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Flujo Adiabtico 9- 1

9.3.4 FLUJO REAL EN TOBERAS Y DIFUSORES

Se han determinado ecuaciones que permiten calcular la seccin degarganta de un conducto de rea variable que produzca el paso de un flujo demasa especificado, desde unas condiciones de estancamiento a la presinambiente de un modo isentrpico. Sin embargo, en el caso real existe rozamientoque impedir trabajar a la tobera en la forma descrita. Este comportamientoisentrpico requiere una correccin (que es pequea), proveniente de laevidencia experimental desarrollada en varios tipos de toberas o difusores.

9.3.4.1. TOBERAS

Se define como un conducto de rea variable que, permite a un fluido

expansionarse desde alta presin a baja presin; es decir, hay un incremento develocidad en la direccin del flujo a costa de disminuir la presin. Desde el puntode vista de energa, aqu se convierte energa trmica en energa cintica.

= +

2

h

po1 po2

ho

h1

h2

h2s

p2

S

Fig. 9.19 Eficiencia de una tobera

Como medida de los efectos de rozamiento en una tobera se usa la eficiencia de

la tobera, definida como la relacin de la energa cintica real, que sale de latobera por unidad de masa de flujo, a la energa cintica terica por unidad demasa de flujo que poda ser alcanzada en una expansin isentrpica para igualescondiciones de entrada y presin de salida.

1 ec1

2

ec2

ec2S

2s

= +

2

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Flujo compresible9- 2

De la figura 9.19, se tiene:

99,090,0

2/

2/

1

1

2

2

1

2

21

21

2

2

2

2

echh

echh

hho

hho

V

V

ec

ec

sss

tob

Usualmente la energa cintica inicial es relativamente pequea, de manera quepuede no considerarse sin incurrir en error apreciable; es decir ec1= 0 y:

s

real

stob h

h

hh

hh

21

21 [9.53]

Se define como coeficiente de velocidades a la relacin:

sveloc V

V

2

2 [9.54]

stob TTCpV

2

2

1

22/2

[9.55]

Como la diferencia entre el proceso real y el proceso ideal son los efectosdisipativos (irreversibilidades por friccin, choque, etc.), una medida de estos

efectos es la diferencia h2- h2s, que se puede interpretar como la reconversin

irreversible de energa mecnica en energa trmica; estos efectos se toman encuenta definiendo el grado de recalentamiento y, dado por :

tobS

S

hh

hhy

1

21

22

[9.56]

As mismo se define el coeficiente de descarga de la tobera:

s

r

ti

real

m

m

m

mCd

sen

[9.57]

Los efectos de rozamiento estn limitados, principalmente a la zona divergentede la tobera, y as se usar las formulas anteriores para corregir el rea de salida.La geometra restante es fruto de la experiencia generalmente.

La parte convergente es corrientemente arbitraria, mientras que la zonadivergente tiene una forma que es un acuerdo entre los dos efectos. Una longitudcorta implica que el flujo tendr una componente de la velocidad apreciable endireccin normal a la lnea central; esto tiene como consecuencia una prdida deempuje y por consiguiente no es deseable.

En el caso de una seccin divergente larga existe menos divergencia, pero hayuna desventaja, que tendr una mayor cantidad de rozamiento en la pared.

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9.3.4.2. DIFUSOR

Se denomina as al conducto de rea variable que comprime a un flujo,convirtiendo su energa cintica en energa de presin.

Esto es preciso en los motores a chorro, en los que el aire que ingresa debe serfrenado para lograr una parte de la alta presin necesaria en el motor y permitira un compresor trabajar adecuadamente para desarrollar un posteriorincremento de presin.

El difusor es menos efectivo en su comportamiento que una tobera, debido a queexisten capas lmites ms gruesas como resultado del gradiente desfavorable depresin, que producen mayores efectos de rozamiento.

h

po1 po2

ho, To

p1

S

Fig. 9.19 Eficiencia de un difusor

75,02/ 12

12

12

hh

hh

Vh SSDif [9.58]

Usado en tneles aerodinmicos y compresores.

La relacin de presiones de estancamiento:

1

2

2

2

O

O

SO

O

p

p

p

pDif [9.59]

El porcentaje de recuperacin esttica: [9.60]

Usado en difusores de entrada supersnica para motores a chorro oestatorreactores.

