Numeros complejos

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    16-Jan-2016
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  • C soluciona el defecto algebraico de R de que existan ecuaciones polinmicas con coeficientes reales que no tienen soluciones reales.Ej. x2 + 1 = 0.N Z Q R C

  • Girolamo Cardano (1501-1576) Ars Magna (1545)

    Considerada como la fecha de nacimiento de los nmeros complejos.

    Resolucin de ecuaciones de tercer y cuarto grado.

    Divide 10 en dos partes, de modo que una por la otra d 40.x(10-x)=40Solucin intrigante.

  • Rafael Bombelli (1526-1572) resolvi la situacin operando como lo hacemos hoy con nmeros complejos.Forma general de la ecuacin cbica y solucin:Funcionaba bien en algunos casos, como:Pero en otros ... :Cardano saba que x = 4 es solucin de esta ecuacin.

  • Ren Descartes (1596-1650)60 aos despus de Bombelli:

    A pesar de que podemos pensar que la ecuacin x3 - 6x2 + 13x - 10 = 0 tiene tres races, nicamente una de ellas es real, la cual es 2, y las otras dosson simplemente imaginarias. Ren Descartes "La Gomtrie" (1637)

  • Los nmeros imaginarios son un excelente y maravilloso refugio del Espritu Santo, una especie de anfibio entre ser y no serGottfried von Leibnitz (1.646 1.716)Otros trminos que han sido usados para referirse a los nmeros complejos incluyen :Sofisticados(Cardano)Sin sentido (Nper)Inexplicables (Girard)Incomprensibles(Huygens)Imposibles (Diversos autores)

  • Estos nmeros no son nada, ni menos que nada, lo cual necesariamente los hace imaginarios, o imposibles.formulam littera i Leonhard Euler (1777)Leonhard Euler (1.707 1.783)Con Euler los imaginarios se incorporan definitivamente en la Matemtica.i2 = -1; introdujo la notacin binmica.Demostr que el conjunto de los nmeros imaginarios era cerrado para las cuatro operaciones bsicas, as como para la potenciacin y la radicacin.

  • Karl Friedrich Gauss (1777-1855)Nmeros ntegros complexosK. F. Gauss (1831)A los nmeros enteros se han agregado las fracciones; a las cantidades racionales, las irracionales; a las positivas, las negativas; y a las reales, las imaginarias.Qu es un nmero complejo? Gauss dio la respuesta satisfactoria definitiva en 1831 al establecer la interpretacin geomtrica: x+iy (x,y).

  • Miguel de Guzmn (1936-2004)La visualizacin de los nmeros reales mediante los puntos de una recta o de los nmeros complejos mediante los puntos del plano no solamente penetr sin gran resistenciaen el anlisis, sino que se puede decir con razn que, en el caso de los nmeros complejos, esta visualizacin (Argand, Gauss) fue lo que hizo posible vencer la fuerte oposicin de la comunidad matemtica al dar carta de ciudadana a los nmeros complejos.El rincn de la pizarra: ensayos de visualizacin en anlisis matemtico.

  • Un nmero complejo z es un par ordenado de nmeros reales a y b, escrito como:z = (a,b)(Notacin en componentes o coordenadas cartesianas). a se llama la parte real de z: Re(z) := ab se llama la parte imaginaria de z: Im(z) :=bDos nmeros complejos son iguales si y slo si sus partes reales e imaginarias son iguales:(x1,y1) = (x2,y2) sii x1= x2 , y1= y2 El conjunto de nmeros complejos, se denota por C

  • (0,1) se llama la unidad imaginaria y se denota por:Si a= 0, se dice que es un imaginario puro. Si b= 0, z se comporta como un nmero real.z = a + biUn nmero complejo z = (a,b) se escribe comnmente como :(Los ingenieros elctricos a menudo usan j para evitar confusiones con el smbolo i, que asocian a la intensidad elctrica).(notacin algebraica o binmica, afijo en textos de antao)

  • z = a + biz = (a,b)

  • El plano complejo (Plano z, de Argand o de Gauss)Eje realEje imaginarioz = (x,y)

  • Ejemplo:Dibujar el nmero complejo z = -3-2i en el plano complejo

  • conjugadoEl conjugado de un nmero complejo z = x + i yse define como: Grficamente el conjugado es una reflexin respecto al eje real.

