NÚMERO RACIONAL.docx

8/18/2019 NÚMERO RACIONAL.docx

1/39

Repaso

PRACTICA DE NÚMEROS NATURALES

Efectuar:

1. 20 – 18 –12 –6 – 2 + 7 =

2. 3 + 9 – 10 + 8 + 1 –5 =

3. 15 – 8 +4 – 3 + 6 – 2 + 12 =

4. (16 + 4) – (8 – 3) + 11 – 7 =

5. (13 – 9) + (19 – 10) – 4 + 16 =

6. (8 – 2 + 5) –10 + 4 –9)+ 2x7 =

7. 80 – [ (9-7) - (11+3) + 3x5 ] =

8. 7x9 – 75:15 + 8

×2 =

9. 16:8

×10 – (3

×

2-4) -5

×2 =

10. 32 + 17 – (7 + 2

×3) –3 =

11. 7

×5 + 5

×7 – 10:2 + 52 =

12.

9 4 16 81

=

13.

49 121 64 25

=

14.

3 3100 8 64 49

=

15.

3 41 27 16 225

=

16. 256 (23 - 32 + 6º ) =

17. 5

×(32 - 5) – 7(22 – 2) =

18. (32 – 23)(42 – 24)(25 – 52) =

19. 3(7-1)2 + 2(5 – 2)3 – 161 =

20.

2581 49 2 + ÷ ÷

=

MÁS PRACTICA

Efectuar:

21. 20 – 18 –12 –6 – 2 + 7 =

22. 3 + 9 – 10 + 8 + 1 –5 =

23. 15 – 8 +4 – 3 + 6 – 2 + 12 =

24. (16 + 4) – (8 – 3) + 11 – 7 =

25. (13 – 9) + (19 – 10) – 4 + 16 =

26. (8 – 2 + 5) –10 + 4 –9)+ 2x7 =

27. 80 – [ (9-7) - (11+3) + 3x5 ] =

28. 7x9 – 75:15 + 8

×2 =

29. 16:8

×10 – (3

×2-4) -5

×2 =

30. 32 + 17 – (7 + 2

×3) –3 =

31. 7

×5 + 5

×7 – 10:2 + 52 =

32.

9 4 16 81

=

33.

49 121 64 25

=

34.

3 3100 8 64 49

=

35.

3 41 27 16 225

=

36. 256 (23 - 32 + 6º ) =

37. 5

×(32 - 5) – 7(22 – 2) =

38. (32 – 23)(42 – 24)(25 – 52) =

39. 3(7-1)2 + 2(5 – 2)3 – 161 =

40.

2581 49 2 + ÷ ÷

=PRACTICA DE NÚMEROS ENTEROS

Efectuar:

10+-5+-8+3+-4+7 =

–7+9+-2+-6+12+4 =

4 -7+(-5+8) – 10 =

6 –3(1-7)+2(5-8) =

10+(8-(6-4)+12) =

30:6 – 12:4 + 16:2 + 3 =

(4

×-5)+ (-3x-7)+(-2x10) =

(-3)2+(-2)2+(-6)2+(-1)2 =

(-3)4+(-5)2-72+(-1)6 =

(-5)(+4)+12:6x7-(-14:2) =

(-1)3+(-2)3-(-3)3+07 =

34 416 81 27 64+ − − =


2/39

13.

5 3 3 31 1 8 125− + − − − −

14.

3 416 27 81 1− + − =

15.

3 33 564 32 1 1− + − −

16. 66x22 + 43 + 5x3 + 6 – 2 =

17. 14 + [ 20 ÷ (2+3) ] – 7 ! =

18.

0210 ( 2 3) (7 9) 3 − + − − − − −

=

19.

( ) ( )2 2536 0 6 15 3+ − − + −

=

MÁS PRACTICA

1. 12+-7+-4+6+-1+11 =2. –10+13+-4+-8+15+-7 =

3. 6-10+(-12+7)+13 =

4. 7-4(2-9) + 8(5-10) =

5. –16+(12-(5-6)+1) =

6. 24:12-18:6-64:16+48 =

7. (-8x-3) + (-5x-2) – (-3x9) =

8. (-4)2+(-2)2-(-5)2 + (-1)3 =

9. (-1)8 + (-3)2 – (-1)3 +05 =

10. (-5)3-(-25x5) + (-7)2-2 =

11. (-8)(-5)+(-9)(2)-(-18:9) =

12.

=++−+−− 39753

21111

13. -

=−+−−− 3433

1168125

14.

=+−+− 81181100 54

15.

=−−−+ 433 166411

16.

[ ] [ ] =+−−+−−−+− 2)8(5)32(10

17.

=−−+−−+ )27()3156()036( 3225

18.

{ } [ ] =+÷−+−−−−÷−− 12)4208(4)5(5)6)(5(

=−+×+ 5:)447)365(( 2

(

=+−+− 1810:)16061 22222

1. NÚMERO RACIONAL"# #$%er& e' raca cua#*& ue*e 'er rere'e#ta*& c&%& u#a *,'# #*ca*a *e *&'e#ter&' & cua %ate%tca%e#te 'e *ef#e:

a =

≠∈∧∈ 0#/#%#

#

%

E%:

etc/9

5/

12

18/4/

4

3/

7

9 −−

2. FRACCIÖN:"#a fracc# e' u# #$%er& raca *e a f&r%a

a

**e a e' u# #$%er& e#ter& *'t#t& *ecer& a%a*& #u%era*&r e' u# e#ter&&'t,& a%a*& *e#&%#a*&r c a c*c#a*ca *e ue a e' *fere#te *e t&*&%$t& *e .

racc#:

a

#*e:

a ∈ ∈+ a ≠ ≠ 0

2.1. ;??;;?@A E B;;?CAE>

>ea a fracc#

D

=

.

a.- POR LA COMPARACIÓN DE SU VALORRESPECTO A LA UNIDAD.

PROPIA IMPROPIA

D

1 ∴ DD

F1 ∴ F D

18

16/

9

5/

7

4

10

16/

9

12/

8

20

GHr%#&' *e a fracc#.

Au%era*&r e#&%#a*&r


3/39

Exacto o Limitado

Inexacto o IlimitadoPeriódico Puro

Periódico Mixto

Número Decimal

.- POR SU DENOMINADOR:>e#*& I u# e#ter& &'t,&.

DECIMAL ORDINARIA

D = 10J D ≠ 10J

32 10

32/

10

25/

10

3

15

25

/12

18

/7

3

!.- POR LA CANTIDAD DE DIVISORESCOMUNES DE SUS T"RMINOS:

IRREDUCTI#LE REDUCTI#LE

D ' KE>?L; (/ D) = 1

D #& ' KE>?L; ( D) ≠1

16

23/

23

15/

13

10

12

20/

36

20/

12

18

$.- POR %RUPO DE FRACCIONES:

&OMO%"NEAS &ETERO%"NEAS

G&*&' te#e# Mua*e#&%#a*&r.

%e#&' u#*e#&%#a*&r e'

*'t#t& a &' *e%'.

12

20/

12

11/

12

5/

12

3

3

7/

8

6/

8

2/

8

10

NOTA:1.-


4/39

!'.- NÚMERO DECIMAL INE(ACTOPERIÓDICO MI(TO:

;ua#*& a arte *ec%a c'ta *e u# erN&*&r&ce**& &r u#a cfra & Mru& *e cfra'a%a*& arte #& er*ca ue #& f&r%a arte*e erN&*&.

• 57222... =275

• 0332999... =

93320

E# Me#era ara t&*& #$%er& a,a er*c&%xt&:

PRO#LEMAS RESUELTOS

1.- > a &' tHr%#&' *e u#a fracc# rre*ucte'e e 'u%a e tre *e *e#&%#a*&r are'uta*& 'e e re'ta a fracc# re'uta a %'%afracc# Q;u#t& 'u%a# &' tHr%#&' *e afracc# &rM#aR

Solución:

>ea f =

a

(a ' KE>?)

u%a *e tHr%#&' 3 + 7 = 10

2.- Saa ax ' a fracc#

a

a

e' eu,ae#te a

152

57

.

Solución:>e cu%e:

819

319

152

57

a

a

××

==

8

3

a

a=

e'c&%e#*& efectua#*&:

77a = 22'& a = 2 = 7r&*uct& a x = 2 x 7 = 14

3.- Q;u#ta' fracce' c&%re#**a' e#tre

29

23

43

19

' tae' ue 'u' tHr%#&' '#$%er&' c'ecut,&'.R

Solución:

>e cu%e:

)??(

29

23

1#

#

43

19<

+<

(?)

e (?): 08 # # = 1 2 3e (??): # 38

ea# a r%&'.

)D(

cfra'O#Ocfra'O%O

)D()D(

cfra'O%O

)D(

cfra'O#O 0...000)1D)...(1D)(1D(

...acP... J...acP...J ...ca

−−−

−=


5/39

35

74

a

a

a

a 22=

+=+

*a#*& f&r%a:

75

75

a

a 2222

×

+=

+


6/39

a)

3

16

)

9

16

c)

27

8

*)

16

9

e)

16

3

10).-Efect$a :

( )[ ] -232-

a)

64

)

54

1

c)

64

1

*)

32

1

e)

16

1

11) .-Efect$a :

1-

01-

2

10x

3

1

9

1 +

a) 31 ) 3 c) 4*) 11 e) 5

12).- ;acua e ,a&r *e ; ' :

; =4

1

3

1

2

14

4

1

3

1

2

14

−−−

+++

a) 1748 ) 6135c) 1523 *) 1837 e) 2439

13).- Q;u#t& e fata a E ara 'er Mua a 35 ' :

E =6

16

4

14

3

13

2

12

+

+

a) 435 ) 720 c) 130*) 125 e) 415

14).- >%fca :

E =

−

−

−

−

−

+

+

+

+

+

9

11

8

11

7

11

6

11

5

11

9

11

8

11

7

11

6

11

5

11

a) 29 ) 92 c) 3*) 1 e) 13

15).- >%fca :

2

12

11

13

122

−−

+−

a) 3 ) 0 c) 4*) 1 e) 2

16).- >%fca :

3

1

4

32x

12

7

9

4

3

2

5

1

6

1

15

6

6

1

9

2

10

3

5

4x

8

3

÷

−+

−+

−+÷

=

a) 12 ) 45 c) 90

*) 75 e) #.a

17).- Efect$a :

50123

1623

4

5

2

2

1I

+

+

+

=

−−−

a) 9 ) 7 c) 5

*) 6 e) #.a

18).- >%fca :

3

2

3132

662

3

2

3E

−

−−−−

+−

+

=

a) 17 ) 3625 c) 16

*) 35 e) #.a

19).- Efect$a :

−×

−×

−×

−×

−=

6

11

5

11

4

11

3

11

2

11

a) 12 )13 c) 14*) 15 e) 16


7/39

20).- Saa: L =

1

8

11

7

11

6

11

8

11

7

11

6

11

−

+

+

+

−

−

−

a) 36 ) 24 c) 25*) 21 e) 32

21).- Efect$a :

L =5

15.