2s

ec2S2

ec1

1

ec2

p2s

h2s

h2

h1

2

2 1

C

S

S

p

p p

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Tobera de cohete

Fuente: Jos Agera Soriano 2012


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9.015 :Gas (k= 1,4; R= 287 J/kg-K) a condiciones de temperatura T= 720 C ypresin pabs = 2,5 bar ingresa a la tobera de una turbina a gas. La tobera a la

salida tiene un rea de 0,014 m y una presin pabs= 1 bar. Si el 96% del saltoisentrpico se convierte en energa cintica:

a. Calcular: El flujo msico (kg/h). El nmero de Mach en la salida de latobera.

b. Calcular el salto de entropa que se produce en la tobera

Solucin

T K = 1,4

po1 po2 R = 287 J/kg-K

To

T1 993 K

T2

T2s

p2s

S

p1 = 2,5 bar p2 = 1,0 bar

T1 = 993 K A2 = 0,014 m2

tob= 0,96

a.El flujo msico:222111 AVAVm ..................[a]

Clculo de las propiedades del flujo en la seccin 2:

Sin considerar la energa cintica inicial (ec1):s

real

stob

h

h

hh

hh

21

21

gas ideal: h = Cp T , con Cp constante, se tiene:

stob TT

TT

21

21

[b]

1 ec1

2

ec2

ec2S

2s

p1= 2,5 bar

p2= 1,0 bar

p1= 2,5 bar

O1 O2

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No se conocen T2ni T2s.

Proceso isentrpico:k

k

ss p

p

T

T

1

2

1

2

1

[c]

4,1

14,1

1

5,2993

2

sT T2 S = 764,28 K

En [b]: 29930,96993 764, 28

T

T2 = 773,43 kC2 = 20,045 773,43 = 557,46 m/ s= 100 000 Pa/ (287 x 773,43) = 0,04505 kg/m3

Energa:2

2

VTo T

Cp

2

993 773, 432 1004,5

V

V2 = 664,17 m /s

Reemplazando [a]:3 2

0,04505 / 664,17 / 0, 014 4,188 /m kg m m s m kg s

15 080 /m kg h

b . El salto de entropa: S = - R Ln ( po 2/ po 1)

Proceso isentrpico:

1

2 2

2 2

k

kTo p o

T p

[c]

1, 4 1

1, 42993773, 43 1

po

po2 =2,398 bar

S = - 287 x Ln (2,398 / 2,50 ) = 11,95 J / kg - K

P. 9.016: Para un difusor de eficiencia constante determinar una expresinpara determinar:

a. La presin de salida del difusor en funcin de la eficiencia, presin ynmero de Mach en la entrada.

b. La eficiencia del difusor en funcin de la presin de estancamiento enla entrada y salida del difusor.

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Aplicacin:autos de carrera.
http://c/Users/JORGE/Desktop/MN%20217%20%202015-1/3%20FLUJO_COMPRESIBLE/APLICACIONES/TERMODIN%C3%81MICA%20(QUC-0535,%20AEF-1065)%20%20Toberas%20y%20difusores3.flvhttp://c/Users/JORGE/Desktop/MN%20217%20%202015-1/3%20FLUJO_COMPRESIBLE/APLICACIONES/TERMODIN%C3%81MICA%20(QUC-0535,%20AEF-1065)%20%20Toberas%20y%20difusores3.flvhttp://c/Users/JORGE/Desktop/MN%20217%20%202015-1/3%20FLUJO_COMPRESIBLE/APLICACIONES/TERMODIN%C3%81MICA%20(QUC-0535,%20AEF-1065)%20%20Toberas%20y%20difusores3.flvhttp://c/Users/JORGE/Desktop/MN%20217%20%202015-1/3%20FLUJO_COMPRESIBLE/APLICACIONES/TERMODIN%C3%81MICA%20(QUC-0535,%20AEF-1065)%20%20Toberas%20y%20difusores3.flv

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PROBLEMAS: TOBERAS Y DIFUSORES

9.4 LA ONDA DE CHOQUE NORMAL

Una pequea perturbacin se propaga en un fluido a la velocidad delsonido, cuando se encuentran ondas ms fuertes, que ocasionan cambiosrpidos y severos de las propiedades del flujo de una pequea regin del flujo,se dice que se ha formado una onda de choque.

