Nyelvi előkészítő évfolyam Matematika Tanterv. MATEMATIKA pénzügy.pdfhát az általános...
Transcript of Nyelvi előkészítő évfolyam Matematika Tanterv. MATEMATIKA pénzügy.pdfhát az általános...
1
MATEMATIKA
Nyelvi előkészítő évfolyam
Matematika
Tanterv
Nevelési alapelvek a matematika tantárgyban
A nyelvi előkészítő év általánosan megfogalmazott cél és feladatrendszerére építve
kiemeljük a legfontosabb tantárgy specifikusnak tartott pedagógiai alapelveket, melynek
megvalósítását mindig szem előtt kívánjuk tartani:
az együttműködési képesség és az egészséges versenyszellem kialakítása
a munka, az erőfeszítés megbecsülése
a kezdeményezőkészség,
a játék személyiségformáló erejének erősítése
a kommunikációs készség sokoldalú fejlesztése
az absztrakt gondolkodás képességének fejlesztése
korszerű társadalom- és természettudományos ismeretek megalapozása
alkotó gondolkodásra és gondolkodva cselekvésre nevelés
színvonalas, következetes oktatás
a hagyományok tisztelete, ápolása
Az előkészítő év céljai szaktárgyunk szempontjából:
A tanulók elvégezték az általános iskola 8 osztályát, de nagyon különböző tudással. Az előkészí-
tőév végére alkalmasaknak kell lenniük a középiskolai tanulmányok minőségi elsajátítására. Te-
hát az általános iskolai matematika tananyag újratanítása helyett a képességfejlesztésen van a
hangsúly, de alapos ismétlésre is szükség van.
A felhasználható taneszköz
Matematika összefoglaló feladatgyűjtemény 10-14 éveseknek
Szerzők: Kosztolányi-Mike-Palánkainé-Szederkényiné-Vincze
Kiadó: MOZAIK Oktatási Stúdió (MS-2204T)
Matematika a nyelvi előkészítő évfolyam számára ( Szerz : Borbás Lászlóné)
Négyjegyű függvénytáblázatok
Óraszám: 36 óra
Tanítási ciklus 1 óra/hét
1.SZÁMOK, SZÁMHALMAZOK 8 óra
2.FÜGGVÉNYEK, GRAFIKONOK 6 óra
3. ELEMI GEOMETRIAI ISMERETEK 10 óra
4. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK 12 óra
1. Számok és számhalmazok 8 óra
Ismeretek, fejlesztési követelmények kapcsolat
készség szinten tudja a racionális számkörben a négy alapmű-
veletet elvégezni.
Pozitív egész kitevőjű hatványokat kiszámolni, az azonosságo-
kat alkalmazni számításokban.
Alkalmazza helyesen a műveleti sorrendet, a zárójeleket, a hat-
ványozás azonosságait.
Ismerje az aránypár fogalmát, tudja kiszámítani a százalékérté-
ket, a százaléklábat vagy az alapot a másik kettő ismeretében.
Ismerje fel helyesen az egyenes illetve fordított arányossági
absztrakciós képes-
ség kialakítása
elvonatkoztatás
2
kapcsolatokat, tudja ezeket alkalmazni.
Tudja megbecsülni számolásának várható eredményét.
Használja célszerűen a számolási algoritmusokat,lehetőleg
zsebszámológép használata nélkül az egyszerűbb esetekben
(kétjegyű egész számok négyalapművelet, kis nevezőjű törtek,
egyszerűsítések, bővítések)
2. Függvények, grafikonok 6 óra
készség szinten tudjon pontokat ábrázolni és pont koordinátáit
leolvasni a derékszögű koordinátarendszerben,
különféle kapcsolatok közül tudja kiválasztani a függvénykap-
csolatot,
ismerje és helyesen használja az értelmezési tartomány, érték-
készlet fogalmát, a függvények megadásimódjait,
tudja ábrázolni a lineáris függvényt,
tudja megállapítani a függvények szemléletes tulajdonságait, áb-
rázolni konkrét transzformáltjaikat,
legyen képes megismert függvények grafikonját felhasználni
egyenlet és egyenlőtlenségek megoldására.
Változó mennyiségek kö-
zötti kapcsolatok felisme-
rése
összefüggések leírása kép-
let segítségével
fizika: erő- tömeg kapcso-
lat, munka – teljesítmény
kapcsolat
3. Elemi geometriai ismeretek 10 óra
Nevezetes ponthalmazok átismétlése, a halmazszemlélet fej-
lesztése.
ismerje és szerkesztési és egyszerűbb bizonyítási feladatokban
tudja alkalmazni a megismert nevezetes
ponthalmazokat, a nevezetes szögpárokat,
ismerje a háromszög oldalai, szögei, oldalai és szögei közötti
összefüggéseket, a háromszög nevezetes
vonalainak és köreinek fogalmát, tulajdonságait, tudja ezeket
alkalmazni szerkesztési feladatokban,
ismerje a háromszögek egybevágóságát biztosító alapeseteket,
ezek alapján tudjonháromszögszerkesztési feladatokat elvégez-
ni,
legyen képes a szerkesztés menetét indokolni, egyszerű esetek-
ben a feladatot diszkutálni.
Rajzkészség fejlesztése
Térbeli látás fejlesztése
Alakok, formák alakzatok
a biológiában, kémiában
4. Algebrai kifejezések, egyenletek 12 óra
készség szinten tudjon elsőfokú egyenletet megoldani,
tudja a szöveges feladatok adatait táblázatba foglalni, egyenle-
tet felállítani, megoldani, eredményétellenőrizni.
Tört együtthatós elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek
megoldása.
Elsőfokú egyenletre vezető szöveges feladatok (mozgási, mun-
kavégzéssel kapcsolatos, számjegyekkelkapcsolatos keverési
feladatok), az adatok táblázatba rendezése, a megoldás ellenőr-
zése.
fizika, kémia
Munkavégzéses, keveréses
feladatok megoldása
A továbbhaladás feltételei:
Ismeri a négy alapműveletet, jól alkalmazza a műveletek sorrendjét.
Hibátlanul alkalmazza a racionális számokon értelmezett műveleteket.
Képes ábrázolni és jellemezni egy lineáris függvényt és annak transzformációját.
Felismeri az egyenes és fordított arányosságot a változók kapcsolatában.
3
Képes szöveges egyenleteket megoldani.
Ismeri a szerkesztés alapjait, képes háromszöget szerkeszteni a megadott adatokból.
Ismeri a háromszögek nevezetes vonalait.
Felismeri a négyszögeket és ismeri az oldalak, szögek és átlókra vonatkozó szabályokat.
Képes megoldani egy egyenletet vagy egyenlőtlenséget.
Tud százalékot számolni.
9–10. évfolyam
A 9–10. évfolyamon, a szemlélet alapján, a tevékenységeken, felfedeztetéseken keresztül koráb-
ban kialakított fogalmak pontos definiálására, az összefüggések felismerésére, modellek készíté-
sére kell helyezni a fő hangsúlyt. Szükséges a matematika alkalmazási területeinek széles körű
bemutatása a matematikán belüli problémák megoldásában, illetve más tudományok segítője-
ként. Ezekben az években erősödik a tanulók önismerete, és megfelelő képességfejlesztéssel és
módszertani változatossággal mind több tanulóban kialakulhat a matematika, illetve a természet-
tudomány valamely ága iránti érdeklődés.
A megismerés módszerei között továbbra is fontos a gyakorlati tapasztalatszerzés, de az
ismeretszerzés fő módszere a tapasztalatokból szerzett információk rendszerezése, igazolása, el-
lenőrzése, és az ezek alapján elsajátított ismeretanyag alkalmazása. Ezeken az évfolyamokon a
fogalmak definiálásán, az összefüggések igazolásán, az ismeretek rendszerezésén, kapcsolataik
feltárásán és az alkalmazási lehetőségek megismerésén van a hangsúly. Ezért a tanulóknak meg
kell ismerkedniük a tudományos feldolgozás alapvető módszereivel. (Mindenki által elfogadott
alapelvek/axiómák, már bizonyított állítások, új sejtések, állítások megfogalmazása és azok iga-
zolása, a fentiek összegzése, a nyitva maradt kérdések felsorolása, a következmények elemzése.)
A problémamegoldás megszerettetésének igen fontos eszközei lehetnek a matematikai
alapú játékok. A gyerekek szívesen játszanak maradékos osztáson, oszthatósági szabályokon
alapuló számjátékokat, és szimmetriákon alapuló geometriai, rajzos játékokat. Nyerni akarnak,
ezért természetes módon elemezni kezdik a szabályokat, lehetőségeket. Olyan következtetésekre
jutnak, olyan elemzéseket végeznek, amilyeneket hagyományos feladatokkal nem tudnánk elér-
ni. A matematikatanításnak ebben a szakaszában sok érdekes matematikatörténeti vonatkozással
lehet közelebb hozni a tanulókhoz a tantárgyat. A témakör egyes elemeihez kapcsolódva mutas-
suk be néhány matematikus életútját. A geometria egyes területeinek (pl. szimmetriák) a művé-
szetekben való alkalmazásait megjelenítve világossá tehetjük a tanulók előtt, hogy a matematika
a kultúra elválaszthatatlan része. Az ezekre a témákra fordított idő bőven megtérül az ennek kö-
vetkeztében növekvő érdeklődés, javuló motiváció miatt.
Változatos példákkal, feladatokkal mutathatunk rá arra, hogy milyen előnyöket jelenthet
a mindennapi életben, ha valaki jól tud problémákat megoldani. Gazdasági, sport témájú felada-
tokkal, számos geometriai és algebrai szélsőérték-feladattal lehet gyakorlati kérdésekre optimá-
lis megoldásokat keresni.
Ez az életkor már alkalmassá teszi a tanulókat az önálló ismeretszerzésre. Legyen köve-
telmény, hogy egyes adatoknak, fogalmaknak, ismereteknek könyvtárban, interneten nézzenek
utána. Ez a kutatómunka hozzájárulhat a tanulók digitális kompetenciájának növeléséhez, ugya-
núgy, mint a geometriai és egyéb matematikai programok használata is. A számítógép által nyúj-
tott határtalan lehetőségeket képesek legyenek felismerni, és hatékonyan felhasználni. Fontos
célkitűzés, hogy a feladatmegoldások közben a számológépet segédeszközként tudják használni.
Ebben az életkori szakaszban már elvárható, hogy a tanulók a leírt szöveget pontosan
megértsék, gondolataikat igyekezzenek szabatosan kifejteni. A matematikai gondolkodásmód
fejlődésével egyre magabiztosabban képesek véleményt nyilvánítani, érvelni, mások gondolatait
megérteni.
4
9. évfolyam
Óraszám: 108 óra/év
3 óra/hét
Sorszám Témakör Óraszám
1. Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika 10 óra
2. Algebra és számelmélet 25 óra
3. Ponthalmazok, háromszögek, sokszögek 16 óra
4. Függvények 14 óra
5. Egyenletek, egyenlőtlenségek 15 óra
6. Egybevágósági transzformációk 12 óra
Összefoglalás, számonkérés 10 óra
Év végi ismétlés 6 óra
Tematikai egység/
Fejlesztési cél
1. Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai
logika
Órakeret
10 óra
(9+1)
Előzetes tudás
Csoportosítás különböző szempontok alapján. Halmazműveletek véges
halmazokon. Halmazábra. Részhalmaz. Számhalmazok, ponthalmazok.
