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corso di formazione ed aggiornamento

NUOVE NORME TECNICHE IN ZONA SISMICAdi cui all’ordinanza n. 3274 del P.C.M. del 20.03.2003pubblicata sulla Gazzetta Ufficiale in data 08.05.2003

ARGOMENTO DELLA LEZIONE:

LA VERIFICA AGLI S.L.U. PER SOLLECITAZIONI NORMALIDELLE SEZIONI DI CALCESTRUZZO ARMATO

Riferimenti Bibliografici:Vitaliani R., Scotta R., Saetta A., Il calcolo agli stati limite delle strutture di calcestruzzoarmato: aspetti teorici ed applicazioni pratiche, ed. Libreria Progetto, Padova 2002.

Verifica delle sezioni di c.a. rispetto agli SLU per tensioni normali

pag. i

INDICE

I. PREMESSA..................................................................................................................................................1

II. LEGGI COSTITUTIVE DEI MATERIALI .............................................................................................1

II.1. RESISTENZE DI CALCOLO DEI MATERIALI...............................................................................................1

II.2. CALCESTRUZZO.....................................................................................................................................2 II.2.1. Il caso della compressione centrata ....................................................................................................3

II.3. ACCIAI PER C.A. E C.A.P. ........................................................................................................................4 II.3.1. Acciai per c.a. normale. ......................................................................................................................4 II.3.2. Acciai per c.a.p....................................................................................................................................4

III. IL CALCOLO A ROTTURA DELLE SEZIONI IN C.A. PER SOLLECITAZIONI NORMALI......5

III.1. PREMESSE FONDAMENTALI....................................................................................................................5

III.2. CONFIGURAZIONI DEFORMATE DELLA SEZIONE ALLO STATO LIMITE ULTIMO ........................................5

III.3. VERIFICA DELLA SICUREZZA .................................................................................................................8 III.3.1. Approccio generale ............................................................................................................................8 III.3.2. Approcci semplificati .......................................................................................................................10

III.4. TRAVI. PROBLEMI DI VERIFICA: L’INTEGRAZIONE DELLE TENSIONI INTERNE E LA COSTRUZIONE DEL

CAMPO RESISTENTE.............................................................................................................................11 III.4.1. Sezioni rettangolari con doppia armatura – diagramma parabola rettangolo ...............................13 III.4.2. Sezioni rettangolari con doppia armatura – diagramma stress-block semplificato ........................15 III.4.3. Esempio: costruzione del campo resistente in presso-flessione retta ..............................................19 III.4.4. Esempio: verifica di presso-flessione retta rispetto ad una sola coppia di sollecitazioni (determinazione dell’asse neutro)................................................................................................................22

III.5. TRAVI. PROBLEMA DI PROGETTO.........................................................................................................24 I.1.1. Criteri generali di progetto ................................................................................................................24 III.5.1. Tabelle di dimensionamento per sezioni rettangolari semplicemente inflesse. ...............................24 III.5.2. Progetto di sezioni rettangolari in flessione semplice .....................................................................25 III.5.3. Progetto di sezioni rettangolari in presso-flessione retta ................................................................28

III.6. SEZIONI A T .........................................................................................................................................30 III.6.1. Flessione semplice e composta. Progetto dell’armatura .................................................................30 III.6.2. Metodo approssimato per travi a T snelle semplicemente inflesse. .................................................33

III.7. DIMENSIONAMENTO E VERIFICA DEI PILASTRI .....................................................................................34 III.7.1. Generalità ........................................................................................................................................34 III.7.2. Diagrammi di interazione ................................................................................................................34

III.8. PRESCRIZIONI DI REGOLAMENTO PER LE TRAVI INFLESSE ....................................................................37 III.8.1. Normativa Italiana...........................................................................................................................37 III.8.2. Eurocodice 2 ....................................................................................................................................37

III.9. PRESCRIZIONI DI REGOLAMENTO PER I PILASTRI ..................................................................................37 III.9.1. Normativa Italiana...........................................................................................................................37 III.9.2. Eurocodice 2 ....................................................................................................................................38


pag. 1

I. Premessa Scopo della lezione è quello di impartire le conoscenze e gli strumenti necessari per effettuare la verifica delle sezioni di calcestruzzo armato soggette a sollecitazioni normali, ovvero che inducono degli stati tensionali normali, secondo il metodo agli SLU. Viene analizzato il caso generale di sollecitazione di tenso- o presso-flessione, semplice o deviata, di strutture monodimensionali (travi e pilastri) o bidimensionali (lastre e piastre) di calcestruzzo armato. Si tratta di un tipo di sollecitazione caratterizzato dal fatto che l’unica componente di tensione diversa da zero è la tensione normale σz. In tale classe di sollecitazioni sono compresi sia i casi limite di flessione semplice e compressione/trazione semplice, che i casi di tenso- o presso flessione retta o deviata. Le componenti di sollecitazione da considerare sono quindi lo sforzo normale N ed i momenti flettenti Mx ed My.

Ai fini della presente lezione si intendono già acquisite le cognizioni relative ai principi basilari dell’approccio agli S.L. e quelle relative alle combinazioni delle azioni sulle strutture e al calcolo delle sollecitazioni sulle sezioni caratteristiche delle membrature.

II. Leggi costitutive dei materiali

II.1. Resistenze di calcolo dei materiali Nell’ambito del metodo semiprobabilistico agli Stati limite, per tenere conto delle incertezze sui dati disponibili, si utilizzano valori di progetto delle resistenze dei materiali, ottenuti dai valori caratteristici (valori con frattile 0.95) attraverso un coefficiente di sicurezza γm, secondo l’espressione seguente:

mkd /ff γ= (1)

La determinazione dei valori da assegnare ai coefficienti γm è basata sulla filosofia del metodo agli Stati Limite Ultimi, secondo la quale il valore di calcolo è il frattile 5‰ della distribuzione delle resistenze:

005.0

05.0

d

km f

fff

==γ (2)

nell’ipotesi di una distribuzione di tipo normale si ha quindi:

( )( )

( )( )δ⋅−

δ⋅−=

δ⋅′−δ⋅−

==γ576.21645.11

k1fk1f

ff

m

m

d

km (3)

essendo il parametro k per frattile 0.05 pari a 1.645, mentre per frattile 0.005 k’= 2.576. Di conseguenza, in base ai dati disponibili per gli scarti quadratici delle distribuzioni delle resistenze rispettivamente di calcestruzzo e di acciaio. la relazione (3) fornisce:

− calcestruzzo, per cui δ ≈ 0.24 γm = 1.6 − acciaio, per cui δ ≈ 0.11 γm = 1.15

Secondo Il R.I., il coefficiente di sicurezza del materiale γm assume, per il calcestruzzo e l’acciaio, i valori riportati in Tabella 1.


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Stati limite Acciaio γs Calcestruzzo γc

Ultimi 1.15 1.6 (1.5 per c.a.p.)

di Esercizio 1.0 1.0 Tabella 1 Coefficienti di sicurezza dei materiali

Per spessori minori di 5 cm il coefficiente di sicurezza del calcestruzzo deve essere maggiorato del 25%. Analogamente, nel caso di compressione o pressoflessione, si utilizza un coefficiente di sicurezza del calcestruzzo maggiorato del 25% per valutare lo sforzo normale massimo.

II.2. Calcestruzzo Come noto le curve tensione-deformazione (σ−ε) del calcestruzzo variano fortemente, oltre che in funzione del tipo di conglomerato, anche con la modalità di prova, con la velocità di applicazione del carico, con il grado di confinamento, etc. Per poter realizzare una analisi non lineare è necessario utilizzare curve reali σ−ε, (e.g. CEB 90, Sargin, etc.) mentre ai fini del calcolo delle resistenze delle membrature si può fare riferimento a curve standardizzate, che avvicinino i dati sperimentali. Tra queste, le curve tensione-deformazione più comunemente impiegate sono: − la curva di calcolo “parabola-rettangolo” rappresentata in Figura 1 (ammessa sia dal R.I. che

dall’EC2); − la curva di calcolo triangolo-rettangolo (ammessa soltanto dall’EC2), rappresentata in Figura 2; − la curva semplificata rettangolare (ammessa sia dal R.I. che dall’EC2), rappresentata in Figura 3;

0.85 fcd

εc3.5‰2‰

σc

Figura 1: diagramma di calcolo parabola - rettangolo σ−ε per il calcestruzzo compresso (R.I. ed EC2)

0.85 fcd

εc3.5‰2‰

σc

Figura 2: diagramma di calcolo triangolo-rettangolo σ−ε per il calcestruzzo compresso (soltanto EC2)

0.85 fcd

εcεcu =3.5‰

σc0.8 εcu

Figura 3: diagramma semplificato tensioni-deformazioni per sezioni presso-inflesse


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Con riferimento alla curva parabola-rettangolo, si ha: 1. si ammette una deformazione limite minima di compressione sul calcestruzzo pari a :

εc,min = -3.5 ‰ in caso di pressoflessione; εc,min = -2 ‰ in caso di compressione semplice;

2. valore massimo di resistenza di calcolo a compressione f fc cd= ⋅0 85. , dove f fcd ck c= γ . Il coefficiente 0.85 tiene conto della riduzione di resistenza per effetto di carichi di lunga durata rispetto al valore di rottura istantaneo. Il valore della resistenza caratteristica per compressione cilindrica fck (ricavabile direttamente da prove di rottura su provini cilindrici) è correlato alla resistenza caratteristica a compressione su provini cubici attraverso la relazione f Rck ck= ⋅0 83. ; globalmente vale pertanto f Rc ck= ⋅0 441. .

3. σ variabile da 0 fino a 0.85·fcd per 0 ≥ ε ≥ -2‰ attraverso la relazione parabolica: σ εc c cdf= ⋅ ⋅Φ( ) .0 85 , essendo: ( )Φ( )ε ε εc c c= ⋅ ⋅ ⋅ +1000 250 1 ;

4. σ costante e pari a f fc cd= ⋅0 85. per -2‰ ≥ ε ≥ -3.5‰.;

5. σ nulle per ogni deformazione positiva di trazione. La legge costitutiva parabola-rettangolo è utilizzabile per determinare il valore della tensione di compressione in ogni punto della sezione di calcestruzzo una volta assegnato il campo di deformazione. In alternativa al diagramma parabola-rettangolo il R.I. consente di utilizzare il diagramma rettangolare rappresentato in Figura 3, per cui la distribuzione delle tensioni si assume uniforme con i seguenti valori:

σc = 0.85·fcd se la zona compressa presenta larghezza costante o crescente verso la fibra più compressa

σc = 0.80·fcd se la zona compressa presenta larghezza decrescente verso la fibra più compressa

sull’altezza valutata a partire dal lembo compresso:

x8.0y = nel caso sia x ≤ h

hh75.0x

h8.0xy−−

= nel caso sia x > h

II.2.1. Il caso della compressione centrata Il caso di sollecitazione di compressione centrata (pilastri) è particolarmente gravoso per le strutture di calcestruzzo in quanto corrisponde ad un tipo di rottura fragile, con scarso preavviso imponendo a tutta la sezione uno stato di sollecitazione uniforme con massimo impegno per il calcestruzzo compresso. In questo caso il R.I. prevede che le sollecitazioni resistenti delle sezioni siano calcolate tenendo conto di un coefficiente di sicurezza del materiale aumentato del 25% cosicché la resistenza di calcolo del materiale per compressione semplice risulta ckc,c R353.0f ⋅= .

Analoga riduzione deve essere prevista nel caso di pressoflessione che induce tensioni di compressione sulla soletta di spessore < 4 cm di travi a “T”:


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II.3. Acciai per c.a. e c.a.p. Con riferimento all’acciaio teso, si ammette una deformazione massima positiva nel calcestruzzo, in corrispondenza alle posizioni di armatura tese, pari a εs,max = +10‰. Tale limite è molto inferiore al valore minimo a rottura richiesto dal R.I. per l’acciaio da c.a. (ad esempio per l’acciaio Fe B 44 k, εs,max ≥ +10%), avendo la limitazione posta principalmente lo scopo di contenere l’apertura delle fessure in zona tesa per cautelarsi rispetto al fenomeno di corrosione delle armature. Nel caso di armature tese disposte in più strati in zona ristretta, la deformazione limite può essere assunta in corrispondenza al livello baricentrico delle armature. In generale, quando siano presenti stati di tensione dovuti a deformazioni impresse (precompressione o altre coazioni) la deformazione dell’acciaio non è quella totale, ma la sola parte ottenuta a partire dallo stato di decompressione prodotto da carichi di breve durata. In tal caso per il calcolo delle tensioni negli acciai va tenuto conto delle loro tensioni rispetto allo stato di decompressione della corrispondente fibra di calcestruzzo:

ε ε ε ε σ σs c c

s

s

c

cE E= + = + −0 (4)

II.3.1. Acciai per c.a. normale. Per gli acciai da c.a. di durezza normale, le grandezze caratteristiche sono le tensioni caratteristiche di snervamento fyk e di rottura ftk, il valore della tensione di snervamento di calcolo fyd ed il corrispondente valore della deformazione εyd = fyd/Es. In Figura 4a è rappresentata la legge costitutiva indicata dal R.I. da utilizzarsi, in mancanza di dati sperimentali diretti, per tali acciai. Essa è costituita da una retta passante per l’origine di inclinazioni pari a Es (essendo Es il modulo elastico del materiale) e da due rette orizzontali al livello di fyk sia in trazione che in compressione. Il diagramma di calcolo si deduce dal diagramma caratteristico effettuando un’affinità parallelamente alla tangente all’origine nel rapporto 1/γs. Di conseguenza si passa dal valore di snervamento caratteristico a quello di calcolo attraverso un coefficiente di sicurezza γs che, per stati limiti ultimi, vale 1.15. In Tabella 2 sono riportati i valori caratteristici delle leggi costitutive dei due tipi di acciai ad aderenza migliorata previsti dal R.I., ottenuti nell’ipotesi di modulo elastico Es = 206 GPa.

