Numeros Complejos

Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Ecuaciones e inecuaciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

1

ECUACIONES E INECUACIONES

UNIDAD III III.1 DEFINICIÓN DE NÚMERO COMPLEJO A fin de entender la importancia del estudio de los números complejos, brevemente se definirán los diferentes conjuntos de números y se establecerán las sucesivas ampliaciones como consecuencia de la necesidad de realizar nuevas operaciones hasta llegar a la insuficiencia de los números reales. Cuando se habla de conjuntos numéricos se suele comenzar por el conjunto de los números naturales. Los números naturales N son aquellos que sirven para contar, es decir son:

{ }⋅⋅⋅= ,7,6,5,4,3,2,1N Nótese como el cero no es un número natural y que N es un conjunto infinito. En este conjunto sólo se pueden efectuar las operaciones de suma y producto. Los números enteros aparecen cuando se necesita hacer restas, cuyos resultados no estén en N . De esta manera, los números enteros se definen así:

{ }Nb,a,baxxZ ∈−==

Esto significa que { }⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅= ,3,2,1,0,1,2,3,Z Este también es un conjunto infinito y en él sólo se pueden efectuar las operaciones de suma, resta y multiplicación. Los números racionales surgen cuando se requieren efectuar divisiones, cuyos resultados no estén en Z . Por ello, los números racionales se definen como:

≠∈== 0b,Zb,a

b

axQ

Esto significa que cualquier cociente de números enteros en el que el denominador no sea cero es un número racional. Los números racionales también son un conjunto infinito y se pueden escribir como números decimales periódicos.

Ejemplos de racionales pueden ser: ⋅⋅⋅− 737373.0,35.0,7

4,

2

3.

Con estos números se puede sumar, restar, multiplicar y dividir, pero no se pueden extraer raíces cuyos resultados estén no en Q , por lo tanto se necesita definir un nuevo conjunto: Así, los números irracionales, denotados por 'Q son los números decimales que no son racionales. En general, este conjunto de números se puede clasificar como:


2

No trascendentes (Aquellos que se obtienen de la extracción de raíces inexactas) Números irracionales Resultado de la evaluación de funciones trigonométricas, trigonométricas inversas, logarítmicas y exponenciales Trascendentes Números especiales como ,, eπ etc.

Ejemplos de irracionales algebraicos pueden ser: 53 136,21,2 .

Ejemplos de irracionales trascendentes pueden ser: 410

1 ,526log,4367.0tan,32 esen −° .

A fin de distinguir a los racionales de los irracionales basta con escribirlos en forma decimal. Son números racionales aquellos que son periódicos (sus decimales se repiten) o los que tienen un número finito de decimales. Por su parte, son números irracionales aquellos que poseen cifras decimales infinitas y que no son periódicos (sus decimales no se repiten). En los números irracionales se puede sumar, restar, multiplicar, dividir, extraer cualquier raíz de un número positivo y extraer raíces de números negativos pero de índice impar. El conjunto de los números reales es el formado por la unión de racionales e irracionales. Esto es:

'QQR U= En este conjunto se pueden efectuar todas las operaciones, excepto dos: la división por cero y la extracción de raíces negativas de índice par. Los números reales presentan insuficiencias cuando se desea extraer raíces negativas en general. Como consecuencia, se debe definir un nuevo conjunto: Los números imaginarios son todos aquellos que se obtienen de extraer raíces de índice par a números

negativos. Su unidad es: 1−=i y su definición formal es:

{ }1, −=∈== iRbbixI

Ejemplos de números imaginarios pueden ser: 2,98.0,5

7,4 −− iii .

La propiedad fundamental de los números imaginarios es que multiplicando su unidad por si misma se

obtiene un número real. Esto es: 12 −=i Con esta propiedad se resuelve el problema de la extracción de raíces cuadradas de números negativos,

por ejemplo: ( ) i319199 =−=−=−

Nótese como el producto de un número imaginario puro por uno real es otro imaginario puro. Se denomina número complejo a toda una expresión de la forma biaz += donde ba, son números

reales e i es la unidad imaginaria. El primer término del binomio es la parte real del número complejo y la segunda es su parte imaginaria.


3

En términos generales, el conjunto de los números complejos en forma binómica puede expresarse de la siguiente forma:

{ }1,, −=∈+== iRbabiazC

Ejemplos de números complejos:

iz 831 +=

iz −−= 52

iz2

9

7

43 +=

iz 47.539.64 −=

55 −+π−=z

Si 0=a , el número complejo es un imaginario puro. Si 0=b el número complejo se convierte en un número real. Un número complejo es igual a cero sólo si sus dos partes son iguales a cero. Esto es:

0,00 ==⇔=+ babia Dos números complejos son iguales si son iguales sus respectivas partes reales e imaginarias:

dbcadicbia ==⇔+=+ ,

Como puede verse la igualdad en los números complejos requiere de dos igualdades entre números reales. III.2 FORMAS DE EXPRESAR NÚMEROS COMPLEJOS Los números complejos pueden representarse gráficamente trazando dos ejes perpendiculares. El eje de abscisas representa la parte real a del número complejo y sobre el eje de ordenadas la parte

imaginaria .b Por lo tanto, el número complejo biaz += queda representado por el punto ( )baP , del plano.

( )baP ,

Im

R

b

a

r

o

α


4

Ejemplo. Representar gráficamente los siguientes números complejos:

iziziziz 45,23,34,42 4321 −=−−=+−=+=

Solución.

1 432 5-1-2-3-4-5

Z3 =(-3,-2)

1

2

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

3

Z1 =(2,4)

Z4 =(5,-4)

Z2 =(-4, 3)

Im

R

El origen de coordenadas O y el punto P determinan un vector OP que se puede considerar la

representación vectorial del número complejo biaz += . La longitud r del vector OP se llama módulo del número complejo. De esta forma, a cada número complejo biaz += corresponde un punto P , y recíprocamente, a cada punto corresponde un número complejo. De este modo queda establecida una aplicación biyectiva entre los puntos del plano y los números complejos. A la manera de representar un número complejo como

( )baz ,= se denomina forma vectorial. De la figura de la página anterior se aprecia que se forma un triángulo rectángulo, por lo tanto, aplicando

el teorema de Pitágoras y considerando el módulo positivo, se tiene: 222 bar +=

22 bar +=∴

Por su parte, la tangente del ángulo está dada por: a

b=αtan

a

b1tan−=α∴

El número r se llama módulo y α argumento del número complejo biaz += . Si [ ]π∈α 2,0 se obtiene el argumento principal.

La expresión ( )α⋅+α= senirz cos se llama forma trigonométrica del número complejo biaz += ,

donde a y b representan las proyecciones del módulo con respecto a los ejes, ya que se cumple que:


5

α=α=

rsenb

ra cos

Si α+α isencos se le abrevia como cis , el número complejo se expresa en su forma cis, esto es:

α= rcisz . Para fines aún más prácticos, un número complejo puede expresarse en su forma polar o de Steinmetz como: α∠= rz La relación entre la función exponencial de un exponente imaginario y las funciones trigonométricas está

dada por: ieisen α=α+αcos . Por lo tanto, todo número complejo también puede expresarse en forma

exponencial o de Euler como: irez α= . Nótese que en esta forma, el argumento debe estar expresado en radianes. De acuerdo con lo anterior, se pueden resumir todas las formas de expresar un número complejo en la siguiente tabla:

Forma Expresión Argumento dado en: Binómica o Cartesiana biaz += -

Vectorial ( )baz ,= -

Trigonométrica ( )α⋅+α= senirz cos Grados

Cis α= rcisz Grados

Polar α∠= rz Grados

Exponencial o de Euler irez α= Radianes

Para efectuar las transformaciones entre las diversas formas se tiene que considerar lo siguiente: • Para pasar de la forma binómica a la vectorial o viceversa basta tener en cuenta la correspondencia

biunívoca entre los valores: biaz += equivale a ( )baz ,=

• Para convertir de la forma binómica a la forma trigonométrica se aplican las fórmulas:

• 22 bar += y

a

b1tan−=α

Hay que tener cuidado con la ubicación de los números en el plano a fin de no cometer errores con los signos. La siguiente tabla condensa los ajustes que deben aplicarse cuando no se tiene una calculadora que efectúe las conversiones de manera automática:

Signo Cuadrante Agregar al argumento:

+,+ I 0° -,+ II 180° -,- III 180° +,- IV 0°

• Para pasar de la forma trigonométrica a la forma binómica se aplican las fórmulas:


6

α= cosra y α= rsenb • Las formas cis y polar son sólo abreviaciones de la forma trigonométrica ya que el módulo y el

argumento son los mismos. • Para convertir de la forma trigonométrica a la exponencial el módulo no cambia pero el argumento

debe expresarse en radianes. Inversamente, cuando se desea convertir de la forma exponencial a la trigonométrica debe expresarse en grados. Para ambos casos, sólo es necesario recordar que

°=π 360.2 rad .

Ejemplos.

1) Expresar el número iz 431 += en todas sus formas. Solución.

En forma vectorial: ( )4,31 =z

52516943 22 ==+=+=r

( ) °≈≈=α −− 13.53333.1tan3

4tan 11

como está en el primer cuadrante, el argumento no necesita ajuste.

( )°⋅+°= 13.5313.53cos51 seniz

°= 13.5351 cisz

°∠= 13.5351z

( )( ).9272.0

360

13.53.213.53.

360.2rad

radx

radx

rad=

°°π=

°=°=π

iez 9272.01 5=

2) Dado ( )5,22 −−=z transformarlo a todas sus formas. Solución.

En forma binómica: iz 522 −−=

( ) ( ) 38.52925452 22 ≈=+=−+−=r

( ) °≈≈−−=α −− 19.685.2tan

2

5tan 11

como está en el tercer cuadrante, el argumento necesita un ajuste de 180°: °=°+°=α 19.24818019.68

( )°⋅+°= 19.24819.248cos38.52 seniz

°= 19.24838.52 cisz

°∠= 19.24838.52z

( )( ).331.4

360

19.248.219.248.

360.2rad

rad

rad

rad=

°°π=α

°=α°=π

iez 331.42 38.5=

3) Transformar el número ( )°⋅+°= 4040cos5.63 seniz a todas sus formas.

Solución: 979.440cos5.6 =°=a


7

178.4405.6 =°= senb

iz 178.4979.43 +=

( )178.4,979.43 =z

°= 405.63 cisz

°∠= 405.63z

( )( ).698.0

360

40.240.

360.2rad

rad

rad

rad=

°°π=α

°=α°=π

iez 698.03 5.6=

4) Obtener todas las equivalencias del número °= 15024 cisz . Solución:

732.1150cos2 −=°=a

11502 =°= senb

iz +−= 732.14

( )1,732.14 −=z

( )°⋅+°= 150150cos24 seniz

°∠= 15024z

( )( ).617.2

360

150.2150.

360.2rad

rad

rad

rad=

°°π=α

°=α°=π

iez 617.24 2=

5) Convertir el número °∠−= 607.45z a todas sus formas.

Solución: 35.260cos7.4 −=°−=a

070.4607.4 −=°−= senb

iz 07.435.25 −−=

( )07.4,35.25 −−=z

( )°⋅+°−= 6060cos7.45 seniz

°−= 607.45 cisz

( )( ).047.1

360

60.260.

360.2rad

rad

rad

rad=

°°π=α

°=α°=π

iez 047.15 7.4−=

6) Expresar en sus diversas formas al número iez 5.36 8= .