Állítások megfogalmazása a hétköznapi életből. Matematikai állítások
vizsgálata. Igaz és hamis állítások. Állítás tagadása.
A tematikai egység
nevelési-fejlesztési
céljai
A halmaz fogalmának mélyítése, alkalmazása problémamegoldásra, ma-
tematikai modellek alkotására. Több szempont alkalmazásával a meg-
osztott figyelem fejlesztése. Definíciók, jelölések használata során az
emlékezet fejlesztése. A köznapi életben használt logikai következteté-
sek és a matematikai logikában használt kifejezések összevetése. A hét-
köznapi, nem tudományos szövegekben található matematikai informá-
ciók felfedezése, rendszerezése a célnak megfelelően. Matematikai állí-
tások helyes megfogalmazása, érvelés, vitakultúra fejlesztése.
Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pon-
tok
Intervallumok: zárt, nyílt, félig zárt, félig nyílt.
A fogalom szemléletes kialakítása, majd definiálása.
Halmazműveletek: unióképzés, metszetképzés, különbségképzés,
komplementer halmaz.
Halmazműveletek alkalmazása több halmazra.
Definíciók megfogalmazása, megértése. Halmazok felbontása
Informatika: adatbá-
zis-kezelés, adatál-
lományok, adatok
szűrése különböző
5
diszjunkt halmazok uniójára. szempontok szerint.
Biológia-egészségtan:
rendszertan.
Nevezetes ponthalmazok. Ponthalmazok a koordinátasíkon.
Koordinátákkal megadott feltételek. Descartes-szorzat.
Matematikatörténet: René Descartes.
Matematikai tartalmú szöveg értelmezése.
Tétel kimondása, bizonyítása.
Állítás és megfordítása.
Direkt, indirekt bizonyítás.
Szükséges, elégséges, szükséges és elégséges feltétel.
Állítások megsejtése, bizonyítás vagy cáfolat megadása.
Logikai műveletek: NEM, ÉS, VAGY, „Minden”, „van olyan”, ha ….,
akkor.
A köznapi szóhasználat és a matematikai kifejezés kapcsolatá-
nak megértése.
Matematikai és más jellegű érvelésekben a logikai műveletek
felfedezése, alkalmazása.
Érvelés és vita, ellenpélda szerepe.
A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására használjuk.
1 óra összetett feladatok a halmazműveletek köréből.
Magyar nyelv és iro-
dalom: retorikai alap-
ismeretek.
Kulcsfogalmak/
fogalmak
Véges és végtelen halmaz, unió, metszet, különbség, komplementer hal-
maz, Descartes-féle szorzat. Intervallum. Logikai művelet (NEM, ÉS,
VAGY. Ha…. akkor), szükséges és elégséges feltétel. Sejtés, bizonyítás.
Tematikai egység/
Fejlesztési cél
2. Számelmélet, algebra
(Hatványozás, oszthatóság, algebrai kifejezések)
Órakeret
25 óra
(+2)
Előzetes tudás
Természetes számok, egész számok, racionális számok halmaza. Művele-
tek elvégzése a racionális számok halmazán fejben, írásban. Műveletek
sorrendje, zárójelek használata. Hatványozás. Összefüggések leírása algeb-
rai kifejezésekkel, helyettesítési érték, zárójelfelbontás.
A tematikai egy-
ség nevelési-
fejlesztési céljai
A számkör bővítés elveinek megértése. Gondolkodás: ismeretek rendsze-
rezésének fejlesztése. Az absztrakciós készség fejlesztése. Algebrai kifeje-
zések biztonságos használata, célszerű átalakítási módok megtalálása, el-
végzése. Direkt bizonyítási módszer alkalmazása. Ismeretek tudatos me-
morizálása, az emlékezet fejlesztése.
Ismeretek és fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok
A valós számkör.
Műveleti tulajdonságok alkalmazása: kommutativitás, asz-
szociativitás, disztributivitás.
Pozitív egész kitevős hatvány.
Korábbi ismeretekre való emlékezés.
A hatványozás azonosságai.
Hatványozás 0 és negatív egész kitevőre. Permanencia-elv.
Számok normálalakja.
Számolás normálalakban felírt számokkal.
Fizika; kémia; biológia-
egészségtan: a tér, az idő,
6
Normálalak a számológépen.
A természettudományokban és a társadalomban előforduló
nagy és kis mennyiségekkel történő számolás.
Számok tizedes tört alakja. Véges, végtelen szakaszos, végtelen
nem szakaszos tizedes törtek.
Irracionális számok.
A valós számok és a számegyenes kapcsolata.
A racionális számok halmaza nem elegendő a számegyenes
pontjainak jelölésére.
az anyagmennyiség nagy
és kis méreteinek meg-
adása normálalakkal.
Osztó, többszörös, oszthatóság, oszthatósági szabályok.
A tanult ismeretek felidézése: prímszám, összetett szám, prímté-
nyezős felbontás.
A számelmélet alaptétele.
Végtelen sok prímszám van.
Osztók számának meghatározása a prímtényezős felbontás-
ból.
Matematikatörténet: Euklidesz, Eratosztenész, Euler, Fermat.
Algebrai kifejezések.
Egész kifejezések, polinomok, törtkifejezések. Racionális és
nem racionális kifejezések.
A kifejezés értelmezési tartománya.
Helyettesítési érték.
Műveleti tulajdonságok (kommutativitás, asszociativitás,
disztributivitás) vizsgálata.
Fizika; kémia: mennyi-
ségek kiszámítása képlet
alapján, képletek átren-
dezése.
Műveletek többtagú egész algebrai kifejezésekkel.
Többtagú kifejezés szorzása többtagú kifejezésekkel – záró-
jelfelbontás, előjelszabályok.
Többtagú kifejezés szorzattá alakítása kiemeléssel.
Nevezetes azonosságok: 2)ba( ; baba ; 3)( ba ; 2)( cba ; 33 ba ;
33 ba
Ismeretek (képletek) tudatos memorizálása.
Azonos átalakítások.
Polinomok összeadása, kivonása, szorzása, hatványozása. Ki-
emelés, szorzattá alakítás. Kifejezések legnagyobb közös osz-
tója, legkisebb közös többszöröse.
Algebrai törtek összeadása, kivonása, szorzása, osztása. Egy-
szerűsítés. Bővítés.
A tanult azonosságok, tulajdonságok felhasználása algebrai
átalakítások, egyszerűsítések során.
A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására fordítjuk.
2 óra gyakorlás szorzattá alakítási feladatok.
Fizika; kémia: képletek
értelmezése, egyenletek
rendezése.
Kulcsfogal-
mak/ fogal-
mak
Valós szám, normálalak, kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás. Al-
gebrai kifejezés, polinom, algebrai tört, azonosság, számtani közép, mértani
közép.
7
Tematikai egység/
Fejlesztési cél 3.Geometria (ponthalmazok, háromszögek, sokszögek)
Órakeret
16 óra
(+2)
Előzetes tudás
Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága. Háromszögek, négyszögek,
sokszögek tulajdonságai. Speciális háromszögek, négyszögek elnevezé-
se, felismerése, tulajdonságaik. Háromszögek szerkesztése alapadatok-
ból. Háromszög köré írt kör és beírt kör szerkesztése. A Pitagorasz-tétel
és a Thalész-tétel ismerete.
A tematikai egység
nevelési-fejlesztési
céljai
A geometriai szemlélet, látásmód fejlesztése. A szükséges és az elégsé-
ges feltétel felismerése. Bizonyítási igény kialakítása. Összetett számí-
tási probléma lebontása, számítási terv készítése (megfelelő részlet ki-
választása, a részletszámítások logikus sorrendbe illesztése). Valós
probléma geometriai modelljének megalkotása, számítások a modell
alapján, az eredmények összevetése a valósággal. Számoló-, számítógép
használata.
Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pon-
tok
Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, szöge.
Nevezetes ponthalmazok:
adott térelemtől adott távolságra lévő pontok halmaza – síkban és
térben;
két térelemtől egyenlő távol lévő pontok halmaza – síkban és tér-
ben.
Vegyes feladatok ponthalmazok alkalmazására szerkesztéssel.
Informatika: geomet-
riai szerkesztőprog-
ram.
A háromszög oldalai és szögei.
Háromszög-egyenlőtlenség.
Összefüggések a háromszög szögei között – belső szögek, külső
szögek.
Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között.
A háromszögek szögeiről, oldalairól tanult tételek bizonyítása,
alkalmazása számítási, szerkesztési és bizonyítási feladatokban.
A háromszögek nevezetes vonalai:
A háromszög oldalfelező merőlegesei, a háromszög köré írt köre.
A háromszög magasságvonalai, magasságpontja.
A háromszög szögfelező egyenesei, a háromszög beírt köre, hoz-
záírt körei.
A háromszög súlyvonalai, súlypontja.
A háromszögek nevezetes vonalairól és köreiről tanult tételek
bizonyítása, alkalmazása számítási, szerkesztési és bizonyítási
feladatokban.
Euler-egyenes, Feuerbach-kör bemutatása grafikus program-
mal.
A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására fordítjuk.
2 óra szerkesztési feladatok. A háromszög beírható, köré írható és
hozzáírható köreinek megismerése, szerkesztése.
Informatika: geomet-
riai szerkesztő prog-
ram használata.
Négyszögek, sokszögek, szabályos sokszögek.
Belső és külső szögek összege.
Átlók száma.
8
Pitagorasz-tétel és megfordításának bizonyítása és alkalmazása.
Számítási feladatok síkban és térben.
A tétel és megfordításának alkalmazása bizonyítási feladatok-
ban.
Matematikatörténet: Pitagorasz.
Fizika: vektor felbon-
tása merőleges össze-
tevőkre.
Thalész tétele és a tétel megfordításának bizonyítása és alkalmazása.
Szerkesztési és bizonyítási feladatok.
Körérintő szerkesztése.
Matematikatörténet: Thalész.
Kulcsfogalmak/
fogalmak
Hozzáírt kör. Sokszög.
Tematikai egység/
Fejlesztési cél 4. Függvények
Órakeret
14 óra
(+1)
Előzetes tudás
Halmazok. Hozzárendelés fogalma. Grafikonok készítése, olvasása. Pon-
tok ábrázolása koordináta-rendszerben. Lineáris függvények, fordított
arányosság függvénye, abszolútérték-függvény, másodfokú függvény is-
merete.
A tematikai egység
nevelési-fejlesztési
céljai
Függvény-transzformációk algebrai és geometriai megjelenítése. Össze-
függések, folyamatok megjelenítése matematikai formában (függvény-
modell), vizsgálat a grafikon alapján. A vizsgálat szempontjainak kialakí-
tása. Számítógép bevonása a függvények ábrázolásába, vizsgálatába.
Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok
Függvény fogalma.
Értelmezési tartomány, értékkészlet.
A függvény megadási módjai, ábrázolása, jellemzése.
Új fogalmak: paritás, korlátosság.
Informatika: függ-
vényábrázolás, grafi-
konkészítés számító-
gépes program segít-
ségével.
Egyenes arányosság.
Elsőfokú függvények, lineáris függvények.
Lineáris kapcsolatok felfedezése a hétköznapokban.
Fizika; kémia: egyene-
sen arányos mennyisé-
gek.
Abszolútérték-függvény.
Másodfokú függvények.
Teljes négyzetté kiegészítés.
Hatványfüggvények.
Gyökfüggvények.
