Numeros complejos

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es una tareita

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  • Nmeros complejos o imaginarios Unidad imaginaria

    Se l lama as a l nmero y se designa por la let ra i .

    Nmeros imaginarios

    Un nmero imaginario se denota por b i , donde :

    b es un nmero real

    i es la unidad imaginar ia

    Con los nmeros imaginarios podemos calcular races con ndice par y radicando negat ivo.

    x2 + 9 = 0

  • Potencias de la unidad imaginaria

    i0 = 1

    i1 = i

    i2 = 1

    i3 = i

    i4 = 1

    Los valores se repiten de cuatro en cuatro , por eso, para saber cunto vale una determinada potencia de i , se divide e l exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

    i2 2

    i2 2 = ( i4 )5 i2 = 1

    i2 7 = i

    Nmeros complejos en forma binmica Al nmero a + b i le l lamamos nmero complejo en forma binmica .

    E l nmero a se l lama parte real del nmero complejo .

    E l nmero b se l lama parte imaginaria del nmero complejo .

    S i b = 0 el nmero complejo se reduce a un nmero real ya que a + 0 i = a.

  • Si a = 0 el nmero complejo se reduce a bi , y se dice que es un nmero imaginario puro .

    E l conjunto de todos nmeros complejos se designa por .

    Los nmeros complejos a + b i y a b i se l laman opuestos .

    Los nmeros complejos z = a + b i y z = a b i se l laman conjugados .

    Dos nmeros complejos son iguales cuando t ienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.

    Representacin grfica de nmeros complejos Los nmeros complejos se representan en unos ejes car tesianos. El

    eje X se l lama eje real y e l Y , eje imaginario . El nmero complejo a + b i se representa:

    1Por el punto (a,b) , que se l lama su afi jo ,

    z

  • 2 Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b) .

    Los af i jos de los nmeros reales se s i tan sobre el e je real , X . Y los imaginarios sobre el e je imaginar io, Y .

  • Operaciones de nmeros complejos en la forma binmica

    Suma y diferencia de nmeros complejos

    La suma y di ferencia de nmeros complejos se real iza sumando y restando partes reales entre s y partes imaginarias entre s .

    ( a + b i ) + (c + d i ) = (a + c) + (b + d) i

    ( a + b i ) (c + d i ) = (a c) + (b d) i

    ( 5 + 2 i ) + ( 8 + 3 i ) (4 2 i ) =

    = (5 8 4) + (2 + 3 + 2) i = 7 + 7 i

    Multiplicacin de nmeros complejos

    El producto de los nmeros complejos se real iza apl icando la propiedad distributiva de l producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = 1 .

    ( a + b i ) (c + d i ) = (ac bd) + (ad + bc) i

    ( 5 + 2 i ) ( 2 3 i ) =

    =10 15 i + 4 i 6 i2 = 10 11 i + 6 = 16 11 i

  • Divisin de nmeros complejos

    El cociente de nmeros complejos se hace racional izando el denominador ; esto es, mul t ip l icando numerador y denominador por e l conjugado de ste.

    Nmeros complejos en forma polar

    Mdulo de un nmero complejo

    El mdulo de un nmero complejo es el mdulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su af i jo . Se designa por |z | .

  • Argumento de un nmero complejo

    El argumento de un nmero complejo es el ngulo que forma el vector con el eje real . Se designa por arg(z) .

    .

    Expresin de un nmero complejo en forma polar.

    z = r

    |z | = r es el mdulo .

    arg(z) = es el argumento .