Solución:

( )( ) °=π

°=α

°α=°=π

53.200.2

360.5.3.5.3

360.2

rad

rad

rad

rad

( )°⋅+°= 53.20053.200cos86 seniz

°= 53.20086 cisz


8

°∠= 53.20086z

491.753.200cos8 −=°=a

805.253.2008 −=°= senb

iz 805.2491.76 −−=

( )805.2,491.76 −−=z

III.3 OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS III.3.1 SUMA

Sean biaz +=1 y dicz +=2 dos números complejos, entonces 21 zz + se define como:

( ) ( )idbcazz +++=+ 21 Esto significa que se suman respectivamente las partes reales y las imaginarias. Esta operación sólo se puede efectuar en forma binómica y vectorial. Ejemplos. Sumar los siguientes números complejos:

1) iz 241 += y iz 632 += Solución:

( ) ( ) iizz 87623421 +=+++=+

2) iz 92

51 += y iz 4

2

72 −=

Solución:

( )( ) iizz 56492

7

2

521 +=−++

+=+

3) ( )4.1,9.31 −=z y ( )6.2,4.52 −−=z Solución:

( ) ( )( ) ( )4516241459321 −−=−+−−+=+ ,...,..zz III.3.2 RESTA

Sean biaz +=1 y dicz +=2 dos números complejos, entonces 21 zz − se define como:

( ) ( )idbcazz −+−=− 21 Para obtener la resta de dos números complejos se restan respectivamente las partes reales y las imaginarias. Al igual que la suma, la resta sólo se puede efectuar en forma binómica y vectorial. Ejemplos. Restar los siguientes números complejos:

1) iz 1051 += y iz 812 +=


9

Solución: ( ) ( ) iizz 248101521 +=−+−=−

2) iz5

6

4

31 −−= y iz

7

2

3

72 −=

Solución:

izz

−−−+

−−=−7

2

5

6

3

7

4

321

ii35

32

12

37

35

1042

12

289 −−=+−+−−=

3) ( )5.4,4.61 −=z y ( )3.1,2.22 −=z Solución:

( )( ) ( )2.3,2.43.15.4,2.24.621 −=−−−−=− zz III.3.3 PRODUCTO

Sean biaz +=1 y dicz +=2 dos números complejos, entonces 21 zz ⋅ viene dado por:

( ) ( ) 221 bdibciadiacdicbiazz +++=+⋅+=⋅ , pero considerando que 12 −=i y agrupando las

respectivas partes reales y las imaginarias, se tiene que:

( ) ( )ibcadbdaczz ++−=⋅ 21

Ejemplos. Multiplicar los siguientes números complejos:

1) iz 351 += y iz 242 += Solución:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) iiizz 221412106204325234521 +=++−=++−=⋅

2) iz −= 71 y iz4

9

2

32 −−=

Solución:

( ) ( ) izz

−−+

−+

−−−

−=⋅2

31

4

97

4

91

2

3721

i

+−+

−−=2

3

4

63

4

9

2

21

ii4

57

4

51

4

663

4

942 −−=

+−+

−−=

3) ( )5.2,101 −−=z y ( )8,5.32 −=z Solución:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )25.71,5575.880,20355.35.2810,85.25.31021 −=+−+=−−+−−−−−=⋅ zz


10

Sean ( )1111 cos α⋅+α= senirz y ( )2222 cos α⋅+α= senirz dos números complejos, entonces el

producto 21 zz ⋅ viene dado por:

( ) ( )22211121 coscos α⋅+α⋅α⋅+α=⋅ senirsenirzz

( ) ( )[ ]212121212121 coscoscoscos αα+αα+αα−αα⋅=⋅ sensenisensenrrzz Pero se sabe que:

( ) 212121 coscoscos αα−αα=α+α sensen

( ) 212121 coscos αα+αα=α+α sensensen Por lo tanto:

( ) ( )[ ]21212121 cos α+α⋅+α+α⋅=⋅ senirrzz

Similarmente, si 111 α∠= rz y 222 α∠= rz entonces el producto 21 zz ⋅ es:

( )212121 α+α∠⋅=⋅ rrzz

De forma análoga, si 111 α= cisrz y 222 α= cisrz entonces el producto 21 zz ⋅ está dado por:

( )212121 α+α⋅=⋅ cisrrzz Esto significa que en estos tres casos se multiplican respectivamente los módulos y se suman los argumentos. Las multiplicaciones en estas formas simplifican muchas operaciones por su facilidad. Ejemplos. Multiplicar los siguientes números complejos:

1) ( )°⋅+°= 4040cos21 seniz y ( )°⋅+°= 2525cos82 seniz Solución:

( ) ( ) ( )°⋅+°=°⋅+°⋅°⋅+°=⋅ 6565cos162525cos84040cos221 senisenisenizz

2) °∠= 2041z y °∠= 5032z Solución:

( )( ) °∠=°∠°∠=⋅ 7012503204021 zz

3) °= 3261 cisz y °−= 2742 cisz

( )( ) °−=°−°=⋅ 592427432621 ciscisciszz

Sean ierz 111

α= y ierz 222

α= dos números complejos, entonces el producto 21 zz ⋅ se define como:

( )ierrzz 212121

α+α⋅=⋅ Esto significa que se multiplican respectivamente los módulos y se suman los argumentos en radianes de la exponencial. Ejemplos. Multiplicar los siguientes números complejos expresados en forma exponencial:

1) iez 21 5= y

iez 42 3=

Solución:


11

( )( ) iii eeezz 64221 1535 ==⋅

2) iez 4.11 6.2−= y

iez 7.22 3.1=

Solución:

( )( ) iii eeezz 1.47.24.121 38.33.16.2 −=−=⋅

III.3.4 COMPLEJOS CONJUGADOS Y COMPLEJOS OPUESTOS Dos números complejos se llaman conjugados si tienen iguales sus componentes reales y opuestas sus componentes imaginarias. Gráficamente son simétricos respecto del eje real (eje de abscisas). Esto es, dado un número complejo biaz += , su conjugado denotado como z es:

biaz −= .

biaz +=

biaz −=

a

b

b−

Im

R

Ejemplos.

1) iz 271 −=

iz 271 +=

2) iz5

9

3

112 +−=

iz5

9

3

112 −−=

3) ( )2.6,3.53 −−=z

( )2.6,3.53 −=z

Dos números complejos se llaman opuestos si tienen opuestas sus dos componentes. Gráficamente son simétricos respecto del origen de coordenadas. Esto es, dado un número complejo biaz += , su opuesto denotado como z− es:

biaz −−=−


12

biaz +=

biaz −−=−

a

b

b−

a−

Im

R

Propiedades: 1. Si α∠= rz entonces °+∠=− 180αrz

2. ( )zz −=−

3. Si α∠= rz entonces α−∠= rz Los números complejos con magnitud negativa no existen, sin embargo, algunos textos los contemplan, por lo que en ese caso se debe aplicarse la siguiente expresión para transformarlos a una notación correcta:

°+α∠=α∠−= 180rrz Similarmente, en el caso de que erróneamente se presente un número complejo con magnitud negativa y argumento negativo, debe aplicarse la siguiente expresión para convertirlo a una forma correcta:

180+α−∠=α−∠−= rrz Si se tiene un número complejo con argumento negativo y si se desea hacerlo positivo, basta con ajustarlo con:

°+α−∠=α−∠= 360rrz Ejemplos.

1) °∠=°∠−= 2101030101z

2) °∠=°−∠−= 1501030102z

3) °∠=°−∠= 3301030103z

III.3.5 COCIENTE

Sean biaz +=1 y dicz +=2 dos números complejos. Para obtener 2

1

z

z basta con multiplicar el

numerador y el denominador por el complejo conjugado del 2z a fin de que el denominador resultante sea real:


13

222

2

2

1

idc

bdibciadiac

dic

dic

dic

bia

z

z

−−+−=

−−⋅

++=

( ) ( )

222

1

dc

iadbcbdac

z

z

+−++=

Ejemplos. Dividir los siguientes números complejos:

1) iz 13261 −= y iz += 82 Solución:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )i

iii

z

z23

65

130195

164

2610413208

18

1268)13(1)13(82622

2

1 −=−=+

−−+−=+

−−+−+=

2) iz 1061 += y iz 212 −= Solución:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )

( ) ( )ii

iii

z

z4.48.2

5

22

5

14

5

2214

41

1210206

21

261102101622

2

1 +−=+−=+−=+

++−=−+

−−+−+=

3) ( )21,271 −=z y ( )3,52 −=z Solución:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )

( ) ( )i

iii)()(

z

z

17

12

17

99

34

24198

925

8110563135

35

32752132152722

2

1 +−=+−=+

−+−−=+−

−−−+−+−=

Sean ( )1111 cos α⋅+α= senirz y ( )2222 cos α⋅+α= senirz dos números complejos. El cociente 2

1

z

z

viene dado por: ( )( )222

111

2

1

cos

cos

α⋅+αα⋅+α=

senir

senir

z

z

si se multiplica el numerador y el denominador por el complejo conjugado de 2z :

( )( )

( )( )222

222

222

111

2

1

cos

cos

cos

cos

α⋅−αα⋅−α⋅

α⋅+αα⋅+α=

senir

senir

senir

senir

z

z

( ) ( )[ ]( )2

22

222

2121212121

2

1

cos

coscoscoscos

α+ααα+αα−+αα+αα⋅=

senr

sensenisensenrr

z

z

Pero se sabe que: ( ) 212121 coscoscos αα+αα=α−α sensen

( ) 212121 coscos αα−αα=α−α sensensen

1cos 22

22 =α+α sen

Por lo tanto:

( ) ( )[ ]21212

1

2

1 cos α−α⋅+α−α= senir

r

z

z


14

Similarmente, si 111 α∠= rz y 222 α∠= rz , entonces el cociente 2

1

z

z es:

( )212

1

2

1 α−α∠=r

r

z

z

De forma análoga, si 111 α= cisrz y 222 α= cisrz entonces el cociente 2

1

z

z está dado por:

( )212

1

2

1 α−α= cisr

r

z

z

Esto significa que en estos tres casos se dividen respectivamente los módulos y se restan los argumentos. Los cocientes en estas formas también simplifican muchas operaciones por su facilidad. Ejemplos. Dividir los siguientes números complejos:

1) ( )°⋅+°= 6060cos101 seniz y ( )°⋅+°= 3535cos22 seniz Solución:

( ) ( )[ ] ( )°⋅+°=°−°⋅+°−°= 2525cos535603560cos2

10

2

1 seniseniz

z

2) °∠= 14081z y °∠= 29042z Solución:

( ) °∠−=°−∠=°−°∠= 30215022901404

8

2

1

z

z

3) °= 1461 cisz y °= 121152 cisz

( ) ( ) °=°−=°−°= 2534.01074.01211415

6

2

1 cisciscisz

z

Sean ierz 111

α= y ierz 222

α= dos números complejos, entonces el cociente 2

1

z

z se define como:

( )ier

r

z

z21

2

1

2

1 α−α=

Esto significa que se dividen respectivamente los módulos y se restan los argumentos en radianes de la forma exponencial. Ejemplos. Dividir los siguientes números complejos expresados en forma exponencial:

1) iez 51 24= y

iez 32 8=

Solución:


15

( ) ii eez

z 235

2

1 38

24 == −

2) iez 8.11 17= y iez 9.2

2 5 −= Solución:

( )( ) i.i.. e.ez

z 749281

2

1 435

17 == −−

III.3.6 POTENCIA Imaginarios puros Las potencias de i superiores a uno se pueden reducir de la siguiente manera:

12 −=i

( ) iiiii −=−== 123

( ) 1234 =−=−== iiiiii

( ) iiiii === 145

( ) 1256 −==== iiiiii Si se graficaran los resultados anteriores se observa que las potencias inician en 1− y que cada vez que se multiplica por i el resultado gira 90° a la izquierda hasta que lle ga nuevamente a 1− donde empieza un nuevo ciclo.

