numeros complejos

5/10/2018 numeros complejos - slidepdf.com

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Unidad 1. Números complejos.

Los números complejos aparecen en el horizonte de las matemáticas con la introducción de los númerosimaginarios.

Un numero imaginario representa una idea abstracta pero muy precisa, ¿qué numero al ser multiplicado por si

mismo es igual a 1?, solo puede concebirse con la ayuda del imaginario mas conocido, el que Euler representocon el símbolo 1 que todavía se emplea.

X2+1=0 x=±* i 2

X2=−1 x=± i

X=±*−1 x1= i

X2=−I No. imaginario

l2=−1 No. De Euler

i. i =−1

X2+16=0

X2+−16

X=±*−16

X=±*(−1)(16)

X=±*16 i 2

Forma binomica.

Una vez aceptada la existencia de i como numero tal que i+ i=−1, un numero imaginario queda definido comotodo aquel de la forma b i donde b es cualquier numero real. Ejemplo:

5i, 1/5 i, *2 i, 9 i, 3/4 i, etc.

Al resolver:

X2+100=0 X2=100 * X2=±*−100

X2=± *100(−1) x=± *100 i x=±10 i

X1=10 i x2=−10 i Este es el numero imaginario.

Por otra parte:

X2+4+13=0

1



X2+4x+4=−13+4

X2+4x+4=−9 −−−−− (x+2)2=−9

*(x+2) 2=± *−9 −−−−− x+2=± *9(−1)

x+2=± *9 i 2 −−−−−− x+2=±3 i

x=−2+−3 i −−−−−− x1=−2+3 i Esto es un numero

x2=−2−3 i complejo.

La combinación de un numero real con uno imaginario se llama numero complejo, y se representa con la letraC.

C= 2/2=a+b i,a, bER, i 2=−1

Unidad 1. Números complejos.

Definición•

Operaciones fundamentales en números complejos.•

Evaluación a potencia y extracción de la raíz del numero complejo.•

Función exponencial con exponente complejo y sus propiedades.•

−8+ i

−1/4+3 i

a+b forma binomica

*5−1/4 i...

Adición y multiplicación con números complejos.

La adición y la multiplicación de números complejos se definen en términos de la adición y multiplicación denúmeros reales, de la forma siguiente:

Sean z1=a+b i

. z2=c+d i

dos números complejos donde, a, b, c, d, R

el numero z1+z2=(a+c)+(b+d) i

el numero z1 z2=(ac−bd)+(ad−bc) i

z1=−8+5 i

z2=10−7 i

2



z1+ z2=(−8+10)+(5−7) i= 2−2 i

z1z2=[(−8)(10)−(5)(−7)]+[(−8)(−7)+(5)(10)] i

z1z2=−45+106 i

z1=−1/2+2/3 i

z2=3/5+9 i

resolver:

z1+ z2•

z1 z2•

z1+ z2= (−1/2+3/5)+(2/3 i+9 i)

z1+ z2= (516/10)+(2127/3) i=11/10+29/3 i

z1 z2= −3/10+6/15

−9/2 i+18/3 i 2

−3/10+123/30 i+18/3(−1)= −184/30+123/30 i= 63/10+41/10 i

Tarea 1.1

Si Resolver

z1=−10+11 i a) (z1+z2)(z1+z3)

z2=6−13 i b) (z1 z2)+( z1 z3)

z3=1/4−2/5 i c) z2 +z3

d) z2 z3

a) (z1+z2)(z1+z3)

z1 +z2= (−10+6)+(11−13) i=−4−2 i

z1 +z3=(−10+1/4)+(11−2/5) i=−39/4+53/5 i

(z1 +z2)( z1 +z3)=

−4−2 i

−39/4+53/5 i

156/4+78/4 i

−212/5 i−106/5 i2

3



156/4−458/20 i−106/5(−1)=156/4+106/5−458/20 i=602/10−229/10 i

b) (z1 z2)+( z1 z3)

z1 z2=

−10+11 i

6−13 i

−60+66 i

+130 i−143 i2

−60+196 i−143(−1)=60+143+196 i=83+196 i

z1 z3=

−10+11 i

¼−2/5 i

−10/4+11/4 i

+20/5 i−22/5 i2

−10/4+135/20 i−22/5(−1)=−10/4+22/5+135/20 i=38/20+135/20 i

(z1 z2)+( z1 z3)=

(83+38/20)+(196+135/20) i=1698/20+4055/20 i=849/10+811/4 ic) z2 +z3=(6+1/4)+(−13−2/5) i=25/4−67/5 i

d) z2 z3=

6−13 i

¼−2/5 i

6/4−13/4 i

−12/5+26/5 i2

6/4−113/20 i+20/5(−1)=6/4−26/5−113/20 i=−74/20−113/20 i

Propiedades

z1, z2, z3, EC que pertenezcan a los numeros complejos.

a) z1 +z2 EC Propiedad de cerradura

4



z1 z2

b) z1(z2 +z3)=( z1+ z2)+ z3 Propiedad asociativa

z1 (z2 z3)=( z1 z2) z3

c) z1 +z2= z2 +z1 Propiedad conmutativa

z1 z2 =z2 z1

d) z1+(0+0 i)= z1 Elemento neutro

z1(1+0 i)= z1

e) " − z1 EC tal que z1 +(−z1)=0+0 i Propiedad distributiva

si z1"0+0 " z1−1 EC tal que z1z1−1=1+0i

Conjugado de un numero complejo.

Sea z=a+b un numero complejo, el conjugado de z que representaremos con z=a−b i.