Acciaio tipo ftk (MPa) fyk (MPa) fyd (MPa) εyd (‰)

Fe B 38 k ≥ 450 ≥ 375 326 1.58

Fe B 44 k ≥ 540 ≥ 430 374 1.81 Tabella 2: caratteristiche principali degli acciai ad aderenza migliorata.

II.3.2. Acciai per c.a.p. Per gli acciai da precompressione, si utilizza la relazione costitutiva indicata in Figura 4b. Il diagramma è idealizzato con un tratto rettilineo passante per l’origine e di pendenza Es = 200 GPa ed un secondo tratto con ordinata iniziale 0.9 fptk. Al solito il diagramma di calcolo si deduce dal diagramma caratteristico effettuando un’affinità, parallelamente alla tangente all’origine nel rapporto 1/γs. Il secondo tratto del diagramma di calcolo può essere assunto orizzontale, oppure inclinato a partire dallo stesso punto e terminando nel punto di ascissa 0.01 ed ordinata fptk/γs


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10 ‰ εs

σs

fyd

εyd

fyk

Es

10 ‰ εs

σs

fptk

0.9 fptk

Es

0.9 fptd

di calcolo

a) Acciaio da c.a. b) Acciaio da precompressione

Figura 4: diagrammi di calcolo σ−ε per gli acciai da c.a. e c.a.p. (R.I.)

III. Il calcolo a rottura delle sezioni in c.a. per sollecitazioni normali

III.1. Premesse fondamentali Le premesse fondamentali alla base della trattazione esposta, sono le seguenti:

a) l/d ≥ 2, dove “l” è la distanza tra due punti successivi di annullamento del diagramma di momento e “d” l’altezza utile di calcolo dell’elemento strutturale. Diversamente non è più applicabile la teoria delle travi alla De Saint Venant e si passa nel campo delle travi alte;

b) le sezioni si mantengono piane nella deformazione, c) l’armatura introdotta presenta deviazioni trascurabili rispetto alle direzioni principali di trazione; d) si trascura la deformazione dovuta alla sollecitazione di taglio.

Per semplicità di esposizione nei paragrafi seguenti, salvo diversa indicazione, si farà riferimento al caso di un unico momento flettente. In tali ipotesi lo stato di sollecitazione può essere caratterizzato sia dalla coppia di valori (M, N), che dalla coppia (N, e), dove “e” è l’eccentricità dello sforzo normale rispetto al baricentro della sezione: e = M/N.

III.2. Configurazioni deformate della sezione allo stato limite ultimo Si consideri per semplicità il caso di una sezione in c.a. dotata di asse di simmetria verticale soggetta ad una sollecitazione di sforzo normale e momento flettente, contenuta nel piano di simmetria, cui corrisponde l’asse neutro ortogonale all’asse di simmetria e quindi orizzontale. Si limiti inoltre la trattazione al solo caso di deformazioni della sezione corrispondenti ad una curvatura positiva, risultando poi ovvia l’estensione al caso complementare. Per l’ipotesi di conservazione delle sezioni piane e per le limitazioni poste al campo di deformazione dalle leggi costitutive dei materiali ogni configurazione deformata della sezione in c.a. corrispondente al raggiungimento di uno stato limite ultimo è definita da una retta passante per almeno uno dei punti A, B e C indicati in Figura 5. Tali punti sono rispettivamente:

A punto corrispondente alla deformazione limite del calcestruzzo in corrispondenza all’acciaio teso +10‰,

B punto corrispondente alla deformazione limite del calcestruzzo -3.5‰ sul lembo più compresso,


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C punto corrispondente alla deformazione -2‰ del calcestruzzo alla distanza x = 3/7 h da B. Al variare dello stato deformativo si individuano i seguenti campi di deformazione numerati da 1 a 6: Campo 1: la sezione è interamente tesa e corrisponde a sollecitazioni di trazione con piccola

eccentricità. Il diagramma delle ε ruota attorno al punto A, l’asse neutro è sempre esterno alla sezione e viene ad essere tangente al perimetro superiore quando si è al limite di passaggio al campo 2. La crisi della sezione avviene sempre per superamento del limite di deformazione in corrispondenza all’acciaio più teso.

Campo 2: la sezione è in parte tesa e in parte compressa e l’asse neutro è sempre interno alla sezione. Corrisponde a sollecitazioni di tenso/presso-flessione o di flessione semplice. Il diagramma di deformazione ruota attorno al punto A. La sezione entra in crisi sempre per superamento del limite di deformazione in corrispondenza dell’acciaio teso. La capacità di resistenza a compressione del calcestruzzo è scarsamente utilizzata.

Campo 3: vale quanto detto per il campo 2 salvo che in questo caso il piano delle deformazioni ruota attorno al punto B. Sia il calcestruzzo che l’acciaio vengono utilizzati fino al limite della loro resistenza di calcolo ed è pertanto tipico di sezioni in c.a. giustamente dimensionate. La crisi della sezione può avvenire indifferentemente per cedimento dell’acciaio teso o del calcestruzzo compresso, ma in ogni caso l’acciaio teso ha superato il limite di snervamento.

Campo 4: il piano delle deformazioni ruota ancora attorno al punto B, e nell’acciaio si ha una deformazione inferiore a quella di snervamento. Corrisponde a sollecitazioni di presso-flessione o flessione semplice. In sezioni fortemente armate a trazione la rottura si ha per superamento del limite di deformazione sul lembo compresso. La retta che divide il campo 3 dal campo 4 presenta le condizioni di una rottura bilanciata che, secondo la letteratura anglosassone, è la rottura che si verifica per contemporaneo raggiungimento del limite per l’acciaio e per il calcestruzzo.

Campo 5: simile al campo 4, soltanto che anche l’acciaio inferiore risulta compresso. Campo 6: la sezione è interamente compressa e corrisponde a sollecitazioni di compressione con

debole eccentricità. L’asse neutro cade al di fuori della sezione ed il piano di deformazione ruota attorno al punto C, la cui posizione è univocamente determinata.

Da notare che la posizione deformata corrispondente ad una sollecitazione applicata di flessione semplice può appartenere ai campi 2 o 3, o, più raramente, al campo 4. Questo dipende dalla forma della sezione di calcestruzzo e dalla quantità di armatura tesa e compressa, come ampiamente spiegato nei paragrafi successivi. Stati deformativi in campo 1 o in campo 5 e 6 non sono infatti compatibili con la condizione di sforzo normale nullo comportando stati tensionali sui materiali di sola trazione o di sola compressione rispettivamente. Per ognuno dei campi di resistenza sopra definiti è possibile stabilire dei limiti di variabilità della posizione dell’asse neutro di sollecitazione, attraverso il rapporto ξ = x/d, essendo al solito x la distanza fra fibra maggiormente compressa e asse neutro e d l’altezza utile della sezione. Attraverso la seguente legge di similitudine:

c

ssc

c

1

1dx

εε

−=

ε−εε

==ξ (III-1)

si correla la posizione dell’asse neutro ai valori delle deformazioni al bordo compresso εc e in corrispondenza dell’acciaio teso εs.


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Figura 5: campi di deformazione delle sezioni allo stato limite ultimo per sollecitazioni normali.

Campo 1: fra le possibili deformazioni contenute in questo campo le condizioni limite sono rappresentate da: - deformazione uniforme +10‰: ξ → -∞; - limite di passaggio fra campo 1 e 2: εc = 0 e ξ = 0; In tutte le condizioni intermedie si ha εs = 10‰ e 0 < εc < +10‰; applicando la relazione (III-1) si ricava -∞ < ξ ≤0.

Campo 2: vale ancora la relazione (III-1). Al limite di passaggio fra campo 2 e campo 3 si ha εc = -3.5‰ e εs = +10‰, per i quali si ottiene:

ξ =+

=1

1 1035

0 259

.

.

pertanto in campo 2 la posizione dell’asse neutro può variare fra 0 ≤ ξ ≤ 0.259. Campo 3: La condizione di passaggio dal campo 3 al campo 4 è in corrispondenza alla deformazione

di snervamento di calcolo εyd dell’acciaio. In tale condizione si ha allora:

5.31

1ydε

+=ξ

che risulta comunque variabile in funzione del tipo di acciaio con cui si opera. L’intervallo di variabilità del parametro ξ è quindi: 0.259 ≤ ξ ≤ ξ . Per acciai a comportamento elasto-plastico si ha, come visto, εyd = fyd/Es da cui, per Es = ⋅2 1 105. MPa, si ottiene:

( ) 1yd

4 f10361.11−− ⋅⋅+=ξ

Campo 4: al limite di passaggio dal campo 4 al campo 5 l’asse neutro è posto in corrispondenza alla posizione di armatura tesa (cioè x = d) e pertanto ξ = 1. Di conseguenza l’intervallo di variabilità del parametro ξ in campo 4 è: ξ ≤ξ ≤1.


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Campo 5: proseguendo in campo 5 le deformazioni di trazione si estendono anche al di sotto della posizione di armatura tesa, al limite di passaggio al campo 6 l’asse neutro è tangente al bordo inferiore della trave, x = d+c, dove c è il copriferro di calcolo, e si ricava:

ξ δ= =+

= +xd

d cd

1

dove δ = c/d. Di conseguenza l’intervallo di variabilità del parametro ξ in campo 5 è: 1 ≤ ξ ≤ 1+ δ .

Campo 6: in campo 6 l’asse neutro esce dal bordo inferiore della sezione e si arriva al limite, per deformazione uniforme pari a -2‰, in cui x → ∞ e quindi ξ → ∞. In campo 6 pertanto si ha (1+δ) ≤ ξ ≤ ∞.

I risultati ottenuti sono riassunti in Tabella III-1. La definizione degli intervalli di valori assunti dal parametro ξ nei diversi campi di lavoro si rivela molto utile nella verifica di congruenza fra le deformazioni risultanti e quelle assunte nella scrittura dell’equilibrio delle equazioni di equilibrio, in quanto consente, come vedremo in seguito, di rendere automatico tale calcolo.

Punti Campo εc (‰) εs (‰) ξ = x/d da a

A 1 Trazione con piccola eccentricità

+10÷0 +10 -∞ 0

A 2 Pressoflessione e flessione con sfruttamento integrale dell’acciaio teso

0÷-3.5 +10 0 0.2593

B 3 Pressoflessione e flessione con sfruttamento integrale dell’acciaio e del calcestruzzo

-3.5 +10÷εyd 0.2593 yd5.3

5.3ε−−

−

B 4 Pressoflessione con sfruttamento parziale dell’acciaio inferiore teso

-3.5 εyd÷0 yd5.3

5.3ε−−

− 1

B 5 Pressoflessione con sfruttamento parziale dell’acciaio inferiore compresso

-3.5 0÷−

+

351

. δ

δ 1 1+δ

C 6 Compressione con piccola eccentricità

-3.5÷-2 −

+

351

. δ

δ÷-2 1+δ +∞

δ=c/d è il rapporto fra copriferro inferiore ed altezza utile della sezione, ξ=x/d è la profondità relativa dell’asse neutro

Tabella III-1: tabella riassuntiva dei campi di lavoro delle sezioni in c.a.

