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O anel de cohomologia do espaço de órbitas de Zp-ações livres sobre produtos

de esferas

Henry Jose Gullo Mercado

O anel de cohomologia do espaço de órbitas de Zp-ações livres sobre produtos

de esferas

Henry Jose Gullo Mercado

Orientador: Profa. Dra. Denise de Mattos

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e

de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências - Matemática .

EXEMPLAR DE DEFESA

USP – São Carlos

Abril/2011

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito:

Assinatura:________________________

______

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassi e Seção Técnica de Informática, ICMC/USP,

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

G973Gullo Mercado, Henry Jose / Henry Jose Gullo Mercado; orientadora Denisede Mattos -- São Carlos, 2011. 120 p.

Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-Graduação emMatemática) -- Instituto de Ciências Matemáticas ede Computação, Universidade de São Paulo, 2011.

1. Anel de cohomologia. 2. seqüências espectrais.3. cohomologia de Cech. 4. Espaços de Borel. 5. G-fibrados principais. I. , Denise de Mattos, orient.II. Título.

A Deus por sua misericordia eamor sobre mi e sobre os queamo.

Agradecimentos

É com muita alegria que quero agradecer a todas as pessoas que me ajudaram a realizar

meu sonho de estudar Mestrado em Matemática.

Primeiramente, à toda minha família pelo amor e apoio que me deram, principalmente à

minha mãe Stella e à minha tia Martha.

Quero agradecer também aos meus amigos, colegas e professores que me ajudaram em tudo

o que precisei, especialmente à minha turma de graduação: Alfredo Roa, Ivan Vega, Harold

Gamero, Jonathan Gonzales, Martha Arteta e professores como Oswaldo Dede, Boris Lora e

Miguel Caro.

À minha turma de mestrado internacional e amigos brasileiros, os quais me acolheram não

só como um colega, mas também como um amigo e irmão: Ingrid Meza, Norton Penteado,

Thais Dalbelo, Alex Carlucci, Nelson Antonio Silva, Apõena Passamani, Vinicius Laass, An-

dreza Beezão, Luis Florial, Nancy Chachapoyas, Manuel Zuloeta, Juliana Theodoro de Lima,

Renato Laguna, Rafael Gonzalez e demais alunos de mestrado e doutorado.

A todos os meus professores do mestrado, especialmente à professora Márcia Cristina Fe-

derson.

À minha orientadora Denise de Mattos, por ter me acolhido e por ter me dado o seu apoio

nos momentos difíceis, assim como ao professor Edivaldo Lopes dos Santos, por sua colabo-

ração.

Agradeço muito à Universidade de São Paulo pela oportunidade e à Coordenação de Aper-

feiçoamento de Pessoal de Nivel Superior (CAPES) pelo apoio financeiro.

Enfim, quero agradecer a todas aquelas pessoas que me ajudaram e me ajudam ainda a

crescer como pessoa nestas lutas da vida e que, embora seus nomes não estejam escritos aqui,

estão escritos em meu coração.

Então ele, sentou, chamou osDoze e disse: "Se alguém quiserser o primeiro, seja o último detodos e o servo de todos".Mc 9, 35.

Resumo

Denotemos por X ∼p Sm × Sn um espaço finitístico com anel de cohomologia módulo p

isomorfo ao anel de cohomologia de um produto de esferas Sm × Sn, o qual admite ação livre

do grupo cíclico G = Zp, com p um primo ímpar. Nosso objetivo neste trabalho é determinar o

anel de cohomologia do espaço de órbitasX/G, usando como ferramenta principal a seqüência

espectral de Leray-Serre associada à fibração de Borel Xı↪→ XG

π−→ BG, onde BG é o espaço

classificante do G-fibrado universal ωG = (EG,BG, pG, G,G) e XG = EG ×G X é o espaço de

Borel. Este resultado foi provado por R. M. Dotzel, T. B. Singh and S. P. Tripathi em [14].

Abstract

Let denote by X ∼p Sm × Sn a finitistic space with mod p cohomology ring isomorphic to

the cohomology ring of a product of spheres Sm × Sn, which admits a free action of the cyclic

groupG = Zp, with p an odd prime. Our goal in this work is to determine the cohomology ring

of the orbit space X/G, using as main tool the Leray-Serre spectral sequence associated to the

Borel fibration Xı↪→ XG

π−→ BG, where BG is the classifying space of the G-universal bundle

ωG = (EG,BG, pG, G,G) and XG = EG×G X is the Borel space. This result was proved by R.

M. Dotzel, T. B. Singh and S. P. Tripathi in [14].

Sumário

Introdução 1

1 G-Fibrados Principais 5

1.1 Grupos topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 G-espaços e aplicações G-equivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 G-fibrados Universais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 G-fibrados Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.2 Espaços Classificantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.3 A construção de Milnor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.4 Cohomologia dos espaços classificantes BZp e BS1. . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.5 A Construção de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Seqüências Espectrais 23

2.1 Sistemas de Coeficientes Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Seqüências Espectrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.1 Álgebras Graduadas e Bigraduadas sobre um corpo . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.2 Seqüência espectral de álgebras sobre R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3 Álgebra Exterior e Álgebra de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Cálculo do anel de cohomologia do espaço de órbitas de Zp-ações livres 41

3.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 O anel de cohomologia do espaço X/G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3 Versões do Teorema 3.20 para os casos G = Z2 e G = S1 . . . . . . . . . . . . . . . 76

A Fatos Algébricos e Topológicos 77

A.1 Categorias e Funtores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A.2 Rank de Grupos Abelianos Livres e Módulos Graduados do Tipo Finito . . . . . 79

i

A.3 Característica de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

A.4 Espaços de Eilenberg-Mac Lane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

A.5 O homomorfismo de Bockestein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

A.6 Produto Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

A.7 Espaços Paracompactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

A.8 Join de Espaços Topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

B Cohomologia de Cech 91

B.1 Limite Direto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

B.1.1 Limite Direto de R-módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

B.1.2 Limite Direto de Espaços Topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

B.2 Cohomologia Simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

B.2.1 A categoria dos pares simpliciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

B.2.2 Os R-módulos de Cohomologia Simplicial Relativos . . . . . . . . . . . . 99

B.3 Os R-módulos de Cohomologia de Cech Relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

B.3.1 O nervo de uma cobertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

B.3.2 O Homomorfismo induzido em Cohomologia de Cech . . . . . . . . . . . 106

B.3.3 Os Axiomas de Eilenberg-Steenrod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

B.3.4 Produto cup ` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Referências Bibliográficas 115

Índice Remissivo 117

Introdução

Suponhamos que G seja um grupo de Lie compacto atuando livremente sobre um espaçoparacompacto Hausdorff X . Um importante problema em Topologia Algébrica consiste emdeterminar o anel de cohomologia do espaço de órbitas X/G. Por exemplo, no caso em queX = Sn e G = Z2, o anel de cohomologia H∗(Sn/Z2;Z2) é isomorfo a Z2[x]/(xn+1), ondedeg(x) = 1 e uma interessante aplicação deste resultado é o Teorema clássico de Borsuk-Ulamque afirma que toda função contínua f da n-esfera Sn no n-espaço Euclidiano Rn, colapsa pelomenos um par de pontos antípodas, ou seja, existe um ponto x ∈ Sn tal que f(x) = f(A(x)),onde A : Sn → Sn denota a aplicação antipodal A(x) = −x, para todo x ∈ Sn.

Consideremos o caso em que G = Zp, onde p é primo (respectivamente, G = S1), atuandolivremente sobre um espaço finitístico, paracompacto Hausdorff, com anel de cohomologiamod p (respectivamente, com coeficientes racionais) isomorfo ao anel de cohomologia de umproduto de esferas Sm × Sn. Tal espaço será denotado por X ∼p Sm × Sn (respectivamente,X ∼Q Sm × Sn). Existem dois espaços associados ao grupo de transformações (X,G): o con-junto XG dos pontos fixos pela ação de G sobre X e o espaço de órbitas X/G. A naturezahomológica de XG foi estudada em detalhes por Adem [1], Bredon [8], [23], Su[43] e [45].No artigo The cohomology Rings of the Orbit Spaces of Free Transformation Groups of the Product ofTwo Spheres[14], R. M. Dotzel, T. B. Singh e S. P. Tripathi determinaram todas as possibilidadespara o anel de cohomologia H∗(X/G;Zp), nos casos em que a ação de G sobre X é livre, ondeG = Zp, com primo e G = S1.

O objetivo principal deste trabalho é apresentar um estudo detalhado da estrutura do anelde cohomologia do espaço de órbitas de grupos de transformações livres do produto de duasesferas Sm×Sn, desenvolvido em [14], no caso específico em que o grupo G = Zp, onde p é umprimo ímpar. O cálculo do anel de cohomologia de tais espaços utiliza como ferramenta princi-pal a seqüência espectral de Leray-Serre associada à fibração de Borel X

ı↪→ XG

π−→ BG, ondeBG é o espaço classificante do G-fibrado universal ωG = (EG,BG, pG, G,G) e XG = EG×GXé o espaço de Borel. Neste caso especial, o E2-termo da seqüência espectral de Leray-Serreé dado por E∗,∗2

∼= H∗(BG;Zp) ⊗Zp H∗(X;Zp), o qual converge para o anel de cohomolo-

gia H∗(XG;Zp) ∼= H∗(X/G;Zp), como uma álgebra graduada. Especificamente, provamoso seguinte

2 Introdução

Teorema 3.20 Sejam G = Zp, onde p é um primo ímpar, agindo livremente sobre um espaçofinitístico X ∼p Sm × Sn, 0 < m ≤ n. Suponhamos que H∗(X;Z) seja do tipo finito. Então,H∗(X/G;Zp) é isomorfo a Zp[x, y, z]/φ(x, y, z), como uma álgebra graduada comutativa, ondeφ(x, y, z) é um dos seguintes ideais graduados:

(i) (x2, y(m+1)/2, z2), m ímpar, deg x = 1, y = β(x), deg z = n;

(ii) (x2, y(m+n+1)/2, y(n−m+1)/2z − ay(n+1)/2, z2 − bym), m par, n ímpar, deg x = 1, y = β(x),deg z = m, a, b ∈ Zp, com a = 0, necessariamente quando n < 2m;

(iii) (x2, y(n+1)/2, z2 − bym), n ímpar, deg x = 1, y = β(x), deg z = m, b ∈ Zp, com b 6= 0,somente quando m for par e 2m < n,

onde H∗ denota a cohomologia de Cech com coeficientes em Zp e β é o homomorfismo deBockstein em cohomologia associado à seqüência

0→ Zp → Zp2 → Zp → 0.

Como uma interessante aplicação deste resultado, em [7] foi provada uma versão para-metrizada do Teorema de Borsuk-Ulam para fibrados cuja fibra tem a mesma cohomologiamódulo p que um produto de esferas Sm × Sn.

Observamos que as hipóteses do Teorema 3.20 garantem que a seqüência espectral asso-ciada à fibração de Borel X

ı↪→ XG

π−→ BG não colapsa no E2-termo. Desta forma, utilizandoas propriedades multiplicativas da seqüência espectral, são analisados os diferenciais dr, onder ≥ 2 é o menor inteiro tal que dr 6= 0. As três possibilidades para tal inteiro r estão relacionadasa cada um dos ítens enunciados no teorema acima. Tal estratégia garante que a seqüênciaespectral E∗,∗r colapsa a partir de um certo s, satisfazendo a condição Ek,l∞ = Ek,ls = Ek,l2 6=0, apenas para um número finito de termos. Dessa forma, Hk(XG;Zp) = (TotE∗,∗∞ )k, o queviabiliza o cálculo do anel de cohomologia do espaço de órbitas X/G.

Este trabalho está organizado como segue. No Capítulo 1, introduzimos a teoria dos gruposde transformações compactos e G-fibrados principais. Na Seção 1.1, apresentamos resultadosbásicos sobre grupos topológicos. Na Seção 1.2 introduzimos a teoria de ações de um grupotopológico G sobre um espaço topológico X , definindo os conceitos de G-espaços e de apli-caçõesG-equivariantes. Na Seção 1.3, apresentamos uma classe especial de fibrados, os chama-dosG-fibrados principais, ondeG é um grupo topológico. Tais fibrados são caracterizados pelapropriedade de que a fibra do fibrado é o próprio grupo G, o qual age sobre si mesmo portranslações. G-fibrados universais, espaços classificantes e aplicações classificantes são intro-duzidos, juntamente com a construção de Milnor, segundo a qual o espaço classificante BGdo G-fibrado universal é descrito como sendo o limite direto do quociente de joins do grupoG. Na Subseção 1.3.4 apresentamos a cohomologia dos espaços classificantes BZp e BS1. Fi-nalmente, na Subseção 1.3.5 descrevemos a construção de Borel sobre os espaços classificantesde um grupo de Lie compacto. Tal construção é um procedimento para criar novos espaços e

3

aplicações, através do G-fibrado universal. Ressaltamos que tal construção será fundamentalpara o desenvolvimento deste trabalho.

No Capítulo 2, apresentamos uma das principais ferramentas utilizadas no cálculo do anelde cohomologia dos espaços considerados neste trabalho. Na Seção 2.1, introduzimos o con-ceito de Sistema de Coeficientes Locais sobre um espaço topológico B e na Seção 2.2, são apresen-tadas as definições e resultados básicos sobre Seqüências Espectrais.

O Capítulo 3 destina-se ao estudo detalhado da estrutura do anel de cohomologia do espaçode órbitas de grupos de transformações livres do produto de duas esferas Sm × Sn, no casoespecífico em que o grupoG = Zp, com p um primo ímpar, objetivo principal desta dissertação.Na Seção 3.1, são introduzidos os pré-requisitos necessários para a demonstração do teoremaprincipal, baseados principalmente em resultados provados por Bredon em [8], para os quaissão utilizados os R-módulos de cohomologia de Cech, tornando-se fundamental a utilizaçãode tal cohomologia no contexto deste trabalho. Na Seção 3.2, são descritos os cálculos deta-lhados dos resultados provados em [14]. Na Seção 3.3, são enunciadas as versões do Teoremaprincipal nos casos em que G = Z2 e G = S1. Finalmente, os Apêndices A-Fatos Algébricose Topológicos e B-Cohomologia de Cech, contêm conceitos e resultados necessários para umacomplementação da leitura dos capítulos anteriores.

4 Introdução

Capítulo

1G-Fibrados Principais

A categoria na qual iremos desenvolver os conceitos e resultados deste capítulo é a cate-goria G-Top, que contém como objetos os G-espaços X , onde G é um grupo de Lie compacto,e cujos morfismos f : X → Y são as aplicações G-equivariantes, ou seja, espaços X comuma determinada G-ação e aplicações f : X → Y que possuem a propriedade de comutarcom a G-ação dada. Neste capítulo, as seções estão organizadas como segue: na Seção 1.1, a-presentamos resultados básicos sobre grupos topológicos. Na Seção 1.2 introduzimos a teoriade ações de um grupo topológico G sobre um espaço topológico X , definindo os conceitos deG-espaços e de aplicações G-equivariantes. Na Seção 1.3, apresentamos uma classe especialde fibrados, os chamados G-fibrados principais, onde G é um grupo topológico. Tais fibradossão caracterizados pela propriedade de que a fibra do fibrado é o próprio grupo G, o qual agesobre si mesmo por translações. G-fibrados universais, espaços classificantes e aplicações clas-sificantes são introduzidos, juntamente com a construção de Milnor, segundo a qual o espaçoclassificante BG do G-fibrado universal é descrito como sendo o limite direto do quociente dejoins do grupo G. Na Subseção 1.3.4 apresentamos a cohomologia dos espaços classificantesBZp e BS1. Finalmente, na Subseção 1.3.5 descrevemos a construção de Borel sobre os espaçosclassificantes de um grupo de Lie compacto. Tal construção é um procedimento para criarnovos espaços e aplicações, através do G-fibrado universal.

1.1 Grupos topológicos

Nesta seção, introduzimos um breve resumo do conceito de grupo topológico e apresenta-mos algumas de suas principais propriedades. Detalhes desses resultados podem ser encon-trados em [8], [10], [11] e [31].

Definição 1.1. Um grupo topológico é uma tripla (G, ∗, τ) onde (G, ∗) é um grupo algébrico e (G, τ)

é um espaço topológico de Hausdorff, cuja topologia τ é compatível com a operação ∗ do grupo, ou seja,

6 G-Fibrados Principais

as aplicações:

µ : (G×G, τprod) → (G, τ)

(g, h) 7→ µ(g, h) = g ∗ h

ι : (G, τ) → (G, τ)

g 7→ ι(g) = g−1,

chamadas multiplicação e inversão, respectivamente, são contínuas, onde τprod denota a topologiaproduto sobre G×G. O elemento neutro do grupo (G, ∗) será denotado por e.

Definição 1.2. Um grupo topológico (G, ∗, τ) é chamado compacto, se (G, τ) for um espaço topológicocompacto.

Observação 1.3. Se (G, ∗, τ) for um grupo topológico, dado um subgrupo H ⊂ G, então(H, ∗, τH) é um grupo topológico, com relação à topologia induzida de subespaço τH . Se Hfor um subespaço compacto, então (H, ∗, τH) é um grupo topológico compacto.

Observação 1.4. A continuidade da aplicações µ e ι, exigidas na Definição 1.1, são equivalentesàs seguintes condições:

1. Dados (g, h) ∈ G × G e W ∈ τ , com µ(g, h) = g ∗ h ∈ W , existem U, V ∈ τ tais que(g, h) ∈ U × V e µ(U × V ) = U ∗ V ⊂W , onde U ∗ V = {g ∗ h, g ∈ U e h ∈ V }.

2. Dados g ∈ G e V ∈ τ , com ι(g) = g−1 ∈ V , existe U ∈ τ tal que g ∈ U e µ(U) = U−1 ⊂ V ,onde U−1 = {g−1, g ∈ U}.

Observação 1.5. Dados um grupo (G, ∗) e um subgrupo H ⊂ G, a coleção

G/H = {g ∗H; g ∈ G},

das classes laterais à esquerda de H em G, munida da operação

(g ∗H) · (h ∗H) = (a ∗ b) ∗H,

é um grupo se, e somente se, H é um subgrupo normal de G, ou seja, g ∗H ∗ g−1 = H , ∀g ∈ G.Neste caso, G/H = {g ∗H; g ∈ G} = {H ∗ g, g ∈ G}. Denotaremos a projeção natural g 7→ g ∗Hpor ϕ : G→ G/H .

Proposição 1.6. Seja (G, ∗, τ) um grupo topológico. Então, são válidos os seguintes resultados:

(1) Se H for um subgrupo fechado de (G, ∗, τ), então o espaço quociente G/H , munido da topologiaquociente induzida pela projeção canônica ϕ : G → G/H , é um espaço de Hausdorff e ϕ é continua eaberta (Vide [8, Proposição 1.4, pg. 2]).

1.2 G-espaços e aplicações G-equivariantes 7

(2) SeH for um subgrupo fechado e normal de (G, ∗, τ), então (G/H, ·, τϕ) é um grupo topológico (Vide[8, Proposição 1.5, pg. 2]).

(3) SeG0 for a componente conexa deG, contendo o elemento identidade e ∈ G, entãoG0 é um subgrupofechado e normal de G (Vide [8, Proposição 1.6, pg. 3]).

(3) As componentes conexas de G estão em correspondência um-a-um com as classes laterais de G/G0

(Vide [31, Teorema 1.12, pg.13]).

Definição 1.7. Um grupo topológico (G, ∗, τ) é chamado um Grupo de Lie, se G for uma C∞-variedade diferenciável tal que as operações multiplicação e inversão do grupo (G, ∗), dadas naDefinição 1.1 são aplicações de classe C∞.

Proposição 1.8. Seja G um grupo de Lie. Se H ⊂ G for um subgrupo fechado, então H é um grupo deLie, com a estrutura diferenciável de uma subvariedade de G (Vide [31, Teorema 5.13, pg.43]).

Exemplo 1.9. Qualquer grupo arbitrário (G, ∗) é um grupo topológico munido da topologiadiscreta, na qual todo subconjunto de G é aberto. Em particular, se G for finito, então G é umgrupo compacto.

Exemplo 1.10. Seja {(Gα, ∗α, τα)}α∈J uma família de grupos topológicos e consideremos o es-paço produto (

∏α∈J Gα,

∏τα), onde

∏τα denota a topologia produto. Então, as operações

µ :(∏

α∈J Gα)×(∏

α∈J Gα)→∏α∈J

Gα

((xα)α, (yα)α) 7→ (xα ∗α yα)α

ι :∏α∈J Gα →

∏α∈J

Gα

(xα)α 7→ (x−1α )α,

são contínuas e, portanto, (∏α∈J Gα,

∏τα) é um grupo topológico.

Exemplo 1.11. A esfera S1 = {z ∈ C : |z| = 1} ∼= R/Z é um subgrupo multiplicativo de C e oisomorfismo R/Z→ S1 é induzido pela aplicação t 7→ e2πit. Desde que a multiplicação em C éassociativa e os inversos existem, pois se ||z|| = 1, então zz = ||z||2 = 1, segue que S1, munidada topologia induzida de C, é um grupo de Lie compacto.

1.2 G-espaços e aplicações G-equivariantes

Os conceitos básicos sobre categorias, paracompacidade e join de espaços, citados aqui,podem ser encontrados nas seções A.1, A.7 e A.8 do Apêndice A. Para um grupo topológicofixado G, existe uma categoria 1 G-Top, cujos objetos são os espaços topológicos que admi-

1Vide Definição A.1 e Exemplo A.3


tem uma ação do grupo G, os chamados G-espaços, e cujos morfismos são as aplicações con-tínuas chamadas G-equivariantes, as quais comutam com a G-ação. A partir de agora, grupostopológicos (G, ∗, τ) e espaços topológicos (X, τ ′), serão denotados simplesmente por G e X ,respectivamente.

Definição 1.12. Uma ação à esquerda de um grupo topológico G sobre um espaço topológico X ,também chamada uma G-ação à esquerda de G sobre X , é uma função contínua

ρ : G×X → X

(g, x) 7→ ρ(g, x)notação= gx,

onde G×X é munido da topologia produto, satisfazendo as seguintes condições:

(1) g(hx) = (g ∗ h)x, ∀ x ∈ X e ∀ g, h ∈ G.

(2) ex = x, ∀ x ∈ X .

Definição 1.13. Um G-espaço à esquerda, também chamado Grupo de Transformação, é um par(X, ρ), consistindo de um espaço topológico X e uma G-ação à esquerda ρ de um grupo topológico Gsobre X . Se (X, ρ) for um G-espaço à esquerda, dizemos que o grupo G age (ou atua) à esquerda sobre oespaço topológico X .

Observação 1.14. Também é possível definir uma G-ação à direita de um grupo topológico Gsobre um espaço topológico X da seguinte forma: uma ação à direita de um grupo topológicoG sobre um espaço topológico X , chamada uma G-ação à direita de G sobre X , é uma funçãocontínua

ρ : X ×G → X

(x, g) 7→ xg,

satisfazendo as seguintes condições:

(1) (xh)g = x(h ∗ g), ∀ x ∈ X e ∀ g, h ∈ G.

(2) xe = x, ∀ x ∈ X .

No contexto deste trabalho, de maneira geral, chamaremos uma G-ação à esquerda simples-mente de G-ação e um G-espaço à esquerda (X, ρ), será chamado simplesmente um G-espaço.Quando estivermos nos referindo a ações à direita, usaremos então os termos G-ação à direitae G-espaço à direita.

Exemplo 1.15. Dados grupos topológicos G1 e G2, sejam (X1, ρ1) um G1-espaço e (X2, ρ2) umG2-espaço. Então, o produtoX1×X2 e o join 2 X1∗X2 possuem estrutura de (G1×G2)3-espaço,

2Vide Definição A.463O Exemplo 1.10, garante G1 ×G2 que é um grupo topológico.


onde

ρ : (G1 ×G2)× (X1 ×X2) → X1 ×X2

((g1, g2), (x1, x2)) 7→ (g1x1, g2x2) (1.1)

é a G1-ação sobre o espaço produto X1 ×X2 e

ρ′ : (G1 ×G2)× (X1 ∗X2) → X1 ∗X2

((g1, g2), t1x1 + t2x2) 7→ t1(g1x1) + t2(g2x2) (1.2)

é a G2-ação sobre o join X1 ∗X2. Esta ação é chamada ação produto .

Definição 1.16. Dados um grupo topológico G e um G-espaço (X, ρ), para cada g ∈ G fixado, podemosdefinir uma aplicação,

Lg : X → X

x 7→ Lg(x) = gx

chamada translação à esquerda por g.

Observação 1.17. Observemos que, para cada g ∈ G, Lg é a restrição ρ|{g}×X : {g} ×X → X ,da ação contínua ρ. Assim, Lg é contínua, para todo g ∈ G. Além disso, para cada g ∈ G e∀x ∈ X ,

(Lg ◦ Lg−1)(x) = Lg(Lg−1(x)) = Lg(g−1x)

= g(g−1x) = (g ∗ g−1)x = ex = x,

ou seja, (Lg)−1 = Lg−1 e, portanto, Lg é um homeomorfismo, ∀g ∈ G.

Observação 1.18. Dado um espaço topológico X , seja Homeo(X) o grupo (com a operação decomposição) de todos os homeomorfismos de X em X . Então, a aplicaçãog 7→ Lg define um homomorfismo

L : G → Homeo(X)

g 7→ Lg

O kernel desse homomorfismo L é chamado o “kernel da ação ρ", ou seja,

Ker(ρ) = {g ∈ G; gx = x, ∀ x ∈ X}.

Definição 1.19. Seja (X, ρ) um G-espaço. O conjunto

R = {(x, gx);x ∈ X, g ∈ G}


é uma relação de equivalência sobre X . O conjunto das classes de equivalência determinado pela relaçãoR será denotado por X/G. A projeção natural π : X → X/G, x 7→ [x], também chamada aplicaçãode órbitas, induz a topologia quociente sobreX/G, ou seja, U ⊂ X/G é aberto se, e somente se, π−1(U)

é aberto em X . O espaço quociente X/G é chamado espaço de órbitas do G-espaço (X, ρ).A classe de equivalência de um ponto x ∈ X é chamada a órbita de x pela ação de G e será denotada porGx, isto é,

Gx = [x] = {gx ∈ X; g ∈ G}.

Observação 1.20. Seja (X, ρ) um G-espaço, então a projeção natural π : X → X/G,x 7→ Gx é uma aplicação aberta. De fato, dado um aberto U ⊂ X , temos que

π−1π(U) =⋃g∈G

Lg(U)

é aberto, desde que pela Observação 1.17, Lg é um homeomorfismo. Segue da definição detopologia quociente que π(U) é aberto.

Observação 1.21. Observemos que as órbitas Gx e Gy de quaisquer dois pontos x, y ∈ X ousão iguais ou são disjuntas.

Definição 1.22. Dados um G-espaço (X, ρ) e um ponto x ∈ X , o conjunto

Gx = {g ∈ G; gx = x}

é um subgrupo topológico de G, chamado o subgrupo de isotropia do G-espaço (X, ρ) em x.

As ações de um grupo topológico G sobre um espaço topológico X , podem ser classificadas deacordo a seguinte

Definição 1.23. Seja ρ : G×X → X umaG-ação de um grupo topológicoG sobre um espaço topológicoX . Dizemos que

(1) ρ é trivial, se gx = x, ∀g ∈ G e ∀x ∈ X .

(2) ρ é efetiva, se gx = x, ∀x ∈ X ⇒ g = e ou, equivalentemente,

Ker(ρ) = {g ∈ G; gx = x, ∀ x ∈ X} = {e}.

Em outras palavras, uma ação é efetiva, se cada elemento g 6= e em G, move pelo menos um ponto de X .

(3) ρ é livre, se gx 6= x, ∀x ∈ X e ∀g 6= e, ou equivalentemente, se todos os subgrupos de isotropia sãotriviais, isto é,

Gx = {g ∈ G; gx = x} = {e}, para todo x ∈ X.

Em outras palavras, uma ação é livre se cada elemento não trivial de G, move todo ponto de X .


(4) ρ é transitiva, se X/G consiste de um único ponto, ou seja, X contém uma única órbita Gx = X ,para algum (e, portanto, para todo) x ∈ X .

Observação 1.24. Dada uma G-ação livre de um grupo topológico G sobre um espaço topoló-gico X , dizemos que (X, ρ) é um G-espaço livre e que G age livremente sobre X . A mesmaterminologia é usada para os outros tipos de G-ações.

As aplicações continuas entre G-espaços que comutam com a G-ação são chamadas G-equiva-riantes. Formalmente, temos a seguinte

Definição 1.25. Sejam (X, ρX) e (Y, ρY )G-espaços. Uma função contínua entreG-espaços f : X → Y

é chamada uma aplicaçãoG-equivariante ou umaG-aplicação se para todo g ∈ G e para todo x ∈ X

f(gx) = gf(x).

Observação 1.26. Para um grupo topológico fixado G, os G-espaços à esquerda e as aplicaçõesG-equivariantes formam a categoria G-Top. Essa categoria possui produtos: dada uma famíliade G-espaços {(Xj , ρj); j ∈ J}, então o produto topológico

∏j∈J Xj , pode ser munido de uma

G-ação à esquerda

ρ : G×∏j∈J Xj →

∏j∈J

Xj

(g, (xj)) 7→ (gxj), (1.3)

ou seja, (∏j∈J Xj , ρ) é um produto na categoria G-Top.

Podemos ainda definir uma G-ação à esquerda sobre o join 4 X = ∗j∈JXj da família de G-espaços {(Xj , ρj); j ∈ J} como segue,

ρ : G× ∗j∈JXj → ∗j∈JXj

(g,∑tjxj) 7→

∑tjgxj . (1.4)

Se os espaços Xj forem G-espaços à direita, então

ρ : ∗j∈JXj ×G → ∗j∈JXj

(∑tjxj , g) 7→

∑tjxjg. (1.5)

Ambas definem ações contínuas de G sobre X = ∗j∈JXj . A continuidade é verificada usando-se a propriedade universal da topologia do join. Portanto, (∗j∈JXj , ρ) é um G-espaço à es-querda e à direita, respectivamente.

Definição 1.27. Uma ação ρ definida pelas expressões dadas em (1.3), (1.4) ou (1.5), é chamada umaG-ação diagonal.

4Vide Definição A.51


Definição 1.28. Dados G-espaços (X, ρX) e (Y, ρY ), uma aplicação G-equivariante f : X → Y induz,por passagem ao espaço de órbitas, uma aplicação

f : X/G → Y/G

Gx = [x] 7→ Gf(x) = [f(x)], (1.6)

chamada aplicação induzida nos espaços de órbitas, onde Gf(x) é a órbita do ponto f(x) ∈ Y .

No caso particular em que a G-ação sobre o espaço X é determinada por um grupo compacto,o espaço de órbitas X/G possui importantes propriedades, dadas na seguinte

Proposição 1.29. [8, Teorema 3.1, Pg. 38] Seja (X, ρ) um G-espaço, onde G é um grupo compacto.Então,

(1) X/G é Hausdorff.

(2) A projeção natural π : X → X/G é uma aplicação fechada.

(3) π : X → X/G é uma aplicação própria 5.

(4) X é compacto se, e somente se, X/G for compacto.

Corolário 1.30. Se (X, ρ) for umG-espaço paracompacto6, então o espaço de órbitasX/G é paracom-pacto.

Demonstração: Desde que a projeção π : X → X/G é uma aplicação contínua, fechada e sobre-jetora, segue da Proposição A.42, que X/G é paracompacto.

1.3 G-fibrados Universais

Uma construção direta do G-fibrado universal, para um grupo topológico G arbitrário,foi dada primeiramente por Milnor[33]. Tal construção utiliza a noção de join de espaçostopológicos7. A construção de Milnor do espaço classificante BG do G-fibrado universal ωG =

(EG,BG, pG, G,G), é descrita como sendo o limite direto do quociente de joins do grupo G.

1.3.1 G-fibrados Principais

Nosso objetivo nesta seção é apresentar os conceitos e as principais propriedades de umaclasse especial de fibrados, os chamadosG-fibrados principais, onde (G, ·, τ) é um grupo topológico.Tais fibrados são caracterizados pela propriedade de que a fibra do fibrado é o próprio grupo

5Uma função contínua f : X → Y é chamada uma aplicação própria se para todo compacto K ⊂ Y , f−1(K) ⊂X é compacto.

6Vide Definição A.357Vide Definição A.51

1.3 G-fibrados Universais 13

G, o qual age sobre si mesmo por translações. Estaremos adotando aqui a notação multiplica-tiva para a operação do grupoG. Os resultados apresentados aqui são baseados nas referências[10], [12], [28] e [42].

Definição 1.31. Dado um grupo topológico G, um G-fibrado principal à direita consiste de umaG-ação livre à direita

ρ : E ×G → E

(x, g) 7→ xg

e uma função contínua e sobrejetora p : E → B, satisfazendo as seguintes condições:

(1) Para cada x ∈ E e g ∈ G, p(xg) = p(x).

(2) Para cada b ∈ B, existe um aberto V contendo b emB e umG-homeomorfismo ϕ : p−1(V )→ V ×Gtal que o seguinte diagrama

p−1(V )

p##FFFFFFFFF

ϕ // V ×G

π1||yyyyyyyyy

V

(1.7)

é comutativo, onde π1 : V × G → V é a projeção na primeira coordenada. E é chamado espaço total,B é chamado espaço base, p : E → B é chamada projeção, G é a fibra do fibrado e ϕ é chamado umatrivialização de p sobre V , com fibra típica G. Aqui, G age à direita sobre U ×G via a ação

ρ : (U ×G)×G → U ×G

((u, h), g) 7→ (u, hg).

Um fibrado é chamado trivial se existe uma trivialização sobre B.

Observação 1.32. Usaremos a notação ξ = (E, p,B,G,G) para representar um G-fibrado prin-cipal com espaço total E, espaço base B, projeção p : E → B e grupo G.

Exemplo 1.33. Dados um espaço topológico B e um grupo G, consideremos a G-ação trivialsobre B e a G-ação diagonal à direita sobre B ×G dada por

(B ×G)×G → B ×G

((b, h), g) 7→ (b, hg).

Então, ξ = (B × G, p1, B,G,G) é um G-fibrado principal, chamado G-fibrado produto (Vide[28, Capítulo 3, Exemplo 2.3]).

Exemplo 1.34. Seja ξ = (E, p,B,G,G) umG-fibrado principal. Para cada espaço topológicoB∗

e para cada função contínua f : B∗ → B, o fibrado induzido de ξ por f , denotado por f∗(ξ),


tem como espaço base B∗ e seu espaço total é definido como sendo o subespaço

f∗(E) = {(b∗, x) ∈ B∗ × E ; f(b∗) = p(x)},

chamado o pull-back de ξ por f . A projeção é dada pela aplicação

p∗ : f∗(E)→ B∗, p∗(b∗, x) = b∗.

Temos que f∗(ξ) = (f∗(E), p∗, B∗, G,G) é um G-fibrado principal, chamado G-fibrado in-duzido de ξ por f (Vide [28, Capítulo 4, Proposição 4.1]).