14 =i

ii =1

ii −=3

12 −=i

Im

R

Complejos

Considerando que ( )212121 α+α∠⋅=⋅ rrzz

Si 21 zz =

( ) ( ) 12

11111112

1 2α∠=α+α∠⋅=⋅= rrrzzz


16

( ) ( ) ( ) 13

1112

112

113

1 32 α∠=α+α∠⋅=⋅= rrrzzz

( ) ( ) ( ) 14

1113

113

114

1 43 α∠=α+α∠⋅=⋅= rrrzzz

generalizando se tiene:

( ) 111 α∠= nrz nn

Esto significa que para encontrar la potencia enésima de un número complejo, basta con elevar el módulo a esa potencia y el argumento multiplicarlo por .n De acuerdo con las equivalencias expuestas, la fórmula anterior puede escribirse en forma trigonométrica como:

( )[ ] ( ) Znnseninrsenirz nnn ∈α⋅+α=α⋅+α= coscos

Esta expresión se conoce como la fórmula de De Moivre. Para obtener la potencia enésima de un número complejo expresado en forma binómica se multiplica por si mismo n veces, sin embargo, en la práctica no se ocupa por la gran cantidad de operaciones que deben efectuarse. Ejemplos.

1) °∠= 1521z

( ) °∠=°∠= 60161542441z

2) ( )°⋅+°= 2222cos32 seniz

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )°⋅+°=°⋅+°=°+°= 110110cos243225225cos32222cos3 5552 seniseniisenz

3) °= 454

13 cisz

( ) °=°

= 270096,4

1456

4

16

63 ciscisz

Ejemplo.

Obtener 5

4z si iz 434 += mediante productos y comprobar el resultado usando la forma polar. Solución:

( )( ) ( ) ( ) iiiiz 2471212169434324 +−=++−=++=

( )( ) ( ) ( ) iiiiz 44117287296214324734 +−=−+−−=++−=

( )( ) ( ) ( ) iiiiz 336527468132176351434411744 −−=−+−−=++−=

( )( ) ( ) ( ) iiiiz 116,3237108,2008,1344,1581,14333652754 −−=−−++−=+−−=

Convirtiendo 4z a forma polar:

52516943 22 ==+=+=r

( ) °===α −− 13.53333.1tan3

4tan 11

°∠=⇒ 13.5354z

( ) °∠=°∠= 652651253135355554 .,.z

Transformando este resultado a forma binómica:


17

23765265cos1253 −=°= .,a

1163652651253 ,.sen,b −=°=

iz 116,323754 −−=∴

Nótese como para obtener el mismo resultado en forma binómica se tuvieron que realizar más operaciones que en la forma polar. Por ello, conviene expresar el número complejo en alguna de las formas que posean módulo y argumento y aplicar la fórmula de De Moivre. III.3.7 EXTRACCIÓN DE RAÍCES Para extraer la raíz enésima de un número complejo de la forma α∠= rz , se emplea la siguiente expresión:

n

krz nn °+α∠= 360

donde ( )1,,3,2,1,0 −⋅⋅⋅= nk , para n entera positiva. A la raíz que se obtiene cuando 0=k , se le llama raíz principal, las demás raíces son cíclicas. Se aprecia que todas las raíces tienen el mismo módulo. Por lo tanto, las n raíces están situadas sobre una circunferencia de

centro en el origen y radio n r . Si se dividen los °360 en n partes, cada una de ellas mide n

°360. De esta

forma, el argumento de las raíces cíclicas se obtiene girando 1−n veces n

°360 a partir de la raíz principal (se

divide la circunferencia en n sectores circulares, del mismo tamaño a partir de la raíz principal). Ejemplos. 1) Obtener las raíces cuartas de °∠= 6016z Solución.

4

360601644 k

z°+°∠=

°∠== 152:0 1zk

°∠== 1052:1 2zk

°∠== 1952:2 3zk

°∠== 2852:3 4zk

La raíz principal es 1z y las raíces cíclicas se obtienen sumando reiteradamente a °15 la cuarta parte de

°360 , que es °90

2) Obtener las raíces cúbicas de ( )°⋅+°= 4545cos64 seniz Solución.

°+°⋅+°+°=3

36045

3

36045cos6433 k

senik

z

( )°⋅+°== 1515cos4:0 1 senizk

( )°⋅+°== 135135cos4:1 2 senizk

( )°⋅+°== 255255cos4:2 3 senizk


18

La raíz principal es 1z y las raíces cíclicas se obtienen sumando reiteradamente a °15 la tercera parte de

°360 , que es °120 . 3) Obtener las raíces quintas de °= 150140cisz y representarlas gráficamente. Solución.

5

36015014055 k

cisz°+°=

°== 30686.2:0 1 ciszk

°== 102686.2:1 2 ciszk

°== 174686.2:2 3 ciszk

°== 246686.2:3 4 ciszk

°== 318686.2:4 5 ciszk

Nótese como la raíz principal es 1z y las raíces cíclicas se obtienen sumando reiteradamente °= 725

360

a °30 .

°== 30686.2:0 1 ciszk

°== 102686.2:1 2 ciszk

°== 174686.2:2 3 ciszk

°== 246686.2:3 4 ciszk

°== 318686.2:4 5 ciszk

r

α

III.4 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Y EJEMPL OS Las propiedades que cumplen las cuatro operaciones básicas en los números complejos son las siguientes: Para todo Czzz ∈321 ,, :


19

Cerradura:

• Para la suma algebraica: Czz ∈± 21

• Para el producto: Czz ∈⋅ 21

• Para el cociente: 022

1 ≠∈ z,Cz

z

Asociatividad:

• Para la suma algebraica: ( ) ( ) 321321 zzzzzz ±±=±±

• Para el producto: ( ) ( ) 321321 zzzzzz ⋅⋅=⋅⋅

Conmutatividad:

• Para la suma: 1221 zzzz +=+

• Para el producto: 1221 zzzz ⋅=⋅

Distributividad:

• ( ) 3121321 zzzzzzz ⋅±⋅=±⋅

Elementos idénticos:

• Para la suma algebraica: 11 0 zz =±

• Para el producto: ( ) 11 1 zz =⋅

Elementos inversos:

• Para la suma algebraica: ( ) 011 =± zz m

• Para el producto: ( ) 01 11

11 ≠=⋅ − zzz

Para los complejos conjugados se cumple que:

• zz =

• 2121 zzzz +=+

• 2121 zzzz ⋅=⋅

•

2

1

2

1

z

z

z

z =

• zzr ⋅=2

• Rzzz ∈⇔= 111

• Rzz ∈+ 11

• Rzz ∈⋅ 11

• { }2

Rezz

z+= (parte real de z )

• { }2

Imzz

z−= (parte imaginaria de z )


20

Ejemplo.

Dados iz 531 += , °∠= 4292z , ( )8,43 −=z , °= 11064 cisz , encontrar 31

42 z

z

zz

+ de forma

aproximada y expresar el resultado en forma polar. Solución.

Convirtiendo 2z a forma binómica:

( ) iisenz 022.6688.64242cos92 +=°+°=


( ) °∠=∠=

∠+= −− 03.59830.5666.1tan343

5tan53 1122

1z

( ) i...seni.cos.....z

z7990648097509750029197500291

03598305

1106

1

4 +=°⋅+°=°∠=∠

°∠=

( ) ( ) iiiz

zz 821.6336.7799.0648.0022.6688.6

1

42 +=+++=+

( ) °∠=∠=

∠+= −− 9142017109297982550341003367

821682163367 1122 ...tan.

.

.tan..


( ) ( ) °−∠=−∠=

−∠+−= −− 43494882639448280

4

884 1122

3 ..tantanz , pero por estar en el

segundo cuadrante hay que ajustar el argumento, por lo tanto: ( ) °∠=°+°−∠= 561169448180434948826394483 ....z

finalmente:

( )( ) °∠=°∠°∠=

+ 47.159592.8956.116944.891.42017.103

1

42 z

z

zz

Ejemplo.

Sean ( )°⋅+°= 2525cos71 seniz , ( )7,32 =z , iez 5.13 2= , iz 6

3

24 −=

Obtener ( )32

2

34

1 3 zzz

z −

− de forma aproximada y expresar el resultado en forma binómica.

Solución.


( ) ( ) °−∠=−∠=

−∠−+

= −− 65.83036.69tan444.36

326

tan63

2 1122

4z

( )°⋅+°=°∠=°−∠

°∠= 65.10865.108cos159.165.108159.165.83036.6

257

4

1 seniz

z

i098.1371.0 +−=


21

( ) ii eez 5.15.13 6233 ==

Convirtiendo 33z a forma polar y a binómica:

( )( ) °=π

°=α

°α=°=π

94.85.2

360.5.1

.5.1

360.2

rad

rad

rad

rad

( ) iseniz 984.5424.094.8594.85cos694.8563 3 +=°⋅+°=°∠=

( ) ( ) iiizz

z886.4795.0984.5424.0098.1371.03 3

4

1 −−=+−+−=−

( ) ( ) ( ) °∠=∠=

−−∠−+−= −− 75.80950.4145.6tan505.24

795.0

886.4tan886.4795.0 1122

, pero por

estar en el tercer cuadrante hay que ajustar el argumento, por lo tanto:

( ) °∠=°+°∠=− 75.260950.418075.80950.43 34

1 zz

z

( ) °∠=°∠=°∠=

− 511615052450521505247526095043 2

2

34

1 ......zz

z

( ) iseni 771.7240.2351.16151.161cos505.24 +−=°⋅+°=


( ) °∠=∠=

∠+= −− 80.66615.7333.2tan583

7tan73 1122

2z

( ) ( ) ( )°⋅+°=°∠=°∠= 40.20040.200cos580.44140.200580.44180.66615.7 332 seniz

i.. 922153341413 −−= finalmente:

( ) ( ) ( ) i..i..i..zzz

z6931611013909221533414137717240233 3

2

2

34

1 +=−−−+−=−

−

Ejemplo.

Dados ( )°⋅+°= 5555cos81 seniz , iz 4102 −−= , °= 7323 cisz , °∠= 6054z , iez 45 11=

Obtener 3

53

142 zz

zzz

−+⋅ de forma aproximada y expresar el resultado en forma trigonométrica.

Solución.


( ) ( ) ( ) °∠=∠=

−−∠−+−= −− 802177032961104011610

4410 1122

2 ...tantanz , pero por estar en

el tercer cuadrante hay que ajustar el argumento, por lo tanto: ( ) °∠=°+°∠= 802017703296110180802177032961102 ....z

( )( ) °∠=°∠°∠=⋅ 802618515360580201770329611042 ....zz

( ) isenizz 300.53680.780.26180.261cos851.5342 −−=°⋅+°=⋅

( ) iseniz 912.1584.07373cos27323 +=°⋅+°=°∠=

iz 912.1584.03 −=


22

Convirtiendo 5z a forma polar y a binómica:

( )( ) °=π

°=α

°α=°=π

18.229.2

360.4

.4

360.2

rad

rad

rad

rad

( ) iseniz 324.8190.718.22918.229cos1118.229115 −−=°⋅+°=°∠=

( ) ( ) i..i..i..zz 41267387324819079121548053 +=−−−−=−

°

∠+=− −

7387

412641267387 122

53 .

.tan..zz

( ) °∠=∠= − 643904910828099100 1 ...tan.

°∠=°∠

°∠=−

361579650643904910

558

53

1 ....zz

z

( ) i...seni.cos.zz

z21007670361536157960

53

1 −=°⋅+°=−

( ) ( ) i..i..i..zz

zzz 51053913621007670300536807

53

142 −−=−+−−=

−+⋅

53

142 zz

zzz

−+⋅

( ) ( )

−−∠−+−= −

9136

51053510539136 122

.

.tan..

( )7417099112 1 .tan., −∠=

°∠= 63.82954.53 , pero por estar en el tercer cuadrante hay que ajustar el argumento, por lo tanto:

( ) °∠=°+°∠=−

+⋅ 63.262954.5318063.82954.5353

142 zz

zzz

3

53

142 zz

zzz

−+⋅

°+°⋅+°+°=3

36063262

3

36063262954533 k.

senik.

cos.