III.3. Verifica della sicurezza

III.3.1. Approccio generale Si è già imparato nelle lezioni precedenti che la verifica della sicurezza, quando si entra nel campo non


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lineare del comportamento dei materiali, come è implicito in prossimità di uno SLU, non può più essere condotta in termini di tensioni perchè non vi è più proporzionalità fra stato di tensione e stato di deformazione, ovvero in punti diversi delle sezioni, a deformazioni diverse, possono corrispondere tensioni uguali. La verifica deve essere allora condotta nel campo delle sollecitazioni (metodo semiprobabilistico agli SL) o nel campo delle azioni (calcolo a rottura). Nel seguito con il pedice “S” si indica la sollecitazione di calcolo sulla sezione e con il pedice “R” si indica invece la resistenza di calcolo della sezione. La resistenza di una sezione è direttamente integrabile quando sono assegnate le sue dimensioni geometriche, le sezioni di armatura e le caratteristiche dei materiali. Per le sollecitazioni di tenso- o presso-flessione retta (solo MS,y = 0) la verifica deve essere generalmente condotta nel piano bidimensionale N-M verificando che in ogni sezione il “campo delle sollecitazioni agenti”, costituito dalle infinite coppie MS e NS, derivanti dalle combinazioni delle azioni sia contenuto entro il “campo limite di resistenza” della sezione (cfr. Figura III-6).

campo 3

campo 2

campo 1

campo 4campo 5

campo 6

Gk

Q2kγ Ψq 0

campo di resistenza

MSdMRd

NNRd

Sd

q 0γ Ψ 1kQ

Qγq 2k

1kQγq

γ Gg k

sollecitazionicampo delle

Figura III-6: “campo delle azioni” e “campo limite di resistenza” di una sezione per la verifica allo S.L.U. nel

piano N-M.

Il campo di resistenza ultima della sezione è costituito dalle infinite coppie di punti NR-MR corrispondenti ognuna ad una condizione di deformazione limite come definite precedentemente, ovvero si è in condizioni di deformazione limite se il calcestruzzo o l’acciaio hanno raggiunto la massima deformazione loro ammessa. In altri termini, assegnata una deformazione corrispondente ad uno stato limite (in campo 1, in campo 2, etc.) è possibile definire per ogni fibra o insieme di fibre della sezione la deformazione ε e ricavare, dai diagrammi costitutivi dei materiali, le tensioni corrispondenti σz. Il sistema di tensioni interne può essere sinteticamente espresso dalla sua risultante NR e dal momento risultante MR; la coppia NR-MR rappresenta un punto del campo limite di resistenza della sezione. Al variare di tutte le possibili deformazioni limiti, per curvature positive e negative, si costruisce l’intero campo limite che si presenta sempre come una regione di forma convessa nel piano N-M.

Nel caso generale di tenso- o presso-flessione deviata la verifica procede in maniera analoga, a parte le maggiori complicazioni numeriche dovute al fatto che si deve operare nello spazio tridimensionale N, Mx e My. nel quale si individuano i domini convessi dei campi di sollecitazione e di


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resistenza. In Figura III-7 è riportata una rappresentazione tridimensionale del dominio Mx – My – N.

Figura III-7: rappresentazione tridimensionale

III.3.2. Approcci semplificati Nel caso di presso-flessione deviata, anzichè costruire l’intero campo tridimensionale resistente si può semplificare la verifica costruendo solamente il campo resistente in termini di Mx e My per NS=NR, ovvero ricavando l’intersezione del campo di resistenza tridimensionale con il piano N=NS. A favore della sicurezza si potrà anche limitarsi a controllare che, per NS=NR sia soddisfatta

1MM

MM

Ry

Sy

Rx

Sx ≤+ (III.2)

che consiste nel sostituire all’effettivo campo limite di resistenza ultima la figura quadrilatera in esso contenuta avente come vertici le intersezioni del campo di resistenza con gli assi coordinati. Nel caso in cui si debbano verificare più combinazioni di sollecitazioni, è generalmente sufficiente considerare le sole combinazioni dei carichi che danno rispettivamente il MS,max o MS,min con il relativo NS associato e lo sforzo normale NS,max o NS,min con il relativo MS associato. Allo stesso modo, nel caso di pressoflessione retta (MSy=0, MSx=MS), lo stesso RI indica che è sufficiente verificare la disuguaglianza:

1NN

MM

R

S

R

S ≤+ (III.3)

(si tratta di una verifica che spesso si dimostra essere troppo a favore di sicurezza). Nel caso si abbia una sola coppia NS-MS , senza costruire l’intero campo di resistenza, è sufficiente determnare il MR che si ha per NR = NS e quindi contrallare che si abbia MS ≤ MR.


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La condizione di flessione semplice costituisce un caso particolare nel quale NS = 0 e MS = 0): la verifica dovrà essere condotta con riferimento all’inviluppo delle sollecitazioni flessionali massime e minime, derivante dalle combinazioni di calcolo previste dal metodo degli stati limite, controllando che in ogni sezione valga la disuguaglianza:

)0NNper(MM SRRmax,S ==≤ (III.4)

Nota. Fino ad un certo livello di sforzo assiale il valore del momento resistente della sezione è crescente e pertanto l’assumere valori di Ns maggiori di quelli effettivi, perché incrementati con i coefficienti di amplificazione dei carichi, può portare ad una sovrastima del coefficiente di sicurezza strutturale. E’ pertanto consigliabile nel caso di pressoflessione con sforzo normale di compressione, quando Ms e Ns siano tra loro indipendenti, eseguire la verifica per due coppie di Ms e Ns: la prima in cui lo sforzo normale è calcolato per i valori massimi dei coefficienti di amplificazione dei carichi (γg =1.4 e γq =1.5), la seconda con i valori minimi (γg =1 e γq =0).

III.4. Travi. Problemi di verifica: l’integrazione delle tensioni interne e la costruzione del campo resistente

Problemi di verifica sono quelli nei quali è già nota interamente la geometria della sezione resistente e le caratteristiche dei materiali nonchè le condizioni di sollecitazione e si vuole verificare che la capacità di resistenza della sezione superi queste ultime. Si consideri il caso di una sezione generica con asse di simmetria verticale (cfr. Figura III-8) soggetta ad una sollecitazione di presso-flessione retta costituita da una forza N applicata nel piano di simmetria. Indicando con e l’eccentricità fra il punto di applicazione della forza e l’asse neutro della sollecitazione, il corrispondente momento M calcolato rispetto all’asse neutro è semplicemente:

eNM ⋅= (III.5)

Figura III-8: sezione generica a simmetria verticale: parametri di deformazione e tensione

Con riferimento alla Figura III-8 ed alla simbologia ivi riportata, le equazioni di equilibrio fra la sollecitazione applicata e le tensioni normali sulla sezione si scrivono:

M y b y y dy A y

N y b y dy A

c

x

s i s ii

N

i

c

x

s i s ii

N

= − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ + ⋅

∫ ∑

∫ ∑

=

=

σ σ

σ σ

( ) ( )

( ) ( )

, ,

, ,

0 1

0 1

(III.6)


pag. 12

essendo N il numero di posizioni di armatura della sezione e y l’ordinata misurata a partire dall’asse neutro, positiva verso l’alto. Spesso risulta più conveniente esprimere l’equazione di equilibrio dei momenti rispetto alla posizione di armatura tesa. Da notare che di solito nella fase di calcolo delle sollecitazioni, i momenti flettenti agenti sulla sezione vengono riferiti all’asse baricentrico dell’asta considerata omogenea ed integra. Di conseguenza, in fase di verifica, è necessario operare in modo coerente, e, se lo sforzo normale è diverso da zero, occorre riferire i momenti MR e MS rispetto allo stesso punto. Assegnate le caratteristiche della sezione, le quantità di armatura e le proprietà dei materiali, attraverso le relazioni costitutive definite nel capitolo II, è possibile scrivere tutte le quantità al secondo membro dell’equazione (III.6) in funzione dello stato di deformazione. Essendo questo piano per ipotesi, in funzione della sola coppia di incognite εc e ξ (od in alternativa delle coppie εs, ξ oppure εc, εs), è possibile ottenere il seguente sistema di due equazioni nelle due incognite che descrivono il campo di deformazione:

( )( )

M MN N

c

c

==

ξ εξ ε

,,

(III.7)

Si noti che l’impostazione data, fatta salva la maggiore complicazione formale dovuta all’introduzione di leggi costitutive di tipo non lineare, è la stessa con la quale nel metodo delle tensioni ammissibili si perviene alla scrittura delle condizioni determinatrici dell’asse neutro:

Si n, = 0 (annullamento dello sforzo normale nel caso di flessione semplice) oppure:

J i nr, = 0 (annullamento del momento flettente rispetto al punto di applicazione di N nel caso di pressoflessione)

Quando i parametri di deformazione εc e ξ individuano uno stato di deformazione limite: εc = -3.5‰ ovvero εs = 10‰ quello che si determina sono una delle infinite coppia di sollecitazione MR e NR, rispettivamente il momento resistente e lo sforzo resistente, che stanno al limite del campo di resistenza. Per quanto riguarda la soluzione del sistema in forma inversa, vale a dire noti i parametri di sollecitazione determinare quelli di deformazione, il problema si rivela di quasi impossibile soluzione in forma algebrica per sezioni di forma generica, per le quali è necessario ricorrere all’uso di metodi di calcolo automatici e di procedimenti di soluzione iterativi per la non linearità tra tensioni e deformazioni. Il problema dell’integrazione della risultante delle tensioni interne, ovvero passare dai parametri di deformazione a quelli di sollecitazione resistente è teoricamente semplice ma matematicamente complesso in sezioni di forma qualsiasi: risulta invece semplice nei casi di pratico interesse delle sezioni rettangolari o a T con una o due posizioni di armatura concentrate.

Nota. Nei casi di sezioni di forma complessa si ricorre all’uso di strumenti numerici. Una valida ed efficace soluzione del problema si ottiene scomponendo la sezione in più sottosezioni, fra loro connesse, di forma quadrilatera, come riportato in Figura III-9.

L’integrazione dei parametri di sollecitazione può effettuarsi separatamente su ognuna delle figure elementari in cui si è scomposta la sezione globale e sommando poi tutti i contributi. Un procedimento di integrazione numerico (ad esempio di Gauss o di Bertoli), fornisce la soluzione esatta del problema se si utilizza un numero di punti di integrazione ≥ 4 in quanto la legge di variazione delle tensioni su ogni elemento è continua e al più di grado quadratico (le


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deformazioni sono lineari mentre la legge σ−ε è quadratica). Condizione necessaria da prevedere nell’algoritmo di calcolo è che l’asse neutro della sollecitazione sia esso stesso una linea di suddivisione in elementi perché altrimenti si introdurrebbero delle discontinuità nella distribuzione delle tensioni all’interno del singolo elemento.

asse neutro disollecitazione

Figura III-9: sezione di forma complessa

III.4.1. Sezioni rettangolari con doppia armatura – diagramma parabola rettangolo Con riferimento alle grandezze indicate in Figura III-10, il sistema (III.6) si riscrive tenendo conto delle semplificazioni indotte dalla forma geometrica della sezione. Valutando il momento rispetto alla posizione di armatura tesa:

sydsydcd

ssss

x

0c

syda2

cd

ss

x

0c

*

AkfAkfdbf85.0

AAdyb)y(N

)1(dAkf)k1(dbf85.0

)cd(Ady)yxd(b)y(M

⋅⋅+′⋅′⋅+α⋅ξ⋅⋅⋅⋅−=

=⋅σ+′⋅σ′+⋅⋅σ=

δ′−⋅⋅′⋅′⋅−ξ⋅−⋅α⋅ξ⋅⋅⋅⋅=

′−⋅′⋅σ′−⋅+−⋅⋅σ−=

∫

∫

(III.8)

dove si sono introdotti i coefficienti:

ασ

=− ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

∫ c

x

cd

y b dy

f b x

( )

.0

0 85 coefficiente di totalità (III.9)

k ax

ada = =

⋅ξ coefficiente di altezza (III.10)

σ′=

σ=

yd

s

yd

s

f'k

fk

tensioni adimensionalizzate nelle armature (III.11)

dc;

dc ′

=δ′=δ copriferri inf. e sup. adimensionalizzati (III.12)

essendo “a” la distanza del punto di applicazione della risultante delle compressioni sul calcestruzzo dal bordo superiore. La denominazione data al coefficiente α di coefficiente di totalità evidenzia che esso rappresenta il rapporto fra la forza di compressione effettivamente prodotta dal calcestruzzo compresso e quella che si avrebbe se, su tutta la parte di calcestruzzo compresso, la tensione di compressione valesse: σc cdf= 0 85. .

Il momento flettente M* conviene sia riferito alla posizione di armatura inferiore poiché in questo modo si ha una semplificazione nella scrittura della prima delle relazioni (III.8) dato che si elimina il


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contributo dell’acciaio teso. In generale occorrerà quindi, nel caso di sforzo assiale non nullo, una volta ottenuto MR* ritornare al sistema di forze riferito all’asse baricentrico attraverso la relazione MR = MR*+NR·ey (ey distanza fra asse baricentrico e posizione di armatura tesa), per renderlo confrontabile con le sollecitazioni di calcolo sulla struttura che generalmente rispetto a tale sistema sono espresse (o viceversa passare da MS a MS* = MS – NS ey).

