Numeros Complejos

INSTITUTO TECNOLOGICO DE NOGALES

Numeros

Complejos

M.C. María Elsa Valenzuela Valdez

Ing. S. Karina Reyes Lio

2015

ITN Numeros Complejos

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Números complejos.

1.1 Definición y origen de los números complejos.

Un Número Complejo es una expresión del tipo donde y son números reales e es

un símbolo.

Por ejemplo si tenemos la ecuación:

no tiene sentido en los números reales. No se puede tener una raíz cuadrada de un número negativo.

Sin embargo, si usamos propiedades de los radicales se obtiene:

luego la solución de este problema es un número algo misterioso de la forma

La necesidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, incluyendo estas cuyas soluciones nos

dan este tipo extraño de números, nos motiva a crear sistema numérico ampliado, con propiedades

similares a las de los números reales. Dentro de este contexto se acepta el símbolo como una

entidad matemática nueva.

Comenzaremos por introducir un nuevo número o símbolo, denotado por , el cual será llamado la

unidad imaginaria y que cumple con la condición

o bien

Una vez hecho esto construimos un conjunto llamado Números Complejos cuyos elementos son

combinaciones de la forma donde a y b son números reales.

Vemos entonces que todo número complejo consta de dos partes, o componentes, llamadas: parte

real y parte imaginaria, dadas por y respectivamente. Así pues, tenemos e

. Por ejemplo:

Si un número no consta de parte real podemos decir que es un numero imaginario puro.

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Historia de los números complejos

Los números complejos aparecen inicialmente en el libro Ars magna de Girolamo Cardano,

publicado en 1545.

Y a pesar de que Bombelli realizó brillantes trabajos publicados en 1572 sobre el uso de números

complejos en la resolución de ecuaciones cubicas, los matemáticos de ese entonces consideraban

estos números aún como fantasmas de otro mundo, por carecer de representación real, y fueron

llamados números imposibles o Imaginarios.

En 1673 el matemático ingles J. Wallis dio la primera interpretación geométrica de los complejos.

Su modelo sigue los siguientes pasos:

1) En la ecuación cuadrática: , donde las raíces son:

2) Si , las raíces son reales y pueden ser representadas por un par de puntos y sobre los

números reales, de acuerdo a la construcción siguiente:

Ilustración 1. Representación de resultado real de una ecuación cuadrática

3) Si b < c, entonces las soluciones son números complejos. Los puntos y se hallan en el

extremo de el segmento , y como éste es más corto que , los extremos no pueden tocar la recta

real. Por lo tanto se ha llegado a una gran idea: los puntos y están por encima de la recta real.

Ver la figura:

Ilustración 2. Representación de resultado imaginario de una ecuación cuadrática

La representación de Wallis no es igual a la representación moderna, pero fue una buena

aproximación. La idea correcta de la representación geométrica de un número complejo z =

en el Plano Cartesiano, fue descubierta por dos matemáticos aficionados, en forma independiente: el


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danés C. Wessel y posteriormente el suizo J. Argand, en una obra publicada en 1806. A partir de

entonces dicha representación se conoce con el nombre de Diagrama de Argand.

Ilustración 3.Diagrama de Argand

Con esta representación a la mano, los números complejos dejaron de ser algo misterioso e

imposible, pero por razones de tipo histórico, se les sigue llamando imaginarios. En 1831 el

matemático alemán Carl F. Gauss publica un trabajo en donde expone con toda claridad las

propiedades de los números de la forma , llamados ahora Números de Gauss, y la

representación geométrica de los mismos.

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.

La operación suma de números complejos está basada en la suma de números reales. Cada complejo

tiene una parte real y una parte imaginaria. Para sumar complejos hay que sumar las partes reales

por un lado y las partes imaginarias por otro lado, como números reales. Al hacer esto nos

encontramos de nuevo con otro número complejo.

Ejemplo:

Si tenemos dos números:

La suma de estos estaría dada de la siguiente manera:

La resta de números complejos. La resta o diferencia de dos numeras complejos se realiza restando

cada parte por separado.

Ejemplo:

Si se tiene que y y queremos saber el resultado de ,

entonces tenemos:


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El producto de números complejos y , donde : y , se resuelve siguiendo

la regla:

Ejemplo:

Encuentre el producto de

El conjugado de un numero complejo se representa por si entonces , es otro

número complejo definido por =a-bi.

Ejemplos:

Si entonces

Si entocnes

Para hacer la división de dos números complejos y , primero se multiplica por el conjugado

de y éste resultado se divide entre el módulo al cuadrado de , el cual es un número real.

Si hacemos y , tendremos


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Ejemplo:

Encuentre el producto de

1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo.

Potencias de i

Cuando el exponente es o superior se divide entre , igualando el enunciado a elevado al resto

de la división:

. Se indican los resultados de la potencia de algunos números

complejos:

Ejemplos:

, de la división:

queda 1 por lo tanto:

, de la división:

queda 3 por lo tanto:

Definición. El producto de dos complejos conjugados es: z = a2+b

2 suma de los cuadrados de los

dos componentes reales.

Ejemplo. Efectuar el producto de los números complejos: y .

Solución: .


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Módulo o Valor absoluto de un número complejo

Definición. Si es un número complejo, el Modulo de Z es el número real

Observación: Se puede expresar el módulo de en función de él mismo y de su conjugado, usando

la relación

Se puede probar que dicha relación se verifica para todo . En efecto, pongamos . Luego

de donde

Ejemplo:

Hallar el modulo de

1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo.

Podemos asignarle a cada número complejo en el plano, un radio vector, que conecta

al punto con el origen. Este radio vector forma un ángulo con el eje real o de las , que sería

denotado por .