    Ejemplos

    Pasar a la forma polar :

    z = 26 0

  • z = 21 2 0

    z = 22 4 0

    z = 23 0 0

    z = 2

  • z = 20

    z = 2

    z = 21 8 0

    z = 2 i

    z = 29 0

    z = 2 i

    z = 22 7 0

  • Pasar a la forma binmica :

    z = 21 2 0

    Para pasar de la forma polar a la binmica, tenemos que pasar en pr imer lugar a la forma tr igonomtrica :

    r = r (cos + i sen )

    z = 2 (cos 120 + i sen 120)

    z =10 = 1

    z =11 8 0 = 1

    z =19 0 = i

    z =12 7 0 = i

  • Nmeros complejos iguales, conjugados, opuestos e inversos

    Nmeros complejos iguales

    Dos nmeros complejos son iguales s i t ienen el mismo mdulo y e l mismo argumento .

    Nmeros complejos conjugados

    Dos nmeros complejos son conjugados s i t ienen el mismo mdulo y opuestos sus argumentos .

    Nmeros complejos opuestos

    Dos nmeros complejos son opuestos s i t ienen el mismo mdulo y sus argumentos se diferencian en radianes .

  • Nmeros complejos inversos

    El inverso de un nmero complejo no nulo, t iene por mdulo el inverso del mdulo y por argumento su opuesto .

    Multiplicacin de complejos en forma polar

    La multipl icacin de dos nmeros complejos es ot ro nmero complejo ta l que:

    Su mdulo es el producto de los mdulos.

    Su argumento es la suma de los argumentos.

    64 5 31 5 = 186 0

  • Producto por un complejo de mdulo 1

    Al mult ipl icar un nmero complejo z = r por 1 se gira z un ngulo alrededor del origen.

    r 1 = r +

    Divisin de complejos en forma polar

    La divisin de dos nmeros complejos es ot ro nmero complejo ta l que:

    Su mdulo es el cociente de los mdulos.

    Su argumento es la di ferencia de los argumentos.

    64 5 : 31 5 = 23 0

  • Potencia de nmero complejo

    La potencia ensima de nmero complejo es ot ro nmero complejo ta l que:

    Su mdulo es la potencia n-sima del mdulo.

    Su argumento es n veces el argumento dado.

    (23 0 )4 = 161 2 0

    Nmeros complejos en forma trigonomtrica a + b i = r = r (cos + i sen )

    Binmica z = a + b i

    Po lar z = r

    t r igonomtr ica z = r (cos + i sen )

  • Pasar a la forma polar y tr igonomtrica :

    z = 26 0

    z = 2 (cos 60 + i sen 60)

    z = 21 2 0

    z = 2 (cos 120 + i sen 120)

    z = 22 4 0

  • z = 2 (cos 240 + i sen 240)

    z = 23 0 0

    z = 2 (cos 300 + i sen 300)

    z = 2

    z = 20

    z = 2 (cos 0 + i sen 0)

    z = 2

    z = 21 8 0

  • z = 2 (cos 180 + i sen 180)

    z = 2 i

    z = 29 0

    z = 2 (cos 180 + i sen 180)

    z = 2 i

    z = 22 7 0

    z = 2 (cos 270 + i sen 270)

    Escr ibe en forma binmica:

    z = 21 2 0

    z = 2 (cos 120 + i sen 120)

  • z =10 = 1

    z =11 8 0 = 1

    z =19 0 = i

    z =12 7 0 = i

    Frmula de Moivre

    Raz de nmeros complejos

    La raz ensima de nmero complejo es ot ro nmero complejo ta l que:

    Su mdulo es la en raz ensima del mdulo.

    Su argumento es:

    k = 0,1 ,2 ,3, (n-1)

  • Coordenadas cartesianas y polares Conversin de coordenadas polares a cartesianas

    x = r cos

    y = r sen

    Ejemplos

    21 2 0

    10 = (1, 0)

    11 8 0 = (1, 0)

    19 0 = (0, 1)

    12 7 0 = (0, 1)

  • Conversin de coordenadas cartesianas a polares

    Ejemplos

    26 0

    21 2 0

  • 22 4 0

    23 0 0

    (2, 0)

    20

    (2, 0)

    21 8 0

  • (0, 2)

    29 0

    (0, 2 )

    22 7 0