  • conjugadoEs sencillo demostrar que:

  • opuestoEl opuesto de un nmero complejoz = x + i y se define como: Grficamente el opuestoes una reflexin respecto al punto (0,0)

  • Suma y productoSumaProductoEn la facultad tenamos un profesor cojo al que llambamos el complejo.Tena una pierna real y otra imaginaria.Memorias de un estudiante de matemticas

  • (1)(2)Ejemplos:De modo que podemos sustituir siempre: Ejemplo:

  • Potencias de iPor ejemplo:

  • RestaDivisin(operacin inversa a la suma)(operacin inversa al producto)El cociente de dos nmeros complejos se halla multiplicando el numerador y denominador por el conjugado del denominador

  • Suma y resta de nmeros complejos en el plano complejoEn la suma (y la resta) los nmeros complejos se comportan como vectores

  • (1)(2)Ejemplos:Sean: z1=18 + 3i z2 = -7 + 2iHallar el inverso de i:

  • Calcular: Re(z1) = 18, Re(z2) = -7Im(z1) = 3,Im(z2) = 2z1+z2 = 11 + 5i,z1-z2 = 25+iz1z2 = (18+3i)(-7+2i) = -132 + 15iEjemplo:Sean z1=18 + 3i z2 = -7 + 2ims ejercicios

  • Ley de clausura:z1 + z2 y z1 z2 pertenecen a C.Ley asociativa:(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)(z1 z2) z3 = z1 (z2 z3)Ley distributiva:z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3Propiedades algebraicasLa suma y el producto dotan a C de estructura de cuerpo.Ley conmutativa:z1 + z2 = z2 + z1z1 z2 = z2 z1

  • 0+z = z+0 = z(Neutro para la suma)z +(-z) = (-z)+z = 0(Opuesto para la suma)z 1 = 1 z = z(Identidad para el producto)z z-1 = z-1 z = 1(Inverso para el producto)

    {C,+,} es un cuerpo. No es posible ordenar el conjunto de los nmeros complejos. Carecen de sentido expresiones como z > 0 o z1 < z2(Para todo z distinto de 0)

  • Falacia1=-1?

  • El plano complejo (Plano z, de Argand o de Gauss)Mdulo:Tambin llamado valor absoluto(el mdulo de un real es su valor absoluto)Argumento:Eje realEje imaginarioPara z = 0, el ngulo no est definido.El 0 no tiene forma polarz = (x,y)Con calculadora: Teclas RP, PolRec, r,

  • Forma polarForma trigonomtrica

  • argumento:Ejemplo:Escribir el siguiente nmero complejo z1=1+i, en forma polar y trigonomtrica:mdulo:solucin

  • Ejemplo:Dibujar el nmero complejo z = -3-2i en el plano complejo y evaluar mdulo y argumentoMdulo:Argumento:La calculadora no distingueEl argumento est multivaluado.

  • Multiplicacin

  • Producto de nmeros complejos en el plano complejo

  • Multiplicar por i es equivalente a girar 90 grados

  • Potencias

  • Frmula de Moivre Potencias enteras de complejos en forma polar:Abraham de Moivre (1667 - 1754)

  • El teorema de Moivre es una mquina de generar identidades trigonomtricas. Por ejemplo:Igualando las partes reales e imaginarias:

  • Potencias igualesDistintos nmeros complejos pueden llevar al mismo resultado al realizarles una misma potencia Esto nos lleva al clculo de races

  • Potencias repetidas RacesUn nmero complejo tiene tantas races como su ndiceSus afijos son los vrtices de un polgono regular

  • Racesse llama la raz ensima de z a cualquier nmero w que cumple: wn = z, y se escribe comoMdulo de wngulo de wPartimos de un nmero complejo z

  • Sean w= R(cos+ i sin)z = r(cos + i sin)Por el teorema de Moivre:

    wn = Rn[cos(n ) + i sin(n )]= r(cos + i sin)

    Igualando los mdulos y los ngulos obtenemosRacesLa frmula para el clculo de las races se basa en el teorema de Moivre

  • Raz cuarta Primer ngulongulo a aadir

  • Ejemplo: races de la unidad

  • Divisin

  • Divisin de nmeros complejos en el plano complejo

  • Benoit Mandelbrot public en 1975 su primer ensayo sobre fractales Su construccin se basa en la iteracin de un nmero complejo, es decir se hace una operacin y sta se repite con el resultado . z z2 + C. (conjunto de Mandelbrot)Un fractal es un objeto geomtrico cuya estructura bsica se repite en diferentes escalas Su dimensin es fraccionaria

  • Benoit Mandelbrot (Polonia-1924) retom los trabajos de Juli en 1970Mandelbrot y esposaMadrid-ICM 2006El trabajo pionero en el juego de hacer iteraciones con nmeros complejos fue desarrollado por dos matemticos franceses, Gaston Julia (a la izquierda) y Pierre Fatou (a la derecha), a principios del siglo XX.

