ÍNDICE

1. Introducción

1.1 Un poco de historia 1.2 Necesidad de ampliar R

2. El plano complejo 2.1 Los números complejos de la forma ( a ,0) 2.2 Números imaginarios puros, la unidad imaginaria 2.3 Representación gráfica 2.4 Forma binómica3.Operaciones con complejos 3.1 Conjugado de un número complejo 3.2 Inverso de un número complejo 3.3 División de números complejos4. Forma polar 4.1 Módulo y argumento. Argumento principal 4.2 Cálculo del argumento 4.3 Forma trigonométrica 4.4 Forma módulo-argumental o polar5. Operaciones con complejos en forma polar 5.1 Producto de complejos en forma polar. Inverso de un complejo. Cociente en forma polar 5.2 Potencia de un número complejo en forma polar 5.3 Fórmula de Moivre 5.4 Raíces n-ésimas de un número complejo 5.5 Raíces n-ésimas de la unidad 5.6 Interpretación geométrica de las raíces n-ésimas6. Interpretación vectorial de números complejos

7. Representación esférica de los números complejos: proyección estereográfica

8. Introducción a la topología del plano complejo

8.1 Conjuntos de puntos 8.2 Teoremas sobre conjuntos de puntos

9. Rectas, semiplanos y ángulos 9.1 Rectas 9.2 Semiplanos 9.3 Ángulos10. Funciones complejas 10.1 Variables y funciones 10.2 Funciones unívocas y multívocas

10.3 Funciones inversas 10.4 Transformaciones 10.5 Coordenadas curvilíneas 10.6 Funciones elementales 10.6.1 Funciones polinómicas Transformaciones lineales a) El grupo lineal b) Transformaciones elementales c) La razón doble10.6.2 Funciones algebraicas racionales 10.6.3 Funciones exponenciales 10.6.4 Funciones trigonométricas 10.6.5 Funciones hiperbólicas 10.6.6 Funciones logarítmicas 10.6.7 Funciones trigonométrica e hiperbólicas inversas 10.6.8 La función z w 10.6.9 Funciones algebraicas y trascendentales10.7 Puntos de ramificación y ramas11. Estructura de los números complejos 11.1 El grupo aditivo de los números complejos 11.1.1 Adición de números complejos 11.1.2 Propiedades de la adición en C 11.1.3 Sustracción de números complejos11.2 El grupo multiplicativo de los números complejos 11.2.1 Multiplicación de números complejos 11.2.2 Propiedades de la multiplicación en C 11.2.3 División de números complejos11.3 El cuerpo de los números complejos 11.4 Isomorfismo entre R y C*= {(a,0)}

EJERCICIOS  Lista de ejercicios en formato Word 97 (el archivo está comprimido con WinZip32)

Bibliografía: "Análisis de Variable Compleja" de Lars V. Ahlfors, Ed Aguilar 1971, Mardid "Variable Compleja" de Murray R. Spiegel, Ed McGraw Hill 1988, Madrid

AUTORES: El apartado 11 ha sido realizado por Juan F. Abalos Fuentes (JFABALOS@santandersupernet.com). Los restantes apartados, incluyendo los ejercicios han sido realizados por Aurelio Conde Casas (Carmesi@jazzfree.com).

1.1 Un poco de historia

El gran matemático Diofanto (275 d.C) construyó un triángulo con una cuerda en la que había realizado 12 nudos (equidistantes). Los lados medían 3, 4 y 5 unidades.

Evidentemente el triángulo es rectángulo, cumple el teorema de Pitágoras:

32 42 52

Al ser un triángulo rectángulo es fácil comprobar que el área es 6 unidades.

Con la misma cuerda trató de construir otro triángulo rectángulo de forma que su área fuese 7 unidades.

Su planteamiento fue el siguiente:

un cateto mediría x como el área debía ser 7, el otro cateto será 14/x. la hipotenusa debe cumplir el teorema de Pitágoras

pero por otra parte la suma de sus lados debe ser 12

Por tanto se debe cumplir la ecuación:

De donde se llega fácilmente a:

Cuya solución Diofanto expresó como

Pero no conocía ningún número que elevado al cuadrado fuese igual a –1, por tanto, el problema no tenía solución.

Este problema planteado por Diofanto tardaría siglos en resolverse.

En el siglo XVI Rafaello Bombelli fue uno de los primeros en admitir que era útil que los números negativos tuviesen raíces cuadradas.

A mediados del siglo XVI, el filósofo y matemático italiano Gerolamo Cardano y sus contemporáneos comenzaron a experimentar con soluciones de ecuaciones que incluían las raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo, Cardano sugirió que el número real 40 se puede expresar como

En 1777 el matemático suizo Leonhard Euler (1707 - 1783) simbolizó la raíz cuadrada de –1 con la letra i (por imaginario).

Euler

Kaspar Wessel dio una explicación a la raíz cuadrada de –1.

Basta suponer un triángulo ABC isósceles en A, situado sobre unos ejes de coordenadas. Aplicando el teorema de la altura

Esta idea también sugerida por Jean-Robert Argand fue utilizada más tarde por Carl Friedrich Gauss para dar la interpretación geométrica de los números complejos.

Gauss, en su tesis doctoral de 1799, demostró su famoso teorema fundamental del álgebra, que dice que todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja.

Gauss

En 1825, continuando con el estudio de las funciones complejas, el matemático francés Augustin L. Cauchy generalizó el concepto de integrales definidas de funciones reales para funciones de variable compleja.

1.2 Necesidad de ampliar R

Cuando aprendemos a contar estamos utilizando números naturales, es por eso por lo que cuando se habla de conjuntos numéricos se suele comenzar por el conjunto de los números naturales (N) y se va ampliando progresivamente según lo vamos necesitando.

Vamos a ir viendo las sucesivas ampliaciones hasta llegar a R y como este conjunto es insuficiente.

Los números naturales son 1, 2, 3,.. (el 0 no es un número natural).

Los números enteros aparecen cuando queremos hacer operaciones del tipo 1–2, que no tienen sentido en N. Los números enteros (Z) son 0, 1, –1, 2, –2,...

Los números racionales surgen cuando intentamos hacer algunas divisiones como 1/2. Los números racionales (Q) son

.

Esto significa que cualquier cociente de números enteros en el que el denominador no sea 0 es un número racional.

Los números racionales también se pueden escribir como números decimales.

