Numeros complejos

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  • Mett

    Captulo )Nmeros Complejos

    ) ". . El cuerpo de los complejos Con los nmeros reales en el horizonte vamos a presentar un cuerpo que se

    acostumbra a denotar por y llamar nmeros complejos.

    Definicin 1.

    El cuerpo est formado por todos los pares ordenados de nmeros reales, enste cuerpo se definen las operaciones siguientes:

    Suma a b a b a b+ , - . + - , . Multiplicacin a b a b a b+ , - . +- ,. +. ,-Igualdad

    Como acabamos de definir los nmeros complejos como pares ordenados se tieneque: a b a b+ , - . + - , .

    Nota 1.

    Con estas definiciones es posible verificar los , cuya tareaaxiomas de cuerpodejaremos al lector.

    Ntese que a + , a b El neutro de la suma es el .a b! ! El inverso de la suma es .a b + , El neutro de la multiplicacin es a b" ! El inverso de la multiplicacin es + ,+ , + , # # # #

    Nota 2.

  • Mett

    Las propiedades o teoremas de todo cuerpo, como las que se expusieron para elcaso de los nmeros reales en el captulo anterior, tambin los cumple .

    Notacin

    Al inverso multiplicativo para cada elemento de , lo denotaremos por:D + ,a b [D + , " "a bDefinicin 2.

    Sean D D D D D D " # " # " # definiremos:

    DD D "

    #" D#"

    Definicin 3.

    Dado se llama parte real de a la primera componente del par yD + , D + ,a b a bparte imaginaria a la segunda componente, las que se acostumbran a denotar por:

    , V/ D + M7D ,

    Los complejos de la forma se acostumbran a llamar reales puros ya b+ !simplemente se denotan por es decir . A su vez los de la forma + + ! + ! ,a b a bse llaman imaginarios puros y se denotan por ,3

    Note que si , " 3 ! "a bTambin que 3 ! " ! " ! ! " " ! " " ! " ! "# a b a b a b a b

    ) #. . Representacin grfica. Complejo Conjugado.

    Como se han definido los complejos como pares ordenados, es posiblerepresentarlos grficamente en el plano cartesiano, por tanto el complejo D + ,a best representado por el par ordenado fig. 1a b+ ,

  • Mett

    y

    x

    ( )baz ,=

    a

    b

    o fig. 1

    Definicin 4.

    Sea definimos el producto de un real por un complejo mediante:D + ,a b 5 D 5 + , 5+ 5,a b a bPropiedades 1.

    Sean y entoncesD D 5 : " #

    1. 5 D " 2 5 :D 5: Da b a b" " 3 5 : D 5D :Da b " " " 4 5 D D 5D 5Da b" # " # 5. " D D "

    Demostracin.

    Todas son inmediatas por tanto se dejan propuestas.

    Forma cannica.

    Notemos que para todo complejo se tiene:D B Ca b lo que se justifica por laD B C B " ! C ! " B " C3 B C3 a b a b a b definicin y notacin establecida con anterioridad.

    Por tanto se llama forma cannica de un complejo a:D

    D B C 3 B C

    Con respecto a las operaciones definidas anteriormente, se tienen:

    1. D D + ,3 - .3 + - , . 3" # a b a b 2. se us D D + ,3 - .3 +- ,. +. ,- 3 3 "" # #a b a b 3. 5 D 5 + ,3 5+ 5,3 a 5 "

  • Mett

    Los inversos de la suma y multiplicacin de son:+ ,3

    y + ,3 3+ ,+ , + ,# # # #

    Complejo conjugado.

    Definicin 5.

    Sea D + ,3 D Dse llama complejo conjugado de simblicamente y se definepor D + ,3

    Propiedades 2.

    Sean y D A 5

    1. D D 2. 5D 5 D 3. D A D A 4. DA D A

    5. D DA ADemostracin.

    Son todas sencillas, solo demostraremos dos de ellas.

    Sean luego$ D + ,3 A - .3

    D A + - , . 3 + - , . 3 + ,3 - .3 D Aa b a b 4. DA + ,3 - .3 +- ,. +. ,- 3 +- ,. +. ,- 3a b a b a b +- +.3 ,-3 ,. + ,3 - .3 D Aa ba b) $. . Mdulo.

    Sea D + ,3 D lDlse define el mdulo del complejo simblicamente alnmero real

    lDl + , # #Note que si el complejo es su mdulo coincide con su .real puro valor absoluto

    Propiedades 3.

  • Mett

    1. lDl lDl ! D ! !30, 2. l5Dl l5llDl a 5 3. lDl l Dl lDl 4. lDl D D#

    5. lDAl lDllAl

    6. D lDlA lAl A ! !3 7. l V/ D l lDl l M7 D l lDl 8. lD Al lDl lAl

    Demostracin.

    Solo demostraremos algunas de ellas, dejando el resto para su ejercicio.