( )°⋅+°== 54.8754.87cos778.3:0 senizk I

( )°⋅+°== 54.20754.207cos778.3:1 senizk II

( )°⋅+°== 54.32754.327cos778.3:2 senizk III Ejemplo.

Sean °∠= 3091z , iz 532 += , ( )6,43 −=z , °= 4584 cisz , ( )°⋅+°= 2525cos25 seniz , encontrar

z , en forma exponencial, para que se cumpla la siguiente igualdad: ( )252

4

4

13 7 zzz

zzz =−

⋅+

Solución. Despejando z :


23

( )

1

344

22

5 7

z

zzzzz

−

+

=

( ) ( ) ( ) iseniz 064.3571.25050cos4504252 225 +=°⋅+°=°∠=°∠=

( ) iiz 35215377 2 +=+=

( ) ( ) ( ) iiizz 064.38571.233521064.3571.27 22

5 +=+++=+

( )

∠+=+ −

57123

0643806438571237 122

22

5 .

.tan..zz

( ) °∠=∠= − 2358771446148657251460042 1 ...tan.,

( )

°+°⋅+°+°=+4

36023.58

4

36023.58cos771.447 44

22

5

kseni

kzz

( ) ( )°⋅+°=+= 55145514586270 42

25 .seni.cos.zz:k (sólo se toma la raíz principal)

°−∠= 4584z

( )( ) ( )( )°−∠°∠=+ 458551458627 44

22

5 ..zzz

°−∠= 453068820 ..

( ) ( )( ) iseni 484.10834.1745.3045.30cos688.20 −=°−⋅+°−=

( ) ( ) ( ) iiizzzz 484.4834.1364484.10834.177 344

22

5 −=−−−=−

+

( ) ( ) °−∠=−∠=

−∠−+= −− 95.17542.14324.0tan48.211834.13

484.4tan484.4834.13 1122

( )( )°∠

°−∠=−+

=309

9517542147

1

344

22

5 ..

z

zzzzz

05312615195476151 .... ∠=−∠=

Convirtiendo z a forma exponencial: ( )( )

.446.5360

05.312.2

05.312.

360.2rad

rad

rad

rad=

°°π=α

°=α°=π

iez 446.5615.1=∴ III.5 DEFINICIÓN DE POLINOMIO Y DE ECUACIÓN Una variable es una cantidad que se simboliza por una literal y que puede tomar diferentes valores.

Una constante es una magnitud que presenta siempre un mismo valor.

Un monomio es una expresión del tipo: nax , donde a es un número real, x es la variable y n un número natural.

Existen monomios de más de una variable. Por ejemplo: qpn zyax donde a es un coeficiente real,

zyx ,, son las variables y qpn ,, son los exponentes naturales.


24

Un binomio es la expresión que se forma al sumar algebraicamente dos monomios. Por ejemplo: yx 24 +

Un trinomio es la expresión que se forma al sumar algebraicamente tres monomios. Por ejemplo:

52423 635 abwzyx −+ Un polinomio es la suma algebraica de dos o más monomios. Si está en términos de la variable

independiente x , se denota como una función ( )xP y en su forma general es una expresión de la forma:

( ) on

nn

nn

nn

nn

n axaxaxaxaxaxaxP ++⋅⋅⋅+++++= −−

−−

−−

−− 1

44

33

22

11

El primer término del polinomio nn xa se conoce como el término dominante y al término 0a se conoce

como término independiente.

Una ecuación en x es un polinomio igualado a cero, cuyo grado es n , es decir, ( ) 0=xP . Por ejemplo:

010746 23 =++− xxx

Una raíz es un valor que satisface la ecuación ( ) 0=xP . Por su parte se llama conjunto solución de una ecuación algebraica al conjunto de todas las raíces de una ecuación. Algoritmo de la división para polinomios

Sean ( )xP y ( )xQ dos polinomios con ( ) 0≠xQ .

Si se efectúa la división ( )( )xQ

xP entonces existen dos polinomios únicos ( )xc y ( )xr tales que cumplen

con:

( ) ( ) ( ) ( )xrxcxQxP +⋅=

El polinomio ( )xc se llama cociente y ( )xr es el residuo de la división cuyo grado es menor que el de ( )xP . III.6 TEOREMAS NOTABLES Teorema fundamental del álgebra El teorema fundamental del álgebra1 enunciado por Federico Gauss en 1799 establece que:

“Toda ecuación en x de grado n tiene n raíces complejas” Esto significa que todo polinomio en x con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos un factor de la forma ax − , donde a es un número complejo.

1 Este teorema necesita de resultados de una rama de las Matemáticas superiores conocida como funciones de variable compleja, por lo que escapa de los alcances de este libro su demostración.


25

Teorema del residuo Si se tiene un polinomio ( )xP y se divide entre ax − el residuo de la división es ( )aP . Demostración:

Si se divide ( )xP entre ax − se tiene:

( ) ( )( ) RaxxQxP +−=

donde ( )xQ es el cociente y R es el residuo.

Si ahora se evalúa ax = se obtiene:

( ) ( )( ) RRRaaaQaP =+=+−= 0

De donde ( )aP es el residuo. Ejemplo.

Sea el polinomio: ( ) 9452 23 −+−= xxxxP , comprobar el teorema de residuo si se divide entre 1−x . Solución. Dividiendo el polinomio entre 1−x :

132

8

1

9

33

943

22

94521

2

2

2

23

23

+−

−+−−

−

−+−

+−

−+−−xx

x

x

xx

xx

xx

xxxx

ahora, evaluando 1=x :

( ) ( ) ( ) ( ) 8945291415121 23 −=−+−=−+−=P

Los resultados son iguales, lo que comprueba el teorema del residuo. Teorema del factor

En un polinomio ( )xP , ax − es un factor si y solo si a es una raíz de la ecuación ( ) 0=xP . Demostración:

Si ax − es factor de ( )xP entonces se cumple que: ( ) ( )( )axxQxP −= porque ( ) ( )( ) 0=−= aaaQaP

por lo tanto, a es raíz de la ecuación ( ) 0=xP .

Pero si a es raíz de la ecuación ( ) 0=xP , esto implica que ( ) 0=aP Si se aplica el teorema del residuo se tiene que:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )axxQaxxQaPaxxQxP −=+−=+−= 0


26

por lo tanto ax − es factor de ( )xP . Ejemplo

Determinar si 3−x es factor del polinomio ( ) 302024 23 −−−= xxxxP Solución: Si 3=x es raíz, entonces debe cumplir que el residuo sea cero:

( ) ( ) ( ) ( ) 03060181083032032343 23 =−−−=−−−=P

Por lo tanto, 3−x es factor del polinomio Comprobando:

10104

0

3010

3010

3010

302010

124

3020243

2

2

2

23

23

++

+−−

+−−−

+−

−−−−xx

x

x

xx

xx

xx

xxxx

Por lo tanto se cumple que: ( )( )310104302024 223 −++=−−− xxxxxx . Del teorema del factor se deduce que para todo polinomio de grado 0>n con coeficientes complejos se puede factorizar en n factores lineales complejos de la forma ax − . III.7 NATURALEZA DE LAS RAÍCES DE POLINOMIOS III.7.1 CLASIFICACIÓN DE LAS RAÍCES DE POLINOMIOS Uno de los objetivos de factorizar un polinomio es el de encontrar sus raíces, es decir, los valores de la variable para los cuales el polinomio se hace cero. Esto significa que si nxxxxx ,,,,, 4321 ⋅⋅⋅ son raíces de

( )xP , entonces se cumple que:

( ) ( )( )( )( ) ( )kxxxxxxxxxxxP n−⋅⋅⋅−−−−= 4321

Donde k es una constante, por lo tanto, es imposible que ( )xP tenga más de n raíces.

En términos generales, las raíces de un polinomio ( ) 0=xP se pueden clasificar de la siguiente forma:


27

Racionales

Irracionales

Positivas

Negativas

Cero

Positivas

Negativas

Reales

Complejas

(Son aquellas representadasen forma de cociente)

(No se pueden representar

en forma de cociente)

De la forma 0≠+= biaz

Ejemplos: 1) 073 =−x

3

7=x (raíz racional positiva)

2) 0305 =+x

65

30 −=−=x (raíz racional negativa)

3) ( ) 0156310529 =+++−+− xxxx

01563105189 =+++−+− xxxx

010

0 ==x (raíz racional igual a cero)

4) 0242 2 =−x

122

242 ±=⇒= xx (raíces irracionales, una positiva y otra negativa)

5) 01283 2 =++ xx 12,8,3 === cba

( )( )( ) 6

804

6

144648

32

123488 2 ixx

±−=⇒−±−=

−±−= (raíces complejas conjugadas)

Cada raíz real gráficamente representa una intersección de la función ( )xP con el eje de las abscisas.


28

Ejemplo. La gráfica representa a un polinomio que posee cuatro raíces reales: tres racionales y una irracional:

x

y

P(x)

Raíz Racional Negativa

Raíz Racional Positiva

Raíz Racional Cero

Raíz Irracional Positiva

42.3=x

3 51-1-3

3

-1

0=x

15.5=x

25.2−=x

Cuando se evalúan dos diferentes valores en ( )xP y los signos cambian entonces existe una raíz entre estos valores. III.7.2 RAÍCES ENTERAS DE POLINOMIOS. DIVISIÓN SINT ÉTICA

Para hallar las raíces enteras de un polinomio ( )xP de coeficientes enteros, basta con probar con cada uno de los divisores del término independiente. Ejemplos. Encontrar las raíces enteras de los siguientes polinomios:

1) 01032 =−− xx Solución: Los divisores del término independiente son: 10,5,2,1 ±±±± Se evalúa cada uno hasta que se encuentre una raíz:

para =x ( ) 12103110131:1 2 −=−−=−−

para =x ( ) ( ) 6103110131:1 2 −=−+=−−−−−

para =x ( ) 12106410232:2 2 −=−−=−−

para =x ( ) ( ) 0106410232:2 2 =−+=−−−−−

Como 2−=x es una raíz, entonces 2+x lo divide: 5

0

105

105

2

10322

2

−

+−−

−−

−−+x

x

x

xx

xxx


29

Por lo tanto, ( )( )521032 −+=−− xxxx y las raíces son: 21 −=x y 52 =x

2) 042136 23 =+−− xxx Solución: Los divisores del término independiente son: 42211476321 ±±±±±±±± ,,,,,,, Se evalúa cada uno hasta que se encuentre una raíz:

para =x ( ) ( ) 2442136142113161:1 23 =+−−=+−−

para =x ( ) ( ) ( ) 4842136142113161:1 23 =++−−=+−−−−−−

para =x ( ) ( ) 0422624842213262:2 23 =+−−=+−−

Como 2=x es una raíz, entonces 2−x lo divide:

214

0

4221

4221

84

42134

2

421362

2

2

2

23

23

−−

−+−

−

+−−

+−

+−−−xx

x

x

xx

xx

xx

xxxx

Del polinomio restante, 02142 =−− xx se repite el proceso. Los divisores del término independiente son: 21,7,3,1 ±±±± Se evalúa cada uno hasta que se encuentre una raíz:

para =x ( ) 24214121141:1 2 −=−−=−−

para =x ( ) 242112921343:3 2 −=−−=−−

para =x ( ) 021284921747:7 2 =−−=−−

Como 7=x es una raíz, entonces 7−x lo divide:

3

0

213

213

7

21472

2

+

+−−

+−

−−−x

x

x

xx

xxx

Por lo tanto, ( )( )( )37242136 23 +−−=+−− xxxxxx y las raíces son: 21 =x , 72 =x y 33 −=x