A függvénygrafikonok elkészítése és használata a függvény jel-
lemzésére.
Informatika: függ-
vényábrázolás, grafi-
konkészítés számító-
gépes program segít-
ségével.
Fordított arányosság, elsőfokú törtfüggvény. Fizika; kémia: fordí-
tottan arányos mennyi-
ségek.
Függvény transzformációk.
A tanult függvények többlépéses transzformációi az alábbiak összeté-
telével: cxf ; cxf ; xfc ; xcf ; xf .
Függvények jellemzése (értékkészlet, monotonitás, szélsőérték, korlá-
tosság, paritás, zérus hely).
Fizika: a megfigyelés
időbeli és térbeli kezdő-
pontja változásának ha-
tása a mennyiségek kö-
zötti összefüggésekre.
9
A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására használjuk.
1 óra függvénytranszformációs feladatok. összetett transzformáci-
ók.
Kulcsfogalmak/
fogalmak
Függvény grafikonja. Paritás, korlátosság.
Tematikai egység/
Fejlesztési cél
5. Számelmélet, algebra (egyenlet, egyenlőtlenség, egyen-
letrendszer)
Órakeret
15 óra
(+2)
Előzetes tudás
Egyismeretlenes elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása.
Alaphalmaz vizsgálata, ellenőrzés. Azonosság. Szöveges feladatok – ma-
tematikai modell alkotása.
A tematikai egység
nevelési-fejlesztési
céljai
Gyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása, a modell ható-
körének vizsgálata, a kapott eredmény összevetése a valósággal; az ellenőr-
zés fontosságának belátása. A problémához illő számítási mód kiválasztása,
eredmény kerekítése a problémának megfelelően. Számológép használata.
Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok
Elsőfokú egyenletek.
Alaphalmaz, megoldáshalmaz.
Ekvivalens átalakítások.
Mérlegelv.
Egyenletek algebrai, grafikus megoldása.
Digitális technikák használata az egyenletmegoldás során.
Elsőfokú egyenlettel megoldható szöveges feladatok.
A korábban tanult feladattípusok megoldási módszereinek el-
mélyítése.
A mindennapokhoz kapcsolódó problémák matematikai mo-
delljének elkészítése, egyenlet felírása; a megoldás ellenőrzése,
a gyakorlati feladat megoldásának összevetése a valósággal
(lehetséges-e?).
Fizika: kinematika, di-
namika.
Kémia: oldatok össze-
tétele.
Törtes egyenletek, egyenlőtlenségek.
Értelmezési tartomány. Ekvivalens átalakítások. Az ellenőrzés
szerepe, szükségessége.
Törtek előjelének vizsgálata.
A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására használjuk:
1 óra összetettebb törtes egyenletek megoldása, értelmezési tarto-
mány vizsgálata.
Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek.
Elsőfokú egyenletrendszerek.
Grafikus megoldás.
Behelyettesítő módszer.
Egyenlő együtthatók módszere.
Új ismeretlen bevezetése.
Különböző módszerek megismerése és alkalmazása ugyanarra
a problémára.
Egyenletrendszerrel megoldható szöveges feladatok.
A kapott eredmény értelmezése, valóságtartalmának vizsgálata.
Informatika: számító-
gépes program haszná-
lata.
10
Egyenlőtlenségek grafikus megoldása.
Egyenlőtlenségek algebrai megoldása.
Egyismeretlenes egyenlőtlenségrendszer.
A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására használjuk.
1 óra Egyszerű törtes egyenlőtlenségek megoldása.
Kulcsfogalmak/
fogalmak
Elsőfokú egyenlet, egyenlőtlenség, értelmezési tartomány, azonosság. Ekvi-
valens átalakítás, hamis gyök. Egyenletrendszer.
Tematikai egység/
Fejlesztési cél 6. Geometria (Egybevágósági transzformációk)
Órakeret
12 óra
(+3)
Előzetes tudás Geometriai transzformációk, a szimmetria felismerése környezetünkben,
alkalmazásuk egyszerű feladatokban.
A tematikai egység
nevelési-fejlesztési
céljai
A geometriai transzformációk alkalmazása problémamegoldásban. A
szimmetria szerepének felismertetése a matematikában és a valóságban.
Tájékozódás valóságos viszonyokról térkép és egyéb vázlatok alapján.
Valós probléma geometriai modelljének megalkotása, számítások a mo-
dell alapján, az eredmények összevetése a valósággal. Számológép, szá-
mítógép használata.
Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok
Geometriai transzformáció fogalma.
Egybevágósági transzformációk rendszerezése.
Tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, pont körüli elforga-
tás, eltolás.
A geometriai transzformációk tulajdonságai:
– fixpont, fix egyenes, fix sík;
– szögtartás, távolságtartás, irányítástartás;
– szimmetrikus és nem szimmetrikus transzformáció.
Geometriai transzformációk szorzata.
Informatika: geometri-
ai szerkesztőprogram
használata.
Az egybevágóság fogalma.
Egybevágó alakzatok felismerése.
Alakzatok egybevágósága.
A háromszögek egybevágóságának alapesetei.
A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására használjuk.
1 óra Feladatok háromszögek egybevágóságára.
Szimmetrikus alakzatok.
A szimmetrián alapuló tulajdonságok felismerése: szögek, sza-
kaszok egyenlősége.
Vizuális kultúra: mű-
vészettörténeti stílus-
korszakok.
Szerkesztési, számítási és bizonyítási feladatok.
Az egybevágóság, a szimmetria felismerése, hatékony alkal-
mazása.
Vázlatkészítés, elemzés, diszkusszió.
A paralelogramma, a háromszög és a trapéz középvonala.
A középpontos tükrözés alkalmazása.
11
Kulcsfogalmak/
fogalmak
Geometriai transzformáció, egybevágósági transzformáció, szimmetrikus
alakzat.
2 óra Év végi összefoglalásra, gyakorlásra. Hiányok feltárása és pótlása.
A fejlesztés várt
eredményei a 9.
évfolyam végén
Gondolkodási és megismerési módszerek
Halmazműveletek alkalmazása számhalmazokra, ponthalmazokra, inter-
vallumokra, véges és végtelen halmazokra.
Definíció, tétel felismerése, az állítás és a megfordításának felismerése;
bizonyítás gondolatmenetének követése.
Számelmélet, algebra
Racionális és irracionális számok – a valós számok halmazának szemlé-
letes fogalma.
Számok normálalakja, normálalakkal műveletek végzése.
Biztos műveletvégzés, műveletek sorrendje, zárójelek használata.
Algebrai kifejezésekkel végzett műveletek, azonosságok alkalmazása.
Elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek megoldási
módszereinek használata. Szöveges feladatok megoldása.
A számológép használata.
Geometria
Térelemek ismerete.
A kör és részeinek ismerete.
Egybevágósági transzformációk ismerete, alkalmazása szerkesztési és
bizonyítási feladatokban. Egybevágó alakzatok tulajdonságainak ismere-
te, alkalmazása feladatokban.
Háromszögek, szögeinek, nevezetes vonalainak, köreinek ismerete. Az
ismeretek alkalmazása számítási, szerkesztési és bizonyítási feladatok-
ban.
A Pitagorasz-tétel és a Thalész-tétel alkalmazásai.
Függvények, az analízis elemei
A függvény fogalmának ismerete..
Többlépéses függvénytranszformációk elvégzése cxf ; cxf ;
xfc ; xcf ;.
Mindennapjainkhoz, más tantárgyakhoz kapcsolódó folyamatok elemzé-
se a megfelelő függvény grafikonja alapján.
10. évfolyam
Óraszám: 108 óra/év
3 óra/hét
Ajánlás az éves óraszám felosztására
Sorszám Témakör Óraszám
1. Gondolkodási módszerek, kombinatorika, gráfok 14 óra
12
2. Algebra és számelmélet: négyzetgyök, másodfokú kifejezés 26 óra
3. Statisztika, valószínűség 10 óra
4. Geometria: hasonlóság 26 óra
5. Szögfüggvények 16 óra
Összefoglalás, számonkérés 10 óra
Év végi ismétlés 6 óra
Tematikai egység/
Fejlesztési cél
1.Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logi-
ka, kombinatorika, gráfok
Órakeret
14 óra
(+1)
Előzetes tudás
Halmazműveletek. Halmazábra. Részhalmaz. Matematikai állítások vizs-
gálata. Igaz és hamis állítások. Állítás tagadása. Elemek sorba rendezése,
adott szempont szerinti kiválasztása.
A tematikai egység
nevelési-fejlesztési
céljai
A halmaz fogalmának mélyítése, alkalmazása problémamegoldásra, ma-
tematikai modellek alkotására. A kombinatorikai problémák felfedezése a
hétköznapi életben, modellek alkalmazása. A rendszerező képesség, a fi-
gyelem fejlesztése. Gráfok segédeszközként való használata a gondolko-
dásban.
Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok
n elemű halmaz részhalmazainak a száma.
Korábbi ismeretek felhasználása, a tanult jelölések alkalmazá-
sa.
Halmazok számossága.
Véges és végtelen halmazok, megszámlálható, nem megszám-
lálható halmazok.
Matematikatörténet: Georg Cantor.
Magyar nyelv és iro-
dalom: mondatok, sza-
vak, hangok rendsze-
rezése.
Skatulyaelv.
Logikai szita.
Modellalkotás egy-egy tipikus problémára.
A szorzási és összeadási szabály.
Az összeszámlálás technikáinak megértése, alkalmazása.
Sorba rendezés.
Kiválasztás.
A szöveg matematikai nyelvre fordítása, matematikai modell
készítése.
Kombinatorikai problémák felfedezése a mindennapokban.
n!, nk. Az összeszámlálási módszer megértése.
Gráfok: csúcs, él, fokszám.
Gráfok alkalmazása feladatmegoldásban.
Gondolatmenet megjelenítése gráffal.
A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására használjuk.
1 óra feladatok gráfokkal. Fokszám, élek, csúcsok kiszámítása.
Kémia: molekulák
szerkezete.
Informatika: számító-
gépes hálózatok felépí-
tése.
Földrajz: térképek, út-
13
hálózat.
Kulcsfogalmak/
fogalmak
Véges és végtelen halmaz. Szorzási szabály, összeadási szabály, faktoriális,
gráf, csúcs, él, fokszám.
Tematikai egység/
Fejlesztési cél
2.Számelmélet, algebra (gyökös és másodfokú algebrai
kifejezések használata)
Órakeret
26 óra
(+2)
Előzetes tudás
Műveletek sorrendje, zárójelek használata. Hatványozás. Összefüggések
leírása algebrai kifejezésekkel, helyettesítési érték, zárójelfelbontás.
Egyismeretlenes elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása.
Alaphalmaz vizsgálata, ellenőrzés.
A tematikai egység
nevelési-fejlesztési
céljai
Gyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása, a modell ha-
tókörének vizsgálata, a kapott eredmény összevetése a valósággal; az el-
lenőrzés fontosságának belátása. A problémához illő számítási mód kivá-
lasztása, eredmény kerekítése a problémának megfelelően. Számológép
használata.
Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok
Négyzetgyök fogalma. A négyzetgyökvonás azonosságai.
Az indirekt bizonyítás: a 2 irracionális.
Bevitel a gyökjel alá, kiemelés a gyökjel alól.
Nevező gyöktelenítése.
Műveletek gyökös kifejezésekkel.
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek.
Grafikus megoldás.
Teljes négyzetté kiegészítés.