No contexto deste trabalho, o exemplo mais importante de G-fibrado principal é dado pelaaplicação de órbitas p : X → X/G, no caso em que X é um espaço paracompacto e G é umgrupo de Lie compacto que age livremente sobre X . Nesse caso, temos o seguinte teoremafundamental

Teorema 1.35. Seja X um G-espaço paracompacto, onde G é um grupo compacto de Lie agindo livre-mente sobre X . Então, (X, p,X/G,G,G) é um G-fibrado principal, onde p : X → X/G é a aplicaçãode órbitas.

Observação 1.36. O teorema 1.35 foi provado por Bredon [8, Capítulo II, Teorema 5.8] no casoem que X é um espaço completamente regular 8. Desde que todo espaço paracompacto énormal 9 e, pelo Lema de Urysohn, todo espaço normal é um espaço completamente regular,segue o resultado. Observemos ainda que, nas hipóteses do Teorema 1.35, segue do Corolário1.30, que o espaço de órbitas X/G é paracompacto.

Definição 1.37. Sejam ξ = (E, p,B,G) e η = (E′, p′, B,G) dois G-fibrados principais sobre o mesmoespaço base B. Um B-morfismo principal u : ξ → η é uma aplicação G-equivariante u : E → E′ talque p = p′ ◦ u, ou seja, o seguinte diagrama é comutativo.

E

p��@@@@@@@u // E′

p′~~}}}}}}}

B

Um morfismo u : ξ → η entre doisG-fibrados principais sobreB é chamado umB-isomorfismo,se u : E → E′ for um homeomorfismo.

1.3.2 Espaços Classificantes

O objetivo desta seção é apresentar a construção do espaço classificante segundoMilnor[33]. Dado um grupo de Lie compacto, existe um espaço BG, chamado espaço clas-sificante, e um G-fibrado universal EG → BG tal que para qualquer espaço paracompacto B,

8Um espaço de Hausdorff X é completamente regular se dados x ∈ X e um fechado A ⊂ X que não contém x,existe uma função contínua f : X → [0, 1] tal que f(x) = 1 e f(a) = 0, ∀a ∈ A.

9Vide Proposição A.40


a construção “pulback"induz uma bijeção entre o conjunto [B,BG] das classes de homotopiade aplicações de B em BG e a classe dos isomorfismos de G-fibrados principais sobre B. Asreferências clássicas para este tópico são [12] e [28].

Apresentamos inicialmente o seguinte resultado fundamental para a construção de um G-fibrado universal.

Lema 1.38. [28, Capítulo IV, Teorema 9.9] Seja ξ = (E, p,B,G,G) umG-fibrado principal sobre umespaço paracompacto B e suponhamos que as aplicações u, v : B∗ → B sejam homotópicas. Então, osG-fibrados induzidos u∗(ξ) e v∗(ξ) são B∗-isomorfos.

Seja B um espaço paracompacto. Definimos uma relação de equivalência como segue: dadosdois G-fibrados principais ξ e η sobre B,

ξ ∼ η se, e somente se, ξ é B-isomorfo a η.

A classe de equivalência de isomorfismos do G-fibrado principal ξ sobre B será denotada por{ξ}. O conjunto de todas as classes de equivalência de isomorfismos de G-fibrados principaissobre B será denotado por KG(B).

Seja ω = (E0, p0, B0, G,G) um G-fibrado principal sobre um espaço paracompacto B0. Paracada espaço paracompacto B, definimos uma função:

φω(B) : [B,B0]→ KG(B), φω(B)([u]) = {u∗(ω), }

onde u∗(ω) é oG-fibrado induzido de ω por u e [B,B0] denota o conjunto de todas as classes dehomotopia B → B0. Esta função está bem definida, desde que se [u] = [v], então u, v : B → B0

são homotópicas e segue do Lema 1.38 que u∗(ω) e v∗(ω) são B-isomorfos. Portanto, {u∗(ω)} =

{v∗(ω)}.

Definição 1.39. Um G-fibrado principal ω = (E0, p0, B0, G,G) sobre o espaço paracompacto B0 échamado um G-fibrado universal se, para cada espaço paracompacto X , a função φω(X) : [X,B0]→KG(B) for uma bijeção. O espaço topológico B0 é chamado um espaço classificante do grupo G eusaremos as notações E0 = EG, B0 = BG, p0 = pG e ω = ωG.

Temos assim o seguinte teorema de classificação de G-fibrados principais, no caso paracom-pacto

Teorema 1.40. Teorema da Classificação[12, Capítulo 14, Teorema 14.4.1] Associamos a cada classede isomorfismo de G-fibrados principais sobre um espaço paracompacto B a classe de homotopia de umaaplicação classificante, obtendo uma bem definida bijeção KG(B) ∼= [B,BG].

Seja ωG = (EG, pG, BG,G,G) um G-fibrado universal. Então, são válidos os seguintes resulta-dos


Proposição 1.41. [28, Capítulo 4, Teorema 12.2] Para cada G-fibrado principal ξ = (E, p,B,G,G)

sobre um espaço paracompacto B, existe uma aplicação continua q : B → BG tal que ξ e o G-fibradoinduzido q∗(ωG) são G-fibrados principais B-isomorfos. A aplicação q : B → BG é chamada umaaplicação classificante para o G-fibrado principal ξ = (E, p,B,G,G).

Proposição 1.42. [28, Capítulo 4, Teorema 12.4] Sejam u, v : B → BG duas aplicações continuastais que u∗(ωG) e v∗(ωG) são G-fibrados principais B-isomorfos. Então u e v são homotópicas.

Do teorema 1.35, temos que a aplicação de órbitas determina um G-fibrado principal, no casoem que G é um grupo de Lie compacto e o espaço total desse fibrado é paracompacto. Alémdisso, nesse caso o espaço base é paracompacto. Assim, usando este fibrado, obtemos o seguinte

Teorema 1.43. Sejam X e Y espaços paracompactos com ação livre de um grupo de compacto de Lie G.Denotemos por ξX e ξY os G-fibrados principais (X, pX , X/G,G,G) e (Y, pY , Y/G,G,G), respectiva-mente, com X/G e Y/G paracompactos. Seja qX : X/G → BG uma aplicação classificante para ξX esuponhamos que f : X → Y seja uma aplicação G-equivariante. Se qY : Y/G→ BG for uma aplicaçãoclassificante para ξY , então a aplicação qY ◦ f : X/G → BG também classifica o G-fibrado principalξX . Em outras palavras, o seguinte diagrama

X/G

f��

qX // BG

Y/G

qY

<<yyyyyyyyy

é homotopicamente comutativo, onde f : X/G→ Y/G é a induzida por f entre os espaços de órbitas.

Demonstração: Desde que qX : X/G → BG é uma aplicação classificante para ξX , segue daproposição 1.41 que ξX e q∗X(ωG) são (X/G)-isomorfos e, analogamente, ξY e q∗Y (ωG) são (Y/G)-isomorfos. Obtemos assim os seguintes diagramas comutativos

q∗X(ωG)∼= //

$$IIIIIIIII X //

π

��

EG

π

��X/G qX

// BG

q∗Y (ωG)∼= //

$$HHHHHHHHH Y //

π

��

EG

π

��Y/G qY

// BG

Desde que f : X → Y é uma aplicação G-equivariante, temos de [28, Capítulo 4, Teorema 4.2],que ξX e o G-fibrado induzido f∗(ξY ) são G-fibrados principais (X/G)-isomorfos. Por outrolado, desde que ξY é isomorfo a q∗Y (ωG), segue de [28, Capítulo 4, §10], que f∗(ξY ) é isomorfo a


f∗(q∗Y (ωG)).

f∗(ξY )∼=

{{

{{

��

q∗X(ωG)∼= //____

$$II

II

I X

fuuuuu

zzuuuuu

//

pX��

EG

��q∗Y (ωG)

∼= //____

%%KK

KK

K Y

pY��

55jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj X/Gf

zzuuuuuuuuu

qX // BG

Y/G

qY

55jjjjjjjjjjjjjjjjjjjj

Alem disso, temos de [28, Capítulo 2, Proposição 5.7], que f∗(q∗Y (ωG)) e (qY ◦ f)∗(ωG) são G-fibrados principais (X/G)-isomorfos e, portanto ξX , e (qY ◦ f)∗(ωG) são G-fibrados principais(X/G)-isomorfos, o que implica da Proposição 1.41, que qY ◦ f é uma aplicação classificantepara o G-fibrado principal ξX . Segue da Proposição 1.42, que qY ◦ f é homotópica a qX .

1.3.3 A construção de Milnor

A construção de Milnor do espaço classificante BG do G-fibrado universalωG = (EG,BG, pG, G,G) é descrita como sendo o limite direto do quociente de joins do grupoG. Embora essa construção seja a mais geral possível, no contexto do nosso trabalho, estaremosconsiderando G um grupo de Lie compacto. Detalhes dos resultados apresentados nesta seçãopodem ser encontrados em [12] e [33].

Consideremos o join de (n+ 1)-cópias de G

EG(n) = G ∗ · · · ∗G,

munido da topologia de Milnor10. Assim, temos uma sequência de inclusões

Gı↪→ · · · ı

↪→ EG(n)ı↪→ EG(n+ 1)

ı↪→ · · ·

Dessa forma, a coleção {EG(n), fmn = ı,Z+, n ≤ m} é um sistema direto de espaços topológi-cos11, indexado no conjunto dirigido Z+. Segue da Proposição B.18 que

EG = lim→

n∈Z+

EG(n) =∑n∈Z+

EG(n) =⋃n∈Z+

EG(n). (1.8)

10Vide Definição A.5111Vide Seção B.1.2


Milnor define uma G-ação à direita sobre cada EG(n)

EG(n)×G → EG(n)

(t0g0 + . . .+ tngn, g) 7→ t0(g0g) + . . .+ tn(gng),

a qual induz uma G-ação à direita sobre o espaço EG, como foi definido em (1.5). Mostra-seque essa ação é livre. O espaço de órbitas

EG/G

determinado pela G-ação livre sobre EG será denotado por BG e

pG : EG→ EG/G = BG

denotará a aplicação de órbitas. Enunciamos a seguir o Teorema de Milnor, no caso particularem que G é um grupo de Lie compacto, cuja demonstração no caso geral pode ser encontradaem [12], Capítulo 14, Teorema 14.4.2 e [33].

Teorema 1.44. Dado um grupo de Lie compacto G, existe um G-fibrado universalωG = (EG, pG, BG,G,G), com EG contrátil e BG = EG/G.

Observação 1.45. Dado um grupo de Lie compacto, consideremos o G-fibrado universal ωG =

(EG, pG, BG,G,G). Desde que G é compacto Hausdorff, temos da Proposição A.52, que cadaEG(n) é compacto Hausdorff e segue da Proposição A.37 que cada EG(n) é paracompacto.Como a união disjunta de espaços pacompactos é um espaço paracompacto (Vide ObservaçãoB.19), temos que EG é paracompacto, logo EG é normal 12 e, consequentemente, regular. Poroutro lado, sendo uma reunião enumerável de espaços compactos, temos da Definição A.44,que EG é σ-compacto e assim, concluimos que EG é um espaço regular e σ-compacto. Por-tanto, segue da Observação A.45, que se X for um espaço paracompacto, então o produtocartesiano EG×X , munido da topologia produto, será um espaço paracompacto.

Observação 1.46. Segue dos Teoremas 1.35 e 1.44 e das Observações 1.45 e 1.36, que(EG, pG, BG,G,G) é um G-fibrado principal com espaço base BG paracompacto.

Observação 1.47. Sejam G1 e G2 grupos compactos de Lie. Então, temos as seguintes identificações

(G1 ∗ · · · ∗G1)× (G2 ∗ · · · ∗G2) ≈ (G1 ×G2) ∗ · · · ∗ (G1 ×G2)

as quais nos leva às seguintes identificações:

EG1 × EG2 ≈ E(G1 ×G2) BG1 ×BG2 ≈ B(G1 ×G2) (1.9)12Vide Proposição A.40


Exemplo 1.48. Seja G = Z2, então o espaço EG(n) é o join

Z2 ∗ · · · ∗ Z2,

de (n + 1)-cópias de Z2, o qual é homeomorfo à n-esfera Sn e a ação de Z2 sobre EG(n) = Sn

é definida pela identidade e pela aplicação antipodal. O espaço BG(n) é RPn. As inclusõesEG(n) ⊂ EG(n+1) eBG(n) ⊂ BG(n+1) são as inclusões naturais Sn ⊂ Sn+1 e RPn ⊂ RPn+1.O espaço EG é S∞ e BG é RP∞. O Z2-fibrado (Sn+1, pG,RPn+1) é um Z2-fibrado universalpara dimensões menores ou iguais a n.

Exemplo 1.49. Seja G = S1, então o espaço EG(n) é o join

S1 ∗ · · · ∗ S1,

de (n+1)-cópias de S1, o qual é homeomorfo à esfera S2n+1 e a ação de S1 sobreEG(n) = S2n+1

é dada pela relação

(z0, z1, . . . , zn)eiθ = (eiθz0, eiθz1, . . . , e

iθzn),

para cada eiθ ∈ S1. O espaço BG(n) é o n-dimensional espaço projetivo complexo CPn. Asinclusões EG(n) ⊂ EG(n + 1) e BG(n) ⊂ BG(n + 1) são as inclusões naturais S2n+1 ⊂ S2n+3

e CPn ⊂ CPn+1. O espaço EG é S∞ e BG é CP∞. O S1-fibrado (S2n+1, pG,CPn) é um S1-fibrado universal para dimensões menores ou iguais a 2n.

1.3.4 Cohomologia dos espaços classificantes BZp e BS1.

Exemplo 1.50. Um modelo para BZ2, o espaço classificante para Z2, é o espaço projetivo in-finito P∞. Então, H∗(BZ2;Z2) ∼= H∗(P∞;Z2) é isomorfo a Z2[a], onde a ∈ H1(P∞;Z2) é o ger-ador. O gerador de H i(BZ2;Z2) é ai, para qualquer i ≥ 0. Se p > 2 é primo, um modelo paraBZp, o espaço classificante para Zp é o espaço lens infinitoL∞p = S∞/Zp. Assim,H i(BZp,Zp) =

H i(L∞p ;Zp) ∼= Zp, para todo i ≥ 0 e dado qualquer elemento não nulo a ∈ H1(L∞p ;Zp), temosque b = β(a) é um elemento não nulo de H2(L∞p ;Zp), onde β : H1(L∞p ;Zp) → H2(L∞p ;Zp) é ohomomorfismo de Bockstein 13. Mais geralmente, um gerador µ ∈ H i(BZp,Zp) é dado por

µ =

{a ^ b(i−1)/2, se i é ímparbi/2, se i é par

(1.10)

Exemplo 1.51. Um modelo para BS1, o espaço classificante para S1, é o espaço projetivocomplexo infinito CP∞. Então, H∗(BS1;Z) ∼= H∗(CP∞;Z) é isomorfo a Z[c] com geradorc ∈ H2(BS1;Z) (para demonstração, vide [10, Cap.3, §2, Proposição 2.1, pg. 183]). Observemosque B(S1 × S1) = BS1 ×BS1.

13Vide Apêndice A, SeçãoA.5.


1.3.5 A Construção de Borel

Nesta seção, descrevemos a construção de Borel sobre os espaços classificantes de um gru-po compacto de Lie. Tal construção é um procedimento para criar novos espaços e aplicações,através do G-fibrado universal. Os resultados apresentados aqui podem ser econtrados nasreferências [3], [5] e [10].

Seja G um grupo de Lie compacto e consideremos o G-fibrado universal

(EG, pG, BG,G,G),

com EG contrátil e BG = EG/G, apresentado na Subseção 1.3.3.

Dado um G-espaço X , a ação diagonal14 sobre o produto EG × X , é uma G-ação livre. Comefeito, desde que a G-ação diagonal sobre EG é livre, temos que gm 6= m, ∀m ∈ EG e ∀g 6= e.Assim,

g(m,x) = (gm, gx) 6= (m,x), ∀ (m,x) ∈ EG×X e ∀g 6= e.

Definição 1.52. Dado um G-espaço X , definimos o espaço de Borel, o qual será denotado por

XG = EG×G X

como sendo o espaço de órbitas do produto EG×X com relação à G-ação diagonal livre, ou seja,

XG = EG×G X =EG×X

G

As órbitas G(m,x), serão denotadas por [m,x].

Observação 1.53. Seja X um G-espaço paracompacto, onde G é um grupo de Lie compacto.Segue da Observação 1.45 que EG ×X é paracompacto e, desde que esse espaço admite açãolivre de G, segue do Teorema 1.35 que

(EG×X, p,XG, G,G)

é umG-fibrado principal, com espaço baseXG paracompacto (Vide Observação 1.36). Segue daProposição 1.41, que existe uma aplicação classificante para o G-fibrado principal(EG×X, p,XG, G,G). Desde que a projeção na primeira coordenada

π1 : EG×X → EG

é uma aplicação G-equivariante, segue do Teorema 1.43 que a aplicação induzida por π1 nos

14Vide Definição 1.27


espaços órbitas, a qual será denotada por

π : XG =EG×X

G→ BG =

EG

G. (1.11)

também classifica o G-fibrado principal (EG ×X, p,XG, G,G). Obtemos assim, um diagramacomutativo

EG×X π1 //

p

��

EG

pG

��XG π

// BG

onde as funções verticais p e pG são as respectivas aplicações de órbitas.

Definição 1.54. A aplicação π : XG → BG dada em (1.11) é uma fibração com fibra X e espaço baseBG, chamada fibração de Borel associada ao G-espaço X . Tal fibração será denotada por

Xı↪→ XG

π−→ BG.

Seja f : X → Y uma aplicação G-equivariante. Então, a aplicação

IdEG × f : EG×X → EG× Y

(m,x) 7→ (m, f(x))

é uma aplicação G-equivariante, desde que

(IdEG × f)(g(m,x)) = (IdEG × f)(gm, gx)) = (gm, f(gx))

= (gm, gf(x)) = g((IdEG × f)(m,x))

Logo, a passagem aos espaços órbitas nos leva à seguinte

Definição 1.55. Seja f : X → Y uma aplicação G-equivariante. Definimos a aplicação de Borelcomo sendo a aplicação contínua

fG : IdEG × f : XG → YG, [m,x] 7→ [m, f(x)]

Uma consequência do teorema 1.43 para a construção de Borel é o seguinte

Teorema 1.56. Seja f : X → Y uma aplicação G-equivariante, onde X e Y são paracompactos. Então,o seguinte diagrama

XGqX //

fG��

BG

YG

qY

<<zzzzzzzz

(1.12)


é homotopicamente comutativo, ou seja, qX ∼= qY ◦ fG.

Demonstração: Sejam qX e qY as aplicações classificantes para os G-fibrados principais (EG ×X,π,XG, G,G) e (EG× Y, π, YG, G,G). Desde que

IdEG × f : EG×X → EG× Y

é uma aplicação G-equivariante entre os G-espaços paracompactos EG ×X e EG × Y , seguedo teorema 1.43 que o Diagrama 1.12 é homotopicamente comutativo.

Capítulo

2

Seqüências Espectrais

Uma das principais ferramentas utilizadas no cálculo do anel de cohomologia dos espaçosconsiderados neste trabalho é a chamada Seqüência Espectral de Leray-Serre associada a umafibração F ↪→ E → B. Tais seqüências são objetos algébricos utilizados no cálculo de gruposde homologia e cohomologia através de aproximações sucessivas. Seqüências espectrais sãouma generalização das seqüências exatas e, desde a sua introdução por Jean Leray, em 1946,tornaram-se um importante instrumento de pesquisa, particularmente em teoria de homotopia.Motivado por problemas em Topologia Algébrica, Jean Leray introduziu a noção de feixe e viu-se confrontado com o problema da computação da cohomologia de um feixe. Para calcular talcohomologia, Leray introduziu uma técnica computacional conhecida hoje como a seqüênciaespectral de Leray-Serre.

Logo percebeu-se que a técnica computacional de Leray era um exemplo de um fenômenomais geral. Seqüências espectrais foram desenvolvidas em diversas situações, e elas fornece-ram intrincadas relações entre homologia e cohomologia de grupos provenientes de situaçõesgeométricas como fibrações e de situações algébricas envolvendo funtores derivados. Os E2-termos dessas seqüências espectrais são expressos em termos do sistema de coeficientes locais,os quais são induzidos pela fibração sobre B. Tais sistemas de coeficientes locais surgem natu-ralmente no estudo de teoria de obstrução e no estudo de feixes.

Este Capítulo está organizado como segue. Na Seção 2.1 introduzimos o conceito de Sistemade Coeficientes Locais sobre um espaço topológico B e na Seção 2.2, apresentamos as definiçõese resultados básicos sobre Seqüências Espectrais. As referências básicas para este capítulo são:[32], [31] e [47].

24 Seqüências Espectrais

2.1 Sistemas de Coeficientes Locais

Nosso objetivo, nesta seção, é definir os grupos de homologia e cohomologia com coeficienteslocais em um fibrado de grupos. Dado um espaço topológico B, seja

Π1(B, a, b) = {[λ];λ : I → B, λ(0) = a, λ(1) = b} (2.1)

o conjunto das classes de homotopia de caminhos em B unindo os pontos a e b.

Definição 2.1. Um fibrado de grupos sobre B, o qual será denotado por G, é uma coleção de grupos{Gb; b ∈ B}, junto com uma coleção de homomorfismos h[λ] : Gb1 → Gb0 , para cada elemento [λ] ∈Π1(B, b0, b1), satisfazendo

(1) se [b] é a identidade (o caminho constante) em Π1(B, b, b) então h[b] = id : Gb → Gb;

(2) se [λ] ∈ Π1(B, b0, b2) e [µ] ∈ Π1(B, b1, b2) e se λ ∗ µ é o caminho justaposto de λ por µ, entãoh[λ ∗ µ] = h[λ] ◦ h[µ] : Gb2 → Gb0 .

Observação 2.2. As condições (1) e (2) da Definição 2.1 implicam que h[λ] é um isomorfismo.De fato, denotando por λ−1(t) = λ(1 − t) temos que [λ ∗ λ−1] = [b0] ∈ Π1(B, b0, b0) e assimh[λ ∗ λ−1] = h[λ] ◦ h[λ−1] = id.

Observação 2.3. Sejam B um espaço topológico e G um grupo. Fixado um ponto base b ∈ B,então uma representação

ρ : π1(B; b)→ Aut(G)

determina um fibrado de grupos Gρ sobre B como segue. Para cada b′ ∈ B, seja Gb′ = G;escolha [λb′ ] ∈ Π1(B; b′, b′) e seja hρ[λb′ ] = IdGb′ . Então, para qualquer [µ] ∈ Π1(B; b0, b1) seja

hρ[µ] = ρ[λ−1b0∗ µ ∗ λb1 ].

Isso determina um fibrado de grupos associado à representação ρ. Reciprocamente, um fibradode grupos determina uma representação ρ′ : π1(B, b′)→ Aut(Gb′), para b′ ∈ B.

Exemplo 2.4. Dado um grupo G, existe o fibrado trivial de grupos sobre B, também denotadopor G, onde Gb = G para todo b ∈ B e h[λ] = id : G→ G para todo [λ] ∈ Π1(B, b0, b1).

Exemplo 2.5. Suponhamos que F ↪→ Ep→ B seja uma fibração, com B conexo por caminhos.

Para cada natural n ≥ 0, podemos construir um fibrado de R-módulos, G = Hn(F ;R) comosegue: dado um elemento b ∈ B seja Gb = Hn(Fb;R), onde Fb = p−1(b). Dado um caminhoλ : I → B com λ(0) = b0 e λ(1) = b1, aplicando a propriedade do levantamento de homotopiapara fibrações, um levantamento de λ dá origem a uma aplicação λ : Fb0 → Fb1 tal que λ éuma equivalência de homotopia e λ é única, a menos de homotopia [47, pg.185]. Para cada

2.1 Sistemas de Coeficientes Locais 25

[λ] ∈ Π1(B, b0, b1), seja

h[λ] = (λ−1)∗ : Hn(Fb1 ;R)→ Hn(Fb0 ;R). (2.2)

Segue de [47, Cap.4, §8] que G = Hn(F ;R), juntamente com a coleção de homomorfismos h[λ]

definidos acima, é um fibrado de R-módulos.

Observação 2.6. Usando os mesmos argumentos do Exemplo 2.5, temos queG = Hn(F ;R), juntamente com a seguinte coleção de homomorfismos h[λ]

h[λ] = λ∗ : Hn(Fb1 ;R)→ Hn(Fb0 ;R). (2.3)

é um fibrado de R-módulos (vide [31, Cap.3, §2, Teorema 2.8]).

Definição 2.7. Um morfismo entre fibrados de grupos, Ξ : G1 → G2 é uma coleção de homomorfismosΞb : (G1)b → (G2)b, para cada b ∈ B, satisfazendo a propriedade que o seguinte diagrama comuta, paratodo [λ] em Π1(B, b0, b1).

(G1)b1

Ξb1��

h1[λ] // (G1)b0

Ξb0��

(G2)b1 h2[λ]// (G2)b0

Exemplo 2.8. Sejam Ep→ B e E′

p′→ B, fibrações com mesmo espaço base B, conexo porcaminhos. Suponhamos que exista uma aplicação entre fibrações,

Fb

��

f|Fb // F ′b

��E

p��444444f // E′

p′��

B

(2.4)

a qual preserva fibra, ou seja, f(p−1(b)) ⊂ (p′)−1(b), para cada b ∈ B. Então o diagrama

Hn(Fb1 ;R)

f∗��

h[λ] // Hn(Fb0 ;R)

f∗��

Hn(F ′b1 ;R)h′[λ]

// Hn(F ′b0 ;R)

é comutativo, onde h[λ] e h′[λ] são os homomorfismos definidos no Exemplo 2.5. Deste modo,f∗ induz um morfismo de fibradosHn(F ;R)→ Hn(F ′;R)


Definição 2.9. Um morfismo de fibrados é um isomorfismo se cada Ξb for um isomorfismo. Fixemos umfibrado de grupos abelianos, G, sobre um espaço B, então G é chamado um Sistema de Coeficientes Locaissobre B. Um Sistema de Coeficientes Locais G é chamado trivial se existe um fibrado trivial de grupos Ge um isomorfismo Ξ : G → G, para algum grupo G.

Proposição 2.10. Seja G = {Gb′ ; b′ ∈ B} um sistema de coeficientes locais sobre B isto é, G é umfibrado de grupos sobre B. Se π1(B, b) age trivialmente sobre G = Gb, para b ∈ B fixado, então osistema de coeficientes locais G sobre B é trivial.

Demonstração. Se π1(B, b) age trivialmente sobre G, então a única representação

ρ : π1(B, b)→ Aut(G)

é a representação trivial, ou seja, ρ[λ] = IdG, para todo [λ] ∈ π1(B, b). De fato, suponhamos queexista uma representação não trivial ρ : π1(B, b)→ Aut(G). Neste caso, existe [λ] ∈ π1(B, b) talque ρ[λ] 6= IdG, ou seja, existe g ∈ G tal que

ρ[λ](g) 6= g. (2.5)

Assim, podemos definir a seguinte multiplicação de π1(B, b) sobre G:

· : π1(B, b)×G → G

([λ], g) 7→ [λ] · g = ρ[λ](g).

Temos que a multiplicação acima determina uma ação sobre G, pois

(i) [λ] · e = ρ[λ](e) = e, desde que ρ[λ] : G→ G é um automorfismo, onde e denota o elementoidentidade de G.

(ii) dados [λ1], [λ2] ∈ π1(B, b), para todo g ∈ G, temos:

[λ1] · ([λ2] · g) = [λ1] · (ρ[λ2](g))

= ρ[λ1](ρ[λ2](g))

= (ρ[λ1] · ρ[λ2])(g) (ρ é um homomorfismo)

= ρ([λ1] ∗ [λ2])(g)

= [λ1] ∗ [λ2] · g.

De (2.5) temos que existe g ∈ G tal que

[λ] · g = ρ[λ](g) 6= g, (2.6)

o que é uma contradição, pois π1(B, b) age trivialmente sobre G.

Como da Observação 2.3, existe uma correspondência entre os fibrados de grupos sobre B

2.1 Sistemas de Coeficientes Locais 27

e as representações ρ[λ] : π1(B, b) → Aut(G) e a única representação ρ é a trivial, concluímosque Gρ = G = G, onde G é o fibrado trivial de grupos sobre B (Vide Exemplo 2.4). Assim,segue da Definição 2.9 que o sistema de coeficientes locais G sobre B é trivial.

Exemplo 2.11. Seja F ↪→ Ep→ B uma fibração com fibra F e base B conexos por caminhos.

Então, o sistema de coeficientes locais sobre B, H0(F ;R) é trivial. Fixemos um ponto b ∈ B emostremos que existe um isomorfismo Ξ : H0(F ) → H0(Fb), com H0(Fb) = H0(F ) o fibradotrivial de grupos sobre B. Sejam b0, b1 ∈ B e [λ] ∈ Π1(B, b0, b1). Desde que B é conexo porcaminhos, existem caminhos α, β : I → B tais que α(0) = b, α(1) = b1, β(0) = b, β(1) = b0.Consideremos os homomorfismos h[α] : H0(Fb1) → H0(Fb), h[β] : H0(Fb0) → H0(Fb), h[λ] :

H0(Fb1)→ H0(Fb0), definidos no Exemplo 2.5, os quais são isomorfismos, pela Observação 2.2.Como F é conexo por caminhos, temos que o homomorfismo

h[β] ◦ h[λ] ◦ h[α]−1 = h[β ∗ λ ∗ α−1] : H0(Fb)→ H0(Fb). (2.7)

coincide com o homomorfismo identidade Id : H0(Fb)→ H0(Fb). Assim, obtemos o diagramacomutativo

H0(Fb1)

Ξb1=h[α]

��

h[λ] // H0(Fb0)

Ξb0=h[β]

��H0(Fb)

Id// H0(Fb)

(2.8)

para todo [λ] ∈ Π1(B, b0, b1) e o sistema de coeficientes locaisH0(F ;R) sobre B é trivial.

Observação 2.12. Usando os mesmos argumentos do Exemplo 2.11, prova-se que se F ↪→ Ep→

B é uma fibração com fibra F e base B conexos por caminhos, então o sistema de coeficienteslocais sobre B,H0(F ;R), é trivial.

Denotemos por C∗(B) o grupo das cadeias singulares sobre B. Defininos

Cp(B;G) = { funções c : Cp(B)→ ∪b∈BGb; c(α : ∆p → B) ∈ Gα(e0), c(α) 6= 0,

somente para um número finito de p-simplexos singulares α : ∆p → B}

= {p-cadeias singulares com coeficientes no fibrado de grupos G}.

onde e0 ∈ ∆p. Uma p-cadeia é chamada elementar se c(α) 6= 0 para no máximo um p-simplexosingular α : ∆p → B. Uma p-cadeia típica com coeficientes em G pode ser escrita como umasoma formal de p-cadeias elementares

c =∑

giαi, onde gi ∈ Gαi(e0).


Para definir o bordo de uma p-cadeia elementar c, observemos que se α : ∆p → B,

(∂iα)(e0) =

{α(e0), se i 6= 0;

α(e1), se i = 0

onde ∂ : Cp(B)→ Cp−1(B). Consideremos o caminho λα : I → B, definido por

λα(t) = α(te0 + (1− t)e1),

unindo α(e1) a α(e0). Segue que a classe de homotopia [λα] ∈ Π1(B,α(e1), α(e0)) induz umisomorfismo h[λα] : Gα(e0) → Gα(e1). O operador bordo ∂ : Cp(B;G) → Cp−1(B;G), definidopela fórmula

∂(c) = ∂

(∑i

giαi

)=∑i

h[λαi ](gi).∂0αi +

p∑j=1

(−1)jgi∂jαi

,

é um homomorfismo, o qual satisfaz ∂ ◦ ∂ = 0 (para detalhes, vide [47, Cap.6, §2]).

Definição 2.13. O grupo graduado C∗(B;G) é um complexo de cadeias e seus grupos de homologiaHp(B;G) = Hp(C∗(B;G), ∂), são chamados grupos de homologia de B com coeficientes no fibrado degrupos G, também conhecidos como grupos de homologia de B com coeficientes locais em G.

Seja G um fibrado de grupos e denotemos por C∗(B) o grupo de cocadeias singulares sobre B.Definimos

Cp(B;G) = { funções c : Cp(B)→ ∪b∈BGb; c(α : ∆p → B) ∈ Gα(e0), c(α) 6= 0,

somente para um número finito de p-simplexos singulares α : ∆p → B},

= {p-cocadeias singulares com coeficientes no fibrado de grupos G},

onde e0 ∈ ∆p. O conjunto Cp(B;G) é um grupo abeliano com a operação de adição de funções.O operador cobordo δ : Cp(B;G)→ Cp+1(B;G) é definido pela fórmula

(−1)pδc(α) = h[λ−1α ]c(∂0α) +

p+1∑i=1

(−1)ic(∂iα), (2.9)

para cada simplexo singular α : ∆p+1 → B, onde h[λ−1α ] : Gα(e1) → Gα(e0). Então, δ é um

homomorfismo e δ ◦ δ = 0 (vide [47, pg.270]).

Definição 2.14. O grupo graduado C∗(B;G) é um complexo de cocadeias e seusgrupos de cohomologia Hp(B;G) = Hp(C∗(B;G), δ), são chamados grupos de cohomologia de B comcoeficientes locais no fibrado de grupos G.

Uma importante propriedade dos grupos de homologia e cohomologia de B com

2.2 Seqüências Espectrais 29

coeficientes locais no fibrado de grupos G é dada pelo seguinte lema (para demonstração vide[31, Cap.3, §1, Lema 1.18(2), pg. 104] e [32, Proposição 5.22, pg. 166]).

Lema 2.15. Se o sistema de coeficientes locais G sobre B for trivial, então

H∗(B;G) ∼= H∗(B;G) e H∗(B;G) ∼= H∗(B;G), (2.10)

onde G = Gb, para todo b ∈ B.

2.2 Seqüências Espectrais

Nesta seção, apresentamos uma breve descrição dos resultados sobre seqüências espectraisque serão usados no Capítulo 3. Usamos como referências para o estudo deste importantetópico os seguintes textos: [32], [31], [41] e [47].

Definição 2.16. Um módulo diferencial bigraduado sobre um anel R, é uma coleção de R-módulos{Ep,q}, para todo par de inteiros p e q, junto com uma aplicação R-linear d : E∗,∗ → E∗,∗, o diferencial,de bigrau (−r, r − 1) ou (r,−r + 1), para algum inteiro r, satisfazendo d ◦ d = 0.

Definição 2.17. O módulo de homologia H(E) é o módulo bigraduado

Hp,q(E∗,∗, d) =ker(d : Ep,q → Ep−r,q+r−1)

im(d : Ep+r,q−r+1 → Ep,q).(2.11)

Definição 2.18. O módulo de cohomologia H(E) é o módulo bigraduado

Hp,q(E∗,∗, d) =ker(d : Ep,q → Ep+r,q−r+1)

im(d : Ep−r,q+r−1 → Ep,q).(2.12)

Definição 2.19. Uma seqüência espectral do tipo homológica é uma coleção de R-módulos diferenciaisbigraduados {Er∗,∗, dr}, para r = 1, 2, . . .; onde os diferenciais têm bigrau (−r, r− 1) e Er+1

p,q é isomorfoa Hp,q(E

r∗,∗, d

r).