3) 059827 234 =+−+− xxxx Solución: Los divisores del término independiente son: 5,1 ±±

para =x ( ) ( ) ( ) ( ) 3159827519181217:1 234 =++++=+−−−+−−−−

para =x ( ) ( ) ( ) ( ) 959827519181217:1 234 =+−+−=+−+−


30

para =x ( ) ( ) ( ) ( ) 875,4545200250375,4559585257:5 234 =++++=+−−−+−−−−

para =x ( ) ( ) ( ) ( ) 285,4545200250375,4559585257:5 234 =+−+−=+−+−

Entonces 59827 234 +−+− xxxx no posee raíces enteras. Existe un proceso alternativo al expuesto, conocido como división sintética. Este es un proceso que simplifica las operaciones y su metodología es la siguiente: 1. Acomodar de manera descendente los términos del polinomio 2. Escribir en una primera fila solo los coeficientes y rellenar con ceros los términos que no existan 3. Escribir fuera de la casilla el valor que se prueba como una factible raíz 4. Copiar el primer coeficiente en la tercera fila 5. Multiplicar el valor por el primer coeficiente y ubicarlo en la segunda fila 6. Hacer la suma con el correspondiente de la primera fila y ubicarlo en la tercera fila 7. Repetir sucesivamente los pasos 5 y 6 hasta encontrar un valor cuyo residuo sea cero. 8. Del polinomio reducido, efectuar el mismo procedimiento hasta que se llegue a un polinomio de grado

dos, a fin de que se pueda factorizar o bien aplicar la ecuación de segundo grado. Este proceso es a prueba y a error con los divisores, y su eficiencia depende de interpretar los residuos ya que entre más próximos estén del cero, más cerca se estará de encontrar la raíz. Cotas superior e inferior de raíces de polinomios En el proceso de obtener cada una de las raíces, los cálculos se simplifican considerablemente si se

sabe que se localizan en un cierto intervalo [ ]ba, . Para todo fin práctico, se deben buscar los números a

y b de forma que se garantice que todas las raíces del polinomio se encuentren en dicho intervalo. El número a es una cota inferior y el número b es una cota superior de las raíces del polinomio. Las condiciones para que un número sea cota de las raíces de un polinomio son las siguientes:

Si al efectuar la división sintética de ( )xP entre bx − y todos los coeficientes tanto del cociente como

del residuo son positivos o cero, entonces b es una cota superior para las raíces.

Si al efectuar la división sintética de ( )xP entre ax − y si los signos de los coeficientes tanto del cociente como del residuo presentan signos alternados (en este caso el cero se toma como si fuera positivo), entonces a es una cota inferior para las raíces. Ejemplo. Encontrar las raíces enteras de los siguientes polinomios:

1) 012112 23 =+−− xxx Solución. Los divisores del término independiente son: 12,6,4,3,2,1 ±±±±±±

Probando con 4−=x :

401361

52244

121121

4

−−

−−−−

−

Eso significa que no es raíz pero es cota inferior. Probando con 1=x :


31

01211

1211

121121

1

−−

−−−−

La primera raíz es 11 =x Trabajando ahora con el polinomio reducido: Probando con 2=x :

1011

22

1211

2

−

−−

No es raíz ni cota. Probando con 4=x :

031

124

1211

4

−−

La segunda raíz es 42 =x

El polinomio reducido que queda es: 03=+x

despejando se tiene la tercera raíz: 33 −=x

2) 03019153 234 =++−− xxxx Solución. Los divisores del término independiente son: 30,15,6,5,3,2,1 ±±±±±±±


5601062581

530125405

30191531

5

−−

−−−−

−

Eso significa que no es raíz pero es cota inferior. Probando con 1−=x :

0301141

301141

30191531

1

−−

−−−−

−

La primera raíz es 11 −=x Trabajando con el polinomio reducido: Probando con 6=x :

36121

6126

301141

6

−−

No es raíz pero es cota superior. Probando con 2=x :


32

01521

3042

301141

2

−−

−−−−


El polinomio reducido que queda es: 01522 =−− xx

Factorizando se tiene: ( )( ) 035 =+− xx

Por lo tanto: 53 =x y 34 −=x

3) 02422935 2345 =++−−+ xxxxx Solución. Los divisores del término independiente son: 24,12,8,6,4,3,2,1 ±±±±±±±±


02422741

2422741

24229351

1

−−

−−−−−

−

La primera raíz es 11 −=x Trabajando con el polinomio reducido: Probando con 1=x :

024251

24251

2422741

1

−−

−−−−

La segunda raíz es 12 =x Trabajando con el polinomio reducido: Probando con 2=x :

01271

24142

24251

2

−−

La tercera raíz es 23 =x

El polinomio reducido que queda es: 01272 =++ xx

Factorizando se tiene: ( )( ) 043 =++ xx

Por lo tanto: 34 −=x y 45 −=x

III.7.3 RAÍCES RACIONALES DE POLINOMIOS Si p son todos los factores del término independiente y q los factores del término dominante, entonces

las posibles raíces de un polinomio ( )xP con coeficientes enteros están dadas por alguno de los

cocientes de la forma q

p.


33

Ejemplo.

Determinar las factibles raíces del polinomio 012623 23 =−++ xxx Solución. Los divisores del término independiente son: 12,6,4,3,2,1 ±±±±±±=p

Los divisores del coeficiente del término principal son: 3,1 ±±=q

Las posibles raíces racionales son: 3

4,

3

2,

3

1,12,6,4,3,2,1 ±±±±±±±±±=

q

p

Ejemplo.

Encontrar las raíces racionales del polinomio 0652224 23 =+−− xxx Solución. Los divisores del término independiente son: 6,3,2,1 ±±±±=p

Los divisores del coeficiente del término principal son: 24,12,8,6,4,3,2,1 ±±±±±±±±=q Las posibles raíces racionales son:

24

1,

12

1,

8

3,

8

1,

6

1,

4

3,

4

1,

3

2,

3

1,

2

3,

2

1,6,3,2,1 ±±±±±±±±±±±±±±±=

q

p

Probando con 2

1=x :

1101024

5512

652224

2

1

−−−−

−−

No es raíz ni cota.

Probando con 2

1−=x :

0123424

61712

652224

2

1

−

−−−−

−

La primera raíz es 2

11 −=x

Trabajando con el polinomio reducido:

Probando con 3

2=x :

01824

1216

123424

3

2

−

−−

La segunda raíz es 3

22 =x

El polinomio reducido que queda es: 24

1801824 =⇒=− xx


34

Por lo tanto la tercera raíz: 4

33 =x

Si un polinomio con coeficientes enteros cumple que tanto el coeficiente del término dominante, el

término independiente y ( )1P son impares, entonces no posee raíces racionales. Ejemplo.

Determinar si el polinomio 017435 23 =−++ xxx tiene raíces racionales. Solución:

( ) ( ) ( ) ( ) 517435171413151 23 −=−++=−++=P

y como 53 =a y 170 −=a entonces el polinomio no posee raíces racionales ya que los tres valores son

impares. Regla de los signos de Descartes Si ( )xP es un polinomio expresado en forma descendente y con término independiente diferente de cero, entonces:

• El número de raíces positivas es igual al número de cambios de signos que tenga ( )xP , o ese número disminuido en pares.

• El número de raíces negativas es igual al número de cambios de signos que tenga ( )xP − , o ese número disminuido en pares.

Ejemplo. Determinar el factible número de raíces positivas y negativas de los siguientes polinomios:

1) ( ) 1127126 2345 −−−+−= xxxxxxP Solución. El polinomio presenta tres cambios de signo, así que puede tener tres raíces positivas o sólo una.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11271261127126 23452345 −+−−−−=−−−−−−+−−−=− xxxxxxxxxxxP el polinomio presenta dos cambios de signo, así que tiene dos raíces negativas o ninguna.

2) ( ) 1328542 23456 ++−+−+= xxxxxxxP Solución. El polinomio presenta cuatro cambios de signo, así que puede tener cuatro, dos o cero raíces positivas.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1328542 23456 +−+−−−+−−−+−=− xxxxxxxP

1328542 23456 +−−−−−= xxxxxx el polinomio presenta dos cambios de signo, así que tiene dos raíces negativas o ninguna.

3) ( ) 35 13114 xxxP +−= Solución.

En primer lugar, el polinomio se ordena: ( ) 41311 35 ++−= xxxP El polinomio presenta un cambio de signo, así que sólo tiene una raíz positiva.

( ) ( ) ( ) 4131141311 3535 +−=+−+−−=− xxxxxP


35

el polinomio presenta dos cambios de signo, así que tiene dos raíces negativas o ninguna.

(nótese como para aplicar esta regla no se consideran los términos en 4x , 2x y en x ). III.7.4 RAÍCES IRRACIONALES DE POLINOMIOS. SOLUCIÓN NUMÉRICA Por su misma naturaleza, no existe una forma de encontrar raíces irracionales exactas. Por ello, es

necesario aplicar recursos numéricos a fin de encontrar las raíces de una función ( )xP , es decir,

aquellos puntos en los que ( ) 0=xP . Encontrar las raíces de un polinomio equivale a resolver la ecuación y obtener los valores de x que la cumplen. Para resolver esto, existen un conjunto de métodos que se denominan métodos cerrados2. Son métodos iterativos que se van aproximando a la solución y en los que se garantiza su convergencia (hallar la raíz del polinomio). Por su sencillez, el método más utilizado es el de bisección.

El método de bisección necesita una función ( )xP continua en un intervalo [ ]ba, que cambie de signo

en dicho intervalo. En ese caso, se cumple que ( ) ( ) 0≤⋅ bPaP . Los pasos que sigue este método (que puede aplicarse a cualquier raíz real) son tres:

1) Se busca un intervalo [ ]ba, donde ( )xP sea continua y que cumpla con ( ) ( ) 0≤⋅ bPaP

2) Se busca el punto medio del intervalo 2

bac

+= y se calcula el valor de la función en dicho punto ( )cP

3) Si ( ) ( ) 0≤⋅ cPaP , entonces el nuevo intervalo es [ ]bc, De esta manera, el punto c se va aproximando a la solución. El método termina cuando se supera un error determinado. Cabe señalar que el intervalo inicial debe determinarse de forma que entre más pequeño sea, el número de cálculos será menor. Además, el error dependerá del grado de aproximación que se quiera tener. Para fines prácticos, cuando en las iteraciones se obtienen dos valores sucesivos con cuatro decimales iguales, entonces el error es despreciable. Ejemplo.

Determinar de forma aproximada las raíces irracionales del polinomio 0632 2 =−+ xx Solución.

Evaluando ( ) ( ) ( ) 6600603020 2 −=−+=−+=P

Evaluando ( ) ( ) ( ) 8668623222 2 =−+=−+=P

Como tienen signos contrarios, la raíz se encuentra en el intervalo [ ]2,0

Bisectando el intervalo: 12

2

2

20 ==+=c

Evaluando ( ) ( ) ( ) 1632613121 2 −=−+=−+=P

Como tiene signo negativo, la raíz se encuentra en el intervalo [ ]2,1

Bisectando el intervalo: 5.12

3

2

21 ==+=c

2 Existen otros métodos más eficientes para encontrar las raíces numéricas de polinomios tales como el Newton-Raphson o el de Gauss-Seidel, sin embargo, por ser un libro de carácter introductorio, aquí sólo se abordará el método de bisección.