5

2.

2

3

5

3.

3

21

3

1.

8

3

4

1

3

1

2

1−

÷++

a) 25 ) 27 c) 28

*) 30 e) 26

22).- ;acua :

E =

11

5

2.

2

11.

5

4.

5

4−−

a) 53 )35 c) 25*) 52 e) 14

23).- Efect$a :

L =

111

5

111

5

51 −−−

−−−

−

a) 1 ) 2 c) 3*) 4 e) 5

24).- ;acua :

L =

8

1

1

11

11

−

+−

a) 18 ) 815 c) 2*) 1716 e) 1617

25).- Saa e ,a&r *e :

L =18.17

1...

4.3

1

3.2

1

2.1

1++++

a) 1024 ) 1331c) 1031 *) 1718 e) 1518

26).- Saa e tre *e ; ':

9

760504030; ++++=

a) 3 ) 4 c) 5 *) 6 e) 8

CLAVES DE RESPUESTAS

01) 02) e 03)

04) a 05) e 06)

07) a 08) a 09)

10) c 11) 12)

13) * 14) 15)

16) 17) * 18)

19) e 20) 21) e

22) a 23) * 24)

25) * 26) c

ECUACIONESE' t&*a Mua*a* ue 'e ,erfca '&& ara*eter%#a*&' ,a&re' *e 'u' etra' a%a*a'?A;@VA?G>.

1. COMPONENTESE# t&*a ecuac# 'e c'*era:

a' P/0 /0/. G&*& & e'crt& a aPuer*a *e a Mua*a*.

' S0$ /0/. G&*& & e'crt& a a*erecWa *e a Mua*a*.

!' Vaa0 !7a. >N%&& uerere'e#ta a u# #$%er& *e'c&c*&

2. FORMAS


8/39

3. RESOLUCIÓN DE ECUACIONESa' R0890 a 0!a!. E' Waar e

cu#t& '&uc# *e a ecuac#.' Ra; $0 a 0!a!.- E' e ,a&r ue

t&%a a ,arae & #cM#ta ara

tra#'f&r%ar a ecuac# e# u#a Mua*a*,er*a*era *e #$%er&'.

!' C


9/39

( 3 + % ) x + % – 3 = 0

Solución x = *

1* + *m + m - 3 = 0 12 + 6m = 0

m = -2 7) Be'ue,e:

% + 3 (%-1) = 6 – 4 (2% + 3)

Solución

m + 3m - 3 = 6 - m - 12 4m – 3 = - m - 6

12 m = -3

m = -1/4

PRO#LEMAS PROPUESTOS

1) 14x + 1 = 25x-2

a) 5 ) 11 c) 20*) 10 e) –37

2) 10(1+4x)=14 + 24x

a) Z ) 11 c) 20*) 10 e) –37

3) 4(2a + 5) – 70 =-2a

a) 5 ) 11 c) 20*) 10 e) -3-7

4) 4(x + 5) =2

x23 −

a) 5 ) 11 c) 20*) 10 e) –37

5)

6

#56

3

#38 −=

−

a) 5 ) 11 c) 20*) 10 e) –3 7

6) 6x – 4x – 4 + x = -3x – 5 + 2x

a) –Z ) 4 c) Z*) 4 e) A.

7) 12 – (-2x + 6) = 5 –(4x + 5)

a) 1 ) –1 c) 2*) 5 e) –2

8) 24 – 4(x+3) = 2(10x-6)

a) 1 ) 2 c) 3*) 5 e) A.

9) 5(x + 1) = 4x + 2(x - 13)

a) 10 ) 15 c) 31*) 45 e) A..

10)

16

4x

3

2x=

−+

+

a) 1 ) 2 c) 5*) 4 e) 5

11)

25

x

2

5x=−

−

a) 10 ) 15 c) 30

*) 5 e) A..

12) 7 -8

7x3

3

x5 +=

a) 1 ) 2 c) 3*) 4 e) 5

13)

x3

1

4

1

6

1

2

1x3+=+

−

a) T ) 2 c) Z *) 1 e) A..

14)

14

x3

3

)4x(

2

x−=

−+

a) 1 ) 2 c) 3 *) 4 e) 5

15) 7x – 10 + 2x = 5 + 6x

a) 1 ) 2 c) 3 *) 4 e) 5

16) 3(2x + 2) = 9(x – 1)

a) 1 ) 2 c) 3 *) 4 e) 5

17) 12 + 2 (10 - x) = 4 + (15x-6)

a) 1 )2 c) 3

18) x-14

x5

7

1

2

2x=+

−


10/39

a) –1 )-7 c) –8

19)4

3

12

x51x2

6

x−=++

a) –1 ) -2 c) –3

20)5

1x2

3

1

9

x4 +=−

a) 10 )11 c) 12

21)a

7a5

a

3a +=−

−

a) –1 ) –2 c) –3 *) 0 e) A.

22) 2x-15

2x3

3

)4x( ++

−

-2 = 0

a) –17 ) -27 c) 1*) 27 e) A..


1) c 2) a 3) a

4) e 5) * 6) a

7) 8) a 9) c

10) 11) 12)c

13)a 14)* 15)e

16)e 17) 18)c

19)a 20)c 21)

22)*

PLANTEO DE

ECUACIONES

1. CONCEPTOKa#tear u#a ecuac# e' tra*ucr u# r&e%a*e e#Muae e'crt& u &ra a e#Muae%ate%tc& (ecuace')."#a reac# e#tre #cM#ta' *at&' #&' e,a af&r%ar u#a ecuac#.

2. CRITERIOS

1 .5 %' *e & ue &te#M&. Q;u#t& %e ue*arNa ' c&%rara u#


11/39

artcu& ue cue'ta a cuarta arte *e & ue #&Ma'tarNaRSolución:

& =

102

3+

x

Gu = x tu,era' 2x

.2. Q;u#t& te#e B&'aRSolución:B&'a te#e: x> rece 12 : x + 12> rece 2 : x + 2

x + 12 = 2(x + 2)

x + 12 = 2x + 4 x = 8

oa ti!n! S/'

PRÁCTICA DIRI%IDA N* +2

1).- .1296 'e Wa# c&%ra*& Mua #$%er&*e ,a'&' *e tre' ca'e' *'t#ta' 'e#*& &'

rec&' re'ect,&' *e ca*a ca'e *e ,a'& 7 8 12 '&e'. Q;u#ta' *&ce#a' *e ,a'&' 'ec&%rarR

a) 4 ) 6 c) 8*) 10 e) 12

9).- La#ue c&%ra a %ta* *e u# r&& *eaa%re %e#&' 12 %etr&'. eM& c&%ra u#terc& *e %'%& r&& %' 4 %etr&' &r & curece 8 %etr&' %e#&' ue La#ue. Q;u#t&'%etr&' c&%r La#ueR


12/39

a) 52 ) 60 c) 72*) 44 e) 50

10).- "# #\& te#Na 20 &a' u#a' r&a' &tra'aPue'. > er*e 4 &a' *e ca*a c&&r e#tce'e tre *e #$%er& *e &a' aPue' eu,a*rNaa #$%er& *e a' &a' r&a'. Q;u#ta' &a'

r&a' te#NaRa) 14 ) 7 c) 12*) 13 e) 11

11).- &' er'a' te#e# >.3680 >.2560re'ect,a%e#te. # ctar a' Ma#a' 'e te#e# 5 a,e''# ctar &' a,&' te#e%&' 7 a,e' '# ctar &' at&' te#e%&' 4 a,e'. e te#Na 400 cara%e&' ara 'er *'tru*&'e# arte' Muae' a u# Mru& *e #\&'. > 'eretra# 4 #\&' &' re'ta#te' rece# 5cara%e&' %'. ;u#t&' #\&' WaNa#ca%e#te.

a) 20 ) 16 c) 25*) 15 e) 30

22).- & te#M& e tre *e a %ta* *e & ue t$te#e' %' >.10. > t$ tu,era' e *&e *e &'ue te#e' te#*rNa' >.5 %' *e & ue &te#M&. Q;u#t& %e ue*arNa ' c&%rara u#artcu& ue cue'ta a cuarta arte *e & ue #&Ma'tarNaR

a) 10 ) 11 c) 30*) 44 e) 50

23).- "# reMa& e#,uet& cue'ta 13 '&e' '#e#,&,er cue'ta 11 '&e' %' *e & ue c&ra#&r e#,&,er&. Q;u#t& c&ra# &r e#,&,er&R

a) >.1.50 ) >.2.00

c) >.0.75 *) >.1.00e) >.0.50

24).- E# u# c&rra Wa 13 a#%ae' e#tre ce&' Ma#a'. > te#e# 42 ata' e# t&ta. Q;u#t&'ce&' WaR

a) 5 ) 6 c) 8*) 4 e) 9


13/39

25).- E# u# taer Wa 25 ,eWNcu&' e#tre aut&' %&t&'. > te#e# 70 rue*a' e# t&ta. Q;u#t&'aut&' WaR

a) 15 ) 10 c) 20*) 18 e) 17

26).- > ^ua# rece >. 5 te#*rNa e *&e ue '

Wuera Ma'ta*& >. 5. Q;u#t& te#e ^ua#Ra) >. 18 ) >. 15 c) >. 9*) >. 10 e) >. 5

27).- "# aa%re *e 28% 'e c&rta# e# 3 arte' taue ca*a arte e' e *&e *e a#ter&r.Q;u#t&%*e a arte %a&rR

a) 8% ) 4% c) 18%*) 16% e) 12%

28).- .60. Q;u#t& Wa rec*& Kac&R

a) >.6 ) >.36 c) >.12*) >.24 e) >.18

30).- E erN%etr& *e u# rect#Mu& e' 40c%.> earM& %*e 4c% %' ue e a#cW&. Q;u#t&%*e e arM&R

a) 12% ) 8% c) 10%*) 15% e) 16%


1) e 2) a 3) * 4) c5) e 6) e 7) e 8) a9) 10)* 11)e 12)c13) 14)a 15)a 16)*17) 18)e 19) 20)*21)a 22)* 23)* 24)c25) 26) 27)* 28)29)e 30)a

ECUACIONES CUADRÁTICAS

E' t&*a ecuac# a cua u#a ,eP '%fca*a e%a&r exe#te *e a #cM#ta e' 2.En general :

a c ∈ B ∀ a ≠ 0

1. E;";?CAE>?A;CLK

• > : = 0 →

• > : c = 0 →

2. B_;E> E "A

E;";?@A E >EV"ACVBC

> &' ,a&re' *e a #cM#ta ue 'at'face aecuac#.

• G&*a ecuac# *e 'eMu#*& Mra*& te#e*&' raNce' & '&uce'.