Definição 2.20. Uma seqüência espectral do tipo cohomológica é uma coleção de R-módulos diferenciaisbigraduados {E∗,∗r , dr}, para r = 1, 2, . . .; onde os diferenciais têm bigrau (r,−r+ 1) e Ep,qr+1 é isomorfoa Hp,q(E∗,∗r , dr).


......

......

. . . Ep,qr

dr

IIIIIIIIIIIIIIIIIIII

$$IIIIIIIIIIIIIIIIIII

Ep+1,qr

. . . Ep+r,qr. . .

. . . Ep,q−1r

.... . .

. . . ... Ep+r,q+2−rr

. . .

. . . Ep,q+1−rr Ep+1,q+1−r

r. . . Ep+r,q+1−r

r. . .

......

......

Observação 2.21. Embora a seqüência espectral esteja indexada para r = 1, 2, . . ., essa inde-xação pode começar em qualquer inteiro e, para as nossas aplicações, a seqüência começa emr = 2.

Até o final desta seção, estaremos considerando seqüências espectrais do tipo cohomológicas.As definições e propriedades apresentadas a seguir, também podem ser obtidas no caso de umaseqüência espectral homológica e uma exposição detalhada nesse sentido pode ser encontradaem [32, 41].

Para definir o termo limite de uma seqüência espectral cohomológica, para todo k ≥ r, denote-mos por

Zp,qr = ker(dr : Ep,qr → Ep+r,q−r+1r )

Bp,qr = im(dr : Ep−r,q+r−1

r → Ep,qr ). (2.13)

A condição dr ◦ dr = 0, implica que Br ⊂ Zr ⊂ Er, e segue da Definição 2.18 queEr+1

∼= Zr/Br. Sejam

Z(Er+1)p,q = ker(dr+1 : Ep,qr+1 → Ep+r+1,q−rr+1 )

B(Er+1)p,q = im(dr+1 : Ep−r−1,q+rr+1 → Ep,qr+1). (2.14)

Segue de [27, Teorema 1.10, pg.173], que existem submódulos bigraduados Zr+1 e Br+1 de Zr,contendoBr, tais que Z(Er+1)p,q ∼= Zp,qr+1/B

p,qr eB(Er+1)p,q ∼= Bp,q

r+1/Bp,qr , para todo p, q. Assim,

Br+1 ⊂ Zr+1 e temos que

Br ⊂ Br+1 ⊂ Zr+1 ⊂ Zr ⊂ Er.


Além disso, Er+2∼= Z(Er+1)/B(Er+1) ∼= Zr+1/Br+1. Continuando esse processo por indução,

obtemos uma seqüência de submódulos, para todo n ≥ r,

Br ⊂ Br+1 ⊂ · · · ⊂ Bn ⊂ · · · ⊂ Zn ⊂ · · · ⊂ Zr+1 ⊂ Zr ⊂ Er,

com a propriedade que En+1∼= Zn/Bn.

Definição 2.22. Definimos os módulos bigraduados

Z∞ =⋂n

Zn e B∞ =⋃n

Bn. (2.15)

O módulo bigraduado E∞ = Z∞/B∞ é chamado o limite da seqüência espectral E.

Definição 2.23. Uma seqüência espectral cohomológica {E∗,∗r , dr} colapsa no N -ésimo termo se o dife-rencial dr = 0, para todo r ≥ N .

Observação 2.24. Uma conseqüência imediata do fato de uma seqüência espectral cohomoló-gica {E∗,∗r , dr} colapsar no N -ésimo termo, é que E∗,∗N ∼= E∗,∗N+1

∼= · · · ∼= E∗,∗∞ .

Definição 2.25. Uma filtração decrescente F sobre um R-módulo A é uma família de submódulos{F p(A)}, com p ∈ Z, tais que

· · ·F p+1(A) ⊂ F p(A) ⊂ F p−1(A) ⊂ · · · ⊂ A. (2.16)

Definição 2.26. Dada uma filtração decrescente F sobre umR-móduloA, o módulo graduado associadoE∗0(A) é dado por

Ep0(A) = F p(A)/F p+1(A). (2.17)

Observação 2.27. Se H∗ é um R-módulo graduado e se F é uma filtração sobre H∗, entãoF p(Hn) = F p(H∗)∩Hn ⊂ F p−1(H∗)∩Hn = F p−1(Hn) e o módulo bigraduado associado E∗,∗0

é dado por

Ep,q0 (H∗, F ) = F p(Hp+q)/F p+1(Hp+q). (2.18)

Definição 2.28. Uma seqüência espectral {E∗,∗r , dr} converge para um R-módulo graduado H∗, seexiste uma filtração F sobre H∗ tal que

Ep,q∞∼= Ep,q0 (H∗, F ), (2.19)

onde E∗,∗∞ é o termo limite da seqüência espectral.

Definição 2.29. Uma seqüência espectral {E∗,∗r , dr} é uma seqüência espectral do primeiro quadrante,se existe r tal que Ep,qr = 0, para p < 0 ou q < 0.


2.2.1 Álgebras Graduadas e Bigraduadas sobre um corpo

É freqüente o caso em que H∗ possui uma estrutura mais rica do que a simples estruturade espaço vetorial graduado. Por exemplo, quando H∗ é o anel de cohomologia de um espaçotopológico, H∗ é uma álgebra graduada através da estrutura do produto cup. Se H∗ é umaálgebra graduada, podemos perguntar como uma seqüência espectral pode determinar estaestrutura. Mais precisamente, munimos a seqüência espectral com uma estrutura algébricae determinamos o que significa, para tal estrutura, a seqüência espectral convergir para H∗,como um álgebra.

Definição 2.30. Se H∗ = {Hp}p∈N é um espaço vetorial graduado sobre um corpo K, então sejaH∗ ⊗K H

∗ o espaço vetorial graduado dado por

(H∗ ⊗K H∗)n =

⊕p+q=n

Hp ⊗K Hq.

H∗ é uma álgebra graduada se existe uma aplicação de espaços vetoriais graduados, chamada produto,ϕ : H∗ ⊗K H

∗ → H∗, ou seja, para todo p, q, temos uma aplicação linear

ϕ : Hp ⊗K Hq → Hp+q

a⊗ a′ 7→ ϕ(a⊗ a′) notação= a · a′. (2.20)

A aplicação ϕ deve satisfazer o seguinte diagrama comutativo, que expressa o fato de que a multiplicaçãosobre H∗ é associativa:

H∗ ⊗H∗ ⊗H∗ϕ⊗1 //

1⊗ϕ��

H∗ ⊗H∗

ϕ

��H∗ ⊗H∗

ϕ // H∗

(2.21)

Uma álgebra pode conter também um elemento unidade. Isto é determinado por uma apli-cação η : K∗ → H∗, onde K∗ = {Kp}p∈N é a algebra graduada dada por

Kp =

{K, se p = 0;

{0}, se p > 0

A aplicação η deve satisfazer o seguinte diagrama comutativo:

K∗ ⊗H∗η⊗id //

∼=��

H∗ ⊗H∗

ϕ

��

H∗ ⊗K∗id⊗ηoo

∼=��

H∗ H∗ H∗

(2.22)

Definição 2.31. Se E∗,∗ = {Ep,q}p,q∈N é um espaço vetorial bigraduado sobre K, seja E∗,∗ ⊗K E∗,∗


o espaço vetorial bigraduado dado por

(E∗,∗ ⊗K E∗,∗)p,q =

⊕m+n=pr+s=q

Em,r ⊗K En,s.

Dizemos queE∗,∗ é uma álgebra bigraduada, se existe uma aplicação de espaços vetoriais bigraduados,chamada produto: ϕ : E∗,∗ ⊗K E

∗,∗ → E∗,∗, isto é, ϕ possui componentes

ϕ : Em,n ⊗K Er,s → Em+r,n+s

e⊗ e′ 7→ ϕ(e⊗ e′) notação= e · e′. (2.23)

Assumimos também que ϕ satisfaz as condições análogas de associatividade e da existência de elementounidade, dadas em 2.21 e 2.22.

Exemplo 2.32. Suponhamos que A∗ e B∗ sejam álgebras graduadas, com produtos ϕ e ψ, res-pectivamente. Se Ep,q = Ap ⊗K B

q, definimos uma estrutura de álgebra sobre E∗,∗ pela com-posição:

Φ : Ep,q ⊗K Er,s = Ap ⊗Bq ⊗Ar ⊗Bs 1⊗T⊗1−→

Ap ⊗Ar ⊗Bq ⊗Bs ϕ⊗ψ−→ Ap+r ⊗Bq+s = Ep+r,q+s,

onde T (b⊗ a) = (−1)(deg a)(deg b)a⊗ b.

O próximo ingrediente em nossas definições é o conceito de diferencial.

Definição 2.33. Uma álgebra diferencial graduada (A∗, d) é uma álgebra graduada, juntamentecom uma aplicação linear de grau 1, d : A∗ → A∗, tal que d é uma derivação, isto é, para todo p, q,d : Ap+q → Ap+q+1 satisfaz a regra de Leibniz

d(a · a′) = d(a) · a′ + (−1)deg aa · d(a′), (2.24)

onde a · a′ = ϕ(a⊗ a′), com ϕ : Ap ⊗K Aq → Ap+q o produto sobre A∗.

Uma álgebra diferencial bigraduada (E∗,∗, d) é uma álgebra bigraduada, juntamente com uma apli-cação de grau total 1,

d :⊕p+q=n

Ep,q →⊕

r+s=n+1

Er,s

que satisfaz a regra de Leibniz

d(e · e′) = d(e) · e′ + (−1)p+qe · d(e′), ∀ e ∈ Ep,q, e′ ∈ Er,s. (2.25)

Exemplo 2.34. Podemos construir uma álgebra diferencial bigraduada a partir de duas álgebrasdiferenciais graduadas (A∗, d) e (B∗, d′) tomando E∗,∗ = A∗ ⊗ B∗ e definindo o diferencial d⊗


sobre E∗,∗ pela fórmula

d⊗(a⊗ b) = d(a)⊗ b+ (−1)deg aa⊗ d′(b). (2.26)

2.2.2 Seqüência espectral de álgebras sobre R

Nesta seção, a fim de definirmos uma seqüência espectral de álgebras sobre R, faremos umbreve resumo das definições dadas na Seção 2.2.1, para o caso em que R é um anel comutativocom identidade.

Definição 2.35. Sejam (A, dA) e (B, dB) módulos diferenciais graduados sobre R. O produto tenso-rial de R-módulos diferenciais graduados (A⊗R B, d⊗) é dado por

(A⊗R B)n =⊕p+q=n

Ap ⊗R Bq,

com d⊗(a⊗ b) = dA(a)⊗ b+ (−1)deg aa⊗ dB(b).Uma álgebra diferencial graduada sobre R é um módulo diferencial graduado (A, d) junto com

um morfismo de módulos diferenciais graduados

ψ : (A⊗R A, d⊗)→ (A, d)

para o qual os diagramas 2.21 e 2.22 comutam, expressando a associatividade e, caso exista, a propriedadede uma unidade em A0.

O produto tensorial de módulos diferenciais bigraduados sobre R é definido como segue. Da-dos (E∗,∗, dE) e (E∗,∗, dE) R-módulos diferenciais bigraduados, seja

(E ⊗R E)p,q =⊕

r+t=p,s+u=q

Er,s ⊗R Et,u,

com d⊗(e⊗ e) = dE(e)⊗ e+ (−1)r+se⊗ dE(e), sempre que e ∈ Er,s e e ∈ Et,u.Uma álgebra diferencial bigraduada sobre R é um módulo diferencial bigraduado (E∗,∗, d) junto

com um morfismo de álgebras diferenciais bigraduadas ψ : (E⊗E)∗,∗ → E∗,∗ para o qual os diagramasusuais comutam.

Assumindo os conceitos anteriores, estamos em condições de definir uma seqüência espectralde álgebras, como segue.

Definição 2.36. Uma seqüência espectral de álgebras sobreR é uma seqüência espectral {E∗,∗r , dr},junto com estruturas de álgebra ψr : Er ⊗R Er → Er, para cada r, tal que ψr+1 pode ser escrito comosendo a composição

ψ : Er+1 ⊗R Er+1 −→ H(Er)⊗H(Er)

p−→ H(Er ⊗ Er)H(ψr)−→ H(Er)

∼=−→ Er+1


onde o homomorfismo p é dado por p([u]⊗ [v]) = [u⊗ v]

Definição 2.37. Suponhamos que F ∗ seja uma filtração de uma álgebra graduada H∗, com produto ϕ.Dizemos que a filtração é estável com relação ao produto se

ϕ(F rH∗ ⊗ F sH∗) ⊂ F r+sH∗

Observação 2.38. Uma filtração F ∗ sobreH∗ que é estável com relação a um produto sobreH∗,induz uma estrutura de álgebra bigraduada sobre o módulo bigraduado associado E∗,∗0 (H∗).

Definição 2.39. Dizemos que uma seqüência espectral de álgebras {E∗,∗r , dr}, converge para umaálgebra graduada H∗, como uma álgebra graduada, se existe uma filtração estável sobre H∗ talque o termo E∞ da seqüência espectral é isomorfo, como uma álgebra bigraduada, à álgebra bigraduadaassociada, E∗,∗0 (H∗, F ∗).

Observação 2.40. Uma seqüência espectral de álgebras converge para H∗, como uma álgebragraduada, quando a estrutura de álgebra sobre E∗,∗∞ é isomorfa à estrutura de álgebra induzidasobre a álgebra bigraduada E∗,∗0 (H∗, F ∗), onde F ∗ é uma filtração estável de H∗.

Definição 2.41. Uma álgebra graduada H∗ é chamada álgebra graduada comutativa se

x · y = (−1)pqy · x, para todo x ∈ Hp e y ∈ Hq.

Nas aplicações em espaços topológicos, em geral, H∗ é uma álgebra graduada comutativa.Assim, introduzimos a noção análoga para álgebras bigraduadas.

Definição 2.42. Dizemos que uma álgebra bigraduada E∗,∗ é uma álgebra graduada comutativa, se

x · y = (−1)(r+s)(p+q)y · x, para todo x ∈ Ep,q e y ∈ Er,s.

Observação 2.43. Consideremos o funtor

Tot : Alg-Bigraduadas→ Alg-Graduadas, (2.27)

da categoria das álgebras bigraduadas com morfismos de bi-grau (0, 0), na categoria das álge-bras graduadas com morfismos de grau 0, dado por

(TotE∗,∗)n =⊕p+q=n

Ep,q,

chamado o complexo total e, denotado por Tot(E∗,∗) = {(TotE∗,∗)n;n ∈ Z}. Desde que amultiplicação sobre E∗,∗ determina uma aplicação Ep,r ⊗ Eq,s → Ep+q,r+s, se consideramos xe y pertencendo ao complexo total, a condição de comutatividade graduada de E∗,∗ é a mesma


comutatividade graduada para Tot(E∗,∗). Observamos também que TotE∗,∗0 (H∗) ∼= H∗, comoespaços vetoriais graduados, quando H∗ é filtrado.

AFIRMAÇÃO 2.44. Sejam A∗ e B∗ duas álgebras comutativas graduadas com produtos ϕ e ψ, respecti-vamente. Então, a álgebra bigraduada A∗ ⊗ B∗ do Exemplo 2.34 é uma álgebra bigraduada comutativa.

Demonstração. De fato, sejam ap ∈ Ap, aq ∈ Aq, br ∈ Br e bs ∈ Bs. Sabemos pelo Exemplo 2.34,que o produto em A∗ ⊗B∗ é dado por

Ψ((ap, bq), (ar, bs)) = ϕ(ap ⊗ (−1)rqar)⊗ψ(bq ⊗ bs).

Mas, os produtos ϕ e ψ são comutativos, então

ϕ(ap ⊗ (−1)rqar)⊗ψ(bq ⊗ bs) = (−1)prϕ((−1)rqar ⊗ ap)⊗ (−1)qsψ(bs ⊗ bq)

e, como ϕ é linear, segue que

(−1)prϕ((−1)rqar ⊗ ap)⊗ (−1)qsψ(bs ⊗ bq) = (−1)pr+rq+qsϕ(ar ⊗ ap)⊗ψ(bs ⊗ bq).

Agora, somando e subtraindo ps no expoente, obtemos

(−1)pr+rq+qsϕ(ar ⊗ ap)⊗ψ(bs ⊗ bq) = (−1)(p+q)(r+s)(−1)psϕ(ar ⊗ ap)⊗ψ(bs ⊗ bq).

Como ϕ é linear, segue que

(−1)(p+q)(r+s)(−1)psϕ(ar ⊗ ap)⊗ψ(bs ⊗ bq) = (−1)(p+q)(r+s)ϕ(ar ⊗ (−1)psap)⊗ψ(bs ⊗ bq).

Assim, da definição do produto Ψ, temos

(−1)(p+q)(r+s)ϕ(ar ⊗ (−1)psap)⊗ψ(bs ⊗ bq) = (−1)(p+q)(r+s)Ψ((ar ⊗ bs), (ap ⊗ bq)).

Segue o resultado.

São válidos os seguintes teoremas de existência da seqüência espectral de Leray-Serre parafibrações (para demonstração vide [32, Capítulo 5, Teoremas 5.1 e 5.2, pg. 134, 135]).

Teorema 2.45. (A Seqüência Espectral Homológica de Leray-Serre) Seja G um grupo abeliano.Dada uma fibração F ↪→E p→ B, onde B é conexo por caminhos e F é conexo, existe uma seqüênciaespectral do primeiro quadrante {Er∗,∗, dr}, convergindo para H∗(E;G), com

E2p,q∼= Hp(B;Hq(F ;G)), (2.28)

a homologia de B com coeficientes locais na homologia de F , a fibra de p. Além disso, essa seqüência énatural com relação a aplicações entre fibrações que preservem fibras.


Teorema 2.46. (A Seqüência Espectral Cohomológica de Leray-Serre) Seja R um anel comutativocom unidade. Dada uma fibração F ↪→E p→ B, onde B é conexo por caminhos e F é conexo, existe umaseqüência espectral do primeiro quadrante de álgebras, {E∗,∗r , dr}, convergindo para H∗(E;R) comouma álgebra, com

Ep,q2∼= Hp(B;Hq(F ;R)), (2.29)

a cohomologia de B com coeficientes locais na cohomologia de F , a fibra de p. Essa seqüência é naturalcom relação a aplicações entre fibrações que preservem fibras. Além disso, o produto cup ^ sobre acohomologia com coeficientes locais e o produto ·2 sobre E∗,∗2 estão relacionados pela fórmula:

u ·2 v = (−1)p′qu ^ v,

onde u ∈ Ep,q2 e v ∈ Ep′,q′

2 .

Com a introdução de algumas hipóteses adicionais, a seqüência espectral de Leray-Serre asso-ciada a uma fibração F ↪→E p→ B pode ser simplicada como segue: suponhamos que o sistemade coeficientes locais sobre B, determinado pela fibra F , seja trivial, onde B é conexo por ca-minhos e F é conexo. Então, segue do Teorema 2.46 que

Ep,02∼= Hp(B;H0(F ;R)) ∼= Hp(B;R)

E0,q2∼= H0(B;Hq(F ;R)) ∼= Hq(F ;R).

Note que Ep,02 e E0,q2 são ambos sub-álgebras da álgebra bigraduada E∗,∗2 . Nessas condições,

temos a seguinte

Proposição 2.47 (McCleary [32], Capítulo 5, Proposição 5.6, pg. 140). Quando restritos às sub-álgebras Ep,02 e E0,q

2 , a estrutura de produto na seqüência espectral E∗,∗2 coincide com a estrutura doproduto cup sobre H∗(B;R) e H∗(F ;R), respectivamente. Além disso, se para todo p, q, Hp(B;R) eHq(F ;R) forem R-módulos livres do tipo finito 1 e se o sistema de coeficientes locais sobre B for trivial,

E∗,∗2∼= H∗(B,R)⊗R H∗(F,R),

como uma álgebra bigraduada.

Observação 2.48. Consideremos uma fibração F ↪→E p→ B nas mesmas hipóteses anteriores.Então,

Ep,q2∼= Hp(B,Hq(F,R)) ∼= Hp(B,R)⊗R Hq(F,R).

Denotemos por ^ o produto cup em H∗(B;H∗(F ;R)), ^B o produto cup em H∗(B;R) e

1Vide Apêndice, Definição A.18


por ^F o produto cup em H∗(F ;R). Assim,

(a⊗ b) ^ (c⊗ d) = (a ^B c)⊗ (b ^F d), (2.30)

onde a ∈ Hp(B;R), b ∈ Hq(F ;R), c ∈ Hp′(B;R) e d ∈ Hq′(F ;R). Deste modo,

(a⊗ b) ·2 (c⊗ d) = (−1)(deg c)(deg b)(a⊗ b) ^ (c⊗ d) (2.31)

= (−1)(deg c)(deg b)(a ^B c)⊗ (b ^F d).

Em particular, se b = 1 ∈ H0(B;R) ou c = 1 ∈ H0(F ;R), temos

(a⊗ 1) ·2 (c⊗ d) = (a ^B c)⊗ d = (a⊗ 1) ^ (c⊗ d) (2.32)

(a⊗ b) ·2 (1⊗ d) = a⊗ (b ^F d) = (a⊗ b) ^ (1⊗ d)

Teorema 2.49. Seja Fi↪→ E

π→ B uma fibração com B conexo por caminhos e F conexo, para a qual osistema de coeficientes locais sobre B é trivial. Então, as composições

Hq(B;R) = Eq,02 � Eq,03 � · · ·

� Eq,0q � Eq,0q+1 = Eq,0∞ ⊂ Hq(E;R) e

Hq(E;R)� E0,q∞ = E0,q

q+1 ⊂ E0,qq · · · ⊂ E

0,q2 = Hq(F ;R)

são os homomorfismos π∗ : Hq(B;R)→ Hq(E;R) e i∗ : Hq(E;R)→ Hq(F ;R).

2.3 Álgebra Exterior e Álgebra de Hopf

Definição 2.50. SejaR um anel comutativo com identidade. A Álgebra Exterior ΛR[α1, α2, . . .] sobreR é o R-módulo livre cuja base são os produtos finitos αi1 . . . αik , onde i1 < . . . < ik, com multiplicaçãodefinida pelas regras:

αiαj = −αjαi e α2i = 0,

a segunda relação sendo um caso especial da primeira, se 2 6= 0 em R. O produto vazio dos α′is épermitido e fornece um elemento identidade 1 em ΛR[α1, α2, . . .].

Definição 2.51. Uma Álgebra de Hopf é uma álgebra graduada 2 A = ⊕n≥0An sobre um anel

comutativo com identidade R, satisfazendo as seguintes condições:

(i) existe um elemento identidade 1 ∈ A0, tal que a função R→ A0 dada por r 7→ r.1 é um isomorfismo.

(ii) existe um homomorfismo de álgebras graduadas, ∆ : A→ A⊗RA, chamado aplicação diagonal ou

2Vide Seção 2.2.2.

2.3 Álgebra Exterior e Álgebra de Hopf 39

co-produto, satisfazendo para cada α ∈ An, n > 0, e α′j , α′′j ∈ Aj :

∆(α) = α⊗ 1 + 1⊗ α+∑

0<i<n

α′i ⊗ α′′n−i, onde |α′j | = j = |α′j |,

onde ⊗ significa ⊗R. A multiplicação em A⊗A é dada pela fórmula:

(α⊗ β)(γ ⊗ δ) = (−1)jk(αγ ⊗ βδ), onde β ∈ Aj e γ ∈ Ak.

Observação 2.52. Em geral, em uma álgebra de Hopf, a multiplicação não é associativa oucomutativa, no sentido graduado.

Apresentamos as seguir exemplos de álgebras de Hopf3.

Exemplo 2.53. Um dos exemplos mais simples de uma álgebra de Hopf é o anel de polinômiosR[α], onde R é um anel comutativo com identidade. O co-produto ∆(α) dever ser igual aα⊗1+1⊗α, desde que os únicos elementos deR[α] de dimensão menor do que a dimensão deα são os elementos deR em dimensão zero, então os termos α′i e α′′n−i na fórmula do co-produto∆(α) = α⊗ 1 + 1⊗ α+

∑0<i<n α

′i ⊗ α′′n−i devem ser zero.

Exemplo 2.54. A álgebra exterior ΛR[α] sobre um gerador α na dimensão ímpar é uma álgebrade Hopf, com ∆(α) = α⊗ 1 + 1⊗ α.

Exemplo 2.55. Dados um espaço topológico X e R um anel comutativo com identidade, pode-mos considerar o anel de cohomologia H∗(X;R) como uma álgebra sobre R, em vez de sim-plesmente considerá-lo como um anel. Suponhamos que X seja um H-espaço4 satisfazendo asseguintes condições:

(i) X é conexo por caminhos, logo H0(X;R) ∼= R.

(ii) Hn(X;R) é um R-módulo livre finitamente gerado, para cada n. Então, o produto cross

H∗(X;R)⊗R H∗(X;R)→ H∗(X ×X;R)

é um isomorfismo. A multiplicação µ : X × X → X induz uma aplicação µ∗ : H∗(X;R) →H∗(X ×X;R), que quando combinada com o produto cross em (ii), produz uma aplicação:

∆ : H∗(X;R)µ∗−→ H∗(X ×X;R) −→ H∗(X;R)⊗R H∗(X;R)

onde a segunda seta denota a inversa do produto cross. ∆ é um homomorfismo de álgebras,desde que µ∗ e o produto cross são homomorfismos de álgebras. A propriedade chave da

3Detalhes podem ser encontrados em [24], Capítulo 3, exemplos 3C.1 e 3C.2.4Um espaço topológico X é um H-espaço se existe uma multiplicação contínua µ : X ×X → X e um elemento

e ∈ X tal que as aplicações X → X dadas por x 7→ µ(x, e) e x 7→ µ(e, x) são homotópicas à aplicação identidade.


aplicação ∆5 é que para qualquer α ∈ Hn(X;R), com n > 0:

∆(α) = α⊗ 1 + 1⊗ α+∑

0<i<n

α′i ⊗ α′′n−i, onde |α′j | = j = |α′j |.

Portanto, H∗(X;R) é uma álgebra de Hopf associativa e comutativa.

5Para demonstração, vide [24], p. 283.

Capítulo

3Cálculo do anel de cohomologia doespaço de órbitas de Zp-ações livres

sobre produtos de esferas

O objetivo principal deste capítulo é apresentar um estudo detalhado da estrutura do anelde cohomologia do espaço de órbitas de grupos de transformações livres do produto de duasesferas Sm × Sn, no caso específico em que o grupo G = Zp, com p um primo ímpar. O cálculodo anel de cohomologia de tais espaços foi desenvolvido por R. M. Dotzel, T. B. Singh e S. P.Tripathi no artigo The cohomology Rings of the Orbit Spaces of Free Transformation Groups of theProduct of Two Spheres [14], também para os casos G = Z2 e G = S1.

Na Seção 3.1, introduzimos os pré-requisitos necessários para a demonstração do teoremaprincipal deste capítulo. Na Seção 3.2, descrevemos os cálculos detalhadados dos resultadosprovados em [14], quando G = Zp, com p um primo ímpar. Na Seção 3.3, enunciamos asversões do Teorema principal nos casos em que G = Z2 e G = S1. Em todo este capítuloestaremos considerando espaços topológicos paracompactos Hausdorff.

3.1 Preliminares

Nesta seção, apresentamos alguns conceitos e resultados sobre a teoria de grupos de trans-formações necessários para a demonstração dos teoremas principais deste capítulo. O conceitode espaço finitístico foi introduzido por Richard G. Swan, no artigo A New Method in FixedPoint Theory [44], em seu estudo de teoria de ponto fixo. Tais espaços têm se mostrado bastanteúteis na teoria de cohomologia de grupos de transformação (Vide [8], [21] e [23]). Propriedadesconhecidas de tais espaços serão assumidas aqui e podem ser encontradas nos seguintes tra-balhos: On Certain Constructions in Finitistic Spaces de Satya Deo e Mohan Singh [18], CompactLie Group Actions on Finitistic Spaces de Satya Deo e Hari Shankar Tripathi [19], On Finitistic

42 Cálculo do anel de cohomologia do espaço de órbitas de Zp-ações livres

Spaces and Related Notions de Satya Deo and Janak Singh Andotra [20] e Cohomology ProjectiveSpaces of Finite Cohomological Dimension need not be finitistic de Satya Deo [22]. Alguns resultadosconhecidos sobre a estrutura do anel de cohomologia do conjunto dos pontos fixos pela açãode um grupo finito sobre espaços finitísticos, provados por Bredon em Introduction to CompactTransformation Groups [8] e fatos relacionados com ações de um grupo cíclico de ordem primap sobre o anel de cohomologia de espaços que possuem a mesma cohomologia módulo p queum produto de esferas provados por J. C. SU em Periodic Transformations on the Product of TwoSpheres [43], são apresentados sem demonstração.

Definição 3.1. Seja U = {Uλ}λ∈Λ uma família de subconjuntos de um espaço topológico X . A ordemde U , denotada por ord U , é o maior inteiro n tal que a família U contém n elementos com intersecçãonão vazia. Dizemos que uma família U possui ordem finita se ord U = n, para algum n. Se tal inteironão existe, dizemos que a família U possui ordem∞.

Observação 3.2. Observemos que se a ordem de uma família U = {Uλ}λ∈Λ é igual a n, entãopara cada n + 1 índices distintos λ1, λ2, . . . , λn+1 ∈ Λ temos Uλ1 ∩ Uλ2 ∩ . . . ∩ Uλn+1 = ∅. Emparticular, uma família de ordem−1 consiste apenas do conjunto vazio e uma família de ordem0 consiste de conjuntos dois a dois disjuntos que não são todos vazios.

Definição 3.3. Um espaço topológico X possui dimensão topológica menor ou igual a n e escrevemosdimX ≤ n, onde n ≥ 0, se toda cobertura aberta U de X pode ser refinada por uma cobertura abertaV de X de ordem ord V ≤ n + 1. Se dimX ≤ n e se a afirmação dimX ≤ n − 1 for falsa, dizemosque X possui dimensão finita e escrevemos dimX = n. Se a afirmação dimX ≤ n for falsa, para todon, dizemos que X possui dimensão infinita e escrevemos dimX =∞. Para o conjunto vazio, definimosdim ∅ = −1.

Definição 3.4. Dizemos que um espaço topológicoX é finitístico (Vide [8], p.133) se satisfaz a condiçãode Swan, ou seja, se toda cobertura aberta de X possui um refinamento aberto com ordem finita.

Observação 3.5. Todos os espaços compactos e todos os espaços de dimensão finita (no sentidode dimensão topológica) são espaços finitísticos, assim como subespaços fechados de um espaçofinitístico.

Definição 3.6. Dado um G-espaço X , um ponto x ∈ X é chamado ponto fixo pela ação de G se Gx =

{x}. O subespaço de todos os pontos fixos pela ação de G sobre X será denotado por

XG = {x ∈ X; gx = x, ∀g ∈ G}. (3.1)

Lema 3.7. [Bredon, [8], Capítulo VII, Proposição 1.1, p. 371] Sejam G = Zp, onde p é primo, eϕ : XG → X/G a induzida da projeção equivariante X × EG → X entre os espaços de órbitas. Então,

ϕ∗ : Hk(X/G,A/G ∪XG)→ Hk(XG, AG ∪ (XG)G)

é um isomorfismo, para coeficientes arbitrários e para qualquer subespaço fechado invariante A ⊂ X .Este resultado também é válido para G = S1 e coeficientes racionais.

3.1 Preliminares 43

Lema 3.8. [Bredon, [8], Capítulo VII, Teorema 1.5, p. 374] Suponhamos que p seja primo e queG = Zp atue sobre um espaço finitístico X . Seja A ⊂ X um subespaço fechado e invariante tal queH i(X,A;Zp) = {0}, para i > n. Então,

j∗ : Hk(XG, AG;Zp)→ Hk((XG)G, (XG)G ∩AG;Zp)

é um isomorfismo, para k > n.

Lema 3.9 (Bredon, [8], Capítulo III, Teorema 7.10, p. 145). Seja X um G-espaço finitístico, onde Gé um grupo cíclico de ordem prima p. Se rk[H i(X;Zp)]1 <∞, ∀i ≥ 0, e se as características de Euler 2

estiverem definidas em termos da cohomologia de Cech módulo p, então:

χ(X) + (p− 1)χ(XG) = p.χ(X/G).

Lema 3.10 (Bredon [8], Capítulo VII, Teorema 1.6, p. 374). Seja G = Zp, onde p é primo, agindosobre um espaço finitístico X . Suponhamos que

∑i≥0 rk[H i(X;Zp)] < ∞. Então, as seguintes afir-

mações são equivalentes:

(1) G = Zp age trivialmente sobre H∗(X;Zp) e a sequência espectral de Leray Serre associada à fibraçãoX ↪→ XG

π−→ BG colapsa no E2-termo 3, com Er,q2 = Hr(BG; Hq(X;Zp))⇒ Hr+q(XG;Zp).

(2)∑

i≥0 rk[H i(XG;Zp)] =∑

i≥0 rk[H i(X;Zp)], onde XG denota o subespaço dos pontos fixos pelaação de G = Zp sobre X .

Os dois lemas a seguir foram provados por J. C. Su em [43]. Seja X um espaço paracom-pacto4 (ou compacto Hausdorff) que possui a mesma cohomologia módulo p que um produtode esferas Sm × Sn e G = Zp, o grupo cíclico de ordem prima p.

Definição 3.11. Um espaço topológico é do tipo finito se Hi(X;Z) for finitamente gerado, para todo i.

Lema 3.12 (J. C. Su [43], Seção 4, p. 376). Se H∗(X;Z) for do tipo finito, então G = Zp age trivial-mente sobre H∗(X;Zp) somente se p = 2 ou p = 3.

Lema 3.13 (J. C. Su [43], Teorema 4.7, p. 378). Suponhamos que H∗(X;Z) seja do tipo finito. Sep = 3 e se G = Z3 age não trivialmente sobre H∗(X;Z3), então XG = ∅.

De agora em diante, denotaremos por X ∼p Sm × Sn um espaço finitístico 5 com anel decohomologia módulo p isomorfo a um produto de esferas Sm × Sn, o qual admite ação dogrupo G = Zp, com p primo. Seja XG o subespaço dos pontos fixos pela ação de G = Zp sobreX . As proposições provadas a seguir serão usadas nas demonstrações dos teoremas principaisdeste capítulo.

1Como p é primo, Zp é corpo e rk denota o rank ou a dimensão do espaço vetorial Hi(X;Zp), ∀i ≥ 0.2Vide Apêndice A, Definição A.22.3Vide Definição 2.234Vide Apêndice A, Seção A.75Vide Definição 3.4


Proposição 3.14. SeG = Zp age trivialmente sobre H∗(X;Zp) e se a sequência espectral de Leray-Serreassociada à fibração X ↪→ XG

π−→ BG colapsa no E2-termo, então∑

i≥0 rk[H i(XG;Zp)] = 4.