Egyenletmegoldás szorzattá alakítással.
Algoritmus keresése a megoldásra.
A másodfokú egyenlet megoldóképlete.
A megoldóképlet készségszintű alkalmazása.
Számológép használata.
A másodfokú egyenlet diszkriminánsa.
Diszkusszió.
Gyöktényezős alak, Viete-formulák.
Másodfokúra visszavezethető egyenletek.
Új ismeretlen bevezetése.
Matematikatörténet: magasabb fokú egyenletek megoldhatósága.
A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására használjuk.
1 óra Törtek egyszerűsítése a gyöktényezős alak ismeretében.
Másodfokú egyenlettel megoldható szöveges feladatok.
Modellalkotás, megoldási módszerek. Szövegben történő elle-
nőrzés.
Másodfokú függvények vizsgálata.
Teljes négyzetté alakítás használata. Számítógépes program
használata.
Szélsőérték-feladatok.
Fizika: egyenletesen
gyorsuló mozgás leírá-
sa.
Informatika: számító-
gépes program haszná-
14
Másodfokú függvény vizsgálatával.
A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására használjuk.
1 óra Szöveges feladatok megoldása.
lata.
Másodfokú egyenlőtlenségek.
A megoldás megadása másodfokú függvény vizsgálatával.
Másodfokú egyenletrendszer.
Másodfokú egyenletrendszerrel megoldható szöveges feladatok.
Emlékezés korábban megismert módszerekre, alkalmazás az
adott környezetben.
Fizika: ütközések.
Négyzetgyökös egyenletek.
Ekvivalens és nem ekvivalens egyenlet-megoldási lépések.
Hamisgyök, gyökvesztés.
Értelmezési tartomány. Ekvivalens átalakítások. Az ellenőrzés
szerepe, szükségessége.
Kulcsfogalmak/
fogalmak
Másodfokú egyenlet, egyenlőtlenség, teljes négyzetté alakítás,
megoldóképlet, diszkrimináns, diszkusszió. Egyenletrendszer. Négyzetgyö-
kös egyenlet.
Tematikai egység/
Fejlesztési cél 3. Statisztika. valószínűség
Órakeret
10 óra
(+1)
Előzetes tudás Adatok elemzése, átlag, táblázatok, grafikonok használata, gyakoriság,
relatív gyakoriság, valószínűség fogalma. Százalékszámítás.
A tematikai egység
nevelési-fejlesztési
céljai
Tapasztalatszerzés kísérletekkel, a kísérletek kiértékelése, következteté-
sek. Diagram készítése, olvasása. Táblázat értelmezése, készítése. Számí-
tógép használata az adatok rendezésében, értékelésében, ábrázolásában.
Ismeretek/és fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok
Statisztikai adatok gyűjtése, elemzése és ábrázolása.
Adatok rendezése, osztályokba sorolása, táblázatba rendezése,
ábrázolása.
Következtetések levonása.
Számológép használata.
Adathalmazok jellemzői: terjedelem, átlag, medián, módusz,
szórás.
A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására használjuk.
1 óra Kördiagram készítése.
Földrajz: időjárási,
éghajlati és gazdasági
statisztikák.
Történelem, társadal-
mi és állampolgári is-
meretek: történelmi,
társadalmi témák vizu-
ális ábrázolása (táblá-
zat, diagram).
Informatika: adatkeze-
lés, adatfeldolgozás,
információ-
megjelenítés.
Véletlen jelenségek megfigyelése.
Kockadobások, pénzérme.
Véletlen jelenségek számítógépes szimulációja.
Esemény, eseménytér, biztos esemény, lehetetlen esemény, komple-
menter esemény.
Műveletek eseményekkel.
Kétváltozós műveletek értelmezése.
15
Egyszerűbb események valószínűségének kiszámítása.
Klasszikus valószínűségi modell.
A valószínűség meghatározása kombinatorikus eszközökkel.
Kulcsfogalmak/
fogalmak
Terjedelem, szórás.
Tematikai egység/
Fejlesztési cél 4.Geometria (hasonlóság)
Órakeret
26 óra
(+3)
Előzetes tudás Geometriai transzformációk, a szimmetria felismerése környezetünkben,
alkalmazásuk egyszerű feladatokban.
A tematikai egység
nevelési-fejlesztési
céljai
A geometriai transzformációk alkalmazása problémamegoldásban. A
szimmetria szerepének felismertetése a matematikában és a valóságban.
Tájékozódás valóságos viszonyokról térkép és egyéb vázlatok alapján.
Valós probléma geometriai modelljének megalkotása, számítások a mo-
dell alapján, az eredmények összevetése a valósággal. Számológép, szá-
mítógép használata.
Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok
A párhuzamos szelők tétele és megfordítása.
A párhuzamos szelőszakaszok tétele.
Szakasz arányos osztása.
Számítási és bizonyítási feladatok.
A középpontos hasonlóság fogalma és tulajdonságai.
A hasonlósági transzformáció fogalma és tulajdonságai.
Aránytartó transzformáció.
Szerkesztési, számítási, bizonyítási feladatok.
Földrajz: térképek.
Hasonló alakzatok.
A háromszögek hasonlóságának alapesetei.
A sokszögek hasonlósága.
A hasonló síkidomok területének aránya.
A hasonló testek felszínének és térfogatának aránya.
A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására használjuk.
2 óra Feladatok hasonló háromszögekre. Hasonló síkidomok terü-
letének kiszámítása.
Fizika: hasonló három-
szögek alkalmazása –
lejtőmozgás, geometri-
ai optika.
Arányossági tételek háromszögekben.
Magasságtétel, befogótétel.
A számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenség geometriai bi-
zonyítása.
Mértani közép szerkesztése.
Vizuális kultúra: festé-
szet, építészet.
A vektor.
Ellentett vektorok, nullvektor, egyenlő vektorok, vektor
abszolútértéke.
Műveletek vektorokkal:
– összeadás (paralelogramma módszer, láncmódszer);
– kivonás;
– számmal való szorzás.
Vektor felbontása összetevőkre.
A vektorműveletek tulajdonságai.
Fizika: vektormennyi-
ségek.
16
Szerkesztési feladatok.
Vektorműveletek gyakorlása síkbeli és térbeli ábrákon is.
Analógia a számhalmazokon végzett műveletekkel.
Bázisvektorok, bázisrendszer.
Vektorok koordinátái.
Vektor hosszának számítása.
Helyvektor, szabadvektor.
A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására használjuk.
1 óra: Vektorok a koordináta rendszerben.
Kulcsfogalmak/
fogalmak
Hasonlósági transzformáció, hasonló alakzat, számtani és mértani közép, ke-
rületi és középponti szög, húrnégyszög, érintőnégyszög, látókörív. Vektor-
művelet, paralelogramma-módszer, láncmódszer, vektorfelbontás,
nullvektor, ellentett vektor, egyenlő vektor. Bázisvektor, bázisrendszer, vek-
torkoordináta. Helyvektor, szabadvektor.
Tematikai egység/
Fejlesztési cél 5. Szögfüggvények
Órakeret
16 óra
(+4)
Előzetes tudás Hasonlóság alkalmazása számolási feladatokban, vektorok koordinátái-
nak használata.
A tematikai egység
nevelési-fejlesztési
céljai
Síkbeli és térbeli ábra készítése a valós geometriai problémáról. Számítá-
si feladatok, a megoldáshoz alkalmas szögfüggvény megtalálása. Számo-
lógép, számítógép használata.
Ismeretek/és fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok
Távolságok, magasságok meghatározása arányokkal.
A valóság kicsinyített ábrájáról szögek és szakaszok meghatá-
rozása méréssel és számolással.
A hegyesszögek szögfüggvényeinek definíciója.
Szögfüggvény értékének és szögek értékének meghatározása
számológéppel.
Számítási feladatok szögfüggvények használatával síkban és
térben.
A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására használjuk.
2 óra: Geometriai feladatok a háromszög ismeretlen oldalainak és
szögeinek kiszámítására.
Fizika: lejtőn mozgó
testre ható erők kiszá-
mítása.
Nevezetes szögek szögfüggvényei: 30°; 60°; 45°.
Összefüggések egy hegyesszög szögfüggvényei között.
Pótszögek szögfüggvényei.
Egyszerű trigonometrikus összefüggések bizonyítása.
A szög ívmértéke.
A radián mint mértékegység.
Átváltás fok és radián között.
Fizika: szögsebesség,
szöggyorsulás.
Kulcsfogalmak/
fogalmak
Szögfüggvény, ívmérték, periódus, radián. Forgásszög, egységvektor, egy-
ségkör.
2 óra Év végi ismétlésre. Hiányok feltárása és pótlása.
A fejlesztés várt Gondolkodási és megismerési módszerek
17
eredményei a 10.
évfolyam végén Definíció, tétel felismerése, az állítás és a megfordításának felismerése;
bizonyítás gondolatmenetének követése.
Bizonyítási módszerek ismerete, a logikai szita és a skatulyaelv alkalma-
zása feladatmegoldás során.
Szorzási és összeadási szabály alkalmazása kombinatorikai feladatokban.
Gráfok használata gondolatmenet szemléltetésére.
Számelmélet, algebra
A gyökvonás fogalmának ismerete, a gyökvonás azonosságainak alkal-
mazása, négyzetgyökös egyenletek megoldása.
Első és másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek
megoldási módszereinek használata. Szöveges feladatok megoldása.
Másodfokúra vezető szélsőérték-problémák megoldása teljes négyzetté
alakítással.
Geometria
Térelemek ismerete, a távolság és szög fogalmának értése, ismerete, a tá-
volság és a szög mérése.
A kör és részeinek ismerete.
Körrel kapcsolatos tételek alkalmazása .
Egybevágósági és hasonlósági transzformációk ismerete, alkalmazása
szerkesztési és bizonyítási feladatokban. Egybevágó alakzatok, hasonló
alakzatok tulajdonságainak ismerete, alkalmazása feladatokban.
Vektor fogalmának ismerete, vektorműveletek szerkesztése. Vektorfel-
bontás.
Háromszögek, négyszögek, sokszögek szögeinek, nevezetes vonalainak,
köreinek ismerete. Az ismeretek alkalmazása számítási, szerkesztési és
bizonyítási feladatokban.
Hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezése, számolás szögfüggvé-
nyekkel. Szögfüggvények közötti összefüggések ismerete.
Függvények, az analízis elemei
A függvény fogalmának mélyülése. Új függvényjellemzők ismerete: kor-
látosság, periodicitás, paritás.
A négyzetgyökfüggvény, trigonometrikus alapfüggvények ábrázolása,
jellemzése.
Többlépéses függvénytranszformációk elvégzése cxf ; cxf ;
xfc ; xcf ; xf felhasználásával.
Mindennapjainkhoz, más tantárgyakhoz kapcsolódó folyamatok elemzé-
se a megfelelő függvény grafikonja alapján.
Valószínűség, statisztika
Statisztikai adatok elemzése: adat gyakoriságának és relatív gyakoriságá-
nak kiszámítása.
Táblázat olvasása és készítése; diagramok olvasása és készítése; adat-
halmaz móduszának, mediánjának, átlagának meghatározása.
Véletlen esemény, biztos esemény, lehetetlen esemény, véletlen kísérlet,
esély/valószínűség fogalmak ismerete, használata. A műveletek elvégzé-
se az eseménytérben.
A valószínűség klasszikus modelljének alkalmazása.