Los números irracionales son los números decimales que no son racionales. Estos números

aparecen al calcular raíces como

Para diferenciar a los irracionales de los racionales basta con escribirlos en forma decimal. En este caso los números con infinitas cifras decimales y que no son periódicos, son irracionales; y los restantes (es decir, los periódicos o los que tienen un número finito de decimales) son racionales.

El conjunto formado por la unión de racionales e irracionales se llama R, son los números reales.

Sin embargo nos volvemos a encontrar con problemas del tipo  , para resolverlos ampliaremos el conjunto de los números reales. Llegamos así a los números complejos, que representamos por C. Con este nuevo conjunto tenemos resueltos todos los problemas, al menos "de momento".

2. El plano complejo

Llamaremos C al conjunto de los pares de números reales (a,b) con las siguientes propiedades:

Igualdad:    (a,b) = (c,d)  si  a = c  y b = d Suma:        (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d) Producto:    (a,b) · (c,d) = (ac bd,ad + bc)

Ejemplo 1

Dados z1 (1,2) y z2 podemos calcular su suma y su producto:

z1 + z2 z1 · z2·(1·3 - 2·1,1·1+2·3)

Ejemplo 2

Si z (1,4) entonces Re (z) 1 e Im (z) 4

Dado un número complejo z (a,b) llamamos parte real de z al número real a y lo representamos como Re (z) a de la misma forma, b es la parte imaginaria de z y se representa por Im (z) b.

Ejemplo 3

Dados los números complejos (1,1) y (2,3) vamos a calcular las partes real e imaginaria de su producto:

(1,1)(2,3) = (2–3,3+2) = (–1,5) Re (–1,5) e Im (–1,5)

2.1 Los números complejos de la forma (a,0)

Si hacemos corresponder a cada número real a, el número complejo (a,0), tenemos una relación biunívoca. Es decir, por cada número real a hay un número complejo de la forma (a,0) y por cada número complejo de la forma (a,0) hay un número real a.

Además la suma y el producto se conservan con esta relación:

Ahora vemos que tenía sentido lo de parte real de un número complejo.

Observación

Dentro de los números reales había números racionales y números irracionales. De la misma forma en C podemos hablar de números reales (los que tienen su parte imaginaria nula) y de números imaginarios (aquellos cuya parte imaginaria no es nula).

Se llaman números imaginarios puros a los que tienen nula la parte real, los de la forma (0,b).

2.2 Números imaginarios puros, la unidad imaginaria

El número 1 es la unidad en los números reales, y en forma compleja se escribe como (1,0). Esto quiere decir que construimos los demás números reales a partir de éste. De la misma forma si consideramos el conjunto formado por los números imaginarios puros tendremos que todos los números se construyen a partir del (0,1). Sería lógico pues, llamar unidad imaginaria a este número. A esta unidad imaginaria la llamaremos i.

Veamos una propiedad fundamental de i:

i2 = (0,1)·(0,1) = (01,0+0) = (1,0) = 1

de donde i = 

Con esta propiedad ya tenemos resuelto el problema de las raíces cuadradas de números negativos, veamos como:

Observación

Si nos fijamos en el ejemplo veremos que el producto de un número imaginario puro por uno real es otro imaginario puro.

Ejemplo 4

Vamos a calcular todas las potencias de i desde n10 hasta n10 y sacar alguna conclusión.

i0 = 1,  i1 = i,  i2 = 1, i3 = i, i4 = 1,  i5 = i,...

ordenando los resultados desde n = 10 hasta n = 10 tenemos:

1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1

La conclusión más elemental es que cualquier potencia de i es –1, –i, 1 ó i, y que las potencias de i se van repitiendo de forma periódica, de 4 en 4.

2.3 Representación gráfica

Sobre el eje horizontal (eje real) representamos la parte real y sobre el eje vertical (eje imaginario) la parte imaginaria.

Se llama afijo de un número complejo al punto del plano con el que se corresponde en su representación gráfica.

2.4 Forma binómica

El número complejo (a,b) lo podemos representar en forma binómica como a+bi.

3. Operaciones con complejos

2. El plano complejo

3.1 Conjugado de un número complejo 3.2 Inverso de un número complejo 3.3 División de números complejos

4. Forma polar

3.1 Conjugado de un número complejo

El conjugado del número complejo z(a,b) es otro número complejo  . En forma binómica, el conjugado de za+bi es  .

Observación

Si queremos resolver una ecuación con coeficientes reales como  , tendremos:

Es decir, las soluciones complejas de una ecuación con coeficientes reales cumplen la siguiente propiedad: si z es solución de la ecuación entonces su conjugado  también lo es.

Esto es una propiedad muy importante de las ecuaciones con coeficientes reales porque nos ayuda mucho a saber el número de soluciones reales de una ecuación. Por ejemplo, en una ecuación de segundo grado con coeficientes reales, o las dos soluciones son reales o las dos complejas.

Una cuestión muy típica es: ¿puede una ecuación de tercer grado con coeficientes reales tener dos soluciones reales?

La respuesta es NO, y el motivo es que si la ecuación tiene dos soluciones reales, tiene una solución imaginaria z, pero entonces  también es solución, con lo cual tenemos dos soluciones imaginarias, y no una como sería en caso de haber dos soluciones reales.

Conclusión

El número de soluciones imaginarias de una ecuación con coeficientes reales siempre es PAR.

3.2 Inverso de un número complejo

Sea z(a,b) y consideramos  . Si calculamos z·z' tenemos:

es decir z' es el inverso de z.

Cuando a2 + b2 0 no tiene sentido z', pero esto ocurre porque si a2 + b2 0 entonces a0 y b0, o sea que z(0,0)0, y 0 no tiene inverso porque no se puede dividir por 0.

3.3 División de números complejos

Sean z = (a,b) y z' = (c,d), y queremos calcular su cociente. Utilizando que  tendremos que dividir dos números complejos es multiplicar uno por el inverso del otro. Siguiendo con el ejemplo tendremos que calcular el inverso de z' y multiplicarlo por z.

El inverso de z' es  . Si ahora lo multiplicamos por z = (a,b):

Ejemplo 5

Dados z1 = (1,2) y z2 = (1,1) vamos a calcular  .Hay dos formas de calcular esta división, la primera sería sustituir en la expresión que hemos obtenido de la división de complejos o seguir los pasos que hemos dado hasta conseguirla. Pero hay una segunda forma que es la que se utiliza normalmente:

Esta forma también se suele utilizar con los números escritos en forma binómica.

