea de-a doua necunoscut .

2. Metoda reducerii: Se înmul esc ecua iile cu expresii a c ror valoare este astfel aleas încât în urma adun rii

ecua iilor ob inute , s rezulte o ecua ie cu o singur necunoscut .

2 0, , , , 0,ax bx c a b c R a x R2 0a b c

ECUA IA DE GRADUL AL-II-LEA

Ecua ia de forma poart denumirea de ecua ie de gradul al II-lea. Se nume te solu ie a ei un num r real astfel încât :

2 4b ac

Rezolvarea ecua iei de gradul al II-lea: Se calculeaz discriminantul ecua iei cu formula: În func ie de semnul acestuia, avem cazurile: I. ecua ia nu admite solu ii reale 0

II. ecua ia are o r d cin real dubl : 02bxa

0

III. ecua ia are dou r d cini reale distincte: 2 2

1 24 4

2 2b ac b b acxa a

bx

, , ,

INECUA II O rela ie de tipul f(x) rel. g(x), unde rel. reprezint o rela ie de tipul iar f(x) i g(x) sunt func ii definite pe numere reale cu valori reale se nume te inecua ie.

ba c

A rezolva o inecua ie înseamn a g si toate valorile lui x , pentru care este adev rat inegalitatea. Pentru rezolvare se transform inecua ia în inecua ii echivalente mai simple pe baza unor propriet i ale inecua iilor. Propriet i: 1. Dac a b , atunci c b c si a ca c

2. Dac a b i 0c , atunci b c i : :b ca c 3. Dac a b i 0c , atunci b ca c i b c : :a c4. Dac vrem, în loc de a b putem scrie i b a Observa ie: Acelea i propriet i sunt valabile i dac înlocuim semnul cu sau semnul

cu . Dou sau mai multe inecua ii grupate se numesc sistem de inecua ii. A rezolva un sistem de inecua ii înseamn g sirea acelor valori ale necunoscutei care

îndeplinesc simultan condi iile din inecua iile respective. Aceste valori se determin prin rezolvarea fiec rei inecua ii i apoi determinarea prin opera ia de intersec ie a mul imii de solu ii comune.

Ecuatia de gradul al II-lea. Relatiile lui Viete

1. Ecuatia de forma ax2 + bx + c = 0, a, b, c R, a 0 se numeste ecuatia generala de gradul II cu coeficienti reali in necunoscuta x. Numerele reale a, b, c se numesc coeficienti ai ecuatiei generale. Ecuatiile in care b = 0 sau c = 0 se numesc ecuatii incomplete. Rezolvarea ecuatiilor

Cazul 1: b 0, c = 0, ax2 + bx = 0 S = ab,0 .

Cazul 2: b = 0 ; c 0: ax2 + c = 0

i) Daca -ac < 0 S = Ø in R si S =

aci in C (ecuatia nu are solutii reale dar are

solutii numere complexe).

ii) Daca -ac 0 S =

ac

.

Cazul 3: b 0, c 0: a x2 + b x + c = 0

i) Daca < 0 atunci S = Ø in R si S =a2ib in C (ecuatia nu are solutii reale dar are

solutii numere complexe).

ii) Daca = 0 atunci S =a2

b , solutie dubla,

iii) Daca > 0 atunci S =a2

b .

Relatiile lui Viete:

Fie ecuatia ax2 + bx + c = 0, a, b, c R, a 0. Fie x1 , x2 radacinile ecuatiei. S = x1 + x2 si P = x1 · x2

Relatiile lui Viete :

acxx

abxx

21

21

- daca > 0 atunci ecuatia are doua radacini reale diferite, x1 x2,

- daca < 0 atunci ecuatia are doua radacini complexe diferite, x1 x2,

- daca > 0 , P < 0 atunci radacinile au semne diferite.( x1 < 0, x2 > 0),

- daca > 0, P > 0 atunci radacinile au acelasi semn si anume semnul lui S,

- daca > 0, P < 0, S = 0 atunci x1 = - x 2 adica radacinile sunt opuse.

- daca > 0, P = 0 atunci x1 = 0 iar x2 are semnul lui S.

B. Functii elementare

Functia

X (multimea

de definitie)

Y (multimea valorilor functiei f)

Proprietati

Functia putere f(x) = x n , 2 n N Graficul functiei f a) n par

b) n impar

i) R ii) R

a) R daca n este par b) R daca n este impar R

a) n par 1. f este descrescatoare pe R si crescatoare pe R 2. f nu este injectiva pe R dar restrictiile lui f la R si la R sunt functii injective 3. f: R R este surjectiva 4. f: R R nu este bijectiva dar restrictiile f

R: R R si f

R: R R sunt

bijective 5. f: R R este para b) n impar 1. f este crescatoare pe R 2. f este injectiva pe R 3. f: R R este surjectiva 4. f: R R este bijectiva 5. f: R R este inversabila iar inversa ei este f 1 : R R, f 1 (x) = n x 6. f: R R este impara

Functia radical f(x) = n x , 2 n, n N Graficul functiei f a) n par

b) n impar

a) R daca n par b) R daca n impar

a) R daca n par b) R daca n impar

a) n par 1. f este crescatoare 2. f este injectiva 3. f este surjectiva 4. f este bijectiva 5. f: R R este inversabila iar inversa ei este f 1 : R R , f 1 (x) = x n b) n impar 1. f este crescatoare 2. f este injectiva 3. f este surjectiva 4. f este bijectiva 5. f: R R este inversabila iar inversa ei este f 1 : R R, f 1 (x) = x n 6. f este impara

x

y

O

y

x

O

x

y

O

x

O

y

Functia exponentiala f(x) = a x , a > 0, a 1 a) a > 1

b) a (0, 1)

R

(0, + )

a) a > 1 1. f este strict crescatoare 2. f este injectiva 3. f este surjectiva 4. f este bijectiva 5. f: R (0, + ) este inversabila iar inversa ei este f 1 :(0, + ) R, f 1 (x) = log a x. b) a (0, 1) 1. f este strict descrescatoare 2. f este injectiva 3. f este surjectiva 4. f este bijectiva 5. f: R (0, + ) este inversabila iar inversa ei este f 1 :(0, + ) R, f 1 (x) = log a x.

Functia logaritmica f(x) = log a x, a > 0, a 1 a) a > 1

b) a (0, 1)

(0, + )

R

a) a > 1 1. f este strict crescatoare 2. f este injectiva 3. f este surjectiva 4. f este bijectiva 5. f: R (0, + ) este inversabila iar inversa ei este f 1 :R (0, + ), f 1 (x) = a x b) a (0, 1) 1. f este strict descrescatoare 2. f este injectiva 3. f este surjectiva 4. f este bijectiva 5. f: R (0, + ) este inversabila iar inversa ei este f 1 : R (0, + ), f 1 (x) = a x

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

Functia sinus f(x) = sin x

R [-1, 1] 1. f este surjectiva 2. f nu este injectiva 3. f este periodica cu perioada T= 2k , k Z T * = 2 este perioada principala. 4. f este impara 5. f este marginita

6. Fie sin: 2

,2

[-1,1] restrictia lui f la

intervalul 2

,2

. Avem urmatoarele

proprietati: a) functia este bijectiva

b) inversa functiei este arcsin:[-1,1]2

,2

Functia cosinus f(x) = cos x

R [-1, 1] 1. f este surjectiva 2. f nu este injectiva 3. f este periodica cu perioada T= 2k , k Z T * = 2 este perioada principala. 4. f este para 5. f este marginita 6. Fie cos: [0, ] [-1,1] restrictia lui f la intervalul [0, ]. Avem urmatoarele proprietati: a) functia este bijectiva b) inversa functiei este arccos:[-1,1] [0, ]

Functia tangenta f(x) = tg x

R- k2

k Z

R 1. f este surjectiva 2. f nu este injectiva 3. f este periodica cu perioada T = k , k Z T * = este perioada principala. 4. f este impara

5. Fie tg: 2

,2

R restrictia lui f la

intervalul 2

,2

. Avem urmatoarele

proprietati: a) functia este bijectiva

b) inversa functiei este arctg:R2

,2

Functia cotangenta f(x) = ctg x

R- k k Z

R 1. f este surjectiva 2. f nu este injectiva 3. f este periodica cu perioada T = k , k Z T * = este perioada principala. 4. f este impara 5. Fie tg: ,0 R restrictia lui f la intervalul

,0 . Avem urmatoarele proprietati: a) functia este bijectiva

b) i f i i R 0x O

y

2

x

O

y

-

/2

--

x

-1

1

y 3 /2

2

- /2 O

3 /2

/2

- /2

x

-1

1 y

Functia arcsinus f(x) = arcsin x

[-1, 1] 2

,2

1. f este surjectiva 2. f este injectiva 3. f este bijectiva 4. f este inversabila iar inversa este

f 1 : 2

,2

[-1,1], f 1 (x) = sin x

5. f este impara 6. f este marginita

Functia arccosinus f(x) = arccos x

[-1, 1] [0, ] 1. f este surjectiva 2. f este injectiva 3. f este bijectiva 4. f este inversabila iar inversa este f 1 : [0, ] [-1,1], f 1 (x) = cos x 5. f este marginita

Functia arctangenta f(x) = arctg x

R 2

,2

1. f este surjectiva 2. f este injectiva 3. f este bijectiva 4. f este inversabila iar inversa este

f 1 : 2

,2

R, f 1 (x) = tg x

5. f este impara 6. f este marginita

Functia arccotangenta f(x) = arcctg

R ,0 1. f este surjectiva 2. f este injectiva 3. f este bijectiva 4. f este inversabila iar inversa este f 1 : ,0 R, f 1 (x) = ctg x 5. f este marginita

Formule de calcul

222 2)( bababa 222 2)( bababa ))((22 bababa

a ))(( 2233 bababab a ))(( 2233 bababab (a+b) 32233 33 babbaa (a-b) 32233 33 babbaa a ))(( 121 nnnnn bbaabab

Func ia de gradul II :f:R R,f(x)=ax 0,2 acbx ,a,b,c R

Maximul sau minimul func iei de gradul II

Dac a<0 atunci f realizata

,4max

pentru x =ab

2

Dac a >0 atunci f realizata

,4min

pentru x =ab

2 ;V rful parabolei V(

ab

2, )

4a

Ecua ia de gradul II:ax 02 cbx ;x acba

b 4,2

22,1

Rela iile lui Viete:xacxx

abx 2121 ,

Dac 0 are r d cini reale i diferite. Dac 0 are Dac 0 nu are

0 are Intervale de monotonie :a<0 x

ab

2

f(x) a4

a>0 x

ab

2

f(x) a4

Semnul func iei de gradul II

0 x - x 1 x 2 f(x) semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a

0 x - x 21 x f(x) semnul lui a 0 semnul lui a

0 x - f(x) semnul lui a Imaginea func iei de gr.II

a<0,Imf=( , ]4a

a>0, Imf=[ ),4a

Graficul func iei este o parabol de vârf aa

bV4

,2

, unde

acb 42

0a f este convex ;

0 ; x1,x2 C f(x) >0, Rx ;

aabV

4,

2 - punct

de minim;

0 , x1=x2 R f(x) 0, Rx ;

f(x)=0 a

bx2

Rxx 21,0 f(x) 0, ),[],( 21 xxx ;

f(x)<0, ),( 21 xxx

Pentru a

bx2

, func ia este strict descresc toare;

Pentru ),,2

[a

bx func ia este strict cresc toare

a<0 func ia este concav

0 ; x1,x2 C f(x) <0, Rx ;

aabV

4,

2 - punct de

maxim

0 , x1=x2 R f(x) 0, Rx ;

f(x)=0 a

bx2

Rxx 21,0

f(x) 0, ],[ 21 xxx ; f(x)<0,

),(),( 21 xxx

Pentru a

bx2

, func ia este strict cresc toare;

Pentru ),,2

[a

bx func ia este strict descresc toare.

ab2

X= - ESTE AXA DE SIMETRIE

EGALAND DOUA FUNCTII INSEMNA CA GRAFICELE SE INTERSECTEAZA

Aplicatii ale semnului functiei de gradul al II -lea

Avem de rezolvat urmatoarea problema: Fie ecuatia de gradul al II - lea: x 2 + (m + 3)x + 2m + 2 = 0, unde m R este parametru. Sa se determine valorile lui m R pentru care:

a) Ecuatia are radacini reale mai mici decat 1. b) Ecuatia are radacini reale mai mari decat 1. c) Ecuatia are o radacina reala mai mica decat 1 si cealalta mai mare decat 1. d) Ecuatia are doua radacini reale care se afla in intervalul ( - 1, 1).

Prezentam in continuare rezolvarea acestor tipuri de probleme in cazul general. Fie ecuatia ax 2 + bx + c = 0, a, b, c R. Ecuatia are doua radacini reale x 1 , x 2 daca si numai daca a 0 si 0 Consideram functia f: R R f(x) = ax 2 + bx + c si folosim tabloul semnului lui f: x 1 , x 2 radacinile functiei. Consideram x 1 x 2

x - x 1

2S x 2 +

f(x) semnul lui “ a “ 0 semn contrar 0 semnul lui “ a “ lui “ a “

af(x) + + + 0 - - - 0 + + + +

S = x 1 + x 2 2S =

2xx 21 se afla intre radacinile functiei.

Deci pentru x (- , x 1 ) ( x 2 , + ) avem af(x) > 0 si pentru x (x 1 , x 2 ) avem af(x) < 0.

1. Ecuatia are doua radacini reale x 1 , x 2 si x 1 < , x 2 < , R un numar fixat. x

- x 1 2S x 2 +

f(x) semnul lui “ a “ 0 semn contrar 0 semnul lui “ a “ lui “ a “ f( )

x 1 < si x 2 < af( )>0. Ceea ce inseamna ca se afla in intervalul (- , x 1 ) sau (x 2 ,+ ).

Pentru ca sa se afle in intervalul (x 2 ,+ ) se impune conditia suplimentara 2S < .

Deci ecuatia are 2 radacini reale mai mici decat daca si numai daca

2/S0)(af

00a

.

Rezolvand aceste sistem obtinem solutiile pentru punctul a).

2. Ecuatia are doua radacini reale x 1 , x 2 si x 1 > , x 2 > , R un numar fixat. x

- x 1 2S x 2 +

f(x) semnul lui “ a “ 0 semn contrar 0 semnul lui “ a “ f( ) lui “ a “

In acest caz se mentin primele 3 conditii prezentate la cazul 1 iar a patra se inlocuieste

cu 2S > deoarece in acest caz trebuie ca sa se afle in intervalul (- , x 1 ).

Deci ecuatia are 2 radacini reale mai mari decat daca si numai daca

2/S0)(af

00a

.

Rezolvand aceste sistem obtinem solutiile pentru punctul b).

3. Ecuatia are doua radacini reale x 1 , x 2 si x 1 < < x 2 , R un numar fixat. x - x 1 x 2 + f(x) semnul lui “ a “ 0 semn contrar 0 semnul lui “ a “

lui “ a “ f( )

In acest caz se mentine prima conditie prezentata la cazul 1. Functia trebuie sa aiba doua radacinii reale diferite > 0

x 1 < < x 2 af( ) < 0.

Deci ecuatia are 2 radacini reale x 1 , x 2 si x 1 < < x 2 daca si numai daca 0)(af

00a

.

Rezolvand aceste sistem obtinem solutiile pentru punctul c). 4. Ecuatia are doua radacini reale x 1 , x 2 ( , ), , R doua numere fixate. x - x 1 x 2 + f(x) semnul lui “ a “ 0 semn contrar 0 semnul lui “ a “

lui “ a “ f( ) f( )

In acest caz se mentin primele 2 conditii prezentate la cazul 1.

Deoarece x 1 > , x 2 > rezulta af( ) > 0 si 2S > ( cf rationament cazul 2).

Deoarece x 1 < , x 2 < rezulta af( ) > 0 si 2S < ( cf rationament cazul 1).

Ecuatia are doua radacini reale x 1 , x 2 ( , ) daca si numai daca

2/S2/S

0)(af0)(af

00a

.

Rezolvarea problemei date: x 2 + (m + 3)x + 2m + 2 = 0, m R, Avem : a = 1 0 pentru orice m R

= (m + 3) 2 - 4(2m + 2) = m 2 + 6m + 9 – 8m – 8 = m 2 - 2m + 1 = (m – 1) 2 0 pentru orice m R Fie x 1 , x 2 radacinile reale ale ecuatiei S = - (m + 3) = - m - 3 ( din relatiile lui Viete).

a) x 1 , x 2 < 1. Suntem in cazul 1 rezulta ca trebuie sa rezolvam sistemul

2/S0)(af

00a

.

Conditiile a 0 si 0 sunt satisfacute pentru orice m R. Deci raman ultimele 2 conditii

12

3m0)1(f1

23m02m21)3m(12

23m06m3

5m6m3

5m2m

m ( -2, + ).

b) x 1 , x 2 > 1. Suntem in cazul 2 rezulta ca trebuie sa rezolvam sistemul

2/S0)(af

00a


12

3m0)1(f1

23m02m21)3m(12

23m06m3

5m6m3

5m2m

m Ø.

c) x 1 < 1 < x 2 . Suntem in cazul 3 rezulta ca trebuie sa rezolvam sistemul 0)(af

00a

Conditia a 0 este satisfacuta pentru orice m R. Deci raman ultimele 2 conditii

0)1(f10)1m( 2

02m21)3m(11m

2 06m31m

631m

2m1m

m ( - , - 2).

d) – 1 < x 1 x 2 < 1. Suntem in cazul 4 rezulta ca trebuie sa rezolvam sistemul

2/S2/S

0)(af0)(af

00a


12

3m

12

3m0)1(f1

0)1(f1

23m23m

02m21)3m(102m2)1()3m()1(

2

2

5m1m

06m30m

5m1m2m

0m

m (0, + ) (- 2, + ) (- , - 1) (- 5, + ) = Ø Exercitiu: Fie ecuatia 4mx 2 + 4(1 - 2m)x + 3(m – 1) = 0, m R parametru. Sa se determine valorile lui m R pentru care:

a) Ecuatia are radacini reale mai mici decat 1. b) Ecuatia are radacini reale mai mari decat 1. c) Ecuatia are o radacina reala mai mica decat 1 si cealalta mai mare decat 1. d) Ambele radacini sa fie subunitare

Avem : a = 4m

= 16(1 - 2m) 2 - 48m(m - 1) = 16 – 64m + 64m 2 – 48m 2 + 48m = 16m 2 - 16m + 16 = = 16(m 2 - m + 1)

0 m 2 - m + 1 0, 1 = 1 – 4 = - 3 < 0. Deci m 2 - m + 1 > 0 pentru orice m R > 0 pentru orice m R

Fie x 1 , x 2 radacinile reale ale ecuatiei

S = - m4

)m21(4 = m

1m2 ( din relatiile lui Viete).

a) x 1 , x 2 < 1. Suntem in cazul 1 rezulta ca trebuie sa rezolvam sistemul

2/S0)(af

00a

.

Conditia 0 este satisfacuta pentru orice m R

1m2

1m2

0)1(fm40m4

m21m20))1m(31)m21(41m4(m4

0m2

100)3m3m84m4(m4

0m

0)1m(m40m

Studiem semnul functiei 4m(- m+ 1) pe R

m - 0 1 + m - - - 0 + + + + + + -m +1 + + + + + 0 - - - - 4m(- m+ 1) - - - 0 + 0 - - - -

Deci 4m(- m+ 1) > 0 pentru m (0, 1)

Revenim la sistemul de ecuatii si obtinem )1,0(m

0m m (0, 1).

b) x 1 , x 2 > 1. Suntem in cazul 2 rezulta ca trebuie sa rezolvam sistemul

2/S0)(af

00a

Conditia 0 este satisfacuta pentru orice m R.