En la prctica se puede crear grandes perturbaciones de presin,utilizando un diafragma de acero dentro de un tubo. Cuando la presin es losuficientemente alta, el diafragma estalla y el choque se propaga a travs del

tubo. La velocidad de propagacin de esta onda de presin es superior a lavelocidad del sonido.

Figura Onda de choque generada en un tubo de choque mediante el movimiento de un pistn que sedesplaza con una velocidad Vp, en el interior de un gas inicialmente estacionario. En la regin sombreada se

representa el fluido que est entre la onda de choque y el pistn y que se desplaza con la misma velocidad del

pistn

La onda de choque es de un espesor muy pequeo, lo cual hace difcil suestudio, requiriendo entre otras cosas la utilizacin de la termodinmica de losno equilibrios.

En este capitulo se har un estudio para relacionar las propiedades delflujo antes y despus de la onda de choque.

Onda de Choque

px pyTx Vx Vy Ty

x y

Fig. 9.21 Onda de choque normal estacionaria

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Considere un flujo permanente y uniforme, las variables del flujo antes dela onda de choque se designan por el subndice x y con el subndice y lasvariables del flujo despus del choque. El proceso de flujo que se produce atravs de la onda de choque es no isentrpico debido a los efectos de friccin y

conduccin de calor dentro del choque mismo.Ecuaciones aplicables:

Continuidad :YYXX VVG

A

m

= constante

Impulso :22

YYYXXX VpVp

Energa :22

22Y

YX

Xo

Vh

Vhh = constante

Gas ideal :p

RT

h Cp T

Entropa : SySx 01

2

1

2[ ]

1

kp

Sy Sx Cv Lnp

Considerando que son conocidas las condiciones del flujo antes del

choque, las condiciones del flujo despus del choque: Ty, py, y, Vy, Sy pueden

ser determinadas de estas cinco ecuaciones.

9.4.1. LNEA DE FANNO Y LNEA DE RAYLEIGH

Si se considera un valor de Vy, de la ecuacin de continuidad se obtiene

y; de la ecuacin de energa se obtiene hy; de la ecuacin del gas ideal seobtiene Ty, py; finalmente de la ecuacin de entropa se obtiene Sy. Repitiendolos clculos para otros valores de Vy se obtiene, en un diagrama h-s, una curvadenominada lnea de Fanno.

Tomando un valor particular de Vy, de la ecuacin de continuidad se

obtiene y; de la ecuacin de impulso se obtiene py; de la ecuacin del gas idealse obtiene Sy. Repitiendo estos clculos para otros valores de Vy, se obtiene, enun diagrama hS, una curva denominada lnea de Rayleigh.

ONDA DECHOQUE

RAYLEIGH

FANNO

X

Y

S

h

h0

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Fig. Lnea de Fanno y lnea de Rayleigh.La parte inferior de las dos curvas corresponde a una condicin en la que

M > 1 y la porcin superior seala las condiciones en que M < 1. Se demuestraque los puntos de mxima entropa de estas lneas son A y B donde M = 1.

Los puntos de interseccin de la lnea Fanno y la lnea Rayleighconstituyen una solucin para el conjunto de las ecuaciones dadas. Se observaque el estado inicial Xes un estado supersnico y el estado final yes unestado de flujo subsnico.

9.4.2. RELACIN DE PROPIEDADES

Como el flujo es adiabtico: Toy = Tox, de manera que

)2

11()

2

11( 22 YX M

kyTyToM

kTxxTo

2

2

2

11

2

11

Y

X

Mk

Mk

xT

yT

[9.61]

Es conveniente establecer relaciones para las caractersticas de flujo a travsde la onda de choque slo en funcin del nmero de Mach inicial.