Figura III-10: parametri di deformazione e tensione in una sezione rettangolare con doppia posizione di

armatura concentrata.

Per definire degli strumenti operativi svincolati dalle caratteristiche dei materiali utilizzati e dalle dimensioni delle sezioni si possono rendere adimensionali le equazioni (III.8) dividendo la prima per b d fcd⋅ ⋅2 e la seconda per b d fcd⋅ ⋅ :

ω⋅+ω′⋅′+α⋅ξ⋅−=

⋅⋅=ν

δ′−⋅ω′⋅′−ξ⋅−⋅α⋅ξ⋅=⋅⋅

=µ

kk85.0fdb

N

)1(k)k1(85.0fdb

M

cd

acd

2

**

(III.13)

ω =⋅

⋅ ⋅

A fb d f

s yd

cd

rapporto meccanico di armatura tesa (III.14)

′ =′ ⋅

⋅ ⋅ω

A fb d f

s yd

cd rapporto meccanico di armatura compressa (III.15)

Gli addendi di µ* e ν rappresentano rispettivamente: − ⋅ ⋅0 85. ξ α la risultante di compressione sul calcestruzzo;

ω′⋅′k la risultante di compressione sull’armatura ′As ; ω⋅k la risultante di trazione sull’armatura As;

0 85 1. ( )⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ξ α ξka il momento della risultante di compressione sul calcestruzzo rispetto alle armature tese;

)1(k δ′−⋅ω′⋅′− il momento della risultante di compressione sull’armatura ′As rispetto alle armature tese.

In una condizione di stato limite ultimo per sollecitazioni normali, uno dei due parametri liberi che descrivono lo stato di deformazione è fisso (εc = -3.5‰ oppure εs = +10‰). Di conseguenza i parametri α, ka, k, k′, introdotti nelle equazioni (III.8) e successive possono essere espressi in funzione dell’unico parametro della deformazione che rimane libero ξ, oppure εc (se εs è fissato), oppure εs (se εc è fissato). L’andamento dei valori numerici di α e ka, per una sezione rettangolare, in funzione di εc è


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riportato in Figura III-11 per i campi da 2 a 5 ed in Figura III-12 per il campo 6. Nei campi 3, 4 e 5, essendo εc = -3.5‰ costante, il diagramma delle tensioni sul calcestruzzo si mantiene sempre simile indipendentemente dal valore di ξ e pertanto restano costanti α = 0.810 e ka = 0.416. I valori dei coefficienti k e k′ dipendono dalla deformazione delle posizioni di armatura e dal tipo di legge costitutiva adottato. Nel caso di legge costitutiva elasto-plastica perfetta essi sono espressi dalle relazioni:

( )

( ) 1k1k

1kk

yd

c

yd

s

yd

c

yd

s

≤ξ

ξ−⋅

εε

=εε

=

≤′ξ

δ′−ξ⋅

εε

=εε′

=′

(III.16)

In Tabella III-2 sono riportati i valori di α, ka, k e k′ nei diversi campi di lavoro per sezioni compresse di forma rettangolare e per i due tipi di acciaio Fe B 38 k e Fe B 44 k.

III.4.2. Sezioni rettangolari con doppia armatura – diagramma stress-block semplificato Nel caso si assuma la legge costitutiva semplificata stress-block ammessa per il calcestruzzo le (III.8) si semplificano in:

sydsydcd

syd2

cd*

AkfAkfdbf85.08.0N

)1(dAkf)4.01(dbf85.08.0M

⋅⋅+′⋅′⋅+ξ⋅⋅⋅⋅⋅−=

δ′−⋅⋅′⋅′⋅−ξ⋅−⋅ξ⋅⋅⋅⋅⋅= (per x ≤ h, ovvero campi da 2 a 5)

sydsydcd

sydcd*

AkfAkfybf85.0N

)1(dAkf)2/y1(ybf85.0M

⋅⋅+′⋅′⋅+⋅⋅⋅−=

δ′−⋅⋅′⋅′⋅−−⋅⋅⋅⋅= (per x > h, ovvero campo 6, h

h75.0xh8.0xy

−−

= )


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Figura III-11: coefficiente di totalità α e di altezza ka per una sezione con zona compressa di calcestruzzo di

forma rettangolare nei campi di lavoro da 2 a 5 (asse neutro che taglia la sezione) con esempio applicativo per εc = -2‰.


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Figura III-12: coefficiente di totalità α, di altezza kd (kd = 0.5 - ka) e deformazione εc2 in funzione di εc per una

sezione rettangolare in campo 6 (asse neutro esterno alla sezione) con esempio per εc = -3‰.


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εc εs ξ=x/d α ka Feb38k Feb44k Feb38k Feb44k Feb38k Feb44k Feb38k Feb44k Feb38k Feb44k Feb38k Feb44k

0.00 10.00 0.000 0.000 0.000 0.31 0.27 0.61 0.53-0.10 10.00 0.010 0.049 0.335 0.25 0.22 0.56 0.49-0.20 10.00 0.020 0.097 0.336 0.19 0.17 0.50 0.44 1.00 0.98-0.30 10.00 0.029 0.143 0.338 0.13 0.11 0.45 0.39 1.00 0.94-0.40 10.00 0.038 0.187 0.339 0.07 0.06 0.39 0.34 1.00 0.90-0.50 10.00 0.048 0.229 0.341 0.02 0.01 0.34 0.29 0.98 0.86-0.60 10.00 0.057 0.270 0.343 -0.04 -0.04 0.28 0.25 0.93 0.81-0.70 10.00 0.065 0.309 0.344 -0.10 -0.09 0.23 0.20 0.88 0.77-0.80 10.00 0.074 0.347 0.346 -0.16 -0.14 0.17 0.15 0.83 0.73-0.90 10.00 0.083 0.383 0.348 -0.22 -0.19 0.12 0.10 0.79 0.68-1.00 10.00 0.091 0.417 0.350 -0.28 -0.24 0.06 0.05 0.74 0.64-1.10 10.00 0.099 0.449 0.352 -0.33 -0.29 0.01 0.01 0.69 0.60-1.20 10.00 0.107 0.480 0.354 -0.39 -0.34 -0.05 -0.04 0.64 0.56-1.30 10.00 0.115 0.509 0.356 -0.45 -0.39 -0.10 -0.09 0.59 0.51-1.40 10.00 0.123 0.537 0.359 -0.51 -0.44 -0.16 -0.14 0.54 0.47-1.50 10.00 0.130 0.563 0.361 -0.57 -0.49 -0.21 -0.19 0.49 0.43-1.60 10.00 0.138 0.587 0.364 -0.63 -0.55 -0.27 -0.24 0.44 0.39-1.70 10.00 0.145 0.609 0.366 -0.68 -0.60 -0.33 -0.28 0.39 0.34-1.80 10.00 0.153 0.630 0.369 -0.74 -0.65 -0.38 -0.33 0.34 0.30-1.90 10.00 0.160 0.649 0.372 -0.80 -0.70 -0.44 -0.38 0.29 0.26-2.00 10.00 0.167 0.667 0.375 -0.86 -0.75 -0.49 -0.43 0.25 0.21-2.10 10.00 0.174 0.683 0.378 -0.92 -0.80 -0.55 -0.48 0.20 0.17-2.20 10.00 0.180 0.697 0.381 -0.98 -0.85 -0.60 -0.52 0.15 0.13-2.30 10.00 0.187 0.710 0.385 -1.00 -0.90 -0.66 -0.57 0.10 0.09-2.40 10.00 0.194 0.722 0.388 -1.00 -0.95 -0.71 -0.62 0.05 0.04-2.50 10.00 0.200 0.733 0.391 -0.77 -0.67 0.00 0.00-2.60 10.00 0.206 0.744 0.394 -0.82 -0.72 -0.05 -0.04-2.70 10.00 0.213 0.753 0.397 -0.88 -0.76 -0.10 -0.09-2.80 10.00 0.219 0.762 0.400 -0.93 -0.81 -0.15 -0.13-2.90 10.00 0.225 0.770 0.402 -0.99 -0.86 -0.20 -0.17-3.00 10.00 0.231 0.778 0.405 -1.00 -0.91 -0.25 -0.21-3.10 10.00 0.237 0.785 0.407 -1.00 -0.96 -0.29 -0.26-3.20 10.00 0.242 0.792 0.410 -0.34 -0.30-3.30 10.00 0.248 0.798 0.412 -0.39 -0.34-3.40 10.00 0.254 0.804 0.414 -0.44 -0.39-3.50 10.00 0.259 0.810 0.416 -0.49 -0.43-3.50 1.87 0.652 0.810 0.416 -1.00 -1.00-3.50 1.70 0.673 0.810 0.416 1.00 0.91 1.00 0.91 1.00 0.91-3.50 1.63 0.682 0.810 0.416 1.00 0.87 1.00 0.87 1.00 0.87-3.50 1.50 0.700 0.810 0.416 0.92 0.80 0.92 0.80 0.92 0.80-3.50 1.40 0.714 0.810 0.416 0.86 0.75 0.86 0.75 0.86 0.75-3.50 1.30 0.729 0.810 0.416 0.80 0.70 0.80 0.70 0.80 0.70-3.50 1.20 0.745 0.810 0.416 0.74 0.64 0.74 0.64 0.74 0.64-3.50 1.10 0.761 0.810 0.416 0.67 0.59 0.67 0.59 0.67 0.59-3.50 1.00 0.778 0.810 0.416 0.61 0.53 0.61 0.53 0.61 0.53-3.50 0.90 0.795 0.810 0.416 0.55 0.48 0.55 0.48 0.55 0.48-3.50 0.80 0.814 0.810 0.416 0.49 0.43 0.49 0.43 0.49 0.43-3.50 0.70 0.833 0.810 0.416 0.43 0.37 0.43 0.37 0.43 0.37-3.50 0.60 0.854 0.810 0.416 0.37 0.32 0.37 0.32 0.37 0.32-3.50 0.50 0.875 0.810 0.416 0.31 0.27 0.31 0.27 0.31 0.27-3.50 0.40 0.897 0.810 0.416 0.25 0.21 0.25 0.21 0.25 0.21-3.50 0.30 0.921 0.810 0.416 0.18 0.16 0.18 0.16 0.18 0.16-3.50 0.20 0.946 0.810 0.416 0.12 0.11 0.12 0.11 0.12 0.11-3.50 0.10 0.972 0.810 0.416 0.06 0.05 0.06 0.05 0.06 0.05

k

1.001.001.00

1.00

1.001.00

δ=c/d=0.10 δ=c/d=0.20

1.001.00

k' k k' kδ=c/d=0.05

k'

1.001.00

1.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.00

1.001.001.001.001.001.001.00

1.001.00

1.001.001.001.00

1.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.00

1.001.001.001.00

1.00 1.001.00

1.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.00

-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00

1.00

-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00

-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00

-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00

Cam

po 2

Feb

44k

CA

MPO

4

C

3

Feb3

8k

CA

MPO

4

C

AM

PO 3

Tabella III-2: coefficienti per l’integrazione delle sollecitazioni normali nelle verifiche allo SLU di sezioni

rettangolari di c.a. (continua).


pag. 19

εc εs ξ=x/d α ka Feb38k Feb44k Feb38k Feb44k Feb38k Feb44k Feb38k Feb44k Feb38k Feb44k Feb38k Feb44k