Demonstração. De fato, como o anel de cohomologia de X é isomorfo ao anel de cohomologiade um produto de esferas Sm × Sn, temos

Hq(X;Zp) ∼= Hq(Sm × Sn;Zp) =

m 6= n

Zp, se q = 0, q = m, q = n, q = m+ n

0, caso contrário

m = n

Zp ⊕ Zp, se q = m

Zp, se q = 0, q = m+ n

0, caso contrário

Assim, para m 6= n, temos∑i≥0

rk[H i(X,Zp)] = rk[H0(X;Zp)] + rk[Hm(X;Zp)] + rk[Hn(X;Zp)] + rk[Hm+n(X;Zp)]

= rk[Zp] + rk[Zp] + rk[Zp] + rk[Zp]

= 1 + 1 + 1 + 1 = 4.

No caso em que m = n, temos:∑rk[H i(X,Zp)] = rk[H0(X;Zp)] + rk[Hm(X;Zp)] + rk[Hm+n(X;Zp)]

= rk[Zp] + rk[Zp ⊕ Zp] + rk[Zp]

= 1 + 2 + 1 = 4.

Em qualquer desses casos,∑

i≥0 rk[H i(X,Zp)] < ∞. Agora, como por hipótese G = Zp agetrivialmente sobre H∗(X;Zp) e a sequência espectral de Leray-Serre associada à fibração X ↪→XG

π−→ BG colapsa no E2-termo, com Er,q2 = Hr(BG; Hq(X;Zp)) ⇒ Hr+q(XG;Zp), segue doLema 3.10, que ∑

i≥0

rk[H i(XG,Zp)] =∑i≥0

rk[H i(X,Zp)] = 4.

Proposição 3.15. Se m e n são pares e se p > 2, então XG 6= ∅.

Demonstração. Suponhamos que XG = ∅. Nesse caso, temos χ(XG) = 0 e desde que χ(X) =∑i≥0 rk[Hi(X;Zp)] = 4, segue do Lema 3.9 que

χ(X) + (p− 1)χ(XG) = p.χ(X/G),

3.1 Preliminares 45

ou seja, p.χ(X/G) = 4. Assim, p divide 4, o que é uma contradição, desde que p > 2 é primo.Portanto, XG 6= ∅.

Proposição 3.16. Seja p > 2 e suponhamos que H∗(X;Z) seja do tipo finito e que G = Zp age nãotrivialmente sobre H∗(X;Zp). Então, p = 3 e XG 6= ∅.

Demonstração. Segue do Lema 3.12 que, se H∗(X;Z) é do tipo finito, Zp pode agir não trivial-mente sobre H∗(X;Zp) somente se p = 2 ou p = 3. Assim, concluímos que p = 3. Mais ainda,como G = Z3 age não trivialmente sobre H∗(X;Z3) e H∗(X;Z) é do tipo finito, segue do Lema3.13 que XG 6= ∅.

Proposição 3.17 (Bredon [8], Capítulo 7, Corolário 7.5, pg. 407). Se p = 2 e G = Z2 age nãotrivialmente sobre H∗(X;Z2), então m = n, XG 6= ∅ e XG ∼2 S

n.

Observação 3.18. Desde que, para p ≥ 2, G = Zp é um grupo topológico discreto, temosπ0(G) ∼= G e πi(G) = {0}, ∀i > 0. Assim, π1(BG) ∼= G e πi(BG) = {0}, ∀i 6= 1. Segue queBG tem o mesmo tipo de homotopia de um espaço de Eilenberg-Mac Lane6 do tipo K(G, 1)

e EG é o seu espaço de recobrimento universal.7 Por outro lado, temos do Exemplo 1.50 e de[24, Capítulo 3, Exemplo 3E2, p. 304] que:

H∗(BG;Zp) =

{Zp[t], se deg t = 1, p = 2;

∧(s)⊗ Zp[t], se deg s = 1, t = β(s), p > 2;

onde β é o homomorfismo de Bockstein 8 em cohomologia associado à seqüência

0→ Zp → Zp2 → Zp → 0

e ∧(s) = ∧Zp(s) é uma álgebra exterior 9. Em outras palavras, para p > 2, s ∈ H1(BG;Zp),β(s) = t ∈ H2(BG;Zp) e a estrutura deste anel de cohomologia10, para cada k ≥ 0, é dada por:

Hk(BG;Zp) =

{sti, se k = 2i+ 1

ti, se k = 2i.

Para o cálculo do anel de cohomologia do espaço de órbitas X/G é preciso conhecer a es-trutura do anel de cohomologia do espaço X ∼p Sm × Sn, a qual é dada no exemplo a seguir.

Exemplo 3.19. Sejam p ≥ 2 e X ∼p Sm × Sn. Então, o anel de cohomologia de X possui a

6Vide Apêndice A, Definição A.23.7Vide McCleary [32], Observação (3), pg. 212.8Vide Apêndice A, Seção A.5.9Vide Apêndice A, Seção 2.3, Definição 2.50 e Exemplos 2.53 e 2.54.

10Onde o produto do anel é o produto cup.


seguinte estrutura (Vide Hatcher [24], Capítulo 3, Exemplo 3.18, p. 220.):

H∗(X,Zp) ∼=

m ímpar, n ímpar{∧(v1, v2), onde deg(v1) = m e deg(v2) = n,

m ímpar, n par{∧(v1)⊗ Zp[v2]

(v22)

, onde deg(v1) = m e deg(v2) = n,

m par, n ímpar{

Zp[v1]

(v21)⊗ ∧(v2), onde deg(v1) = m e deg(v2) = n,

m par, n par{

Zp[v1]

(v21)⊗ Zp[v2]

(v22)

, onde deg(v1) = m e deg(v2) = n.

3.2 O anel de cohomologia do espaço X/G

Por simplicidade de notação, nesta seção Hq denotará o q-ésimo R-módulo de cohomologia deCech dos espaços em questão.

Teorema 3.20. Sejam G = Zp, onde p é um primo ímpar, agindo livremente sobre um espaço finitísticoX ∼p Sm × Sn, 0 < m ≤ n. Suponhamos que H∗(X;Z) seja do tipo finito. Então, H∗(X/G;Zp) éisomorfo a Zp[x, y, z]/φ(x, y, z), como uma álgebra graduada comutativa 11, onde φ(x, y, z) é um dosseguintes ideais graduados:

(i) (x2, y(m+1)/2, z2), m ímpar, deg x = 1, y = β(x), deg z = n;

(ii) (x2, y(m+n+1)/2, y(n−m+1)/2z − ay(n+1)/2, z2 − bym), m par, n ímpar, deg x = 1, y = β(x),deg z = m, a, b ∈ Zp, com a = 0, necessariamente quando n < 2m;

(iii) (x2, y(n+1)/2, z2 − bym), n ímpar, deg x = 1, y = β(x), deg z = m, b ∈ Zp, com b 6= 0, somentequando m for par e 2m < n,

onde β é o homomorfismo de Bockstein 12 em cohomologia associado à seqüência

0→ Zp → Zp2 → Zp → 0.

Demonstração. Consideremos a fibração de Borel13

Xı↪→ XG

π−→ BG

associada ao G-fibrado universal 14 EG → BG, com BG = EG/G, onde G = Zp. Segue doTeorema 2.46, que existe uma seqüência espectral do primeiro quadrante de álgebras {E∗,∗r , dr}

11Vide Capítulo 2, Sub-seção 2.2.1, Definição 2.4112Vide Apêndice A, SeçãoA.5.13Vide Capítulo 1, Definição 1.54.14Vide Capítulo 1, Definição 1.39

3.2 O anel de cohomologia do espaço X/G 47

convergindo para H∗(XG,Zp) como uma álgebra, com

Ek,l2∼= Hk(BG;Hl(X;Zp)),

a cohomologia de BG com coeficientes locais na cohomologia de X , a fibra de π. Além disso,o produto cup ^ sobre a cohomologia com coeficientes locais e o produto ·2 sobre E∗,∗2 estãorelacionados pela fórmula:

u ·2 v = (−1)k′lu ^ v, onde u ∈ Ek,l2 e v ∈ Ek

′,l′

2 .

Agora, a ação de G = Zp sobre X é livre, logo XG = ∅ e como H∗(X,Z) é do tipo finito e p > 2,usando a contrapositiva da Proposição 3.16, concluímos que G = Zp age trivialmente sobreH∗(X;Zp). Temos ainda da Observação 3.18 que π1(BG) ∼= Zp, assim π1(BG) age trivialmentesobreH∗(X;Zp) e segue da Proposição 2.10 que o sistema de coeficientes locaisHl(X;Zp) sobreBG é trivial, para todo l ≥ 0. Mais ainda, desde que pela Observação 3.18, H∗(BG;Zp) tambémé do tipo finito, da Proposição 2.47 temos

Ek,l2∼= Hk(BG,Zp)⊗Zp H

l(X,Zp).

Por outro lado, para a ∈ Hk(BG;Zp), b ∈ H l(X;Zp), c ∈ Hk′(BG;Zp) e d ∈ H l′(X;Zp), temosda Observação 2.48 que

(a⊗ b) ^ (c⊗ d) = (a ^BG c)⊗ (b ^X d) e, conseqüentemente,

(a⊗ b) ·2 (c⊗ d) = (−1)(deg c)(deg b)(a ^BG c)⊗ (b ^X d).

Em particular, se b = 1 ∈ H0(BG;Zp) ou c = 1 ∈ H0(X;Zp) temos

(a⊗ 1) ·2 (c⊗ d) = (a ^BG c)⊗ d = (a⊗ 1) ^ (c⊗ d)

(a⊗ b) ·2 (1⊗ d) = a⊗ (b ^X d) = (a⊗ b) ^ (1⊗ d).

Observação 3.21. Se a⊗ b ∈ Ek,l2∼= Hk(BG,Zp)⊗Zp H

l(X,Zp), então

a⊗ b = (a ^BG 1)⊗ (1 ^X b)

= (a⊗ 1) ^ (1⊗ b)

= (a⊗ 1) ·2 (1⊗ b).

Usando novamente o fato de que XG = ∅, temos da Proposição 3.15 que m e n não sãoambos pares. Além disso, como Hk(XG;Zp) = {0}, para todo k, temos∑

k≥0

rkHk(XG,Zp) = 0


e como Zp age trivialmente sobre H∗(X;Zp), segue da contrapositiva da Proposição 3.14, quea seqüência espectral de Leray-Serre {E∗,∗r , dr} associada à à fibração X ↪→ XG

π−→ BG, con-vergindo para H∗(XG,Zp), não colapsa no E2-termo15. Assim, seja r ≥ 2 o menor inteiro talque dr 6= 0.

Observemos que, como as únicas linhas não nulas no termo Ek,l2 da seqüência espectral sãol = 0,m, n,m+ n, então dr pode ser diferente de zero apenas nos seguintes casos:

r = m+ 1 ou r = n−m+ 1 ou r = n+ 1 ou r = m+ n+ 1.

Mostraremos mais adiante, na Observação 3.25, que dr = 0, para r = m+ n+ 1. Deste modo, ademonstração do Teorema 3.20 será dividida em três casos:

1o Caso: quando r = m+ 1, obteremos o Teorema 3.20 (i).

2o Caso: quando r = n−m+ 1, obteremos o Teorema 3.20 (ii) .

3o Caso: quando r = n+ 1, obteremos o Teorema 3.20 (iii).

Antes de iniciarmos a demonstração de cada um dos casos acima, discutiremos algumaspropriedades gerais válidas para r ≥ 2, decorrentes das propriedades multiplicativas da se-qüência espectral {E∗,∗r , dr}, onde r é o menor inteiro tal que dr 6= 0.

A partir de agora, com o objetivo de esclarecer todos os passos da demonstração do teo-rema, serão apresentadas diversas observações e afirmações relevantes ao longo da prova.

Observação 3.22. Se r ≥ 2 é o menor inteiro tal que dr 6= 0, então

E∗,∗2 = E∗,∗3 = E∗,∗4 = · · · = E∗,∗r ,

como álgebras bigraduadas.

Demonstração. De fato, como r ≥ 2 é o menor inteiro tal que dr 6= 0, para todo 2 ≤ s ≤ r − 1,temos ds = 0. Assim, segue que

Ek,ls+1 = H(Ek,ls ) = ker(dk,ls )/ Im(dk−s,l−1+ss ) = Ek,ls /{0} = Ek,ls = · · · = Ek,l2 .

Observação 3.23. Desde que Ek,l2∼= Hk(BG,Zp)⊗ZpH

l(X,Zp), das Observações 3.18, 3.22 e do

15Vide Definição 2.23.


Exemplo 3.19, podemos escrever

Ek,lr = Ek,l2 =

m 6= n

< st(k−1)/2 > ⊗ < w >∼= Zp, se k for ímpar, k ≥ 0.

< tk/2 > ⊗ < w >∼= Zp, se k for par, k ≥ 0.

w = 1, se l = 0.

w = v1, se l = m.

w = v2, se l = n.

w = v1 ^X v2 = v3 6= 0, se l = m+ n.

m = n

< st(k−1)/2 > ⊗ < w >∼= Zp, se k for ímpar, k ≥ 0.

< tk/2 > ⊗ < w >∼= Zp, se k for par, k ≥ 0.

w = 1, se l = 0.

w = v1 ^X v2 = v3 6= 0, se l = m+ n.

< st(k−1)/2 > ⊗ < v1, v2 >∼= Zp ⊕ Zp, se k for ímpar, l = m = n.

< tk/2 > ⊗ < v1, v2 >∼= Zp ⊕ Zp, se k for par, l = m = n.

Observação 3.24. Seja a⊗ b ∈ Ek,lr = Ek,l2 6= 0 e r ≥ 2. Então,

dk,lr (a⊗ b) = (−1)ka⊗ 1 ^ d0,lr (1⊗ b).

Conseqüentemente, se dk,lr 6= 0 para algum k > 0, então d0,lr 6= 0.

Demonstração. De fato, segue das propriedades de álgebra diferencial bigraduada da seqüênciaespectral que s

dk,lr (a⊗ b) = dk,lr [(a⊗ 1) ·2 (1⊗ b)] (Obs. 3.21)

= dk,0r (a⊗ 1) ·2 (1⊗ b) + (−1)k(a⊗ 1) ·2 d0,lr (1⊗ b) (Def. 2.33)

= dk,0r (a⊗ 1) ^ (1⊗ b) + (−1)k(a⊗ 1) ^ d0,lr (1⊗ b) (Obs. 2.48).

Por outro lado, dk,0r (a⊗ 1) ∈ Ek+r,1−rr = Ek+r,1−r

2 = 0, então

dk,lr (a⊗ b) = (−1)ka⊗ 1 ^ d0,lr (1⊗ b),

Dessa forma, se dk,lr 6= 0 para algum k > 0, então d0,lr 6= 0.

Observação 3.25. Se r ≥ 2 é o menor inteiro tal que dr 6= 0, então r 6= m+ n+ 1.

Demonstração. Se r = n+m+ 1, então pela Observação 3.24 temos d0,n+mn+m+1 6= 0 e, como

d0,n+mn+m+1 : E0,n+m

n+m+1∼= Zp → En+m+1,0

n+m+1∼= Zp,


logo d0,n+mn+m+1 é um isomorfismo. Escolhendo 0 6= v1 ∈ Hm(X;Zp) e 0 6= v2 ∈ Hn(X;Zp) tais

que 0 6= v1 ^X v2 ∈ Hn+m(X;Zp), temos

0 6= 1⊗ (v1 ^X v2) ∈ E0,n+m2 = E0,n+m

n+m+1.

Assim, das propriedades de álgebra diferencial bigraduada da seqüência espectral e da Obser-vação 3.24, temos

0 6= d0,n+mn+m+1[1⊗ (v1 ^X v2)] = d0,n+m

n+m+1(1⊗ v1 ^ 1⊗ v2)

= d0,mn+m+1(1⊗ v1) ^ 1⊗ v2 + (−1)m1⊗ v1 ^ d0,n

n+m+1(1⊗ v2).

Por outro lado,

d0,mn+m+1(1⊗ v1) ∈ En+m+1,−n

n+m+1∼= En+m+1,−n

2 = 0,

d0,nn+m+1(1⊗ v2) ∈ En+m+1,−m

n+m+1∼= En+m+1,−m

2 = 0.

Deste modo, d0,mn+m+1(1⊗ v1) = d0,n

n+m+1(1⊗ v2) = 0. Portanto,

d0,n+mn+m+1[1⊗ (v1 ^X v2)] = 0,

o que é uma contradição. Logo, r 6= n+m+ 1.

Observação 3.26. Da Observação 3.24, temos

d0,mr 6= 0 ou d0,n

r 6= 0 ou d0,m+nr 6= 0,

com r = m+ 1 ou r = n−m+ 1 ou r = n+ 1. Como

d0,m+nr (1⊗ (v1 ^X v2)) = d0,m+n

r (1⊗ v1 ^ 1⊗ v2)

= d0,mr (1⊗ v1) ^ 1⊗ v2 + (−1)m1⊗ v1 ^ d0,n

r (1⊗ v2),

não podemos ter

d0,m+nr (1⊗ (v1 ^X v2)) 6= 0 e d0,m

r (1⊗ v1) = 0 = d0,nr (1⊗ v2)

Assim, d0,mr (1⊗ v1) 6= 0 ou d0,n

r (1⊗ v2) 6= 0.

Agora, iniciaremos as demonstrações dos casos específicos listados anteriormente.


Demonstração do 1o Caso: quando r = m+ 1, obteremos o Teorema 3.20 (i).

Neste caso, assumiremos r = m + 1 ≥ 2 como sendo o menor inteiro tal que dr 6= 0. Emparticular, temos que d0,m

m+1 6= 0 e d0,mm+1(1⊗ v1) 6= 0.

AFIRMAÇÃO 3.27. O inteiro m deve ser ímpar.

Demonstração. De fato, como n e m não são ambos pares, se n = 2m ou n = m, segue que m éímpar. Se n 6= 2m e n 6= m, então também temosm+n 6= 2m. Logo, E0,2m

m+1 = E0,2m2 = 0. Assim,

0 = d0,2mm+1(1⊗ v1 ^X v1)

= d0,2mm+1(1⊗ v1 ^ 1⊗ v1)

= d0,mm+1(1⊗ v1) ^ 1⊗ v1 + (−1)m1⊗ v1 ^ d0,m

m+1(1⊗ v1). (3.2)

Por outro lado,

d0,mm+1(1⊗ v1) ^ 1⊗ v1 = (−1)(m+1)m1⊗ v1 ^ d0,m

m+1(1⊗ v1) (m+1)m é par

= 1⊗ v1 ^ d0,mm+1(1⊗ v1). (3.3)

Se m for par, podemos escrever d0,mm+1(1 ⊗ v1) = stm/2 ⊗ 1, pois stm/2 ⊗ 1 é um gerador de

Em+1,02 = Em+1,0

m+1∼= Zp e d0,m

m+1 é um isomorfismo. Além disso, combinando as fórmulas (3.2) e(3.3), temos:

0 = 2(1⊗ v1 ^ d0,mm+1(1⊗ v1))

= 2(1⊗ v1 ^ stm/2 ⊗ 1)

= 2(stm/2 ⊗ v1),

o que é uma contradição, desde que stm/2 ⊗ v1 é um gerador de Em+1,mm+1 = Em+1,m

2∼= Zp e Zp

não possui elemento não nulo de ordem 2. Segue que m é ímpar.

Agora, vamos analisar dois sub-casos do caso r = m+ 1, que são m 6= n e m = n.

Sub-caso: m 6= n.

AFIRMAÇÃO 3.28. Se n 6= m, então

(a) os diferenciais dk,nm+1 : Ek,nm+1 → Ek+m+1,n−mm+1 são triviais, para todo k ≥ 0. Em particular,

d0,nm+1(1⊗ v2) = 0.

(b) os diferenciais

dk,mm+1 : Ek,mm+1 → Ek+m+1,0m+1

dk,m+nm+1 : Ek,m+n

m+1 → Ek+m+1,nm+1 ,


são isomorfismos, para todo k ≥ 0.

Demonstração. De fato, como n 6= m, n−m 6= 0 e, assim, Ek+m+1,n−mm+1 = 0, o que prova (a).

Por outro lado, se n 6= m, desde que d0,mm+1 6= 0, segue que d0,m

m+1 é um isomorfismo de Zp emZp. Pela Observação 3.27, sendo m ímpar, podemos escrever

d0,mm+1(1⊗ v1) = t(m+1)/2 ⊗ 1, pois

Im(d0,mm+1) = Em+1,0

m+1 = Em+1,02

∼= Hm+1(BG;Zp)⊗H0(X;Zp) ∼= Zp,

com t(m+1)/2 ⊗ 1 gerador de Em+1,02 . Assim, para todo k ≥ 0 temos

dk,mm+1(ζk ⊗ v1) = (−1)kζk ⊗ 1 ^ t(m+1)/2 ⊗ 1

= (−1)k(ζk ^ t(m+1)/2)⊗ 1,

onde ζk é um gerador de Hk(BG;Zp). Deste modo,

dk,mm+1(ζk ⊗ v1) =

{(−1)k(st(k−1)/2 ^BG t

(m+1)/2)⊗ 1, se k for ímpar.(−1)k(tk/2 ^BG t

(m+1)/2)⊗ 1, se k for par.

Portanto,

0 6= dk,mm+1(ζk ⊗ v1) =

{(−1)kst(k+m)/2 ⊗ 1, se k for ímpar.(−1)kt(k+m+1)/2 ⊗ 1, se k for par.

Como, ∀ k ≥ 0, Ek,mm+1 = Ek,m2∼= Zp, Ek+m+1,0

m+1 = Ek+m+1,02

∼= Zp e dk,mm+1 6= 0, concluímos que

dk,mm+1 : Ek,mm+1 → Ek+m+1,0m+1 ,

é um isomorfismo, para todo k ≥ 0.

Agora, para ζk ⊗ v3 = ζk ⊗ (v1 ^X v2) gerador de Ek,m+nm+1 = Ek,m+n

2 , temos

dk,m+nm+1 (ζk ⊗ (v1 ^X v2)). = (−1)kζk ⊗ 1 ^ d0,m+n

m+1 (1⊗ (v1 ^X v2))

Mais ainda,

d0,m+nm+1 (1⊗ (v1 ^X v2)) = d0,m

m+1(1⊗ v1) ^ 1⊗ v2 + (−1)m1⊗ v1 ^ d0,nm+1(1⊗ v2) ítem (a)

= d0,mm+1(1⊗ v1) ^ 1⊗ v2 + (−1)m1⊗ v1 ^ 0

= d0,mm+1(1⊗ v1) ^ 1⊗ v2

= t(m+1)/2 ⊗ v2.


Logo,

dk,m+nm+1 (ζk ⊗ (v1 ^X v2)) = (−1)kζk ⊗ 1 ^ t(m+1/2) ⊗ v2

= (−1)kζk ^BG t(m+1/2) ⊗ v2.

Assim, se k for par, podemos escrever ζk = tk/2. Portanto,

dk,m+nm+1 (ζk ⊗ (v1 ^X v2)) = t(k+m+1)/2 ⊗ v2 6= 0.

Agora, se k for ímpar, escrevemos ζk = st(k−1)/2 e

dk,m+nm+1 (ζk ⊗ (v1 ^X v2)) = (−1)kst(k+m)/2 ⊗ v2 6= 0.

Como, ∀ k ≥ 0, Ek,m+nm+1 = Ek,m+n

2∼= Zp, Ek+m+1,n

m+1 = Ek+m+1,n2

∼= Zp e dk,m+nm+1 6= 0, então

dk,m+nm+1 : Ek,m+n

m+1 → Ek+m+1,nm+1 ,

é um isomorfismo, para todo k ≥ 0, o que conclui a prova de (b).

Agora, vamos analisar o que acontece com o termo Ek,lm+2 = H(Ek,lm+1), para todo k, l.Primeiramente, consideremos os únicos termos não nulos deEm+1 representados no diagrama:

E0,m+nm+1

dm+1WWWWWWWWWWWW

++WWWWWWWWWWWW

E1,m+nm+1

dm+1XXXXXXXXXXXXX

++XXXXXXXXXXXXX

. . . Em+1,m+nm+n

dm+1WWWWWWWWWW

++WWWWWWWWWWWWWWW

Em+2,m+nm+1

. . .

E0,nm+1 E1,n

m+1. . . Em+1,n

m+1 Em+2,nm+1

. . .

E0,mm+1

dm+1WWWWWWWWWWWWW

++WWWWWWWWWWWW

E1,mm+1

dm+1XXXXXXXXXXXXXX

++XXXXXXXXXXXXX

. . . Em+1,mm+1

dm+1WWWWWWWWWWW

++WWWWWWWWWWWWWWW

Em+2,mm+1

. . .

E0,0m+1 E1,0

m+1. . . Em+1,0

m+1 Em+2,0m+1

. . .

Pela Observação 3.28, ítem (b), como os diferenciais dk,mm+1 e dk,m+nm+1 representados no diagrama

acima são isomorfismos, para todo k ≥ 0, temos

Ek,mm+2 = H(Ek,mm+1) = ker(dk,mm+1)/ Im(dk−(m+1),2mm+1 ) = {0}/ Im(d

k−(m+1),2mm+1 ) = {0},

Ek,m+nm+2 = H(Ek,m+n

m+1 ) = ker(dk,m+nm+1 )/ Im(d

k−(m+1),2m+nm+1 ) = {0}/ Im(d

k−(m+1),2m+nm+1 ) = {0}.

Deste modo, as linhas l = m e l = m+ n são nulas no termo Em+2.

Por outro lado, segue da Observação 3.28, ítem (a) que dk,nm+1 = 0, para todo k ≥ 0. Maisainda, dk,m+n

m+1 = 0, para k < 0, pois o seu domínio é Ek,m+nm+1 = 0.


Para 0 ≤ k ≤ n, temos k − (m+ 1) < 0 e, deste modo,

Ek,nm+2 = H(Ek,nm+1) = ker(dk,nm+1)/ Im(dk−(m+1),m+nm+1 ) = Ek,nm+1/{0} = Ek,nm+1 = Ek,n2 .

Agora, se k ≥ m+ 1, temos k − (m+ 1) ≥ 0 e, pela Observação 3.28, ítem (b), o diferencialdk−(m+1),m+nm+1 é um isomorfismo, assim, Im(d

k−(m+1),m+nm+1 ) = Ek,nm+1. Portanto,

Ek,nm+2 = H(Ek,nm+1) = ker(dk,nm+1)/ Im(dk−(m+1),m+nm+1 ) = Ek,nm+1/E

k,nm+1 = {0}.

Deste modo, concluímos que, na linha l = n, os únicos termos não nulos são Ek,nm+1 = Ek,n2 ,para todo 0 ≤ k ≤ m.

Agora, dk,0m+1 = 0, para todo k ≥ 0 e dk,mm+1 = 0, para k < 0, pois

Im(dk,0m+1) ⊂ Ek+m+1,−mm+1 = {0} e Dom(dk,mm+1) = Ek,mm+1 = {0},

desde que a seqüência espectral é do primeiro quadrante. Portanto, para todo 0 ≤ k ≤ m,temos que k − (m+ 1) < 0 e, assim

Ek,0m+2 = H(Ek,0m+1) = ker(dk,0m+1)/ Im(dk−(m+1),mm+1 ) = Ek,0m+1/{0} = Ek,0m+1 = Ek,02 .

Como, pela Observação 3.28, ítem (b), o diferencial dk,mm+1 é um isomorfismo, ∀ k ≥ 0 e,dk,0m+1 = 0, ∀ k ≥ 0, então para todo k ≥ m+ 1, ou seja, k − (m+ 1) ≥ 0, segue que

Ek,0m+2 = H(Ek,0m+1) = ker(dk,0m+1)/ Im(dk−(m+1),mm+1 ) = Ek,0m+1/E

k,0m+1 = {0}.

Deste modo, concluímos que, na linha l = 0, os únicos termos não nulos são Ek,0m+1 = Ek,02 , paratodo 0 ≤ k ≤ m.

Observação 3.29. Em resumo, para m 6= n, os únicos termos não nulos são representados noseguinte diagrama:

E0,nm+2 E1,n

m+2. . . Em−1,n

m+2 Em,nm+2

E0,0m+2 E1,0

m+2. . . Em−1,0

m+2 Em,0m+2

AFIRMAÇÃO 3.30. Os diferenciais dk,ls : Ek,ls → Ek+s,l−s+1s são triviais, para todo s ≥ m+ 2, ou

seja, a seqüência espectral colapsa no Em+2-termo, o que significa que Em+2 = E∞.

Demonstração. Se s ≥ m + 2, então Im(dk,ls ) ⊂ Ek+s,l−s+1s . Mas Ek+s,l−s+1

s é um sub-quocientede Ek+s,l−s+1

m+2 = {0}, pois como s ≥ m+ 2, para todo k ≥ 0, k+ s ≥ m+ 2, usando o fato de quena coluna k′ = k+ s todos os termos são nulos pela Observação 3.29, segue o resultado. Então,Ek+s,l−s+1s = {0} e, portanto, dk,ls = 0. Assim, Em+2 = E∞.


Observação 3.31. Segue da Observação 3.29 e da Afirmação 3.30 que Ek,l∞ = Ek,lm+2 = Ek,l2 ,sempre que Ek,l∞ 6= 0. Deste modo, da Observação 3.23 podemos representar o termo Ek,l∞ daseguinte forma

Ek,l∞ = Ek,l2 =

< ζk > ⊗ < 1 >, se 0 ≤ k ≤ m e l = 0.

< ζk > ⊗ < v2 >, se 0 ≤ k ≤ m e l = n.

0, caso contrário,

como álgebra bigraduada. Agora, como E∗,02∼= H∗(BG) como álgebras graduadas, podemos

substituir < ζk > ⊗ < 1 > por < ζk >. Por outro lado, como a multiplicação

(·) ^ 1⊗ v2 : Ek,0∞ −→ Ek,n∞

aζk ⊗ 1 7−→ aζk ⊗ v2,

é um isomorfismo, ∀ 0 ≤ k ≤ m, substituindo < ζk > ⊗ < v2 > por < ζk ⊗ v2 >, como álgebrabigraduada, temos o seguinte diagrama para o termo E∞:

< v2 > < s⊗ v2 > . . . < t(m−1)/2 ⊗ v2 > < st(m−1)/2 ⊗ v2 >

< 1 > < s > . . . < t(m−1)/2 > < st(m−1)/2 >,

isto é,

Ek,l∞ = Ek,l2 =

< ζk >, se 0 ≤ k ≤ m e l = 0.

< ζk ⊗ v2 >, se 0 ≤ k ≤ m e l = n.

0, caso contrário.

(3.4)

Observação 3.32. Sem 6= n, então temos da fórmula (3.4) e da Observação 2.43 que o complexototal associado ao termo E∞: (TotE∗,∗∞ )∗ =

⊕k(TotE∗,∗∞ )k, como espaço vetorial graduado, é

dado como segue.

(TotE∗,∗∞ )k =

Ek,0∞ =< ζk >∼= Zp, se 0 ≤ k ≤ m.Ek−n,n∞ =< ζk−n ⊗ v2 >∼= Zp, se n ≤ k ≤ n+m.

0, caso contrário.

Além disso, desde que a seqüência espectral {Er, dr} converge para H∗(XG;Zp) como umaálgebra graduada, segue da Definição 2.39 que E∗,∗∞ ∼= E∗,∗0 (H∗(XG;Zp);F ∗), como álgebrasbigraduadas, onde F ∗ é uma filtração deH∗(XG;Zp). Por outro lado, também pela Observação2.43, sabemos que (TotE∗,∗0 )∗(H∗(XG;Zp)) ∼= H∗(XG;Zp), como espaços vetoriais graduados.


Deste modo,

Hk(XG;Zp) ∼= (TotE∗,∗∞ )k =

Ek,0∞ =< ζk >∼= Zp, se 0 ≤ k ≤ m.Ek−n,n∞ =< ζk−n ⊗ v2 >∼= Zp, se n ≤ k ≤ n+m.

0, caso contrário,

como espaços vetoriais graduados.

Sub-caso: m = n.

Sejam 1⊗ v1, 1⊗ v2 geradores de E0,m2 = E0,m

m+1∼= Zp ⊕ Zp. Pela Observação 3.27, sendo m

ímpar, podemos escrever

d0,mm+1(1⊗ v1) = t(m+1)/2 ⊗ 1,

desde que d0,mm+1 6= 0 é sobrejetora. Como d0,m

m+1(1⊗ v2) ∈ Em+1,0m+1

∼= Zp, temos

d0,mm+1(1⊗ v2) = ad0,m

m+1(1⊗ v1) = at(m+1)/2 ⊗ 1, onde a ∈ Zp.

Seja 1⊗ v3 = 1⊗ v1 ^X v2 gerador de E0,2m2 = E0,2m

m+1∼= Zp. Então,

d0,2mm+1(1⊗ v3) = d0,2m

m+1(1⊗ (v1 ^X v2))

= d0,mm+1(1⊗ v1) ^ 1⊗ v2 + (−1)m1⊗ v1 ^ d0,m

m+1(1⊗ v2)

= t(m+1)/2 ⊗ 1 ^ 1⊗ v2 + (−1)m1⊗ v1 ^ at(m+1)/2 ⊗ 1

= t(m+1)/2 ⊗ v2 − at(m+1)/2 ⊗ v1

= t(m+1)/2 ⊗ v2 + t(m+1)/2 ⊗−av1

= t(m+1)/2 ⊗ (v2 − av1) 6= 0.

AFIRMAÇÃO 3.33. Se m = n, os diferenciais

dk,mm+1 : Ek,mm+1 → Ek+m+1,0m+1

são sobrejetores, com ker(dk,mm+1) gerado por ζk ⊗ (v2 − av1), onde ζk é o gerador de Hk(BG;Zp)e os diferenciais

dk,2mm+1 : Ek,2mm+1 → Ek+m+1,mm+1

são injetores, com Im(dk,2mm+1) gerada por ζk+m+1 ⊗ (v2 − av1).


Demonstração. Temos que o diferencial

dk,mm+1(ζk ⊗ v1) = (−1)kζk ⊗ 1 ^ d0,mm+1(1 ^ v1)

= (−1)kζk ⊗ 1 ^ t(m+1)/2 ⊗ 1

= (−1)kζk+m+1 ⊗ 1 6= 0.

Portanto, dk,mm+1 : Ek,mm+1 → Ek+m+1,0m+1 é sobrejetor. Note que

dk,mm+1(ζk ⊗ (v2 − av1)) = (−1)kζk ⊗ 1 ^ d0,mm+1(1⊗ (v2 − av1))

= (−1)kζk ⊗ 1 ^ d0,mm+1(1⊗ v2)− ad0,m

m+1(1⊗ v1)

= (−1)kζk ⊗ 1 ^ (at(m+1)/2 ⊗ 1− at(m+1)/2 ⊗ 1) = 0.

Portanto, ker(dk,mm+1) =< ζk ⊗ (v2 − av1) >. Mais ainda, desde que

dk,2mm+1(ζk ⊗ (v1 ^X v2)) = (−1)kζk ⊗ 1 ^ d0,2mm+1(1⊗ v1 ^X v2)

= (−1)kζk ⊗ 1 ^ t(m+1)/2 ⊗ (v2 − av1)

= (−1)kζk ^BG t(m+1)/2 ⊗ (v2 − av1)

= (−1)kζk+m+1 ⊗ (v2 − av1),

concluímos que Im(dk,2mm+1) =< ζk+m+1 ⊗ (v2 − av1) >.