Z=−8−10 i z2=1/3−3/5 i

Z=−8+10 i z2=1/3+3/5 i

Sustraccion y division de numeros complejos.

La sustracción y la división en C se definen a partir de adicion y multiplicación en C respectivamente, esdecir.

z1=a+b i

z2=c+d i

dos numeros complejos de a, b, c, d, pertenecen a los reales.

El numero z1− z2 se define como z1− z2= z1+(− z2).•

Si z2€+0i el numero z1/z2 se define como sigue, z1/z2=z1z2−1•

Formulas de uso practico.

−(c+di)=(−c)+(−d) i•

(c+di)−1=(c/c2+d2)+(−a/c2+d2) i•

(a+bi)/(c+di)=(a+bi)[(c/c2+d2)−(−d/c2d2)]•

(a+bi)/(c+di)=[(ac+bd)/(c2+d2)]+[(bc−ad)/(c2+d2)] i•

Sea:

z1=1+8i

z2=2+i

5



Resolver :

z2 − z1•

z1/z2•

(1−2)−(8−1) i=−1−7i•

(1+8i)/(2+i)=[(1)(2)+(8)(1)]/[(2)2+(1)2]+[(8)(2)−(1)(1)]/[(2)2+(1)2]=•

10/5+15/6i=2+3i

Tarea 1.2

Si

z1= 1−5 i

z2= −3−8 i

z3= 4−1/5 i

resolver:

a) (z1 +z2)/( z1 z3)

z1 +z2= (1−3)+(−5−8) i = z−13 i

z1 z3=

1−5 i

4−1/5 i

4−20 i

−1/5 i + i 2

4−101/5 i +1(−1)= 3−101/5 i

z1 z3= 3+101/5 i

(z1 +z2)/( z1 z3)= (2−13 i)/(3+101/5 i)]=

[(2)(3)+(−13)(101/5)]/[(3)2+(101/5)2]+[(−13)(3)+(2)(101/5)]/[(3)2+(101/5)2)] i

[(6−1313/5)/(9+10201/25)]+[(−39+202/5)/(9+10201/25)] i =

[(1333/15)/(10426/25)]+[(1118/5)/(10426/25)] i =

(52130/33325)+(52130/27950) i = (10426/6665)+(5213/2795) i

b) (z1 −z3)( z1 /z2)

z1 −z3= (1−4)−(−5+1/5) i =3+30/5 i =3+6 i

6



z1 /z2=[(1)(−3)+(−5)(−8)]/[(−3)2+(−8)2]+[(−5)(−3)−(1)(−8)]/[(−3)2+(−8)2] i =

z1 /z2=(−3+40)/(9+64)+(15+8)/(9+64) i =37/73+23/73 i

(z1 −z3)( z1 /z2)=

3+6 i

37/73+23/73 i

111/73+222/73 i

+69/73+138/73 i2

111/73+291/73 i +138(−1)=111/73−138/73+291/73 i=

−27/73+291/73 i

Forma polar o trigonometrica.

A cada pareja ordenada de numeros reales (a,b)corresponde 1 y solo un numero complejo a+bi y viceversa porlo que podemos representar a dicho numero complejo como un punto de coordenadas (a,b) en el planocarteciano, donde su parte real a queda representada en el eje x y su parte imaginaria b queda representada enel eje y.

Y z

b r

a x

A esta representación de los numeros complejos en el plano se le conoce como diagrama de Argand y al eje xse le llama como eje real y al eje y se le llama eje imaginario.

El punto de coordenadas (a,b) esta determinada por los parámetros (r, ) conocidos como coordenadaspolares.

Las coordenadas cartesianas (a,b) se obtinen a partir de las coordenadas polares (r, ) mediante las siguientesformulas de transformación:

Sen =b/r a=r cos

Por lo tanto

Cos =a/r b=r sen

En consecuencia, el numero complejo z=a+b i tambien puede expresarse con z=r (cos + i sen ).

Si decimos que cos + i sen =cis , entonces z=r cis , que seria la forma polar de un numero complejo.

7



Donde las coordenadas polares (r, ) se obtienen a partir de las cartesianas (a,b) mediante las expresionesr=a2+b2 y =Ang tg b/a.

Convertir el siguiente numero complejo de la forma binomica a la forma polar.

z1= −1+i

z1=a+bi z1=r cos

a=−1

b=1

r=(−1)2+(1)2=2

=arc tg b/a z=2<−45°

=arc tg 1/(−1)=−1 z=2 cis 135°

=−45

Convertir el siguiente numero complejo de la forma polar a la forma binomica.

z2=z cis 240°

z2=r cis =a+bi

a=2 cos 240°

b=2 sen 240°

a=2 cos 240°=2(−1/2)=−1

b=2 sen 240°=2(−3/2)=− 3

z2=−1−3i

I II III IV

Sen + + − −

Cos + − − +

Tg + − + −

Ctg + − + −Sec + − − +

Csec + + − −

Sen 30°= cos 60°=1/2=0.5

Cos 30°= sen 60°=

Sen 45°=cos 45°=1/2=0.7071

8



Tg 45°=cot 45°=1/1=1

Sec 45°=Csc 45°=2/1=104142

Convertir z3=3 cis 225° a la forma binomica.

z3= 3 cis 225°

z3=r cis

a=r cos =3 cos 225°=3(1/2)=3/2

b=r sen =3 sen 225°=3(1/2)=3/2

z3=−3/2 − 3/2i

Convertir a forma binomica.

z1=2 cis 120°

a=r cos = 2 cos 120°= 2(−3/2)= −3

b=r sen = 2 sen 120°= 2(1/2)= 1

Como z1=z2 es decir 2 cis 480° en su forma binomica podemos establecer lo siguiente si se tiene 2 numeroscomplejos en forma polar con modulos iguales y argumentos que difieren un múltiplo entero de 360°, dichosnumeros quedaran representados en el plano por el mismo punto; en consecuencia en su forma binomicatendran la misma parte real y la misma parte imaginaria por lo tanto seran iguales.