1m2

1m2

0)1(fm40m4

m21m20)1(mf4

0m

2m – 1 > 2m 0m > 1 imposibil m Ø.

c) x 1 < 1 < x 2 . Suntem in cazul 3 rezulta ca trebuie sa rezolvam sistemul 0)(af

00a

Conditia > 0 este satisfacuta pentru orice m R

0)1(fm40m4

0))1m(31)m21(41m4(m40m

2 0)1m(m40m

),1()0,(m0m

m ( - , 0) ( 1, + )

d) Radacinile sunt subunitare – 1 < x 1 x 2 < 1. Suntem in cazul 4 rezulta ca trebuie sa

rezolvam sistemul

2/S2/S

0)(af0)(af

00a

Conditia > 0 este satisfacuta pentru orice m R

1m2

1m2

1m2

1m20)1(f1

0)1(f10m4

m21m2m21m2

0))1m(31)m21(41m4(m40))1m(3)1()m21(4)1(m4(m4

0m

2

2

101m4

0)1m(m40)3m3m84m4(m4

0m

41m

)1,0(m0)7m15(m4

0m

Studiem semnul functiei 4m(15m - 7) pe R

m - 0

157 +

m - - - 0 + + + + + + 15m - 7 - - - - - 0 + + + + 4m(15m - 7) + + + 0 - 0 + + + +

Deci 4m(15m - 7) > 0 pentru m (- , 0) ,157

Revenim la sistemul de ecuatii si obtinem

,41m

)1,0(m

,157)0,(m

0m

m ,1570, (0, 1) ,

41 (- 5, + ) = 1,

157

( deoarece 0 < 41 <

157 < 1).

Exercitiu propus spre rezolvare: Fie ecuatia mx 2 - (3m + 1)x + 2m + 1 = 0, m R parametru. Sa se determine valorile lui m R pentru care:

a) Ecuatia are radacini reale mai mari decat 2. b) Ecuatia are o radacina reala mai mica decat 2 si cealalta mai mare decat 2. c) Ambele radacini reale sa fie in intervalul ( - 1, 2).

Progresii aritmetice de numere reale a n

aritmetice:a 1,1 nrann

naa ,,, 21 consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice:S2

)( 1 naa nn

Trei numere x 1 , x2, x 3

x 1 = u r, x 2 = u, x 3 = u + r ; u,r R . Patru numere x 1 , x

2, x 3 , x 4 astfel:

x 1 = u 3r, x2 = u r , x 3 = u + r , x 4 = u + 3r, u,r R .

S se determine num rul real x , tiind c 3, 4, 3x x− + sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

2 8 4.x x= =

2

Progresii geometrice de numere reale b 0, 1bn

geometrice: qb

b

n

n 1 ,q 0

nbb ,,, 21 sunt ermenii consecutivi ai unei progresii geometrice.

1)( nnb 2,112 nbbb nnn

Termenul general al unei progresii geometrice:b 11

nn qb

Prop.:Numerele cab2

Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice: S1

)1(1

qqb n

n ,q 1 sau

S dacbnn ,1 q = 1 Trei numere x 321 ,, xx

x 0,,, 321 qquxuxqu

Patru numere x 1 , x 2 , x 3 , x 4

x 1 = 0,,,, 34323 qquxqux

qux

qu

Numere complexe

Multimea numerelor complexe est multimea C = {z }1i,Rb,a,ibaz 2 . Daca z = a + ib, a, b R, a este partea reala a lui z si ib este partea imaginara, iar b se numeste coeficientul partii imaginare. Notam a = Re(z) si b = Im(z). Modulul numarului complex z = a + ib, a, b R, este z = 22 ba . Doua numere complexe z = a + ib si z’ = c + id sunt egale Re(z) = Re(z’) si Im(z) = Im(z’),

adica dbca

.

Daca z = a + ib, a, b R atunci M(a, b) este imaginea lui z in planul complex. Daca M(a, b) este un punct din planul complex atunci z = a + ib este afixul lui M. Adunarea numerelor complexe: Daca z = a + ib si z'= c + id atunci z + z' = (a + c) + i(b + d). Proprietatile adunarii: Adunarea este: - asociativa, - comutativa, - admite element neutru pe 0 = 0 + i0 si - orice numar z = a + ib are ca simetric numarul – z = - a – ib. Inmultirea numerelor complexe Daca z = a + ib si z'= c + id atunci z·z'= (ac - bd) + i(ad + bc). Proprietati: Inmultirea este: - asociativa, - comutativa, - admite element neutru pe 1 = 1 + i0 si

- orice numar z = a + ib, z 0 are ca invers numarul z 1 = 22 baa - 22 ba

b i .

Inmultirea este distributiva fata se adunare: z(z’ + z”) = zz’ + zz”, z, z’, z” C. Puterile numarului i Puterile lui i au patru valori: i, -1, -i si 1. In general un numar natural n raportat la impartirea la 4 poate fi de forma: n = 4k, n = 4k + 1, n = 4k + 2, n = 4k + 3. Atunci avem: i k4 = 1, i 1k4 = i, i 2k4 = -1, i 3k4 = -i.

PENTRU M1

Conjugatul unui numar complex Daca z = a + ib este un numar complex atunci z = a – ib se numeste conjugatul lui z. Proprietati:

z + z = 2a = 2Re(z), z - z = 2bi = 2Im(z)i, z C, 'zz = 'zz , z, z' C, 'zz = 'zz , z, z' C, z· z = a 2 + b 2 = 2z , z C,

'z

z = 'z'z'zz = 2'z

'zz , z, z' C,

nz = nz , z C,

____

'zz =

'zz , z C.

Modulul unui numar complex

z C, z = a + ib avem z = 22 ba modulul lui z , z = zz . Proprietati:

z = z z C; z· z = 2z , z C 'zz'zz z, z' C. z - 'z 'zz'zz z, z' C.

'zz = z · 'z z, z' C; nz = nz z C

'z

z = 'z

z z, z' C, z' 0;

Exemple:

1. Sa se determine x, y R astfel incat (2x + y) + 3xi = (x + 1) – 6i. Rezolvare:

6x31xyx2

2x1yx

3y2x

.

2. Daca z = (x + 1) – 3xi si z = 3 5 . Sa se afle x R. Rezolvare: z = 22 x9)1x( si z = 3 5 (x + 1) 2 + 9x 2 = 45 x 2 + 2x + 1 + 9x 2 = 45

10x 2 + 2x – 44= 0 5x 2 + x – 22= 0, = 1 + 440 = 441, x 2,1 = 10

211 x 1 = -2,2, x 2 = 2

1. Czz ,0 2. zz 3. 2121 zzzz

3. Daca z = 4 + 3i sa se afle 10z . Rezolvare: z = 916 = 5 10z = 10z = 5 10

4. Sa se calculeze i 100 + i 101 + i 102 + i 103 . Rezolvare: i 100 + i 101 + i 102 + i 103 = i 100 (1 + i + i 2 + i 3 ) = i 100 (1 + i – 1 - i) = 0. 5. Sa se calculeze i 2012 + i 2012 . Rezolvare:

i 2012 = i 5044 = 1. i 2012 + 2012i1 = 1 +

11 = 2.

6. Sa se calculeze modulul numarului z = i47

i8 .

Rezolvare:

z =i47

i8=

1649164 =

6565 = 1.

7. Daca z = 2

3i1 . Sa se demonstreze ca z 2 = z .

Rezolvare:

z = i23

21 z = i

23

21 .

z 2 = 2

i23

21 =

41 + 2i

43 - 2·

21 ·

23 i =

41 -

43 - i

23 = i

23

21 = z .

Numere complexe

z = r(cos t + i sin t ) ,r =abtgtba ,22 ;r- -argument redus,t )2,0[

M(a,b)- = a+bi Opera ii: z )sin(cos),sin(cos 22221111 titrztitr z )sin()[cos( 21212121 ttittrrz ], )sin(cos ntintrz nn

)]sin()[cos( 21212

1

2

1 ttittrr

zz

}1,,1,0{),2sin2(cos nkn

ktin

ktrzz nk

n

Permutari Aranjamente Combinari

Avem de rezolvat urmatoarea problema: Intr-o clasa cu 20 de banci se afla 20 de elevi din care 12 fete si 8 baieti.

a) in cate moduri se pot aseza cei 20 de elevi in banci? b) in cate moduri se pot aseza cele 12 fete in banci? c) in cate moduri se pot alege 2 elevi pentru a participa la un concurs cu o clasa paralela? d) in cate moduri se poate alege o grupa de 3 elevi formata din 2 fete si un baiat pentru a

participa la un concurs cu o clasa paralela? Apare intrebarea “Ce notiuni trebuie sa folosim pentru rezolvarea problemei: permutari, aranjamente sau combinari ?” Pentru a raspunde corect trebuie ca aceste notiuni sa fie intelese foarte bine iar diferentele dintre ele clarificate. Fie A o multime finita, nevida, ce contine n elemente. O permutare a multimi A este o multime ordonata ce contine elementele lui A. Astfel fiecarui element i s-a fixat un loc pe care-l ocupa in multimea respectiva. Numarul de permutari ale lui A se noteaza P n , se citeste “permutari de n” si are formula: P n = 1·2·3· ... · (n - 1)·n = n!. O submultime ordonata a lui A de k elemente (k n) se numeste aranjament de n luate cate k. Numarul aranjamentelor de n luate cate k se noteaza A k

n , se citeste “aranjamente de n luate cate k (k n)” si este dat de formula: A k

n = n(n-1)(n-2)…(n-k+1). Astfel A n

n = P n = n!. O submultime a lui A de k elemente (k n) se numeste combinare de n elemente luate cate k Numarul combinarilor de n luate cate k se noteaza C k

n si se citeste “ combinari de n luate cate k (k n)” si este dat de formula:

C kn =

k

kn

PA sau C k

n =k...21

)1kn(...)1n(n .

Astfel diferenta dintre un aranjament de n elemente luate cate k (A kn ) si o combinare de n

elemente luate cate k (C kn ) este data de faptul ca un aranjament este o multime ordonata.

Exemplu: Fie A= {1, 2, 3}. Sa se scrie toate aranjamentele si toate combinarile formate din 2 elemente ale multimii A. Aranjamentele de 3 luate cate 2 sunt: {1, 2}, {2, 1}, {1, 3}, {3, 1}, {2, 3}, {3, 2} si numarul lor este dat de A 2

3 = 3·2 = 6.

Combinarile de 3 luate cate 2 sunt: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} si numarul lor este dat de C 23 =

2

23

PA =

!26 = 3

Revenim la problema de mai sus: a) Fiecare mod in care se pot aseza cei 20 de elevi in banci constituie o multime ordonata (locul fiecarui elev este fixat) a celor 20 elevi. Deci fiecare mod este o permutare. Numarul modurilor in care se pot aseza cei 20 elevi in banci este P 20 = 20!. b) Fiecare mod in care se pot aseza cele 12 de fete in banci constituie o submultime ordonata (locul fiecarei fete este fixat) de 12 fete din cei 20 elevi. Deci fiecare mod este un aranjament de 20 luate cate 12. Numarul modurilor in care se pot aseza cele 12 fete in banci este A 12

20 =20·19·...·9. c) In alegerea celor 2 elevi nu conteaza ordinea in care acestia se aleg. Deci un mod de a alege 2 elevi din cei 20 este o combinare de 20 luate cate 2. Numarul modurilor in care se pot alege cei 2

elevi este C 220 =

211920 = 190.

d) Modul in care de pot alege 2 fete din cele 12 reprezinta o combinare de 12 luate cate 2.

Numarul modurilor de a alege cele 2 fete este C 212 =

211112 = 66. Aceste se completeaza cu 1 baiat.

Modul in care se poat alege 1 baiat este o combinare de 8 luate cate 1. Numarul modurilor de a

alege 1 baiat este C 18 =

18 = 8. Atunci numarul modurilor in care se poate forma aceasta grupa

este C 2

12 · C 18 = 66·8 = 528.

Exercitii:

1. In cate moduri se pot aranja 10 carti diferite pe un raft? Solutie:

Un mod in care se pot aranja cele 10 carti pe raft reprezinta o permutare de 10 elemente. Deci numarul de moduri in care se pot aranja cele 10 carti este P10 = 10! .

2. In cate moduri se pot aranja 10 carti pe un raft stiind ca 3 sunt dintre ele sunt scrise de acelasi autor si trebuie sa stea una langa alta?

Solutie:

Cele trei volume se pot aseza in P 3 = 3! moduri. Dupa aranjarea celor 3 volume aceste vor fi considerate ca o singura carte si deci avem de aranjat 8 elemente care se face in P 8 = 8! moduri. Deci numarul de moduri in care se pot aranja cele 10 carti este P 3 · P 8 = 3!·8!.

3. Avem o colectie de 4 carti diferite scrise de un autor si alte 6 carti diferite scrise de alt autor. In cate moduri putem alege 4 carti din care 2 scrise de un autor si celelate 2 scrise de celalat autor.

Solutie:

Din cele 4 carti scrise de primul autor se pot alege 2 carti in C 24 =

2134 = 6 moduri si se

completeaza cu inca 2 din cele 6 scrise de cel de-al doile autor in C 26 =

2156 = 15 moduri.

Deci cele 4 carti se pot alege in C 24 · C 2

6 = 6·15 = 90 moduri.

4. Se considera multimea A = {1, 2, 3 , 4} din care se formeaza numere din 4 cifre distincte de forma abcd . Sa se determine numarul de astfel de numere care se pot forma stiind ca: a) a = 1, b) a 2, c) a = 1, b = 2, c) a = 1, b = 2, d = 3.

Solutie:

a) a fiind fixat fiecare astfel de numar este determinat de valorile pe care le iau celelalte 3 cifre (acestea pot lua doar valorile 2, 3, 4 deoarece a, b, c si d sunt distincte). Numarul de moduri in care pot fi date valori celor 3 cifre este 3!. Deci numarul acestor numere este 3! = 1·2·3 = 6. b) Numarul acestor numere este dat de numarul tuturor numerelor care se pot forma din cele 4 cifre adica 4!. Din acesta se scad numerele care incep cu cifra 2 adica 3!(conform rationamentlui de la punctul a)). Deci raspunsul este 4! – 3! = 1·2·3·4 - 1·2·3 = 18. c) a si b fiind fixate, fiecare astfel de numar este determinat de valorile pe care le iau celelalte 2 cifre. Numarul de moduri in care pot fi date valori celor 2 cifre este 2!. Deci numarul acestor numere este 2! = 1·2= 2. d) a, b si d fiind fixate, fiecare astfel de numar este determinat de valorile pe care le ia c. c nu poate lua decat valoarea 4 deoarece cifrele sunt distincte. Deci avem un singur numar.

5. Se considera multimea A = {1, 2, 3 , 4, 5} din care se formeaza numere din 4 cifre distincte de forma abcd . Sa se determine numarul de astfel de numere care se pot forma stiind ca: a) a = 1, b) a 1, c) a = 2, b = 3, d) b = 1, c = 3, d = 5.

Solutie:

a) a fiind fixat fiecare astfel de numar este determinat de valorile pe care le iau celelalte 3 cifre (acestea pot lua doar valorile 2, 3, 4, 5 deoarece a, b, c si d sunt distincte). Numarul de moduri in care pot fi date valori celor 3 cifre este A 3

4 . Deci numarul acestor numere este A 3

4 = 4·3·2 = 24. b) Numarul acestor numere este dat de numarul tuturor numerelor care se pot forma din cele 5 cifre adica A 4

5 . Din acesta se scad numerele care incep cu cifra 1 adica A 34 . Deci

raspunsul este A 45 – A 3

4 = 5·4·3·2 - 4·3·2 = 96.

c) a si b fiind fixate, fiecare astfel de numar este determinat de valorile pe care le iau celelalte 2 cifre. Numarul de moduri in care pot fi date valori celor 2 cifre este A 2

3 (2 si 3 fiind valorile lui a respectiv b numai pot fi luate de c si d). Deci numarul acestor numere este A 2

3 = 3·2= 6. d) b, c si d fiind fixate, fiecare astfel de numar este determinat de valorile pe care le ia a. a nu poate lua decat valoarile 2 sau 4 deoarece cifrele sunt distincte. Deci avem doua numere.

6. Se considera multimea A = {1, 2, 3 , 4, 5} din care se formeaza numere din 4 cifre care se

pot repeta de forma abcd . Sa se determine numarul de astfel de numere care se pot forma daca: a) a = 1, b) a 1, c) a = 2, b = 3, c) b = 1, c = 3, d = 5.

Solutie:

a) a fiind fixat, fiecare astfel de numar este determinat de valorile pe care le iau celelalte 3 cifre. Acestea pot lua orice valoare din A deoarece a, b, c si d nu sunt distincte. Deci fiecare cifra poate lua 5 valori. Numarul de moduri in care pot fi date valori celor 3 cifre este 5·5·5 = 5 3 = 125 b) Numarul acestor numere este dat de numarul tuturor numerelor care se pot forma din cele 5 cifre adica 5·5·5·5 = 5 4 . Din acesta se scad numerele care incep cu cifra 1 adica 5 3 (conform rationamentului de la punctul a)). Deci raspunsul este 5 4 – 5 3 = 5 3 ·4 = 500. c) a si b fiind fixate, fiecare astfel de numar este determinat de valorile pe care le iau celelalte 2 cifre. Numarul de moduri in care pot fi date valori celor 2 cifre este 5·5= 25. Deci numarul acestor numere este 25. d) b, c si d fiind fixate, fiecare astfel de numar este determinat de valorile pe care le ia a. Deoarece cifrele se pot repeta a poate lua toate valorile lui A. Deci avem 5 numere.

Combinatorica. Binomul lui Newton

1. Produsul 1·2·3·…·n il notam n! si se citeste n factorial. Prin conventie 0! = 1. 2. Proprietati:

a. (n+1)! = (n+1)·n!, b. (n+1)! – n! = n·n!,

c. !n

1 -)!1n(

1 =)!1n(

n .

3 Fie A={a 1 ,a 2 , …, a n } o multime nevida care contine n elemente. Se numeste permutare a multimii A, multimea ce contine elementele lui A carora li s-au fixat un loc pe care-l ocupa in multimea. Multimea permutarilor lui A se noteaza cu P n si se calculeaza astfel P n = n! 4. Fie A ={a 1 ,a 2 , …, a n } o multime nevida care contine n elemente. O permutare este un sir de numere determinat de functia injectiva f:{1, 2, …, n} A reprezentata prin tabloul,

ni21 a........a..........aa

n..........i............21 unde daca i j a i a j , care fixeaza locul fiecarui element

6. Fie A o multime nevida care contine n elemente. O submultime ordonata a lui A de k elemente (k n) se numeste aranjament de n luate cate k.

Numarul acestor submultimi se noteaza A kn si se citeste “aranjamente de n luate cate k” si se

calculeaza astfel A kn = n(n-1)(n-2)…(n-k+1).

7. Formule uzuale:

a. A kn = n A 1k

1n , A kn = n(n-1) A 2k

2n ;

b. A kn =

)!kn(!n ;

c. A kn = (n-k+1) A 1k

n ;

d. A nn = P n .

8. Fie A o multime nevida care contine n elemente. O submultime a lui A de k elemente (n k) se numeste combinare de n elemente luate cate k. Numarul acestor submultimi se noteaza C k

n si se citeste “ combinari de n luate cate k” si se

calculeaza astfel C kn =

k

kn

PA

sau C kn =

k...21)1kn(...)1n(n .

9. Formule uzuale:

a. C 0n = C n

n = 1,

b. C kn =

)!kn(!k!n ,

c. C k

n = C knn (C k

n , C knn combinari complementare);

d. C 1kn =

1kkn C k

n ,

e. C kn =

kn C 1k

1n ,

f. C k

n = C k1n + C 1k

1n

10. Binomul lui Newton: (a+b) n = C 0n a n + C 1

n a 1n b+ C 2n a 2n b 2 + …+C 1n

n ab 1n + C nn b n .

C

, C 1n , C 2

n , …, C 1nn , C n

n se numesc coeficienti binomiali.