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Ilustración 4.Representación gráfica del ángulo del radio vector de un número complejo

Nota: El ángulo se mide a partir del eje real y en sentido contrario a las agujas del reloj. El mismo

puede venir expresado en unidades de grados o radianes.

De acuerdo a la disposición de los ejes y el radio vector, se ha formado un triángulo rectángulo, con

catetos y , e hipotenusa dada por el radio vector. Usando el Teorema de Pitágoras, se demuestra

que la longitud de este radio vector es igual al módulo del complejo , también conocido

como amplitud o argumento de Z. Esto es:

Ilustración 5. Representación gráfica del argumento de un número complejo

Se tiene entonces la Representación de en Forma Polar:

Recíprocamente, si se conocen las coordenadas cartesianas de , entonces y se

calculan de acuerdo a las fórmulas

Y podemos expresar el numero en su forma exponencial:

1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número

complejo.

Fórmula de De Moivre para la potencia. Cuando , se obtiene:


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La potenciación es un caso especial de la multiplicación, (se multiplican las magnitudes y se suman

los ángulos) y por consecuencia tenemos que para cualquier número entero y positivo n si dos

números complejos son iguales y se multiplican, su producto es:

También para exponentes enteros negativos, siempre que .

De los ejemplos, obtener la forma potencia que se pide

1.

2. .

Si ,

y

entonces :

Definición. Fórmula de De Moivre para la extracción de raíces o radicación de un número

complejo

La operación de radicación es inversa a la de potenciación. Para un único número complejo ,

existen varios complejos , que al elevarlos a la potencia , nos da el mismo complejo . Para

hallar las raíces de un número complejo se aplica la fórmula de De Moivre, teniendo en cuenta que

para que dos complejos coincidan, han de tener el mismo módulo y la diferencia de sus argumentos

ha de ser un múltiplo entero de . Si al Teorema de De Moivre se eleva a una potencia

fraccionaria nos quedaría:

Angulo con suma de un múltiplo de :


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, si ,

Interpretación geométrica de las raíces -ésimas de . Ver grafica abajo

Si

, las raíces quintas son:

,

Observar que todas las raíces tienen el mismo módulo

. Por eso, las n raíces están situados sobre

la circunferencia de centro el origen y radio

. Si es el ángulo de , un ángulo de es

. Si

dividimos los radianes en partes, cada una de ellas mide

radianes. Así se obtiene girando

el de en

radianes; el de z3 girando el de otra vez un ángulo de

radianes, y así

sucesivamente.

Ejemplos de radicación:

Si , obtener la raíz cúbica.

Solución: Si ,

y ,

Si

Si

Si


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Si

Ejemplo 2 de radicación

Cuando :

Cuando :

Cuando :

1.6 Ecuaciones polinómicas.

En la práctica, en ocasiones, es necesario resolver ecuaciones polinómicas de la forma:

Si son números complejos dados y es un entero positivo llamado el grado de la

ecuación.

Teorema fundamental del álgebra: Establece que cada ecuación polinómica de ese tipo tiene por lo

menos una raíz compleja, en realidad raíces complejas, algunas de la cuales o todas podrían ser

idénticas.

o Por el número de términos

1. Ecuaciones binómicas: Las ecuaciones con dos términos.

2. Ecuaciones polinómicas: Las ecuaciones que tienen tres términos y más.

o Ecuaciones de primer grado y una incógnita.

Las ecuaciones de la forma son muy sencillas de resolver, basta con

despejar la .

o Ecuaciones de segundo grado y una incógnita.


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Las ecuaciones de la forma , se resuelven con la formula general:

Ejemplo:

Si la ecuación es ,

con y

.

Teorema: Toda ecuación polinómica cuyos coeficientes sean números complejos y que tenga grado

positivo, tiene exactamente raíces o soluciones. Las soluciones no tienen que ser

diferentes, puede haber una solución que se repita varias veces. Cuando una solución se repite

veces se dice que tiene multiplicidad . Por ejemplo, la ecuación polinómica –

tiene 4 soluciones, porque el grado de la ecuación (exponente mayor de la variable x) es 4

y los coeficientes son enteros.

Las raíces conjugadas

Si una ecuación polinómica con coeficientes reales tiene como solución al número complejo

, entonces también tiene como solución a su conjugado – .

Ejemplo 1

Hallar una ecuación polinómica con coeficientes enteros que tenga a y a –

como soluciones.

Solución: De acuerdo con el teorema anterior si – es solución, también lo

es su conjugada .

Las soluciones son: –

por lo tanto: – – – –

multiplicar: – – – –

Obteniendo la ecuación – – .

Ejemplo 2. Determinar una ecuación de coeficientes reales cuyas soluciones en C sean: , y

Solución: ,

entonces .


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Para obtener el polinomio efectuamos la multiplicación de los lados izquierdos

igualados a cero.

Resultando, la ecuación polinómica es:

–

Ejemplo 3. Determinar un polinomio de coeficientes reales de grado 4, que tenga por raíces los

números complejos y

Solución: Si , efectuando las

multiplicaciones y simplificando, tenemos que el

Resultado es: La ecuación polinómica:

Ejemplo 4.Dada la ecuación polinómica, , obtener el conjunto solución

Solución: Factorizando

, entonces

,utilizando la ecuación cuadrática:

De , tenemos las otras dos variables

Finalmente el conjunto solución es:

Ejemplo 5.Dada la ecuación polinómica, , obtener el conjunto solución

Solución: Utilizando la división sintética


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De este resultado determinamos que es una de las raíces y las otras dos variables se

obtienen del polinomio que resulto de la división sintética:

Entonces el conjunto solución es :

Ejemplo 6. Dada la ecuación polinómica, , obtener el conjunto solución

Solución: Primero factorizando , entonces

De y mediante la división sintética

Finalmente el conjunto solución es:

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