Pgina 146

PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE

El paso de Z a Q

Imaginemos que solo se conocieran los nmeros enteros, Z.

Sin utilizar otro tipo de nmeros, intenta resolver las siguientes ecuaciones:

a) 3x = 15 b) 2x = 18

c) 11x = 341 d) 4x = 34

a) x = 5 b) x = 9

c) x = 31 d) No se puede.

Di cules de las siguientes ecuaciones se pueden resolver en Z y para cules esnecesario el conjunto de los nmeros enteros, Q.

a) 5x = 60 b) 7x = 22

c) 2x + 1 = 15 d) 6x 2 = 10

e) 3x 3 = 1 f) x + 7 = 6

a) x = 12 b) x =

c) x = 7 d) x = 2

e) x = f) x = 1

Para b) y e) necesitamos Q.

Pgina 147

El paso de Q a

Intenta resolver, sin salir de Q, las siguientes ecuaciones:

a) 3x2 12 = 0 b) x2 6x + 8 = 0

c) 2x2 + x 1 = 0 d) x2 2 = 0

a) x1 = 2, x2 = 2 b) x1 = 2, x2 = 4

c) x1 = 1, x2 = d) x2 = 2 No se puede.1

2

43

227

Unidad 6. Nmeros complejos 1

NMEROS COMPLEJOS6

Resuelve, ahora, las siguiente ecuaciones:

a) x2 9 = 0 b) 5x2 15 = 0

c) x2 3x 4 = 0 d) 2x2 5x + 1 = 0

e) 7x2 7x = 0 f) 2x2 + 3x = 0

Qu ecuaciones se pueden resolver en Q?

Para qu ecuaciones es necesario el conjunto de los nmeros reales, ?

a) x1 = 3, x2 = 3 b) x1 = , x2 =

c) x1 = 1, x2 = 4 d) x1 = , x2 =

e) x1 = 0, x2 = 1 f) x1 = , x2 = 0

Para b) y d), necesitamos .

an no es suficiente

Intenta resolver en las siguientes ecuaciones:

a) x2 2 = 0 b) 2x2 5x + 1 = 0

c) 5x2 x 2 = 0 d) x2 + 1 = 0

e) x2 2x + 5 = 0 f ) 5x2 + 10 = 0

a) x1 = , x2 = b) x1 = , x2 =

c) x1 = , x2 = d) x2 = 1 No se puede.

e) x = No se puede. f) x2 = 2 No se puede.

Resuelve las tres ltimas ecuaciones d), e) y f) utilizando para las soluciones

nmeros reales y la expresin .

d) x = , x1 = , x2 =

e) x1 = 1 2 , x2 = 1 + 2

f) x1 = , x2 =

Pgina 149

1. Representa grficamente los siguientes nmeros complejos y di cules sonreales, cules imaginarios y, de estos, cules son imaginarios puros:

5 3i ; + i ; 5i ; 7; i ; 0; 1 i ; 7; 4i354

12

121211

1111

2 162

1 + 4110

1 4110

5 + 174

5 174

22

32

5 + 174

5 174

33

Unidad 6. Nmeros complejos 2

Reales: 7, 0 y 7

Imaginarios: 5 3i, + i, 5i, i, 1 i, 4i

Imaginarios puros: 5i, i, 4i

Representacin:

2. Obtn las soluciones de las siguientes ecuaciones y represntalas:

a) x2 + 4 = 0 b) x2 + 6x + 10 = 0 c) 3x2 + 27 = 0 d) 3x2 27 = 0

a) x = = = 2i;

