Numeros Complejos Noveno Grado

download Numeros Complejos Noveno Grado

of 18

Transcript of Numeros Complejos Noveno Grado

  • 8/18/2019 Numeros Complejos Noveno Grado

    1/18

    Matemática Básica (Ing.) 1

    Sesión 11.2

    Números complejos

  • 8/18/2019 Numeros Complejos Noveno Grado

    2/18

    Matemática Básica (Ing.)

    • Números complejos.

    • Operaciones con números complejos.• Conjugado complejo.

    • División de números complejos.

    • Soluciones complejas de ecuaciones cuadráticas.

    • Trazo de números complejos.

    • Forma trigonométrica de los números complejos.

    • ultiplicación ! división de números complejos.

    • Teorema de oivre.• "a#ces de números complejos.

    Números complejos

  • 8/18/2019 Numeros Complejos Noveno Grado

    3/18

    Matemática Básica (Ing.) 3

    Números complejos

    bi a z    +=

    Re

    Im

    a

    biZ=a+bi

    Un número complejo es cualquier número que

    puede escribirse en la forma

    donde a y b son reales.

    El número real a es la parte real, el número bes la parte imaginaria y a  bi  es la formaest!ndar.

  • 8/18/2019 Numeros Complejos Noveno Grado

    4/18

    Matemática Básica (Ing.) 4

    "peraciones con números complejos

    Sean a  bi  y c di  son dos números complejos,

    entonces#

    Suma# $a  bi % $c   di % & $a  c% $b  d %i  

    'esta# $a  bi % ( $c   di % & $a ( c% $b ( d %i  

    )ultiplicación#  $a  bi %$c   di % & ac   adi   bci   bdi 2

      = $ac  ( bd % $ad   bc %i 

    1%1%$1$

    111

    1

    22*

    2+

    2

    =−−=∗=

    −=∗=

    −=−−=∗=

    −=

    i i i 

    i i i i 

    i i i 

    i onsiderando que#

  • 8/18/2019 Numeros Complejos Noveno Grado

    5/18

    Matemática Básica (Ing.) 5

    Ejemplos

    Escriba la suma o diferencia en la forma est!ndar.

    1. $2 ( +i % $+ ( *i %

    2. $2 i % ( $-i  ( +%

    +. $ ( +i % $(2 %

    *. $ i 2

    % $/ ( %

    0 -−

    1−

    Escriba el producto en la forma est!ndar.

    0. $2 ( i %$1 +i %

    /. $0i  ( +%$2i  1%

    . $ 2i %$/ 0i %2−

    +

    21

    2+   

      

       + i .

  • 8/18/2019 Numeros Complejos Noveno Grado

    6/18

    Matemática Básica (Ing.) 6

    onjugado complejo

    El conjugado complejo del número complejo

    3 & a  bi  es#

    3 & a  bi  & a ( bi 

    4s5 mismo, el in6erso multiplicati6o o rec5proco de

    3 & a  bi  es#

    bi a

    bi a

    bi abi a z 

     z 

    −×

    +=

    +==−

    1111

    i ba

    b

    ba

    a

     z  z 

    2222

    1 1

    +−

    +==−

  • 8/18/2019 Numeros Complejos Noveno Grado

    7/18

    Matemática Básica (Ing.) 7

    7i6isión de números complejos

    Escriba los números complejos en la forma est!ndar.

    i −+2

    +2

    0

    −+

    1. a% b%

    2. i 

    −+

    2

    2

    +.i 

    i i 

    20

    %21%$2$

    ++−

    *.%21$

    %1%$21$

    i i 

    ++−

  • 8/18/2019 Numeros Complejos Noveno Grado

    8/18

    Matemática Básica (Ing.) 8

    Soluciones complejas de ecuacionescuadr!ticas

    8a solución de la ecuación cuadr!tica

      ax 2  bx   c  & 9,

    donde a, b y c  son números reales y a : 9, est!ndadas mediante la fórmula#

    a

    ac bb x 

    2

    *2 −±−=

    El radicando b2(*ac  es el discriminante, y si este6alor es menor que cero, entonces las ra5ces ser!nconjugados complejos.

  • 8/18/2019 Numeros Complejos Noveno Grado

    9/18

    Matemática Básica (Ing.) 9

    Ejemplos

    'esuel6a#

    912 =++  x  x 

    92+ 2 =++  x  x 

    0112 −=++   x  x  x 

    2.

    +.

    1.