11. Pentru n = 2 si n = 3 avem:

(a+b)

2 = a 2 + 2ab + b 2 ;

(a+b)

3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ;

12. (a-b) n = C 0

n a n - C 1n a 1n b+ C 2

n a 2n b 2 + … + (-1) k C kn a kn b k + … + (-1) n C n

n b n .

13. Formule:

+ C 1n + C 2

n + … + C 1nn + C n

n = 2 n . + C 2

n + C 4n + … = C 1

n + C 3n + C 5

n + … = 2 1n .

14. Termenul de ordinul k+1 din dezvoltarea Binomului lui Newton (a + b) n se noteaza T 1k si

avem

T 1k = C kn a kn b k .

14. Termenul de ordinul k+1 din dezvoltarea Binomului lui Newton (a - b) n se noteaza T 1k si

T 1k = (-1) k C kn a kn b k .

Fie numerele reale a si b si numarul natural nenul n. Avem:

.)1(...)1(...)(

......)(

333222110

110

nnn

nkknkn

knn

nn

nn

nn

n

k

kknkn

nnn

kknkn

nn

nn

n

bCbaCbaCbaCbaCaba

baCbCbaCbaCaCba

C nn

C nn

Logaritmi

1. Fie A, a R, A > 0, a > 0, a 1. Se numeste logaritm in baza a din numarul real A, numarul

notat log a A cu proprietatea aAlog a =A.

Astfel spus log a A = X a X = A. Daca a = 10 atunci se utilizeaza notatia lg A (logaritm zecimal) . Daca a = e atunci se utilizeaza notatia ln A (logaritm natural). Proprietati: Fie a > 0, a 1,

a) log a 1 = 0; b) log a a = 1; c) log a a = , ;

d) log a A1 = - log a (A>0)

e) log a (A·B) = log a A+ log a B (A>0, B>0);

f) log a BA = log a A- log a B (A>0, B>0);

g) log a (A 1 ·A 2 ·…·A n ) = log a A 1 + log a A 2 +…+ log a A n (A 1 >0, A 2 >0,…,A n >0); h) log a A n = n· log a A (A > 0);

i) log an A =

n1 log a A (A > 0, n 2, n N)

Formula de schimbare a bazei: log a A =alogAlog

b

b unde A > 0, a > 0, a 1, b > 0, b 1 iar a este baza

veche si b este baza noua.

Caz particular: log a b =alog

1

b

sau log a b·log b a = 1 unde a, b > 0, a 1, b 1

Tipuri de ecua ii: 1. a bxfbaab a

xf log)(0,1,0,)( 2. a )()(1,0,)()( xgxfaaa xgxf 3. a bxgxfbabab a

xgxf log)()(1,,0,,)()( 4. ecua ii exponen iale reductibile la ecua ii algebrice printr-o substitu ie. 5. ecua ii ce se rezolv utilizând monotonia func iei exponen iale. Inecua ii a>1, )()()()( xgxfaa xgxf

a )()()1,0( )()( xgxfaa xgxf

FUNCTIA LOGARITMIC

Def: f:(0, ) R, f(x)= xalog , 1,0 aa ,x>0

Dac a 1 f este strict cresc toare 2121 loglog xxxx aa Dac a 1,0 f este strict descresc toare 2121 loglog xxxx aa Propriet i: Fie a,b Rmyxcbac ),,0(,,1,,,,0

yxyx

yxyxxyxa

aaa

aaa

ay

logloglog

loglogloglog0

Rezolvarea ecuatiilor exponentiale

Ecuatiile exponentiale sunt ecuatiile care contin necunoscuta x ca exponent al unor puteri dbaza fixa. Cateva tipuri de ecuatii: 1. Ecuatii de tipul a )x(f = a unde a>0, a 1, iar f(x) este o functie de gradul I sau II ,

a )x(f = a f(x)= . Exemple: i) 2 2x3 = 2, ii)5 6x2 = 25, iii) 3 2x3x 2

= 9. Rezolvare:

i) 2 2x3 = 2 3x + 2 = 1 3x = -1 x = -31 S =

31 .

ii) 5 6x2 = 25 5 6x2 = 5 2 - 2x + 6 = 2 2x = 4 x = 2 S = {2}. iii) 3 2x3x2

= 9 3 2x3x2

= 3 2 x 2 +3x - 2 = 2 x 2 +3x - 4= 0, = 9 + 16 = 25,

x 2,1 = 2

53 x 1 = - 4, x 2 = 1 S = {- 4, 1}.

2. a )x(f =b unde a>0, a 1, b>0 iar f(x) este o functie de gradul I a )x(f =b f(x)= log a b. (Observatie: Cazul 2 este o generalizare a cazului 1) Exemple: i) 2 3x = 5, ii) 3 3x2 = 6. Rezolvare:

i) 2 3x = 5 x + 3 = log 2 5 x = log 2 5 - 3 x = log 2 5 - log 2 2 3 x = log 2 325 x = log 2 8

5

S =85log 2

ii) 3 3x2 = 6 2x + 3 = log 3 6 2x = log 3 6 - 3 2x = log 3 6 - log 3 3 3 2x = log 3 336

2x = log 3 92 x =

21 log 3 9

2 x = log 3 92 x = log 3 3

2 S =32

3log .

3. a )x(f = a )x(g unde a>0, a 1, f si g functii de gradul I sau II . Se rezolva ecuatia f(x) = g(x). Exemplu: i) 2 2x3 = 2 6x , ii) 5 1x2x2

= 5 5x , ii)3 7x2x2

= 3 5x2

Rezolvare: i) 2 2x3 = 2 6x 3x + 2 = - x - 6 4x = - 8 x = - 2 S = { - 2}. ii) 5 1x2x2

= 5 11x x 2 + 2x + 1 = - x + 11 x 2 + 3x – 10= 0, = 9 + 40 = 49,

x 2,1 =2

73 x 1 = -5, x 2 = 2 Deci S = {- 5, 2}.

iii) 3 7x2x2

= 3 5x2

x 2 + 2x + 7 = x 2 + 5 2x = - 2 x = - 1 S = { - 1}. 4. a )x(f =b )x(g log a a )x(f = log a b )x(g f(x) = g(x)log a b. Se rezolva aceasta ultima ecuatie algebrica.

Exemple: i) 3 1x2 = 2 x , ii) 5 6x = 3 1x Rezolvare:

i) 3 1x2 = 2 x 2x +1= log 3 2 x 2x = xlog 3 2 - 1 x(2 - log 3 2)= - 1 x = )2log2(

1

3

x =)2log9(log

1

33

x = -

29log

1

3

S =

29log

1

3

ii) 5 6x = 3 1x x + 6 = log 5 3 1x x + 6 = (x – 1) log 5 3 x(1 - log 5 3)= - 6 - log 5 3

x = )3log1()3log6(

5

5 x = )3log5(log

)3log5(log

55

56

5 x =

35log

)35(log

5

65 S =

35log

)35(log

5

65

5. Alt tip de ecuatii exponentiale care se pot reduce la cazul 1 sau cazul 2 Exemplu: i) 5 1x + 5 2x = 150, ii) 3 x - 2·3 2x +3 3x =30, iii)2 1x - 3·2 2x + 5·2 3x = 6. Rezolvare: i) 5 1x + 5 2x = 150 5 1x + 5·5 1x = 150 5 1x (1 + 5)= 150 6·5 1x = 150 5 1x =25

5 1x =5 2 x + 1 = 2 x = 1 S = { 1}, ii) 3 x - 2·3 2x +3 3x =30 3 x - 2·3 2 ·3 x + 3·3 x =30 3 x (1- 18 + 27) = 30

10·3 x = 30 3 x = 3 x = 1 S = { 1}, iii)2 1x - 3·2 2x + 5·2 3x = 6 2 1x - 3·2·2 1x + 5·2 2 ·2 1x = 6 2 1x (1 – 6 + 20)= 6 15·2 1x =6

2 1x = 52 x + 1 = log 2 5

2 x = log 2 52 - 1 x = log 2 5

2 - log 2 2 x = log 2 102

x = log 2 51 S =

51log2

5. Ecuatii exponentiale care se pot aduce sub forma unei ecuatii de gradul II Exemple: i) 4 x - 3·2 x - 4 = 0, ii) 3 x - 3 x1 - 2 = 0. Rezolvare: i) 4 x - 3·2 x - 4 = 0 (2 2 ) x - 3·2 x - 4 = 0 (2 x ) 2 - 3·2 x - 4 = 0

Notam 2 x = u . Conditie de rezolvare u > 0 u 2 - 3u - 4 = 0, = 9 + 16 = 25, u 2,1 = 2

53 ,

u 1 = -1< 0 si u 2 = 4 > 0 singura solutie a ecuatiei este u 2 . u 2 = 4 2 x = 4 x = 2 S = {2}.

ii) 3 x - 3 x1 - 2 = 0 3 x - x33 - 2 = 0 (3 x ) 2 - 3 - 2·3 x = 0 (3 x ) 2 - 2·3 x - 3= 0.

Notam 3 x = u. Conditie de rezolvare u > 0 u 2 - 2u - 3 = 0, = 4 + 12 = 16, u 2,1 = 2

42 ,

u 1 = -1 < 0 si u 2 = 3 singura solutie a ecuatiei este u 2 . u 2 = 3 3 x = 3 x= 1 S = {1}.

.1log,01log

,

loglog

1,loglog

log

loglog,log

logloglog

a

axca

aba

bb

bmbma

aa

xac

bac

ca

am

am

a

abb

Tipuri de ecua ii: 1. b

xf xfxgfgfbxg )()(1,0,,)(log )(

2. )()()(log)(log xgxfxgxf aa

3. )(log)()(log)(log xgba

baxfxgxf 4. ecua ii logaritmice reductibile la ecua ii algebrice printr-o substitu ie. 5. ecua ii ce se rezolv utilizând monotonia func iei logaritmice. Inecua ii a>1, )()()(log)(log xgxfxgxf aa a )()()(log)(log)1,0( xgxfxgxf aa

Statistic i probabilita i

Consideram un lot de numere ,…. . ,1x 2x nx

Media acestui lot este M= .1...1

121

n

i

n xnn

xxx

Dispersia lotului este D=n

i

n Mxnn

MxMxMx1

21

222

21 )(1)(....)()(

.

Proprietati ale probabilitatii Fie U o multime (numita universe) si partile multimii U.Elementele lui se numesc evenimente.Fie P o functie definite pe cu valori in 1,0 .tripletul (U, ,P) este un camp de probabilitate daca, A,B evenimente din ,avem: 1)P( )=0 2)A 3)P(A

)()( BPAPB()() BPAPB )() BAP

( BAPB

4)A )B()() PAP

nxxx ,...,2,1

Fie U={ }un univers finit si P o probabilitate pe )(U . Notam .Atunci: nixPP ii ,...,3,2,1}),({1)Suma probabilitatilor evenimentelor elementare este:

Ux

n

ii

n

iin xPxPPPPP })({})({1...

1121

2)Probabilitatea oricarui eveniment este suma probabilitatilor evenimentelor elementare pe care le include,adica P(A)= A

AxxP }){( , U

Intr-un camp de evenimente egal probabile (U,P), A avem P(A)=][][

UA

P(A)=cazuridetotalnr

luievenimentufavorabilecazurilornr...

...

Vectori i opera ii cu vectori Defini ie: Se nume te segment orientat, o pereche ordonat de puncte din plan; Se nume te vector, mul imea tuturor segmentelor orientate care au aceea i direc ie, aceea i lungime i acela i sens cu ale unui segment orientat. Observa ii: Orice vector AB se caracterizeaz prin:

- modul(lungime,norm ), dat de lungimea segmentului AB;

- direc ie, dat de dreapta AB sau orice dreapt paralel cu aceasta;

- sens, indicat printr-o s geat de la originea A la extremitatea B.

Nota ii: AB vectorul cu originea A i extremitatea B; 2

02

0 )()( yyxxAB - modulul vectorului AB unde A(x0,y0), B(x.y). Defini ie: Se numesc vectori egali, vectorii care au aceea i direc ie, acela i sens i acela i modul. Doi vectori se numesc opu i dac au aceea i direc ie, acela i modul i sensuri contrare: - AB = BA . Adunarea vectorilor se poate face dup regula triunghiului sau dup regula paralelogramului:

Fie punctele ( )2, 1A − i ( )1,3B − . S se determine numerele reale a i b astfel încât AB ai b j= + .

( ) ( )1 2 3 1 3 4 3, 4 .A B i j i j a b= − − + + = − + = − =

Rvsauv ,000

vvvvDaca ,0,0 are direc ia i sensul

vectorului v dac 0 i sens opus lui v dac 0 . Defini ie: Doi vectori se numesc coliniari dac cel pu in unul este nul sau dac amândoi sunt nenuli i au aceea i direc ie. În caz contrar se numesc necoliniari.

vectori coliniari vectori necoliniari Teorem : Fie 0u i v un vector oarecare.

Vectorii u i v sunt coliniari uviaR .. .

Punctele A, B, C sunt coliniare

ACABiRacoliniarisuntACsiAB .. .

CDsiABCDAB sunt coliniari;

Dac u i v sunt vectori necoliniari atunci

00.., yxvyuxiaRyx . Teorem : Fie a i b doi vectori necoliniari. Oricare ar fi vectorul v , exist )(, uniceR astfel încât bav .

Vectorii a i b formeaz o baz . , se numesc coordonatele vectorului v în baza ba, .

Defini ie: Fie XOY un reper cartezian. Consider m punctele A(1,0),

B(0,1). Vectorii OBjsiOAi se numesc versorii axelor de coordonate. Ei au modulul egal cu 1, direc iile axelor i sensurile semiaxelor pozitive cu OX i OY. Baza ji, se nume te baz ortonormat .

În reperul cartezian ( ), ,O i j

se consider vectorii 3 2u i j= − + i 5 .v i j= − S se determine

coordonatele vectorului 5 3u v+ .

5 3 15 10 15 3 7u v i j i j j+ = − + + − = . Coordonatele cerute sunt ( )0,7 .

jyixBABAv '''''' x=xB- xA, y=yB- yA

jvprivprv OYOX 22 )()( ABAB yyxxAB

Teorem : Fie )','(),,( yxvyxu . Atunci:

1) u + v are coordonatele (x+x’.y+y’); 2) vR, are coordonatele ( x’, y’);

3) )','(),,( yxvyxu sunt coliniari

.0''.0',',''

yxxyyxkyy

xx

4) Produsul scalar a doi vectori nenuli.

].,0[,),(cos vumundevuvu

2222 )'()'(''cos

yxyxyyxx

0],2

(;0]2

,0[ vuvu

Fie )','(),,( yxvyxu nenuli. Atunci:

.0''0 yyxxvuvu

.0;1

.00

.,02

jijjii

uuu

uuuu

Vectori de pozi ie. Dac BA rr ,

sunt vectori de pozi ie, atunci: AB rrAB În reperul cartezian xOy se consider punctele ( )4, 8A − i ( )6,3 .B S se determine coordonatele

vectorului OA OB+ .

( ) ( )4 8 6 3 10 5 .OA OB i j i j i j+ = − + + = − Vectorul OA OB+ are coordonatele ( )10, 5 .−

Ecuatia dreptei intr-un reper ortogonal O dreapta din plan, intr-un reper ortogonal, este determinata in urmatoarele doua situatii:

a) Se cunosc un punct al dreptei si directia dreptei sau b) Se cunosc doua puncte ale dreptei.

Analizam fiecare caz in parte: a) Ecuatia dreptei cand cunoastem un punct si directia.

1. Dreapta d care trece prin punctul A(x 0 , y 0 ) si are directia vectorului u (a, b), 0, b 0

sau u = a i +b j are ecuatia : b

yya

xx 00 (1)

Daca a = 0 ecuatia dreptei d este: x = x 0 .

Daca b = 0 ecuatia dreptei d este: y = y 0 .

Exemplu: Daca se cunosc A(1, -3) si vectorul u (2, 5) atunci ecuatia dreptei d, care

trece prin punctul A si are directia data de u , este: 5

3y2

1x .

2. Dreapta d care trece prin A(x 0 , y 0 ) si panta m are ecuatia:

y – y 0 = m(x – x 0 ) (2)

Exemplu: Daca se cunosc A(2, 3) si panta m = - 3, atunci ecuatia dreptei d, care trece prin punctul A si are panta m, este: y – 3 = -3(x – 3).

3. Dreapta d care trece prin A(x 0 , y 0 ) si este paralela cu dreapta d': ax + by + c = 0.

Panta dreptei d' este md’ = - ba . Din d || d’ md’ = md. Deci md = -

ba si d are ecuatia:

y – y 0 = - ba (x – x 0 ) (3)

Exemplu: Daca se cunosc A(2, 3) si d': 2x – y + 5 = 0 atunci ecuatia dreptei d care trece

prin punctul A si este paralela cu d', este d: y – 3 = - 1

2 (x - 2) d: y – 3 = 2(x - 2).

4. Dreapta d trece prin A (x 0 , y 0 ) si este perpendiculara pe dreapta d' de panta md’.

In acest caz : md = - 'dm

1 si folosim formula (2)

Exemplu: Daca se cunosc A(2, 3) si dreapta d': 2x – y +5 = 0, d' d , atunci ecuatia dreptei d care trece prin punctul A si este perpendiculara pe d', este d: y – 3 = md (x - 2).

md’ = -ba = -

12 = 2 md = -

'dm1 = -

21 d: y – 3 = -

21 (x - 2).

5. Dreapta d care trece prin A(x 0 , y 0 ) si este perpendiculara pe directia vectorului u (a, b),

a 0, b 0 sau u = a i +b j are ecuatia:

ayy

bxx 00 (4)

Exemplu: Daca se cunosc A(1, -3) si vectorul u (2, 5) atunci ecuatia dreptei d, care

trece prin punctul A si este perpendiculara pe directia vectorului u , este 2

3y51x .

b) Ecuatia dreptei cand cunoastem doua puncte A(x1 , y 1 ) si B (x 2 , y 2 ) cu: x 1 x 2 si y 1 y 2 situate pe dreapta.

Dreapta AB are ecuatia:

1. 12

1

12

1

xxxx

yyyy (5)

sau

2. 1yx1yx1yx

22

11 = 0 (6)

Exemplu: Ecuatia dreptei AB unde A (2 , 3) si B (-1, 4) este :

21

2x343y -3(y – 3) = x – 2 - 3y + 9 = x - 2 x + 3y – 11 = 0 sau

1411321yx

= 0 3x + 8 – y + 3 -4x – 2 y = 0 -x – 3y + 11 = 0 x +3y -11 = 0.

Formule trigonometrice

1. cos 2 x + sin 2 x =1,

2. 1 + tg 2 x= xcos

12 x k

2,

3. 1 + ctg2 x = xsin

12 , x k .

4. sin (x y) = sin x·cos y sin y·cos x; 5. cos (x y) = cos x·cos y sin x·sin y;

6. sin 2x = 2sin x·cos x;

7. cos 2x = cos 2 x - sin 2 x din care rezulta:

8. cos 2x = 2 cos 2 x – 1; cos 2x = 1 – 2 sin 2 x si

9. 2

x2cos1 ; 2

x2cos1 .

Alte formule:

10. tg(x y) = tgxtgy1

tgytgx ; ctg(x y) = ctgyctgx

1ctgyctgx ;

11. tg 2x = xtg1

tgx22 ; ctg 2x =

ctgx21xctg2

;

12. tg x =

2xtg1

2xtg2

2; sin x =

2xtg1

2xtg2

2; cos x =

2xtg1

2xtg1

2

2

.

Formule de transformare a sumei in produs:

13. sin a + sin b = 2sin2

ba cos2

ba ; sin a - sin b = 2sin2

ba cos2

ba ;

14. cos a + cos b = 2cos2

ba cos2

ba ; cos a - cos b = - 2sin2

ba sin2

ba ;

15. tg a +tg b =bcosacos)basin( ; tg a – tg b =

bcosacos)basin( ;

16. ctg a + ctg b = bsinasin)basin( ; ctg a - ctg b =

bsinasin)absin( .