x1 = 2i, x2 = 2i

b) x = = =

= = 3 i; x1 = 3 i, x2 = 3 + i

c) x2 = 9 x = = 3i

x1 = 3i, x2 = 3i

9

6 2i2

6 42

6 36 402

4i2

162

335

412

Unidad 6. Nmeros complejos 3

i + i12

54

5 3i

4i

5i

771 i

3i1

3 + i

3 i

3i

3i

2i

2i

d) x2 = 9 x = 3

x1 = 3, x2 = 3

3. Representa grficamente el opuesto y el conjugado de:

a) 3 5i b) 5 + 2i

c) 1 2i d) 2 + 3i

e) 5 f) 0

g) 2i h) 5i

a) Opuesto: 3 + 5i

Conjugado: 3 + 5i

b) Opuesto: 5 2i

Conjugado: 5 2i

c) Opuesto: 1 + 2i

Conjugado: 1 + 2i

Unidad 6. Nmeros complejos 4

3 3

3 + 5i 3 + 5i

3 5i

5 2i

5 + 2i

5 2i

1 2i

1 + 2i 1 + 2i

d) Opuesto: 2 3i

Conjugado: 2 3i

e) Opuesto: 5

Conjugado: 5

f) Opuesto: 0

Conjugado: 0

g) Opuesto: 2i

Conjugado: 2i

h) Opuesto: 5i

Conjugado: 5i

Unidad 6. Nmeros complejos 5

2 + 3i

2 3i 2 3i

55

0

2i

2i

5i

5i

4. Sabemos que i2 = 1. Calcula i3, i4, i5, i6, i20, i21, i22, i23. Da un criteriopara simplificar potencias de i de exponente natural.

i3 = i i4 = 1 i5 = i i6 = 1

i20 = 1 i21 = i i22 = 1 i23 = i

CRITERIO: Dividimos el exponente entre 4 y lo escribimos como sigue:

in = i4c + r = i4c i r = (i4)c i r = 1c i r = 1 i r = i r

Por tanto, in = i r, donde r es el resto de dividir n entre 4.

Pgina 151

1. Efecta las siguientes operaciones y simplifica el resultado:

a) (6 5i) + (2 i) 2(5 + 6i) b) (2 3i) (5 + 4i) + (6 4i)

c) (3 + 2i) (4 2i) d) (2 + 3i) (5 6i)

e) (i + 1) (3 2i) (1 + 3i) f )

g) h)

i ) j )

k) l ) 6 3 (5 + i)m)

a) (6 5i) + (2 i) 2(5 + 6i) = 6 5i + 2 i + 10 12i = 18 18i

b) (2 3i) (5 + 4i) + (6 4i) = 2 3i 5 4i + 3 2i = 9i

c) (3 + 2i) (4 2i) = 12 6i + 8i 4i2 = 12 + 2i + 4 = 16 + 2i

d) (2 + 3i) (5 6i) = 10 12i + 15i 18i2 = 10 + 3i + 18 = 28 + 3i

e) (i + 1) (3 2i) (1 + 3i) = (3i + 2i2 + 3 2i ) (1 + 3i) = (3 2 5i) (1 + 3i) =

= (1 5i) (1 + 3i) = 1 + 3i 5i 15i2 = 1 + 15 2i = 16 2i

f ) = = = = = i

g) = = = = =

= i1310

110

1 13i10

3 13i 49 + 1

3 i 12i + 4i2

9 i2(1 4i) (3 i)(3 + i) (3 i)

1 4i3 + i

20i20

20i16 + 4

8 + 4i + 16i + 8i2

16 4i2(2 + 4i) (4 + 2i)(4 2i) (4 + 2i)

2 + 4i4 2i

12

(3i)2 (1 2i)2 + 2i

25

4 2ii

1 + 5i3 + 4i

5 + i2 i

4 + 4i3 + 5i

1 4i3 + i

2 + 4i4 2i

12

Unidad 6. Nmeros complejos 6

h) = = = =

= = i = i

i) = = = = =

= + i

j) = = = =

= = + i

k) = = = 4i 2 = 2 4i

l) 6 3 (5 + i) = 6 15 + i = 9 + im) = = = =

= = = =

= = + i = + i

2. Obtn polinomios cuyas races sean:

a) 2 + i y 2 i

b) 3i y 3i

c) 1 + 2i y 3 4i

(Observa que solo cuando las dos races son conjugadas, el polinomio tiene coeficientes reales).

a) [x (2 + i)] [x (2 i)] == [(x 2) i] [(x 2) + i] = (x 2)2 ( i )2 == x2 4x + 4 3i2 = x2 4x + 4 + 3 = x2 4x + 7

b) [x (3i)] [x 3i] = [x + 3i] [x 3i] = x2 9i2 = x2 + 9

c) [x (1 + 2i )] [x (3 4i )] = [(x 1) 2i ] [(x 3) + 4i ] =

= (x 1) (x 3) + 4 (x 1) i 2 (x 3) i 8i2 =

= x2 4x + 3 + (4x 4 2x + 6) i + 8 = x2 4x + 11 + (2x + 2) i =

= x2 4x + 11 + 2ix + 2i = x2 + (4 + 2i )x + (11 + 2i )