18
11–12. évfolyam
Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka is, ezért a fejlesztésnek kiemelten fontos
tényezője az elemző- és összegzőképesség alakítása. Ebben a két évfolyamban áttekintését adjuk
a korábbi évek ismereteinek, eljárásainak, problémamegoldó módszereinek, emellett sok, gya-
korlati területen széles körben használható tudást is közvetítünk. Olyanokat, amelyekhez kell az
előző évek alapozása, amelyek kissé összetettebb problémák megoldását is lehetővé teszik. Az
érettségi előtt már elvárható többféle ismeret együttes alkalmazása. A sík- és térgeometriai fo-
galmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából
lényegesek. A koordináta-geometria elemeinek tanításával a matematika különböző területeinek
összefüggéseit s így a matematika komplexitását mutatjuk meg.
Minden témában nagy hangsúllyal ki kell térnünk a gyakorlati alkalmazásokra, az isme-
retek más tantárgyakban való felhasználhatóságára. A statisztikai kimutatások és az információk
kritikus értelmezése, az esetleges manipulációs szándék felfedeztetése hozzájárul a vállalkozói
kompetencia fejlesztéséhez, a helyes döntések meghozatalához. Gyakran alkalmazhatjuk a digi-
tális technikát az adatok, problémák gyűjtéséhez, a véletlen jelenségek vizsgálatához. A terület-,
felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban és mindennapjaink gyakorlatában is elengedhetet-
len. A sorozatok, kamatos kamat témakör kiválóan alkalmas a pénzügyi, gazdasági problémák-
ban való jártasság kialakításra.
Az anyanyelvi kommunikáció fejlesztését is segíti, ha önálló kiselőadások, prezentációk
elkészítését, megtartását várjuk el a diákoktól. A matematikatörténet feldolgozása például al-
kalmas erre. Ez sokat segíthet abban, hogy a matematikát kevésbé szerető tanulók se tekintsék
gondolkodásmódjuktól távol álló területnek a matematikát.
19
11. évfolyam
Óraszám: 144 óra/év
4 óra/hét
Az éves óraszám felosztása
Sorszám Témakör Óraszám
1. Számtan, algebra (hatvány gyök logaritmus) 29+3 óra
2. Geometria (trigonometria) 29+3 óra
3. Geometria (koordinátageometria) 31+4 óra
4. Gondolkodási és megismerési módszerek
(kombinatorika, gráf) 14+2 óra
5. Valószínűségszámítás, statisztika 14+2 óra
Összefoglalás, számonkérés 13 óra
Tematikai egység/
Fejlesztési cél 1. Számtan, algebra (hatvány gyök logaritmus)
Órakeret
29+3 óra
Előzetes tudás Hatvány fogalma egész kitevőre, hatványozás azonosságai. Egyenlet,
egyenlőtlenség megoldása. Ekvivalens egyenlet fogalma.
A tematikai egy-
ség nevelési-
fejlesztési céljai
Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: valós problémák megoldá-
sa megfelelő modell választásával. A matematika alkalmazása más tudo-
mányokban. Ismeretek rendszerezése, alkalmazása. A matematika épülé-
sének elvei: létező fogalom újraértelmezése, kiterjesztése. A fogalmak ki-
terjesztése követelményeinek megértése. Függvénytulajdonság alkalmazá-
sa egyenlet megoldásánál (pl. szigorú monotonitás). Tájékozódás az idő-
ben: lineáris folyamat, exponenciális folyamat.
Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok
n-edik gyök.
A négyzetgyök fogalmának ál-
talánosítása.
A matematika belső fejlődésének
felismerése, új fogalmak alkotása.
Hatványozás pozitív alap és ra-
cionális kitevő esetén.
Fogalmak módosítása újabb ta-
pasztalatok, ismeretek alapján. A
hatványfogalom célszerű kiterjesz-
tése, permanenciaelv alkalmazása.
Hatványozás azonosságainak
alkalmazása. Példák az azonos-
ságok érvényben maradására.
Ismeretek tudatos memorizálása.
Ismeretek mozgósítása.
Az exponenciális függvények. Permanenciaelv alkalmazása.
Exponenciális folyamatok a
természetben és a társadalom-
ban.
Modellek alkotása (függvény
modell): a lineáris és az expo-
nenciális növekedés/csökkenés
matematikai modelljének ösz-
Fizika; kémia: radioakti-
vitás.
Földrajz: a társadalmi-
gazdasági tér szerveződé-
20
szevetése konkrét, valós prob-
lémákban (például: népesség,
energiafelhasználás, járványok
stb.).
se és folyamatai.
Történelem, társadalmi és
állampolgári ismeretek;
földrajz: globális kérdé-
sek: - erőforrások kimerü-
lése, fenntarthatóság, de-
mográfiai robbanás a
harmadik világban, népes-
ségcsökkenés az öregedő
Európában.
A definíciók és a hatványozás
azonosságainak közvetlen al-
kalmazásával megoldható expo-
nenciális egyenle-
tek,egyenlőtlenségek.
Modellek alkotása (algebrai
modell): exponenciális egyen-
letre vezető valós problémák
(például: befektetés, hitel, ér-
tékcsökkenés, népesség alaku-
lása, radioaktivitás).
Fizika; kémia: radioakti-
vitás.
Földrajz; biológia-
egészségtan: globális
problémák - demográfiai
mutatók, a Föld eltartó
képessége és az élelmezé-
si válság, betegségek, vi-
lágjárványok, túltermelés
és túlfogyasztás.
A logaritmus értelmezése.
A logaritmussal való számolás
szerepe a Kepler-törvények fel-
fedezésében.
Korábbi ismeretek felidézése
(hatvány fogalma).
Ismeretek tudatos memorizálá-
sa.
Technika, életvitel és gya-
korlat: zajszennyezés.
Kémia: pH-számítás.
Fizika: Kepler-törvények.
Zsebszámológép használata, táb-
lázat használata.
Annak felismerése, hogy a
technika fejlődésének alapja a
matematikai tudás.
Fizika; kémia: számítási
feladatok.
A logaritmus azonosságai. A hatványozás és a logaritmus
kapcsolatának felismerése.
A logaritmusfüggvények vizsgá-
lata. Logaritmus alapfüggvények
grafikonja, jellemzésük.
A logaritmusfüggvény mint az
exponenciális függvény inverze.
Függvénynek és inverzének a
grafikonja a koordináta-
rendszerben.
Fizika; kémia: radioakti-
vitás.
A definíciók és a logaritmus azo-
nosságainak közvetlen alkalmazá-
sával megoldható logaritmusos
egyenletek, egyenlőtlenségek
A megtanított ismeretek elmélyí-
tése és gyakorlása
(Exponenciális és logaritmusos
egyenletek megoldása)
Modellek alkotása (algebrai
modell): logaritmus alkalmazá-
sával megoldható egyszerű ex-
ponenciális egyenletek; ilyen
egyenletre vezető valós prob-
lémák (például: befektetés, hi-
tel, értékcsökkenés, népesség
alakulása, radioaktivitás).
Életvitel és gyakorlat: zaj-
szennyezés.
Kémia: pH-számítás.
Biológia-egészségtan: ér-
zékelés, az inger és az ér-
zet.
Kulcsfogalmak/ fogal-
mak
n-edik gyök. Racionális kitevőjű hatvány. Logaritmus. Exponenciális
függvény, logaritmusfüggvény. Exponenciális folyamat.
21
Tematikai egység/
Fejlesztési cél 2. Geometria (trigonometria) Órakeret
29+3 óra
Előzetes tudás
Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Ponthalmazok, nevezetes
ponthalmazok ismerete. Háromszög nevezetes vonalai, pontjai, körei.
Háromszögekre, speciális háromszögekre vonatkozó tételek. Hegyesszö-
gek szögfüggvényei. Alapszerkesztések, egyszerű szerkesztési feladatok
körrel, háromszöggel kapcsolatosan. Vektorok, vektorműveletek.
A tematikai egység
nevelési-fejlesztési
céljai
Tájékozódás a térben. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: távol-
ságok, szögek, terület, kerület, felszín és térfogat kiszámítása. A matematika
két területének (geometria és algebra) összekapcsolása: koordináta-
geometria. Emlékezés, korábbi ismeretek rendszerezése, alkalmazása.
Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok
Szögfüggvények kiter-
jesztése, trigonometrikus
alapfüggvények (sin, cos,
tg).
A kiterjesztés szükségességének,
alapgondolatának megértése. Időtől
függő periodikus jelenségek kezelése.
Fizika: periodikus mozgás,
hullámmozgás, váltakozó
feszültség és áram.
Földrajz: térábrázolás és
térmegismerés eszközei,
GPS.
A trigonometrikus függ-
vények transzformációi:
cxf )( , )( cxf ; )(xcf ;
)(cxf .
Tudatos megfigyelés a változó szem-
pontok és feltételek szerint.
Informatika: tantárgyi szi-
mulációs programok hasz-
nálata.
Szinusztétel, koszinusz-
tétel.
Általános eset, különleges eset viszo-
nya (a derékszögű háromszög és a két
tétel).
Fizika: vektor felbontása
adott állású összetevőkre.
Földrajz: térábrázolás és
térmegismerés eszközei,
GPS.
Síkidomok kerületének
és területének számítása.
Ismeretek alkalmazása. Földrajz: felszínszámítás.
Pitagoraszi összefüggés
egy szög szinusza és ko-
szinusza között. Össze-
függés a szög és a mel-
lékszöge szinusza, illetve
koszinusza között. A
tangens kifejezése a szi-
nusz és a koszinusz há-
nyadosaként.
A trigonometrikus azonosságok meg-
értése, használata.
Függvénytáblázat alkalmazása fela-
datok megoldásában.
Egyszerű trigonometri-
kus egyenletek. Trigo-
nometrikus egyenletre
vezető, háromszöggel
kapcsolatos valós prob-
lémák. Azonosság alkal-
mazását igénylő egyszerű
trigonometrikus egyenlet.
A problémához hasonló egyszerű
probléma keresése.
Fizika: rezgőmozgás, adott
kitéréshez, sebességhez,
gyorsuláshoz tartozó időpil-
lanatok meghatározása.
22
Két vektor skaláris szorza-
ta. A skaláris szorzat tulaj-
donságai. Két vektor merő-
legességének szükséges és
elégséges feltétele
A megtanított ismeretek
elmélyítése és gyakorlá-
sa.
(Szinusz- és koszinusz-
tétel alkalmazása)
újszerűségének felfedezése. A műve-
let
A szükséges és az elégséges feltétel
felismerése, megkülönböztetése.
Fizika: mechanikai munka,
mágneses fluxus.
Kulcsfogalmak/
fogalmak
Valós szám szinusza, koszinusza, tangense. Bázisrendszer, helyvektor. Skalá-
ris szorzat. Szinuszfüggvény, koszinuszfüggvény, tangensfüggvény.
Tematikai egység/
Fejlesztési cél 4. Geometria (koordinátageometria) Órakeret
31+4 óra
Előzetes tudás
Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Ponthalmazok, nevezetes
ponthalmazok ismerete. Háromszög nevezetes vonalai, pontjai, körei.
Háromszögekre, speciális háromszögekre vonatkozó tételek. Elsőfokú
és másodfokú egyenlet, kétismeretlenes egyenletrendszer algebrai
megoldása. Vektorok, vektorműveletek. Számológép (számítógép)
használata.