¿5 cis 30° y 5 cis 750°

son iguales?

Multiplicación y división de numeros complejos.

Una de las ventajas del manejo de numeros complejos en forma polar es la sencillez con la que puedenefectuarse algunas operaciones, entre ellas la integración que se reduce a multiplicar modulos y sumarargumentos y dividir modulos y restar argumentos en el segundo caso, es decir:

z1= 6 cis 120 °

z2= 3 cis 40 °

z3= 12 cis 240 °

z4=4 cis 120 °

z1 z2=(6)(3) cis (120 °+40 °)= 18 cis 160 °•

z3 /z4= 12/4 cis (240 °−120 °)=3 cis 120 °•

formalizaremos lo anterior con el siguiente teorema:

9



z1= r1 cis

z2= r2 cic

entonces:

z1 z2=r1r2 cis (+ )•

z1 /z2=r1/r2 cis (− )•

Al efectuar la división de numeros complejos en forma polar, puede suceder que el argumento del divisor seamayor que el del dividendo, y en ese caso se tendra que el resultado es un numero complejo con argumentonegativo. Los argumentos negativos, deben interpretarse como angulos medidos en sentido contrario.

Un argumento negativo esta fuera del intervalo 0" <360 °, asi para obtener el argumento principalcorrespondiente debera sumarse 360 ° tantas veces como se requiera para quedar dentro de dicho intervalo.

z2 /z1=3/6 cis (40−120)=1/2 cis (−80 °)=1/2 cis (−80 °+360 °)=

=1/2 cis 280 °

Potencias y raices de numeros complejos.

Sean: Z EC y nEN

La potencia enecima de z que representaremos con zn, se define como:

zn=zzz...

factores

con la definición anterior...z2=zz

si z= r cis

z2= rr cis (+)= r2 cis 2

z3= rrr cis (++)= r3 cis 3

en general

(r cis ) n= rn cis (n )

z1= 2 cis 70 °

z2=3 cis 225 °

z13=?

z22=?

10



z14=?

z13=( 2)3 cis 3(70 °)=2 2 cis 120 °

z22=(3)2 cis 2(225 °)= 9 cis 450 °=9 cis 90 °

z14=( 2)4 cis 4(70 °)= 4 cis 280 °

(3 − i)3

z1= a+b i = r cis

r= ( 3)2+(−1)2= 3+1= 4=2

r=2

= arc tg b/a

= arc tg −1/ 3

= −30+360= 330 °

z13= (2 cis 330°)3

z13= 23 cis 3(330°)= 8 cis 990°= 8 cis 270°

Tarea 1.3

[(z3 +z2/ z4) z1]4

z1=2 cis 90°z2=3+33i

z3=2 cis 60°

z4=−2

z3= 2 cis 60°= 1 + 3i

a= 2 cos 60°= 2 (1/2)= 1

b= 2 sen 60°= 2 (3/2)= 3

z1= 2 cis 90°

a= 2 cos 90°= 0

b= 2 sen 90°= 2

z1= 0 + 2i

11



z1= −2i

[(4+43i/−2+0)/(−2i)]4

= [(4)(−2)+(43)(0)/(4+0)]+[(43)(−2)−(4)(0)/(4+0)] i

= (−8/4)+(−83/4) i

= −2−23i

(−2−23i)(− 2i)= 22i+26i2= 22i+26(−1)= 22i−26

(−26+22i)4

r=[(−26)2+(22)2]= [4(6)+4(2)]= (24+8)= 32= 42

= arc tg −2 2/2 6

= arc tg −1/ 3

= −30 ° 180°−30°= 150°

(4 2 cis 150 °)4

(4 2)4 cis 4(150°)

256(4) cis 600° −360°

1024 cis 240°

Para todo numero natural n raiz enecima de ...nr cis = nr cis [+k(360 °)/n] donde K=0, 1, 2, ...(n−1)

Estas n raices quedan representadas en el diagrama de Argand por n puntos sobre una circunferencia concentro en el origen y radio nr.

Ejemplo:

Obtener las raices cubicas de z= −43 − 4 i y representarlas en el diagrama de Argand.

Z= −4 3 − 4 i

a= −4 3

b= −4

r= [(−4 3)2+(−4)2]= 64=8

= arg tg −4/−4 3=−1/3

= 30 ° 180 °+30 °=210 °

12



z=8 cis 210 °

38 cis 210= 38 cis [210+0(360°)/3]= 2 cis 70 ° k=0

38 cis 210= 38 cis [210+1(360°)/3]= 2 cis 190 ° k=1

38 cis 210= 38 cis [210+2(360°)/3]= 2 cis 310 ° k=2

Extraer 54−4i

a=4

b= −4

r=(4)2+(−4)2=16+16=32=42

= arg tg= 4/−4=1/−1=−45 ° −45+360= 315 °

5(9 2) cis 315 °= 5(4 2) cis [315+0(360 °)]/5= 2 cis 63 °

5(9 2) cis 315 °= 5(4 2) cis [315+1(360 °)]/5= 2 cis 135 °

5(9 2) cis 315 °= 5(4 2) cis [315+2(360 °)]/5= 2 cis 207 °

5(9 2) cis 315 °= 5(4 2) cis [315+3(360 °)]/5= 2 cis 279 °

5(9 2) cis 315 °= 5(4 2) cis [315+4(360 °)]/5= 2 cis 351 °

Forma exponencial de numeros complejos

En el siglo VIII el matemático Suizo Euler establecio la relacion:ei= cos + i sen E R,

que nos permite escribir el numero complejo z=r cis , en la forma z=r ei, conocido como forma de Euler oforma exponencial en la cual r es el modulo y el argumento expresado en radianes.