33333

33

274

94

548

188

18 + 54i8

18 + 54i + 364 + 4

18 + 18i + 36i 36i2

4 4i2(9 + 18i) (2 2i)(2 + 2i) (2 2i)

9 + 18i(2 + 2i)

9 (1 2i)(2 + 2i)

9i2 (1 2i)(2 + 2i)

(3i)2 (1 2i)(2 + 2i)

65

65

25

4i + 2i2

1(4 2i) (i)

i (i)4 2i

i

1125

2325

23 + 11i25

3 + 11i + 209 + 16

3 4i + 15i 20i2

9 16i2(1 + 5i) (3 4i)(3 + 4i) (3 4i)

1 + 5i3 + 4i

35

115

11 + 3i5

10 + 3i 15

10 + 5i 2i + i2

4 + 1(5 + i) (2 + i)(2 i) (2 + i)

5 + i2 i

1617

417

3234

834

8 32i34

12 32i + 209 + 25

12 20i 12i 20i2

9 25i2(4 + 4i) (3 5i)(3 + 5i) (3 5i)

4 + 4i3 + 5i

Unidad 6. Nmeros complejos 7

3. Cunto debe valer x, real, para que (25 xi)2 sea imaginario puro?

(25 xi)2 = 625 + x2i2 50xi = (625 x2) 50xi

Para que sea imaginario puro:

625 x2 = 0 x2 = 625 x = = 25

Hay dos soluciones: x1 = 25, x2 = 25

4. Representa grficamente z1 = 3 + 2i, z2 = 2 + 5i, z1 + z2. Comprueba quez1 + z2 es una diagonal del paralelogramo de lados z1 y z2.

z1 + z2 = 5 + 7i

Pgina 153

1. Escribe en forma polar los siguientes nmeros complejos:

a) 1 + i b) + i c) 1 + i

d) 5 12i e) 3i f) 5

a) 1 + i = 260 b) + i = 230 c) 1 + i = 135

d) 5 12i = 13292 37' e) 3i = 390 f ) 5 = 5

2. Escribe en forma binmica los siguientes nmeros complejos:

a) 5(/6) rad b) 2135 c) 2495

d) 3240 e) 5180 f) 490

a) 5(/6) = 5 (cos + i sen ) = 5 ( + i ) = + ib) 2135 = 2(cos 135 + i sen 135) = 2 ( + i ) = + i222222

52

5 32

12

32

6

6

233

33

625

Unidad 6. Nmeros complejos 8

7i

i

5i

z1 + z2

z1

z2

1 2 3 4 5

c) 2495 = 2135 = + i

d) 3240 = 3(cos 240 + i sen 240) = 3 ( i ) = ie) 5180 = 5

f) 490 = 4i

3. Expresa en forma polar el opuesto y el conjugado del nmero complejo z = r.

Opuesto: z = r180 +

Conjugado: z = r360

4. Escribe en forma binmica y en forma polar el complejo:

z = 8 (cos 30 + i sen 30)

z = 830 = 8 (cos 30 + i sen 30) = 8 ( + i ) = + i = 4 + 4i5. Sean los nmeros complejos z1 = 460 y z2 = 3210.

a) Expresa z1 y z2 en forma binmica.

b)Halla z1 z2 y z2/z1, y pasa los resultados a forma polar.

c) Compara los mdulos y los argumentos de z1 z2 y z2/z1 con los de z1 yz2 e intenta encontrar relaciones entre ellos.

a) z1 = 460 = 4 (cos 60 + i sen 60) = 4 ( + i ) = 2 + 2 iz2 = 3210 = 3 (cos 210 + i sen 210) = 3 ( i ) = i

b) z1 z2 = (2 + 2 i ) ( i ) == 3 3i 9i 3 i2 = 3 12i + 3 = 12i = 12270

= = =

= = = = ( )150

c) z1 z2 = 460 3210 = (4 3)60 + 210 = 12270

= = ( )210 60

= ( )1

34

34

3210460

z2z1

34

63 + 6i16

3 3 + 6i 3 34 + 12

3 3 3i + 9i + 3 3i24 12i2

3 3 3( i) (2 2 3i)2 2(2 + 2 3i) (2 2 3i)

3 3 3( i)2 2(2 + 2 3i)

z2z1

3333

32

3 32

3

32

3 32

12

32

332

12

382

8 32

12

32

3 32

32