4. Forma polar

3. Operaciones con complejos

4.1 Módulo y argumento. Argumento principal 4.2 Cálculo del argumento 4.3 Forma trigonométrica 4.4 Forma módulo-argumental o polar

5. Operaciones con complejos en forma polar

4.1 Módulo y argumento. Argumento principal

Se llama módulo de un número complejo z = (a,b) a la distancia del origen de coordenadas

al afijo de dicho número. Es decir, el módulo de z es  , y se representa por |z|.

Se llama argumento de un número complejo al ángulo que forma el semieje real con el segmento que une el origen de coordenadas y el afijo del número. Se representa por arg(z) o simplemente por .

Es evidente que si es un argumento de un número complejo z, entonces también lo es + 2k. Es decir que un número complejo tiene infinitos argumentos.

Se llama argumento principal de un número complejo al único argumento de éste que está en el intervalo (].

4.2 Cálculo del argumento  

Dado un número complejo z = (a,b) es muy fácil calcular su módulo, pero no lo es tanto calcular su argumento.

En el dibujo es evidente que  , de donde deducimos que  .

Pero esto no es cierto totalmente, porque con esto, z = (a,b) y z = (a,b) tendrían el mismo argumento, y eso no es verdad.

Para calcular debemos calcular  y observar el cuadrante al que pertenece z para saber así cual es el ángulo .

Ejemplo 6

Sean  z1 = (1,1) y  z2 = (1,1), y vamos a calcular sus módulos y sus argumentos:

Pero esto es el resultado de la calculadora, nosotros sabemos que arctg 45º + 180ºk.

Ahora el problema es determinar el valor de k para cada número, pero eso no es difícil:

z1 = (1,1) está en el cuarto cuadrante, por tanto el argumento debe ser un ángulo de dicho cuadrante, y eso se tiene para k=0, o sea 45o.

z2 = (1,1) está en el segundo cuadrante, por tanto el argumento debe ser un ángulo de dicho cuadrante, y eso se tiene para k=1, o sea 135o.

Por otra parte es evidente que la diferencia entre el argumento de un número complejo y el de su opuesto debe ser 180o.

4.3 Forma trigonométrica

Ya sabemos calcular el módulo y el argumento de un número complejo conociendo a y b. Ahora vamos a hacer lo contrario, a partir del módulo y el argumento vamos a calcular a y b.

Si nos fijamos en el triángulo podemos deducir:

Dado un número complejo z, se llama forma trigonométrica a |z|·(cos a + i sen a), esto se obtiene fácilmente de:

Ejemplo 7

Vamos a escribir el número (1,1) en forma trigonométrica:

4.4 Forma módulo-argumental o polar

Un número complejo z del que conocemos su módulo |z| y su argumento lo podemos escribir como |z|, a esta forma se le llama forma módulo-argumental o polar.

Ejemplo 8

El número (1,1) que está en forma de par tiene módulo  y su argumento es 45º, por tanto:

(1,1) 45º

5. Operaciones con complejos en forma polar

4. Forma polar

5.1 Producto de complejos en forma polar. Inverso de un complejo. Cociente en forma polar 5.2 Potencia de un número complejo en forma polar 5.3 Fórmula de Moivre 5.4 Raíces n-ésimas de un número complejo 5.5 Raíces n-ésimas de la unidad 5.6 Interpretación geométrica de las raíces n-ésimas

6. Interpretación vectorial de números complejos

5.1 Producto de complejos en forma polar. Inverso de un complejo. Cociente en forma polar

Sean z |z| y w |w| , entonces:

Ejemplo 9

Dados z = 6120º y w = 360º vamos a calcular 

5.2 Potencia de un número complejo en forma polar

Utilizando el producto en forma polar, tenemos que si  , entonces 

Ejemplo 10

Sea z 260º, entonces:

5.3 Fórmula de Moivre

Si  , en forma trigonométrica tendremos z = |z|·(cos a + i sen a). Utilizando ahora la

expresión de la potencia de un número complejo llegamos a  . Ahora bien  en forma trigonométrica se escribe como  |z|n·(cos na + i sen na) y ( |z|·(cos a + i sen a))n. Si igualamos las dos expresiones y quitamos los modulos, obtenemos la fórmula de MOIVRE:

(cos a + i sen a)n = cos na + i sen na

Ejemplo 11

Usando la fórmula de Moivre vamos a hallar las expresiones de cos 4 y sen 4 en función de cos y sen .

(cos + i sen )4 = cos4 + 4cos3· i ·sen + 6cos2· i2 ·sen2 4cos · i3 ·sen3i4 ·sen4

Igualando esta expresión a  cos 4 + i sen 4 tendremos que las partes reales deben ser iguales, de donde:

cos 4 cos4 6cos2sen2sen4

De la misma forma, las partes imaginarias deben ser iguales:

sen 4 4cos3sen 4cos sen3

5.4 Raíces n-ésimas de un número complejo

Sea  , entonces: 

Vamos a justificar ésto, sea w una raíz n-ésima de z, entonces debe cumplirse wn

zSi  y , entonces:  (El 2k aparece porque el argumento de un número complejo no es único, sino que todo número complejo tiene infinitos argumentos.)

Por tanto 

De aquí deducimos que hay n raíces diferentes, porque si empezamos dándole valores a k

desde 0, al llegar a n tenemos  .

Las raíces de un número complejo cumplen algunas propiedades interesantes, entre ella podemos destacar que la suma de todas las raíces de un número complejo es 0.

Ejemplo 12

Vamos a calcular las raíces cuartas de 16120º.

por tanto tenemos:

para k0 z0230º

para k1 z12120º

para k2 z22210º

para k3 z32300º

Aquí utilizamos  porque el ángulo está dado en grados

5.5 Raíces n-ésimas de la unidad

Las raíces n-ésimas de la unidad se estudian por separado por las propiedades algebraicas que verifican. De ellas, la más importante es:

Si de entre todas las raíces n-ésimas de la unidad nos quedamos con la de menor argumento no nulo (z), se cumple que las restantes raíces se obtienen como z2, z3, z4...