  • 8/18/2019 Numeros Complejos Noveno Grado

    10/18

    Matemática Básica (Ing.) 10

    ;ra3o de números complejos

    ;race en el plano complejo u & 1 +i , v  & 2 ( i  y

    u  v . omp!relo con la tra3a de 6ectores.

    u & 1 +i 

    Eje realo

    v & 2 ( i 

    Eje imaginario

    u + v  & + 2i 

    u & 1 +i 

    Eje real

    u + v  & + 2i 

    Eje real o

    v & 〈2< (1〉

    u + v  & 〈+< 2〉

    u & 〈1< +〉

    =

    8a aritm>tica es la misma que la suma de 6ectores.

  • 8/18/2019 Numeros Complejos Noveno Grado

    11/18

    Matemática Básica (Ing.) 11

    ?orma trigonom>trica de los númeroscomplejos

    Eje imaginario

    Eje real

       r  &    @    3    @ 

    a & r cosθ 

    θ   b

      &   r

      s  e  n       θ

    3 & a bi  8a forma trigonom>trica delnúmero complejo 3 & a  bi  es

    %sen$cos   θ θ  i r  z    +=

    7onde# r es el módulo de 3 y θ es un argumento de 3

    r & @3@ & @a  bi @ & 22 ba   +

    a

    b=θ tan

  • 8/18/2019 Numeros Complejos Noveno Grado

    12/18

    Matemática Básica (Ing.) 12

    Ejemplos

    7etermine la forma trigonom>trica con 9 A θ A 2π

    para el número complejo#

    i b   *+%$   −−

    i a   +1%$   −

    i +1 −

    θ

    θB 

    Eje imaginario

    Eje real

    i *+ −−

    θ

    θB 

    Eje imaginario

    Eje real

  • 8/18/2019 Numeros Complejos Noveno Grado

    13/18

    Matemática Básica (Ing.) 13

    Ejemplos

    7etermine la forma binomial para el

    número complejo de la forma trigonom>trica#

    c%     

      

     =  

      

      +=+

    cis*+

    sen+

    cos*  π π π 

    i  z 

    d%   %+/$cis2   °= z 

    Note el uso de los grados se=agesimales y radianes

  • 8/18/2019 Numeros Complejos Noveno Grado

    14/18

    Matemática Básica (Ing.) 14

    )ultiplicación y di6isión de númeroscomplejos.

    Sean#

    %sen$cosy%sen$cos 22221111   θ θ θ θ    i r  z i r  z    +=+=

    %C$sen%Dcos$..   21212121   θ θ θ θ    +++=   i r r  z  z 1.

    2.%C$sen%Dcos$ 21212

    1

    2

    1θ θ θ θ 

      −+−= i r r 

     z 

     z 

    Entonces#

  • 8/18/2019 Numeros Complejos Noveno Grado

    15/18

    Matemática Básica (Ing.) 15

    %sen$cos%Csen$cosD   θ θ θ θ  ni nr i r  z  nnn +=+=

    ;eorema de )oi6re

    ara ele6ar un número complejo 3 & r$cosθ   isenθ %

    a una determinada potencia n entera positi6a,entonces#

    7etermine mediante el teorema de )oi6re#

    1.

    +

    2

    2

    2

    2

    %+1$

       

      

      +−

    +

    2.

  • 8/18/2019 Numeros Complejos Noveno Grado

    16/18

    Matemática Básica (Ing.) 16

    'a5ces de números complejos

    ara determinar las ra5ces en>simas de un número

    complejo

    Si z  & r $cosθ   i senθ %8os n números complejos distintos son#

        

        

      

         π+θ+ 

      

         π+θ

    n

    k i

    n

    k r 

    n   2sen

    2cos

    donde F & 9, 1, 2, +, n(1Son las n(>simas ra5ces del número complejo 3.

  • 8/18/2019 Numeros Complejos Noveno Grado

    17/18

    Matemática Básica (Ing.) 17

    Ejemplos

    7etermine las ra5ces n(>simas de las siguientes

    números complejos y graf5quelos.

    1. 'a5ces cuartas de 3 & 0$cos$π G+% i sen$$π G+%%.

    2. 'a5ces cúbicas de 3 & (1.

    +. 'a5ces octa6as de la unidad.

  • 8/18/2019 Numeros Complejos Noveno Grado

    18/18

    Matemática Básica (Ing.) 18

    8os alumnos deben re6isar los ejercicios del libro

    te=to gu5a.

    Ejercicios# /, 19, 1/, 22, 2*,+9, +/, *2, 09, 0, // y 9

    de la p!gina 00-.

    Ejercicios# 9, 2 y * de lap!gina 0/9.

    Sobre la tarea,

    está publicada en el AV Moodle.

    Hmportante