Formule de transformarea produsului in suma:

17. sin a cos b = 2

)basin()basin( ;

18. cos a cos b = 2

)bacos()bacos( ;

19. sin a sin b = 2

)bacos()bacos( .

Deoarece ( ) 2 2sin130 sin 180 50 sin 50 sin 50 cos 50 1.= − = + =

S se calculeze 2 2sin 130 cos 50+ .

S se calculeze sin170 sin10−

( )sin170 sin 180 10 sin10 sin10 sin10 0= − = − = .

trigonometrice

Functii

Semnul func iilor trigonometrice:

Sin: 1,12

,2

arcsin:[-1,1] 2

,2

Cos: 1,1,0 arccos:[-1,1] ,0

Tg: R2

,2

arctg:R 2

,2

Reducerea la un unghi ascu it

Fie u )2

,0( Not m sgn f= semnul func iei f; cof = cofunc ia lui f

imparkuukf

parkuukfuk

,cos)2

(sgn

,sin)2

(sgn

2sin Analog pentru

celelalte;

În general,

imparkucofukf

parkufukfukf

),()2

(sgn

),()2

(sgn)

2(

Ecua ii trigonometrice Fie x un unghi, a un num r real i k Z .

]1,0[,arcsin)1(1,sin adackaxaax k

= ]0,1[,arcsin)1( 1 adackak

]1,0[,2arccos1,cos adackaxaax

= ]0,1[,)12(arccos adacka karctgaxRaatgx ,

kaxax k)1()arcsin(sin

kaxax 2)arccos(cos kaxatgxarctg )(

kxgxfxgxf k )()1()()(sin)(sin kxgxfxgxf 2)()()(cos)(cos Zkkxgxfxtggxtgf ,)()()()(

Ecua ii trigonometrice reductibile la ecua ii care con in aceea i func ie a aceluia i unghi; Ecua ii omogene în sin x i cos x de forma: asin x+bcos x=0; asin2 x+bsin x .cos x+ ccos2 x=0 Ecua ii trigonometrice care se rezolv prin descompuneri în factori; Ecua ii simetrice în sin x i cos x; Ecua ii de forma:

acxtgxacxbxa cossin:0cossin

kacx k )cosarcsin()1(

22cossin baxbxa Observa ie important : Prin ridicarea la putere a unei ecua ii trigonometrice pot ap rea solu ii str ine iar prin împ r irea unei ecua ii trigonometrice se pot pierde solu ii;

FORMULE TRIGONOMETRICE

1. 2

222

cos1sin

;sin1cos1cossinR

2.

;cos

11cos

cos1sin1

sin2

22

2tgtg

3. ;1

sin;1

1cos22 tg

tgtg

4. sinsincoscos)cos( ; 5. sinsincoscos)cos( ; 6. cossincossin)sin( ; 7. cossincossin)sin( ;

8. ;1

)(;1

)(tgtg

tgtgtgtgtg

tgtgtg

9.

;1)(;1)(ctgctg

ctgctgctgctgctg

ctgctgctg

10. ;cossin22sin

11. 2222 sin211cos2sincos2cos

12. 2

2cos1sin;2

2cos1cos 22 ;

13. ;2cos1

2sin;

2cos1

2cos

14. cos1cos1

2;

cos1cos1

2ctgtg

15. ;2

12;1

222

2 ctgctgctg

tgtgtg

16. ;

22

21

;

21

22 2

2 tg

tgctg

tg

tgtg

17.

;13

33;cos3cos43cos

3133;sin4sin33sin

2

33

2

33

ctgctgctgctg

tgtgtgtg

18. ;

2

1sin

cos1cos1

sin2 ctg

tg

19. ;

21

21

cos;

21

22

sin2

2

2 tg

tg

tg

tg

2cos

2sin2sinsin bababa

2cos

2sin2sinsin bababa

2sin

2sin2coscos bababa

2cos

2sin2coscos bababa

babatgbtga

coscos)sin(

ba

bactgbctgasinsin

)sin(

baabctgbctga

sinsin)sin(

babatgbtga

coscos)sin(

2)cos()cos(coscos bababa

)11arcsin(arcsinarcsin 22 xyyxyx

arcsin x+arccos x=2

arctg x +arcctg x=2

arctg x+arctg2

1x

arccos(-x)= -arccos x

2)sin()sin(cossin bababa

2)cos()cos(sinsin bababa

ECUA IILE DREPTEI ÎN PLAN

1. Ecua ia cartezian general a dreptei: ax+by+c=0 (d) Punctul M(x0,y0) 000 cybxad 2. Ecua ia dreptei determinat de punctele A(x1,y1), B(x2,y2):

12

1

12

1

xxxx

yyyy

3. Ecua ia dreptei determinat de un punct M(x0,y0) i o direc ie dat ( are panta m) y-y0=m(x-x0) 4. Ecua ia explicit a dreptei (ecua ia normal ):

y=mx+n, unde 12

12

xxyytgm este panta

dreptei i n este ordonata la origine.

5. Ecua ia dreptei prin t ieturi: .0,,1 baby

ax

6. Fie (d): y=mx+n i (d’): y=m’x+n’

Dreptele d i d’ sunt paralele m=m’ i n n’. Dreptele d i d’ coincid m=m’ i n=n’. Dreptele d i d’ sunt perpendiculare mm’= -1.

Tangenta unghiului a celor dou drepte este

'1'

mmmmtg

7. Fie d: ax+by+c=0 i d’: a’x+b’y+c’=0 cu a’,b’,c’ .0 i )',( ddm

Dreptele d i d’ sunt paralele ''' c

cbb

aa

S se determine ecua ia dreptei care trece prin punctele ( )2, 1A − i ( )1, 2 .B −

Calcul direct. Ecua ia dreptei : 3 0.AB x y− − =

S se determine num rul real a tiind c vectorii 2u i a j= + i ( )3 2v i a j= + − sunt coliniari.

Vectorii ,u v sunt coliniari2

4.3 2

aa

a⇔ = = −

−

se determine num rul real a , tiind c dreptele 2 3 0x y− + = i 2 5 0ax y+ + = sunt paralele.

Din condi ia de paralelism a dreptelor 2 1

2a= − rezult 4.a = −

S

Dreptele d i d’ coincid ''' c

cbb

aa

Dreptele d i d’ sunt concurente '' b

baa

ab’-ba’ .0

2222 ''

''

'

'cos

baba

bbaa

vv

vv unde

)','('),,( abvabv sunt vectorii directori ai dreptelor d i d’. Dreptele d i d’ sunt perpendiculare,

0''' bbaadd 8. Fie punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), D(x4,y4) în plan.

Dreptele AB i CD sunt paralele, AB|| CD CDABîaR .*, sau mAB=mCD.

Dreptele AB i CD sunt perpendiculare, 0CDABCDAB

Condi ia ca punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) s fie coliniare este:

12

13

12

13

xxxx

yyyy

9. Distan a dintre punctele A(x1,y1) i B(x2,y2) este 2

122

12 yyxxAB Distan a de la un punct M0(x0,y0) la o dreapt h de ecua ie (h): ax+by+c=0 este dat de:

22

000 ),(

ba

cbyaxhMd .

��

��

��

��

��

��

��

� !�

"��#��

�� #�� $�� #��

%��&�� '��

��

(�� #��#��

��)��*��+�#��

#�� #�� ,� !� �� - !�

.�� #��% � &��

��

��%/ 0��

��)�� 1��2�3� �

(��

.��#��#��#��

��#��4#��#��

��

��#��#��

��#��

5��

��

6��$��

�%��!&�� #��

�%��&��

��

7��8�/��9��/��

�� !�� "��3��2��

3��1��

"��#�� #��

:/�� 0� �� !��#��

(�� #�� #��#��;�1�3

��%��2�3 &�1��

4�� #��8� ��%/�&�1�/��

�

"��#�� #�� :/��0��

!��#��

(��#��#��#��$�1�3 � 9� ��%��2�3 &�1��

"�� #��8� ��%/�&�1� ��

%��#�� #�� < % &3 �

3

� ��

��

��

��

��

��

��

(��#��#��#��#��;�1�

%��#��#��8��%/�&�1�/�� % & �3 �

3

� �

(�� #�� < =� ��

��

��

��

��

(��#��#��#��#��;�1�

(�� #��8� ��%/�&� 1� /��

��

��&�1�/��% �/��

&&

��&

�1��% �/��

&&

��% �2� &�1�/�� 9��% �2� &�1�/�� 9��%3 �/� &�1�/�� 9��%3 �/� &�1�/�� 9

��#��8

��%��'�(&�1��>��(��>��(9��%�� (&�1��>��(� ��(�>��9

��3��1��3��/��

3�9��3��1�3��>��9��

3 � ��3��

3

�� 9��

3 � ��3��

3

�� 9

�� % &

� ��

� (� (

� (9��

�� % &

� ��

� (� (

� (9

"�� )��(�� #��)�

$��"��

�

(

�

�

)

�� 3 �� )�

$��"��3�1�(

3�2��

3�/�3(� *��

%��+��.�� ( �

3��7�� )��, � � � � ( � �% &% &% & �

7�� )��,� � �( ) �(�

��

��

��

� �3 3 ?

��

% &% &��

3

� ( � ��

(��

% &��

3

� � ��

(��

��

��

@��1��9��1��9��1��#��!��

4��

#��#�� #��#��

3

3��3

� ��

��

�;

3

3��3

��

� ��3

�

�� ;

3

3

� ��3

��

� ��3

�

�� ;

3

�3��

3��

� ��3

�� .

(�� #�� 8

�� 3�� 3 3

� ( � (� ( 9 �� 3��

3 3

� ( � (� ( 9

�� 3�� 3 3

� ( � (� ( 9 �� 3��

3 3

� ( � (� ( ��

Se consider triunghiul ABC cu 4, 7AB AC= = i 3BC = . S se calculeze m sura unghiului B.

Se aplic teorema cosinusului în triunghiul ABC2 2 2 3

cos .2 2

AB BC ACB

AB BC

+ −= =⋅

S se calculeze aria triunghiului ABC tiind c ( )2, 30AC m BAC= = ° i 4AB = .

Aria sin

2.2

AC AB AABC

⋅ ⋅Δ = =

Se aplic teorema sinusurilor. 3

2 2 3.1sin2

ABR R R

C= = =

Se consider triunghiul ABC, având aria egal cu 15. S se calculeze sin A , tiind c AB = 6 i AC = 10.

Aria sin 1

15 sin2 2

AB AC AABC A

⋅ ⋅= = = .

S se demonstreze c , în orice triunghi dreptunghic ABC de arie S i ipotenuz de lungime a , este

adev rat identitatea 2 sin sin 2 .a B C S=

2sin , sin 2 sin sinAC a B AB a C S AB AC a B C= = = ⋅ = .

7

:Vectorii u v sunt coliniari R a.i. v = u . Punctele A, B, C sunt coliniare R a.i. AB = AC

AB CD R a.i. AB = AC

Produsul scalar a doi vectori . ),cos( vuvuvu

jyixu 11 , jyixv 22 2121 yyxxvu , 21

21 yxu

Daca 0,vu ,atunci 0vuvu

Ecu

ax+by+c=0 (d) Punctul M(x M ,y M ) d a Mx + 0cbyM

Ecua ia dreptei determinat de dou puncte distincte:A( ), AA yx ,B(x ), BB y

AB:111

BB

AA

yxyxyx

=0

Ecua ), AA y -y )( AA xxm Dreptele d 1 ,d 2 sunt paralele

21 dd mm Dreptele d 1 ,d 2 sunt perpendiculare

21 dd mm = -1

), AA y ,B(x ,B y )B :AB= 22 )()( ABAB yyxx ), AA y la dreapta h:ax+by+c=0:

d(A,h)=22 ba

cbyax AA

Punctele A,B,C sunt coliniare 0111

CC

BB

AA

yxyxyx

},,2,1{ nA.: AA

)()2(2

)1(1

nn

nn

e22

11

.

nS Produsul(compunerea) :Fie nS,

))(())((,: kkAA

1) nS,,),()( 2) nSee , 3) eiaSS nn

111 .., , 1 )(, 01 eNndefinimSFie nn

n Prop.: NnmSFie mnnmnmnm

n ,,)(,

nSFie },,2,1{ n , ji )()( ji . ).

i: )()1()( m Permutarea 1)( Permutarea 1)(

: nS,),()()(

Permutarea nn

ij

ji

ij 22

11

1) jiij 2) eij

2)( 3) ijij1 4) 1)( ij

MATRICE.

Adunarea matricelor tdzcybxa

tzyx

dcba

tazayaxa

tzyx

a

Înmul irea matricelor

tdyczdxctbyazbxa

tzyx

dcba

Transpusa unei matrice dbca

dcba T

Sistemul ordonat de elemente ),,,( 2211 nnaaaA,iar sistemul ordonat de elemente ),,( 11 nn aamatricei A.

nI =

1000

00100100

-matricea unitate de ordinul n ; nmO , =

0000

00000000

-

Prop matrice.: 1)A+B=B+A , )(, , CMBA nm (comutativitate) 2)(A+B)+C = A+(B+C) , )(,, , CMCBA nm (asociativitate) 3)A+ nmO , = nmO , +A = A , )(, CMA nm 4) )()(),( ,. CMACMA nmnm A+(-A) = (-A)+A= nmO , , )(, CMA nm 5)(AB)C = A(BC) , )(),(),( ,,, CMCCMBCMA qppnnm (asociativitate) 6)a)A(B+C) = AB+AC , )(,),( ,, CMCBCMA pnnm

adunare) b)(B+C)A = BA+CA, )(),(, ,, CMACMCB pnnm 7) )(, CMAAAIAI nnn 8)a(bA) = (ab)A, )(,, , CMACba nm 9)(a+b)A=aA+bA, )(,, , CMACba nm 10)a(A+B)=aA+aB, )(,, , CMBACa nm 11)aA = 0, aO nm sau A= nmO ,

12) ABABAaaABABAAA tttttttttt )(,)(,)(,)( Puterile unei matrice:Fie )(CMA n Definim NnAAAAAAAAAAAIA nn

n ,,,,,, 123210

-Cayley: 222 )()( OIbcadAdaA ,unde

dcba

A

a) 1 2

2 3

0 2M M+ = ; ( )1 2det 4M M+ = .

b) 2 1 2

0 1a

aM = .

c) ,x y

Xz t

= ax az y at

M Xz t

+ += , a

x ax yXM

z az t

+=

+;

, , , ,x az x y at ax y z z t az t a+ = + = + = = + ∀ ∈ ; ob inem 0,z t x= = , deci 0

x yX

x= , pentru

,x y ∈ , oarecare.

Se consider matricele 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I = i

1 1 1

0 1 1

0 0 1

X = din ( )3 . Se noteaz ...n

de n ori

X X X X= ⋅ ⋅ ⋅

n ∗∈ . S se calculeze 2X . S se determine inversa matricei X .

S se determine num rul real r astfel încât 3 233X X rX I= + + .

1. a) 2

1 2 3

0 1 2

0 0 1

X =

b) ( ) 1

1 0 0 1 1 0

det 1, 1 1 0 , 0 1 1

1 1 1 0 0 1

tX X X −

−= = = − .

c) 3

1 3 6

0 1 3

0 0 1

X = , 23

4 6 9

3 0 4 6

0 0 4

r r r

X rX I r r

r

+ + ++ + = + +

+. Identificând elementele, , ,a b c∀ ∈ ,

ob inem 3r = − .

Se consider matricele 1

0 1aa

M = , unde a ∈ .

S se calculeze ( )1 2det M M+ .

S se calculeze 2aM , unde 2

a a aM M M= ⋅ .

S se determine matricele ( )2X ∈ pentru care a aM X XM= , oricare ar fi a ∈ .

DETERMINAN I.

cbdadcba

;

dbiahfgecfbgchdieaihgfedcba

Propriet i: 1. Determinantul unei matrice este egal cu determinantul matricei transpuse; 2. Dac toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricei este nul; 3. Dac într-o matrice schimb m dou linii(sau coloane) între ele ob inem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei ini iale. 4. Dac o matrice are dou linii (sau coloane) identice atunci determinantul s u este nul;

A=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

.....................................

21

22221

11211

- ;njmiijaA,1,1

)(

)(, CMA nm ,unde )(, CM nm -elemente din C.

)(, CMA mnt - coloane(

=

A=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

.....

....................

............

21

22221

11211

- )(CMA n

Tr(A)= nnaaa 2211 -

5. Dac toate elementele unei linii(sau coloane) ale unei matrice sunt înmul ite cu un element a, ob inem o matrice al c rei determinant este egal cu a înmul it cu determinantul matricei ini iale. 6. Dac elementele a dou linii(sau coloane) ale unei matrice sunt propor ionale atunci determinantul matricei este nul; 7. Dac la o matrice p tratic A de ordin n presupunem c

elementele unei linii i sunt de forma '''

ijijij aaa atunci det A = det A’ +det A’’; 8. Dac o linie (sau coloan ) a unei matrice p tratice este o combina ie liniar de celelate linii(sau coloane) atunci determinantul matricei este nul. 9. Dac la o linie (sau coloan ) a matricei A adun m elementele altei linii (sau coloane) înmul ite cu acela i element se ob ine o matrice al c rei determinant este egal cu determinantul matricei ini iale;

))()((111

222

bcacabcbacba ;

11. Dac într-un determinant toate elementele de deasupra diagonalei principale sau de dedesubtul ei sunt egale cu zero, atunci determinantul este egal cu fca

fcafed

cba

000

12. Factor comun

rvupnmzyx

barvu

pbnbmbzayaxa

.

bcaddcba

(determinantul de ordinul doi)

Determinantul de ordinul trei(regula lui Sarrus)

fedcba

ibdfhaceggbfdhcaeiihgfedcba

a) ( ) 1 11,1

1 0A =

−; ( )det 1,1 1A = .

b) ( ) ( )1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 2

a a b bA B

b b a a b b

+ ++ =

− + + − +, cu elemente din AB M∈ .

c) ( ) 00,

bA b

b b=

− −, ( )2

10,

1

bI A b

b b

−− =

+; ( )( ) 2

2det 0, 1I A b b b− = + +

22 1 3

1 0,2 4

b b b b+ + = + + > ∀ ∈ .

1. Se consider mul imea ( ),a b

A a b a,bb a b

= = ∈− −

i matricea 21 0

0 1I = .

S se calculeze determinantul matricei (1,1)A .

b) S se demonstreze c dac ,A B∈ , atunci A B+ ∈ .

c) S se arate c ( )( )2det 0, 0I A b− ≠ , oricare ar fi b ∈ .

Se consider mul imea , ,a b

a b cb c

= ∈ i matricea 21 0

0 1I = .

a) S se arate c 2I ∈ .

tiind c ,A B ∈ , s se arate c A B+ ∈ .

c) S se demonstreze c ( )det 0AB BA− ≥ , oricare ar fi ,A B ∈ .

a) 1, 0a c b= = = ; 0,1∈ .

b) 1 2 1 2

1 2 1 2

a a b bA B

b b c c

+ ++ =

+ +. Elementele sunt numere reale.

c) 1 2 2 1 1 2 2 1

1 2 2 1 1 2 2 1

0

( ) 0

a b a b b c b cAB BA

a b a b b c b c

− + −− =

− − + −;

( ) 21 2 2 1 1 2 2 1det ( ) 0AB BA a b a b b c b c− = − + − ≥ .

Se consider matricele 21 0

0 1I = i

a bA

c d= din ( )2 . Se noteaz 2A A A= ⋅ .

a) S se calculeze 2A .

b) S se verifice c ( ) ( )22A a d A ad bc I= + − − .

c) tiind c 0a d+ ≠ i ( )2M ∈ cu 2 2A M MA= , s se demonstreze c AM MA= .