Ejemplo 13

Vamos a comprobar que la suma de las raíces quintas de la unidad es cero. El número 1 en forma polar se escribe como 10º, por tanto tendremos:

para k0 z010º(cos0º + i·sen0º) (1,0)

para k1 z1172º(cos72º + i·sen72º) ( 0'309, 0'951)

para k2 z21144º(cos144º + i·sen144º) (0'809, 0'587)

para k3 z31216º(cos216º + i·sen216º) (0'809,0'587)

para k4 z41288º(cos288º+isen288º) ( 0'309,0'951)

Sumando todas las raíces tenemos

(1,0)+( 0'309, 0'951)+(0'809, 0'587)+(0'809,0'587)+( 0'309,0'951)(0,0).

5.6 Interpretación geométrica de las raíces n-ésimas

Las raíces (afijos) n-ésimas de un número complejo están situadas en los vértices de un polígono regular de n lados centrado en el origen.

Ejemplo 14

En el ejemplo 12 vimos las raíces cuartas de 16120º su representación gráfica es:

Ejemplo 15

En el ejemplo 13 vimos las raices quintas de la unidad, su representación gráfica es:

6. Interpretación vectorial de números complejos

Un número complejo z = x + iy se puede considerar como un vector OP cuyo punto inicial es el origen O, y cuyo punto final P es el punto (x,y). Algunas veces al vector OP se le llama vector de posición del punto P.

Dos vectores que tienen la misma longitud y dirección se consideran iguales, aunque tengan diferentes puntos iniciales y finales. Por tanto escribiremos OP AB.

La suma de números complejos corresponde a la ley del paralelogramo para la suma de vectores.

En este caso, para sumar los números complejos z1 y z2, completamos el paralelogramo OABC cuyos lados OA y OC corresponden respectivamente a z1 y z2. La diagonal OB de este paralelogramo corresponde a z1z2.

7. Representación esférica de los números complejos: proyección estereográfica

Sea el plano complejo y consideramos una esfera unidad tangente a en z 0. El diámetro NS es perpendicular a , y llamamos a los puntos N y S los polos norte y sur de la esfera .

Para cualquier punto A sobre el plano podemos construir una recta NA que corta a s en el punto A’. En este caso, a cada punto del plano complejo le corresponde un único punto de la esfera , con lo que podemos representar cualquier número complejo por un punto sobre la esfera.

Para terminar, decimos que el punto N corresponde al "infinito" del plano complejo. El conjunto de todos los puntos del plano, incluyendo el infinito, recibe el nombre de plano complejo extendido o ampliado.

El método utilizado para aplicar el plano sobre la esfera se llama proyección estereográfica y la esfera, esfera de Riemann.

8. Introducción a la topología del plano complejo

7. Representación esférica de los números complejos: proyección estereográfica

8.1 Conjuntos de puntos 8.2 Teoremas sobre conjuntos de puntos

9. Rectas, semiplanos y ángulos

8.1 Conjuntos de puntos

Cualquier colección de puntos en el plano complejo se denomina un conjunto (bidimensional) de puntos, y cada punto es un elemento del conjunto. En el plano complejo se distinguen varios tipos de conjuntos, principalmente por sus propiedades topológicas.

1. Vecindades. Una vecindad de radio de un punto z0 es el conjunto de todos los puntos z tales que |z z0| < , donde d es cualquier número real positivo dado. Una vecindad reducida de radio de un punto z0 , es el conjunto de los puntos z tales que 0 < |z z0| < .

 

2. Puntos límite. Un punto z0 se llama un punto límite o punto de acumulación de un conjunto S si cada vecindad reducida de z0 contiene puntos de S.

 

3. Conjuntos cerrados. Un conjunto S se dice que es cerrado si cada punto límite de S pertenece a S, esto es, si S contiene todos sus puntos de acumulación. Por ejemplo, el conjunto de todos los z tales que |z| 1 es un conjunto cerrado.

 

4. Conjuntos acotados. Un conjunto S se dice que es acotado si podemos encontrar una constante M tal que |z| M para cada punto z de S. Un conjunto ilimitado es un conjunto que no es acotado. Un conjunto que es acotado y cerrado se llama compacto.

 

5. Punto interior, exterior y frontera. Un punto z0 se llama un punto interior de un conjunto S si podemos encontrar una vecindad de z0 cuyos puntos pertenecen todos a S. Si cada vecindad de z0 contiene puntos pertenecientes a S y también puntos no pertenecientes a S, entonces z0 se llama punto frontera. Si un punto no es interior ni frontera de un conjunto S, entonces es un punto exterior de S.

 

6. Conjuntos abiertos. Un conjunto abierto es un conjunto que consta solamente de puntos interiores. Por ejemplo, el conjunto de puntos z tales que |z| 1 es un conjunto abierto.

 

7. Conjuntos conexos. Un conjunto abierto S es conexo si cualquier par de puntos del conjunto pueden ser unidos por un camino formado por segmentos de recta (esto se llama un camino poligonal) contenidos es S.

 

8. Regiones abiertas o dominios. Un conjunto abierto conexo se llama región abierta o dominio.

 

9. Clausura de un conjunto. Si a un conjunto S agregamos todos los puntos de acumulación de S, el nuevo conjunto se llama la clausura de S y es un conjunto cerrado.

 

10. Regiones cerradas. La clausura de una región abierta o dominio se llama una región cerrada.

 

11. Regiones. Si a una región abierta o dominio agregamos algunos, todos o ninguno de sus puntos límite, obtenemos un conjunto llamado región. Si se agregan todos los puntos de acumulación está cerrada; si ninguno es agregado, la región está abierta.

 

12. Unión e intersección de conjuntos. Un conjunto consiste en todos los puntos pertenecientes al conjunto S1 o al conjunto S2 o a ambos conjuntos, se llama la unión de S1 y S2 y se denota por S1S2 o S1S2. Un conjunto consistente en todos los puntos pertenecientes a ambos conjuntos S1 y S2, se llama la intersección de S1 y S2 y se denota por S1S2 o S1 S2.

 

13. Complemento de un conjunto. Un conjunto que consiste en todos los puntos que

no pertenecen a S, se llama el complemento de S y se representa por  .

 

14. Conjuntos vacíos y subconjuntos. Es conveniente considerar un conjunto sin puntos. Este conjunto se llama el conjunto vacío y se denota por . Si dos conjuntos S1 y S2 no tienen puntos en común (conjuntos disjuntos), podemos escribir S1S2.

Cualquier conjunto formado por elección de alguno, todos o ninguno de los puntos de un conjunto S se llama un subconjunto de S. Si excluimos el caso en que todos los puntos de S son escogidos, el conjunto se denomina un subconjunto propio de S.  