  • El fsico-matemtico Antonio Br ha modelado matemticamente el crecimiento de los tumores, o al menos, eso es lo que defiende. En 1998 publica la primera ecuacin de crecimiento tumoral en la mejor revista del mundo de fsica. Este fsico espaol ha logrado curar un cncer de hgado terminal con una ecuacin .http://www.periodistadigital.com/salud/object.php?o=82957En el cuerpo humano existen estructuras con geometra fractal, como son la red vascular, las ramificaciones bronquiales, la red neuronal, la disposicin de las glndulas, etc.

  • Muchas antenas que en apariencia parecen constituir una sola unidad gran parte de las antenas de radar, entre ellas- estn en realidad compuestas por una formacin de hasta un millar de pequeas antenas. Uno de los ingenieros de T&M afirma que el rendimiento de las antenas fractales es un 25 por ciento mayor que el de las habituales antenas romas, revestidas de goma, con que van equipadas muchos telfonos mviles o inalmbricos. Amn de ser ms baratas de fabricar, operan en mltiples bandas, lo que permite incorporar un receptor GPS al telfono, al tiempo que la antena puede quedar oculta en el interior del aparato. http://matap.dmae.upm.es/cursofractales/capitulo1/3_1.htmlhttp://www-tsc.upc.es/eef/research_lines/antennas/fractals/fractal_antennas.htm(Visita la Web de los Ingenieros de la Universidad politcnica de Catalua)

  • Los fractales han estado siendo usados comercialmente en la industria cinematogrfica, en pelculas como Star Wars y Star Trek.http://starwars.ya.com/http://www.trekminal.com/newvoyages/web/descargas.php

  • Otros programas:XaosIfsAttrActoRFractal hecho con el programa apophysis.www.apophysis.orghttp://www.arrakis.es/~sysifus/software.htmlVisita la web de un artista:http://home.wanadoo.nl/laurens.lapre/escucha msica fractal

  • "La vibracin de las alas de una mariposa en Brasil pue-de desencadenar un cicln en Tejas?".(Poincar)

  • Causas pequeas producen grandes efectosA comienzos de la dcada del 60, Lorenz se puso a elaborar un modelo matemtico para predecir fenmenos atmosfricos, y por casualidad descubri que la misma herramienta matemtica que utilizaba estaba fallando:pequeos cambios en las condiciones iniciales producian diferencias asombrosas

  • los fractales son la representacin grafica del caos. Ejemplos de sistemas caticos incluyen la atmsfera terrestre, el Sistema Solar, las placas tectnicas, los fluidos en rgimen turbulento y los crecimientos de poblacin. En la dcada del 70 se empezaron a investigar comportamientos caticos en el ritmo cardaco, las reaccines qumicas, el mercado burstil .

  • Sir William Rowan Hamilton (1805 - 1865)

    Los cuaterniones son nmeros complejos en cuatro dimensiones en lugar de dos (Hamilton 1843). As un cuaternin q se expresa como:q = a+ib+jc+kddonde a,b,c,d son nmeros reales. Cuaterniones e hipercomplejos

  • !La propiedad conmutativa no se cumple para el producto de cuaterniones.Los cuaterniones se emplean para describir dinmicas en 3 dimensiones, en fsica y en grficos por ordenador (para hacer pelculas y juegos). El software de vuelo del Space Shuttle usaba cuaterniones para el control de navegacin y vuelo

  • Basada en la presentacin de Bartolo Luquehttp://www.disa.bi.ehu.es/ (n complejos-archivo ppt)

    http://www.arrakis.es/~sysifus/index.html (rea fractal-varios)http://es.webfractales.com/ (imgenes-software)http://www.divulgamat.net/weborriak/Exposiciones/ArteMate/Perry/artemate.asp (arte fractal)http://algorithmicbotany.org/vmm-deluxe/TableOfContents.html (laboratorio virtual de plantas)http://www.quanta.net.py/zfractal/mainmenu.htmhttp://www.geocities.com/Paris/Rue/1195/gallery1.htmlhttp://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/147/htm/fractus.htm (fractales y caos)http://platea.pntic.mec.es/aperez4/antonio-perez.htmlhttp://www.margencero.com/estevez/estevez_intro.html (msica)http://www.dlsi.ua.es/%7Ejaperez/fractal/ (msica)http://matap.dmae.upm.es/cursofractales/capitulo5/5.html (cuaterniones)http://www.fractalmusiclab.com/default.asp http://www.culturageneral.net/musica/clasica/http://sombra.lamatriz.org/terraforming/html/ficcion.htmlAutora: M Jess Casado IES Davia Rey-Monforte

    Argand: Jean Argand - a librarian in Paris, published paper on complex plane in 1806Argand: Jean Argand - a librarian in Paris, published paper on complex plane in 1806