-3.50 0.00 1.000 0.810 0.416 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00-3.50 1+δ 0.810 0.416 -0.10 -0.09 -0.20 -0.17 -0.36 -0.31-3.45 -0.07 1.020 0.822 0.423 -0.14 -0.12 -0.23 -0.20 -0.39 -0.34-3.40 -0.13 1.041 0.834 0.429 -0.18 -0.15 -0.26 -0.23 -0.42 -0.36-3.35 -0.20 1.063 0.846 0.435 -0.21 -0.19 -0.30 -0.26 -0.44 -0.39-3.30 -0.27 1.088 0.857 0.440 -0.25 -0.22 -0.33 -0.29 -0.47 -0.41-3.25 -0.33 1.114 0.868 0.446 -0.29 -0.25 -0.37 -0.32 -0.50 -0.44-3.20 -0.40 1.143 0.878 0.450 -0.33 -0.29 -0.40 -0.35 -0.53 -0.46-3.15 -0.47 1.174 0.888 0.455 -0.36 -0.32 -0.44 -0.38 -0.56 -0.49-3.10 -0.53 1.208 0.898 0.459 -0.40 -0.35 -0.47 -0.41 -0.59 -0.51-3.05 -0.60 1.245 0.907 0.463 -0.44 -0.38 -0.50 -0.44 -0.62 -0.54-3.00 -0.67 1.286 0.915 0.467 -0.48 -0.42 -0.54 -0.47 -0.65 -0.56-2.95 -0.73 1.331 0.924 0.470 -0.51 -0.45 -0.57 -0.50 -0.68 -0.59-2.90 -0.80 1.381 0.931 0.474 -0.55 -0.48 -0.61 -0.53 -0.71 -0.61-2.85 -0.87 1.437 0.939 0.477 -0.59 -0.51 -0.64 -0.56 -0.73 -0.64-2.80 -0.93 1.500 0.946 0.480 -0.63 -0.55 -0.68 -0.59 -0.76 -0.67-2.75 -1.00 1.571 0.952 0.482 -0.66 -0.58 -0.71 -0.62 -0.79 -0.69-2.70 -1.07 1.653 0.959 0.485 -0.70 -0.61 -0.75 -0.65 -0.82 -0.72-2.65 -1.13 1.747 0.964 0.487 -0.74 -0.64 -0.78 -0.68 -0.85 -0.74-2.60 -1.20 1.857 0.970 0.489 -0.78 -0.68 -0.81 -0.71 -0.88 -0.77-2.55 -1.27 1.987 0.974 0.491 -0.81 -0.71 -0.85 -0.74 -0.91 -0.79-2.50 -1.33 2.143 0.979 0.492 -0.85 -0.74 -0.88 -0.77 -0.94 -0.82-2.45 -1.40 2.333 0.983 0.494 -0.89 -0.78 -0.92 -0.80 -0.97 -0.84-2.40 -1.47 2.571 0.986 0.495 -0.93 -0.81 -0.95 -0.83 -1.00 -0.87-2.35 -1.53 2.878 0.990 0.496 -0.96 -0.84 -0.99 -0.86 -1.00 -0.89-2.30 -1.60 3.286 0.992 0.497 -1.00 -0.87 -1.00 -0.89 -1.00 -0.92-2.25 -1.67 3.857 0.995 0.498 -1.00 -0.91 -1.00 -0.92 -1.00 -0.94-2.20 -1.73 4.714 0.997 0.499 -1.00 -0.94 -1.00 -0.95 -1.00 -0.97-2.15 -1.80 6.143 0.998 0.499 -1.00 -0.97 -1.00 -0.98 -1.00 -0.99-2.10 -1.87 9.000 0.999 0.500-2.05 -1.93 17.571 1.000 0.500-2.00 -2.00 inf. 1.000 0.500

k k' kδ=c/d=0.10

-1.00-1.00-1.00

k'

-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00

-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00

-1.00-1.00-1.00

-1.00-1.00-1.00 -1.00 -1.00

-1.00 -1.00-1.00

-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00

-1.00-1.00-1.00

-1.00-1.00-1.00-1.00

-1.00

cam

po 6

δ=c/d=0.05 δ=c/d=0.20

-1.00-1.00

k' kC

5

-1.00

-1.00-1.00

-1.00-1.00-1.00-1.00

-1.00

δ+δ−

15.3

Tabella III-2: continuazione

III.4.3. Esempio: costruzione del campo resistente in presso-flessione retta Il campo resistente della sezione composta in calcestruzzo armato può essere visto come la somma del campo resistente delle posizioni di armatura con il campo resistente della sola sezione di calcestruzzo. Il primo assume la forma di un rombo, simmetrico rispetto agli assi N-M, se l’armatura è simmetrica, altrimenti è non simmetrico:

sezione c.a. - b=100 h=30 c=4 - 4+4#18

-

20

40

60

80

100

120

-1 0

00

-800

-600

-400

-200-200

400

600

800

1 00

0

Nr (kN)

Mr (

kNm

)

sezione c.a. - b=100 h=30 c=4 - 4+8#18

-100

-50

-

50

100

150

200-1

500

-1 0

00

-500-500

1 00

0

1 50

0

Nr (kN)

Mr (

kNm

)

Figura III-13: campi resistenti della sola armatura Feb44k : a) armatura simmetrica As=A’s; b) As=2 A’s

Il secondo assume invece la forma nella figura seguente, dove è stato evidenziata la diversità del campo resistente a seconda che si assuma la legge costitutiva standard parabola-rettangolo per il calcestruzzo oppure quella semplificata stress-block. Come si può vedere la differenza è minima e ciò autorizza ad assumere indifferentemente l’una o l’altra legge costitutiva.


pag. 20

-

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1-

ν

µ

Parabola rettangolo

Stress -block

Figura III-14: confronto fra campi resistenti adimensionalizzati di una sezione rettangolare di solo calcestruzzo

ottenute con legge costitutiva del calcestruzzo: a) parabola-rettangolo, b) stress-block

Dalla somma dei due diagrammi di interazione si ottengono dei campi resistenti di dimensione via via crescente all’aumentare della percentuale di armatura della sezione.

Figura III-15: campo resistente adimensionalizzato di una sezione rettangolare con doppia armatura simmetrica

(soluzione con legge costitutiva del calcestruzzo parabola-rettangolo)

Di seguito si esplicita la determinazione del dominio di resistenza di una sezione di calcestruzzo di dimensione B=30 H=60 cm, c=4 cm d=60-4=66 cm, As=A’s=4φ18=10.16 cm, Rck=35 Mpa, acciaio tipo Feb44k. Il calcolo si effettua assumendo come legge costitutiva del calcestruzzo lo stress-block. Si calcolano i punti del campo di resistenza caratteristici nel passaggio da un campo di deformazione all’altro. I calcoli sono sintetizzati nella seguente tabella e i punti caratteristici ottenuti sono evidenziati con i punti neri nella seconda immagine di Figura III-16.


pag. 21

Campo 1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6εc 10.00 0.00 -3.50 -3.50 -3.50 -3.50 -2.00

εs 10.00 10.00 10.00 1.82 0.00 -0.25 -2.00

ξ - inf 0.00 0.259 0.658 1.000 1.071 + inf

k 1.00 1.00 1.00 1.00 0.00 -0.14 -1.00

k' 1.00 0.40 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00

y - inf 0.00 11.61 29.50 44.80 48.24 60.00

x - inf 0.00 14.52 36.87 56.00 60.31 + inf

C=0.85*fcd*b*y (kN) 0.00 0.00 -537.75 -1365.73 -2074.17 -2233.49 -2777.91

Z=As*k*fyd (kN) 380.69 380.69 380.69 380.69 0.00 -53.44 -380.69

Z'=A's*k' (kN) 380.69 152.68 -380.69 -380.69 -380.69 -380.69 -380.69

NR=C+Z+Z' (kN) 761.37 533.37 -537.75 -1365.73 -2454.86 -2667.62 -3539.28

MR=…...… (kNm) 0.00 59.28 328.05 406.24 256.62 216.40 0.00

C < 0.85*fcd/1.25*b*h -2222.33

NR < …… -2983.70 Tabella III-3: calcolo dei punti caratteristici della sezione in c.a. B=30xH=60 cm, c=4 cm, Rck=35 Mpa,

Feb44k, As=A’s=4φ18=10.16 cmq

sezione c.a. - b=100 h=30 c=4 - 4+4#18

-

50

100

150

200

250

300

-6 0

00

-5 0

00

-4 0

00

-3 0

00

-2 0

00

-1 0

00-

1 00

0

2 00

0

Nr (kN)

Mr (

kNm

)

Parabola rettangolo

Stress -block

sezione c.a. - b=30 h=60 c=4 - 4+4#18

-

50

100

150

200

250

300

350

400

450

-4 0

00

-3 5

00

-3 0

00

-2 5

00

-2 0

00

-1 5

00

-1 0

00

-500-500

1 00

0

Nr (kN)

Mr (

kNm

)

Parabola rettangolo

Stress -block

sezione c.a. - b=30 h=60 c=4 - 2+8#18

-100

-50

-

50

100

150

200

250

300

-6 0

00

-5 0

00

-4 0

00

-3 0

00

-2 0

00

-1 0

00-

1 00

0

2 00

0

Nr (kN)

Mr (

kNm

)

Parabola rettangolo

Stress -block

sezione c.a. - b=30 h=60 c=4 - 2+8#18

-200

-100

-

100

200

300

400

500

-4 0

00

-3 0

00

-2 0

00

-1 0

00-

1 00

0

2 00

0

Nr (kN)

Mr (

kNm

)

Parabola rettangolo

Stress -block

Figura III-16: confronto fra campi resistenti di diverse sezioni (Rck=35 Mpa, Feb44k)


pag. 22

III.4.4. Esempio: verifica di presso-flessione retta rispetto ad una sola coppia di sollecitazioni (determinazione dell’asse neutro)

Note le caratteristiche geometriche e di armatura della sezione e le caratteristiche dei materiali impiegati si vuole eseguire la verifica di resistenza nei confronti di una singola coppia di sollecitazioni MS, NS. In questo caso non è necessario costruire l’intero campo di resistenza della sezione ma è sufficiente determinare il valore del momento resistente MR corrispondente allo sforzo normale agente NR = NS e verificare che sia maggiore di quello sollecitante: MR ≥ MS (cfr Figura III-17). Da tenere presente, però, che in questo modo non si ha una indicazione precisa sul grado di sicurezza della sezione rispetto al limite ultimo.

Figura III-17: verifica semplificata di una sezione in c.a. soggetta a momento e sforzo normale MS, NS.

Il calcolo del momento MR corrispondente ad un dato NS inizia con la determinazione della posizione dell’asse neutro della sollecitazione attraverso la seconda delle (III.13) che impone l’equilibrio alla traslazione:

ν α ξ ω ω ξν ω ω

α= − ⋅ ⋅ + ′ ⋅ ′ + ⋅ → = −

− ′ ⋅ ′ − ⋅⋅

0 850 85

..

k k k k (III.17)

Step 1: si assume un valore di tentativo per ξ

Step 2: per tale valore di ξ si determinano dalla Tabella III-2 i corrispondenti valori di k, k′ e α (ad esempio per ξ = 0.259, frontiera di passaggio dal campo 2 al campo 3, k = 1, k′ = -1, α = 0.810).

Step 3: con tali valori, dalla relazione (III.17), si determina un nuovo valore di ξ. Step 4: se il nuovo ξ coincide o è abbastanza vicino a quello di tentativo questo è il valore cercato;

altrimenti costituisce una migliore approssimazione con la quale si ricomincia dallo step 2. Dopo poche iterazioni si ottiene il valore di ξ per il quale si ha NR = NS . Se si opera in campo 3 o in campo 4, in cui α = 0.810 k’=-1 ovunque e k = 1 quasi ovunque il valore di ξ ottenuto alla prima iterazione è già quello esatto. Con il valore trovato di ξ, ed i relativi coefficienti di integrazione, dalla prima delle (III.13) si ottiene il momento resistente adimensionalizzato: µ ξ α ξ ω δ* . ( ) ( )= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ′ ⋅ ′ ⋅ − ′0 85 1 1k ka (III.18)

e quindi il corrispondente momento resistente riferito alla posizione di armatura tesa M b d fR cd

* *= ⋅ ⋅ ⋅µ 2 (III.19)

da confrontarsi con M*S.

PREMESSA


pag. 23

Negli esempi numerici che seguiranno si supporrà di utilizzare calcestruzzo di classe Rck=25 MPa

cui corrisponde fcd=0.83⋅25/1.6=13 MPa e acciaio Fe B 44 k avente fyd=374 MPa.

Esempio Data una sezione di calcestruzzo b=25 cm, h=60 cm, c=c′=4 cm, d=60-4=56 cm (δ=4/56=0.071) con armatura simmetrica a trazione e compressione As=A’s=2000 mm2, eseguire la verifica di resistenza rispetto alle sollecitazioni agenti pari a MS=400 kNm e NS=-1000 kN.

Svolgimento

Innanzitutto si riporta l’azione assiale sollecitante in corrispondenza alla posizione di armatura tesa:

( ) kNm66004.030.01000400c2hNMM SS

*S =−⋅+=

−⋅−=

Le sollecitazioni adimensionalizzate diventano:

648.013560250

10660fdb

M2

6

cd2

*S* =

⋅⋅⋅

=⋅⋅

=µ

ν =⋅ ⋅

=− ⋅

⋅ ⋅= −

Nb d f

S

cd

1000 10250 560 13

0 5493

.

mentre le percentuali meccaniche di armatura della sezione valgono:

ω ω= ′ = ⋅⋅ ⋅

= ⋅⋅ ⋅

=Af

b d fsyd

cd2000 374

250 560 130 411.