    4. D D + ,3 + ,3 + , 3 + , a ba b # # # # # lDl# 6. a bD "A - .3 - . l+- ,. ,- +. 3l - . !+ ,3 # # +- ,. ,- +. + , - ." "- . - .# # # #

    # # # # # #a b a b a ba b + , lDl

    - . lAl # ## #

    8. lD Al D A D A D A D A D D DA AD AA# a b a ba b lDl # V/ D V/A M7D M7A lAl# #a b pero lDl #V/ DA lAl V/ DA lD Al lDllAl# #

    lDl # lDllAl lAl lDl lAl# # #a b luego: lD Al lDl lAl

    Propiedad 4.

    no es un cuerpo ordenado.

    Demostracin.

    Lo demostraremos por contradiccin, supongamos existe que cumpla losaxiomas de cuerpo ordenado.

    Como entonces 3 ! 3 3 a b

  • Mett

    Supngase que (*)3 3 3 3 " " #

    pero lo que se contradice con (*), luego a ba b " " " 3 en forma anloga se prueba que a b 3 Por tanto no es un cuerpo ordenado y solo pueden usarse desigualdades entre

    partes reales o partes imaginarias o mdulos de complejos, pero no entre estos.

    . . Complejos y vectores.) %

    Como se dijo anteriormente un complejo queda representado por un par ordenadoa b+ , en el plano cartesiano pero tambien se acostumbra a representarlo no por unpunto sino por el vector que va desde el origen hasta el punto , introduciendoa b+ ,con ello la representatividad de complejos por medio de vectores geomtricos contodo el potencial que implican tratarlos como tales. fig. 2a b

    Es ms, estos complejos representados as se consideran vectores deslizantes es poreso que cada complejo no tiene solamente un vector que loD + ,3representa. fig. 3a b

    En el plano cartesiano al eje se acostumbra a llamar eje real, eje en el que se\ubica la parte real del complejo , y a su vez al eje se llama eje+ + ,3 ]imaginario y en el que se ubica la parte imaginaria de . , + ,3

    biba+

    a

    iba+

    x

    y y

    xx

    xo o

    b

    a

    fig. 2 fig. 3

    Suma y ponderacin.

  • Mett

    La tpica suma y ponderacin fig. 4 definida entre los vectores geomtricos, sea bdefine naturalmente para los complejos considerados como vectores, con todas lasconsecuencias que llevan estas definiciones .

    zwz+

    zww10,

  • Mett

    + lDl -9= , lDl =/8 D + ,3 lDl -9= 3 =/8 ) ) ) )

    a sta ltima expresin se llama forma trigonomtrica del complejo , qu tambinDse suele denotar por donde D -3= 3 ) 3 lDl -3= -9= 3 =/8) ) )

    El ngulo se acostumbra a llamar "argumento de " y su valor et comprendido) Dentre 0 y # 1

    Tambin de la figura se obtiene la frmula no menos importante, que>1 ,+)nos permite calcular el argumento , note que la ubicacin del argumento segn el)cuadrante es importante, as se tiene:

    Si I cuadrante+ ! , ! ) Si II cuadrante+ ! , ! ) Si III cuadrante+ ! , ! ) Si IV cuadrante+ ! , ! )

    Si Si + ! , ! + ! , ! # # #$) ) )1 1 1

    Si Si + ! , ! ! + ! , ! ) ) 1

    Multiplicacin y Cuociente

    Dados y entoncesD -3= D -3= lD l lD l" " # # " " # #3 ! 3 ! 3 3

    1) D D -3= " # " #3 3 ! "a b 2)

    DD -3= " "

    # #

    33 ! "a b

    Demostracin.

    D D -9= 3 =/8 -9= 3 =/8" # " #3 3 ! ! " " a ba b -9= -9= =/8 =/8 =/8 -9= -9= =/8 33 3 ! " ! " ! " ! "" # -9= 3 =/8 -3= 3 3 ! " ! " 3 3 ! "" # " #a b a b a b

    D -9= 3 =/8 -9= 3 =/8 -9= 3 =/8D -9= 3 =/8 -9= 3 =/8 " " "

    # # # # # #3 ! ! 3 ! ! " "3 " " 3 " "a b a ba ba b a b

    -9= -9= =/8 =/8 =/8 -9= -9= =/8 333 ! " ! " ! " ! ""

    #

    -9= 3 =/8 -3= 3 33 3! " ! " ! "" "

    # #a b a b a b

  • Mett

    Potenciacin.

    Frmula de Moivre.

    Dado entonces D -9= 3 =/8 D -9= 8 3 =/88 8 3 ! ! 3 ! ! 8 8

    Para obtenemos la frmula de es decir3 " Moivre

    -9= 3 =/8 -9= 8 3 =/88! ! ! !8

    Demostracin.

    Por induccin,

    i) Para se tiene lo que es verdadero8 " D -9= 3 =/8 3 ! !

    ii) Sea vlido para , o sea: H.I.8 D -9= 8 3 =/88 8 83 ! ! Por demostrar para o sea qu8 "

    ( T.D -9= 8 " 3 =/8 8 " 8 8+1 +13 ! !

    En efecto, D D D -9= 8 3 =/88 -9= 3 =/8 8 8 8+1 3 ! ! 3 ! !