22

2

a bc ab bdA

ac cd bc d

+ +=

+ +.

b) ( )2

2

a ad ab bda d A

ac cd ad d

+ ++ =

+ +; ( ) ( )

2

2 2

a bc ab bda d A ad bc I

ac cd bc d

+ ++ − − =

+ +.

c) ( ) ( )2A M a d AM ad bc M= + − − ; ( ) ( )2MA a d MA ad bc M= + − − ; 0a d AM MA+ ≠ = .

Rangul unei matrice Fie A )(, CM nm , r N, ),min(1 nmr . Defini ie: Se nume te minor de ordinul r al matricei A, determinantul format cu elementele matricei A situate la intersec ia celor r linii i r coloane. Defini ie: Fie A nmO , o matrice . Num rul natural r este rangul matricei A exist un minor de ordinul r al lui A, nenul iar to i minorii de ordin mai mare decât r+1 (dac exist ) sunt nuli. Teorema: Matricea A are rangul r exist un minor de ordin r al lui A iar to i minorii de ordin r+1 sunt zero. Teorema: Fie A )(),( ,, CMBCM snnm . Atunci orice minor de ordinul k , ),min(1 smk al lui AB se poate scrie ca o combina ie liniar de minorii de ordinul k al lui A (sau B). Teorema: Rangul produsului a dou matrice este mai mic sau egal cu rangul fiec rei matrice. Defini ie: )(CM n . A este inversabil det A 0.( A este nesingular ). Teorema: Inversa unei matrice dac exist este unic . Observa ii: 1) det (A·B) =det A· det B.

2) *det

11 AA

A

(1

,))1((* AdAAA jiijji

) 3) A-1 )(ZM n det A = 1.

8 elementele altei linii (sau coloane)

9)ihgpnmcba

ihgfedcba

ihgpfnemd

cba

10)det(A BAB detdet) , A,B )(CM n Defini ie:Fie )()( CMaA nij .Se nume te minor asociat elementului njiaij ,1, determinantul matricei ob inute din A prin eliminarea liniei i i a coloanei j.Se noteaz acest minor cu ijM .

Num rul ijji

ij MA )1( se nume te complementul algebric al elementului ija .

Matrice inversabile

Inversa unei matrice :A )(CM n A )(1 CM n a.i. A nIAAA 11

:A 0det)( AinversabilCM n

A AAdet

11 ,A adjuncta matricei A. A At

)(CM n 1 ) 1 = A

b)(AB) 111 AB

Teorema: Un determinant este nul una din coloanele (respectiv linii) este o combina ie liniar de celelalte coloane(respectiv linii). Teorema: Rangul r al unei matrice A este egal cu num rul maxim de coloane(respectiv linii) care se pot alege dintre coloanele (respectiv liniile) lui A astfel încât nici una dintre ele s nu fie combina ie liniar a celorlalte. Sisteme de ecua ii liniare Forma general a unui sistem de m ecua ii cu n necunoscute este:

(1

mnmnmm

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

.......................................................

...........

2211

11212111

sau

n

jjij xa

1 ib

Unde A (aij) mi1 , nj1 - matricea coeficien ilor necunoscutelor.

Matricea

mmnm

n

baa

baaA

..........

1

1111

se nume te matricea extins

a sistemului. Defini ie: Un sistem de numere n,......., 21 se nume te solu ie a sistemului (1)

miba i

n

jjij ,1,

1.

Defini ie: - Un sistem se nume te incompatibil nu are solu ie; - Un sistem se nume te compatibil are cel pu in o solu ie; - Un sistem se nume te compatibil determinat are o singur solu ie;

Stabilirea rangului unei matrice: Se ia determinantul de ordinul k-1 i se bordeaz cu o linie (respectiv cu o coloan ). Dac noul determinant este nul rezult c ultima linie(respectiv coloan )este combina ie liniar de celelalte linii (respectiv coloane).

- Un sistem se nume te compatibil nedeterminat are o infinitate de solu ii; Rezolvarea matriceal a unui sistem Fie A, )(CMB n .

njbaA

XBAXBXAA i

n

iijj ,1,

det1

1

11 .

Rezolvarea sistemelor prin metoda lui Cramer:

Teorema lui Cramer: Dac det A 0not , atunci sistemul

AX=B are o solu ie unic Xi= i .

Teorema lui Kronecker- Capelli: Un sistem de ecua ii liniare este compatibil rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse. Teorema lui Rouche: Un sistem de ecua ii liniare este compatibil to i minorii caracteristici sunt nuli. Not m cu m-num rul de ecua ii; n- num rul de necunoscute; r -rangul matricei coeficien ilor.

I m=n=r Sistem compatibil determinat

0

II m=r n Sistem compatibil nedeterminat

Minorul principal este nenul

III

n=r m

Sistem compatibil determinat sau

Dac to i minorii caracteristici sunt nuli

Sistem incompatibil

Exist cel pu in un minor caracteristic nenul

IV mrnr , Sistem compatibil nedeterminat sau

Dac to i minorii caracteristici sunt nuli

Sistem incompatibil

Exist cel pu in un minor caracteristic nenul

Teorema: Un sistem liniar i omogen admite numai solu ia banal 0

Se consider sistemul

2

2 3

2

x y z

x y z

x y z a

+ + =+ − =

− + =, unde a ∈ .

S se calculeze determinantul matricei asociate sistemului. Pentru 0a = s se rezolve sistemul. S se determine a ∈ astfel încât solu ia sistemului s verifice rela ia x y z= + . a) 7Δ = − .

b) 7, 7, 0x y zΔ = − Δ = − Δ = ; 1, 1, 0x y z= = = .

c) 1x y z= + = ; 1, 0y z= = 0a = .

a) 1

1 4 4

det 3 5 5

3 2 2

A = . 1det 0A = (are 2 coloane egale).

b) A doua ecua ie are solu ia dat pentru 8a = , iar a treia pentru 10a = .

c) Dac 3 3y z x+ = = (din prima ecua ie); sc zând ultimele 2 ecua ii ( ) ( )2 6y z a y z+ + + = ,

deci a = 0; 3,2 3 7 2, 1y z y z y z+ = + = ⇔ = = .

Se consider sistemul ( )( )

4 4 15

3 4 5 22

3 2 3 16

x y z

x a y z

x y a z

+ + =+ + + =+ + − =

, unde a ∈ .

Pentru 1a = s se calculeze determinantul matricei asociate sistemului.

S se arate c tripletul ( )7,1,1 nu poate fi solu ie a sistemului, oricare ar fi a ∈ .

S se determine solu ia ( )0 0 0, ,x y z a sistemului pentru care 0 0 3y z+ = .

Fie A O nm,

minor de ordinul r al lui A,nenul,

Matricea A are rangul r l lui A, nenul ,

Sisteme de ecua

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

a ij - nxx ,,, 21 - necunoscute, b mbb ,,, 21 -termenii liberi

A=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

.....................................

21

22221

11211

-matricea sistemului, A =

mmnmm

n

n

baaa

baaabaaa

.....................................

21

222221

111211

-

B=

mb

bb

....2

1

nx

xx

...2

1

.matricea necunoscutelor.

AX=B - istemului

- - - - minat are mai mult de o solu ie. Rezolvarea sistemelor prin metoda lui Cramer: Un sistem de ecua ii liniare este de tip Cramer dac num rul de ecua ii este egal cu num rul de necunoscute i determinantul matricei sistemului este nenul. Teorema lui Cramer notat 0 , atunci sistemul

i = i ,unde i se ob ine nlocuind coloana i cu coloana termenilor liberi.

Teorema lui Kronecker- Capelli ii liniare este compatibil rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse. Teorema lui Rouche ii liniare este compatibil caracteristici sunt nuli.

Valorile functiilor trigonometrice in cazuri particulare

Studiul matematicii presupune memorarea anumitor rezultate, formule, relatii, etc. Orice lectie sau capitol are un trunchi de informatii de baza care trebuie memorat, restul informatiilor se pot deduce. Astfel in anumite situatii, cand trebuie sa memoram informatii noi, este posibil sa stabilim o legatura cu alte cunostiinte invatate anterior sau sa stabilim anumite repere care sa ne ajute sa le retinem. Nu de putine ori vi s-a intamplat sa incurcati valorile functiilor trigonometrice sin x, cos x, tg x

si ctg x cand x ia valorile particulare 0 , 30 , 45 , 60 , 90 sau in radiani 0, 6

, 4

, 3

, 2

.

Va voi prezenta mai jos un procedeu prin care in cateva zeci de secunde puteti scrie cele 20 de valori fara sa le incurcati.

Stim ca pe intervalul 2

,0 functia sinus este strict crescatoare de la 0 la 1.

Deci sin 0 = 0 si sin2

= 1. Mai raman de determinat 3 valori.

Ordinea 1 2 3 x 30 45 60

sin x

21

21

22

23

Valorile lui sin x sunt fractii cu numitorul 2 si numaratorul egal cu radical din numarul ce exprima locul lui x in multimea ordonata { 30 , 45 , 60 } . Astfel avem:

x 0 30 45 60 90 sin x

0 21

21

22

23

1

Pentru a determina valorile lui cos x plecam de la faptul ca functia cosinus este descrescatoare

pe 2

,0 de la 1 la 0, iar valorile luate in interiorul intervalului sunt aceleasi numere ca in

cazul functie sinus. Astfel avem:

x 0 30 45 60 90 cos x

1 23

22

21

21

0

Stim ca tg x = xcosxsin si ctg x =

xsinxcos =

xtg1 .

Astfel avem si valorile tangentei si cotangentei:

x 0 30 45 60 90 tg x

0 33

31

1

3

Nu exista

ctg x Nu exista

3

1 3

3

0

Elemente de geometrie i trigonometrie

sin Rxxx ,1cos22 -1 Rxx ,1sin -1 Rxx ,1cos sin(x+2k xsin) , ZkRx , cos(x+2k kRxx ,,cos) sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa cos(a+b)=cosacosb-sinasinb sin(a-b)=sinacosb-sinbcosb cos(a-b)=cosacosb+sinasinb sin2x=2sinxcosx, cos2x=cos xx 22 sin

sin xx cos)2

( cos xx sin)2

(

sina+sinb=2sin2

cos2

baba cosa+cosb=2cos2

cos2

baba

sina-sinb=2sin2

cos2

baba cosa-cosb= -2sin2

sin2

baba

tgx= 0cos,cossin x

xx ctgx= 0sin,

sincos x

xx

tg(x+k tgx) ctg(x+k ctgx)

tg ctgxx)2

( ctg tgxx)2

(

tg(a+b)=tgatgb

tgbtga1

tg(a-b)=tgatgb

tgbtga1

tg2x=xtg

tgx21

2

sinx =

21

22

2 xtg

xtg cosx =

21

21

2

2

xtg

xtg

Valori principale ale x 0

6

4

3

2

2

3 2

sinx 0 21

22

23

1 0 -1 0

cosx 1

23

22 2

1 0 -1 0 1

tgx 0

33

1 3 - 0 - 0

ctgx - 3 1

33

0 - 0 -

Semnele func sin:+,+,-,- tg.,ctg.:+,-+,- cos:+,-,-,+

sin(-x)= -sinx - tg(-x)= -tgx ctg(-x)= -ctgx Func ii trigonometrice inverse

arcsin:[- ]2

,2

[ arcsin(-x)= -arcsinx

arcsin(sinx)=x, ]2

,2

[x sin(arcsinx)=x,x ]1,1[

arccos:[-1,1] ],0[ arccos(-x)= xarccos arccos(cosx)=x, ],0[x cos(arccosx)=x, ]1,1[x

arcsinx+arccosx= ]1,1[,2

x

arctg:R )2

,2

( arctg(-x)= -arctgx

arctg(tgx)=x, )2

,2

(x tg(arctgx)=x, Rx

arcctg:R ),0( arcctg(-x)= arcctgx arcctg(ctgx)=x, ),0(x ctg(arcctgx)=x, Rx

arctgx+arcctgx= Rx,2

sinx = a,a },arcsin)1{(]1,1[ kkax k cosx = b,b },2arccos{]1,1[ kkbx tgx = c,c },{ kkarctgcxR ctgx = d,d },{ kkarcctgdxR sinax = sinbx kkbxax k ,)1( cosax = cosbx kkbxax ,2 tgax = tgbx kkbxax , ctgax = ctgbx kkbxax ,

Teorema sinusurilor:C

cB

bA

asinsinsin

=2R,unde R este raza cercului circumscris

triunghiului. Teorema cosinusului:a Abccb cos2222 Aria unui triunghi:

A2

hb A2

),sin( ACABACAB A ))()(( cpbpapp ,p=2

cba

A111

,2

CC

BB

AA

ABC

yxyxyx

A2

21 cccdreptunghi A

432l

lechilatera

Raza cercului circumscris unui triunghi:R=S

abc4

,unde S este aria triunghiului

Raza cercului nscris ntr-un triunghi:R=pS ,unde S este aria triunghiului iar

p=2

cba

Aplicatii ale trigonometriei in geometrie

1. Notatii: In ABC avem urmatoarele notatii:

Masurile unghiurilor A , B , C se noteaza m( A ) = A, m( B ) = B, m( C ) = C. Lungimile laturilor opuse ungiurilor A , B , C se noteaza cu a, b, c, adica AB= c, AC= b, BC= a, 2p = a+ b+ c (p este semiperimetrul ABC) , S = aria ABC. Lungimile medianelor duse din varfurile A, B, C se noteaza cu m a , m b respectiv m c . Lungimile inaltimilor duse din varfurile A, B, C se noteaza cu h a , h b respectiv h c . Raza cercului circumscris ABC se noteaza cu R. Raza cercului inscris in ABC se noteaza cu r.

2. Teorema sinusurilor: Asin

a = Bsin

b =Csin

c = 2R.

3. Teorema medianei: m 2a =

4a)cb(2 222

, m 2b =

4b)ca(2 222

, m 2c =

4c)ba(2 222

.

4. Teorema cosinusului: a 2 = b 2 +c 2 -2bc·cos A, b 2 = a 2 +c 2 -2ac·cos B, c 2 = a 2 +b 2 -2ab·cos C.

5. S = 2

aha =2

bhb =2

chc .

6. S = 2

Bsinac = 2

Csinab =2

Asinbc .

7. S = Asin2

CsinBsina 2

= Bsin2

CsinAsinb2

= Csin2

BsinAsinc 2

.

B

A

C

R

r

ha ma

8. Formula lu Heron: S = )cp)(bp)(ap(p . 9. S = rp.

10. S = R4

abc .

11. sin 2A =

bc)cp)(bp( , cos

2A =

bc)ap(p .

Structuri algebrice

1. Fie M Ø. Se numeste lege de compozitie interna pe M orice functie f: MxM M. Daca x, y M atunci f(x,y) este compusul elementelor x si y prin legea f. 2. Fie “*” o lege de compozitie definita pe M Ø si A M, A Ø. Spunem ca A este parte stabila a lui M in raport cu legea “*” daca oricare ar fi x, y din A avem x*y A. 3. Proprietati ale legilor de compozitie: Fie M Ø pe care s-a definit legea de compozitie interna “*”.

Comutativitatea: spunem ca legea de compozitie “*” este comutativa daca x, y M, avem x*y = y*x.

Asociativitatea: spunem ca legea de compozitie “*” este asociativa daca x, y, z M, avem (x*y)*z = x*(y*z).

Element neutru: spunem ca e M este element neutru al legii de compozitie “*” daca x M avem x*e = e*x = x.

4. Fie M Ø pe care s-a definit o lege de compozitie interna notata Spunem ca legea “*” defineste pe M o structura algebrica de daca:

a) legea “*” este asociativa pe M; b) legea “*” admite element neutru in M.

Monoidul se noteaza (M,*). 5. Un monoid (M,*) se numeste monoid comutativ daca legea “*” este comutativa. 6. Fie (M,*) un monoid cu element neutru e. Spunem ca x M este simetrizabil in raport cu legea “*” daca exista x' M astfel incat x*x'=x'*x = e. x' se numeste simetricul lui x. 7. Fie G o multime nevida pe care s-a definit o lege de compozitie notata *”. Spunem ca legea de compozitie „*” defineste o structura de grup pe multimea G daca:

i) legea „*” este asociativa; ii) legea „*” are element neutru notat cu e; iii) orice element x al lui G este simetrizabil.

Spunem ca (G,*) este grup daca (G,*) este un monoid cu toate elementele simetrizabile. Daca G este o multime finita grupul se numeste grup finit si numarul de elemente al lui G reprezinta ordinul grupului. Daca legea „*” este comutativa spune ca G este grup comutativ sau abelian. 8. Reguli de calcul intr-un grup: Fie (G,·) un grup multiplicativ atunci avem:

i) Daca x, y G atunci (x·y) 1 = y 1 ·x 1 , ii) Daca x, y, z G si x·z = y·z x = y (simplificare la dreapta), iii) Daca x, y, z G si z·x = z·y x = y (simplificare la stanga), iv) Daca a, b G atunci: ecuatia a·x = b are solutie unica x = a 1 b, ecuatia x·a = b are solutie unica x = b 1 a.

9. Fie (G,*) un grup si H G parte stabila a lui G. Daca (H,*) este un grup fata de aplicatia indusa spunem ca (H,*) este subgrup al lui (G,*).

10. Fie (G, ) este un grup finit si a G. Se numeste ordinul elementului a cel mai mic numar n N * pentru care a n = e si se scrie ord a = n. Daca ord a = 1 atunci a = e. 11. Fie (G 1 , ) si (G 2 , T) doua grupuri. Se numeste morfism de la grupul (G 1 , ) la grupul (G 2 , T) o functie f :G 1 G 2 astfel incat f(x y) = f(x)Tf(y) pentru orice x,y G 1 . Daca f este morfism bijectiv atunci f se numeste izomorfism. Un izomorfism definit pe acelasi grup (de la grupul (G,*) la grupul (G,*)) se numeste automorfism. 12. Consideram o multime A Ø inzestrata cu doua legi de compozitie interna notate cu “+”, “·”. (A, +, · ) este un inel daca:

i) (A, +) este grup abelian, ii) (A, · ) este monoid, iii) legea “·” este distributiva fata de legea “+” , adica:

x·(y+z) = x·y + x·z (distributiva la stanga) si (y+z)·x = y·x + z·x (distributiva la dreapta).

Daca legea “·” este comutativa spune ca (A, +, · ) este inel abelian sau comutativ. 13. Daca A este un inel si x,y A doua elemente diferite de elementul 0 (x 0,y 0) au proprietatea x·y = 0 spunem ca x si y sunt divizori ai lui 0 iar inelul A are divizori ai lui 0. 14. Un inel comutativ (A, +, · ) cu 0 1 si fara divizori ai lui zero se numeste domeniu de integritate. 15. Se numeste corp un inel (K, +,· ) in care 0 1 (elementul zero este diferit de elementul unitate) si orice element x K , x 0 este simetrizabil fata de inmultire (a doua lege a inelului). Daca inmultirea este comutativa corpul se numeste corp comutativ. 16. Fie (A, +, · ) si (B, *, ) doua inele (corpuri). Un morfism de la (A, +, · ) la (B, *, ) este o functie f: A B astfel incat:

i) f(x + y) = f(x)*f(y) x, y A, ii) f(x· y) = f(x) f(y) x, y A, ii) f(1 A ) = f(1 B ) .

Un morfism de inele (corpuri) se numeste izomorfism daca este bijectiv.

Rezumat:

Multime Lege de

compozitie Proprietatile legii de

compozitie Structura - asociativa - element neutru „ 0”

(A, *) Monoid

- comutativa

(A, *) Monoid comutativ

- asociativa - element neutru „ 0” - orice element x al lui A este simetrizabil.