A tematikai egység
nevelési-fejlesztési
céljai
Tájékozódás a térben. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban:
távolságok, szögek, terület, kerület kiszámítása. A matematika két te-
rületének (geometria és algebra) összekapcsolása. Emlékezés, korábbi
ismeretek rendszerezése, alkalmazása.
Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok
Helyvektor. Emlékezés: jelek, jelölések, megál-
lapodások.
Fizika: vonatkoztatási
rendszer, hely megadása.
Műveletek koordinátáikkal
adott vektorokkal. Vekto-
rok és rendezett számpárok
közötti megfeleltetés.
A vektor fogalmának bővítése (algeb-
rai vektorfogalom). Sík és tér: a di-
menzió szemléletes fogalmának fej-
lesztése.
Fizika: erők összeadása
komponensek segítségé-
vel, háromdimenziós kép-
alkotás (hologram).
A helyvektor koordinátái.
Szakasz felezőpontjának,
harmadoló pontjának, a há-
romszög súlypontjának ko-
ordinátái.
Képletek értelmezése, alkalmazása. Fizika: hely megadása.
Két pont távolsága, a sza-
kasz hossza.
Képletek értelmezése, alkalmazása.
A kör egyenlete. Geometria és algebra összekapcso-
lása.
Informatika: ponthalmaz
megjelenítése képernyőn
(geometriai szerkesztő-
program).
Az egyenes különböző
megadási módjai. Az
Megosztott figyelem; két, illetve
több szempont egyidejű követése.
Informatika: ponthalmaz
megjelenítése képernyőn
23
irányvektor, a normálvek-
tor, az iránytangens.
(geometriai szerkesztő-
program).
Iránytangens és az egyenes
meredeksége.
Fizika: út-idő grafikon és
a sebesség kapcsolata.
A merőlegesség megfogal-
mazása skaláris szorzattal.
Geometriai ismeretek feleleveníté-
se, megfogalmazása algebrai alak-
ban.
Az egyenes egyenlete.
Két egyenes párhuzamos-
ságának, merőlegességének
feltétele.
Az egyenest jellemző adatok, a kö-
zöttük felfedezhető összefüggések
értése, használata.
Informatika: tantárgyi
szimulációs programok
használata (geometriai
szerkesztőprogram).
Két egyenes metszéspontja.
Kör és egyenes kölcsönös
helyzete.
Geometriai probléma megoldása
algebrai eszközökkel. Ismeretek
mozgósítása, alkalmazása (elsőfo-
kú, illetve másodfokú
kétismeretlenes egyenletrendszer
megoldása).
Informatika: ponthalmaz
megjelenítése képernyőn
(geometriai szerkesztő-
program).
A kör adott pontjában hú-
zott érintője.
A geometriai fogalmak megjelení-
tése algebrai formában. Geometriai
ismeretek mozgósítása.
Informatika: ponthalmaz
megjelenítése képernyőn
(geometriai szerkesztő-
program).
A koordinátageometriai is-
meretek alkalmazása egy-
szerű síkgeometriai felada-
tok megoldásában.
A megtanított ismeretek el-
mélyítése és gyakorlása
(Az egyenes és a kör
egyenletével megoldható
feladatok)
Geometriai problémák megoldása
algebrai eszközökkel. Geometriai
problémák számítógépes megjelení-
tése.
Informatika: tantárgyi
szimulációs programok
használata (geometriai
szerkesztőprogram hasz-
nálata).
Fizika: égitestek pályája.
Kulcsfogalmak/
fogalmak
Bázisrendszer, helyvektor. Skaláris szorzat. Ponthalmaz egyenlete;
kétismeretlenes egyenletnek megfelelő ponthalmaz.
Tematikai egy-
ség/
Fejlesztési cél
5. Gondolkodási és megismerési módszerek (kombi-
natorika, gráf)
Órakeret
14+2 óra
Előzetes tudás Sorbarendezési, leszámlálási problémák megoldása.
A tematikai egy-
ség nevelési-
fejlesztési céljai
Ismeretek rendszerezése, alkalmazása. Mintavétel céljának, értelmének
megértése A modellhasználati, modellalkotási képesség fejlesztése.
Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok
Vegyes kombinatorikai fela-
datok, kiválasztási feladatok.
A kombinatorika alkalmazá-
sa egyszerű geometriai fela-
Modell alkotása valós problémá-
hoz: kombinatorikai modell.
Megosztott figyelem; két, illetve
több szempont egyidejű követése.
Földrajz: előrejelzések,
tendenciák megfogalmazá-
sa
Biológia-egészségtan: ge-
24
datokban.
Mintavétel visszatevés nélkül
és visszatevéssel.
Matematikatörténet: Erdős
Pál.
netika
Binomiális együtthatók. Jelek szerepe, alkotása, használata:
célszerű jelölés megválasztásának
jelentősége a matematikában.
Kulcsfogalmak/
fogalmak
Mintavétel visszatevéssel, visszatevés nélkül.
Előzetes tudás Gráffal kapcsolatos alapfogalmak.
A tematikai
egység nevelési-
fejlesztési céljai
Ismeretek rendszerezése, alkalmazása. Mintavétel céljának, értelmének meg-
értése. Gráfokkal kapcsolatos ismeretek alkalmazása, bővítése, konkrét pél-
dák alapján gráfokkal kapcsolatos állítások megfogalmazása. A modellhasz-
nálati, modellalkotási képesség fejlesztése.
Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok
Gráfelméleti alapfogalmak,
alkalmazásuk. Fokszám ösz-
szeg és az élek száma közötti
összefüggés.
Matematikatörténet: Euler
A megtanított ismeretek elmé-
lyítése és gyakorlása
(A kombinatorika alkalma-
zása, gráfokkal kapcsolatos
ismeretek alkalmazása)
.
Modell alkotása valós problé-
mához: gráfmodell. Megfelelő,
a problémát jól tükröző ábra ké-
szítése.
Tematikai egység/
Fejlesztési cél 6. Valószínűség, statisztika Órakeret
14+2 óra
Előzetes tudás
A statisztika alapfogalmai. Adathalmaz statisztikai jellemzői, adathal-
maz ábrázolása. Táblázatok kezelése. A véletlen esemény fogalma, a vé-
letlen kísérlet fogalma. Gyakoriság, relatív gyakoriság. Esély és valószí-
nűség hétköznapi fogalma. Kombinatorikai ismeretek.
A tematikai egy-
ség nevelési-
fejlesztési céljai
Ismeretek rendszerezése, alkalmazása, bővítése. Műveletek értelmezése
az események között. Matematikai elvonatkoztatás: a valószínűség mate-
matikai fogalmának fejlesztése. Véletlen mintavétel módszerei jelentősé-
gének megértése.
Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok
Eseményekkel végzett mű-
veletek. Példák események
összegére, szorzatára,
komplementer eseményre,
egymást kizáró esemé-
nyekre.
A matematika különböző területei
közötti kapcsolatok tudatosítása.
Logikai műveletek, halmazművele-
tek és események közötti művele-
tek összekapcsolása.
Informatika: folyamatok,
kapcsolatok leírása logikai
áramkörökkel.
25
Elemi események. Esemé-
nyek előállítása elemi
események összegeként.
Példák független és nem
független eseményekre.
Véletlen esemény, valószí-
nűség.
A valószínűség matemati-
kai definíciójának bemuta-
tása példákon keresztül.
A véletlen kísérletekből számított
relatív gyakoriság és a valószínű-
ség kapcsolata.
A valószínűség klasszikus
modellje.
Matematikatörténet: Ré-
nyi: Levelek a valószínű-
ségről.
A modell és a valóság kapcsolata.
Egyszerű valószínűség-
számítási problémák.
Ismeretek mozgósítása, tanult
kombinatorikai módszerek alkal-
mazása.
Fizika: az űrkutatás hatása
mindennapjainkra, a talál-
kozás valószínűsége.
Statisztikai mintavétel. Va-
lószínűségek visszatevéses
mintavétel esetén, a binomi-
ális eloszlás. Visszatevés
nélküli mintavétel.
Modell alkotása (valószínűségi
modell): a mintavételi eljárás lé-
nyege.
Informatika: tantárgyi szi-
mulációs programok hasz-
nálata (binomiális elosz-
lás).
Adathalmazok jellemzői: át-
lag, medián, módusz, terje-
delem, szórás. Nagy adat-
halmazok jellemzése statisz-
tikai mutatókkal
A megtanított ismeretek el-
mélyítése és gyakorlása.
(A valószínűség klasszikus
modelljének az alkalmazá-
sa.)
A statisztikai kimutatások és a va-
lóság: az információk kritikus ér-
telmezése, az esetleges manipulá-
ciós szándék felfedeztetése.
Közvélemény-kutatás, minőség-
ellenőrzés, egyéb gyakorlati alkal-
mazások elemzése.
Számológép/számítógép használata
statisztikai mutatók kiszámítására.
Kulcsfogalmak/
fogalmak
Valószínűség matematikai fogalma. Klasszikus valószínűség-számítási mo-
dell. Szórás.
Továbbhaladás feltételei
Képes egyszerű kombinatorikai feladatok megoldására.
Ismeri a gráf szemléletes fogalmát, képes egyszerű alkalmazásokra.
Biztonsággal alkalmazza a hatványozás azonosságait egész- és törtkitevő esetén.
Ismeri a logaritmus fogalmát, jól alkalmazza az azonosságokat egyszerűbb esetekben.
Képes megoldani egyszerű exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenleteket.
26
Tájékozott az alapfüggvények grafikonjait és legfontosabb tulajdonságait (értelmezési-
tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték) illetően.
Ismeri és alkalmazza a vektorműveleteket (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás).
Alkalmazza a szinusztételt és a koszinusztételt a háromszög hiányzó adatainak meghatá-
rozására.
Képes vektorok koordinátáival számolni.
Ki tudja számolni szakasz felezőpontjának koordinátáit.
Fel tudja írni a kör középponti egyenletét.
Ismeri és alkalmazza az egyenes (egy szabadon választott) egyenletét.
Meg tudja határozni két egyenes metszéspontjának koordinátáit.
Tudja vizsgálni kör és egyenes kölcsönös helyzetét.
Képes egyszerű valószínűségi feladatok megoldására.
27
12. évfolyam
Óraszám: 128 óra/év
4 óra/hét
Az éves óraszám felosztása
Sorszám Témakör Óraszám
1. Gondolkodási módszerek, matematikai logika 5+1 óra
2. Sorozatok 24+3 óra
3. Felszín-, és térfogatszámítás 28+3 óra
4 Gondolkodási és megismerési módszerek (rendszerező összefogla-
lás) 4+1 óra
5 Algebra, számelmélet (rendszerező összefoglalás) 15+2 óra
6 Geometria, mérés (rendszerező összefoglalás Függvény, sorozat
(rendszerező összefoglalás) 9+2 óra
7 Függvény, sorozat (rendszerező összefoglalás) 9+1 óra
8 Valószínűség-számítás, statisztika 4 óra
9 Érettségi feladatok gyakorlása 7 óra
10 Összefoglalás, számonkérés 10 óra
Tematikai egység/
Fejlesztési cél 1 Gondolkodási módszerek, matematikai logika Órakeret
5+1 óra
Előzetes tudás
Matematikai állítások elemzése, igaz és hamis állítások. Logikai műve-
letek: NEM, ÉS, VAGY. Skatulyaelv, logikai szita. Sorbarendezési és
kiválasztási feladatok, gráf használata feladatmegoldásban. Gráf, csúcs,
él.