    -9= 8 -9= =/88 =/8 =/88 -9= -9= 8 =/8 33 ! ! ! ! ! ! ! !8"

    3 ! ! ! !8"-9= 8 =/88 -9= 8 " 3 =/8 8 " 3 ! !8+1 (

    Observacin.

    Si es negativo tambin se cumple la frmula de Moivre, pus8

    Sean , con D -9= 3 =/8 8 7 7 ! !

    D -9= 3 =/8 -9= 3 =/8 8 8 7! ! ! !

    D 8 " "-9= 3 =/8 -9=7 3 =/87! ! ! !7

    Radicacin.

    Dado , D -9= 3 =/8 lDl3 ! ! 3

    entonces a b8 8D -9= 3 =/8 5 ! " # 8 "3 #5 #5 8 81 ! 1 !Demostracin.

    8 D

  • Mett

    cos 3 ! ) < -9= 8 "8 a b 3 ! )=/8 < =/88 #8 a b elevando al cuadrado y sumando se obtiene en resulta3 3# #8 < < " a b8 notemos que estos valores de -9= 8 -9= 8 #5 ) ! ) ! 1 ) )! 1#58

    verifican la ecuacin en consecuencia se tienea b# a b8 8D -9= 3 =/8 5 ! " # 8 "3 #5 #5 8 81 ! 1 !Notacin de Euler.

    La siguiente notacin de un nmero complejo tiene su justificacin en losdesarrollos en serie, tpico que excede las intenciones de ste texto, sin embargodaremos una definicin con el fin de poder ocuparla en los ejercicios que procedan.

    Definicin.

    El complejo se puede expresar comoD -9= 3 =/8 3 ) )

    donde D / / -9= 3 =/83 ) )3 3) )

    " " es la base de los logaritmos naturales./

    Propiedad 5.

    1. / / /3 3 3 ) ) ) )" # " #a b # / / 3 3") ) $ ///

    3 3 "3 #

    " #))

    a b) ) % / / 5 3 #5 3a b) 1 ) & / / 5 3 355) ) Demostracin

    Todas son sencillas de demostrar, solo mostraremos una de ellas el resto quedanpara su ejercitacin.

    1. / / -9= 3 =/8 -9= 3 =/83 3 " " # #) )" # a ba b) ) ) ) -9= -9= =/8 =/8 =/8 -9= -9= =/8 3) ) ) ) ) ) ) )" # " # " # " #

    -9= 3 =/8 /a b a b) ) ) )" # " # 3 a b) )" #

  • Mett

    ) '. . Ejercicios Resueltos

    1. Calcular:

    a) a ba b$ (3 & #3b)

    & %3 "& '3 '" 3 $ #3a b

    Solucin.

    a) a ba b a b$ (3 & #3 "& '3 $&3 "%3 #* #*3 #* " 3# b)

    & %3 " & %3 & '3 # $& '3 '" #& $' '" '" 3 $ #3 3a b a ba b

    %* "!3 3 %( "$3" # $ "'" '" '" '" a b2. Expresar en la forma + ,3

    a) D $ &3 # 3%3 "a ba ba b $

    b) A 3 #" 3 3 3 "a bSolucin.

    a) D $ &3 # 3 %3 "$ &3 # 3 "%3 " "(a ba ba b a b a b a b$ $

    $ &3 # ""3 %3 " * "$3""( a ba ba b a bb)

    A $ 33 # 3 # 3 # 3 # " 3 "" 3 3 3 " " 3 " 3 " 3 " 3 #a b a ba b a b#3. Calcular el mdulo de:

    a) D # $3 " 3& 3a b a ba b% $

    b) A 3 < 3 < $" #3< %

  • Mett

    Solucin.

    a) lDl #' "$l "$ # "$ # #l& 3l #' # "$# $3l l" 3l% $ % $ #

    b) lAl 3 < $" #3< % 3 %3 %< $3 '< 3 " " %< " "% " #3< % l" #3

  • Mett

    de donde resolviendo resultan e B C ( #BC #% B $ C %# #luego D $ %3a b!5 3 / 5 " # 8 "

    #581

    6. Determinar un complejo tal que: D

    lDl l" Dl"lDl

    Solucin.

    Sea de la igualdad dada se obtienen:D B C3

    lDl " B C " "# # # a b lDl l" Dl B C " B C # # # ##a b a b

    De , luego a b # B C D 3" $ " $# # # #7. Demostrar que si es real, entonces D M7 D ! "D a b lDl "Demostracin.

    Sea entonces D B C3 B C3 B C3 B C3D "D" "

    BC3 B C# # a bD B C 3" BD B C B C

    C# # # # para que este complejo sea un real puro se

    debetener C ! C " ! C ! " !CB C B C B C" "

    # # # # # # Si y si C ! M7 D ! " ! a b "B C# # lDl "

    8. Demostrar que a DA

    a) V/ D A V/ D V/ Aa b a b a bb) M7 D A M7 D M7 Aa b a b a bc) V/ DA V/ D V/ A M7 D M7 Aa b a b a b a b a bd) M7 DA V/ D M7 A M7 D V/ Aa b a b a b a b a b

    Demostracin.