15. Numerabilidad de un conjunto. Si los miembros o elementos de un conjunto se pueden colocar punto por punto en correspondencia con los números naturales, el conjunto es llamado numerable; de lo contrario se llamará no numerable.

Ejemplo 16

Veamos las propiedades del conjunto de puntos 

a. S es acotado puesto que para cada punto z de S, |z|<2 (por ejemplo), es decir, todos los puntos de S están dentro de un círculo de radio 2 con centro en el origen.

 

b. Como toda vecindad reducida de z 0 contiene puntos de S, un punto de acumulación es z 0. Este es el único punto de acumulación.

c. Obsérvese que como S es acotado e infinito el teorema de Bolzano-Weierstrass predice por lo menos un punto de acumulación.

 

d. S no es cerrado puesto que el punto de acumulación z 0 no pertenece a S.

 

e. Cada vecindad reducida de radio de un punto i/n (o sea, cada círculo de radio con centro en i/n) contiene puntos que pertenecen a S y puntos que no pertenecen a S. En este caso cada punto de S, así como el punto de acumulación z 0 es un punto frontera. S no tiene puntos interiores.

 

f. S no tiene puntos interiores. Por tanto, no puede ser abierto. En este caso S no es abierto ni cerrado.

 

g. Si unimos dos puntos cualesquiera de S por un camino poligonal, hay puntos en este camino que no pertenecen a S. En este caso, S no es conexo.

 

h. Puesto que S no es un conjunto abierto conexo, no es una región abierta o dominio.

 

i. La clausura de S es el conjunto 

 

j. El complemento de S es el conjunto de todos los puntos no pertenecientes a S, es decir, todos los puntos z i/n, para cualquier valor natural de n.

 

k. Existe una correspondencia punto a punto entre los elementos de S y los números naturales:

Por tanto, S es numerable.  

l. S es acotado pero no cerrado. Por esto, no es compacto.

 

m. La clausura de S es acotado y cerrado, y así es compacto.

8.2 Teoremas sobre conjuntos de puntos

1. Teorema Bolzano-Weierstrass. Todo conjunto infinito acotado tiene por lo menos un punto de acumulación.

 

2. Teorema de Heine-Borel. Sea S un conjunto compacto tal que cada punto está contenido en uno o más de los conjuntos abiertos A1, A2,... (los cuales forman un recubrimiento de S). Entonces existe un número finito de los conjuntos A1, A2,... que cubren a S.

9. Rectas, semiplanos y ángulos 8. Introducción a la topología del plano complejo

9.1 Rectas 9.2 Semiplanos 9.3 Ángulos 10. Funciones complejas 9.1 Rectas Una recta se puede dar en el plano complejo mediante una ecuación paramétrica z a bt, donde a y b son números complejos, y b 0; el parámetro t R. Dos ecuaciones z a bt y z a’ b’t, representan la misma recta si y sólo si (a’ – a) y b’ son múltiplos reales de b. Las rectas son paralelas cuando b’ sea un múltiplo real de b, y tienen la misma dirección cuando b’ es un múltiplo real positivo de b. La última distinción hace posible el considerar rectas orientadas. La dirección de una recta orientada puede identificarse con el argumento de b.

9.2 Semiplanos Los semiplanos superior e inferior están caracterizados por las condiciones Im z > 0 e Im z < 0, respectivamente. Análogamente, los semiplanos de la derecha y de la izquierda están determinados por Re z > 0 y Re z < 0. Los puntos de la recta z abt satisfacen la ecuación Im (z – a)/b 0. Parece, pues, natural decir que los puntos con Im (z – a)/b 0 y los puntos con Im (z – a)/b 0 están en diferentes semiplanos de los determinados por la recta. Si la recta está orientada, se conviene en llamar al semiplano con Im (z – a)/b 0 semiplano izquierdo y al otro, semiplano derecho. Es importante probar que esta distinción es independiente de la representación paramétrica. Supongamos que z a bt y z a’ b’t representan la misma recta orientada; entonces (a – a’)/b es real y b’/b > 0. De la primera condición se sigue que Im (z – a)/b Im (z – a’)/b, y por la segunda Im (z – a’)/b’ tiene igual signo o que Im (z – a’)/b, por tanto Im (z – a)/b e Im (z – a’)/b’ tienen el mismo signo. Se concluye que los semiplanos derecho e izquierdo están determinados de manera única. El segmento rectilíneo que une dos puntos z1 y z2 es el conjunto de puntos z t z1 (1–t) z2 con 0 t 1. No es difícil probar que el segmento rectilíneo que une dos puntos en el mismo semiplano con respecto a una recta está enteramente contenido en dicho semiplano en tanto que el segmento rectilíneo que une puntos en semiplanos distintos debe cortar a la recta dada (que define los dos semiplanos).

9.3 Ángulos

La palabra ángulo tiene al menos dos significados. Primero, se puede hablar de ángulo entre dos rectas orientadas. Si las restas están dadas por z a1tb1 y z a2 tb2, se define el ángulo entre ellas como el argumento del cociente b2/b1. Observemos que el ángulo depende del orden en que se mencionan las rectas (ángulo orientado). Además el ángulo tiene infinitos valores o ha de representarse como un número real módulo 2 (entre 0 y 2 ).

En una segunda interpretación, ángulo significa la porción del plano comprendida entre dos semirrectas con el origen común. Sea a un punto y 1 y 2 dos números reales que satisfacen la ecuación 0 2 – 1) 2. Los puntos z a, para los que un valor de arg (z – a)

satisface la desigualdad 1 < arg (z – a) < 2, forman un sector angular, que denotamos por Sa (1, 2),. Se dice que está contenido entre las semirrectas orientadas de direcciones 1 y 2, nombradas en este orden, y su medida angular es 2 – 1.

Recíprocamente, cualquier par de semirrectas distintas con origen en un mismo punto determinan dos sectores. Si las rectas son z a1 tb1 y z a2 tb2, podemos elegir como 1 un valor arbitrario de arg b1; y como valor de 2 arg b2 elegimos el valor que está contenido en el intervalo (1, 1 2 ). Los sectores entre las semirrectas son entonces Sa (1, 2) y Sa (2, 1 2 ), siendo sus medidas angulares 2 – 1 y 2 – (2 – 1). A no ser que las semirrectas tengan direcciones opuestas, una (y sólo una) de las medidas angulares es menor que ; el sector correspondiente es, por definición, el ángulo convexo entre las semirrectas. Es evidente que la definición no depende del orden de las semirrectas.