(A, *) Grup

*: AxA A

- comutativa

(A, *) Grup comutativ


*: AxA A

- comutativa

(A, *) Grup comutativ

- asociativa - element neutru „1”

(A, ) Monoid

(A, *, ) Inel

: AxA A - comutativa

(A, *, ) Inel

comutativ


*: AxA A

- comutativa (A, *)

Grup comutativ - asociativa - element neutru

(A, ) Monoid

- orice element x a lui A, diferit de „0” este simetrizabil

(A, *, ) Corp

A

: AxA A

- comutativa

(A, *, ) Corp

comutativ

GrupuriDefini ie:Fie MMM: lege de compozitie pe M.O submultime nevid H a lui M ,se nume te parte stabil a lui M HyxHyx, . Propriet ile legilor de compozi ie Fie MMM:

Mzyxzyxzy ,,),() Myxxyy ,, admite element neutru dac exista e M a.i Mxxxeex ,.

Defini ie:Cuplul (M, ) f : 1)(x Mzyxzyxzy ,,),() 2) exist e M a.i Mxxxeex ,.

Myxxyy ,, :U(M)={x xM / este simetrizabil}

:Cuplul (G, ) 1)(x Gzyxzyxzy ,,),() 2) exist e M a.i Gxxxeex ,. 3) GxGx ', a.i. x exxx ''

x Gyxxyy ,,

contrar.

Ordinul unui element :Fie (G, ) G

x en Subgrup

(G, )grupului (G, ) 1) HyxHyx, . 2) HxHx '

Grupul claselor de resturi modulo n, }1,,2,1{^^^

nZn ),( nZ grup abelian

),( nZ -monoid comutativ , }1),.(..../{)(^

nkcdmmcZkZU nn Se consider inelul ( )6 , ,+ ⋅ , unde { }6

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0, 1, 2, 3, 4, 5= .

a) S se rezolve în 6 ecua ia ˆ ˆˆ2 5 1x + = .

b) S se calculeze determinantul

ˆ ˆ ˆ 1 2 3

ˆ ˆ ˆ 2 3 1

ˆ ˆ ˆ 3 1 2

în 6 .

c) S se rezolve în 6 sistemul de ecua ii

ˆ ˆ2 4

ˆ ˆ2 5

x y

x y

+ =

+ =.

(G, ) ),' 'G

Gyxyfxfyx ,),()()

Prop. Fie (G, ) i (G ),' 'G este morfism de grupuri atunci: 1)f(e)=e ' unde e,e ' 2)f(x '' )]([) xf Gx

Un triplet (A, ),

1) (A, )este grup abelian 2) (A, )este monoid 3)Legea ,, x (y z)=(x y) (x z),(y Azyxxzxyxz ,,)()() Inelul (A, ), , este f r divizori ai lui 0,dac (. eyxeyx e element neutru de la legea ,, ) Un inel (A, ), , se nume te comutativ dac satisface i axioma: x Ayxxyy ,, Un inel (A, ), , comutativ,cu cel putin 2 elemente i f r divizori ai lui 0, se nume te,domeniu de integritate . Defini ie :Un inel (K, ), cu e e se nume te corp dac KxexKx ',, a.i.

eeexxxx ,('' fiind elementele neutre ) Un corp (K, ), , se nume te comutativ dac satisface i axioma: x Kyxxyy ,, Obs.:Corpurile nu au divizori ai lui zero. Morfisme i izomorfisme de inele i corpuri.

:Fie (A, ),(),, 'A dou 'A

1)f( Ayxyfxfyx ,),()() 1)f( Ayxyfxfyx ,),()() 3)f(e )= e (e , e , )

:Fiind date corpurile K, 'K ,orice morfism(izomorfism) de inele de la K la

'K ,se nume te morfism(izomorfism)de corpuri. Inele de polinoame = 0,01

11 n

nn

nn aaxaxaxa , Aai un

inel comutativ. :a A d

polinoame,0 din

gradr<gradg.

Teorema restului: Fie K un corp comutativ,f un polinom din K[X] i a un element din K restul mp r irii lui f la X-a este f(a).

16

Consecin a este rad X-a divide f. :Elementul a K p N pentru polinomul f ][XK

-a) p divide pe f iar (X-a) 1p nu divide pe f. : Elementul a K N pentru polinomul

f ][XK 0)(,,0)(,0)( )1(' afafaf p 0)()( af p

omului f.

Fie f ][XR ,f 0 0 ,atunci: 1) z = a- f

z Obs. : fzXzX /))(( Polinoame cu coeficien

:Fie f ][XQ , f 0 0 ba est

a,b QbbQ ,0, ,atunci 1) bax0 2)x 0 , 0xmultiplicitate. Obs. : fxXxX /))(( 00 Polinoame cu coef

:fie f= 0,011

1 nn

nn

n aaxaxaxa ;f ][XZ

qpqp ,(0

a)p divide termenul liber a 0 b)q divide pe a n

p0 0 . Polinoame ireductibile Defini ie:Fie K un corp comutativ

Prop.:Polinoamele de grad 2 sau 3 din K[X] sunt ireductibile peste K

Rela iile lui Viete: Fie K un corp comutativ,f un polinom din K[X], f = 0,01

11 n

nn

nn aaxaxaxa . nxxx ,,, 21 sunt n

atunci f = )())(( 21 nn xXxXxXa 1

121 nnn aaxxx 1

213121 nnnn aaxxxxxx ....................................................... x 1

021 )1( nn

n aaxx

][,012

23

3 XCfaxaxaxa

3

0321

3

1323121

3

2321

aa

xxx

aaxxxxxx

aaxxx

f=a

4

04321

4

1432431421321

4

2433121

4

34321

012

23

34

4 ][,

aa

xxxx

aaxxxxxxxxxxxx

aaxxxxxx

aa

xxxx

XCfaxaxaxax

0,01

11 n

nn

nn aaxaxaxa pentru care

niaa iin 0, -1.

0,234 aabxcxbxx 2x 0)1()1( 2

2 cx

xbx

x ;notez x tx1

Se consider polinoamele 5, [ ]f g X∈ , 2(3 3 ) 2 2 3f a b X X a b= + + + + i 22 2 3 2 .g X X a b= + + +

a) S se determine 5,a b ∈ astfel încât cele dou polinoame s fie egale.

b) Pentru 2a b= = s se calculeze în 5 suma (0) (1) (2) (3) (4)f f f f f+ + + + .

c) Pentru 2a b= = s se rezolve în 5 ecua ia ( ) 0f x = .

a) Egalând coeficien ii termenilor asemenea se ob in valorile 2a = i 2b = .

b) Se ob ine (0) (1) (2) (3) (4) 0f f f f f+ + + + =

c) Se rezolv ecua ia 22 2 0x x+ = în 5 i se ob in solu iile 1 0x = i 2 4x = .

Fie polinomul 3 2 4f X aX aX= + − − , [ ]f X∈ .

a) S se determine a∈ astfel încât 1 2 3 2x x x+ + = − , unde 1 2 3, ,x x x sunt r d cinile reale ale

polinomului f .

b) S se determine a∈ astfel încât polinomul f s fie divizibil cu polinomul 2 2X − .

c) S se determine a∈ pentru care polinomul f are o r d cin ra ional pozitiv .

a) Din rela iile lui Viete rezult 2.a = b) Se ob ine 2.a = c) R d cinile ra ionale posibile sunt printre divizorii termenului liber. Se ob in valorile 2a = − sau

5a = − .

iruri de numere reale

) Fie Nnna )(

)( na Nnaa nn ,1 . )( na Nnaa nn ,1 . )( na este descresc tor dac : Nnaa nn ,1 . )( na este strict descresc tor dac : Nnaa nn ,1 .

ir m rginit Fie Nnna )(

)( na Nnan ,.i.aR,

În mul imea [ ]X se consider polinomul 3 2 1f X pX= + + cu r d cinile 1 2 3, ,x x x i .p∈

a) S se calculeze ( )f p− .

b) S se determine p∈ pentru care polinomul f este divizibil cu 1.X −

c) S se calculeze în func ie de p∈ suma 4 4 41 2 3 .x x x+ +

A doua ecua ie 1 2 2 3 3 1

1 2 3

1

2

x x x x x x

x x x

+ +⇔ = ; 1 2 3 4x x x = − .

b) 1 1 2 3 2 1 2 1 3 2 3 3 1 2 3, ,s x x x s x x x x x x s x x x= + + = + + = ; ecua ia: 3 21 2 3 0x s x s x s− + − = ecua ia cerut :

3 22 2 4 0x x x− − + = , deci 2, 2, 4a b c= − = − = .

c) Ecua ia devine: ( )( )22 2 0x x− − = cu solu iile: 1 2,32, 2x x= = ± . Solu iile sistemului sunt

permut rile acestora.

Se consider polinomul [ ]f X∈ , 3 22f X X aX b= − + + cu r d cinile 1 2 3, ,x x x .

a) Pentru 1a = i 0b = s se determine 1 2 3, ,x x x .

b) tiind c 2 2 21 2 3 2x x x+ + = , s se arate c 1a = .

c) tiind c 2 2 21 2 3( )( )( )f X x X x X x= − − − , s se determine numerele reale a i b .

( ) 1f p− = .

b) ( )1 0 2 0 2f p p= ⇔ + = ⇔ = − .

c) 2 2 2 21 2 3 1 2 1 3 3 2 1 2 3 1 2 3, 0 , 1x x x p x x x x x x x x x p x x x+ + = − + + = ⇔ + + = = − .

( ) ( )2 2 2 2 2 21 2 1 3 2 3 0 2 1 2x x x x x x p p+ + = − ⋅ − ⋅ − = − . 4 4 4 4

1 2 3 4x x x p p+ + = + .

Consecint : dac un ir con ine dou sub iruri cu limite diferite, atunci irul nu are limit

knyax nnn , si lyx nnnn

limlim atunci lannlim .

rtului

Fie Nnna )( un ir cu termeni strict pozitivi. Dac )1,0[lim 1 la

a

n

n

n atunci 0lim nn

a .

Daca ),1(lim 1 la

a

n

n

n sau l atunci nn

alim .

Lema lui Stolz-Cezaro Fie Nnna )( i Nnnb )( dou iruri de numere reale.

lbbaa

nn

nn

n1

1lim Nnnb )(

atunci lba

n

n

nlim

i

Fie Nnna )( un ir cu termeni strict pozitivi. la

a

n

n

n

1lim atunci lannn

lim .

]1,( , ),1( ,

1 ,1)1,1( dac ,0

lim

qdacexistnuqdac

qdacq

qn

n

0,00,

lim nn

0lim nkn

an ,unde N),1,1( ka

en

n

n

11lim ; ...7178,2e este constanta lui Euler

generalizare: ex

nx

nn

11lim dac nx ; ey nynn

11lim dac 0ny

1sin

limn

n

n xx

dac 0nx , 1tglimn

nn x

x dac 0nx ,

1arcsin

limn

n

n xx

dac 0nx , 1tg

limn

n

n xxarc

dac 0nx ,

LIMITE DE FUNC II Defini ie: O func ie f:D RR are limit lateral la stânga ( respectiv la dreapta) în punctul de acumulare

slexistx0 R (respectiv dl R) a. î. lim f(x)= sl ,

(respectiv lim f(x) = dl ).

0

0

xxxx

0

0

xxxx

Defini ie: Fie f:D RR , Dx0 un punct de acumulare. Func ia f are limit în )()( 000 xlxlx ds Propriet i: 1. Dac lim f(x) exist , atunci aceast limit este unic .

0xx

2. Dac lim f(x) =l atunci 0

.)(limxx

lxf

0xx Reciproc nu.

3. Dac 0

0)(lim0)(lim

xx

xfxf

4. Fie f,g:D RR , U o vecin tate a lui Dx0 astfel încât f(x) g(x) 0xUDx i dac exist

00 ,

)(lim),(lim

xxxx

xgxf

00

)(lim)(lim

xxxx

xgxf

5. Dac

.)(lim)(lim)(lim

)()()( 0

lxglxhxf

ixUDxxhxgxf

x x0 x x0 x x0

6.

Dac lxfxg

ixUDxxglxf

)(lim0)(lim

)()( 0

7.

0)()(lim

)(..00)(lim

xgxf

MxgîaMixfDac .

8.

.)(lim

(lim)()(

.)(lim

)(lim)()(

xf

xgixgxfDac

xf

xgixgxfDac

OPERA II CU FUNC II

112

1212121

21

,,,,,

)(lim,)(lim

2 lllllllllloperatiilesens

auilxglxfexistDac

l

atunci: 1. lim(f(x) g(x))= 21 ll . 2. limf(x)g(x)= 21 ll

3. Dac 0

0)(lim0)(lim

xx

xfxf

4. Fie f,g:D RR , U o vecin tate a lui Dx0 astfel încât f(x) g(x) 0xUDx i dac exist

00 ,

)(lim),(lim

xxxx

xgxf

00

)(lim)(lim

xxxx

xgxf

3.lim2

1

)()(

ll

xgxf

4.lim 21

)()( lxg lxf 5.lim 1)( lxf

P(X)=a0xn + a1xn-1 + ……………..+an ,a0 0 lim

x

naxP )()( 0

0, dac q 1,1

limx

qx = 1, dac q=1

, dac q>1 nu

exist , dac q 1

.0,

0,

,

,0

............

lim

0

0

0

0

0

0

110

110

ba

iqpdac

ba

iqpdac

qpdacba

qpdac

bxbxbaxaxa

qqq

ppp

x

a>1 x

xalim 0lim x

xa

a )1,0( 0lim x

xa x

xalim

a>1 xax

loglim xax

loglim0

a )1,0( xax

loglim xax

loglim0

01limxx

01limxx

x

xx

1lim00

x

xx

1lim00

xxlim 3lim x

x 3lim x

x

lim0x

1sinx

x 1sinlim0 xu

xuxu

lim0x

1x

tgx 1lim0 xu

xtguxu

lim0x

1arcsinx

x 1arcsinlim0 xu

xuxu

lim0x

1x

arctgx 1lim0 xu

xarctguxu

lim0x

ex x1

1 exu xuxu

1

01lim

ex

x

x

11lim 011limxu

xu xu

lim0x

11lnx

x 11lnlim0 xu

xuxu

lim0x

ax

a x

ln1 axu

a xu

xuln1)(

0lim

lim0x

rxx r 11 r

xuxu r

xu

11lim0

0lim x

k

x ax 0lim xu

k

xu axu

limx

0lnkxx 0lnlim k

xu xuxu

10daca01daca

lim, a ,

a , ax

x

10daca1daca0

lim, a ,

a , ax

x

10daca1daca

loglim, a , -

a , x ax

10daca1daca

loglim00 , a ,

a , x a

xx

2arctglim x

x

2arctglim x

x 0lim arcctgx

x arcctgx

xlim

ex

x

x

11lim ex

x

x

11lim ex xx

1

01lim

1sinlim0 x

xx

1lim0 x

tgxx

1arcsinlim0 x

xx

1arctglim0 x

xx

11lnlim0 x

xx

1,0ln1lim0

a a , ax

a x

x

1)(

)(sinlim0 xu

x ux

1)(

)(tglim0 xu

x ux

1)(

)(arcsinlim0 xu

x ux

1)(

)(arctglim0 xu

x ux

1)(

)(1lnlim0 xu

xux

1,0ln)(

1lim)(

0a a , a

xua xu

xunde 0)(lim

0

xuxx

Opera ii f r sens: 00 ,0,1,0,,00,

Asimptote 1.Asimptote verticale Defini ie:Fie f :E RaR, punct de acumulare pentru E.Se spune c dreapta x = a este asimptot vertical la stanga pentru f,dac )(lim xf

axax

sau )(lim xfaxax

.

Defini ie:Fie f :E RaR, punct de acumulare pentru E.Se spune c dreapta x = a este asimptot vertical la dreapta pentru f,dac )(lim xf

axax

sau )(lim xfaxax

.

Defini ie : Fie f :E RaR, punct de acumulare pentru E.Se spune c dreapta x = a este asimptot vertical pentru f dac ea este asimptot vertical at t la st nga c t i la dreapta sau numai lateral. 2.Asimptote oblice Teorema : Fie f :E ,R unde E con ine un interval de forma(a, ) Dreapta y=mx+n,m 0 este asimptot oblic spre + la graficul lui f dac i numai dac

m,n sunt numere reale finite,unde m= ])([lim,)(lim mxxfnxxf

xx.Analog la - .

3.Asimptote orizontale Dac llxf

x,)(lim num r finit atunci y = l este asimptot orizontal spre + la graficul

lui f. Analog la - Obs : (- )

FUNC II CONTINUE

DEFINI IE. O func ie f : D R R se nume te continu în punctul de acumulare x0 D oricare ar fi vecin tatea V a lui f(x0) , exist o vecin tate U a lui x0, astfel încât pentru orice

x U D f(x) V.

DEFINI IE. f : D R R este continu în x0 D f are limit în x0 i lim f(x) = f(x0) sau ls (x0 ) = ld (x0 ) = f(x0). x0 se nume te punct de continuitate. Dac func ia nu este continu în x0 f.se nume te discontinu în x0 i x0 se nume te punct de discontinuitate. Acesta poate fi:

- punct de discontinuitate de prima spe dac ls (x0 ), ld (x0 ) finite, dar f(x0);

- punct de discontinuitate de a doua spe dac cel pu in o limit lateral e infinit sau nu exist .

DEFINI IE. f este continu pe o mul ime ( interval) este continu în fiecare punct a mul imii ( intervalului).

Func iile elementare sunt continue pe domeniile lor de defini ie.

Exemple de func ii elementare: func ia constant c, func ia identic x, func ia polinomial f(x) = a0xn + a1xn-1 + .......an , func ia ra ional f(x)/g(x), func ia radical n xf )( , func ia logaritmic log f(x), func ia putere xa, func ia exponen ial ax, func iile trigonometrice sin x, cos x, tg x, ctg x.

PRELUNGIREA PRIN CONTINUITATE A UNEI FUNC II ÎNTR-UN PUNCT DE ACUMULARE

DEFINI IE. Fie f : D R R. Dac f are limita l R în punctul de acumulare x0 D

f: D { x0} R, f(x) =0,

),(xxl

Dxxf

Teorem : Fie RDf : i D0x punct de acumulare pentru D f continu n 0x

)()( 00 xlxl ds = f( )0x .

:Fie f,g:D R continue pe D

f+g, ),min(),,max(,),0(, gfgffggfgf continue pe D.

Teorem : Fie f:[a,b] R o func ie continu a. . f(a)f(b)<0 ),( bac pentru care f(c)=0.

este o func ie continu în x0 i se nume te prelungirea prin continuitate a lui f în x0.

OPERA II CU FUNC II CONTINUE

T1. Dac f,g:D R sunt continue în x0

( respectiv pe D) atunci f+g, f, f g,f/g, fg, f sunt continue în x0 ( respectiv pe D); R, g 0.

T2. Dac f:D R e continu în x0 D ( respectiv pe D) )(xf e continu în x0 ( respectiv pe D). Reciproca nu e valabil .

T3. Fie f:D R continu în în x0 A i g:B A continu în x0 B, atunci g f e continu în x0 A.

lim f( g (x) = f( lim g(x)) x x0 x x0

Orice func ie continu comut cu limita.

PROPRIET ILE FUNC IILOR CONTINUE PE UN INTERVAL

LEM . Dac f este o func ie continu pe un interval [ a,b] i dac are valori de semne contrare la extremit ile intervalului ( f(a) ( f(b) 0 ) atunci exist cel pu in un punct c ( a,b) astfel încât f(c) = 0.

Dac f este strict monoton pe [ a,b] ecua ia f(x) = 0 are cel mult o r d cin în intervalul ( a, b). f este strict monoton f: I J - continu f(I) =J - surjectiv f - injectiv Orice func ie continu pe un interval compact este m rginit i î i atinge marginile.