Por ejemplo:

z1 = 2 cis 225° z2 = 15 cis 180° z3=5 cis 60°

¶= 180° ¶=180° ¶=180°

x=225° x=180° x=60°

x= 225° ¶ = 5/4¶ x=180° ¶ = ¶ x= 60° ¶ = ¶/3

180° 180° 180°

z1= 2 e5/4¶i z2=15 e¶i z3 =5 cis e¶/3i

Logaritmo natural del numero complejo

13



Una vez que se ha manejado la expresión ei, podemos aceptar la existencia de exponentes complejos. Estonos permite generalizar el concepto de logaritmo para el caso de los numeros complejos como sigue:

zEC

El logaritmo natural de z que representaremos con Log z se define como:

L(z)= w si ew= z

Si z= rei

L(z)= L(r)+(0+2k¶)i can k=0, 1, 2,

Cuando unicamente nos importa el logaritmo natural unicamente consideramos el valor de k=0, en caso de noser asi, calcularemos unos tres valores para k 1, 2, 3,... ya que es infinito.

Obtener el logaritmo principal del siguiente numero complejo.

z= −3 − i

z= r cis

a=−3

b= −1

r=(−3)2+(−1)2 = 3+1 = 4 = 2

= arc tg b/a= arc tg −1/−30 = 30° 180°+30°=210°

z= 2 cis 210° ¶= 180°

x= 210°

x= 210°¶ =7/6¶

180°

z= e7/6¶i

L(z)= L(2)+(7/6¶ i+2(0)¶) i

L(z)= L(2) + 3.6652i

Z= cis 45°

¶= 180°

x= 45°

14



x= 45°¶ =¶/4 L{[(1+i)+ 2 cis 45°]/[−2]}

180°

z= e¶/4i

L(z)= L(1)+[ ¶/4i+2(0) ¶)i= 0.7854

Matrices y determinantes.

Matriz es un arreglo rectangular de números reales.

1 −3

2 1/5

A=

0.5 −4 1/5 filas o renglones

B= ¶ 0 1

2 −1 4

columnas

w11 w12 w13

W= w21 w22 w23

W31 w32 w33

w31 tercer renglón, primera columna

w12 primer renglón, segunda columna

Matrices cuadradas.

Son aquellas matrices que tienen el mismo numero de renglones que de columnas.

Matrices rectangulares.

Son las matrices que no son cuadradas, el numero de renglones es diferente al de columnas.

Los ejemplos anteriores, todos son matrices cuadradas.

V= −1, 2, 1

1

W= 0

0

15



1

z= z11 z12 z13

z21 z22 z23

Entre las matrices cuadradas que analizaremos, están: matriz triangular superior, matriz triangular inferior,matriz diagonal, matriz escalar, matriz identidad, matriz simétrica, matriz antisimetrica,

Matriz triangular superior.

Es una matriz en la que todos los elementos bajo la diagonal principal son nulos.

A= 1 2

0 3

−2 3 1

B= 0 0 2

0 0 3

Matriz triangular inferior.

Es una matriz en la que todos los elementos sobre la diagonal principal son nulos.

1 0 0 0

C= −1 2 0 0

0 0 1 0

4 −0.5 2 2

Matriz diagonal.

Es una matriz en la que los elementos no diagonales son todos nulos.

D= 0 0

0 0

1 0 0

E= 0 0 0

0 0 0

Matriz escalar.

Es una matriz diagonal en la que todos los elementos diagonales son iguales.

16



R= 2 0

0 2

3 0 0 0

S= 0 3 0 0

0 0 3 0

0 0 0 3

Matriz identidad o unidad.

Es una matriz escalar en la que todos los elementos diagonales son iguales a 1.

1 0 0

I= 0 1 0

0 0 1

Matriz simétrica.

Es una matriz en donde A= [aij], el elemento aij = aji.

S= 1 −5 A11= 1

−5 2 A12= A21= −5

2 −3 5S= −3 0 1

5 1 1

Matriz antisimetrica.

Es una matriz cuadrada en donde A= [aij] los elementos aij = −aji.

A= 0 −5 a12 = a21

5 0

0 −2 4

A= 2 0 −5

−4 5 0

Entre las matrices rectangulares analizaremos las siguientes, vector fila, vector columna, vector nulo, vectorunidad, vector suma.

17



Vector suma.

Es un vector fila y columna en que todos sus componentes son iguales a la unidad.

S= (1,1)

1

S= 1

1

Adición de matrices.

Para que dos o mas matrices puedan ser sumadas, estas tienen que ser estrictamente del mismo tamaño.

A= −1 4

¼ 0.7

B= −6 8

2/3 0.5

A + B= −1−6 4+8

¼+2/3 0.7+0.5

A + B= −7 12

11/12 1.2Sustracción de matrices.

Para la sustracción de matrices tanto el minuendo como el sustraendo deben de ser estrictamente del mismotamaño.