3. L`GCC E >C


14/39

3(x 2 – 4) = x 2 – x + 16 + x

3x 2 – 12 = x 2 + 16

2x 2 = 2

x 2 = 14

x = ±

14

C'S = ±

14

5

3) Be'ue,e aca#*& fact&rPac#

x2 + 3x – 108 = 0

Solución :

x 2 + 3x – 10 = 0 x +12 x -9

(x + 12) (x – 9) = 0

x + 12 = 0 x = -12

(x – 9) = 0

x = 9

C'S'= -12 95

4) Be'ue,e aca#*& a fr%ua Me#era:

9x2 - 12x + 4 = 0

Solución :

a = 9& = -12

c = 4

a2

ac4 2 −±−

)9(2

)4)(9(412)12( 2 −±−−

18

14414412 −±

=

18

012 ±

18

12

x =

3

2

5) Be'ue,e : x2 + 5x – 24 = 0

Solución :

x 2 + *x – 24 = 0

x + x -3

(x + ) (x – 3) = 0

x + = 0 x = - x - 3 = 0

x = 3

C'S' =- 35

6) Be'ue,e : 6x2 + 11 x – 10 = 0

Solución :

6x 2 + 11 x – 10 = 0 2x +* 3x -2

(2x + *) (3x – 2) = 0 2x + * = 0

x = -*/2

3x – 2 = 0

x = 2/3

C'S' =

−

3

2/

2

5

7) Be'ue,e : 8x2 – 2x – 3 = 0>&uc# :

8x 2 – 2x – 3 = 0

x =

)8(2

)3)(8(422 2 −−±

x =

16

9642 +±

x =

16

102

16

1002 ±=

±

Luego :

x 1 =

4

3

16

12

16

102

==

+

x 2 =

2

1

16

8

16

102−=

−=

−

∴ x 1 = ¾ x 2 = – ½


15/39

8) Be'ue,e : 8x + 5 = 36x2

Solución :x + * = 36x 2

o$"!nan"o :

36x 2 - x – * = 0

x =

)36(2

)36)(5(488 2 −−±

x =

72

720648 +±

x =72

288

72

7848 ±=

±

Luego :

x 1 =

2

1

72

36

72

288==

+

x 1 =

18

5

72

20

72

288 −=

−=

−

∴ x 1 =

2

1

x 2 =

18

5−

9) Be'ue,e : 5x2 + 13x – 6 = 0

Solución :

x =

10

28913

)5(2

)6)(5(41313 2 ±−=

−−±−

x =

10

1713 ±−

7u!8o :

x 1 =

5

2

10

4

10

1713==

+−

x 2 =

=−

=−−

10

30

10

1713

-3

x 1 = 2/* x 1 = -3

PRO#LEMAS PROPUESTOSI.- &aa 0 $8!/a70 0 !a$a a $0 a8

80708 0!a!08 !a$?7!a802x3x2 =+−

1).-

a) 1 ) 9 c) 3 *) 2 e) 0

015x2x2 =−−

2).-

a) 16 ) 69 c) 83 *) 72 e) 64

02x5x3 2 =+−

3).-

a) 16 ) 7 c) 1 *) 72 e) 6022x3x4 2 =−+

4).-

a) 146 ) 487 c) 451 *) 172 e) 361

024x11x2 =++

5.-

a) 1 ) 12 c) 25 *) 36 e) 61063x16x2 =+−

6).-

a) 10 ) 12 c) 25 *) 4 e) 6104x12x9 2 =+−

7).-

a) 210 ) 142 c) 125 *) 4 e) 0

02x7x3 2 =+−

8).-

a) 52 ) 0 c) 25 *) 4 e) 40

056152

=++ x x

9).-

a) 10 ) 49 c) 13 *) 25 e) 0


16/39

2x1011x =+

10).-

a) 16 ) 256 c) 221 *) 285 e) 441

II.- R08090 a8 80708 0!a!08!a$?7!a8 :

11).- 3x2 = 48

a) ±2 ) ±3 c) ±4*) ±16 e) ±5

12).- 5x2 – 9 = 46

a) ±11

) ±11 c) ±5*) ±6 e) ±1

13).- (x + 5) (x – 5) = -7

a) ±5

) ±3 c) ±32

*)

2

e) A..

14).- (2x – 3) (2x + 3) – 135 = 0

a) ±6 ) ±5 c) ±8*) ±4 e) A..

15).- x2 = 5x

a) 1/ 5 ) 2/ 3 c) 0/ 5*) 1/ -5 e) A.

16).-4x2 = -32x

a) –8/ 1 ) –1/ 8 c) 0/ 1*) 0/ -5 e) –8/ 0

17).- x2 – 3x = 3x2 – 4x

a) 0/ T ) 1/ T c) –1/ T*) 0/ - T e) A..

18).- 5x2 + 4 = 2(x + 2)

a) 1/ 2 ) 0/ -25 c) 0/ 25*) 6/ 2 e) A..

19).- (x-3)2 – (2x + 5)2 = -16

a) 0/ 326 ) 0/ 25 c) 5/ 325*) 0/ -263 e) A..

20).- x2 – x – 6 = 0

a) 2/ 3 ) 1/ -3 c) –2/ 1*) –2/ 3 e) 1/ 5

21).- x2 + 7x – 18 = 0

a) 2/ -9 ) 1/ -9 c) 2/ 3*) –2/ 3 e) –2/ 9

22).- x2 + 8x - 65 = 0

a) 3/ 2 ) –13/ 5 c) –13/ -5*) –5/ 13 e) A..

23).- 2x2 + 7x – 4 = 0

a) –4/ 1 ) T / 4 c) – T / 4*) T / -4 e) 2/ -4

24).- 20x2 – 27x = 14

a) 3/ 5 ) –25 / 74c) 23 / 20 *) 25 / -74 e) A..

25).- x2 – 2x – 15 = 0

a) –3/ 5 ) 2/ 3 c) 3/ 5*) –5/ 3 e) A..

III.- R08090 a@!a$ a /a 00a.

26).- 3x2 – 5x + 2 = 0

a) 1/ 23 ) 35 / -2c) –1/ 23 *) 13/ 2e) A..

27).- 4x2 + 3x - 22 = 0

a) 11/ 2 ) –114 / 2c) 13/ -2 *) 35 / 6e) A..

28).- x2 + 11x + 24 = 0

a) 3/ 8 ) 6/ 3 c) 3/ -8*) –3/ -8 e) A..

29).-x2 – 16x + 63 = 0

a) 1/ 7 ) 7/ 9 c) –2/ 7*) 7/ -9 e) 1/ 9

30).- 5x2 – 7x – 90 = 0


17/39

a) 1 ) 5 c) –185*) c e) a

31).- 3x2 – 7x + 2 = 0

a) 2 ) 13 c) -3

*) a c e) a

CLAVES DE RESPUESTAS1) a 2) e 3) c

4) e 5) c 6) *

7) e 8) c 9) *

10)e 11)c 12)a

13)c 14)a 15)c

16)e 17)a 18)c

19)* 20)* 21)a

22) 23)* 24)

25)a 26)a 27)

28)* 29) 30)e

FACTORI>ACIÓN

E' e r&ce'& *e tra#'f&r%ac# *e u# &#&%&*e c&efce#te' e#ter&' e# u#a %utcac# *e*&' & %' exre'e' a%a*&' fact&re'.

E%:x2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2)

fact&re'

1. FACTOR PRIMO E' aue fact&r #& c'ta#te ue te#e c&%&$#c& *,'&r a &tra exre'# *H#tca a ea. E%:

x + 1 fact&r #ea.x2 + 1 fact&r cua*rtc&.

2. M"TODOS :2.1. FACTOR COMÚN BO A%RUPACIÓN DE

T"RMINOS

Ee%& :act&rPa:E = x49 + 2x310 + x211

>&uc#:

E .; e': x

2

9

ACIÓN POR IDENTIDADES:a' T/ Ca$a$ P00!7:

2 ± 2D + D2 = ( ± D)2

Ee%& :act&rPa: E = x2 – 4x + 42

>&uc#:E = x2 – 2(x) (2) + (2)2

→ E = (x – 2)2

' D00!a $0 Ca$a$8:

2 – D2=( + D) ( - D)

Ee%& :act&rPa: E = x2 – 1

>&uc#:

E = (x + 1) (x – 1)

!' S/a D00!a $0 C:

3 ± D3=( ± D)(2 ± D + D2)

Ee%& :act&rPa: E = x3 – 1

>&uc#:

E = (x - 1) (x2 + x +1 )

2.3. M"TODO ASPA SIMPLE:

x2% + Dx%# + ;2#

Ee%& :act&rPa: x2 + 2x - 8

>&uc#:

x2 + 2x – 8x +4x -2 → (x + 4) (x – 2)


18/39

LHt&*& 'a &e:

x2+Dx+;2 + x + E +

Ee%& :act&rPa:

E = 15x2 + 14x + 32 + 41x + 23 + 14

5x 3 2 3x 7

&uc#: MG7$ A8@a S/@0:

H 2 - 2 - 3

4 -3

2 1

H 2 2 3 )4 3' )2 1'

2'.- C?78 a!708 @/8 700:

) J '11 )-J', )2 J2'K

D. $0 !a$a$

>&uc#:

) J'11 )-J', - ) J'K )-J'K

) J'K )-J', ) J'2 - ) - J'2

)J'K )-J', ) J - J' ) J- J'


19/39

)J'K )-J',)2')2J'

4J)-J', )J'K

R@7a : 4 a!708 @/8

3'.- Fa!7;a:

a2 2 !2 2a

>&uc#:

O$0a$ :

a2 2a 2 !2

)a '2 !2

D. $0 !a$a$8

)a !' )a !'

4'.- Fa!7;a:

F 3 32 4 2

S!:

P $9808 /!8: 1

1 08 $98:

1 -3 4 -2

1 1 -2 2

1 -2 2 +

2 2 2

3 32 4 2 )-1' )2 22'

5).- act&rPa:

4x5 + 10x4 – x33 + x32 + 6x3

>&uc#:

Fa!7 !/:

3J)42 1+ J2 J 6'

a8@a $0

R@7a : 3J)2 J 2' )2 J 3'

6'.- Fa!7;a:

6 J6

>&uc#:

• D00!a $0 !a$a$8.

)3 J3' )3- J3'

• P $07$a$08.

)J' )2 J J2' )-J' )2 J J2'

)J' )-J' )2 J J2' )2 J J2'

,'.- Fa!7;a:

E 5 4 23 22 1

S!:

A@a$ $8 a $8:

E 4) 1' - 22) 1' ) 1'


20/39

E ) 1' )4 22 1'

T.C.P

E ) 1' )2 1' )2 1'

E ) 1' ) 1' ) 1' )-1' ) 1'

R@7a : E ) 1'3 )-1'2

H'.- Fa!7;a:

R 2 J2 ;2 2J 2; 2J;

S!:

A@a$ :

R 2 2J J2 2; 2J; ;2

R ) J'2 2;) J' ;2

T.C.P

R ) J' ;2 ) J ;'2

K'.- Fa!7;a:

& )a ' )a !' - )$ ' )$ !'