Segue da Afirmação 3.33, que para m = n, dk,mm+1 é sobrejetor, com ker(dk,mm+1) ∼= Zp e dk,2mm+1 éinjetor, com Im(dk,2mm+1) ∼= Zp, para todo k ≥ 0. Agora, vamos analisar o diagrama abaixo

E0,2mm+1

dm+1VVVVVVVVVVVV

++VVVVVVVVVVV

E1,2mm+1

dm+1WWWWWWWWWWWWW

++WWWWWWWWWWWW

. . . Em+1,2mm+n

dm+1VVVVVVVVVVV

++VVVVVVVVVVVVVVV

Em+2,2mm+1

. . .

E0,mm+1

dm+1VVVVVVVVVVVV

++VVVVVVVVVVV

E1,mm+1

dm+1WWWWWWWWWWWWW

++WWWWWWWWWWWWW

. . . Em+1,mm+1

dm+1VVVVVVVVVVV

++VVVVVVVVVVVVVVV

Em+2,mm+1

. . .

E0,0m+1 E1,0

m+1. . . Em+1,0

m+1 Em+2,0m+1

. . .

Como dm+1 é um diferencial, temos

Im(dk,2mm+1) ⊂ ker(dk+m+1,mm+1 ) e Im(dk,mm+1) ⊂ ker(dk+m+1,0

m+1 ).

Portanto,

Im(dk,2mm+1) = ker(dk+m+1,mm+1 ) = Ek+m+1,m

m+1 e Im(dk,mm+1) = ker(dk+m+1,0m+1 ) = Ek+m+1,0

m+1


Assim, para k ≥ m+ 1, temos

Ek,0m+2 = H(Ek,0m+1) = ker(dk,0m+1)/ Im(dk−(m+1),mm+1 ) = Ek,0m+1/E

k,0m+1

∼= 0

Ek,mm+2 = H(Ek,mm+1) = ker(dk,mm+1)/ Im(dk−(m+1),2mm+1 ) = Zp/Zp ∼= 0.

Agora, como a seqüência espectral é do primeiro quadrante, dk,0m+1 = 0, para todo k ≥ 0 edk,mm+1 = 0, para k < 0. Portanto, para todo 0 ≤ k ≤ m, temos o seguinte diagrama represen-tando os únicos Em+2-termos não nulos da seqüência espectral:

E0,mm+2 E1,m

m+2. . . Em−1,m

m+2 Em,mm+2

E0,0m+2 E1,0

m+2. . . Em−1,0

m+2 Em,0m+2

(3.5)

Mais especificamente, usando a Afirmação 3.33, o diagrama 3.5 pode ser representado comosegue.

< 1 > ⊗ < (v2 − av1) > < ζ1 > ⊗ < (v2 − av1) > . . . < ζm−1 > ⊗ < (v2 − av1) > < ζm > ⊗ < (v2 − av1) >

< 1 > ⊗ < 1 > < ζ1 > ⊗ < 1 > . . . < ζm−1 > ⊗ < 1 > < ζm > ⊗ < 1 >

(3.6)

Deste modo, se s ≥ m+ 2, então Im(dk,ls ) ⊂ Ek+s,l−s+1s . Mas Ek+s,l−s+1

s é um sub-quociente deEk+s,l−s+1m+2 = {0}, pois como s ≥ m + 2, para todo k ≥ 0, k + s ≥ m + 2, usando o fato de que

na coluna k′ = k + s todos os termos são nulos pelo diagrama 3.6, segue o resultado. Então,Ek+s,l−s+1s = {0} e, portanto, dk,ls = 0. Assim, Em+2 = E∞. Portanto, para m = n temos

Ek,l∞ = Ek,l2 =

< ζk > ⊗ < 1 >∼= Zp, se 0 ≤ k ≤ m e l = 0.

< ζk > ⊗ < v2 − av1 >∼= Zp, se 0 ≤ k ≤ m e l = n.

0, caso contrário.

(3.7)

Agora, como E∗,02∼= H∗(BG;Zp), como álgebras graduadas, podemos substituir em (3.7), o

termo < ζk > ⊗ < 1 > por < ζk >. Por outro lado, a multiplicação

(·) ^ 1⊗ (v2 − av1) : Ek,0∞ → Ek,m∞

ζk ⊗ 1 7−→ ζk ⊗ (v2 − av1),

para todo 0 ≤ k ≤ m é um isomorfismo. Assim, como álgebra bigraduada temos

Ek,l∞ = Ek,l2 =

< ζk >, se 0 ≤ k ≤ m e l = 0.

< ζk ⊗ (v2 − av1) >, se 0 ≤ k ≤ m e l = m.

0, caso contrário

(3.8)

Observação 3.34. Sem = n, então temos da fórmula (3.8) e da Observação 2.43 que o complexo


total associado ao termoE∞: (TotE∗,∗∞ )∗ =⊕

k(TotE∗,∗∞ )k, como uma álgebra graduada, é dadocomo segue.

(TotE∗,∗∞ )k =

Ek,0∞ =< ζk >∼= Zp, se 0 ≤ k ≤ m− 1.

Em,0∞ ⊕ E0,m∞ =< ζm > + < v2 − av1 >∼= Zp ⊗ Zp, se k = m.

Ek−m,m∞ =< ζk−m ⊗ (v2 − av1) >∼= Zp, se m < k ≤ 2m.

0, caso contrário.

Além disso, desde que a seqüência espectral {Er, dr} converge para H∗(XG;Zp) como umaálgebra graduada, segue da Definição 2.39 que E∗,∗∞ ∼= E∗,∗0 (H∗(XG;Zp);F ∗), como álgebrasbigraduadas, onde F ∗ é uma filtração deH∗(XG;Zp). Por outro lado, também pela Observação2.43, sabemos que (TotE∗,∗0 )∗(H∗(XG;Zp)) ∼= H∗(XG;Zp), como espaços vetoriais graduados.Deste modo,


Ek,0∞ =< ζk >∼= Zp, se 0 ≤ k ≤ m− 1.

Em,0∞ ⊕ E0,m∞ =< ζm > + < v2 − av1 >∼= Zp ⊗ Zp, se k = m.

Ek−m,m∞ =< ζk−m ⊗ (v2 − av1) >∼= Zp, se m < k ≤ 2m.

0, caso contrário,


Observação 3.35. Podemos sintetizar os resultados obtidos até agora, para valores de m ímpar,m ≥ n, como segue:


m 6= n

< ζk >∼= Zp, se 0 ≤ k ≤ m.< ζk−n ⊗ w >∼= Zp, se n ≤ k ≤ m+ n.

0, se m < k < n e k > m+ n.

m = n

< ζk >∼= Zp, se 0 ≤ k ≤ m− 1,

< ζm > + < w >∼= Zp ⊕ Zp, se k = m = n.

< ζk−m ⊗ w >∼= Zp, se m < k ≤ 2m.

0, se k > 2m,

(3.9)como espaços vetoriais graduados, onde w = v2, se m 6= n e w = v2 − av1, se m = n, com

ζk =

{st(k−1)/2, se k for ímpar.tk/2, se k for par.

Observação 3.36. A multiplicação por t ∈ H2(BG;Zp):

t ^ (·) : Ek,l∞ → Ek+2,l∞ , (3.10)

considerada como um endomorfismo de seqüência espectral, é um isomorfismo, para todo


0 ≤ k ≤ m− 2, m > 1 e l = 0 ou l = n, desde que Ek,l∞ ∼= Zp e Ek+2,l∞ ∼= Zp, para 0 ≤ k ≤ m− 2

e, dado 0 6= ζkw ∈ Ek,l∞ , onde w = 1, se l = 0 e w = v2, se l = n, temos

t ^ (ζk ⊗ w) = tζk ⊗ w = ζk+2 ⊗ w 6= 0.

Se m 6= n (respectivamente m = n), o elemento 1⊗ v2 (respectivamente 1⊗ (v2 − av1)) de E0,n2

é um cociclo permanente 16 e determina um elemento não nulo µ ∈ E0,n∞ .

Além disso, existem elementos x ∈ H1(XG;Zp) e y ∈ H2(XG;Zp), com x = π∗(s) e y = π∗(t).De fato, segue do Teorema 2.49 que a aplicação

Hk(BG;Zp) = Ek,02 � Ek,03 � · · ·� Ek,0k � Ek+1,0k = Ek,0∞ ⊂ Hk(XG;Zp),

é o homomorfismo π∗ : Hk(BG;Zp)→ Hk(XG;Zp).

Desde que Hk(BG;Zp) ∼= Zp, para todo k ≥ 0, Zp ∼= Ek,0∞ ∼= Hk(XG;Zp), para 0 ≤ k < m,Hm(XG;Zp) ∼= Zp, quando m 6= n e Hm(XG;Zp) ∼= Zp ⊕ Zp, quando m = n, segue queo homomorfismo π∗ : Hk(BG;Zp) → Hk(XG;Zp) é um isomorfismo, para 0 ≤ k < m, émonomorfismo, para k = m e é nulo, para k = m+ 1. Como π∗ : H∗(BG;Zp) → H∗(XG;Zp) éum homomorfismo de anéis graduados, π∗ leva o gerador ζk ∈ Hk(BG;Zp) em um gerador deHk(XG;Zp). Então, podemos escrever Hk(XG;Zp) =< π∗(ζk) >, para 0 ≤ k < m, com m ≥ 3.Em particular, H1(XG) =< π∗(s) > e H2(XG) =< π∗(t) >, onde s ∈ H1(BG) e t ∈ H2(BG).Assim, escolhemos geradores x ∈ H1(XG;Zp), y ∈ H2(XG;Zp) tais que x = π∗(s) e y = π∗(t).

Sendo y = π∗(t) ∈ H2(XG;Z2) = E2,0∞ , segue de (3.10) que a multiplicação

y ^ (·) : Hk(XG;Zp) = Ek,0∞ → Hk+2(XG;Zp) = Ek+2,0∞ , (3.11)

é um isomorfismo, para todo 0 ≤ k ≤ m− 2 e n ≤ k ≤ n+m− 2. Mais ainda, observemos que

x2 = (π∗(s))2

= π∗(s) · π∗(s) (π∗ é homomorfismo de anéis)

= π∗(s2)

= π∗(0)

= 0,

y(m+1)/2 = 0, pois é um elemento em Hm+1(XG;Zp) = Em+1,0∞ = 0 e µ2 = 0, pois é um ele-

mento em E2n,0∞ = 0. Assim, concluímos que Tot(E∗,∗∞ ), como álgebra graduada comutativa17,

é gerado pelos elementos

1, x, y, xy, . . . , y(m−1)/2, xy(m−1)/2, µ, xµ, xyµ, . . . , y(m−1)/2µ, xy(m−1)/2µ,

16Isso significa que E0,q∞ = E0,q

2 .17Vide Definição 2.41


com as relações x2 = 0, y(m+1)/2 = 0 e µ2 = 0, ou seja,

Tot(E∗,∗∞ ) ∼= Zp[x, y, µ]/(x2, y(m+1)/2, µ2), (3.12)

como uma álgebra graduada comutativa.

Agora, como E0,n∞ = E0,n

m+2 = E0,nm+1 = · · · = E0,n

2 = Hn(X;Zp), segue do Teorema 2.49 que aaplicação

Hn(XG;Zp)� E0,n∞ = E0,n

2 = Hn(X;Zp)

é o homomorfismo i∗ : Hn(XG;Zp)→ Hn(X;Zp). Assim, i∗ é um homomorfismo sobrejetor e,podemos escolher z ∈ Hn(XG;Zp) tal que i∗(z) = w, onde w = v2 se n 6= m e, w = v2 − av1, sen = m. Então, xz 6= 0 6= yz. Note que z2 ∈ H2n(XG;Zp) = 0, logo z2 = 0. Sabemos de (3.11)que a multiplicação

y ^ (·) : Hk(XG;Zp)→ Hk+2(XG;Zp),

é um isomorfismo para 0 ≤ k < m − 2 e n < k ≤ n + m − 2. Dessa forma, H∗(XG;Zp), comouma álgebra graduada comutativa, é gerado pelos elementos

1, x, y, xy, . . . , y(m−1)/2, xy(m−1)/2, z, xz, yz, xyz, . . . , y(m−1)/2, xy(m−1)/2z,

com as relações x2 = 0, y(m+1)/2 = 0 e z2 = 0, ou seja,

H∗(XG;Zp) ∼= Zp[x, y, z]/(x2, y(m+1)/2, z2). (3.13)

Em particular, quando m = 1, temos y = 0, pois y ∈ E2,0∞ = Em+1,0

∞ = 0. Portanto,

H∗(XG;Zp) ∼= Zp[x, z]/(x2, z2). (3.14)

Além disso, como G = Zp age livremente sobre X , segue do Lema 3.7, que H∗(XG;Zp) eH∗(X/G;Zp) são isomorfos como anéis, o que encerra o 1o Caso da prova do Teorema 3.20(i).


Demonstração do 2o Caso: quando r = n−m+ 1, obteremos o Teorema 3.20 (ii).

Observemos que, neste caso n > m, pois r ≥ 2. Consideremos o seguinte diagrama, o qualrepresenta as únicas linhas não nulas do En−m+1 = E2-termo.

E0,m+nn−m+1 E1,m+n

n−m+1. . . En−m+1,m+n

n−m+1 En−m+2,m+nn−m+1

. . .

E0,nn−m+1

dn−m+1

XXXXXXXXXXXX

++XXXXXXXXXXX

E1,nn−m+1

dn−m+1

XXXXXXXXXXXXXX

,,XXXXXXXXXXXXX

. . . En−m+1,nn−m+1

dn−m+1

XXXXXXXXXXX

++XXXXXXXXXXXXXXX

En−m+2,nn−m+1

. . .

E0,mn−m+1 E1,m

n−m+1. . . En−m+1,m

n−m+1 En−m+2,mn−m+1

. . .

E0,0n−m+1 E1,0

n−m+1. . . En−m+1,0

n−m+1 En−m+2,0n−m+1

. . .

Desde que r = n−m+1 é o menor inteiro tal que dr 6= 0, temos que o diferencial dk,nn−m+1 6= 0,para algum k ≥ 0 e segue da Observação 3.24 que d0,n

n−m+1 6= 0 e, portanto,

d0,nn−m+1 : E0,n

n−m+1 → En−m+1,mn−m+1 (3.15)

é um isomorfismo e, desde que

d0,nn−m+1(E0,n

n−m+1) = En−m+1,mn−m+1 = En−m+1,m

2∼= Hn−m+1(BG;Zp)⊗Hm(X;Zp),

podemos escrever

d0,nn−m+1(1⊗ v2) = A⊗ v1, (3.16)

onde A é um gerador de Hn−m+1(BG;Zp).

AFIRMAÇÃO 3.37. O inteiro n deve ser ímpar e inteiro m deve ser par.

Demonstração. Suponhamos que n seja par. Assim,

0 = d0,2nn−m+1(1⊗ v2 ^X v2)

= d0,2nn−m+1(1⊗ v2 ^ 1⊗ v2)

= d0,nn−m+1(1⊗ v2) ^ 1⊗ v2 + (−1)n1⊗ v2 ^ d0,n

n−m+1(1⊗ v2) (de (3.16) e de n ser par)

= A⊗ v1 ^ 1⊗ v2 + 1⊗ v2 ^ A⊗ v1

= A⊗ v1 ^ 1⊗ v2 + (−1)n.(m+1)A⊗ v1 ^ 1⊗ v2

= A⊗ v1 ^X v2 + (−1)n.(m+1)A⊗ v1 ^X v2 (n(m+1) é par)

= A⊗ v3 +A⊗ v3

= 2 ·A⊗ v3 6= 0,


o que é uma contradição. Deste modo, n é ímpar.

Agora, mostremos que m deve ser par. Suponhamos que m seja ímpar e consideremosa seqüência espectral E∗,∗2 associada à fibração de Borel π : XG → BG com coeficientes emZ. Como H∗(X;Z) é finitamente gerado, ele não possui elementos de p-torção. Conseqüente-mente, temos que Ek,l2

∼= H∗(BG;H l(X;Z)) = 0, para todo k ímpar. Então, Ek,lr = 0, para todok ímpar e r ≥ 2. O homomorfismo de coeficientes q : Z → Zp dado por q(n) = n, para todon ∈ Z, nos fornece o seguinte diagrama comutativo:

E0,nn−m+1

q∗

��

d 0,nn−m+1 // En−m+1,m

n−m+1

q∗

��E0,nn−m+1

d0,nn−m+1 // En−m+1,mn−m+1

(3.17)

Temos que as composições q∗ ◦ d 0,nn−m+1 = d0,n

n−m+1 ◦q∗ são triviais, pois n−m+1 é ímpar. Comoq∗ : E0,n

n−m+1 → E0,nn−m+1 é sobrejetora, segue que d0,n

n−m+1 : E0,nn−m+1 → En−m+1,m

n−m+1 é trivial, o queé uma contradição, pois de (3.15), temos d0,n

n−m+1 6= 0. Portanto, m deve ser par.

Sendo n ímpar e m par, temos que n−m+ 1 é par, então de (3.16), podemos escrever

d0,nn−m+1(1⊗ v2) = t(n−m+1)/2 ⊗ v1.

Se ζk ⊗ v2 for um gerador de Ek,nn−m+1 = Ek,n2 , então

dk,nn−m+1(ζk ⊗ v2) = (−1)kζk ⊗ 1 ^ d0,nn−m+1(1⊗ v2)

= (−1)kζk ⊗ 1 ^ t(n−m+1)/2 ⊗ v1

= (−1)kζk ^BG t(n−m+1/2) ⊗ v1.

Assim, se k for par, ζk = tk/2 e, podemos escrever

dk,nn−m+1(ζk ⊗ v2) = (−1)kt(k+n−m+1)/2 ⊗ v1 6= 0.

Agora, se k for ímpar, ζk = st(k−1)/2 e, podemos escrever

dk,nn−m+1(ζk ⊗ v2) = (−1)kst(k+n−m)/2 ⊗ v1 6= 0.

Deste modo, concluímos que

dk,nn−m+1 : Ek,nn−m+1 → Ek+n−m+1,mn−m+1 (3.18)

é um isomorfismo, para todo k ≥ 0.


Mais ainda, para todo k ≥ 0,

dk,mn−m+1(Ek,mn−m+1) = 0 = dk,m+nn−m+1(Ek,m+n

n−m+1), (3.19)

desde que 0 6= 2m− n < m, n 6= 2m, pois n é ímpar, 2n 6= m+ n e

Im(dk,mn−m+1) ⊂ Ek+n−m+1,2m−nn−m+1

∼= Ek+n−m+1,2m−n2

∼= 0

Im(dk,m+nn−m+1) ⊂ Ek+n−m+1,2m

n−m+1∼= Ek+n−m+1,2m

2∼= 0.

Segue de (3.18) e (3.19) que

Ek,nr = 0 = Ek+n−m+1,mr , Ek,m+n

r = Ek,m+n2 e Ek,0r = Ek,02 ,

para todo k ≥ 0 e r = n −m + 2. Temos também que Ek,mn−m+2 = Ek,m2 , para 0 ≤ k ≤ m − n.Assim, os únicos termos não nulos em En−m+2 são representados no diagrama abaixo.

E0,m+nn−m+2 E1,m+n

n−m+2. . . En−m,m+n

n−m+2 En−m+1,m+nn−m+2

. . .

E0,mn−m+2 E1,m

n−m+2. . . En−m,mn−m+2

E0,0n−m+2 E1,0

n−m+2. . . En−m,0n−m+2 En−m+1,0

n−m+2. . .

(3.20)

Especificamente, temos

Ek,ln−m+2 =

Ek,02

∼= Zp, se k ≥ 0.

Ek,m2∼= Zp, se 0 ≤ k ≤ n−m.

Ek,m+n2

∼= Zp, se k ≥ 0.

0, caso contrário.

Note que o diferencial

dk,mm+1 : Ek,mm+1 → Ek+m+1,0m+1

é trivial, para todo 0 ≤ k ≤ m− n, desde que d0,mm+1 = 0 e

dk,mm+1(ζk ⊗ v1) = (−1)kζk ⊗ 1 ^ d0,mm+1(1⊗ v1) = 0.

AFIRMAÇÃO 3.38. Os diferenciais

dk,n+mn+m+1 : Ek,n+m

n+m+1 → Ek+n+m+1,0n+m+1

são isomorfismos, para todo k ≥ 0.


Demonstração. Desde que a ação de G = Zp sobre X é livre, segue que o conjunto de pontosfixos XG é vazio e, como Hk(X;Zp) = 0, para k > n+m, segue do Lema 3.8 que Hk(XG;Zp) ∼=Hk((XG)G;Zp) = 0, para k > n+m, desde que (XG)G = ∅. Em particular, Hn+m+1(XG;Zp) =

0.

Afirmamos que o diferencial

d0,n+mn+m+1 : E0,n+m

n+m+1 → En+m+1,0n+m+1

é não trivial. De fato, suponhamos que d0,n+mn+m+1 = 0, neste caso,

En+m+1,0n+m+2 =

ker dn+m+1,0n+m+1

Im d0,n+mn+m+1

=En+m+1,0n+m+1

0= En+m+1,0

n+m+1 .

Mas como os diferenciais d∗,∗s = 0, ∀ s ≥ n + m + 2, concluímos que En+m+1,0n+m+1 = En+m+1,0

∞ .Assim,

En+m+1,0∞ = En+m+1,0

n+m+2 = En+m+1,02

∼= Hn+m+1(BG;Zp)⊗ Zp ∼= Zp e, como

Hn+m+1(XG;Zp) ∼= Tot(E∗,∗∞ )n+m+1 ∼= En+m+1,0∞ ⊕ E0,n+m+1

∞ ,

segue que Hn+m+1(XG;Zp) ∼= Zp, o que é uma contradição.

Deste modo, sendo d0,m+nn+m+1 6= 0, segue que d0,m+n

n+m+1 é um isomorfismo. Como n é ímpar e mé par, podemos escrever

d0,m+nn+m+1(1⊗ v3) = ζn+m+1 ⊗ 1 = t(n+m+1)/2 ⊗ 1.

Por outro lado, se ζk for um gerador de Hk(BG;Zp), temos

dk,n+mn+m+1(ζk ⊗ v3) = (−1)kζk ⊗ 1 ^ d0,n+m

n+m+1(1⊗ v3)

= (−1)kζk ⊗ 1 ^ t(n+m+1)/2 ⊗ 1

= (−1)kζk ^BG t(n+m+1/2) ⊗ 1.

Assim, se k for par, então ζk = tk/2, logo,

dk,n+mn+m+1(ζk ⊗ v2) = (−1)kt(k+n+m+1)/2 ⊗ 1 6= 0.

Agora, se k for ímpar, então ζk = st(k−1)/2 e

dk,n+mn+m+1(ζk ⊗ v2) = (−1)kst(k+n+m)/2 ⊗ 1 6= 0.

Portanto, dk,n+mn+m+1 é um isomorfismo, para todo k ≥ 0.


Usando a Afirmação 3.38 e analisando o diagrama do termo Em+n+1 a seguir:

E0,m+nn+m+1

dn+m+1

SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS

))SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS

. . . En−m,m+nn+m+1

dn+m+1

SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS

))SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS

En−m+1,m+nn+m+1

. . . En+m+1,m+nn+m+1

. . .

E0,mn+m+1

. . . En−m,mn+m+1

E0,0n+m+1

. . . En−m,0n+m+1 En−m+1,0n+m+1

. . . En+m+1,0n+m+1

. . .

temos que os únicos termos não nulos em Em+n+2 são representados no diagrama a seguir.

E0,mn+m+2

. . . En−m,mn+m+2

E0,0n+m+2

. . . En−m,0n+m+2 En−m+2,0n+m+1

. . . En+m,0n+m+2

Mais especificamente,

Ek,ln+m+2 =

Ek,02

∼= Zp, se 0 ≤ k ≤ m+ n.

Ek,m2∼= Zp, se 0 ≤ k ≤ n−m.

0, caso contrário.

Se r ≥ n+m+ 2, dk,lr = 0 então, Ek,l∞ = Ek,lm+n+2. Assim,

Ek,l∞ =

Ek,02

∼=< ζk > ⊗ < 1 >∼= Zp, se 0 ≤ k ≤ m+ n.

Ek,m2∼=< ζk > ⊗ < v1 >∼= Zp, se 0 ≤ k ≤ n−m.

0, caso contrário,

(3.21)


Agora, como E∗,02∼= H∗(BG;Zp), como álgebras graduadas, podemos substituir em (3.21),

< ζk > ⊗ < 1 > por < ζk >. Por outro lado, para todo 0 ≤ k ≤ n−m, a multiplicação

(·) ^ 1⊗ v1 : Ek,0∞ → Ek,m∞

aζk ⊗ 1 7−→ aζk ⊗ v1,(3.22)

é um isomorfismo. Assim, podemos escrever

Ek,l∞ =

Ek,02

∼=< ζk >, se 0 ≤ k ≤ m+ n e l = 0.

Ek,m2∼=< ζk ⊗ v1 >, se 0 ≤ k ≤ n−m e l = m.

0, caso contrário.

(3.23)


Observação 3.39. Temos que as multiplicações a seguir são todas isomorfismos.

(·) ^ 1⊗ v1 : Tot(E∗,∗∞ )k → Tot(E∗,∗∞ )k+m,

aζk ⊗ 1 7−→ aζk ⊗ v1,

para 0 ≤ k ≤ n−m.

t⊗ 1 ^ (·) : Tot(E∗,∗∞ )k → Tot(E∗,∗∞ )k+2,

aζk ⊗ 1 7−→ atζk ⊗ 1 = aζk+2 ⊗ 1,

para 0 ≤ k ≤ m− 3 e n < k ≤ m+ n− 2.

s⊗ 1 ^ (·) : Tot(E∗,∗∞ )k+l → Tot(E∗,∗∞ )k+l+1,

atk/2 ⊗ w 7−→ astk/2 ⊗ w,

onde k é par, 0 ≤ k ≤ m+ n− 1 e w = 1, se l = 0 e k é par, 0 ≤ k ≤ n−m− 1, w = v1, se l = m.

t⊗ 1 ^ (·) : Tot(E∗,∗∞ )k → Tot(E∗,∗∞ )k+2

aζk−m ⊗ v1 + bζk ⊗ 1 7−→ aζk−m+2 ⊗ v1 + bζk+2 ⊗ 1,

para m ≤ k ≤ n− 2.

s⊗ 1 ^ (·) : Tot(E∗,∗∞ )k → Tot(E∗,∗∞ )k+2


se k é par e m ≤ k ≤ n− 1.

Observação 3.40. De (3.23) e das Observações 2.43 e 3.39, temos que o complexo total associadoao termo E∞: (TotE∗,∗∞ )∗ =

⊕k(TotE∗,∗∞ )k, como uma álgebra graduada, é dado como segue.

(TotE∗,∗∞ )k =

Ek,0∞ ∼=< ζk >∼= Zp, se 0 ≤ k < m.

Ek−m,m∞ + Ek,0∞ ∼=< ζk−m ⊗ v1 > + < ζk >∼= Zp ⊗ Zp, se m ≤ k ≤ n.Ek,0∞ ∼=< ζk >∼= Zp, se n < k ≤ m+ n.

0, caso contrário.

Além disso, desde que a seqüência espectral {Er, dr} converge para H∗(XG;Zp) como umaálgebra graduada, segue da Definição 2.39 que E∗,∗∞ ∼= E∗,∗0 (H∗(XG;Zp);F ∗), como álgebrasbigraduadas, onde F ∗ é uma filtração deH∗(XG;Zp). Por outro lado, também pela Observação2.43, sabemos que (TotE∗,∗0 )∗(H∗(XG;Zp)) ∼= H∗(XG;Zp), como espaços vetoriais graduados.


Deste modo,


Ek,0∞ ∼=< ζk >∼= Zp, se 0 ≤ k < m.

Ek−m,m∞ + Ek,0∞ ∼=< ζk−m ⊗ v1 > + < ζk >∼= Zp ⊗ Zp, m ≤ k ≤ n.Ek,0∞ ∼=< ζk >∼= Zp, se n < k ≤ m+ n.

0, caso contrário.


Observamos que 1 ⊗ v1 ∈ E0,m2 é um cociclo permanente e determina um elemento não

nulo µ ∈ E0,m∞ . De maneira análoga à prova do 1o Caso18, podemos escolher x ∈ H1(XG;Zp)

e y ∈ H2(XG;Zp), tais que x = π∗(s) e y = π∗(t). Nestas condições, temos x2 = (π∗(s))2 =

π∗(s2) = 0, y(n+m+1)/2 = 0, pois é um elemento em Hn+m+1(XG;Zp) = En+m+1,0∞ = 0, µ2 = 0,

pois é um elemento em E0,2m∞ = 0 e y(n−m+1)/2µ = 0, pois é um elemento em En−m+1,m

∞ = 0.

Assim, concluímos que Tot(E∗,∗∞ ), como álgebra graduada comutativa19, é gerado peloselementos

1, x, y, xy, y2, . . . , xy(m−2)/2,

ym/2, xym/2, . . . , y(n−1)/2, xy(n−1)/2,

µ, xµ, xyµ, y2µ, . . . , y(n−m−1)/2µ, xy(n−m−1)/2µ,

y(n+1)/2, xy(n+1)/2, y(n+3)/2, xy(n+3)/2, . . . , y(m+n−1)/2, xy(n+m−1)/2,

com as relações x2 = 0, µ2 = 0, y(n+m+1)/2 = 0 e y(n−m+1)/2µ = 0, ou seja,

Tot(E∗,∗∞ ) ∼= Zp[x, y, µ]/(x2, µ2, y(n+m+1)/2, y(n−m+1)/2µ), (3.24)


Agora, como E0,m∞ = E0,m

2 = Hm(X;Zp), segue do Teorema2.49 que a aplicação

Hm(XG;Zp)� E0,m∞ = E0,m

2 = Hm(X;Zp)

é o homomorfismo i∗ : Hm(XG;Zp) → Hm(X;Zp). Assim, i∗ é sobrejetor e, podemos escolherz ∈ Hm(XG;Zp) tal que i∗(z) = v1. Temos que yqz e y(m+2q)/2 são linearmente independentessobre Zp, para q ≤ (m−n−1)

2 , pois 2q ≤ n−m− 1 e H2q+m(XG;Zp) =< yqz > + < y(m+2q)/2 >.

Sabemos da Observação 3.39, que a multiplicação

y ^ (·) : Hk(XG;Zp)→ Hk+2(XG;Zp),

é um isomorfismo para 0 ≤ k ≤ m− 2, m ≤ k ≤ n− 2 e n < k ≤ m+ n− 2.

18Vide Afirmação 3.3619Vide Definição 2.41


AFIRMAÇÃO 3.41. Temos x2 = 0 = y(m+n+1)/2 e, podemos escolher z′ ∈ Hm(XG;Zp) tal quey(n−m+1)/2z′ = 0, (z′)2 = bym, com b ∈ Zp, quando n < 2m e y(n−m+1)/2z′ = ayn+1, (z′)2 = bym,quando n > 2m.

Demonstração. De fato, como x = π∗(s) e π∗ : H∗(BG;Zp) → H∗(XG;Zp) é um homomorfismode anéis, temos x2 = (π∗(s))2 = π∗(s2) = π∗(0) = 0. Por outro lado, y(n+m+1)/2 = 0, pois é umelemento em Hn+m+1(XG;Zp) = En+m+1,0

∞ = 0.

Vamos analisar agora o que ocorre nos casos n < 2m e n > 2m.

(i) Se n < 2m, temos Hm(XG;Zp) =< z > + < ym/2 >, onde z ∈ Hm(XG;Zp) é tal quei∗(z) = v1, como anteriormente, Hn−m+1(XG;Zp) =< y(n−m+1)/2 >, H2m(XG;Zp) =< ym > eHn+1(XG;Zp) =< y(n+1)/2 >. Então,

y(n+m+1)/2z = ay(n+1)/2, para algum a ∈ Zp, o que implica (z − aym/2)y(n−m+1)/2 = 0.

Agora, desde que z − aym/2 e ym/2 são linearmente independentes em Hm(XG;Zp), podemossubstituir z por z′ = z − aym/2 e, assim, y(n−m+1)/2z′ = 0. Como (z′)2 ∈ H2m(XG;Zp), existeb ∈ Zp tal que (z′)2 = bym.

(ii) Se n > 2m, temos Hm(XG;Zp) =< z > + < ym/2 >, onde z ∈ Hm(XG;Zp) é tal quei∗(z) = v1, como anteriormente, Hn−m+1(XG;Zp) =< y(n−m+1)/2 > + < y(n−2m+1)/2z >,H2m(XG;Zp) =< ym > + < ym/2z > e Hn+1(XG;Zp) =< y(n+1)/2 >. Assim, existem α, γ ∈ Zptais que

z2 = αym + γym/2z.

Por outro lado, como z − (γ/2)ym/2 e ym/2 são linearmente independentes em Hm(XG;Zp),podemos substituir z por z′ = z − (γ/2)ym/2 e, assim,

(z′)2 = [z − (γ/2)ym/2]2

= z2 − γym/2z + (γ/2)2ym

= [αym + γym/2z]− γym/2z + (γ/2)2ym

= [α+ (γ/2)2]ym

= bym,

isto é, (z′)2 = bym, onde b = α + (γ/2)2 ∈ Zp. Mais ainda, como y(n−m+1)/2z′ ∈ Hn+1(XG;Zp),existe a ∈ Zp tal que y(n+m+1)/2z′ = ay(n+1)/2.

Observação 3.42. Por simplicidade de notação, substituiremos z′ por z, na Afirmação 3.41.

Dessa forma, H∗(XG;Zp), como uma álgebra graduada comutativa, é dado por

H∗(XG) ∼= Zp[x, y, z]/(x2, y(m+n+1)/2, y(n−m+1)/2z − ay(n+1)/2, z2 − bym), (3.25)


onde m é par, n é ímpar, deg x = 1, deg y = 2, deg z = m, a, b ∈ Zp e a = 0, necessariamentequando n < 2m. Além disso, como G = Zp age livremente sobre X , segue do Lema 3.7, queH∗(XG;Zp) e H∗(X/G;Zp) são isomorfos como anéis, o que encerra o 2o Caso da prova doTeorema 3.20(ii).

Demonstração do 3o Caso: quando r = n+ 1, obteremos o Teorema 3.20 (iii).

Neste caso, n 6= m. Suponhamos que dk,ln+1 6= 0, para algum k ≥ 0 e l = n ou l = m + n.Então, pela Observação 3.24, temos que

d0,nn+1 6= 0 ou d0,m+n

n+1 6= 0.

Mais ainda, da Observação 3.26, como d0,mn+1 = 0, então d0,m+n

n+1 6= 0 implica d0,nn+1 6= 0. Assim,

d0,mn+1(1⊗ v1) = 0 e d0,n

n+1(1⊗ v2) = A⊗ 1, (3.26)

onde 0 6= A ∈ Hn+1(BG;Zp) é um gerador.

Consideremos o seguinte diagrama, representando os únicos termos não nulos em En+1 = E2.

E0,m+nn+1

dn+1

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ

((QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ

E1,m+nn+1

dn+1

PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP

((PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP

. . . En,m+nm+n En+1,m+n

n+1. . .