A − B= A + (−B)= −1+6 4−8 = 5 −4

¼−2/3 0.7−0.5 −5/12 0.2

Multiplicación de matrices.

Para llevar a cabo la multiplicación de matrices, estas deben de ser confortables, es decir.

A3,3 y B3,4

3,3 3,4 = C3,4

deben de coincidir

A= −1 4 2

18



1 0 4

2 −2 0 1

B= 1 −1 2 0

3 −5 1 4

A*B= −1 4 2 2 −2 0 1

1 0 4 1 −1 2 0

3 −5 1 4

C11= −1 4 2 2 = −2+4+6= 8

1

3

C12= −1 4 2 −2 = 2−4−10= −12

−1

−5

C13= −1 4 2 0 = 0+8+2= 10

2

1C14= −1 4 2 1 = −1+0+8= 7

0

4

C= 8 −12 10 7

C21= 1 0 4 2 = 2+0+12= 14

1

3

C22= 1 0 4 −2 = −2−20= −22

−1

−5

19



C23= 1 0 4 0 = 4

2

1

C24= 1 0 4 1 = 1+16= 17

0

4

C= 8 −12 10 7

14 −22 4 17

Tarea.

Si A= −1 2

3 −2

B= 1 −1

0 5

Comprobar:

(A+B)(A−B)= A2 − B2•

(A+B)2= A2 + 2AB + B2•

a)

A+B= −1+1 2−1 = 0 1

3+0 −2+5 3 3

A+B= −1−1 2+1 = −2 3

3−0 −2−5 3 −7

(A+B)(A−B)= 0 1 −2 3

3 3 3 −7

0 1 −2 = 3

3

0 1 3 = −7

−7

20



3 3 −2 = −6+9= 3

3

3 3 3 = 9−21= −12

−7

(A+B)(A−B)= 3 −7

3 −12

A2= −1 2 −1 2

3 −2 3 −2

−1 2 −1 = 1+6= 7

3

−1 2 2 = −2−4= −6

−2

3 −2 −1 = −3−6= −9

3

3 −2 2 = 6+4= 10

−2B2= 1 −1 1 −1

0 5 0 5

1 −1 1 = 1

0

1 −1 −1 = −1−5= 6

5

0 5 1 = 0

0

0 5 −1 = 25

5

21



A2− B2= 7−1 −6−6 = 6 −12

−9−0 10−25 −9 −15

Entonces la traspuesta de A denotada por AT, se define como la matriz m*n que se obtiene al intercambiar losrenglones y las columnas de A, es decir, la primera columna de AT, es el primer renglón de A, la segundacolumna de AT, del segundo renglón de A y así sucesivamente, es decir...

a11 a12 a13

A= a21 a22 a23

a31 a32 a33

a41 a42 a43

a11 a21 a31 a41

AT= a12 a22 a32 a42

a13 a23 a33 a43

Propiedades de las operaciones complejas

Suponiendo que los tamaños de las matrices son tales que las operaciones indicadas se pueden efectuar,entonces tienen validez las siguientes reglas de aritmética matricial.

A+B= B+A p. conmutativa•

A+(B+C)= (A+B)+C p. asociativa de la adición•

A(BC)= (AB)C p. asociativa de la multiplicación•

A(B+C)= AB+AC p. distributiva•

(B+C)A= BA+CA p. distributiva•

A(B−C)= AB−AC•

(B−C)A= BA−CA•

a(B+C)= aB+aC•

a(B−C)= aB−aC•

(a+b)C= aC+bC•

(a−b)C= aC−bC•

a(bC)= (ab)C•

a(Bc)= (aB)c= B(ac)•

Inversa a una matriz.

Definición.

Si A es una matriz cuadrada y si se puede encontrar una matriz B del mismo tamaño de tal manera queAB=BA=I (matriz identidad), entonces se dice que A es invertible y B se denomina un a inversa de A.

Si A es invertible, entonces su inversa se denota por A−1 con lo cual tenemos que AA−1=I y A−1A=I.

La matriz A es invertible si ad−bc"0, en cuyo caso la inversa esta definida por la formula siguiente:

22



A−1= 1/(ad−bc) d −b = d/(ad−bc) −b/(ca−bc)

−c a −c/(ad−bc) a/(ad−bc)

Método para calcular la inversa de una matriz.

1 2 3 1 0 0 (−2)(−1)

A−1= 2 5 3 0 1 0

1 0 8 0 0 1

1 2 3 1 0 0

A−1= 0 1 −3 −2 1 0 (−2)(2)

0 −2 5 −1 0 1

1 0 9 5 −2 0

A−1= 0 1 −3 −2 1 0

0 0 −1 −5 2 1 (−1)

1 0 9 5 −2 0

A−1= 0 1 −3 −2 1 0

0 0 1 5 −2 −1 (3)(−9)

1 0 0 −40 16 9A−1= 0 1 0 13 −5 −3

0 0 1 5 −2 −1

−40 16 9

A−1= 13 −5 −3

5 −2 −1

Calcular la inversa de la matriz siguiente.

3 4 −1 1 0 0

M= 1 0 3 0 1 0

2 5 −4 0 0 1

3 4 −1 1 0 0 (1/3)

23



M= 1 0 3 0 1 0

2 5 −4 0 0 1

1 4/3 −1/3 1/3 0 0 (−1)(−2)

M= 1 0 3 0 1 0

2 5 −4 0 0 0

1 4/3 −1/3 1/3 0 0

M= 0 −4/3 10/3 −1/3 1 0 (−1)

0 23/3 14/3 −2/3 0 1

1 0 −11/3 2/3 −1 0

M= 0 −4/3 10/3 −1/3 1 0

0 23/3 14/3 −2/3 0 1

Calcular la inversa de la siguiente matriz si esta es invertible.