L’equazione di equilibrio della forza assiale deve essere risolta mediante iterazioni. Si suppone inizialmente di operare in campo 3: dalla Tabella III-2 si ottiene allora α=0.810, k′=-1, k=1 che, sostituiti nella relazione (III.17), forniscono:

ξ = −− + ⋅ − ⋅

⋅=

0 549 1 0 411 1 0 4110 85 0 810

0 797. . .. .

.

con questo nuovo valore di ξ dalla Tabella III-2 si ottiene α=0.810, k′=-1, k=0.480, e quindi:

487.0810.085.0

411.0480.0411.01549.0=

⋅⋅−⋅+−

−=ξ (1° tentativo)

Il valore cercato di ξ sarà intermedio fra i due valori di iterazione ottenuti:

ξ=0.700, α=0.810, k’=-1, k=.802 → ξ=0.679 (2° tentativo)

ξ=0.690, α=0.810, k’=-1, k=.820 → ξ=0.689 (3° tentativo)

che quindi rappresenta il valore cercato. Per ξ=0.689 in Tabella III-2 si ha inoltre ka=0.416 e si può allora integrare il momento resistente corrispondente al valore di sforzo normale assegnato:


pag. 24

µ ξ α ξ ω δ

µ

R ak k*

*

. ( ) ( )

. . . ( . . ) . ( . )

.

= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ′ ⋅ ′ ⋅ − ′

= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ −

= >

0 85 1 1

0 85 0 689 0 810 1 0 416 0 689 0 411 1 0 071

0 720

e quindi la verifica è soddisfatta.

III.5. Travi. Problema di progetto

I.1.1. Criteri generali di progetto In generale le condizioni di equilibrio allo stato limite ultimo per sollecitazioni normali contengono le 12 grandezze :

MS NS b d c c′ As ′A s fcd fyd εc εs (III.20)

Nei problemi di semi-dimensionamento sono note a priori le caratteristiche dei materiali fcd e fyd, come pure le dimensioni b, d, c, c′ della sezione; pertanto il numero di incognite indipendenti si riduce a 6:

MS NS As ′A s εc εs (III.21)

Nei problemi di dimensionamento dell’armatura con componenti di sollecitazione date (MS ed NS) saranno da determinare solo le quantità di armatura e le deformazioni di lavoro della sezione. I criteri di dimensionamento che si possono utilizzare sono vari: fra questi si possono ricordare quello di minimo costo di esecuzione e quello di massima duttilità della sezione. Per sezioni dotate di asse di simmetria ortogonale soggette a flessione o a sforzo normale con grande eccentricità nel piano di simmetria è generalmente verificato che il minimo costo si ottiene quando si ha il massimo sfruttamento dell’acciaio nel corrente teso. La soluzione deve essere pertanto ricercata preferibilmente nei campi 2 o 3, imponendo cioè che le armature tese As abbiano deformazione non minore di εyd. Tali soluzioni hanno la duplice prerogativa di conferire duttilità alla sezione e di sfruttare in pieno la resistenza delle armature. La soluzione progettuale più razionale consiste nel disporre solo armature tese e, soltanto se ciò non è sufficiente, impiegare armature in zona compressa. Per il rispetto della condizione sopraccitata la profondità relativa dell’asse neutro ξ = x/d deve risultare inferiore al valore corrispondente alla frontiera fra i campi 3 e 4:

ydlim

lim 5.35.3

dx

ε−−−

=

=ξ (III.22)

che per i più comuni tipi di acciaio risulta:

Fe B 38 k εyd = 1.63‰ ξlimlim

.. .

.=

=−

− −=

xd

3535 163

0 682

Fe B 44 k εyd = 1.87‰ ξ limlim

.. .

.=

=

−− −

=xd

3535 187

0 652

III.5.1. Tabelle di dimensionamento per sezioni rettangolari semplicemente inflesse. Per il calcolo delle sezioni rettangolari con doppia armatura, si impiegano le equazioni


pag. 25

adimensionali (III.13) introdotte nel paragrafo III.4.1. Si consideri una sezione rettangolare con sola armatura tesa As0 e soggetta a flessione semplice ( ′A s = 0 e NS = 0) le relazioni (III.8) si riscrivono:

)k1(dbf85.0M

kfdbf85.0A0N

limalim2

cdlim

yd

limcd0sS

ξ⋅−⋅α⋅ξ⋅⋅⋅⋅=

⋅α⋅ξ⋅⋅⋅⋅

=→= (III.23)

ovvero in termini adimensionali (ν = 0 e ω′ = 0), le due equazioni di equilibrio (III.13) diventano (ω diventa ω0):

)k1(85.0

k85.00

limalimlim

lim0

ξ⋅−⋅α⋅ξ⋅=µ

α⋅ξ⋅=ω→=ν

(III.24)

Con la prima equazione, per un fissato valore di ξlim si determina il rapporto meccanico di armatura che equilibra in flessione la risultante di compressione del calcestruzzo. La seconda equazione esprime invece il valore del momento limite adimensionalizzato, cioè il momento massimo che può essere sopportato dalla sezione in armatura semplice con quella imposta posizione dell’asse neutro ξlim. Poiché α e ka sono funzione di ξ e k è funzione di ξ e εyd si può istituire per ciascun tipo di acciaio una correlazione biunivoca fra ξ, µ e ω0. Tale correlazione è evidenziata nella Tabella III-4, che può essere utilizzata sia per il progetto sia per la verifica delle sezioni rettangolari, come illustrato nei successivi paragrafi.

III.5.2. Progetto di sezioni rettangolari in flessione semplice Si consideri il caso di dimensionamento dell’armatura di una sezione di geometria nota, soggetta ad una sollecitazione di flessione semplice MS cui corrisponde il valore adimensionalizzato µ. Fissato preliminarmente il valore di ξlim, rispettando i diversi criteri precedentemente introdotti, si individua il corrispondente valore del momento massimo sopportabile dalla sezione in semplice armatura, Mlim.

Se si verifica che MS ≤ Mlim si potrà disporre soltanto l’armatura tesa As0. In caso contrario il momento deve essere suddiviso in due quote, rispettivamente Mlim e ∆M = MS - Mlim, la prima equilibrata da As0 e dal calcestruzzo compresso, la seconda da due posizioni di armatura, una compressa l’altra tesa, che forniscono entrambe la stessa risultante:

cd

MF−

∆= (III.25)

L’armatura tesa totale risulta pertanto:

A A Fk fs s

yd= +

⋅0 (III.26)

(nei campi 2 e 3 k = 1 perché l’acciaio teso è sempre snervato); mentre l’armatura compressa è:

′ =′ ⋅

A Fk fs

yd (III.27)

dove k′ = -1 se yds ε−≤ε′ (quasi sempre ciò accade quando la soluzione è in campo 3).

Il progetto si può effettuare in modo analogo con le grandezze adimensionalizzate utilizzando la Tabella III-4 dalla quale, entrando con il valore limite della posizione dell’asse neutro ξlim, si


pag. 26

ottengono i relativi valori di µlim. e di ωlim..

Se risulta µ ≤ µlim non è necessario prevedere armatura in compressione. In corrispondenza al valore di µ si ricava dalla Tabella III-4 il relativo ω0 e quindi la quantità di armatura minima richiesta:

A b d ffs

cd

yd0 0= ⋅

⋅ ⋅ω (III.28)

εc εs ξ=x/d µlim Feb38k Feb44k εc εs ξ=x/d µlim Feb38k Feb44k0.00 10.00 0.000 0.000 -3.50 10.00 0.259 0.159-0.10 10.00 0.010 0.000 -3.50 9.50 0.269 0.165-0.20 10.00 0.020 0.002 -3.50 9.00 0.280 0.170-0.30 10.00 0.029 0.003 -3.50 8.50 0.292 0.176-0.40 10.00 0.038 0.006 -3.50 8.00 0.304 0.183-0.50 10.00 0.048 0.009 -3.50 7.50 0.318 0.190-0.60 10.00 0.057 0.013 -3.50 7.00 0.333 0.198-0.70 10.00 0.065 0.017 -3.50 6.50 0.350 0.206-0.80 10.00 0.074 0.021 -3.50 6.00 0.368 0.215-0.90 10.00 0.083 0.026 -3.50 5.50 0.389 0.224-1.00 10.00 0.091 0.031 -3.50 5.00 0.412 0.235-1.10 10.00 0.099 0.037 -3.50 4.50 0.438 0.246-1.20 10.00 0.107 0.042 -3.50 4.00 0.467 0.259-1.30 10.00 0.115 0.048 -3.50 3.50 0.500 0.272-1.40 10.00 0.123 0.054 -3.50 3.00 0.538 0.288-1.50 10.00 0.130 0.059 -3.50 2.50 0.583 0.304-1.60 10.00 0.138 0.065 -3.50 2.00 0.636 0.322-1.70 10.00 0.145 0.071 -3.50 1.87 0.652 0.327-1.80 10.00 0.153 0.077 -3.50 1.70 0.673 0.333 0.463 0.509-1.90 10.00 0.160 0.083 -3.50 1.63 0.682 0.336 0.469 0.539-2.00 10.00 0.167 0.089 -3.50 1.50 0.700 0.341 0.523 0.600-2.10 10.00 0.174 0.094 -3.50 1.40 0.714 0.345 0.572 0.656-2.20 10.00 0.180 0.099 -3.50 1.30 0.729 0.350 0.629 0.722-2.30 10.00 0.187 0.105 -3.50 1.20 0.745 0.354 0.696 0.799-2.40 10.00 0.194 0.110 -3.50 1.10 0.761 0.358 0.776 0.890-2.50 10.00 0.200 0.115 -3.50 1.00 0.778 0.362 0.872 1.001-2.60 10.00 0.206 0.120-2.70 10.00 0.213 0.125-2.80 10.00 0.219 0.129-2.90 10.00 0.225 0.134-3.00 10.00 0.231 0.138-3.10 10.00 0.237 0.143-3.20 10.00 0.242 0.147-3.30 10.00 0.248 0.151-3.40 10.00 0.254 0.155

0.4380.448

0.3210.3440.3710.401

0.2540.2680.2830.301

0.2090.2190.2290.241

0.1780.1850.1930.201

0.1580.1630.1680.173

0.1360.1420.1470.153

0.1130.1190.1250.130

0.0880.0940.1010.107

0.0620.0690.0750.082

0.0380.0440.0500.056

0.0170.0220.0270.032

ω0 ω0

Cam

po 2

0.0000.0000.0020.0040.0060.0090.013

Feb

44k

CA

MPO

4

C

AM

PO 3

Feb3

8k C

AM

PO 4

CA

MPO

3

Tabella III-4: correlazione fra ξ, µ e ω0 per sezioni rettangolari con semplice armatura, semplicemente inflesse.

Se invece µ > µlim le relazioni (III.26) e (III.27), rese adimensionali mediante la moltiplicazione per il rapporto: ( )f b d fyd cd⋅ ⋅

forniscono i rapporti meccanici dell’armatura compressa e tesa rispettivamente:

( )( )

( )( )

′ =−− ′

⋅′

= +−− ′

⋅

ωµ µ

δ

ω ωµ µ

δ

lim

limlim

11

11

k

k

(III.29)

Le aree effettive di armatura si ottengono quindi dalle relazioni:


pag. 27

′ = ′ ⋅⋅ ⋅

= ⋅⋅ ⋅

A b d ff

A b d ff

scd

yd

scd

yd

ω

ω

(III.30)

Esempio. Data una sezione di calcestruzzo b=50 cm, h=28 cm, c=4 cm, d=28-4=24 cm (δ’ =4/24=0.167), soggetta a MS=50 kNm ovvero MS=200 kNm, progettare l’armatura in modo che sia ξ<ξlim=0.45 (limite imposto dal R.I.).

Svolgimento.

134.013240500

1050fdb

M2

6

cd2

S =⋅⋅

⋅=

⋅⋅=µ

al valore di ξlim=0.45 nella Tabella III-4 corrisponde µlim=0.252. Poiché µlim>µ non è necessario disporre armatura a compressione.

Al valore di µ=0.134, interpolando linearmente nella stessa tabella, corrisponde il valore di ω0=0.148, da cui si ottiene l’armatura minima da disporre a trazione:

2

yd

cd0s mm617

37413240500148.0

ffdb

A =⋅⋅

⋅=⋅⋅

⋅= ω

Nel caso di sollecitazione flettente MS=200 kNm si ottiene:

µ =⋅ ⋅

=⋅

⋅ ⋅=

Mb d f

S

cd2

6

2200 10

500 240 130 536.

che supera il valore di µlim e pertanto bisogna disporre armatura a compressione. Al valore di µlim. corrisponde ωlim=0.310. L’armatura compressa risulta:

( )2

slim mm1422A341.0

167.011252.0536.0

)1(k=′→=

−⋅−

=−⋅′

−=′

δµµ

ω

mentre l’armatura necessaria a trazione risulta di:

( )2

slim

lim mm2715A651.0)167.01

252.0536.0310.0)1(

=→=−

−+=

−−

+=δ

µµωω


pag. 28

Esempio. Data una trave di calcestruzzo in spessore, con sezione h=28 cm, c=4 cm, d=28-4=24 cm (δ=4/24=0.167), soggetta a MS=60 kNm, calcolare la larghezza b della sezione e l’armatura in modo tale che la sezione lavori in campo 3 e comunque con ξlim≤0.450. Si richiede armatura semplice, solo a trazione.