S!:

R0890$ 8 @$!78:

& a2 )!'a ! - $2 )!' $ !

& a2 ) !'a ! $2 ) !'$ !

& a2 $2 ) !'a ) !'$

& )a $' )a $' ) !' )a $'

& )a $' )a $ !'

PRÁCTICA DIRI%IDA N* +6

1'.- U a!7 @/ $0:

%3 – %#2 + %2# – #3 + %2 – #2

a) % + # + 2 ) %+1c) #-1 *) %+# e) %-#+1

2).- act&rPa:%#+ + %## + #% %+ #%+

*a u# fact&r r%&:

a) %# + # ) %# + #

c) % + #% *) % + ## e) % + #

3).- act&rPa: x3 + x2 + x + 1

a) (x2 + 1)(x - 1) ) (x2 + 1)(x + 1)c) (x2 + 1)(1 - x) *) (1 + x)(1-x2)e) A..

4).-;u#t&' K te#e : D= x (x2 - 2 + xP) - 2 P

a) 1 ) 2 c) 3 *) 4 e) 5

5).- ;u#t&' K te#e:

; = x3 - 2x2 + x2 - 23

a) 1 ) 2 c) 3 *) 4 e) 5

6).- ;u#t&' fact&re' r%&' te#e:< = 8x6 + 7x3 - 1

a) 2 ) 4 c) 5 *) 6 e) 3

7).- act&rPa: L = 4'4t - 4'3t2 - 24 '2t3

Bta : .............................................

8).- act&rPa: A = 12(x-)2 + 7(x-) - 12

Bta : .............................................

9).- Q;u#t&' K te#e a exre'#RK = (x - 1)4 + (x - 1)2 - 6

a) 1 ) 2 c) 3 *) 4 e) 510).- Q;u#t&' K te#eR


21/39

x49 + 2x310 + x211

a) 1 ) 2 c) 3 *) 4 e) 5

11).- ;u#t&' fact&re' r%&' Wa e#:

x6 - 6

a) 3 ) 4 c) 5 *) 6 e) 7

12).-


22/39

a) 3x+2 ) 3x-2 c) 2x-1*) 3x+4 e) 3x+5

30).- act&rPa: (x) = x3-5x2-2x+24

a) –11 ) –10 c) –5*) 2 e) 11

31).- act&rPa:

(x) = (x2+8)2- 6x (x2+8) -27x2

?#*ca a 'u%a *e c&efce#te' *e fact&r r%&cua*rtc&.

a) 0 ) 12 c) 6*) –4 e) 18

32).- ;u#t&' fact&re' r%&' #eae' re'e#ta:(ax – 3)2 – (x – 3a)2

a) 2 ) 3 c) 4

*) 1 e) #& re'e#ta ta fact&r

33).- ?#*ca u#& *e &' fact&re' r%&' *e:%(%2+%#–1) – # (#2+%#–1)

a) % + # ) # – 1 c) % - 1*) % + # – 1 e) %2 + 1

34).- ?#*ca e t&ta *e fact&re' terae' uere'e#ta: 20x4 + 31x2 – 9

a) 3 ) 4 c) 5*) 6 e) 7

35).- ?#*ca u#& *e &' fact&re' *e:

64x123 – 68x87 + 4x411

a) x2 + 1 ) 2 + 1 c) x2 + 2

*) 2x – 1 e) 2 + 1

36).- eter%#a a 'u%a *e &' tHr%#&' #eae'*e &' fact&re' r%&' *e: (x+1)(x+3)(x–5)(x–7)+28

a) –6x ) –8x c) –10x*) 4x e) 6x

37).- ?#*ca e t&ta *e fact&re' *e:x4 – 13x2 + 36

a) 4 ) 8c) 16 *) 32e) #& 'e ue*e act&rPa

38).- ;u#t&' fact&re' r%&' re'e#ta:x16 + 15x8 – 16

a) 4 ) 6 c) 5

*) 9 e) %' *e 9.

39).- Saa e #$%er& *e fact&re' r%&':(x+)2(x2-2)2-(x-)2(x2+2)2

a) 2 ) 3 c) 4*) 5 e) 6

40).- act&rPa:

Y(a/ %) ≡ 2a% – 2a# + 2a – % + # - 1 cacua e tHr%#& #*ee#*e#te *e u# fact&r r%&

a) 1 ) # + 2c) –# + 1 *) 3 e) #-2

41).- act&rPa:

K(a/ / c) ≡ (a-)(a2-c2) - (a-c)(a2- 2)e &te#e: (xa + )P

e ,a&r *e x + P e':

a) 2 ) 3 c) 4*) 5 e) 6

43).- act&rPa:

K(x) ≡1 + x(x + 1)(x + 2)(x + 3)>e &te#e: (x2 + %x + #)

e ,a&r *e % + # + e':

a) 2 ) 4 c) 6*) 8 e) 10


1) * 2) e 3)

4) c 5) 6)

7)-- 8) -- 9) c

10)c 11) 12)*

13)-- 14)-- 15)

16)-- 17)-- 18)a

19)* 20)c 21)


23/39

22)* 23)c 24)a

25)* 26)e 27)

28)c 29)a 30)c

31) 32)a 33)*

34)a 35)c 36)

37)a 38)c 39)c 40)c 41)

INTERVALO.- E' aue 'ucu#t& *e &' #$%er&'reae' (B) cu&' ee%e#t&' x e't# c&%re#**&'e#tre &' extre%&' a / 'e#*& e't&' ta%H# #$%er&'reae' ue ue*e# e'tar & #& #cu*&' e# e #ter,a&.

CLASES DE INTERVALOS: >e a%a# #ter,a& aert&a 'ucu#t& *e #$%er&' reae' c&%re#**&' e#tre a . E #ter,a& aert& 'e rere'e#ta: (a/ ) & [a/ ].Vrfca%e#te:

x ∈ (a/ ) ⇔ a x .

Ee%&:

Bere'e#ta Mrfca%e#te: x ∈ (-1/4)

II. INTERVALO CERRADO.- >e a%a #ter,a& cerra*&a 'ucu#t& *e #$%er&' reae' c&%re#**&' e#tre a #cue#*& a .E #ter,a& cerra*& 'e re'e#ta: [a/ ].

Vrfca%e#te:

x ∈ [a/ ] ⇔ a ≤ x ≤ .

Ee%&:

Bere'e#tar Mrfca%e#te: x ∈ [-4/ 2].

III. INTERVALOS MI(TOS.- UIERDA BA#IERTO A LA DEREC&A DE E(TREMOS a J .-

E' e 'ucu#t& *e &' #$%er& reae' xc&%re#**&' e#tre a '# #cur e extre%& '##cur e extre%& 'e rere'e#ta: [a/ ] & [a/ ].Vrfca%e#te:

x ∈ [a/ ] ⇔ a ≤ x .

Ee%&:

Bere'e#tar Mrfca%e#te: x ∈ [-3/ 3].

2. INTERVALO CERRADO A LA DEREC&A BA#IERTO A LA I>UIERDA DE E(TREMOS a J .-E' e 'ucu#t& *e &' #$%er&' reae' xc&%re#**&' e#tre a '# #cur e extre%& a 'e

rere'e#ta: [a/ ] & [a/ ].

Vrfca%e#te:

x ∈ [a/ ] ⇔ a x ≤

Ee%&:Bere'e#tar Mrfca%e#te: x ∈ [-2/ 1].

3. INTERVALO CERRADO EN a POR LA I>UIERDA.-E' e 'ucu#t& *e &' #$%er&' reae' x %a&re' &Muae' ue a/ 'e rere'e#ta: [a/ +

] & [a/ +

].Vrfca%e#te:

x ∈ [a/ ] ⇔ a ≤ x + ∞.

Ee%&:

Bere'e#tar Mrfca%e#te: x ∈ [-2/ + ].

4. INTERVALO A#IERTO EN a POR LA I>UIERDA.-E' e 'ucu#t& *e &' #$%er&' reae' x %a&re'ue a 'e rere'e#ta: (a/ + ) & [a/ + ].Vrfca%e#te:


24/39

x ∈ [a/ + ] & [a/ + ] & [a/ + ].

Ee%&:

Bere'e#tar Mrfca%e#te: x ∈ (-1/ + ).

+5.- INTERVALO CERRADO EN POR LADEREC&A.-E' e 'ucu#t& *e &' #$%er&' reae' x %e#&re' &Muae' ue 'e rere'e#ta: (-

/ ) & [-

].Vrfca%e#te:

x∈

(-

/ ) ⇔ - Q x ≤ .

Ee%&:

Bere'e#tar Mrfca%e#te: x∈

(-

/ 4]

6. INTERVALO A#IERTO EN POR LA DEREC&A.-E' e 'ucu#t& *e &' #$%er&' reae' x %e#&re'ue 'e rere'e#ta: (- ) & [- / ].Vrfca%e#te:

x∈

(-

/ ) ⇔ - Q x ≤ .

Ee%&:

Bere'e#ta Mrfca%e#te: x ∈ (- / 2).

PRÁCTICA DIRI%IDA

a) Exre'ar *e f&r%a *e #ter,a& Mrfca%e#te.

01. 5 x 9 08. 10 ≥ 0

Bta: ................ Bta: bb...

02. -1 4º. . 09. -2 x +

Bta: bb... Bta: bb...

03. -7 x 2 10. -5 x +

Bta: ................ Bta: bbbb

04. -3 x 5 11. + F x F -3

Bta: ................ Bta: bbbb

05. -6 x 1.... 12. 0 x + ∞

Bta: ................ Bta: bbbb

06. 4 8..... 13. - x ≤ 7

Bta: ................ Bta: bbbb

07. 12 F x F -5.. 14. -

x -2

Bta: ................ Bta: bbbb

) a*a' a' Mrfca'/ exre'ar& e# f&r%a *e #ter,a&.

1.

.............................................................................

2.

.............................................................................

03.

.............................................................................

04.-

.............................................................................

05.-

.............................................................................


25/39

06.-

.............................................................................

07.-

.............................................................................

08.-

.............................................................................

TAREA DOMICILIARIA

a) Exre'ar *e f&r%a *e #ter,a& Mrfca%e#te.

01. -2 x 10 09. -1 Q +

Bta: ................ Bta: bb...

02. -4 0.... 10. 12 x F 5

Bta: bb... Bta: bb...

03. 7 x + 11. -8 x ≥ -10

Bta: ................ Bta: bbbb

04. -8 x 2 12.

1

2 x 3

Bta: ................ Bta: bbbb

05.