0 0 2 0 1 0 0 0

M= 1 0 0 1 0 1 0 0

0 −1 3 0 0 0 1 0

2 1 5 −3 0 0 0 10 0 2 0 1 0 0 0

M= 1 0 0 1 0 1 0 0 (1)

0 −1 3 0 0 0 1 0

2 1 5 −3 0 0 0 1

1 0 2 1 1 1 0 0 (−1)(−2)

M= 1 0 0 1 0 1 0 0

0 −1 3 0 0 0 1 0

2 1 5 −3 0 0 0 1

1 0 2 1 1 1 0 0

M= 0 0 −2 0 −1 0 0 0

24



0 −1 3 0 0 0 1 0 (−1)(1)

0 1 1 −5 −2 −2 0 1

1 0 2 1 1 1 0 0

M= 0 1 −5 0 −1 0 1 0 (1)

0 −1 3 0 0 0 1 0

0 0 4 −5 −2 −2 1 1

1 0 2 1 1 1 0 0

M= 0 1 −5 0 −1 0 1 0

0 0 −2 0 −1 0 2 0

0 0 4 −5 −2 −2 1 1

Función determinante.

Sea A una matriz cuadrada, la función determinante se denota por determinante de la matriz A, se definecomo la suma de los productos elementales con signo de A. El numero determinante de A (det (A)), sedenomina determinante de la matriz A.

A= a11 a12 = a11 a22 12 0 a11 a22 = a11a22−a21a12

a21 a22 a21 a12 21 1 −a21 a12

A= 1 4−5 1

det (A) = (1)(1) − (−5)(4) = 1+20= 21

a11 a12 a13

A= a21 a22 a23

a31 a32 a33

Producto elementalConmutacionesasociadas

No. de inversionesProducto elemental consigno

a11 a22 a33 123 0 a11 a22 a33

a21 a12 a33 213 1 − a21 a12 a33

a21 a32 a13 231 2 a21 a32 a13

a11 a32 a23 132 1 − a11 a32 a23

a31 a12 a23 312 2 a31 a12 a23

a31 a22 a13 321 3 − a31 a22 a13

25



= a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 − a21 a12 a33 − a11 a32 a23 − a31 a22 a13

Método de cofactores para calcular determinantes.

3 1 0

A= −2 −4 3 = 3 −4 3 −(−2) 1 0 +5 1 0 =

5 4 −2 4 −2 4 −2 −4 3

= 3(8−12)+2(−2)+5(3) = −12−4+15 = −16+15 = −1

+ − +

− + −

+ − +

3 5 −2 6 + − + −

A= 1 2 −1 1 (−3)(−2) − + − +

2 4 1 5 + − + −

3 7 5 3 − + − +

0 −1 1 3 −1 1 3 0 9 3

det A= 1 2 −1 1 = −1 0 3 3 = −1 0 3 3

0 0 3 3 1 8 0 (1) 1 8 00 1 8 0

(−1)(1) 9 3 = −1 (27−9) = −1(18) = −18

3 3

3 3 0 5

M= 2 2 0 −2

1 4 −3 0

10 2 3 2 (1)

3 3 0 5 3 3 5 1 1 7 (−2)

M= 2 2 0 −2 = −3 2 2 −2 (−1) = −3 2 2 −2

11 6 0 2 11 6 2 11 6 2

26



10 2 3 2

1 1 7

= −3 0 0 −16 = −3 (16) 1 1 = −48 (6−11) = −48 (−5) = 240

11 6 2 11 6

3 3 0 5

M= 2 2 0 −2

4 1 −3 0

2 10 3 2 (1)

3 3 0 5

M= 2 2 0 −2

6 11 0 2

2 10 3 2

3 3 5 1 1 7 (−2)

M= −3 2 2 −2 (−1) = −3 2 2 −2

6 11 2 6 11 2

1 1 7M= −3 0 0 −16 = −3(16) 1 1 = −48(11−6) = −48(5) = −240

6 11 2 6 11

Nota. En el calculo de determinantes siempre que intercambiemos renglones o columnas obtendremos unsigno negativo. Si un renglón o columna es multiplicado o dividido por algún numero, al final hay que dividiro multiplicar por la misma cantidad.

Si A es una matriz invertible, entonces.

A−1 = 1/(det (A)) adj (A)

Ejemplo:

3 2 −1 (3) 3 2 −1

A= 1 6 3 = 10 12 0

2 −4 0 2 −4 0

27



det (A) = −1 1 6 −3 3 2 = −1(−4−12)−3(−12−4)

2 −4 2 −4 = −1(−16)−3(−16)= 16+48 = 64

A−1= 1/64

−12 −6 −16

Mc= −4 2 −16

12 10 16

12 6 −16 + − +

Mc= 4 2 16 − + −

12 −10 16 + − +

m11= 6 3 m12= 1 3 m13= 1 6

−4 0 2 0 2 −4

m21= 2 −1 m22= 3 −1 m23= 1 6

−4 0 2 0 2 −4

m31= 2 −1 m32= 3 −1 m33= 3 2

6 3 1 3 1 6

12 4 12adj = Mc = 6 2 −10

−16 16 16

12 4 12

A−1= 1/64 6 2 −10

−16 16 16

3/16 1/16 3/16

A−1= 3/32 1/32 −5/32

−1/4 1/4 1/2

Unidad III

Sistema de ecuaciones lineales.

