INSTITUTO TECNOLÓGICO

DEPARTAMENTO DE METAL-MECÁNICA

ANÁLISIS DE CIRCUITOS

NÚMEROS POLARES

Unidad imaginaria

La unidad imaginaria  es el número   y se designa por la letra  i.

Números imaginarios

Un número imaginario se denota por b i , donde:

b  es un número real

i  es la unidad imaginaria

Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo.

x2 + 9 = 0

Potencias de la unidad imaginaria

i0 = 1; i1 = i; i2 = −1; i3 = −i; i4 = 1

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

Números complejos en forma binómica

Al número a + b i   le l lamamos número complejo en forma binómica.

El número a  es la parte real  del número complejo.El número b  es la parte imaginaria  del número complejo.

Si b = 0  el número complejo se reduce a un número real ya que  a + 0 i  = a .

Si a = 0  el número complejo se reduce a b i , y se dice que es un número imaginario puro.

El conjunto de todos números complejos se designa por   .

Los números complejos a + bi  y -a -b i  se l laman opuestos .Los números complejos z= a + b i  y z = a − b i  se l laman conjugados .

Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.

Representación de números complejos

Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos.

El eje X se llama eje real.El eje Y se llama eje imaginario.

El número complejo a + bi se representa:

1) Por el punto (a, b), que se llama su afijo.

2)  Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b).

Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X.

Los afijos de los números imaginarios se sitúan sobre el eje imaginario, Y.

Operaciones con números complejos

La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales y las partes imaginarias entre sí, respectivamente.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Ejemplo:

(5 + 2i) + (− 8 + 3i) − (4 − 2i) = (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

Multiplicación de números complejos

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

Ejemplo:

(5 + 2 i) · (2 − 3 i) = 10 − 15i + 4i − 6i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

División de números complejos

El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.

Ejemplo: 

Números complejos en forma polar y trigonométrica

Módulo de un número complejo

El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afi jo. Se designa por   |z| .

         

Expresión de un número complejo en forma polar

z = rα

|z| = r  (r es el módulo)

arg(z) = α    (α es el argumento)

Conversión de la forma polar a la forma binómica:

z = 2120º

Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar a la forma trigonométrica :

         z = rα  = r (cos α +  i  sen α)

Reales e imaginarios puros de módulo unidad:

z =10º = 1

z =1180º  = −1

z =190º  =  i

z =1270º  = − i

Multiplicación de complejos en forma polar

La multipl icación de dos números complejos es otro número complejo tal que:

Su módulo es el producto de los módulos.Su argumento es la suma de los argumentos.

         

Ejemplo: 

Producto por un complejo de módulo 1

Al multipl icar un número complejo z = r α por 1β se gira z un ángulo β

alrededor del origen.  

División de complejos en forma polar

La división de dos números complejos es otro número complejo tal que:

Su módulo es el cociente de los módulos.

Su argumento es la diferencia de los argumentos.

         

Ejemplo:

Potencia de complejos en forma polar

La potencia enésima de número complejo es otro número complejo tal que:

Su módulo es la potencia n−ésima del módulo.Su argumento es n veces el argumento dado.

      

Ejemplo:

Forma trigonométrica

a + b i =  rα = r (cos α +  i sen α)

Formas:

Binómica z = a + bi

Polar z = rα

Trigonométrica z = r (cos α + i sen α)

Circuitos RLC excitados por señales sinusoidales

Obtención de la solución en régimen permanente

Sea el circuito de la Fig. 2.11 excitado por una fuente sinusoidal de valor e(t):

Circuito RLC de una malla con una excitación sinusoidal.

Si aplicamos la segunda ley de Kirchhoff sobre la única malla del circuito obtenemos:

(1)

Se trata de una ecuación diferencial lineal con coeficientes reales constantes y positivos cuya solución, una vez que el régimen libre resulta despreciable, es una corriente en régimen permanente o forzado. Dado que este régimen corresponde a la solución particular de la ecuación diferencial sabemos (por la teoría de ecuaciones diferenciales) que la corriente presenta la misma forma que la excitación. Por lo tanto si e(t) es una sinusoide de una frecuencia dada, i(t) lo será también.

Sea, por tanto, e(t) = E0 cos(ωt +ϕ) la tensión conocida del generador. La corriente i(t) deberá de ser de la forma i(t) = I0 cos(ωt +β) , expresión en la que I0 y β son incógnitas. Reemplazando estos valores e incógnitas en la ecuación:

(2)

Si derivamos los términos correspondientes e igualamos por un lado las partes dependientes del tiempo y por el otro las independientes podemos llegar a una solución para I0 y β. Sin embargo, el procedimiento de resolución puede simplificarse sustancialmente si observamos que la ecuación únicamente involucra sumas de señales sinusoidales con la misma pulsación, derivaciones e integraciones, operaciones todas que se ha visto cómo llevar a cabo en el dominio

) t

( Cv

) t ( Lv

C

LR

i(t) ( ) t Rv

e(t)+

fasorial o complejo. Por lo tanto, si sustituimos en la ecuación (1) cada término por su fasor podemos escribir una nueva ecuación en este nuevo dominio:

Denotando los fasores corriente y tensión respectivamente como E (= E0e jϕ) e I(= I0e jβ ) la ecuación puede rescribirse como:

, ecuación que relaciona fasores de tensión, de acuerdo con la 2ª Ley de Kirchhoff y en la que podemos despejar el fasor de corriente buscado:

Una vez obtenido el fasor resultante (como resultado de una operación con números complejos), y teniendo en cuenta que las señales estaban expresadas en forma ‘coseno’, la expresión temporal de la corriente buscada queda:

Si esta corriente está adelantada respecto a la tensión (β>α) se dice que el circuito presenta carácter capacitivo (dado que en un condensador la corriente que lo atraviesa está adelantada respecto a a tensión que en él cae), mientras que si está restrasada se dice que presenta carácter inductivo (por similar motivo). En la Fig. 2.12 se muestran los diagramas de los fasores de corriente y tensión para ambas situaciones. Este tipo de diagramas, además de ofrecer una visión clara y concisa de las relaciones entre todas las tensiones y corrientes, permiten en ocasiones resolver problemas geométricamente.