Numeros complejos

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1. NMEROS COMPLEJOS SERGIO ANDRS CORONADO YEISON JAVIER JIMNEZ KEREN YIRETH SNCHEZ 2. DEFINICIN Este conjunto son una extensin de los nmeros reales y forman el mnimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. Este conjunto se designa como C siendo R el conjunto de los reales se cumple que R pertenece C. Este conjunto incluye las races de polinomios; y todo numero complejo puede representarse como la suma de un numero real y un numero imaginario, o en forma polar. Definiremos cada complejo Z como un par ordenado de nmeros reales (a, b) o (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones: Suma: (a, b) + (c, d)= (a + c, b + d) Producto por escalar: r(a, b)= (ra, rb) Multiplicacin: (a, b)*(c, d)= (ac bd, ad + bc) Igualdad: (a, b) = (c, d) < > a=c ^b=d 3. ORIGEN -El matemtico italiano Girolamo Cardano (1501- 1576) fue el primero en emplear este conjunto de nmeros para resolver ecuaciones cbicas. -El trmino nmero complejo fue introducido por el matemtico alemn Carl Friedrich Gauss (1777-1855), cuyo trabajo fue de importancia bsica en el lgebra, teora de los nmeros, ecuaciones diferenciales, geometra diferencial, (); tambin abri el camino para el uso general y sistemtico de los nmeros complejos. 4. UNIDAD IMAGINARIA Un numero imaginario puede describirse como el producto de un numero real por la unidad imaginaria i, en donde la letra i denota : i=-1 Ao 1777: cuando Leonhard Euler le dio a -1 el nombre de i, por imaginario, dando a entender que no tenia una existencia real. 5. OPERACIONES CON NMEROS IMAGINARIOS Vale aclarar que cualquier operacin con imaginarios se puede escribir como ib donde b es un numero real e i es una unidad imaginaria, con la propiedad i^2= -1. Por lo tanto: (bi)^2. Ejemplos: (5+3i)+(2+6i) = (5+2)+(3i+6i) = 7+9i (5-2i)-(2+6i) = (5-2)+(-2i-6i) = 3-8i (3+2i)(6+7i) = 18+21i+12i+14i = (18- 14)+(21+12)i = 4+33i 6. NMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR Estos constan de dos componentes: mdulo y argumento. Mdulo: es el mdulo de un vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Z= a+bi ; r/z/= a^2+b^2. Argumento: es el ngulo que forma el vector con el eje real 7. FORMA TRIGONOMTRICA A + bi = ra = r (cos a + i sen a) 8. REPRESENTACIN DE NMEROS COMPLEJOS Los nmeros complejos se representan en unos ejes cartesianos: Eje x > eje real Eje y > eje imaginario El numero complejo a+ bi se representa: Por el punto (a, b), que se llama sufijo. Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b). 9. REPRESENTACION DE NMEROS COMPLEJOS 10. EJERCICIOS x^2+11=2 x^2=2-11 x^2=-9 x=-9 x=3i