E0,nn+1

dn+1

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ

((QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ

E1,nn+1

dn+1

PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP

((PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP

. . . En,nn+1 En+1,nn+1

. . .

E0,mn+1 E1,m

n+1. . . En,mn+1 En+1,m

n+1. . .

E0,0n+1 E1,0

n+1. . . En,0n+1 En+1,0

n+1. . .

(3.27)

AFIRMAÇÃO 3.43. O inteiro n deve ser ímpar.


Demonstração. Suponhamos que n seja par. Então, da Observação 3.24 segue que

0 = d0,2nn+1(1⊗ v2 ^X v2)

= d0,2nn+1(1⊗ v2 ^ 1⊗ v2)

= d0,nn+1(1⊗ v2) ^ 1⊗ v2 + (−1)n1⊗ v2 ^ d0,n

n+1(1⊗ v2) (de (3.26) e de n ser par)

= A⊗ 1 ^ 1⊗ v2 + 1⊗ v2 ^ A⊗ 1

= A⊗ 1 ^ 1⊗ v2 + (−1)n.(n+1)A⊗ 1 ^ 1⊗ v2

= A⊗ v2 + (−1)n.(n+1)A⊗ v2 (n(n+1) é par)

= A⊗ v2 +A⊗ v2

= 2 ·A⊗ v2 6= 0,

o que é uma contradição. Portanto, n deve ser ímpar.

Assim, podemos escrever

d0,nn+1(1⊗ v2) = t(n+1)/2 ⊗ 1.

Por outro lado, se 0 6= ζk ∈ Hk(BG;Zp), então 0 6= ζk ⊗ v2 ∈ Ek,n2 = Ek,nn+1, logo

dk,nn+1(ζk ⊗ v2) = (−1)kζk ⊗ 1 ^ d0,nn+1(1⊗ v2)

= (−1)kζk ⊗ 1 ^ t(n+1)/2 ⊗ 1

= (−1)kζk ^BG t(n+1)/2 ⊗ 1

= (−1)kζk+n+1 ⊗ 1 6= 0.

Assim, concluímos que

dk,nn+1 : Ek,nn+1 → Ek+n+1,0n+1 (3.28)

é isomorfismo, para todo k ≥ 0. Por outro lado,

d0,m+nn+1 (1⊗ v3) = ±t(n+1)/2 ⊗ v1.

Então, se 0 6= ζk ∈ Hk(BG;Zp), temos 0 6= ζk ⊗ v3 ∈ Ek,m+n2 = Ek,m+n

n+1 . Portanto,

dk,m+nn+1 (ζk ⊗ v3) = (−1)kζk ⊗ 1 ^ d0,m+n

n+1 (1⊗ v3)

= (−1)kζk ⊗ 1 ^ ±t(n+1)/2 ⊗ v1

= (−1)kζk ^BG ±t(n+1/2) ⊗ v1

= ±ζk+n+1 ⊗ v1 6= 0.


Assim, concluímos que

dk,m+nn+1 : Ek,m+n

n+1 → Ek+n+1,mn+1 (3.29)

é isomorfismo, para todo k ≥ 0.

Temos do diagrama 3.27, de (3.28) e de (3.29), que os únicos termos não nulos em En+2

podem representados como segue.

E0,mn+2 E1,m

n+2. . . En−1,m

n+2En,mn+2

E0,0n+2 E1,0

n+2. . . En−1,0

n+2 En,0n+2

ou seja, a menos de isomorfismos de espaços vetoriais, temos

Ek,ln+2 =

Ek,02

∼= Zp, se 0 ≤ k ≤ n.Ek,m2

∼= Zp, se 0 ≤ k ≤ n.0, caso contrário.

(3.30)

Agora, observemos que se r ≥ n + 2, então dk,lr = 0 e a seqüência colapsa no En+2-termo, ouseja, E∗,∗n+2 = E∗,∗∞ . Assim,

Ek,l∞ =

Ek,02

∼=< ζk > ⊗ < 1 >∼= Zp, se 0 ≤ k ≤ n.Ek,m2

∼=< ζk > ⊗ < v1 >∼= Zp, se 0 ≤ k ≤ n.0, caso contrário.

(3.31)


Observação 3.44. Temos que as multiplicações a seguir são todas isomorfismos.

(·) ^ 1⊗ v1 : Tot(E∗,∗∞ )k → Tot(E∗,∗∞ )k+m

aζk ⊗ 1 7−→ aζk ⊗ v1,

para todo 0 ≤ k ≤ n.

t⊗ 1 ^ (·) : Tot(E∗,∗∞ )k → Tot(E∗,∗∞ )k+2

aζk ⊗ w 7−→ aζkt⊗ w = aζk+2 ⊗ w,

onde w = 1, se 0 ≤ k ≤ m− 2 e w = v1, se n < k ≤ m+ n− 2.

s⊗ 1 ^ (·) : Tot(E∗,∗∞ )k+l → Tot(E∗,∗∞ )k+l+1

atk/2 ⊗ w 7−→ astk/2 ⊗ w,

onde k é par, 0 ≤ k ≤ m − 2 e w = 1, se l = 0 e se k for par, n < k ≤ m + n − 1 e w = v1, sel = m.


t⊗ 1 ^ (·) : Tot(E∗,∗∞ )k → Tot(E∗,∗∞ )k+2


para m ≤ k ≤ n− 2.

s⊗ 1 ^ (·) : Tot(E∗,∗∞ )k → Tot(E∗,∗∞ )k+2


onde k é par e m ≤ k ≤ n− 1.

Observação 3.45. De (3.31) e das Observações 2.43 e 3.44, temos que o complexo total associadoao termo E∞: (TotE∗,∗∞ )∗ =

⊕k(TotE∗,∗∞ )k, como uma álgebra graduada, é dado como segue.

(TotE∗,∗∞ )k =

Ek,0∞ ∼=< ζk >∼= Zp, se 0 ≤ k < m.

Ek−m,m∞ + Ek,0∞ ∼=< ζk−m ⊗ v1 > + < ζk >∼= Zp ⊗ Zp, se m ≤ k ≤ n.Ek−m,m∞ ∼=< ζk−m ⊗ v1 >∼= Zp, se n < k ≤ m+ n.

0, caso contrário.

Além disso, desde que a seqüência espectral {Er, dr} converge para H∗(XG;Zp) como umaálgebra graduada, segue da Definição 2.39 que E∗,∗∞ ∼= E∗,∗0 (H∗(XG;Zp);F ∗), como álgebrasbigraduadas, onde F ∗ é uma filtração deH∗(XG;Zp). Por outro lado, também pela Observação2.43, sabemos que (TotE∗,∗0 )∗(H∗(XG;Zp)) ∼= H∗(XG;Zp), como espaços vetoriais graduados.Deste modo,


Ek,0∞ ∼=< ζk >∼= Zp, se 0 ≤ k < m.

Ek−m,m∞ + Ek,0∞ ∼=< ζk−m ⊗ v1 > + < ζk >∼= Zp ⊗ Zp, m ≤ k ≤ n.Ek,0∞ ∼=< ζk−m ⊗ v1 >∼= Zp, se n < k ≤ m+ n.

0, caso contrário,


Observamos que 1 ⊗ v1 ∈ E0,m2 é um cociclo permanente e determina um elemento não

nulo µ ∈ E0,m∞ . De maneira análoga à prova do 1o Caso20, podemos escolher x ∈ H1(XG;Zp)

e y ∈ H2(XG;Zp), tais que x = π∗(s) e y = π∗(t). Nestas condições, temos x2 = (π∗(s))2 =

π∗(s2) = 0, y(n+1)/2 = 0, pois é um elemento em En+1,0∞ = 0, µ2 = 0, pois é um elemento em

E0,2m∞ = 0. Assim, concluímos que Tot(E∗,∗∞ ), como álgebra graduada comutativa, é gerado

20Vide Afirmação 3.36


pelos elementos

1, η1, η2, η3, . . . , ηm−1,

ηm, ηm+1, . . . , ηn−1, ηn,

µ, η1µ, η2µ, η3µ, . . . , ηm−nµ,

ηn−m+1µ, ηn−m+2µ, . . . , ηnµ,

onde

ηk =

{xy(k−1)/2, se k for ímpar.yk/2, se k for par,

com as relações x2 = 0, y(n+1)/2 = 0 e µ2 = 0, ou seja,

Tot(E∗,∗∞ ) ∼= Zp[x, y, µ]/(x2, y(n+1)/2, µ2), (3.32)


Agora, como E0,m∞ = E0,m

2 = Hm(X;Zp), segue do Teorema2.49 que a aplicação

Hm(XG;Zp)� E0,m∞ = E0,m

2 = Hm(X;Zp)

é o homomorfismo i∗ : Hm(XG;Zp)→ Hm(X;Zp). Assim, i∗ é sobrejetor e, podemos escolher

z ∈ Hm(XG;Zp) = Em,0∞ ⊕ E0,m∞ =< ηm > + < µ >, tal que i∗(z) = v1

Então, z representa µ. Sabemos da Observação 3.44, que a multiplicação

y ^ (·) : Hk(XG;Zp)→ Hk+2(XG;Zp),

é um isomorfismo para 0 ≤ k ≤ m − 2, m ≤ k ≤ n − 2 e n < k ≤ m + n − 2. Assim, yqz 6= 0,para q ≤ n−1

2 , pois 2q ≤ n − 1, 2q + m ≤ m + n − 1 e yqz determina o subespaço não trivial< yqz >⊂ H2q+m(XG;Zp).

AFIRMAÇÃO 3.46. Temos x2 = y(n+1)/2 = 0 e, podemos escolher z′ tal que (z′)2 = 0, quando mfor par e n < 2m e, (z′)2 = bym, quando m for par e n > 2m.

Demonstração. Como π∗ : H∗(BG;Zp)→ H∗(XG;Zp) é um homomorfismo de anéis e x = π∗(s),temos x2 = (π∗(s))2 = π∗(s2) = π∗(0) = 0. Por outro lado, y(n+1)/2 = 0, pois é um elemento em


En+1,0∞ = 0. Além disso,

Zp ∼= Hk(XG;Zp) =< ηk >, para 0 ≤ k < m,

Zp ⊕ Zp ∼= Hk(XG;Zp) =< ηk−mz′ > + < ηk >, para m ≤ k ≤ n e

Zp ∼= Hk(XG;Zp) =< ηk−mz′ >, para n ≤ k ≤ m+ n.

Assim, se m for par e se n < 2m, temos H2m(XG;Zp) =< ηmz′ >=< ym/2z′ >. Deste

modo, existe b ∈ Zp tal que (z′)2 = bym/2z′. Agora, como ym/2 e z − (b/2)ym/2 são linearmenteindependentes, tomando z = z′ − (b/2)ym/2, podemos escrever

Hm(XG;Zp) =< ym/2 > + < z >, com

z2 = [z′ − (b/2)ym/2]2

= (z′)2 − bym/2z′ + ym

= bym/2z′ − bym/2z′ + ym

= ym

= η2m = 0,

pois ηk = 0, para todo k > n e estamos assumindo n < 2m.

Agora, se m for par e se n > 2m temos H2m(XG;Zp) =< ym > + < ym/2z′ >, entãoexistem α, γ ∈ Zp tais que (z′)2 = αym + γym/2z′. Como ym/2 e z′ − (γ/2)ym/2 são linearmenteindependentes, tomando z = z′ − (γ/2)ym/2, temos Hm(XG;Zp) =< ym/2 > + < z′ >, com

z2 = [z′ − (γ/2)ym/2]2

= (z′)2 − γym/2z′ + (α/2)2ym

= (αym + γym/2z′)− γym/2z′ + (α/2)2ym

= [α+ (α/2)2]ym,

isto é, z2 = bym, onde b = α+ (α/2)2 ∈ Zp.

Observação 3.47. Novamente, por simplicidade de notação, substituiremos z′ por z, na Afir-mação 3.46.

Dessa forma, H∗(XG;Zp), como uma álgebra graduada comutativa, é dado por

H∗(XG) ∼= Zp[x, y, z]/(x2, y(n+1)/2, z2 − bym), (3.33)

onde n é ímpar, deg x = 1, deg y = 2, deg z = m, b ∈ Zp e b 6= 0, somente quando m forpar e 2m < n. Além disso, como G = Zp age livremente sobre X , segue do Lema 3.7, queH∗(XG;Zp) e H∗(X/G;Zp) são isomorfos como anéis, o que encerra o 3o Caso da prova do


Teorema 3.20(iii). Isso finaliza a prova do Teorema 3.20.

3.3 Versões do Teorema 3.20 para os casos G = Z2 e G = S1

A seguir, apresentamos as versões do Teorema 3.20, provadas por Dotzel, Singh e Tripathiem [14] nos casos G = Z2 e G = S1. A demonstração do caso G = Z2 é análoga à do casoG = Zp, com p um primo ímpar. No caso em que G = S1, embora os argumentos sejamdiferentes, a técnica da demonstração permanece a mesma dos casos anteriores.

Teorema 3.48. SejaG = Z2 agindo livremente sobre um espaço finitísticoX ∼2 Sm×Sn, 0 < m ≤ n.

Então, H∗(X/G;Z2) é isomorfo a Z2[y, z]/ψ(y, z), como uma álgebra graduada, onde ψ(y, z) é um dosseguintes ideais graduados:

(i) (ym+2, z2), deg y = 1, deg z = n;

(ii) (ym+n+1, yn−m+1, z, z2 − aymz − by2m), deg y = 1, deg z = m, a, b ∈ Z2, com a = 0,necessariamente quando n < 2m;

(iii) (yn+1, z2− aymz− by2m), deg y = 1, deg z = m, a, b ∈ Z2, com b = 0, somente quando m = n

ou n < 2m.

Teorema 3.49. SejaG = S1 agindo livremente sobre um espaço finitísticoX ∼Q Sm×Sn, 0 < m ≤ n.

Então, H∗(X/G;Q) é isomorfo a Q[y, z]/ψ(y, z), como uma álgebra graduada, onde ψ(y, z) é um dosseguintes ideais graduados:

(i) (y(m+1)/2, z2), m ímpar, deg y = 2, deg z = n;

(ii) (y(m+n+1)/2, zy(n−m+1)/2 − ay(n+1)/2, z2 − bym), m par, n ímpar, deg y = 2, deg z = m, coma = 0, necessariamente quando n < 2m;

(iii) (y(n+1)/2, z2 − bym), n ímpar, deg y = 2, deg z = m, com b 6= 0, somente quando m for par e2m < n.

Apêndice

AFatos Algébricos e Topológicos

Este capítulo tem como objetivo apenas introduzir as noções básicas e notações que serãousadas em todo este trabalho, de forma alguma ele preenche todas as necessidades para umtexto auto-contido. Muitos resultados são apenas enunciados, mas contêm as devidas refer-ências para suas demonstrações. Uma discussão mais completa, incluindo provas e aplicaçõespode ser encontrada nos seguintes textos: Dugundji [15], Eilenberg and Steenrood [16], Hatcher[24], Lee [30], Munkres [35], [36], Rotman [40], Spanier [41] and Whitehead [47].

A.1 Categorias e Funtores

Definição A.1. Uma Categoria C consiste de:

(1) Uma classe de objetos X .

(2) Para cada par ordenado (X,Y ) de objetos de C, um conjunto Hom(X,Y) de morfismos f . Se f ∈Hom(X,Y), escrevemos f : X → Y .

(3) Uma função, chamada composição de morfismos,

: Hom(X,Y)×Hom(Y,Z)→ Hom(X,Z)

a qual está definida para toda tripla (X,Y, Z) de objetos de C. Dados quaisquer dois morfismos f : X →Y e g : Y → Z, a imagem do par (f, g) pela operação de composição será denotada por g ◦ f : X → Z eos seguintes axiomas devem ser satisfeitos:

Axioma 1.(Associatividade) Dados morfismos f : W → X , g : X → Y e h : Y → Z, então:h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f .

Axioma 2.(Existência de identidades) Para cada objeto X , existe um elemento IdX : X → X tal

78 Fatos Algébricos e Topológicos

que

IdX ◦ f = f e g ◦ IdX = g

para todo morfismo f ∈ Hom(W,X) e para todo morfismo g ∈ Hom(X,Y), ondeW e Y são arbitrários.

Observação A.2. O morfismo identidade IdX ∈ Hom(X,X) é único (vide [36, pg. 155]).

Observação A.3. A categoria básica que estaremos considerando neste trabalho é a categoriados espaços topológicos (às vezes chamados apenas de espaços) e das funções contínuas, a qualserá denotada por Top.

Definição A.4. Dados morfismos f ∈ Hom(X,Y) e g, g′ ∈ Hom(Y,X), se g ◦ f = IdX , g é chamadoum morfismo inverso à esquerda para f e se f ◦ g′ = IdY , g′ é chamado um morfismo inverso à direitapara f .

Observação A.5. Observemos que se f possui morfismo inverso à esquerda g e inverso à direitag′, então g = g′ (vide [36, pg.156]). Nesse caso, g é chamado morfismo inverso para f . Alémdisso, mostra-se que g é único.

Definição A.6. Se f possui morfismo inverso, então f é chamado uma equivalência na categoria emquestão.

Observação A.7. Uma equivalência na categoria Top é chamada um homeomorfismo.

Definição A.8. Um funtor covariante F de uma categoria C em uma categoria D é uma função, a qualserá denotada por F : C→ D, que associa a cada objetoX de C, um objeto F(X) em D e, a cada morfismof : X → Y de C, um morfismo F(f) : F(X)→ F(Y ) de D, satisfazendo as seguintes condições:

(i) F(IdX) = IdF(X), para todo objeto X de C.

(ii) F(g ◦ f) = F(g) ◦ F(f), para todo morfismo X f→ Yg→ Z em C.

Ou seja, um funtor covariante deve preservar composições e identidades.

Observação A.9. Seja F : C→ D um funtor covariante. Observemos que se f : X → Y for umaequivalência na categoria C, então existe um único morfismo g : Y → X tal que g ◦ f = IdX ef ◦ g = IdY . Assim, segue da Definição A.8 que F(g) ◦ F(f) = F(g ◦ f) = F(IdX) = IdF(X) eF(f) ◦ F(g) = F(f ◦ g) = F(IdY ) = IdF(Y ) e, portanto, F(f) será uma equivalência na categoriaD.

Definição A.10. Um funtor contravariante F de uma categoria C em uma categoria D é uma função,a qual será denotada por F : C → D, que associa a cada objeto X de C, um objeto F(X) em D e, acada morfismo f : X → Y de C, um morfismo F(f) : F(Y ) → F(X) de D, satisfazendo as seguintescondições:

(i) F(IdX) = IdF(X), para todo objeto X de C.

(ii) F(g ◦ f) = F(f) ◦ F(g), para todo morfismo X f→ Yg→ Z em C.

A.2 Rank de Grupos Abelianos Livres e Módulos Graduados do Tipo Finito 79

Observação A.11. Exemplos importantes de funtores contravariantes que estaremos consi-derando neste trabalho serão apresentados no Capítulo B (Cohomologia Simplicial e Cohomologiade Cech).

A.2 Rank de Grupos Abelianos Livres Finitamente Gerados e Módu-los Graduados do Tipo Finito

Lema A.12 ([30], Capítulo 9, Lema 9.12, pg. 205). Se um grupo abeliano livre G possui base finita,então toda base de G possui o mesmo número de elementos.

Definição A.13. Se G for um grupo abeliano livre com base finita, o rank de G, denotado por rk(G),é definido como sendo o número de elementos de qualquer base finita (desde que, pelo Lema A.12, todabase finita de G possui o mesmo número de elementos).

Definição A.14. Dizemos que um elemento g de um grupo abeliano G é um elemento de torção seng = 0, para algum n ∈ Z. O conjunto de todos os elementos de torção é um subgrupo de G, chamadosubgrupo de torção e denotado por Gtor. Dizemos que G é livre de torção se o único elemento de torçãofor o elemento neutro 0 ∈ G.

Observação A.15. O grupo quociente G/Gtor é livre de torção.

Proposição A.16 ([30], Capítulo 9, Proposição 9.14, pg. 206). Qualquer grupo abeliano que é fini-tamente gerado e livre de torção é um grupo abeliano livre de rank finito.

Observação A.17. Se G for um grupo abeliano finitamente gerado, desde que G/Gtor é fini-tamente gerado e livre de torção, segue da Proposição A.16 que G/Gtor é um grupo abelianolivre de rank finito. Assim, podemos definir o rank de G como sendo o rank de G/Gtor.

Definição A.18. Dizemos que um módulo graduado {Cq}q∈Z é do tipo finito se Cq for finitamentegerado, para todo q ∈ Z.

Observação A.19. Um módulo graduado {Cq}q∈Z do tipo finito é finitamente gerado (comoum módulo graduado) se, e somente se, Cq = 0, exceto para um conjunto finito de inteiros q.

A.3 Característica de Euler

Definição A.20. Para qualquer espaço topológico X , o inteiro βq(X,Z) = rkHq(X,Z) (se for finito),é chamado o q-ésimo número de Betti de X . A característica de Euler de X1 é definida pela fórmula:

χ(X,Z) =∑q

(−1)pβq(X,Z),

desde que cada βq(X,Z) seja finito e βq(X,Z) = 0, para q suficientemente grande.1Vide [30], Capítulo 13, pg. 328


Podemos também definir a característica de Euler em termos de um espaço vetorial graduadosobre um corpo K2 como segue.

Definição A.21. Seja A∗ = {An}n∈N um espaço vetorial graduado sobre K localmente finito, isto é,dimKA

n é finita, para todo n ∈ N. A série de Poincaré para A∗ é a serie de potências formal

P (A∗, t) =∞∑n=0

(dimKAn)tn.

A característica de Euler para A∗ é definida como sendo

χ(A∗) = P (A∗,−1) =

∞∑n=0

(−1)n(dimKAn),

quando esta expressão fizer sentido.

Definição A.22. Se X for um espaço topológico e se K for um corpo, temos o espaço vetorial graduadosobre K, H∗(X;K) = {Hn(X;K);n ∈ N}. Se H∗(X;K) for localmente finito, a característica de Eulerde X será, por definição,

χ(X,K) = χ(H∗(X;K))

∞∑n=0

(−1)ndimKHn(X;K) =

∞∑n=0

(−1)nrkHn(X;K),

quando esta expressão fizer sentido.

A.4 Espaços de Eilenberg-Mac Lane

Definição A.23. Sejam G um grupo e n ≥ 1. Um espaço de Eilenberg-Mac Lane do tipo (G,n)3 é umespaço com ponto base conexo por caminhos (X,x0) satisfazendo a seguinte condição

πq(X,x0) ∼=

{0, se q 6= n

G, se q = n.

Observação A.24. Se n > 1, G é um grupo abeliano. Usaremos a notação K(G,n) para umespaço de Eilenberg-MacLane do tipo (G,n).

A.5 O homomorfismo de Bockestein

Sejam A,B,C grupos abelianos e X um espaço topológico. Se

0 // A // B // C // 0 (A.1)

2Vide [32], Capítulo 1, Definição 1.9, pg. 14.3Vide [47], Capítulo 5, § 7, pg. 244

A.6 Produto Tensorial 81

é uma seqüência exata curta, então a seqüência

0→ Hom(C∗(X), A)→ Hom(C∗(X), B)→ Hom(C∗(X), C)→ 0 (A.2)

é exata, onde C∗(X) denota o complexo de cadeias singulares de X . Assim, obtemos umaseqüência exata longa em cohomologia

· · · // Hk(X;A) // Hk(X;B) // Hk(X;C)βk // Hk+1(X;A) // · · · (A.3)

Definição A.25. Os homomorfismos conectantes

βk : Hk(X;C)→ Hk+1(X;A) (A.4)

são chamados homomorfismos de Bockstein associados à seqüência exata curta A.1.

A.6 Produto Tensorial

Definição A.26. Sejam X um conjunto não vazio e R um anel comutativo com identidade. De-notaremos por R(X) o conjunto de todas as funções f : X −→ R que são quase nulas, isto é,f(x) 6= 0 (elemento neutro da soma de R) apenas para um número finito de elementos x ∈ X . Fazendo(f + g)(x) = f(x) + g(x) e (rf)(x) = (rf(x)), para f, g ∈ R(X), r ∈ R e x ∈ X , o conjuntoR(X) é munido de uma estrutura de R-módulo. Os elementos x ∈ X podem ser identificados com asfunções fx ∈ R(X), que em x valem 1(elemento neutro da multiplicação), e valem 0, caso contrário.Dessa forma, uma função f pode ser representada como uma soma formal

∑rixi. O R-módulo R(X) é

chamado R-módulo livre gerado por X .

Sejam M,N dois R-módulos. Consideremos R(M × N) o R-módulo livre gerado pelos pares(m,n) ∈M ×N e S o R-submódulo de R(M ×N) gerado por elementos das seguintes formas:

(m+m′, n)− (m,n)− (m′, n),

(m,n+ n′)− (m,n)− (m,n′),

(rm, n)− r(m,n),

(m, rn)− r(m,n),

no qual m,m′ ∈M , n, n′ ∈ N e r ∈ R.

Definição A.27. O produto tensorial de M e N é o R-módulo M ⊗R N =R(M ×N)

S.

Na maioria das vezes adotaremos a notação⊗ ao invés de⊗R. As classes dos pares (m,n) serãodenotadas porm⊗n. Estes elementos geramM⊗N e possuem as seguintes propriedades, paracada m,m′ ∈M , n, n′ ∈ N e r ∈ R.


(i) (m+m′)⊗ n = m⊗ n+m′ ⊗ n.

(ii) m⊗ (n+ n′) = m⊗ n+m⊗ n′.

(iii) rm⊗ n = r(m⊗ n) = m⊗ rn.

Observação A.28. Tais propriedades seguem diretamente da definição.

Proposição A.29 ([16], Capítulo 5, Lema 9.2, pg. 140). SejaM umR-módulo, entãoR⊗M eM⊗Rsão isomorfos a M .

Demonstração: De fato, basta verificar que as seguintes aplicações M ⊗ R → R, m ⊗ r 7→ mr eR⊗M → R, r ⊗m 7→ rm são isomorfismos.

Definição A.30. Sejam f : M →M ′ e g : N → N ′ dois R-homomorfismos. Então,

f ⊗ g : M ⊗N →M ′ ⊗N ′

m⊗ n 7→ f(m)⊗ g(n)

define um R-homomorfismo, chamado o homomorfismo induzido por f e g.

Dado umR-móduloA, observemos que⊗A é funtor covariante entre a categoria dosR-módulos.De fato, dado um R-homomorfismo f : M → N , obtemos f ⊗ 1A : M ⊗ A → N ⊗ A, definidapor m ⊗ a 7→ f(m) ⊗ a. Os fatos que comprovam que ⊗A é um funtor covariante podemser encontrados em [40, Capítulo 2, Teorema 2.48, pg. 74]. Analogamente, A⊗ é um funtorcovariante.

A.7 Espaços Paracompactos

Definição A.31. Seja U = {Uα : α ∈ A} uma cobertura de um espaço topológico X . Um refinamentode U é uma cobertura V = {Vβ : β ∈ B} de X tal que para cada β ∈ B, existe α ∈ A com Vβ ⊂ Uα.Se V for um refinamento de uma cobertura U de X , dizemos que V refina U .

Observação A.32. Se os elementos de V são subconjuntos abertos de X , dizemos que V é umrefinamento aberto de U . Se os elementos de V são subconjuntos fechados de X , dizemos queV é um refinamento fechado de U .

Definição A.33. Uma cobertura U = {Uα : α ∈ A} de um espaço topológico X é chamada localmentefinita se para cada x ∈ X , existe um subconjunto aberto V (x) ⊂ X com x ∈ V (x) tal que Uα∩V (x) 6=∅, apenas para um número finito de índices α ∈ A, ou seja, o conjunto

{α ∈ A : Uα ∩ V (x) 6= ∅}

é finito.

A.7 Espaços Paracompactos 83

Observação A.34. Se U = {Uα : α ∈ A} for uma cobertura localmente finita de um espaçotopológico X , então

⋃α∈A

Uα =⋃α∈A

Uα.

(Vide [35, Lema 39.1]).

Definição A.35. Um espaço de Hausdorff X é paracompacto se toda cobertura aberta de X possui umrefinamento aberto localmente finito.

Observação A.36. Como parte da definição do termo paracompacto, seguindo a convenção deBourbaki, estamos incluindo a hipótese de que o espaço deve satisfazer a condição de Haus-dorff.

Proposição A.37. Todo espaço compacto Hausdorff é paracompacto.

Demonstração: SejaX um espaço compacto Hausdorff. Dada uma cobertura aberta U = {Uα;α ∈A} de X , desde que X é compacto, existe uma subcobertura finita V = {Uα1 , Uα2 , · · · , Uαn} deU , a qual refina U . Além disso, dado x ∈ X , para todo aberto V (x) de X contendo x, temos que

V (x) ⊂n⋃i=1

Uαi = X,

ou seja, V (x) intercepta apenas uma quantidade finita de abertos de V e, portanto, X é para-compacto.

Observação A.38. Se X for um espaço regular então X é paracompacto se, e somente se todacobertura aberta de X possui um refinamento fechado localmente finito. Esse resultado foiprovado por Ernest Michael em [34, Lema 1, pg.831] (Vide também [15, Teorema 2.3, pg.163]).

Proposição A.39. Todo subespaço fechado de um espaço paracompacto é paracompacto.

Demonstração: Sejam Y um subespaço fechado de um espaço paracompacto X e V = {Vα, α ∈A} uma cobertura aberta de Y por subconjuntos abertos em Y . Para cada Vα ∈ V , escolhamosum aberto Uα de X tal que Uα ∩ Y = Vα. Então, a coleção

U = {Uα : Uα ∩ Y = Vα ∈ V} ∪ {X − Y }

é uma cobertura aberta de X e, desde que X é paracompacto, existe um refinamento abertolocalmente finitoW = {Wβ, β ∈ B} de U . Mostremos que a coleção

WY = {Wβ ∩ Y : Wβ ∈ W}

é um refinamento aberto localmente finito de V . Com efeito, dadoWβ ∈ W , desde queW refinaU , existe um aberto Uα ∈ U tal que Wβ ⊂ Uα, logo Wβ ∩ Y ⊂ Uα ∩ Y = Vα, o que mostra que


WY refina V . Além disso, dado y ∈ Y ⊂ X , desde queW é localmente finito, existe um abertoV (y) em X tal que o conjunto {β ∈ B : Wβ ∩ V (y) 6= ∅} é finito. Assim, V (y) ∩ Y é um abertode Y contendo y tal que o conjunto

{β ∈ B : (Wβ ∩ Y ) ∩ (V (y) ∩ Y ) 6= ∅}

é finito e, portanto, Y é paracompacto.

Proposição A.40. Todo espaço paracompacto é normal.

Demonstração: Seja X um espaço paracompacto e mostremos primeiramente que X é regular.Dados a ∈ X e F um fechado de X tal que a 6∈ F , desde que X é Hausdorff 4, para cada x ∈ F ,podemos escolher um aberto U(x) que contém x tal que a 6∈ U(x). A coleção

U = {U(x) : x ∈ F} ∪ {X − F}

é uma cobertura aberta de X e, sendo X paracompacto, existe um refinamento aberto local-mente finito V de U . Consideremos a seguinte subcoleção

W = {W ∈ V;W ∩ F 6= ∅} ⊂ V.

Então, W é uma cobertura aberta de F e, além disso, se W ∈ W , então a 6∈ W . Desde queW ∩ F 6= ∅, existe U(x) ∈ U tal que W ⊂ U(x), com a 6∈ U(x). Seja

V =⋃

W∈WW

Temos que V é um aberto de X contendo F e, desde queW é uma cobertura aberta localmentefinita (pois V o é) segue de A.34 que

V =⋃

W∈WW.

Assim, a /∈ V . Portanto, V e X − V são abertos disjuntos contendo F e a, respectivamente, oque implica que X é regular.

Para concluirmos que X é normal, sejam F1 e F2 dois fechados disjuntos de X . Usando aregularidade5 de X , para cada x ∈ F1 podemos escolher um aberto U(x) de X contendo x talque U(x) ∩ F2 = ∅. Usando os mesmos argumentos anteriores, é possível exibir um aberto Vde X contendo F1 tal que V ∩ F2 = ∅. Dessa forma, V e X − V são abertos disjuntos contendoF1 e F2, respectivamente, o que implica que X é normal.

4X é Hausdorff se, e somente se, dado p ∈ X , para cada ponto q 6= p em X , existe um aberto U(p) ⊂ X tal queq /∈ U(p) (Vide [15, Teorema 1.2, pg.138]).

5X é regular se, e somente se, dados um ponto x ∈ X e um fechado F ⊂ X que não contém x, existe um abertoV ⊂ X contendo x tal que V ∩ F = ∅ Vide [15, Teorema 2.2, pg.141].

A.8 Join de Espaços Topológicos 85

Observação A.41. Usando-se a Proposição A.40 e o Teorema de E.Michael [15, Teorema 2.3(2),pg.163], prova-se o resultado a seguir.

Proposição A.42 ([15], Teorema 2.6, pg.165). Sejam X um espaço paracompacto e f : X → Y umaaplicação contínua, fechada e sobrejetora. Então, Y é paracompacto.

Proposição A.43. O produto de um espaço paracompacto com um espaço compacto Hausdorff é para-compacto.

Demonstração: Sejam X um espaço paracompacto e Y um espaço compacto Hausdorff. Dadauma cobertura aberta U de X × Y , para cada x ∈ X fixado, desde que {x} × Y é compacto,existe uma subcoleção finita {Uxα1

, . . . , Uxαnx} de U que cobre {x} × Y . Podemos escolher umaberto V (x) ⊂ X contendo x tal que V (x)× Y ⊂

⋃nxi=1 Uαi

6. Consideremos a cobertura aberta

UX = {V (x) : x ∈ X}

de X . Como X é paracompacto, existe um refinamento aberto localmente finito VX de UX eassim, para cada V ∈ VX , V ⊂ V (x) para algum x ∈ X . Mostremos que a cobertura aberta

W = {(V × Y ) ∩ Uxαi ; i = 1, . . . , nx, V ∈ VX}

de X × Y é um refinamento aberto localmente finito de U . Com efeito, temos que (V × Y ) ∩Uxαi ⊂ Uxαi , com Uxαi ∈ U . Além disso, dado (x, y) ∈ X × Y , como VX é localmente finito,existe um aberto U de X contendo x tal que U ∩ V 6= ∅, apenas para um número finito deelementos V ∈ VX . Então, considerando o aberto U × Y de X × Y contendo (x, y), temos que(U × Y )∩ [(V × Y )∩Uxαi ] 6= ∅, apenas para um número finito de elementos (V × Y )∩Uxαi ∈ We, portanto, X × Y é paracompacto.

Definição A.44. Um espaço topológico X é chamado σ-compacto se ele pode ser escrito como umareunião enumerável de subconjuntos compactos (Vide[34, pg.833]).

Observação A.45. Ernest Michael mostrou em [34, Proposição 4, pg.837] que o produto carte-siano de um espaço paracompacto com um espaço regular σ-compacto é paracompacto.