5 x

313. - x 25

Bta: ................ Bta: bbbb

06. -

2

x Q

714. 13 F x F 0

Bta: ................ Bta: bbbb

07. -

3

2 x

3

215. -, F x F -15

Bta: ................ Bta: bbbb

08. - x 9... 16. -20 x -15

Bta: ................ Bta: bbbb

) a*a' a' Mrfca' exre'ar& e# f&r%a *e #ter,a&.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Par ordenado:

cu#t& f&r%a*& &r a e# e'e &r*e# *e#&ta*& &r (a/) 'e e a%a @a $0a$ 'e#*& a

r%era c&%e#te 'eMu#*a c&%e#te.K&r ee%& ' 'e *ec*era #*car e #$%er& *e &r*e#*e ca*a au%#& *e a ca'e &r %e*& *e u# ar &r*e#a*& te#*rNa%&':

(;ar&' ,ara*&/ 1)(LMue NaP/ 2)(^&'H E'caa#te/ 3) etc.

&' are' &r*e#a*&' ' Muae' '& ' 'u' r%era'c&%e#te' ' Muae' 'u' 'eMu#*a' c&%e#te'ta%H# e' *ecr:


26/39

(a/ ) = (%/ #) ⇔ a = % ∧ = #

Producto Cartesiano

a*&' *&' cu#t&' D 'e a%a Kr&*uct&;arte'a#& xD a cu#t& *e t&*&' &' are'&r*e#a*&' (a/) tae' ue a erte#ece a erte#ece a D.

E' *ecr:

x D = (a/ ) a ∈ ∧ ∈ D!

K&r ee%& 'ea: = 1/ 2/ 3!D = a !

⇒ x D = (1/ a) (1/ ) (2/ a) (2/ ) (3/ a) (3/ )!

Representación gráfica del

producto cartesiano

E r&*uct& carte'a#& x D 'e ue*e rere'e#tar

%e*a#te cert&' Mrfc&' & e'ue%a' &' %' utPa*&'':

A. Diagrama sagital o de fechas

Sea: A = {1; 4} y B = {0; 3; 7}

#. Daa/a !a708a:

>ea: = 1996/ 1997! D = 20/ 30!

O809a!:

E #$%er& *e ee%e#t&' *e r&*uct& carte'a#& x D'e *e*uce *e a 'Mue#te reac#:

#( x D) = #() x #(D)

RELACIÓN BINARIA

a*&' *&' cu#t&' D 'e a%a reac# B *e e# D a aue 'ucu#t& *e r&*uct& carte'a#& x D ue cu%e *eter%#a*a c*c# e#tre &'ee%e#t&' *e 'u' are' &r*e#a*&'.

K&r ee%& 'ea# &' cu#t&':

= 1/ 3/ 5! D = 2/ 4!

*e e r&*uct& carte'a#& x D e':

x D = (1/ 2) (1/ 4) (3/ 2) (3/ 4) (5/ 2) (5/ 4)!

> (a/ ) rere'e#ta a t&*&' e't&' are' &r*e#a*&'r&ce*e%&' a extraer aue&' ue cu%e#: a F .

E#tce' te#*re%&' a 'Mue#te reac#:

B = (3/ 2) (5/ 2) (5/ 4)!

Yue 'e ue*e *eter%#ar c&%&:

B = (a/ ) ∈ x D a F !

C'er,a%&' ue e# #ue'tra reac# a F e' ac*c# & 0a $0 !08@$0!a Wa ue te#er re'e#te ue 'e #&' u*& Waer e**& &tra reMa *ec&rre'*e#ca &r ee%&:

a → B1 = (1/ 2) (1/ 4) (3/ 4)!a = – 1 → B2 = (1/ 2) (3/ 4)!

Dominio Y Rango De UnaRelación


27/39

BLO!E I

1. E'cre d & e#tre &' arH#te'' 'eM$# ca*ar&&'c# 'ea ,er*a*era & fa'a.

a) 2/ 5! = 5/ 2!) 4/ 3! ≠ 3/ 4!c) (3/ 4) = (4/ 3)*) (a ) = ( a)e) (5/ 2) ≠ (2/ 5)f) (a a) = (a a)

2. Saar x e 'eM$# 'ea e ca'& ara ue 'ecu%a a Mua*a* *e are' &r*e#a*&'.

a) (x/ 2) = (5/ 2)

) (10/-) = (10/ -5)c) (5/ -3) = (x + 1/ -3)*) (x + 2/ ) = (5/ 1)e) (1/ -3) = (-/ x – 3)

f) (5x/ 4) =

1220/

3. >ea# &' cu#t&':

= -2 / -1 / 1 / 0 ! E = 1 / 3 / 5 !

a) x E ) E x c) x *) E x Ee) (–E) x ( ∩ E)

4. Saar x + ' 'e cu%e ue:(x – 3/ 8) = (-2/ 2 – )

5. Saar a + ' ' cu%e ue:(2a + / 3a - 2) = (9/ 3)

6. a*&: = 1/ 3/ 5/ 7! D = 2/ 4/ 6/ 8!

a reac#:

B = (a/ ) ∈ x D a. e' %$t& *e 3!Saar:a) ;u#t& *e art*a e# B) ;u#t& *e eMa*a e# Bc) B &r exte#'#.*) aMra%a 'aMta.

e) aMra%a carte'a#&.7. a*&':

; = 0/ 1/ 3/ 5/ 6! = 1/ 2/ 3/ 4! a reac#:B = (c/ *) ∈ ; x c+* e' r%&! Waar:

a) B &r exte#'#.) &%(B)

8. >ea#:G = -2/ 0/ 2/ 4!

" = 2/ 3/ 4! a reac#:B = (t/ u) ∈ G x " t+u e' ar!

Saar:a) B &r exte#'#.) &%(B)c) Ba#(B)*) &%(B) x Ba#(B)

9. >ea# &' cu#t&': = 12/ 8/ 5! D = 2/ 3/ 4/ 5! a reac# B: → D *ef#*a &r ... e' %$t&*e ...

a) Ea&ra u# *aMra%a 'aMta u# *aMra%acarte'a#&.

) eter%#a B &r exte#'#.c) Saar e &%(B) Ba#(B)

10. Ge#e' &' cu#t&': = 2/ 3/ 5! D = 4/ 6/ 11! a reac#:B: → D *ef#*a &r ... e' r%& reat,& c...

a) Ea&ra u# *aMra%a 'aMta u# *aMra%acarte'a#&.) eter%#a B &r exte#'#.c) Saar e &%(B) Ba#(B)

11. >ea# &' cu#t&': = 2/ 4/ 5! D = 3/ 4! a reac#:B: → D *ef#*a &r ... e' %a&r ue ...

a) Ea&ra u# *aMra%a 'aMta u# *aMra%acarte'a#&.) eter%#a B &r exte#'#.c) Saar e &%(B) Ba#(B)

12. >: = -4/ -2/ 0/ 2/ 4!D = -5/ -1/ 3/ 5!

B = (a/ ) ∈ x D a2 – F 9!> = (a/ ) ∈ x D a . ≥ 12!

Saar:

a) B ∪ > ) B ∩ > c) > – B *) B - >

13. >ea: = 1/ 2/ 3/ 4/ 5! D = 6/ 7/ 8!

a' reace' *e e# D/B = (1/ 6) (2/ 6) (3/ 7) (4/ 7)!> = (3/ 7) (4/ 7) (5/ 8)!

?#*car ,er*a*er& (d) & fa'& () e#:

?. &%(B ∩ >) = &%(B) ∩ &%(>)??. &%(B – >) = &%(B) – &%(>)

???. Ba#(B ∩ >) = Ba#(B) ∩ Ba#(>)?d. &%(B ∪ >) ≠ &%(B) ∪ &%(>)

14. a*&' &' cu#t&': = -3/ -2/ 0/ 1!D = -1/ 0/ 1! B = (a/ ) ∈ x D a + ≠ a/ a+ 0!Saar:

a) &%(B) Ba#(B)) A[&%(B)]

15. >ea#:


28/39

= 0/ 1/ 2/ 3!D = 0/ 1/ 2/ 4! a reac#: B = (a/ ) ∈ x D 2 = !Saa: #[&%(B)] + #[Ba#(B)]

16: >ea# &' cu#t&': = 1/ 2/ 5!D = 3/ 4/ 6/ 8/ 10!

a reac#: B = (a/ ) ∈ x D –a ≥ 5!

Saar:a) &%(B) Ba#(B)) &%(B) ∪ Ba#(B)

BLOQUE II

1. > 'e cu%e ue: (x – 3/ 8) = (4/ + 3) Waar x +

2. > 'e cu%e ue: (a + / a – 2) = (11/ 2) . Saar a.

3. a*&' &' cu#t&': = 1/ 2/ 5!D = 4/ 5/ 6!

; = 1/ 2/ 3/ 4!

Saar: (D – ;) x ( ∩ D)4. >ea: = 1/ 2/ 3!

D = a !Saar:

a) x D #*ca#*& 'u #$%er& *e ee%e#t&'.) D x #*ca#*& 'u #$%er& *e ee%e#t&'.

5. >ea# &' cu#t&': = 2/ 4/ 5! D = 3/ 4! a reac#: B = (x/ ) ∈ x D x F !.Ea&ra u# *aMra%a 'aMta u# *aMra%a carte'a#&.

6. a*&' &' cu#t&': = 12/ 8/ 5! D = 2/ 3/ 4/ 5! a reac#: B = (x/)∈ x D x e' %$t& *e !.

eter%#ar B &r exte#'#.

7. a*&' &' cu#t&': = -4/ 0/ 2! D = 2/ 3/ 4/ 5! a reac#: B = (x/ ) ∈ x D x2 + ≤ 11!Q;ue' ' &' ee%e#t&' *e BR

8. a*&' &' cu#t&': = 1/ 2/ 3/ 4! D = 2/ 5/ 6!.;acuar a' 'Mue#te' reace'/ #*ca#*& 'u *&%#&ra#M& Mrfca:

a) B1 = (a/ ) ∈ x D a + 10!) B2 = (a/ ) ∈ x D = a + 3!

9. a*&' &' cu#t&': = 1/ 2/ 3/ 4! D = 2/ 5/ 6!.;acuar a' 'Mue#te' reace' #*ca#*& 'u *&%#&ra#M& Mrfca:

a) B3 = (a/ ) ∈ x D a = !) B4 = (a/ ) ∈ x D - a ≤ 2!

10. a*&' &' cu#t&': = 3/ 5/ 8! D = 2/ 3/ 45!/*eter%#ar a' 'Mue#te' reace':

a) B1 = (a/ ) ∈ x D a F !) B2 = (a/ ) ∈ x D = a!

11. a*&' &' cu#t&': = 3/ 5/ 8! D = 2/ 3/ 45!/*eter%#ar a' 'Mue#te' reace':

a) B3 = (a/ ) ∈ x D a + 8!) B4 = (a/ ) ∈ x D - a = 1!