28



Una recta en el plano x, y se puede representar algebraicamente por una ecuación de la forma A1zx+A2y. Unaecuación de este tipo se denomina ecuación lineal en las variables x, y.

En forma general una ecuación lineal en las variables x1, x2, ... xn. Se define por una ecuación:

a1x1+a2x2+...+anxn = b

Donde a1, a2, an y b son constantes reales.

Las variables en una ecuación lineal algunas veces se denominan incógnitas.

Las ecuaciones siguientes son lineales.

x+5y = 8

y = 3/4x+52.6

x1−5x2+2x3−x4 = 10

x1+x2...+xn = 1

Observan que una ecuación lineal no incluye ni un producto por raíz de variables.

Todas las variables están elevadas a la primera potencia y no aparecen como argumentos de funcionestrigonometricas como logarítmicas y exponenciales.

Las siguientes ecuaciones no son lineales:

2x−5y2 = 12

3x−Sen y = 25x−2y+4z−xy = 8

3x1+2"x2−x3 = 5

Sistemas lineales

Un conjunto finito de ecuaciones lineales en las variables x1, x2, ... xn. Se denominan sistemas de ecuacioneslineales o sistema lineal. Una sucesión de números s1, s2, ... sn, se denomina solución del sistema si x1 = s1,x2 = s2, ... xn = sn. Es una solución de todos y cada una de las soluciones del sistema.

Por ejemplo el sistema:

4 x1− x2+3 x3 = −1

3 x1+ x2+3 x3 = −4

Tienen como solución x1= 1, x2 = 2, x3 = −1, ya que estos valores satisfacen ambas ecuaciones.

Casos que se presentan en una ecuación de segundo grado.

29



No tiene solución.

Una solución (única solución)

Numero infinito de soluciones.

Un sistema arbitrario de m ecuaciones lineales de n incógnitas se puede escribir como:

a11 x1+a12 x2+...+a1n xn = b1

a21 x1+a22 x2+...+a2n x3 = b2

.

.

.

am1 x1+am2 x2+...+amn xn = b1

Donde x1, x2, ..., xn son incógnitas y las letras a y b con subíndices denotan constantes.

Investigar gráficamente como se puede resolver una ecuación de tercer grado.

3x+2y−5z = −20

2x−4y+z = −12

x+3y−z = 3

Consistente: tiene soluciónInconsistente: no tiene solución

3 2 −5 −20

2 −4 1 −12

1 3 −1 3

Método de Gauss

3 2 −5

2 −4 1

1 3 −1

1 3 −1 3 (−2)(−3)

2 −4 1 −12

30



3 2 −5 −20

1 3 1 3

0 −10 3 −18 (−1/10)

0 −7 −2 −29

1 3 1 3

0 1 −3/10 −9/5 (−3)(7)

0 −7 −2 −29

1 0 −1/10 −12/5

0 1 −3/10 −9/5

0 0 −41/10 −82/5 (−10/41)

1 0 −1/10 −12/5

0 1 −3/10 −9/5

0 0 1 164/41 (3/10)

1 0 0 −2

0 1 0 3

0 0 1 4x = −2

y = 3

z = 4

2 x1+2 x2−3 x3+4 x4 = 3

3 x1+5 x2+ x3−6 x4 = −23

x1−3 x2+2 x3− x4 =15

4 x1− x2+ x3+5 x4 = 29

2 2 −3 4 3

3 5 1 −6 −23

1 −3 2 −1 15

31



4 −1 1 5 29

Resolver.

x1+3 x2−2 x3 +2 x5 = 0

2 x1+6 x2−5 x3−2 x4+4 x5−3 x6 = −1

5 x3+10 x4 +15 x6 = 5

2 x1+6 x2 +8 x4+4 x5+18 x6 = 6

1 3 −2 0 2 0 0

2 6 −5 −2 4 −3 −1

0 0 5 10 0 15 5

2 6 0 8 4 18 6

Se desplaza a la izquierda y se posiciona en una columna que no sea solo de ceros.

1 3 −2 0 2 0 0

0 0 −1 −2 0 −3 −1 (−1)

0 0 5 10 0 15 5

0 0 4 8 0 18 6

1 3 −2 0 2 0 00 0 1 2 0 3 1 (−5)(−4)

0 0 5 10 0 15 5

0 0 4 8 0 18 6

1 3 −2 0 2 0 0

0 0 1 2 0 3 1

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 6 2

1 3 −2 0 2 0 0

0 0 1 2 0 3 1

0 0 0 0 0 6 2 (1/6)

32



0 0 0 0 0 0 0

Desaparece la columna de ceros.

1 3 −2 0 2 0 0

0 0 1 2 0 3 1 (2)

0 0 0 0 0 1 1/3

Se convierte en cero todos los números que están arriba del uno principal.