STABILIREA SEMNULUI UNEI FUNC II PROP. O func ie continu pe un interval, care nu se anuleaz pe acest interval p streaz semn constant pe el. DEFINI IE. Fie f : I R R ( I = interval) f are proprietatea lui Darboux. a,b I cu a b i ( f(a), f(b)) sau ( f(b), f(a)) c ( a,b), a.î. f(c) = . TEOREM . Orice func ie continu pe un interval are P.D. Dac f :I R are P.D. atunci f( I) e interval. ( Reciproca e în general fals ). CONTINUITATEA FUNC IILOR INVERSE T1. Fie f : I R R o func ie monoton a.î. f( I) e interval. Atunci f este continu . T2. Orice func ie continu i injectiv pe un interval este strict monoton pe acest interval. T3. Fie f : I R, I, J R intervale. Dac f e bijectiv i continu atunci inversa sa f-1 e continu i strict monoton .

Func ii derivabile

:Fie f:D R ,x D0 punct de acumulare pentru D

Derivata ntr-un punct:f )( 0' x =

0

0 )()(lim

0 xxxfxf

xx.

f x 0 f este derivabil n 0x , graficul func iei are n punctul ))(,( 000 xfxM tangent a

c rei pant este )( 0' xf .Ecua ia tangentei este: ))(()( 00

'0 xxxfxfy .

Teorem :Fie f:D R , x 0 D punct de acumulare pentru D f este derivabil n

punctul de acumulare 0x (finite)R)()( 0'

0' xfxf ds

0

0 )()(lim0

0 xxxfxf

xxxx

= .

Rxx

xfxf

xxxx

0

0 )()(lim0

0

.

Teorem . - .Puncte unghiulare.

i:Fie f:D R , x 0 D punct de acumulare pentru D.Punctul x 0

, x 0 Punctul x 0

c n x 0 x 0

Derivatele func iilor elementare

Functia Derivata c 0 x 1

*Nnxn , 1nnx

Rrxr , 1rrx

x x2

1

n x n nxn 1

1

xln x1

xe xe

)1,0( aaa x aa x ln xsin xcos xcos xsin xtg

x2cos1

xctg

x2sin1

xarcsin 21

1x

xarccos 21

1x

xarctg 21

1x

xarcctg 21

1x

Fie f,g:D R derivabile pe D f+g ,fg,gf (g 0

Reguli de derivare

''')( gfgf ; ''')( gfgfgf ; '')( ff ; 2

'''

ggfgf

gf

''' )()( uufuf

log a x ax ln1

(uv)’ = v. uv-1.u’ + uv.v’.lnu

=

Defin :Fie f:D R.Un punct x 0 D v de U a punctului x 0

f(x) f(x 0 )(respectiv f(x) f(x 0 ) ) pentru orice x UD . f(x) f(x 0 )(respectiv f(x) f(x 0 ) ) pentru orice x D atunci x 0

de maxim absolut(respectiv minim absolut) Teorem 0

0 0 )=0. Defin :

). Teorema lui Rolle

punct c Teorema(teorema lui J. Lagrange). Atunci c - - Co

acel interval. -o

Rolul primei derivate 3. Fie f o func I. Dac I),0)((0)( '' xxfxf , atunci f este strict cresc toare ) pe I. Dac I),0)((0)( '' xxfxf , atunci f este strict descresc toare pe I. 4.Fie f:D R ,D x 0 D .

0x - }{ 0x

Rlxfxx

)(lim '

0

0x lx )( 0' Rl atunci f este deriva 0x .

: Cu ajutorul primei derivate se stabilesc intervalele de monotonie ale unei

Rolul derivatei a doua T : Fie f o func e de dou ori derivabil pe I. Dac I,0)(" xxf , atunci f este convex pe I. I,0)(" xxf , atunci f

: Fie f o func ie continu pe I si I0x punct interior intervalului. Spunem c 0x este punct de inflexiune al graficului func iei dac f este convex pe o vecin tate st nga a lui 0x i concav pe o vecin tate dreapta a lui 0x sau invers. Observa ie:Cu ajutorul derivatei a doua se stabilesc intervalele de convexitate i concavitate i se determin punctele de inflexiune.

STUDIUL FUNC

Propriet i generale ale func iilor derivabile . 1.Punctele de extrem ale unei func ii. Fie un interval i f: R. Defini ie. Se nume te punct de maxim (respectiv de minim)(local) al func iei f , un punct a pentru care exist o vecin tate V a lui a astfel încât afxfrespectivafxf . x V.

Un punct de maxim sau de minim se nume te punct de extrem. a se nume te punct de maxim(respectiv de minim) global dac

afxfrespafxf . . x . Obs.1.O func ie poate avea într-un interval mai multe puncte de extrem.(vezi desenul). Obs.2.O func ie poate avea într-un punct a un maxim (local), f r a avea în a cea mai mare valoare din interval.(vezi desenul

cfaf ).

-puncte de maxim

-puncte de minim

cfcafa ,,,

dfdbfb ,,,

TEOREMA LUI FERMAT

Dac f este o func ie derivabil pe un interval si 0

0 Ix un punct

de extrem,atunci 00' xf .

Interpretare geometric : Deoarece 00

' xf tangenta la grafic în punctul 00 , xfx este paralel cu OX. Obs.1. Teorema este adev rat i dac func ia este derivabil numai în punctele de extrem. Obs.2. Condi ia ca punctul de extrem 0x s fie interior intervalului este esen ial . (dac ar fi o extremitate a intervalului I atunci s-ar putea ca

00' xf ). Ex. .xxf

Obs.3. Reciproca T. lui FERMAT nu este adev rat .(se pot g si func ii astfel încât 00

' xf dar 0x s nu fie punct de extrem).

Solu iile ecua iei 0' xf se numesc puncte critice . Punctele de extrem se g sesc printre acestea.

Teorema lui Fermat d condi ii suficiente (dar nu si necesare) pentru ca derivata într-un punct s fie nul . O alt teorem care d condi ii suficiente pentru ca derivata s se anuleze este :

TEOREMA LUI ROLLE. Fie :f I R, ba, I, .ba Dac : 1. f este continu pe ;,ba 2. f este derivabil pe ba, ; 3. ,bfaf atunci cel pu in un punct bac , a.î .0' cf INTEPRETAREA GEOMETRICA Dac func ia f are valori egale la extremit ile unui interval

,,ba atunci exist cel pu in un punct în care tangenta este paralel cu axa ox .

Consecin a 1. Între dou r d cini ale unei func ii derivabile se afl cel pu in o r d cin a derivatei. Consecin a 2. Între dou r d cini consecutive ale derivatei se afl cel mult o r d cin a func iei. TEOREMA LUI LAGRANGE (sau a cre terilor finite) Fie :f I R,I (interval, ba, I, .ba Dac : 1. f este continu pe ba,

2. f este derivabil pe ,,ba atunci exist cel pu in un punct bac , a.î s avem

.' cfab

afbf

INTERPRETAREA GEOMETRIC Dac graficul func iei f admite tangent în fiecare punct(cu excep ia eventual,a extremit ilor) exist cel pu in un punct de pe grafic(care nu coincide cu extremit ile), în care tangenta este paralel cu coarda care une te extremit ile.

abafbftg tangenta la grafic în M are coeficientul.

unghiular cf ' dar

abafbfcf '

Obs.1. Daca bfaf Teorema lui Rolle.

Consecin a 1. Dac o func ie are derivata nula pe un interval,atunci ea este constanta pe acest interval.

Dac o func ie are derivata nula pe o reuniune disjuncta de intervale proprietate nu mai r mâne adev rat în general.

Expl. 3,21,0:f 3,2,2

1,0,1xx

xf

Consecin a 2. Dac f si g sunt dou func ii derivabile pe un interval I i dac au derivatele egale '' gf atunci ele difer printr-o constant . .cgf Rc

Dac f si g sunt definite pe o reuniune disjunct de intervale, proprietatea e fals în general. Expl. tgxxf

2,1

2,0,1

,xtgx

xtgxxg

Consecin a 3. Daca 0' xf pe I f e strict cresc toare pe I. Daca 0' xf pe I f e strict descresc toare I.

Consecin a 4. ,: Rif Ix0 Daca Rlxfxf ds 0'

0' .

f are derivata în 0x i .0' xf

Dac fl e derivabila in .0x

Consecin a 5.Daca 0' xf pe I 'f p streaz semn constant pe I.

ETAPELE REPREZENT RII GRAFICULUI UNEI FUNC II

1. Domeniul de defini ie; 2. Intersec ia graficului cu axele de coordonate : Intersectia cu axa Ox con ine puncte de forma{x,0},unde x este o r d cin a ecua iei f(x)=0 {daca exist }. Intersec ia cu axa Oy este un punct de forma {0,f{0}} {dac punctul 0 apar ine domeniului de definitie} 3. Studiul continuit ii func iei pe domeniul de defini ie :

Dac func ia este definit pe R se studiaz limita func iei la iar dac este definit pe un interval se studiaz limita la

capetele intervalului. 4.Studiul primei derivate : a. Calculul lui f’. b. Rezolvarea ecua iei f’(x)=0.R d cinile acestei ecua ii vor fi eventuale puncte de maxim sau de minim ale functiei ; c. Stabilirea intervalelor pe care semnul lui f este constant. Acestea reprezinta intervalele de monotonie pentru f. 5.Studiul derivatei a doua : a.Se calculeaz f’’ b.Se rezolva ecuatia f’’(x)=0. R d cinile acestei ecua ii vor fi eventuale puncte de inflexiune ale graficului c.Determinarea intervalelor pe care semnul lui f este constant. Astfel,pe intervalele pe care f’’>0 functia este convex i pe cele pe care f’’<0, func ia eate concav . 6.Asimptote : a. Asimptotele orizontale sunt drepte de forma y=a, unde a= )(lim xf

xdac cel pu in una din aceste limite are sens i

exist în R. b) Asimptotele verticale sunt drepte de forma x=x0, dac exist cel pu in o limit lateral a func iei în x0, infinit . c) Asimptotele oblice sunt drepte de forma y=mx+n, unde

RmxxfnsiRxxfm

xx))((lim)(lim , analog i pentru

- . 7. Tabelul de varia ie; 8. Trasarea graficului.

S` se stabileasc` intervalele de monotonie ale func\iei f D: � �:

a) f x x x( ) � �2 4 ; b) f x x x( ) � �3 3;

Solu ie: Func iile sunt derivabile pe domeniul de defini ie. Se studiaz semnul primei derivate. a) , ( ) 2 1,D f x x x . Alc tuim tabelul de semn i de monotonie pentru f.

x –21 +

)(xf ′ – – – – – – 0 + + + + + +f (x) 1 0

b) 2, ( ) 3 3 ,D f x x x . Tabelul de monotonie: x – –1 1 +)(xf ′ – – – – 0 + + + + 0 – – – –

f (x) 1 0 1

S` se determine punctele de extrem pentru func\ia f D: � �:

f xx

x( )

ln� ; f x x x e x( ) ( )� � � �2 1

e) (0, ), ( ) ln 1, (0, )D f x x x . Ecua ia 0)( =′ xf este ln x = –1, cu solu ia 1−= ex . Tabelul de monotonie:

x – e–1 +)(xf ′ – – – – – – 0 + + + + + +

f (x) 1 0

f) ),0(,111)(),,0( ∞+∈−=−=′∞+= xx

xx

xfD . Rezult tabelul:

x 0 1 +)(xf ′ – – – – – – 0 + + + + + +

f (x) 1 0

Solu ie:

S` se determine intervalele de convexitate ]i de concavitate pentru func\iile f D: :� �

a) f x x x( ) ;� �2 3 b) f x x x( ) ;�� 3 6 112

c) f x x x( ) ;� �3 12 d) f x x x( ) ;� �3 22 3

Solu ieSe stabile te semnul derivatei a doua a func iei f.a) , ( ) 2 3, ( ) 2,D f x x f x x . Rezult c func ia f este convex pe .b) , ( ) 6 6, ( ) 6 0,D f x x f x x . Rezult c func ia f este concav pe .

c) 2, ( ) 3 12, ( ) 6 ,D f x x f x x x .

R

R

R

PRIMITIVE Primitive. Propriet i. Fie I un interval din R. Defini ia 1. Fie f: I R. Se spune c f admite primitive pe I dac F : I R astfel încât a) F este derivabil pe I; b) F’(x) =f(x), x I. F se nume te primitiva lui f. ( I poate fi i o reuniune finit disjunct de intervale). Teorema 1.1 Fie f : I R. Dac RIFF :, 21 sunt dou primitive ale func iei f, atunci exist o constant c R astfel încât ,)()( 21 cxx FF x I. Demonstra ie : Dac FF 21, sunt primitive atunci FF 21, sunt

derivabile )()(')(2

'1 xfxx FF x I

0)(')()()(2

'1

'21 xxx FFFF , x I.

cxx FF )()( 21 , c= constant OBS 1. Fiind dat o primitiv F 0

a unei func ii, atunci orice primitiv F a

lui f are forma F = 0F + c , c= constant f admite o infinitate de primitive.

OBS 2. Teorema nu mai r mâne adev rat dac I este o reuniune disjunct de intervale Expl: f: R- 0 , f(x) = x²

F = 3

3x , G= 2

3

13

3

3

x

x

F, G sunt primitive ale lui f dar F-G nu e constant . Contradic ie cu T 1.1 OBS 3. Orice func ie care admite primitive are Proprietatea lui Darboux. Se tie c derivata oric rei func ii are Proprietatea lui Darboux , rezult c f are Proprietatea lui Darboux. F’ =f.

OBS 4. Dac I este interval i f(I) Ixxfdef /)( nu este interval

atunci f nu admite primitive. Dac presupunem c f admite primitive atunci din OBS 3 rezult c f are P lui Darboux, rezult f(I) este interval ceea ce este o contradic ie. OBS 5. Orice func ie continu definit pe un interval admite primitive. Defini ia 2. Fie f: I R o func ie care admite primitive. Mul imea tuturor primitivelor lui f se nume te integrala

nedefinit a func iei f i se noteaz prin simbolul )(xf dx. Opera ia de calculare a primitivelor unei func ii(care admite primitive ) se nume te integrare.

Simbolul a fost propus pentru prima dat de Leibniz, în 1675. Fie F(I)= RIf : Pe aceast mul ime se introduc opera iile : (f+g)(x) =f(x)+ g(x) , ( f)(x)= .f(x) Rx , constant

C= RfRIf /:

)(xf dx = fluiaprimitivFIFF /)( .

F P.D

P C D

Teorema 1.2 Dac f,g:I R sunt func ii care admit primitive i R, 0, atunci func iile f+g, f admit de asemenea primitive i au loc rela iile: (f+g) = f + g, f= f, 0, f = f +C

Formula de integrare prin p r i. Teorema 1.1 Dac f,g:R R sunt func ii derivabile cu derivatele continue, atunci func iile fg, f’g, fg’ admit primitive i are loc rela ia:

f(x)g’(x)dx =f(x)g(x)- f’(x)g(x)dx Formula schimb rii de variabil (sau metoda substitu iei). Teorem : Fie I,J intervale din R i

:,:,: ileproprietatcufunctiiRJfJI 1) este derivabil pe I; 2) f admite primitive. (Fie F o primitiv a sa.) Atunci func ia (f o ) ’ admite primitive, iar func ia F o este o primitiv a lui (f o ) ’ adic :

CFodtttf '

5. Integrarea func iilor trigonometrice Calculul integralelor trigonometrice se poate face fie folosind formula integr rii prin p r i, fie metoda substitu iei. În acest caz se pot face substitu iile: 1. Dac func ia este impar în sin x, R(-sin x,cos x)=-R(sin x,cos x) atunci cos x=t. 2. Dac func ia este impar în cos x, R(sin x,-cos x)=-R(sin x,cos x) atunci sin x=t. 3. Dac func ia este par în raport cu ambele variabile R(-sin x,-cos x) atunci tg x=t.

4. Dac o func ie nu se încadreaz în cazurile 1,2,3,atunci se utilizeaz substitu iile universale:

211cos,

12sin 2

2

2

xtgtundettx

ttx

5. Se mai pot folosi i alte formule trigonometrice: sin 2x=2sin x .cos x,

22cos1cos

22cos1sin 22 xxxx

Integrarea func iilor ra ionale Defini ie: O func ie f:I R , I interval, se nume te ra ional dac

R(x)= ,,0)(,)()( Ixxg

xgxf

unde f,g sunt func ii polinomiale.

Dac grad f grad g, atunci se efectueaz împ r irea lui f la g f=gq+r, 0 grad r<grad g i deci

.

)(.)()()(

)()()(

simplerationalefunctiidesumacascrierea

facesexRPentruxgxrxq

xgxfxR

PRIMITIVELE FUNC IILOR CONTINUE SIMPLE

1. RcCxccdx ,

2. Cnxdxx

nn

1

1

3. Cxdxx1

1

4. Ca

adxax

x

ln

5. Cedxe xx

6. Cxdxx

ln1

7. Cctgxdxx2sin

1

8. Ctgxdxx2cos

1

9. Cxxdx cossin

10. Cxxdx sincos

11. Caxarctg

adx

ax11

22

12. Caxax

adx

axln

211

22

13. Cxaxdxax

)ln(1 22

22

14. Caxxdxax

22

22ln1

15. Caxdx

xaarcsin1

22

16. Cxtgxdx cosln

17. Cxctgxdx sinln

18. Caxdx

axx 22

22

19. Caxdx

axx 22

22

20. Cxadxxa

x 22

22

21. Caxxaaxxdxax 222

2222 ln22

22. Caxxaaxxdxax 222

2222 ln22

23. Caxaxaxdxxa arcsin

22

22222

24. Cbaxa

dxbax

ln11

25. C

abaxndx

bax nn

1))(1(

1)(

11

26.

dxax

xa

dxaxa

Cax

xaxa

dxax

'

222222

222

222

2222

21111

1)(

1

27.

0,])

2()

2[(

1

0,])

2()

2[(

1

1

22

22

2

dx

aabxa

dx

aabxa

dxcbxax

28. Ccbxaxdx

cbxaxbax 2

2 ln2

29.

dxcbxax

ncbxaxm

dxcbxax

nbaxmdxcbxax

BAx

22

22

1ln

)2(

No iunea de primitiv

Defini ie: Fie I R interval, f : I R '(x) = f (x), x I.

Teorem .Orice f : I I. Teorem :Fie f : I proprietatea lui Darboux.

: : I R nu are proprietatea lui Darboux pe intervalul I,atunci g nu admite

primitive pe I. 2.Fie g : I R }/)({ Ixxg nu este interval atunci g nu admite primitive pe I.

: I R are disconti Tabel de integrale nedefinite

Cnxdxx

nn

1

1

,n N ,x R

Caxx

aa

1

1

,a 1,aR ,x ),0(

),0(,ln1 xCxdxx

sau x )0,(

RxaaCa

adxax

x ,1,0,ln

),(,0,ln211

22 axaCaxax

aaxsau x ),( aa sau x ),(a

RxaCaxarctg

adx

ax,0,11

22

),(,0,arcsin122

aaxaCaxdx

xa

RxaCaxxdxax

,0,)ln(1 22

22

),(,0,ln1 22

22axaCaxxdx

axsau x ),(a

RxCxxdx ,cossin

RxCxxdx ,sincos

0cos,cos

12 xCtgxdx

x

0sin,sin

12 xCctgxdx

x

Integrala definit

ba, sunt integrabile pe ba, . onotone pe un interval ba, sunt integrabile pe ba, .

Propriet ile func iilor integrabile. a)(Proprietatea de linearitate)

Rba ].[: R

1)b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

2)b

a

b

a

dxxfdxxf )()(

b) baxxf , ,0)( ba, , atunci 0d)(b

axxf .

c) )()( xgxf pentru orice bax , f g sunt integrabile pe ba, ,

atuncib

a

b

axxgxxf d)(d)(

d) R c

1 2[ , ] f f a c f f c b la:

.d)(d)(d)(b

a

b

c

c

axxfxxfxxf

e f ba, f ba, b

a

b

axxfxxf d)(d)( .

Teorem (Formula Leibniz - Newton) R este

-Newton:

( ) ( ) ( ) ( )b b

aaf x dx F x F b F a .

Teorema de medie R c [a, b] a.i.