A tematikai egység
nevelési-fejlesztési
céljai
A matematikai logika különböző területeinek felismerése, felfedezése a
hétköznapi problémákban.
Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok
Logikai műveletek: negáció,
konjunkció, diszjunkció,
implikáció, ekvivalencia.
Matematikatörténet: magyar
matematikusok szerepe a
matematikai logikában
A megtanított ismeretek el-
mélyítése és gyakorlása.
(Logikai műveletek alkal-
mazása)
Matematikai logika
A köznapi szóhasználat és
a matematikai szóhasználat
összevetése.
Logikai és halmazelméleti
műveletek kapcsolata.
28
Kulcsfogalmak/
fogalmak
Negáció, konjunkció, diszjunkció, implikáció, ekvivalencia.
Tematikai egység/
Fejlesztési cél 2. Sorozatok Órakeret
24+3 óra
Előzetes tudás Függvénytani alapfogalmak.
A tematikai egység
nevelési-fejlesztési
céljai
A folyamatok elemzése a függvényelemzés módszerével. A matematika
és a valóság: matematikai modellek készítése, vizsgálata. Alkotás önte-
vékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelő-
en. Sorozat vizsgálata; rekurzió, képletek értelmezése. Ismerethordozók
használata.
Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok
A számsorozat fogalma. A
függvény értelmezési tarto-
mánya a pozitív egész szá-
mok halmaza.
Matematikatörténet: Fibo-
nacci.
Sorozat megadása rekurzióval és
képlettel.
Informatika: probléma-
megoldás informatikai
eszközökkel és módsze-
rekkel: algoritmusok meg-
fogalmazása, tervezése.
Számtani sorozat, az n. tag,
az első n tag összege.
Matematikatörténet: Gauss.
A sorozat felismerése, a megfelelő
képletek használata problémameg-
oldás során.
Mértani sorozat, az n. tag,
az első n tag összege.
A sorozat felismerése, a megfelelő
képletek használata problémameg-
oldás során.
A számtani sorozat mint lineáris
függvény és a mértani sorozat mint
exponenciális függvény összeha-
sonlítása.
Fizika; kémia, biológia-
egészségtan; földrajz; tör-
ténelem, társadalmi és ál-
lampolgári ismeretek: ex-
ponenciális folyamatok
vizsgálata.
Kamatoskamat-számítás.
A megtanított ismeretek el-
mélyítése és gyakorlása
(Számtani és mértani so-
rozatokkal kapcsolatos fe-
ladatok)
Modellek alkotása: befektetés és
hitel; különböző feltételekkel
meghirdetett befektetések és hite-
lek vizsgálata; a hitel költségei, a
törlesztés módjai.
Az egyéni döntés felelőssége: az
eladósodás veszélye.
Korábbi ismeretek mozgósítása
(pl. százalékszámítás).
A szövegbe többszörösen mélyen
beágyazott, közvetett módon meg-
fogalmazott információk és kate-
góriák azonosítása.
Földrajz: a világgazdaság
szerveződése és működé-
se, a pénztőke működése,
a monetáris világ jellemző
folyamatai, hitelezés,
adósság, eladósodás.
Történelem, társadalmi és
állampolgári ismeretek: a
család pénzügyei és gaz-
dálkodása, vállalkozások.
Magyar nyelv és irodalom:
szövegértés.
Kulcsfogalmak/
fogalmak
Számsorozat. Rekurzió. Számtani sorozat, mértani sorozat.
Tematikai egység/
Fejlesztési cél 3. Felszín- és térfogatszámítás Órakeret
28+3 óra
Előzetes tudás Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Ponthalmazok, nevezetes
29
ponthalmazok ismerete. Hegyesszögek szögfüggvényei. Vektorok,
vektorműveletek. Hasáb, henger, gúla, kúp, gömb felismerése. Felszín,
térfogat szemléletes fogalma. Poliéder felszíne. Számológép (számító-
gép) használata.
A tematikai egység
nevelési-fejlesztési
céljai
Tájékozódás a térben. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban:
távolságok, szögek, terület, kerület, felszín és térfogat kiszámítása. A
matematika két területének (geometria és algebra) összekapcsolása:
koordináta-geometria. Emlékezés, korábbi ismeretek rendszerezése,
alkalmazása.
Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok
Síkidomok kerületének és
területének számítása.
Ismeretek alkalmazása. Földrajz: felszínszámítás.
Mértani testek csoportosítá-
sa. Hengerszerű testek (ha-
sábok és hengerek), kúpsze-
rű testek (gúlák és kúpok),
csonka testek (csonka gúla,
csonka kúp). Gömb.
A problémához illeszkedő váz-
latos ábra alkotása; síkmetszet
elképzelése, ábrázolása. Foga-
lomalkotás közös tulajdonság
szerint (hengerszerű, kúpszerű
testek, poliéderek).
Informatika: tantárgyi szimu-
lációs programok használata
(térgeometriai szimulációs
program).
Kémia: kristályok.
A tanult testek felszínének,
térfogatának kiszámítása.
Gyakorlati feladatok
A megtanított ismeretek el-
mélyítése és gyakorlása
.( Felszín-és térfogat szá-
mítási feladatok)
A valós problémákhoz modell
alkotása: geometriai modell.
Ismeretek megfelelő csoportosí-
tása.
Informatika: tantárgyi szimu-
lációs programok használata
(térgeometriai szimulációs
program).
Kulcsfogalmak/
fogalmak
Felszín, térfogat.
Tematikai egység/
Fejlesztési cél Rendszerező összefoglalás Órakeret
48+6 óra
Előzetes tudás A középiskolai matematika anyaga.
A tematikai egység
nevelési-fejlesztési
céljai
A matematika épülésének elvei: ismeretek rendszerezése, alkalmazása.
Motiválás. Emlékezés. Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszabályo-
zás. Alkotás és kreativitás: alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; al-
kotások adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás.
Hatékony, önálló tanulás kompetenciájának fejlesztése.
Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok
4.Gondolkodási és megismerési módszerek ( 4+1 óra)
Halmazok. Ponthalmazok és szám-
halmazok. Valós számok halmaza
és részhalmazai.
A problémának megfelelő
szemléltetés kiválasztása
(Venn-diagram, számegyenes,
koordináta-rendszer).
30
Állítások logikai értéke. Logikai
műveletek.
Szövegértés. A szövegben ta-
lálható információk összegyűj-
tése, rendszerezése.
Filozófia: logika - a kö-
vetkezetes és rendezett
gondolkodás elmélete, a
logika kapcsolódása a
matematikához és a
nyelvészethez.
Informatika: Egy bizo-
nyos, nemrég történt
esemény információinak
begyűjtése több párhu-
zamos forrásból, ezek
összehasonlítása, elem-
zése, az igazságtartalom
keresése, a manipulált
információ felfedése.
Navigációs eszközök
használata: hierarchizált
és legördülő menük
használata.
A halmazelméleti és a logikai isme-
retek kapcsolata.
Halmazok eszközjellegű hasz-
nálata.
Definíció és tétel. A tétel bizonyítá-
sa. A tétel megfordítása.
Emlékezés a tanult definíciók-
ra és tételekre, alkalmazásuk
önálló problémamegoldás so-
rán.
Bizonyítási módszerek. Direkt és indirekt bizonyítás
közötti különbség megértése.
Néhány tipikusan hibás követ-
keztetés bemutatása, elemzése.
Filozófia: szillogizmu-
sok.
Kombinatorika: leszámlálási felada-
tok. Egyszerű feladatok megoldása
gráfokkal.
Sorbarendezési és kiválasztási
problémák felismerése.
Gondolatmenet szemléltetése
gráffal.
Műveletek értelmezése és műveleti
tulajdonságok.
A megtanított ismeretek elmélyítése
és gyakorlása
(Halmazműveletek gyakorlása)
Absztrakt fogalom és annak
konkrét megjelenései: valós
számok halmazán értelmezett
műveletek, halmazműveletek,
logikai műveletek, műveletek
vektorokkal, műveletek vek-
torral és valós számmal, műve-
letek eseményekkel.
5.Számtan, algebra (15+2 óra)
Gyakorlati számítások. Kerekítés, közelítő érték, becslés. Számo-
lógép használata, értelmes kerekítés.
Technika,
életvitel és
gyakorlat:
alapvető
adózási, biz-
tosítási,
31
egészség-,
nyugdíj- és
társadalom-
biztosítási,
pénzügyi is-
meretek.
Egyenletek és egyenlőtlenségek. Megoldások az alaphalmaz, értelmezési
tartomány, megoldáshalmaz megfelelő
kezelésével.
Algebrai azonosságok, hatványozás
azonosságai, logaritmus azonossá-
gai, trigonometrikus azonosságok.
Az azonosságok szerepének ismerete,
használatuk. Matematikai fogalmak fejlő-
désének bemutatása pl. a hatvány, illetve a
szögfüggvények példáján.
Fizika; ké-
mia; bioló-
gia-
egészségtan;
földrajz; tör-
ténelem, tár-
sadalmi és
állampolgári
ismeretek:
képletek
használata
Egyenletek és egyenlőtlenségek
megoldása. Algebrai megoldás,
grafikus megoldás. Ekvivalens
egyenletek, ekvivalens átalakítások.
A megoldások ellenőrzése.
Adott egyenlethez illő megoldási módszer
önálló kiválasztása.
Az önellenőrzésre való képesség. Önfe-
gyelem fejlesztése: sikertelen megoldási
kísérlet után újjal való próbálkozás.
Első- és másodfokú egyenlet és
egyenlőtlenség. Négyzetgyökös
egyenletek. Abszolút értéket tar-
talmazó egyenletek. Egyszerű ex-
ponenciális, logaritmikus és trigo-
nometrikus egyenletek.
Tanult egyenlettípusok és egyenlőtlenség-
típusok önálló megoldása.
Elsőfokú és egyszerű másodfokú
kétismeretlenes egyenletrendszer
megoldása.
A tanult megoldási módszerek biztos al-
kalmazása.
Egyenletekre, egyenlőtlenségekre
vezető gyakorlati életből vett és
szöveges feladatok
A megtanított ismeretek elmélyítése
és gyakorlása
(Egyenletek és egyenlőtlenségek
megoldása.)
Matematikai modell (egyenlet, egyenlőt-
lenség) megalkotása, vizsgálatok a mo-
dellben, ellenőrzés.
Fizika; ké-
mia; bioló-
gia-
egészségtan;
földrajz; tör-
ténelem, tár-
sadalmi és
állampolgári
ismeretek:
matematikai
modellek.
6.Geometria (9+2 óra)
Geometriai alapfogalmak, pont-
halmazok.
Térelemek kölcsönös helyzete, tá- Valós problémában a megfelelő geometri-
32
volsága, szöge.
Távolságok és szögek kiszámítása.
ai fogalom felismerése, alkalmazása.
Geometriai transzformációk. Tá-
volságok és szögek vizsgálata a
transzformációknál.
Egybevágóság, hasonlóság. Szim-
metriák.
Szerepük felfedezése művészetekben, já-
tékokban, gyakorlati jelenségekben.
Háromszögekre vonatkozó tételek
és alkalmazásuk.
A háromszög nevezetes vonalai,
pontjai és körei. Összefüggések a
háromszög oldalai, oldalai és szö-
gei között.
A derékszögű háromszög oldalai,
oldalai és szögei közötti összefüg-
gések.
Állítások, tételek jelentésére való emléke-
zés.