Svolgimento.

In campo 3 con la condizione imposta deve risultare 0.259≤ξ≤0.450, valori a cui corrispondono nella Tabella III-4 µ=0.159 con ω0=0.178 e µ=0.252 con ω0=0.310. Essendo:

µ =⋅ ⋅

Mb d f

S

cd2

cd2

s

fd M

b⋅⋅

=⇒µ

- per µ=0.159 b mm=⋅

⋅ ⋅=

60 100 159 240 13

5206

2.

ω020 178 0 178 520 240 13

374742= = ⋅

⋅ ⋅=. .A mms

- per µ=0.252 b mm=⋅

⋅ ⋅=

60 100 252 240 13

3306

2.

2s0 mm853

37413240330310.0A310.0 =

⋅⋅⋅==ω

III.5.3. Progetto di sezioni rettangolari in presso-flessione retta In presenza di sforzo assiale non nullo (per convenzione positivo se di trazione) è utile riferirsi al sistema di sollecitazioni M*

S, NS, ottenuto riportando lo sforzo normale al livello delle armature tese. Si procede quindi come visto per la flessione semplice; ossia fissato ξlim se M*

S ≤ Mlim (µ* ≤ µlim) non occorre disporre armatura a compressione e, determinata l’armatura As0 corrispondente a M*

S, si ottiene l’armatura totale tesa necessaria:

A AN

k fs sS

yd= +

⋅0 (III.31)

che nel caso di compressione (NS < 0) è minore di As0. Il secondo termine rappresenta la quantità ideale di armatura in grado di portare da sola lo sforzo normale:

A Nk fs

N s

yd=

⋅ (III.32)

che adimensionalizzata fornisce:

ων

Ns

yd

yd

cd

Nk f

fb d f k

=⋅

⋅⋅ ⋅

= (III.33)


pag. 29

e quindi l’armatura tesa necessaria diventa ω ω ω= +0 N .

Se invece vale M*S > Mlim (µ* > µlim) determinata la parte di momento ∆M = M*

S - Mlim non coperta dalla sezione semplicemente armata e la corrispondente coppia di forze di intensità F = ∆M/(d-c′), le due posizioni di armatura sono date da:

A A F

k fN

k f

A Fk f

s syd

S

yd

syd

= +⋅

+⋅

′ =′ ⋅

0

(III.34)

ovvero, in termini adimensionali,

( )( )

( )( )

ω ωµ µ

δν

ωµ µ

δ

= +−− ′

⋅ +

′ =−− ′

⋅′

limlim

lim

11

11k k

k

(III.35)

Esempio. Data una sezione di calcestruzzo b=30 cm, h=60 cm, c=c’=4 cm, d=60-4=56 cm (δ=4/56=0.071), soggetta a MS=500 kNm e NS=-1000 kN, progettare l’armatura a trazione e compressione imponendo un valore di ξlim=0.652 (frontiera di passaggio tra campo 3 e campo 4 cui corrisponde µlim=0.327 e ωlim=0.448).

Svolgimento Innanzitutto si riporta l’azione assiale sollecitante in corrispondenza alla posizione di

armatura tesa:

( ) kNm76004.030.01000500'c2hNMM SS

*S =−⋅+=

−⋅−=

a cui corrisponde:

µ µ=⋅ ⋅

=⋅

⋅ ⋅= >

Mb d f

S

cd

*

lim.2

6

2760 10

300 560 130 621

ν =⋅ ⋅

=− ⋅

⋅ ⋅= −

Nb d f

S

cd

1000 10300 560 13

0 4583

.

per il valore di ξlim=0.652 dalla Tabella III-2 si ottiene k=1 e k’=-1.

L’armatura compressa risulta:

( )2'

slim mm1848A316.0

071.011327.0646.0

)1(k=→=

−⋅−

=′−⋅′

−=′

δµµ

ω

mentre l’armatura necessaria a trazione risulta pari a:

( )2

s

limlim

mm1790A

306.0458.0071.011327.0646.0448.0

k)'1(k

=→

=−−⋅−

+=+−⋅

−+=

νδ

µµωω

L’effetto della forza assiale di compressione è quello di diminuire la quantità di armatura richiesta a trazione.


pag. 30

III.6. Sezioni a T La sezione a “T” è particolarmente adatta a resistere ad un momento flettente che induce compressione nell’ala. Inizialmente si deve definire la larghezza collaborante dell’ala beff che dipende, oltre che dalla geometria della sezione, da altre grandezze quali luce della trave, tipo di vincoli, ecc.. A tale proposito il R.I. ammette come collaborante con la nervatura, da ciascun lato, una striscia di soletta di larghezza pari alla maggiore fra le dimensioni seguenti:

− un decimo della luce della nervatura; − cinque volte lo spessore della soletta più una volta la lunghezza dell’eventuale raccordo della

soletta. In nessun caso la larghezza di soletta collaborante da ciascun lato può superare la distanza fra la sezione in esame e quella in cui ha termine la soletta, né la metà della distanza fra le nervature. Il progetto e la verifica di una sezione a “T”, soggetta a flessione retta (ossia con asse neutro parallelo all’ala), non differiscono da quelli di una sezione rettangolare se l’asse neutro resta all’interno dello spessore della soletta e quindi l’area di calcestruzzo compressa è di forma rettangolare. In tale caso sono allora utilizzabili le tabelle e le procedure di verifica e dimensionamento introdotte per le sezioni rettangolari. Se invece l’asse neutro taglia lo spessore dell’anima della trave a “T” nelle verifiche entrano in gioco due ulteriori fattori: lo spessore della soletta s e lo spessore dell’anima bw, o meglio i rapporti s/d e beff/bw. In questo caso, per facilitare il semi-progetto a flessione semplice delle sezioni a “T”, si introduce la Tabella III-5 che riporta, in funzione di µ, i valori di ω0 per diversi rapporti di s/d e beff/bw. I valori di µ nella prima riga di ciascuna Tabella III-5 corrispondono a configurazioni deformate della sezione con profondità dell’asse neutro pari allo spessore dell’ala, ossia caratterizzate da:

ξ = =xd

sd

(III.36)

Per valori inferiori di ξ si continuano a usare le tabelle per le sezioni rettangolari. Al variare del rapporto beff/bw al piede di ciascuna colonna di valori ω0 sono indicati i valori di µlim e ωlim relativi alla configurazione deformata di passaggio dal campo 3 al campo 4 cui corrisponde, per l’acciaio Fe B 44 k, il valore ξlim = 0.652. Per valori di s/d, beff/bw, µ e ω0 non indicati in Tabella III-5 si opera interpolando linearmente fra i valori vicini.

III.6.1. Flessione semplice e composta. Progetto dell’armatura Dato il momento agente sulla sezione MS

* rispetto all’armatura tesa si calcola il relativo momento adimensionale

µ**

=⋅ ⋅M

b d fS

eff cd2

(III.37)

e, nella Tabella III-5 si individua, in funzione di s/d e beff/bw, il valore di riferimento di µlim. Se µ* ≤ µlim è sufficiente disporre armatura in zona tesa. Il rapporto meccanico ω0 è dato dalla Tabella III-5 in corrispondenza a µ*. Nel caso di flessione semplice l’armatura tesa risulta:

A b d ffseff cd

yd0

0=⋅ ⋅ ⋅ω (III.38)


pag. 31

Nel caso di flessione e sforzo normale (N positivo se di trazione) l’armatura tesa risulta:

A b d ff

Nk fs

eff cd

yd

S

yd0

0=⋅ ⋅ ⋅

+⋅

ω (III.39)

Se invece µ* > µlim bisogna disporre armatura in compressione. Ponendo ∆µ = µ-µlim, ∆µ è assorbito da due armature in compressione e trazione formanti una coppia. I rapporti meccanici delle due posizioni di armatura valgono:

)1(k

;)1(k lim δ′−⋅

µ∆+ω=ω

δ′−⋅′µ∆

=ω′ (III.40)

dove ωlim si ricava dalla Tabella III-5 in corrispondenza di µlim. L’espressione di k′ è stata data precedentemente per le sezioni rettangolari. Le armature totali tesa e compressa risultano rispettivamente:

yd

cdeffs

yd

s

yd

cdeffs

ffdb

A

fkN

ffdbA

⋅⋅⋅ω′=′

⋅+

⋅⋅⋅ω=

(III.41)

s/d=0.10 beff/bw

1 2 4 5 6 8 10

µ ω0

0.037 0.038 0.038 0.038 0.038 0.038 0.038 0.038

0.040 0.042 0.042 0.042 0.042 0.042 0.042 0.042

0.050 0.052 0.052 0.052 0.052 0.052 0.052 0.052

0.060 0.063 0.063 0.063 0.063 0.063 0.063 0.063

0.070 0.074 0.074 0.074 0.074 0.074 0.074 0.073

0.080 0.085 0.085 0.085 0.084 0.084 0.084 0.084

0.090 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096

0.100 0.107 0.107 0.108 0.108 0.109 0.110 0.111

0.110 0.119 0.119 0.121 0.122 0.124 0.128

0.120 0.131 0.132 0.136 0.138 0.142

0.130 0.143 0.144 0.152 0.158

0.140 0.155 0.158 0.171

0.150 0.167 0.172

0.160 0.179 0.187

0.170 0.192 0.203

0.180 0.206 0.220

0.190 0.219 0.238

µlim 0.327 0.204 0.142 0.130 0.122 0.112 0.105

ωlim 0.448 0.267 0.176 0.158 0.146 0.130 0.121 Tabella III-5: Tabelle per il semi-dimensionamento delle sezioni inflesse a T per vari rapporti di s/d e di

beff/bw (continua).


pag. 32

s/d=0.15 beff/bw

1 2 4 5 6 8 10

µ ω0

0.075 0.079 0.079 0.079 0.079 0.079 0.079 0.079

0.080 0.085 0.085 0.085 0.085 0.085 0.085 0.085

0.090 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096

0.100 0.107 0.107 0.107 0.107 0.107 0.107 0.107

0.110 0.119 0.119 0.119 0.119 0.119 0.119 0.119

0.120 0.131 0.130 0.130 0.130 0.130 0.130 0.130

0.130 0.143 0.143 0.143 0.143 0.143 0.143 0.144

0.140 0.155 0.155 0.156 0.157 0.157 0.159

0.150 0.167 0.168 0.171 0.173 0.175

0.160 0.179 0.182 0.188 0.192

0.170 0.192 0.196 0.207

0.180 0.206 0.211

0.190 0.219 0.227

0.200 0.233 0.244

0.210 0.247 0.263

0.220 0.261 0.283

µlim 0.327 0.222 0.170 0.160 0.153 0.144 0.139

ωlim 0.448 0.288 0.207 0.192 0.181 0.168 0.160

s/d=0.20 beff/bw

1 2 4 5 6 8 10

µ ω0

0.115 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125

0.120 0.131 0.131 0.131 0.131 0.131 0.131 0.131

0.130 0.137 0.137 0.137 0.137 0.137 0.137 0.137

0.140 0.155 0.155 0.155 0.155 0.155 0.155 0.155

0.150 0.167 0.167 0.167 0.167 0.167 0.167 0.166

0.160 0.179 0.179 0.179 0.179 0.179 0.180 0.180

0.170 0.192 0.193 0.193 0.194 0.194 0.195

0.180 0.206 0.206 0.209 0.210 0.212

0.190 0.219 0.221 0.226

0.200 0.233 0.236

0.210 0.247 0.252

0.220 0.261 0.270

0.230 0.276 0.289

0.240 0.291 0.310

µlim 0.327 0.240 0.196 0.188 0.182 0.175 0.170

ωlim 0.448 0.310 0.240 0.226 0.216 0.205 0.198

Tabella III-5. fine


pag. 33

III.6.2. Metodo approssimato per travi a T snelle semplicemente inflesse. Nel caso di travi a T in cui la larghezza dell’ala è molto maggiore della larghezza dell’anima (beff > bw) si può trascurare il contributo a compressione dell’anima. Se non vi è armatura compressa ( ′As = 0) e se x > s tutta l’ala superiore si può considerare uniformemente compressa cosicché l’altezza utile interna della sezione risulta pari a (d-s/2), Figura III-18.

ba

beff

d

s��

C

Z

d-s/2

σ=0.85fcd

Figura III-18: Sezione a “T”: metodo approssimato

La tensione di compressione media sulla piattabanda risulta essere:

( ) cd

eff

Sc f85.0

2sdsbM

⋅≤−⋅⋅

=σ (III.42)

mentre la quantità di armatura necessaria è pari a:

( )2sdfMA

yd

Ss −⋅

= (III.43)


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III.7. Dimensionamento e verifica dei pilastri

III.7.1. Generalità Il progetto e la verifica di sezioni soggette a pressoflessione, retta o deviata, con sforzo normale di piccola eccentricità (pilastri o colonne) risulta particolarmente agevole utilizzando diagrammi e superfici di interazione normalizzati. Si è già discusso precedentemente il significato di campo di resistenza della sezione ed il modo in cui viene costruito. Tali diagrammi di interazione possono essere pensati come la somma della resistenza di base, fornita dalla sezione di solo calcestruzzo, e della resistenza fornita dalle armature. Al variare delle armature, tenendo fissa la sezione di calcestruzzo, si costruisce una famiglia di superfici di interazione attorno ad un nucleo costante (corrispondente alla resistenza fissa della sezione di calcestruzzo) che espandono all’aumentare del grado di armatura. Nel caso generale di presso-flessione deviata tali superfici si rappresentano nello spazio tridimensionale N, Mx, My; se la presso-flessione è retta si riducono ad una famiglia di curve nel piano N, Mx o N, My.