36

Evaluando ( ) ( ) ( ) 365.45.465.135.125.1 2 =−+=−+=P

Como tiene signo positivo, la raíz se encuentra en el intervalo [ ]5.1,1 Repitiendo el proceso y elaborando una tabla se tiene:

c ( )cP La raíz está en el intervalo:

1 -1 [1, 2] 1.5 3 [1, 1.5]

1.25 0.875 [1, 1.125] 1.125 -0.09375 [1.125, 1.25]

1.1875 0.3828125 [1.125, 1.1875] 1.15625 0.142578125 [1.125, 1.15625]

1.140625 0.023925781 [1.125, 1.140625] 1.1328125 -0.035034179 [1.1328125, 1.140625]

1.13671875 -0.0055847168 [1.13671875, 1.140625] 1.138671875 0.00916290284 [1.13671875, 1.138671875] 1.137695313 0.0017871883 [1.13671875, 1.137695313] 1.137207032 -0.00189923788 [1.137207032, 1.137695313] 1.137451173 -0.00005614022 [1.137451173, 1.137695313] 1.137573243 0.00086549538 [1.137573243, 1.137695313] 1.137634278 0.00132633496 [1.137634278, 1.137695313]

1.1376647955 0.00155676034 [1.1376647955, 1.137695313]

La aproximación es suficientemente aceptable con cuatro decimales, así que se puede concluir que 1375.11 ≈x Como es una ecuación de segundo grado, la otra raíz debe encontrarse de forma similar:

Evaluando ( ) ( ) ( ) 36918633323 2 =−−=−−+−=−P

Evaluando ( ) ( ) ( ) 4668623222 2 −=−−=−−+−=−P

Como tienen signos contrarios, la raíz se encuentra en el intervalo [ ]2,3 −−

Bisectando el intervalo: ( )

5.22

5

2

23 −=−=−+−=c

Evaluando ( ) ( ) ( ) 165.75.1265.235.225.2 2 −=−−=−−+−=−P

Como tiene signo negativo, la raíz se encuentra en el intervalo [ ]5.2,3 −−


75.22

5.5

2

5.23 −=−=−+−=c

Evaluando ( ) ( ) ( ) 875.0625.8125.15675.2375.2275.2 2 =−−=−−+−=−P

Como tiene signo positivo, la raíz se encuentra en el intervalo [ ]5.2,75.2 −− Repitiendo el proceso y elaborando una tabla se tiene:


-2.5 -1 [-3, -2.5] -2.75 0.875 [-2.75, -2.5] -2.625 -0.09375 [-2.75, -2.625]

-2.6875 0.3828125 [-2.6875, -2.625] -2.65625 0.142578125 [-2.65625, -2.625]

-2.640625 0.023925781 [-2.640625, -2.625] -2.6328125 -0.035034179 [-2.640625, -2.6328125]

-2.63671875 -0.0055847168 [-2.640625, -2.63671875] -2.638671875 0.0091629028 [-2.638671875, -2.63671875] -2.637695313 0.0017871842 [-2.637695313, -2.63671875] -2.637207032 -0.001899242 [-2.637695313, -2.637207032] -2.637451173 -0.0000561444 [-2.637695313, -2.637451173] -2.637573243 0.0008654954 [-2.637573243, -2.637451173] -2.637512208 0.0004046707 [-2.637512208, -2.637451173]


37

La aproximación es suficientemente aceptable con cuatro decimales, así que se puede concluir que 6374.22 −≈x Ejemplo.

Determinar de forma aproximada la raíz irracional del polinomio 0943 =++ xx Solución.

Evaluando ( ) ( ) 990090400 3 =++=++=P

Evaluando ( ) ( ) 1494191411 3 =++=++=P No hay cambio de signo.

Evaluando ( ) ( ) ( ) 494191411 3 =+−−=+−+−=−P

Tampoco hay cambio de signo pero el resultado cada vez es menor.

Evaluando ( ) ( ) ( ) 798892422 3 −=+−−=+−+−=−P

Como tienen signos contrarios, la raíz se encuentra en el intervalo [ ]1,2 −−


5.12

3

2

12 −=−=−+−=c

Evaluando ( ) ( ) ( ) 375.096375.395.145.15.1 3 −=+−−=+−+−=−P

Como tiene signo negativo, la raíz se encuentra en el intervalo [ ]1,5.1 −−


25.12

5.2

2

15.1 −=−=−+−=c

Evaluando ( ) ( ) ( ) 046875.295953125.1925.1425.125.1 3 =+−−=+−+−=−P

Como tiene signo positivo, la raíz se encuentra en el intervalo [ ]25.1,5.1 −− Iterando y resumiendo en una tabla se tiene:


-1.5 -0.375 [-1.5, -1] -1.25 2.046875 [-1.5, -1.25]

-1.375 0.900390625 [-1,5, -1.375] -1.4375 0.279541015 [-1, 5, -1.4375]

-1.46875 -0.043426513 [-1.46875, -1.4375] -1.453125 0.119121551 [-1.46875, -1.453125]

-1.4609375 0.038115024 [-1.46875, -1.4609375] -1.46484375 -0.00258868932 [-1.46484375, -1.4609375]

-1.462890625 0.017779909 [-1.46484375, -1.462890625] -1.463867188 0.00759979603 [-1.46484375, -1.463867188] -1.464355469 0.00250659913 [-1.46484375, -1.464355469] -1.46459961 -0.00004078521 [-1.46459961, -1.464355469] -1.46447754 0.00123296561 [-1.46459961, -1.46447754]

-1.464538575 0.0005910496 [-1.46459961, -1.464538575] -1.464559093 0.00031766035 [-1.46459961, -1.464559093]

La aproximación es suficientemente aceptable con cuatro decimales, así que se puede concluir que 4645.11 −≈x III.7.5 RAÍCES COMPLEJAS DE POLINOMIOS

Si un polinomio ( ) 0=xP tiene coeficientes reales y si ibaz ⋅+= con 0≠b es una raíz compleja,

entonces su conjugado ibaz ⋅−= también es una raíz. En general, las raíces complejas siempre se presentan en pares conjugados.


38

A fin de encontrar las raíces de un polinomio cuadrático de la forma 02 =++ cbxax , se aplica la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

a

acbbx

2

42 −±−=

y si el discriminante acbD 42 −= es negativo, las raíces son complejas. Ejemplo.

Encontrar las raíces complejas del polinomio 0268073 23 =+++ xxx Solución. Los divisores del término independiente son: 26,13,2,1 ±±±±=p

Los divisores del coeficiente del término principal son: 3,1 ±±=q Las posibles raíces racionales son:

3

26,

3

13,

3

2,

3

1,26,13,2,1 ±±±±±±±±=

q

p

Probando con 2=x :

238106133

212266

268073

2

No es raíz pero es cota superior.

Probando con 3

1−=x :

07863

2621

268073

3

1 −−−−


11 −=x

Trabajando con el polinomio reducido: 07863 2 =++ xx .

Como el discriminante ( )( ) 090093636783462 <−=−=−=D , eso significa que las raíces son complejas. Ahora, aplicando la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

( )( )( ) i

ix 51

6

306

6

9006

6

936366

32

783466 2

±−=±−=−±−=−±−=−±−

=

La segunda raíz es ix 512 +−= y la tercera es su conjugado: ix 513 −−=

Ejemplo.

Encontrar las raíces complejas del polinomio 091844 234 =−−++ xxxx Solución. Los divisores del término independiente son: 9,3,1 ±±±=p


39

Los divisores del coeficiente del término principal son: 4,2,1 ±±±=q Las posibles raíces racionales son:

4

9,

2

9,

4

3,

2

3,

4

1,

2

1,9,3,1 ±±±±±±±±±=

q

p


270932584

279752412

918144

3

−−

−−−−

−

No es raíz pero es cota inferior.

Probando con 2

1−=x :

018024

9012

918144

2

1

−

−−−−

−


11 −=x

Trabajando con el polinomio reducido: 01824 23 =−+ xx .

Probando con 2

3=x :

01284

18126

18024

2

3−

La segunda raíz es 2

32 =x

Trabajando con el polinomio reducido: 01284 2 =++ xx .

Como el discriminante ( )( ) 012819264124482 <−=−=−=D , eso significa que las raíces son complejas. Ahora, aplicando la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

( )( )( ) i

ix 21

8

288

8

1288

8

192648

42

124488 2

±−=±−=−±−=−±−=−±−

=

La tercera raíz es ix 213 +−= y la cuarta es su conjugado: ix 214 −−=

Ejemplo.

Encontrar las raíces complejas del polinomio 0224 =−+ xx Solución.

Haciendo: 2xz = el polinomio se convierte en: 022 =−+ zz

Factorizando: ( )( ) 02122 =+−=−+ zzzz

Las raíces en este caso son: 11 =z y 22 −=z


40

Para el primer valor se obtienen dos raíces:

111 ±=±=±= zx

Para el segundo valor también se obtienen dos raíces:

izx 222 ±=−±=±=

Por lo tanto: ixixxx 2,2,1,1 4321 −==−==

III.8 EJEMPLOS DE CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS Ejemplos Aplicando toda la teoría expuesta, encontrar las raíces de los siguientes polinomios:

1) 04423 =−+− xxx Solución. Aplicando la regla de Descartes se tiene:

( )xP tiene tres cambios de signo

( ) ( ) ( ) ( ) 4444 2323 −−−−=−−+−−−=− xxxxxxxP no presenta cambio de signos, así que no tiene raíces negativas. Por lo tanto el polinomio tiene tres raíces positivas o bien una positiva y dos complejas:

Positivas Negativas Complejas Total 3 0 0 3 1 0 2 3

Los divisores del término independiente son: 4,2,1 ±±±=p

Los divisores del coeficiente del término principal son: 1±=q

Las posibles raíces enteras son:

4,2,1 ±±±=q

p

Probando con 1=x :

0401

401

4411

1

−−

La primera raíz es 11 =x

Trabajando con el polinomio reducido: 042 =+x . Como la ecuación de segundo grado no es completa, no es necesario aplicar la fórmula general para

ecuaciones de segundo grado, basta con despejar: ixx 2442 ±=−±=⇒−=

La segunda raíz es ix 22 = y la tercera es su conjugado: ix 23 −=

2) 010587498 234 =−−+− xxxx Solución. Aplicando la regla de Descartes se tiene:

( )xP tiene tres cambios de signo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1058749810587498 234234 −+++=−−−−+−−−=− xxxxxxxxxP

presenta un cambio de signo, así que tiene una raíz negativa.


41

Por lo tanto, las raíces del polinomio poseen las siguientes posibilidades:

Positivas Negativas Complejas Total 3 1 0 4 1 1 2 4

Los divisores del término independiente son: 105,35,21,15,7,5,3,1 ±±±±±±±±=p

Los divisores del coeficiente del término principal son: ,8,4,2,1 ±±±±=q

Las posibles raíces racionales son q

p, que en este caso son bastantes, así que conviene encontrar

cotas: Probando con 1−=x :

40145144578

145144578

105187498

1

−−

−−−−−

−

No es raíz pero es cota inferior.

Probando con un valor cercano: 8

7−=x :

0120136568

105119497

105187498

8

7

−−

−−−−−

−


71 −=x

Trabajando con el polinomio reducido: 0120136568 23 =−+− xx . Probando con 3=x :

040328

1209624

120136568

3

−

−−−


Trabajando con el polinomio reducido: 040328 2 =+− xx .

Como el discriminante ( ) ( )( ) 025612801024408432 2 <−=−=−−=D , eso significa que las raíces son complejas. Ahora, aplicando la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

( ) ( ) ( )( )( ) i

ix ±=±=−±=−±=

−−±−−= 2

16

1632

16

25632

16

1280102432

82

40843232 2

La tercera raíz es ix += 23 y la cuarta es su conjugado: ix −= 24

3) 0257524723 2345 =−−+++ xxxxx Solución. Aplicando la regla de Descartes se tiene:

( )xP tiene un cambio de signo


42

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 257524723257524723 23452345 −++−+−=−−−−+−+−+−=− xxxxxxxxxxxP presenta cuatro cambios de signo, así que tiene cuatro, dos o cero raíces negativas. Por lo tanto, las raíces del polinomio tiene las siguientes posibilidades:

Positivas Negativas Complejas Total 1 4 0 5 1 2 2 5 1 0 4 5

Los divisores del término independiente son: 25,5,1 ±±±=p

Los divisores del coeficiente del término principal son: 3,1 ±±=q

Las posibles raíces racionales son:

3

25,

3

5,

3

1,25,5,1 ±±±±±±=

q

p


025507423

25507423

2575247213

1

−−−

−−−−

−

La primera raíz es 11 −=x

Probando con 1=x :

0257513

257513

25507423

1

−−−


Trabajando con el polinomio reducido: 025753 23 =+++ xxx .