12. a*&' &' cu#t&': = 1/ 2/ 3/ 4/ 5! D = 3/ 5/ 7! u#a reac# *ef#*a &r:

B = (a/ ) ∈ x D a + = 8!ar:

a) &%#& *e B

) Ba#M& *e Bc) &%(B) ∩ Ba#(B)

13. > &' are' &r*e#a*&': (2a + 2/ 14) (10/ 2 – 2) 'Muae'. Saar a +

a) 8 ) 9 c) 10 *) 11 e) 12

14. >: = 4/ 7/ 10/ 12! D = 1/ 3/ 8!eter%#ar: B = (a/ ) ∈ x D a ! *ar #(B)

a) 1 ) 2 c) 3 *) 4 e) 5

15. >: = 1/ 2/ 4! D = 1/ 4/ 9!. eter%#ar B *ar e#$%er& *e ee%e#t&' *e 'u *&%#&.

B = (x/ ) ∈ x D x2

= !

a) 1 ) 2 c) 3 *) 4 e) 5

16. ?#*car ,er*a*er& (d) & fa'& () 'eM$# c&rre'*a/re'ect& a u#a reac# B *ef#*a *e e# D.?. #( x D) = #() x #(D)??. #(Ba#M&) = #(&%#&)???. B ⊂ x D

a) dd ) dd c) ddd *) d e) dd

1. NOCIÓN DE CONUNTO


29/39

1) = 1/2/3!2) D = a c) 3)3) ; = a/ / c/ *)

3. RELACION DE PERTENENCIA

> OxO e' u# ee%e#t& *e cu#t& OO e#tce' 'e*ce ue: OxO erte#ece a cu#t& OO/ 'u #&tac#%ate%tca e' a 'Mue#te:

x ε

> OxO #& e' ee%e#t& *e cu#t& OO e#tce' 'e*ce ue OxO #& erte#ece a cu#t& OO/ 'u#&tac6# %ate%6tca e' a 'Mue#te:

X ∉

Ee%&:

1) = 1/ 2/ 3) e#tce':1 ε 2 ε

3 ε 4 ∉ 8 ∉ 7 ∉

Ee%&:

01.- >: = 2/ 3 / 5 / 8 ! e#tce' e' ,er*a*:?. 3 ∈ ??. 5!

∈

???. 8! ∈

>&uc#:

?. (d) : 3 ∈

??. () : &uc#:

= 1 / 3 / 4 / 5 / 7 !D = 3 / 5 / 6 / 8 !; = x+ x ∈ ∧ ∈ D!

&uc#:

a) (d) 2 ∈ ) (d) 2 ∈ 2! ⊂ c) (d) 2! e' ee%e#t& *e

2! ∈

PRO#LEMAS

01.- eter%#ar a ,er*a* (d) & fa'e*a* () *e a'r&&'ce' 'Mue#te' ':

= 1/ 2 / 3 / 4!

a) 1 ε ) 2 ε c) 4 ∉ *) 8 ε 5 e) 5 ∉ f) 0 ε

02.- eter%#e a ,er*a* (d) & fa'e*a* () *e a'r&&'ce' 'Mue#te' ':

= 1/ 2/ 3!/ 4! / φ)

a) 1 ⊂ ) 4 ε c) 2/ 3)ε *) ∅ ε e) 4! ∉ f) 3 ∉

03.- ?#*car cu#ta' r&&'ce' ' ,er*a*era'

': = ∅/ 1/ 2)/ 3/ 4!

a) 3 ε ) ∅ ε c) 3/ 4/ε *) 3) ε e) 1/ 2! ∉ ) 3 ⊂

04.- >e te#e e 'Mue#te cu#t&: = 2/ 3/ 4! / #*car a ,er*a* (d) & fa 'e*a* *ea' 'Mue#te' r&&'ce'.

a) 2 ε ) 3 ∉ c) 4 ε *) 5 ε e) 8 ∉ f) 3 ε M) 9 ∉ W) 10 ∉

05.- >e te#e e cu#t& 'Mue#te:

= 2/ 3/ 4/ 5!! / #*car a ,er*a* & fa 'e*a* *ea' 'Mue#te' r&&'ce'.

a) 3 ε ) 4 ε c) 5 ∉ *) 2 ∉ e) 4/ 5! ε f) 2! ε

06.- >e te#e e 'Mue#te cu#t&:

D = 2/ 3!/ 4/ 5!! #*car a ,er*a* (d) & fa'e*a*() *e a' 'Mue#te' r&&'ce'.


30/39

a) 3 ε D ) 2 ∉ D c) 5 ε D*) 4 ∉ D e) 2! ε D f) 3! εD

07 . - >e te#e &' cu#t&':

= 1 / 2 / 3 ! /∅

! / D = 2 / 3 ! / 5 !

;&&car a erte#e#ca (ε) & #& erte#e#ca (∉) e# a'r&&'ce' 'Mue#te':

a) 2b.. )∅

b... c) 2 3! bb *)

∅

!b...D e) 5b...D f) 6. b...D

08.- >e te#e e cu#t&:

; = 1/ ∅/ 3/ 4!!

?#*car cu#ta' r&&'ce' ' fa'a':

a)∅ ε ; ) 3 ∉ ; c) 4 ε ;

*) 1∉; e) 3/ 4! ∉ ; f) 1! ε ;


= 2 / 4 / 6 / 7 ! / #*car a ,er*a* (d) & fa'e*a*() *e a' 'Mue#te' r&&'ce'.

a ) 6 ∉ ) 4 ε c ) 5 ∉

* ) 2 ⊂ e ) 8 ε f) 2 ∉

10.- >e te#e# &' cu#t&':

= 2/ 4/ 5!/∅

! D = 3!

?#*car a ,er*a* (d) & fa'e*a* () *e a' 'Mue#te'r&&'ce'

a) ∅ ε ) 3! ε D c) 4 ε *) 2∉ e) 4/ 5! ε

f) 8 ∉ D

11.- >e te#e e cu#t& = 3/ 6/ 7! . ?#*car a ,er*a* (d)& fa'e*a* () *e a' 'Mue#te' r&&'ce':

a) 6 ε ) 7 ∉ c) ∅ ∉ *) 6! ε e) 8 ∉ f) 3 ε

12.- >e te#e e cu#t&:

= 4 / 5/6! !/ #*car a ,er*a* (d) & fa'e*a* () *e a''Mue#te' r&&'ce'

a) 6 ε ) 4 ε c) 5 ∉ *) ∅! ε e) 5/6! ε f) 4! ∉


= 2! / 3/ 4! / ∅ / 5! / #*car cu#ta' r&&'ce' 'fa'a':

a) 2 ∉ ) 3 ∉ c) ∅ ε

*) 5 ε e) 2! ∉ f) 4 ε

14.- >e te#e# &' cu#t&' 'Mue#te':

= 2 / 4/ 5! / ∅)/ D = ∅ / 3! / 1/ 4!!

;&&car a erte#e#ca (ε) & a #& erte#e#ca (∉) 'eM$#c&rre'*a:

a) 4bb ) 4bbD c) ∅b.. *) 3!bbD e) 2..b f) 1/ 4!bbD

DETERMINACIÓN DE UN CONUNTO

"# cu#t& 'e ue*e *eter%#ar *e *&' f&r%a':

1. K&r exte#'# & f&r%a tauar.- E' cua#*& 'e #&%rat&*&' &' ee%e#t&' *e cu#t&.

2. K&r ;&%re#'# & &r%a ;'truct,a E' cua#*&e#u#ca a r&e*a* & caracterN'tca ue te#e &'ee%e#t&' *e u# cu#t&.

Ee%&:

>: = 2xx ε A/ 1 ≤ x ≤ 4!

E'te cu#t& e't *eter%#a*& &r c&%re#'# 'u*eter%#ac# &r exte#'# 'er:

= 2/ 4/ 6/ 8!

Ee%&:

eter%#ar &r exte#'#:

K = x+6 x ∈ A ∧ x 5 !

>&uc#

a#*& &' ,a&re' a x x = 0 / 1 / 2 / 3 / 4e **e:x+6 = 6 / 7 / 8 / 9 / 10

K = 6 / 7 / 8 / 9 / 10 !

PRO#LEMAS

01.- eter%#ar &r exte#'# e 'Mue#te cu#t&: = 2x - 1 x ε A/ 1 ≤ x ≤ 6!

02.- exre'ar &r exte#'# e 'Mue#te cu#t&:D= x2+1 x ε A/ 1 x ≤ 5!

ar a 'u%a *e 'u' ee%e#t&'.

03.- Saar a 'u%a *e &' ee%e#t&' *e cu#t&: = 3x+2x ε A/ 1 x 5!

04.- >e te#e e 'Mue#te cu#t&: = 3x - 2x ε A/ 1 x ≤ 6!

?#*car a 'u%a *e &' ee%e#t&' *e cu#t& .

05.- eter%#ar &r exte#'# &' 'Mue#te' cu#t&':1) = 2xx ε A/ 1 x ≤ 5!2) D = 2x - 1x ε A/ 2 x 6!


31/39

3) ; = x2 + 1x ε A/ 1 x ≤ 5!

4) =

x

2x ε A/1≤ x ≤ 6)

06.- eter%#ar &r c&%re#'# &' 'Mue#te' cu#t&': 1) = 2/ 4/ 6/ 8 10/ 12!

2) D = 4/ 9/ 16/ 25/ 36!3) ; = 17/ 19/ 21/ 23/ 25!4) = 20/ 25/ 30/ 35/ 40!

07.- >e te#e e 'Mue#te cu#t&: = 2x + 5x ε A/ 1 x 6!

?#*car Qcu#ta' r&&'ce' 'Mue#te' ' ,er*a-*era'R

a)∅ ε ) 9 ε c) 17∉ *) 8 ε e) 11ε f) 11/ 13ε

08.- >e te#e e cu#t& 'Mue#te: D = x + 1x ε A/ 1 x 6!?#*car cua#ta' *e a' 'Mue#te' r&&'ce' '

,er*a*era'a) 1 ε D ) ∅ ε D c) 6 ∉ ; *) 4 ε D e) 3 ε D09.- eter%#ar &r exte#'# e cu#t& 'Mue#te:

= 5x - 1x ε A/ 1 x 6!

10.- Saar a 'u%a *e &' ee%e#t&' *e 'Mue#tecu#t&

= 4x - 5x ε A/ 2 x ≤ 6!

11.- Saar a 'u%a *e &' ee%e#t&' *e cu#t&:D = x + 2x ε A/ 1 x ≤ 8!

12.- eter%#ar &r exte#'# &' 'Mue#te' cu#t&':1) = 3xx ε A/ 1 ≤ x ≤ 4!2) D = x2 - 1x ε A/ 1 ≤ x 6!3) ; = 4x - 2x ε A/ 1 x 7!

4) = 3x2

-1x ε A/ 1 x ≤ 4!

