Numeros Complejos i

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Numeros Complejos

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Diapositiva 1

NMEROS

COMPLEJOSUNIDAD IMAGINARIA i

Definimos:Donde

Potencias enteras de ii1=ii2=-1i3=i2.i=(-1).i=-ii4=i2.i2=(-1)(-1)=1i5=i4.i=(1).i=ii6=i4.i2=(1)(-1)=-1i7=i4.i3=(1)(-i)=-ii8=i4.i4=(1)(1)=1i9=i8.i=(1).i=ii10=i8.i2=(1)(-1)=-1i11=i8.i3=(1)(-i)=-ii12=i8.i4=(1)(1)=1En resumeni1=ii2=-1i3=-ii4=1i5=ii6=-1i7=-ii8=1i9=ii10=-1i11=-ii12=1Propiedades Cualquier potencia ENTERA de i ser: i-1-i1

Ejemplos

Ejemplos

i1+i2+i3+i4 = 0in+1+in+2+in+3+in+4 = 0

Ejemplo

0=i32. Sea

ResolucinRecordar

En el problema

CONJUNTO DE LOS NMEROS COMPLEJOS

Es decir:

Grficamente12345...-1-2-3-40. . .-5

1,50,3333...

log2log32+3i1-8i6i-4ii1+iFORMA BINMICA DE UN COMPLEJOSea z z = a + biDonde

a: Parte real de z Re(z)b: Parte imaginaria de z Im(z)Ejemplos1) z=3+4iParte real de z: 3Parte imaginaria de z: 42) w=-5+iRe(w) = -5Im(w) = =-5+1i13) z=4iRe(z) = Im(z) = = 0 + 4i40COMPLEJO IMAGINARIO PURO4) w=7Re(w) = Im(w) = = 7 + 0i07COMPLEJO REAL5) z1=0Re(z1) = Im(z1) = = 0 + 0i00COMPLEJO NULODEFINICIONES Sea z = a+bi

Ejemplos1) z=2+5i

2) z=-1+7i

3) z=4-6i

4) w = 4i

5) z1 = 2

6) w1 = 0

IGUALDAD DE NMEROS COMPLEJOSSean los nmeros complejos:z = a+biy w = m+niSi z = wa = mb = nEjemplosSi a+7i = 5+nia = 57 = nSi 4-ki = p+3i4 = p-k = 3k =-3EjercicioSea z = x2+4i w = 9+yiCalcule el mximo y mnimo valor de x+y si z=w.Como z=wx2 = 94 = y(x=3 x=-3) Si x=3 y= 4x+y=7Si x=-3 y= 4x+y=1(x+y)MX=7(x+y)MN=1OPERACIN CON COMPLEJOSAdicin y sustraccinSean z = a+biy w = m+niz + w =(a+m)+(b+n)iCuando sumamos o restamos nmeros complejos se asocia lo real con lo real y lo imaginario con lo imaginario. Ejemplos1. Sean z = 7+8i y w = 2+6iEntoncesAnlogamentez - w =(a-m)+(b-n)iz+w = (7+2)+(8+6)iz+w = 9 + 14iz-w = (7-2)+(8-6)iz-w = 5 + 2i2. Sean z1 = -2+4i y z2 = 5-3iEntoncesz1+z2=[-2+5]+[4+(-3)]iz1+z2=3 + iz1-z2=[-2-5]+[4-(-3)]iz1-z2=-7 + 7iObservacinMultiplicacin Caso Ik(a+bi) =ak+bkiEjemplos1. 3(5+8i) =15+24i2. -4(2+7i) =-8-28i3. -2(-1-3i) =2+6iCaso II(a+bi)(a-bi)=a2+b2Ejemplos1. (3+4i)(3-4i)=32+42=252. (2+5i)(2-5i)=22+52=293. (4+i)(4-i)=42+12=17Reducir

10Caso III1. (3 + 2i)(4 + 5i)12+15i+10i2+8i12+15i+8i-102 + 23i2. (1 - 6i)(2 + 5i)2+5i-30i2-12i2+5i-12i+3032 - 7iPotenciacinRecordar(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2Ejemplos1. (3+4i)2=32+2(3)(4i)+(4i)2= 9+24i+16i2= -7+24i= 9+24i-162. (7-5i)2=72-2(7)(5i)+(5i)2= 49-70i+25i2= 24-70i= 49-70i-25Resultados importantes(1+i)2=12+2(1)(i)+(i)2=1+2i-1=(1+i)2=2i(1-i)2=12-2(1)(i)+(i)2=1-2i-1=(1-i)2=-2i(1+i)3=(1+i)2(1+i)=2i(1+i)(1+i)3=2i(1+i)(1-i)3=(1-i)2(1-i)=-2i(1-i)(1-i)3=-2i(1-i)(1+i)4=(1+i)2 (1+i)2==(2i)(2i)=4i2=-4(1+i)4=-4(1-i)4=(1-i)2 (1-i)2==(-2i)(-2i)=4i2=-4(1-i)4=-4(1+i)4= (1-i)4En general(1+i)4K= (1-i)4KK =-4 1211. Determine la parte real de z15 si z=1+i.Resolucin(1+i)2=2iRecordarEn el problemaz15 =(z2)7.z =(2i)7.(1+i) =27.i7.(1+i) =128.(-i).(1+i) =(-128i).(1+i) =-128i -128i2 =-128i-128(-1) =-128i+128 DivisinCalcule

Determine

Halle

En este caso no es necesario multiplicar la conjugada del denominador.

=7 NOTA

COMPLEJO REAL

n 144. Determine el valor de n si se sabe que

es un complejo real. Considere que n.ResolucinRecordar

COMPLEJO REAL

En el problema

15=2(n+1)7,5=n+16,5=nCalcule

Otra forma Hay ciertas divisiones que se pueden obtener de manera inmediata, multiplicando i o -i.

Solo trabajaremos con el DENOMINADOR.

Calcule

Solo trabajaremos con el DENOMINADOR.

16NOTA

K COMPLEJO IMAGINARIO PUROEjercicioSi

Genera un complejo imaginario puro, halle n.Resolucin Como genera la divisin un complejo imaginario puro, entonces:

36=n2n=6 vn=-6Resultados importantes

175. Determine el valor de b si se sabe que

es un imaginario puro. Considere que b.Resolucin

COMPLEJO IMAGINARIO PUROEn el problema

3 =-4b

MODULO DE UN COMPLEJOSea z=a+biEl modulo de z o valor absoluto de z, se denota como IzI y se define:

Ejemplo

TEOREMAS

EjemploSea z=3+4i

Sea z=4-3iy w=12+5iEjemploCalcule

Ejemplo

Calcule z10

EjemploSea z=6+8iCalcule

16.Determine el mdulo del complejo w.

ResolucinAplicando mdulo w

Recordar

12.Si z=x+yi; x,yResolucin

RecordarEn el problema

Como z=x+yi1-(x+yi )=1+(x+yi)1-x-yi )=1+x+yiAplicando mdulo

( )2

Reemplazando en z=x+yi=yiz es un imaginario PURO.18.Determine el valor de n si se sabe que el mdulo del complejo z es igual a

Resolucin

k=11+(-1)1(1+1)ik=22+(-1)2(2+1)ik=33+(-1)3(3+1)ik=44+(-1)4(4+1)i...k=2n2n+(-1)2n(2n+1)i= 1-2i= 2+3i= 3-4i= 4+5i= 2n+(2n+1)iz=

Dato

n=11GRACIAS POR SU TIEMPO