A.8 Join de Espaços Topológicos

Para qualquer espaço topológico X , o cone CX é o espaço quociente (X×I)∼ , onde I = [0, 1]

e ∼ é a relação de equivalência definida por (x, 1) ∼ (x′, 1), para todo x, x′ ∈ X ou, equivalen-temente,

CX =X × IX × {1}

.

6Sejam A ⊂ X , B ⊂ Y e W um aberto em X × Y tal que A× B ⊂ W . Se A e B são compactos, existem abertosU ⊂ X e V ⊂ Y tais que A×B ⊂ U × V ⊂W (Vide [35, Exercício 9, pg.171])


Intuitivamente, o cone CX é obtido a partir de X × I , identificando-se X × {1} em um únicoponto e pode ser visto como sendo a união de todos os segmentos de reta ligando os pontos deX a um ponto que não pertence a X , chamado vértice. De maneira análoga, a suspensão SX éo espaço quociente (X×I)

∼ , onde ∼ é a relação de equivalência (x, 0) ∼ (x′, 0) e (x, 1) ∼ (x′, 1),para todo x, x′ ∈ X . Intuitivamente, SX é obtido deX×I identificando-seX×{0} a um vérticeeX×{1} a um outro vértice e pode ser visto como sendo a união de todos os segmentos de retaligando pontos de X a dois vértices distintos, ambos não pertencendo a X . Mais geralmente,temos a seguinte

Definição A.46. O join X ∗ Y de dois espaços X e Y é o espaço quociente

X ∗ Y =X × I × Y∼

,

onde ∼ é a relação de equivalência definida por

(x, 0, y) ∼ (x, 0, y′), ∀ y, y′ ∈ Y e para cada x ∈ X fixado,

(x, 1, y) ∼ (x′, 1, y), ∀ x, x′ ∈ X e para cada y ∈ Y fixado.

A classe de equivalência de um elemento (x, t, y) em X ∗ Y será denotada por [x, t, y]. Observemos queo espaço X torna-se naturalmente um subespaço do join X ∗ Y , onde os pontos de X são pontos finaisde segmentos de reta. A inclusão natural é dada por

ı : X ↪→ X ∗ Y

x 7→ [x, 0, y]. (A.5)

Notemos também que a fórmula A.5 para a inclusão faz sentido e não depende da escolha particular doponto y ∈ Y . Existe um mergulho similar

: Y ↪→ X ∗ Y

y 7→ [x, 1, y]. (A.6)

Intuitivamente,X ∗Y é obtido identificando-se o subespaçoX×{0}×Y aX e o subespaçoX×{1} × Y é identificado com Y . Esse espaço pode ser visualizado como sendo a união de todosos segmentos de reta unindo pontos em X a pontos em Y , onde tais segmentos não possuempontos em comum, exceto possivelmente em seus extremos, ou seja, todo ponto [x, y, t] ∈ X ∗Yestá sobre um único segmento de reta unindo o ponto x ∈ X ⊂ X ∗ Y ao ponto y ∈ Y ⊂ X ∗ Y ;tal segmento é obtido fixando-se os pontos x, y e variando-se a coordenada t.

Exemplo A.47. Seja X um espaço topológico arbitrário.

(i) Se Y = {y0}, então X ∗ {y0} é o cone CX = X×IX×{1} .

(ii) Se Y = {y1, y2} for o espaço consistindo de dois pontos distintos, então X ∗Y é a suspensão


SX discutida anteriormente. Observemos que a suspensão pode ser vista como a união de doiscones, com vértices y1 e y2 respectivamente, identificados ao longo do “equador"X , ou seja,

(x, 0, y1) ∼ (x, 0, y2), para cada x ∈ X

(x, 1, y1) ∼ (x′, 1, y1) e (x, 1, y2) ∼ (x′, 1, y2), para todo x, x′ ∈ X.

(iii) S0 ∗ S0 é homeomorfo à esfera S1. Mais geralmente, Sn ∗ Sm é homeomorfo à esferaSn+m+1, via o homeomorfismo (t1z1, t2z2) 7→ (

√t1z1,

√t2z2). Detahes desse fato no caso n = 1

e m = 2n− 1 podem ser encontrados em [2].

(iv) Se X e Y forem iguais ao intervalo fechado I = [0, 1], então I × I × I é um cubo e I ∗ Ié obtido identificando-se as duas faces opostas desse cubo: X × {0} × Y e X × {1} × Y aossegmentos de reta X × {0} × {0} e {0} × {1} × Y , respectivamente e, deste modo, I ∗ I éhomeomorfo a um tetraedro.

Lema A.48. As inclusões ı : X ↪→ X ∗ Y e : Y ↪→ X ∗ Y definidas em A.5 e A.6 respectivamente,são homotópicas a uma aplicação constante.

Demonstração: Fixemos um ponto y0 ∈ Y . Por definição, o mergulho ı : X ↪→ X ∗ Y se fatoracomo a composição

ı : X ↪→ X ∗ {y0} ⊂ X ∗ Y

x 7→ [x, 0, y0].

Mas, como observado no Exemplo A.47 (i), X ∗ {y0} é o cone sobre X e, portanto, contrátil.Isso significa que ı é homotópica à constante, como queríamos demonstrar. De maneira in-teiramente análoga, mostra-se que a inclusão : Y ↪→ X ∗ Y é homotópica a uma aplicaçãoconstante.

Desde que todo ponto [x, t, y] ∈ X∗Y está sobre um único segmento de reta unindo o ponto x ∈X ⊂ X∗Y ao ponto y ∈ Y ⊂ X∗Y , uma forma conveniente de se escrever um elemento deX∗Yé como uma combinação linear formal t1x+ t2y, com 0 ≤ ti ≤ 1 e t1 + t2 = 1, com as seguintescondições: 0x + 1y = y, ∀x ∈ X e 1x + 0y = x, ∀y ∈ Y , as quais correspondem exatamente àsidentificações (x, 1, y) ∼ (x′, 1, y) e (x, 0, y) ∼ (x, 0, y′), respectivamante, na definição de X ∗ Y .De maneira análoga, o join de uma coleção finita de espaços topológicos {X1, X2, . . . , Xn} édefinido como segue.

Definição A.49. O join X1 ∗ · · · ∗ Xn de n-espaços X1, . . . , Xn é o espaço das combinações linearesformais t1x1 + · · · + tnxn tais que 0 ≤ ti ≤ 1 e

∑ni=1 ti = 1, com a convenção de que os termos 0ti

podem ser omitidos.

Exemplo A.50. Um caso especial da definição acima é quando cada um dos espaçosXi é apenasum ponto. Assim, temos que:


(i) O join de dois pontos {x0} ∗ {x1} é um segmento de reta.

(ii) O join de três pontos {x0} ∗ {x1} ∗ {x2} é um 2-simplexo com vértices x0, x1, x2.

(iii) O join de quatro pontos {x0}∗{x1}∗{x2}∗{x3} é um 3-simplexo com vértices x0, x1, x2, x3.

(iii) Mais geralmente, se {x0, x1, . . . , xk} for uma coleção de k + 1 pontos distintos, então, ojoin x0 ∗ x1 ∗ . . . ∗ xk é a envoltória convexa desses pontos e, portanto, é o k-dimensionalsimplexo ∆k com vértices {x0, x1, . . . , xk}. Se os k + 1 pontos {x0, x1, . . . , xk} são tais que{xi − x0, i = 1, . . . , k} formam a base canônica do Rk, então o seu join é o k-simplexo padrão

∆k = {(t0, . . . , tk) ∈ Rk+1;

k∑i=0

ti = 1 e 0 ≤ ti ≤ 1}.

Mais geralmente, o join7 de uma família arbitrária de espaços topológicos pode ser definidocomo segue

Definição A.51. Dada uma família de espaços topológicos {Xj}j∈J , definimos o join X = ∗j∈JXj

como sendo o seguinte espaço: os elementos de X são representados por J-uplas

(tjxj)j∈J , onde tj ∈ [0, 1], xj ∈ Xj e∑j∈J

tj = 1,

onde apenas um número finito dos tj′s são não nulos. Os elementos (tjxj) e (ujyj) representam o mesmoelemento de X se, e somente se,

(i) para cada j ∈ J , tj = uj ,

(ii) para cada j ∈ J , tj 6= 0, implica que xj = yj .

Temos aplicações coordenadas

tj : X = ∗j∈JXj → [0, 1]

(tixi) 7→ tj (A.7)

pj : t−1j (0, 1] → Xj

(tixi) 7→ xj . (A.8)

A topologia de Milnor sobre X = ∗j∈JXj é a topologia menos fina que torna contínuas todas asaplicações tj e pj , a qual pode ser caracterizada pela seguinte propriedade universal: uma aplicaçãof : Y → X = ∗j∈JXj é contínua se, e somente se, as aplicações

tj ◦ f : Y → [0, 1] e pj ◦ f : f−1(t−1j (0, 1]

)→ Xj

7Essa construção é devida a Milnor [33].


são contínuas, onde Y é arbitrário.

Proposição A.52. O join X1 ∗ · · · ∗Xn de n-espaços topológicos compactos é um espaço compacto.

Demonstração: É suficiente provar o caso n = 2 e o resultado seguirá por indução. DadosX1, X2 espaços compactos, o produto cartesiano X1 × I × X2 é um espaço compacto. Desdeque a projeção

p : X1 × I ×X2 → X1 ∗X2 =X1 × I ×X2

∼

é contínua e sobrejetora, segue que X1 ∗X2 é compacto.

Apêndice

BCohomologia de Cech

Este capítulo introduz a teoria básica da cohomologia de Cech. A idéia dessa construçãoé associar a um par de espaços topológicos (X,A), pares simpliciais (KU , LU ), onde U é umacobertura aberta de X . Os R-módulos de cohomologia de Cech do par (X,A) são definidos en-tão, como sendo o limite direto dos R-módulos de cohomologia simplicial relativosHq(KU , LU ;R), onde R é um anel comutativo com identidade. Para a construção da coho-mologia de Cech apresentamos inicialmente, na Seção B.1, uma descrição do conceito de limitedireto de R-módulos. Na Subseção B.1.2, é introduzido o conceito de limite direto de espaçostopológicos, que será usado na construção de Milnor, descrita no Capítulo 1. Na Seção B.2apresentamos os R-módulos de cohomologia simplicial relativos, a partir dos quais a coho-mologia de Cech é definida, na Seção B.3. As referências básicas para este capítulo são o artigoCech cohomology theory and the axioms de C.H.Dowker [13] e Algebraic Topology, Homology andCohomology de A.H. Wallace [46]. Usamos também como referência a dissertação de mestrado[37].

B.1 Limite Direto

Definição B.1. Seja (Λ,≤) um conjunto pré-ordenado. 1 Dizemos que (Λ,≤) é um conjuntodirigido se, para cada par de pontos α1 e α2 ∈ Λ, existe α3 ∈ Λ tal que α1 ≤ α3 e α2 ≤ α3.

Observação B.2. Alguns autores consideram na Definição B.1 a relação ≤ como sendo uma relação deordem parcial2.

Definição B.3. Seja (Λ,≤) um conjunto dirigido. Um sistema direto

{Xα, fαβ,Λ}

1Uma relação binária ≤ sobre um conjunto Λ é chamada uma pré-ordem se ≤ for reflexiva e transitiva. Umconjunto Λ munido de uma pré-ordem é chamado um conjunto pré-ordenado e será denotado por (Λ,≤).

2Seja (Λ,≤) um conjunto pré-ordenado. Se ≤ satisfaz a propriedade adicional: a ≤ b e b ≤ a ⇒ a = b (anti-simétrica), então Λ é chamado um conjunto parcialmente ordenado.

92 Cohomologia de Cech

em uma categoria C, consiste de uma família de objetos {Xα}α∈Λ em C indexados no conjunto dirigidoΛ e uma família de morfismos de C

{fαβ : Xβ → Xα, para cada β ≤ α},

satisfazendo as seguintes condições

(i) fαα = IdXα : Xα → Xα.

(ii) fαγ = fαβ ◦ fβγ : Xγ → Xα, se γ ≤ β ≤ α.

B.1.1 Limite Direto de R-módulos

Sejam R um anel comutativo com identidade 1R e

{Mα, fαβ,Λ}

um sistema direto R-módulos, ou seja, {Mα}α∈Λ é um familia de R-módulos indexada em umconjunto dirigido Λ e

{fαβ : Mβ →Mα; para cada β ≤ α}

é uma familia de R-homomorfismos satisfazendo as condições (i) e (ii) da Definição B.3. Con-sideremos a soma direta dos R-módulos Mα:

⊕α∈ΛMα e observemos que seus elementos po-

dem ser escritos de maneira única como uma soma finita mα1 + mα2 + · · · + mαn , onde cadamαi ∈Mαi e i = 1, . . . , n (Vide [26, pg.22]). Seja S o seguinte subconjunto de

⊕α∈ΛMα,

S = {mα − fβα(mα);α, β ∈ Λ, com α ≤ β}, (B.1)

onde fβα : Mα →Mβ , para cada α ≤ β e consideremos o sub-módulo 〈S〉 de⊕

α∈ΛMα geradopor S.

Definição B.4. Definimos o limite direto do sistema direto de R-módulos {Mα, fαβ,Λ} como sendo

o R-módulo quociente:

lim→α∈Λ

Mα =

⊕α∈ΛMα

〈S〉.

Observação B.5. Seja {Mα, fαβ,Λ} um sistema direto de R-módulos. Se

m ∈ lim→α∈Λ

Mα,

então m possui um representante em⊕

α∈ΛMα, o qual é exatamente um elemento mα ∈ Mα,para algum α ∈ Λ, ou seja, m = mα + 〈S〉, para algum α ∈ Λ (Vide [46, pg.242]).

B.1 Limite Direto 93

Observação B.6. Observemos que se mα ∈⊕

α∈ΛMα é tal que mα ∈ 〈S〉, então existe β ∈ Λ,com α ≤ β tal que fβα(mα) = 0 (Vide [46, pg.242]).

Definição B.7. Sejam Λ e Λ′ dois conjuntos dirigidos e {Mα, fαβ,Λ} e {Nα′ , g

α′β′ ,Λ′} dois sistemasdiretos de R-módulos, indexados pelos conjuntos dirigidos Λ e Λ′, respectivamente. Seja φ : Λ → Λ′

uma aplicação preservando a relação de ordem. Um sistema direto de R-homomorfismos é uma famíliade R-homomorfismos {fα : Mα → Nφ(α);α ∈ Λ}, tal que o seguinte diagrama é comutativo

Mαfα //

fβα

��

Nα′

gβ′α′

��Mβ

fβ // Nβ′

(B.2)

onde α′ = φ(α) ≤ φ(β) = β′, para todo α ≤ β.

Observação B.8. A familia {fα}α∈Λ induz um R-homomorfismo

⊕fα : ⊕α∈ΛMα → ⊕α′∈Λ′Nα′

definido por (⊕fα)(mα1 + · · ·+mαn) = fα1(mα1) + · · ·+ fαn(mαn).

Observemos que o elemento mα − fβα(mα) é levado por esta aplicação no elemento fα(mα)−fβ(fβα(mα)) = fα(mα)− gβ′α′(fα(mα)), onde a última igualdade segue da comutatividade dodiagrama B.2.

Assim, os elementos de 〈S〉 em⊕

α∈ΛMα são levados por ⊕fα em elementos do sub-módulocorrespondente 〈S′〉 de

⊕α′∈Λ′ Nα′ e, portanto, ⊕fα induz um homomorfismo entre os R-

módulos quocientesf = lim

→α∈Λ

fα : lim→α∈Λ

Mα → lim→

α′∈Λ′

Nα′ , onde

lim→α∈Λ

fα

(mα + 〈S〉) = fα(mα) + 〈S′〉. (B.3)

Definição B.9. O homomorfismo f = lim→fα definido em B.3 é chamado o limite direto dos R-

homomorfismos fα.

Observação B.10. Observemos da Definição B.7 que o limite direto dos R-homomorfismos fαé determinado também pela aplicação φ : Λ → Λ′, a qual preserva a relação de ordem entre osconjuntos dirigidos Λ e Λ′.

Observação B.11. Sejam {Mα, fαβ,Λ}, {Nα′ , g

α′β′ ,Λ′} e {Pα′′ , hα′′β′′ ,Λ′′} sistemas diretos,

φ : Λ → Λ′ e ψ : Λ′ → Λ′′ aplicações preservando as respectivas relações de ordem. Dados


os sistemas diretos de R-homomorfismos

{fα : Mα → Nφ(α); α ∈ Λ} e {gα′ : Nα′ → Pψ(α′); α′ ∈ Λ′},

onde φ(α) = α′ e ψ(α′) = α′′, temos que a composição ψ ◦ φ : Λ → Λ′′ é uma aplicaçãoque preserva ordem e, desde que pela Definição B.7, cada quadrado no seguinte diagrama écomutativo,

Mαfα //

fβα

��

Nα′

gβ′α′

��

gα′ // Pα′′

hβ′′α′′

��Mβ

fβ // Nβ′gβ′ // Pβ′′

(B.4)

segue que o diagrama a seguir também é comutativo

Mαgα′◦fα //

fβα

��

Pα′′

hβ′′α′′

��Mβ

gβ′◦fβ// Pβ′′ .

(B.5)

Portanto, a família de R-homomorfismos {gα′ ◦ fα : Mα → Pα′′} é um sistema direto de R-homomorfismos. Além disso, se mα + 〈S〉 ∈ lim

→α∈Λ

Mα, temos

lim→

α′∈Λ′

gα′

lim→α∈Λ

fα

(mα + 〈S〉) = lim→

α′∈Λ′

gα′(fα(mα) + 〈S′〉

)= gα′ ◦ fα(mα) + 〈S′′〉

=

lim→α∈Λ

gα′ ◦ fα

(mα + 〈S〉) .

Portanto, lim→α∈Λ

gα′ ◦ fα =

lim→

α′∈Λ′

gα′

lim→α∈Λ

fα

.

Definição B.12. Seja Λ um conjunto dirigido. Um subconjunto Λ0 de Λ é chamado co-final em Λ se,para cada α ∈ Λ, existe β ∈ Λ0 com α ≤ β.

Observação B.13. Seja Λ um conjunto dirigido. Se Λ0 ⊂ Λ for co-final em Λ, então Λ0 é umconjunto dirigido pela relação de ordem de Λ. De fato, dados α1 α2 ∈ Λ0 ⊂ Λ, desde que Λ éum conjunto dirigido, existe α3 ∈ Λ tal que α1 ≤ α3 e α2 ≤ α3. Além disso, como Λ0 é co-finalem Λ, para este α3 ∈ Λ, existe β ∈ Λ0 tal que α1 ≤ α3 ≤ β e α2 ≤ α3 ≤ β. Portanto, Λ0 é umconjunto dirigido.

B.1 Limite Direto 95

Proposição B.14. Sejam {Mα, fαβ,Λ} um sistema direto de R-módulos indexado pelo conjunto di-

rigido Λ e Λ0 ⊂ Λ co-final em Λ. Então,

lim→

α∈Λ0

Mα∼= lim→α∈Λ

Mα (B.6)

Demonstração: Dado o sistema direto de R-módulos {Mα, fαβ,Λ}, indexado pelo conjunto di-

rigido Λ, desde Λ0 é co-final em Λ, temos da Observação B.13 que {Mα, fαβ,Λ0} é um sistema

direto de R-módulos. Consideremos a inclusão φ : Λ0 ↪→ Λ, a qual é uma aplicação quepreserva a relação de ordem. Assim, temos que a família de R-homomorfismos

{Id = fα : Mα →Mφ(α) : α ∈ Λ0}

é um sistema direto de R-homomorfismos. Seja

f = lim→

α∈Λ0

fα : lim→

α∈Λ0

Mα → lim→α∈Λ

Mα

o limite direto dos R-homomorfismos fα e mostremos que f é um isomorfismo. Dada umaclasse lateral

mα + 〈S〉 ∈ lim→α∈Λ

Mα,

para algum α ∈ Λ, segue da co-finalidade de Λ0 que existe β ∈ Λ0 tal que α ≤ β. Sejafβα(mα) = mβ , então mβ + 〈S0〉 ∈ lim

→α∈Λ0

Mα e

( lim→

α∈Λ0

fα)(mβ + 〈S0〉) = fβ(mβ) + 〈S〉

= mβ + 〈S〉

= mβ + [mα − fβα(mα)] + 〈S〉

= mβ + [mα −mβ] + 〈S〉

= mα + 〈S〉,

desde que, por B.1, mα − fβα(mα) ∈ 〈S〉. Portanto, lim→

α∈Λ0

fα é sobrejetora.

Seja mα + 〈S0〉 ∈ lim→

α∈Λ0

Mα tal que mα + 〈S0〉 pertence ao núcleo de f . Assim,

( lim→

α∈Λ0

fα)(mα + 〈S0〉) = fα(mα) + 〈S〉 = mα + 〈S〉 = 〈S〉,

o que implica que mα ∈ 〈S〉. Segue da Observação B.6 que fβα(mα) = 0, para algum β ∈ Λ,


com α ≤ β. Pela co-finalidade de Λ0, para este β ∈ Λ, existe γ ∈ Λ0 tal que β ≤ γ. Então,

fγα(mα) = fγβ ◦ fβα(mα) = 0, com α ≤ β ≤ γ.

Logo, mα = mα − fγα(mα), onde α, γ ∈ Λ0 são tais que α ≤ γ, o que implica de B.1, quemα ∈ 〈S0〉, ou seja, mα + 〈S0〉 = 〈S0〉. Portanto, f é injetora.

B.1.2 Limite Direto de Espaços Topológicos

Definição B.15. Sejam Λ um conjunto dirigido e {Xα;α ∈ Λ} uma família de espaços topológicosindexada por Λ. Dada uma família de funções contínuas

{fαβ : Xβ → Xα, para cada par de índices α, β ∈ Λ tais que β ≤ α}

satisfazendo as condições (i) e (ii) da Definição B.3, então {Xα, fαβ,Λ} é chamado um sistema direto

de espaços topológicos .

Definição B.16. Seja {Xα;α ∈ Λ} uma família de espaços topológicos indexada em um conjunto deíndices arbitrário Λ. Para cada α ∈ Λ, seja

X∗α = {(x, α);x ∈ Xα} = Xα × {α},

o qual é homeomorfo a Xα. Observemos que X∗α ∩ X∗β = ∅, se α 6= β, ou seja, {X∗α; α ∈ Λ} é umafamília de espaços topológicos dois a dois disjuntos. Definimos uma topologia sobre

X =⋃α∈Λ

X∗α

como segue: U ⊂ X é aberto em X se, e somente se, U ∩ X∗α for aberto em X∗α, para cada α ∈ Λ. Xmunido desta topologia é chamado a união disjunta (ou união livre , ou ainda soma topológica ) dosespaços Xα e será denotado por ∑

α∈Λ

Xα.

Definição B.17. Sejam {Xα, fαβ,Λ} um sistema direto de espaços topológicos. Definimos sobre

∑α∈ΛXα

a seguinte relação de equivalência: dados xα ∈ Xα e xβ ∈ Xβ , então

xα ∼ xβ ⇔ ∃γ ∈ Λ, com α ≤ γ e β ≤ γ tal que fγα(xα) = fγβ(xβ).

O limite direto do sistema direto {Xα, fαβ,Λ}, o qual será denotado por

lim→α∈Λ

Xα ou X∞,

B.2 Cohomologia Simplicial 97

é definido como sendo o espaço quociente

lim→α∈Λ

Xα =

∑α∈ΛXα

∼= {[xα] : xα ∈ Xα}

Proposição B.18. Seja {Xα, fαβ,Λ} um sistema direto de espaços topológicos. Suponhamos que para

cada α, β ∈ Λ tais que β ≤ α, as aplicações contínuas fαβ : Xβ ↪→ Xα sejam inclusões. Então,

lim→α∈Λ

Xαdef=

∑α∈ΛXα

∼=∑α∈Λ

Xα

Demonstração: Sejam xα, xβ∑

α∈ΛXα tais que xα ∼ xβ . Então, existe γ ∈ Λ com α ≤ γ e β ≤ γ

tal que xα = fγα(xα) = fγβ(xβ) = xβ , desde que as aplicações fγα : Xα ↪→ Xγ e fγβ : Xβ ↪→ Xγ

são inclusões. Portanto, [xα] = {xα}, para todo xα ∈∑

α∈ΛXα. Segue o resultado.

Observação B.19. Seja {Xα, fαβ,Λ} um sistema direto de espaços topológicos nas mesmas

hipóteses da Proposição B.18. Se cada Xα for um espaço compacto Hausdorff, então,

lim→α∈Λ

Xα =∑α∈Λ

Xα

é paracompacto 3, desde que que a união disjunta de espaços paracompactos é um espaçoparacompacto (Vide [25, 9 DUP, pg.495]).

Exemplo B.20. Dado o sistema direto {Sn, ı,Z+}, onde ı : Sn ↪→ Sm, é a inclusão, para n ≤ m,segue da Proposição B.18 que

S∞ = lim→

n∈Z+

Sn =⋃n∈Z+

Sn.

B.2 Cohomologia Simplicial

Esta seção introduz a construção dos R-módulos de cohomologia simplicial relativos, osquais satisfazem os Axiomas de Eilenberg-Steenrod. Para essa construção, usamos como refe-rências [36] e [41].

B.2.1 A categoria dos pares simpliciais

Inicialmente, apresentamos as noções básicas sobre a categoria dos pares simpliciais e dasaplicações de pares simpliciais, necessárias para o desenvolvimento deste trabalho.

Definição B.21. Um complexo simplicial abstrato K é um par (V, S) onde V é um conjunto e S éuma coleção de subconjuntos finitos e não vazios de V satisfazendo as seguintes condições:

3Vide Definição A.35


(i) Se v ∈ V , então {v} ∈ S.

(ii) Se τ ⊂ σ ∈ S e se τ 6= ∅, então τ ∈ S.

Os elementos de v ∈ V são chamados vértices e os elementos σ ∈ S são chamados simplexos. Com essaterminologia, a condição (i) afirma que qualquer conjunto consistindo de exatamente um vértice é umsimplexo e a condição (ii) diz que qualquer subconjunto não vazio de um simplexo é um simplexo. Umq-simplexo é um elemento de S com q + 1 vértices. Se σ ∈ S for um q-simplexo, dizemos que dim(σ) = q. Se τ ⊂ σ, τ é chamado uma face de σ, se τ 6= σ, τ é chamada uma face própria de σ e se τ forum p-simplexo, ele é chamado uma p-face de σ. Se σ for um q-simplexo, então σ é a única q-face de σ eτ ⊂ σ é uma face própria de σ se, e somente se, dimτ < q.

Observação B.22. Seja K um complexo simplicial abstrato. Observemos que qualquer sim-plexo σ ∈ K possui um número finito de faces e, desde que, toda face de uma face de σ é elaprópria uma face de σ, os simplexos de K são parcialmente ordenados pela relação: τ ⊂ σ, seτ for uma face de σ. Segue da condição (i) da Definição B.21 que existe uma correspondênciabijetora entre os 0-simplexos de K e os vértices de K. E, da condição (ii), temos que qualquersimplexo é determinado por suas 0-faces. Portanto, K pode ser considerado como sendo igualao conjunto de seus simplexos e identificamos um vértice de K com o 0-simplexo correspon-dente a ele.

Exemplo B.23. Existe um complexo simplicial, cujo conjunto de vértices é V = Z e cujo con-junto de simplexos é

S = {{n};n ∈ Z} ∪ {{n, n+ 1};n ∈ Z}.

Nesse caso, para cada n ∈ Z, K contém os 0-simplexos {n} e os 1-simplexos {n, n+ 1}.

Definição B.24. Um sub-complexo L de um complexo simplicialK, o qual será denotado por L ⊂ K,é um subconjunto de K (ou seja, σ ∈ L⇒ σ ∈ K) que é ele próprio um complexo simplicial.

Exemplo B.25. Dado um complexo simplicialK, o seu q-dimensional esqueletoK(q) é definidocomo sendo o sub-complexo consistindo de todos os p-simplexos de K, para p ≤ q.

Observação B.26. Um subconjunto L de K é um sub-complexo de K se, e somente se, dadoqualquer simplexo τ em K que é uma face de um simplexo de L, ou seja, τ ⊂ σ, para algumσ ∈ L, então τ é um simplexo de L.

Definição B.27. Se K for um complexo simplicial, sua dimensão, denotada por dimK, é definida comosendo −1, se K for vazio e é igual a n, se K contém um n-simplexo, mas não contém nenhum (n + 1)-simplexo. Se K contém n-simplexos, para todo n ≥ 0, dizemos que dimK é infinita e, nesse caso, K échamado um complexo simplicial infinito-dimensional. Assim, dimK = sup{dimσ;σ ∈ K}. Dizemosque K é finito se ele contém apenas um número finito de simplexos.

Observação B.28. Se K for um complexo simplicial finito, então temos que dimK <∞. Entre-tanto, se dimK < ∞, K não é necessariamente finito. O Exemplo B.23, mostra um complexosimplicial infinito-dimensional K tal que dimK = 1.


Definição B.29. Dados dois complexos simpliciais abstratos K1 e K2, uma aplicação simplicialϕ : K1 → K2 é uma funçãoϕ do conjunto de vértices deK1 no conjunto de vértices deK2 com a seguintepropriedade: para qualquer simplexo σ = {v0, . . . , vq} ∈ K1, sua imagem ϕ(σ) = {ϕ(v0), . . . , ϕ(vq)} éum simplexo deK2. Especificamente, uma aplicação simplicialϕ : K1 → K2 é da formaϕ({v0, . . . , vq}) =

{ϕ0(v0), . . . , ϕ0(vq)}, para alguma aplicação ϕ0 : K(0)1 → K

(0)2 , chamada aplicação vértice de ϕ, onde

K(0)1 e K(0)

2 denotam os 0-esqueletos de K1 e K2, respectivamente.

Observação B.30. Para qualquer complexo simplicial abstrato K, existe uma aplicação sim-plicial identidade IdK : K → K, a qual corresponde a uma aplicação vértice identidade. SeL ⊂ K, existe uma inclusão natural ı : L ↪→ K, a qual é um aplicação simplicial. Dadasaplicações simpliciais

K1ϕ→ K2

ψ→ K3

então a composição ψ ◦ ϕ : K1 → K3 é uma aplicação simplicial, a qual corresponde a umaaplicação vértice composição.

Definição B.31. Um par simplicial é um par (K,L), onde K é um complexo simplicial abstrato eL é um subcomplexo de K. Uma aplicação de pares simpliciais ϕ : (K1, L1) → (K2, L2) é umaaplicação simplicial ϕ : K1 → K2 tal que ϕ(L1) ⊂ L2, ou seja, ϕ leva cada simplexo de L1 em umsimplexo de L2.

A categoria, cujos objetos são pares simpliciais (K,L) e cujos morfismos são aplicações de paressimpliciais ϕ : (K1, L1)→ (K2, L2) é chamada categoria dos pares simpliciais

B.2.2 Os R-módulos de Cohomologia Simplicial Relativos

Nesta seção, apresentamos um breve resumo sobre a construção dos R-módulos de coho-mologia simplicial relativos, onde R é um anel comutativo com identidade.

Definição B.32. Sejam K um complexo simplicial abstrato. Um q-simplexo orientado de K é umq-simplexo σ ∈ K junto com uma classe de equivalência, determinada pelas ordenações dos vértices de σ.Dadas duas ordenações vi0 < . . . < viq e vj0 < . . . < vjq dos vértices de σ, existe uma permutação P doconjunto {0, . . . , q} tal que P (ik) = jk, para k = 0, . . . , q. Definimos uma relação de equivalência sobreo conjunto de todas as ordenações dos vértices de σ da seguinte forma: duas ordenações são equivalentesse, e somente se, elas diferem por uma permutação par dos vértices de σ. Uma escolha de uma classede equivalência de ordenações dos vértices de σ é chamada uma orientação para σ. Se v0, . . . , vq sãovértices de σ, então [v0, v1, . . . , vq] denotará o q-simplexo orientado de K consistindo do simplexo σjunto com a classe de equivalência da ordenação v0 < v1 < . . . < vq de seus vértices.

Exemplo B.33. Seja K um complexo simplicial abstrato. Se q < 0, não existem q-simplexosorientados. Para todo vértice v de K, existe um único 0-simplexo orientado [v] e, para todoq-simplexo de K, com q ≥ 1, correspondem exatamente dois simplexos q-orientados. Assim,


se σ for um 0-simplexo, existe uma única orientação para σ. Uma orientação de um 1-simplexoé apenas uma escolha dos vértices inicial e final, a qual pode ser indicada esquematicamente,desenhando-se uma seta ao longo do simplexo. Uma orientação de um 2-simplexo é uma es-colha de um sentido preferencial de rotação, a qual pode ser indicada por uma “seta circular"e,assim, sucessivamente.

Definição B.34. Dado um complexo simplicial abstratoK, seja Cq(K;R) oR-módulo livre cuja basesão os q-simplexos orientados de K, chamado o R-módulo de q-cadeias simpliciais de K. Observemosque Cq(K;R) = {0}, para q < 0 ou q > dimK e, para todo q ≥ 0, Cq(K;R) é o R-módulo livre cujorank é igual ao número de q-simplexos orientados de K.Para cada q ≥ 1, definimos um operador bordo ∂q sobre um q-simplexo orientado pela fórmula:

∂q[σ] = ∂q[v0, v1, . . . , vq] =

q∑m=0

(−1)m[v0, v1, . . . , vm, . . . , vq],

onde [v0, v1, . . . , vm, . . . , vq] denota o (q − 1)-simplexo obtido omitindo-se o vértice vm. Então, ∂q seestende por R-linearidade a um único homomorfismo

∂q : Cq(K;R)→ Cq−1(K;R)

definido pela fórmula

∂q

(l∑

i=1

ri[σi]

)=

l∑i=1

ri∂q[σi] =

l∑i=1

ri

(q∑

m=0

(−1)m[vi0, vi1, . . . , v

im, . . . v

iq]

)

Para q ≤ 0, definimos ∂q : Cq(K;R)→ Cq−1(K;R) como sendo o homomorfismo trivial.

Observação B.35. O operador bordo ∂q, dado na Definição B.34, satisfaz ∂q−1 ◦ ∂q = 0 (Vide[36, pg.30, Lema 5.3]). Portanto, existe um complexo de cadeias

C(K;R) = {Cq(K;R), ∂q}q≥0,

chamado complexo de cadeias orientado de K.

Definição B.36. Dado um par simplicial (K,L), então Cq(L;R) é naturalmente um sub-módulo deCq(K;R) e o R-módulo quociente

Cq(K,L) =Cq(K;R)

Cq(L;R)

é um R-módulo livre, chamado o R-módulo de q-cadeias simpliciais relativo de K módulo L, oqual que tem como base todos os elementos da forma

σi + Cq(L;R),


onde σi é um q-simplexo orientado de K que não está em L. Temos que

∂q : Cq(K;R)→ Cq−1(K;R)

satisfaz ∂q(Cq(L;R)) ⊂ Cq−1(L;R). Assim, ∂q : Cq(L;R) → Cq−1(L;R) é a restrição do operadorbordo. Logo, ∂q induz um R-homomorfismo

Cq(K,L)→ Cq−1(K,L),

chamado operador bordo relativo, o qual também será denotado por ∂q e satisfaz∂q−1 ◦ ∂q = 0. Dessa forma, obtemos um complexo de cadeias

C(K,L;R) = {Cq(K,L;R); ∂q}q≥0 =

{Cq(K;R)

Cq(L;R); ∂q

}q≥0

.