1 3 0 4 2 6 2

0 0 1 2 0 3 1

0 0 0 0 0 1 1/3 (−3)(−6)

1 3 0 4 2 0 0

0 0 1 2 0 0 0

0 0 0 0 0 1 1/3

x1+3 x2+4 x4+2 x5 = 0

x3+2 x4 = 0

x6 = 1/3

Representación escalar (no tiene solución única)Despejar variables principales (las de menor = x1).

x1= −3 x2−4 x4−2 x5

x3= −2 x4

x6= 1/3

x2=p x4=q x5=r

x1= −3p−4q−2r Solución en representación escalar.

x3= −2q

x6= 1/3

Tarea

x1−2 x2+ x3−4 x4 = 1

33



x1+3 x2+7 x3+2 x4 = 2

x1−12 x2−11 x3−16 x4 = 5

1 −2 1 −4 1 (−1)

1 3 7 2 2

1 −12 −11 −16 5

1 −2 1 −4 1

0 5 6 6 1 (1/5)

0 −10 −12 −12 4

1 −2 1 −4 1

0 1 6/5 6/5 1/5 (10)

0 −10 −12 −12 4

1 −2 1 −4 1

0 1 6/5 6/5 1/5

0 0 0 0 6 (1/6)

1 −2 1 −4 1

0 1 6/5 6/5 1/5 (2)0 0 0 0 1

0 17/5 −8/5 7/5•

0 1 6/5 6/5 1/5

0 0 0 0 1 (−1/5)(−7/5)

1 0 17/5 −8/5 0

0 1 6/5 6/5 0

0 0 0 0 1

x1+17/5 x3−8/5 x4 = 0

x2+6/5 x3+6/5 x4 = 0

x4 = 0

34



x1+3 x2+ x4 = 0

x1+4 x2+2 x3 = 0

−2 x2−2 x3− x4 = 0

2 x1−4 x2+ x3+ x4 = 0

x1−2 x2− x3+ x4 = 0

1 3 0 1 (−1)(−2)

1 4 2 0

0 −2 −2 −1

2 −4 1 1

1 −2 −1 1

1 3 0 1

0 1 2 −1 (2)(10)(5)

0 −2 −2 −1

0 −10 1 −1

0 −5 −1 0

1 3 0 10 1 2 −1

0 0 2 −3 (1/2)

0 0 21 −11

0 0 9 −5

1 3 0 1

0 1 2 −1

0 0 1 −3/2 (−21)(−9)

0 0 21 −11

0 0 9 −5

1 3 0 1

35



0 1 2 −1

0 0 1 −3/2

0 0 0 41/2 (2/41)

0 0 0 17/2

1 3 0 1

0 1 2 −1

0 0 1 −3/2

0 0 0 1 (−17/2)

0 0 0 17/2

1 3 0 1

0 1 2 −1 (−3)

0 0 1 −3/2 (−2)

0 0 0 1 (3/2)

0 0 0 0

1 0 −6 4

0 1 0 20 0 0 0 (6)

0 0 0 1 (−2)(−4)

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

La solución trivial es: x1= 0, x2= 0, x3=0, x4= 0.

Regla de Gramer.

El siguiente teorema proporciona una formula útil para la solución de ciertos sistemas lineales de n ecuacionescon n incógnitas. Esta formula, llamada regla de Gramer es útil para estudiar las propiedades matemáticas deuna solución sin necesidad de resolver el sistema.

36



Teorema.

Si Ax = b es un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas de tal manera que det (A) " 0, entonces lasolución del sistema es única. Esta solución es:

x2= det (A2)/det (A)

xn= det (An)/det (A)

donde A2 es la matriz que sostiene al sustituir los elementos de j−esima columna de A por los elementos de lamatriz.

b1

b = b2

...

bn

Es aplicable solo cuando es una matriz cuadrada (mismo numero de ecuaciones y de incógnitas).

Aplicar la regla de Gramer.

Para calcular x2 en el sistema:

x1+2 x3 = 6

−3 x1+4 x2+6 x3 = 30− x1−2 x2+3 x3 = 8

1 0 2 6

−3 4 6 30

−1 −2 3 8

Regla de Gramer

x2= A2/A

1 0 2

A = −3 4 6

−1 −2 3

Se sustituye la incógnita por el segundo miembro.

37



1 6 2

−3 30 6

x2= det A2/det A = −1 8 3

1 0 2

−3 4 6

−1 −2 3

x2= [1(90−48)−6(−9+6)+2(−24+30)]/[1(12+12)+2(6+4)]

x2= (42+18+12)/(24+20) = 72/44 = 36/22 = 18/11

Aplicar la regla de Gramer para calcular el valor de z en el siguiente sistema.

4x+y+z+w = 6

3x+7y−z+w = 1

7x+3y−5z+8w = −3

x+y+z+2w = 3

4 1 1 1 6

3 7 −1 1 1

7 3 −5 8 −31 1 2 2 3

4 1 1 1

A = 3 7 −1 1

7 3 −5 8

1 1 2 2 (−7)(−3)(−4)

0 −3 −7 −7 −3 −7 −7

A = 0 4 −7 −5 = 1 4 −7 −5

0 −4 −19 −6 −4 −19 −6

1 1 2 2

A= −3(42−95)+7(−24−20)−7(−76−28)

38



A= −3(−53)+7(−44)−7(−104)

A= 159−308+728

A= 1167

4 1 6 1

A= 3 7 1 1

7 3 −3 8

1 1 3 2 (−7)(−3)(−4)

INSTITUTO TECNOLÓGICO DEMINATITLAN MATEMÁTICAS 3

30°

2

3

60°

45°

2

1

45°1

y

3

480°

120°

x

−1

y

150 °

30°

39



x

y

x

y

x

Rectangulares

Permutación

Par = +

Impar = −

l1

l2

l2

l1

l1

l2

Matriz aumentada.Se le llama así por que contiene también a las constantes y a las incógnitas.

Variables secundarias. Representación escalar, se utilizan variables diferentes a las que se utilizan

Sistema homogéneo (ya que esta igualado a cero)

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numeros complejos

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