10. Funciones complejas

9. Rectas, semiplanos y ángulos

10.1 Variables y funciones 10.2 Funciones unívocas y multívocas 10.3 Funciones inversas 10.4 Transformaciones 10.5 Coordenadas curvilíneas 10.6 Funciones elementales 10.7 Puntos de ramificación y ramas

11 Estructura de los números complejos

10.1 Variables y funciones

Un símbolo, tal como z, que representa a cualquier elemento de un conjunto de números complejos se llama variable compleja.

Si a cada valor que puede tomar la variable compleja z le corresponde uno o más valores de una variable compleja w, decimos que w es una función de z y escribimos w = f(z). La variable z frecuentemente es llamada variable independiente, mientras que la variable w es la variable dependiente. El valor de una función en z = a se representa f (a).

10.2 Funciones unívocas y multívocas

Si a cada valor de z le corresponde sólo un valor de w, decimos que w es una función unívoca de z o que f (z) es unívoca. Si por el contrario, a cada valor de z le corresponde más de un valor de w diremos que la función es multívoca, multiforme o multivaluada.

Una función multiforme puede considerarse como una colección de funciones unívocas; cada miembro de esta colección se llamará rama de la función. Se suele considerar un

miembro particular como una rama principal de la función multiforme y el valor correspondiente a esta rama como el valor principal.

Ejemplos 18 y 19

Ejemplo 18

Si w = z2, entonces para cada valor de z existe un solo valor de w. Por tanto, f (z) = z2 es una función unívoca de z.

Ejemplo 19

Si w = z1/2, entonces para cada valor de z existen dos valores de w. Por ello, f (z) = z1/2 es una función multiforme (bivaluada en particular) de z.

A partir de ahora cuando hablemos de funciones, a menos que se diga explícitamente lo contrario, supondremos que se trata de funciones unívocas.

10.3 Funciones inversas

Si w = f (z), entonces podemos considerar z como una función de w, simbólicamente se representa por z = g (w) = f1(w). La función f1se llama función inversa de f. En tal caso w = f (z) y z = g (w) son funciones inversas (una de la otra).

10.4 Transformaciones

Si w = u + iv (donde u y v son reales) es una función unívoca de z = x + iy (donde x e y son reales), podemos escribir u + iv = f (x + iy). Igualando las partes reales e imaginarias, lo anterior equivale a

u = u (x, y) v = v (x, y) (1)

Entonces, al punto P(x, y) en el plano z le corresponde el punto P'(u, v) en el plano w.

El conjunto de ecuaciones (1) se llama una transformación. Decimos que el punto P se aplica o transforma en P' por medio de la transformación o que P' es la imagen de P para la transformación (1).

Ejemplo 20

Si w = z2, entonces u + iv = (x + iy)2 = x2 y2 + 2ixy y la transformación es u = x2 y2, v = 2xy. La imagen del punto (1,2) en el plano z es el punto (3,4) en el plano w.

10.5 Coordenadas curvilíneas

Dada la transformación w = f (z) o, equivalentemente u = u (x, y), v = v (x, y), (x, y) serán las coordenadas rectangulares de un punto P en el plano z, y (u, v) serán las coordenadas curvilíneas de P.

Las curvas u (x, y) = c1, v (x, y) = c2, donde c1 y c2 son constantes, se llaman curvas coordenadas y cada par de esas curvas se cortan en un punto. Esas curvas se aplican en rectas ortogonales entre sí en el plano w.

10.6 Funciones elementales

1. Funciones polinómicas 2. Funciones algebraicas racionales 3. Funciones exponenciales 4. Funciones trigonométricas 5. Funciones hiperbólicas 6. Funciones logarítmicas 7. Funciones trigonométrica e hiperbólicas inversas 8. La función z w 9. Funciones algebraicas y trascendentales

Las funciones de los tipos 1 a 8 y las derivadas de ellas por un número finito de operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y extracción de raíces se llaman funciones elementales.

10.6.1 Funciones polinómicas

Funciones polinómicas son las definidas por

w = P(z) = a0zn + a1zn1 + ··· + an1z1 + an

donde a0 0, a0, a1, .. an, son constantes complejas y n es un número entero positivo llamado el grado del polinomio P(z).

El caso particular w = az + b se llama transformación lineal.

Transformaciones lineales

Una transformación establece una correspondencia entre números o puntos. No difiere en absoluto de una función, pero se utiliza el término transformación cuando se desea dar la idea del reemplazamiento real de un punto por otro. Un ejemplo sencillo de transformación es un desplazamiento paralelo del plano complejo que reemplaza el punto z por el z a.

Se pueden imaginar los puntos z y z a situados en el mismo plano o en diferentes planos. En el primer caso, una notación adecuada sería z za; en el segundo, deberíamos utilizar la notación funcional w za. Con mayor generalidad, si se denota una transformación por T, escribiremos z Tz o w Tz.

a) El grupo lineal b) Transformaciones elementales c) La razón doble

a) El grupo lineal

Consideremos la transformación

       [1]

cuyos coeficientes a, b, c y d son números complejos. Imponemos además ad – bc 0 para que w no sea independiente de z. Con esta condición se evita también que el denominador sea idénticamente nulo.

Con objeto de establecer una correspondencia entre los planos ampliados, añadimos los siguientes valores convencionales a los definidos por [1] :

1. si c 0, w para z –d/c y wa/c para z 2. si c 0, w para z

La transformación ampliada w Tz se llama una transformación lineal.

La ecuación [1] puede resolverse con respecto a z dando

Esta transformación puede ampliarse de la misma forma; la transformación lineal resultante es inversa de la T, y se denota, por consiguiente, por T-1. La existencia de una inversa muestra que la correspondencia definida por T es biunívoca.

T está determinada por una matriz de segundo orden

cuyo determinante es ad – bc 0. Está también determinada por cualquier múltiplo no nulo

       0

de la misma matriz.

La notación matricial resulta conveniente principalmente porque conduce a la determinación sencilla de una transformación compuesta w T1T2 z. Si utilizamos subíndices para distinguir entre las matrices correspondientes a T1 y T2, es fácil comprobar que T1T2 está determinada por la matriz producto.