A problémának megfelelő összefüggések
felismerése, alkalmazása.
Négyszögekre vonatkozó tételek és
alkalmazásuk.
Négyszögek csoportosítása külön-
böző szempontok szerint. Szimmet-
rikus négyszögek tulajdonságai.
Állítások, tételek jelentésére való emléke-
zés.
Körre vonatkozó tételek és alkal-
mazásuk.
Számítási feladatok.
Vektorok, vektorok koordinátái.
Bázisrendszer.
Matematikatörténeti ismeretek: a
vektor fogalmának fejlődése a fizi-
kai vektorfogalomtól a rendezett
szám n-esig.
Vektorok alkalmazásai.
Egyenes egyenlete. Kör egyenlete.
Két alakzat közös pontja.
Matematikatörténet: nevezetes
szerkeszthetőségi problémák
A megtanított ismeretek elmélyítése
és gyakorlása
(Összetett geometriai feladatok
megoldása)..
Geometria és algebra összekapcsolása.
7.Összefüggések, függvények, sorozatok (9+1 óra)
A függvény megadása. A függvé-
nyek tulajdonságai.
Emlékezés: a fogalmak pontos felidézése,
ismerete.
Értelmezési tartomány, értékkészlet,
zérushely, szélsőérték, monotonitás, peri-
odicitás, paritás fogalmak alkalmazása
konkrét feladatokban.
Az alapfüggvények ábrázolása és tulaj-
donságai.
33
A tanult alapfüggvények ismerete. Képi emlékezés statikus helyzetekben
(grafikonok felidézése).
Függvénytranszformációk: cxf )( ,
)( cxf ; )(xcf ; )(cxf . Eltolás, nyúj-
tás és összenyomás a tengelyre me-
rőlegesen.
Kapcsolat a matematika két területe kö-
zött: függvénytranszformációk és geomet-
riai transzformációk.
Függvényvizsgálat a tanult szem-
pontok szerint
.
Emlékezés, ismeretek mozgósítása.
A megtanított ismeretek elmélyítése
és gyakorlása.
( Függvénytranszformációk,
függvényelemzés)
Függvények használata valós folyamatok
elemzésében.
Függvény alkalmazása matematikai mo-
dell készítésében.
Fizika, ké-
mia; bioló-
gia-
egészségtan;
földrajz; tör-
ténelem, tár-
sadalmi és
állampolgári
ismeretek:
matematikai
modellek.
8.Valószínűség-számítás, statisztika (4 óra)
Diagramok. Statisztikai mutatók:
módusz, medián, átlag, szórás.
Adathalmazok jellemzése önállóan vá-
lasztott mutatók segítségével. A repre-
zentatív minta jelentőségének megérté-
se.
Magyar nyelv
és irodalom: a
tartalom értéke-
lése hihetőség
szempontjából;
a szöveg hite-
lességével kap-
csolatos tartal-
mi elemek ma-
gyarázata; a
kétértelmű,
többjelentésű
tartalmi elemek
feloldása; egy
következtetés
alapját jelentő
tartalmi elem
felismerése; az
olvasó előisme-
reteire alapozó
figyelemfelhívó
jellegű címadás
felismerése.
Gyakoriság, relatív gyakoriság. Vé-
letlen esemény valószínűsége.
A valószínűség kiszámítása a klasz-
szikus modell alapján.
A véletlen törvényszerűségei.
A valószínűség és a statisztika törvé-
nyei érvényesülésének felfedezése a
termelésben, a pénzügyi folyamatok-
ban, a társadalmi folyamatokban.
A szerencsejátékok igazságtalanságá-
nak és a játékszenvedély veszélyeinek
Technika, élet-
vitel és gyakor-
lat; biológia-
egészségtan:
szenvedélybe-
tegségek és ri-
34
felismerése. zikófaktor.
Kulcsfogalmak/ fo-
galmak
Következtetés. Definíció. Tétel. Bizonyítás. Halmaz, alaphalmaz, iga-
zsághalmaz, megoldáshalmaz. Függvény/transzformáció. Értelmezési
tartomány. Művelet, műveleti tulajdonság. Egyenlet, azonosság, egyen-
letrendszer, egyenlőtlenség. Ekvivalencia. Ellenőrzés. Véletlen, valószí-
nűség. Adat, statisztikai mutató. Térelem, mennyiségi jellemző (távol-
ság, szög, kerület, terület, felszín, térfogat). Matematikai modell.
Továbbhaladás feltételei
Ismeri és alkalmazza a tanult halmazműveleteket.
Képes adott véges halmazok esetén kiszámítani a számosságokat.
Tud egyszerű (matematikai) szövegeket értelmezni.
Megfelelően alkalmazza az ítélet fogalmát.
Egyszerű feladatokban alkalmazza a negáció, konjunkció, diszjunkció műveletét, és ezt
össze tudja kapcsolni a halmazműveletekkel.
Különbséget tud tenni definíció és tétel között.
Használja és alkalmazza feladatokban a szükséges, az elégséges és a szükséges és elég-
séges feltételt.
Tud egyszerű kombinatorikai feladatokat megoldani.
Tud konkrét szituációkat szemléltetni gráfok segítségével.
Tud prímtényezős felbontás és a tanult oszthatósági szabályok alkalmazásával egyszerű
feladatokat megoldani.
Ismeri a való számkör felépítését.
Ismeri és használja a hatványozás azonosságait.
Ismeri és használja feladatok megoldásában a logaritmus fogalmát és azonosságait.
Tud algebrai kifejezésekkel műveleteket végezni.
Felismeri az egyenes és fordított arányosságot, jól alkalmazza a százalékszámítást.
Algebrai és grafikus módon is tud első- és másodfokú egyenleteket, egyenlőtlenségeket,
valamint első- és másodfokú egyenletrendszereket megoldani.
Képes nagyon egyszerű abszolút értékes, exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus
egyenleteket megoldani.
Tud értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni és adatokat leolvasni a grafikon-
ról.
Képes jellemezni grafikonnal megadott egyszerű függvényeket.
Ki tudja számítani számtani, illetve mértani sorozat tagjait és részletösszegeit.
Helyesen alkalmazza feladatokban a térelemek távolságára és szögére vonatkozó definí-
ciókat.
Felismeri és használja feladatokban a különböző alakzatok szimmetriáit.
Ismeri a háromszög oldalai és szögei közötti összefüggéseit, a háromszög nevezetes vo-
nalait és pontjait.
Képes alkalmazni a Thalész- és a Pitagorasz-tételt.
Ismeri a négyszögek fajtáit és tulajdonságait.
Helyesen alkalmazza a tanult kerület-, terület-, felszín- és térfogat-számítási képleteket
egyszerű feladatokban.
35
Képes háromszögek hiányzó adatainak kiszámítására szögfüggvények, illetve szinusz- és
koszinusztétel segítségével.
Érti a vektor koordinátáinak fogalmát.
Jól tudja különböző adatokból az egyenes és a kör egyenletét felírni.
Képes egyenesek metszéspontját kiszámolni.
Képes statisztikai adatokat rendezni, grafikonon ábrázolni, adott diagramról információt
kiolvasni.
Meg tudja határozni konkrét adatsokaság móduszát, mediánját, aritmetikai átlagát.
Képes adathalmazokat összehasonlítani statisztikai mutatók segítségével.
Egyszerű feladatokban jól alkalmazza a klasszikus valószínűség-számítási modellt.
A fejlesztés várt eredményei a 11-12. évfolyamos ciklus végén
Gondolkodási és megismerési módszerek
– A kombinatorikai problémához illő módszer önálló megválasztása.
– A gráfok eszközjellegű használata problémamegoldásában.
– Bizonyított és nem bizonyított állítás közötti különbség megértése.
– Feltétel és következmény biztos felismerése a következtetésben.
– A szövegben található információk önálló kiválasztása, értékelése, rendezése probléma-
megoldás céljából.
– A szöveghez illő matematikai modell elkészítése.
– A tanulók a rendszerezett összeszámlálás, a tanult ismeretek segítségével tudjanak kom-
binatorikai problémákat jól megoldani
– A gráfok ne csak matematikai fogalomként szerepeljenek tudásukban, alkalmazzák isme-
reteiket a feladatmegoldásban is.
Számtan, algebra
– A kiterjesztett gyök- és hatványfogalom ismerete.
– A logaritmus fogalmának ismerete.
– A gyök, a hatvány és a logaritmus azonosságainak alkalmazása konkrét esetekben prob-
léma megoldása céljából.
– Egyszerű exponenciális és logaritmusos egyenletek felírása szöveg alapján, az egyenletek
megoldása, önálló ellenőrzése.
– A mindennapok gyakorlatában szereplő feladatok megoldása a valós számkörben tanult
új műveletek felhasználásával.
– Számológép értelmes használata a feladatmegoldásokban.
Összefüggések, függvények, sorozatok
– Trigonometrikus függvények értelmezése, alkalmazása.
– Függvénytranszformációk végrehajtása.
– Exponenciális függvény és logaritmusfüggvény ismerete.
– Exponenciális folyamatok matematikai modelljének megértése.
– A számtani és a mértani sorozat összefüggéseinek ismerete, gyakorlati alkalmazások.
– Az új függvények ismerete és jellemzése kapcsán a tanulóknak legyen átfogó képük a
függvénytulajdonságokról, azok felhasználhatóságáról.
Geometria
– Jártasság a háromszögek segítségével megoldható problémák önálló kezelésében.
– A tanult tételek pontos ismerete, alkalmazásuk feladatmegoldásokban.
– A valós problémákhoz geometriai modell alkotása.
36
– Hosszúság, szög, kerület, terület, felszín és térfogat kiszámítása.
– Két vektor skaláris szorzatának ismerete, alkalmazása.
– Vektorok a koordináta-rendszerben, helyvektor, vektorkoordináták ismerete, alkalmazá-
sa.
– A geometriai és algebrai ismeretek közötti összekapcsolódás elemeinek ismerete: távol-
ság, szög számítása a koordináta-rendszerben, kör és egyenes egyenlete, geometriai feladatok
algebrai megoldása.
Valószínűség, statisztika
– Statisztikai mutatók használata adathalmaz elemzésében.
– A valószínűség matematikai fogalma.
– A valószínűség klasszikus kiszámítási módja.
– Mintavétel és valószínűség.
– A mindennapok gyakorlatában előforduló valószínűségi problémákat tudják értelmezni,
kezelni.
– Megfelelő kritikával fogadják a statisztikai vizsgálatok eredményeit, lássák a vizsgálatok
korlátait, érvényességi körét.
Összességében
– A matematikai tanulmányok végére a matematikai tudás segítségével önállóan tudjanak
megoldani matematikai problémákat.
– Kombinatív gondolkodásuk fejlődésének eredményeként legyenek képesek többféle
módon megoldani matematikai feladatokat.
– Fejlődjön a bizonyítási, diszkussziós igényük olyan szintre, hogy az érettségi után a
döntési helyzetekben tudjanak reálisan dönteni.
– Feladatmegoldásokban rendszeresen használják a számológépet, elektronikus eszközö-
ket.
– Tudjanak a síkban, térben tájékozódni, az ilyen témájú feladatok megoldásához célszerű
ábrákat készíteni.
– A feladatmegoldások során helyesen használják a tanult matematikai szakkifejezéseket,
jelöléseket.
– A tanulók váljanak képessé a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az
önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére.
– A helyes érvelésre szoktatással fejlődjön a tanulók kommunikációs készsége.