    Sean D B C3 A + ,3

    a) V/ D A V/B + C , 3 B + V/ D V/ Aa b a b a b a bb) Se demuestra como a).

  • Mett

    c) V/ DA V/B+ C, C+ B,3 B+ C,a b V/ D V/ A M7 D M7 Aa b a b a b a bd) M7 DA B, C+ V/ D M7 A M7 D V/ Aa b a b a b a b a b

    9. Demostrar que

    V/ V/ "D AD A D A

    Demostracin.

    Por la parte a) del problema anterior se tiene:

    V/ V/ V/ V/" "D A D AD A D A D A D A

    10. Si demuestre quelDl " D A

    D ADA " "Demostracin.

    Recordemos: adems entonceslDl D D lDl lDl D D " "# #

    D A D A D A " "DA " DA D D D A D D lDl "11. Sean complejos cada uno de mdulo 1, tales que D D D D D D !" # $ " # $

    probar que " " "D D D !" # $

    Prueba.

    D D " D D D D D D !"D" " " # $ " # $"anlogamente para y entonces

    ! ! !" " " " " "D D D D D D " # $ " # $

    12. Determinar el lugar geomtrico de un complejo que verifica laD B C3

    condicin l " 3 D " $3 l "a b a bSolucin.

  • Mett

    l " 3 D " $3 l " l " 3 B C3 " $3 l " a b a b a b a b lB C " B C $3l " B C " B C $ " # # #B #C )B %C "! " B %B C #C ! *#

    # # # #

    as el lugara b a b a b a bB # C " & ! B # C " * "# ## # # # geomtrico del complejo es un crculo de centro y radio D # "a b "#13. Determinar la curva que debe recorrer el complejo para que seaD A D "D "

    imaginario puro

    Solucin.

    Sea , entonces:D B C3

    para que este complejo seaA D " B " C3 B C " #C3D " B " C3 B " C

    # #

    # #a bimaginario puro se debe tener que luego debe recorrer unaB C " ! D# #

    circunferencia de centro y radio 1.a b! !14. Sea un complejo fijo y un complejo que recorre la rectaD + ,3 D B C3" #

    C 7B 8 D D D Determinar la curva que recorre el complejo " #

    Solucin.

    Sea D ? @3 D D + ,3 B C3 + ,3 B 7B 83 " #

    ? @3 + B , 7B 83 ? + B @ , 7B 8eliminando entre estas dos ecuaciones, se tiene B @ 7? , 8 7+ a becuacin que nos indica que recorre una recta paralela a la recta D C 7B 8

    15. Sea demuestre que D B C3 lDl # lBl lClDemostracin.

    Como lBl lCl ! lBl lCl # lBCl #lBl lCl lBl lCl# # # # # #

    de donde extrayendo raz cuadrada se tiene .lDl # lBl lCl

  • Mett

    Obsrveseque la igualdad se verifica para C B

    16. Aprovechando las races cbicas de la unidad, factorice en tresB + + $ $

    factores de primer grado.

    Solucin.

    B + B +B B+ + B +B +AB +A $ $ # # # pus

    pero y comoB +AB +A B +A A + A A "# # # # $ $

    A A " ! AA "# #

    17. Si es una raz cbica compleja de la unidad, probar que:A

    a) a b" A A# % b) a ba b" A A " A A %# # c) a b# #A &A (#*# 'Prueba.

    Por ser una raz cbica compleja de 1, satisface: A A " A A " !$ #

    a) a b a b" A A A A A# $% % b) a ba b a ba b" A A " A A #A #A %A %# # # $ c) a b a b# #A &A #" A &A #A &A $A# # ' # # ' #' ' $ A (#*' $ #

    18. Demostrar que si la ecuacin tiene una raz realD + ,3 D - .3 !# a b se verifica . +,. , - !# #

    Solucin.

    Sea la raz real entonces<

    < + ,3 < - .3 ! # a b eliminando < +< - ! ,< . !

  • Mett

    19. Hallar la forma trigonomtrica de los siguientes complejos:

    a) b) $ 3 $ 3c) 17 d) 3 "$e) f$ % 3 #3

    Solucin.

    a) luego 3 ) ) ) 1 1 % # >1 M D # -3= # /"$ ' '

    3 1' b) luego 3 ) ) ) # >1 MM D # -3= # /" & & $ ' '

    3 1 1 &'1 c) luego 3 ) "( + ! , "( D "( -3= "( /1 1# # 3

    1#

    d) luego 3 ) "$ + "$ , ! ! D "$ -3= ! "$ /3!

    e) 3 ) ) ) & + $ , % E1 MZ D & -3= %$

    f) luego 3 ) 1 1 # + ! , # D # -3= # /$ $# #3$#1

    20. Calcular:

    a) b) $ -3= # -3=' # ' -3=$ -3=1 1 # &''1

    1

    Solucin.

    a) a b$ -3= # -3= $ -3= % -3= "# -3= "# -3=' # ' ' '(1 1 1 1 11 1# b)

    $ -3=' -3= # ' ' # $ -3= -3=

    " & " #&''