)()(d)( cfabxxfb

a.

g : [a, b] : [a, b] R,

x

a

baxdttgxG ],[,)()( :

[a, b] 2)G este deriva [a, b] ],[),()(' baxxgxG

)()('

xgdttgx

a

Teorem Fie f , g : [a, b] R cu f , g derivabile cu derivatele continue, atunci are loc formula de

: ' 'b bb

aa afg dx fg f gdx .

-a,a] R, 0a

1)a

a

a

dxxfdxxf0

,)(2)(

2) a

a

dxxf 0)(

:Fie f:R R

TTa

a

T

Radxxfdxxf0

,)()(0

Aria unui domeniu din plan 1. din plan D R2 x = a, x = b, y

f : [a, b] R ( )Ab

aD f x dx .

f : [a, b] R | ( ) |Ab

aD f x dx .

3. din x = a, x = b

f , g : [a, b] R | ( ) ( ) |Ab

aD g x f x dx .

Fie f : [a, b] R f din f , Gf x, are volumul calculat prin

formula: .V(C f )=b

a

dxxf )(2

Ex.1.

2

: \ {1} , ( )1

xf f xx

.

Ex.2. : , ( ) x xf f x e e .

Ex.3.

Ex.4.

Ex.5.

Ex.1.

a)2 2 2 2 2

2 2 2 2( ) ( 1) ( ) ( 1) 2 ( 1) 2 ( 2)( )

1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)x x x x x x x x x x x xf x

x x x x x.

b) 1 22( 2)( ) 0 0 0, 2

( 1)x xf x x x

x

Pe intervalele ( , 2] [0, ) Pe intervalele [ 2, 1) ( 1,0]

c) 4( 2) 41

f

( ) 4f x pentru 1x . Ex.2. a) ( )f x

0

( )( ) (0)lim (0) 2

x x

x

f x e ef x f f

x

b) ( ) 0,x xf x e e x R. c) ( ) x xf x e e ( ) ( ) ( ) 2x x x x xg x f x f x e e e e e

2010

2010

2 2009 2009

1 11 1 1 1(0) (1) (2) ... (2009) 2 1 ... 2 21 11

eeS g g g ge e e e e

e

1e

.

Ex.3.

a)21 36 1( ) 36 xf x x

x x

1( ) 0 (0, )6

f x x

- - - - - - - - - - - - 0+ + + +

x

f(x)

-2

+ + + +

0-1

0

f(-2)

x 0 16

( )f x 0 + + + + + +

( )f x 16

f

lnx a este punct de minim.

10,6

1 ,6

b) 1 1( ) ln 6, 06 2

f x f x .

1, ln 62

a .

c) 2

0 0lim ( ) lim 18 lnx x

f x x x

2 22

lnlim ( ) lim 18 ln lim 18 18 0x x x

xf x x x xx

21( ) 36 0, 0f x xx

( )f x m f.

Cazul 1 01 ln62

m m ( )f x m are

Cazul 2. 01 ln62

m m atunci

( )f x m 16

x .

Cazul 3 01 ln62

m m ( )f x m nu

are Ex.4.

a)2

2 2 2 21 (2 2) ( 1) (2 2)( 1) 1 2 2 2 2 1 4 ( 1)( ) , 0

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)x x x x x x xf x x

x x x x x x x x.

b)

Panta tangentei este ( )f x iar panta dreptei date este 29

m .

2

22 ( 1) 2( )9 ( 1) 9

xf xx x

2 3 2 3 2 29 18 9 2 4 2 2 5 20 9 0 (2 1)( 2 9) 0x x x x x x x x x x x

12

x

1 1 2ln2 2 3

f

01 ln62

m

Punctul de pe grafic este 1 1 2, ln2 2 3

A .

c)

Din tab ( ) 0f x daca x>1 adic 2( 1) 2( 1)ln 0 ln , 11 1

x xx x xx x

Ex.5. a) ln ln ln( ) ln ln 1 ( ) 1 ln , 0x x x x x xf x e e x x e x f x x x .

b) ln 1( ) 0 ln 1 0 ln 1x xf x e x x xe

lnx a este punct de minim.

10,e

1 ,e

V11 ef e

e.

c) 2 21 1 1( ) ( ) 1 ln ( ) 1 ln ( ) ( ) 1 ln ( ) ( ) 1 ln 0, 0f x f x x f x x f x f x x f x f x x xx x x

deci func (0, ) .

x 0 1

( )f x + + + + + 0 + + + + + + ( )f x 0

x 0 1e

( )f x 0 + + + + + +

( )f x 1fe

Ex.1.

Ex.2.

Ex.3.

Ex.4.

Ex.5.

Ex.6.

Ex.1. a) 1 2 3 0x x x . b) 1 2 3, ,x x x 3 3 2 0x x deci avem:

31 1

32 23

3 3

3 3 31 2 3 1 2 3

3 3 31 2 3

3 2 0

3 2 0

3 2 0..........................

3( ) 6 0

6

x xx xx x

x x x x x xx x x

c)1 2 3

3 3 32 3 1 1 2 3 1 2 3

3 1 2

3 ( )x x x

d x x x x x x x x xx x x

A tr 1 2 3 2dx x xa

deci 6 ( 6) 0d

Ex.2. a)

2 1 11 2 1 8 1 1 2 2 2 14

1 1 2.

b)

2 2 2

1 1 1a b c a b c a b c a b cc a b c a b a b c c a b a b c a b c ab ac bcb c a b c a b c a

2 2 22 2 21 12 2 2 2 2 22 2

a b c a b c ab ac bc a b c a b b c c a .

c)Folosind punctul b)

2 2 2

2 3 515 2 3 2 3 5 2 3 3 5 5 2 02

3 5 2

x x x

x x x x x x x x x x x x

x x x

Cum 2 3 5 0x x x 2 3 5 0x x x x . Ex.3. a)

1 2 3

1 2 1 3 2 3

1 2

1, 0, 2, 0

0

2

0

a b c dbx x xa

cx x x x x xa

dx x xa

1 2 3 0bx x xa

.

b) 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 32x x x x x x x x x x x x

2 2 21 2 3 4x x x .

c) 1 2 3

3 3 32 3 1 1 2 3 1 2 3

3 1 2

3 ( )x x x

d x x x x x x x x xx x x

1 2 3, ,x x x 3 2 0x x deci avem:

31 1

32 23

3 3

3 3 31 2 3 1 2 3

3 3 31 2 3

2 0

2 0

2 0..........................

2( ) 0

0

x xx xx x

x x x x x xx x x

Ex.4.

a) 2 4 6 4 6 4 62 3 2 3 2 3

A A

3 2A A A A A A . b) 2 2

2 2 2 2 2 2( ) ( )X a X b I aA I bA I bI A aAI abA I bA aA abA 2 ( ) ( )I a b ab A X a b ab . c) 2 2 2 2(1) (2) (3) ... (2009) 2 3 ... 2009X X X X I A I A I A I A

2 2 22009 20102009 (1 2 3 ... 2009) 2009 2009 1005 2009

2I A I A I A .

Ex.5.

a) 2 23 1det( ) ( 3) 1 6 8 0

1 3x

A x x xx

1 2x 2 4x .

b)2 2

22 2

3 1 3 1 ( 3) 1 2 6 6 10 2 61 3 1 3 2 6 ( 3) 1 2 6 6 10

x x x x x x xA

x x x x x x x

2 22

3 1 1 0(2 6) ( 6 8) (2 6) ( 6 8)

1 3 0 1x

x A x x I x x xx

2 2 2

2 2 2

2 12 18 2 6 6 8 0 6 10 2 62 6 2 12 18 0 6 8 2 6 6 10

x x x x x x x xx x x x x x x x

2 22(2 6) ( 6 8)A x A x x I

c)2

22

2 6 26 10 2 62

2 2 62 6 6 10xx x x

A Axx x x

2 2 26 10 2 6 8 16 0 ( 4) 0

2 6 2 2 8 4x x x x x x

x x x

Ex.6.

a) 2 1 2 1 2 3 41 1 1 1 2 3

B B B A .

b) 12

3 4 3 4 1 02 3 2 3 0 1

A A I

12

3 4 3 4 1 02 3 2 3 0 1

A A I 1A este inverse matricei A .

c) 2 1 12

3 4 3 4 6 06

2 3 2 3 0 6C B A A A I

4 42 2 2 2 26 6 6 6 6C C C C C I I I I I .

ii rezolvate cu integrale nedefinite (primitive)

integrale definite

Ex.1.

:f , 2 , 0

( )1, 0

xx e xf x

x x.

Ex.2. , : , ( ) xf F f x xe ( ) ( 1) xF x x e .

Ex.3.

:f , , 1

( )2 , 1

xx e xf x

x x.

Ex.4. :g , 3 2( ) ( 1) 3 1g x x x .

Ex.5.

Ex.6.

: Ex.1. a)

2

0 0

0 0

lim ( ) lim( ) 1

lim ( ) lim( 1) 1

(0) 1

xs x x

d x x

l f x x e

l f x x

f

deci R.

R.

b)040 0 0 0 0 0 02 3 3

1 1 1 1 1 1 11

1( ) ( ) ( ) ( )4 4

x x x x xxxf x dx x x e dx x xe dx x dx xe dx xe dx x e dx

00 0

1 11

1 1 1 1 1 1 2 5 8 514 4 4 4 4

x x x exe e dx ee e e e e

.

c)

13

2 221 1 12

0 0 0

0

1 4 17( ) ( ) 1 2 1 2 132 2 3 62

gx xV C g x dx x dx x x dx x .

Ex.2. a) F f . pe R.

( ) 1 1 1 1 ( ),x x x x x xF x x e x e x e e x e xe f x x c.c.t.d.

b)11 1

00 0( ) ( ) ( 1) 1xAria f x dx F x x e .

c) ( ) ( 1)x x xf x e xe e x

2

2 2

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

f t f t f tf t f t f t f t f tf t f t f t

1

11 1

( ) ( ) ( 1) ( 1) 1 2, 1( ) ( )

xx xtx

tf t f t e t t xdt xf t f t te t x

c.c.t.d.

Ex.3. a) ( , 1) ( 1, ) . Studiem continuitatea in punctul x=-1.

1

11

11

lim( ) 1

lim(2 ) 2 1 1

( 1) 1

xs x

x

d xx

l e e e e

l x

f

=- R. R. b)Volumul corpului este:

232 2 22 2 2

0 0 00

(2 ) 64 8 56( ) ( ) (2 ) (2 ) (2 )3 3 3 3g

xV C g x dx x dx x x dx .

c)0 1 0 1 0

1 22 2 1 2 1

( ) ( ) ( ) ( 2)xxf x xf x xf x x xdx dx dx xe dx dx I Ie e e e

1 1 11 1

1 2 2 2 22 22 2 2

1 2 1 2 1 1 3 2( )x x x x xI xe dx x e dx xe x e dx ee e e e e e e e

030 0 2 2

2 1 11

( 2) 1 1 1 1 2( 2 ) 13 3 3

x x xI dx x x dx xe e e e e

0

2 2 22

( ) 3 2 2 3 8 9 83 3 3

xf x edxe e e e e e e

.

Ex.4. a) 3 2 3 2 2 3( ) ( 1) 3 1 3 3 1 3 1 3g x x x x x x x x x

14 21 1 3

0 00

1 3 7( ) ( 3 ) 34 2 4 2 4x xg x dx x x dx .

b) 3

1 11 1 1 1( ) 3 3 3 3 3 3 3

a a a aa ax x x x x a xg x x e dx x e dx x e dx x e e dx a e e e

3 3 3 3 3 3 3 ( 1)a a a a aa e e e e a e e e a 3 ( 1) 6 1 2 3a ae a e a a .

c)

120103 20101 12009 20092 3 3 3

0 0

0

3 43 3 3 3 32010 2010

x xx x x dx x x x x dx .

Ex.5. a) pe (0, )

1 1( ) 2 ln 2 2 ln 2 2 ln 2 ln 2 2F x x x x x x x x xxx

1 lnln 2 2 ( )xx f xx x

b)

ln( ) ( ) 0, 1xG x f x xx

[1, ) .

c)11 1

11 1 111 1( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) 2 ln 2 2 ln 2

ee e e

ee e e

Aria f x dx f x dx f x dx F x F x x x x x

6 64 2 4 8 2e ee e

.

Ex.6.

a) 2 2 2 2

2 1 22 3 2 1 2 3 2 3 1 13 3( ) 4 ( )

4 4 13 3 3 4 4 4 13 2 1 11 33

xxF x arctg f x

x x x x x xx

deci

b)2

1 1 1 122 2 00 0 0

12 1(2 1) ( ) ln( 1) ln 31 1

x xxAria x f x dx dx dx x xx x x x

.

c) 2 3 2 1 2 3 2 1lim ( ) lim ( ) ( ) lim3 33 3

n

nn n n

n nf x dx F n F n arctg arctg

2 3 2 3 2 33 2 3 2 3

.

Ex.1.

4 4 12x y xy x y , oricare ar fi ,x y . ( 4)( 4) 4x y x y , oricare ar fi ,x y .

( 4) 4x , oricare ar fi ,x y .

d) ( 2009) ( 2008) ... 2009. e) 12x x x x .

Ex.2.

Ex.3.

Ex.4.

Ex.5. 0,M se de ln( 1)a ba b e e .

: Ex.1. a) ( 4)( 4) 4 4 4 16 4 4 4 12x y xy x y xy x y x y este

b) ( 4) ( 4)( 4 4) 4 4,x x x .

( ) ( ), , ,x y z x y z x y z . ( ) ( 4)( 4) 4 ( 4)( 4) 4 ( 4)( 4)( 4) 4, , ,

a

x y z x y z a z a z x y z x y z

( ) ( 4)( 4) 4 ( 4)( 4) 4 ( 4)( 4)( 4) 4, , ,b

x y z x y z x b x b x y z x y z

Din cele dou d) ( 2009) ( 2008) ... 2009 ( 2009) ( 2008) ... ( 5) ( 4) ( 3) ... 2008 2009 ( 4) 4

x y

x y

conform punctului b). e) 2( 4)( 4) 4 ( 4) 4x x x x x

3

4

( 4) 4( 4) 4

x x x xx x x x x

4 4 2 2

0

( 4) 4 12 ( 4) 16 0 ( 4) 4 ( 4) 4 0x x x x .

Cum x 12 2

2

2( 4) 4 0 ( 4) 4 4 2

6x

x x xx

.

Ex.2. 2.a) 2( 3)( 3) 3 2( 3 3 9) 3 2 6 6 21 , ,x y xy x y xy x y x y x y c.c.t.d. b) 2 211 2 12 10 0 6 5 0x x x x x x 1 1x 2 5x . c) 3 3 3,x x x 1 2 3 ... 9 ... 2009 1 2 3 ... 8 3 10 ... 2009 3

x y

.

Ex.3. 2.a) ( 2)( 2) 2 2 2 4 2 2 2 6 2( ) 6 , ,x y xy x y xy x y xy x y x y x y c.c.t.d. b) 2 ( 2)(2 2) 2 2,x x x . c) 2 (2 2)( 2) 2 2,x x x .

Utilizand proprietatea de asociativitate a 2 2,x x 2 2,x x se

( 2009) ( 2008) ... 0 1 2 3 ... 2009 2

yx

E .

Ex.4. a)e este element neutru dac ,x e e x x x .

( 4)( 4) 4 ,( 4)( 4) ( 4) 0,( 4)( 4 1) 0,

5 0 5.

x e x e x xx e x xx e x

e e

b) 2( 4) 4x x x 2 2 3( 4) 4 ( 4) ( 4) 4 ( 4) 4x x x x x x x x

3 3 2( 4) 4 ( 4) ( 4) 0 ( 4) ( 4) 1 0x x x x x x

( 4)( 4 1)( 4 1) 0x x x (am folosit formula 2 2 ( )( )a b a b a b .

( 4)( 5)( 3) 0x x x 1

2

3

345

xxx

.

c) ( 4)( 4) 4a b a b . 345

a 543

b 1 4 5a b

Din 345

a 3 2345 5

a iar din 543

b 5 1743 3

b .

E , \a b . Ex.5. a)Fie , [0, )a b M

11 1 ln( 1) 0 ln( 1)

1

aa b a b a b

b

ee e e e e e M a b M

e

b) ( ) ( ), , ,x y z x y z x y z M ( ) ln( 1) ln 2

( ) ln( 1) ln 2

y z x y z

x y x y z

x y z x e e e e e

x y z e e z e e e deci legea .

c) ln(2 1)aa a e ln(3 2)aa a a e

( ) : ... ln ( 1) , 1a

de n ori a

P n a a a ne n n

: Pentru n=1 avem (1) :P a a

: Presupunem P(k) .

( ) : ... ln ( 1)a

de k ori a

P k a a a ke k

1

( 1) : ... ln ( 1) a

de k ori a

P k a a a k e k

1

... ln ( 1) ln ( 1) 1 ln ( 1)a a a a

de k ori a

a a a ke k a ke k e k e k c.c.t.d.

Egalitatea ... 2de n ori a

a a a a devine ln ( 1) 2ane n a

2 2( 1) 1 0a a a ane n e e ne n ae x 2 1 0x nx n

1 1x 2 1x n . 0a sau ln( 1)a n

ii rezolvate cu polinoame

Ex.1.

Ex.2.

Ex.3.

Ex.4. 7a 6

75 [ ]f X aX X

Ex.5.

: Ex.1. a) 4 2 3 2 4 3 24 2 8 24 96 2 28 8 96h X X X X X X X X X b) u 2a 8b .

c) scrie sub forma 4 3 2

2 2 2 28 2 8 2 96 0x x x x

2x y 4 3 22 28 8 96 0y y y y 2 22 24 4 0y y y .

2 2 24 0y y 1 4y 2 6y 2 4 0y 3 2y 4 2y . 1 2x 2 1x . Ex.2. a) ( 3) 0 (2) 0 3 4 2 1 0f g f f a 4 1 0 4 1 4 4 1a a a a . b) 3 2 1f X X X 2 3 2( 1)( 1) 1X X X X X c.c.t.d. c) 2( ) 0 ( 1)( 1) 0f x x x 1 0 1 4x x x 2 1 0x 5 {0,1,2,3,4} 2x

3x . 2x , 3x 4x . Ex.3. a)

3 3 2 3( ) 2 4 2 4 2

2 3 3 2

a b a b a b a a ba b a b a ba b a b

.

b)Pentru 2a b avem 22 2f X X .

(0) 0

(1) 4

(2) 2

(3) 4

(4) 0

f

f

f

f

f

(0) (1) (2) (3) (4) 0 4 2 4 0 0f f f f f . c)Deoarece (0) 0f (4) 0f ( ) 0f x sunt 0x 4x . Ex.4. a) 7 0,1,2,...,6

6

6

6

6

6

6

1 1

2 1

3 1

4 1

5 1

6 1

b) 3 3 6 674 4 2 5,x x x x x

c)Fie 7, 0a a .Tripletul 7, , este corp comutativ (de 1 17, 0a a .

61 1 1( ) 5 1 1 5 0f a a a a deci f este divizibil prin 1X a adic 7[ ]X .

Pentru 0a avem 6 3 35 4 4f x x x deci f este caz.

Ex.5. a) 1 0 2 0 0.f g

b) 2(3 3) 2 2 (3 3)( 2 ) 2 2X g X X X X X f .

c) Din b) rezult 2( ) ( 1)(3 2) ( 1)(3 2) 0f x x g x x x

de unde 1 0x 4x 23 2 0x x 5Z .

În concluzie,polinomul f 5Z 4x .

Ex.6. a) oame: ' '3, 2 5.S S S S

b) 5q X 12 4.r X

c) 1 2,y y ale polinomului g sunt 1 2 1y y 21 2( ) ( ) (1) 64f y f y f

O metoda de rezolvare a unor ecuatii care contin module · O metoda de rezolvare a unor ecuatii...

Documents

Transcript of O metoda de rezolvare a unor ecuatii care contin module · O metoda de rezolvare a unor ecuatii...