Todas las transformaciones lineales forman grupo. En efecto, la propiedad asociativa (T1T2)T3 T1(T2T3) se verifica para transformaciones arbitrarias, la identidad w z es una transformación lineal y la inversa de una transformación lineal es lineal.

b) Transformaciones elementales

Las transformaciones lineales más sencillas están dadas por matrices de la forma

La primera de ellas se llama traslación paralela. La segunda es una rotación si |k| 0, y una homotecia si k > 0 (si k < 0 se puede escribir k |k| · k/|k|, y por lo tanto la transformación es una homotecia seguida de una traslación paralela). La última transformación se llama una inversión.

Si c 0, podemos escribir

y esta descomposición muestra que la transformación lineal más general se compone de una traslación, una inversión, una rotación y una homotecia seguida de otra traslación. Si c 0, desaparece la inversión y no es necesaria la última traslación.

c) La razón doble

Dados tres puntos distintos z2, z3, z4 en el plano ampliado, existe una transformación lineal T que transforma estos puntos en 0, 1, . Si ninguno de los puntos dados es , T podrá escribirse

Si z2, z3 ó z4, la transformación se reduce, respectivamente, a

Se define la razón doble de cuatro puntos, y se denota por (z1, z2, z3, z4), a la imagen de z1 mediante la transformación lineal que transforma z2, z3, z4 en 0, 1, .

La razón doble es invariante respecto a las transformaciones lineales. Con una formulación más precisa:

Si z1, z2, z3, z4 son puntos distintos en el plano ampliado y S es una transformación lineal cualquiera, se tiene que (S z1, S z2, S z3, S z4) (z1, z2, z3, z4).

La razón doble (z1, z2, z3, z4) es real si y sólo si los cuatro puntos son concíclicos o están alineados.

Una transformación lineal transforma circunferencias en circunferencias.

10.6.2 Funciones algebraicas racionales

Funciones algebraicas racionales son las definidas por 

donde P(z) y Q(z) son polinomios. Algunas veces llamamos a estas funciones transformaciones racionales.

El caso especial  , donde ad bc 0, se llama habitualmente transformación bilineal.

10.6.3 Funciones exponenciales

Funciones exponenciales son las definidas por

donde e = 2'71828... es la base de los logaritmos naturales. Si a es un número real positivo definimos

donde ln a es el logaritmo natural de a.

Las funciones exponenciales complejas tienen propiedades semejantes a las de las

funciones exponenciales reales, por ejemplo,  .

10.6.4 Funciones trigonométricas

Definimos las funciones trigonométricas o circulares usando las funciones exponenciales de la siguiente manera  

Muchas de las propiedades de las funciones trigonométricas reales son también válidas para el caso de las funciones trigonométricas complejas. Por ejemplo:

10.6.5 Funciones hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas están definidas como sigue:  

Las siguientes propiedades son válidas:

Observación

Es fácil comprobar que se cumplen las siguientes relaciones entre funciones circulares y funciones hiperbólicas:  

10.6.6 Funciones logarítmicas

Si z = ew, entonces escribimos w = ln z, llamado el logaritmo natural de z. Entonces la función logaritmo natural es la inversa de la función exponencial y podemos definirla por

donde z reirei(2k )

Esta función es multivaluada, por ello se define el valor principal o rama principal de la función ln z como ln z i, donde  . Esta definición es un convenio, se podría definir de igual forma tomando en cualquier intervalo de amplitud 2 .

La función logarítmica compleja se puede definir para cualquier base real, como la inversa de la correspondiente función exponencial.

10.6.7 Funciones trigonométrica e hiperbólicas inversas

Sabiendo que la función logarítmica es la inversa de la exponencial, y a la vista de las definiciones de las funciones trigonométricas e hiperbólicas, es fácil definir sus correspondientes funciones inversas.

10.6.8 La función zw

La función zw, donde w puede ser complejo, está definida como ew · ln z. Análogamente, si f (z) y g(z) son dos funciones conocidas de z, podemos definir f (z)g(z)eg(z) · ln f (z). En general este tipo de funciones son multivaluadas.

10.6.9 Funciones algebraicas y trascendentales

Si w es una solución de la ecuación

polinómica  , donde los Pi (z) son

polinomios en z, P0 no es nulo y n es un entero positivo, entonces w f (z) se llama una función algebraica de z.

Ejemplo 21

Ejemplo 21

w = z1/2 es una solución de la ecuación w2z 0, por tanto es una función algebraica de z.

Cualquier función que no se puede expresar como una solución de una ecuación polinómica como la anterior se llama una función trascendental. Las funciones logarítmicas, trigonométricas e hiperbólicas y sus correspondientes inversas son funciones trascendentales.

10.7 Puntos de ramificación y ramas

Sea la función w = z1/2, y supongamos que z dé una vuelta completa (en sentido positivo) alrededor del origen empezando desde el punto A.

Tenemos que z rei con lo que  , por tanto en A se tendrá  . Pero

después de una vuelta completa  . Es decir, no hemos obtenido el mismo valor de w que al principio, sin embargo al dar una segunda vuelta se llega

a  , es decir el mismo valor de w que al empezar.

Para describir la situación diremos que si  estamos en una rama de la función multivaluada z1/2, mientras que si  estamos en otra rama de la función.

Está claro que cada rama de la función es unívoca. Con el fin de mantener la función unívoca, escogemos una barrera artificial tal como OB, donde B está en el infinito (aunque

podríamos usar cualquier línea que pase por el origen), la cual acordamos no cruzar. Esta barrera se llama una rama y el punto O un punto de ramificación.

Hay que observar que una vuelta alrededor de cualquier otro punto distinto del origen no conduce a valores diferentes, es decir, el origen es el único punto de ramificación.

Ejemplo 22

Vamos a probar que f (z) ln z tiene un punto de ramificación en z 0.

Tenemos ln z ln r i. Supongamos que comenzamos en algún punto z1 0 en el plano complejo para el cual r r1, 1 así que ln z1ln r1 i1. Entonces después de dar una vuelta completa alrededor del origen en el sentido positivo o negativo, hallamos que al volver a z1 que r r1, 1 2 de modo que ln z1 ln r1i(1 2 ). Luego estamos en otra rama de la función, y así z 0 es un punto de ramificación.

Otras vueltas completas alrededor del origen conducen a otras ramas y nunca retornamos a la misma rama como sucedía con la función z1/2.