    1

    1 1 1 1

    21. Hallar

    a) b) c) $ && )3 " $#Solucin.

    a) Sea luego D )3 ) D ) -3= 5 ! " #$# $ #53 ) 1 1 $ $ $#1

    Con lo que, resultan: y D # -3= D # -3= D # -3=" # $# ' '( ""1 1 1

  • Mett

    b) Sea luego de donde seD " " ! D -3= 5 ! " # $ %3 ) & #5&1 obtienen:

    y D -3= ! D -3= D -3= D -3= D -3=" # $ %# % ' )& & & &1 1 1 1

    c) Sea luego D $# $# D $#-3= 5 ! " # $ %3 ) 1 & & #5 &1 1 de donde se obtienen:

    y D #-3= D #-3= D #-3= D #-3= D #-3=" # $ %& & & &$ ( *1 1 1 11

    22. Sea probar que es igual a si es mltiplo deE E # 8" $ 3 " $ 3# #8 8

    $ "y es igual a si es cualquier otro nmero.a b Prueba

    Por el teorema de Moivre, sean:

    D " >1 MM D -3=" $ 3# 3 ) ) )$" $ $# #88 luego 1 1

    A " $ 3# 3 ) ) ) " >1 MMM A -3= $" $ $% %88 1 1luego

    de donde E D A 8 8 -3= -3= # -9=#8 %8 #8$ $ $1 1 1

    .

    Si 8 $5 5 E # -9= #5 # 1

    Si es cualquier otro nmero, puede ser: 8 8 $5 " 8 $5 # 5

    E D A$5" $5"

    -9= #5 3 =/8 #5 -9= %5 3 =/8 %5 # # % %$ $ $ $1 1 1 11 1 1 1

    3 3 "" $ " $# # # #

    Anlogamente, si tambin se recibe 8 $5 # E "

    23. Resolver #" 3 " 3# #

    B B

    Solucin.

    De inmediato a b a b " 3 # -3= " 3 # -3= % %1 1 luego queda -3= -3= # 1 1% %B B -9= B 3 =/8 B -9= B 3 =/8 B # % % % %

    1 1 1 1

  • Mett

    # -9= B # B -9= #5 B )5" 5 % % # %#1 1 11 "

    24. Si Demostrar que D # -9= D # -9= 8" "D D! !8

    8

    Demostracin.

    Como resolviendo esta ecuacinD # -9= D # -9= D " !"D#! !

    obtenemos D -9= 3 =/8 ! !

    luego D -9= 8 3 =/88 D -9= 8 3 =/888 8! ! ! !"D 8

    de donde finalmente D # -9= 8"D8

    8 !

    25. Si son las races de demostrar que:: ; D # D # !#

    [ donde "

    : ; B : B ; =/88 -9=/- -9>1 B "a b a b8 8 89 9 9Demostracin.

    Resolviendo D # D # ! : " 3 ; " 3# obtenemos por otra parte as resultaB -9>1 "9

    [ " "

    : ; #3B : B ; -9>1 3 -9>1 3 a b a b8 8 8 89 9 " -9= 3=/8 -9= 3=/8#3 =/8 =/8

    9 9 9 99 9

    8 8

    -9= 8 3 =/88 -9= 8 3 =/88 "#3 =/889 9 9 9 9

    =/88 -9=/-9 98

    26. Si es un entero positivo , demostrar que:8

    a b a b" 3 " 3 # -9= 8%8 8 "8# 1Demostracin.

    Como luegoa b a b " 3 # -3= " 3 # -3= 1 1% %

  • Mett

    a b a b" 3 " 3 # -9= 3 =/8 -9= 3 =/8 8 8 8 8% % % %8 8 8# 1 1 1 1 # # -9= # -9=8 8% %

    8 8# #

    1 1"

    27. Demostrar que: =/8 ( (=/8 &' =/8 ""# =/8 '% =/8! ! ! ! !$ & (

    Demostracin.

    Como y por otra parte,-3= -3= ( -9= ( 3 =/8( " ! ! ! !( a b-3= -9= -9= =/8 3 -9= =/8 3 ! ! ! ! ! !( ( ' & # #( ( (! " # -9= =/8 3 -9= =/8 3 -9= =/8 3 ( ( ($ % &% $ $ $ % % # & &! ! ! ! ! ! -9= =/8 3 =/8 3 ( (' (' ' ( (! ! !

    Por igualando partes imaginarias entre si, en este caso obtenemosa b" =/8 ( ! ( ( ( (" $ & (' % $ # & (-9= =/8 -9= =/8 -9= =/8 =/8! ! ! ! ! ! !

    simplificando esta expresin y recordando que se recibe-9= " =/8# #! !=/8 ( (=/8 &' =/8 ""# =/8 '% =/8! ! ! ! !$ & (

    28. Encontrar la parte real, la parte imaginaria y el mdulo de

    D " -9= 3 =/8" -9= 3 =/89 9) )

    Solucin.