Probando con 3

1=x :

9

452

3

22723

9

227

3

21

257513

3

1

No es raíz pero es cota superior.

Probando con 3

1−=x :

07503

2501

257513

3

1 −−−

La tercera raíz es 3

13 −=x

Trabajando con el polinomio reducido: 0753 2 =+x .


43

Como la ecuación de segundo grado no es completa, no es necesario aplicar la fórmula general para la ecuación de segundo grado, basta con despejar:

ixxx 525253

75753 22 ±=−±=⇒−=−=⇒−=

La cuarta raíz es ix 54 = y la quinta es su conjugado: ix 55 −=

III.9 INTERVALOS DE NÚMEROS REALES Una desigualdad es la expresión de dos cantidades tales que una es mayor que otra. Las desigualdades en general se clasifican en absolutas y condicionales. Las desigualdades absolutas son aquellas que se cumplen sea cual sea el valor real que se sustituye. Por ejemplo: xx >+1 . Las desigualdades condicionales son aquellas que sólo se cumplen para ciertos valores de las variables. Por ejemplo 062 >−x sólo se cumple para valores de x mayores de 3. A este tipo de desigualdades se les denomina inecuaciones. A diferencia de las ecuaciones, que sólo se verifican para algunos valores de la variable, las inecuaciones tienen infinitas soluciones. Un intervalo describe un rango entre dos valores pertenecientes a los números reales tales que ba > , es decir, es un segmento limitado de la recta numérica. Por su contenido, los intervalos se clasifican en cuatro tipos: 1. Cerrados

Son aquellos intervalos que si tocan a sus extremos. Se definen como: [ ] { }bxaRxb,a ≤≤∈=

2. Abiertos

Son aquellos intervalos que no tocan a sus extremos. Se definen como: ( ) { }bxaRxb,a <<∈=

3. Semiabiertos

Por la izquierda: son aquellos intervalos que incluyen a su extremo superior: ( ] { }bxaRxb,a ≤<∈=

Por la derecha: son aquellos intervalos que incluyen a su extremo inferior: [ ) { }bxaRxb,a <≤∈=

4. Infinitos

Cerrados a la izquierda: [ ) { }xaRx,a ≤∈=∞

Cerrados a la derecha: ( ] { }bxRxb, ≤∈=∞−

Abiertos a la izquierda: ( ) { }xaRx,a <∈=∞


44

Abiertos a la derecha: ( ) { }bxxb <=∞− ,

Abierto completamente: es aquel que contiene a todos los números reales: ( ) { }∞<<∞−=∞∞− xx,

III.10 PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES 1. Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número real la desigualdad

se mantiene. Esto es: sea n un número cualquiera, si nbnaba +>+⇒> Ejemplo. Se sabe que: 57 >

3=n 8103537 >⇒+>+

2. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo número n positivo la

desigualdad se mantiene. Ejemplos. a) Se sabe que: 34 >

2=n

( ) ( ) 682324 >⇒>

b) Se sabe que: 2432> 8=n

348

24

8

32 >⇒>

3. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo número n negativo la

desigualdad cambia de sentido. Ejemplos. a) Se sabe que: 59 >

1−=n

( ) ( ) 591519 −<−⇒−<−

b) Se sabe que: 3048> 6−=n

586

30

6

48 −<−⇒−

<−

III.11 RESOLUCIÓN DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO C ON UNA VARIABLE

Las inecuaciones de primer grado en x son de la forma 0>+ bax , 0<+ bax . Es decir, son las que tienen la incógnita con exponente uno. El objetivo es despejar x , respetando las normas de las propiedades con desigualdades. En este sentido, la metodología para resolver inecuaciones de primer grado es similar a la de resolver ecuaciones de primer grado, sin embargo, presenta una salvedad:


45

1. Se suprimen los paréntesis (si los hay) 2. Se quitan denominadores (si los hay) 3. Se aplican los inversos aditivos correspondientes a cada uno de los sumandos. En la práctica, esto

significa pasar términos de un miembro a otro cambiando los signos (si está sumando pasa restando y si está restando pasa sumando).

4. Se aplican los inversos multiplicativos positivos correspondientes cuando sea necesario. En la práctica, esto significa pasar factores o denominadores positivos de un miembro a otro (si está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicando).

5. Se invierte el sentido de la desigualdad cuando se aplican los inversos multiplicativos negativos correspondientes. Esto significa que si un coeficiente negativo está multiplicando y se pasa dividiendo o si está dividiendo se pasa multiplicando, el sentido de la desigualdad cambia. Este es el paso diferente a las ecuaciones.

La interpretación gráfica de la solución de una inecuación de primer grado en x es un intervalo en la recta numérica que se comporta de acuerdo a lo siguiente:

Si kx > implica que es el intervalo ( )∞,k , es decir, son todos los números reales ubicados a la derecha

de k

Si kx < implica que es el intervalo ( )k,∞− , es decir, son todos los números reales ubicados a la

izquierda de k

Si kxj << implica que es el intervalo ( )kj, , es decir, son todos los números reales que están entre j y k . Gráficamente:

x

x > k

k

x

x < k

k

x

j < x < k

j k

Ejemplos. Resolver las siguientes inecuaciones de primer grado: 1) 7213385 +−<−+ xxx Solución.

8713235 −+<+− xxx 124 <x

34

12 <⇒< xx


46

2) ( ) ( )95210634 −−−>−− xxx Solución.

1810106124 ++>−− xxx 1218101064 ++>−− xxx

4012 >− x

12

40

−<x

3

10−<x

3) 4

58

3

45

2

3 −+>+ xx

Solución. Multiplicando por 12:

−+>

+4

58

3

4125

2

312 xx

1596166018 −+>+ xx 1815961660 −−>− xx

6344 >x

44

63>x

4) 42

35 >−−

x

x

Solución. Caso 1: Si el denominador es positivo la desigualdad no cambia, esto es, si 02 >−x :

( )2435 −>− xx

8435 −>− xx 3845 +−>− xx

5−>x pero 202 >⇒>− xx

dadas las dos restricciones, la solución para este caso es: 2>x Caso 2: Si el denominador es negativo la desigualdad si cambia, esto es, si 02 <−x :

8435 −<− xx 3845 +−<− xx

5−<x pero 202 <⇒<− xx

dadas las dos restricciones, la solución para este caso es: 5−<x

Considerando ambos resultados, el conjunto solución es: ( ) ( )∞−∞− ,25, U


47

5) 5116 <−x Solución.

Sabiendo que: kxkkx <<−⇒< :

51165 <−<− x 1156115 +<<+− x

1666 << x

6

16

6

6 << x

3

81 << x

6) 752 >− x

Solución.

Sabiendo que: xkkx <⇒> ; kx −<

x527 −< ; 752 −<− x x527 −<− ; 275 −−<− x

x55 −< ; 95 −<− x

x>− 5

5;

5

9

−−>x

x>−1 ; 5

9>x

7) 918 −<− xx Solución. Considerando la ecuación:

918 −=− xx

Los valores absolutos de dos números son iguales si dichos números son iguales o son opuestos en signo, por lo tanto, se cumple que:

918 −=− xx y ( )918 −−=− xx

resolviendo la primera ecuación: 918 −=− xx 198 +−=− xx

87 −=x

7

8−=x

resolviendo la segunda ecuación: ( )918 −−=− xx

918 +−=− xx 198 +=+ xx

109 =x

9

10=x


48

Los puntos encontrados dividen la recta en tres intervalos:

∞

−

−∞− ,9

10,

9

10,

7

8,

7

8, .

Probando con valores intermedios a fin de saber cuáles cumplen con la desigualdad:

−∞−∈−7

8,2

( ) 17128 =−−

( ) 111192 =−=−−

como 17no es menor que 11 no se satisface la desigualdad original en ningún punto de ese intervalo.

−∈9

10,

7

80

( ) 1108 =−

990 =−

como 1 si es menor que 9 se satisface la desigualdad original para cualquier punto de ese intervalo.

∞∈ ,9

102

( ) 15128 =−

792 =−

como 15 no es menor que 7 no se satisface la desigualdad original en ningún punto de ese intervalo.

Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo

−9

10,

7

8, es decir,

9

10

7

8 <<− x .

III.12 RESOLUCIÓN DE INECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PR IMER GRADO CON UNA VARIABLE Las inecuaciones simultáneas son aquellos sistemas de desigualdades que se satisfacen con los mismos valores. Para encontrar el conjunto solución de inecuaciones simultáneas se resuelve una a la vez, se analizan cada uno de sus resultados y se obtienen los valores que verifican a todas las desigualdades.

En general, 1x y 2x son las dos restricciones de cada una de las inecuaciones simultáneas y si 21 xx > , existen cuatro posibilidades:

• Si 1xx > y 21 xx > , la solución es 1xx > .

• Si 2xx < y 12 xx < , la solución es 2xx < .

• Si 1xx < y 2xx > , la solución es 12 xxx << .

• Si 2xx < y 1xx > , no hay solución. Gráficamente:


49

x

x > x 1

x1

x

x

x

x2

x1x2

x1x2

x1x2

x < x2

x2 < x < x 1

Sin solución

Ejemplos. Resolver las siguientes inecuaciones simultáneas.

1)

+>+−>−

xx

xx

23497

31245

Solución. Resolviendo la primera inecuación:

41235 +>+ xx 168 >x

8

16>x

2>x Resolviendo la segunda inecuación:

xx 23497 +>+ 255 >x

5

25>x

5>x Como las dos restricciones son “mayores que”, se toma el más grande, por lo tanto, la solución es:

5>x

2)

−−>+−+−<−

xx

xx

845

632311


233611 +−<− xx 205 <x

5

20<x


50

4<x Resolviendo la segunda inecuación:

485 −−>+− xx 124 −>− x

4

12

−−<x

3<x Como las dos restricciones son “menores que”, se toma el más pequeño, por lo tanto, la solución es:

3<x

3)

++−<−−<++−

xxx

xx

229974

74811


47811 −<+− xx 33 <− x

3

3

−>x

1−>x Resolviendo la segunda inecuación:

729294 ++<−+− xxx 183 <x

3

18<x

6<x Como una las dos restricciones es “mayor que”, la otra es “menor que” y se intersectan, entonces, la solución es 61 <<− x .

4)

+−−>−−++>+

xx

xx

541182

321568


631528 −+>− xx 126 >x

6

12>x

2>x Resolviendo la segunda inecuación:

841152 +−−>−− xx 77 −>− x

7

7

−−<x

1<x Como una de las restricciones es “mayor que”, la otra es “menor que”, pero no se intersectan, entonces no existe solución.


51

III.13 RESOLUCIÓN DE INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE

Las desigualdades de segundo grado o cuadráticas son del tipo 02 >++ cbxax o bien del tipo

02 <++ cbxax . El objeto de su resolución es encontrar los intervalos que satisfacen la inecuación, teniendo en cuenta lo siguiente:

• Cuando se presenta en la forma 02 >++ cbxax , el resultado es un intervalo dado por xx <1 , 2xx < ,

donde 1x es la raíz más grande y 2x la más pequeña.

• Cuando se presenta en la forma 02 <++ cbxax , el resultado es un intervalo dado por 12 xxx << ,

donde 1x es la raíz más grande y 2x la más pequeña.

• Si el discriminante 042 <−= acbD entonces la inecuación no tiene solución. Gráficamente:

xx1x2

x1 < x, x < x 2

xx1x2

x2 < x < x1

aaaax2+bx+c>0

aaaax2+bx+c<0

Ejemplos. Obtener los valores de x para los cuales se cumplen las siguientes inecuaciones cuadráticas:

1) 0252 >−x Solución.