Se deduce que ln z es una función multivaluada de z con infinitas ramas. La rama particular de ln z que es real cuando z es real y positivo es llamada la rama principal. Para obtener esta rama hacemos 0 cuando z 0. Esto se tiene tomando ln z ln r iq donde q se escoge tal que 0 < 2 o , etc.

Como una generalización observamos que ln (za) tiene un punto de ramificación z a.

11. Estructura de los números complejos

Al ser el conjunto C una ampliación de R, las operaciones definidas en C han de satisfacer las mismas leyes formales que en R. En particular cuando los números pertenezcan a R, las nuevas operaciones han de coincidir con las definidas anteriormente en R.

10. Funciones complejas

11.1 El grupo aditivo de los números complejos. 11.2 El grupo multiplicativo de los números complejos. 11.3 El cuerpo de los números complejos 11.4 Isomorfismo entre R y C*={(a,0)}

11.1 El grupo aditivo de los números complejos(a,0)

11.1.1 Adición de números complejos 11.1.2 Propiedades de la adición en C 11.1.3 Sustracción de números complejos

11.1.1 Adición de números complejos (a,0)

La suma de dos números complejos es otro complejo que tiene por componente real la suma de las componentes reales y por componente imaginaria la suma de las componentes imaginarias de los sumandos.

Como la adición es ley de composición interna en elconjunto R de los números reales, a+c y b+d son números reales.

Por consiguiente, la operación así definida es una aplicación CxC en C y por tanto una ley de composición interna en C.

La suma de dos complejos conjugados es un número real. Sean dos complejos conjugados (a,b) y (a,-b). Se tiene:

11.1.2. Propiedades de la adición en C

Puesto que la suma de complejos equivale a dos sumas de números reales, sus propiedades son las mismas que en R:

I. Asociativa: 

 

 

Sea x=(a,b), y = (c,d), z = (e,f), se cumple:

(x+y) +z = [(a,b)+(c,d)]+(e,f)=(a+c,b+d)+(e,f)=(a+c+e,b+d+f)=(a,b)+(c+e,d+f)=(a,b)+[(c,d)+(e,f)]

=x+(y+z)

II. Conmutativa: x+y=y+x

 

 

Sea x=(a,b), y = (c,d) por la conmutatividad en R tenemos:

x+y=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)=(c+a,d+b)=(c,d)+(a,b)=y+x  

III. Elemento neutro. El elemento neutro es (0,0), pues:

 

 

Al complejo (0,0) se le llama complejo cero, y es el elemento neutro de la adición.  

IV. Elemento simétrico

A todo complejo (a,b) le corresponde un simétrico u opuesto de él, que es el número (-a,-b)

 

Estas cuatro propiedades de la adición nos prueban que (C,+) tienen estructura de :

GRUPO CONMUTATIVO

11.1.3. Sustracción de números complejos

Como consecuencia de la estructura de grupo aditivo de los números complejos, la operación inversa o resta está siempre definida

Se llama resta de dos complejos (a,b) y (c,d) al complejo que resulta de sumar al primero (minuendo) el opuesto del segundo (sustraendo).

11.2 El grupo multiplicativo de los números complejos  (a,0)

11.2.1 Multiplicación de números complejos 11.2.2 Propiedades de la multiplicación en C 11.2.3 División de números complejos

11.2.1. Multiplicación de números complejos

El producto de dos números complejos es otro complejo que se obtiene escribiendo los complejos dados en forma binómica y realizando la multiplicación algebraica, teniendo en cuenta que i2 = -1

Es decir:

Como se ve, esta operación es una aplicación de CxC en C, luego es una ley de composición interna definida en C.

Para dos números reales (a,0) y (b,0), se obtiene en particular:

que coincide con la definición dada en R.

El producto de dos números complejos conjugados es un número real.

Sean dos complejos conjugados (a,b) y (a,-b). Se tiene:

11.2.2. Propiedades de la multiplicación en C

Puesto que el producto de complejos se basa en el producto de reales, sus propiedades serán las mismas que las del producto en R:

I. Asociativa:

 

 

 

II. Conmutativa:

 

 

 

III. Elemento neutro: El elemento neutro es (1,0), pues:

 

 

(a,b)(1,0)=(a1-b0,a0+b1)=(a,b)

(1,0)(a,b)=(1a-0b,1b+0a)=(a,b)

El número complejo (1,0) es el elemento unidad, elemento neutro de la multiplicación.  

IV. Elemento simétrico:

 

 

A todo número complejo (a,b) distinto del (0,0) le corresponde un simétrico o inverswo de él (a´,b´) que cumple:

(a,b).(a´,b´) = (1,0)

Para hallar el inverso de (a,b) formaremos el producto indicado e identificaremos resultados:

(a,b).(a´,b´) = (aa´-bb´,ab´+ba´)=(1,0)

Luego :

Y por tanto el inverso de (a,b) es:

 

V. Distributiva:

 

 

Las propiedades I, II, III y IV de la multiplicación nos prueban que ( C-{(0,0)} , . ) tiene estructura de GRUPO CONMUTATIVO

11.2.3. División de números complejos

Por ser [C-{(0,0)}, . ] un grupo, todo elemento exceptuando el (0,0) tiene inverso y, por tanto, se puede realizar siempre la operación inversa del producto.

Para dividir dos números complejos se escribe el cociente indicado en forma binómica, y se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador.

11.3 El cuerpo de los números complejos

Hemos visto que:

1. [C,+] es un grupo aditivo conmutativo2. [C-{(0,0)}, .] es un grupo multiplicativo conmutativo3. La multiplicación es distributiva respecto de la suma

Como consecuencia, el conjunto [C,+, .] tiene estructura de CUERPO CONMUTATIVO

11.4 Isomorfismo entre R y C*={(a,0)}

Representamos por C* al subconjunto de elementos de C cuya componente imaginaria es nula.

Existe una aplicación

a. Es aplicación biyectiva pues a cada elemento de C* corresponde un elemento de R y cada elemento de R es imagen de un elemento de C*.

1.- Conserva la suma: la imagen de la suma es igual a la suma de las imágenes

2.- Conserva el producto: la imagen del producto es igual al producto de las imágenes

Estas propiedades son las de un isomorfismo que conserva las leyes de adición y multiplicación.

Por eso decimos que:

1. Un número complejo que tiene la segunda componente nula es un número real [los números (a,0) son reales]

2. Un número complejo que tiene nula su componente real es un imaginario puro [los números (0,b)=bi]