De la ecuacin de estado y de continuidad:

x

y

x

y

y

x

x

y

V

V

p

p

p

p

xT

yT

x

y

x

y

x

y

xx

yy

x

y

T

T

M

M

p

p

CM

CM

p

p

xT

yT

De donde:

2

2

2

11

2

11

Y

X

Mk

Mk

M

M

p

p

y

x

x

y

[9.62]

Examinando la ecuacin de cantidad de movimiento:

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22YYYXXX VpVp

Gas ideal:222 MpkTRKM

TR

pV

)1()1( 22 yyxx MkpMkp

2

2

1

1

y x

x y

p k M

p k M

[9.63]

Igualando las ecuaciones (9.62) y (9.63) :

2 2

2 2

1 11 1

2 21 1

1 12 2

X Y Y

X Y

xk k

M M M M

k kM M

11

21

2

2

2

2

x

x

y

Mk

kk

M

M [9.64]

Sustituyendo el valor de My en (9.63), y en (9.61), se obtienen:

2

1

2 1

1 1

y

x

p k kM

p k k

[9.65]

2 2

1 1

22

1

1 21 [ ] [ ] 1

2 1

( 1)[ ]

2 ( 1)

k kM M

kTy

kTxM

k

[9.66]

La relacin de densidades, en trminos del nmero de Mach inicial, sepuede encontrar a partir de la ecuacin de estado:

/

/

y y y x

x x x y

p R T p Ty x

x p R T p T y

2

2 11 1

1 x

Vy x

Vx y k M

[9.67]

La relacin de presiones de estancamiento es una medida de lairreversibilidad del proceso de choque.

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/

/

poy poy py py

pox pox px px

12

2

11

21

12

k

k

y

x

kM

poy py

kpox pxM

Introduciendo la ecuacin (9.65) y (9.64), se obtiene;

1 12

12

2

12 12

1 1 112

k

k

kx

x

x

kM

poy oy k kM

kpox ox k kM

[9.68]

El cambio de entropa:

0 00 0

( / )

S So Sy Sx S y S x

S R Ln poy pox

2

2

2

1

1 1 2 1211 1 1 1

2

x

x

x

k

MSy Sx k k k Ln Ln M

kR k k k kM

[9.69]

La grfica de esta ecuacin se encuentra en la figura 9.23, donde:

Para M > 1 Sy Sx > 0

M < 1 Sy Sx < 0, contra la segunda ley de la Termodinmica.

Conclusin : El estado inicial de un choque normal ser siempre supersnico.

Por otro lado, de la ecuacin(9.64):

2

2

2

2

12

11

x

y

x

MkM

kM

k

ComoMx > 1 siempre, resulta que2

yM < 1

Conclusin: El estado final de un choque normal ser siempre subsnico.

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Fig. 9.23 Ecuacin (9.69)

En esta grfica puede verse que el nmero de Mach inicial Mx es mayor, mayores son los

cambios de las propiedades y caractersticas del flujo a travs de la onda de choque. En

estas curvas puede verse que despus de la onda de choque existe una temperatura mayor,

una presin no perturbada mayor y una presin de estancamiento menor.

RELACION RANKINE -HUGONIOT

Zona

posibledechoque

1 2Mx

oo

(+)

(-)

(0)

(Sy

-Sx)/

k

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EJEMPLO 9.18: Un tubo de pitot en una corriente supersnica produce una ondade choque, como se muestra en el esquema. Considerando que la prueba es a 0 elngulo de ataque, y que la onda de choque producida es normal al flujo, y que la pruebaest diseada para medir la presin esttica despus del choque py.

a. Encuentre una expresin para evaluar el nmero de Mach de la corrientesupersnica Mx, en trminos de poy, py.

b. Conocida Toy, determine la velocidad del flujo antes y despus del choque.

My < 1 py

Mx > 1 poy

Considerando flujo isentropico antes y despus del choque:

21 1

12/

k kMy

kpoy py

[1]

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[ 2]

2

2

2

2

1

21

1

Mxk

Myk

Mxk

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EJEMPLO 9.19 : Una explosin en aire, k = 1.4 produce una onda de choqueesfrica que se propaga radialmente en aire en calma y en condiciones normales.En el instante mostrado en la figura, la presin detrs de la onda es 1380 KPa.

a. Calcule la velocidad C de la onda de choque.b. Calcule la velocidad V del aire justo detrs de la onda de choque.

C1380 Kpa

PUM

v

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