III.7.2. Diagrammi di interazione Per un impiego generalizzato, i diagrammi di interazione vengono costruiti in coordinate adimensionali. Ad esempio per una sezione rettangolare, di dimensioni b ed h ed armatura complessiva Atot geometricamente definita, soggetta alle sollecitazioni di calcolo NS e MS si pone al solito:

ν µ ω=⋅ ⋅

=⋅ ⋅

=⋅

⋅ ⋅N

b h fM

b h fA fb h f

S

cd

S

cd

tot yd

cd2

(III.44)

Nella Figura III-19 e nella Figura III-20 sono riportati due esempi di diagrammi di interazione per sezioni rettangolari con le disposizioni di armatura ivi indicate. Essi sono tracciati per punti, corrispondenti a configurazioni deformate significative, per le quali sono stati calcolati risultante e momento risultante rispetto al baricentro della sezione di calcestruzzo. I diagrammi, tracciati collegando i punti significativi prescelti, danno una rappresentazione schematica a favore di sicurezza poiché il disegno più preciso, ossia tracciato con un gran numero di punti è una curva convessa di cui i lati riportati sono le secanti. Occorre ricordare che il R.I. impone di assumere un’eccentricità minima di calcolo, da sommare a quella eventualmente calcolata, pari a h/30 con un minimo di 20 mm. Inoltre, nel caso di compressione centrata, deve essere utilizzato un coefficiente di sicurezza per il materiale aumentato del 25% (cfr. paragrafo III.9.1).

Esempio: si consideri una sezione con armatura di tipo Fe B 44k simmetrica: ωtot=0.5, ω′=ω=0.25 δ=δ′=0.1.

Svolgimento

Alcuni punti caratteristici del campo di resistenza sono:

• frontiera di passaggio dal campo 2 al campo 3:

ξ=x/h=0.259/(1+δ)=0.235, α=0.810 ka=0.416, k=1, k′=-1:

v = -0.85αξ + ω′ k' + ω k = -0.178 µ* = 0.85αξ(1−ka ξ) − ω′ k′(1-δ′) = 0.384


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µ = µ* + ν (1/2+δ′) = 0.277

• frontiera di passaggio dal campo 5 al campo 6: ξ=1.00, α=0.810, ka=0.416, k=-0.17, k’=-1:

v = -0.85αξ + ω’ k' + ω k = -0.981 µ* = 0.85αξ(1−δ-ka ξ) − ω’ k'(1-2δ) = 0.533 µ = µ* + ν (1/2-δ)= 0.141

• limite estremo del campo 6: ξ=inf., α=1.00, ka=0.50, k=-1, k′=-1:

v = -0.85α + ω’ k' + ω k = -1.35 µ* =µ = 0

Da notare che il R.I. impone di controllare che lo sforzo normale risulti minore di quello calcolato per compressione centrata, utilizzando un coefficiente di sicurezza maggiorato del 25%.

vmin = -0.85α/1.25 + ω′ k' + ω k = -1.18 Per ogni sezione sono stati considerati alcuni valori del rapporto meccanico di armatura ω. Inoltre è riportato anche il diagramma relativo a ω = 0 (sezione di solo calcestruzzo), da cui si evince una, seppur debole, resistenza a flessione della sezione quando sia presente un certo sforzo normale, ovviamente di compressione. Ciascun diagramma rappresenta la frontiera di un dominio resistente nel campo ν−µ. Ne consegue che possono essere utilizzati per:

− il progetto: dati ν e µ sollecitanti (cioè NS e MS rispettivamente) occorre disporre l’armatura ω indicata dal diagramma passante per quel punto o superiore;

− la verifica: se la sezione è armata con un certo valore di ω e la sollecitazione esterna, espressa in termini di sforzi ridotti ν e µ, definisce un punto interno al diagramma caratterizzato da tale valore di ω, la resistenza è superiore alla sollecitazione.


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Figura III-19: diagramma di interazione adimensionale per sezione rettangolare e armatura simmetrica superiore ed inferiore.

Figura III-20: diagramma di interazione adimensionale per sezione rettangolare ed armatura distribuita.


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III.8. Prescrizioni di regolamento per le travi inflesse

III.8.1. Normativa Italiana Secondo la normativa italiana la percentuale di armatura valutata come rapporto tra area dell’armatura longitudinale Αs rispetto all’area totale della sezione di conglomerato, ρ = Αs/Αc, deve essere rispettivamente maggiore dello 0.15% per acciaio ad aderenza migliorata e 0.25% per acciaio in barre lisce. Inoltre alle estremità delle travi deve essere disposta una armatura longitudinale inferiore in grado di assorbire allo stato limite ultimo uno sforzo di trazione pari almeno al taglio presente. Tale armatura è necessaria per assorbire sugli appoggi lo sforzo di taglio agente sviluppando un meccanismo reticolare resistente alla Mörsch. Tale aspetto verrà più ampiamente discusso nel capitolo riguardante le sollecitazioni di taglio e torsione.

III.8.2. Eurocodice 2 Secondo l'Eurocodice 2 è lecito considerare la sezione semplicemente inflessa, e quindi trascurare l’effetto della sollecitazione normale, solo quando la forza assiale non superi il valore (0.08 fck Ac). Con riferimento alle prescrizioni sulla percentuale di armatura longitudinale massima e minima nelle travi, vengono date le seguenti indicazioni:

1. L'area effettiva della sezione trasversale delle armature di trazione deve, di regola, essere non minore di quella richiesta per il controllo della fessurazione, e comunque non inferiore a:

0,6 bt d/fyk ≥ 0.0015 bt d (III.45)

con fyk in MPa, essendo bt la larghezza media della zona tesa; per travi a T, con piattabanda compressa, il valore da utilizzare per bt corrisponde alla larghezza dell'anima Se l'armatura fosse inferiore a quella dei minimi indicati la sezione si riterrebbe "non armata".

2. L'area complessiva delle armature tese e compresse non deve di regola essere maggiore di 0,03 Ac (con esclusione delle zone di sovrapposizione).

3. Anche quando in progetto si sono assunti appoggi semplici, le estremità devono poter assorbire un momento di incastro parziale almeno del 25% di quello massimo in campata.

4. Negli appoggi occorre in tutti i casi porre armature inferiori che abbiano sezione almeno di un quarto di quella presente in campata.

III.9. Prescrizioni di regolamento per i pilastri

III.9.1. Normativa Italiana La Normativa Italiana nelle verifiche allo Stato Limite Ultimo per tensioni normali impone, come già precedentemente anticipato:

− di ipotizzare una certa eccentricità, nella direzione piu sfavorevole, da sommare a quella eventuale dei carichi, e precisamente il maggiore dei due valori h/30 e 20 mm essendo h la dimensione nella direzione considerata per l’eccentricità.

− lo sforzo normale deve poi risultare minore di quello calcolato per compressione centrata con una maggiorazione del 25% del coefficiente γc.

Negli elementi compressi armati con barre longitudinali disposte lungo una circonferenza e racchiusi da una spirale con passo < 1/5 del diametro del nucleo cerchiato, è consentito considerare come resistenza ultima la somma del contributo del nucleo, dell'acciaio longitudinale e di una sezione fittizia longitudinale (che però non deve superare il doppio di quella del nucleo) di pari peso a quello della spirale, maggiorando il coefficiente di sicurezza γc del 25%. La sezione di armatura longitudinale


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deve essere ≥ 0,5 volte quella dell'armatura fittizia corrispondente alla spirale. Inoltre è consentito (D.M. 15.10.96) adottare per la verifica di sicurezza la relazione seguente:

NSd / NRd + MSd / MRd ≤ 1 dove NRd è la forza assiale resistente di calcolo per compressione assiale semplice e MRd il momento resistente di calcolo (per flessione semplice). Si tratta di una relazione molto cautelativa, sicuramente a vantaggio della sicurezza, che evita la costruzione del dominio di sicurezza, ma che può portare ad uno scarso sfruttamento delle effettive capacità di resistenza dell’elemento. Nei pilastri soggetti a compressione centrata od eccentrica, l'armatura minima deve soddisfare la relazione:

A Nfs

sd

yd≥ 015. (III.46)

ed essere compresa fra lo 0,3% ed il 6% della sezione effettiva. Quest'ultima limitazione sale al 10% della sezione effettiva nei tratti di giunzione per ricoprimento. In ogni caso il numero minimo di barre longitudinali è pari a quattro per i pilastri a sezione rettangolare o quadrata, e sei per quelli a sezione circolare. II diametro delle barre longitudinali non deve essere minore di 12 mm. Per i pilastri prefabbricati in stabilimento, i diametri minimi delle barre longitudinali e delle staffe si riducono rispettivamente a 10 e 5 mm. Deve essere sempre prevista una staffatura posta ad interasse non maggiore di 15 volte il diametro minimo delle barre impiegate per l'armatura longitudinale, con un massimo di 25 cm. Le staffe devono essere chiuse e conformate in modo da contrastare efficacemente, lavorando a trazione, gli spostamenti delle barre longitudinali verso l'esterno. II diametro delle staffe non deve essere minore di 6 mm e di 1/4 del diametro massimo delle barre longitudinali. Se la snellezza dell’elemento supera certi limiti, è necessario eseguire la verifica allo Stato Limite Ultimo per Instabilità.

III.9.2. Eurocodice 2 Con riferimento a pilastri la cui dimensione maggiore b non è maggiore di 4 volte la dimensione minore h, l’Eurocodice 2 impone che la minima dimensione trasversale ammissibile per i pilastri gettati in opera verticalmente sia pari a 20 cm, mentre per quelli prefabbricati, gettati in orizzontale, sia pari a 14 cm. I possibili effetti delle imperfezioni geometriche possono essere messi in conto incrementando l'eccentricità della forza longitudinale (nella direzione più sfavorevole) di una quantità pari a: ea = (ν⋅l0)/2, dove l0 è la lunghezza libera d’inflessione dell'elemento, ν indica una inclinazione (in radianti) rispetto alla verticale, che si può assumere pari a ν = 1/(100⋅H0.5), essendo H l'altezza totale della struttura in metri. In ogni caso ν deve essere assunto almeno pari a 1/200. Le prescrizioni sull’armatura dettate dall’EC2 sono le seguenti: Armatura longitudinale: • il diametro delle barre non deve essere inferiore a 12 mm e la quantità minima di armatura non

inferiore a 0,15 Nsd/fyd e 0,003 Ac, mentre la quantità massima non deve superare il valore 0,08 Ac • le barre longitudinali devono essere distribuite lungo il perimetro in numero minimo pari agli

spigoli della sezione trasversale; nel caso di sezione circolare il numero minimo delle barre è pari a


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6. Armature trasversali • il diametro (siano staffe o spirali) non deve essere inferiore a 6 mm, ovvero ad 1/4 del diametro

maggiore delle barre longitudinali impiegate; • la distanza fra le armature trasversali non deve superare il più piccolo fra i valori: 12 volte il

diametro; il lato inferiore della sezione; 30 cm • e sarà ridotta del 40 % nelle zone seguenti:

- al di sopra e al di sotto di una trave o di una piastra per un tratto pari alla maggiore dimensione della sezione del pilastro;

- in prossimità delle giunzioni per sovrapposizione delle barre longitudinali se queste hanno diametro maggiore di 14 mm.

Se la snellezza dell’elemento supera certi limiti, è necessario eseguire la verifica allo Stato Limite Ultimo per Instabilità.

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