Considerando la ecuación: 0252 =−x

525252 ±=±=⇒= xx

51 =x

52 −=x


52

el conjunto solución es: x<5 , 5−<x

2) 062 2 <− xx Solución.

Considerando la ecuación: 062 2 =− xx factorizando:

( ) 062 =−xx

01 =x

062 =−x 62 =x

2

6=x

32 =x

el conjunto solución es: 30 << x

3) 0942 >−+ xx Solución.

941 −=== c,b,a Aplicando la fórmula general:

( )( )( ) ⇒

±−≈±−=+±−=−−±−

=2

21174

2

524

2

36164

12

91444 2 .x

605.52

211.11

2

211.74;605.1

2

211.3

2

211.7421 −≈−≈−−≈≈≈+−≈ xx

el conjunto solución aproximado es: x. <6051 , 6055.x −<

4) 0852 2 <−+ xx Solución.

852 −=== c,b,a Aplicando la fórmula general:

( )( )( ) ⇒

±−≈±−=+±−=−−±−

=4

433.94

4

895

4

64255

22

82455 2

x

608.34

433.14

4

433.95;108.1

4

433.4

4

433.9521 −≈−=−−≈≈=+−≈ xx

el conjunto solución aproximadamente es: 108.1608.3 <<− x También se pueden resolver por factorización, obteniendo la solución de cada factor, calculando posteriormente la intersección de las soluciones.

5) 062 >−− xx Solución. Resolviendo por factorización al considerar la ecuación:

062 =−− xx


53

( )( ) 023 =+− xx

31 =x

22 −=x

el conjunto solución es: x<3 , 2−<x

6) 01034 2 >+− xx Solución.

10,3,4 =−== cba Aplicando la fórmula general:

( ) ( ) ( )( )( ) ⇒

−±=−±=−−±−−

=8

1513

8

16093

42

104433 2

x

no existe solución.

7) 4

322 <− xx

Solución.

Sabiendo que: kxkkx <<−⇒< :

4

32

4

3 2 <−<− xx

esto es un sistema de dos desigualdades cuadráticas, que se puede escribir como:

>+−

<−−

04

32

04

32

2

2

xx

xx

Resolviendo la primera inecuación:

4

3,2,1 −=−== cba

Aplicando la fórmula general:

( ) ( ) ( )

( ) 2

645.22

2

72

2

342

12

4

31422 2

±≈±=+±=

−−−±−−=x

322.0;322.2 21 −≈≈ xx

el conjunto solución 1S aproximado es: 322.2322.0 <<− x Resolviendo la segunda inecuación:

4

3,2,1 =−== cba

Aplicando la fórmula general:

( ) ( ) ( )

( ) 2

12

2

12

2

342

12

4

31422 2

±=±=−±=

−−±−−=x


54

5.0;5.1 21 == xx

el conjunto solución 2S es: x. <51 , 50.x < Finalmente, al ser inecuaciones simultáneas, el conjunto solución del sistema es la intersección de

ambas soluciones: 21 SSS I=

( ) ( ) ( )[ ]∞∞−−= ,5.15.0,322.2,322.0 UIS ( ) ( )322.2,5.15.0,322.0 U−=⇒ S gráficamente esto es:

x32-1

1

y

-1

2

1

4

322 −−= xxy

4

322 +−= xxy

III.14 DESIGUALDADES DE COCIENTE DE POLINOMIOS

Sean dos polinomios ( )xP y ( )xQ . Si se tiene una desigualdad de la forma ( )( ) 0>xQ

xP o bien

( )( ) 0<xQ

xP,

la solución puede encontrarse mediante la siguiente metodología: 1) Se ordenan de forma tal que el segundo miembro sea cero 2) Se factorizan ambos polinomios 3) Se encuentran las raíces de ambos polinomios. 4) Conocido el número de raíces n , se forman los 1+n intervalos correspondientes 5) Se prueba con valores intermedios de cada uno de los intervalos a fin de saber si satisface la

inecuación original 6) Se obtiene la unión de los intervalos que satisfacen la inecuación. Ejemplos. Obtener la solución de las siguientes inecuaciones:

1) 01

62

>−

−−x

xx

Solución. ( )( )

01

23 >−

+−x

xx

Las raíces son:


55

31 =x

22 −=x

13 =x

Los puntos encontrados dividen la recta en cuatro intervalos: ( ) ( ) ( ) ( )∞−−∞− ,3,3,1,1,2,2, . Probando con valores intermedios a fin de saber cuáles cumplen con la desigualdad:

( )2,4 −∞−∈−

( ) ( )( ) 5

14

5

6416

14

644 2

−=−

−+=−−

−−−−

como 5

14− no es mayor que 0 no se satisface la desigualdad original en ningún punto de ese intervalo.

( )1,20 −∈

( )( ) 6

1

6

10

6002

=−−=

−−−

como 6 si es mayor que 0 se satisface la desigualdad original para cualquier punto de ese intervalo.

( )3,12∈

41

624

12

6222

−=−−=−

−−

como 4− no es mayor que 0 no se satisface la desigualdad original en ningún punto de ese intervalo.

( )∞∈ ,34

23

6

3

6416

14

6442

==−−=−

−−

como 2 si es mayor que 0 se satisface la desigualdad original para cualquier punto de ese intervalo.

Por lo tanto, el conjunto solución es la unión de los intervalos que cumplen la desigualdad: ( ) ( )∞− ,31,2 U

2) 23

1 <−−

x

x

Solución.

023

1 <−−−

x

x

( )0

3

321 <−

−−−x

xx

03

621 <−

+−−x

xx

03

5 <−+−

x

x

03

5 >−−

x

x

Las raíces son:

51 =x

32 =x


56

Los puntos encontrados dividen la recta en tres intervalos: ( ) ( ) ( )∞∞− ,5,5,3,3, . Probando con valores intermedios a fin de saber cuáles cumplen con la desigualdad:

( )3,0 ∞−∈

3

1

30

10 =−−

como 3

1 si es menor que 2 se satisface la desigualdad original para cualquier punto de ese intervalo.

( )5,34∈

31

3

34

14 ==−−

como 3 no es menor que 2 no se satisface la desigualdad original para ningún punto de ese intervalo.

( )∞∈ ,56

3

5

36

16 =−−

como 3

5 si es menor que 2 se satisface la desigualdad original para cualquier punto de ese intervalo.

Por lo tanto, el conjunto solución es la unión de los intervalos que cumplen la desigualdad: ( ) ( )∞∞− ,53, U

3) 022

2

<+−

xx

xx

Solución.

( )( ) 0

2

1 <+−

xx

xx

Las raíces son:

01 =x

12 =x

23 −=x


( )2,3 −∞−∈−

( ) ( )( ) ( ) 4

312

6939

323

332

2

==−+=

−+−−−−

como 4 no es menor que 0 no se satisface la desigualdad original en ningún punto de ese intervalo.

( )0,21 −∈−

( ) ( )( ) ( ) 2

12

2111

121

112

2

−=−

=−+=

−+−−−−

como 2− si es menor que 0 se satisface la desigualdad original para cualquier punto de ese intervalo.

( )1,05.0 ∈

( ) ( )( ) ( ) 2.0

25.125.0

125.05.025.0

5.025.0

5.05.02

2

−=−=+

−=+−


57

como 2.0− si es menor que 0 se satisface la desigualdad original para cualquier punto de ese intervalo.

( )∞∈ ,12

( ) 25.08

2

44

24

222

222

2

==+−=

+−

como 25.0 no es menor que 0 no se satisface la desigualdad original en ningún punto de ese intervalo.

Por lo tanto, el conjunto solución es la unión de los intervalos que cumplen la desigualdad: ( ) ( )1,00,2 U−

4) 0103

22

>−−

−xx

x

Solución.

( )( ) 025

2 >+−

−xx

x

Las raíces son:

21 =x

52 =x

23 −=x


( )2,5 −∞−∈−

( )( ) ( ) 30

7

101525

7

10535

252

−=−+

−=−−−−

−−

como 30

7− no es mayor que 0 no se satisface la desigualdad original en ningún punto de ese intervalo.

( )2,20 −∈

( ) 2.010

2

1000

2

10030

202

=−−=

−−−=

−−−

como 2.0 si es mayor que 0 se satisface la desigualdad original para cualquier punto de ese intervalo.

( )5,23∈

( ) 1.010

1

1099

1

10333

232

−=−

=−−

=−−

−

como 1.0− no es mayor que 0 no se satisface la desigualdad original en ningún punto de ese intervalo.

( )∞∈ ,510

( ) 60

8

1030100

8

1010310

2102

=−−

=−−

−

como 60

8 si es mayor que 0 se satisface la desigualdad original para cualquier punto de ese intervalo.

Por lo tanto, el conjunto solución es la unión de los intervalos que cumplen la desigualdad:

( ) ( )∞− ,52,2 U


58

5) 023

22

23

<++

+xx

xx

Solución.

( )( )( ) 0

12

22

<++

+xx

xx

Las raíces son:

01 =x

22 −=x

13 −=x

Los puntos encontrados dividen la recta en cuatro intervalos: ( ) ( ) ( ) ( )∞−−−−∞− ,0,0,1,1,2,2, Probando con valores intermedios a fin de saber cuáles cumplen con la desigualdad:

( )2,3 −∞−∈−

( ) ( )( ) ( ) 5.4

29

2991827

2333

3232

23

−=−=+−+−=

+−+−−+−


( )1,23.1 −−∈−

( ) ( )( ) ( ) 6335

2101831

2936913831972

231331

312312

23

..

.

..

..

..

.. −=−

=+−

+−=+−+−

−+−


( )0,15.0 −∈−

( ) ( )( ) ( ) 5.0

75.0375.0

25.125.05.0125.0

25.035.0

5.025.02

23

==+−

+−=+−+−

−+−

como 5.0 no es menor que 0 no se satisface la desigualdad original en ningún punto de ese intervalo.

( )∞∈ ,01

( )( ) 5.0

6

3

231

21

2131

1212

23

==++

+=++

+

como 5.0 no es menor que 0 no se satisface la desigualdad original en ningún punto de ese intervalo. Por lo tanto, el conjunto solución es la unión de los intervalos que cumple la desigualdad:

( ) ( )1,22, −−−∞− U

6) 1

3

2

1

+>

− xx

Solución.

01

3

2

1 >+

−− xx

( )( )( ) 0

12

231 >+−−−+

xx

xx

( )( ) 012

631 >+−+−+

xx

xx


59

( )( ) 012

72 >+−

+−xx

x

( )( ) 012

72 <+−

−xx

x

Las raíces son:

5.32

71 ==x

22 =x

13 −=x

Los puntos encontrados dividen la recta en cuatro intervalos: ( ) ( ) ( ) ( )∞−−∞− ,5.3,5.3,2,2,1,1, Probando con valores intermedios a fin de saber cuáles cumplen con la desigualdad:

( )1,2 −∞−∈−

25.022

1 −=−−

312

3 −=+−

como 250.− si es mayor que 3− se satisface la desigualdad original para cualquier punto de ese intervalo.

( )2,10 −∈

5.020

1 −=−

310

3 =+

como 5.0− no es mayor que 3 no se satisface la desigualdad original para ningún punto de ese intervalo.

( )5.3,22.3 ∈

833.022.3

1 ≈−

714.02.4

3

12.3

3 ≈=+

como 833.0 si es mayor que 714.0 se satisface la desigualdad original para cualquier punto de ese intervalo.

( )∞∈ ,5.35

333.025

1 ≈−

5.06

3

15

3 ==+

como 333.0 no es mayor que 5.0 no se satisface la desigualdad original para ningún punto de ese intervalo. Por lo tanto, el conjunto solución es la unión de los intervalos que cumple la desigualdad:

( ) ( )5.3,21, U−∞−

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