13.- >e te#e e 'Mue#te cu#t&: = 3x - 1x ε A/ 1 x ≤ 5!

eter%#ar a 'u%a *e &' ee%e#t&' *e cu#t& OO.

14.- >e te#e e cu#t& 'Mue#te: = 2x - 1 x ε A/ 1 x ≤ 6!

eter%#ar cu#ta' r&&'ce' ' ,er*a*era'.a) 3 ε ) 11 ∉ c) ∅ ε *) 1 ∉ e) 5 ε f) 9! ε

15.- >e te#e e 'Mue#te cu#t&: = (x2 + 2x ε A/ 1 ≤ x ≤ 5!

?#*car a 'u%a *e &' ee%e#t&' *e cu#t& OO.

16.- eter%#ar &r c&%re#'# &' 'Mue#te' cu#t&':

1) = 18/ 20/ 22/ 24/ 26!2) D = 8/ 27/ 64/ 125!3) ; = 25/ 27/ 29/ 31/ 33!4) = 5/ 10/ 17/ 26!

1. RELACIÓN DE INCLUSIÓN

>e *ce ue u# cu#t& OO e't #cu*& e# &tr& cu#t&ODO cua#*& t&*&' &' ee%e#t&' *e cu#t& OO 'ee#cue#tra# e# e cu#t& ODO. >u #&tac# %ate%tca e'a 'Mue#te

⊂ D


32/39

5. CONUNTOS ESPECIALES

5.1. C&uc#:

= 2/3/4gD = 2/3/4/5/6!

?. ;&rrect&. ⊂

D??. ;&rrect&. 3

∈

3!⊂

5

∈

D 5!⊂

D

???. ?#c&rrect&. #() = 3. A& e' c&rrect&3 ⊂ D. & ?. ) >& ??. c)>& ?? ?. *) ? ??e) G&*a'

>&uc#:

= 3! D = 4!?. a'&. D #& te#e 'e#t*&.A& ex'te u#a reac# *e *e'Mua*a* e#tre cu#t&'.??. a'&. = 3 D = 4 #& te#e 'e#t*&. e' u# cu#t& #& u# #$%er&. ?Mua%e#te D.???. der*a*er&. = 3 !

⊂

3/ 4! Bta: c03.- a*& = 2/ 3/ 4/ 5! *eter%#ar a fa'e*a* &,erac*a* *e a' 'Mue#te' r&&'ce'.a. 3!

⊂

*. 2!∈

. 2/5!⊂

e. 5/ 3!⊂

c. 3/6!

⊄ f. ;ar*() ⊂

a) dddddd ) ddddd c) dd*) ddddd

e) dddd

>&uc#:a. (d). (d)

c. (d). 3/ 6!

⊄ 2/3/4/5! =

3/ 6!

⊄ &rue 6

∉

*. (). : = 2/ 3!E#tce' e' c&rrect&:. K() = 4 . 2!! ⊂ K(). 2!

⊂

K() ?d. 3! ∈ K()a) >& ?. ) >& ??.c) >& ? ?d.*) ??? ?d e) ?? ??? ?d.

>&uc#:

= 2/3!K() = ∅ / 2! / 3! / 2/3! !

?. ?#c&rrect&. K() = 4 #& te#e 'e#t*&. K() e' u#cu#t& #& ue*e 'er Mua a 4.


33/39

PRO#LEMAS

01.- >e te#e# &' 'Mue#te' cu#t&': = 1/ 2/ 3!/ D = 2/ 3! ; = 2/ 3/ 4!?#*car a ,er*a* & fa'e*a* *e a' 'Mue#te'r&&'ce':

a) ⊂ D ) ⊂ ; c) D ⊂ ;

*) ; ⊂ e) ; ⊂ D f ) D ⊂

02.- >e te#e# &' cu#t&': = 2/ 3!/ D = 2/ 3/ 4! ; = 3!?#* car a ,er*a* (d) & fa'e*a* () *e a''Mue#te' r&&'ce'

a) ⊂ D ) ⊂ ; c) D ⊂ ;*) ; ⊂ D e) ; ⊂ f) D ⊂

03.- >e te#e# &' cu#t&' 'Mue#te': = 2/ 3!/ D = 3! ; = 1/ 3!Q;ua#ta' r&&'ce' ' ,er*a*era'R

a) D ⊂ ) ; ⊂ D c) ∅ ⊂ *) ∅ ε e) ⊂ ; f) 3 ∈ D

04.- >: = 3/ 6! D = !/ 'ae#*& a*e%' ue: = D/ Waar a 'u%a *e ,a&re' *e .

05.- >: = % + 1/ # - 2!/ D = 5/ 8! a*e%' = D/ Saar e %a&r ,a&r *e % x #.

06.- >: = 5/ 11!/ D = a + 3/ - 5!/ a*e%' = D/Saar e %e#&r ,a&r *e a x .

07.- >: = a + 2/ 5/ - 1! 'ae#*& ue e cu#t& OOe' u#tar&. Saar: a x .

08.- > e cu#t& D = % + 1/ # - 2/ - 4/ 10! e' u#cu#t& u#tar&. Saar: % + # + .

09.- >: = %+#/ %-#!/ D = 9/ 7!. *e%' = D/ Waar e

%e#&r ,a&r *e x D.

10.- >: = 2/ 4! D = %/ #! *e%': = D. eter%#ar a 'u%a *e &' ,a&re' *e O%O O#O

11.- >: = %+#/ %-#!/ D = 20/8!. *e%': = D.eter%#ar e ,a&r &'t,& *e O% x #O.

12.- > 'e te#e e 'Mue#te cu#t& = 2/ 3/ 4/ 5!! / D = 2/ 3!

?#*car cua#ta' r&&'ce' ' ,er*a*era'

a) ∅ ⊂ ) D ⊂ c) 3 ⊂ D*) 4 ∉ e) 8 ∉ D f) ⊂

13.- > 'e te#e: = xx ∈ A 1 ≤ x ≤ 4!D = 2xx ∈ A 1 ≤ x ≤ 2!

?#*car cua#ta' r&&'ce' ' fa'a': a) D ⊂ ) 1⊂ c) 5 ∈ *) ∅ ⊂ e) ∅∈D f) 3∉

14.- >e te#e# &' cu#t&': = 2/ 3/ 5!! / D = 2/ 3! ?#*car a ,er*a* & fa'e*a*

a) ∅ ∈ ) ⊂ c) ∅ ⊂ D*) D ∈ D e) D ⊂ Df) 2 ⊂

15.- ar 5 ee%&' *e:

a) ;u#t&' u#tar&' ) ;u#t&' #u&'

c) ;u#t&' #f#t&' *) ;u#t&' f#t&'

16.- >e te#e &' 'Mue#te' cu#t&':

= 2/ 3/ 4/ 5!! / D = 3/ 5!?#*car cua#ta' ' r&&'ce' fa'a':

a) ∅ ⊂ ) ∅ ⊂ D c) 5 ∈ *) 3 ∉ D e) D ∈ D f) ⊂

17.- >e te#e# &' 'Mue#te' cu#t&': = 2xx ∈ A 1 ≤ x ≤ 4!D = 2x + 1x ∈ A 1 x 5!?#*car cua#ta' r&&'ce' ' fa'a':

a) 2 ∈ ) ∅ ∈ c) 5 ∈ D*) ∅ ∈ D e) 11 ∈ D f) 10 ∈

18.- >: = %+1/ #-3! / D = 6/ 7! *e%': = D/ Saar e %e#&r ,a&r *e % x #

19.- >: = % - 1/ # - 2/ + 3/ 6! *e%' e' u# cu#t& u#tar&. Saar: % + # +

20.- >: = % + #/ % - #!/ D = 8/ 10! *e%': = D/ Waar a %e#&r ,a&r *e % x #

21.- >: = 4/ 6! / D = a/ !.Saar a 'u%a *e Oa O. >ae#*& ue = D

22.- >:

= a + / a - !D = 16/ 12!

*e%': = D. eter%#ar e %a&r ,a&r *e Oa x O

UNIN D! "N#UN$S

Dados dos conjuntos A y B se llama unin de A y

B al conjunto !o"mado #o" los elementos $ue

#e"tenecen a A o B%

A & B ' a *∈

A *∈

B +

,e#"esentacin de la &nin


34/39

IN$!RS!""IN D! "N#UN$S

Dados dos conjuntos A y B se llama inte"seccin

de A y B al conjunto !o"mado #o" los elementos

$ue #e"tenece a A y a B%Notación:

A intersección B ⇒ A∩ B

-nte"seccin de dos o m.s conjuntos si/ni!icao0tene" un nue1o conjunto !o"mado #o" todos los

elementos comunes a los conjuntos conside"ados%

∩ D = x x∈

x∈

D !Vrfca%e#te:

DI%!R!N"IA D! "N#UN$S

,esta" es sinnimo de $uita"% l "esultado de lasust"accin se llama di!e"encia% 3i estos conce#tos

lo lle1amos a nuest"o estudio de los conjuntos

tenemos $ue:

3e llama di!e"encia ent"e un conjunto A y ot"o B4

al conjunto 22!o"mado #o" todos los elementos deA $ue no #e"tenecen a B%

5otacin:

Diferencia entre A y B⇒

A – B

A 6 B ' * * ∈ A y * ∉ B +

DI%!R!N"IA SI&'$RI"A

78oda la &nin 4 menos la inte"seccin9

5otacin: A B 7;a di!e"encia sim&uc#

&%#M&' *e &cture1 / 8 / 15 / 22 / 29 5 *&%#M&'Na' ue e'tu*: 31 – 5 = 26 *Na'

E'tu* '&

hMera 6 *Na'

E'tu* a%&' cur'&' 16 – 6 = 10 *Na'

02.- > e# u# aua *e 60 au%#&' 20 ar&ar '&&


35/39

A& Wa ee%e#t&' fuera *e < ∪ L &rue t&*&'ar&ar a %e#&' u# cur'&. e te#e# &' cu#t&':

= 2/ 3/ 4!D = 3/ 5/ 6]; = 1/ 3/ 5!" = 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7!

Saar:a) ∩ D ) i c) D ∆ ;*) ;i e) D – ; f) (; - )i

03.- >e te#e# &' cu#t&':

= 1/ 2/ 3!

D = 2/ 3/ 4!; = 3/ 2/ 1! = 3/ 4!" = 1/2/3/4/5!

Saar:a) - D ) D ∩ ;c) D – *) ∆ e) jf) ∪ ;M) – D W) ( – )j

04.- QYuH &erac# rere'e#ta ca*a u#a *e a'reMe' '&%rea*a'R

) D)

;) )

E) )

V) S)

05.- E# ca*a Mrfc& '&%ree e cu#t& ue 'e #*ca.