    Ocupando las frmulas " -9= # -9= =/8 # =/8 -9=# # #! !! ! !#

    resulta: D # -9= 3# =/8 -9= -9= -9= 3=/8 # -9= 3# =/8 -9= -9= -9= 3=/8

    ## # # # # #

    ## # # # # #

    9 9 9 9 9 9

    ) ) ) ) ) )

    luego -3= -9= -3= -3= -9=-9= -3= -3= -9=

    #

    9 9 9

    ) ) ) )

    )# # # #

    # # # #

    9 )

    y lDl V/ D -9= M7D =/8-9= -9= -9=-9= -9= -9=

    # #

    9 9 9

    ) ) )# # #

    # # #

    9 ) 9 )

    29. Dado + 3 , " 3 $#8 88

  • Mett

    Demuestre que + , + , $"#8" 8 8 8"

    Demostracin.

    + 3 , -3= -3= + -9= , =/88 8 8 8" 3 $# $ $ $ $8 8 8 8 8 1 1 1 1

    por tanto + , + , -9= =/8 -9= =/88 " 8 8 8 "$ $ $ $8" 8 8 8"1 1 1 1

    =/8 =/8 $8 8 " "$ $ $ #1 1 1

    30. Expresar en la forma la suma+ ,3

    W " " " "" 3 " 3 " 3a b a b# #)Solucin.

    Observe que los trminos de la suma forman una as:T K

    W " " 3 "" 3 " "" 3 " " 3a ba b a b a b#*" #)

    Ahora, luego en a b a b" 3 # -3= # -3= ( # "%#) #) "% "%1 1W " # " 3 " # " 3"% "%

    31. Expresar en la forma y probar que $

    # -9= 3 =/8 + ,3 lDl %V/ D $) )#

    Solucin.$ # -9= 3 =/8 ' $ -9= $ =/8

    # -9= 3 =/8 # -9= 3 =/8 & % -9= & % -9= 3) ) ) ) ) )) ) ) )

    que es de la forma , ahora+ ,3

    lDl "' $ -9= $ =/8 *& % -9= & % -9= & % -9=# # #) )

    ) ) ) a bpor otra parte

    %V/ D $ % $ #' $ -9= *& % -9= & % -9=)) ) a b

    finalmente por y se tiene: a b a b" # lDl %V/ D $#32. Pruebe que es divisible por si y solo sia bB " B " B B "8 8 #

    8 $ impar no mltiplo de

  • Mett

    Prueba.Sea las races de deben satisfacer a : B B " B " B B " : Ba b a b a b8 8 #o sea y asB 3 B 3" " "# # # #

    $ $ #

    : B 3 3 "a b " " "# # # #$ $8 8 ocupando la forma trigonomtrica: B -9= 3 =/8 -9= 3 =/8 "a b " 8 8 #8 #8$ $ $ $1 1 1 1: B -9= -9= " =/8 =/8 3a b" 8 #8 8 #8$ $ $ $1 1 1 1Sea y con para se tiene8 $5 8 $5 " 8 $5 # 5 8 $5

    : B -9= 5 -9= #5 " =/8 5 =/8 #5 3a b" 1 1 1 1: B " " " ! 8 $5a b a b" 5 luego debe ser Sea 8 $5 ": B -9= 5 -9= #5 " =/8 5 =/8#5 3a b" $ $ $ $# #1 1 1 11 1 1 1: B " -9= -9= " " =/8 =/8 3a b a b a b" 5 5$ $ $ $# #1 1 1 1Si par impar no mltiplo de queda5 8 $

    : B " !a b" " "# # # #$ $ Anlogamente resulta para como tambin para la raz 8 $5 # B #

    33. Demostrar que uniendo los complejos y con el origen se forma un nguloD Arecto si y solo si

    es imaginario puro DA D A D A !

    Demostracin.a bfig. 7a b D -3= A -3=#Sea 9 9 3 9 3 91" # " " # #D DA # A -3= 3

    3 1 33 39 9 9 9" "

    # #" # " #como imaginario puroa b

    O bien,D 3 A D 3 A D A D A 3 A A 3 AA !3 3 3 33 3 3 3

    " " " "# # # # luego

    y

    x

    zw

    o

    1212

  • Mett

    fig. 7a b , 3 D A D A !DA Por hiptesis sean por definicinDA # -3= , 3 -9= !

    3 3 13 39 9 9 9 9 9" "

    # #" # " # " # tambin

    observe que: D A D A ! # -9= ! 3 3 9 9 9 9" # " # " # #1

    34. Si es una raz cbica compleja de la unidad, probar que los puntosA

    D " A D A A D A "" # $# #

    son los vrtices de un tringulo equiltero

    Prueba.Si es una raz cbica compleja de la unidad entonces luegoA A -3= #$

    1

    D A A " A A D -3=# "# #$a b 1D A " A A A A A D -3=$ ## # $ # #$a b 1Note que y tienen el mismo mdulo que es y que es rotado enD D D $ D D" # $ # "# #$ $$ # " # $1 1 y es rotado en , por tanto y son los vrtices de unD D D D D

    tringulo equiltero

    35. Sea una raz quinta compleja de la unidad y sea ! ! ! ! !B B " #% # $Calcular Dedzcase de ello que y son races de unaB B B B B B" # " # "# # # # # ecuacin de cuarto grado con coeficientes enteros.