Definimos o q-ésimo R-módulo de q-cocadeias simpliciais relativo como sendo

Cq(K,L;R) = Hom(Cq(K,L);R) = Hom

(Cq(K)

Cq(L);R

),

onde Hom(Cq(K,L);R) é o conjunto dosR-homomorfismos de Cq(K,L) emR. O operador cobordorelativo δq : Cq(K,L;R) → Cq+1(K,L;R) é definido como sendo o dual do operador bordo relativo∂q : Cq(K,L)→ Cq−1(K,L) e, desde que satisfaz δq◦δq−1 = 0, obtemos um complexo de cocadeias,denotado por Hom(C(K,L;R))

{Cq(K,L;R), δq}q≥0 = {Hom(Cq(K,L);R), δq}q≥0

=

{Hom

(Cq(K)

Cq(L);R

), δq}q≥0

O R-módulo de cohomologia orientado do par simplicial (K,L), com coeficientes em R, tambémchamado R-módulo de cohomologia simplicial e denotado por H∗(K,L;R) = {Hq(K,L;R)}q≥0 édefinido como sendo o R-módulo de cohomologia graduado do complexo de cocadeias

{Hom(Cq(K,L);R)}q≥0.

Observação B.37. Dada uma aplicação simplicial de pares

f : (K,L)→ (K1, L1),

então f induz um R-homomorfismo f∗ : H∗(K1, L1;R) → H∗(K,L;R). H∗(K,L;R) é umfuntor contravariante da categoria dos pares simpliciais na categoria dos R-módulos, o qualsatisfaz os Axiomas de Eilenberg-Steenrod (Vide [36, Pg.265]).


B.3 Os R-módulos de Cohomologia de Cech Relativos

Nesta seção, apresentamos a construção dos R-módulos de cohomologia de Cech relativos.A idéia básica dessa construção é associar a um par de espaços topológicos (X,A), pares sim-pliciais (KU , LU ). Os R-módulos de cohomologia de Cech do par (X,A) serão definidos comosendo o limite direto dos R-módulos Hq(KU , LU ;R). A referência básica para esta seção é oartigo Cech cohomology theory and the axioms de C.H.Dowker [13].

B.3.1 O nervo de uma cobertura

Definição B.38. Seja (X,A) um par de espaços topológicos. Uma cobertura aberta do par (X,A),a qual será denotada por (U ,U|A), é uma coleção U de subconjuntos abertos de X cuja reunião é X ,juntamente com uma subcoleção U|A de U , cuja reunião contém A. Denotaremos por Λ(X,A) a coleçãode todas as coberturas abertas do par (X,A).

Definição B.39. Uma cobertura aberta (V,V|A) em Λ(X,A) é chamada um refinamento aberto de(U ,U|A), se todo conjunto aberto de V está contido em algum conjunto aberto de U e, se além disso, todoconjunto aberto de V|A está contido em algum conjunto aberto de U|A.

Definição B.40. Definimos sobre Λ(X,A) a seguinte relação de ordem:

(U ,U|A) ≤ (V,V|A)⇔ (V,V|A) é um refinamento de (U ,U|A).

Lema B.41. (Λ(X,A),≤) é um conjunto dirigido.

Demonstração: Para qualquer cobertura aberta (U ,U|A) em (Λ(X,A), (U ,U|A) ≤ (U ,U|A). Alémdisso, se

(U ,U|A) ≤ (V,V|A) e (V,V|A) ≤ (W,W|A),

dado W ∈ W , existe V ∈ V com W ⊂ V . Para este V , existe U ∈ U tal que W ⊂ V ⊂ U .Logo, todo aberto de W está contido em algum aberto de U . Analogamente, mostra-se quetodo conjunto aberto deW|A está contido em algum aberto de U|A. Portanto,

(U ,U|A) ≤ (W,W|A)

e, segue que, (Λ(X,A),≤) é um conjunto pré-ordenado. Para mostrarmos que (Λ(X,A),≤) éum conjunto dirigido, sejam (U ,U|A) e (V,V|A) duas coberturas abertas em (Λ(X,A) e consi-deremos

W = {U ∩ V ;U ∈ U e V ∈ V}

W|A = {U |A ∩ V |A;U |A ∈ U|A e V |A ∈ V|A}.

B.3 Os R-módulos de Cohomologia de Cech Relativos 103

Então, dado W ∈ W existem U ∈ U e V ∈ V tais que W = U ∩ V ⊂ U e W = U ∩ V ⊂ V .Analogamente, mostra-se que todo aberto deW|A está contido em algum aberto de U|A e emalgum aberto de V|A. Assim,

(U ,U|A) ≤ (W,W|A) e (V,V|A) ≤ (W,W|A),

ou seja, (W,W|A) refina (U ,U|A) e (V,V|A).

Observação B.42. Para simplificar a notação, de agora em diante, denotaremos uma cobertura(U ,U|A) do par (X,A) simplesmente por U , ou seja, U = (U ,U|A). Assim, a relação ≤ definidasobre Λ(X,A) será representada da seguinte forma

U = (U ,U|A) ≤ V = (V,V|A)⇔ V refina U . (B.7)

A cada cobertura aberta U = (U ,U|A) de um par (X,A), podemos associar um par simplicial(KU , LU ), de tal forma que os vértices de KU são os conjuntos abertos dessa cobertura; umsimplexo de KU é qualquer coleção finita de conjuntos abertos de U , cuja intersecção é nãovazia. Um simplexo de LU é qualquer coleção finita de conjuntos abertos de U cuja intersecçãoencontra A . Mais precisamente, temos a seguinte

Definição B.43. Dada uma cobertura aberta U = (U ,U|A) do par (X,A), seja KU o complexo simpli-cial cujos vértices são os conjuntos abertosU ∈ U . Se σ é um simplexo deKU , então σ = [U0, U1, . . . , Uq]

é tal que

U0 ∩ U1 ∩ . . . ∩ Uq 6= ∅.

Além disso, LU denotará o subcomplexo de KU consistindo de todos os simplexos τ = [U0, U1, . . . , Un]

tais que

U0 ∩ U1 ∩ . . . ∩ Un ∩A 6= ∅.

O par simplicial (KU , LU ) é chamado o nervo da cobertura U = (U ,U|A) e será denotado porN (U ,U|A) =

N (U). Para todo q ≥ 0, os R-módulos de cohomologia simplicial

Hq(KU , LU ;R)

do par simplicial (KU , LU ) também são denotados por

Hq(N (U);R).

Definição B.44. Sejam U = (U ,U|A) e V = (V,V|A) duas coberturas abertas do par (X,A) tais queU ≤ V , ou seja, V refina U . Assim, para cada V ∈ V , podemos escolher U ∈ U tal que V ⊂ U .Analogamente, para cada V |A ∈ V|A, podemos escolher U |A ∈ U|A tal que V |A ⊂ U |A. Definimos uma


aplicação, chamada aplicação projeção , da seguinte forma

fVU : (KV , LV) → (KU , LU )

V 7→ fVU (V ) = U, com V ⊂ U (B.8)

Lema B.45. A aplicação projeção fVU : (KV , LV)→ (KU , LU ) é uma aplicação simplicial.

Demonstração: Observemos inicialmente que fVU leva vértices de KV em vértices de KU . Alémdisso, dado um simplexo σ = [V0, . . . , Vq] ∈ KV , temos

∅ 6= V0 ∩ . . . ∩ Vq ⊂ U0 ∩ . . . ∩ Uq = fVU (V0) ∩ . . . ∩ fVU (Vq)

e, deste modo, fVU (σ) = [fVU (V0), . . . , fVU (Vq)] é um simplexo em KU .

Mais ainda, dado um simplexo τ = [V0, . . . , Vn] ∈ LV , então cada Vi ∈ V|A e, deste modo,fVU (Vi) ∈ U|A, para todo i = 0, . . . , n. Assim, temos que

∅ 6= V0 ∩ . . . ∩ Vq ∩A ⊂ U0 ∩ . . . ∩ Un ∩A = fVU (V0) ∩ . . . ∩ fVU (Vn) ∩A

e, portanto, fVU (τ) = [fVU (V0), . . . , fVU (Vq)] é um simplexo em LU .

Observação B.46. A aplicação projeção fVU : (KV , LV) → (KU , LU ) não é necessariamenteúnica, desde que dado um aberto V ∈ V , fVU (V ) depende de uma escolha para o aberto U ∈ Usatisfazendo a condição V ⊂ U . Entretanto, para cada q ≥ 0, o homomorfismo induzido emcohomologia simplicial

(fVU )∗ : Hq(KU , LU ;R)→ Hq(KV , LV ;R) (B.9)

é independente da escolha para fVU , como mostra o lema a seguir.

Lema B.47. [13, pg. 182] Sejam fVU , gVU : (KV , LV) → (KU , LU ) aplicações projeções obtidas apartir de escolhas distintas. Então, os homomorfismos induzidos em cohomologia simplicial coincidem,ou seja, para cada q ≥ 0,

(fVU )∗ = (gVU )∗ : Hq(KU , LU ;R)→ Hq(KV , LV ;R).

Obtemos assim uma coleção de homomorfismos

{(fVU )∗ : Hq(KU , LU ;R)→ Hq(KV , LV ;R), para cada U ≤ V} (B.10)

e, dessa forma, podemos considerar a seguinte

Proposição B.48. Seja Λ(X,A) a coleção de todas as coberturas abertas do par (X,A). Então, para


cada q ≥ 0, a coleção

{Hq(KU , LU ;R), (fVU )∗,Λ(X,A)}

é um sistema direto.

Demonstração: Dada uma aplicação projeção fUU : (KU , LU ) → (KU , LU ), então fUU induz ohomomorfismo identidade

(fUU )∗ = Id : Hq(KU , LU ;R)→ Hq(KU , LU ;R).

Se U , V eW são coberturas abertas do par (X,A) tais que U ≤ V ≤ W e se

fVU : (KV , LV)→ (KU , LU ) e fWV : (KW , LW)→ (KV , LV)

são aplicações projeções, então a composição

fVU ◦ fWV : (KW , LW)→ (KV , LV)→ (KU , LU )

é uma aplicação projeção, desde que dado W ∈ W , existe V = fWV(W ) ∈ V tal que W ⊂ V .Para este V ∈ V , existe U = fVU (V ) ∈ U , com V ⊂ U , logo existe U = fVU ◦ fWV(W ), comW ⊂ U .

Como fWU : (KW , LW) → (KU , LU ) é também uma aplicação projeção, segue do Lema B.47 edo fato da cohomologia simplicial ser um funtor contravariante que

(fWU )∗ = (fVU ◦ fWV)∗ = (fWV)∗ ◦ (fVU )∗ : Hq(KU , LU )→ Hq(KW , LW).

Portanto, para cada q ≥ 0, a coleção {Hq(KU , LU ;R), (fVU )∗,Λ(X,A)} é um sistema direto.

Definição B.49. O q-ésimoR-módulo de Cohomologia de Cech do par (X,A), denotado por H∗(X,A;R),é definido como sendo o limite direto do sistema direto

{Hq(KU , LU ;R), (fVU )∗,Λ(X,A)}

(Vide Definição B.4), ou seja, para cada q ≥ 0:

Hq(X,A;R) = lim→

U∈Λ(X,A)

Hq(KU , LU ;R). (B.11)

Portanto, temos o R-módulo graduado de cohomologia de Cech

H∗(X,A;R) =⊕q≥0

Hq(X,A;R). (B.12)


B.3.2 O Homomorfismo induzido em Cohomologia de Cech

Para cada aplicação de pares f : (X,A) → (Y,B), nosso objetivo é construir um sis-tema direto de R-homomorfismos, (Vide Definição B.7) associado a f , o qual induz um R-homomorfismo entre osR-módulos de cohomologia de Cech. Para isto, sejam Λ(Y,B) e Λ(X,A)

os conjuntos dirigidos formados pelas coleções de todas as coberturas abertas dos pares (Y,B)

e (X,A), respectivamente. Dados os sistemas diretos de R-módulos

{Hq(KUY , LUY ;R), (fVY UY )∗,Λ(Y,B)}

{Hq(KUX , LUX ;R), (fVXUX )∗,Λ(X,A)}

seja φ : Λ(Y,B)→ Λ(X,A) definida da seguinte forma:

φ(UY ) = UX = {f−1(U) : U ∈ UY }. (B.13)

Lema B.50. A aplicação φ : Λ(Y,B)→ Λ(X,A) definida em (B.13) preserva ordem.

Demonstração: Sejam UY ,VY ∈ Λ(Y,B) tais que UY ≤ VY , ou seja, VY refina UY e mostremosque φ(UY ) = UX ≤ VX = φ(VY ). Dado um aberto VX ∈ VX , então VX = f−1(VY ), para algumVY ∈ VY . Como VY refina UY , existe um aberto UY ∈ UY tal que VY ⊂ UY . Assim,

VX = f−1(VY ) ⊂ f−1(UY ),

e existe UX = f−1(UY ) ∈ UX tal que VX ⊂ UX . Portanto, UX ≤ VX .

Dadas duas coberturas abertas UY ∈ Λ(Y,B) e UX ∈ Λ(X,A) tais que UX = φ(UY ), considere-mos os nervos associados a estas coberturas,

(Kφ(UY ), Lφ(UY )) e (KUY , LUY ).

Seja UX ∈ UX = φ(UY ) um vértice no complexo simplicial KUX = Kφ(UY ). Então, UX =

f−1(UY ), para algum UY ∈ UY , ou seja, UY é um vértice em KUY . Analogamente, se UX |Aé um vértice em LUX = Lφ(UY ), desde que f(A) ⊂ B, segue que UX |A = f−1(UY |B), paraalgum vértice UY |B em LUY . Observemos que o aberto UX não é necessariamente único, desdeque dois conjuntos abertos em UY podem possuir a mesma imagem inversa pela aplicação f .Contudo, fixamos uma escolha para UX e definimos a aplicação

fUY : (Kφ(UY ), Lφ(UY )) → (KUY , LUY ), onde φ(UY ) = UX (B.14)

UX 7→ UY , com UX = f−1(UY )

a qual leva os vértices UX = f−1(UY ) de Kφ(UY ) sobre os vértices UY de KUY . Mostremos quefUY assim definida é uma aplicação simplicial. Com efeito, seja σ = [U0

X , . . . , UpX ] um simplexo


em KUX = Kφ(UY ). Desde que

∅ 6= U0X ∩ . . . ∩ U

pX = f−1(U0

Y ) ∩ . . . ∩ f−1(UpY ) = f−1(U0Y ∩ · · · ∩ U

pY ),

isso implica que U0Y ∩ · · · ∩ U

pY 6= ∅. Portanto,

fUY (σ) = fUY ([U0X , . . . , U

pX ]) = [U0

Y , · · · , UpY ]

é um simplexo de KUY . Mais ainda, dado um simplexo τ = [U0X , . . . , U

nX ] ∈ LUX = Lφ(UY ),

então cada U iX ∈ UX |A e, como f(A) ⊂ B, deste modo, fUY (U iX) = U iY ∈ UY |B , para todoi = 0, . . . , n. Assim, temos que

∅ 6= U0X ∩ . . . ∩ UnX ∩A ⊂ f−1(U0

Y ) ∩ . . . ∩ f−1(UnY ) ∩ f−1(B)

= f−1(U0Y ∩ · · · ∩ UnY ∩B)

isso implica que U0Y ∩ · · · ∩ UnY ∩B 6= ∅. Portanto,

fUY (τ) = fUY ([U0X , . . . , U

nX ]) = [U0

Y , · · · , UnY ]

é um simplexo de LUY .

Observação B.51. A aplicação fUY : (Kφ(UY ), Lφ(UY ))→ (KUY , LUY ), onde φ(UY ) = UX , definidaem (B.14), não é necessariamente única, desde que dado um abertoUX ∈ UX , fUY (UX) dependede uma escolha para o aberto UY ∈ UY satisfazendo a condição UX = f−1(UY ). Entretanto,para cada q ≥ 0, o homomorfismo induzido em cohomologia simplicial

(fUY )∗ : Hq(KUY , LUY ;R)→ Hq(Kφ(UY ), Lφ(UY );R); φ(UY ) = UX (B.15)

é independente da escolha para fUY , como mostra o lema a seguir.

Lema B.52. [13, Pg. 283] Sejam fUY , gUY : (Kφ(UY ), Lφ(UY )) → (KUY , LUY ) aplicações obtidas apartir de escolhas distintas. Então, os homomorfismos induzidos em cohomologia simplicial coincidem,ou seja, para cada q ≥ 0,

(fUY )∗ = (gUY )∗ : Hq(KUY , LUY ;R)→ Hq(Kφ(UY ), Lφ(UY );R).

Obtemos assim, uma coleção de R-homomorfismos

{(fUY )∗ : Hq(KUY , LUY ;R)→ Hq(Kφ(UY ), Lφ(UY );R),UY ∈ Λ(Y,B)}

e, dessa forma, podemos considerar a seguinte

Proposição B.53. Dada uma aplicação de pares f : (X,A)→ (Y,B), consideremos os sistemas diretos


de R-módulos:{Hq(KUY , LUY ;R), (fVY UY )∗,Λ(Y,B)},

{Hq(KUX , LUX ;R), (fVXUX )∗,Λ(X,A)},

com UX = φ(UY ) ≤ φ(VY ) = VX , para cada UY ≤ VY (Vide B.10), onde φ : Λ(Y,B)→ Λ(X,A) é aaplicação definida em (B.13), a qual preserva ordem. Então, a familia de R-homomorfismos

{(fUY )∗ : Hq(KUY , LUY ;R)→ Hq(Kφ(UY ), Lφ(UY );R), UY ∈ Λ(Y,B)},

é um sistema direto de R-homomorfismos.

Demonstração: Consideremos o seguinte diagrama

(KVX , LVX )fVY //

fVXUX��

(KVY , LVY )

fVY UY��

(KUX , LUX )fUY // (KUY , LUY )

(B.16)

onde UX = φ(UY ) ≤ φ(VY ) = VX , para cada UY ≤ VY em Λ(Y,B). Dado um aberto VX ∈VX = φ(VY ), então VX = f−1(VY ), para algum VY ∈ VY . Como VY refina UY , existe um abertoUY ∈ UY tal que VY ⊂ UY . Assim,

VX = f−1(VY ) ⊂ f−1(UY ),

e existe UX = f−1(UY ) ∈ UX tal que VX ⊂ UX . Então, segue das Definições (B.8) e (B.14) que

(fVY UY ◦ fVY )(VX) = fVY UY (fVY (VX))

= fVY UY (VY )

= UY

= fUY (UX)

= fUY (fVXUX (VX))

= (fUY ◦ fVXUX )(VX).

Deste modo, segue que o diagrama (B.16) é comutativo. Assim, temos que

(fVY )∗ ◦ (fVY UY )∗ = (fVY UY ◦ fVY )∗

= (fUY ◦ fVXUX )∗

= (fVXUX )∗ ◦ (fUY )∗.


e, portanto, o correspondente diagrama em cohomologia

Hq(KUY , LUY ;R)(fUY )∗

//

(fVY UY )∗

��

Hq(KUX , LUX ;R)

(fVXUX )∗

��Hq(KVY , LVY ;R)

(fVY )∗// Hq(KVX , LVX ;R)

(B.17)

é comutativo. Portanto, a familia de R-homomorfismos dada é um sistema direto de R-homo-morfismos.

Definição B.54. Seja f : (X,A) → (Y,B) uma aplicação de pares. Definimos o homomorfismoinduzido em cohomologia de Cech, o qual será denotado por f∗, como sendo o limite direto dosistema direto de R-homomorfismos

{(fUY )∗ : Hq(KUY , LUY ;R)→ Hq(Kφ(UY ), Lφ(UY );R),UY ∈ Λ(Y,B)},

ou seja, para cada q ≥ 0:

f∗ = lim→

UY ∈Λ(Y,B)

(fUY )∗ : Hq(Y,B;R)→ Hq(X,A;R) (B.18)

Portanto, existe o homomorfismo de R-módulos graduados de grau zero induzido em cohomologia deCech,

f∗ : H∗(Y,B;R)→ H∗(X,A;R). (B.19)

B.3.3 Os Axiomas de Eilenberg-Steenrod

Denotemos por Top2 a categoria dos pares topológicos junto com as aplicações contínuasde pares e por R-mod a categoria que tem como objetos os R-módulos e como morfismos osR-homomorfismos.

Teorema B.55. Para todo q ≥ 0, a função

Hq : Top2 → R-mod (B.20)

que associa a cada par de espaços (X,A), o R-módulo de cohomologia de Cech

Hq(X,A;R)

e a cada aplicação continua de pares f : (X,A) → (Y,B) associa o homomorfismo induzido em coho-mologia de Cech

f∗ : Hq(Y,B;R)→ Hq(X,A;R)

é um funtor contravariante, chamado q-funtor Cohomologia de Cech.


Demonstração: [1] Seja Id : (X,A)→ (X,A) a aplicação identidade. Então, para cada coberturaaberta UX ∈ Λ(X,A), a aplicação simplicial fUX = Id(KUX ,LUX ) é a aplicação identidade e,portanto, induz o homomorfismo identidade (fUX )∗ na cohomologia simplicial e, deste modo,

f∗ = (Id)∗ : Hq(X,A;R)→ Hq(X,A;R).

[2] Sejam f : (X,A) → (Y,B), g : (Y,B) → (Z,C) aplicações de pares. Para cada coberturaaberta UZ ∈ Λ(Z,C), seja UY = g−1(UZ), UX = f−1(UY ). Consideremos

fUY : (KUY , LUY )→ (KUX , LUX ) , gUZ : (KUZ , LUZ )→ (KUY , LUY )

(g ◦ f)UZ : (KUZ , LUZ )→ (KUX , LUX )

as aplicações simpliciais. Se UX é um vértice deKUX , então fUY (UX) é um vértice VY deKUY talque U = f−1(VY ) e gUZ (VY ) é um vértice WZ de KUZ tal que VY = g−1(WZ). Assim, gUZ ◦ fUYleva o vértice UX no vértice WZ e UX = (g ◦ f)−1(WZ). Segue do Lema B.52 e do fato dacohomologia simplicial ser um função contravariante que

((g ◦ f)UZ )∗ = (gUZ ◦ fUY )∗ = (fUY )∗ ◦ (gUZ )∗

e, portanto, usando a Observação B.11 temos que

ˇ(g ◦ f)∗

= lim→

UZ∈Λ(Z,C)

((g ◦ f)UZ )∗

= lim→

UZ∈Λ(Z,C)

[(fUY )∗ ◦ (gUZ )∗]

=

lim→

UY ∈Λ(Y,B)

(fUY )∗

lim→

UZ∈Λ(Z,C)

(gUZ )∗

= f∗ ◦ g∗,

o que implica que Hq é um funtor contravariante.

C.H. Dowker mostrou em [13, pgs. 285-292], que a Teoria de Cohomologia de Cech satisfaz osaxiomas de Eilenberg-Steenrod. Em resumo, a Teoria de Cohomologia de Cech é a coleção dosq-funtores cohomologia de Cech {Hq} que satisfaz os seguintes axiomas:

1. (INVARIÂNCIA HOMOTÓPICA) Se f1, f2 : (X,A) → (Y,B) são aplicações homotópicas,então f∗1 = f∗2 .

2. (EXATIDÃO) Dados os pares (X,A) e (A,B), existe um R-homomorfismo

δ : Hq(A,B;R)→ Hq+1(X,A;R)


que comuta com os homomorfismos induzidos em cohomologia de Cech e a sequêncialonga

· · · δ // Hq+1(X,A;R)∗ // Hq+1(X,B;R)

ı∗ // Hq+1(A,B;R)δ //

é exata, onde ı : (A,B)→ (X,B), : (X,B)→ (X,A) são as inclusões.

3. (EXCISÃO) Se (X,A) é um par eB é um subconjunto deX tal queB ⊂ Int(A), então, paratodo q ≥ 0, o homomorfismo

ı∗ : Hq(X,A;R)→ Hq(X −B,A−B;R)

induzido da inclusão é um isomorfismo.

4. (DIMENSÃO) Se X = {x0} consiste de um apenas ponto, então

Hq({x0};R) =

{R, q = 0

0, q > 0 .

Segue da validade dos Axiomas de Eilenberg-Steenrod , como acontece no caso da cohomologiasingular, que existe a seqüência de Mayer-Vietoris na cohomologia de Cech, dada a seguir:

Proposição B.56. Se {(X1, A1), (X2, A2)} for um par excisivo 4 de (X,A) = (X1 ∪ X2, A1 ∪ A2),então a seguinte seqüência longa

· · · → Hq(X,A;R)ζ→ Hq(X1, A1;R)⊕ Hq(X2, A2;R)

η→ Hq(X1 ∩X2, A1 ∩A2;R)→ · · ·

é exata, onde ζ = (i∗1,−i∗2), η = ˇ∗1 + ˇ∗

2 com i1 : (X1, A1) → (X,A), i2 : (X2, A2) → (X,A),`1 : (X1 ∩X2, A1 ∩A2)→ (X1, A1) e `2 : (X1 ∩X2, A1 ∩A2)→ (X2, A2).

Definição B.57. Dizemos que o par (U, V ) é um par de vizinhanças do par (X,A) se U for umavizinhança de X e se V for uma vizinhança de A. Se U e V forem vizinhanças fechadas em um espaçotopológico Y , dizemos que (U, V ) é um par de vizinhanças fechadas.

SejaN a família de pares de vizinhanças fechadas {(U, V )} do par (X,A) com a seguinte relaçãode ordem dada pelas inclusões, ou seja,

(U, V ) ≤ (U ′, V ′)⇔ U ′ ⊂ U e V ′ ⊂ V. (B.21)

Temos que N conjunto é um dirigido. Com efeito, para todo

(U, V ), (U, V ) ≤ (U, V )

4Vide [41, Pag. 188]


pois U ⊂ U e V ⊂ V . Dados (U, V ) ≤ (U ′, V ′) ≤ (U ′′, V ′′), então temos as inclusões V ′′ ⊂V ′ ⊂ V e U ′′ ⊂ U ′ ⊂ U , o que implica que V ′′ ⊂ V e U ′′ ⊂ U , logo, (U, V ) ≤ (U ′′, V ′′).Finalmente, dados (U, V ), (U ′, V ′) pares de vizinhanças fechadas de (X,A), temos que U ∩U ′ éuma vizinhança fechada que está contida em U e U ′ e, analogamente V ∩ V ′ é uma vizinhançafechada que está contida em V e V ′ e, portanto,

(U, V ) ≤ (U ∩ U ′, V ∩ V ′) (U ′, V ′) ≤ (U ∩ U ′, V ∩ V ′)

ou seja N é um conjunto dirigido. Usando as propriedades da cohomologia de Cech, temosque a família

{Hq(U, V ), ı∗,N}

onde ı∗ : Hq(U ′, V ′;R) → Hq(U, V ;R) é a induzida em cohomologia de Cech da inclusãoı : (U ′, V ′)→ (U, V ), é um sistema direto. Deste modo, temos o seguinte

Teorema B.58. [46, Teorema 6-16 pag 227 e Teorema 7.10, pag. 250](TEOREMA DA CONTINUIDADE) Seja (X,A) um par de espaços, onde A é fechado em X e X é umsubconjunto fechado de um espaço normal Y . Então, existe um isomorfismo

$ : lim→

(U,V )∈N

Hq(U, V ;R)→ Hq(X,A;R),

ou seja,Hq(X,A;R) ∼= lim

→(U,V )∈N

Hq(U, V ;R).

B.3.4 Produto cup `

Sejam (X,A1), (X,A2) pares de espaços tais que {A1, A2} é um par excisivo de A1 ∪ A2

e Λ(X,A) é o conjunto dirigido de todas coberturas abertas do par (X,A). Suponhamos que(KU , L

1U ), (KU , L

2U ) e (KU , L

12U ) sejam os pares simpliciais para (X,A1), (X,A2) e

(X,A1 ∪A2), respectivamente.

Temos que, se {A1, A2} é um par excisivo de A1 ∪A2, então {L1U , L

2U} é um par excisivo de L12

U .

e, deste modo temos o seguinte diagrama comutativo

Hp(KU , L1U ;R)×Hq(KU , L

2U ;R)

fVU1 ×fVU2 //

^

��

Hp(KV , LV ;R)×Hq(KV , L2V ;R)

^

��Hp+q(KU , L

12U ;R)

fVU12 // Hp+q(KV , L12V ;R)

com V ≤ U , onde ^ é o produto cup na cohomologia simplicial. Com efeito, dados x ∈


Hp(KU , L1U ;R) e y ∈ Hq(KU , L

2U ;R)

fVU12 (^ (x, y)) = fVU12 (x ` y)

= fVU1 (x) ` fVU2 (y)

= ^ (fVU1 (x), fVU2 (y))

= ^ (fVU1 × fVU2 )(x, y).

Assim, o homomorfismo produto cup ` em cohomologia simplicial

`: Hp(KU , L1U ;R)×Hq(KU , L

2U ;R)→ Hp+q(KU , L

12U ;R)

é um homomorfismo de sistemas diretos.

Definição B.59. Sejam (X,A1), (X,A2) pares topológicos tais que {A1, A2} é um par excisivo deA1 ∪ A2. O homomorfismo induzido do homomorfismo de limites diretos, denotado por `, é chamadoproduto cup na cohomologia de Cech, ou seja

`: Hp(X,A1;R)⊗ Hq(X,A2;R)→ Hp+q(X,A1 ∪A2;R)

O produto cup na cohomologia de Cech, satisfaz as seguintes propriedades:

Proposição B.60.

1. (Linearidade) Sejam f : (X,A1∪A2)→ (Y,B1∪B2), f1 : (X,A1)→ (Y,B1) e f2 : (X,A2)→(Y,B2) aplicações de pares tais que, para todo x ∈ X , f1(x) = f2(x) = f(x). Suponhamos queu ∈ Hp(Y,B1;R) e v ∈ Hq(Y,B2;R), então em Hp+q(X,A1 ∪A2;R) temos

f∗(u ` v) = f∗1 (u) ` f∗2 (v).

2. (Identidade) Para qualquer u ∈ Hq(X,A;R), temos que

1 ` u = u ` 1 = u, com 1 ∈ H0(X;R).

3. (Associatividade) Sejam u1 ∈ Hp(X,A1;R), u2 ∈ Hq(X,A2;R) e u3 ∈ Hr(X,A3;R), entãoem Hp+q+r(X,A1 ∪A2 ∪A3;R) temos

u1 ` (u2 ` u3) = (u1 ` u2) ` u3.

4. (Anticomutatividade) Sejam u ∈ Hp(X,A1;R) e v ∈ Hq(X,A2;R), então emHp+q(X,A1 ∪A2;R) temos

u ` v = (−1)pqv ` u.


Finalizamos esta seção, observando que existe uma relação entre a cohomologia de Cech e acohomologia de Alexander (Para detalhes, vide [41]) mediante um isomorfismo natural, comomostra a seguinte

Proposição B.61. [41, Capítulo 6, Ex.3, pag.359] Para todo par topológico (X,A) existe um isomor-fismo natural

Hq(X,A;R) ∼= Hq(X,A;R),

onde Hq denota o funtor cohomologia de Alexander.

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Índice Remissivo

G-ação à direita, 8G-espaço, 10G-fibrado

principal, 13produto, 13universal, 15

R-módulode cohomologia orientado, 101livre, 100de q-cadeias simpliciais relativo, 100de q-cocadeias simpliciais relativo, 101

R-módulo livre gerado por X , 81Álgebra

bigraduada, 32de Hopf, 38diferencial bigraduada, 33diferencial graduada, 33Exterior, 38graduada, 32

Álgebra bigraduadacomutativa, 35

Álgebra diferencialbigraduada sobre R, 34

Álgebra diferencial graduadasobre R, 34

Álgebra graduadacomutativa, 35

órbita, 10

Açãoà esquerda, 8

diagonal, 11efetiva, 10Livre, 10produto, 9Transitiva, 11Trivial, 10

AplicaçãoG-equivariante, 11classificante, 16de órbitas, 10de Borel, 21induzida nos espaços de órbitas, 12multiplicação:inversão, 6projeção natural, 10de pares simpliciais, 99própria, 12projeção, 104simplicial, 99

Axiomasde Eilenberg-Steenrod, 110

Característica de Eulerde um espaço topológico X , 79

Categoria, 77Cobertura

cobertura aberta do par, 102localmente finita, 82nervo de uma cobertura, 103refinamento, 82refinamento, 102

Cohomologia

ÍNDICE REMISSIVO 119

de Cech, 105Complexo

de cocadeias, 101simplicial abstrato, 97subcomplexo, 98

Complexo total, 35Conjunto

dos pontos fixos por uma ação, 42cofinal, 94dirigido, 91pré-ordenado, 91

Construçãode Milnor, 18

Construção de Milnor, 18Continuidade

Cech, 112Convergência

de uma seqüência espectral de álgebras,35

Dimensãode um complexo simplicial, 98topológica, 42

Elemento de torção, 79Espaço

G-espaço à esquerda, 8Borel, 20classificante, 15de Eilenberg-Mac Lane, 80do tipo finito, 43paracompacto, 83finitístico, 42

FibradoG-fibrado principal, 13G-fibrado universal, 15de grupos, 24induzido, 13, 14produto, 13

Filtração

decrescente, 31estável, 35

Funtorcohomologia Cech, 109contravariante, 78covariante, 78

Grupocompacto, 6das p-cadeias singulares, 27de cohomologia de B com coeficientes lo-

cais no fibrado de grupos, 28de Lie, 7graduado, 28topológico, 5

grupo de transformação, 8

Homomorfismode Bockstein, 81induzido em cohomologia de Cech, 109

Joinde espaços topológicos, 86de uma família de espaços topológicos, 88

Limitedireto de R-homomorfismos, 93direto de R-módulos, 92direto do sistema direto de espaços topológi-

cos, 96

Módulode cohomologia, 29de homologia, 29diferencial bigraduado, 29

Módulo graduadodo tipo finito, 79

MorfismoB-morfismo, 14de fibrados de grupos, 25

Operador

120 ÍNDICE REMISSIVO

cobordo, 28cobordo relativo, 101bordo, 100

Ordemde uma família de espaços topológicos, 42

Parsimplicial, 99

Produtotensorial ⊗, 81

Produto cupCech, 113

Produto tensorial, 81de módulos diferenciais bigraduados so-

bre R, 34de módulos diferenciais graduados, 34

Pull-back, 14

R-módulolivre, 81

Rankde um grupo abeliano livre, 79

Seqüência EspectralCohomológica de Leray-Serre, 37Homológica de Leray-Serre, 36

Seqüência espectralcolapsa no N -ésimo termo, 31convergência de uma, 31de álgebras, 34de álgebras sobre R, 34do primeiro quadrante, 31do tipo cohomológica, 29do tipo homológica, 29

Simplexoq-simplexo, 98orientado, 99

Sistemadireto, 91direto de R-módulos, 92direto de espaços topológicos, 96

soma topológica, 96subgrupo de isotropia, 10

Translação à esquerda, 9

Uniãodisjunta, 96livre, 96

Vizinhançapar de vizinhanças fechadas, 111par de vizinhanças, 111

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