) (∩ D) " ; D) ( " D ) ∩ ; ;) ( – D ) " ;


36/39

) (∩

;) – ; E) ( – D ) – ; ) – (D – ; )

V) ( ∩ ;)C S) C " ;C ?) ( – D ) " (D – ; )

06.- >: = x x ∈ A 1 ea# &' cu#t&':

" = 1/2/3/4/5! = 1/2/3!D = 2/3/4!

Efectuar:

a) j- D ) Dj – c) j – D*) ( ∪ Dj) e) j ∆ Djf) j∩ Dj

09.- >e te#e# &' 'Mue#te' cu#t&':

= 2/ 3/ 4!

D = 3/ 4/ 5!; = 1/ 3/ 5!" = 1/2/3/4/5/6!

) E= (i-Di)∪; D) E = i∪Di ;) E=(;i∆Di)-i

10.- >e te#e# &' cu#t&':

= 1/ 2/ 3!/ D = 2/ 3/ 4!/ ; = 3 / 5!

Saar:

a) ∪D. ) - ; c) D - ;*) ∆ ; e) D ∩ ; f) D -

11.- >e te#e# &' 'Mue#te' cu#t&':

= 2/ 3/ 4! D = 3/ 4/ 5! ; = 4 / 5! = 1/4! "=1/2/3/4/5/6/7!

Saar:

a) - D ) ; ∩ c) ∆ D*) D - e) ∪ Df) D

12.- >e te#e# &' cu#t&':

= 1/ 2/ 3/ 4! D = 2 / 3/ 4!

; = 3/ 5! = 2/ 4!

Saar:

a) ∪ D ) ∩ ; c) - D

*) D – e) - f) ; ∆

13.- = 1/ 2/ 3) D = 2/ 3/ 4); = 3/ 4/ 5) " = 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6!

Saar:a) ∩ D ) i c) D ∆ ;*) Di e) ; – D f) ( ∪ D)i

14.- e'M#a#*&:

: e cu#t& *e t&*&' &' #ac*&' e# e Ker$.D: e cu#t& *e t&*&' &' #ac*&' e# a 'e,aa%aP#ca erua#a.;: e cu#t& *e t&*&' &' #ac*&' e# ?ut&'.E *aMra%a *e de## ue 'e reaca c&rrecta%e#te &'

tre' cu#t&' e':

a) c)

) *)

15.- >: = 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7!D = 5/ 6/ 7/ 8/ 9!; = 4/ 5 !


37/39

E#tce'. Q;ue' ' &' ee%e#t&' ue *ee# e'tare# a arte acWura*a *e *aMra%a:

a) 4 5 6) 4 5 6 7c) 4 6 7*) 123e) 6 7

15.- >: = 1/2/3! /D = 1/2/4! / ; = 2/3/4/5!

E#tce': Q;ue' ' &' ee%e#t&'ue *ee# e'tar e# a arte acWura*a *e *aMra%aR2342 41 2 4

16.- e e#cue't a 120 au%#a' '&re 'u' refere#ca'&r e ,e & a #atac#/ 'e &tu,& &' 'Mue#te're'uta*&':

- a cuarta arte #& e Mu'ta e ,e # a #atac#- a %ta* e' Mu'ta a #atac#- &' 512 e' Mu'ta e ,e

Be'*er a a' 'Mue#te' reMu#ta':

) Q cu#ta' au%#a' e' Mu'ta e ,e a #atac#R) Q cu#ta' au%#a' e' Mu'ta '&a%e#te e ,eR) Q cu#ta' au%#a' e' Mu'ta '&a%e#te a #atac#R

>&uc#:

;cu&' re,&':

# ,e # #atac# =

1

4 . 120 = 30

#atac# =

1

2

. 120 = 60

de =

5

12 . 120 = 50

>ea: x = k *e au%#a' ue e' Mu'ta a%&' *e&rte'.e Mrfc&: (50-x) + x + (60-x) + 30 = 120 140 - x = 120 x = 20#a%e#te:

) k *e au%#a' ue e' Mu'ta e ,e a #atac# = 20) k *e au%#a' ue e' Mu'ta '&a%e#te ,e = 50 - 20= 30) k *e au%#a' ue e' Mu'ta '&a%e#te #atac# = 60 -20 = 40

02.- u#a reu## a''ter 68 tur'ta' *e &' cuae':

20 c&ce# Gac#a reua/ e #$%er& *e tur'ta' uec&ce# reua e' e *&e *e &' ue c&ce# '&Gac#a/ e #$%er& *e &' ue c&ce# Gac#a e' Mua a#$%er& *e &' ue #& c&ce# # Gac#a # reua.Q;u#t&' tur'ta' c&ce# '& reuaR

>&uc#:

>ea:

k tur'ta' ue c&ce# '& Gac#a = xk tur'ta' ue c&ce# Gac#a = x+20k tur'ta' ue c&ce# reua = 2xk tur'ta' ue c&ce# '& reua = 2x – 20 = R

e Mrfc&: x + 20 + 2x – 20 + x + 20 = 68

4x + 20 = 68x = 12

;&ce# '& reua = 2(12) – 20 = 4


38/39

Bta: 4 tur'ta' c&ce# '& reua

PRO#LEMAS

01.- >e te#e e 'Mue#te *aMra%a:

?#*car e #$%er& *e ee%e#t&' e# ca*a ca'&:

a) >& ?#ca I&a e) ?#ca I&a & ;&ca ;&a) >1& ;&ca ;&a ) >& u#a Ma'e&'a

c) ?#ca I&a ;&ca ;&a V) ?#ca I&a*) A& ?#ca I&a S) A& ;&ca ;&a

02.- >e te#e e 'Mue#te *aMra%a:

?#*car e #$%er& *e ee%e#t&' ':

a) >& e) #& D) D f) # # Dc) & D M) er& #& D*) #& W) 03.- u# ca%a%e#t& ccurre# 48 au%#&': 22 #&'ae# c&c#ar/ 32 #& 'ae# ar%ar cara' 12 #& 'ae## c&c#ar # ar%ar cara'. Q;u#t&' au%#&' reaPa#a' *&' act,*a*e'R

a) 4 ) 8 c) 6 *) 5 e) 3

04.- u#a reu## a''ter 68 tur'ta' *e &' cuae':20 c&ce# Gac#a reua/ e #$%er& *e tur'ta' uec&ce# reua e' e *&e *e &' ue c&ce# '&Gac#a/ e #u%er& *e &' ue c&ce# Gac#a e' Mua a#u%er& *e &' ue #& c&ce# # Gac#a # reua.Q;u#t&' tur'ta' c&ce# '&& reuaR

a) 4 ) 8 c) 12 *) 16 e) 24

05.- u# certa%e# *e eePa 'e re'e#tar 250'e\&rta'. >e 'ae ue:- Suer 180 rua' *e a' cuae' 80 u'aa# a#te&&'.- E #$%er& *e ca#**ata' ue #& era# rua' ueta%&c& u'aa# a#te&&' era# &' 25 *e a' ue'&a%e#te u'aa# a#te&&'.

) Q;u#ta' u'aa# a#te&&'R

) Q;u#ta' u'aa# a#te&&' er& #& era# rua'R) Q;u#ta' #& era# # rua' # u'aa# a#te&&'R

06.- E# u#a e#cue'ta a 110 au%#&' '&re a refere#ca&r &' cur'&' *e rt%Htca D&&MNa 'e &tu,er &''Mue#te' re'uta*&':60 refere# rt%Htca

50 refere# D&&MNa20 #& refere# ##Mu#& *e e't&' cur'&'

Q;u#t&' refere# '& u#& *e e't&' cur'&'R

a) 35 ) 29 c) 40 *) 21 e) A

07.- e u# Mru& *e 200 ace#te' exa%#a*&' e# u#acN#ca 'e e#ctr ue 100 #& te#Na# c#cer 80 #&te#Na# *aete' 25 #& te#Na# ##Mu#a *e e'ta'e#fer%e*a*e'. Q;u#t&' te#Na# a%&'R

a) 20 ) 45 c) 50 *) 55e) 75

08.- E# e %e' *e LarP& Verar*& c&% e# e *e'au#&

a# c W&t-*&M (19 *Na') & c cWcWarr# (15 *Na') '*ura#te 4 *Na' *cW& %e' Verar*& e'tu,& e# au#a.Q;u#t&' *Na' c&% a# c cWcWarr# '&a%e#teR

a) 19 ) 15 c) 8 *) 7e) 12

09.- E# u# ce't& Wa %a#Pa#a' era' #ara#a'. "#Mru& *e 80 #\&' c&%er a' fruta' *e a 'Mue#te%a#era: 32 #\&' c&%er %a#Pa#a' 33 #\&'c&%er era' 20 #\&' c&%er #ara#a'/ 4 #\&'c&%er %a#Pa#a' era'/ 7 #\&' c&%er era' #ara#a' 5 #\&' c&%er #ara#a' %a#Pa#a'.Q;u#t&' #\&' c&%er &' tre' t&' *e fruta'*fere#te'R

a) 15 ) 10 c) 12 *) 13e) 11

10.- e 40 au%#&' *e u# aua e #$%er& *e &' uee'tu*a# Late%tca


39/39

a) 32 20 ) 12 8 c) 8 4 *) 20 8e) 30 12

13.- E# u# 'a# *e 100 au%#&': 65 ar&ar BaP.Late%tc&/25 ar&ar BaP. Late%tc& BaP. dera/15 ar&ar '&a%e#te BaP. dera.

Q;u#t&' #& ar&ar ##Mu#& *e &' cur'&' %e#c&-#a*&'R

a) 10 ) 15 c) 20 *) 25e) 30

14.- E# u#a e#cue'ta reaPa*a a 120 er'a': 40 ee#'&a%e#te a re,'ta OVe#teO/ 60 ee# '&a%e#te are,'ta O;areta'O/ 12 #& ee# ##Mu#a *e e'ta' re,'ta'.Q;u#t&' ee# a%a' re,'ta'R

a) 8 ) 68 c) 48 *) 20e) 38

15.- e 38 e'tu*a#te' ue *e'far e# u# ata#:

18 u'aa# a#te&&'

9 u'aa# a#te&&' 'ac&19 e,aa# 'ac&7 u'aa# 'ac& c&rata20 u'aa# c&rata7 u'aa# a#te&&' c&rata Q;u#t&' e'tu*a#te'u'aa# a#te&&' 'ac& c&rataR

a) 1 ) 2 c) 3 *) 4 e) 5

16.- E# u#a e#cue'ta reaPa*a a 129 tee,*e#te':

37 ,e# e ca#a 417 ,e# &' ca#ae' 5 234 ,e# e ca#a 515 ,e# &' ca#ae' 4 252 ,e# e ca#a 212 ,e# &' ca#ae' 4 540 ,e# &tr&' ca#ae'.Q;u#t&' tee,*e#te' ,e# &' ca#ae' 4/ 5 2R

a) 15 ) 17 c) 8 *) 20 e) 10

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