    Solucin.! ! ! ! ! ! !& % $ # " " " ! a ba b pero 1! ! ! ! ! ! ! ! !% $ # # # & ) # $" " ! B # #ahora y tambinB # B B % " % " ## % # # % $ #! ! ! ! ! !de donde y B B &" ## #

    Por otra parte, si si +D ,D - ! D D D D D B# #" # " #, -+ +entonces la ecuacin buscada resulta ser B &B & !% #

    36. Probar que el producto de las races de la ecuacin es 8 B + " + + !8 8"a bPrueba.

    B + + -3= B 5 ! " # 8 "#58 8 8 1 5

    el producto de estas races ser:

  • Mett

    0 a b "8 8 8 8+ -3= + -3= + -3= + -3= + -3= # % # 8 " #58 8 8 81 1 1 15!

    8"

    + -3= + " + " + "1!5!

    8"#58 #8 #

    8" 8a b a b a ba b 8" 8"37. Calcular la suma

    W =/8 585!

    885

    ! a b! "Solucin.

    Sea G -9= 585!

    885

    ! a b! "G 3W -9= 5 3 =/8 5 /8 8

    5! 5!

    8 88 85 5

    3 5! ! a b a b! " ! " a b! " / / / " / "3 35 3 3

    5!

    885

    8! " ! "! a bPor otra parte a b" / " -9= 3 =/8 # -9= 3 #=/8 -9=3 #8 8 # # # 8" " " "" " # -9= -9= 3 =/8 # -9= / #8 8 8 8 38# # # #

    8" " " " a b"#Ahora, remplazando en se tienea b a b# "G 3W # -9= / # -9= -9= 8 3 =/8 8 8 8 8 8 3 8 8 8# # # #

    " " " "! "# ! !luego, W # -9= =/8 88 8 8 # #

    " " !)(. Ejercicios Propuestos

    1. Exprese en la forma los complejos siguientes:+ ,3

    a) b) a b% $3 "& $3#c) d)

    $ #3 # $'3 ( #'3$ #3 ' )3 $ %3

    e) [ f) " 3

    # %+, #3 + , a b% # #

    Respuesta.

  • Mett

    a) b) c) d) 8 e) ( #%3 3 3 "& $ & "#$% $% "$ "$f) + , + , 3a b

    2. Resolver para y complejos el sistemaD A

    a b" 3 D 3A # 3 a b a b# 3 D # 3 A # 3

    Respuesta.

    D ' *3 A "' ""3" ""$ "$a b a b3. Encontrar e reales tales que:B C

    " #

    B 3C B 3C " 3

    Respuesta.B !$ C !*

    4. Simplifique las expresiones siguientes:

    a) a b a b+ ,3 + ,3# # b) a b a b" +3 " +3% % c)

    + ,3 + ,3- .3 - .3

    Respuesta.

    a) b) c) # + , # "#+ #+ # +- ,.- .a b a b# # # % # #5. Si es una raz cbica compleja de la unidad, demostrar:A

    a) a ba ba ba b" A " A " A " A *# % & b)

    " A A $B " B A B A B "

    #

    # $

    6. Si es una raz sptima de la unidad distinta de 1, demostrar:!

    ! ! !! ! !" " " ## % '

    # $

    7. Demostrar que la suma de las races cbicas de es nula.D #$ " 3 $ 8. Demuestre que

  • Mett

    a b a b " 3 " $ 3 -9= 3 =/8 # # -3= 9 9 9("#110. Demuestre que

    [ $ " $ " 3 # '! *!11. Calcule

    a) a b" 3 8 )8 b) a b" -9= =/8 3 8 9 9 8c)

    " $ 3" 3

    "!)

    Respuesta.

    a) b) c)# # -9= / #%8 8 8 3 &%#9 8#

    9

    12. Resolver a) D # " #3 D "" #3 !# a b b) a b a b" 3 D ( "$ 3 D # '! 3 !# c) $ D D 3 !#

    Respuesta.

    a) b) c)# 3 % $3 ( #3 $ &3 3 3$ " $ "# # ' #

    13. Calcular las races cuadradas de los siguientes nmeros complejos:

    a) b) D " % $ 3 %' "% $ 3 Respuesta.

    a) b) # $ 3 ( $ 3 14. Precisar donde se encuentran las imgenes de los complejos tales que:D

    a) b) lD 3l " lDl D # 3

    Respuesta. a) Puntos interiores y en la frontera de la circunferencia de centro y a b! " < " b) $% "

    15. Hallar el lugar geomtrico de la imagen del complejo que verifica:D

    a) b) lDl # lD "l lD "l # lD "l

    Respuesta.

  • Mett

    a) Circunferencia de centro y radio %$ ! #a) Puntos exteriores y en la frontera de la circunferencia de centro y !&$< "

    16. Si demuestre quelD l lD l lD l "" # 8

    l D D D l " " "D D D" # 8 " # 8

    17. Determinar las partes real e imaginaria de

    D " $ 3 " $ 3 8 $8 $8 Respuesta.

    V/ D # $8" M7 D !

    18. Simplifique

    a) b) " 3 >1 " =/8 3 -9=" 3 >1 " =/8 3 =/8! ) )! ) )8 8Respuesta.

    a) b) -9= 8 3 =/88! ! -9= 8 3 =/88 1 1# #) )19. Determine los valores que toma la expresin E " 3 " 3 " "$ $8 8 segn sea el valor de Deduzca de lo anterior que, si es mltiplo de8 8 8a b

    6,

    a b8 8 8 8" $ $ $ & 8"" " " " !# 8#20. Los complejos y son las races de la ecuacinD D" #

    D ) &3 D ) #' 3 !# a b Determine un complejo tal que el tringulo formado por y seaD D D D$ " # $

    equiltero.

    Respuesta.

    ) # $ % $ 3 ) # $ % $ 3 21. Si y Encontrar tres complejos? # $ 3 ? " 3 ? " # 3 D D" # $ " #

    y queD$ verifiquen el sistema ? D D D" " # $ ? D A D A D# " " # # $ ? D A D A D$ " # # " $

  • Mett

    Donde y son las races cbicas de la unidad en orden creciente de sus" A A" #argumentos.

    Respuesta.

    D " 3 D % $ $ # $ ( 3" ## " "$ ' 'a b D % $ $ # $ ( 3$ " "' '

    22. Si y donde es una raz cbicaB + , C +A ,A D +A ,A A# #compleja de la unidad, demostrar que:

    a) B C D + ,$ $

    b) B C D ' +,# # #

    23. Calcular en que es una de las races cbicas complejasa b a b" A " A A8 # 8de la unidad.

    Respuesta. #-9= 8 1$

    24. Determinar y de manera que sea una raz de la ecuacin+ , D " 3

    D +D , !& $

    Respuesta.+ # , )

    25. Demostrar que el nmero satisface cada una de las ecuacionesD " $ 3#

    siguientes: a) $ "D" D "

    b) D D D D D ") ( ' #

    26. Demostrar que si es real o bien imaginario puro.D D D# #

    27. Calcular:

    a) Las races quintas de $#

    b) Las races cuadradas de 3

    Respuesta.

    a) b) D # / 5 ! " # $ % D / 5 ! "5 53 5 3a b#5"

    & %1 11

    28. Resolver las siguientes ecuaciones:

    a D D " !% %a b

  • Mett

    b) D " 3 !'

    Respuesta.

    a) D / 5 " # $" "! !5 55 31#

    b) D # / 5 ! " # $ % &"# %a b)5" 3129. Dado el complejo calcular D =/8 =/8 -9= -9= 3 D a b! " ! " #!Respuesta.

    # =/8 -3= "! #! #!#! " a b! "

    30 Resolver las siguientes ecuaciones:

    a D 3 D 3 !a b a b8 8 b) " " D " " D# #8 8 c) D D "8 8a bRespuesta.

    a) D / 5 " # 8 " "3 "!! !5

    55

    3#581

    b) D / 5 ! " # 8 " #" 5 3!5 #58! 1 c) D / 5 " # 8 """ 5

    3!5

    #58! 1

    31. Demostrar que si y solo si y dibuje los puntos delV/ D ! lD "l lD "lplano complejo que satisfacen esta relacin .

    32. Demostrar que la ecuacin tiene cuatro races imaginarias, dos$# D D "& &a bde las cuales estn en el segundo cuadrante y dos en el tercero. Demostrar tambienque todas las races estn sobre la circunferencia B C " #$ $# # #

    33. Demostrar que:

    a) -9= & -9= "! -9= =/8 & -9= =/8) ) ) ) ) )& $ # %

    b) -9= =/8 -9= ) #) -9= % $&) ) "'%) ) ) )

    34. Si es mltiplo demostrar que8 %

    " #3 $3 83 " 3# 8" 8# a b35. Para se tieneD "

  • Mett

    " D D D " D" D# 8

    8"

    aproveche esta igualdad para demostrar

    " a b5!

    8#

    #-9= 5 "#

    =/8 #8 "# =/8

    ))

    )

    " a b5!

    8#

    #=/8 5 -9>1 ! #"# #

    -9= #8 "# =/8

    ) ) 1))

    )

    36. Demostrar que si los puntos y son los vrtices de un tringulo equiltero,D D D" # $entonces D D D D D D D D D" " "# # # " # # $ $ "

    37. Sean y son los vrtices de un tringulo issceles, siendo D D D " # $ #" # 1 !

    Demostrar que: D D % D D D D =/8$ # $ " " ## # #a ba b !38. Sea el complejo con real, probar que cuando vara describeD E " > 3 > > Da b

    una recta que pasa por y perpendicular a E SE

    39. Probar que la ecuacin con real, representa a una recta queD D D D 5 ! 5! !es perpendicular a la direccin D !

    40. Los complejos variables y verifican siempre DeterminarD A A D + + # el lugar geomtrico de cuando recorre:A D

    i) La circunferencia B C "# #

    ii) La recta C B

    41. Probar que una circunferencia de centro y radio se puede expresar por-